Թիվ

Թիվ, մաթեմատիկական օբյեկտ, որ օգտագործվում է հաշվարկների, չափումների և համարակալման համար։ Թվերի սկզբնական օրինակներ են բնական թվերը 1, 2, 3, 4 և այլն^[1]։ Նշանակման խորհրդանիշը, որ ներկայացնում է թիվը կոչվում է թվանշան^[2]։ Հաշվարկման և չափման համար օգտագործվելուց զատ, թվերը հաճախ օգտագործվում են որպես նշաններ (ինչպես հեռախոսահամարներ), կարգավորման համար (ինչպես սերիական համարներ) և որպես կոդ (ինչպես ISBN)։ Սովորական օգտագործման ժամանակ թիվը կարող է վերաբերել նշանի, բառի, կամ մաթեմատիկական աբստրակցիայի։

Մաթեմատիկայում, հարյուրամյակների ընթացքում թվի գաղափարը ընդլայնվել է ներառելով 0-ն^[3], բացասական թվերը^[4], ռացիոնալ թվերը ինչպիսիք են 12 և −23, իրական թվերը^[5], ինչպիսիք են քառակուսի արմատ 2-ից և պի, և կոմպլեքս թվերը^[6], որոնք ընդլայնում են իրական թվերը ավելացնելով քառակուսի արմատ −1^[4]։ Թվերի հետ հաշվարկները կատարվում են թվաբանական գործողություններով, առավել ծանոթներն են՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում և աստիճան բարձրացնելը։ Դրանց ուսումնասիրությունը կամ օգտագործումը անվանում են թվաբանություն։ Նույն տերմինը կարող է վերաբերվել նաև թվերի տեսությանը, թվերի հատկությունների ուսումնասիրությանը։

Բացի իրենց գործնական կիրառություններից, թվերն ամբողջ աշխարհում ունեն իրենց մշակութային կարևորությունը^[7][8]։ Օրինակ, արևմտյան հասարակությունում 13 թիվը անհաջողություն բերող է համարվում, իսկ «միլիոնը» կարող է նշանակել «շատ»^[7]։ Թեև այժմ այն վերագրվում է կեղծ գիտությանը, թվերաբանությանը, թվերի առեղծվածային կարևորությանը, հին և միջնադարյան մտքի ներթափանցմանը^[9]։ Թվերաբանությունը մեծապես ազդել է Հունական մաթեմատիկայի զարգացման վրա, խթանելով թվերի տեսության բազմաթիվ խնդիրների ուսումնասիրությանը, որոնք մինչ օրերս արդիական են^[9]։

19-րդ դարի ընթացքում մաթեմատիկոսներն սկսեցին մշակել բազմաթիվ տարատեսակ աբստրակցիաներ, որոնք ունեն թվերի որոշակի հատկություններ և կարող են դիտարկվել որպես գաղափարի ընդլայնում։ Առաջիններից էին հիպերկոմպլեքս թվերը, որոնք բաղկացած են կոմպլեքս թվերի համակարգի զանազան ընդլայնումներ և մոդիֆիկացիաներ։ Այսօր թվերի տեսությունը դիտարկվում է որպես կարևոր հատուկ օրինակներ շատ ավելի ընդհանուր կատեգորիաների, ինչպիսին օղակներն են և դաշտերը, և «թիվ» տերմինի կիրառումը սովորույթ է, առանց հիմնարար կարևորության^[10]։

Թվերը պետք է տարբերակվեն թվանշաններից, թվերը ներկայացնող նիշքերից։ Եգիպտացիները հայտնաբերեցին առաջին ծածկագրված թվային համակարգը, իսկ հույները, հետևելով դրանց հաշվարկային թվերին, արտապատկերեցին Իոնյան Դորիկ այբուբենների վրա^[11]։ Հռոմեական թվանշանները, համակարգ, որ օգտագործում էր հռոմեական այբուբենի տառերի կոմբինացիաներ, Եվրոպայում մնաց գերակշռող մինչև 14-րդ դարի վերջի արաբական թվային համակարգի տարածումը և արաբական թվային համակարգը աշխարհում մնում է թվերի ներկայացման ամենաընդունված համակարգը ցայսօր^[12]։ Համակարգի արդյունավետության բանալին զրոյի նիշքն էր, որը ստեղծել էին անթիկ հնդիկ մաթեմատիկոսները մոտավորապես մեր թվարկության 500 թվականին^[12]։

Թվերը կարող են դասակարգվել այնպիսի թվային համակարգերի բազմությունների, ինչպիսիք են բնական թվերը և իրական թվերը^[13]։ Թվերի հիմնական կատեգորիաները հետևյալն են․

Գլխավոր թվային համակարգեր

${\displaystyle \mathbb {N} }$	Բնական	1, 2, 3, 4, 5, ... or 1, 2, 3, 4, 5, ... Երբեմն օգտագործվում են ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ or ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$։
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	Ամբողջ թվեր	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
${\displaystyle \mathbb {Q} }$	Ռացիոնալ	ab որտեղ a և b ամբողջ թվեր են b 0 չէ։
${\displaystyle \mathbb {R} }$	Իրական	Ռացիոնալ թվերի զուգամիտող հաջորդականության սահմանը
${\displaystyle \mathbb {C} }$	Կոմպլեքս	a + bi որտեղ a և b-ն իրական թվեր են և i-ն  −1-ի քառակուսի արմատն է

Ընդհանուր առմամբ, ոչ մի խնդիր չկա յուրաքանչյուր թվային համակարգը ներկայացնել որպես հաջորդի ենթաբազմություն, քանի որ այս թվային համակարգերից յուրաքանչյուրն իր հաջորդի իզոմորֆ ենթաբազմությունն է։ Ստացված հիերարխիան թույլ է տալիս, օրինակ, ձևականորեն ճշգրիտ խոսել իրական թվերի մասին, որոնք ռացիոնալ թվեր են և սիմվոլիկ ներկայացնել հետևյալ կերպ.

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$.

Ամենածանոթ թվերը բնական թվերն են (երբեմն անվանում են ամբողջ թվեր կամ հաշվելի թվեր). 1, 2, 3, և այլն։ Ավանդաբար բնական թվերի հաջորդականությունը սկսվում է  1-ից (Անտիկ Հունաստանում 0-ն որպես թիվ չէր դիտարկվում։) Այնուամենայնիվ, 19-րդ դարում, բազմությունների տեսաբանները և այլ մաթեմատիկոսներ սկսեցին  0-ն ներառել (դատարկ բազմության հզորություն, այսինքն 0 տարրեր, որտեղ 0-ն ամենափոքր կարդինալ թիվն է) բնական թվերի բազմության մեջ^[14][15]։ Այսօր, մաթեմատիկոսները տերմինն օգտագործում են երկու բազմության նկարագրության համար՝  0-ն ներառելով կամ ոչ։ Բնական թվերի բազմության նշանակման համար N մաթեմատիկական սիմվոլն է օգտագործվում, նաև գրվում է ${\displaystyle \mathbb {N} }$, և երբեմն ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ կամ ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$, երբ անհրաժեշտ է նշել, որ բազմությունը արդյոք սկսվում է 0-ից կամ 1-ից համապատասխանաբար։

Տասական թվային համակարգ, որ այսօր, համարյա համընդհանուր, օգտագործվում են մաթեմատիկական գործողությունների համար, գրառվում են օգտագործելով տաս 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, և 9 թվանշանները։ Համակարգի հիմքը եզակի թվային նիշերի քանակն է, ներառյալ զրոն, որ թվային համակարգն օգտագործում է թվերը ներկայացնելու համար (տասական համակարգի համար հիմքը 10-ն է)^[16]։ Այս 10-ական համակարգում, բնական թվի ամենաաջ թվանշանը ունի  1 տեղի արժեք, և յուրաքանչյուր այլ թվանշան ունի իր աջից տասապատիկ տեղի արժեք։

