These Venel

N
o d'ordre : 9245
Université Paris-Sud
Fa ulté des S ien es d'Orsay
THÈSE
présentée pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES
DE L'UNIVERSITÉ PARIS XI
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Spé ialité : Mathématiques
par
Juliette Venel
Sujet :
MODÉLISATION MATHÉMATIQUE ET NUMÉRIQUE DE

MOUVEMENTS DE FOULE.
Soutenue le 27 Novembre 2008 devant la Commission d'examen :
Mme. Cé ile Appert-Rolland (Examinateur)
M. Yann Brenier (Rapporteur)
M. Jean-François Coulombel (Examinateur)
M. Patri k Gérard (Président du jury)
M. Bertrand Maury (Dire teur de thèse)
M. Lionel Thibault (Rapporteur)

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Remer iements
J'aimerais tout d'abord exprimer ma profonde re onnaissan e à Bertrand Maury, mon

dire teur de thèse. Je le remer ie de m'avoir proposé e sujet de thèse passionnant. Son
enthousiasme, ses questions pertinentes ont été pour une grande part, à l'origine de ma
motivation. Toujours disponible dans les moments de doute, ses nombreux onseils et sa
bonne humeur ont très largement ontribué au bon déroulement de ette thèse. Je le re-
mer ie surtout de m'avoir ommuniqué sa passion pour la re her he au ours de multiples
dis ussions mathématiques enri hissantes.
Je voudrais ensuite adresser mes remer iements à Yann Brenier et à Lionel Thibault
pour l'intérêt qu'ils ont porté à mes travaux en a eptant de rapporter sur ette thèse,
ainsi qu'aux autres membres du jury, Cé ile Appert-Rolland, Jean-François Coulombel
et Patri k Gérard pour leur présen e à la soutenan e. J'aimerais plus parti ulièrement
remer ier Patri k Gérard, qui depuis mon arrivée à Orsay (et ela ommen e à dater) a
suivi ave beau oup d'attention mon par ours.
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Cela m'amène tout naturellement à évoquer l'équipe Analyse Numérique et Equations

aux Dérivées Partielles. Quelle han e de faire partie de ette équipe omposée de per-
sonnes a essibles et sympathiques, ave lesquelles il est toujours agréable de dis uter ! Un
grand mer i à François Alouges dont la uriosité l'a amené à m'interroger sur les petits
ronds que je dessinais au tableau. Les nombreuses dis ussions que nous avons eues, notam-
ment sur la Fast Mar hing m'ont été fort utiles. Je voudrais aussi remer ier Sylvain Faure
pour ses suggestions et ses innombrables sauvetages informatiques, toujours prêt à nous
faire partager ses onnaissan es et son expérien e. Je tiens aussi à remer ier Catherine
Poupon et Valérie Lavigne respe tivement se rétaire de l'équipe ANEDP et se rétaire de
l'é ole do torale pour leur e a ité et leur sympathie.
Bien évidemment, ette thèse n'aurait pu voir le jour sans l'enseignement mathéma-
tique de qualité dont j'ai béné ié tout au long de mes études. J'en prote pour remer ier
tous les professeurs qui y ont ontribué et plus parti ulièrement pour exprimer toute ma
gratitude à Jean Voedts qui m'a donné le goût et l'envie de faire des mathématiques.
Un grand mer i à la ne équipe de do torants ave qui j'ai traversé es trois années et
plus spé ialement aux thésards (an iens et nouveaux) du bureau 256, pour la très bonne
ambian e qui y règne. Mer i à Adeline qui me proposait un ho olat à ha un de mes
soupirs ; heureusement que je ne les ai pas tous a eptés ! Mer i à Christine pour son
é oute et sa sympathie. An ienne représentante de l'ordre dans le bureau, ses huts me
manquent déjà. J'aimerais aussi plus spé ialement remer ier Aline et Fred, pour m'avoir
épaulée tout au long de ette thèse et surtout au ours de es derniers mois. Votre le -
ture minutieuse du manus rit, vos nombreuses suggestions le on ernant, m'ont été très
pré ieuses. Je vous remer ie aussi pour toutes nos dis ussions mathématiques et onver-
sations en tous genres. Mer i à Aline pour son aide lors des préparations d'exposé et pour
la patien e dont elle a fait preuve en m'initiant au C++. Mer i à Fred pour sa uriosité,
sa gentillesse et son dévouement.
iii
J'en prote pour remer ier Anne-Laure pour sa présen e malgré la distan e. Mer i
pour toutes es années d'amitié ! Je tiens également à souligner le rle essentiel de ma
famille tout au long de mes études. Mer i à mes pro hes qui ont fait le dépla ement, mes
pensées a ompagnent aussi eux qui ne pouvaient venir. Je tiens à remer ier sin èrement
mes parents pour leur onan e et leurs en ouragements. Ainsi, j'ai pu suivre leur exemple
en devenant do teur à ma façon. Mer i à mes frère et soeur, Yann et Véronique pour les
bons week-ends h'tis, tourangeaux et angevins.
Enn, il me reste à remer ier Maxime mon matheux préféré qui a eu le ourage de
me supporter toutes es années. C'est dans son soutien, son é oute et sa tendresse que je
trouve mon équilibre. Sans lui, rien de tout ela n'aurait été possible.
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Résumé
Nous nous intéressons à la modélisation des mouvements de foule ausés par des situa-
tions d'éva uation d'urgen e. L'obje tif de ette thèse est de proposer un modèle mathé-
matique et une méthode numérique de gestion des onta ts, an de traiter les intera tions
lo ales entre les personnes pour nalement mieux rendre ompte de la dynamique glo-
bale du tra piétonnier. Nous proposons un modèle mi ros opique de mouvements de
foule reposant sur deux prin ipes. D'une part, haque personne a une vitesse souhaitée,
elle qu'elle aurait en l'absen e des autres. D'autre part, la vitesse réelle des individus
prend en ompte une ertaine ontrainte d'en ombrement maximal. En pré isant le lien
entre es deux vitesses, le problème d'évolution prend la forme d'une in lusion diéren-
tielle du premier ordre. Son ara tère bien posé est démontré en utilisant des résultats
sur les pro essus de rae par des ensembles uniformément prox-réguliers. Ensuite, nous
présentons un s héma numérique et démontrons sa onvergen e. Pour al uler une vitesse
souhaitée parti ulière ( elle dirigée par le plus ourt hemin évitant les obsta les), nous
présentons une programmation orientée objet ayant pour but de simuler l'éva uation d'une
stru ture de plusieurs étages présentant une géométrie quel onque. Nous nissons ave
d'autres hoix de vitesse souhaitée (par exemple, en ajoutant des stratégies individuelles)
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et présentons les résultats numériques asso iés. Ces simulations numériques permettent
de retrouver ertains phénomènes observés lors de dépla ements piétonniers.
Abstra t
We are looking for modelling rowd motion in emergen y eva uation. The aim of this
thesis is to propose a mathemati al model and a numeri al method to handle onta ts, in
order to deal with lo al intera tions between people and to des ribe the whole dynami s
of the pedestrian tra . We propose a mi ros opi model for rowd motion whi h rests
on two prin iples. On the one hand, ea h individual has a spontaneous velo ity that he
would like to have in the absen e of other people. On the other hand, the a tual velo ity
must take into a ount ongestion. By spe ifying the link between these two velo ities, the
evolution problem takes the form of a rst order dierential in lusion. Its well-posedness
is proved with the help of results on erning sweeping pro esses by uniformly prox-regular
sets. Then we present a numeri al s heme and prove its onvergen e. In order to om-
pute a spe i spontaneous velo ity (the one dire ted by the shortest path avoiding the
obsta les), we present an obje t oriented programming to simulate the eva uation of any
building onsisting of several oors. To on lude, we des ribe other hoi es of sponta-
neous velo ity (for example, by adding individual strategies) and we present asso iated
numeri al results. These numeri al simulations allow us to re over some hara teristi s of
pedestrian tra .
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vi
Table des matières
Introdu tion 1
Chapitre 1
Diérents modèles pour représenter la foule
1.1 Etat de l'art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
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1.1.1 Données empiriques qualitatives et quantitatives . . . . . . . . . 6
1.1.2 Modèles utilisés pour la simulation des mouvements de foule . . 8
1.1.3 Phénomènes observés dans le tra piétonnier, eets d'auto-
organisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Simulations d'éva uation d'urgen e . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Des ription d'un nouveau modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Partie I
Aspe ts théoriques 21
Chapitre 2
Cadre mathématique et résultats
2.1 Reformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Cas parti ulier : dépla ement dans un ouloir . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Problèmes ren ontrés lors de la généralisation . . . . . . . . . . . . . . 31
vii
Table des matières
2.4 Cadre mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Notion de prox-régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Pro essus de rae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chapitre 3
Prox-régularité de l'ensemble des ongurations admissibles Q0
3.1 Etude de l'ensemble Q12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1 Cne proximal normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.2 Prox-régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Généralisation à Q0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Cne proximal normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Prox-régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Majoration de la onstante η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Etude du boulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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3.3.2 Démonstration des lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Partie II
Dis rétisation et étude numérique 65
Chapitre 4
Présentation et étude d'un s héma numérique
4.1 Présentation du s héma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.1 En termes de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.2 En termes de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Convergen e du s héma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1 Extra tion et propriétés de la fon tion limite . . . . . . . . . . . 72
4.2.2 Démonstration de la proposition 4.10 : étude des multipli ateurs
de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.3 Lemmes te hniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
viii
Partie III
Programmation et résultats numériques 97
Chapitre 5
Méthodes numériques utilisées et programmation ee tive
5.1 Cal ul de la vitesse réelle ave l'algorithme d'Uzawa . . . . . . . . . . . 100
5.1.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.2 Programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1.3 Logi iel SCoPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2 Cal ul de la vitesse souhaitée en utilisant une méthode de type Fast

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Mar hing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2.2 Programmation Orientée Objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Chapitre 6
Résultats numériques
6.1 Résultats re ouvrant les phénomènes d'auto-organisation . . . . . . . . 121
6.1.1 A ès à un es alator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1.2 Eva uation à deux vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.1.3 Formation de les à ontre- ourant ( Fingering patterns ) . . 124
6.1.4 Formation d'ar hes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 Vitesse souhaitée dirigée par le plus ourt hemin . . . . . . . . . . . . 127
6.3 Vitesse souhaitée en tant que solution d'une e.d.p. . . . . . . . . . . . . 130
6.4 Ajout de stratégies individuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4.2 Résultats numériques asso iés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Annexes
ix
Table des matières
Annexe A
Quelques résultats d'analyse onvexe
Annexe B
Lemme de Farkas
Annexe C
Cne polaire
Annexe D
Opérateurs maximaux monotones
Annexe E
Étude du gradient de la fon tion D12
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Annexe F
Autre preuve de la prox-régularité de Q12
Annexe G
Autre démonstration de l'inégalité triangulaire inverse
Annexe H
Formulation point-selle
Annexe I
Algorithme d'Uzawa
Bibliographie 195
x
Introdu tion
Dans ette thèse, nous nous intéressons à la modélisation de mouvements de foule
ausés par des situations d'éva uation d'urgen e. De telles situations sont ara térisées
par des ongurations très denses en individus et présentent de nombreux onta ts. L'ob-
je tif de ette thèse est de proposer un modèle mathématique et une méthode numérique
de gestion des onta ts, an de traiter les intera tions lo ales entre les personnes pour
nalement mieux rendre ompte de la dynamique globale du tra piétonnier.
Contexte et obje tifs

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Depuis plusieurs dé ennies, de nombreuses études portant sur le omportement des pié-
tons ont été menées. Dans un premier temps, des travaux d'observation ([Fru71, NW69,
Wei93℄) ont été ee tués dans le but de réunir des données qualitatives (préféren es,
tendan es des mar heurs) mais aussi quantitatives omme pour pré iser par exemple, la
vitesse des individus en fon tion de la densité de la foule ( f. sous-se tion 1.1.1). Ensuite,
grâ e aux résultats pré édents, de nombreux modèles de mouvements de foule ont été
proposés. Ces derniers a hent un but ommun, prédire les hemins les plus empruntés
mais dièrent sur plusieurs points : leur mode de représentation de la foule (mi ros o-
pique en se plaçant à l'é helle de l'individu ou ma ros opique en dé rivant la foule par
sa densité), leur façon d'appréhender les zones de dépla ement (dis rétisation spatiale
ou non) et leur ara tère déterministe ou sto hastique. Ces modèles peuvent être las-
sés en quatre atégories ( f. sous-se tion 1.1.2) : les modèles basés sur des automates
ellulaires [BA01, BKSZ01, Nag98, S h01℄, les modèles utilisant des graphes orientés
[BT86a, BT86b, Løv94, YS89℄, le modèle de for es so iales [HM95, HFV00b℄ et les mo-
dèles ma ros opiques [Hel92b, Hen71, HB00, HB04a, HB04b℄. Beau oup de es modèles
ont abouti à la réation de logi iels de simulation du tra piétonnier, omme par exemple
PedGo [HMK03℄, SimPed [Daa04℄, Legion [Sti93℄ ou en ore Mipsim [HB00℄.
Déterminer les traje toires des piétons permet de proposer des dire tives aux onstru -
teurs an d'améliorer leur onfort. En eet, es informations peuvent être d'une grande
utilité pour évaluer la largeur satisfaisante des ouloirs, des portes, ... . Prévoir les dépla-
ements des personnes peut aussi aider à pla er les panneaux d'information importants
ou même positionner stratégiquement les panneaux publi itaires.
Par ailleurs, il existe un tout autre enjeu à la modélisation des mouvements de foule. De-
puis plusieurs années, la demande de simulations d'éva uation en as d'urgen e n'a essé
d'augmenter. L'obje tif est d'estimer la durée de l'éva uation (à omparer par exemple
au temps de propagation d'un feu) mais aussi de prédire les zones où les individus seront
1
Introdu tion
fortement on entrés. Les résultats permettraient d'éviter dans la mesure du possible,

les situations dites d'é rasement, responsables de nombreux a idents pouvant s'avérer
mortels. Selon [HFV00b℄, de telles situations sortent véritablement du adre lassique des
dépla ements piétonniers. Lorsque les gens se promènent sans pré itation, ils ont ten-
dan e à garder leurs distan es ave les autres individus et les obsta les (murs, tables, ...).
Dans le as d'une situation d'urgen e, les personnes pressées voire même en proie à la
panique, n'hésitent pas à pousser les autres et de fortes pressions s'exer ent alors entre les
individus. Les piétons peuvent aussi être entraînés vers des obsta les qu'ils souhaitaient
pourtant ontourner, e qui parfois, à ause de la trop forte pression exer ée, provoque
l'eondrement dramatique de es derniers. De telles situations sont don ara térisées par
une densité élevée et de nombreux onta ts.
Pour simuler des éva uations d'urgen e, les modèles généralement utilisés sont eux
qui reposent sur une dis rétisation spatiale, représentant le sol par un damier ou par un
graphe. Ils sont en eet peu oûteux en temps de al ul puisque les onta ts y sont gérés
intrinsèquement : haque ase ou noeud est soit vide, soit o upé par une seule personne
et le dépla ement des individus s'ee tue toujours suivant ette règle. Dans [HFV00b℄, un
autre modèle propose de gérer es onta ts ave des for es de répulsion entre les piétons.
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Cependant, es méthodes (prin ipe d'ex lusion ou for e de répulsion) ne prennent pas en
ompte le onit dire t entre les individus, et ne peuvent don pas fournir d'informations
sur les intera tions lo ales entre les piétons.
Notre obje tif est de proposer un modèle de mouvements de foule traitant dire tement
les onta ts entre les individus et pouvant déterminer les zones sus eptibles d'a her de
fortes pressions. Notre modèle de gestion des onta ts doit aussi faire preuve de souplesse
et être apable d'in lure les modèles déjà existants qui déterminent les hemins les plus
empruntés.
Le modèle
Nous proposons un modèle mi ros opique de mouvements de foule qui repose sur
deux prin ipes. D'une part, haque personne a une vitesse souhaitée, elle qu'elle aurait
en l'absen e des autres. D'autre part, la vitesse réelle des individus prend en ompte
une ertaine ontrainte d'en ombrement maximal. Plus pré isément, dans e modèle, la
vitesse réelle est la proje tion de la vitesse souhaitée sur un ensemble dit de vitesses
admissibles (qui respe tent une ontrainte de non- hevau hement des disques représentant
les individus). Dans le premier point du modèle réside sa souplesse. En eet, tout modèle
de prédi tion des mouvements piétonniers peut être i i intégré. Dans le se ond point du
modèle, s'opère la gestion dire te des onta ts.
En pré isant le lien entre les deux vitesses souhaitée et réelle, nous obtenons un pro-
blème d'évolution qui prend la forme d'une in lusion diérentielle du premier ordre vé-
riée par le ve teur position des personnes. Formulations naturelles des problèmes ave
ontrainte unilatérale, les in lusions diérentielles ont fait l'objet de nombreux travaux.
Les premiers problèmes d'in lusion diérentielle ont été étudiés au début des années 70
par H. Brezis grâ e à la théorie des opérateurs maximaux monotones ( f [Bre73℄). Plus
tard dans [Mor77℄, J.J. Moreau onsidère un problème mettant en jeu un opérateur mul-
tivalué dépendant du temps. Il s'agit du premier problème de pro essus de rae ( sweeping
2
pro ess ) par des ensembles onvexes. Ne pouvant appliquer la théorie pré édente, l'au-
teur utilise un algorithme dit de rattrapage ( at hing-up algorithm ) pour onstruire des
solutions du problème et démontrer sous ertaines hypothèses, son ara tère bien posé.
Depuis, es pro essus de rae ont fait et font en ore l'objet de nombreuses études. Des
généralisations signi atives ont été apportées ( f. sous-se tion 2.4.2), notamment en at-
ténuant l'hypothèse de onvexité des ensembles onsidérés, faisant apparaître la notion de
prox-régularité ( f. sous-se tion 2.4.1). Cette nouvelle notion s'avère pour nous essentielle,
puisque 'est le ara tère uniformément prox-régulier de l'ensemble des ongurations ad-
missibles (au sens où les disques ne se hevau hent pas) qui permet d'établir, à l'aide de
résultats ré ents [ET05℄, que le problème d'évolution asso ié au modèle est bien posé.
Le modèle de mouvements de foule proposé, bien qu'idéalisé par la représentation
somme toute simpliste des individus, ore la possibilité de retrouver ertains phéno-
mènes observés lors de dépla ements piétonniers et jugés importants par les modélisa-
teurs ( f. se tion 6.1). De plus, les études théorique et numérique de e modèle ont per-
mis d'établir des liens entre des notions mathématiques abstraites et des omportements
numériques observés dans les milieux granulaires. En eet, le on ept théorique de prox-
régularité (propriété de l'ensemble des ongurations admissibles) est relié, dans le présent
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travail, aux ara téristiques géométriques réelles de la stru ture formée par les amas de
disques (pouvant représenter des grains ou des individus). Or la géométrie de e réseau
a un rapport dire t ave la non-uni ité des pressions subies par les disques. D'un point
de vue mathématique, es pressions sont formellement des multipli ateurs de Lagrange,
qui apparaissent naturellement dans le modèle. Leur non-uni ité explique les instabilités
numériques des pressions al ulées, instabilités qui sont observées dans la réalité, que e
soit dans le milieu granulaire ou piétonnier.
Présentation des travaux ee tués

Dans le premier hapitre, nous dressons un bilan des observations des dépla ements
piétonniers et présentons diérentes modélisations existantes de es derniers. Ensuite,
nous dé rivons le modèle mi ros opique de mouvements de foule qui onstitue l'objet de
ette thèse. Nous proposons d'étudier e dernier en trois parties.
La première partie onstituée des hapitres 2 et 3 est onsa rée à l'étude théorique
de e modèle. Dans le hapitre 2, nous obtenons une é riture de e dernier sous la forme
d'un problème d'in lusion diérentielle. Ensuite, nous démontrons grâ e à la théorie des
opérateurs maximaux monotones son ara tère bien posé, dans le as parti ulier où les
individus se dépla ent dans un ouloir. Puis, nous verrons que ette théorie ne s'applique
plus dans le as d'un dépla ement bidimensionnel. Dans le hapitre 3, nous démontrons
que notre problème s'ins rit en toute généralité, dans le adre des pro essus de rae par
un ensemble uniformément prox-régulier, e qui grâ e aux résultats de J.F. Edmond et L.
Thibault ([ET05℄), nous permet d'obtenir son ara tère bien posé.
La se onde partie est dédiée à la résolution numérique du problème pré édent. Dans
le hapitre 4, nous proposons un s héma numérique en se basant sur le se ond prin ipe du
modèle, à savoir en al ulant une vitesse réelle dis rète qui soit la proje tion de la vitesse
souhaitée sur un ensemble de vitesses admissibles au premier ordre . Ce hoix soulève
quelques di ultés puisque le s héma proposé dière de l'algorithme de rattrapage et sort
3
Introdu tion
du adre des pro essus de rae présenté au hapitre 2. En reformulant ette proje tion sous
la forme d'un problème point-selle, nous démontrons la onvergen e du s héma par une
méthode de ompa ité, en prouvant le ara tère uniformément borné des multipli ateurs
de Lagrange.
La troisième partie onstituée des hapitres 5 et 6, est onsa rée à la programmation
et à la présentation des résultats numériques. Dans le hapitre 5, pour programmer le se-
ond point du modèle, nous proposons d'utiliser l'algorithme d'Uzawa an de al uler la
vitesse réelle dis rète omme proje tion de la vitesse souhaitée. Nous présentons e dernier
ainsi que des résultats de onvergen e. Ensuite, nous nous intéressons au premier point
du modèle en hoisissant une vitesse souhaitée parti ulière ( elle dirigée par le plus ourt
hemin évitant les obsta les). Nous présentons la méthode de type Fast Mar hing utilisée
lors de son al ul. Enn, nous proposons une programmation orientée objet in luant ette
méthode et ayant pour but de simuler l'éva uation d'une stru ture de plusieurs étages
présentant une géométrie quel onque. Dans le hapitre 6, nous proposons diérents hoix
de vitesse souhaitée et présentons les résultats numériques asso iés. Dans un premier
temps, nous verrons que ertains hoix permettent de retrouver les phénomènes observés
lors de dépla ements piétonniers dé rits dans la sous-se tion 1.1.3. Ensuite, nous présen-
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tons des simulations numériques asso iées au hoix de la vitesse souhaitée dirigée par
le plus ourt hemin. Ces résultats sont issus de la programmation C++ pré édemment
évoquée. Puis nous présentons un autre hoix de vitesse souhaitée prenant également en
ompte les obsta les. Nous proposons de prendre pour elle- i la solution d'une équation
aux dérivées partielles ave des onditions aux bords sur les obsta les. Ce hoix, bien que
donnant des résultats raisonnables, ne sera pas utilisé de façon systématique omme le
hoix du ot géodésique, plus justié en termes de modélisation. Enn, nous diérentions
le omportement des personnes en ajoutant des stratégies individuelles (ralentissement ou
ontournement lors d'un embouteillage).
La présentation du modèle, son adre mathématique ainsi que sa dis rétisation nu-
mérique ont fait l'objet d'un pro eeding [MV07℄. Le travail de modélisation réalisé pour
l'ajout de stratégies individuelles a été présenté dans un autre pro eeding [Ven09℄. Leur
ontenu ayant été intégralement repris, développé et réorganisé, es arti les ne sont pas
joints au présent do ument.
4
Chapitre 1
Diérents modèles pour représenter la
foule
Sommaire
1.1 Etat de l'art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
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1.1.1 Données empiriques qualitatives et quantitatives . . . . . . 6

1.1.2 Modèles utilisés pour la simulation des mouvements de foule 8
organisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Simulations d'éva uation d'urgen e . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Des ription d'un nouveau modèle . . . . . . . . . . . . . . 18
5
Chapitre 1. Diérents modèles pour représenter la foule
1.1 Etat de l'art
Dans ette se tion, après une présentation de quelques données empiriques on ernant
le ux piétonnier, nous dé rivons les modèles de mouvements de foule existants. Puis
nous présentons les phénomènes importants observés lors des dépla ements de piétons que
ertains modèles permettent de retrouver. Enn, nous nous on entrons sur les modèles
traitant des situations d'éva uation.
1.1.1 Données empiriques qualitatives et quantitatives

Préféren es des mar heurs
Dans [BS90, HM97℄, sont ré apitulées les ara téristiques importantes d'un hemin qui
peuvent in iter un piéton à l'emprunter :
• sa longueur (les individus ont tendan e à hoisir le plus ourt hemin) ;
• son té re tiligne (les individus préfèrent suivre une route droite le plus longtemps
possible) ;
• le nombre d'attra tions qu'il omporte ;
•
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son onfort (prote tion ontre les intempéries, présen e d'es alators au lieu d'es a-
liers, qualité du sol, ...).
Diagramme fondamental
On se pla e i i dans le adre d'un ux unidire tionnel non ontraint (tous les individus
suivent la même dire tion dans un lieu sans obsta le). La des ription ma ros opique de la
foule repose sur trois variables : la densité ρ, la vitesse v et le ux Q vériant le relation
fondamentale Q = ρv . Comme pour étudier le tra routier, il est intéressant de tra er
le diagramme fondamental, 'est-à-dire de représenter le ux Q du tra piétonnier en
fon tion de la densité ρ, an d'analyser la transition entre régime libre et régime en ombré.
On dit qu'on se trouve en régime libre (resp. en ombré) lorsque la densité est inférieure
(resp. supérieure) à ρcrit : densité ritique lorsque le ux Q est maximal (Q = Qmax ). On
dénit alors ucrit = Qmax /ρcrit et on note par ailleurs ρjam la densité au dessus de laquelle
le ux Q est nul (embouteillage). Dans [Wei93℄, on trouve les valeurs suivantes pour es
paramètres : ρcrit = 1.75 piétons par m2 , ucrit = 0.7 m.s−1 , et ρjam = 5.4 piétons par m2 .
Vitesse moyenne et densité

D'après [Hen71℄, dans le adre d'un ux unidire tionnel, la vitesse moyenne des individus
−1
en régime libre suit une loi gaussienne de moyenne 1.34 m.s et de d'é art-type 0.26
−1
m.s . Dans [Daa04℄, es paramètres sont re al ulés en faisant la moyenne entre toutes
les vitesses de mar he observées dans un ouloir non en ombré, es données provenant de
diérents pays. La on lusion est que la vitesse en régime libre suit une loi gaussienne de
−1 −1
moyenne 1.34 m.s et de d'é art-type 0.37 m.s .
D'après [Wei93℄, d'autres paramètres inuen ent ette vitesse moyenne. En eet, ette
vitesse dépend :
• de l'âge et du sexe de l'individu on erné (la vitesse moyenne de dépla ement des
−1 −1
hommes est plus élevée que elle des femmes : 1.41 m.s ontre 1.27 m.s ) ;
◦
• de la température extérieure (à 25 C, la vitesse moyenne diminue de 8% ) ;
6
1.1. Etat de l'art
• du lieu onsidéré (par exemple, dans un es alier, la vitesse moyenne en montée est
estimée à 0.9m.s−1 alors qu'en des ente elle est de 0.7 m.s−1 ).
2
D'après [Wei93℄, la surfa e o upée par une personne est d'environ 0.15 m . Lorsque les
2
piétons sont dans une phase d'attente, la densité varie entre 2 et 3 individus par m .
De plus, des études ont été menées dans le but de mieux appréhender la relation entre
vitesse moyenne et densité. Beau oup de travaux (par exemple [Fru71, NW69℄) ont on lu
à une relation linéaire entre vitesse et densité,
u = u0 − αρ , α > 0.
Dans [Wei93℄, un autre type de relation est toutefois onsidéré,

1 1
u = β 1 − exp −γ − ave β, γ > 0.
ρ ρjam
La relation entre vitesse et densité a aussi été étudiée dans d'autres situations que elle
traitant d'un ux unidire tionnel. Dans [AMH01℄, se trouvent des informations supplé-
mentaires pour des ux bi-dire tionnels et multi-dire tionnels. Par ailleurs, d'autres études
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
[DH03, HD05℄ ont été menées pour déterminer la onséquen e d'un rétré issement de voies
sur la densité et la vitesse des piétons. Dans [DH03, HD05℄, une telle situation est réée,
obligeant des personnes à passer dans un ouloir de 5 mètres de long et d'une largeur d'1
mètre, de sorte que deux personnes ne peuvent pas rentrer dans le ouloir simultanément
(un individu o upe une largeur de 50 entimètres). Les auteurs remarquent que lors des
expérien es, les gens mar hent dans le ouloir de manière à réduire l'espa e vide omme
2
illustré par la gure 1.1, la densité atteignant alors la valeur de 2.5 piétons par m . D'autre
−1
part, la vitesse moyenne à ause du rétré issement dé roît à environ 1 m.s . Les auteurs
en onsidérant les traje toires que suivent les piétons pour rentrer dans un passage étroit
( f. g 1.2) parlent de zipper ee t.
Fig. 1.1 Expérien e réalisée dans [DH03, HD05℄.
7
Fig. 1.2 Traje toires des individus observées ([DH03℄).
1.1.2 Modèles utilisés pour la simulation des mouvements de foule

tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Modèles utilisant des automates ellulaires

Le premier modèle a été présenté dans [Nag98℄ et a ensuite été développé lors de nombreux
travaux ([BA01, BKSZ01, S h01, TN01℄). Ces modèles sont basés sur une dis rétisation
spatiale. Plus pré isément le sol sur lequel se dépla ent les individus, est dé oupé en ar-
rés. Par exemple, dans [KKWS01, KMKWS00℄, le té du arré est xé à 40 cm. Cette
dis rétisation spatiale permet de prendre fa ilement en ompte les obsta les ave des ases
ina essibles. En e qui on erne les autres ases, elles sont soit vides, soit o upées par
une seule personne. Bien évidemment, le mouvement des individus s'ee tue en respe tant
ette règle.
Il y a deux manières de dépla er les individus en un pas de temps. La première met
les positions des personnes à jour, individu après individu, l'ordre des individus étant
aléatoire ( Random Sequential Update ). Ce i fa ilite la gestion des onta ts entre indi-
vidus puisqu'il s'agit juste de dépla er la personne ourante sur une ase en ore ino -
uppée (en respe tant au mieux son souhait). Cette méthode est par exemple employée
dans [KKWS01, KMKWS00℄ an de prendre en ompte une ertaine volonté individuelle
de s'armer. La deuxième méthode est la mise à jour globale des positions ( Parallel
Update ). Si plusieurs personnes veulent arriver à la même ase, on tire au hasard un
gagnant qui ira sur ette nouvelle ase, les autres restant à leurs an iennes positions
+
( f. [KKN 03, KNS03, KS02, SKN03℄).
Tout en appliquant es méthodes (RSU ou PU) de mise à jour des positions, haque auto-
mate ellulaire est ara térisé par les dire tives de dépla ement données à haque individu.
Dans [KKWS01℄, trois dire tions possibles (en avant, à gau he et à droite) sont xées,
auxquelles sont asso iées des probabilités (la probabilité d'aller vers l'avant est hoisie
plus grande). Autre exemple dans [KMKWS00℄, les personnes disposent d'une vitesse
maximale quantiée en nombre de ases par pas de temps et dépendant des onditions
extérieures (diminution en as de mauvaise visibilité). À haque pas de temps, quand 'est
leur tour de bouger, elles hoisissent une dire tion optimale, au sens où elle- i leur per-
8
1.1. Etat de l'art
met de par ourir le plus de ases possibles vers la sortie. Si au un mouvement vers l'avant
n'est possible, les personnes s'arrêtent et peuvent hoisir de ontourner après un ertain
temps. Il est aussi possible que les gens hangent soudainement de dire tion ou s'arrêtent
indé is suivant ertaines probabilités. Dans [Sti93℄, des automates ellulaires sont aussi
utilisés mais haque piéton o upe plusieurs ases. Le hemin de toute personne doit sa-
tisfaire plusieurs ontraintes, par exemple elle de non- ollision ave les autres individus
ou elle de passer par ertaines régions de l'espa e et dans un ordre imposé. Ensuite, l'au-
teur dénit le oût d'un hemin pouvant prendre en ompte diérents paramètres omme
sa longueur, l'eort à fournir pour l'emprunter ou son temps de par ours. Finalement,
le mouvement des piétons est traité globalement, en minimisant le oût total, somme
des oûts des hemins individuels, et ela tout en respe tant les ontraintes imposées
aux hemins. Ce modèle est à la base du logi iel Legion dé rit dans le hapitre 5 de la
thèse [Sti00℄.
Modèle de for es so iales

Dans [HM95℄, un modèle dit de for es so iales ( so ial for e model ) est introduit. Il est à
noter qu'un modèle pré urseur de e dernier se trouve dans [GM85℄. Le modèle de for es
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so iales se pla e au niveau mi ros opique et propose de dé rire les mouvements de foule
par un système d'équations diérentielles. Plus pré isément, le dépla ement de l'individu
i est régi par une équation du type,
dwi (t)
= Fi (t),
dt
où wi est la vitesse dite préférée de la personne i et Fi (t) est la somme des for es s'exerçant
sur l'individu i au temps t. Les for es mises en jeu sont des a élérations et des dé éléra-
tions dues aux diverses réa tions des individus quand ils perçoivent leur environnement
(autres individus et obsta les). Plus pré isément, quatre for es diérentes omposent le
se ond membre Fi (t) : deux for es de répulsion ave les autres individus et les obsta les,
une for e d'attra tion (vers un endroit stratégique ou une personne intéressante) et un
terme d'a élération du type
vi0 ei (t) − wi (t)
,
τi
où ei (t) est la dire tion souhaitée (vers la destination), vi0 l'allure souhaitée et τi un ertain
temps de relaxation. Ensuite, les auteurs tronquent la vitesse pré édente pour obtenir la
vitesse souhaitée de la personne i : vi (t) est dénie par

max
 wi (t) si |wi (t)| ≤ vi
vi (t) = wi (t)
 vimax sinon
|wi (t)|
où vimax est la norme maximale de la vitesse de la personne i.
Modèles utilisant des graphes

Ces modèles représentent le sol ave des graphes. Plus pré isément, les individus peuvent
se dépla er sur des noeuds qui sont reliés par des arêtes orientées. Cette dis rétisation
9
gère intrinsèquement la présen e d'obsta les. Ensuite, il reste à déterminer les hemins
que vont prendre les piétons, on parle alors de Route hoi e model. De nombreuses possibi-
lités existent. Dans [BT86a, BT86b, BS90℄ par exemple, les hemins possibles onsidérés
sont les plus ourts hemins entre les noeuds de départ et d'arrivée. Dans [Gip86℄, les
hemins potentiels ne sont pas déterminés dans leur intégralité mais des destinations
intermédiaires sont d'abord générées en fon tion de l'origine et de la destination nale
du trajet puis des sous- hemins possibles entre es étapes intermédiaires sont détermi-
nés. Beau oup d'algorithmes existent pour al uler es plus ourts hemins (pour plus
de détails voir [Daa04℄). Dans [GGLF01℄, l'en ombrement et les onditions extérieures
(présen e de fumée) sont prises en ompte en pondérant les arêtes. Cette méthode est à
la base du logi iel buildingEXODUS et de ses dérivés maritimeEXODUS et airEXODUS.
D'autres modèles utilisant des les d'attente [Løv94, YS89℄ ( Queuing models ) sont éga-
lement basés sur des graphes. Dans es modèles, une loi de probabilité est dénie pour
gérer l'arrivée des individus (par exemple une loi de Poisson). Ensuite, pour prendre en
ompte les les d'attente grandissantes lorsque la demande du tra piétonnier est plus
grande que la apa ité de la porte, des temps d'attente aléatoires pondèrent les arêtes du
réseau représentant les portes.
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Modèles ma ros opiques

Dans [Hen74℄, pour la première fois la dynamique du tra piétonnier est omparée à elle
d'un uide. Ensuite, de nombreux modèles assimilant la foule à un uide ont été proposés.
Certains de es modèles [Hel92a, Hel92b, Hen71, Hen74, HB00℄ se basent sur la théorie
inétique des gaz, pour dans un premier temps, dé rire la dynamique de la fon tion dis-
tribution des vitesses. Dans [Hen71℄, le modèle de type uide est obtenu en partant des
équations de type Maxwell-Boltzmann et en supposant la onservation du moment et de
l'énergie alors que dans [Hel92b℄, es hypothèses de onservation ne sont plus faites.
D'autres modèles ma ros opiques (qui ne se basent pas sur la théorie inétique des gaz)
sont proposés. Dans [Hug00, Hug02℄, plusieurs types d'individus sont onsidérés et leur
dynamique est dé rite par un ensemble d'équations aux dérivées partielles ouplées, qui
traduisent la onservation des piétons . La vitesse d'un individu est dénie omme
une fon tion de sa position et elle est déterminée de sorte que son temps de trajet soit
minimal. Les régimes libre et en ombré peuvent être observés dans des zones diérentes,
la transition pouvant auser une onde de ho . Dans [HB04b℄, ette idée est reprise pour
dénir la vitesse des individus et d'autres fa teurs à minimiser sont ajoutés. Une fon -
tionnelle de oût ontenant plusieurs termes mettant en jeu le temps de trajet mais aussi
la distan e aux obsta les (pour pénaliser la proximité ave eux- i), l'énergie inétique
(pour établir un ompromis entre le temps restant et les eorts à fournir) est dénie.
Un terme dépendant de la densité des individus (pour éviter les engorgements) et un
autre pour traduire les eets stimulants de l'environnement (présen e de magasins, ...)
sont aussi ajoutés. Dans [HB04a℄, un modèle ma ros opique sto hastique est proposé. Les
individus sont distingués selon leur zone de destination. Une fon tionnelle à minimiser est
en ore dénie mais la présen e d'obsta les est gérée autrement. Un ensemble de vitesses
admissibles est introduit an de prendre les obsta les en ompte (en un point de l'obs-
ta le, les dire tions des vitesses qui rentrent dans l'obsta le sont interdites) et les normes
10
1.1. Etat de l'art
des vitesses admissibles sont hoisies dépendant linéairement de la densité. La vitesse des
individus est la vitesse admissible qui réalise le minimum de ette fon tionnelle.
Remarque 1.1 Nous attirons i i l'attention sur le fait que es modèles ne traitent pas
globalement la foule mais distinguent les individus selon leurs vitesses ou leurs destina-
tions. Dans les modèles type Route hoi e models, quels que soient les ritères hoisis
pour déterminer les hemins potentiels, seul un nombre ni de possibilités existe. Dans les
modèles [HB04a, HB04b, Hug00, Hug02℄, l'absen e de dis rétisation permet de dépasser
es limitations.

