Cours de La RDM - Abdel

Office
de la
Formation Professionnelle et de la Promotion du Travail
DIRECTION RECHERCHE ET INGNIERIE DE FORMATION
Institut Spcialis de Technologie Applique (ISTA)
MODULE 07
NOTIONS DE
RESISTANCE DES
MATERIAUX
SECTEUR :
BTP
SPCIALIT : TECHNICIEN SPECIALISE GROS
OEUVRE
NIVEAU : 1 ANNE TECHNICIEN SPECIALISE

ER
RALISE
PAR :
ABDELOUAHID EL ATMIOUI INGNIEUR .BT.GENIE CIVIL
Gros uvres 1me Anne
Cours de Resistance des Matriaux
ISTA (LAAYOUNE)
I.S.T.A LAAYOUNE
Spcialit : TS GROS UVRE
Niveau : TECHNICIEN SPECIALISE
1meAnne /Anne Scolaire 2007-2008
Ce cours est ralis pour rpondre aux besoins suivants :
PRECISIONS SUR LE
COMPORTEMENT ATTENDU
A- Dterminer les forces et
les moments
B- . Dterminer les
caractristiques
gomtriques des
sections
C- Calculer les contraintes

correspondantes aux
diffrentes sollicitations
simples
Formateur
CRITERES PARTICULIERS DE
PERFORMANCE
Connaissance parfaite des
caractristiques dune force
Calcul exact du moment dune
force par rapport un point
diffrentes charges et appuis
usuels
conditions analytiques
dquilibre statique et calcul
exact des ractions dappuis
Calcul exact du centre de
gravit
Calcul exact du moment
dinertie par rapport aux axes
neutres
Calcul exact des contraintes de
traction et de compression
flambage
flexion
Abdelouahid El Atmioui ingnieur Bt.GC
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Introduction
La rsistance des matriaux : est une branche de la mcanique des milieux continus adapte aux
dformations des structures (machines gnie mcanique ou btiments gnie civil).
Cette science permet de ramener la loi de comportement global d'une structure (relation entre
sollicitations-forces ou couple- et dplacements) une loi de comportement locale des matriaux
(relation entre contraintes et dformations). L'objectif tant le dimensionnement de la structure
suivant un critre de rsistance ou de dplacement admissible.
Selon l'intensit de la contrainte, il y a d'abord dformation lastique (lorsque la sollicitation
disparat, le matriau reprend sa forme et sa position initiale) puis dformation plastique (lorsque la
sollicitation disparat, une certaine dformation subsiste) et enfin rupture lorsque les limites
intrinsques du matriau sont dpasses.
Historiquement : le Premier cours de Rsistance des Matriaux donn par August Whler
l'Universit de Gttingen en 1842.
Le calcul de RDM est valide dans un domaine limit par les hypothses suivantes :
La matire est :
lastique (pas de plastification),

linaire (pas de non-linarit),
homogne (pas de variation de comportement dans le matriau),
isotrope (pas de variation de comportement suivant la direction).
Le problme est :
iso-statique (pice en quilibre cinmatique),

en petits dplacements (pas de grand dplacement),
quasi-statique (pas d'effet dynamique),
quasi-isotherme (pas de changement de temprature).
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
Sommaire
Introduction
ISTA (LAAYOUNE)
Page
03
1 : Charges Combinaison dactions

Dfinitions
Les actions mcaniques ou charges.
2 : ETUDE DES LIAISONS
05
08
Prsentation
Effort Transmissible Par Une Liaison
Nombre dinconnues induites par les liaisons
Exemples de diffrents types dappuis de poutre
3 : CONDITIONS GENERALES DE LEQUILIBRE
12
Hypothses
Notion daction mcanique de liaison extrieure et intrieure un systme donne :
Enonc du principe Fondamental de la statique (P.F.S):
Cas particuliers :
Rsolution d'un problme de statique :
Mthode De Rsolution Des Problmes De Statique
Le Degr Hyperstatique
Equilibre Dun Systme Rticul
4 : Caractristiques des sessions
20
Centre De Gravite
Moment Statique
Moment quadratique
Moment quadratique polaire
5 : RDM : Gnralits
26
But de la RDM.
Hypothses de la RDM.
Notion de contrainte.
Rpartition uniforme des contraintes (sur une section)
6 : Traction simple et compression simple
28
Dfinitions.
Essai de traction
Coefficient de Poisson :
7 : Cisaillement simple
Dfinitions.
Contrainte de cisaillement (En cisaillement simple).
Equation de dformation
Calcul pratique
8 : Effort Normal N, Effort Tranchant V, Moment

Flchissant M
Gnralits
Diagramme de N(x), V(x), M(x) Mthode de dtermination.
9 : Contraintes des poutres flchies
31
33
37
Hypothses.
Contraintes normales (dues M(x).
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
Dformations.
Contraintes de cisaillement longitudinal (dues V(x))
ISTA (LAAYOUNE)
41
10 : Flexion compose
Dfinition
Exemples
Contraintes normales
Contraintes Tangentielles
Excentricit de charge
44
11 : Les flches
Dfinition
Formulaire
Utilisation
46
12 : Poutre continue en BETON ARME

Gnralit
Mthode forfaitaire. Art b.6.2,21 page 149
Mthode CAQUOT
Mthode CAQUOT minore.
Contrle de bton
56
Conclusion
Bibliographique
Aide mmoire Rsistance des matriaux
Cours de rsistance des matriaux
Mcanique
Matriau
Statique du solide
Mcanique statique
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
1 : Dcente de charges Combinaison dactions

Dfinitions
Buts de la Mcanique:
- Etudier l'quilibre des solides (statique) ou le mouvement (dynamique)
- Dterminer un tat de contrainte et un tat de dformation en tout point de la matire (R.d.M)
Dfinition du solide en statique.
En statique, un solide est un corps :
Homogne : la masse est rpartie de faon homogne sur tout le volume.
Gomtriquement parfait : les dfauts de forme ne sont pas pris en compte dans la schmatisation du solide.
Indformable : on ne tient pas compte des dformations du solide soumis un effort.
Isotrope : le solide a les mmes caractristiques mcaniques dans toutes les directions.
Principe des actions mutuelles

Pour deux solides 0 et 1 en contact, laction exerce
par le solide 0 sur le solide 1 est gale et oppose
laction exerce par le solide 1 sur le solide 0.
Les actions mcaniques ou

charges.
Les actions mcaniques reprsentent les efforts exercs sur des solides ou entre solides. Ces actions
mcaniques sont schmatises ou modlises par des forces et des moments.
Il existe deux types dactions mcaniques :
Les actions distance
Les actions de contact
Les actions mcaniques distance
On se limitera au poids dun solide (effet de la gravit).
Le poids est reprsent par un vecteur P :
Point dapplication : centre de gravit G
Direction : verticale
Sens : vers le bas
Intensit : P = Mg (N)
M : masse en Kg
g = 9,81 m/s : acclration de la pesanteur
ou attraction terrestre
Formateur
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ISTA (LAAYOUNE)
Dans le domaine du Gnie Civil, on prendra :

o pour un solide en surface (plancher) : le poids surfacique (relatif une surface) N/m
o pour un solide en longueur (poutre) : le poids linaire (relatif une longueur) N/m
Exemple :
Dterminer le poids surfacique dun plancher de 18 cm dpaisseur.
Dterminer le poids linaire dune poutre de section 50x20 cm.
Donnes : Poids volumique du bton arm 25 kN/m3
Les actions mcaniques de contact
Actions de contact ponctuelles (charges concentres)

Si deux solides sont en contact en un point ou sur une trs petite surface, laction de contact est
reprsente par un vecteur force dont le point dapplication est le point de contact.
Exemple : Appui dune poutre sur une poutre.
F2/1
2
1
Unit : N
Actions de contact liniques (charges rparties)

Si deux solides sont en contact suivant une ligne, laction est schmatise par un vecteur force q
appliqu sur toute la ligne de contact.
Exemple : Cloison sur plancher.
Unit : N/ml
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Actions de contact ou charges rparties sur une surface

