TD Solution Licence

TD 1 : Automatique chantillonne
Exercice 1 : Calculer la rponse d'un premier ordre un train d'impulsion d'amplitude 1 Solution : Le premier ordre a pour fonction de transfert H( p) =
1 . p+ a
o Sa rponse au premier dirac est gale sa rponse impulsionnelle soit :

o Pour ce premier dirac: t=0 s(0)=1 et t=T : s(T) = e-aT
s(t) = e-at ,
Quand le second dirac arrive, les conditions initiales ne sont plus nulles
o L'quation diffrentielle du systme tant s + as = e o Avec des CI non nulles : pS( p) - s(0) + aSp) = E( p) soit
E( p) + s(0) E( p) s(0) = + , la rponse temporelle pour un p+ a p+ a p+ a dirac en entre est : s(t) = e-at {1+ s(0)} S( p) =
o En considrant un changement d'axe temporel t=t'+T, la condition initiale s(t'= 0) = s(t = T) = e-aT on obtient s(t') = e-at' {1+ e-aT } Exercice2 : Soit un signal x(t) et son spectre X(f). on chantillonne ce signal (ceci est quivalent la modulation damplitude dun peigne de Dirac par le signal x(t)). a. Calculer le spectre du peigne de Dirac Pd(t) b. Calculer le spectre du signal chantillonn. Exercice 3 : Calculer en utilisant la table, la transforme en Z d'un systme compos d'un premier ordre Solution
1- e-Tp 1 et d'un bloqueur d'ordre 0, (le bloqueur introduisant un retard). p p +1
1- e-Tp 1 e-Tp 1 Z = Z - Z p( p + 1) p p + 1 p( p + 1)
A la fonction
1 correspond un signal temporel s(t) p( p + 1)
A la fonction
e-Tp correspond le mme signal mais retard soit s(t-T) p( p + 1)
A s(t) correspond sa transforme en Z : S(z) et donc thorme du retard s(t-T) correspondra z-1S(z) . Le rsultat final tant la somme des 2 transformes en z: soit
S(z)[1- z-1 ] .
A la fonction
1 1 1 = correspond le signal U(t){1- e-t } p( p + 1) p p + 1
z z z -1 z - e-T z -1 z z z -1 z - e-T - z + 1 1- e-T = Soit = 1= z z -1 z - e-T z - e-T z - e-T z - e-T Exercice 4 : Donner la rponse du systme prcdent un chelon.
La transforme en z de ce signal est :
{1- e-T }z 1- e-T z z L'entre chelon est E(z) = la sortie : S(z) = = z - e-T z -1 [ z - e-T ][ z -1] z -1 {1- e-T } = 1 - 1 S(z) Dcomposition en lments simples de = z [ [z - e-T ]z -1] z -1 z - e-T z z sn = 1- e-nT Soit S(z) = -T z -1 z - e
Exercice 5 Trouver l'quation rcurrente du systme suivant: Z - 0,3 H(Z) = ( Z - 0,1)( Z - 0,2)Z ________________________________________________________
TD 2 automatique chantillonne
Exercice 1: Trouver la valeur du nime chantillon de la suite chantillonne dont la somme s'crit:
F(Z) = 1 1-1,2Z + 0,2Z -2
-1
en utilisant les deux mthodes suivantes: 1. Dcomposition en lments simples de 2. Divisions successives. Exercice 2:
F(Z) Z
Trouver la squence de pondration du systme dont la fonction de transfert chantillonne est :

G(Z) = 5Z 2 + 2Z + 1 Z 2 + 3Z + 2
(par divisions successives)
Exercice 3:
Trouver la fonction de transfert chantillonne des systmes linaires chantillonns reprsents par les quations aux diffrences suivantes 1. S [ kT ] - 3S [(k -1)T ] + 2S [(k - 2)T ] = 2e[(k - 4)T ] - e[(k - 2)] 2. Sn - 0,5Sn-1 + 0,5Sn-2 = 8en - 6en-1 + en-2 _______________________________________________________________________
TD 3 Fonction de transfert chantillonne
Dtermination de la fonction de transfert chantillonn de quelques systmes Rappels :
H( p) Z{Bo ( p)H( p)} = (1- z-1 )Z p