organisation
De nombreux travaux [Bat97, Hel04, HM97, HMFB01, HV99℄ ré apitulent les phéno-
mènes observés dans le tra piétonnier et que retrouvent ertains modèles.
Formation de les lorsque deux groupes d'individus mar hent en sens opposé
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Quand deux groupes d'individus, mar hant en sens oppposé, se roisent, le ux piéton-
ner s'organise pour minimiser les intera tions entre les individus qui n'ont pas la même
destination. Pour ela, il se divise en plusieurs voies onstituées de personnes allant dans
le même sens. La gure 1.3 illustre bien et en hevêtrement de voies au sens de par-
ours diérent (ngering pattern ) de sorte que les personnes ayant la même dire tion se
suivent à la le. Dans [HM95℄, des résultats numériques asso iés au modèle de for es so-
Fig. 1.3 Observation de les à ontre- ourant.
iales retrouvent e phénomène de séparation de ux. Dans une allée large de 10 m se

2
forment 4 ou 5 les pour une densité de personnes de 0.3 piétons par m ( f. g. 1.4),
et e nombre de voies semble roître linéairement en fon tion de la largeur du hemin.
Dans [HV99℄, et état optimal asso ié à es intera tions minimales trouve une justi-
ation grâ e à l'introdu tion d'une fon tion de type entropie dans un adre ma ros o-
pique. On retrouve aussi e phénomène ave des modèles basés sur des automates ellu-
laires [BA01, BKSZ01, KKWS01, KS02, SKN03℄ ( f. g. 1.5). Dans [HFV00a℄, le modèle
11
Fig. 1.4 Résultats numériques issus de [HM95℄.

tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Fig. 1.5 Résultats numériques issus de [SKN03℄.
de for es so iales est réutilisé pour simuler à nouveau la ren ontre de deux groupes de
piétons se déplaçant en sens opposé. Mais aux diérentes for es d'attra tion et de répul-
sion déjà détaillées dans la sous-se tion 1.1.2, ils ajoutent un terme sto hastique pour
réer des u tuations au niveau des vitesses des individus. Les auteurs remarquent que
si e terme devient trop important, la formation de les n'a plus lieu et les individus se
bloquent indéniment en formant un réseau ristallin. Cette transition est onnue sous le
nom de freezing by heating.
Formes possibles du regroupement piétonnier en amont d'un passage étroit

De nombreuses études ont été menées pour mieux appréhender le omportement des pié-
tons lors d'un rétré issement de voie (passage d'une porte par exemple). La forme de
regroupement des individus en amont du passage étroit est tout à fait diérente sui-
vant la situation onsidérée, normale ou d'éva uation d'urgen e. Dans [HD05℄, des expé-
rien es ont été menées pour observer l'espa e o upé en amont d'un rétré issement de
voie par des piétons évoluant dans un tra normal. Les détails et résultats de es ex-
périen es ont été pré isés à la sous-se tion 1.1.1 ( f gs 1.1 et 1.2). Cette région prend,
d'après es travaux, la forme d'une moitié d'ellipse (dont le grand-axe est parallèle au
ouloir). D'après [Bol98℄, la forme optimale d'un rétré issement de voie est onvexe ( f.
gure 1.6). La situation semble tout autre lors d'une éva uation d'urgen e. Dans e as,
d'après [HFV00b℄, une zone d'engorgement se rée en amont de la sortie, zone dans la-
quelle les gens se regroupent en formant un demi-disque ( entré en la sortie). Nous verrons
12
1.1. Etat de l'art
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Fig. 1.6 Diérentes phases d'une optimisation d'un rétré issement de voie.
dans la sous-se tion 1.1.4 que le modèle de for es so iales adapté [HFV00b℄ et les modèles
utilisant des automates ellulaires [KS02, SKN03℄ permettent de retrouver es ar hes ( f.
gs 1.9 et 1.10). D'après [HFV00b℄, il est très important d'identier les zones où es ar s
se dessinent, puisqu'elles sont ara téristiques des lieux d'engorgement où apparaissent de
fortes pressions.
Formation de réseaux piétonniers dans les espa es verts

Lorsque les individus laissent des empreintes sur le sol, des hemins se forment et seules
quelques zones sont nalement utilisées. Ces hemins évoluent au ours du temps puisque
les piétons peuvent délaisser une route toute tra ée s'ils estiment que elle- i fait de trop
grands détours. Ils prennent alors leur propre hemin si la qualité du sol est a eptable.
Sur la gure 1.7 issue de [HKM97℄, deux formes de réseaux omposés de trois hemins
sont observables. Le premier réseau omporte trois routes assez larges qui se rejoignent
en formant un hemin triangulaire alors que dans le se ond réseau, l'interse tion des
trois voies est quasi-pon tuelle. Dans [HKM97, HSKM97℄, un modèle (inspiré du modèle
de for es so iales) est proposé dans le but de retrouver l'évolution du système de hemins
empruntés par les hommes. Pour ela, ils dénissent un potentiel an de traduire l'attra -
tivité des hemins. Plus un hemin est emprunté, plus il devient onfortable (disparition
de la végétation). Ensuite, la dire tion d'un piéton est hoisie dépendante de la destina-
tion et des hemins existants. Pour faire un ompromis entre le plus ourt hemin et le
onfort des routes déjà tra ées, ils al ulent la moyenne entre dire tion souhaitée et le
gradient du potentiel pré édemment déni. Suivant les valeurs prises par les paramètres
du potentiel, les auteurs retrouvent numériquement les deux types de jon tions observés
pré édemment ( f. gure 1.8).
13
Fig. 1.7 Réseau piétonnier observé dans le ampus de Stuttgart-Vaihingen ([HSKM97℄).

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Fig. 1.8 Résultats numériques issus de [HSKM97℄.
1.1.4 Simulations d'éva uation d'urgen e

Beau oup de modèles ont été proposés pour traiter de telles situations d'éva uation.
Commençons par détailler elui qui ne repose sur au une dis rétisation spatiale : le modèle
de for es so iales adapté présenté dans [HFV00b℄. Comme dans [HM95℄, le dépla ement
des personnes est régi par un système d'équations diérentielles mettant en jeu des for es
d'intera tions ave les autres individus et ave les obsta les, auxquelles ils ajoutent une
for e de fri tion tangentielle entre les personnes. De plus, les auteurs souhaitent aussi
modéliser la perte de patien e des individus ausés par de longs temps d'attente. Pour
ela, ils introduisent un paramètre ηi (t), représentant le taux d'impatien e à l'instant t,
déni par
vi (t)
ηi (t) = 1 − ,
vi0
14
1.1. Etat de l'art
où vi (t) est la vitesse réelle moyenne dans la dire tion souhaitée de la personne i et vi0
est la vitesse souhaitée initialement dans ette même dire tion. Le terme vitesse signie
l'allure, la norme du ve teur vitesse. Ce taux modie la vitesse souhaitée à l'instant t,
selon
vi0 (t) = [1 − ηi (t)]vi0 + ηi (t)vimax .
Un as numérique traite de l'éva uation de 200 personnes d'une piè e sans obsta le ave
une unique porte de sortie (d'une largeur d'un mètre). Les rayons ont été pris distin ts
pour ne pas faire apparaître de ongurations ristallines. Lors des simulations, les auteurs
0
remarquent qu'au début, plus la vitesse souhaitée vi augmente, meilleur est le temps de
0 −1
sortie T des 200 personnes. Mais, dès que vi dépasse une ertaine valeur (1.5 m.s ), des
blo ages au niveau de la porte apparaissent : pendant quelques se ondes, au une personne
ne sort ( f. g 1.9). Et nalement le temps T augmente. Les auteurs parlent de faster-
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Fig. 1.9 Résultats numériques issus de [HFV00b℄.
is-slower ee t : quand les personnes perdent patien e, leur vitesse souhaitée augmente,
vi0 dépasse 5 m.s−1 , des personnes sont bles-
e qui a roît les for es de fri tion. Enn, si
sées et deviennent des obsta les passifs pour les autres. Les auteurs onsidèrent que des
individus se retrouvent ainsi immobilisés si la somme des amplitudes des for es radiales
−1
divisée par leur ir onféren e dépasse une pression de 1600 N.m . En dernier lieu, les
auteurs veulent modéliser le omportement de masse, qui rée une fâ heuse tendan e à
ne pas utiliser toutes les sorties disponibles, en faisant dépendre la dire tion souhaitée de
la personne i de la dire tion moyenne de ses voisins se trouvant à une ertaine distan e.
Si ette dépendan e est faible, des omportements individualistes en résultent, sinon 'est
un omportement moutonnier qui apparaît. Les auteurs ont appliqué e i au as de 90
personnes présentes dans une salle enfumée (sans obsta le) qui dispose de deux sorties.
Le meilleur temps d'éva uation est obtenu quand on ombine les deux omportements :
quelques personnes repèrent les sorties et les autres les suivent. Dans le as d'un individua-
lisme pur, les personnes partent dans des dire tions opposées et se gênent mutuellement,
alors qu'un omportement de masse onduit à l'utilisation d'une unique sortie.
Nous passons maintenant aux modèles utilisant une dis rétisation spatiale en débutant par
les modèles basés sur des automates ellulaires. Ave le modèle présenté dans [KMKWS00℄
15
et détaillé dans la sous-se tion 1.1.2, plusieurs simulations d'éva uations d'urgen e ont
été ee tuées dans diérents lieux : dans une é ole primaire [KMKS01℄, dans un na-
vire [KMKWS00, MKKKS01℄. Les auteurs omparent leurs résultats numériques ave
leurs données expérimentales. Dans [KMKS01℄, le temps d'éva uation numérique est in-
férieur à elui observé lors des expérien es. Les auteurs expliquent ela par le fait que
les élèves onnaissent bien les lieux et obéissent à leur maîtresse, e qui a tendan e à
optimiser le temps d'éva uation. De plus, les meubles dans les salles de ours ne sont pas
pris en ompte alors que leur présen e a pour eet d'améliorer la uidité des groupes.
Dans [HINT03℄, les tables dans les salles de lasse n'étant pas négligées, les résultats ob-
tenus par simulation oïn ident mieux ave les résultats expérimentaux.
Dans [KMKWS00℄ qui traite de l'éva uation d'un navire, le temps de sortie de la première
personne est bien appro hé mais elui de la dernière (et don le temps d'éva uation) est
assez éloigné des résultats expérimentaux. Ces résultats sont améliorés dans [MKKKS01℄
grâ e à quelques modi ations. D'une part, le mouvement du bateau est pris en ompte
en utilisant un fa teur de rédu tion de vitesse des individus (dépendant de l'a élération
du navire). D'autre part, les dépla ements des gens sont mieux appréhendés et sont ren-
dus dépendant des onditions extérieures. Par exemple, lorsque les onditions de visiblité
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sont bonnes, les personnes traversant un orridor ne rasent pas les murs dans le modèle,
quand elles savent qu'elles tournent au bout du ouloir. En revan he, en as de mauvaise
visibilité, les personnes auront tendan e à longer es derniers.
Un autre modèle d'automates ellulaires est utilisé pour simuler l'éva uation d'une salle
+
[KS02℄ ou d'un avion [KKN 03℄. Dans e modèle, les piétons peuvent se dépla er sur 4
ases (en haut, en bas, à gau he, à droite) suivant des probabilités de transition qui dé-
pendent de deux hamps, statique noté S et dynamique noté D. Le premier indépendant
du temps ara térise l'attra tivité d'une zone. Dans le adre d'une éva uation, haque ase
a une valeur de S qui dépend de sa distan e à la sortie. Plus elle- i est petite, plus la
valeur est grande. Le se ond hamp D varie en fon tion du temps et représente en quelque
sorte une tra e virtuelle laissée par les piétons. Cette méthode s'inspire des automates el-
lulaires modélisant les dépla ements de fourmis. Ces dernières déposent des phéromones
pour que leurs ongénères puissent les suivre (pour plus de détails voir [SKN03℄). À l'ins-
tant initial, le hamp D est nul sur toutes les ases et dès qu'un piéton arrive sur une ase,
il augmente la valeur de D de 1 pour elle- i. D'autre part, le hamp D diuse selon la
probabilité α et se détériore selon la probabilité δ . Finalement, la probabilité de transition
pour aller sur la ase (i, j) est al ulée omme suit,
pij = N exp(kD Dij ) exp(kS Sij )ξij ,

ave kD , kS > 0 et où ξij vaut 0 si la ase est o upée (par une autre personne ou un
obsta le) et 1 sinon. Le réel N est un fa teur de renormalisation. Le paramètre kS mesure
en quelque sorte la onnaissan e de la lo alisation de la sortie par les individus, alors que
le paramètre kD évalue la tendan e des personnes à suivre les autres. En faisant varier es
deux éléments, les auteurs s'aperçoivent que le temps d'éva uation est minimal lorsque
es derniers sont du même ordre de grandeur, e qui oïn ide ave les résultats présentés
dans [HFV00b℄ (même type d'expérien es dans une piè e présentant deux sorties). De
plus, les auteurs de [KS02, SKN03℄ retrouvent aussi le phénomène de formation d'ar hes
( f. g 1.10). Dans [KNS03℄, les auteurs utilisent le modèle dé rit pré édemment ave
16
1.1. Etat de l'art
Fig. 1.10 Résultats numériques issus de [SKN03℄.
une méthode de mise à jour parallèle des positions. Pour insister sur la ompétition entre
individus, ils introduisent, lorsque les personnes essaient d'atteindre la même ase, un
paramètre de fri tion qui est la probabilité que tout le monde reste à sa pla e. D'autres
modèles utilisant des graphes orientés [BT86a, BT86b, Løv94, YS89℄ et déjà détaillés
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
dans la sous-se tion 1.1.2 sont aussi employés pour simuler des situations d'éva uation.
Toutefois, d'après [HMFB01℄, es modèles ne permettent pas de retrouver les phénomènes
de formations d'ar hes pré édemment évoqués.
Remarque 1.2 Dans le as d'une éva uation d'urgen e, il est beau oup plus di ile de
omparer les résultats numériques à des données réelles quasiment inexistantes. De plus,
re réer la panique lors d'une expérien e ave des personnes volontaires n'est pas non plus
hose aisée puisque bien évidemment il n'est pas question que des gens se blessent lors
de es tests. Dans [MBM96℄, deux expérien es d'éva uation d'un avion ont été menées
ave 60 personnes environ. Dans la première expérien e, on demandait aux gens de sortir
rapidement, dans la se onde, on donnait de l'argent aux 30 premiers sortis. La largeur
de la porte de sortie était inférieure à 70 cm. Le temps d'éva uation dans le premier
as s'est avéré bien inférieur à elui mesuré dans le se ond : la surmotivation de tous les
individus est don ontre-produ tive. On s'attend à retrouver e problème lors de situations
d'éva uation d'urgen e.
Ce i termine la présentation des modèles employés pour simuler des situations d'éva ua-
tion d'urgen e. Ces derniers utilisent don diérentes méthodes de gestion des onta ts.
Dans le modèle de for es so iales, les onta ts entre les individus sont gérés à l'aide de
for es de répulsion, hoisies très singulières, e qui impose de fortes ontraintes sur le pas
de temps utilisé lors de la résolution des équations diérentielles. Les modèles les plus
souvent utilisés ( ar moins oûteux en temps de al ul) sont les modèles basés sur une
dis rétisation spatiale (automates ellulaires ou graphes orientés). Toutefois, es derniers
qui ne gèrent pas dire tement les onta ts entre les individus ne rendent pas véritable-
ment ompte des fortes intera tions lo ales qui peuvent apparaître entre les piétons. Nous
dé rivons maintenant le modèle qui fait l'objet du présent travail.
17
1.2 Des ription d'un nouveau modèle
Nous proposons un modèle mi ros opique de mouvements de foule ayant pour prin ipal
obje tif de simuler des situations de ongurations denses typiques des as d'urgen e. Ce
modèle repose sur deux prin ipes :
1. haque personne a une vitesse souhaitée, elle qu'elle aurait en l'absen e des autres ;
2. la vitesse réelle des individus doit prendre en ompte une ertaine ontrainte d'en-
ombrement maximal. Plus pré isément, les personnes identiées à des disques ri-
gides, doivent respe ter une ontrainte de non- hevau hement.
Dans notre modèle, la vitesse réelle est la proje tion de la vitesse souhaitée sur un ensemble
de vitesses admissibles (respe tant la ontrainte de non- hevau hement). Ce dernier point
permet de traiter dire tement les onta ts entre les individus.
Pour pré iser es deux prin ipes, nous introduisons quelques notations. Nous onsidérons
N personnes assimilées à des disques rigides et évoluant dans un espa e bidimensionnel
pouvant ontenir des obsta les. La personne i est représentée par le disque de entre
qi = (qix , qiy ) ∈ R2 ri .
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et de rayon Quant aux obsta les présents (murs, tables, ...), ils sont
modélisés par un ensemble de segments. Ainsi, ette représentation fournit en quelque
sorte une vue de dessus de la piè e ( f. g. 1.11).
Fig. 1.11 Représentation de la situation.
La onguration des N piétons est donnée par le ve teur position q = (q1 , . . . , qN ) ∈ R2N
(espa e muni de la norme eu lidienne). On note Dij la distan e relative entre les personnes
i et j ( f g.1.12).
PSfrag repla ements
rj
ri qj
qi
Dij (q)
Fig. 1.12 Notations.
18
1.2. Des ription d'un nouveau modèle
Vitesse souhaitée
Le premier point du modèle onsiste à hoisir une vitesse souhaitée pour les individus.
Ce hoix est très important puisque ette vitesse ontient toutes les informations sur le
omportement des piétons. Elle doit traduire dans quelle mesure la géométrie des lieux et
la présen e d'autres personnes inuen ent les dépla ements d'un individu. D'une part, la
vitesse souhaitée d'un piéton dépend du lieu où e dernier évolue. Il est par exemple es-
sentiel de prendre en ompte les obsta les présents dans une piè e et de pré iser omment
les piétons vont vouloir les ontourner. La vitesse souhaitée d'un individu est ainsi dé-
pendante de sa propre position dans la piè e. Pour dé rire e fait, il existe de nombreuses
possibilités. Cette vitesse souhaitée peut par exemple être onstruite à la main, et pour
traduire la présen e d'un panneau de sortie, on peut donner des dire tions privilégiées à
elle- i. On peut aussi her her à dénir ette dernière de manière systématique dès que la
géométrie est donnée. Nous avons par exemple hoisi ( f. se tion 5.2) de prendre omme
vitesse souhaitée pour toutes les personnes la vitesse dirigée par le plus ourt hemin vers
une sortie, qui évite bien entendu les obsta les (la norme de la vitesse étant xée).
D'autre part, la vitesse souhaitée d'un individu peut aussi dépendre de la présen e des
autres piétons. Lorsque plusieurs hemins sont possibles, les personnes pressées ont sou-
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
vent tendan e à emprunter le hemin le moins embouteillé. Il est tout à fait envisageable
de distinguer les piétons en les munissant de diérentes stratégies en as de situation
engorgée ( f. se tion 6.4). Toutefois, on prendra garde au fait que lors d'une éva uation
d'urgen e, les personnes en proie à la panique ne développent pas en général de stratégies
individuelles. Nous proposons d'autres hoix dans le hapitre 6, mais toute alternative
est possible, par exemple en s'inspirant des résultats obtenus lors d'études menées sur le
omportement piétonnier.
Supposons que la vitesse souhaitée des individus est hoisie. On dénit Ui (q) ∈ R2 , la
vitesse souhaitée de la personne i, dépendant potentiellement de la onguration globale
q. Le ve teur vitesse des N personnes est noté
U(q) = (U1 (q), . . . , UN (q)) .

Vitesse réelle
Il reste à pré iser le se ond point du modèle qui permet de gérer les onta ts entre les
piétons. Dans une situation d'éva uation, mettant en jeu un grand nombre d'individus,
les personnes nissent par se gêner mutuellement et ne peuvent avan er ave leur vitesse
souhaitée. Dès qu'il y a onta t entre les personnes i et j, la vitesse ee tive ne peut
qu'augmenter (au sens large) la distan e entre elles. C'est pourquoi, on introduit un
ensemble de vitesses dites admissibles, déni omme suit,

Cq = v ∈ R2N , ∀i < j , Dij (q) = 0 ⇒ ∇Dij (q) · v ≥ 0 .
Dans le modèle, la vitesse réelle u est la proje tion eu lidienne de la vitesse souhaitée
U sur l'ensemble des vitesses admissibles Cq ( onvexe fermé). Le modèle s'é rit don
nalement :
dq
= PCq U.
dt
Ce modèle permet aussi d'empê her les personnes poussées vers les obsta les de les tra-
verser. En eet, les onta ts entre les individus et les obsta les sont gérés numériquement
19
de la même manière que les onta ts entre piétons.

Malgré la simpli ité apparente de e modèle, nous n'avons pas trouvé dans la littérature de
adre théorique qui permette d'en attester immédiatement le ara tère bien posé. Sur le
plan numérique également, au un s héma standard ne s'impose. Ces onsidérations théo-
riques et numériques font l'objet des parties I et II. Nous reverrons dans la partie III, des
onsidérations plus pro hes de la modélisation et des aspe ts de programmation ee tive.
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20
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21
Première partie
Aspe ts théoriques
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Chapitre 2
Cadre mathématique et résultats
Sommaire
2.1 Reformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Cas parti ulier : dépla ement dans un ouloir . . . . . . . 28

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2.3 Problèmes ren ontrés lors de la généralisation . . . . . . . 31
2.4 Cadre mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Notion de prox-régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.2 Pro essus de rae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
23
Chapitre 2. Cadre mathématique et résultats
Dans e hapitre, nous ommençons l'étude mathématique du modèle présenté à la

se tion 1.2. Après reformulation, nous verrons que le problème prend la forme d'une
in lusion diérentielle. Dans un premier temps, nous prouvons le ara tère bien posé de
e problème dans un as parti ulier où les N individus sont ontraints à se dépla er
dans un ouloir. Ensuite, nous expliquons les di ultés soulevées par la généralisation
au dépla ement bidimensionnel. Enn, nous pré isons le adre mathématique général
dans lequel le problème d'in lusion diérentielle se situe, avant d'appliquer les résultats
théoriques asso iés.
2.1 Reformulation
Nous rappelons brièvement les notations introduites à la se tion 1.2 et nous en intro-
duisons de nouvelles. La onguration des N personnes assimilées à des disques rigides
est donnée par le ve teur position q = (q1 , . . . , qN ) ∈ R2N . L'espa e R2N est muni de sa
norme eu lidienne,
v
u N
uX
|q| = t |q |2 , où |qi |2 = (qix )2 + (qiy )2 .
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i
i=1
Le produit s alaire asso ié de 2 ve teurs v et w de R

2N
est noté v · w. On dénit pour
i < j sur R , la fon tion Dij , distan e relative entre les personnes
2N
i et j , de la manière
suivante,
Dij (q) = |qi − qj | − (ri + rj ).
La nullité de ette fon tion ara térise don le onta t entre es deux personnes. Une
onguration est dite admissible si les distan es relatives entre toute paire d'individus
sont positives. L'ensemble de es ongurations s'é rit don de la manière suivante,
Dénition 2.1 (Ensemble de ongurations admissibles)

Q0 = q ∈ R2N , ∀i < j , Dij (q) ≥ 0 .
PSfrag repla ements
rj
eij (q)
ri qj
qi
Dij (q)
−eij (q)
Fig. 2.1 Notations.
De plus, pour tout q ∈ Q0 , on dénit ( f. g. 2.1) le ve teur unitaire eij (q) se dirigeant
de la personne i vers la personne j, omme suit,
qj − qi
eij (q) = .
|qj − qi |
24
2.1. Reformulation
Ce i nous permet de pré iser l'expression du ve teur Gij (q), gradient de la fon tion Dij
au point q :
Gij (q) = ∇Dij (q) = (0, . . . , 0, −eij (q) , 0, . . . , 0, eij (q) , 0, . . . , 0) ∈ R2N .
i j
Le ve teur vitesse souhaitée des N personnes est noté U(q) = (U1 (q), . . . , UN (q)) . Pour
dénir la vitesse réelle, on introduit un ensemble de vitesses dites admissibles.
Dénition 2.2 (Ensemble de vitesses admissibles)

Cq = v ∈ R2N , ∀i < j , Dij (q) = 0 ⇒ Gij (q) · v ≥ 0 .
Propriété 2.3 Cq est un ne onvexe fermé non vide de sommet 0.
Dans le modèle, la vitesse réelle u des N individus est la proje tion eu lidienne de la
vitesse souhaitée U sur l'ensemble des vitesses admissibles Cq . Le modèle s'é rit don
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
nalement :  Z
 q = q0 + u,
(2.1)

u = PCq U.
Remarque 2.4 Cette é riture assez simple sous la forme d'une équation diérentielle
du premier ordre masque ertaines di ultés. L'ensemble Cq ne dépend pas ontinûment
de q. En eet, lorsque la onguration q ne présente au un onta t, l'ensemble Cq est
l'espa e R2N (il n'y a au une ontrainte sur la vitesse). Mais dès qu'apparaît un onta t,
et ensemble se transforme en un demi-espa e.
Pour pré iser le adre mathématique dans lequel e problème se situe, une reformulation
de (2.1) est né essaire. On introduit pour q ∈ Q0 , le ne Nq , ne polaire de Cq qu'on
appelle ne normal sortant au point q. On expliquera ette dénomination lors de la
remarque 2.7.
Dénition 2.5 (Cne normal sortant)

Nq = {w ∈ R2N , ∀v ∈ Cq , v · w ≤ 0}.
Grâ e au lemme de Farkas (lemme B.1 p. 146), l'expression du ne Nq peut être pré isée.
Proposition 2.6
( )
X
Nq = − µij Gij (q) , µij ≥ 0 , µij = 0 si Dij (q) > 0 .
i<j
25
Démonstration :
Ce résultat est ee tivement une onséquen e dire te du lemme de Farkas. Toutefois, on
présente i i une autre preuve qui s'appuie sur la notion de ne polaire ( f. Annexe C
p. 149). On dénit Icontact = {(i, j) , i < j , Dij (q) = 0}. Le fait qu'un ve teur v appar-
tienne à Cq est équivalent à la propriété suivante,
∀(i, j) ∈ Icontact , Gij (q) · v ≥ 0.
Ce i équivaut aussi à
X
∀µij ≥ 0 , µij Gij (q) · v ≥ 0.
(i,j)∈Icontact
Si on dénit  
 X 
Fq = − µij Gij (q) , µij ≥ 0 ,
 
(i,j)∈Icontact
Cq = Fq◦ . Cq est un ne onvexe fermé

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on vient de montrer que Comme de sommet 0, on

sait d'après la proposition C.4 p. 151 que Cq ◦◦ = Cq . Par onséquent,
Fq◦ = Cq = Cq ◦◦ = Nq◦.
Ainsi, Fq◦◦ = Nq ◦◦ . Toujours grâ e à la proposition C.4, on obtient que Fq = Nq .
N q2
PSfrag repla ements
D13 < 0
q2
D12 < 0 D34 < 0

Cq2
N q1
q1
Cq1
Q0
Fig. 2.2 Cnes Cq et Nq .
Remarque 2.7 (Appellation ne normal sortant)

Sur la gure 2.2, on a s hématisé l'ensemble Q0 ⊂ R2N qui par dénition (dénition 2.1
p. 24) est une interse tion de omplémentaires de onvexes. Sur ette gure, sont repré-
sentées deux ongurations admissibles q1 et q2 de Q0 , a hant respe tivement un et
26
2.1. Reformulation
deux onta ts. On remarque que dans le as d'un unique onta t, le ne Nq1 est engen-
dré par la normale sortante au domaine d'équation D34 ≥ 0, qui est le ve teur −G34 (q1 )
renormalisé. Dans le as de deux onta ts (ou plus), la onguration q2 est un point où
la surfa e est non lisse et le ne Nq2 (engendré par −G12 (q2 ) et −G13 (q2 )) étend en
quelque sorte la notion de dire tion normale sortante.
Réé rivons maintenant le système (2.1). Grâ e à la proposition C.3 p. 150, on peut expri-
mer la proje tion sur Cq en fon tion de la proje tion sur Nq . On obtient ainsi que
u = PCq U = U − PNq U.
Par onséquent, le système (2.1) devient

 dq + P U(q) = U(q)
Nq
dt (E1 )

q(0) = q0 .
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En é rivant que PNq U ∈ Nq , on obtient la relation suivante entre vitesse réelle et vitesse
souhaitée :

 dq + N ∋ U(q),
q
dt (E2 )

q(0) = q0 .
On aboutit don à une in lusion diérentielle du premier ordre faisant intervenir l'opéra-
teur multivalué (ou multivoque) N , qui à un point q ∈ R asso ie le ne Nq ⊂ R
2N 2N
(en posant pour tout point q∈

/ Q0 , Nq = ∅) .
Remarque 2.8 (Interprétation de l'in lusion diérentielle)

Si une onguration q ne présente au un onta t, alors l'ensemble des vitesses admissibles
Cq est l'espa e R2N , et par onséquent le ne normal sortant Nq est égal à {0}. Dans e
as, la première relation de (E2 ) arme juste
dq
= U(q).
dt
Quand il n'y a pas de onta t, il n'existe pas de ontraintes et la vitesse réelle est égale à
la vitesse souhaitée. Lorsque des onta ts existent, l'in lusion diérentielle traduit juste
le fait suivant : la onguration q qui est soumise au hamp U(q), doit évoluer tout en
restant dans Q0 .
Remarque 2.9 L'é riture de notre problème sous la forme d'une in lusion diérentielle
(E2 ) implique une perte d'information par rapport au problème de départ (E1 ). Cependant
on verra que dans le as parti ulier de la se tion 2.2 ( as où les personnes se dépla ent
dans un ouloir) es deux é ritures sont en fait équivalentes. La solution régulière du
problème d'in lusion diérentielle vérie bien l'équation diérentielle initiale.
27
2.2 Cas parti ulier : dépla ement dans un ouloir
Dans ette se tion, on onsidère un as parti ulier où des personnes évoluent dans un
ouloir si étroit qu'elles ne peuvent se dépasser ( f. g. 2.3). Les entres des disques sont
alors repérés par une seule oordonnée : on travaille maintenant dans l'espa e RN . Il est
alors naturel de restreindre Q0 à l'une de ses omposantes onnexes.
Fig. 2.3 Cas du ouloir.
Ainsi, Q0 s'é rit de la façon suivante
Q0 = {q = (q1 , ..., qN ) ∈ RN , qi+1 − qi ≥ ri + ri+1 }. (2.2)
Autrement dit, on a imposé un ordre sur la position des parti ules, ordre qui sera toujours
respe té, grâ e à la ontrainte de non- hevau hement. On observe fa ilement la propriété
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suivante.
Propriété 2.10 Q0 est un onvexe fermé de RN .
Dans e as parti ulier, Cq s'é rit aussi plus simplement,
Cq = {v ∈ RN , ∀i qi+1 − qi = ri+1 + ri ⇒ vi+1 − vi ≥ 0}. (2.3)
L'interprétation est simple : si les personnes i et i+1 sont en onta t, la personne i+1
qui se trouve à l'avant doit avan er plus vite que la personne i située à l'arrière. De plus,
on rappelle que le ne normal sortant Nq est le ne polaire de Cq , 'est-à-dire que
Nq = {w ∈ RN , ∀v ∈ Cq , v · w ≥ 0}. (2.4)
On her he maintenant à é rire autrement Nq pour déterminer les propriétés de l'opéra-

teur N. Pour ela, nous allons d'abord exprimer l'ensemble Cq en fon tion de Q0 .
Proposition 2.11 On a pour tout q ∈ Q0 , l'égalité suivante,

[
Cq = λ (Q0 − q) .
λ>0
Démonstration : [
On ommen e par montrer une première in lusion : λ (Q0 − q) ⊂ Cq .
[ λ>0
Soit w∈ λ (Q0 − q), omme
λ>0

Q0 − q = p ∈ RN , ∀i pi+1 − pi ≥ ri+1 + ri − (qi+1 − qi ) ,
28
2.2. Cas parti ulier : dépla ement dans un ouloir
le ve teur w vérie la propriété suivante,
∃λ > 0 , ∀i , wi+1 − wi ≥ λ (ri+1 + ri − (qi+1 − qi )) .

En parti ulier, si qi+1 − qi = ri+1 + ri alors on a né essairement wi+1 − wi ≥ 0. En
onséquen e, on en déduit que w ∈ Cq .
[
Il reste maintenant à prouver l'autre in lusion : Cq ⊂ λ (Q0 − q).
λ>0
Soit w ∈ Cq , on dénit l'ensemble J = {j , qj+1 − qj > rj+1 + rj et wj+1 − wj < 0}. Si
J 6= ∅, on pose
wj+1 − wj
λw = max > 0.
j∈J rj+1 + rj − (qj+1 − qj )
Sinon, on pose λw = 1. Montrons qu'alors
∀i , wi+1 − wi ≥ λw (ri+1 + ri − (qi+1 − qi )) .

Si i ∈ J , le résultat est vrai par dénition de λw . Si i ∈ / J , deux as sont possibles.
Soit qi+1 − qi = ri+1 + ri , et omme on a w ∈ Cq , né essairement wi+1 − wi ≥ 0. Soit
qi+1 − qi > ri+1 + ri et wi+1 − wi ≥ 0, on a alors wi+1 − wi ≥ 0 > λw (ri+1 + ri − (qi+1 − qi )).
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Dans les deux as, l'inégalité est vériée, e qui prouve que
w ∈ λw (Q0 − q).
La deuxième in lusion est ainsi démontrée.
Nous allons maintenant pré iser la bonne propriété vériée par l'opérateur N. Pour ela,
on introduit IQ0 l'indi atri e de Q0 et ∂IQ0 (q) le sous-diérentiel de ette fon tion au
point q ∈ R
N
( f. dénitions A.2 et A.3 p. 142).
Proposition 2.12 L'opérateur N est maximal monotone.

Démonstration :
Il sut de vérier que Nq est le sous-diérentiel de l'indi atri e de Q0 au point q. En
eet, d'après la proposition 2.11, on a
[
∀q ∈ Q0 , Cq = λ (Q0 − q) .
λ>0
En prenant le ne polaire de es deux ensembles, on obtient grâ e à la proposition A.4

p. 143, l'égalité suivante pour tout q ∈ Q0 :
!◦
[
Nq = Cq◦ = λ (Q0 − q) = ∂IQ0 (q) . (2.5)
λ>0
Par ailleurs, pour tout q∈

/ Q0 , on a Nq = ∅ = ∂IQ0 (q). Ainsi, Nq = ∂IQ0 (q) pour tout
q ∈ R2N . On on lut alors grâ e à la proposition A.7 p. 143 que l'opérateur N = ∂IQ0
est maximal monotone.
Dès lors, on peut appliquer les résultats de la théorie des opérateurs maximaux monotones
pour en déduire que le problème (E2 ) est bien posé.
29
Théorème 2.13 (Existen e et uni ité d'une solution à l'in lusion diérentielle)
Soit Q0 déni par (2.2) p. 28 et soit U lips hitz, alors
pour tout T > 0, pour tout q0 ∈ Q0 ,
il existe une unique fon tion q ∈ W 1,1
[0, T ], R solution de
N

 dq + N − U (q) ∋ 0,
q
dt (E2 )

q (0) = q0 ,
où Nq est le ne normal sortant au point q, déni par (2.4) p. 28.

Démonstration :
Ce résultat dé oule immédiatement du théorème D.4 p. 154. Vérions qu'on se trouve
bien dans le adre de e dernier. On travaille dans l'espa e de Hilbert H = R
N
muni de
la norme eu lidienne anonique. L'opérateur N est maximal monotone et son domaine
D (N ) est égal à Q0 , d'intérieur non vide. Enn le ara tère lips hitzien de U permet de
vérier les dernières hypothèses du théorème D.4.
On peut maintenant vérier e qui était annon é dans la remarque 2.9 p. 27, à savoir que
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la solution pré édente au problème d'in lusion diérentielle (E2 ) est en fait solution de
l'équation diérentielle (E1 ).
Théorème 2.14 (Existen e et uni ité d'une solution à l'équation diérentielle)

Soit Q0 déni par (2.2) p. 28 et soit U lips hitz, alors
pour tout T > 0, pour tout q0 ∈ Q0 ,
il existe une unique fon tion q ∈ W 1,1
[0, T ], R solution de
N

 dq + P (U (q)) = U (q) ,
Nq
dt (E1 )

q (0) = q0 ,
où Nq est le ne normal sortant au point q, déni par (2.4) p. 28.