Բազմությունների տեսությունը, որ ի զորու է որպես ժամանակակից մաթեմատիկայի աքսիոմատիկ հիմք ծառայել^[17], բնական թվերը կարող են ներկայացվել համարժեք բազմությունների դասերով։ Օրինակ,  3 թիվը կարող է ներկայացվել որպես ճշգրիտ երեք տարրեր ունեցող բոլոր բազմությունների դաս։ Որպես այլընտրանք, Պեանոյի թվաբանությունում,  3 թիվը ներկայացվում է որպես sss0, որտեղ s-ը «իրավահաջորդ» ֆունկցիան է (այսինքն, 3-ը  0-ի երրորդ իրավահաջորդն է)։ Հնարավոր են ներկայացման շատ այլ ձևեր, սակայն բոլոր դրանք պետք է  3 թիվը ֆորմալ ներկայացնեն երեք անգամ կրկնելով որոշակի նիշք կամ պատկեր։

Դրական ամբողջ թվից սահմանվում է այնպիսի բացասական թիվ, որը համապատասխան դրական թվին գումարելով ստացվում է 0։ Բացասական թվերը սովորաբար գրվում են բացասական նշանով (մինուս նշան)։ Որպես օրինակ, 7-ի բացասական թիվը գրվում է −7, և 7 + (−7) = 0։ Երբ բացասական թվերի բազմությունը միավորվում է բնական թվերի բազմության հետ (ներառյալ 0-ն), արդյունքը սահմանվում է որպես ամբողջ թվերի բազմություն Z գրվում է նաև ${\displaystyle \mathbb {Z} }$։ Ամբողջ թվերի բազմությունը գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ կազմում է օղակ^[18]։

Բնական թվերը կազմում են ամբողջ թվերի ենթաբազմություն։ Բնական թվերն առանց զրոյի սովորաբար վերաբերում են դրական ամբողջ թվերին, և բնական թվերը, ներառյալ զրոն, վերաբերում են ոչ բացասական ամբողջ թվերին։

Ռացիոնալ թիվը կարող է արտահայտվել որպես ամբողջ համարիչով և դրական ամբողջ հայտարարով կոտորակ։ Բացասական հայտարարները թույլատրելի են, սակայն սովորաբար խուսափում են, քանի որ յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ հավասար է դրական հայտարարով ռացիոնալ թվի։ Կոտորակները գրվում են որպես երկու ամբողջ թվեր, համարիչ և հայտարար, որոնք անջատվում են բաժանարար գծով։ mn կոտորակը ներկայացնում էn հավասար մասերի բաժանված ամբողջի m մասերը։ Երկու տարբեր կոտորակներ կարող են վերաբերել միևնույն ռացիոնալ թվին․ օրինակ 12 և 24 հավասար են․

${\displaystyle {1 \over 2}={2 \over 4}.}$

Ընդհանրապես,

${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$ if and only if ${\displaystyle {a\times d}={c\times b}.}$

Երբ m-ի բացարձակ արժեքը մեծ է n-ից (ենթադրաբար դրական է), ապա կոտորակի բացարձակ արժեքը  1-ից մեծ է։ Կոտորակները կարող են լինել  1-ից մեծ, փոքր, կամ հավասար  1-ին և նաև կարող են լինել դրական, բացասական կամ  0։ Ռացիոնալ թվերի բազմությունը ներառում է ամբողջ թվերը, քանի որ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարող է ներկայացվել որպես 1 հայտարաով կոտորակ։ Օրինակ −7 կարող է ներկայացվել −71։ Ռացիոնալ թվերի նշանը Q-ն է (քանորդ, quotient), գրվում է նաև ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Իրական թվերը նշանակվում են R սիմվոլով, ինչպես նաև գրվում են ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Դրանք ներառում են բոլոր չափելի թվերը։ Յուրաքանչյուր իրական թիվ համապատասխանում է թվերի ուղղի որոշակի կետի։ Հաջորդ պարբերությունը հիմնականում անդրադառնալու է դրական իրական թվերի վրա։ Բացասական իրական թվերի նկատմամբ գործողությունները տարվում են թվաբանության հիմնական օրենքներով և դրանց գրելաձևը պարզ է, ուղղակի դնում ենք մինուս նշան համապատասխան դրական թվանշանի առջև, օրինակ -123.456։

Իրական թվերի մեծամասնությունը կարող են ներկայացվել մոտավոր տասական թվանշաններով, որում տասնորդական կետը դրվում է  1 տեղի արժեք ունեցող թվից աջ։ Տասնորդական կետից աջ գտնվող յուրաքանչյուր թվանշան ունի իրենից ձախ գտնվող թվանշանի մեկ-տասներորդ տեղի արժեքը։ Օրինակ, 123.456-ը ներկայացվում է 1234561000, կամ, բառերով, մեկ հարյուր, երկու տասնյակ, երեք մեկ, չորս տասներորդ, հինգ հարյուրերորդ և վեց հազարերորդ։ Իրական թիվը կարող է ներկայացվել վերջավոր տասնորդական թվանշաններով միայն, եթե այն ռացիոնալ է և դրա կոտորակային մասի հայտարարի ուղիղ գործակիցները 2 oկամ 5 կամ երկուսն էլ, որովհետև դրանք տասի ուղիղ գործակիցներ են, տասական համակարգի հիմքը։ Այսպես օրինակ, մեկ երկրորդը 0.5 է, մեկ հինգերորդը՝ 0.2, մեկ տասներորդը՝ 0.1 և մեկ հիսուներորդը՝ 0.02։ Մյուս իրական թվերը ներկայացնելու համար տասնորդական կետից աջ կպահանջվի թվանշանների անվերջ հաջորդականություն։ Եթե թվանշանների անսահման հաջորդականությունը կրկնվող շաբլոն ունի, այն կարող ներկայացվել բազմակետերի միջոցով կամ կրկնվող շաբլոնը ցուցադրող այլ եղանակով։ Այդպիսի տասնորդականը կոչվում է կրկնվող տասնորդական։ Այսպիսով 13 կարող է գրվել 0.333..., միջակետերով ցույց տալով կրկնվող շաբլոնը։ Անվերջ կրկնվող 3-ները կարող են նաև ներկայացվել որպես 0.3։

Ստացվում է, որ այս կրկնվող տասնորդականները (ներառյալ զրոների կրկնությունը) ներկայացնում են հենց ռացիոնալ թվերը, այսինքն բոլոր ռացիոնալ թվերը իրական թվեր են, բայց ոչ բոլոր իրական թվերն են ռացիոնալ։ Իրական թվերը, որոնք ռացիոնալ չեն, կոչվում են իռացիոնալ։ Ամենահայտնի իռացիոնալ թիվը ${\displaystyle \pi }$-ն է, յուրաքանչյուր շրջանի շրջանագծի հարաբերությունը իր տրամագծին։ Երբ pi-ն ներկայացված է որպես

${\displaystyle \pi =3.14159265358979\dots ,}$

ինչպես երբեմն տեղի է ունենում, կախման կետերը չեն նշանակում, որ տասնորդականները կրկնվում են (դրանք չեն կրկնվում), այլ ուղղակի, որ դրանք վերջ չունեն։ Ապացուցված է, որ ${\displaystyle \pi }$-ն իռացիոնալ է։ Մեկ այլ հայտնի իռացիոնալ թիվ է․

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,}$

քառակուսի արմատ 2-ը, այսինքն, միակ, դրական իրական թիվը, որի քառակուսին հավասար է 2-ի։ Այս երկու թվերն էլ (համակարգիչով) մոտարկվել են մինչև տասնորդական տրիլիոններ ( 1 տրիլիոն = 10¹² = 1,000,000,000,000 )։