Application 1) H( p) = 2) H( p) =
K ( p + 3p + 2)
2
K ( p + p)
2
3) H( p) =

( p + 1) ( p 2 + p + 1) H( p) sont 0, 1 et 2 soient 3 lments simples p, (p+1) et (p+2) p
Solution 1) Les ples de
a H( p) K b c = = K + + 2 p p( p + 3p + 2) p + 1 p + 2 p On identifie les coefficients c=1/2, b=1/2 et a = -1
1 H( p) 1/2 1/2 = K + + = p p p +1 p + 2
On dtermine la transforme de chaque lment dans la table des transformes
H( p) z 0,5z 0,5z Z + + = K puis on effectue le calcul final: z - e-T z - e-2T z -1 p z -1 H( p) z -1 z 0,5z 0,5z z Z p = K z - z - e-T + z - e-2T + z -1
z -1 0,5(z -1) + + 0,5 que l'on rduit au mme dnominateur Soit K -T -2T z-e z-e
-(z -1)(z - e-2T ) + 0,5(z -1)(z - e-T ) + 0,5(z - e-T )(z - e-2T ) K (z - e-T )(z - e-2T )
Soit
-z 2 + ze-2T + z - e-2T + 0,5z 2 - 0,5ze-T - 0,5z + 0,5e-T + 0,5z 2 - 0,5ze-2T - 0,5ze-T + 0,5e-3T K -T -2T (z - e )(z - e ) K(b - 2a -1) z + z0 -T -2T 2 ( z - e )( z - e )
avec z0 =
ab - 2b + a , a = e-T et b = e-2T b - 2a -1
______________________________________
TD 4 : Prcision d'un systme
H(Z)
K 1. 2. Ecrire e en fonction de e.
H(Z) =
Z ( Z -1)(Z - a)
avec K=1
Quelle est l'erreur de position?
Quelle est l'erreur de vitesse?
3.
Mme question avec K1 ______________________________________
TD 5 : Stabilit
1. Calculer les racines H(Z )
H(Z) =
k Z - Z1
2.
Calculer l'quation caractristique et en dduire les ples Discuter la valeur de k pour que le systme soit stable
GBF (Z) =
0,37z + 0,26 z + z(0,37k -1,37) + (0,37 + 0,26k )

2
3.
Discuter des valeurs de k pour que le systme soit stable Utilisation du critre algbrique de Routh
z 2 + (k - 2)z + (1- k) = 0
Discuter des valeurs de k pour que le systme soit stable Utilisation du critre algbrique de Routh
TD 6 Transposition correcteur analogique

H BO (P) = 1 P + 0.2P + 1
2
1. Calcul de la marge de phase et de la marge de gain. 2. Quel est l'apport de phase pour une marge de phase dsire de 45 3. Calculer les paramtres un correcteur avance de phase permettant cette correction. (faire une tude du correcteur). 4. Calculer le correcteur discrtis i. Vrifier si Te=0.1 peut tre la priode d'chantillonnage ii. Calculer C(Z) Tustin :
2 z -1 Te z + 1
iii. crire l'quation rcurrente.

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TD 1 : Automatique chantillonne

o Sa rponse au premier dirac est gale sa rponse impulsionnelle soit :

1- e-Tp 1 et d'un bloqueur d'ordre 0, (le bloqueur introduisant un retard). p p +1

1 correspond un signal temporel s(t) p( p + 1)

e-Tp correspond le mme signal mais retard soit s(t-T) p( p + 1)

1 1 1 = correspond le signal U(t){1- e-t } p( p + 1) p p + 1

La transforme en z de ce signal est :

Trouver la squence de pondration du systme dont la fonction de transfert chantillonne est :

(par divisions successives)

Dtermination de la fonction de transfert chantillonn de quelques systmes Rappels :

H( p) Z{Bo ( p)H( p)} = (1- z-1 )Z p

( p + 1) ( p 2 + p + 1) H( p) sont 0, 1 et 2 soient 3 lments simples p, (p+1) et (p+2) p

Solution 1) Les ples de

a H( p) K b c = = K + + 2 p p( p + 3p + 2) p + 1 p + 2 p On identifie les coefficients c=1/2, b=1/2 et a = -1

TD 4 : Prcision d'un systme

Quelle est l'erreur de position?

Quelle est l'erreur de vitesse?

Mme question avec K1 ______________________________________

0,37z + 0,26 z + z(0,37k -1,37) + (0,37 + 0,26k )

TD 6 Transposition correcteur analogique

iii. crire l'quation rcurrente.

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