Exemple : Vent sur mur.
Vent
Formateur
schmatiquement
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
2 : ETUDE DES LIAISONS

PRESENTATION
Dans le btiment, les liaisons entre solides se ramnent trois familles principales :
Appui simple, articulation ou pivot et encastrement.
Chaque famille peut supporter ou transmettre des efforts diffrents.
EFFORT TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON

Laction exerce par les surfaces de liaison des solides (0 et 1) en contact est schmatise par une
rsultante S (coordonnes Sx et Sy ) et un moment ventuel M.
Type de liaison Actions de contact entre
0 et 1
Exemples
Appui simple
(1 inconnue)
Articulation ou
Pivot
(2 inconnues)
Encastrement
(3 inconnues)
Plus gnralement
Suivant la nature de la liaison entre deux solides, les six coordonnes Sx, Sy, ........Mz, du torseur
peuvent tre nulles ou non. (Mouvements possibles ou non).
Lensemble des coordonnes non nulles caractrisent leffort transmissible par la liaison. (Par
consquent une coordonne nulle signifie que le mouvement correspondant et libre entre les deux
solides)
Le nombre de degr de libert correspond au nombre des composantes nulles du torseur associ.
Remarque :
- La somme des efforts transmissibles et des degrs de libert est gale 6 dans lespace et 3
dimensions dans le plan (nombre de coordonnes du torseur).
- Si le nombre defforts transmissibles, le nombre des degrs de libert.
- Les efforts transmissibles par une liaison correspondent gnralement aux actions cherches en
statique = nombre dinconnues de statique.
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
Liaisons
Schma
Encastrement
Articulation
(pivot)
Appui simple
(ponctuel)
(suivant z)
Appui plan
Mvt. relatifs
de libert
0 Translation
0 Rotation
0 d de libert
0 Translation
1 Rotation
1 d de libert
2 Translations
3 Rotations
5 d de libert
2 Translations
1 Rotation
3 d de libert
Torseur des
interactions
ISTA (LAAYOUNE)
Exemples dans
le btiment
Sx Mx
Sy My
Sz Mz
Sx 0
Sy My
Sz Mz
0 0
0 0
Sz 0
0 Mx
0 My
Sz 0
Nombre dinconnues induites par les liaisons

Dans lespace :
Appui simple 1 inconnue : Sz.
Intensit de Sz inconnue
direction connue au plan de contact.
Articulation 5 inconnues
Encastrement 6 inconnues
Dans le plan :
Appui simple 1 inconnue : Sz.
Intensit de Sz inconnue
direction connue au plan de contact.
Articulation 2 inconnues : direction et intensit de S (= Sx, Sy) (Mz = 0)
Encastrement 3 inconnues : direction et intensit de S (= Sx, Sy) et intensit de Mz
Formateur
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ISTA (LAAYOUNE)
Exemples de diffrents types dappuis de poutre
Formateur
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ISTA (LAAYOUNE)
3 : CONDITIONS GENERALES DE LEQUILIBRE

Hypothses
Tous les corps tudis sont indformables.
Les coordonnes d'un point quelconque sont constantes.
Les supports des forces sont invariables.
But :
On veut dterminer les actions extrieures agissant sur un systme, dans le but ultrieur
dappliquer la R.d.M.
Un systme tant compos dun solide unique ou dun ensemble de solides.
Notion daction mcanique de liaison extrieure et intrieure

un systme donn :
Gnralits :
- A chaque liaison sexercent des actions mcaniques (Forces et moments) dites de liaison,
correspondant laction dune barre sur une autre (plus gnralement dun systme sur un autre au
niveau de cette liaison).
- Ces actions mcaniques sont dites :
Extrieures au systme lorsquelles remplacent laction dune liaison que lon vient de
couper pour isoler ce systme.
Intrieures au systme quand la liaison na pas t coupe.
Exemple :
Soit le systme (potence) modlis ci-dessous compos de plusieurs solides (CE=3 ; CA=1 ; BD=2)
Cette potence est scelle (Encastre) dans le sol.
3
C
Donnez :
E
F
a/ Au moins 2 actions extrieures au systme Potence (1+2+3)

b/ Au moins 2 actions intrieures au systme Potence (1+2+3)
c/ Au moins 3 actions extrieures au systme 1
b/ Au moins 2 actions intrieures au systme 1+3
Enonc du principe Fondamental de la statique (P.F.S):

Pour qu'un solide soit en quilibre (statique) il faut qu'il ne subisse aucun dplacement :
Pas de translation (dans n'importe quelle direction).
Pas de rotation
Formateur
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ISTA (LAAYOUNE)
Donc un solide indformable en quilibre sous laction de n forces extrieures (F1,F2,.,Fn) reste en
quilibre si :
la somme vectorielle S de toutes les forces extrieures est nulle (pas de translation)
Fext = F1 +F2+ ..+Fn =0

En projection sur x et y : 2quations
Fx = F1x+F2x+.+Fnx=0 (1)
Fy = F1y+F2y+..+Fny=0 (2)
Le moment rsultant MI en nimporte quel point I de toutes les forces extrieures est nul (Pas de rotation).
MI(Fext) = MI(F1)+ MI(F2)+.......+ MI(Fn) =0 (3)

Dans le plan :
1/ F(x) = 0
2/ F(y) = 0
3/ M(z) = 0
3 quations de la statique 3 inconnues.
Dans l'espace :
1/ F(x) = 0
4/ M(x) = 0
2/ F(y) = 0
5/ M(y) = 0
3/ F(z) = 0
6/ M(z) = 0
6 quations de la statique 6 inconnues.
F
-F
Cas particuliers :
Solide soumis l'action de 2 forces
Un solide soumis 2 forces est en quilibre si les 2 forces

sont directement opposes :
Formateur
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ISTA (LAAYOUNE)
Solide soumis l'action de 3 forces

(dans le plan:)
F1
F2
O
F2
F3
F1
dynamique ferm
F3
Un solide soumis 3 forces est en quilibre si:

Les 3 forces sont concourantes.
La dynamique des forces est ferme.
Rsolution d'un problme de statique :

Pour rsoudre un problme de statique : 3 tapes sont ncessaires
Etablir le schma mcanique
Un schma mcanique est un schma modlis (simplifi) de la structure sur lequel seules
apparaissent les forces extrieures agissant directement sur le systme.
Mthodologie :
Modliser le systme :
Consiste simplifier le dessin du systme (gain de temps) tout en gardant statiquement quivalent :
- Garder la forme gnrale du solide (ou les solides) et le reprsenter par sa fibre moyenne.
- Schmatiser les diffrentes liaisons (voir chap.II)
Isoler le systme matriel tudier :

- "couper "au niveau des liaisons du systme tudier avec lextrieur
- remplacer les liaisons coupes par les actions mcaniques associes.
Ajouter les actions extrieures :

- reprsenter les actions extrieures (charges d'exploitation, charges permanentes) par des vecteurs
forces (charges ponctuelles, charges rparties) ou des vecteurs moments.
- indiquer toutes les cotes ncessaires.
Faire le bilan
- Faire le bilan des inconnues (I)
- Faire le bilan des quations possibles (E) dans notre exemple :
si I E rsoluble.
Formateur
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ISTA (LAAYOUNE)
I E non rsoluble.
Appliquer le principe fondamental de statique :
Dans le plan :
3 quations pour 3 inconnues (en gnral : actions de contact). Le systme est dit isostatique.
Rsoudre le systme d'quations
Rappels et Remarques :
a/ Actions extrieures ( un systme) : Actions directement appliques sur le systme (dont poids) et
actions des liaisons coupes
b/ Les coupures devront tre choisies de faon faire apparatre les actions recherches ( choix
de llment isoler).
c/ Intrt des systmes soumis 2 forces.
Le seul intrt (non ngligeable) dun lment soumis deux forces est de donner la direction des
forces (puisque opposes) qui se traduit par une quation supplmentaire dans la rsolution de la
F( x )
statique de la forme : Tan
.
F( y )
Exemple :
q = 2.5 KN/ml
F = 1 KN/ml
C
1,00 m
A
encastrement
2,00 m
g = 6 KN/ml
Balcon tudier
q = 2.5 KN/ml
F = 1 KN/ml
1,00 m
schma mcanique
RA
2,00 m
g = 6 KN/ml
Dans notre exemple.