Ոչ միայն այս նշանավոր օրինակները, բայց համարյա բոլոր իրական թվերը իռացիոնալ են և այդ պատճառով չունեն կրկնվող շաբլոններ հետևաբար և համապատասխան տասական թվանշան։ Դրանք կարող են միայն մոտարկվել տասական ներկայացմամբ՝ կլորացնելով կամ հատելով իրական թվերը։ Յուրաքանչյուր կլորացրած կամ հատած թիվ անհրաժեշտաբար ռացիոնալ թիվ է, որոնցից միայն հաշվելի շատ կան։ Բոլոր չափումները իրենց բնույթով մոտավոր են, և միշտ ունեն սխալի սահման։ Այսպիսով 123.456 թիվը դիտարկվում է որպես կամայական իրական թվի մոտարկում, որը 123455510000-ից մեծ է կամ հավասար և խիստ փոքր է քան 123456510000 (կլորացրած մինչև 3 տասնորդական), կամ մեծ է կամ հավասար 1234561000-ից և խիստ փոքր է 1234571000-ից (կլորացրած մինչև 3. տասնորդական)։ Թվանշանները, որ ենթադրում են ավելի մեծ ճշգրտություն, քան հաշվարկը թույլ է տալիս, պետք է հեռացվեն։ Պահպանված թվերը կոչվում են իմաստալից թվեր։ Օրինակ, քանոնով չափումները հազվադեպ կարող են լինել առնվազն առանց 0.001 մետր սխալի։ Եթե քառանկյան կողմերը չափվել են հավասար 1.23 մետր և 4.56 մետր, ապա բազմապատկումը քառակուսու մակերեսը տալիս է 5.614591 քառակուսի մետր և 5.603011 քառակուսի մետր միջակայքում։ Քանի որ տասնորդական կետից հետո նույնիսկ երկրորդ նիշը չի պահպանվում, ապա հաջորդ թվանշանները իմաստալից չեն։ Այդ պատճառով արդյունքը սովորաբար կլորացվում է մինչև 5.61։

Ճիշտն այնպես, ինչպես միևնույն կոտորակը կարող է գրվել մեկից ավել եղանակով, այնպես էլ միևնույն իրական թիվը կարող է ունենալ մեկից ավել տասական ներկայացում։ Օրինակ, 0.999..., 1.0, 1.00, 1.000, ..., բոլորը ներկայացնում են 1 բնական թիվը։

Թվերի այս բազմությունը պատմականորեն առաջացավ, երբ փորձեցին խորանարդ բազմանդամների և քառակուսի բազմանդամների արմատների վերջավոր բանաձև գտնել։ Սա տարավ բացասական թվերի քառակուսի արմատ ներառող արտահայտությունների և ի վերջո նոր տիպի թվի սահմանման․ քառակուսի արմատ  −1-ից, նշանակելով i, Լեոնարդ Էյլերի կողմից մտցրած սիմվոլ, որն անվանվեց կեղծ միավոր։ Կոմպլեքս թվերը ներկայացվում են

${\displaystyle \,a+bi}$

արտահայտության տեսքով, որտեղ a-ն և b-ն իրական թվեր են։ Այս պատճառով կոմպլեքս թվերին համապատասխանում է կետ կոմպլեքս հարթության վրա, իրական երկչափ վեկտորական տարածության վրա։ a + bi արտահայտության մեջ a-ն կոչվում է իրական մաս և b-ն՝ կեղծ մաս։ Եթե կոմպլեքս թվի իրական մասը  0 է, ապա թիվը կոչվում է կեղծ թիվ, կամ մաքուր կեղծ թիվ, եթե կեղծ մասն է  0, ապա թիվն իրական թիվ է։ Այսպիսով իրական թվերը կոմպլեքս թվերի ենթաբազմություն են։ Եթե կոմպլեքս թվի իրական և կեղծ մասերը, երկուսն էլ ամբողջ են, ապա թիվը կոչվում է Գաուսյան թիվ։ Կոմպլեքս թվերը ներկայացնելու համար օգտագործում են C կամ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ խորհրդանիշը։

The Հանրահաշվի հիմնական թեորեմը պնդում է, որ կոմպլեքս թվերը կազմում են հանրահաշվական փակ դաշտ, որ նշանակում է կոմպլեքս գործակիցներով յուրաքանչյուր բազմանդամ ունի արմատ կոմպլեքս թիվ։ Ինչպես իրական թվերի դեպքում կոմպլեքս թվերը կազմում են դաշտ, որը լրիվ տարածություն է, բայց ի տարբերություն իրական թվերի կարգավորված չէ։ Այսինքն, չկա ոչ մի իմաստ ասելու, որ կամ i մեծ է 1-ից, կամ iժն ջոքր է  1-ից։ Տեխնիկական տերմիններով ասած, կոմպլեքս թվերում բացակայում է գծային կարգավորումը։

Զույգ թիվը, այն ամբողջ թիվն է, որ «հավասարապես բաժանվում է» երկուսի, այսինքն բաժանվում է առանց մնացորդի։ Կենտ թիվը այն ամբողջ թիվն է, որը զույգ չէ։ Համարժեքորեն, կենտ թիվը ներկայացվում է n = 2k + 1, տեսքով, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է, իսկ զույգ թիվն այն է, որ ներկայացվում է n = 2k տեսքով, որտեղ k ամբողջ թիվ է։

Պարզ թիվը այն ամբողջ թիվն է 1-ից մեծ ամբողջ թիվ է, որը երկու ավելի փոքր դրական թվերի արտադրյալ չէ։ Առաջին մի քանի պարզ թվերն են՝ 2, 3, 5, 7, և 11։ Պարզ թվերն ուսումնասիրվել են ավելի քան 2000 տարիներ և բազմաթիվ հարցեր են առաջ բերել, որոնցից մի քանիսն են իրենց լուծումը գտել։ Այդ հարցերի ուսումնասիրությունը թվերի տեսության առարկան է։ Այդպիսի հարցի օրինակ է, որ դեռևս անպատասխան է մնացել, արդյոք յուրաքանչյուր զույգ թիվ երկու պարզ թվերի գումար է։ Սա կոչվում է Գոլդբախի հիպոթեզ։

Հարցը, որի պատասխանը տրվել է, արդյոք մեկից մեծ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ միակ եղանակով է ներկայացվում պարզ թվերի արտադրյալի տեսքով, չհաշված պարզ թվերի տեղափոխությունները։ Սա կոչվում է թվաբանության հիմնական թեորեմ։ Ապացույցը տրված է Էվկլիդյան տարրեր գրքում։

Բնական թվերի շատ ենթաբազմություններ են հատուկ ուսումնասիրությունների առարկա են դարձել և հաճախ դրանք առաջինը հետազոտող մաթեմատիկոսների անունն են ստացել։ Այդպիսի բազմությունների օրինակ են Ֆիբոնաչիի թվերը և կատարյալ թվերն են։ Լրացուցիչ օրինակների համար, տես Ամբողջ թվերի հաջորդականություն։

Հանրահաշվական թվերը ամբողջ գործակիցներով բազմանդամ հավասարումների լուծումներն են։ Իրական թվերը, որոնք ռացիոնալ չեն կոչվում են իռացիոնալ թվեր։ Կոմպլեքս թվերը, որոնք հանրահաշվական չեն կոչվում են տրանսցենդենտ թվեր։ Հանրահաշվական թվերը, որոնք ամբողջ գործակիցներով մոնիկ բազմանդամային հավասարման լուծումներ են, կորվում են հանրահաշվական ամբողջ թվեր։