Démonstration :
On onsidère la fon tion q solution du problème (E2 ) résolu au théorème 2.13 ave pour
donnée initiale q0 . On dénit alors la fon tion f : t 7→ f (t) = U(q(t)). Comme U est
lips hitz et q ontinue, la fon tion f est dans C 0 ([0, T ], H). Considérons maintenant le
problème suivant : trouver une fon tion p solution de

 dp + N ∋ f,
p
dt

p (0) = q0 .
D'après le théorème D.5 p. 154, il existe une unique solution p ∈ W 1,∞ ([0, T ], H) à e
problème d'in lusion diérentielle. De plus, ette fon tion p possède une dérivée à droite
en tout point t ∈]0, T [ vériant
d+ p
(t) = f (t) − PNp(t) (f (t)).
dt
30
2.3. Problèmes ren ontrés lors de la généralisation
Comme p ∈ W 1,∞ ([0, T ], H), la fon tion p est lips hitzienne et elle est don dérivable
presque partout, d'après le théorème de Radema her. Ainsi, on obtient
dp
(t) = f (t) − PNp(t) (f (t)) p.p.
dt
Par uni ité de la solution au problème d'in lusion diérentielle (E2 ) et sa hant que
W 1,∞ ([0, T ], H) ⊂ W 1,1 ([0, T ], H) ar T < ∞, on on lut que p = q. Par onséquent, on
obtient
dq
(t) = U(q(t)) − PNq(t) (U(q(t))) p.p.
dt

2.3 Problèmes ren ontrés lors de la généralisation
La simple généralisation des pré édents résultats est impossible quand on permet aux
N personnes de se dépla er dans le plan. L'ensemble des ongurations admissibles dont
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on rappelle l'expression :

Q0 = q ∈ R2N , ∀i < j , Dij (q) ≥ 0 ,
PSfrag repla ements
n'est pas un ensemble onvexe. En eet sur la gure 2.4, sont représentées trois ongu-
rations, q et e
q ainsi que leur moyenne q̄. On voit fa ilement que q et e
q appartiennent
q̃2 q̄2
q1 q2 q̄1
q̃1
q+qe
onguration q onguration q
e onguration q̄ =
2
Fig. 2.4 Défaut de onvexité.
à Q0 , mais pas q̄. En onséquen e, l'argument ( f. propriété 2.10) faisant le lien entre
l'opérateur N et Q0 ne peut être réutilisé.
Montrons pour nir ette se tion que l'opérateur N n'a plus de propriété de monoto-
nie ( f. dénition D.2 p. 154).
Dans le as de N = 2 personnes, on peut montrer que l'opérateur −N est maximal
monotone. En eet, quand on onsidère uniquement 2 individus,
Q0 = {q ∈ R4 , D12 (q) ≥ 0}
est alors le omplémentaire d'un onvexe, puisque D12 est une fon tion onvexe. Si on
dénit C = {q ∈ R , D12 (q) ≤ 0}, alors on a Nq = −∂IC (q). Par onséquent, −N est
4
31
un opérateur maximal monotone ( f. théorème A.7 p. 143).

Lorsque N ≥ 3, on peut montrer que ni l'opérateur N, ni l'opérateur −N ne sont maxi-
maux monotones. Pour simplier les notations, on se pla e i i dans R en ne onsidérant
6
que 3 individus, mais la preuve est fa ilement généralisable à R

2N
pour N > 3. On pose
r1 = r2 = r3 = 1 (là en ore sans perte de généralité) et on se donne don q = (q1 , q2 , q3 )
e = (qe1 , qe2 , qe3 ), deux ongurations admissibles ( f. g. 2.5).
et q
q̃2
q̃3
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α
PSfrag repla ements
q1 = q̃1 q2
q3
Fig. 2.5 Défaut de monotonie.
Plus pré isément, on hoisit,
q = (−1, 0, 1, 0, 1, b) et e = (−1, 0, 1, 5, 2 cos α − 1, 2 sin α) ,

q
où b∈R ave |b| > 2, e qui implique,
e − q = (0, 0, 0, 5, 2 cos α − 2, 2 sin α − b) .

q
Comme D12 (q) = 0 = D13 (e

q), on sait d'après la proposition 2.6 p. 25, que
Nq = −R+ G12 (q) et Nqe = −R+ G13 (e

q).
Par onséquent,
Nq = R+ (1, 0, −1, 0, 0, 0) et Nqe = R+ (cos α, sin α, 0, 0, − cos α, − sin α) .
D'où, en posant e = (cos α, sin α, 0, 0, − cos α, − sin α) ∈ Nqe ,

n = (1, 0, −1, 0, 0, 0) ∈ Nq et n
on obtient
e − n = (cos α − 1, sin α, 1, 0, − cos α, − sin α) .
n
32
2.4. Cadre mathématique
Ainsi,
n − n, q
(e e − q) = − cos α (2 cos α − 2) − sin α (2 sin α − b)
= −2 cos2 α + 2 cos α − 2 sin2 α + b sin α
= 2 cos α − 2 + b sin α
= 2(cos α − 1) + b sin α.
On remarque que, si α est positif, pro he de 0, ette quantité a le même signe que b. En
on lusion, ni N, ni −N n'est un opérateur monotone.
2.4 Cadre mathématique
2.4.1 Notion de prox-régularité

Dans la se tion 2.3, on a évoqué le défaut de onvexité de Q0 , ensemble des ongu-
rations admissibles. La bonne propriété d'un onvexe fermé C in lus dans un espa e de
Hilbert est que la proje tion surC de tout point de l'espa e est bien dénie, autrement
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C qui réalise le minimum de la distan e à C . L'ensemble

dit, il existe un unique point de
Q0 présente une propriété plus faible : la proje tion sur Q0 est bien dénie pour tous les
points situés à une distan e susamment petite de Q0 . L'ensemble Q0 est dit uniformé-
ment prox-régulier.
Le on ept de prox-régularité uniforme a été introduit par H. Federer dans [Fed59℄
en dimension nie sous le nom d'ensembles positively rea hed. Puis les ensembles prox-
réguliers dans un espa e de Hilbert ont été onsidérés par A. Canino dans [Can88℄ sous le
nom d'ensembles p- onvexes, et aussi par F.H. Clarke, R.J. Stern et P.R. Wolenski dans
[CSW95℄ en tant qu'ensembles proximally smooth. La notion de prox-régularité lo ale
ainsi que la dénomination de prox-régularité pour les ensembles dans un espa e de Hilbert
ont été introduites par R.A. Poliquin, R.T. Ro kafellar et L. Thibault dans [PRL00℄.
Pré isons maintenant ette notion. On onsidère H un espa e de Hilbert, muni de son
produit s alaire h, i et on note || sa norme assso iée. Pour x∈H et r > 0, on désigne
par B(x, r) la boule ouverte de entre x et de rayon r . Soit S un sous-ensemble fermé non
vide de H , on note dS (y) la distan e du point y à l'ensemble S , dénie par
dS (y) = inf {|y − x|}.

x∈S
De plus, pour y∈H on dénit l'ensemble des points de S, les plus pro hes de y par,
n o
PS (y) = x ∈ S, dS (y) = |y − x| .
Si PS (y) est réduit au singleton x, on notera plus simplement x = PS (y).
Dénition 2.15 Soit x ∈ S , on appelle ve teur proximal normal à S en x tout ve teur

s'é rivant α(y − x), où α > 0 et y ∈ H vérie x ∈ PS (y).
33
y
x
PSfrag repla ements
Fig. 2.6 Ve teur proximal normal.
Dénition 2.16 On appelle ne proximal normal à S en x l'ensemble des ve teurs proxi-
mal normal à S en x noté
n o
N P (S, x) = v ∈ H, ∃α > 0, x ∈ PS (x + αv) .
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Dénition 2.17 On appelle ne normal limitant à S en x l'ensemble

n o
N L (S, x) = v ∈ H, ∃(xn ) ∈ S N , ∃(vn ) ∈ (N P (S, xn ))N , xn −
→ x, vn ⇀ v .
◦
Si x ∈ S, alors N P (S, x) = N L (S, x) = {0}. On her hera don à déterminer N P (S, x) et
◦
L
N (S, x) pour x ∈ ∂S = S̄ \ S .
Remarque 2.18 On a lairement
N P (S, x) ⊂ N L (S, x).
Mais il n'y a pas en général égalité de es ensembles. En eet, la gure 2.7 illustre un
ontre-exemple dans lequel N L (S, x) est omposé de demi-deux droites (tra ées en poin-
tillé). L'une provient de la limite de vn1 quand x1n tend vers x, l'autre provient de la
limite de vn2 quand x2n tend vers x. Et pourtant, on peut fa ilement se onvain re que
N P (S, x) = {0}.
Propriété 2.19 S'il existe α > 0 , tel que x ∈ PS (x + αv) alors

∀β ≥ 0, β ≤ α, x ∈ PS (x + βv).
Démonstration :
En eet, en supposant qu'il existe β0 < α, tel que x∈
/ PS (x + β0 v), on peut trouver x̄ un
élément de S vériant
|x̄ − (x + β0 v)| < β0 |v|.
34
N L (S, x)
vn2
PSfrag repla ements
x2n vn1
x x1n
Fig. 2.7 Diéren e entre ne limitant et ne proximal normal.
Ce i implique que
|x̄ − (x + αv)| ≤ |x̄ − (x + β0 v)| + |(β0 − α)v| < β0 |v| + (α − β0 )|v| = α|v|,
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e qui entraîne une ontradi tion.
Les dénitions pré édentes des diérents nes et la dénition qui suit, se trouvent dans
[CSW95, CLSW98℄.
Dénition 2.20 On appelle sous-diérentiel proximal de la fon tion dS au point x l'en-

semble
n o
P 2
∂ dS (x) = v ∈ H, ∃M, α > 0, dS (y) − dS (x) + M|y − x| ≥ hv, y − xi, ∀y ∈ B(x, α) .
Pré isons la relation utile par la suite entre le sous-diérentiel proximal normal et le ne
du même nom, qui est démontrée dans [BT02, CLSW98℄.
Propriété 2.21 On a l'égalité suivante

∂ P dS (x) = N P (S, x) ∩ B(0, 1).
Dénition 2.22 (Ensemble uniformément prox-régulier)

Soit η > 0, S est dit η -prox-régulier ou uniformément prox-régulier de onstante η si, pour
tout x ∈ S et v ∈ N L (S, x), tel que |v| < 1, on ait x = PS (x + ηv).
Quand S est η -prox-régulier, on a l'égalité des nes introduits pré édemment ( f. [CLSW98℄) :
N L (S, x) = N P (S, x).
Dans la suite, nous n'utiliserons que la notion de ne proximal normal, 'est pourquoi le
P
ne N (S, x) sera juste noté N(S, x).
On trouvera la démonstration de la proposition suivante dans [PRL00, CSW95℄.
35
η
x
PSfrag repla ements
S
Fig. 2.8 Ensemble η -prox-régulier.
Proposition 2.23 Soit η > 0, S est η-prox-régulier si et seulement si, pour tout x ∈ S
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et tout v ∈ N(S, x) \ {0},

v
B x + η , η ∩ S = ∅,
|v|
autrement dit, si et seulement si, pour tout x ∈ S et tout v ∈ N(S, x),
|v|
hv, y − xi ≤ |y − x|2 , ∀y ∈ S.
2η
De la proposition 2.23 illustrée par la gure 2.8, dé oule la propriété vériée par un
ensemble uniformément prox-régulier et qui était annon ée au début de la se tion : la
proje tion sur un ensemble S uniformément prox-régulier est bien dénie pour les points
se situant à une distan e de S , plus petite que la onstante de prox-régularité.
Propriété 2.24 Si S est η -prox-régulier, alors pour tout y ∈ H , tel que dS (y) < η , la
proje tion de y sur S est bien dénie, au sens où l'ensemble PS (y) est un singleton.
Remarque 2.25 La proje tion sur un ensemble S η-prox-régulier ave η < +∞ n'est que
lo alement lips hitzienne sur son ensemble de dénition. En eet, on peut montrer grâ e
à la proposition 2.23 que pour tous y, ỹ ∈ H , tels que dS (y) < η et dS (ỹ) < η , on a

2η
|PS (y) − PS (ỹ)| ≤ |y − ỹ|.
2η − dS (y) − dS (ỹ)
La onstante de Lips hitz explose lorsque l'on s'appro he de la zone {y, dS (y) = η}.
36
Remarque 2.26 Un ensemble C ⊂ H est onvexe si et seulement si C est ∞-prox-

régulier. De plus, d'après la proposition A.8 p. 144, pour tout x ∈ C , il y a égalité entre
le sous-diérentiel de l'indi atri e de C et le ne proximal normal à C , au point x :
N(C, x) = ∂IC (x).
2.4.2 Pro essus de rae

Comme on l'a vu dans la remarque 2.8 p. 27, le problème,

 dq + N ∋ U(q),
q
dt (E2 )

q(0) = q0 ,
s'interprète de la manière suivante : la onguration globale q, soumise au hamp de
vitesse souhaitée U(q) doit évoluer tout en restant dans l'ensemble des ongurations
admissibles Q0 . En e sens, notre problème s'ins rit dans le adre des pro essus de rae.
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On propose i i de pré iser ette notion, tout d'abord en détaillant le premier pro essus
de rae onsidéré dans les années 70, et ensuite en évoquant des résultats plus ré ents sur
des problèmes de pro essus de rae plus généraux.
Le début
Les pro essus de rae ont été introduits par J.J. Moreau dans [Mor77℄. Il onsidérait le
problème suivant : un point se trouve à l'intérieur d'un onvexe fermé C mobile in lus
dans un espa e de Hilbert. Quand il est attrapé par le bord de C qui se dépla e, il part
dans la dire tion normale à elui- i, omme s'il était poussé par le bord, an de rester
dans C. Le mouvement de e point est alors régi par l'équation suivante :
−q̇ ∈ ∂IC(t) (q). (2.6)
Celle- i fait intervenir un opérateur maximal monotone qui dépend du temps. Pour ré-
soudre e problème, J.J. Moreau onstruit une suite de solutions dis rètes selon un prin-
ipe dit de rattrapage ( at hing-up ). Sous ertaines hypothèses de régularité de la fon tion
multivaluée t 7→ C(t), l'intervalle de temps est divisé en sous-intervalles Jk où C(·) varie
peu. La traje toire d'ensembles t 7→ C(t) est appro hée par une multifon tion onstante
par mor eaux, valant Ck sur Jk , e qui permet de onstruire une fon tion q̃ onstante par
mor eaux, égale à q̃k sur Jk et telle que q̃k+1 = PCk+1 (q̃k ). Il démontre alors la onver-
gen e de ette suite de fon tions lorsque le pas de la subdivision tend vers zéro, obtenant
à la limite une solution de (2.6). La solution a au moins la même régularité que elle de
la multifon tion C(·). D'après la remarque 2.26 p. 37, l'équation (2.6) s'é rit aussi
−q̇ ∈ N(C(t), q). (2.7)
Cependant, notre problème (E2 ) ne rentre pas dans e adre, d'une part, à ause du défaut
de onvexité de Q0 , et d'autre part, à ause de la présen e du se ond membre U(q).
37
q̃k
q̃k+1 Ck
PSfrag repla ements
Ck+1
Fig. 2.9 Algorithme de rattrapage.
Le problème général
Introduisons plus généralement un pro essus de rae dit perturbé, mettant en jeu des
ensembles C(t) non vides η -prox-réguliers, in lus dans un espa e de Hilbert réel H . On
pose le problème de l'existen e et de l'uni ité d'une fon tion x dénie sur I = [T0 , T ] et
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vériant, (
−ẋ(t) ∈ N(C(t), x(t)) + F (t, x(t)) p.p.t. t ∈ I
(2.8)
x(T0 ) = x0 .
La perturbation F : [T0 , T ] × H ⇉ H est une appli ation multivaluée à valeurs dans
les ensembles onvexes ompa ts non vides de H. L'ensemble N(C(t), x(t)) est le ne
proximal normal de C(t) au point x(t) ( f. dénition 2.16 p. 34).
Dans [CM95℄, les auteurs étudient e problème perturbé en dimension nie dans le as
où les ensembles C(t) sont onvexes. Ils montrent que le problème admet des solutions
sous ertaines hypothèses on ernant la perturbation F et l'appli ation multivaluée C.
D'une part, la perturbation F est supposée semi- ontinue supérieurement par rapport
à la se onde variable et doit satisfaire une ondition de roissan e linéaire ompa te, à
savoir :
F (t, x) ⊂ β(t)(1 + |x|)B(0, 1) , ∀(t, x) ∈ [T0 , T ] × H. (2.9)
D'autre part, l'appli ation multivaluée C est supposée ontinue pour la distan e de Haus-
dor et doit satisfaire une ondition de boule intérieure, du type suivant :
∃r > 0 , B(0, r) ⊂ C(t) , ∀t ∈ [T0 , T ]. (2.10)
C(t) η -prox-réguliers ont fait l'objet de

Ensuite, les pro essus de rae par des ensembles
nombreux travaux. Le as sans pertubation (F = 0) est traité dans [CM03, Thi03, CG99℄.
Dans [CM03℄, le problème onsidéré est,
(
−dx ∈ N(C(t), x(t))
(2.11)
x(T0 ) = x0 ,
où dx est la mesure diérentielle de la fon tion x. L'existen e et l'uni ité d'une fon tion
à variation bornée solution de (2.11) est prouvée, en supposant que C(·) est Hausdor-
ontinue, ave une ondition de boule intérieure (semblable à (2.10)) et une ondition de
38
ompatibilité de nature géométrique.

Le as ave perturbation est étudié en dimension nie dans [Ben00, CG99℄ où C(·) est
supposée lips hitzienne et dans [Thi03℄ où l'appli ation C(·) varie de manière absolument
ontinue ( f. hypothèse (H2 ) du théorème suivant). En dimension innie, le as perturbé
est traité dans [BT01, ET05, ET06℄. Dans [ET05℄, se trouve le théorème suivant qui nous
permettra de justier par la suite que notre problème (E2 ) est bien posé. La perturbation
est supposée i i monovaluée ( e qui est le as du problème (E2 )) et elle est notée f.
Théorème 2.27 Soit H un espa e de Hilbert. On onsidère l'appli ation multivaluée C(·)
de I = [T0 , T ] dans H vériant les hypothèses suivantes
(H1 ) Il existe η > 0, tel que pour tout t ∈ I , C(t) soit un sous-ensemble fermé non
vide de H, η -prox-régulier ;
(H2 ) C(t) varie d'une façon absolument ontinue, 'est-à-dire qu'il existe une fon tion
absolument ontinue v : I → R, telle que pour tout y ∈ H et pour tous s, t ∈ I , on
ait
|dC(t) (y) − dC(s) (y)| ≤ |v(t) − v(s)|.
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Soit une fon tion f : I × H → H telle que ∀x ∈ H , f (·, x) soit mesurable sur I et
vériant,
(i) Pour tout α > 0, il existe une fon tion positive kα ∈ L1 (I, R) telle que pour tout
t ∈ I et (x, y) ∈ B(0, α) × B(0, α),
|f (t, x) − f (t, y)| ≤ kα (t)|x − y|;
(ii) Il existe une fon tion positive β ∈ L1 (I, R), telle que pour tout t ∈ I et pour tout
x ∈ ∪s∈I C(s), |f (t, x)| ≤ β(t)(1 + |x|).
Alors, pour tout x0 ∈ C(T0 ), le pro essus de rae suivant
(
−ẋ(t) ∈ N(C(t), x(t)) + f (t, x(t)) p.p.t. t ∈ I
x(T0 ) = x0
a une unique solution absolument ontinue.

Dans (ii), on retrouve l'hypothèse (2.9) de roissan e linéaire de la perturbation. L'hypo-
thèse (i) assure l'uni ité de la solution. Quant à l'hypothèse (H2 ) faite sur l'appli ation
multivaluée C , elle entraîne la régularité de la solution. Enn, on peut remarquer que
l'hypothèse (H1 ) permet d'utiliser l'algorithme de rattrapage introduit par Moreau, puis-
qu'à distan e inférieure à η , la proje tion sur C(t) est bien dénie ( f. proposition 2.24
p. 36).
Remarque 2.28 L'hypothèse (H2) n'est pas né essaire pour assurer l'existen e de solu-
tions. Par exemple, dans [ET06℄, le problème onsidéré est le suivant,
(
−dx ∈ N(C(t), x(t)) + F (t, x(t))dλ
(2.12)
x(T0 ) = x0 ,
39
où λ est la mesure de Lebesgue sur R. Les auteurs montrent l'existen e de solutions à

(2.12) en supposant que l'appli ation multivaluée C est à variation bornée sur I et que sa
fon tion variation est ontinue à droite sur I , e qui revient à supposer qu'il existe une
mesure de Radon µ positive telle que pour tout y ∈ H , on ait
|dC(t) (y) − dC(s) (y)| ≤ µ(]s, t]) , ∀ s, t ∈ I , s ≤ t (2.13)
et telle que
η
sup µ({s}) < . (2.14)
s∈]T0 ,T ] 2
La démonstration utilise l'algorithme de rattrapage introduit par J.J. Moreau. Le point
fondamental est de diviser l'intervalle de temps I en sous-intervalles Ik =]tk , tk+1 ] où
C(·) varie peu. Ce i est ee tivement né essaire pour passer à la limite mais aussi pour
ee tuer à haque instant les proje tions (qui ne sont possibles qu'à distan e stri tement
inférieure à η ). Si l'hypothèse (2.13) permet le dé oupage de I en sous-intervalles ouverts
où C(·) varie peu, l'obtention d'intervalles semi-ouverts se fait grâ e à l'hypothèse (2.14).
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Remarque 2.29 L'équation (2.13) est équivalente à

H(C(t), C(s)) ≤ µ(]s, t]) , ∀ s, t ∈ I , s ≤ t,
où H est la distan e de Hausdor.
Nous pouvons à présent énon er le théorème essentiel qui assure le ara tère bien posé du
modèle introduit au début de e hapitre.
Théorème 2.30 (Existen e et uni ité d'une solution de l'in lusion diérentielle)
Soit Q0 l'ensemble des ongurations admissibles ( f. dénition 2.1 p. 24) et soit U lip-
s hitzienne et bornée, alors pour tout T > 0, pour tout q0 ∈ Q0 , il existe une unique
fon tion q absolument ontinue sur [0, T ], solution de

 dq + N ∋ U(q),
q
dt (E2 )

q(0) = q0 ,
où Nq est le ne normal sortant au point q ( f. dénition 2.5 p. 25).
Démonstration :
Ce résultat dé oule du théorème 2.27 p. 39. Les hypothèses (i) et (ii) de e dernier
viennent du ara tère lips hitzien et bornée de U. L'hypothèse (H2 ) est trivialement
vériée dans notre as. Il reste don à vérier l'hypothèse (H1 ) (uniforme prox-régularité
de Q0 ) et l'égalité entre le ne normal sortant Nq et le ne proximal normal N(Q0 , q).
Ces résultats dont la démonstration est assez te hnique, font l'objet du hapitre suivant
(proposition 3.12 p. 51 et proposition 3.9 p. 48 respe tivement).
40
Chapitre 3
Prox-régularité de l'ensemble des
ongurations admissibles Q0
Sommaire
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
3.1 Etude de l'ensemble Q12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1 Cne proximal normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.2 Prox-régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Généralisation à Q0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Cne proximal normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.2 Prox-régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Ma joration de la onstante η . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Etude du boulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.2 Démonstration des lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
41
Chapitre 3. Prox-régularité de l'ensemble des ongurations admissibles Q0
Dans e hapitre, nous proposons de justier que l'ensemble des ongurations admis-
sibles Q0 est uniformément prox-régulier et de déterminer son ne proximal normal ( f.
dénition 2.16 p. 34) an de terminer la preuve du théorème 2.30 p. 40. Pour ela, on
dénit pour i < j,
Qij = {q = (q1 , q2 , .., qN ) ∈ R2N , Dij (q) = |qj − qi | − (ri + rj ) ≥ 0}.
Ainsi,
\
Q0 = q = (q1 , q2 , .., qN ) ∈ R2N , Dij (q) ≥ 0, ∀(i, j), i < j = Qij .
i<j
Dans un premier temps, nous étudions l'ensemble Q12 , qui ne présente qu'une seule
ontrainte. Nous donnons l'expression de son ne proximal normal et montrons que
et ensemble est uniformément prox-régulier en al ulant pré isément sa onstante de
prox-régularité. Nous en déduisons dans un se ond temps, l'expression du ne proximal
normal de Q0 et prouvons le ara tère uniformément prox-régulier de Q0 en donnant une
minoration η de sa onstante de prox-régularité. Enn, nous proposons de fournir une
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majoration de ette onstante η. Celle- i n'est pas à proprement parler la onstante op-
timale de prox-régularité de Q0 , mais sa majoration permet de suggérer une dépendan e
de la onstante optimale par rapport aux données du problème (à savoir le nombre de
personnes N et les rayons ri des disques les représentant).
3.1 Etude de l'ensemble Q12

3.1.1 Cne proximal normal
On onsidère l'ensemble Q12 = {q ∈ R2N , D12 (q) = |q2 − q1 | − (r1 + r2 ) ≥ 0}. Cet
ensemble est parti ulier puisque sa frontière
∂Q12 = {q ∈ R2N , D12 (q) = 0}
vérie la propriété suivante.
Proposition 3.1
∂Q12 = {q ∈ R2N , D12 (q) = 0}
est une hypersurfa e de lasse C 2 orientable de R2N .
Démonstration :
On dénit pour ε < r1 + r2 , l'ouvert
Uε = {q ∈ R2N , D12 (q) > −ε}.
La fon tion D12 est de lasse C2C ∞ ) sur Uε et en tout point q ∈ Uε , le gradient
(même
de D12 ne s'annule pas, ar il vaut ∇D12 (q) = G12 (q) 6= 0. Par onséquent, ∂Q12 est
une sous-variété diérentiable de R
2N 2
, de lasse C et de dimension 2N − 1, autrement
42
3.1. Etude de l'ensemble Q12
dit 'est une hypersurfa e de lasse C2 de R2N . De plus, omme en tout point q ∈ Uε , la
diérentielle de D12 ne s'annule pas, on peut dénir une normale à ∂Q12 par
−G12 (q)
ν(q) = √ .
2
Ainsi, ∂Q12 est orientable. Le signe a été hoisi de telle sorte que e ve teur soit une
normale extérieure à Q12 .
Cette propriété, vériée par l'ensemble Q12 , va nous permettre d'exprimer son ne proxi-
mal normal en utilisant le résultat de la proposition suivante.
Proposition 3.2 On onsidère S un sous-ensemble fermé de Rn , telle que ∂S soit une

hypersurfa e de lasse C 2 orientable. On note pour tout x ∈ ∂S , ν(x) la normale à la
surfa e ∂S qui soit extérieure à S . Alors, pour tout x ∈ ∂S , le ne proximal normal de
S en x est engendré par le ve teur ν(x), autrement dit,
N(S, x) = R+ ν(x).
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Démonstration :
Soit x ∈ ∂S , omme ∂S est une hypersurfa e de lasse C 2 , il existe un ouvert U de Rn
ontenant x et une fon tion f ∈ C (U, R) tels que
2
S ∩ U = {y ∈ U , f (y) ≥ 0} , ∂S ∩ U = {y ∈ U , f (y) = 0} et ∇f (x) 6= 0.
On va d'abord montrer que

R+ ν(x) ⊂ N(S, x).
On veut don prouver l'assertion suivante
∃α > 0 , ∀β ≤ α , x ∈ PS (x + βν(x)),
e qui est équivalent à
∃α > 0 , ∀β ≤ α , dS (x + βν(x)) = β.
Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe une suite (βk ) tendant vers zéro telle
que
dS (x + βk ν(x)) < βk .
Par onséquent, pour tout k, il existe rk ∈ ∂S , vériant
|x + βk ν(x) − rk | < βk . (3.1)
Ainsi, il existe K0 ∈ N tel que pour tout k ≥ K0 , rk ∈ U . On remarque fa ilement que la

suite rk tend versx. De plus, en prenant le arré de l'inégalité (3.1), on obtient
|x − rk |2 + 2βk ν(x) · (x − rk ) < 0. (3.2)
43
Par ailleurs, omme f est C 2, on a pour tout k ≥ K0 ,
f (x) = f (rk ) + (x − rk ) · ∇f (x) + O(|x − rk |2 ).
Comme x et rk appartiennent à ∂S , on obtient
(x − rk ) · ∇f (x) = O(|x − rk |2 ),
et ainsi
(x − rk ) · ν(x) = O(|x − rk |2 ).
Autrement dit, il existe K1 ≥ K0 et λ>0 tels que pour tout k ≥ K1 , on ait
(x − rk ) · ν(x) > −λ|x − rk |2 .
D'après (3.2), on obtient pour tout k ≥ K1 ,
|x − rk |2 − 2βk λ|x − rk |2 < 0.

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Comme la suite (βk ) tend vers zéro, on sait qu'il existe K2 ∈ N tel que pour tout k ≥ K2 ,
on ait
1
βk < .
2λ
Ainsi, pour tout k ≥ max(K1 , K2 ), on a |x − rk |2 < 0, e qui est absurde.
Il reste à montrer l'autre in lusion à savoir que
N(S, x) ⊂ R+ ν(x).
Soit v ∈ N(S, x) de norme 1, on raisonne par l'absurde en supposant que v 6= ν(x). Tout
d'abord, on peut justier que
v 6= −ν(x).
En eet, pour α>0 pro he de 0, on a
f (x − αν(x)) = −α∇f (x) · ν(x) + O(α2 ).
En onséquen e, pour α>0 pro he de 0, f (x − αν(x)) > 0 et x∈

/ PS (x − αν(x)), d'où
−ν(x) ∈
/ N(S, x).
On onsidère maintenant l'hyperplan Hv

v passant par x. D'après e
de ve teur normal
qui pré ède, et hyperplan est diérent du plan tangent Tx (∂S) à ∂S au point x. Ainsi,
2 ′
on peut trouver un hemin de lasse C , γ : [0, 1] → S tel que γ(0) = x et γ (0) ∈
/ Hv .
′ ′
Par onséquent, γ (0) · v 6= 0. On peut même supposer que γ (0) · v = c > 0. Comme γ
2
est de lasse C , on a pour δ > 0 pro he de zéro,
γ(δ) = x + δγ ′ (0) + O(δ 2 ).
44
3.1. Etude de l'ensemble Q12
Cal ulons pour β > 0,
|x + βv − γ(δ)|2 = |βv − δγ ′ (0) + O(δ 2 )|2

= β 2 − 2βδv · γ ′ (0) + O(δ 2 )
= β 2 − 2βδc + O(δ 2 ).
On s'aperçoit don que pour tout β > 0, pour δ > 0 assez petit, le point γ(δ) de S est
à distan e stri tement inférieure à β du point x + βv. Par onséquent, pour tout β > 0,
x∈
/ PS (x + βv) et v∈
/ N(S, x), d'où la ontradi tion.
Grâ e aux propositions 3.1 et 3.2, on obtient l'expression du ne proximal normal de Q12
en tout point de sa frontière.
Proposition 3.3 Soit q ∈ ∂Q12 , on a N(Q12 , q) = −R+ G12 (q).

Remarque 3.4 Il est à noter que le résultat pré édent a été obtenu sans utiliser la
onvexité de la fon tion D12 .
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3.1.2 Prox-régularité
D'après la proposition 2.23 p. 36, la prox-régularité se ara térise par une ondition
de boule extérieure, la onstante de prox-régularité étant égale au rayon maximal de ette
boule. Comme Q12 est le omplémentaire d'un onvexe lisse, on peut al uler e rayon
en utilisant des outils de géométrie diérentielle. Plus pré isément, elui- i s'exprime en
fon tion des ourbures prin ipales de S qui sont, par dénition, les valeurs propres de
l'opérateur de Weingarten. Pour montrer que Q12 est uniformément prox-régulier, on va
utiliser le théorème suivant, dont la démonstration peut être trouvée dans [Del79℄.
Théorème 3.5 Soit C un sous-ensemble onvexe fermé de Rn telle que ∂C soit une
hypersurfa e de Rn , de lasse C 2 et orientable. On note νC (x) la normale extérieure à C
en x et µ1 (x), .., µn−1(x) ≥ 0 les ourbures prin ipales de C en x. On suppose que
µ = sup sup µi (x) < ∞.
x∈∂C 1≤i≤n−1
◦ 1
Alors S = Rn \ C est un ensemble η -prox-régulier ave η = .
µ
r1 + r2
Proposition 3.6 L'ensemble Q12 est η-prox-régulier ave η = √ .
2
Démonstration :
2
D'après la proposition 3.1, ∂Q12 est une hypersurfa e de lasse C orientable et l'ensemble
C = {q ∈ R , D12 (q) ≤ 0} est un sous-ensemble fermé onvexe de R2N , par onvexité
2N
de la fon tion D12 . On her he à déterminer la onstante de prox-régularité de
◦
Q12 = R2N \ C.
45
Dans toute la suite, on onsidère q ∈ ∂Q12 . On a déni pré édemment la normale à ∂Q12
en e point de la façon suivante,
ν: ∂Q12 → S2N −1
G12 (q) (e12 (q), −e12 (q), 0, ..0) .
q = (q1 , q2 , .., qN ) →
7 − √ = √
2 2
Dans la suite, le ve teur e12 (q) sera noté e12 . La normale extérieure à C en q est
don égale à −ν(q). Déterminons les valeurs propres de l'endormorphisme de Weingar-
ten Wq : h ∈ Tq (∂Q12 ) 7→ −Dν(q)[h]. D'après la proposition E.1 p. 156, on a pour tout
h ∈ Tq (∂Q12 )
1
−Dν(q)[h] = √ −Pe⊥12 (h2 − h1 ), Pe⊥12 (h2 − h1 ), 0, . . . , 0 ,
2|q2 − q1 |
où Pe⊥ est la proje tion sur

12
e⊥
12 , ve teur unitaire de R2 (dire tement) orthogonal à e12 .
Autrement dit,
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Pe⊥
12
(h2 − h1 ) = (h2 − h1 ) − [(h2 − h1 ) · e12 ]e12 = (e⊥ t ⊥
12 e12 )(h2 − h1 ).
Ainsi, la matri e Wq de l'endomorphisme de Weingarten s'é rit
!
Aq 0
Wq = ,
0 0
ave !
1 e⊥ t ⊥
12 e12 −e⊥ t ⊥
12 e12
Aq = √ .
2|q2 − q1 | −e⊥ t ⊥
12 e12 e⊥ t ⊥
12 e12
La tra e de Wq , notée Tr(Wq ) vaut
2
√ Tr e⊥ t ⊥
12 12 .
e
2|q2 − q1 |
Comme le ve teur e⊥
12 est unitaire, on a

Tr e⊥ t ⊥
12 e12 = 1,
et par onséquent
√
2
Tr(Wq ) = .
|q2 − q1 |
De plus, la matri e Wq est de même rang que la matri e Aq
qui est de rang 1. On peut
⊥ ⊥
même pré iser que l'image de Wq est engendrée par le ve teur τ (q) = (e12 , −e12 , 0, . . . , 0).
Wq a don 2 valeurs propres 0 et a, ave
√
2
a= ,
|q2 − q1 |
46
3.2. Généralisation à Q0
e qui équivaut à un rayon de ourbure rc égal à
|q2 − q1 |
rc = √ .
2
Comme q ∈ ∂Q12 , on en déduit que
r1 + r2
rc = √ .
2
Grâ e au théorème 3.5, on on lut que l'ensemble Q12 est η -prox-régulier ave
r1 + r2
η= √ .
2

On a bien sûr les mêmes résultats on ernant l'expression du ne proximal normal et le
ara tère uniformément prox-régulier des autres ensembles Qij (i < j ) dont on rappelle
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la dénition,
Qij = {q = (q1 , q2 , .., qN ) ∈ R2N , Dij (q) = |qj − qi | − (ri + rj ) ≥ 0}. (3.3)
Proposition 3.7 L'ensemble Qij est ηij -prox-régulier ave

ri + rj
ηij = √ .
2
Soit q ∈ ∂Qij , on a
N(Qij , q) = −R+ Gij (q).
Remarque 3.8 On peut démontrer les propositions 3.3 et 3.6 sans utiliser des notions
de géométrie diérentielle (voir annexe F).
3.2 Généralisation à Q0
On rappelle que l'ensemble des ongurations admissibles Q0 est l'interse tion des
ensembles Qij dénis par (3.3).
3.2.1 Cne proximal normal

On propose maintenant de justier que l'ensemble
n X o
Nq = − µij Gij (q), µij ≥ 0, µij = 0 si Dij (q) > 0 ,
qui apparaît dans le problème (E2 ) est bien le ne proximal normal de Q0 au point q.
47
P
Proposition 3.9 Soit q ∈ Q0 , on a N(Q0 , q) = N(Qij , q) = Nq .
Démonstration : ◦
La deuxième égalité dé oule de la proposition 3.7. Prouvons la première. Si q ∈ Q0 , alors
◦
q ∈ Qij , pour tout ouple (i, j). D'où,
X
N(Q0 , q) = {0} = N(Qij , q).
On onsidère maintenant q ∈ ∂Q0 . On note (sans pré iser la dépendan e par rapport
à q)
Icontact = {(i, j), i < j, Dij (q) = 0} = {(i, j), i < j, q ∈ ∂Qij }. (3.4)
Etape 1 : On her he d'abord à montrer que
N(Qij , q) ⊂ N(Q0 , q).