g charge permanente : poids propre.
q charge d'exploitation : poids des personnes.
F charge d'exploitation horizontale.
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
METHODE DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE STATIQUE

OBJECTIF DU PROBLEME: Dterminer
compltement les actions mcaniques exerces sur un
solide appartenant un ensemble de solides donns.
Modaliser le systme, en le schmatisant et en
modalisant les diffrentes liaisons entre les lments
Isoler un
solide et
tablir son
schma
mcanique
Cest raliser
ces deux
tapes
Extraire le solide de l'ensemble, en coupant au niveau

des liaisons avec les autres lments. Dessiner le
solide seul dans la mme position graphique.
Remplacer toutes les liaisons coupes par le systme
de forces associes.
Ajouter les actions distance (poids, charges sur
llment).
Faire le BILAN de toutes les actions inconnues
agissant sur le solide.
et le BILAN des quations possibles
TEST
Dterminer d'autres
lments ( en isolant
dautres solides ) et
en faisant intervenir NON
le PRINCIPE des
actions mutuelles.
Exemple : lments
biarticuls
La
Rsolution estelle possible
partir du bilan
prcdent
OUI
Rsoudre
graphiquement ou
analytiquement.
(Choisir la mthode
la plus performante)
en appliquant le
P.F.S.
a partir des
RESULTATS : Le problme est termin lorsque toutes

les actions agissant sur le solide sont entirement
connues.
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Le Degr Hyperstatique
Un solide, ou un ensemble de solides, qui possde des appuis ou des liaisons surabondantes par
rapport ce qui est strictement ncessaire au maintien de lquilibre, est dit statiquement
indterminable ou hyperstatique.
Pour ce cas, les actions exerces ne peuvent pas tre dtermines partir des seules quations de la
statique.
Rappel :
Le PFS nous permet dobtenir 3 quations :
Fext =0
En projection sur x et y
M(Fext)=0
notation :
2 quations
3 quations
1 quation
Ne : nombre dquations fournies par le PFS
Ni : Nombre dinconnues
Degr Hyperstatique DH : Ni -Ne
Exemple :
La poutre (ABC) est en appui sur trois articulations fixes A, B et C qui donnent au total six
inconnues statiques : Ax, Ay ,Bx ,By, Cx, Cy .On ne dispose que de trois quations pour la rsolution,
le systme est dit hyperstatique dordre 3 (6-3 = 3).
Remarque :
Le calcul du degr hyperstatique est indpendant du chargement
3 cas sont envisags :
si Ne=Ni : la structure est isostatique. La rsolution du problme est possible par les quations de la statique.
si Ne>Ni : la structure est hypostatique. Elle nest pas en quilibre et donc instable.
si Ne<Ni : La structure est hyperstatique. Elle possde des appuis ou des liaisons surabondantes par rapport ce qui
est strictement ncessaire au maintien de lquilibre. Les quations de la statique ne suffisent pas pour la rsolution
du problme.
EQUILIBRE DUN SYSTEME RETICULE

Dfinition
On appelle systme rticul ou treillis, une structure forme dun assemblage de barres rectilignes
relies entre elles par des articulations. Ces liaisons sont appeles des nuds.
Exemples de systmes rticuls
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Dtail dun nud :
Objectifs.
Dterminer les efforts exercs dans les barres, en vue de leur dimensionnement, au moyen
dhypothses simplificatrices.
Hypothses simplificatrices :
o On considre les barres rectilignes et indformables,
o Les efforts exercs sur la structure sont appliqus uniquement sur les nuds,( pas de charges
sur les barres).
o On nglige le poids des barres,
Remarque :
Une barre articule ses deux extrmits est appele biellette et nest soumise qu de leffort
normal.
Les barres sont par consquent soumises de la traction ou de la compression.
Barre en compression :
Barre en traction :
Dtermination du degr hyperstatique.
Relation entre le nombre de barres b et le nombre de nuds n : b = 2n-3
Si b < 2n-3 : la structure nest pas rigide, elle est hypostatique.
Si b = 2n-3 : la structure est en quilibre, elle est isostatique et la rsolution est possible avec le
principe fondamental de la statique.
Si b > 2n-3 : la structure est hyperstatique, il y a des contraintes internes (des barres
surabondantes).
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Mthode des nuds

Principe de la mthode :
Dterminer les actions de liaisons dans les barres dune structure rticule en tudiant lquilibre de
chaque nud.
Remarque :
Chaque nud tudi ne doit pas avoir plus de 2 barres inconnues .
Si la barre pousse le nud, elle est en compression
Si la barre tire le nud, elle est en traction
Mthode de RITTER
Principe de la mthode :
1/Aprs avoir dtermin les actions de liaison entre le treillis et son support (ractions dappuis)
2/ Pour dterminer les forces dans une ou plusieurs barres il suffit de la couper (pour faire
apparatre la force cherche) .
3/ Continuer la coupure de faon couper le treillis en deux
4/ Etudier lquilibre dun morceau pour dterminer les efforts dans les barres
Remarque :
Lors de la coupure du treillis il ne doit pas avoir plus de 3 barres inconnues coupes.
Applications
systeme reticule
Soit la structure ci-dessous :
Vrifier que la rsolution du problme est possible.

Calculer les actions de liaisons avec lextrieur
Equilibre des diffrents nuds
Conclusion : tableau rcapitulatif
Barres
Effort
AB
AC
BD
BC
CD
Formateur
Type deffort
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ISTA (LAAYOUNE)
4 : Caractristiques des sessions

CENTRE DE GRAVITE
Dfinitions
Points matriels : points qui ont une masse donc un poids (P = m.g)
Poids : force dattraction terrestre qui est constante et toujours oriente vers le bas suivant une
verticale
Centre de gravit : point particulier o lon peut concentrer la masse (ou poids) de tous les points
matriels constituant le systme de faon que le systme reste quivalent statiquement parlant.
Remarque :
Pour les pices ayant une paisseur constante, le poids est proportionnel la surface P = k S.
Centre de gravit de section
n
XG
Si.xi
Si.yi
YG i1n
i 1
n
Si
Si
i 1
i 1
Centre de gravit de formes simples

FORMULAIRE
CENTRE DE GRAVITE
G est au milieu (intersection des diagonales)
G est au centre du cercle
G est lintersection des mdianes
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Mthode pour dterminer un centre de gravit dune section complexe

Dcomposer la section complexe en surface simple dont on connat la surface et la position du
centre de gravit (carr, rectangle, triangle, cercle, demi-cercle)
Mettre les axes Ox, Oy (attention aux signes x,y)
Appliquer la formule du barycentre sur chaque surface pour obtenir le centre de gravit de la section
totale.
Prsenter les rsultats dans un tableau
Surface
lmentaire
xGi
Totaux
yGi
Si
Si =
xGi Si
xGi Si =
yGi Si
yGi Si =
Formule du barycentre
Remarque :
Lors de la dcomposition il peut tre plus rapide de prendre une surface plus grande laquelle on
dduit une autre surface pour avoir la surface relle de llment.
Dans ce cas S dduire sera compte ngativement.
MOMENT STATIQUE
Hypothse
Soit une section S appartenant un plan x.o.y soumise des contraintes proportionnelles x ( =
k.x).
y
1 = k.x1
S2
3
S3
avec
S1
2 = k.x2
3 = k.x3
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
f1 = k.x1.S1
f
ISTA (LAAYOUNE)
S2
3
avec
1
f2 = k.x2.S2
S1
f3 = k.x3.S3
S3
Remarque : Si laxe oy traverse S, les f sont de sens contraire de part et dautre de oy.
y
x
Problme
On veut dterminer lintensit de la rsultante R des f qui sera appel :
= Moment statique de S/oy (oy appartenant au plan de S)
R = f1 + f2 + f3.
= k.x1.S1 + k.x2.S2 + k.x3.S3 +.
= k.x.S
Si S0 R = k Sx.ds
Dfinition du Moment statique
Ay = Sx.ds
Moment statique de S/oy
Moment statique de S/ox
Ax = S y.ds
Exemple : Calculer le moment statique dun rectangle /base en fonction de b et h.
x
b
Formateur
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zo
Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Proprit du Moment statique