Հաշվարկելի թիվ, կամ ռեկուրսիվ թիվէ կոչվում այնպիսի իրական թիվը, որի համար գոյություն ունի ալգորիթմ, որով կարելի է հաշվել թիվը ցանկացած տասական ճշգրտությամբ։Համարժեք սահմանում կարելի է տալ օգտվելով μ-ռեկուրսիվ ֆունկցիաները, Թյուրինգի մեքենաները կամ λ-հաշիվը։ Հաշվարկելի թվերը կայուն են բոլոր սովորական թվաբանական գործողությունների նկատմամբ, ներառյալ բազմանդամի արմատներ հաշվարկը և դրանոց իսկ ներկայացնում է իրական փակ դաշտ, որ ներառում է իրական հանրահաշվական թվերը։

Հաշվարկելի թվերը կարելի է դիտարկել որպես իրական թվեր, որ կարելի ճշգրիտ ներկայացնել համակարգչում․ հաշվարկելի թիվը ճշգրիտ ներկայացվում է իր առաջին թվանշաններով և հաջորդ թվանշանները հաշվարկելու ծրագիր։ Այնուամենայնիվ հաշվարկելի թվերը գործնականում հազվադեպ են կիրառվում։ Պատճառներից մեկն այն է, որ երկու հաշվարկելի թվերի հավասարությունը ստուգող ալգորիթմ գոյություն չունի։ Ավելի ճշգրիտ, գոյությունչունի ալգորիթմ, որ ցանկացած հաշվարկելի թվի համար, որոշի արդյոք այն հավասար է զրոյի, թե ոչ։

Հաշվարկելի թվերի բազմությունը նույն հզորությունն ունի, ինչ բնական թվերինը։ Հետևաբար համարյա բոլոր իրական թվերը հաշվարկելի չեն։ Սակայն շատ դժվար է ստանալ ակնհայտ իրական թիվ, որը հաշվարկելի չէ։

p-ադիկ թվերը կարող են անվերջ ընդլայնումներ ունենալ տասնորդական կետից ձախ, նույն կերպ ինչպես իրական թվերը կարող են ունենալ անվերջ երկար ընդլայնում ունենալ դեպի աջ։ Թվային համակարգը, որ ստացվում է, կախված է ինչ հիմք է օգտագործվում թվանշանների համար․ հնարավոր է յուրաքանչյուր հիմք ով, սակայն պարզ հիմքով համակարգերը լավագույն մաթեմատիկական հատկություններն են դրսևորում։ p-ադիկ թվերը պարունակում են ռացիոնալ թվերը, բայց չեն պարունակում կոմպլեքս թվերը։

Վերջավոր դաշտի վրա հանրահաշվական ֆունկցիաների դաշտի տարրերը և հանրահաշվական թվերը բազում նմանատիպ հատկություններ ունեն (ֆունկցիաների դաշտի անալոգիա)։ Այդ պատճառով թվերի տեսաբանները հաճախ դրանք համարում են թվեր։ p-ադիկ թվերը կարևոր դեր ունեն այդ անալոգիայում։

Որոշ թվային համակարգեր, որոնք ընդգրկված չեն կոմպլեքս թվերում, կարող են կառուցվել իրական թվերից կոմպլեքս թվերի կառուցումն ընդհանրացնելու միջոցով։ Դրանք երբեմն կոչվում են հիպերկոմպլեքս թվեր։ Դրանք ներառում են Քվատերնիոնները H, որ մտցրել է Սըր Ուիլյամ Համիլտոնը, որում բազմապատկումը կոմուտատիվ չէ, օկտոնիոնները, որտեղ բազմապատկումը՝ կոմուտատիվ չլինելով, ասոցիատիվ չէ և ի հավելումն, սեդենիոնները , որտեղ բազմապատկումը ալտերնատիվ չէ, ոչ ասոցիատիվ են, ոչ կոմուտատիվ։

Անվերջ բազմությունների հետ գործ ունենալիս, բնական թվերն ընդհանրացվել են օրդինալ թվերի և կարդինալ թվերի։ Նախորդը տալիս է բազմության կարգը, իսկ վերջինը՝ դրա չափը։ Վերջավոր բազմությունների համար երկուսն էլ, օրդինալն էլ և կարդինալն էլ նույնականացվում են բնական թվերի հետ։ Անվերջ բազմության դեպքում, շատ օրդինալ թվերի համապատասխանում են միևնույն կարդինալ թիվը։

Ոչ ստանդարտ վերլուծությունների համար օգտագործվում են հիպերիրական թվեր։ Հիպերիրական կամ ոչ ստանդարտ թվերը The hyperreals, or nonstandard reals (սովորաբար նշվում են *R տառով), նշանակում է կարգավորված դաշտ, որը համապատասխանում է R իրական թվերի կարգավորված դաշտիի ընդլայնման և բավարարում է փոխանցման սկզբունքին։ Այդ սկզբունքը թույլ է տալիս R-ին վերաբերող ճշգրիտ պնդումները մեկնաբանել որպես առաջին կարգի ճշգրիտ պնդումներ։

Գերիրական կամ սուրեալ թվերը իրական թվերն ընդլայնում են ավելացնելով անվերջ փոքր թվերը և անվերջ մեծ թվերը, սակայն շարունակում են ներկայացնել դաշտ։

Հարաբերության թիվ սահմանվում է որպես հարաբերությունների դաս, որ պարունակում է բոլոր այն հարաբերությունները, որոնք նման են դասի մի անդամին^[19]։^{[պարզաբանել]}

Փորագրություններ են հայտնաբերվել ոսկորների և այլ արտիֆակտերի վրա, որոնք շատերի կարծիքով թվերի նշաններ են^[20]։ Այս թվանշանները հնարավոր է օգտագործվել են անցած ժամանակը հաշվելու համար՝ օրերի քանակը, լուսնային ցիկլերը կամ կենդանիների կամ այլ օբյեկտների քանակը գրանցելու համար։

Փորագրությունների համակարգը չունի տեղի արժեքի հասկացություն (ինչպես ժամանակակից տասական նշագրումներում), որը սահմանափակում է մեծ թվերի ներկայացումը։ Այնուամենայնիվ փորագրման համակարգերը դիտարկվում են առաջին տեսակի աբստրակտ թվային համակարգ։

Տեղի արժեքներով առաջին հայտնի համակարգը 60 հիմքով Մեսոպոտամյան չափման միավորները մ․թ․ա․ 3400  և վաղ  10հիմքով համակարգ, որ 3100 մ․թ․ա․ Եգիպտոսում^[21]։

Զրոյի վաղ օգտագործումը փաստաթղթավորվել է Բրահմագուպտայի կողմից մեր թվարկության 628 թվականին։ Նա քննարկել է 0-ն որպես թիվ և դիտարկել դրա հետ գործողությունները ներառյալ բաժանումը։ Այդ ընթացքում գաղափարը հասել էր Կամբոջա որպես Խմեր թվեր և փաստաթղթերը վկայում են, որ հետագայում գաղափարը տարածվեց Չինաստանում և Արաբական խալիֆայությունում։

Բրահմագուպտայի գիրքը առաջինն էր, որտեղ զրոն հիշատակվում էր որպես թիվ, այդ պատճառով Բրահմագուպտան համարվում է զրոյի հասկացությունը առաջինը ձևակերպողը։ Նա տալիս է զրոյի օգտագործման կանոնները բացասական և դրական թվերի հետ։ Զրոյին ավելացրած դրական թիվ ստացվում է դրական թիվ և զրոյին ավելացրած բացասական թիվ ստացվում է բացասական թիվ։ Գիրքը ամենավաղ տեքստն է, որ որ զրոն ավելի շուտ դիտարկում է որպես թիվ, իր սեփական իրավունքներով, քան տեղ զբաղեցնող թվանշան, ինչպես արվել էր Բաբելոնացիների կողմից կամ որպես քանակի բացակայության սիմվոլ, ինչպես արվել էր Պտղոմեոսի և հռոմեացիների կողմից։