◦
Pour tout ouple (i, j) vériant q ∈ Qij , on a N(Qij , q) = {0}. On ne s'intéressera don
qu'aux ouples (i, j) ∈ Icontact . Soit (i, j) un tel ouple et soit w ∈ N(Qij , q) \ {0}, on pose
w P
v = |w| . D'après la propriété 2.21 p. 35, v ∈ ∂ dQij (q) et
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∃M, α > 0, dQij (q̃) − dQij (q) + M|q̃ − q|2 ≥ v · (q̃ − q), ∀q̃ ∈ B(q, α).
Comme dQij (q) = 0 = dQ0 (q) et dQij (q̃) ≤ dQ0 (q̃), on a
∃M, α > 0, dQ0 (q̃) − dQ0 (q) + M|q̃ − q|2 ≥ v · (q̃ − q), ∀q̃ ∈ B(q, α).
Ainsi, v ∈ ∂ P dQ0 (q) et w ∈ N(Q0 , q). Par onséquent, pour tout ouple (i, j) ∈ Icontact ,
on a
N(Qij , q) ⊂ N(Q0 , q).
Etape 2 : On her he maintenant à montrer que
X
N(Qij , q) ⊂ N(Q0 , q).
Il sut de prouver que
∀w1 , w2 ∈ N(Q0 , q) \ {0} , w = w1 + w2 ∈ N(Q0 , q).
Soient w1 et w2 ∈ N(Q0 , q) \ {0},

on pose w = w1 + w2 . Là en ore, on peut utiliser
w1 w2
la propriété 2.21 p. 35. On dénit v1 =
|w1 |
et v2 =
|w2 |
. Alors il existe M1 , M2 ≥ 0,
α1 , α2 > 0 tels que,
dQ0 (q̃) − dQ0 (q) + M1 |q̃ − q|2 ≥ v1 · (q̃ − q), ∀q̃ ∈ B(q, α1 ),
dQ0 (q̃) − dQ0 (q) + M2 |q̃ − q|2 ≥ v2 · (q̃ − q), ∀q̃ ∈ B(q, α2 ).
On a w = |w1 |v1 + |w2 |v2 et on pose
w
v= ,
|w1 | + |w2 |
48
qui est de norme inférieure à 1. En fait, v = tv1 + (1 − t)v2 , où
|w1 |
t= .
|w1 | + |w2 |
On pose α = min(α1 , α2 ) et M = tM1 + (1 − t)M2 , on a don
dQ0 (q̃) − dQ0 (q) + M|q̃ − q|2 ≥ v · (q̃ − q), ∀q̃ ∈ B(q, α).
Autrement dit, v ∈ ∂ P dQ0 (q) et w ∈ N(Q0 , q). On a don démontré l'in lusion suivante,
X
N(Q0 , q) ⊃ N(Qij , q).
Etape 3 : Il reste à montrer l'autre in lusion. Pour ela, on utilisera les propriétés de deux
P
nes mutuellement polaires ( f. annexe C). En eet, N(Qij , q) = Nq et par dénition,
Nq est le ne polaire de Cq . Soit w ∈ N(Q0 , q), il s'é rit w = v + z, où v et z sont les
proje tions de w, respe tivement sur Nq et Cq . On rappelle que es proje tions vérient
v · z = 0. (3.5)
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Supposons que z 6= 0. Comme w ∈ N(Q0 , q) par hypothèse, il existe t > 0, tel que
q ∈ PQ0 (q + tw). On pose
Dij (q)
s = min(t, ǫ) où ǫ= min √ .
(i,j)∈I
/ contact 2|z|
D'après la proposition 2.19 p. 34, omme s ≤ t, q ∈ PQ0 (q + sw). On note
q̃ = q + sw − sv = q + sz.
Montrons que q̃ ∈ Q0 . Par onvexité de Dij , on a
Dij (q̃) ≥ Dij (q) + s Gij (q) · z, ∀(i, j).

De plus, si (i, j) ∈ Icontact , Gij (q) · z ≥ 0, ar z ∈ Cq . Par onséquent,
∀(i, j) ∈ Icontact , Dij (q̃) ≥ Dij (q) + s Gij (q) · z = s Gij (q) · z ≥ 0.
Dij (q)
D'autre part, si (i, j) ∈
/ Icontact , alors s≤ √ . D'où,
2|z|
√
Dij (q̃) ≥ Dij (q) + s Gij (q) · z ≥ Dij (q) − s 2|z| ≥ 0.
Don q̃ ∈ Q0 . Ainsi, dQ0 (q + sw) ≤ |q + sw − q̃| = s|v|. Or |q + sw − q| = s|w| > s|v|
2 2 2
ar |w| = |v| + |z| d'après (3.5). Par onséquent, q ∈ / PQ0 (q + sw), e qui est absurde.
Finalement, z = 0 et w = v ∈ Nq . Ce i prouve la deuxième in lusion.
Remarque 3.10 Les arguments- lé de ette démonstration sont la onvexité des fon -
tions Dij , le ara tère borné des Gij et le fait que dQ0 (q) ≥ dQij (q), ∀q, ∀(i, j).
Remarque 3.11 On retrouve le résultat déjà évoqué dans le as parti ulier du ouloir
( as où Q0 est onvexe). En eet, on avait montré que pour tout q ∈ Q0 , Nq = ∂IQ0 (q)
( f. (2.5) p. 29). Et d'après la proposition A.8 p. 144, on a l'égalité ∂IQ0 (q) = N(Q0 , q).
49
3.2.2 Prox-régularité
On souhaite i i démontrer le ara tère uniformément prox-régulier de Q0 . On a vu
( f. théorème 3.5 p. 45) que les omplémentaires de onvexes lisses sont uniformément
prox-réguliers. On peut se demander si l'interse tion de tels ensembles ( as de Q0 ) n'est
pas uniformément prox-régulière ave une onstante de prox-régularité qui dépendrait des
onstantes de prox-régularité de es ensembles. En général, e i est faux omme l'illustre
la gure 3.1. Sur elle- i, on a tra é en trait plein les frontières d'un ensemble S qui
est l'interse tion des omplémentaires de deux disques de même rayon. Cet ensemble
est uniformément prox-régulier mais sa onstante de prox-régularité (rayon du disque en
pointillé) tend vers zéro quand les entres des disques s'éloignent. Cette dégénéres en e
est due au fait que le produit s alaire des ve teurs normaux aux disques n1 et n2 en leurs
points d'interse tion ( f. g 3.2) tend vers -1. Ainsi la onstante de prox-régularité de S
dépend aussi de l'angle formé par les ve teurs normaux n1 et n2 .
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Fig. 3.1 Dégénéres en e de la onstante de prox-régularité.
n1 n2
PSfrag repla ements
Fig. 3.2 Évolution de l'angle entre les ve teurs normaux n1 et n2 .
La démonstration du ara tère uniformément prox-régulier de Q0 repose sur l'établis-

sement d'une inégalité triangulaire inverse vériée par les ve teurs Gij (q). Nous propo-
sons deux preuves de ette inégalité. La première détaillée dans l'annexe G met bien en
éviden e l'importan e d'estimer les angles entre les ve teurs Gij (q). Nous préférons i i
présenter une autre preuve donnant une meilleure onstante de prox-régularité en utilisant
un résultat important qui sera démontré au hapitre suivant.
50
Proposition 3.12 L'ensemble Q0 est η-prox-régulier ave

 N
π 2π
min sin , sin
1  nv + 1 N 
 min(ri + rj ),
η=  √  (i,j)
Nnv 2 nv
où nv est le nombre maximal de voisins que peut avoir une personne.

En notant rmin = min ri et rmax = max ri , ette onstante vérie
π
nv ≤ ,
rmin
arcsin
rmax + rmin
e qui fait l'objet du lemme 3.16 démontré à la n de ette se tion p. 53.
Remarque 3.13 En supposant que les rayons des disques sont bornés, ette onstante η
se omporte, lorsque le nombre d'individus N tend vers l'inni omme
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N
π 1
η ∼ ste √ .
N →+∞ nv N N +1
Démonstration :
D'après la proposition 2.23, on doit montrer que pour tout q ∈ Q0 et tout v ∈ N(Q0 , q),
|v|
v · (q̃ − q) ≤ |q̃ − q|2 , ∀q̃ ∈ Q0 . (3.6)
2η
On sait, d'après la proposition 3.7, que pour tout q ∈ Qij et tout w ∈ N(Qij , q),
|w|
w · (q̃ − q) ≤ |q̃ − q|2 , ∀q̃ ∈ Qij . (3.7)
2ηij
◦
v est le ve teur nul. Or si q ∈ Q0 , N(Q0 , q) = {0},
L'inégalité (3.6) est triviale lorsque
on onsidère don q ∈ ∂Q0 et v ∈ N(Q0 , q) \ {0}. D'après la proposition 3.9,
X
v=− αij Gij (q), αij ≥ 0.
(i,j)∈Icontact
D'après les inégalités (3.7), et omme Q0 ⊂ Qij , on a
X X αij |Gij (q)|

− αij Gij (q) · (q̃ − q) ≤ |q̃ − q|2 , ∀q̃ ∈ Q0 .
2ηij
La somme porte toujours sur les ouples (i, j) Icontact

appartenant à l'ensemble
√ , mais par
sou i de lisibilité, ela ne sera plus pré isé dans la suite. Comme |Gij (q)| = 2, on obtient,
X αij
v · (q̃ − q) ≤ √ |q̃ − q|2 , ∀q̃ ∈ Q0 .
2ηij
51
En posant, ηmin = min ηij , on a,

(i,j), i<j
1 X
v · (q̃ − q) ≤ √ αij |q̃ − q|2 , ∀q̃ ∈ Q0 .
2ηmin
Pour obtenir l'inégalité (3.6), il sut de trouver une onstante η > 0, indépendante des
αij et de q, telle que
X 1 1 X

αij √ ≤ αij Gij (q) ,
2ηmin 2η
autrement dit telle que,
X √ η X

αij Gij (q) ≥ 2 αij .
ηmin
Finalement, on her he γ > 0 tel que,
X √2 X

αij Gij (q) ≥ αij ,
γ
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et Q0 sera alors η -prox-régulier ave
ηmin 1 ri + rj
η= = min √ .
γ γ (i,j) 2
Il s'agit don de prouver une inégalité triangulaire inverse,
X √ X X

αij |Gij (q)| = 2 αij ≤ γ αij Gij (q) .
La démonstration de la prox-régularité de Q0 se on lut à l'aide de la proposition fonda-

mentale énon ée i-après.
Proposition 3.14 (Inégalité triangulaire inverse)

Il existe γ > 1 tel que pour tout q ∈ Q0 ,

X X
αij |Gij (q)| ≤ γ αij Gij (q) ,
(i,j)∈Icontact (i,j)∈Icontact
où
Icontact = {(i, j), i < j, Dij (q) = 0} et les αij sont des réels positifs quel onques.
La onstante γ peut être prise égale à
 N
√
Nnv  2 nv 
γ= √  
 .
2  π 2π
min sin , sin
nv + 1 N
52
Remarque 3.15 Noter l'importan e du signe des oe ients αij . Cette inégalité est
fausse en toute généralité pour des oe ients réels quel onques, puisque pour N grand
le ardinal de l'ensemble Icontact peut être stri tement supérieur à 2N , e qui impose une
relation de liaison entre les ve teurs Gij (q).
Établir une inégalité inverse pour un grand nombre de ve teurs semble di ile. La mé-
thode proposée fournit des onstantes γ et η probablement non optimales. An de montrer
la omplexité de e problème, on propose à la se tion 3.3 une minoration de γ et don
une majoration de η.
Démonstration de l'inégalité triangulaire inverse (proposition 3.14) :

D'après la proposition 4.21 p. 86, on a pour tout (k, l) ∈ Icontact ,

X
αkl ≤ bN α G (q) ,
ij ij
(i,j)∈Icontact
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ave √
2 nv
b= .
π 2π
min sin , sin
nv + 1 N
En sommant sur les ouples (k, l) ∈ Icontact , on obtient

X √ X
αkl |Gkl (q)| ≤ 2 card(Icontact ) bN α G (q) .
ij ij
(k,l)∈Icontact (i,j)∈Icontact
Ainsi,

X Nnv X
αkl |Gkl (q)| ≤ √ bN αij Gij (q) .
2
(k,l)∈Icontact (i,j)∈Icontact
Il reste à justier la majoration du nombre maximal de voisins que peut avoir une personne
(majoration donnée à la proposition 3.12 p. 51).
Lemme 3.16 En notant rmin = min ri et rmax = max ri , le nombre maximal de voisins
nv que peut avoir une personne vérie
π
nv ≤ .
rmin
arcsin
rmax + rmin
53
C
PSfrag repla ements
rmin
rmax
B
A
Fig. 3.3 Situation où le nombre de voisins est maximal.
Démonstration :
On onsidère une personne représentée par un disque de rayon rmax et on her he à al uler
le nombre maximal de voisins représentés par des disques de rayon rmin, qu'elle peut avoir
( f. g. 3.3).
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On a
−→ −→
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB · AC
−→ −→
(2rmin)2 = (rmin + rmax )2 + (rmin + rmax )2 − 2|AB||AC| cos θ
2
4rmin = 2(rmin + rmax )2 (1 − cos θ).
D'où,
2
2rmin
1 − cos θ = .
(rmin + rmax )2
Ce qui est équivalent à
2
2 θ rmin
sin = .
2 (rmin + rmax )2
Par onséquent,

rmin
θ = 2 arcsin
rmin + rmax
2π
Comme nv ≤ , on obtient
θ
π
nv ≤ .
rmin
arcsin
rmax + rmin
Remarque 3.17 Dans le as monodisperse (rmin = rmax = r), on retrouve bien nv ≤ 6.
54
3.3. Majoration de la onstante η
3.3 Ma joration de la onstante η

Dans ette se tion, nous proposons d'établir une majoration de la onstante η pour
mieux saisir la dépendan e de elle- i par rapport aux données du problème (le nombre N
de personnes et les rayons ri des disques qui les représentent). C'est dans e but que nous
allons onsidérer une onguration parti ulière d'individus, elle où les personnes forment
une le ou un boulier ( onguration pour laquelle des al uls exa ts sont possibles).
Comme nous l'avons déjà signalé , nous ne majorons pas à proprement parler la onstante
optimale de prox-régularité de Q0 , mais la majoration de η suggère le omportement
de ette dernière par rapport aux données du problème. L'objet de ette se tion est de
démontrer la proposition suivante.
Proposition 3.18 La onstante η vérie

s
ri + rj 6
η ≤ min √ .
2 N(N − 1)(N + 1)
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3.3.1 Etude du boulier

Pour ela, nous allons prouver que la onstante γ dénie à la proposition 3.14 p. 52
vérie r
N(N − 1)(N + 1)
γ≥ .
6
Etudions le as parti ulier d'un boulier (g. 3.4), en onsidérant N personnes alignées sur
un axe (par exemple elui des abs isses).
PSfrag repla ements
q1 qN
Fig. 3.4 Conguration q0 .
Autrement dit, onsidérons la onguration q0 qui s'é rit,
N
X −1
q0 = (0, r1 + r2 , r1 + 2r2 + r3 , ..., r1 + 2 ri + rN ).
i=2
On a alors d'après la proposition 3.9 p. 48,
( N −1
)
X
N(Q0 , q0 ) = − αi,i+1 Gi,i+1 (q0 ), αi,i+1 ≥ 0 ,
i=1
55
ave Gi,i+1 (q0 ) = (0, ..., −1, 1, 0, ..., 0), (le 1 étant à la ième pla e). On dénit
( N −1
)
X
C= α, αi,i+1 ≥ 0, αi,i+1 = 1 .
i=1
On her he à trouver la plus petite onstante γ qui vérie,
|α12 G12 (q0 )| + |α23 G23 (q0 )| + ... + |αN −1N GN −1N (q0 )|
≤ γ|α12 G12 (q0 ) + α23 G23 (q0 ) + ... + αN −1N GN −1N (q0 )|, ∀α ∈ (R+ )N −1 .
√
Comme |Gij (q0 )| = 2, e i est équivalent à
√
2 ≤ γ|α12 G12 (q0 ) + α23 G23 (q0 ) + ... + αN −1N GN −1N (q0 )|, ∀α ∈ C. (3.8)
Cal ulons maintenant
α12 G12 (q0 ) + α23 G23 (q0 ) + ... + αN −1N GN −1N (q0 )
= (−α12 , α12 − α23 , ..., αN −2,N −1 − αN −1N , αN −1N ).
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Ainsi,
|α12 G12 (q0 ) + α23 G23 (q0 ) + ... + αN −1N GN −1N (q0 )|2
N
X −1
2
= α12 + (αi−1,i − αi,i+1 )2 + αN
2
−1N .
i=2
On her he don une ondition sur γ pour que l'inégalité (3.8) soit vériée, 'est-à-dire
pour que,
" N −1
!#
X
2
min γ 2 α12 + (αi−1,i − αi,i+1 )2 + αN
2
−1N ≥ 2. (3.9)
α∈C
i=2
On note la fon tion
Hγ : RN −1 → R
N −1
!
X
(αi,i+1 ) 7→ γ 2 2
α12 + (αi−1,i − αi,i+1 )2 + αN
2
−1N .
i=2
et la fon tion
F : RN −1 → R
N
X −1
(αi,i+1 ) 7→ αi,i+1 .
i=1
De plus, on dénit l'ensemble
( N −1
)
X
S= α ∈ RN −1 , αi,i+1 = 1 = α ∈ RN −1 , F (α) = 1 .
i=1
Pour obtenir l'inégalité (3.9), on utilise la proposition suivante qui sera démontrée plus
loin.
56
Proposition 3.19 Il existe un unique α̃ ∈ C tel que

12γ 2
Hγ (α̃) = min Hγ = .
C N(N − 1)(N + 1)
Ainsi, l'inégalité (3.9) est vériée si et seulement si
12γ 2
≥ 2.
N(N − 1)(N + 1)
Ce i est équivalent à,
N(N − 1)(N + 1)
γ2 ≥ ,
6
e qui donne la minoration annon ée
r
N(N − 1)(N + 1)
γ≥ .
6
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Ce i termine la démonstration de la proposition 3.18, sous réserve de prouver la proposi-

tion 3.19.
Remarque 3.20 On peut obtenir plus fa ilement un autre minorant de γ (inférieur à

elui que l'on vient d'énon er), à savoir
γ ≥ N − 1.
En eet, en onsidérant le as parti ulier où les oe ients αi,i+1 sont égaux et valent
1
, l'inégalité (3.8) est équivalente à,
N −1
√ 1 1
2≤γ |G12 (q0 ) + G23 (q0 ) + ... + GN −1N (q0 )| = γ |(−1, 0, .., 0, 1)|.
N −1 N −1
Ce i implique que √ √
2(N − 1) ≤ γ 2,
d'où le résultat.
Démonstration de la proposition 3.19 :

Pour plus de larté, les lemmes utilisés dans la suite seront prouvés dans la se tion 3.3.2.
Etape 1 :
Utilisons le lemme suivant.
Lemme 3.21 La fon tion Hγ est stri tement onvexe et oer ive.
57
Comme la fon tion Hγ est stri tement onvexe, il existe un unique α̃ ∈ C minimisant Hγ
sur C (qui est onvexe et ompa t). De plus, omme la fon tion Hγ est oer ive, il existe
un unique α0 ∈ S minimisant Hγ sur S. Déterminons maintenant α0 .
Etape 2 :
On al ule les dérivées partielles de Hγ ,


 ∂Hγ

 = γ 2 [4α12 − 2α23 ]

 ∂α12



 :



 ∂H
γ
= γ 2 [4αi,i+1 − 2αi−1,i − 2αi+1,i+2 ]

 ∂αi,i+1



 :





 ∂Hγ

 = γ 2 [4αN −1N − 2αN −2,N −1 ].
∂αN −1N
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
On a aussi DF (α) = (1, .., 1), ∀α. D'après le théorème des extrema liés, si
Hγ (α0 ) = min Hγ (α),

α∈S
alors,
∃λ ∈ R, DHγ (α0 ) = λ DF (α0 ).
Or, DHγ (α) = λ DF (α) si et seulement si
    
4 −2 0 α121
    
−2 4 −2   α23  1
   λ  
 .. .. ..  .
.  .
 . . .  .  = 2  ..  . (3.10)
   γ  
 −2 4 −2  αN −2,N −1  1
    
0 −2 4 αN −1N 1
| {z } | {z }
AN−1 e
La matri e AN −1
est inversible, son déterminant vaut N2N −1 ( f. démonstration du
−1
lemme 3.21). En posant sN −1 = AN −1 e, on a
λ
α0 = sN −1 .
γ2
On peut montrer que
1
sN = (sN,1 , sN,2 , . . . , sN,N ) ave sN,k = (kN − k(k − 1)).
4
58
Plus pré isément, suivant la parité de N , sN s'é rit :
N impair N pair
 
  N
N  
   2N − 2 
 2N − 2   
   
   3N − 6 
 3N − 6   
   . 
   .
. 
 .
..   
   
  kN − k(k − 1)
kN − k(k − 1)  
   .

   .
.

 .   
 .
.   
   N(N + 2) 
 2   
1 N +1  1 4 

sN = 


 sN =  
4 2  4  N(N + 2) 
   
 .
.   4 
.  
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
   . 
   .
. 
 .
.
  
 .   
   .. 
 ..
  . 
   
 .   . 
   .
. 
 3N − 6   
   
   3N − 6 
 2N − 2   
   
 2N − 2 
N
N
On pré ise la valeur de F (sN ), ainsi que de Hγ (sN ) ave les lemmes 3.22 et 3.23.
Lemme 3.22
1
F (sN ) = N(N + 1)(N + 2).
24
Lemme 3.23
γ2
Hγ (sN ) = N(N + 1)(N + 2).
48
λ
De plus, α0 = sN −1 . Comme F (α0 ) = 1 ( ar α0 ∈ S ), on a
γ2
F (α0 ) 1 24γ 2
λ = γ2 = γ2 = .
F (sN −1 ) F (sN −1 ) N(N − 1)(N + 1)
59
On peut alors déterminer Hγ (α0 ) :

λ
Hγ (α0 ) = Hγ sN −1
γ2
2
λ
= Hγ (sN −1 )
γ2
2 2
λ γ
= 4
N(N − 1)(N + 1)
γ 48
N(N − 1)(N + 1)
= λ2
48γ 2
242γ 4 N(N − 1)(N + 1)
= 2
(N(N − 1)(N + 1)) 48γ 2
12γ 2
= .
N(N − 1)(N + 1)

α0 est un extremum de Hγ sur S. Comme Hγ n'est pas majorée sur S sup Hγ = +∞ ,
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
S
α0 est don le minimum de Hγ sur S.
Etape 3 :
Comme le ve teur sN −1 a toutes ses omposantes positives et que le réel λ est positif, on
a né essairement α0 ∈ C. Par uni ité du minimiseur de Hγ sur C , on a α̃ = α0 . Ce i
termine la démonstration de la proposition 3.19.
Remarque 3.24 (Congurations obtenues lors des deux minorations de γ )

Pour obtenir la minoration de γ à la remarque 3.20 p. 57, on onsidérait en fait la on-
guration non admissible
N −1
1 X
q = q0 − Gi,i+1 (q0 )
N − 1 i=1
représentée sur la gure 3.5. À partir de la onguration q0 ( f. g 3.4), on a hoisi de
PSfrag repla ements
q1 qN
Fig. 3.5 Conguration q.
prendre une ertaine dire tion du ne proximal normal N(Q0 , q0 ) à savoir
N
X −1
Gi,i+1 (q0 )
i=1
60
et ave ette dire tion, la onguration q ne présente que 2 hevau hements.

Par ailleurs, on a montré à la proposition 3.19 quelle dire tion du ne proximal normal
il faut prendre pour obtenir la meilleure minoration de γ . La dire tion trouvée est don
elle du ve teur
N
X −1
α̃i,i+1 Gi,i+1 (q0 ).
i=1
P
Sur la gure 3.6, on a représenté q = q0 − 0.01 i=1
N −1
α̃i,i+1 Gi,i+1 (q0 ). Cette onguration
non admissible présente des hevau hements de même longueur entre toutes les parti ules
voisines.
Fig. 3.6 Congurations q0 (en trait pointillé) et q (en trait plein).
1
Remarque 3.25 La matri e − AN (équation 3.10 p. 58) est la matri e du lapla ien
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2
dis rétisé, e qu'on retrouve en traçant la solution sN = A−1
N e sur la gure 3.7.
Fig. 3.7 Représentation du ve teur s15 .
3.3.2 Démonstration des lemmes

Enon é et preuve du lemme 3.21
La fon tion Hγ est stri tement onvexe et oer ive.
Démonstration :
61
Stri te onvexité
La hessienne de Hγ , en tout point, est la matri e AN −1 ( f. équation 3.10 p. 58), qui n'est
autre que l'opposé de la matri e du lapla ien dis rétisé. Rappelons omment on peut mon-
trer qu'elle est symétrique dénie positive. Pour ela, il sut de vérier que ses mineurs
prin ipaux (déterminants des matri es Ap pour 1 ≤ p ≤ N − 1) sont tous stri tement
p p
positifs. On peut montrer que det(Ap ) = (p + 1)2 > 0. En eet, det(Ap ) = 2 det(Bp ) où
 
2 −1 0
 
−1 2 −1 
 
 .. .. .. 
Bp =  . . . .
 
 −1 2 −1 
 
0 −1 2
En développant par rapport à la première olonne, on s'aperçoit que
det(Bp ) = 2det(Bp−1 ) − det(Bp−2 ).

Par ré urren e, on obtient que det(Bp ) = p + 1. Ainsi, la hessienne de Hγ est dénie
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positive et par onséquent, la fon tion Hγ est stri tement onvexe.
Coer ivité
On raisonne par l'absurde en supposant qu'il existe une suite (αn ), vériant
|αn | −−−→ +∞ et Hγ (αn ) ≤ K, ∀n ave K > 0.

n→∞
n
En regardant le premier terme de la somme Hγ (α ), on obtient que né essairement, la
n
√
suite α12 est bornée par K . Le deuxième terme de la somme indique alors que la suite
α23 est aussi bornée. En itérant, on aboutit à la on lusion que αni,i+1 est bornée pour
n
tout i, e qui amène à une ontradi tion.

1
F (sN ) = N(N + 1)(N + 2).
24
Démonstration :
Cal ulons la valeur de F (sN ) :
N
!
1 X
F (sN ) = kN − k(k − 1)
4 k=1
N
!
1 X
= (N + 1)k − k 2
4 k=1
N N
!
1 X X
= (N + 1) k− k2 .
4 k=1 k=1
62
En rappelant que pour tout p ∈ N, on a
p
X p(p + 1)(2p + 1)
k2 = ,
k=1
6
on obtient,

1 N(N + 1) N(N + 1)(2N + 1)
F (sN ) = (N + 1) −
4 2 6
1
= N(N + 1)(N + 2).
24

γ2
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Hγ (sN ) = N(N + 1)(N + 2).

48
Démonstration :
Cal ulons Hγ (sN ) :
" N
#
X
Hγ (sN ) = γ 2 s2N,1 + (sN,k−1 − sN,k )2 + s2N,N
k=2
" N 2 2 #
N X (−N + 2(k − 1))2 N
2
= γ + + ... +
4 k=2
16 4
" N −1
#
γ2 X
2
= N + (N − 2k)2 + N 2
16
k=1
N
2 X
γ
= (N − 2k)2
16 k=0
" N N
#
γ2 X X
= (N + 1)N 2 − 4N k+4 k2
16 k=0 k=0

γ2 2 N(N + 1) N(N + 1)(2N + 1)
= N + 1)N − 4N +4
16 2 6

γ2 2
= N(N + 1) N − 2N + (2N + 1)
16 3
2
γ
= N(N + 1)(N + 2).
48

63
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Deuxième partie
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Dis rétisation et étude numérique
65
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Chapitre 4
Présentation et étude d'un s héma
numérique
Sommaire
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4.1 Présentation du s héma numérique . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.1 En termes de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.2 En termes de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Convergen e du s héma numérique . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1 Extra tion et propriétés de la fon tion limite . . . . . . . . 72

4.2.2 Démonstration de la proposition 4.10 : étude des multipli a-
teurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.3 Lemmes te hniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
67
Chapitre 4. Présentation et étude d'un s héma numérique
Dans e hapitre, nous proposons un s héma numérique pour al uler la solution du

problème (E2 ) déni p. 27. Comme dans le problème ontinu, elui- i est basé sur le al ul
de la vitesse réelle omme proje tion de la vitesse souhaitée sur un ensemble de vitesses
admissibles au premier ordre . En termes de position, e i revient à projeter non pas sur
l'ensemble de ongurations admissibles Q0 mais sur un sous-ensemble onvexe K(q). Ce
rempla ement réalisable d'un point de vue numérique pose toutefois quelques problèmes
lors de l'étude du s héma. Cependant, en prouvant que K(q) est une bonne approximation
lo ale de Q0 , nous parvenons à démontrer la onvergen e du s héma proposé.
4.1 Présentation du s héma numérique
4.1.1 En termes de vitesse

Dans toute la suite, q ∈ R2N représente le ve teur position des N personnes. La
onguration initiale q0 ∈ Q0 (dénition 2.1 p. 24) est donnée. Pour q ∈ Q0 , le ve teur
des vitesses souhaitées des N individus est noté U(q) (diérents hoix seront proposés
dans le hapitre 6). On onsidère une subdivision uniforme de l'intervalle [0, T ] de pas h,
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
0 = tn0 < tn1 < .. < tnn = T, et on note :

• qnk la valeur appro hée de la onguration q(tnk ),
• unk la valeur appro hée de la vitesse réelle u(tnk ).
Connaissant qnk ,
on obtient la onguration au temps suivant, en utilisant un s héma
n
d'Euler expli ite. Reste à déterminer la vitesse réelle uk à partir de la vitesse souhaitée
U(qnk ). Comme dans le problème ontinu (2.1) déni page 25, la première s'exprime omme
la proje tion de la se onde sur un ensemble de vitesses admissibles au premier ordre .
Initialisation : qn0 = q0
Bou le en temps : qnk onnu
unk = PCh (qnk ) (U(qnk ))

n
2N

où Ch (qk ) = v ∈ R , Dij (qnk ) + h Gij (qnk ) · v ≥ 0 ∀i < j
qnk+1 = qnk + hunk
Cet algorithme s'inspire d'un s héma initialement développé pour les é oulements granu-
laires [Mau06℄. La proposition suivante montre que e s héma ne fournit que des ongu-
rations admissibles.
Proposition 4.1 Pour tout k ompris entre 0 et n, tous i 6= j , on a Dij (qnk ) ≥ 0.

Démonstration :
C'est une onséquen e dire te de la onvexité de la fon tion q 7−→ Dij (q). En eet, pour
tout k < n,
Dij (qnk+1 ) = Dij (qnk + hunk )
≥ Dij (qnk ) + h Gij (qnk ) · unk ( onvexité de Dij )
≥ 0 ( ar unk ∈ Ch (qnk )).
68
4.1. Présentation du s héma numérique
4.1.2 En termes de position

Pour interpréter notre algorithme en termes de position, on dénit l'ensemble onvexe
fermé suivant,

K(q) = qe ∈ R2N , Dij (q) + Gij (q) · (e
q − q) ≥ 0 ∀i < j . (4.1)
On peut réé rire notre algorithme de la manière suivante,
qnk+1 = PK(qnk ) (qnk + hU(qnk ))

(4.2)
où K(qnk ) = q ∈ R2N , Dij (qnk ) + Gij (qnk ) · (q − qnk ) ≥ 0 ∀i < j .
On projette sur K(qnk ) ⊂ Q0 que l'on peut qualier d'approximation onvexe intérieure
de Q0
(voir g. 4.1). À haque pas de temps, on résout ainsi un problème sur un espa e
n
admissible stri tement plus petit. Sur la gure 4.1, les frontières de K(qk ) sont en pointillé.
n
Les points qk+1 et q enk+1 sont obtenus respe tivement après proje tion sur K(qnk ) et sur
Q0 de qnk + h U(qnk ) (pour les deux exemples de U(qnk ) donnés). On rappelle en eet que
n n
pour h susamment petit, la proje tion de qk + h U(qk ) sur Q0 est bien dénie puisque
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Q0 est uniformément prox-régulier ( f. propriété 2.24 p. 36).
qnk + hU(qnk )
qnk + hU(qnk ) enk+1
q enk+1
q
qnk+1
qnk+1
PSfrag repla ements

qnk
Q0
K(qnk )
Fig. 4.1 Proje tions théorique et numérique.
D'un point de vue numérique, rempla er Q0 par K(qnk ) permet d'utiliser des méthodes déjà
existantes permettant de al uler la proje tion sur un ensemble onvexe. Toutefois, ette
69
approximation entraîne quelques di ultés théoriques. Une première hose importante à
justier est qu'on ne perd pas d'information sur le ne proximal normal en remplaçant
Q0 par K(qnk ). Ce résultat est l'objet du lemme suivant :
Lemme 4.2 Soit q ∈ Q0, on a l'égalité des deux nes :

N(Q0 , q) = N(K(q), q).
Démonstration :
La preuve utilise des lemmes qui seront démontrés ultérieurement dans la sous-se tion 4.2.3
p. 90. D'après la proposition 3.9 p. 48, on sait que
n X o
N(Q0 , q) = − µij Gij (q), µij ≥ 0, µij = 0 si Dij (q) > 0 .
Commençons par prouver l'in lusion N(Q0 , q) ⊂ N(K(q),

P q).
Soit w ∈ N(Q0 , q), e ve teur s'é rit don w = − µij Gij (q) où les µij sont des réels
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
positifs et né essairement nuls si Dij (q) > 0. Soit p ∈ K(q),
X
w · (p − q) = − µij Gij (q) · (p − q).
Comme p appartient à K(q), on a Dij (q)+Gij (q)·(p−q) ≥ 0, ∀i < j. De plus, si µij > 0
alors Dij (q) = 0 et par onséquent Gij (q) · (p − q) ≥ 0. Don w · (p − q) ≤ 0, ∀p ∈ K(q).
D'après le lemme 4.24 (b) p. 90, e i est équivalent au fait que w ∈ N(K(q), q).
Prouvons maintenant l'autre in lusion, N(K(q), q) ⊂ N(Q0 , q).

Soitw ∈ N(K(q), q), d'après le lemme 4.24 (a) p. 90, e i est équivalent au fait que
q = PK(q) (q + w). De plus, d'après le lemme 4.25 p. 91,
X
q = (q + w) + µij Gij (q), où (q, µ) est solution de (Pq,q+w ).
P
Par onséquent, w = − µij Gij (q), où les µij sont des réels positifs. Reste à vérier
que µij = 0 si Dij (q) > 0. Or, la relation de omplémentarité dans (Pq,q+w ) donne
P
µij Dij (q) = 0, d'où le résultat.
Remarque 4.3 Par ailleurs, une autre di ulté viendra du fait que l'on projette sur un
ensemble K(qnk ) dépendant de la position qnk , e qui sort du adre stri t des pro essus de
rae dé rit dans la se tion 2.4.2. En eet, dans e dernier, sont onsidérés des ensembles
C(t) où l'appli ation multivaluée C est supposée à variation bornée ave une fon tion de
variation ontinue à droite ( f. équation (2.13) p. 40). Cependant, nous démontrerons à
la proposition 4.9 p. 76 la propriété de ontinuité lo ale suivante : la fon tion
Q0 × R2N 7−→ R
(q, q̃) −→ dK(q) (q̃)
70
4.1. Présentation du s héma numérique
est ontinue sur un voisinage de la diagonale. En fait, nous prouverons que l'appli ation
Q0 × R2N 7−→ R2N
(q, q̃) −→ PK(q) (q̃)
est ontinue sur e même voisinage. (Le point projeté q̃ est supposé pro he du point q
asso ié à l'ensemble K(q) sur lequel on projette.)
On dénit les fon tions asso iées à e s héma, à savoir les fon tions un , Un onstantes
par mor eaux par,
un (t) = unk et Un (t) = U(qnk ) si t ∈ [tnk , tnk+1[, k < n,

et qn ane par mor eaux telle que
qn (tnk ) = qnk ∀k ∈ {0, .., n}. (4.3)
De plus, on pose un (T ) = unn−1 et Un (T ) = U(qnn−1 ). Si on dénit les fon tions ρ et θ par
ρn (t) = tnk et θn (t) = tnk+1 si t ∈ [tnk , tnk+1 [, ρn (T ) = T et θn (T ) = T,

la proposition suivante permet de mieux voir le lien entre le problème ontinu (E2 ) déni
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page 27,
dq
(t) − U (q(t)) ∈ −N (Q0 , q(t)) , p.p.t. t ∈ [0, T ]
dt
et le problème dis rétisé.
Proposition 4.4 Les fon tions qn et Un vérient

dqn
(t) − Un (t) ∈ −N (K(qn (ρn (t))), qn (θn (t))) , p.p.t. t ∈ [0, T ].
dt
Démonstration :
Par dénition,
qnk+1 = PK(qnk ) (qnk + hU(qnk )),
e qui implique d'après la proposition A.4 ( ) p. 143,
qnk + hU(qnk ) − qnk+1 ∈ ∂IK(qnk ) (qnk+1 ).

En divisant par h, on obtient
−unk + U(qnk ) ∈ ∂IK(qnk ) (qnk+1 ),

d'où
unk − U(qnk ) ∈ −∂IK(qnk ) (qnk+1 ).
Par onséquent d'après la proposition A.8 p. 144,

unk − U(qnk ) ∈ −N K(qnk ), qnk+1 .
De plus,
dqn
/ {tnk , k ∈ {0..n}},
∀t ∈ (t) = un (t),
dt
d'où le résultat.
71
4.2 Convergen e du s héma numérique
Énonçons maintenant le théorème fondamental de e hapitre, dont la démonstration

fait l'objet de ette se tion.
Théorème 4.5 (Convergen e du s héma)

Sous les hypothèses du théorème 2.30 p. 40, la suite de fon tions qn dénie par (4.2) et
(4.3) onverge uniformément sur [0, T ] vers l'unique fon tion q ∈ W 1,1 ([0, T ], Q0 ) solution
de 
 dq
 − U (q) ∈ −N(Q0 , q) p.p,
dt


q (0) = q0 ∈ Q0 .
Comme ela a été souligné dans la remarque 4.3, le rempla ement de Q0 par des ensembles
K(q) soulève une nouvelle di ulté (par rapport aux travaux de J.F. Edmond et L.
Thibault [ET06℄) puisqu'une hypothèse de régularité de es ensembles nous fait défaut.
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4.2.1 Extra tion et propriétés de la fon tion limite

Extra tion
2N
On rappelle que ∀q ∈ R , |U(q)| ≤ CU . Par onstru tion, unk = PCh (qnk ) (U(qnk )).
n
Puisque Ch (qk ) est un onvexe fermé ontenant 0 et que la proje tion sur e dernier est
1-lips hitz, on a
|PCh (qnk ) (U(qnk )) − PCh (qnk ) (0))| ≤ |U(qnk ) − 0|.
D'où,
|unk | ≤ |U(qnk )| ≤ CU . (4.4)
Par onséquent,
kun kL∞ ([0,T ],R2N ) ≤ CU .
Z t
n
Comme pour tout t dans [0, T ], q (t) = q0 + un (s)ds, on a
0
kqn kL∞ ([0,T ],R2N ) ≤ |q0 | + T CU .
D'après le théorème d'As oli, il existe don une suite extraite, toujours notée qn , qui
0 2N
onverge uniformément sur [0,T℄ vers une fon tion q ∈ C ([0, T ], R ).
vu
qn −−−→ q sur [0, T ] (4.5)
n→∞
On peut montrer en fait que la fon tion limite est plus régulière.
Proposition 4.6 La fon tion q est dans W 1,∞([0, T ], R2N ).

