Raideur et Masse

équivalentes d’une
poutre droite

Objectif: transformer une poutre en un système masse-ressort à 1 degré de liberté.

Classification des structures mécaniques suivant leurs géométries:

Poutres
une dimension (longueur) est très supérieure aux deux autres dimensions

𝑒 h

𝐿≫ h , 𝑒

Exemples: les poteaux, les files, les câbles, les cordes, tuyaux, …
Poutre droite Poutre courbée
Les poutres droites peuvent vibrer suivant les modes suivants:

Extension - compression

Flexion

Torsion
>

<
Ligne moyenne de la poutre Ligne moyenne de la poutre

avant déformation après déformation

 Raideur équivalente
On veut modéliser une poutre par un ressort
𝑘𝑒𝑞=?
S

Un ressort est caractérisé par sa raideur (inverse de la souplesse).

La raideur caractérise la résistance à la déformation. Elle peut être négative ou positive.

Une poutre résiste à la déformation par ses propriétés géométriques et matérielles.

Module de Young
Longueur , aire de la section droite , Masse volumique
moment géométrique
I- Cas de l’extension-compression

𝑘𝑒𝑞=?
⃗𝐹 ⃗𝐹

𝑥 : allongement de la poutre et du ressort

La loi de Hooke: 𝜎 =𝐸 𝜖
𝑥
Contrainte normale Déformation 𝜖=
𝐿
𝐹 Module de Young
𝜎=
𝑆

𝐸𝑆  Les poutres élancées (grand ) sont flexibles.

𝐹= 𝑥
𝐿
 Si augmente la raideur augmente.
𝑘𝑒𝑞
Exemple 1
Calculer la fréquence propre fondamentale, de l’extension-compression, dans le cas où la
masse de la poutre est négligeable devant la masse de la personne (

𝑚𝑝 ≪ 𝑀

≡
𝑀

𝑘𝑒𝑞
𝜔=
√ √
𝑘𝑒𝑞 𝐸𝑆
=
𝑀 𝑀𝐿

Sol Sol
Exemple 2
Calculer la fréquence propre fondamentale du panneau publicitaire dans le cas où la
masse de chaque poutres est négligeable devant la masse du panneau (

√ √ √
Publicité 𝑀
𝑘𝑒𝑞 𝑘𝑒𝑞 1+𝑘𝑒𝑞 2 𝐸1 𝑆1 +𝐸 2 𝑆2
𝜔= = =
𝑀 𝑀 𝑀𝐿

𝑀 𝑀

𝑚𝑝 ≪ 𝑀 ≡ 𝑘𝑒𝑞 1 𝑘𝑒𝑞 2 ≡ 𝑘𝑒𝑞

Sol Sol Sol

 Combien de la masse de la
poutre contribue à la vibration?
Energies cinétique et de déformation d’une
poutre droite non chargée
𝐸 𝑐 ( 𝑑𝑥 ) =
1
2
𝜌 𝑆𝑑𝑥 (
𝜕 𝑢 (𝑥 ,𝑡
𝜕𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑚

𝑥
𝑢( 𝑥 , 𝑡 )
déplacement longitudinal

( )
𝐿 2
1 𝜕𝑢 ( 𝑥 , 𝑡 )
Energie cinétique 𝐸𝑐 = ∫ 𝜌 𝑆 𝑑𝑥
20 𝜕𝑡

𝐸 = ∫ 𝐸 𝑆(
𝜕𝑥 )
𝐿 2
1 𝜕𝑢 ( 𝑥 ,𝑡 )
Energie potentielle de déformation 𝑑 𝑑𝑥
2 0
 Contrainte
L’énergie de déformation par unité
de volume de la poutre 𝜎

Surface = Energie
de déformation
d’un volume
élémentaire

L’énergie de déformation de la poutre Déformation

0 𝜖

( )
❑ 𝐿 2
𝐸 𝑆 𝜕𝑢(𝑥,𝑡)
𝐸 𝑑= ∫ 𝑊 𝑑 𝑑𝑉=¿ ∫ 𝑑𝑥 ¿
𝑝 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑒 0 2 𝜕𝑥 La force normale:
𝐸𝑆 𝜕 𝑢 (𝑥 , 𝑡 )
𝑁 ( 𝑥 ) =𝜎 𝑆= 𝐸 𝜖 𝑆=
𝐿 𝜕𝑥
Energie Mécanique d’une poutre droite non chargée