0-ի օգտագործումը որպես թիվ, պետք է տարբերել դրա օգտագործումից որպես տեղապահ թվանշան տեղաարժեքային համակարգերում։ Հնագույն բազմաթիվ տեքստեր օգտագործում են  0-ն։ Բաբելոնյան և Եգիպտական տեքստերն օգտագործում են դա։ Եգիպտացիները կրկնակի հավասարակշռված հաշվապահական համակարգերում nfr բառն օգտագործում էին զրոն -ն նշանակելու համար։ Հնդկերեն տեքստերը դատարկ հասկացությանն անդրադառնալիս օգտագործում էին Shunye կամ shunya բառերը սանսկրիտով։ Մաթեմատիկական տեքսերում հաճախ այդ բառը վերաբերում է զրոյին^[22]։ Նմանապես, Պանինին (մ․թ․ա․5-րդ դարում) զրոն օգտագործել է սանսկրիտ լեզվի ձևական քերականության օրինակներում։

Մինչև Բրահմագուպտան ևս եղել են զրոյի այլ օգտագործումներ, բայց այս դեպքում փաստաթղթավորումը լրիվ չէ։

Գրառումներից երևում է, որ Հին հույները վստահ չէին 0-ի որպես թիվ կարգավիճակի վերաբերյալ․ նրանք իրենք իրենց հարցնում էին․ «ինչպե՞ս կարող է 'ոչինչը' ինչ որ բան լինել» հանգեցնելով 0-ի և դատարկության բնույթի և գոյության մասին հետաքրքիր փիլիսոփայական և միջնադարում կրոնական փաստարկների։ Զենոն Էլեացու պարադոքսները մասնակիորեն կախված են 0-ի անորոշ մեկնաբանությունից։ (Հին հույները նույնիսկ կասկածում էին, արդյոք թիվ է։) Մեքսիկայի հարավ-կենտրոնական հատվածի օլմեք ժողովրդի վերջին սերունդները սկսել էին օգտագործել զրո սիմվոլը, կեղևի սիմվոլ, Նոր աշխարհում, հավանաբար մ․թ․ա․ 4-րդ դարում, սակայն մ․թ․ա․ 40-ականներին հաստատապես, որոնք դարձան Մայայի թվանշանների և Մայայի օրացույցի անբաժանելի մասը։ Մայայի թվաբանությունը օգտագործում էր 4 և 5 թվերը որպես հիմք, գրված 20 հիմքով։ 1961 թվականին Սանչեսը տեղեկացրել է 4 որպես հիմք, իսկ 5-ը «մատներով» հաշվարկի հիմք։

Մեր թվարկության 130 թվականին, Պտղոմեոսը, Հիպարքուսի և բաբելոնացիների ազդեցության տակ, օգտագործում էր 0 սիմվոլը (երկարոտ փոքր շրջան)։ Քանի որ այն օգտագործվում էր առանձին, ոչ որպես տեղապահ, հելենական զրոն Հին Աշխարհում ճշգրիտ զրոյի առաջին փաստագրված օգտագործումն էր։ Հետագա բյուզանդական ձեռագրերում, հելլենական զրոն ձևափոխվեց հունական օմիկրոն տառը (հակառակ դեպքում նշանակում է 70)։

Մեկ այլ ճշմարիտ զրո օգտագործվել է աղյուսակներում, հռոմեական թվանշանների հետ զուգահեռ, Another 525 թվականին (առաջին հայտնի օգտագործումը Դիոնիսիուս կրտսերի կողմից), սակայն որպես բառ, nulla՝ ոչինչ իմաստով, ոչ որպես սիմվոլ։ Երբ բաժանման արդյունքում մնացորդը 0 էր, օգտագործվում էր nihil բառը, որ նույնպես ոչինչ է նշանակում։ Այս միջնադարյան զրոները օգտագործվել են բոլոր հետագա միջին դարերի հաշվարկողների կողմից (Զատիկի հաշվիչներ)։ Որպես ճշմարիտ զրոյի սիմվոլ, N բնական թվերի սկզբնական մեկուսացված օգտագործում, տեղ է գտելմոտավորապես 725 թվականին Բեդայի կամ նրա գործընկերների կողմից, հռոմեկան թվանշանների աղյուսակներում։

Բացասական թվերի աբստարակտ հասկացությունը ճանաչվել է դեռևս մ․թ․ա․ 100 – մ․թ․ա․ 50 թվականներին Չինաստանում։ Մաթեմատիկան ինը գրքերում պարունակում է թվերի տիրույթների որոնման մեթոդներ, կարմիր ձողիկները օգտագործում են դրական գործակիցները ներկայացնելու համար, սևերը՝ բացասականների համար^[23]։ Առաջին հիշատակումը արևմտյան աշխատանքում եղել է մ․թ․ 3-րդ դարում Հունաստանում։ Դիոֆանտոսը մեջբերել էր 4x + 20 = 0 հավասարումը (լուծումը բացասական է) Թվաբանություն աշխատությունում, ասելով, որ հավասարումն անհեթեթ արդյունք է տվել։

600-ականների ընթացքում, Հնդկաստանում բացասական թվերը օգտագործվում էին պարտքերը ներկայացնելու համար։ Դիոֆանտi նախորդ մեջբերումը ավելի մանրամասն քննարկվել է հնդիկ մաթեմատիկոս Բրահմագուպտայի կողմից 628 թվականին, ով բացասական թվերն օգտագործել էր քառակուսի հավասարման ընդհանուր տեսքը ստանալու համար, որը ցայսօր օգտագործվում է։ Սակայն 12-րդ դարում Հնդկաստանում Բասկարա II-ը տալիս է քառակուսի հավասարումների բացասական արմատները, բայց ասում է որ բացասական արժեքը "այս դեպքում չպետք է վերցվի, քանի որ այն ադեկվատ չէ, մարդիկ չեն հաստատում բացասական արմատները։"

Եվրոպական մաթեմատիկոսները մինչև 17-րդ դարը հիմնականում դեմ էին բացասական թվերի հասկացությանը, չնայած ֆինանսական խնդիրներում Ֆիբոնաչին թույլ էր տալիս բացասական լուծումներ, որտեղ դրանք կարող էին մեկնաբանվել որպես պարտքեր (գլուխ 13 գիրք Աբակա, 1202) և հետագայում կորուստներ (Flos)։ Միևնույն ժամանակ չինացիները բացասական թվերը թեք գիծ դնելով համապատասխան դրական թվի ոչ զրոյական թվանշանի առջև^[24]։ Բացասական թվերի առաջին օգտագործումը կատարվել էր Նիկոլա Շաքեի կողմից 15-րդ դարում։ Նա դրանք օգտագործում է որպես օրինակներ, սակայն դրանք դիտարկում է որպես «անհեթեթ թվեր»։

Դեռևս 18-րդ դարում բացասական արդյունքներն անտեսվում էին, ելնելով այն դրույթից, որ դրանք անիմաստ են, ճիշտ այնպես, ինչպես Ռենե Դեկարտը վարվեց բացասական լուծումների հետ Կարտեզիան կոորդինատների համակարգում։

Ամենայն հավանականությամբ կոտորակային թվերի հասկացությունը սկիզբ է առել նախապատմական ժամանակաշրջանում։ Հին եգիպտացիները մաթեմատիկական տեքստերում, ինչպիսիք Ռայնդի մաթեմատիկական մագաղաթը և Կահունի մագաղաթն է օգտագործել են իրենց եգիպտական կոտորակների նշագրումները։ Դասական հույն և հնդիկ մաթեմատիկոսները ռացիոնալ թվերի տեսության ուսումնասիրությունները դարձրին թվերի տեսության ընդհանուր ուսումնասիրությունների մաս։ Դրանցից ամենահայտնին Էվկլիդյան տարրերն է, մոտավորապես մ․թ․ա․ 300  թվականին։ Հնդկական տեքստերից առավել կարևոր է Sthananga Sutra-ն, որը նույնպես Թվերի տեսությունը դիտարկում է որպես մաթեմատիկայի ընդհանուր տեսության մաս։

