Բաժանելիության հայտանիշներ

Բաժանելիության հայտանիշ, ալգորիթմ, որը հնարավորություն է տալիս համեմատաբար արագ որոշել, արդյոք թիվը նախօրոք տրվածի բազմապատիկ է ^[1]: Եթե բաժանելիության հայտանիշը թույլատրում է պարզել ոչ միայն բաժանելիությունը նախօրոք տրված թվի վրա, այլ նաև բաժանումից ստացված մնացորդը, ապա այն անվանում են հավասարամնացորդայնության հայտանիշ։

Եթե ${\displaystyle a}$ և ${\displaystyle b}$ երկու ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի ${\displaystyle q}$ թիվ, որ ${\displaystyle b\,q=a,}$, ապա ասում են, որ ${\displaystyle a}$ թիվը բաժանվում է ${\displaystyle b}$ թվի վրա։

Թիվը բաժանվում է 2- ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի, այսինքն՝ զույգ է։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0},<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10\\A-2,&2\leqslant A<10.\end{cases}}}$

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

Թիվը բաժանվում է 3-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում ՝ 3-ի վրա։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}{\sum _{i=0}^{n}a_{i}},&A\geqslant 10,\\A-3,&3\leqslant A<10.\end{cases}}}$

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 154, ${\displaystyle 1+5+4=10}$ և ${\displaystyle 1+0=1}$ թվերը հավասարամնացորդ են 3-ի վրա բաժանելիս։

Թիվը բաժանվում է 4-ի վրա, երբ վերջին երկու թվանշանները 0-ներ են կամ կազմում են 4-ի վրա բաժանվող թիվ։ Օրինակ, 14676- վերջին երկու թվանշաններով կազմված է 76, որը բաժանվում է 4-ի վրա. 76:4=19: Երկնիշ թիվը բաժանվում է 4-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ տասնյակի կրկնապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 4-ի վրա։ Օրինակ, 42-ը չի բաժանվում 4-ի վրա, քանի որ ${\displaystyle 2\cdot 4+2=10}$ չի բաժանվում 4-ի վրա։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_{2}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-4,&4\leqslant A<10.\end{cases}}}$

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 87, ${\displaystyle 8\cdot 2+7=23}$ և ${\displaystyle 2\cdot 2+3=7}$ թվերը հավասարամնացորդ են 4-ի վրա բաժանելիս։

Թիվը բաժանվում է 5-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 5-ի վրա։ Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10,\\A-5,&5\leqslant A<10.\end{cases}}}$

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

Հայտանիշ 1 Թիվը բաժանվում է 7 -ի, երբ տասնյակի եռապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 7-ի։ Օրինակ, 154 -ը բաժանվում է 7-ի, քանի որ ${\displaystyle 15\cdot 3+4=49}$ բաժանվում է 7-ի։ Այլ օրինակ. 1001 թիվը բաժանվում է 7-ի, քանի որ ${\displaystyle 100\cdot 3+1=301,\quad 30\cdot 3+1=91,\quad 9\cdot 3+1=28,\quad 2\cdot 3+8=14.}$ բաժանվում է 7-ի։

Այս հայանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}}$

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 87, ${\displaystyle 8\cdot 3+7=31,}$ ${\displaystyle 3\cdot 3+1=10}$ և ${\displaystyle 1\cdot 3+0=3}$ թվերը հավասարամնացորդ են 7-ի վրա բաժանելիս։

Թիվը բաժանվում է 8-ի, երբ նրա գրառման մեջ վերջին երեք թվանշանները զրոներ են կամ կազմում են 8-ի բաժանվող թիվ։ Եռանիշ թիվը բաժանվում է 8-ի այն և միայն այն դեպքում, երբ միավորի, տասնավորի կրկնապատիկի և հարյուրավորի քառապատիկի գումարը բաժանվում է 8-ի։ Օրինակ, 952 թիվը բաժանվում է 8-ի, քանի որ ${\displaystyle 9\cdot 4+5\cdot 2+2=48}$ բաժանվում է 8-ի։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=1000\,a_{3}+100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad 0\leqslant a_{2}<10,\quad a_{3}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}4\,a_{2}+2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-8,&8\leqslant A<10.\end{cases}}}$

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 567, ${\displaystyle 5\cdot 4+6\cdot 2+7=39,}$ ${\displaystyle 3\cdot 2+9=15}$ և ${\displaystyle 1\cdot 2+5=7}$ թվերը հավասարամնացորդ են 8-ի վրա բաժանելիս։

Հայտանիշ 1․ Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ զույգ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի և կենտ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 11-ի։ Օրինակ, 9163627 թիվը բաժանվում է 11-ի, քանի որ ${\displaystyle \left|(9+6+6+7)-(1+3+2)\right|=22}$ բաժանվում է 11-ի։ Այլ օրինակ. 99077-ը բաժանվում է 11-ի, քանի որ ${\displaystyle \left|(9+0+7)-(9+7)\right|=0}$ բաժանվում է 11-ի։ Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան․

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)=\left|\sum _{i=0}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 11.}$

Հայտանիշ 2. Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ երկուական թվանշաններով (սկսած միավորից) կազմված թվերի գումարը բաժանվում է 11-ի։ Օրինակ, 103785 թիվը բաժանվում է 11-ի, քանի որ ${\displaystyle 10+37+85=132}$ և ${\displaystyle 01+32=33.}$ բաժանվում են 11-ի։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\A-11,&11\leqslant A<100.\end{cases}}}$

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 123456, ${\displaystyle 12+34+56=102}$ և ${\displaystyle 1+2=3}$ թվերը հավասարամնացորդ են 11-ի վրա բաժանելիս։

Հայտանիշ 1։ Թիվը բաժանվում է 13-ի վրա, երբ տասնյակների և միավորների քառապատիկի գումարը բաժանվում է 13- ի վրա։ Օրինակ. 949-ը բաժանվում է 13-ի վրա, քանի որ ${\displaystyle 94+9\cdot 4=130}$ և ${\displaystyle 13+0\cdot 4=13}$ թվերը բաժանվում են 13-ի վրա։

- երբ տասնյակների և միավորի իննապատիկի տարբերությունը բաժանվում է 13-ի վրա։ Օրինակ 949-ը բաժանվում է 13-ի վրա, քանի որ ${\displaystyle 94-9\cdot 9=13}$ թիվը բաժանվում է 13-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+4\,a_{0},&A\geqslant 40,\\A-13,&13\leqslant A<40.\end{cases}}}$

Հայտանիշ 2։ Տրված թվի մեջ ընդգծելով վերջին երեք թվանշանները, ստացված թվից հանում են մնացած թվանշաններով կազմված թիվը (կամ հակառակը, կախված այն բանից, թե այդ թվերից որն է ավելի մեծ); եթե տարբերությունը 0 է կամ 13-ի վրա բաժանվող թիվ, ապա տրված թիվը բաժանվում է 13-ի վրա։

Թիվը բաժանվում է 17-ի վրա այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորի հնգապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 17-ի վրա։ Օրինակ, 1615-ը բաժանվում է 17-ի վրա, քանի որ ${\displaystyle \left|161-5\cdot 5\right|=136}$ և ${\displaystyle \left|13-5\cdot 6\right|=17}$բաժանվում են 17-ի վրա։

-երբ տասնյակների և միավորի տասներկուապատիկի գումարի մոդուլը բաժանվում է 17-ի վրա։ Օրինակ, 1615-ը բաժանվում է 17-ի վրա, քանի որ

${\displaystyle \left|161+12\cdot 5\right|=221}$ և ${\displaystyle \left|22+12\cdot 1\right|=34}$ թվերը բաժանվում են 17-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-5\,a_{0}\right|,&A\geqslant 40,\\A-17,&17\leqslant A<40.\end{cases}}}$

Թիվը բաժանվում է 19-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորի կրկնապատիկի գումարը բաժանվում է 19-ի վրա։ Օրինակ, 1197-ը բաժանվում է 19-ի, քանի որ 19-ի բաժանվում են ${\displaystyle 119+2\cdot 7=133}$ և ${\displaystyle 13+2\cdot 3=19:}$

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+2\,a_{0},&A\geqslant 20,\\0,&A=19.\end{cases}}}$

Հայտանիշ 1։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ հարյուրյակի և վերջին երկու թվանշաններով կազմված թվի եռապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի վրա։ Օրինակ, 28842-ը բաժանվում է 23-ի վրա, քանի որ ${\displaystyle 288+3\cdot 42=414}$ և ${\displaystyle 4+3\cdot 14=46}$ բաժանվում են 23-ի։

Հայտանիշ 2։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ տասնյակի և միավորի յոթապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի։

Հայտանիշ 3։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ հարյուրյակի, տասնյակների յոթապատիկի և միավորի եռապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի։ Օրինակ, 437-ը բաժանվում է 23-ի, քանի որ ${\displaystyle 4+7\cdot 3+3\cdot 7=46}$-ը բաժանվում է 23-ի։

Թիվը բաժանվում է 27-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 27-ի վրա բաժանվում է միավորից սկսած՝ երեքական թվանշաններով կազմված թվերի գումարը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-27,&27\leqslant A<1000.\end{cases}}}$

Թիվը բաժանվում է 29-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորների եռապատիկի գումարը բաժանվում է 29-ի վրա։ Օրինակ, 261-ը բաժանվունէ 29-ի, քանի որ ${\displaystyle 26+3\cdot 1=29}$ բաժանվում է 29-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+3\,a_{0},&A\geqslant 30,\\0,&A=29.\end{cases}}}$

Թիվը բաժանվում է 31-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորների եռապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 31-ի վրա։ Օրինակ, 217-ը բաժանվում է 31-ի, քանի որ ${\displaystyle \left|21-3\cdot 7\right|=0}$ բաժանվում է 31-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)=\left|a_{1}-3\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 31.}$

Հայտանիշ 1: Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ միավորից սկսած՝ տրված թիվը երեքական թվանշաններով խմբավորելիս ստացված թվերի գումարը 37-ի բազմապատիկ է։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-37,&37\leqslant A<1000.\end{cases}}}$

Այս ֆուկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

Հայտանիշ 2: Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 37-ի վրա բաժանվում է հարյուրյակի եռապատիկի ու տասնյակի քառապատիկի գումարի և միավորի յոթապատիկի տարբերության մոդուլը։ Օրինակ, 481 թիվը բաժանվում է 37-ի, քանի որ ${\displaystyle \left|3\cdot 4+4\cdot 8-7\right|=37}$ -ը բաժանվում է 37-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_{2}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)=\left|3\,a_{2}+4\,a_{1}-7\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 37.}$

Հայտանիշ 3: Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 37-ի վրա բաժանվում է հարյուրյակի և միավորի տասնապատիկի գումարի և տասնյակի տասնմեկապատիկի տարբերության մոդուլը։ Օրինակ, 481 թիվը բաժանվում է 37-ի, քանի որ ${\displaystyle \left|4-11\cdot 8+10\cdot 1\right|=74}$ բաժանվում է 37-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_{2}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\left|a_{2}-11\,a_{1}+10\,a_{0}\right|,&A\geqslant 100,\\A-37,&37\leqslant A<100.\end{cases}}}$

Հայտանիշ 1: Թիվը բաժանվում է 41-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի քառապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 41-ի վրա։ Օրինակ, 943-ը բաժանվում է 41-ի վրա, քանի որ ${\displaystyle \left|94-4\cdot 3\right|=82}$ և ${\displaystyle \left|8-4\cdot 2\right|=0}$ բաժանվում են 41-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)=\left|a_{1}-4\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 41}$

Հայտանիշ 2։ Որպեսզի ստուգենք, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 41-ի վրա, պետք է այն աջից դեպի ձախ տրոհենք մասերի, յուրաքանչյուրում՝ հինգ թվանշան։ Ապա պետք է յուրաքանչյուր խմբում աջից առաջին թվանշանը բազմապատկել 1-ով, երկրորդը՝ 10-ով, երրորդը՝ 18-ով, չորրորդը՝ 16-ով, հինգերորդը՝ 37-ով և ստացված բոլոր արտադրյալները գումարել։ Եթե արդյունքը բաժանվում է 41-ի վրա, այդ և միայն այդ դեպքում տրված թիվը կբաժանվի 41-ի վրա։

Թիվը բաժանվում է 59-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի վեցապատիկի գումարը բաժանվում է 59-ի վրա։ Օրինակ, 767-ը բաժանվում է 59-ի վրա, քանի որ ${\displaystyle 76+6\cdot 7=118}$ և ${\displaystyle 11+6\cdot 8=59}$ թվերը բաժանվում են 59-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+6\,a_{0},&A\geqslant 60,\\0,&A=59\end{cases}}}$

Թիվը բաժանվում է 79-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի ութապատիկի գումարը բաժանվում է 79-ի վրա։ Օրինակ, 711-ը բաժանվում է 79-ի վրա, քանի որ ${\displaystyle 71+8\cdot 1=79}$ բաժանվում է 79-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+8\,a_{0},&A\geqslant 80,\\0,&A=79.\end{cases}}}$