a / On sait que XG
x.ds
= 1 x.ds
ds S
s
Ay = XG x S
Ax = YG x S
b / Si oy passe par G XG= 0 Ay = 0

c / Unit : L3 ( m3, cm3 ) et Signe de Ax ou Ay : Quelconque.
Moment quadratique
Hypothse
Mme hypothse que pour le moment statique.
Problme
On veut dterminer le moment rsultant/oy. = Moment quadratique de S/oy (oy appartenant au
plan de S)
Mtr/oy = f1.x1 + f2.x2 + f3.x3 + ..
= 1.S1.x1 + 2.S2.x2 + 3.S3 x3 +.
= k.x1.S1.x1 + k.x2.S2 x2 + k.x3.S3 x3+.
= k.x1.S1 + k.x2.S2 + k.x3.S3 +.
t
M r/oy = k x.ds
= k Sx 2.ds
Dfinition du Moment quadratique
2
x
.ds
Moment quadratique de S/oy
Iy =
Moment quadratique de S/ox
Ix = S y2.ds
Unit : L4 ( m4, cm4..)

Exercice : Dterminer le moment quadratique dun rectangle
1/base (ox) en fonction de b et h
2/mdiatrice (Gx)en fonction de b et h
y
x
h
x
b
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Changement de coordonnes (th dHuygens)

y
M
x
Problme
Connaissant Ix on veut dterminer Ix ; Or Ix =
Soit le point M labscisse y
2
Ix = SHM .ds = S(yd)2.ds
y .ds
2
(y .2.y.dd )ds Signe de Ax ou Ay : Quelconque.

Ix = y .ds +2d y.ds + d ds
Ix = Ix + 2d y.ds + Sd
Ix =
= Ay/Gx= 0
Thorme dHUYGENS
Ix = Ix + Sd
S : Aire de la section
d : Distance entre les 2 axes
N.B : Le thorme dHuygens permet de dterminer le moment quadratique dune surface par
rapport un axe quelconque, en partant uniquement dun axe passant par G dont on connat le
moment quadratique, et en y ajoutant le terme Sd (les 2 axes tant //).
Moment quadratique polaire

Hypothses
Soit une section S appartenant un plan x.o.y soumise des contraintes tangentielles avec :
a/ proportionnelles x (=
S
k.x).
y
S
ft = .S
b/ perpendiculaire au rayon
ft
x
et
ft
1 = k.1
issu de oz.
o
S
S ft
a/ ou ft dans le mme sens de
2 = k. 2
rotation/ oz ( cas de la torsion).
3 = k. 3
2
Problme
On veut dterminer le moment rsultant des ft/oz. = Moment quadratique polaire de S/oz (S
appartenant au plan xoy)
Mtr/oz = f1. 1 + f2. 2 + f3. 3 + ..
Formateur
Page 24
Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
= k. 1.S1. 1 + k. 2.S2 2 + k. 3.S3 3+.

= k. 1.S1 + k. 2.S2 + k. 3.S3 +.
Mtr/oy = k .s = k
.ds
2
Dfinition du Moment polaire

Moment quadratique polaire de S/oz : Ip =
.ds
Unit : L4 ( m4, cm4..)
Proprit :
= x + y
Ip =
2
y
.ds
x .ds
(
x
y
).
ds
S
2
Le moment quadratique polaire est la somme des moments quadratiques/ 2 axes perpendiculaires
Ip = Ix + Iy
5 : RDM : Gnralits
But de la RDM.
La rsistance des matriaux se propose d'tudier la dformation et la limite de rsistance d'un solide
(structure) soumis un systme de forces extrieures.
Concrtement :
Contrainte :
Flche :
Hypothses de la RDM.
1) Les matriaux sont :
homognes (texture du matriau continue et identique)

isotropes (mmes proprits mcaniques dans toutes les
directions)
2) Les solides tudis sont en forme de poutre.
Solide engendr par une aire plane (s) dont le centre de gravit dcrit une droite ou une faible
courbe G0G1, le plan de (S) restant normal cette courbe.
* On tudie essentiellement les poutres droites possdant un plan de symtrie.
Formateur
Page 25
G2
G1
Ligne moyenne
ISTA (LAAYOUNE)
Gros uvres 1me Anne

G0
3) Navier Bernouilli :
Les sections planes perpendiculaires la ligne moyenne restent planes aprs dformation et
perpendiculaires.
4) Loi de Hooke : les dformations sont faibles, progressives et rversibles
Domaine lastique
Relation linaire entre contraintes et dformations
5) Principe de St Venant : les effets sont indpendants du mode de liaison, mais uniquement
fonction des sollicitations en se plaant suffisamment loin de ces liaisons.
Notion de contrainte.
* Soit un solide en quilibre sous l'action de forces extrieures :
F2
F3
F4
(S)
F1
F5
G0
1
G
2
G2
Ligne moyenne
* Coupons le solide suivant une section (S).
Formateur
Page 26
Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
* Isolons le tronon (1) situe gauche et tablissons son schma mcanique :

F2
F3
F1
F
G0
G
(S)
Bilan des forces appliques

Forces extrieures (F1, F2, F3)
Actions de contact de (2) (1) en tous points de S
* Sur chaque lment de surface (s) sur S agit une force
F (de direction quelconque en gnrale)
Composantes d'une contrainte.
F : 2 composantes
Composante normale perpendiculaire (S) : Fn
Ft
S
G
(S)
F
Fn
x
Composante tangentielle dans le plan (S) : Ft

L'ensemble des forces F est:
a) des forces intrieures lorsque l'on tudie le solide en entier
b) des forces extrieures lorsque l'on tudie un tronon de solide.
Dfinitions
On appelle contrainte normale : =
dFn
dS
On appelle contrainte tangentielle : =
(traction, compression)
dFt
(cisaillement) Units en Pascal et MgaPascal MPa
dS
Rpartition uniforme des contraintes (sur une section)
Formateur
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ISTA (LAAYOUNE)
Soit une section fictive soumise des contraintes et

ft
s1
F1
fn1
G
(S) s2
x
fn2
S2
Hypothse : Rpartition uniforme des contraintes sur S (traction ou compression).

Problme : Rsultante des forces normales fn sur S (Intensit ; position).
Intensit de F (rsultante des fn)
Sur chaque lment de surface s agit une force normale fn.
fn
or
fn1 = x s1 ; fn2 = x s2 et fn // oz F // oz
s
F = ( s1 + s2 + .............) = S
F=S
Point d'application de F
Mthode : Systme quivalent ( Mt identique) Mt/ox(F) = Mt/ox(fn)
F . yG = fn1 . y1 + fn2 . y2 .
y.s
.S.yG = .si.yi
yG 1 y.ds
yG
S
S
x G 1 x.ds
S
Si Mt/oy(F)
6 : Traction simple et compression simple

Dfinitions.
Un solide est sollicit :

En traction simple lorsqu'il est soumis deux forces
directement opposes situes sur la ligne moyenne et qui
tendent l'allonger.
En compression simple lorsqu'il est soumis deux forces
directement opposes situes sur la ligne moyenne et qui
tendent le raccourcir
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Essai de traction
On soumet une prouvette cylindrique de dimensions normalises un essai de traction. On
enregistre les dformations en fonction de la force N ( N augmentant progressivement jusqu
obtenir la rupture de lprouvette).
Etude du graphe :
Nr
Ne
Acier doux
O
Elastique
Plastique
N : effort de traction
L : allongement de l'prouvette.
L : longueur de l'prouvette.
Etude de la Zone lastique OA.
Les allongements sont proportionnels aux efforts de traction.
N = k L
Ne
Limite lastique : fe
avec S section de l'prouvette.
S
Les fournisseurs d'acier garantissent cette valeur ; exemple : FeE 500 fe = 500 MPa
Lallongement de lprouvette L est proportionnel sa longueur initiale Lo
L : allongement de lprouvette
Lo : longueur initiale
L
dfinit un allongement relatif
Lo
Contraintes.
Pour faire apparatre les contraintes dans lprouvette il faut couper celle-ci ( une abscisse x)
Par application du principe de Bernouilli ( x et donc constant pour toutes les fibres)
et de la Loi de Hooke = k L ou = k
: identique pour toutes les fibres est uniformment rpartie sur la section S
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
y
(S)
(S)
N
S
Diagramme contrainte - dformation:

L
N
et
: on peut
Lo
S
tracer le diagramme de lessai en
fonction de et (diagramme
homothtique au prcdent)
Puisque
fr
fe
Acier doux
O
Elastique
Plastique
Loi de Hooke .
On peut remarquer que dans la zone lastique les contraintes sont bien proportionnelles aux
dformations :
tan
= .tan si on pose E = tan

= .E
E : module de Young ou module d'lasticit longitudinal
E : est une constante pour un matriau donn ; par exemple : E = 2 105 MPa pour l'acier
Formateur
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Zone plastique AC.
ISTA (LAAYOUNE)
Nr
Ne
Acier FeE500
O
e
Plastique
Lorsque l'on atteint cette zone on constate un allongement apprciable de lprouvette sans que
leffort augmente beaucoup.
En dchargeant l'prouvette on constate qu'il reste un allongement permanent de l'prouvette e
(dformation rmanente).
Rsistance la rupture Rr :
Nr
Rr
So
Calculs pratiques :
Compte tenu des hypothse de la RDM (Bernoulli ) la contrainte dans les matriaux devra toujours
tre infrieure contrainte admissible fixe rglementairement, note (contrainte normale
admissible)
Exemple :
= fe = 240 MPa ( pour un un acier FeE 240 suivant le CM 66)
= fsu = 500/1.15 (pour un acier FeE 500 suivant le BAEL 93 lELU)
= bc = 0.6 fc28 (pour le bton comprime, suivant le BAEL 93 lELS)
Vrification dune section

Donnes :
N : Effort de traction ou de compression, en N.
S : Aire de la section sollicite, en m.
: Contrainte admissible du matriau.
N
On doit vrifier que la contrainte normale
Dtermination dune section

Donnes :
: Contrainte admissible du matriau.
On veut dterminer la section ncessaire et suffisante de faon ce llment rsiste :

N
Donc faire en sorte que : N S
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Calcul dallongement ou de raccourcissement:

Donnes :
S : Aire de la section sollicite, en m.
Lo: Longueur initiale de llment.
E : Module d'lasticit longitudinal
= .E
L
Lo
1/ N
S
2/
E
N
S
Ou L N.Lo
3/ L =.Lo
E.S
Remarque :
Les formules prcdentes sont valables pour les pices tendues et les pices comprimes, dites
courtes (pour les pices comprimes longues , le calcul sera men au flambement).
Coefficient de Poisson :
r
L
Il existe un rapport constant entre la dformation transversale
et l'allongement longitudinal
.
r
L
r
L
=-
(r quand L ) = coefficient de poisson (caractristique du matriau)
r
L
Problme : dterminer la variation relative de volume en fonction de la variation relative de
longueur
dV
dl
(1 2)
V = .r L
Valeur de ; Cas limite = 0.5 dV = 0 ( caoutchouc)
V
l
Cas gnral : compris entre 0.25 et 0.3.
Formateur
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ISTA (LAAYOUNE)
7 : Cisaillement simple
Dfinitions.
Un solide est sollicit en cisaillement simple lorsqu'il est soumis
deux forces directement opposes agissant de part et dautre
dune mme section
Remarques :
- Une telle disposition tant trs thorique, les cas de cisaillement simple sont trs rares et
saccompagne souvent de flexion et de compression.
- On admet toutefois quil y a cisaillement simple dans les cas suivant :
outil
Assemblage au moyen de rivets ou de

boulons de 2 pices minces soumises
un effort de traction simple
tleDcoupage dune tle
rivet
N
Contrainte de cisaillement ( En cisaillement simple).

On admettra dans un but de simplification que les contraintes de cisaillement ( parallles la
section S) sont uniformment rparties sur la section cisaille ( ce qui est faux en ralit, car cela
dpend de la forme de la
: contrainte moyenne de cisaillement
section)
T : effort tranchant
T
S : section cisaille
S
Contrainte limite de cisaillement pour de lacier

Elle est fonction de fe de lacier :
Formateur
65
fe
100
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ISTA (LAAYOUNE)
Equation de dformation
Le cisaillement entrane le dcrochement de la section droite ab par glissement par rapport sa
voisine ab
dy
La dformation unitaire est ici une dformation angulaire i =
= tan
dx
Or est petit tan = (en radian)
=G
En appliquant la loi de Hooke dans cas on a :
G : Module dlasticit transversal
: Dformation unitaire en radian
: Contrainte de cisaillement
E
Par llasticit on peut dmontrer que G 21
Calcul pratique
Vrification dune section
Donnes :
S : Aire de la section cisaille, en m.
: Contrainte admissible de cisaillement du matriau.
On doit vrifier que la contrainte de cisaillement N
Dtermination dune section

Donnes :
: Contrainte admissible de cisaillement du matriau.
On veut dterminer la section ncessaire et suffisante de faon ce llment rsiste :
N
Donc faire en sorte que : N S
Formateur
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ISTA (LAAYOUNE)
8 : Effort Normal N, Effort Tranchant V, Moment

Flchissant M
Gnralits
Forme de poutre.
Voir dfinition dans le chapitre R D M.
Nature des charges.
Charges ponctuelles (concentres) :

Charges appliques en un point.
6.40
Charges uniformment rparties : (q/ml ou g, v etc. ).

Sur chaque segment de mme longueur agit la mme charge.
Ex : - Poutre de section constante soumise son poids propre
- Poutre sous un plancher B.A.
Unit : q sexprime en N/ml = le taux de charge.
q
g
6.40
Diagramme de charge rectangulaire.
Charges rparties quelconques:

f
6.40
sur x f
Formateur
Page 35
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ISTA (LAAYOUNE)
V = projections / oy des forces gauche de S
Intensit locale de la charge

f
q(x) =
(fonction de x).
x
Equivalence vectorielle des charges rparties :

Sur x : charge f = q(x) . x (= aire hachure)
Charge totale = aire totale du diagramme des charges.
Position de la rsultante = au Cdg du diagramme.
Elments de rduction des forces extrieures.
- Soit une poutre isostatique
S
x
- Si on coupe en S est quon isole le morceau de gauche (enlve le morceau de droite).
Il est ncessaire de rtablir lquilibre de ce morceau en appliquant sur S les efforts suivants :
S V
N
M
x
N : Effort suivant la ligne moyenne

V : Effort perpendiculaire la ligne moyenne.
M : Moment autour de z.
N, V, M, remplacent les actions droite de la coupure.

On peut dire aussi que les actions gauche de la coupure + N, V, M = 0
N = projections / ox des forces gauche de S
Ou - projections / ox des forces droite de S.
Dfinition :
Ou - projections / oy des forces droite de S.
M = - Moments / oz au cdg de S des forces gauche de S.
Ou Moments / oz au cdg de S des forces droite de S.
Formateur
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ISTA (LAAYOUNE)
Remarque :
N, V, M, sont fonction de x (position de la coupure) Diagramme N(x), V(x) et M(x) le long de la
poutre.
Cas particuliers :
1/ N 0
V=0
2/ N = 0
V=0
3/ N = 0
V0
4/ N = 0
V0
5/ N 0
V0
M=0
M0
M=0
M0
M0
(Traction, compression simple)

(
)
(
)
(
)
(
)
Relations entre V, M et q
* Soit un tronon de poutre dfinie ci-dessous :
q(x)
V
-(M+dM)
M
-(V+dV)
dx
Equilibre du tronon :
proj/oy = 0
V - q(x).dx - V -dV = 0
dV = q(x).dx
dV
q(x) =
dx
Mt/oz = 0
dx 2
M - V.dx + q(x)
- M -dM = 0
2
- V.dx = dM
dM
V
V = 0 extremum de M
dx
d2M
+ q
dx 2
Allure des diagrammes
Charge concentre
Charge
uniformment
rpartie
Charge triangulaire
p(x) = p.x
V(x)
M(x)
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Remarque :
x0
x1
m0
m1
x1
x1
x0
x0
dM = -Vdx dM Vdx
x1
x1
x1 Vdx
M
M1M 0 V dx
x0
x0
x0
x1
x1
x1 Vdx
M
M1M 0 V dx
x0
x0
x0
M0 = aire droite de S de leffort tranchant. + M1
Diagramme de N(x), V(x), M(x) Mthode de dtermination.