Տասական կոտորակների հասկացությունը սերտ կապված է տասնորդական ստորակետով, թվում է երկուսն էլ զարգացել են կապակցված։ Օրինակ, Ջայնական մաթեմատիկական հավաքածուում ընդունված է ընդգրկել pi թվի կամ քառակուսի արմատ 2-ի մոտավոր հաշվարկը տասնորդական կոտորակներով։ Նմանապես մաթեմատիկան միշտ օգտագործել է վաթսուներորդական ( 60 հիմքով) կոտորակները շատ մեծ հաճախականությամբ։

Իռացիոնալ թվերի ամենավաղ հայտնի օգտագործումը եղել է հնդիկ մաթեմատիկոսների Sulba Sutras աշխատությունում, որ կազմվել է մ․թ․ա․ 800 և 500  թվականներն^[25]։ Իռացիոնալ թվերի գոյության առաջին ապացույցը սովորաբար վերագրվում է Պյութագորասին, ավելի ճշգրիտ Պյութագորականությանը՝ Հիպասուսը Մետապոնտումից, ով ապացուցեց (ամենայն հավանականությամբ երկրաչափորեն) քառակուսի արմատ 2-ի իռացիոնալ լինելը։ Պատմությունը փաստում է, որ Հիպասուսը իռացիոնալ թվերը հայտնաբերեց, երբ փորձում էր քառակուսի արմատ 2-ը ներկայացնել որպես կոտորակ։ Սակայն Պյութագորասը հավատում էր թվերի բացարձակությանը և չկարողացավ ընդունել իռացիոնալ թվերի գոյությունը։ Նա տրամաբանությամբ չկարողացավ ժխտել դրանց գոյությունը, սակայն նա չէր կարողանում ընդունել իռացիոնալ թվերը, և ինչպես բազմիցս հիշատակվել է, նա Հիպասուսին դատապարտեց մահվան, խեղդելով, որպեսզի խանգարի այդ տհաճ նորության տարածմանը^[26]։

16-րդ դարը բերեց եվրոպացիների կողմից բացասական ամբողջ թվերի,և կոտորակային թվերի վերջնական ընդունմանը։ 17-րդ դարում, մաթեմատիկոսները հիմնականում օգտագործում էին տասնորդական կոտորակները ժամանակակից նշագրմամբ։ Այնուամենայնիվ, մինչ 19-րդ դարը մաթեմատիկոսները իռացիոնալ թվերը չէին բաժանում հանրահաշվական և տրանսցենդենտ մասերի, և շարունակում էին իռացիոնալ թվերի գիտական ուսումնասիրությունը։ Այն մնացել էր անփոփոխ Էվկլիդեսի ժամանակներից ի վեր։ 1872 թվականին Կառլ Վեյերշտրասի, Էդուարդ Հեյնեի, Գորգ Կանտորի և Ռիչարդ Դեդեկինդի տեսությունները հրապարակվեցին։ 1869 թվականին Շառլ Մերեյը նույն մեկնարկային կետն էր վերցրել, ինչ որ Հեյնեն, բայց տեսությունը հիշատակվում է 1872 թվականով։ Վեյերշտրասի մեթոդը ամբողջությամբ ներկայացվել է Սալվատոր Պինչերի կողմից (1880), իսկ Դեդեկինդը հայտնի դարձավ հետագա իր հետագա աշխատանքներով (1888) և Պոլ Տաներիի հավաստիացումներով (1894)։ Վեյերշտրասը, Կանտորը և Հեյնեն իրենց տեսությունները կառուցում են անվերջ շարքերի վրա, մինչդեռ Դեդեկինդը հիմնվում է իրական թվերի համակարգում Դեդեկինդյան հատույթի գաղափարի վրա, բոլոր ռացիոնալ թվերը բաժանելով որոշակի հատկություններ ունեցող երկու խմբերի։ Թեման Վեյերշտրասի, Լեոպոլդ Կրոնեկերի և Մերեյի կողմից հետագայում զարգացվեց։

Քվինտիկ և ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների արմատների որոնումը կարևոր զարգացում էր, Աբել-Ռուֆինիի թեորեմը (Ռուֆինի 1799, Աբել 1824) ցույց է տալիս, որ դրանք չեն կարող լուծվել ռադիկալների միջոցով (միայն թվաբանական գործողություններ և արմատներ պարունակող բանաձևեր)։ Հետևաբար, անհրաժեշտ էր դիտարկել հանրահաշվական թվերի ավելի լայն բազմություն (բազմանդամային հավասարման բոլոր լուծումները)։ Գալուան (1832) բազմանդամային հավաարումները կապում է խմբերի տեսության հետ, Գալուայի տեսության հիմքը դնելով։

Շղթայական կոտորակները սերտ կապված են իռացիոնալ թվերի հետ (և Կատալդիի պատճառով, 1613), ուշադրության էին արժանացել Էյլերի թեթև ձեռքով, և 19-րդ դարի սկզբում Լագրանժի աշխատանքների շնորհիվ հայտնի դարձան։ Այլ ուշագրավ ներդրումներ են կատարել Դրուկեմյուլլերը (1837), Կունցեն (1857), Լեմկեն (1870) և Գյունտերը (1872)։ Ռամուսը (1855) առաջինը նյութը կապեց դետերմինանտների հետ, որը բերեց Հեյնեի, Մոբիուսի և Գյունտերի հետագա ներդրումներին Քեթենթբրուչդերտերմանի տեսության մեջ։

Տրանսցենդենտ թվերի գոյությունը առաջինը հաստատվել է^[27] Լուիվիլի (1844, 1851) կողմից։ 1873 թվականին, Շառլ Հերմիտը ապացուցեց, որ e-ն տրանսցենդենտ է և 1882 թվականին Լինդեմանը ապացուցեց, որ that π -ն տրանսցենդենտ է։ Ի վերջո Կանտորը ցույց տվեց, որ իրական թվերն անհաշվելի անվերջ են, սակայն բոլոր հանրահաշվական թվերի բազմությունը հաշվելի անվերջ են, այսպիսով, գոյություն ունի անհաշվելի անվերջ քանակի տրանսցենդենտ թվեր։

Մաթեմատիկական անվերջության հասկացության ամենավաղ հայտնի նկարագրությունը հայտնվել է Yajur Veda-ում, հին հնդկական ձեռագրում, որը պնդում է «Եթե դու անվերջությունից մաս հեռացնեք, կամ անվերջությանը մաս ավելացնեք, ապա, միևնույն է անվերջություն կմնա։» Անվերջությունը Յեյն մաթեմատիկոսների ուսումնասիրության լայնորեն տարածված թեմա էր մ․թ․ա․ 400  թվականին։ Նրանք տարբերակում էին անվերջության հինգ տեսակ․ անվերջություն մեկ և երկու ուղղությամբ, անվերջություն տարածքում, անվերջություն ամենուրեք և անվերջություն մշտապես։

Արիստոտելը սահմանեց մաթեմատիկական անսահմանության ավանդական արևմտյան պատկերոցումը։ Նա տարբերակեց փաստացի անվերջությունը և պոտենցիալ անվերջությունը՝ ընդհանուր կոնսենսուսն այն է, որ միայն վերջինը իրական արժեք ունի։ Գալիլեո Գալիլեյը Երկու նոր գիտություններ գրքում քննարկում է երկու անվերջ բազմությունների մեջ մեկը մեկին համապատասխանության գաղափարը։ Սակայն հաջորդ մեծ առաջընթացըտեսության մեջ կատարեց Գեորգ Կանտորը, սակայն 1895 թվականին նա հրատարակեց իր, նոր բազմությունների տեսության մասին գիրքը, այլ բաների հետ զուգահեռ, ներկայացնելով տրանսֆինիտ թվերը և ձևակերպելով կոնտինիում հիպոթեզը։