72
4.2. Convergen e du s héma numérique
Démonstration :
∞ 2N
La suite des dérivées, toujours notée u , est bornée dans L ([0, T ], R
n
). Il existe don
∞ 2N
une suite extraite (toujours notée) u qui onverge dans L ([0, T ], R
n
) faible ⋆. Appelons
u sa limite, on a alors
⋆
un ⇀ u dans L∞ ([0, T ], R2N ). (4.6)
L'égalité
Z t
n
q (t) = q0 + un (s)ds, ∀t ∈ [0, T ]
0
donne à la limite Z t
q(t) = q0 + u(s)ds, ∀t ∈ [0, T ].
0
dq
On en déduit que la fon tion q est dans W 1,∞ ([0, T ], R2N ) et que = u p.p.
dt
Proposition 4.7 La fon tion q vérie q(t) ∈ Q0 , pour tout t dans [0, T ].
Démonstration :
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n n n n n
Par onstru tion et par onvexité de K(qk ), q (t) ∈ K(qk ) ⊂ Q0 si t ∈ [tk , tk+1 ]. A
n
fortiori, q (t) ∈ Q0 , pour tout t dans [0,T℄. Comme Q0 est fermé, on obtient bien à la
limite le résultat annon é.
Finalement, la fon tion q est dans W 1,∞ ([0, T ], Q0 ) ⊂ W 1,1 ([0, T ], Q0 ). Si on montre que
ette fon tion vérie l'in lusion diérentielle pré édente, le théorème 2.30 p. 40 armera
son uni ité. Ainsi, par ompa ité et par uni ité de la valeur d'adhéren e, on en déduira
n
que la suite q onverge vers la fon tion q, unique solution du problème.
In lusion diérentielle
On veut montrer que la fon tion limite q vérie l'in lusion diérentielle du théo-
rème 4.5. Le début de la preuve qu'on propose i i s'inspire d'une démonstration présente
dans [ET06℄. An de fa iliter la le ture de la preuve, les lemmes énon és seront démontrés
ultérieurement dans la sous-se tion 4.2.3 p. 90. On veut montrer que
dq
− U (q) ∈ −N(Q0 , q) p.p.
dt
D'après le lemme 4.2 p. 70, il sut de montrer que
dq
− U (q) ∈ −N(K(q), q) p.p.
dt
dqn
On sait, d'après les résultats (4.5) et (4.6), qu'il existe des suites qn et un = telles
dt
que 
 dqn ⋆ dq
 ⇀ dans L∞ ([0, T ], R2N )
dt dt
 vu
 qn −−−→ q sur [0, T ].
n→∞
73
Comme on travaille sur l'intervalle [0,T℄ borné, ela implique en parti ulier,

 dqn dq
 ⇀ dans L1 ([0, T ], R2N )
dt dt
 vu
 q −−−→ q
n
sur [0, T ].
n→∞
vu
Comme U est lips hitzienne, on a Un −−−→ U(q) et nalement,
n→∞

 dqn dq
 − Un ⇀ − U(q) dans L1 ([0, T ], R2N )
dt dt
 vu
 qn −−−→ q sur [0, T ].
n→∞
Ce i asso ié au lemme de Mazur assure l'existen e d'une suite de fon tions zn ∈ L1 ([0, T ], R2N )
telle que,

n dqk k dq
z ∈ Conv −U , k ≥n et zn −−−→ − U(q) dans L1 ([0, T ], R2N ).
dt n→∞ dt
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Quitte à extraire, on peut supposer que
dq
zn −−−→ z = − U(q) p.p.
n→∞ dt
Or d'après la proposition 4.4, on sait que
dqn
(t) − Un (t) ∈ −N(K(qn (ρn (t))), qn (θn (t))), p.p.t. t ∈ [0, T ]. (4.7)
dt
dq
On xe t dans [0, T ] tel qu'on ait la onvergen e de (t) − U(q(t)) et
zn (t) vers z(t) =
n
dt
que l'in lusion i-dessus soit vériée au point t (i.e. pour t ∈
/ {tk }). On
veut montrer que
k
dq
z(t) ∈ −N(K(q(t)), q(t)). Comme zn (t) ∈ Conv dt (t) − Uk (t), k ≥ n , on a

2N n dqk k
∀ξ ∈ R , hz (t), ξi ≤ sup (t) − U (t), ξ .
k≥n dt
A la limite, on obtient

2N dqn n
∀ξ ∈ R , hz(t), ξi ≤ lim sup (t) − U (t), ξ . (4.8)
n dt
On souhaite maintenant majorer ette limite supérieure. Pour ela, on utilise l'équa-
tion (4.7) et le résultat suivant ( f. lemme 4.24 (d) p. 90) à savoir que
dqn
(t) − Un (t) ∈ −N(K(qn (ρn (t))), qn (θn (t)))
dt
est équivalent à
n
dqn dq
∀ξ ∈ R 2N
, − (t) + Un (t), ξ
≤ (t) − U (t) dK(qn (ρn (t))) (ξ + qn (θn (t))).
n
dt dt
74
On a don
n
dqn dq
∀n, ∀ξ ∈ R 2N
, (t) − Un (t), ξ ≤ (t) − U (t) dK(qn (ρn (t))) (qn (θn (t)) − ξ)
n
dt dt
D'après (4.4), on obtient

2N dqn
∀n, ∀ξ ∈ R , (t) − Un (t), ξ ≤ 2CU dK(qn (ρn (t))) (qn (θn (t)) − ξ). (4.9)
dt
De plus, on a ∀n, ∀ξ ∈ R2N

dK(qn (ρn (t))) (qn (θn (t)) − ξ) − dK(q(t)) (q(t) − ξ)

≤ dK(qn (ρn (t))) (qn (θn (t)) − ξ) − dK(qn(ρn (t))) (q(t) − ξ)

+ dK(qn (ρn (t))) (q(t) − ξ) − dK(q(t)) (q(t) − ξ)

≤ |qn (θn (t)) − q(t)| + dK(qn (ρn (t))) (q(t) − ξ) − dK(q(t)) (q(t) − ξ) .
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On utilise la proposition suivante qui sera démontrée dans la suite.
Proposition 4.8 Il existe ν > 0 tel que pour tout ξ ∈ R2N , |ξ| < ν ,

dK(qn (ρn (t))) (q(t) − ξ) − dK(q(t)) (q(t) − ξ) −−−→ 0. (4.10)
n→∞
On obtient don ∀ξ ∈ R2N , |ξ| < ν ,
dK(qn (ρn (t))) (qn (θn (t)) − ξ) −−−→ dK(q(t)) (q(t) − ξ).
n→∞
Finalement, en passant à la limite dans (4.9), on obtient
∀ξ ∈ R2N , |ξ| < ν, hz(t), ξi ≤ 2CU dK(q(t)) (q(t) − ξ).
Ce i est équivalent d'après le lemme 4.24 (f ) p. 90 à
z(t) ∈ −N(K(q(t)), q(t)). (4.11)

Ainsi, s'a hève la démonstration du théorème 4.5 dans ses grandes lignes. Reste main-
tenant à justier les lemmes utilisés ( f. se tion 4.2.3) et surtout la proposition 4.8 qui
est fondamentale. On a hoisi de donner une preuve diérente de elle é rite dans [ET06℄
pour majorer la limite supérieure de l'équation (4.8), toutefois l'argument- lé est le même.
En eet, les auteurs ont par hypothèse ( f. équation (2.13) p. 40),
dC(tn ) (y) → dC(t) (y), ∀y, lorsque tn → t
analogue à (4.10). Ce i leur permet de démontrer la proposition 2.1 de [ET06℄, qui à partir
de l'équation (4.8) donne le résultat (4.11).
75
Démonstration de la proposition 4.8

La proposition 4.8 se déduit de la proposition suivante en l'appliquant aux points
q = q(t) et qn = qn (ρn (t)).
Proposition 4.9 Soient q ∈ Q0 , (qn )n∈N ∈ (Q0)N vériant qn −n→∞

−−→ q, on dénit K =
K(q) et Kn = K(qn ). Pout tout q e dans R2N , on pose pe = PK (eq) et p
fn = PKn (eq). Alors,
il existe ν > 0 (dépendant de q) tel que pour tout q
e ∈ B(q, ν), p
fn −−−→ p e . En parti ulier,
n→∞
q).
q) −−−→ dK (e
dKn (e
n→∞
Démonstration :
On sait d'après le lemme 4.25 p. 91, que les ve teurs fn
p sont solutions d'un système de
type suivant :
 X

 f
p = e
q + λnij Gij (qn )


n

 i<j

(Pqn,q̃ ) ∀i < j, Dij (qn ) + Gij (qn ) · (f pn − qn ) ≥ 0

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
 X

 λnij (Dij (qn ) + Gij (qn ) · (f
pn − qn )) = 0,


i<j
où les λnij sont des réels positifs. De même, le ve teur e est solution d'un système analogue :
p
 X

 e
p = e
q + λij Gij (q)



 i<j

(Pq,q̃ ) ∀i < j, Dij (q) + Gij (q) · (ep − q) ≥ 0

 X



 λij (Dij (q) + Gij (q) · (e
p − q)) = 0,

i<j
où les λij sont des réels positifs. Les réels λnij et λij sont des multipli ateurs de Lagrange
et la dernière ligne des deux systèmes ontient une relation appelée relation de omplé-
mentarité. La proposition suivante (dont la démonstration fait l'objet de la se tion 4.2.2)
n n
arme que la suite λ = (λij ) est bornée.
Proposition 4.10 Pour tout q ∈ Q0 , il existe ν > 0 et M dans N tels que pour tout
n ≥ M , tout q
e dans B(q, ν) et tout λn solution de (Pqn ,q̃ ), on ait
√
2 nv
∀i < j, λij ≤ 2νb où b =
n N
π ,
π
min sin , sin
2(nv + 1) N
ave nv déni au lemme 3.16 p. 53.

Quitte à extraire, on peut don supposer que
∀i < j, λnij −−−→ λ∞

ij ≥ 0.
n→∞
76
En passant à la limite dans le premier système, on obtient que la suite fn

p onverge vers
un élément p vériant :
 X

 p = e
q + λ∞
ij Gij (q)



 i<j

∀i < j, Dij (q) + Gij (q) · (p − q) ≥ 0

 X



 λ∞
ij (Dij (q) + Gij (q) · (p − q)) = 0.

i<j
On en déduit don que p=p fn

e . La suite p n'a par onséquent qu'une seule valeur d'adhé-
ren e e,
p d'où sa e.
onvergen e vers p
Remarque
T 4.11 Le résultat de la proposition 4.9 n'est pas vrai en toute généralité lorsque
K(q) = i<j Kij (q) est une interse tion quel onque de demi-espa es. Sur la gure 4.2, on
a tra é les frontières des demi-espa es K12 n
= K12 (qn ) et K13
n
= K13 (qn ). Ces frontières
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
se rejoignent lorsque n tend vers l'inni. On remarque don que la suite p fn , qui est
stationnaire, ne tend pas vers p e.
PSfrag repla ements
n → +∞ fn
p e
p n
F r(K12 )
e
q
n
F r(K13 )
Fig. 4.2 Contre-exemple.
L'argument- lé de la démonstration de la proposition 4.9 est le ara tère uniformément

borné des multipli ateurs de Lagrange. On le démontre dans la se tion suivante.
4.2.2 Démonstration de la proposition 4.10 : étude des multipli-

ateurs de Lagrange
Dans toute ette se tion, on reprend les notations de la proposition 4.9. On se donne
q dans Q0 et une suite (qn ) d'éléments de Q0 , qui onverge vers q. Les proje tions d'un
élément q e sur K(q) et sur K(qn ) sont notées respe tivement p e et p
fn . On her he à borner
tous les λ tels que (ep, λ) soit solution de (Pq,q̃ ) et tous les λn tels que (f pn , λn ) soit solution
n
de (Pqn ,q̃ ). Pour simplier, on é rira juste λ solution de (Pq,q̃ ) et λ solution de (Pqn ,q̃ ),
dans la suite. Une première hose à noter est que les multipli ateurs de Lagrange sont
77
nuls quand il n'y a pas onta t. Dénissons don l'ensemble des ouples de personnes qui
sont éloignées l'une de l'autre (i.e. à distan e stri tement positive) :

If ar (q) = (i, j) ∈ J1, NK2 , i < j, Dij (q) > 0 ,
et pré isons la valeur des multipli ateurs de Lagrange asso iés à es ouples.
Lemme 4.12 Il existe ν > 0 et M0 dans N tels que pour tout n ≥ M0 et tout q
e dans
B(q, ν), on ait :
λnij = λij = 0, pour tout ouple (i, j) de l'ensemble If ar (q),
où λ et λn sont respe tivement solutions de (Pq,q̃ ) et (Pqn ,q̃ ).

Démonstration :
Ce i vient de la relation de omplémentarité (dernière équation des problèmes (Pq,q̃ ) et
(Pqn ,q̃ )). En eet, par dénition de If ar (q),
∃ε > 0, ∀(i, j) ∈ If ar (q), Dij (q) > 2ε.

tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Alors, omme qn −−−−→ q,

n→+∞
ε
∃M0 > 0, ∀n ≥ M0 , Dij (qn ) ≥ ε, ∀(i, j) ∈ If ar (q) et |qn − q| ≤ .
8
ε ε
Posons ν= e ∈ B(q, ν)
et hoisissons q , on a alors |e
q − q| < .
8 8
Comme p q) et q ∈ K , on a
e = PK (e
|e
p−q
e| ≤ |q − q
e|. (4.12)
Par onséquent,
ε
|e
p − q| ≤ |e
p−qe| + |e
q − q| ≤ 2|e
q − q| ≤ .
4
De manière analogue, omme p q) et qn ∈ Kn , on a
fn = PKn (e
|f
pn − q
e| ≤ |qn − q
e| ≤ |e
q − q| + |q − qn | ≤ 2ν. (4.13)
D'où,
ε
|f
pn − qn | ≤ |f
pn − q
e| + |e
q − qn | ≤ 2|e
q − qn | ≤ 4ν ≤ .
2
Par onséquent,
√ ε √ ε
Dij (q) + Gij (q) · (e
p − q) ≥ 2ε − 2 > 0 et Dij (qn ) + Gij (qn ) · (f
pn − qn ) ≥ ε − 2 > 0.
4 2
La relation de omplémentarité et la positivité des multipli ateurs de Lagrange permettent
alors de on lure.
78
frag repla ements PSfrag repla ements PSfrag repla ements 1 3

1 2 3 2 2
1 3 ∆n12
∆12 ∆23 ∆n12 ∆12
Fig. 4.3 Congurations q, qn et e.
q
Remarque 4.13 Lorsque Dij (q) > 0, on peut don armer que les multipli ateurs de
Lagrange λij et sont nuls pour n assez grand. Lorsque Dij (q) = 0, λij peut être nul
λnij
sans que λnij le soit pour n assez grand (même si Dij (qn ) > 0). Dans la gure 4.3 ,
sont dessinées les ongurations q, qn et q e de 3 parti ules. Dé rivons-les. Partant de la
onguration q, le entre de la parti ule 2 a subi une homothétie et une rotation de entre
q1 , pour obtenir la suite des ongurations qn tendant vers q. La parti ule 2 a juste été
translatée pour obtenir la onguration qe (toujours à partir de la onguration q). Sur les
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ongurations q et qn , on a tra é respe tivement la droite ∆12 de ve teur normal e12 (q)
et la droite ∆n12 de ve teur normal e12 (qn ). Ces deux droites ont été représentées sur la
onguration q e. Ainsi, on observe que qe appartient à K(q) puisque les parti ules 1 et 2
se trouvent bien de part et d'autre de la droite ∆12 . Par onséquent, λ12 = 0. Cependant,
e n'appartient pas à K(qn ) et λn12 > 0 pour tout n.
q
On her he à borner les λn solutions de (Pqn ,q̃ ) qui apparaissent dans l'é riture :
X
λnij Gij (qn ) = p e = Fn .
fn − q
i<j
Mais, d'après le lemme 4.12 p. 78, les seuls multipli ateurs de Lagrange à onsidérer
sont eux qui sont asso iés aux onta ts présents dans la onguration nale q. Ainsi, on
ommen e d'abord par étudier les multipli ateurs intervenant dans l'é riture suivante :
X
e−q
λij Gij (q) = p e = F.
i<j
Par sou i de larté, on onsidère dans la suite le as monodisperse (tous les disques ont le
même rayon noté r ). Les modi ations à apporter dans le as polydisperse seront pré isées
dans la démonstration de la proposition 4.21 p. 86.
Cas monodisperse
Proposition 4.14 Dans le as monodisperse, pour tout q dans Q0 , pour tout F dans
R 2N
, on dénit l'ensemble
( )
N(N−1) X
Λq,F = λ∈R 2 , λij Gij (q) = F, λij ≥ 0, λij = 0 si Dij (q) > 0 .
i<j
79
Cet ensemble, s'il est non vide, est borné uniformément en q. Plus pré isément, on a
3
∀λ ∈ Λq,F , ∀i < j, λij ≤ |F| aN où a = .
sin( 2π
N
)
Démonstration :
On onsidère le as où Λq,F P
est non vide. On her he à estimer les solutions λ du système
suivant (à 2N équations) : i<j λij Gij (q) = F. Comme λij = 0 si Dij (q) > 0, beau oup
de multipli ateurs de Lagrange sont nuls. On her he en fait à résoudre
X
λij Gij (q) = F , λij ≥ 0 (P ).
i<j
Dij (q) = 0
En pré isant l'é riture des ve teurs Gij (q), on peut expli iter les 2 lignes du système qui
on ernent la personne i0 ,
n
X
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
g
λ ji0 eji0 = Fi0 (Pi0 )
j=1
j 6= i0
j voisin de i0
où
g λji0 si j < i0
λ ji0 = et eji0 = eji0 (q).
λi0 j si j > i0
Comme on s'est pla é dans le adre monodisperse, il y a au maximum 6 termes dans la
somme puisque la personne i0 a au plus 6 voisins. Bien entendu, il est plus fa ile de résoudre
(Pi0 ) quand le membre de gau he ontient peu de termes. L'idée de la démonstration est
la suivante. Quand il n'y a qu'un seul terme (i0 a un unique voisin j ), la résolution est
triviale ( f. Etape 1 i-après). Lorsqu'il y a deux termes (i0 a deux voisins j1 et j2 ), le
système est inversible si ei0 j1 et ei0 j2 sont indépendants. Le as qui pose problème est
elui où les 3 personnes sont alignées, i0 j1 et j2 . En résumé, si l'angle
se trouvant entre
entre les ve teurs ei0 j1 et ei0 j2 est stri tement inférieur à π , le système est inversible, la
borne de l'inverse dépend de et angle et diverge quand e dernier se rappro he de π .
Comme on veut majorer les multipli ateurs de Lagrange, on veillera don à ontrler et
angle ( f. Etape 2 i-après). Pour résoudre le problème global, il sut de résoudre es
sous-problèmes (Pi ) dans un ordre bien hoisi : on résout les plus simples d'abord.
Prin ipe général :

On onsidère une onguration admissible q = (q1 , .., qN ) ∈ Q0 formant un amas, dans
SN
le sens où l'ensemblei=1 B(qi , r) est onnexe par ar s. (Pour les autres ongurations,
il sut de traiter les amas présents un par un, puisque les problèmes asso iés sont indé-
pendants). On note A = {q1 , .., qN } l'ensemble des positions des N personnes. (Dans la
suite, on identiera parfois abusivement la personne i et sa position qi ). On va onsidérer
les personnes de et ensemble une à une et résoudre les sous-problèmes dénis i-dessus.
80
L'idée est la suivante : à haque résolution d'un problème (Pi0 ), on enlèvera l'élément
qi0 de A, on supprimera le sous-problème (Pi0 ) du système global (P ), et on prendra en
ompte les valeurs trouvées des g

λ ji0 , pour les personnes j voisines de i0 , en modiant
les se onds membres respe tifs Fj . On va progressivement réduire A, jusqu'à obtenir un
singleton. Pré isons maintenant dans quel ordre nous allons traiter les sous-problèmes,
'est-à-dire dans quel ordre nous allons onsidérer les personnes. On suppose que A est
non réduit à un singleton.
Etape 1 : élimination des onta ts simples

On suppose qu'il existe qi dans A tel que qi ait un unique voisin qj . Le problème (Pi )
s'é rit don
λf
ji eji = Fi .
Par onséquent, λf
ji = |Fi |. On retire alors l'élément qi de A et on modie le se ond
membre Fj omme suit
Fj = Fj − λf
ji eij .
Ce i nous amène à rempla er la borne du se ond membre Fj par |Fj | + |Fi |. On élimine
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ainsi tous les onta ts simples de A, e qui permet par exemple, de traiter entièrement le
as de la gure 4.4.
Fig. 4.4 Cas d'une haîne.
Si A n'est pas réduit à un singleton après ette étape, on passe à la suivante.
Etape 2 : il n'y a plus de onta ts simples

On dénit C l'enveloppe onvexe des qj (restants) dans A. On note E l'ensemble des
points extrêmaux de C et p son ardinal. On note P la frontière de C qui est don un
polygone onvexe dont les sommets sont les points de E. Ce polygone a au moins p ≥ 3
sommets. En eet, le as de 2 sommets est elui d'une haîne, déjà traité dans l'étape
pré édente. La somme des angles de π(card(E) − 2) = π(p − 2). Par onséquent,
P vaut
2
il existe un angle de P qui soit inférieur ou égal à π(1 − ) < π . On onsidère alors le
p
sommet asso ié à un de es angles. On le note qi . Il y a alors 2 as possibles : soit qi est en
onta t ave 2 personnes exa tement, soit qi a exa tement trois voisins. En eet, omme
il n'y a plus de onta ts simples, tous les éléments de A ont au moins deux voisins. De
plus, la ondition d'angle pré édente permet d'armer que les voisins de qi se trouvent
tous dans un ne d'angle au sommet stri tement inférieur à π . Or si qj et qk sont au
π
onta t de qi , l'angle entre les ve teurs eij et eik est supérieur ou égal à . Aussi, si qi a
3
π
au moins 4 voisins, l'angle entre les 2 voisins les plus éloignés est supérieur à 3 = π . On
3
obtient alors une ontradi tion ave la ondition d'angle.
81
Cas 1 : qi a 2 voisins
Quitte à faire une rotation de entre qi ,

on peut supposer qu'on se trouve dans la on-
2π
guration de la gure 4.5. D'après le hoix de qi , γ ≥
p
≥ 2π
N
et γ ≤
2π
3
ar les parti ules
j et k ne se hevau hent pas. Noter que né essairement, N ≥ p ≥ 3.
qi qj
γ
PSfrag repla ements
qk
Fig. 4.5 Cas 1.
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−1 cos γ
Plus pré isément, eji = et eki = . Le problème
0 sin γ
λf f
ji eji + λki eki = Fi (Pi )
se réé rit don

! ! !
λf
ji 1 − sin γ cos γ Fix
= .
λf
ki
sin γ 0 1 Fiy
Ainsi, on a
√
2 1
λf
ji ≤ |Fi | et λf
ki ≤ |Fi |.
sin γ sin γ
On enlève qi A. On
de l'ensemble
√ modie les bornes du se ond membre, plus pré isément,
2 1
on rempla e |Fj | par |Fj | + 2π |Fi | et |Fk | par |Fk | + |Fi | ar sin γ ≥ sin( 2π ).
sin( N ) sin( 2π
N
) N
On supprime alors le sous-problème (Pi ).
Cas 2 : qi a 3 voisins
Quitte à faire une rotation de entre qi ,

on peut supposer qu'on se trouve dans la on-
2π
guration de la gure 4.6. On a d'une part γ ≥
p
≥ 2π
N
. D'autre part, γ ≤
π
3
puisque les
parti ules j et k ainsi que k et l ne se hevau hent pas. On obtient don l'en adrement
de γ suivant,
2π π
≤γ≤ . (4.14)
N 3
82
π
Par ailleurs, on a β ≤ − ar les parti ules j et k ne se hevau hent pas. De plus, omme
3
β ≥ −π + γ + 3 , on a d'après (4.14), β ≥ 2π
π
N
− 2π
3
. On obtient don l'en adrement de β
suivant,
2π 2π π
− ≤β≤− . (4.15)
N 3 3
Noter que né essairement, N ≥ p ≥ 6 pour que l'en adrement (4.14) ait un sens. En eet,
il est fa ile de voir que pour N < 7 personnes, on réduit l'amas A jusqu'à un singleton
grâ e à l'étape 1.
qi qj
PSfrag repla ements

γ
β
ql qk
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Fig. 4.6 Cas 2.

−1 − cos β cos γ
Plus pré isément, eji = , eki = et eli = . Le problème (Pi )
0 − sin β sin γ
s'é rit
λf f f
ji eji + λki eki + λli eli = Fi .
Bien sûr, on voit apparaître dans ette situation la non-uni ité des multipli ateurs de
Lagrange (2 équations, 3 in onnues). Elle est due au fait que le ve teur eik peut s'é rire
omme ombinaison linéaire à oe ients positifs des ve teurs eij et eil . On dénit une
solution parti ulière de e problème (λf

0 f0
ji , 0, λli ) où les omposantes vérient,
  ! !
λf
0
ji 1 − sin γ cos γ Fix
 = . (4.16)
f0
λ sin γ 0 1 Fiy
li
Il reste alors à dé rire le noyau de la matri e du système (Pi ) pour obtenir toutes les
solutions. On utilise don le lemme suivant démontré p. 93.
Lemme 4.15 Le noyau de la matri e du système (Pi ) est engendré par le ve teur :
 
sin(β − γ)
kβγ = sin γ .
sin β
De plus, on onnaît les signes de ses omposantes,
√
2π 2π 3
sin(β − γ) ≤ − sin( ) < 0, sin γ ≥ sin( ) > 0 et sin β ≤ − < 0.
N N 2
83
Toutes les solutions de (Pi ) s'é rivent don ,

     
λfji λf0
ji sin(β − γ)
     
 λf     sin γ  t ∈ R.
 ki  =  0  + t   où
fli
λ f0
λ sin β
li
Or nous her hons toutes les solutions positives. La positivité de sin γ implique que t doit
être positif. De plus, les signes négatifs de sin(β − γ) et de sin β impliquent que t ≤ tmax
où !
λf
0
ji
f0
λ li
tmax = min , . (4.17)
− sin(β − γ) − sin β
Comme t sin(β − γ) < 0 et t sin β < 0, on a
λf f0
ji ≤ λji et λ f0 .
fli ≤ λ
li
Or on a déjà vu ( f. as 1) que
√
2 1
λf
0 f0 ≤
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ji ≤ |Fi | et λ li |Fi |.
sin γ sin γ
D'où √
2 1
λf
ji ≤ |Fi | et fli ≤
λ |Fi |.
sin γ sin γ
Comme t sin γ > 0, on a
λf
ki ≤ tmax sin γ.
Le lemme suivant (démontré p. 94) permet d'obtenir la majoration nale de λf

ki .
2
Lemme 4.16 On a la majoration suivante : tmax sin γ ≤ √ |Fi |.
3
Ainsi
2
λf
ki ≤ √ |Fi |.
3
On enlève qi A.√On modie les bornes du se ond membre, plus pré isément,
de l'ensemble
2 2 1
on rempla e |Fj | par |Fj | + 2π |Fi |, |Fk | par |Fk | +
√ |Fi | et |Fl | par |Fl | + |Fi |.
sin( N ) 3 sin( 2π
N
)
On supprime alors le sous-problème (Pi ).
A la n de l'étape 2, nous avons don retiré une personne de l'ensemble A. Si et en-

semble n'est pas réduit à un singleton, on retourne à l'étape 1.
Bilan
En itérant e pro édé, 'est-à-dire en éliminant tous les onta ts simples puis en hoisissant
une parti ule extrêmale vériant la ondition d'angle pré édente et ainsi de suite, on résout
le problème global (P ) en (N − 1) étapes. On remarque qu'à haque résolution de sous-
problèmes, on arrive à borner les multipli ateurs de Lagrange par le se ond membre à une
onstante près. Il sut don de savoir omment évolue la borne du se ond membre pour
estimer les λij . Le lemme suivant (démontré p. 94) permet de on lure.
84
Lemme 4.17 A haque rédu tion de l'ensemble A, la norme |F| est rempla ée au pire
3
des as par |F|.
sin( 2π
N
)
Ainsi s'a hève la démonstration de la proposition 4.14.
On obtient le orollaire suivant.
Corollaire 4.18 Dans le as monodisperse, pour tout q ∈ Q0 , il existe ν > 0 tel que pour
tout q
e dans B(q, ν) et tout λ solution de (Pq,q̃ ), on ait
3
∀i < j, λij ≤ νaN où a = .
sin( 2π
N
)
Démonstration :
Le lemme 4.12 donne l'existen e de ν > 0 tel que pour qe ∈ B(q, ν), (e
p, λ) solution de
(Pq,q̃ ) implique que λ ∈ Λq,F ave F = p
e−q e. De plus, lors de la démonstration de e
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
lemme (p. 78), on montre que |F| ≤ ν ( f. équation (4.12)). La proposition 4.14 permet
alors de on lure.
Remarque 4.19 Dans [Mau06℄, B. Maury avait déjà montré le ara tère borné des mul-
tipli ateurs de Lagrange, sans expli iter de borne, en utilisant la notion de ne asymptote
(voir [Mau06℄). L'idée de onsidérer les parti ules extrêmales y était déjà présente. Ce-
pendant, pour montrer le ara tère uniformément borné des multipli ateurs de Lagrange,
il est essentiel de omprendre la dépendan e de ette borne par rapport à la onguration
q onsidérée. Celle- i dépend très fortement de la géométrie de la onguration et plus
pré isément de la présen e de gros amas.
Nous avons don démontré que les multipli ateurs de Lagrange intervenant dans la proje -
tion de e sur K(q)
q sont bornés. Reste à étudier eux qui interviennent dans la proje tion
de e
q sur K(qn ).
Proposition 4.20 Dans le as monodisperse, pour tous q, qn dans Q0 , pour tout F dans
R2N , on dénit l'ensemble
( )
N(N−1) X
Λq,qn,F = λ∈R 2 , λij Gij (qn ) = F, λij ≥ 0, λij = 0 si Dij (q) > 0 .
i<j
Alors, il existe M1 dans N tel que pour tout n ≥ M1 , l'ensemble Λq,qn,F , s'il est non vide,
est uniformément borné. Plus pré isément, on a
3
∀λ ∈ Λq,qn,F , ∀i < j, λij ≤ |F| aN où a = .
sin( Nπ )
85
Démonstration :
Comme la suite (qn ) tend vers q, il existe M1 dans N tel que pour tout n ≥ M1 , pour
tous ouples (i, j), i < j , (k, l), k < l, l'angle orienté entre les ve teurs eij (qn ) et ekl (qn )
soit pro he de l'angle entre les ve teurs eij (q) et ekl (q) :
π
∃M1 , ∀n ≥ M1 , ∀(i, j), i < j, ∀(k, l), k < l, |(eij (q\ \
n ), ekl (qn ))−(eij (q), ekl (q))| < α < .
N
Soit n ≥ M1 ,
on suit maintenant la même démar he que elle de la démonstration de la
n
proposition 4.14. On dénit les sous-problèmes (Pi ) omme suit :
n
X
λf n
ji eji = Fi (Pin )
j=1
j 6= i
Dij (q) = 0
où
λji si j<i
λf
ji = et enji = eji (qn ).
λij j>i
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si
On remarque que la somme du membre de gau he porte sur les j voisins de i dans la
onguration nale q. Considérer les voisins dans la onguration qn serait une erreur
ar λij
peut être stri tement positif alors que la distan e Dij (qn ) est stri tement positive
n
( f remarque 4.13). On résout les sous-problèmes (Pi ) exa tement dans le même ordre
que les sous-problèmes (Pi ). Les résolutions ee tuées lors de l'étape 2 ne poseront pas
de problème puisque les angles entre les ve teurs eij (qn ) sont ontrlés. L'angle γn (ave
2π
des notations évidentes) est maintenant supérieur à
N
− α ≥ Nπ .
Généralisation au as polydisperse
Le ara tère uniformément borné des multipli ateurs de Lagrange se généralise au as
polydisperse. La proposition suivante est analogue à la proposition 4.14.
Proposition 4.21 Pour tout q dans Q0, pour tout F dans R2N , on dénit l'ensemble
( )
N(N−1) X
Λq,F = λ∈R 2 , λij Gij (q) = F, λij ≥ 0, λij = 0 si Dij (q) > 0 .
i<j
Cet ensemble, s'il est non vide, est uniformément borné en q. Plus pré isément, on a
√
2 nv
∀λ ∈ Λq,F , ∀i < j, λij ≤ |F| b N
où b = ,
π 2π
min sin , sin
nv + 1 N
où nv est le nombre maximal de voisins que peut avoir une personne ( f. lemme 3.16
p. 53).
Démonstration :
Comme il sut de reprendre le heminement suivi pour prouver la proposition 4.14, seules
86
les grandes lignes de la démonstration seront présentées i i. L'étape 1 est identique au as

monodisperse, la diéren e vient du fait que l'étape 2 omporte beau oup plus de as. En
eet, dans une situation polydisperse illustrée par la gure 4.7, la personne extrêmale i
i
peut avoir nv > 3 voisins où
π
niv ≤ nv ≤ .
rmin
arcsin
rmax + rmin
(La majoration de nv est le résultat du lemme 3.16 p. 53).
PSfrag repla ements qi

qj
ql
γ
qk1 β1
qk3
qk2
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β2
β3
Fig. 4.7 Cas polydisperse.
De la même manière que dans le as monodisperse, on peut montrer que le noyau de

i
la matri e asso iée au système (Pi ) à résoudre a pour dimension nv − 2. On détermine
fa ilement une base de e noyau (voir les notations sur la gure 4.7), formée des ve teurs
kβp γ , 1 ≤ p ≤ niv qui n'auront que 3 omposantes non nulles : sin(βp − γ) < 0, sin βp < 0
et sin γ > 0. Plus pré isément,
 
sin(βp − γ)
 0 
 .

 . 
 . 
 
 0 
 
kβ p γ =  sin γ  ,
 
 0 
 . 
 .. 
 
 0 
sin βp
sin γ se trouvant à la (p + 1)ème oordonnée. Les solutions du problème (Pi ) s'é rivent
don omme somme de la solution parti ulière (analogue à elle de l'équation (4.16)
87
P
p. 83) et de tp kβp γ , où tp ∈ R. De la même manière que dans le as monodisperse,
on vérie fa ilement que les oe ients tp sont positifs. Ensuite, on essaie d'estimer les
majorants tp,max dénis omme dans (4.17) p. 84. Pour ela, on majore les quantités
suivantes sin(βp − γ) et sin βp . Grâ e à la démonstration du lemme 3.16 p. 53, on peut
armer que

rmin
βp ≤ −θ = −2 arcsin .
rmax + rmin
De même, on montre que βp − γ ≤ −θ. Ainsi, sin(βp − γ) ≤ − sin θ et sin βp ≤ − sin θ. Ce
qui nous permet d'obtenir nalement
1
tp,max sin γ ≤ |Fi |.
sin θ
Enn, en faisant un nouveau bilan, on montre (même preuve que le lemme 4.17 p. 85)
que dans le pire des as la norme de |F| est rempla ée par
√
2 nv
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2π
|F|.
min sin θ, sin N
π
On on lut grâ e à la minoration θ≥ .
nv + 1
Nous obtenons maintenant une proposition analogue à la proposition 4.20 en reprenant

la même démonstration.
Proposition 4.22 Pour tous q, qn dans Q0 , pour tout F dans R2N , on dénit l'ensemble
( )
N(N−1) X
Λq,qn ,F = λ∈R 2 , λij Gij (qn ) = F, λij ≥ 0, λij = 0 si Dij (q) > 0 .
i<j
Alors, il existe M1 dans N tel que pour tout n ≥ M1 , l'ensemble Λq,qn,F , s'il est non vide,
est uniformément borné. Plus pré isément, on a
√
2 nv
∀λ ∈ Λq,qn,F , ∀i < j, λij ≤ |F| b N
où b = π ,
π
min sin , sin
nv + 1 N
où nv est le nombre maximal de voisins que peut avoir une personne ( f. lemme 3.16
p. 53).
Nous arrivons au but de ette se tion. On peut maintenant démontrer la proposition 4.10
qui arme le ara tère uniformément borné des multipli ateurs de Lagrange dans le as
général polydisperse.
88
Démonstration de la proposition 4.10 :

Rappelons son énon é :
Pour tout q ∈ Q0 , il existe ν > 0 et M dans N tels que pour tout n ≥ M , tout qe dans
B(q, ν) et tout λn solution de (Pqn,q̃ ), on ait
√
2 nv
∀i < j, λij ≤ 2νb où b =
n N
π .
π
min sin , sin
2(nv + 1) N
Le lemme 4.12 donne l'existen e de ν > 0 et de M0 ∈ N tel que pour q pn , λn )

e ∈ B(q, ν), (f
n
≥ M0 ave Fn = p
solution de (Pqn ,q̃ ) implique que λ ∈ Λq,qn ,F n si n fn − qe. De plus, lors
n
de la démonstration de e lemme (p. 78), on montre que |F | ≤ 2ν ( f. équation (4.13)).
En posant M = max(M0 , M1 ) où M1 est l'entier déni dans la proposition 4.22, on obtient
le résultat annon é.
Remarque 4.23 Il est à noter que le ara tère borné des multipli ateurs de Lagrange dé-
montré à la proposition 4.21, est équivalent à l'existen e de l'inégalité triangulaire inverse
de la proposition 3.14 p. 52. Et de ette inégalité dé oule le ara tère uniformément prox-
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
régulier de Q0 . Cette démonstration ne se généralise pas à un ensemble de ongurations

admissibles qui prendrait en ompte les obsta les, en imposant une distan e positive entre
eux et les personnes.
PSfrag repla ements q1 q2
λ^
1, obst1
λ^
2, obst2
λf
12
Fig. 4.8 Situation où les multipli ateurs de Lagrange sont non bornés.
En eet, dans l'exemple présenté sur la gure 4.8, les multipli ateurs doivent vérier le
système suivant : 
 −λf ^ x
12 + λ1, obst1 = F1
 λf − λ^ x
12 2, obst2 = F2 .
Les solutions à oordonnées positives de e système s'é rivent

     
λ^
1, obst1 F1x 1
 
 f     
 λ12  =  0  + t 1 , ave t assez grand.
 