La statique est suppose termine :
Schma mcanique rel ( ne pas concentrer les charges rparties ).
F
Rb
Mc
Ra
b
L
Exemple :
Si N(x) 0 ( Flexion compose)

Dans un premier temps : Faire 2 schmas mcaniques
Un en ne prenant que les projections la ligne moyenne de la poutre et les couples ( F(y), Mt)
Formateur
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ISTA (LAAYOUNE)
F(y)
Rb(y)
Mc
Ra
Un en ne prenant que les projections // la ligne moyenne (F(x).

Rb(x)
F(x)
Dfinir les zones pour chaque schma 1 et 2

Donne une quation et donc une allure diffrente dans chaque zone.
Remarque :
Changement de zone quand :
pour N(x) : - Changement de taux de charge en compression ou traction
- Rencontre une force normale la poutre.
pour V(x) : - Changement de taux de charge la ligne moyenne
- Rencontre une force la poutre.
pour M(x) : - Changement de zone de V(x)
- Rencontre un moment applique la poutre.
Trac
Avec quations
Formateur
Sans quations
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ISTA (LAAYOUNE)
Exemple de rsultats
L
F
x
F
B
Fy / 2
V
A
- Fy / 2
Mf
Fx
+
Fy L /4
A
9 : Contraintes des poutres flchies

Hypothses.
Plan de symtrie
Poutre comportant un plan de symtrie vertical.

Lignes d'action des forces dans ce plan de symtrie
Poutre en flexion simple (N=0 ; V0 ; M0)
Contraintes normales (dues M(x).

Soit la poutre suivante reposant sur deux appuis simples et soumise la flexion.
y
dx
O
x
G
(S)
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Etudions la section (S) :

Isoler un petit tronon de longueur dx.
D'aprs Navier Bernoulli les sections droites restent planes pendant la dformation.
On constate donc une rotation de la section (S) autour de G.
Les allongements ou les raccourcissements sont proportionnels l'ordonne y de la fibre
correspondante.
y
x
b'
dx
(S)
Prenons une fibre ab// ligne moyenne

bb= x = -y d (x <0 qd. d >0
En appliquant la Loi de Hooke :

= E:
On dduit que les contraintes normales sont proportionnelles aux dformations
x
: Dformation
dx
E : module de Young ou module d'lasticit longitudinal.
d
d
= E = E. y.
= E = E. y.
est proportionnelle y
dx
dx
Dformations.
Hypothses : On nglige linfluence de V
y
h1
df
ds
O
h2
-M
x
dx
(S)
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
La section S tant en quilibre :

Les forces lmentaires exerces sur la section (S) (forces de liaisons) doivent quilibrer le moment
flchissant M.
Calcul du moment rsultant . M t / Gz des efforts sur S :
M t / Gz = ydf = - M
df = ds
et = k y
ydf =
yds
yE.y ddx ds
d
M
dx E. I GZ
Expression de
E. y.
= -E.
d
d
y2ds = - E.
I GZ = - M
dx
dx
(Contrainte normale).
d
dx
Contrainte de flexion : (y) =
M(x)y
IGZ
d
M
dx E. I GZ
Avec : (y) = contrainte normale lordonne y et labscisse x de la poutre.
y ordonne du point de calcul de .
M(x) Moment flchissant labscisse du point de calcul
Contraintes Extrmes
Pour obtenir les contraintes normales extrmes sollicitant une poutre donne, il suffit de prendre
les moments extrmes ( Mmax) et les ordonnes extrmes de la section.
M(max)h1
IGZ
M(max)h 2
Fibre inf ..... inf =
IGZ
Fibre sup ..... sup =
Utilisation de lexpression
a/ Vrification dune section donne :
Donnes:
Mf maxi ; I/GZ ; ad
Calcul de et vrifie < ad

b/ Choix dun profil du commerce :
Formateur
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ISTA (LAAYOUNE)
Mf maxi ; ad
Donnes:
My
On veut : = I
ad
GZ
Posons v = y
=
avec
I GZ
v
M
I GZ
v
IGZ M
v
= caractristique du profil (dans un tableau)
Remarque : quand le profil est symtrique v
h
2
Exercice : Etablir la formule de (max) pour une section rectangulaire pleine en fonction de b et h.
Contraintes de cisaillement longitudinal (dues V(x))

Mise en vidence :
Soit un empilage de planches (ou autre) reposant sur deux appuis simples et soumises de la
flexion.
dformation
On remarque que les planches glissent

les unes sur les autres ce qui implique
des contraintes au plan de glissement
( contraintes tangentielles )
Expression de :
Soit le tronon de poutre de longueur dx. Sur ce tronon tudions la portion infrieure reprsente
par des hachures. L'quilibre de ce morceau de tronon nous permet d'crire :
b
1ds
2ds
G2
G1
corde
ds
2dS
1dS
dx
1ds + 2ds + ds = 0
So
Formateur
So
Sn
So
si on peut considrer sur dx que est constant
Page 43
Gros uvres 1me Anne
ds
Sn
= b dx
ISTA (LAAYOUNE)
si en G1 le moment flchissant est gal M f1

en G 2 le moment flchissant est gal M f 2
Mf y
I GZ
b dx =
1 =
Mf2y
ds IGZ
So
Mf1 y
I GZ
2 =
Mf 2 y
I GZ
Mf1y
f
y ds
ds = dM
IGZ So
I
GZ
So
or y ds = Moment statique de So par rapport Gz

So
= dM f / Gz
dxI / Gz b
V / Gz
I/ Gz.b
sachant que l'effort tranchant V =
dM f
dx
= V / Gz
I/ Gz.b
: Contrainte de cisaillement longitudinal au niveau de la corde (coupure fictive)

V : effort tranchant
/Gz : moment statique /Gz de la portion de section situe au-del de y
I/ Gz : Inertie totale de la section / Gz
b : est la largeur de la coupure fictive.
Formateur
Page 44
Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
10 : Flexion compose
Dfinition
Un lment est soumis de la flexion compose, si tant sollicit en flexion simple il est soumis en
plus un effort normal.
Flexion compose (N0 ; V0 ; M0)
Exemples
Arbaltrier dune ferme
p
Poutre incline
p
Poteau de portique
Etc
Contraintes normales
Puisque llment en flexion compos est soumis M(x) et N(x) les contraintes auront deux
origines
M.y
(diagramme triangulaire)
IGZ
N (due N(x)) = N (diagramme rectangulaire)
S
f (due M(x)) =
En appliquant le principe de superposition on peut crire :
M.y
=N
S
IGZ
Le diagramme des contraintes ( ou de Navier) sur une section donne pourra tre dfini en
additionnant les diagrammes de f et N
Formateur
Page 45
Gros uvres 1me Anne
Allures possibles du diagramme

Valeurs relatives de
Diagramme du
f et N
N(x) : N (+)
N
>
<
l.m
Diagramme du
M(x) : f (+ en haut)
ISTA (LAAYOUNE)
Diagramme Rsultat
l.m
l.m
Remarque (fibre neutre, ligne moyenne)

Exercice
Soit une section dune poutre en bois de hauteur h = 50 cm et de largeur b = 10 cm soumis un
moment flchissant = 5 kN.m et un effort normal N = 50 kN
1/ Tracer le diagramme de Navier sur cette section ( prcisez les valeurs extrmes
2/ Dterminer e (distance entre la fibre neutre et la ligne moyenne en fonction de N, I/GZ, M et S
3/ En dduire la valeur de e.
Contraintes Tangentielles
Les contraintes tangentielles ntant engendres que par la flexion (V(x))
= V / Gz
I/ Gz.b
Comme en flexion simple
Excentricit de charge
G
e
Soit une pice soumise uniquement un effort

normal N non appliqu
au C.d.G de la section, mais excentr dune valeur e.
Formateur
Page 46
Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Remarque : pour faire la RdM il faut dterminer les lments de rduction des charges au CdG de
la section (transfrer les actions en G).
n
M =N.e
Rduction
en G
Conclusion : Une pice comprime ou tendue par une force non applique au CdG de sa section, est
sollicite en flexion compose, (N et M = N.e)
Problme : Dterminer dans le cas ci dessus lexcentricit maxi e en fonction de h de faon
quaucune des fibres du poteau ne soit tendue.
Solution : Il faut
>
bh 3
M.y
N
avec y = h/2 et I/GZ =
S
12
IGZ
M.h3
6M
N 6Ne e h (Noyau central)
bh N bh
N
2. or M = Ne
S 2.
S
bh bh 2.
6
12
Remarque
On ne peut dterminer une poutre en flexion compose (2 inconnues I/V et S pour une quation :
). On ne peut donc que la vrifier.
En pratique : choisir le profil en flexion simple (nglige N(x)) puis vrifier en flexion compose.
Formateur
Page 47
Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
11 : Les flches
Dfinition
La flche dune poutre flchie est la longueur du dplacement de sa ligne moyenne par rapport sa
position thorique (droite) sous leffet des charges qui lui sont appliques
Formulaire
dforme
flche
Les quations de V(x) (not T ici) et de M(x)

Lquation de la dforme ( fonction des appuis et des charges)
Les valeurs particulires de V(x), M(x) et la flche (F max, )
Utilisation
Vrification dun profil.
Ici les caractristiques de la poutre ainsi que son chargement sont connus
Il suffit de vrifier que la flche maxi reste infrieure une flche limite ou flche admissible
Exemple : L/200 =porte/200)
Exercice
Questions (si p = 5 kN/m et L = 5 m)
p
N/ml
A
a/ Dterminer le profil la rsistance

( )
b/ Dterminer sa flche maxi. ( E = 2.1
105Mpa)
Dtermination dun profil la flche.

Choisir le profil ncessaire et suffisant pour satisfaire la condition de flche impose.
1/ Donnes
Formulaire des flches
Schma mcanique de la poutre
Tableau de profil
Flche admissible
2/ Mthode
Ecrire que la flche (fonction de I/GZ ) flche admissible
Sort I/GZ de l'inquation choix du profil (dans le tableau)
Formateur
Page 48
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ISTA (LAAYOUNE)
Exercice
P
p
N/ml
A
Rsoudre un problme hyperstatique
Question (si p = 5 kN/m et P = 10 kN et

=5 m)
En utilisant le principe de
superposition, dterminer le profil
ncessaire et suffisant pour que la
flche maxi reste infrieur L/200
b/ Dterminer sa flche maxi. ( E = 2.1
1/ Donnes
Formulaire des flches
Schma mcanique de la poutre : hyper de degr 1
2/ Mthode
Dcomposer le schma mcanique en 2 schmas isostatiques dont lun des deux fait apparatre une
raction dappui.
Puis crire que la somme des flches au niveau de cet appui = 0 ; ce qui constitue une quation
supplmentaire. (permet de dterminer la raction dappui)
Exercice
Dterminer RB pour le schma
suivant
p
N/ml
A
Formateur
mcanique
Page 49
Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
12 : Poutre continue en BETON ARME

Gnralit
On a remarqu quen utilisant les mthodes de R.D.M (Mthodes des forces ; Thorme des trois
moments) pour les poutres continues en B.A, les rsultats obtenus ne concidaient pas avec la
ralit.
En particulier les moments sur appuis sont surestims. Cela vient du fait que les mthodes de
R.D.M
Ne tiennent pas compte de la variation dinertie de la poutre en bton ( inertie diffrente en trave et sur appui )
Ne tient pas compte du caractre fluant du bton.
Est trop parfaite puisquelle tient compte des charges situes sur des traves loignes de la trave considre, alors que
le bton amorti rapidement les effets.
Par consquent pour les poutres en B.A il existe 2 mthodes

Mthode forfaitaire Mthode Caquot
Remarques
Calculs envisags lELU ou lELS.
Ne concerne que les poutres associes un plancher ou dalles calcules en flexion dans un seul
sens.
Mthode forfaitaire. Art b.6.2,21 page 149

Domaine d'utilisation. artB.6.2,210
a) Applicable aux planchers charges d'exploitation modre: QB soit G : charges permanentes
Il faut QB 2G
Ou
QB 5 kN/m2
b) Traves ayant mme inertie.
c) Les portes successives sont dans un rapport compris entre 0,8 et 1,25.
d) Fissuration peu nuisible.
Ces quatre conditions sont impratives pour utiliser cette mthode forfaitaire dfinie ci- aprs.
Principe de la mthode. artB.6.2,211
Principe de la mthode bas sur le phnomne dadaptation des poutres en B.A
On value les moments maxi sur appuis et en traves en fonction du moment de flexion maxi Mo de
la trave iso associe (avec le mme chargement). Les moments correspondent une fraction de Mo
Mt = kt x Mo
Mt moment en trave
Ma = ka x Mo
Ma moment sur appui
Les coefficients kt et ka sont choisis forfaitairement dans les plages dfinies au 2.3
Dmonstration
Soit la poutre sur appuis simples
Formateur
Page 50
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ISTA (LAAYOUNE)
M0 = PL/4 A0
A
o
Soit la mme poutre encastre chaque extrmit avec uniquement des aciers infrieurs
P
Aprs fissuration : Cas 1
Encore Mo A0
A
o
Soit encore la mme poutre encastre

aciers en chapeau
P
chaque extrmit mais avec uniquement des
Ao
Aprs fissuration :
P/2
P/2
M max= P/2 x L/2 =PL/4 = Mo

A0
Conclusion
Quelle que soit la position des aciers pour une poutre bi-encastre, la section dacier ncessaire est
la mme et correspond la section obtenue pour une poutre iso.
Il suffira donc de rpartir cette section Ao (lgrement majore par scurit) dans la poutre de faon
viter les fissures.
Aw
Ae
At
Avec : At Aw Ae Ao
2
Or A est proportionnelle M
Avec une scurit Mt Mw Me k.Mo
2
Dtermination des moments en traves et sur appuis
Annexes E page 231
Notation des moments en valeurs absolues
Formateur
Page 51
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ISTA (LAAYOUNE)
Mw: moment de flexion sur l'appui de gauche ( l'Ouest)

Me: moment de flexion sur l'appui de droite ( Est)
Mt: moment de flexion maximal dans la trave
Mo: moment de flexion maximal dans la trave iso associe
pl2
Mo = pour une charge uniformment rpartie
Mo
8
Les valeurs de Mt, Mw, et Me doivent vrifier les conditions suivantes :
Mt Mw Me max(1,05;1 0,3).Mo
2
QB
G QB
QB : charge d'exploitation non pondre
G : charge permanente non pondre

(1 0,3)
Mt
.Mo pour une trave intermdiaire
2
(1,2 0,3)
.Mo pour une trave de rive
2
Les moments sur appuis intermdiaires ne sont pas infrieurs :
Mt
-pour une poutre deux traves
. -pour une poutre plus de deux traves
De part et dautre de chaque appui intermdiaire, on retient la plus grande valeur des moments sur
appuis (gauche ou droite).
Evaluation des efforts tranchants
- Soit en calculant les efforts tranchants en tenant compte des moments sur appuis.
- Soit en appliquant une pondration forfaitaire.
Formateur
Page 52
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ISTA (LAAYOUNE)
Longueur des chapeaux et arrts des barres infrieures du second lit.