1960s-ականներին Աբրահամ Ռոբինսոնը ցույց տվեց, թե ինչպես անվերջ մեծ և անվերջ փոքր թվերը կարող են հստակորեն սահմանվել և օգտագործվել ոչ ստանդարտ վերլուծությունների դաշտը զարգացնելու համար։ Հիպերիրական թվերի համակարգը ներկայացնում է անվերջ մեծ և անվերջ փոքր թվերի գաղափարների մշակման ճշգրիտ մեթոդ, որը հաճախ օգտագործվել է մաթեմատիկոսների, գիտնականների և ինժեներների կողմից դեռևս Իսահակ Նյուտոնի և Գոտֆրիդ Լայբնիցի կողմից անվերջ փոքր հաշվի հայտնաբերումից ի վեր։

Անվերջության ժամանակակից երկրաչափական տարբերակը տրված է պրոյեկտիվ երկրաչափության մեջ, որը մտցնում է «անվերջության իդեալական էությունը», մեկը, յուրաքանչյուր տարածական ուղղության համար։ Ենթադրվում է, որ տվյալ ուղղության զուգահեռ ուղիղները զուգամիտում են համապատասխան իդեալական կետում։ Սա սերտ կապված է տարածական նկարչության մեջ կետերի անհետացման գաղափարի հետ։

Բացասական թվերից քառակուսի արմատների ամենավաղ հիշատակումը կատարվել էր մաթեմատիկոս և գյուտարար Հերոն Ալեքսանդրիացու կողմից մեր թվարկության առաջին դարում, երբ նա համարում էր, որ դիտարկում էր բուրգի անհավանական հատույթի ծավալը։ Դրանք ավելի հայտնի դարձան, երբ 16-րդ դարում իտալացի մաթեմատիկոսներ Նիկոլո Տարտալյան և Ջերոլամո Կարդանոն երրորդ և չորրորդ աստիճանի բազմանդամների համար փակ բանաձևեր հայտնաբերեցին։ Շուտով պարզ դարձավ, որ եթե նույնիսկ միայն իրական լուծումներն են հետաքրքրում, այդ բանաձևերը երբեմն պահանջում են բացասական թվերի քառակուսի արմատների հետ գործ ունենալ։

Սա կրկնակի անհանգստացնող էր, քանի որ այն ժամանակ բացասական թվերը նրանք նույնիսկ լուրջ չէին ընդունում։ Երբ Ռենե Դեկարտը 1637 թվականին , նա այդ մեծությունների համար «կեղծ» եզրը հորինեց, նա հակված էր նսեմացնել այն։ (Տես կեղծ թիվ, կոմպլեքս թվերի «իրական» լինելու վերաբերյալ քննարկման համար) Խառնաշփոթի հաջորդ աղբյուրն այն էր, որ հավասարումը

${\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$

թվում էր քմահաճորեն անհամապատասխան հանրահաշվական հավասարմանը

${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}$

որը վավեր է a և b դրական թվերի համար, ինչպես նաև օգտագործվել է կոմպլեքս թվերի հաշվարկներում, որտեղ a, b թվերից մեկը դրական է, իսկ մյուսը բացասական։ Հավասարման և դրա հետ կապված հավասարումների ոչ համաչափ օգտագործումը

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$

այն դեպքում, երբ a և b թվերը երկուսն էլ բացասական են, նույնիսկ Էյլերին էին շփոթության մեջ գցել։ Այս դժվարությունը ի վերջո հանգեցրեց նրան, որ նա, սխալից խուսափելու համար, սկսեց ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$-ի փոխարեն, օգտագործել հատուկ i սիմվոլը։

18-րդ դարում Աբրահամ դը Մուավրը և Լեոնարդ Էյլերը աշխատանքը լույս տեսավ։ Դը Մուավրի բանաձևը (1730) պնդում է․

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }$

մինչդեռ կոմպլեքս անալիզի Էյլերի ֆորմուլան (1748) տալիս է․

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.}$

Կոմպլեքս թվերի գոյությունը ամբողջովին ընդունված չէր, քանի դեռ Գասպար Վեսսելը չէր նկարագրել դրանց երկրաչափական մեկնաբանությունը։ Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուսը նորից հայտնաբերեց և հրապարակեց մի քանի տարի անց, և որպես արդյունք, կոմպլեքս թվերի տեսությունը նշանակալի ընդլայնում ստացավ։ Կոմպլեքս թվերի գրաֆիկական ներկայացման գաղափարը առաջացել էր դեռևս 1685 թվականին, Ջոն Վալիսի De Algebra tractatus աշխատությունում։

1799 թվականին Գաուսը ներկայացրեց հանրահաշվի հիմնական թեորեմի առաջին համընդանուր ընդունված ապացույցը, որ ցույց է տալիս, որ կոմպլեքս գործակիցներով յուրաքանչյուր բազմանդամ ունի լուծումների լրիվ փաթեթ այդ տարածության մեջ։ Կոմպլեքս թվերի տեսության ընդհանուր ճանաչումը պայմանավորված է Օգյուստեն Լուի Կոշի և Նիլս Հենրիկ Աբելի աշխատանքների հետ, հատկապես վերջինի, ով առաջինն էր, որ համարձակորեն և հաջողությամբ օգտագործեց կոմպլեքս թվերը, որը շատ հայտնի է։

Գաուսն ուսումնասիրեց a + bi կոմպլեքս թվերը, որտեղ a և b թվերը կամ ինտեգրալ են կամ ռացիոնալ (և i-ն x² + 1 = 0-ի երկու արմատներից մեկն է)։ Նրա ուսանող Էյզենշտայնը ուսումնասիրել է a + bω տիպը, որտեղ ω x³ − 1 = 0.-ի կոմպլեք արմատն է։ Կոմպլեքս թվերի այլ այսպիսի դասեր (շրջանաձև դաշտեր) դուրս են բերվում x^k − 1 = 0 հավասարումից, k-ի ավելի բարձր արժեքների համար։ Այս ընդհանրացումը կապված է Էռնեստ Կումերի հետ, ով նաև հայտնաբերեց իդեալական թվերը, որոնք 1893 թվականին Ֆելիքս Կլայնի կողմից արտահայտվել են որպես երկրաչափական առարկաներ։

1850 թվականին Վիկտոր Պյուիզեն բեևեռների և ճյուղավորման կետերի տարբերակման վճռորոշ քայլ կատարեց, և եզակիության գաղափարը մտցրեց։ Սա ի վերջո բերեց ընդլայնված կոմպլեքս տարածության գաղափարին։

Պարզ թվերն ուսումնասիրվել են ողջ պատմության ընթացքում։ Էվկլիդը իր Տարրերի աշխատության մի գիրք նվիրել է պարզ թվերի տեսությանը։ Այնտեղ նա ապացուցում է պարզ թվերի անվերջ լինելը և թվաբանության հիմնական թեորեմը, և ներկայացնում է երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար գտնելու ալգորիթմը։ Մ․թ․ա․ 240 թվականին, Էրատոսթենես Կիրենացին օգտագործում է Էրատոսթենեսի մաղը պարզ թվերը արագ անջատելու համար։ Պարզ թվերի տեսության հետագա զարգացումը վերագրվում է Վերածննդի և ավելի ուշ ընկած ժամանակաշրջաններին։