  
λ^ −F2x 1
2, obst2
Les solutions ne sont don pas bornées.
89
4.2.3 Lemmes te hniques

Enon é et démonstration du lemme 4.24 :
Lemme 4.24 Soit S un onvexe fermé in lus dans un espa e de Hilbert H , soient x ∈ S
et w ∈ H alors les propositions suivantes sont équivalentes :
déf
w ∈ N(S, x) ⇔ x = PS (x + w) (a)
⇔ ∀y ∈ S, hw, y − xi ≤ 0 (b)
⇔ ∀y ∈ H, hw, y − xi ≤ |w| dS (y) (c)
⇔ ∀ξ ∈ H, hw, ξi ≤ |w| dS (ξ + x) (d)
⇔ ∃η > 0, ∀v ∈ H, |v| < η, hw, vi ≤ |w| dS (v + x) (e)
⇔ ∃k > 0, ∃η > 0, ∀v ∈ H, |v| < η, hw, vi ≤ k dS (v + x) (f )
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Démonstration :
Démontrons l'équivalen e des propriétés :
(a) ⇔ (b) : ara térisation du projeté orthogonal sur un onvexe fermé d'un espa e de
Hilbert.
(c) ⇔ (d) : lair en posant ξ = y − x.
(d) ⇒ (e) : lair.
(e) ⇒ (f ) : lair.
Justions maintenant :
(b) ⇒ (c) : on onsidère y ∈ H et w ∈ N(S, x). Si y ∈ S , dS (y) = 0 et l'inégalité ( ) est
vériée. Sinon, on dénit z = PS (y) alors
hw, y − xi = hw, z + (y − z) − xi
= hw, z − xi + hw, y − zi
≤ hw, y − zi ar z ∈ S,
≤ |w||y − z|
≤ |w|dS (y).
(e) ⇒ (d) : on onsidère ξ ∈ H et w ∈ N(S, x). Si |ξ| ≤ η , l'inégalité (d) est vériée.
Sinon, on pose ξ = αv où v ∈ H, |v| ≤ η et α > 1. Alors,
hw, ξi = α hw, vi ≤ α|w|dS (v + x).
Il sut don de montrer que
αdS (v + x) ≤ dS (αv + x).
90
p α−1
Soit p = PS (αv + x), alors |p − αv − x| = dS (αv + x). On dénit ζ= α
+ α
x. Comme
S est onvexe, ζ ∈ S et ainsi
dS (v + x) ≤ |ζ − v − x|

p 1

≤ + 1− x − v − x
α α
p x

≤ − − v
α α
1
≤ |p − x − αv|
α
1
≤ dS (αv + x).
α
D'où,
αdS (v + x) ≤ dS (αv + x).

Finalement,
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hw, ξi ≤ |w|dS (ξ + x).

(f ) ⇒ (b) : Soit y ∈ S , on pose ξ = y − x.
Si |ξ| < η , alors (f ) implique hw, y − xi ≤ kdS (y) = 0.
Sinon, omme pré édemment, on pose ξ = y − x = αv ave |v| ≤ η et α > 1. Alors

y−x 1 1
v+x= +x= 1− x + y ∈ S, ar S est onvexe .
α α α
Et par onséquent,
hw, y − xi = α hw, vi ≤ αkdS (v + x) = 0.

Enon é et démonstration du lemme 4.25 :
Lemme 4.25 Soient q dans Q0 et q e dans R2N , on note pe = PK(q) (e

q). Alors ∃λ ∈
N(N−1)
(R+ ) 2 tel que le ouple (e
p, λ) soit solution du problème suivant :
 X

 e
p = e
q + λij Gij (q)



 i<j

(Pq,q̃ ) ∀i < j, Dij (q) + Gij (q) · (ep − q) ≥ 0

 X



p − q)) = 0.

i<j
91
Démonstration :
La onguration e
p est solution du problème de minimisation sous ontrainte suivant :
1
e |2 .
argmin |p − q
p∈K(q) 2
Le lagrangien du problème point-selle asso ié est,
1 X
e |2 −
L (p, µ) = |p − q µij (Dij (q) + Gij (q) · (p − q)) .
2 1≤i<j≤N
On dénit les appli ations linéaires :
N(N−1)
Φ : R2N → R 2
p 7→ − (Gij (q) · p)i<j
et
N(N−1)
Φ⋆ : R 2 → R2N
P
µ 7→ − i<j µij Gij (q) .
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
On peut alors réé rire l'ensemble K(q) :

( )
N(N−1) X
K(q) = p ∈ R2N , ∀µ ∈ R + 2
, − µij (Dij (q) + Gij (q) · (p − q)) ≤ 0
1≤i<j≤N

N(N−1)
= 2N
p ∈ R , ∀µ ∈ R + 2
, hµ, −D(q) − Φ(q) + Φ(p)i ≤ 0 .
N(N−1)

+ ⋆
L'existen e p, λ) pour L est lassique ( f. [Cia90℄ ), ar Φ (R )
d'un point-selle (e 2
est un fermé. Cette dernière propriété est démontrée au sous-lemme B.2 p. 146. Ce ouple
(e
p, λ) vérie alors le système,


 e + Φ⋆ (λ) = q
p e

e ∈ K(q)
p


 hλ, −D(q) − Φ(q) + Φ(p)i = 0,
qui se réé rit sous la forme :

 X

 e
p = e
q + λij Gij (q)



 i<j

∀i < j, Dij (q) + Gij (q) · (ep − q) ≥ 0

 X



p − q)) = 0.

i<j
Remarque 4.26 Comme l'appli ation Φ n'est pas surje tive en général, on ne peut pas
on lure à l'uni ité des multipli ateurs de Lagrange. On montre même que e résultat est
faux lors de la démonstration de la proposition 4.14 p. 80 (Etape 2, Cas 2).
92
Démonstration du lemme 4.15 p. 83 :

Lemme 4.15 Le noyau de la matri e du système (Pi ) est engendré par le ve teur :
 
sin(β − γ)
kβγ = sin γ .
sin β
De plus, on onnaît les signes de ses omposantes,

√
2π 2π 3
sin(β − γ) ≤ − sin( ) < 0, sin γ ≥ sin( ) > 0 et sin β ≤ − < 0.
N N 2
Démonstration :
On her he à résoudre
λf f f
ji eji + λki eki + λli eli = 0.
En remplaçant les ve teurs par leurs expressions, on obtient

−1 − cos β cos γ
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
λf
ji + λf
ki
fli
+λ = 0.
0 − sin β sin γ
Le système à résoudre est

(
−λf f f
ji −λki cos β + λli cos γ = 0
−λf f
ki sin β + λli sin γ = 0,
e qui équivaut à :


 λf f f sin β cos γ
ji = −λki cos β + λki
sin γ
 fli = λf sin β
 λ ki .
sin γ
Par onséquent, on peut prendre omme ve teur du noyau,
 
sin β
− cos β + cos γ
 sin γ 
 
 1 
 sin β 
sin γ
ou en le multipliant par sin γ ,
   
− cos β sin γ + sin β cos γ sin(β − γ)
 sin γ = sin γ .
sin β sin β
2π π
Reste à vérier les majorations. Comme
N
≤γ≤ 3
( f. en adrement (4.14) p. 82), on a
bien
2π
sin γ ≥ sin( ) > 0.
N
93
2π 2π
De plus,
N
− 3
≤ β ≤ − π3 ( f. en adrement (4.15) p. 83) don
√
3
sin β ≤ − < 0.
2
2π
Enn, des deux en adrements pré édents, on en déduit que
N
− π ≤ β − γ ≤ − 2π
N
− π3 .
On obtient alors que
2π 2π
sin(β − γ) ≤ sin( − π) = − sin( ) < 0.
N N

Démonstration du lemme 4.16 p. 84 :

2
Lemme 4.16 On a la majoration suivante : tmax sin γ ≤ √ |Fi |.
3
Démonstration :
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Prouvons ette majoration :

On a ( f équation (4.17) p.84)
√ !
2 1 1 1
tmax ≤ min |Fi |, |Fi | .
sin γ (− sin(β − γ)) sin γ (− sin β)
Par onséquent,
√ !
2 1
tmax sin γ ≤ min |Fi |, |Fi | .
(− sin(β − γ)) (− sin β)
D'après les en adrements du lemme 4.15 , on a
√ !
2 2 2
tmax sin γ ≤ min 2π |Fi |,
√ |Fi | ≤ √ |Fi |.
sin( N ) 3 3
Démonstration du lemme 4.17 p 85 :

Lemme 4.17 A haque rédu tion de l'ensemble A, la norme |F| est rempla ée par
3
|F| au pire des as.
sin( 2π
N
)
Démonstration : √
En eet, lors de l'étape 1, la norme de F est rempla ée par 2|F| ar
(|Fj | + |Fi |)2 ≤ 2(|Fj |2 + |Fi |2 ).
94
√
6
Lors de l'étape 2, dans le as 1, elle est rempla ée par |F| ar
sin( 2π
N
)
√ !2 2
2 1
|Fj | + |Fi | + |Fk | + |Fi |
sin( 2π
N
) sin( 2π
N
)

2 2 1 2
≤ 2 |Fj |2 + 2
|Fi | + 2 |Fk | + |Fi |
sin2 ( 2π
N
) sin2 ( 2π
N
)
6 2
≤ (|Fi | + |Fj |2 + |Fk |2 ).
sin2 ( 2π
N
)
3
Enn, lors de l'étape 2, dans le as 2, elle est rempla ée par |F| ar
sin( 2πN
)
√ !2 2 2
2 2 1
|Fj | + |Fi | + |Fk | + √ |Fi | |Fl | + |Fi |
sin( 2π
N
) 3 sin( 2π
N
)

2 4 1
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≤ 2 |Fj |2 + 2 2 2 2
|Fi | + 2 |Fk | + |Fi | + 2 |Fl | + |Fi | 2
sin2 ( 2π
N
) 3 sin2 ( 2π
N
)
9 2
≤ (|Fi | + |Fj |2 + |Fk |2 + |Fl |2 ).
sin2 ( 2π
N
)

95
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Troisième partie
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Programmation et résultats numériques
97
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Chapitre 5
Méthodes numériques utilisées et
programmation ee tive
Sommaire
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5.1 Cal ul de la vitesse réelle ave l'algorithme d'Uzawa . . . 100
5.1.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.1.2 Programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1.3 Logi iel SCoPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2 Cal ul de la vitesse souhaitée en utilisant une méthode
de type Fast Mar hing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.2.2 Programmation Orientée Objet . . . . . . . . . . . . . . . . 109
99
Chapitre 5. Méthodes numériques utilisées et programmation ee tive
Dans e hapitre, nous présentons les méthodes numériques utilisées lors de la pro-
grammation ee tive du modèle. Dans la se tion 5.1, nous proposons d'utiliser l'algorithme
d'Uzawa pour réaliser le se ond point du modèle à savoir al uler la vitesse réelle en tant
que proje tion de la vitesse souhaitée. Nous détaillons et algorithme, présentons les ré-
sultats de onvergen e asso iés et terminons par sa programmation en Matlab. Ensuite,
nous nous intéressons au premier point modèle en programmant une vitesse souhaitée sou-
haitée parti ulière, dirigée par le plus ourt hemin. Autrement dit, toutes les personnes
tentent de par ourir la plus petite distan e pour atteindre la sortie. An de al uler ette
vitesse souhaitée, nous présentons une méthode de type Fast Mar hing et détaillons sa
programmation en C++.
5.1 Cal ul de la vitesse réelle ave l'algorithme d'Uzawa
5.1.1 Présentation de la méthode

Nous allons pré iser la méthode numérique adoptée pour al uler la vitesse réelle
n
dis rétisée uk ( f. début de la se tion 4.1). Pour alléger les notations, nous supprimons i i
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
toute référen e au pas de temps ourant ainsi qu'au nombre de pas de temps (l'indi e k
et l'exposant n sont omis). La vitesse réelle u est solution du problème de minimisation
sous ontrainte suivant,
u = argmin |v − U(q)|2 ,
v∈Ch (q)
où h désigne le pas de temps et où Ch (q) est l'ensemble des vitesses admissibles au premier
ordre,

Ch (q) = v ∈ R2N , ∀ i < j , Dij (q) + h Gij (q) · v ≥ 0 .
Le Lagrangien du problème point-selle asso ié est
1 X
L (v, λ) = |v − U(q)|2 − λij (Dij (q) + h Gij (q) · v) .
2 1≤i<j≤N
On dénit les appli ations linéaires,
N(N−1)
Φ : R2N → R 2
v 7→ −h (Gij (q) · v)i<j
et
N(N−1)
Φ⋆ : R 2 → R2N P
λ 7 → −h i<j λij Gij (q) .
On peut alors réé rire l'ensemble des ontraintes Ch (q) :

( )
N(N−1) X
2N +
Ch (q) = v∈R , ∀λ ∈ R 2
, − λij ( Dij (q) + h Gij (q) · v) ≤ 0
1≤i<j≤N

2N +
N(N−1)
= v ∈ R , ∀λ ∈ R 2
, hλ, Φ(v) − D(q)i ≤ 0 .
100
5.1. Cal ul de la vitesse réelle ave l'algorithme d'Uzawa
L'existen e d'un point-selle (u, λ) pour L est immédiate (proposition H.11 p. 185). On a
alors la relation,
u = U(q) − Φ⋆ (λ),
autrement dit X
u = U(q) + h λij Gij (q) .
1≤i<j≤N
Ces notations étant xées, pré isons l'algorithme d'Uzawa qui permet de déterminer u.
N(N−1)
N
2N N
On onstruit deux suites (v )k ∈ R
k k +
et (µ )k ∈ (R ) 2 de la façon suivante :
µ0 = 0

vk+1 = U(q) − Φ⋆ µk

µk+1 = Π+ µk + ρ Φ vk+1 − D(q) ,
N(N−1)
où ρ est une onstante stri tement positive et Π+ est le proje teur orthogonal sur (R+ ) 2 :
µ 7−→ Π+ (µ) = (max(0, µij ))i<j .

tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
On remarque i i l'intérêt d'un tel algorithme puisqu'on a substitué la proje tion sur un
onvexe par une proje tion sur R (simple tron ature). D'après la proposition I.4 p. 191,
+
k
la suite v onverge vers u solution du problème de minimisation lorsque
2
0 < ρ < ρmax = .
kΦk2
On peut même montrer que la suite des multipli ateurs de Lagrange onverge aussi,
N(N−1)
d'après la proposition I.5 p. 192. Plus pré isément, la suite µk onverge vers λ ∈ (R+ ) 2
tel que (u, λ) soit un point-selle pour L.
Fig. 5.1 Cas évident de non-uni ité du multipli ateur λ.
Remarque 5.1 S'il y a toujours existen e du multipli ateur de Lagrange pour e problème
de dimension nie, son uni ité n'est pas assurée en général, omme on l'a vu lors de
la sous-se tion 4.2.2. Sans le moindre al ul, il est fa ile de voir qu'on n'a pas uni ité
lorsque la disposition des personnes forme un amas ristallin assez grand. Considérons
par exemple la onguration de N = 14 personnes représentée sur la gure 5.1, on peut
dénombrer 29 onta ts a tifs. Autrement dit, la dimension de l'espa e où vit λ est 29,
101
alors que l'espa e des ongurations a pour dimension : 2 × 14 =28. L'appli ation Φ⋆
n'est don pas inje tive. Par onséquent, pour w ∈ R2N , l'ensemble
( )
N(N−1) X
+
Λw = λ∈ R 2
,w = λij Gij (q)
i<j
n'est pas réduit en général à un singleton. En revan he, on a montré que et ensemble,
quel que soit le nombre de personnes et de onta ts, est borné (théorème 4.10 p. 76).
Remarque 5.2 Pour les physi iens onsidérant des é oulements granulaires, ette non-
uni ité est bien onnue et typique de la stru ture stri tement monodisperse. Lorsque les
disques sont de tailles diérentes, l'uni ité semble être générique ( f Iso ounting onje ture
dans [DCST07℄). Dans le adre des disques représentant des personnes, ette non-uni ité
du modèle idéalisé se traduira par une forte instabilité des pressions subies par les indivi-
dus.
Remarque 5.3 (Lien entre prox-régularité lo ale et rapidité de onvergen e de
l'algorithme)
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
On note G(q) la matri e remplie olonne par olonne par les ve teurs Gij (q), où les
ouples (i, j) sont tels que Dij (q) = 0 (autrement dit, les ouples (i, j) appartiennent à
l'ensemble Icontact déni par (3.4) p. 48). On dénit aussi la matri e C(q) de la manière
suivante,
C(q) = t G(q)G(q). (5.1)
C'est une matri e arrée de taille ncontact égal au nombre de onta ts que présente la
onguration q ( ardinal de Icontact ). L'inégalité triangulaire inverse énon ée à la propo-
sition 3.14 p. 52 arme qu'il existe une onstante γ telle que pour tout q ∈ Q0 , pour tout
λ ∈ (R+ )ncontact vériant |λ|1 = 1, on ait
X 2 2

λij Gij (q) = t λt G(q)G(q)λ = t λC(q)λ ≥ 2 .
γ
(Dans la suite, pour pré iser que l'on onsidère λ ∈ (R+ )ncontact , on é rira juste λ ≥ 0).
On dénit pour q ∈ Q0 , le paramètre lo al γq vériant
2
min t λC(q)λ = ,
|λ|1 =1
λ≥0
γq2
et un autre paramètre lo al ηq en posant

1 min(ri + rj )
ηq = √ .
γq 2
On peut montrer qu'il existe un lien entre le paramètre ηq (minorant la valeur de la prox-
régularité lo ale de Q0 au point q) et le onditionnement de la matri e C(q) dans le as
où C(q) est inversible. Si on note ηmin la plus petite valeur propre de C(q), on sait que
ηmin = min t λC(q)λ = min t λC(q)λ.
|λ|2 =1 |λ|2 ≥1
102
Or
min t λC(q)λ ≤ min t λC(q)λ.
|λ|2 ≥1 |λ|2 ≥1
λ≥0
√
Comme pour tout λ, |λ|1 ≤ ncontact |λ|2 , on a
min t λC(q)λ ≤ min

√
t
λC(q)λ = ncontact min t λC(q)λ.
|λ|2 ≥1 |λ|1 ≥ ncontact |λ|1 ≥1
λ≥0 λ≥0 λ≥0
Finalement,
2ncontact
ηmin ≤ ncontact min t λC(q)λ = ncontact min t λC(q)λ = .
|λ|1 ≥1
λ≥0
|λ|1 =1
λ≥0
γq2
Ainsi
nv N
ηmin ≤ ,
γq2
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
où nv est le nombre maximal de voisins que peut avoir une personne ( f lemme 3.16 p. 53).
D'autre part, le onditionnement de la matri e C(q) vaut
ηmax
cond2 (C(q)) = kC(q)k2 kC(q)−1 k2 = .
ηmin
√
Comme Gij (q) = 2, on obtient que
kC(q)k2 = ηmax ≥ 2.
Ainsi,
2 2γq2
cond2 (C(q)) ≥ ≥ .
ηmin nv N
Par dénition de ηq , on obtient
p 1
cond2 (C(q)) ≥ √ min(ri + rj ).
ηq nv N (i,j)
Plus le fa teur ηq est pro he de 0, pire sera le onditionnement de la matri e C(q).

Or la matri e intervenant dans l'algorithme d'Uzawa est la matri e orrespondant à
l'appli ation ΦΦ⋆ , de la forme C(q) = t G(q)G(q). On s'attend alors à e que l'algo-
rithme d'Uzawa onverge moins rapidement pour des ongurations asso iées à de faibles
prox-régularités lo ales (impliquant de faibles valeurs du paramètre ηq ). Pratiquement, on
s'aperçoit que la résolution du problème point-selle lors d'un important bou hon se ré-
vèle la plus oûteuse, un grand nombre d'itérations de l'algorithme d'Uzawa est né essaire
pour atteindre le seuil de pré ision pres rit par l'utilisateur alors que les al uls, lors de
pas de temps sans engorgement, sont quasi immédiats.
103
5.1.2 Programmation
Prise en ompte des obsta les
On interdit aux disques de traverser les obsta les présents, autrement dit on impose une
distan e positive entre es derniers. Si les obsta les sont au nombre de nobst , on introduit
alors pour 1 ≤ i ≤ N et 1 ≤ l ≤ nobst ve teurs Gil (q) ∈ R
obst 2N
, gradient de la distan e
entre la personne i et l'obsta le l :
Gobst
il (q) = (0, . . . , 0, −nil (q) , 0, . . . , 0),
i
où nil (q) est un ve teur unitaire de R2 qui dépend de la position qi par rapport à l'obsta le
l ( f. gure 5.2).
qi
PSfrag repla ements

qi
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obsta le l
qi
qi
Fig. 5.2 Représentation du ve teur nil (q) en fon tion de qi .
Ces Nnobst nouvelles ontraintes sont gérées numériquement de la même manière que
les ontraintes de non- hevau hement entre les disques. On al ule de la même façon les
multipli ateurs de Lagrange asso iés. Le nombre de onta ts sus eptibles d'être a tivés
est nettement inférieur à
N(N − 1)
+ Nnobst .
2
Dans le as où tous les rayons sont égaux à r par exemple, haque disque est en onta t
ave au plus 6 autres. Le nombre de onta ts est alors inférieur à (3 + nobst )N . Lors de
l'implantation, seules les ontraintes orrespondant à deux personnes pro hes ou à une
personne près d'un obsta le, sont a tivées. Il est aussi hors de question de sto ker la
obst
matri e ontenant tous les ve teurs Gij (q) et Gil (q). On ne garde en mémoire que les
ve teurs eij (q) et les ve teurs nil (q).
Voi i le noyau du programme odé en Matlab. L'algorithme d'Uzawa s'arrête dès que le
hevau hement relatif entre les personnes ou entre les individus et les obsta les, se situe
en dessous d'un ertain seuil (xé i i à 10% du rayon minimal).
% D matri e tq pour i<j D(i,j)=distan e entre qi et qj - (ri + rj)

% D(i,l)=distan e entre qi et obsta le l - ri
% E matri e ontenant les ve t eij et les ve t nil entre part et obst
% mu multipli ateur de Lagrange
104
% h pas de temps
% onta t tableau de onta ts possibles
% donnees pour l'algorithme d'Uzawa

epsilon = 0.1*min(R); % hevau hement autorise
nbitermax=5000; % nb max d'iterations
rho=50; % parametre de l'algorithme
% on effe tue les al uls pour nt pas de temps
for instant = 1 : nt
% al ul de la vitesse souhaitee prenant en ompte les obsta les

U=vitesse_globale(Q,R,Table_1,Norm1,But1,Table_2,Norm2,But2,epsi,v,d,n);
% onstru tion des matri es D et E, du tableau de onta t

[D,E, omp, onta t℄= gest_ ont(Q,R,Obs,Normobs,h,d,n,n_obs);
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
% algorithme d'Uzawa pour determiner la vitesse reelle

% la ondition d'arret est que la dist min Dmin
% entre toutes les part et entre part/obsta les
% soit superieure a -epsilon
k=0; % k = numero de l'iteration d'Uzawa
mu=0; % si au un onta t possible, mu ne sera pas utilise

if omp>1
mu=zeros( omp,1);
end
Dmin=-2*epsilon; % on rentre ne essairement dans la bou le suivante
while ((k < nbitermax) & (Dmin < -epsilon))

% vitesse adaptee uk=U-phi*(muk)
v=U-phi_star(mu,E, onta t, omp,d,n,n_obs,h);
% multi de lagrange mu(k+1)

mu=phi(mu,v,E,D, onta t, omp,rho,n,h);
% nouvelle onfiguration potentielle

Qposs=Q+h*v;
Dmin=dist(Qposs,R,Obs,Normobs,d,n_obs, onta t, omp);

k=k+1;
end
105
Dans le ode pré édent, la mise à jour des onta ts potentiels à haque instant est
ee tuée de façon naïve (bou le en O(N 2 ) pour al uler les distan es, gestion non dy-
namique de la mémoire). An de diminuer le temps de al ul lors de simulations d'un
grand nombre de personnes, nous avons hoisi d'utiliser le logi iel SCoPI (Simulation de
Colle tions de Parti ules en Intera tion), odé en C++. Ce dernier gère e a ement les
onta ts et il est fa ile d'y intégrer notre modèle. Nous pré isons les ara téristiques de
SCoPI dans la sous-se tion suivante.
5.1.3 Logi iel SCoPI

Le logi iel SCoPI (Simulation de Colle tions de Parti ules en Intera tion) programmé
en C++, a été réé par A. Lefebvre au ours de sa thèse intitulée Modélisation numérique
d'é oulements uide/parti ules ( f. [Lef07, Lef08℄). Le oeur de e logi iel est un algo-
rithme de proje tion permettant d'imposer une ontrainte sur les vitesses des parti ules
an que elles- i ne se hevau hent pas ou restent ollées, au hoix. Son originalité vient
du fait qu'il laisse la possibilité à l'utilisateur de programmer les modèles de milieu exté-
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
rieur (gravité, uide ...) d'intera tion interparti ulaire (for e de ohésion...) et de onta t
(inélastique, visqueux, agrégation...) qu'il souhaite. Le logi iel permet également la prise
en ompte de diérents types d'obsta les (segments, disques en 2D, sphères, plans en 3D),
mobiles ou non. Cette modularité été obtenue par une programmation orientée objet et
par la onstru tion d'un diagramme de lasses adapté.
An d'ee tuer des simulations ave un grand nombre de disques, e logi iel gère de ma-
nière e a e la mémoire ainsi que le temps de al ul. À haque instant, ne sont onsidérés
que les onta ts potentiels à l'instant suivant ( eux on ernant des disques susamment
pro hes). An de déterminer eux- i, un algorithme de re her he des voisins de type bu-
ket sorting est utilisé. Son prin ipe onsiste à dé ouper le domaine d'étude en boîtes
arrées et à ne al uler les distan es qu'entre des parti ules se trouvant dans des boîtes
2
voisines (au une bou le en N n'est ee tuée).
Il reste à pré iser que la méthode de proje tion programmée dans e logi iel est l'al-
gorithme d'Uzawa, mais une autre méthode serait fa ilement implantable. Grâ e à la
modularité de SCoPI, il est fa ile pour l'utilisateur d'intégrer dans le programme une vi-
tesse des disques a priori, de son hoix (vitesse avant proje tion). Dans notre as, il s'agit
de la vitesse souhaitée par les personnes, e qui nous amène à la se tion suivante.
5.2 Cal ul de la vitesse souhaitée en utilisant une mé-
thode de type Fast Mar hing
Dans ette se tion, nous nous intéressons au premier point du modèle, à savoir le
hoix de la vitesse souhaitée et à sa programmation. I i, nous faisons en quelque sorte le
hoix le plus simple pour la vitesse souhaitée. Tous les individus sont supposés avoir le
même omportement : ils veulent atteindre la sortie en par ourant le plus ourt hemin.
On dénit pour ela D(x) la distan e géodésique entre la position x et la sortie la plus
106
5.2. Cal ul de la vitesse souhaitée en utilisant une méthode de type Fast Mar hing
pro he. Cette fon tion D vérie l'équation suivante
|∇D(x)| = 1.
L'expression de la vitesse souhaitée peut maintenant être pré isée,
U(q) = (U0 (q1 ), . . . , U0 (qN )) ave U0 (x) = −s ∇D(x),
où le réel positif s représente la norme du ve teur U0 (x), i.e. l'allure souhaitée.
5.2.1 Présentation de la méthode

Pour al uler D, on utilise une méthode de type Fast Mar hing introduite par R.
Kimmel and J. Sethian dans [KS96℄. Dans ette méthode, la valeur de D est al ulée
en haque point d'une grille re ouvrant le domaine. Le prin ipe de la méthode de Fast
Mar hing est de dé ouper la grille en 3 zones :
• la zone dite é lairée, onstituée des noeuds où la valeur de D est déterminée ;
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
• la zone de pénombre onstituée des noeuds où une valeur de D a été al ulée mais
pas en ore xée ;
• la zone d'ombre onstituée des noeuds très éloignés où la valeur de D n'a pas en ore
été al ulée.
Pour initialiser ette méthode, on dénit la zone é lairée initialement, 'est-à-dire formée
des points où la valeur de D est onnue. Il y en a dans notre as deux types, eux qui se
trouvent à une sortie où la valeur de D est xée à 0 et eux qui se situent à l'intérieur
des obsta les auxquels on asso ie une très grande valeur de D . Ce i permet de prendre en
ompte la géométrie des lieux en empê hant le plus ourt hemin de traverser les obsta les
présents, omme l'illustre la gure 5.3. Sur elle- i, on a tra é les lignes de niveau de D,
al ulée par la méthode de Fast Mar hing, pour une piè e ontenant 5 obsta les et dont
la sortie se trouve à gau he.
Fig. 5.3 Lignes de niveau de la distan e géodésique D.
Après l'initialisation des noeuds é lairés, on dénit la zone de pénombre initiale. Elle est
onstituée par les points qui n'appartiennent pas à la zone é lairée et voisins des points
é lairés. Pour ha un de es points, la valeur de D est al ulée de sorte qu'une version
dis rète de l'équation |∇D| = 1 soit satisfaite. Pré isons elle- i. On note hF M M le pas de
107
la grille et Di,j la valeur de D au noeud (i, j). On dénit les dérivées partielles appro hées
par rapport à x à gau he et à droite omme suit :
Di,j − Di−1,j Di+1,j − Di,j

∆−x
ij = et ∆+x
ij = .
hF M M hF M M
On dénit de manière analogue les dérivées partielles appro hées par rapport à y à gau he
et à droite. L'équation dis rétisée à vérier est la suivante :
−y +y
max(∆−x +x 2 2
ij , −∆ij , 0) + max(∆ij , −∆ij , 0) = 1. (5.2)
La valeur de D pour les points restants onstituant la zone d'ombre est initialisée à +∞.
Il reste à expliquer omment on al ule de manière e a e Di,j de telle sorte que l'égalité
(5.2) soit satisfaite.
Cal ul de Di,j :
On al ule a = min(Di−1,j , Di+1,j ) et b = min(Di,j−1, Di,j+1).
Si |a − b| < hF M M alors on pose
p
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
a+b+ 2h2F M M − (a − b)2

Di,j = ,
2
sinon on pose
Di,j = hF M M + min(a, b).
Remarque 5.4 On peut vérier qu'ave ette valeur de Di,j , l'équation (5.2) est satis-
faite.
Maintenant que les trois zones initiales ont été dénies, expliquons omment se déroule
une étape de la Fast Mar hing. On onsidère le noeud (imin , jmin) de la zone de pénombre
ayant la plus petite valeur de D. On ajoute e point (imin , jmin ) à la zone é lairée et on
l'enlève de la zone de pénombre. Ses voisins (i, j) qui se trouvent dans la zone d'ombre
passent alors dans la zone de pénombre et la valeur Di,j est al ulée omme expliqué
i-dessus. Et ainsi de suite jusqu'à e que tous les points de la grille soient é lairés. La
gure 5.4 illustre le déroulement de la Fast Mar hing. Sur elle- i, les points de la grille
présentant une très grande valeur de D (points intérieurs aux obsta les ou dans la zone
d'ombre) ne sont pas oloriés. Les deux images représentant l'instant initial et un instant
ultérieur de la Fast Mar hing montrent la propagation des zones é lairée et de pénombre.
Remarque 5.5 Si on imagine qu'aux noeuds présents à la sortie se trouvent des émet-
teurs de lumière, les autres noeuds seront déterminés dans l'ordre où ils sont atteints par
la lumière.
Le seul oût que présente ette méthode est la re her he du noeud (imin , jmin ). Une stru -
ture de tas ( heap ) est don utilisée pour sto ker la liste des points onstituant la zone de
pénombre. Si np est le nombre de points de la grille, la omplexité de la Fast Mar hing
Method est en O(np log np ).
108
noeuds é lairés
noeuds dans la pénombre
Fig. 5.4 Illustration du déroulement de la Fast Mar hing.
5.2.2 Programmation Orientée Objet

Nous avons hoisi de programmer ette méthode de Fast Mar hing en C++. Ce i nous
permet d'intégrer fa ilement e hoix de vitesse souhaitée au logi iel SCoPI présenté dans
la sous-se tion 5.1.3 et d'utiliser la librairie standard STL (Standard Template Library)
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
où par exemple les stru tures de tas ( map, multimap ) existent déjà. Notre obje tif est
de pouvoir simuler l'éva uation de milliers de personnes hors de salles ou de bâtiments
de géométrie quel onque. Nous avons dû pour ela ajouter au ode SCoPI de nouvelles
lasses renfermant les données géométriques. Il a également fallu ajouter d'autres lasses
an que la vitesse des disques avant proje tion soit la vitesse souhaitée dirigée par le plus
ourt hemin.
On rappelle qu'une lasse est une des ription d'objet. Elle possède des attributs 'est-à-
dire des données et des méthodes ou plus simplement des fon tions. Pour représenter une
lasse, on tra e son diagramme dont un exemple est donné sur la gure 5.5.
Fig. 5.5 Représentation d'une lasse.
Nouvelles lasses liées à la géométrie

Dans le logi iel SCoPI, la lasse Obsta le regroupe diérents types d'obsta les. Un
Obsta le peut être un segment ou un disque en 2D, ou un plan ou bien une sphère en
3D. Toutefois, nous avons besoin pour programmer la vitesse souhaitée de données géo-
métriques plus pré ises. En eet, pour utiliser la méthode Fast Mar hing, nous avons
besoin de onnaître la position des murs de la piè e ou des obsta les présents dans
la salle. Nous allons don onsidérer des ensembles d'Obsta le et réér pour ela une
lasseMa ro_Obs. Cette lasse a plusieurs lasses lles : la lasse Ma ro_Room, la lasse
Ma ro_Table (obsta le dans la piè e), la lasse Ma ro_Door (sortie), et pour traiter des
bâtiments à plusieurs étages les lasses Ma ro_Stair et Ma ro_Stairwell. Une lasse
109
Ens_Ma ros_Obs_h permet quant à elle de réer des ensembles de Ma ro_Obs. Détaillons
les lasses Ens_Ma ros_Obs_h et Ma ro_Obs. Sur la gure 5.6, le diagramme de es lasses
a été tra é ave le logi iel ArgoUML.
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Fig. 5.6 Classe Ens_Ma ros_Obs_h.
Classe Ens_Ma ros_Obs_h

Ses attributs sont :
Nombre de Ma ro_Obs
Ensemble de Ma ro_Obs. Ce nombre étant onstant, nous avons hoisi d'utiliser la
lasse ve tor de la STL.
Ses prin ipales méthodes sont :
Méthode renvoyant le nombre de Ma ro_Obs
Méthode permettant d'insérer un objet Ma ro_Obs à une ertaine position
Méthode renvoyant l'objet Ma ro_Obs se trouvant à une ertaine position
110
Classe Ma ro_Obs
Type
Nombre d'obsta les
Numéro dans l'ensemble Ens_Ma ros_Obs_h
Ensemble d'objets Obsta le
Méthodes renvoyant les diérents attributs
Méthodes permettant de faire du al ul ve toriel
Méthode prenant en argument les oordonnées d'un point et renvoyant 0 ou 1 suivant
sa présen e ou non à l'intérieur de l'ensemble d'obsta les onsidéré ( odé dans la
lasse lle)
Le type de la lasse Ma ro_Obs est un entier qui est égal à 0 quand il s'agit d'une lasse
Ma ro_Room, 1 pour une lasse Ma ro_Table, 2 pour une lasse Ma ro_Stairwell, 3 pour
une lasse Ma ro_Stair et enn 5 pour une lasse Ma ro_Door. Toutes es lasses lles
héritent des attributs et des méthodes dé rits pour la lasse Ma ro_Obs.
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La méthode essentielle de ette lasse (appelée inside ) est la dernière évoquée puisque
'est elle que nous allons utiliser lors de l'initialisation de la méthode Fast Mar hing. Son
a tion est la même pour tous les Ma ro_Obs mais sa programmation est diérente suivant
le type de Ma ro_Obs. Elle sera don odée au niveau des lasses lles en utilisant les
méthodes et attributs parti uliers de es dernières. Les diagrammes des lasses lles se
trouvent à la n de ette se tion.
Nouvelles lasses liées à la vitesse souhaitée

Dans le logi iel SCoPI, se trouve une lasse Vitesse_a_priori_h. Le rle de ette lasse
est, étant donnés les positions des parti ules et le milieu extérieur à un instant donné,
de al uler la vitesse des parti ules a priori, i.e. avant la proje tion. Le al ul demandé
(ee tué dans la méthode run ) dépend du problème onsidéré et est don programmé
dans les lasses lles. Il nous faut don réer une lasse lle de Vitesse_a_priori_h an
d'y intégrer notre hoix de vitesse souhaitée. Nous l'appelons Vap_Souh_Geo_h.
On souhaite onsidérer des bâtiments à plusieurs niveaux. La vitesse souhaitée des per-
sonnes dépend alors du niveau où elles se trouvent (les es aliers étant onsidérés omme
des niveaux intermédiaires). Nous avons don réé une lasse VSG_Level_h don le rle
est de al uler la vitesse souhaitée du niveau orrespondant, onnaissant sa géométrie et
la position de la personne. La lasse Vap_Souh_Geo_h a a ès à es méthodes à travers
une liste de VSG_Level_h. La programmation de e al ul étant diérent dans le as d'un
étage (vitesse dirigée par le plus ourt hemin prenant en ompte les obsta les) ou d'un es-
alier (des ente simple de e dernier), nous avons odé deux lasses lles à VSG_Level_h :
VSG_Room_h et VSG_Stair_h, orrespondant respe tivement à un étage et aux es aliers
situés entre deux étages su essifs.
111
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Fig. 5.7 Classe Vitesse_a_priori_h.
112
Classe Vap_Souh_Geo_h, lasse lle de Vitesse_a_priori_h

Nombre de niveaux
Ensemble d'objets VSG_Level_h
Sa prin ipale méthode est la méthode run évoquée pré édemment.
Classe VSG_Level_h
Ses prin ipaux attributs sont :
Numéro dans l'ensemble Vap_Souh_Geo_h
Pas de la grille pour la méthode de Fast Mar hing
Sa prin ipale méthode toujours appelée run prend en argument la lasse Parti le et
renvoit la vitesse souhaitée de elle- i. Elle est odée dans les lasses lles.
Classe VSG_Stair_h ( f gure 5.9), lasse lle de VSG_Level_h

Nombre d'es aliers
Ensemble d'objets Ma ro_Stair
Sa prin ipale méthode est la méthode run.
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Classe VSG_Room_h ( f gure 5.8), lasse lle de VSG_Level_h

Ses prin ipaux attributs sont :
Nombre de portes, de ages d'es aliers et de tables
Ensembles d'objets Ma ro_Door, d'objets Ma ro_Stairwell et d'objets Ma ro_Table
Objet Ma ro_Room
Tableaux GradX et GradY ontenant les valeurs de ∇D dans les ases de la grille
Tableau Dist ontenant les valeurs de D aux noeuds de la grille
Tableaux Present et In_Obs utilisés lors de la méthode de Fast Mar hing
Méthode run
Méthodes init, ajout_voisins, al ul_dij, al ul_dist utilisées lors de la méthode de
Fast Mar hing
Méthode al ul_grad qui remplit les tableaux GradX, GradY en prenant en argu-
ment le tableau Dist ( f. détails i-après)
Méthode grad qui prend en argument une lasse Parti le et renvoit un ve teur
ontenant la valeur de ∇D de la ase où se trouve la parti ule
Pour al uler la valeur de la première omposante de ∇D dans une ase, on utilise les
valeurs de D aux 4 oins de elle- i en faisant la moyenne des deux taux d'a roissements
li ites. On pro ède de manière analogue pour la deuxième omposante de ∇D . Les ta-
bleaux GradX et GradY sont ainsi al ulés une seule fois lors de la réation de l'objet
VSG_Room_h à l'instant initial.
113
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Fig. 5.8 Classe VSG_Room_h.
Fig. 5.9 Classe VSG_Stair_h.
114
Dernières lasses non détaillées
Fig. 5.10 Classe Ma ro_Room.