[ ( ) ( ) ] 𝑑𝑥
𝐿 2 2
1 𝜕𝑢 ( 𝑥 , 𝑡 ) 𝜕𝑢 ( 𝑥 , 𝑡 )
𝐸 𝑀 =𝐸 𝑐 +𝐸 𝑑 = ∫ 𝜌 𝑆 +𝐸 𝑆
20 𝜕𝑡 𝜕𝑥

En l’absence des sources de dissipation de l’énergie, l’énergie mécanique est conservée

c’est-à-dire elle reste constante. Ainsi, on a

𝐸 𝑀 =𝑚𝑎𝑥 ( 𝐸 𝑐 )=𝑚𝑎𝑥 ( 𝐸 𝑑 ) =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Ces égalités sont la conséquence du faite qu’une vibration non amortie est une
oscillation de l’énergie mécanique entre l’énergie cinétique et l’énergie de déformation.
Si on s’intéresse à la vibration libre non amortie avec la fréquence fondamentale , on
sait que la poutre agit comme un système masse-ressort. Par conséquent, la poutre va
vibrer harmoniquement. Ainsi, la dépendance temporelle est sinusoïdale et le
déplacement longitudinal s’écrit
𝑢 ( 𝑥 , 𝑡 )=𝛹 ( 𝑥 ) 𝑐𝑜𝑠 ⁡(𝜔 𝑡 )

La déformée spatiale. Elle n’est pas connue dans la majorité des cas. Pour ce faire,
on utilise pour la trouver une fonction d’essai qui doit être cinématiquement
admissible (CA) c’est-à-dire qui doit vérifier les conditions aux limites
cinématiques de la poutre.
cos ⁡(𝜔 𝑡 )
𝑢( 𝑥 , 𝑡 )
𝑥
. 𝑘𝑒𝑞
𝑀 𝑒𝑞
 𝑥
Encastrement

Ψ ( 0 ) =0 Pas de translation longitudinale

Une infinité de fonctions CA sont candidates:

Ψ ( 𝑥 ) =𝑥 𝑛 , 𝑛 ∈ℕ∗ Ψ ( 𝑥 ) =sin ( 𝑥 ) … Ψ ( 𝑥 ) =1− cos ( 𝑥 )

La fonction d’essai est déterminée expérimentalement lorsque c’est possible. Si non,

on utilise plusieurs fonctions d’essai CA et on prend celle qui minimise la fréquence
fondamentale (Méthode de Rayleigh).
L’énergie cinétique s’écrit 𝑢 ( 𝑥 , 𝑡 )=𝛹 ( 𝑥 ) 𝑐𝑜𝑠 ⁡(𝜔 𝑡 )

( )
𝐿 2 2 2 𝐿
1 𝜕𝑢 ( 𝑥 ,𝑡 ) ω sin (𝜔𝑡)
𝐸𝑐 = ∫ 𝜌 𝑆 ∫ 2
𝑑𝑥= 𝜌 𝑆 Ψ ( 𝑥 ) 𝑑𝑥
20 𝜕𝑡 2 0

2 𝐿
𝜔
𝑚𝑎𝑥 ⁡( 𝐸¿¿𝑐)= ∫ 𝜌 𝑆Ψ ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 ¿
2
2 0
𝑚𝑎𝑥 ⁡¿
L’énergie de déformation s’écrit 𝑚𝑎𝑥 ⁡¿

( )
𝐿 2 2 𝐿
1 𝜕𝑢 ( 𝑥 ,𝑡 ) cos (𝜔𝑡 )
𝐸 𝑑= ∫ 𝐸 𝑆 𝑑𝑥= ∫ ′2
𝐸 𝑆 Ψ ( 𝑥 ) 𝑑𝑥
20 𝜕𝑥 2 0

𝐿
1
𝑚𝑎𝑥 ⁡( 𝐸𝑑 )= ∫ 𝐸𝑆Ψ ( 𝑥 ) 𝑑𝑥
′2
20
En utilisant l’expression

𝑚𝑎𝑥 ⁡(𝐸¿¿ 𝑐)=max ⁡(𝐸𝑑 )¿

La fréquence fondamentale d’une poutre non chargée est donnée par

√
𝐿

∫ 𝐸 𝑆 Ψ ′ 2 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥
0
𝜔= 𝐿

∫ 𝜌𝑆Ψ
2
( 𝑥 ) 𝑑𝑥
0
Fréquence fondamentale d’une poutre qui porte N masses concentrées