Cas gnral: on trace les courbes enveloppes et l'on dtermine l'pure d'arrt des barres ( dcalage
de 0,9 d + longueur d'ancrage ).
Toutefois si QB G et si les charges sont uniformment rparties on peut adopter la disposition
suivante :
avec
L' = Max ( L1; L2 ;Ls)
4 4
L' = Max - ( L1; L2 ;Ls)
5 5
L " = Max ( ( L';Ls)
2
si trave de rive
si trave intermdiaire
Ls : longueur de scellement
Mthode CAQUOT
Domaine d'application. art B.6.2,220
S'applique aux poutres, poutrelles, associes des planchers de constructions industrielles, c'est
dire charges d'exploitation relativement leves.
QB > 2G ou QB > 5 kN/m2
Formateur
Page 53
Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Principe de la mthode. artB.6.2,221

Mthode de continuit simplifie due Albert CAQUOT :
Cette mthode est drive du thorme des trois moments, mais avec certains ajustements, propre
aux poutres en B.A.(cf. : Gnralits)
Elle permet donc de dterminer les moments sur chaque appui, en ne considrant, notamment, que
les deux traves adjacentes et leur chargement.
Mthode Caquot.
Annexe E2
Applique poutres moments d'inertie gaux dans les diffrentes traves et
non solidaires des poteaux. Annexe E2,2
Moment sur appui
Moment sur appui A pour des charges uniformment rparties. (l = Cte )
MA
p w L'w peL'e
8.5(L'w L'e )
I= Cte
avec L' = L si c'est une trave de rive

avec L' = 0,8 L dans les autres cas.
Moment sur appui A pour des charges ponctuelles. ( l = Cte )
Kw et Ke sont lus sur un tableau pour une valeur de -et -voir BAEL Annexe E.2.2, 1
K w Pw L'w K ePeL'e
MA
L'w L'e
L'w L'e
Kw et Ke sont lus dans un tableau pour une valeur de
Formateur
a et b voir BAEL Annexe E.2.2,1

L'w
L'e
Page 54
Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Courbes enveloppes des M(x) art B.6.2,3 et art B.6.1,21
Cas de charge
Pour construire la courbe enveloppe des moments ou mme dterminer les moments extrmes, il est
ncessaire de considrer 3 cas de charge diffrents :
Cas 1
1.35g +1.5q
Moments maxis sur appui.
Section des aciers sur appuis
Cas 2
1.35g +1.5q(traves impaires)

Moments maxis pour les traves impaires.
Section des aciers dans les traves impaires.
1.35g +1.5q(traves paires)
Moments maxis pour les traves paires.
Section des aciers dans les traves paires.
Cas 3
g +1.5 q(traves impaires)

Moments maxis pour les traves impaires
Longueurs des chapeaux dans les traves paires
g +1.5q(traves paires)
Moments maxis pour les traves paires
Longueurs des chapeaux dans les traves impaires
Formateur
Page 55
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ISTA (LAAYOUNE)
Rsultat
0.8
h
0.8
h
Courbe enveloppe dcale de 0.8h
Cas 3
0.8
h
0.8
h
Cas 2
Cas 1
Trac dune courbe enveloppe

On peut envisager deux Mthodes
Mthode thorique (quation de M(x) et calculette )
p
Mw
M(x) =-(Mw-RA.x + p.x2/2) Avec RA = pL/2 -
Mw Me
L
px 2
M(x) = Mw Mw Me .x pL .x
L
2
2
2
px
pL
M(x) =
( Mw Me ).x Mw (quation rentrer dans la calculette)
2
2
L
Les Moments ont un signe.
Mthode graphique
Ltude dune trave dune poutre continue peut se dcomposer en 2 cas de base :
Moment sur appuis seuls
Chargement iso
Formateur
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Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Mt =
Ligne de fermeture
sur la trave considre la ligne de fermeture partir des moments sur appui
puis le moment iso seul et enfin faire laddition des deux diagrammes
M1
M2
M1
Tracer
M2
Cas dune charge

uniformment rpartie
Cas dune charge ponctuelle
Remarque : pour tracer la parabole correspondant au cas iso dune charge uniformment rpartie, il
suffit de calculer les valeurs des moments tous les 0.1L
Or M(x) = pl/2.x-px2/2
M(0.1L) = p (0.1L2 0.01L2 ) 0.09L2 p
2
M(0.2L)=
M(0.3L)=
M(0.4L)=
0.36pL2
=0.36Mo
8
0.64Mo
0.84Mo
0.96Mo
Dtermination de Mmax
Prcis
Or M(x) =-(Mw-RA.x + p.x2/2)
Et M est maxi quand V(x) =0
Or V(x) =-RA +px/2 Avec RA = pL/2 -
Mw Me signe des moments

L
RA
X(o) = p (valeur rentrer dans lexpression de M(x))
Formateur
Page 57
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ISTA (LAAYOUNE)
Calcul de Vu max (Effort Tranchant) Annexe E.2.2,3

Expression de V
Les efforts tranchants d'appui sont calculs par la mthode gnrale aux poutres continues en faisant
tat des moments de continuit.
p
Isolons une trave dune poutre continue
p
A
B
M
M2
V(A-B) = -RA
V(A-B) = -(RAiso +
A3
M3 - M 2 )
L L
V(A-B) = -RAiso V(B-A) = RB
M2
M3 M 2
L
V(B-A) = RAiso -
Formule gnrale
M3 M 2
L
V(x) = Viso -
M 3 M 2
L
avec Viso effort tranchant de la poutre isostatique
Cas considrer
Pour obtenir leffort tranchant sur chaque appui il suffit de charger au maximum les traves
adjacentes celui-ci :
Appui de rive
1.35g +1.5q
(traves de rive)
Appui intermdiaire
1.35g +1.5q :
de part et dautre de lappui
considr
Etc..
Formateur
Page 58
Gros uvres 1me Anne
ISTA (LAAYOUNE)
Mthode CAQUOT minore.

Dans le cas o l'une des trois conditions complmentaires celle du chargement ne serait pas
satisfaite, on doit appliquer la mthode CAQUOT et il est admissible de minorer les moments sur
appuis dus aux seules charges permanentes par un coefficient compris entre 1 et 2/3 ; les valeurs des
moments en trave sont majores en consquence
Contrle de bton
Mthode Forfaitaire et mthode Caquot .
DONNEES
Soit la poutre continue dfinie ci-dessous
g = 15 kN/ml
q = 25 kN/ml
A
6.00
6.00
6.00
La fissuration est juge peu prjudiciable.

QUESTIONS
I/ Mthode forfaitaire
1/ MtA tant estim 0.4 Mo, dterminer tous les moments minimaux rglementaires sur appuis et
en trave en utilisant la mthode forfaitaire.
2/ En dduire l'allure du diagramme de M(x) en prcisant les valeurs particulires.
II/ Mthode Caquot
1/ En ne considrant que les cas de charge donnant les moments maximaux en trave, dterminer
ces moments.
2/ Tracer pour ces cas de charge, et de faon prcise, le diagramme de M(x) pour les traves AB et
CD.
Conclusion
On utilise la rsistance des matriaux avant tout pour concevoir les lments de construction et
vrifier leur rsistance et leur dformation. Quelques rapides calculs peuvent tre mens facilement
si on se limite la poutre plan moyen, c'est--dire un objet de grande longueur par rapport sa
section et dot d'un plan de symtrie (plan moyen). On applique alors ces poutres, les diffrentes
sollicitations tels que :
Type
Commentaire
Exemple
Traction
Allongement longitudinal, on tire de chaque

ct
Cble de remorquage
Compression
Raccourcissement, on appuie de chaque ct
noyau d'une tour en absence de

vent
Cisaillement
Glissement relatif des sections
tectonique des plaques
Torsion
Rotation par glissement relatif des sections
arbre de transmission d'un
Formateur
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ISTA (LAAYOUNE)
droites
moteur
Flexion simple
Flchissement sans allongement des fibres

contenues dans le plan moyen
planche de plongeoir
Flexion pure ou
circulaire
Flchissement sans effort tranchant dans

certaines zones
partie de poutre entre deux

charges concentres
Formateur
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9 : Contraintes des poutres flchies

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