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Fig. 5.11 Classe Ma ro_Table.
115
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Fig. 5.12 Classe Ma ro_Stairwell.
Fig. 5.13 Classe Ma ro_Stair.
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Fig. 5.14 Classe

Ma ro_Door.
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Chapitre 6
Résultats numériques
Sommaire
6.1 Résultats re ouvrant les phénomènes d'auto-organisation 121
6.1.1 A ès à un es alator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
6.1.2 Eva uation à deux vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.1.3 Formation de les à ontre- ourant ( Fingering patterns ) 124
6.1.4 Formation d'ar hes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 Vitesse souhaitée dirigée par le plus ourt hemin . . . . 127
6.3 Vitesse souhaitée en tant que solution d'une e.d.p. . . . . 130
6.4 Ajout de stratégies individuelles . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.4.2 Résultats numériques asso iés . . . . . . . . . . . . . . . . 134
119
Chapitre 6. Résultats numériques
Dans e hapitre, nous pré isons le premier point du modèle, à savoir le hoix de la
vitesse souhaitée, en proposant plusieurs exemples. Nous présentons pour haque option
les résultats numériques asso iés, obtenus en intégrant la vitesse souhaitée hoisie dans
l'algorithme numérique détaillé dans la se tion 5.1. Dans la se tion 6.1, nous retrouvons
ertains phénomènes d'auto-organisation (dé rits dans la se tion 1.1) à l'aide de vitesses
souhaitées simples onstruites à la main . Dans la se tion 6.2, la vitesse souhaitée hoisie
pour tous les individus est elle dirigée par le plus ourt hemin. Les résultats numériques
présentés sont issus de la programmation en C++ (implantation d'une méthode de type
Fast Mar hing) détaillée dans la se tion 5.2. Dans la se tion 6.3, nous proposons de prendre
omme vitesse souhaitée la solution d'une équation aux dérivées partielles en prenant en
ompte les obsta les à l'aide de onditions aux bords sur es derniers. Enn, dans la
se tion 6.4, nous diérentions le omportement des personnes en ajoutant des stratégies
individuelles : ralentissement ou ontournement lors d'un embouteillage.
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
120
6.1. Résultats re ouvrant les phénomènes d'auto-organisation
6.1 Résultats re ouvrant les phénomènes d'auto- orga-
nisation
Les trois premières séries de al uls présentées i-dessous ont été ee tuées sous Mat-
lab. Le but i i est de vérier le programme sur quelques as simples et de retrouver ertains
phénomènes observés et dé rits dans la se tion 1.1.
6.1.1 A ès à un es alator
Ce premier exemple traite de 300 personnes qui sortent d'un train et se dirigent vers
un es alator. Elles se dépla ent toutes à la même allure. Le paramètre h est xé de telle
sorte qu'une personne libre de ses mouvements par ourt en un pas de temps, une distan e
égale à sa propre taille. Sur la gure 6.1, on retrouve la tendan e des individus à se pla er
autour de la sortie en formant des er les.
t =1 t =5
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
t =30 t =70
t =120 t =210
t =400 t =540
Fig. 6.1 Sortie de métro.
121
6.1.2 Eva uation à deux vitesses

I i, il s'agit de l'éva uation d'environ 1000 personnes d'un lieu omposé de deux salles
reliées par un ouloir. Le ot du hamp de leurs vitesses souhaitées que l'on a imposé, a
été tra é sur la gure 6.2.
Fig. 6.2 Flot du hamp de vitesse souhaitée

tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Nous avons onsidéré une population non homogène de petits disques et de gros disques
(diamètre triple de elui des petits), en supposant que les petits avan ent trois fois plus
vite que les autres, ou plus pré isément que leur vitesse souhaitée a un module trois fois
supérieur ( f. g. 6.3). Le pas de temps h est pris de telle manière qu'un petit disque libre
par ourt en un pas de temps, une distan e égale à son propre diamètre. On remarque
i i l'importan e de gérer les ontraintes de non- hevau hement entre les disques et les
obsta les. En eet, même si les personnes veulent éviter l'obsta le près de la sortie, elles
sont poussées vers elui- i par les individus situés derrière elles.
Par ailleurs, lors de es simulations, on observe qu'au un prin ipe du maximum n'est
vérié : le module de la vitesse d'un individu peut notamment être supérieur au module
de la vitesse souhaitée. I i, l'allure des gros disques (poussés par les petits) peut être plus
de 2 fois supérieure au module de leur vitesse souhaitée.
122
t =1
t =40
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t =80
t =120
Fig. 6.3 Éva uation à deux vitesses.
123
6.1.3 Formation de les à ontre- ourant ( Fingering patterns )

Dans e test, on onsidère deux populations de 750 individus dans un domaine pério-
dique bidimensionnel. Les individus représentés par des disques noirs souhaitent aller à
droite tandis que les personnes représentées par des disques blan s veulent se diriger dans
la dire tion opposée (ave la même allure, i.e. norme de la vitesse souhaitée). Le modèle
que nous avons proposé de gestion des onta ts permet de retrouver le phénomène de
formation de les à ontre- ourant évoqué dans [HM95, HV99℄ ( f. g 1.3 p. 11). Sur la
gure 6.4, sont représentées les deux populations à l'instant initial (distribution aléatoire)
et aux instants 25 s, 75 s et 100 s. On remarque sur la deuxième image (pendant la période
de transition) l'apparition de groupes blan s et noirs , qui est due à l'absen e de
stratégie d'évitement.
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Fig. 6.4 Files à ontre- ourant.
124
6.1.4 Formation d'ar hes

I i, on a onsidéré 1000 personnes réparties aléatoirement à l'instant initial. Le hamp
de vitesse souhaitée est de norme égale à 1 et il est dirigé suivant les géodésiques à un point
situé très loin à l'extérieur de la piè e. Sur la gure 6.5, à gau he ont été représentées les
ongurations al ulées aux instants 3s, 7s, 65s et 110s. À droite, on a tra é le réseau d'in-
tera tions orrespondant. Plus pré isément, pour tout ouple (i, j) de disques en onta t,
on a olorié le segment entre les entres, en fon tion du multipli ateur de Lagrange λij
asso ié (du blan au noir selon sa valeur). Ces multipli ateurs λij apparaissent omme
des moyens numériques pour gérer les ontraintes de non- hevau hement. En e sens, ils
peuvent être interprétés en termes de pression subie par les individus. Les grandes valeurs
des multipli ateurs orrespondent à des zones de forte on entration de personnes.
D'une part, on retrouve sur les images de gau he, le phénomène de formation d'ar hes
(dynamiques i i), tendan e déjà évoquée dans [HFV00b, HV99℄. D'autre part, on met
en éviden e d'autres ar hes qu'on pourrait qualier d'ar hes de pression. En eet, sur la
troisième image située à droite (t = 65s), on remarque juste avant la sortie, la présen e
d'une zone où les multipli ateurs de Lagrange sont peu a tifs. En amont de ette région,
les multipli ateurs sont beau oup plus importants. Tout se passe omme si au moment où
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on quittait la piè e, on n'était plus soumis à de fortes pressions, omme protégé par
les personnes situées à l'arrière (formant des ar hes en amont de la sortie).
Ces al uls ont été réalisés à l'aide du logi iel SCoPI (Simulation de Colle tions de Par-
ti ules en Intera tion) présenté à la sous-se tion 5.1.3.
125
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Fig. 6.5 Ar hes.
126
6.2. Vitesse souhaitée dirigée par le plus ourt hemin
6.2 Vitesse souhaitée dirigée par le plus ourt hemin
Nous présentons i i des résultats numériques issus de la programmation C++ détaillée

dans la se tion 5.2. Nous rappelons que nous onsidérons des personnes qui pour éva uer,
tentent de par ourir le plus ourt hemin vers la sortie, en ontournant les obsta les. Pour
montrer que le programme gère des salles de géométrie omplexe, nous proposons sur
la gure 6.6, l'éva uation de 500 personnes hors d'une salle ontenant 5 obsta les. (Nous
avons tra é les lignes de niveau de la distan e géodésique pour et exemple sur la gure 5.3
p. 107.)
Enn, nous illustrons le fait que l'obje tif nal de ette programmation est de simuler
l'éva uation d'une stru ture de plusieurs étages. (À haque étage, le dépla ement souhaité
orrespond au plus ourt hemin.) Sur la gure 6.7, nous représentons les ongurations
obtenues à diérents pas de temps lors de l'éva uation de 600 personnes présentes dans un
bâtiment. À l'instant initial, elles se trouvent toutes au premier étage et se dirigent vers
la age d'es alier. La sortie se trouve au rez-de- haussée. Le pas de temps a été hoisi de
telle sorte qu'entre deux instants de al ul, les sphères représentant les individus essaient
de par ourir moins de la moitié de leur rayon.
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127
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Fig. 6.6 Éva uation de 500 personnes.
128
6.2. Vitesse souhaitée dirigée par le plus ourt hemin
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Fig. 6.7 Éva uation de 600 personnes hors d'un bâtiment.
129
6.3 Vitesse souhaitée en tant que solution d'une e.d.p.
Nous présentons i i une autre idée pour dénir un hamp de vitesse souhaitée prenant
en ompte les obsta les. Ce hoix a été testé avant elui de la se tion pré édente et bien
qu'il donne des résultats raisonnables, il reste moins justié en termes de modélisation
que le ot géodésique et n'a pas été plus développé. Nous l'illustrons simplement par
l'éva uation d'une salle ontenant deux obsta les rond et arré.
Nous avons d'abord onsidéré le hamp de vitesse F de norme 1 visant la sortie et soumis
à au une ontrainte ( f. g 6.8(b)). Ensuite, à l'aide de FreeFem++, nous avons al ulé
obs
le hamp F omme proje tion de F sur un espa e ontraint prenant en ompte les
obs
obsta les. Plus pré isément, F vérie
Fobs − F = α∆(Fobs − F) , α > 0,
ave des onditions de Diri hlet aux bords des obsta les. Après renormalisation, nous
obtenons le hamp W représenté sur la gure 6.8( ), interpolé par le hamp V sur un
maillage artésien ( f. g 6.8(d)). Ensuite, nous ré upérons les données du maillage ar-
tésien et le hamp V pour intégrer e hoix de vitesse dans le logi iel SCoPI (de la même
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
manière que pour le hoix de la se tion 6.2). À haque instant, la vitesse souhaitée de
toute personne est al ulée en fon tion de sa position omme une interpolation du hamp
V. Sur la gure 6.9, nous avons représenté les ongurations obtenues à diérents instants
lors de l'éva uation de 700 personnes.
130
6.3. Vitesse souhaitée en tant que solution d'une e.d.p.
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(a) Maillage. (b) Représentation du hamp F.
( ) Représentation du hamp W. (d) Représentation du hamp V.
Fig. 6.8 Étapes de al ul de la vitesse souhaitée à l'aide de FreeFem++.
131
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Fig. 6.9 Éva uation de 700 personnes.
132
6.4. Ajout de stratégies individuelles
6.4 Ajout de stratégies individuelles
6.4.1 Modélisation
Nous supposons maintenant que les personnes peuvent élaborer des stratégies om-
plexes dans des zones fortement en ombrées. Nous avons hoisi de modéliser deux as
de gures lorsqu'un individu se retrouve fa e à un embouteillage : soit il dé élère pour
ne pas aggraver la situation, soit il développe une stratégie d'évitement pour traverser
ou ontourner la foule. La vitesse de et individu dépend alors de la position des per-
sonnes qu'il voit devant lui. Plus pré isément, nous dénissons l'ensemble Ni ( f. g. 6.10)
ontenant les personnes pro hes de l'individu i et se trouvant dans son hamp de vision :
Ni = { j, |qi − qj | < ri + rj + ℓprox , di · eij ≥ cos α} .

Nous rappelons que le ve teur eij = eij (q) est le ve teur unitaire qui relie qi à qj . L'angle
α est le demi-angle de visibilité (estimé à 60◦ ) et ℓprox est la distan e en deçà de laquelle les
personnes sont onsidérées à proximité de l'individu i. Enn, di est la dire tion souhaitée
par l'individu i, par exemple di peut être pris égal à U0 (qi ) renormalisé où U0 est la vitesse
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
souhaitée dirigée par le plus ourt hemin ( f. dénition dans la se tion 5.2). On peut aussi
prendre un hamp de vitesse souhaitée onstruit à la main , e qui a été appliqué dans
les exemples de la sous-se tion 6.4.2. Détaillons maintenant les deux possibilités laissées
ℓprox
PSfrag repla ements α di
Fig. 6.10 Illustration de l'ensemble Ni .
à l'individu i lorsque ses voisins (appartenant à Ni ) se dépla ent plus lentement que lui.
1. Il peut dé élérer au lieu de traverser la foule (même s'il dispose de susamment

de pla e). Dans e as, il ne modie pas sa dire tion souhaitée di mais uniquement
n n
son allure (i.e. la norme de son ve teur vitesse). Son allure si à l'instant t dépend
n−1
du omportement de ses voisins à l'instant t . Plus pré isément, ette dernière
est al ulée omme un bary entre des vitesses de es voisins, pondérées par leurs
positions relatives :
P n−1
n j∈Ni wj sj
si = P
j∈Ni wj
di · eij − cos α ℓprox − |qj − qi |

ave wj = wjθ wjd , wjθ = et wjd = .
1 − cos α ℓprox − ri − rj
Le poids wjθ \
est fon tion de l'angle orienté (di , eij ) et est maximal quand elui- i
d
est petit. Quant au poids wj , il permet de prendre en ompte la distan e entre les
individus i et j .
133
di = dnew
i di dnew
i
PSfrag repla ements

PSfrag repla ements
PSfrag repla ements
(a) Chemin souhaité libre. (b) Traversée.
di dnew
i
qj r
−e⊥
ij r e⊥
qj l ij l
eij r eij l
( ) Contournement.
Fig. 6.11 Possibilités pour un individu pressé.

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2. Il peut aussi être pressé et dé ider de ne pas ralentir. Dans e as, il onserve son
allure souhaitée et modie sa dire tion (si besoin est) an d'emprunter un hemin
peu en ombré. Pré isons e point. Si le hemin dans la dire tion de di est libre,
l'individu i l'emprunte ( f. g. 6.11(a)). Sinon, le hamp de vision de l'individu est
dé oupé en se teurs angulaires et le se teur le plus pro he de la dire tion souhaitée
di initiale et ontenant le moins de voisins est déterminé. Si e se teur ontient au
new
plus 3 personnes, l'individu i part dans la dire tion di donnée par la bisse tri e
du se teur angulaire hoisi ( f. g. 6.11(b)). Sinon, il hoisit de ontourner le groupe
new
Ni . Là en ore, il prend la dire tion possible di la plus pro he de sa dire tion di
voulue au départ :
(|qj0 − qi | + ri + rj )eij0 ± (ri + rj )e⊥

ij0
dnew
i = ave j0 = argmax(di ·eij l , di ·eij r ),
|(|qj0 − qi | + ri + rj )eij0 ± (ri + rj )e⊥
ij0 |
où j r (j l ) est le voisin le plus à droite (à gau he) de l'individu i ( f. g. 6.11( )).
6.4.2 Résultats numériques asso iés

Dans ette se tion, nous proposons d'illustrer les diérents hoix présentés pré édem-
ment pour la vitesse souhaitée. Pour rendre ompte de la stratégie d'évitement ( f. se tion
6.4 as 2), nous avons réalisé un test ave une personne qui souhaite quitter une piè e où
1000 individus sont immobiles. Sur la gure 6.12, nous avons tra é ses traje toires dans
deux as (ave et sans stratégie). Nous observons qu'ave stratégie, l'individu sort plus
rapidement même s'il a emprunté un hemin plus long. En eet, dans le as ontraire,
l'individu doit pousser les personnes qui le gênent, e qui le ralentit fortement.
134
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Fig. 6.12 Comparaison des traje toires sans (haut) ou ave (bas) la stratégie d'évite-
ment.
Nous souhaitons maintenant illustrer la tendan e à dé élérer ( f. se tion 6.4 as 1). Pour
e faire, nous onsidérons 100 personnes initialement bloquées qui veulent aller à gau he
à l'instant t = 0. Sur la gure 6.13, nous traçons la onguration à diérents instants et
observons une onde de détente : les individus ommen ent à se dépla er l'un après l'autre.
Fig. 6.13 Onde de détente.
135
Nous avons également onsidéré l'éva uation de trois populations distin tes par leur
omportement et représenté sur la gure 6.14 la onguration à diérents instants. Les
disques bleus représentent une entaine de personnes développant une stratégie d'évite-
ment, les disques magentas on ernent environ 200 personnes préférant dé élérer, quant
aux 300 disques rouges, ils traitent des individus n'ayant au une stratégie. Ils ont tous
la même dire tion souhaitée ( f. g. 6.2 p. 122), mais les deux premières atégories d'in-
dividus veulent aller 3 fois plus vite que la dernière. Le paramètre ℓprox a été xé à 5
diamètres. On peut remarquer la nette tendan e des bleus ( ausée par leur stratégie), à se
dépla er aux bords du ux piétonnier. Par ailleurs, en examinant les ongurations aux
instants t = 55 et t = 110, on observe que ette stratégie permet à la plupart des bleus
de s'é happer du ouloir plus rapidement que les magentas.
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136
t =1
t =55
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t =110
t =170
Fig. 6.14 Éva uation ave diérentes stratégies.
137
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139
Annexes
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Annexe A
Quelques résultats d'analyse onvexe
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141
Annexe A. Quelques résultats d'analyse onvexe
PSfrag repla ements x
Fig. A.1 Proje tion sur un onvexe fermé.
Soit H un espa e de Hilbert. Le produit s alaire entre les ve teurs x et y de H est noté
(x, y) et la norme du ve teur x est notée |x|. On onsidère dans la suite K un ensemble
onvexe fermé non vide de H.
Théorème A.1 (Proje tion sur un onvexe fermé) Pour tout z ∈ H , il existe un
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unique x ∈ K tel que

|z − x| = min |z − y| = dK (z).
y∈K
Le ve teur x est appelé projeté de z sur K et sera noté PK (z). De plus, le projeté x est
ara térisé par la propriété
(
x ∈ K,
(z − x, y − x) ≤ 0 ∀y ∈ K.
Dénition A.2 On appelle indi atri e de K la fon tion dénie par

(
0 si x ∈ K,
IK (x) =
+∞ si x∈
/ K.
Propriété A.1 La fon tion IK est onvexe, propre et semi- ontinue inférieurement.
Dénition A.3 Soit x ∈ H , on appelle sous-diérentiel de la fon tion IK au point x
l'ensemble
∂IK (x) = {v ∈ H , IK (x) + (v, h) ≤ IK (x + h) , ∀h ∈ H}.
La proposition suivante donne les diérentes é ritures du sous-diérentiel de l'indi atri e

de K en des points appartenant à la frontière de K.
142
Proposition A.4 Pour x ∈ ∂K , on a les égalités suivantes
déf
∂IK (x) = (K − x)◦ = {v ∈ H , ∀y ∈ K , (v, y − x) ≤ 0} (a)
!◦
[
= λ(K − x) (b)
λ>0
= {v ∈ H , x = PK (x + v)}. (c)
Démonstration :
Comme x ∈ ∂K ⊂ K , on a par dénition,
∂IK (x) = {v ∈ H , (v, h) ≤ IK (x + h) , ∀h ∈ H}.
Si x+h ∈/ K , alors IK (x + h) = +∞ et l'inégalité pré édente est satisfaite pour tout v

dans H . Par onséquent,
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∂IK (x) = {v ∈ H , (v, h) ≤ IK (x + h) , ∀h ∈ K − x}

= {v ∈ H , (v, h) ≤ 0 , ∀h ∈ K − x}
= {v ∈ H , (v, y − x) ≤ 0 , ∀y ∈ K}.
On a don prouvé l'égalité (a) ( f. dénition du ne polaire C.1 p. 150). On en déduit
aisément l'égalité (b). L'égalité ( ) provient de la ara térisation de la proje tion sur un
onvexe fermé dans un espa e de Hilbert ( f. théorème A.1).
Remarque A.5 D'après la proposition pré édente, l'ensemble ∂IK (x), pour x ∈ ∂K , est
un ne onvexe fermé de H .
La proposition suivante pré ise le sous-diérentiel de l'indi atri e de K en des points
quel onques de H.
Proposition A.6 On a pour x ∈ H



 ∅ si x ∈/ K
 ◦
∂IK (x) =
 {0} si x ∈ K


(K − x)◦ si x ∈ ∂K
Proposition A.7 L'opérateur multivalué ∂IK est maximal monotone.

Pour e résultat, on renvoit le le teur vers [Bre73℄. Pré isons maintenant le lien entre le
sous-diérentiel de l'indi atri e de K et le ne proximal normal à K ( f. dénition 2.16
p. 34).
143
Annexe A. Quelques résultats d'analyse onvexe
Proposition A.8 Soit K ⊂ H un onvexe fermé non vide de H , l'égalité suivante est
vraie,
∀x ∈ K , ∂IK (x) = N(K, x).
Démonstration :
On ommen e par montrer l'in lusion : ∂IK (x) ⊂ N(K, x).
Soit v ∈ ∂IK (x) , v 6= 0. Comme x ∈ K, on a par dénition du sous-diérentiel,
∀h ∈ H , (v, h) ≤ IK (x + h). (A.1)
On veut montrer que

∃α > 0 , x = PK (x + αv).
Raisonnons par l'absurde en supposant que
∀α > 0 , x 6= PK (x + αv).
Ce i implique
∀α > 0 , dK (x + αv) < α|v|.
Notons kα = PK (x + αv) , kα 6= x. On a alors dK (x + αv) = |x + αv − kα |. Par onséquent,
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|x + αv − kα |2 < α2 |v|2 ,
e qui équivalent à
|x − kα |2 + 2α(x − kα , v) + α2 |v|2 < α2 |v|2 .

On en déduit don que
|x − kα |2 + 2α(x − kα , v) < 0. (A.2)
Or d'après (A.1),
(v, kα − x) ≤ IK (x + kα − x) ≤ IK (kα ) = 0.
Ce i ajouté à (A.2) donne l'inégalité suivante, |x − kα |2 < 0, e qui est absurde. Ainsi, on
a montré le résultat suivant
∃α > 0 , x ∈ PK (x + αv).
On en on lut que v ∈ N(K, x).
Il reste à montrer l'autre in lusion : N(K, x) ⊂ ∂IK (x) .
Soit v ∈ N(K, x) , v 6= 0, on a par dénition,
∃α > 0 , x ∈ PK (x + αv). (A.3)
D'après le théorème A.1, on sait que
∀k ∈ K , (k − x, x + αv − x) ≤ 0,
∀k ∈ K , α(k − x, v) ≤ 0,
et implique
∀k ∈ K , (k − x, v) ≤ 0.
On en déduit d'après la proposition A.4 (a), que v ∈ ∂IK (x).
144
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145
Annexe B
Lemme de Farkas
Annexe B. Lemme de Farkas
Le lemme de Farkas est utilisé lors de la preuve de la proposition 2.6 p. 25. On rappelle
sa démonstration issue de [All05℄ ar le sous-lemme B.2 qu'elle utilise, est né essaire pour
prouver la proposition H.11 p. 185.
Dans la suite, on onsidère V un espa e de Hilbert muni de son produit s alaire noté ( , ).
Lemme B.1 (Lemme de Farkas) Soient a1, a2 , ..., aM ∈ V , on note les ensembles
( M
)
X
E = {v ∈ V , ∀i ∈ {1, .., M} , (ai , v) ≤ 0} et Ê = v ∈ V , ∃ λ1 , ., λM ≥ 0 , v = − λi ai .
i=1
Alors pour tout p ∈ V , on a l'équivalen e suivante
p ∈ Ê ⇐⇒ ∀w ∈ E, (p, w) ≥ 0.
Démonstration :
L'impli ation dire te est évidente. Prouvons l'impli ation ré iproque. On va pour ela
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démontrer la ontraposée :
p∈
/ Ê ⇒ ∃w ∈ E, (p, w) < 0.
L'ensemble Ê est lairement onvexe et il vérie aussi la propriété suivante.
Sous-lemme B.2 L'ensemble Ê est fermé.

Comme Ê est un onvexe fermé non vide, on peut utiliser le théorème de Hahn-Bana h
géométrique ( f. [Bre99℄ par exemple), qui permet de séparer stri tement un point p∈
/ Ê
et Ê . Ainsi, il existe w ∈ V, w 6= 0, et α∈R tels que
∀v ∈ Ê, (p, w) < α < (w, v).
Comme 0 ∈ Ê , on a né essairement α < 0. Par ailleurs,
∀i ∈ {1, .., M} , ∀λ ≥ 0 , v = −λai ∈ Ê,
d'où
∀i ∈ {1, .., M} , ∀λ ≥ 0 , α < −λ(w, ai ).
En faisant tendre λ vers+∞, on observe que (w, ai ) ≤ 0 pour tout i ∈ {1, .., M}. En
on lusion, w∈E et (p, w) < 0, e qui prouve le résultat annon é.
Il reste à démontrer le sous-lemme B.2.

Démonstration :
Nous allons démontrer ette propriété par ré urren e sur M. M = 1, la propriété
Pour
est évidente. On suppose qu'elle est vraie lorsque le nombre de ve teurs ai est stri tement
inférieur à M.
146
as 1 : les ve teurs(ai )i∈{1..M }sont indépendants.
P
Soit
n
(v )n∈N = − M n
i=1 λi ai qui onverge vers v ∈ V . Cette onver-
une suite de Ê
n∈N
gen e implique la onvergen e oordonnée par oordonnée dans la base de l'espa e en-
gendré par les ve teurs (ai )i∈{1,..,M }. Par onséquent, pour tout i ∈ {1, .., M}, il existe
λi ∈ R tel que
λni −−−→ λi .
n→∞
Comme pour tout

PMn et pour tout i ∈ {1..M}, λni ≥ 0, on a bien à la limite λi ≥ 0, pour
tout i et v=− i=1 λi ai ∈ Ê . On en on lut que Ê est fermé.
as 2 : les ve teurs (ai )i∈{1..M } sont linéairement dépendants.

PM
Il existe (µi )i∈{1..M } tels que i=1 µi ai = 0. On peut même supposer que l'un au moins
PM
des oe ients µi est stri tement positif. Soit v = − i=1 λi ai ∈ Ê , on peut aussi é rire
PM
v = − i=1 (λi + t µi ) ai , ∀t ∈ R. On dénit maintenant J = {i, µi > 0} et i0 ∈ J par,
λi0 λi
= min .
µi0 i∈J µi
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λi0
Alors en posant t=− < 0, on obtient
µi0
∀i ∈ {1, .., M}, λi + t µi ≥ 0 et λi0 + t µi0 = 0.
Ainsi,
M
( M
)
[ X
Ê = v ∈ V, ∃ λ1 , .., λM ≥ 0, v = − λi ai .
i0 =1 i6=i0
Par hypothèse de ré urren e, haque ensemble apparaissant dans le membre de droite est
fermé. Par onséquent, Ê est fermé, en tant qu'union nie d'ensembles fermés.
147
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149
Annexe C
Cne polaire
Annexe C. Cne polaire
Dans ette annexe, on rappelle quelques résultats lassiques on ernant les nes po-
laires qu'on trouve dans [Mau04℄. Soit H un espa e de Hilbert muni du produit s alaire
( , ), on onsidère dans toute la suite C⊂H
un ne onvexe fermé non vide de sommet
◦
0. On note PC la proje tion sur C . On dénit C le ne polaire de C de la façon suivante,
Dénition C.1 (Cne Polaire) C ◦ = {v ∈ H, ∀u ∈ C, (u, v) ≤ 0}.

Proposition C.2 C ◦ est un ne onvexe fermé non vide de sommet 0 vériant
C ∩ C ◦ = {0}.
La proposition suivante démontrée dans [Mor62℄ est fondamentale, elle est, par exemple,
utilisée lors de la preuve de la proposition 3.9 p. 48.
Proposition C.3 Soit C ⊂ H un ne onvexe fermé non vide de sommet 0, alors
PC + PC ◦ = I. De plus, si f = u + ũ où u = PC (f ) et ũ = PC ◦ (f ) alors (u, ũ) = 0.
Démonstration :
Soit f ∈ H, on note u = PC f , le projeté de f sur C qui est ara térisé par,
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(
u ∈ C,
∀v ∈ C, (f − u, v − u) ≤ 0.
étape 1 : f − u ∈ C◦
1
Soit w ∈ C, on pose v= (2w + 2u) = w + u ∈ C ar C est un ne onvexe. On a don
2
(f − u, w) = (f − u, v − u) ≤ 0.
Ce i étant vrai pour tout w ∈ C, on a bien que f − u ∈ C ◦.
étape 2 : (u, f − u) = 0
Comme u ∈ C et f − u ∈ C ◦ , on a (u, f − u) ≤ 0. Par ailleurs,
∀v ∈ C, (f − u, v − u) ≤ 0.
1 1
En parti ulier pour v = u, on obtient que − (u, f − u) ≤ 0. Finalement, (u, f − u) = 0.
2 2
étape 3 : f − u = PC ◦ f
On veut montrer que
∀w ∈ C ◦ , (f − (f − u) , w − (f − u)) ≤ 0,
∀w ∈ C ◦ , (u, w) − (u, f − u) ≤ 0,
et don à
∀w ∈ C ◦ , (u, w) ≤ 0.
Ce i est vrai par dénition de C ◦.
Grâ e à la proposition suivante, on peut démontrer la proposition 2.6 p. 25.
150
Proposition C.4 Soit C ⊂ H un ne onvexe fermé non vide de sommet 0 et soit C ◦◦
le ne polaire de C ◦ , alors C ◦◦ = C.
Démonstration :
C ◦◦ = {v ∈ H, ∀u ∈ C ◦ , (u, v) ≤ 0}, d'où C ◦◦ ⊃ C . L'autre in lusion s'appuie sur le
⋆
lemme suivant où IC est l'indi atri e de C ( f. dénition A.2 p. 142) et IC la fon tion
onjuguée de IC dénie par,
déf
IC⋆ (x) = sup [(x, y) − IC (y)] = sup (x, y) .
y∈H y∈C
Lemme C.5 Soit C ⊂ H un ne onvexe fermé non vide de sommet 0, alors IC⋆ = IC ◦ .
D'après la proposition C.2, on peut appliquer e lemme à C◦ et obtenir que
IC ◦◦ (x) = IC⋆ ◦ (x) = sup (x, y) .

y∈C ◦
Si x∈C alors IC ◦◦ (x) = 0 ar ∀y ∈ C ◦ , on a (x, y) ≤ 0.

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Si x∈
/C alors d'après la proposition C.3, on peut é rire x sous la forme,
x = xC + z où xC ∈ C et z ∈ C ◦ , z 6= 0.
De plus, toujours d'après la proposition C.3, (x, z) = (xC , z) + (z, z) = |z|2 . Or,
∀λ > 0, λz ∈ C ◦ (x, λz) = λ|z|2 −−−→ +∞,

λ→∞
don IC ◦◦ (x) = +∞.

Ainsi on a montré que ∀x ∈ H , IC ◦◦ (x) = IC (x), d'où C ◦◦ = C .
Il reste à démontrer le lemme C.5.

Démonstration :
IC⋆ (x) = sup [(y, x) − IC (y)] = sup (x, y) .
y∈H y∈C
◦
Si x∈C , alors pour tout y ∈ C , (x, y) ≤ 0. Par onséquent, IC⋆ (x) = 0.
Si / C ◦,
x∈ alors il existe y0 ∈ C vériant (x, y0 ) > 0. Ainsi, pour tout λ > 0, λy0 ∈ C et
(x, λy0 ) −−−−→ +∞.

λ→+∞
Par onséquent, IC⋆ (x) = +∞.

En on lusion, ∀x ∈ H , IC⋆ (x) = IC ◦ (x).
151
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Annexe D
Opérateurs maximaux monotones
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153
Annexe D. Opérateurs maximaux monotones
Dans ette annexe, on présente deux résultats sur les opérateurs maximaux monotones
issus de [Bre73℄ qui permettent de justier les on lusions de la se tion 2.2. Dans la suite,
on se pla e dans un espa e de Hilbert H muni d'un produit s alaire noté ( , ). On note
I l'identité sur H et on onsidère A un opérateur multivalué de H.
Dénition D.1 (Domaine d'un opérateur) On appelle domaine de l'opérateur A l'en-
semble
déf
D(A) = {x ∈ H, Ax 6= ∅}.
Dénition D.2 (Opérateur monotone) L'opérateur A est monotone si
∀ x1 , x2 ∈ D(A) , ∀ y1 ∈ Ax1 , ∀ y2 ∈ Ax2 , (y1 − y2 , x1 − x2 ) ≥ 0.
Proposition D.3 (Opérateur maximal monotone) L'opérateur A est maximal mo-

notone si et seulement si A est monotone et Im(I + A) = H .
Théorème D.4 Soit A un opérateur maximal monotone dont le domaine D(A) est d'in-
térieur non vide, on onsidère une appli ation B : [0, T ] × D (A) −→ H vériant
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1) ∃k ≥ 0 , ∀t ∈ [0, T ] , ∀x1 , x2 ∈ D (A) , |B (t, x1 ) − B (t, x2 ) | ≤ k|x1 − x2 |,

2) ∀x ∈ D (A) , l′ application t 7−→ B (t, x) ∈ L∞ ([0, T ], H) .
Alors, pour tout u0 ∈ D (A), il existe une unique fon tion u ∈ W 1,1 ([0, T ], H) solution de

 du (t) + Au(t) + B(t, u(t)) ∋ 0 p.p.
dt

u(0) = u0 .
Pour la démonstration du théorème pré édent, on renvoit le le teur à la preuve de la

proposition 3.13 p.107 de [Bre73℄. Le théorème suivant ne gure pas en es termes dans
[Bre73℄, mais il est une onséquen e dire te de la proposition 3.4 et de la remarque 3.7
p.69 ainsi que du théorème 3.5 (iii) p.66.
Théorème D.5 Soit K un onvexe fermé non vide de H , on onsidère l'opérateur maxi-
mal monotone A = ∂IK . Pour toute fon tion f ∈ C 0 ([0, T ], H) et pour tout u0 ∈ D(A),
il existe une unique fon tion u ∈ W 1,∞ ([0, T ], H) vériant

 du (t) + Au(t) ∋ f (t) p.p.
dt

u(0) = u0 .
De plus, u est dérivable à droite en tout point t de ]0, T [ et ette dérivée vaut
d+ u
(t) = f (t) − PAu(t) (f (t)).
dt
154
Annexe E
Étude du gradient de la fon tion D12
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155
Annexe E. Étude du gradient de la fon tion D12
On reprend les notations de la se tion 3.1.1,
Q12 = {q ∈ R2N , D12 (q) = |q2 − q1 | − (r1 + r2 ) ≥ 0}.