Թիվը բաժանվում է 99-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 99-ի վրա բաժանվում է երկուական թվանշաններից (սկսած միավորից) կազմված թվերի գումարը։ Օրինակ, 12573 -ը բաժանվում է 99-ի վրա, քանի որ ${\displaystyle 1+25+73=99}$ բաժանվում է 99-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\0,&A=99.\end{cases}}}$

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 123456, ${\displaystyle 12+34+56=102}$ և ${\displaystyle 1+2=3}$ թվերը հավասարամնացորդ են 99-ի վրա բաժանելիս։

Թիվը բաժանվում է 101-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ երկուական թվանշաններով (սկսած միավորից) կազմված կենտ խմբերով թվերի՝ (վերցված «+» նշանով) և զույգ խմբերով թվերի (վերցված «-» նշանով) հանրահաշվական գումարի մոդուլը բաժանվում է 101-ի վրա։ Օրինակ, 590547-ը բաժանվում ` 101-ի վրա, քանի որ ${\displaystyle \left|59-5+47\right|=101}$ բաժանվում է 101-ի վրա։

Եթե որոշ ${\displaystyle t}$ և ${\displaystyle n}$ թվերի համար ${\displaystyle t^{n}}$ թիվը բաժանվում է ${\displaystyle m}$ բնական թվի վրա, ապա ${\displaystyle t}$ հիմքով հաշվարկման համակարգում գրառված ցանկացած ${\displaystyle A}$ ամբողջ թիվ հավասարամնացորդ է նրա ${\displaystyle n}$ փոքր թվանշաններով կազմված թվին։

Այս հատկությունը թույլատրում է ստանալ հաշվարկան համակարգի հիմքին հավասար ցուցիչ ունեցող թվի վրա բաժանելիության և հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=t^{n}a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<t^{n},\quad a_{1}\geqslant 0,\quad t^{n}\,\vdots \,m,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant t^{n},\\A-m,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}}$

Օրինակ, հաշվարկման տասական համակարգում այն թույլ է տալիս ստանալ 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 և այլ թվերի վրա բաժանելիության հայտանիշները։

Եթե որոշ ${\displaystyle t}$ և ${\displaystyle n}$ բնական թվերի համար ${\displaystyle t^{n}-1}$ թիվը բաժանվում է ${\displaystyle m}$ բնական թվի վրա, ապա ${\displaystyle t}$ հիմքով հաշվարկման համակարգում գրառված ցանկացած ${\displaystyle A}$ ամբողջ թիվ հավասարաբաժան է այն թվերի գումարի հետ, որոնք ստացվում են ${\displaystyle n}$-ական թվանշաններով խմբերի տրոհելիս` սկսած ամենափոքրից։ Այս հայտանիշը թույլ է տալիս ստանալ ${\displaystyle m}$-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}t^{in}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left(t^{n}-1\right)\,\vdots \,m,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant t^{n},\\A-m,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}}$

Օրինակ, հաշվարկման տասական համակարգում այն թույլ է տալիս ստանալ 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 և այլ թվերի վրա բաժանելիության հայտանիշները։

Հաշվարկման այլ համակարգերում բաժանելիության հայտանիշները դրանց անալոգն են տասական համակարգում։ Մասնավորապես, հաշվարկման ցանկացած համակարգում (թվերը գրառված են այն համակարգում, որում այդ պահին աշխատում ենք).

• թիվը բաժանվում է 10ⁿ- վրա, եթե այն վերջանում է n զրոներով։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը հավասար է k, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է k-1-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ նրա թվանշանների գումարն առանց մնացորդի բաժանվում է k-1-ի վրա։ Մասնավորապես.

• թիվը բաժանվում է (10-1)-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է (10-1)-ի

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը կենտ է, ապա թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 2-ի։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը հավասար է k, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է (k+1)-ի այն և միայն այն ժամանակ, երբ կենտ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարը զույգ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարից տարբերվում է (k+1)-ի բաժանվող թվով։ Մասնավորապես,

• թիվը բաժանվում է 11-ի, եթե կենտ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարը կամ հավասար է զույգ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարին, կամ նրանից տարբերվում է 11-ի բաժանվող թվով։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը բաժանվում է որևէ k թվի վրա, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է k-ի այն և միայն այն ժամանակ, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է k-ի։ Մասնավորապես,

• եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը զույգ է, ապա թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի։

Պասկալի հայտանիշ

• Воробьев Н. Н. «Признаки делимости» Москва, Наука 1988