A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Néhány Cassini-görbe. A fókuszpontok (-1, 0) és (1, 0). A görbéken a b ² értéke van feltüntetve. Cassini-görbe azoknak a pontoknak a mértani helye a síkban, melyek a sík egy
q
1
{\displaystyle q_{1}\,}
q
2
{\displaystyle q_{2}\,}
q
1
{\displaystyle q_{1}\,}
q
2
{\displaystyle q_{2}\,}
A Cassini-görbék Giovanni Domenico Cassini csillagászról kapták nevüket, aki úgy vélte, hogy a bolygók ilyen pályán keringenek a Nap körül.
Ha egy derékszögű koordináta-rendszert úgy veszünk fel, hogy a
q
1
{\displaystyle q_{1}\,}
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,0)\,}
q
2
{\displaystyle q_{2}\,}
(
−
a
,
0
)
{\displaystyle (-a,0)\,}
(
(
x
−
a
)
2
+
y
2
)
(
(
x
+
a
)
2
+
y
2
)
=
b
4
{\displaystyle ((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}\,}
Más alakban:
(
x
2
+
y
2
)
2
−
2
a
2
(
x
2
−
y
2
)
+
a
4
=
b
4
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}\,}
illetve
(
x
2
+
y
2
+
a
2
)
2
−
4
a
2
x
2
=
b
4
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}+a^{2})^{2}-4a^{2}x^{2}=b^{4}\,}
A görbék polárkoordinátás egyenlete:
r
4
−
2
a
2
r
2
cos
2
θ
=
b
4
−
a
4
{\displaystyle r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}\,}
A görbék alakja a
c
=
b
a
{\displaystyle c={\frac {b}{a}}}
c
>
2
{\displaystyle c>{\sqrt {2}}\,}
2
>
c
>
1
{\displaystyle {\sqrt {2}}>c>1\,}
inflexiós pontja van.
c
=
1
{\displaystyle c=1\,}
Bernoulli -féle lemniszkáta lesz.
c
<
1
{\displaystyle c<1\,}
c
=
0
,
(
a
≠
0
)
{\displaystyle c=0,\ (a\neq 0)}
Fekete kör: a maximumok és minimumok mértani helye; kék lemniszkáta: az inflexiós pontok mértani helye. A Cassini-görbék negyedrendű síkbeli algebrai görbék .
Két szimmetriatengelye van: az egyik a két fókuszponton átmenő egyenes, a másik a két fókuszpont távolságát megfelező, az előzőre merőleges egyenes.
0
<
c
≤
2
{\displaystyle 0<c\leq {\sqrt {2}}}
{
x
=
±
4
a
4
−
b
4
2
a
y
=
±
b
2
2
a
{\displaystyle {\begin{cases}x=\pm {\frac {\sqrt {4a^{4}-b^{4}}}{2a}}\\y=\pm {\frac {b^{2}}{2a}}\end{cases}}}
1
<
c
≤
2
{\displaystyle 1<c\leq {\sqrt {2}}}
{
r
=
b
4
−
a
4
3
4
cos
2
φ
=
−
1
3
(
b
4
a
4
−
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt[{4}]{\frac {b^{4}-a^{4}}{3}}}\\\cos 2\varphi =-{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left({\frac {b^{4}}{a^{4}}}-1\right)}}\end{cases}}}
Az inflexiós pontok mértani helye lemniszkáta,
(
0
;
±
a
)
{\displaystyle \left(0;\pm a\right)}
A görbületi sugár polárkoordinátákkal kifejezve:
R
=
b
2
r
r
2
+
a
2
cos
2
φ
=
2
b
2
r
3
a
4
−
b
4
+
3
r
4
{\displaystyle R={\frac {b^{2}r}{r^{2}+a^{2}\cos {2\varphi }}}={\frac {2b^{2}r^{3}}{a^{4}-b^{4}+3r^{4}}}}
Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv . Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091 