On note G̃12 le gradient normalisé de D12 :
G̃12 : Q12 → S2N −1

G12 (−e12 (q), e12 (q), 0, . . . , 0)
q = (q1 , q2 , .., qN ) →
7 G̃12 (q) = √ = √ ,
2 2
q2 − q1
où e12 (q) = ∈ R2 . Dans la suite, on notera juste e12 sans pré iser la dépendan e
|q2 − q1 |
en q.
Propriété E.1 L'appli ation G̃12 est diérentiable en tout point de Q12 et sa diéren-
tielle au point q vérie
1
DG̃12 (q) : h 7→ √ (−Pe12 ⊥ (h2 − h1 ), Pe12 ⊥ (h2 − h1 ), 0, . . . , 0) ,
2|q2 − q1 |
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
où Pe12 ⊥ est la proje tion sur e⊥12 , ve teur unitaire de R2 , orthogonal (dire t) à e12 . Au-
trement dit,
Pe12 ⊥ (v) = v − (v · e12 )e12 .
Démonstration :
On dénit la fon tion f omme suit : f(q) = |q2 − q1 |. On a,
Df(q)[h] = G12 (q) · h = (h2 − h1 ) · e12 (q).

g(q)
On dénit la fon tion g omme suit : g(q) = q2 − q1 . Comme e12 (q) = , on obtient,
f(q)
−Df(q)[h] g(q) + f(q) Dg(q)[h]
De12 (q)[h] =
f(q)2
−[(h2 − h1 ) · e12 ]e12 + h2 − h1
= .
|q2 − q1 |
Par onséquent,

1 [(h2 − h1 ) · e12 ]e12 − (h2 − h1 ) −[(h2 − h1 ) · e12 ]e12 + (h2 − h1 )
DG̃12 (q)[h] = √ , , 0, · · · , 0
2 |q2 − q1 | |q2 − q1 |
1
= √ (−Pe12 ⊥ (h2 − h1 ), Pe12 ⊥ (h2 − h1 ), 0, · · · , 0) .
2|q2 − q1 |

On peut alors retrouver la onstante de prox-régularité de Q12 (proposition 3.6 p. 45) en

al ulant la onstante de Lips hitz de G̃12 .
156
Propriété E.2 L'appli ation G̃12 est lips hitzienne ave une onstante de Lips hitz,
√
2
CG̃12 ≤ .
r1 + r2
Démonstration :
D'après la proposition E.1, on a,
1
|DG̃12 (q)[h]|2 ≤ 2|h2 − h1 |2 ,
2|q2 − q1 |2
et en onséquen e,
|h2 − h1 |
|DG̃12 (q)[h]| ≤ .
|q2 − q1 |
Or, on a |h2 − h1 |2 = (hx2 − hx1 )2 + (hy2 − hy1 )2 ≤ 2 ((hx2 )2 + (hy2 )2 + (hx1 )2 + (hy1 )2 ) = 2|h|2.
D'où,
√ |h|
|DG̃12 (q)[h]| ≤ 2
|q2 − q1 |
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
√
2
≤ |h|.
r1 + r2
On obtient don le résultat annon é.
Remarque E.1 On peut aussi al uler

1
D2 f(q)[h, k] = [(h2 − h1 ) · (k2 − k1 ) − [(h2 − h1 ) · e12 ][(k2 − k1 ) · e12 ]] .
|q2 − q1 |
la fon tion D12 est onvexe et on retrouve bien le fait que la hessienne
D2 D12 (q)[·, ·] = D2 f(q)[·, ·]
est positive (mais pas dénie).
157
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Annexe F
Autre preuve de la prox-régularité de
Q12
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
159
Annexe F. Autre preuve de la prox-régularité de Q12
Voi i une autre façon de démontrer les propositions 3.3 et 3.6 p. 45, sans utiliser
des notions de géométrie diérentielle. On rappelle la dénition de Q12 et l'énon é de la
première proposition.
Q12 = {q ∈ R2N , D12 (q) = |q2 − q1 | − (r1 + r2 ) ≥ 0}.
Proposition 3.3 Soit q ∈ ∂Q12 , on a N(Q12 , q) = −R+ G12 (q).

Démonstration :
q ∈ ∂Q12 si et seulement si les disques de entres q1 et q2 se ren ontrent en un point. Quitte
à ee tuer une translation, on peut supposer que q1 = (0, 0). De plus, quitte à ee tuer
une rotation de entre q1 , on peut onsidérer que q = (0, 0, r1 + r2 , 0, q3 , . . . , q2N ). (La
fon tion D12 est évidemment invariante par es transformations). On dénit les ve teurs
suivants, v1 = (1, 0, 1, 0, 0, . . . , 0), v2 = (0, 1, 0, 1, 0, . . . , 0), v3 = (1, 0, −1, 0, 0, . . . , 0) et
v4 = (0, 1, 0, −1, 0, . . . , 0) et wj = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), pour j ∈ {5, . . . , 2N}, (le 1 se
ième
position). Tout ve teur de v ∈ R
2N
trouvant à la j s'é rit
4
X 2N
X
v= αi vi + βj wj ,
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
i=1 j=5
où les oe ients αi et βj sont des réels. En eet, on retrouve les 4 premiers ve teurs de
la base anonique de R2N ave les ve teurs vi ,
1
(1, 0, 0, 0, 0, . . . , 0) = (v1 + v3 )
2
1
(0, 1, 0, 0, 0, . . . , 0) = (v2 + v4 )
2
1
(0, 0, 1, 0, 0, . . . , 0) = (v1 − v3 )
2
1
(0, 0, 0, 1, 0, . . . , 0) = (v2 − v4 ).
2
Etape 1 : On va d'abord montrer que
N(Q12 , q) ⊂ R+ v3 .
Soit v ∈ R2N de norme 1, il existe (α1 , α2 , α3 , α4 , β5 , . . . , β2N ) ∈ R2N , vériant
2(α12 + α22 + α32 + α42 ) + β52 + . . . β2N

2
= 1, (F.1)
et tels que
2N
X
v = α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 + α4 v4 + βj wj .
j=5
On her he à savoir, sous quelles onditions, le ve teur v ∈ N(Q12 , q), plus pré isément,
sous quelles onditions, il existe t>0 tel que q ∈ PQ12 (q + tv).
On onsidère t > 0, alors
y
q+tv = (tα1 +tα3 , tα2 +tα4 , r1 +r2 +tα1 −tα3 , tα2 −tα4 , q3x +tβ5 , q3y +tβ6 , . . . , q2N +tβ2N ).
160
Soit maintenant,
q̃ = q+tv−tα3 v3 = (tα1 , tα2 +tα4 , r1 +r2 +tα1 , tα2 −tα4 , q3x +tβ5 , q3y +tβ6 , . . . , q2N
y
+tβ2N ),
al ulons :
D12 (q̃) = |(r1 + r2 + tα1 , tα2 − tα4 ) − (tα1 , tα2 + tα4 )| − (r1 + r2 )
= |(r1 + r2 , −2tα4 )| − (r1 + r2 ) ≥ 0.
Par onséquent, q̃ ∈ Q12 et

√
dQ12 (q + tv) ≤ |q + tv − q̃| ≤ |tα3 v3 | = t 2|α3 |.
√
Comme |q + tv − q| = |tv| = t, on en déduit que q ∈ / PQ12 (q + tv) si 2|α3 | < 1, 'est-à-
dire, d'après (F.1), s'il existe αi , i ∈ {1, 2, 4} ou βj , j ∈ {5, .., 2N} non nul. Finalement,
une ondition né essaire pour que q ∈ PQ12 (q + tv) est que v s'é rive
v = α3 v3 .
√
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Soit maintenant v = α3 v3 ave α3 = ±1 (désormais |v| = 2), on a q + tv = (tα3 , 0, r1 +

r2 − tα3 , 0) et
D12 (q + tv) = |r1 + r2 − 2tα3 | − (r1 + r2 ).
Ainsi, D12 (q + tv) > 0 si α3 < 0. En onséquen e, q + tv ∈ Q12 (d'où q∈
/ PQ12 (q + tv))
si α3 = −1. On ajuste don l'é riture de v,
v = v3 .
Etape 2 : Prouvons maintenant que
R+ v3 ⊂ N(Q12 , q).
r1 + r2 √
Soit t≤ , montrons que dQ12 (q + tv3 ) = t 2, 'est-à-dire que
2
√
B(q + tv3 , t 2) ∩ Q12 = ∅.
√
Soit q̃ ∈ B(q + tv3 , t 2), il existe (α1 , α2 , α3 , α4 , β5 , . . . , β2N ) ∈ R2N , vériant
1
α12 + α22 + α32 + α42 + (β52 + · · · + β2N
2
)<1
2
et tels que
q̃ = q + tv3 + tα1 v1 + tα2 v2 + tα3 v3 + tα4 v4 + tβ5 w5 + · · · + β2N w2N

y
= (tα1 + tα3 + t, tα2 + tα4 , r1 + r2 + tα1 − tα3 − t, tα2 − tα4 , q3x + tβ5 , . . . , q2N + tβ2N ).
Cal ulons
D12 (q̃) = |(r1 + r2 + tα1 − tα3 − t, tα2 − tα4 ) − (tα1 + tα3 + t, tα2 + tα4 )| − (r1 + r2 )
= |(r1 + r2 − 2tα3 − 2t, −2tα4 )| − (r1 + r2 ).
161
Annexe F. Autre preuve de la prox-régularité de Q12
Par onséquent,
D12 (q̃) < 0 ⇔ |(r1 + r2 − 2tα3 − 2t, −2tα4 )|2 < (r1 + r2 )2
⇔ (2t(α3 + 1))2 − 4t(α3 + 1)(r1 + r2 ) + (2tα4 )2 < 0
⇔ (t(α3 + 1))2 − t(α3 + 1)(r1 + r2 ) + (tα4 )2 < 0.
On étudie don le trinme du se ond degré
P (X) = X 2 − (r1 + r2 )X + (tα4 )2 .

2 2
r1 + r2 2 r 1 + r 2
Son dis riminant ∆=4 − 4(tα4 ) > 0 ar (tα4 )2 < t2 ≤ .
2 2
Il y a don 2 ra ines réelles positives,
s 2 s 2
r1 + r2 r1 + r2 r1 + r2 r1 + r2
s+ = + − (tα4 )2 et s− = − − (tα4 )2 .
2 2 2 2
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P (X) < 0 ⇔ X ∈ ]s− , s+ [. Il reste par onséquent à vérier que t(α3 + 1) ∈ ]s− , s+ [. On
2 2
a α3 + α4 < 1 don ,
q q
− 1 − α4 < α3 < 1 − α42 .
2
D'où,
q q
t − t 1 − α4 < t(α3 + 1) < t + t 1 − α42 .
2
Montrons d'abord que t(α3 + 1) < s+ :

2
r1 + r2 r1 + r2 r1 + r2
Comme t≤ , alors ≥ 1 et ≥ 1. D'où,
2 2t 2t
s 2 q
r1 + r2 2
− α4 ≥ 1 − α42 .
2t
On en déduit que,
s 2 s 2
q
r1 + r2 r1 + r2 r1 + r2
t + t 1 − α42 ≤ t + − (tα4 )2 ≤ + − (tα4 )2 .
2 2 2
Ainsi, t(α3 + 1) < s+ .
Il reste à montrer que t(α3 + 1) > s− :

p
f :x 7→ x − 2 2
Pour ela, il sut de remarquer que la fon tion
x − (tα4 ) est dé rois-
r1 + r2 r1 + r2
sante sur {x > t|α4 |}. Comme t≤ , on a f ≤ f (t). En onséquen e,
2 2
162
t(α3 + 1) > f (t) ≥ s− .
r1 + r2
En on lusion, D12 (q̃) < 0. On a démontré que pour tout t≤ ,
2
√
B(q + tv3 , t 2) ∩ Q12 = ∅, (F.2)
√
e qui implique que dQ12 (q + tv3 ) = t 2 et q ∈ PQ12 (q + tv3 ). Or, omme
q = (0, 0, r1 + r2 , 0, q3 , . . . , q2N ),
le ve teur e12 (q) est égal à (1, 0) et le ve teur v3 n'est autre que le ve teur −G12 (q), d'où
le résultat.
r1 + r2
Remarque F.1 Cette valeur limite de t = est asso iée à la onguration limite
2
où les 2 entres des parti ules sont onfondus q1 = q2 .
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Dans la preuve pré édente et grâ e à la ara térisation des ensembles prox-réguliers ( f
proposition 2.23 p. 36), on a aussi montré la proposition 3.6 p. 45 :
r1 + r2
Proposition 3.6 L'ensemble Q12 est η-prox-régulier ave η = √ .
2
Démonstration : √ r1 + r2
On a montré (voir (F.2)) que B(q + tv3 , t 2) ∩ Q12 = ∅ dès que t≤ . Ave les
2
√ r1 + r2
notations de la proposition 2.23 p. 36, η = t 2 = √ .
2
163
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Annexe G
Autre démonstration de l'inégalité
triangulaire inverse
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165
Annexe G. Autre démonstration de l'inégalité triangulaire inverse
Dans ette annexe, se trouve une démonstration de l'existen e d'une inégalité triangulaire
inverse vériée par les ve teurs Gij (q), aboutissant à une autre onstante que elle obtenue
à la proposition 3.14 p. 52.
Proposition G.1 (Inégalité triangulaire inverse)

Il existe γ > 1 tel que pour tout q ∈ Q0 ,

X X

αij |Gij (q)| ≤ γ αij Gij (q) ,
où
Icontact = {(i, j), i < j, Dij (q) = 0} et les αij sont des réels positifs quel onques.
La onstante γ peut être prise égale à
 Nnv
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
4
 
 
 
 2 
γ=


 .
1 − s 1 
 2N 
 1 
1+
2nv
Justions tout de suite qu'une inégalité inverse pour deux ve teurs peut être obtenue en
minorant leur produit s alaire.
Lemme G.2 Soient u1 et u2 deux ve teurs de R2N vériant

u1 · u2 = cos θ|u1 ||u2 |,
où cos θ > −1 alors l'inégalité suivante
|u1 | + |u2 | ≤ ν|u1 + u2 |,
est vériée dès que r

2
ν ≥ νθ = .
1 + cos θ
Démonstration :
Si cos θ = 1, νθ = 1 et |u1| + |u2| = |u1 + u2|. Le résultat est alors vrai. Si cos θ < 1, νθ > 1
166
et on onsidère ν ≥ νθ . On a
(|u1| + |u2 |)2 ≤ ν 2 |u1 + u2 |2

⇔ |u1|2 + |u2 |2 + 2|u1 ||u2| ≤ ν 2 (|u1 |2 + |u2 |2 + 2u1 · u2 )
⇔ −2(ν 2 (u1 · u2 ) − |u1 ||u2|) ≤ (ν 2 − 1)(|u1|2 + |u2 |2 )
⇔ −2|u1||u2 |(ν 2 cos θ − 1) ≤ (ν 2 − 1)(|u1|2 + |u2 |2 )

1 − ν 2 cos θ
⇔ 2 |u1 ||u2| ≤ |u1 |2 + |u2 |2 (ν ≥ νθ > 1).
ν2 − 1
Or
2
ν ≥ νθ ⇔ ν 2 ≥ (ν ≥ 0)
1 + cos θ
⇔ ν 2 (1 + cos θ) ≥ 1 + 1
⇔ ν 2 − 1 ≥ 1 − ν 2 cos θ
1 − ν 2 cos θ
⇔ 1≥ .
ν2 − 1
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Par onséquent,

2 2 1 − ν 2 cos θ
|u1 | + |u2 | ≥ 2|u1||u2| ≥ 2 |u1||u2 |.
ν2 − 1

Pour établir l'inégalité triangulaire inverse (ave un nombre quel onque de ve teurs),
on propose une méthode basée sur une estimation des angles entre les ve teurs Gij (q)
omme on l'avait déjà pressenti au début de la sous-se tion 3.2.2. La preuve sera faite par
ré urren e sur le nombre de ve teurs intervenant dans la somme. On veut montrer qu'il
existe δ > 1 (qui sera déni plus loin), tel que pour tout I sous-ensemble de Icontact et
pour tout αij > 0,

X X

αij |Gij (q)| ≤ δ card(I) αij Gij (q) .
(i,j)∈I⊂Icontact (i,j)∈I⊂Icontact
Initialisation de la ré urren e : On suppose que le ardinal de I vaut 1, autrement dit,

I = {(i, j)}, alors on a bien pour tout αij > 0 et tout δ > 1,
αij |Gij (q)| = |αij Gij (q)| ≤ δ|αij Gij (q)|.
Hypothèse de ré urren e :
Si le ardinal de I ⊂ Icontact est égal à p, alors on a

X X
p
αij |Gij (q)| ≤ δ αij Gij (q) (Hp )
(i,j)∈I⊂Icontact (i,j)∈I⊂Icontact
167
pour tout αij > 0.

On suppose maintenant que le ardinal de I ⊂ Icontact est égal à p + 1. On onsidère
X
w= αij Gij (q),
où les αij sont des réels stri tement positifs. Soit (k, l) ∈ I , on dénit J = I \ {(k, l)}
ainsi que
X
w1 = αij Gij (q)
(i,j)∈J
et
w2 = αkl Gkl (q),
de telle sorte qu'on ait
w = w 1 + w2 .
On utilise alors le lemme suivant démontré plus loin.
Lemme G.3 On a l'inégalité suivante,

r
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2
|w1 | + |w2 | ≤ |w1 + w2 |,
1−κ
ave
1
κ= s 2N .
1
1+
2nv
Par onséquent, en posant

r
2
δ=
1−κ
on obtient,
|w1 | + |w2 | ≤ δ|w|. (G.1)
Or, omme δ > 1, on peut initialiser la ré urren e ave e oe ient δ et par hypothèse
de ré urren e, on a
X
αij |Gij (q)| ≤ δ p |w1 |.
(i,j)∈J
Par onséquent,
X
p p 1
αkl |Gkl (q)| + αij |Gij (q)| ≤ αkl |Gkl (q)| + δ |w1 | = δ |w2 | + |w1 | .
δp
(i,j)∈J
Comme δ>1 et d'après (G.1), on a
X
αij |Gij (q)| ≤ δ p (|w2 | + |w1 |) ≤ δ p+1 |w|.
(i,j)∈Icontact
168
La propriété (Hp+1 ) est don vraie, e qui prouve l'hérédité de ette propriété. Par onsé-
quent, il existe δ > 1, tel que

X X
card(Icontact )
αij |Gij (q)| ≤ δ αij Gij (q) ,
Nnv
pour tout αij ≥ 0. Comme le ardinal de Icontact est inférieur à (on rappelle que nv
2
est le nombre maximal de voisins que peut avoir une personne), la proposition 3.14 est
vériée en prenant
Nnv
γ=δ 2
onstante qui est bien indépendante de q. Ce i a hève la démonstration de la proposi-

tion 3.14, sous réserve de prouver le lemme G.3.
Démonstration du lemme G.3 :

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On her he à prouver que

r
2 1
|w1 | + |w2 | ≤ |w1 + w2 |, ave κ= s 2N .
1−κ 1
1+
2nv
Ce résultat repose sur le lemme G.2 qui établit une inégalité triangulaire inverse entre
deux ve teurs, sous réserve d'une minoration de leur produit s alaire, qui est établie par
le lemme suivant.
Lemme G.4 L'inégalité suivante est vériée

w1 · w 2 1
≥ −κ, ave κ = s 2N .
|w1 ||w2| 1
1+
2nv
Par onséquent, en utilisant les notations du lemme G.2, on a d'après le lemme G.4,
w1 · w 2
= cos θ ≥ −κ.
|w1 ||w2 |
Aussi,
1 + cos θ ≥ 1 − κ,
e qui implique
r r
2 2
≥ .
1−κ 1 + cos θ
Le lemme G.3 est don une onséquen e immédiate du lemme G.2.
169
Il reste à prouver le lemme utilisé pré édemment.

Démonstration du lemme G.4 :
On rappelle que
X
w1 = αij Gij (q) et w2 = αkl Gkl (q),
(i,j)∈J
où les oe ients intervenant dans es deux é ritures sont stri tement positifs. Cependant,
il sut de prouver ette inégalité pour
w2 = Gkl (q).
On pose (
αij si i<j
βij =
αji sinon,
on a alors X
w1 = (F1 , F2 , ..., FN ) où Fp = βip eip .
Ainsi, Fk est un ve teur de R2 k ième
qui peut être interprété omme la for e exer ée sur la
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personne par ses voisins (autres que le l

ième individu). De même, −Fk peut être interprété
omme la for e de réa tion de la k
ième personne résistant à la pression de ses voisins (autres
que le l
ième ). De plus, on a
w1 · w 2 −Fk · ekl − Fl · elk

= √ qP = ∆kl .
|w1 ||w2 | N 2
2 i=1 |Fi |
Cas 1 : −Fk · ekl ≥ 0 ou −Fl · elk ≥ 0
PSfrag repla ements −Fl
elk ekl
ql qk
−Fk
Fig. G.1 Cas 1
Supposons, par exemple ( f gure G.1), que −Fk · ekl ≥ 0, on a alors
−Fk · ekl − Fl · elk ≥ −Fl · elk .

Comme |Fl · elk | ≤ |Fl |, on obtient
|Fl · elk |
pP ≤ 1.
|Fi |2
170
Finalement, on en déduit que
−Fl · elk −1
∆kl ≥ √ pP ≥√ .
2 |Fi |2 2
Dans e as, on peut prendre
1
κ= √ .
2
Cas 2 : −Fk · ekl < 0 et −Fl · elk < 0 ( f gure G.2)
PSfrag repla ements −Fk
ekl elk
−Fl
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qk ql
Fig. G.2 Cas 2
1 1
Cas 2a : −Fk · ekl ≥ − |Fk | ou−Fl · elk ≥ − |Fl |
4 4
1
Supposons, par exemple ( f gure G.3), que −Fk · ekl ≥ − |Fk |. On a
4
−Fk
PSfrag repla ements
ekl elk
−Fl
qk ql
Fig. G.3 Cas 2a
qX
|Fk | ≤ |Fi |2 ,
e qui implique omme −Fk · ekl < 0,

−Fk · ekl −Fk · ekl
≤ pP .
|Fk | |Fi |2
171
Par onséquent,
1 −Fk · ekl
− ≤ pP
4 |Fi |2
et omme
−F · e
pPl lk ≥ −1,
|Fi |2

1 1 5
∆kl ≥ √ − − 1 = − √ > −1.
2 4 4 2
Dans e as, on peut prendre
5
κ= √ .
4 2
1 1
Cas 2b : −Fk · ekl < − |Fk | et −Fl · elk < − |Fl | ( f gure G.4)
4 4
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−Fk
PSfrag repla ements
ekl elk
−Fl
qk ql
Fig. G.4 Cas 2b
On utilise le lemme suivant démontré ultérieurement :
Sous-lemme G.5 Dans le as 2b, il existe k̃ et ˜l distin ts de k et de l vériant k̃ 6= ˜l et

tels que
|Fk̃ | ≥ ǫ|Fk |,
|Fl̃ | ≥ ǫ|Fl |,
où 2N
1
ǫ= .
2nv
(Le réel ǫ est bien indépendant de q).
On en déduit que
X
|Fi |2 ≥ |Fk |2 + |Fl |2 + |Fk̃2 | + |Fl̃ |2 ≥ (1 + ǫ2 ) |Fk |2 + |Fl |2 .
172
Aussi,
1 1 1
pP ≤√ p
|Fi | 2 1+ǫ2 |Fk | + |Fl |2
2
et !
1 |Fk | + |Fl | 1
|∆kl | ≤ √ √ p ≤√ .
1 + ǫ2 2 |Fk |2 + |Fl |2 1 + ǫ2
Finalement, on on lut que
1
∆kl ≥ − √ > −1.
1 + ǫ2
Dans e as, on peut don prendre
1
κ= √ .
1 + ǫ2
et le lemme G.4 est don vérié pour

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1 5 1 1
κ = max √ , √ ,√ =√ ,
2 4 2 1 + ǫ2 1 + ǫ2
à ondition de prouver le sous-lemme G.5.
Remarque G.6 On peut tout de suite onstater que, pour une onguration q xée et
des oe ient αij xés, l'existen e d'un réel ǫ, vériant es deux inégalités est triviale. En
eet, par l'absurde, on obtient que sinon
∀j ∈ {1...N} \ {k, l}, Fj = 0,
e qui est impossible.

Il reste à démontrer le sous-lemme utilisé pré édemment.
Démonstration du sous-lemme G.5 :
On rappelle que nv est le nombre maximal de voisins que peut avoir une personne. On
onsidère d'abord Fk , on sait que
Vk
X
−Fk = βkj0,i ekj0,i ,
i=1
où Vk est le nombre de voisins de la personne k à l'ex eption de la personne l (Vk ≤ nv −1).

Par onséquent,
Vk
X
−Fk · ekl = βkj0,i ekj0,i · ekl .
i=1
173
Il existe k1 ∈ {j0,1 , j0,2 , ..., j0,Vk } (k1 6= k, l) tel que
βkk1 ekk1 · ekl ≤ βkj0,i ekj0,i · ekl , ∀i.
Un rapide raisonnement par l'absurde montre que né essairement,
1
βkk1 ekk1 · ekl < − Fk · ekl ,
nv
1
et omme −Fk · ekl < − |Fk |, on obtient
4
1
βkk1 ekk1 · ekl < − |Fk |.
4nv
En interprétant, l'individu k1 est la personne qui exer e la plus forte pression sur k et la
personne k se trouve entre les individus l et k1 ar ekk1 · ekl < 0 (la personne k1 se trouve
à gau he de k sur la gure G.5).
1
Si |Fk1 | ≥ |Fk |, alors on pose
8nv
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k̃ = k1 .
1
Sinon |Fk1 | < |Fk |, et on pro ède de manière analogue ave Fk1 . On sait que
8nv
Vk1
X
−Fk1 = βk1 k ek1 k + βk1 j1,i ek1 j1,i ,
i=1
où Vk1 ≤ nv − 1 est le nombre de voisins de k1 . Ainsi ,
Vk1
X
−Fk1 · ekl = βk1 k ek1 k · ekl + βk1 j1,i ek1 j1,i · ekl .
i=1
1 1
Comme −βk1 k ek1 k · ekl < − |Fk | et −Fk1 · ekl ≤ |Fk1 | < |Fk |, on en déduit que
4nv 8nv
Vk1
X 1
βk1 j1,i ek1 j1,i · ekl = −Fk1 · ekl − βk1 k ek1 k · ekl < − |Fk |.
i=1
8nv
Comme pré édemment, il existe k2 ∈ {j1,1 , j1,2 , ..., j1,Vk1 } (k2 ∈

/ {k, k1 }), tel que
1
βk1 k2 ek1 k2 · ekl < − |Fk |
8n2v
(Là en ore sur la gure G.5, la personne k2 se trouve à gau he de l'individu k1 ).
2
1 1
Si |Fk2 | ≥ |Fk |, alors on pose
4 2nv
k̃ = k2 .
174
PSfrag repla ements qk1
qki
ekl elk
−Fl
qk ql
qk2
Fig. G.5 Constru tion de la suite ki
Sinon, on ontinue. On onstruit alors une suite ki ( f gure G.5) telle que


 k0 = k

 i+1


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 1 1
|Fki+1 | < |Fk |
4 2nv

 i



 1 1 1
 βki ki+1 eki ki+1 · ekl < − |Fk |.
4 2nv nv
On a alors
ki+1 ∈
/ {k0 , k1 , ..ki }.
En eet, omme on a par onstru tion (point 3 du système) :


 ek0 k1 · ekl < 0



 ek1 k2 · ekl < 0
 .
 .
 .



eki ki+1 · ekl < 0
il sut de montrer que
∀j ∈ J0, iK, eki+1 kj · ekl > 0.
On a pour j ∈ J0, iK,
1
eki+1 kj ·ekl = |qki+1 − qki |eki+1 ki + |qki − qki−1 |eki ki−1 + ... + |qkj+1 − qkj |ekj+1 kj ·ekl .
|qki+1 − qkj |
Don
1
eki+1 kj · ekl = |qki+1 − qki |eki+1 ki · ekl + ... + |qkj+1 − qkj |ekj+1 kj · ekl > 0.
|qki+1 − qkj |
On on lut alors que
ki+1 ∈
/ {k0 , k1 , ..ki−1 },
175
et par onstru tion ki+1 6= ki, don
ki+1 ∈
/ {k0 , k1 , ..ki }.
Comme il y a un nombre ni de personnes, à savoir N, ette onstru tion s'arrête :

m
1 1
∃m < N − 1 tel que |Fkm | ≥ |Fk |.
4 2nv
Au nal, on pose
k̃ = km .
On pro ède de manière analogue ave Fl , en onstruisant une suite li vériant le même
genre de propriétés (les personnes li se trouveront à droite de l'individu l toujours dans
le adre de la gure G.5). Il reste à montrer que 6 ˜l.
k̃ = Pour ela, on a juste besoin de
vérier que es deux suites sont disjointes, 'est-à- dire que,
{k0 , k1 , ..km } ∩ {l0 , l1 , ..lp } = ∅.

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On a par onstru tion
eki ki+1 · ekl < 0, (G.2)
elj lj+1 · ekl > 0. (G.3)
Il sut don de montrer que
∀i ∈ {0..m}, ∀j ∈ {0..p}, eki lj · ekl > 0.
On va d'abord prouver que
∀i ∈ {0..m}, eki l · ekl > 0.
Comme pré édemment, le ve teur eki l pour i ∈ {0..m}, s'é rit omme ombinaison linéaire
à oe ients positifs des ve teurs eki ki−1 , .., ek1 k0 et ek0 l . Grâ e à (G.2) et omme ek0 l ·ekl =
|ekl |2 = 1 > 0, on on lut alors que
∀i ∈ {0..m}, eki l · ekl > 0. (G.4)
Ensuite, le ve teur eki lj i ∈ {0..m} et j ∈ {0..p}, s'é rit omme ombinaison linéaire
pour
à oe ients positifs des ve teurs eki l0 , el0 l1 , .., et elj−1 lj . Grâ e à (G.3) et (G.4), on obtient
∀i ∈ {0..m}, ∀j ∈ {0..p}, eki lj · ekl > 0. (G.5)
Par onséquent, d'après (G.5), on en déduit que
{k0 , k1 , ..km } ∩ {l0 , l1 , ..lp } = ∅
et né essairement k̃ 6= ˜l. Ensuite, omme nv ≥ 2, alors

N −1 N
1 1 1
≥ .
4 2nv 2nv
176
Le sous-lemme G.5 est vérié pour
N
1
ǫ=
2nv
e qui a hève la démonstration.
Ainsi s'a hève la démonstration de la proposition G.1. De e résultat dé oule l'uniforme

prox-régularité de Q0 ( f. preuve de la proposition 3.12 p. 51).
Proposition G.7 L'ensemble Q0 est η-prox-régulier ave

   Nnv
4
  
1  1  ri + rj
η= 1 − s
2 

2N  min √ ,
  1  (i,j) 2
1+
2nv
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où nv est le nombre maximal de voisins que peut avoir une personne.

En notant rmin = min ri et rmax = max ri , ette onstante vérie
π
nv ≤ .
rmin
arcsin
rmax + rmin
Remarque G.8 Pour se xer les idées, on peut al uler un équivalent de η quand N tend
vers l'inni (nv onstant). On obtient
2
Nnv N nv
ri + rj 1 4 1 2
η ∼ min √ .
N →∞ (i,j) 2 4 2n v
Cette onstante de prox-régularité est inférieure à elle annon ée par la proposition 3.12
p. 51.
177
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179
Annexe H
Formulation point-selle
Annexe H. Formulation point-selle
Cette annexe a pour obje tif de rappeler les résultats lassiques qu'on peut retrouver
dans [Mau04℄, jusqu'à la proposition H.9. Pour la proposition H.11, on renvoit le le teur
vers [All05℄ ou [Cia90℄. On onsidère V un espa e de Hilbert muni de son produit s a-
laire ( , ) et de sa norme | |, M un espa e de Bana h, B ∈ L (V, M) et z ∈ M . On note
′ ′
le ro het de dualité entre M et M par hφ, mi ave φ ∈ M et m ∈ M et on note k k la
′
norme naturelle sur M . On dénit ensuite l'ensemble des ontraintes qui sera l'ensemble
onvexe fermé suivant,
K = {u ∈ V, hµ, Bu − zi ≤ 0, ∀µ ∈ C},
où C ⊂ M′ est un ne onvexe fermé non vide de sommet 0. Soit f ∈V, on onsidère la
fon tionnelle
1
J (v) = |v|2 − (f, v)
2
ainsi que le problème de minimisation sous ontrainte suivant :
(
u ∈ K,
(Q)
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J (u) = inf J (v) .

v∈K
Le Lagrangien asso ié à e problème est
L: V ×C → R
(v, µ) 7→ L (v, µ) = J (v) + hµ, Bv − zi.
La formulation point-selle de e problème s'é rit don sous la forme,
(
′
(u, λ) ∈ V × C,
(Q )
∀ (v, µ) ∈ V × C, L (u, µ) ≤ L (u, λ) ≤ L (v, λ) .
Remarque H.1 λ est appelé multipli ateur de Lagrange.
Proposition H.2 Le problème (Q) possède une unique solution que l'on notera u.
Démonstration :
Il sut de remarquer que la fon tionnelle J est stri tement onvexe et oer ive, puis que
K est un ensemble onvexe fermé de V.
Remarque H.3 Une autre façon de prouver la proposition

pré édente est de remarquer
que le problème (Q) revient à minimiser la fon tionnelle v 7→ 12 |v − f |2 sur K . Il existe
une unique solution à e problème qui est le projeté de f sur K (u = PK f ), bien déni
ar K est un onvexe fermé.
Remarque H.4 Par dénition du ne polaire (dénition C.1 p. 150), on sait que u ∈ K
si et seulement si Bu − z ∈ C ◦ .
180
Proposition H.5 Si (u, λ) ∈ V × C est solution du problème de point-selle (Q′ ), alors u
est solution du problème de minimisation (Q).
Démonstration :
On raisonne par l'absurde en supposant que u∈
/ K, 'est-à-dire en supposant qu'il existe
µ0 ∈ C , tel que hµ0 , Bu − zi > 0. Alors
∀α > 0, αµ0 ∈ C et hαµ0 , Bu − zi → +∞ quand α → +∞.
On obtient don une ontradi tion ave le fait que L (u, µ) soit majoré. Par onséquent,
∀µ ∈ C, hµ, Bu − zi ≤ 0.
Autrement dit, u ∈ K . Ensuite, on sait que pour tout µ ∈ C, hµ, Bu−zi ≤ hλ, Bu−zi ≤ 0.
En prenant µ = 0, on voit que né essairement
hλ, Bu − zi = 0.
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En onséquen e,
∀v ∈ V, J (u) ≤ J (v) + hλ, Bv − zi.
Comme pour tout v ∈ K , hλ, Bv − zi ≤ 0, on obtient,
∀v ∈ K, J (u) ≤ J (v) .
Autrement dit,
J (u) = inf J (v) .
v∈K
En on lusion, u est solution de (Q).
On onsidère désormais un autre problème, dont on montrera l'équivalen e ave le pro-

′
blème (Q ) :

 (u, λ) ∈ V × C,



 u + B ⋆ λ = f,
(Q′′ )

 Bu − z ∈ C ◦ ,



hλ, Bu − zi = 0.
Remarque H.6 La dernière équation est appelée relation de omplémentarité. Le multi-

pli ateur de Lagrange n'agit que si la ontrainte est saturée (lorsque Bu − z = 0).
Proposition H.7 (u, λ) est solution du problème de point-selle (Q′ ) si et seulement si

(u, λ) est solution de (Q′′ ).
Démonstration :
Si (u, λ) est solution de (Q′ ), alors on sait déjà que Bu − z ∈ C ◦ ar u∈K ainsi que
181
hλ, Bu − zi = 0 d'après la démonstration pré édente. De plus, pour tout v ∈ V, L (u, λ) ≤

L (v, λ). Aussi, u minimise Je (v) = 21 |v|2 − (f, v) + hλ, Bv − zi sur V . Par onséquent,
∀v ∈ V , (u, v) − (f, v) + hλ, Bvi = 0,
e qui implique
∀v ∈ V , (u, v) − (f, v) + (B ⋆ λ, v) = 0.
D'où,
u + B ⋆ λ = f.
Ainsi, (u, λ) est solution de (Q′′ ).
Ré iproquement, si (u, λ) est solution de (Q′′ ), alors Bu − z ∈ C ◦ e qui revient à dire
que u ∈ K. Aussi, omme hλ, Bu − zi = 0, on a
∀µ ∈ C, hµ, Bu − zi ≤ hλ, Bu − zi.
Par onséquent,
∀µ ∈ C, L (u, µ) ≤ L (u, λ) .
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⋆
Ensuite, l'équation u + B λ = f implique, d'après le théorème de Lax-Milgram, que u
1 2
minimise J (v) = |v| − (f, v) + hλ, Bvi sur V don
2
∀v ∈ V, J (u) ