Unió (halmazelmélet)

Ha ${\displaystyle A}$  és ${\displaystyle B}$  halmazok, akkor az ${\displaystyle A}$  és ${\displaystyle B}$  egyesítésének (vagy más szóval uniójának) nevezzük és ${\displaystyle A\cup B}$  (szóban: „á unió bé”) módon jelöljük azon elemek összességét, melyek ${\displaystyle A}$  illetve ${\displaystyle B}$  közül legalább az egyikben benne vannak. Ezt szimbolikusan így írjuk: ${\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}}$ .

Megjegyzés: Azt, hogy ${\displaystyle A\cup B}$  halmaz, az úgynevezett egyesítési axióma mondja ki.

Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló ${\displaystyle \{A_{i}\,|\,i\in I\}}$  halmazrendszer elemeinek ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$  unióját:

Legyenek ${\displaystyle A_{i}}$  ${\displaystyle (i\in I)}$  tetszőleges halmazok, ahol ${\displaystyle I}$  tetszőleges indexhalmaz. Az ${\displaystyle A_{i}}$  halmazok egyesítése (vagy más néven uniója) a következő halmaz:

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=\{x\mid \exists i\in I:x\in A_{i}\}}$ .

Az halmazok egyesítése idempotens, kommutatív, asszociatív művelet, azaz tetszőleges ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$  halmazok esetén:

• ${\displaystyle A\cup A=A}$ ; (idempotencia)
• ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$ ; (kommutativitás)
• ${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}$ ; (asszociativitás^[1])

illetve az egyesítés disztributív a metszet műveletre, és a metszet művelet disztributív az egyesítésre:

• ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$ ; (disztributivitás)
• ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$ ; (disztributivitás)

továbbá:

• ${\displaystyle A\cup \emptyset =A}$ 

• Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai

• Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika. Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994