7-Dipôle RC
7-Dipôle RC
7-Dipôle RC
.Le condensateur-1
: Définition-1-1
Un condensateur est constitué de deux armatures A et B
conductrices séparées par un isolant. +
+ -
-
Nous admettrons qu'à chaque instant, les A + - B
armatures A et B portent des charges + -
qA qB
électriques opposées, de mêmes valeurs Symbole du
absolues : qA = - qB . condensateur
.Charge électrique et intensité -1-2
Par définition , l’intensité i du courant est le débit de charge
transportées, c’est à dire à la charge électrique transportée
par unité de temps : Donc
dqA (C) coulomb + A B
(A) i(t) =
dt )s( qA q B
Algébrisation de l’intensité du courant :
☞ i(t) > 0 ⇒ dqdt
A
> 0 ⇒ qA ↗ ⇒ le condensateur se charge
dqA
☞ i(t) < 0 ⇒ dt < 0 ⇒ qA ↘ ⇒ décharge du condensateur
La relation entre la tension uAB et la charge qA-1-3
On réalise le montage ci-contre . On I0
A .
A
ferme l’interrupteur K. Et on mesure la I0
tension uAB au bornes du condensateur UAB V
UAB
q 2 C2
Selon la loi des nœuds: q = q 1+q2 Céq.UAB = C1.UAB + C2.UAB
D'où Céq = C1 + C2
On peut généraliser ce résultat pour un nombre n
E u(t) E u(t)
t t
0 0
Réponse à un échelon montant de tension (charge du -3-1
)condensateur
a-Équation différentielle vérifiée par la tension u C .
On considère le montage électrique
suivant : .
K
. i>0
A l’instant t0 = 0, on ferme uR R
l’interrupteur K. La tension aux E u A. y
bornes du dipôle RC uC C
passe de 0 à E .
B
D’après l’additivité des tensions on peut écrire : u = uC +uR =E
dq dC.uC du
et d’après la loi d’Ohm on a: uR =R.i =R. =R. =RC. C
dt dt dt
duC Équation différentielle
E = u C +RC
dt vérifiée par la tension uC
q dq
Remarque : Puisque uC = Donc RC. +q = C.E
C dt
b-Solution de l’équation différentielle :
On montre, que la solution de cette équation différentielle est :
uC(t) = Ae−mt +B , telle que A , B et m des constantes à
déterminer.
En portant cette solution dans l’équation différentielle,
On détermine la constante m et la constante B .
E = uC +RC du
dt
C
E = (A.e-mt +B)+ RC(-Ame-m.t )
-mt
E = A.e .1 -RCm +B
1
d’où 1 -RCm = 0 m= et B =E
RC
t
donc la solution peut s’écrire -
sous la forme suivante : uC (t) = A.e RC +E
En considérant les conditions initiales à l’instant t = 0 on a
uC(0) = 0 on détermine A car uC(t) est une fonction continue à
chaque instant t . u (0) = A.e-0 +E = 0
C A = -E
Donc la solution s’écrit : uC (t) =E 1 - e-t/
avec τ = RC qu’on l’appelle la constante du temps du dipôle RC
c-Dimension de la constante de temps
[τ ]=[RC]=[R].[C] or R=U/I ⇒ [R]=[U].[I]-1
C=q/u ⇒ [C]=[Q]/[U] ⇒ [C]=[I].[t]/[U]
[τ]=[RC]=[U].[I]-1.[I].[t].[U]-1 ⇒ [τ]=[t]
τ=RC a la dimension d'une durée, est appelé constante de
temps du dipôle RC et s'exprime en seconde
uC(t) (V) La tangente l’asymptote
E6
5
stationnaire
0,63.E 4
régime
la courbe qui régime
3 transitoire
représente uC = f(t) 2
1
0 2 τ 6 8 10 12 14 16 18 t(s)
d-Détermination de la constante du temps
τPremière méthode :
On utilise la solution de l’équation différentielle :
uC(t=τ) = E(1−e−1) = 0,63E
τ est l’abscisse qui correspond à l’ordonnée 0,63E
Deuxième méthode :
La tangente à la courbe à t=0, coupe l’asymptote u=E
au point d’abscisse τ .
e-Expression de l’intensité du courant de charge i(t)
i=
dq
dt
= C.
duC
dt
1
= C.E. 0 + .e
τ
-t/τ
=
CE -t/τ
RC
.e
E -t/τ
i(t) = .e
R
E
R
i(t)
t(s)
0
Réponse à un échelon descendant de tension -3-2
Après la charge du condensateur, on
. .
❶K ❷
bascule l’interrupteur à la position ❷ que .
l’on considère comme origine des dates i>0 uR
t=0, le condensateur se décharge dans E R
la résistance . y
. A
u
C uC
a-Équation différentielle vérifiée par
la tension uC . B
.
D’après la loi d’additivité des tensions, on a: u = uC +uR
et d’après la loi d’ohm : uR =R.i =R. dq =R. dC.uC =RC duC
dt dt dt
du
D'où 0 = uC +RC C
dt
b-Solution de l’équation différentielle :
La solution de l’équation différentielle est de la forme : :
uC(t) = Ae−mt +B , telle que A , B et m des constantes à
déterminer
En portant cette solution dans l’équation différentielle,
On détermine la constante m et la constante B .
duC
0 = u C +RC 0 = (A.e -mt
+B)+ RC (-Ame -m.t
)
dt -mt
0 = A.e . 1 -RCm +B
1
d’où 1 -RCm = 0 m= et B=0
RC
t
donc la solution peut s’écrire -
sous la forme suivante : uC (t) = A.e RC
En considérant les conditions initiales à l’instant t = 0 on a
uC(0) = E on détermine A car uC(t) est une fonction continue à
chaque instant t . u (0) = A.e-0 =E
C A =E
Donc la solution s’écrit : uC (t) =E.e-t/
avec τ = RC est la constante du temps du dipôle RC
c-Détermination de la constante du temps
τ
uC(t) (V)
E6
5 La tangente
stationnaire
la courbe qui
4
régime
représente uC = f(t) régime
3 transitoire
0,37.E
2
1
Première méthode :
0 2 τ 6 8 10 12 14 16 18 t(s)
On utilise la solution de l’équation différentielle :
Pour t = τ, uC(t=τ) = E.e ≈ 0,37.E
−1
Deuxième méthode :
la tangente à la courbe à t = 0, coupe l’axe des abscisses
(asymptote u = 0) à t = τ .
d-l’influence de τ .