Uimhir phríomha

Sa mhatamaitic, is éard is uimhir phríomha ná slánuimhir dheimhneach ${\displaystyle p}$ níos mó ná ${\displaystyle 1}$ nach bhfuil aon roinnteoir aici ach ${\displaystyle 1}$ agus í féin, ${\displaystyle p}$.^[1][2] Is uimhir ilchodach é slánuimhir deimhneach nach bhfuil ina huimhir phríomha. Bhí na huimhreacha príomha tábhachtach i gcónaí san uimhirtheoiric agus in a lán fearainn matamaiticiúil eile. Mar shampla, úsaidtear iad sa gcripteagrafaíocht nua-aimseartha.

Le fada tá uimhirtheoirícithe ag iarraidh feidhm ${\displaystyle f(n)}$ a aimsiú, a tháirgfeadh uimhreacha príomha ach slánuimhreacha deimhneacha, ${\displaystyle n}$, a chur isteach inti, ach tá teipthe orthu go dtí seo.

Mar shampla, táirgeann ${\displaystyle f(n)=n^{2}-n+41}$ uimhreacha príomha nuair ${\displaystyle n<41}$, agus táirgeann ${\displaystyle f(n)=n^{2}-79n+1601}$ uimhreacha príomha nuair ${\displaystyle n<80}$.

Thairg Pierre de Fermat gurbh uimhir phríomha í ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ nuair is slánuimhir dheimhneach í ${\displaystyle n}$, ach cruthaíodh trí fhrithshampla nach fíor é seo: níl ${\displaystyle 2^{2^{5}}+1}$ príomh. Deirimid gur uimhir phríomha Fermat é uimhir phríomha atá scriofa mar ${\displaystyle p=2^{2^{n}}+1}$ nuair is slánuimhir é ${\displaystyle n}$. Mar shampla, is iad ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle 17}$ agus ${\displaystyle 257}$ ina uimhreacha phríomha Fermat.

Is é ${\displaystyle 2^{82,589,933}-1}$ an uimhir phríomh is mó atá fhios againn ar. Faigheadh é i 2018 le linn an Great Internet Mersenne Prime Search, nó an GIMPS.^[3] Is uimhir phríomha Mersenne é uimhir phríomha atá scriofa mar ${\displaystyle p=2^{n}-1}$.

Níl aon deireadh leis na uimhreacha phríomha. Rinne Euclid an chéad cruthú (atá fhios againn ) sa Ghréig thart ar 300 R.C.R.^[4]

Níl deireadh leis na uimhreacha phríomha.

Cruthú le bréagnú: Glacaimid an ráiteas go bhfuil deireadh leis na huimhreacha phríomha. Mar sin is féidir linn iad a scríobh i liosta le gcríoch: ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}}$. Ansin, is féidir linn uimhir nua ${\displaystyle N}$ a scríobh mar seo:

${\displaystyle N=p_{1}\times p_{2}\times ...\times p_{r}+1}$

Caithfidh go bhfuil ${\displaystyle N}$ ina phríomhuimhir nó ina huimhir ilchodach.

Más uimhir phríomha é ${\displaystyle N}$, tá sé níos mó ná gach uile uimhir phríomh sa liosta ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}}$. Tugann sé sin le fios nach raibh ${\displaystyle N}$ sa liosta, cé gurbh uimhir phríomha é. Léiríonn sé sin nach bhféidir le ${\displaystyle N}$ bheith ina huimhir phríomha.

Más uimhir ilchodach é ${\displaystyle N}$, tá roinnteoir phríomh éigin ${\displaystyle p\in \{p_{1},\ldots ,p_{r}\}}$. Tá ${\displaystyle N}$ agus ${\displaystyle p_{1}\times \ldots \times p_{r}}$ inroinnte ar ${\displaystyle p}$, agus ciallaíonn sé sin go roinneann ${\displaystyle N-p_{1}\times \ldots \times p_{r}=1}$ ar ${\displaystyle p}$. Ach tá ${\displaystyle p}$ níos mó ná ${\displaystyle 1}$, agus ní bhféidir leis roinnean ar ${\displaystyle 1}$.

Tá sé léirithe againn nach bhfeidir le ${\displaystyle N}$ bheith ina uimhir phríomha nó ina huimhir ilchodach, cé go bhfuil sé ina slánuimhir deimhneach. Is léir gur bréagach é ár ráiteas go bhfuil deireadh leis na uimhreacha phríomha.

• Pierre de Fermat
• Uimhirtheoiric
• Teoiric na dóchúlachta
• Teoirim dheireanach Fermat
• Uimhreacha caoimhiúla

Is síol é an t-alt seo. Cuir leis, chun cuidiú leis an Vicipéid. Má tá alt níos forbartha le fáil i dteanga eile, is féidir leat aistriúchán Gaeilge a dhéanamh.