La masse de la poutre n’est pas négligeable devant les masses concentrées

𝑥𝑛
𝑥2
𝑥1
M1 M2 … Mn … MN

Le déplacement longitudinal d’un point de la poutre se trouvant à une distance

à partir de son extrémité est noté cos ⁡(𝜔 𝑡 )
𝑘𝑒𝑞
𝑚𝑒𝑞
 L’énergie cinétique totale est égale à l’énergie cinétique de la poutre plus les énergies
cinétiques des N masses concentrées.
𝑁
𝐸𝑐 =𝐸𝑐 ( 𝑝𝑜𝑢𝑡𝑟𝑒 )+ ∑ 𝐸 𝑐 (𝑀 𝑛 )
𝑛=1

( ) ( )
𝐿 2 𝑁 2
1 𝜕𝑢(𝑥 , 𝑡) 𝑀 𝑛 𝜕𝑢(𝑥 𝑛 ,𝑡)
𝐸𝑐 = ∫ 𝜌 𝑆 𝑑𝑥+ ∑
20 𝜕𝑡 𝑛=1 2 𝜕𝑡

En utilisant 𝑢 ( 𝑥 , 𝑡 )=𝛹 ( 𝑥 ) 𝑐𝑜𝑠 ⁡(𝜔 𝑡)

[ ]
2 𝐿 𝑁
𝜔
𝐸𝑐 = sin ⁡(𝜔 𝑡) ∫ 𝜌 𝑆Ψ ( 𝑥 ) 𝑑𝑥+ ∑ 𝑀 𝑛 Ψ ( 𝑥 𝑛 )
2 2 2
2 0 𝑛=1

[∫ ]
2 𝐿 𝑁
𝜔
𝜌 𝑆Ψ ( 𝑥 ) 𝑑𝑥+ ∑ 𝑀 𝑛 Ψ ( 𝑥𝑛 ) ¿
2 2
max ⁡( 𝐸¿¿𝑐 )=
2 0 𝑛=1
L’énergie potentielle provient seulement de l’énergie de déformation de la poutre

( )
𝐿 2 2 𝐿
1 𝜕𝑢 ( 𝑥 ,𝑡 ) cos (𝜔𝑡 )
𝐸 𝑑= ∫ 𝐸 𝑆 𝑑𝑥= ∫ ′2
𝐸 𝑆 Ψ ( 𝑥 ) 𝑑𝑥
20 𝜕𝑥 2 0

𝐿
1
𝑚𝑎𝑥 ⁡( 𝐸𝑑 )= ∫ 𝐸𝑆Ψ ( 𝑥 ) 𝑑𝑥
′2
20
En utilisant la relation suivante
Raideur
𝑚𝑎𝑥 ( 𝐸𝑐 ) =𝑚𝑎𝑥 ( 𝐸 𝑑 ) équivalente

∫ 𝐸𝑆 Ψ ′ 2 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑘 𝑒𝑞
𝜔 2= 0
=
𝐿 𝑁
𝑚𝑒𝑞
∫ 𝜌𝑆Ψ 2
( 𝑥 ) 𝑑𝑥 + ∑ 𝑀 𝑛 Ψ 2
( 𝑥𝑛 )
0 𝑛 =1
Masse
équivalente
Exemple 3
Calculer la fréquence propre fondamentale, d’extension-
compression, dans le cas où la masse de la poutre n’est pas
négligeable devant la masse de la personne.
La poutre est uniforme c’est-à-dire .
𝑀

𝑚𝑝

≡
𝑚
𝑀𝑒𝑞

𝑘𝑒𝑞
𝜔=
√ √
𝑘𝑒𝑞
=
𝑚𝑒𝑞 ?
?

Sol Sol
 𝐿

∫ 𝐸𝑆 Ψ ′ 2 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑘𝑒𝑞
𝜔 2= 0
𝐿
=
𝑚𝑒𝑞 (1)
∫ 𝜌 𝑆 Ψ 2 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 + 𝑀 Ψ 2 ( 𝐿 )
0

Si on prendre la fonction d’essai

𝐸𝑆 𝐿 𝐸𝑆 / 𝐿 𝑘𝑒𝑞
2
𝜔 = 3
= = (2)
𝐿 2 𝑚𝑝 𝑚𝑒𝑞
𝜌𝑆 +𝑀 𝐿 𝑀+
3 3

Si on prendre la fonction d’essai

𝐿3 4 𝐸𝑆
4 𝐸𝑆
3 3𝐿 𝑘𝑒𝑞
𝜔 2= = = (3)
𝐿5 𝑚 𝑚 𝑒𝑞
𝜌𝑆 + 𝑀 𝐿4 𝑀 + 𝑝
5 5

La meilleure fonction d’essai est