1796 թվականին Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը առաջարկեց պարզ թվերի թեորեմը, որ նկարագրում է պարզ թվերի ասիմպտոտիկ բաշխվածությունը։ Այլ արդյունքները կապված պարզ թվերի բաշխման հետ նաև Էյլերի ապացույցը, որ հակադարձ պարզ թվերի գումարը տարամիտում է և Գոլդբախի հիպոթեզը, որը հայտարարում է յուրաքանչյուր բավականաչափ մեծ զույգ թիվ, կարելի է ներկայացնել երկու պարզ թվերի գումարի տեսքով։ Պարզ թվերի բաշխման հետ կապված մեկ այլ հիպոթեզ է, 1859 թվականին Ռիմանի կողմից ձևակերպած հիպոթեզը։ Պարզ թվերի թեորեմը վերջնականապես ապացուցվեց Ժակ Ադամարի և Շառլ Վալլե Պուուսինիի կողմից 1896 թվականին։ Գոլդբախի և Ռիմանի հիպոթեզները մնում են չապացուցված և չհիմնավորված։

Թվերը, որ մենք օգտագործում ենք, (1,2,3,4 և այլն) կոչվում են արաբական։ Դրանք հայտնի են դարձել արաբներից, սակայն նրանց ծագումը գալիս է փյունիկյան առևտրականներից, որոնք օգտագործում էին այդ թվերը իրենց առևտրական հաշիվները պահելու համար։ Ինչու՞ է 1-ը «մեկ», 2-ը «երկու», 3-ը «երեք» և այլն։ Իրականում այդ անունները բխում են նրանց գրելաձևի մեջ անկյունների քանակից։

1, 2, 3 թվերի անկյունների քանակը համապատասխանում է թվանշանի անվան	4, 5, 6 թվերի անկյունների քանակը համապատասխանում է թվանշանի անվան	7, 8 թվերի անկյունների քանակը համապատասխանում է թվանշանի անվան	Զրոն անկյուն չունի

Միավորների հաշվարկման միջազգային համակարգում ըստ հաշվարկման տասական համակարգի բնական թվերն ունեն հետևյալ հատուկ նշանակումները.

• 10⁰ = 1 - մեկ
• 10¹ = 10 - տասը
• 10² = 100 - հարյուր
• 10³ = 1 000 - հազար
• 10⁶ = 1 000 000 - միլիոն
• 10⁹ = 1 000 000 000 - միլիարդ (բիլիոն)
• 10¹² = 1 000 000 000 000 - տրիլիոն
• 10¹⁵ = 1 000 000 000 000 000 - քուադրիլիոն
• 10¹⁸ = 1 000 000 000 000 000 000 - քվինտիլիոն
• 10²¹ = 1 000 000 000 000 000 000 000 - սեքստիլիոն
• 10²⁴ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 - սեպտիլիոն
• 10²⁷ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - օկտիլիոն
• 10³⁰ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - նոնիլիոն
• 10³³ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - դեսիլիոն
• 10³⁶ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - էնդեսիլիոն
• 10³⁹ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - դուադեսիլիոն
• 10⁴² = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - տրեդեսիլիոն
• 10⁴⁵ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - քուաթորդեսիլիոն
• 10⁴⁸ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - քուինդեսիլիոն
• 10⁵¹ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - սեքսդեսիլիոն
• 10⁵⁴ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - սեպտենդեսիլիոն
• 10⁵⁷ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - օկտոդեսիլիոն
• 10⁶⁰ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - նովեմբեդեսիլիոն
• 10⁶³ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - վիջինթիլիոն
• 10⁶⁶ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - անվիջինթիլիոն
• 10¹⁰⁰ = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - գուգոլ
• 10^googol = 10¹⁰¹⁰⁰ - գուգլփլեքս
• 10³⁰³ - սենթիլիոն^[28][29]

• Caveing, Maurice. Geneviève Guitel, Histoire comparée des numérations écrites Année 1976

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Թիվ» հոդվածին։

Բառարաններ և հանրագիտարաններ Բրիտանիկա (11-րդ) · Բրիտանիկա · Բրոքհաուսի և Եփրոնի · Բրոքհաուսի և Եփրոնի փոքր · Լարուսի · Կրուգոսվետ · Հրեական Բրոքհաուսի և Եփրոնի · Treccani · Universalis · Universalis   Չափորոշչային վերահսկողություն BNE: XX4678887 · BNF: 119326327 · GND: 4067271-2 · LCCN: sh85093206 · NDL: 00571509 · NKC: ph202644

դ ք խ Մաթեմատիկայի ճյուղեր Հիմունքներ Կատեգորիաների տեսություն Ինֆորմացիայի տեսություն Մաթեմատիկական տրամաբանություն Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն Բազմությունների տեսություն Տիպերի տեսություն Հանրահաշիվ Աբստրակտ Կոմուտատիվ Տարրական Խմբերի տեսություն Գծային Բազմագծային Անալիզ Իրական անալիզ Կոմպլեքս անալիզ Դիֆերենցիալ հավասարումներ Ֆունկցիոնալ անալիզ Չափերի տեսություն Դիսկրետ Կոմբինատորիկա Գրաֆների տեսություն Կարգերի տեսություն Խաղերի տեսություն Երկրաչափություն Հանրահաշվական Անալիտիկ Դիֆերենցիալ Դիսկրետ Էվկլիդեսյան Վերջավոր Թվերի տեսություն Թվաբանություն Հանրահաշվական թվերի տեսություն Անալիտիկ թվերի տեսություն Դիոֆանտյան երկրաչափություն Տոպոլոգիա Հանրահաշվական Դիֆերենցիալ Երկրաչափական Կիրառական Կառավարման տեսություն Մաթեմատիկական տնտեսագիտություն Մաթեմատիկական ֆինանսներ Մաթեմատիկական ֆիզիկա Մաթեմատիկական վիճակագրություն Հավանականությունների տեսություն Վիճակագրություն Հաշվողական Ինֆորմատիկա Theory of computation Թվային մեթոդներ Օպտիմիզացիա Computer algebra Այլ Մաթեմատիկայի պատմություն Ժամանցային մաթեմատիկա Մաթեմատիկա և արվեստ Մաթեմատիկայի ուսուցում Կատեգորիա Վիքիպահեստ

դ ք խ Թվերի տեսություն Ոլորտներ Հանրահաշվական թվերի տեսություն (դասի դաշտի տեսություն, ոչ աբելյան դասի դաշտի տեսություն, Իվասավայի տեսություն, Իվասավա-Թեյթի տեսություն, Կումերի տեսություն) Անալիտիկ թվերի տեսություն (L-ֆունկցիաների անալիտիկ տեսություն, հավանականական թվերի տեսություն, մաղերի տեսություն) Թվերի երկրաչափություն Հաշվողական թվերի տեսություն Տրանսցենդենտալ թվերի տեսություն Դիոֆանտյան երկրաչափություն (Առաքելովի տեսություն, Հոջ-Առաքելովի տեսություն) Թվաբանական կոմբինատորիկա (ադիտիվ թվերի տեսություն) Թվաբանական երկրաչափություն (անաբելյան երկրաչափություն, P-ադիկ Հոջի տեսություն) Թվաբանական տոպոլոգիա Թվաբանական դինամիկա Հիմնական հասկացություններ Թվեր 0 Բնական թվեր Միավոր Պարզ թվեր Բաղադրյալ թվեր Ռացիոնալ թվեր Իռացիոնալ թվեր Հանրահաշվական թվեր Տրանսցենդենտ թվեր P-ադիկ թվեր (P-ադիկ անալիզ) Թվաբանություն Մոդուլար հանրահաշիվ Մնացորդների մասին չինական թեորեմ Թվաբանական ֆունկցիաներ Այլ Քատակուսային ձևեր Մոդուլային ձևեր L-ֆունկցիաներ Դիոֆանտյան հավասարում Դիոֆանտյան մոտարկում Շղթայական կոտորակներ

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 188)։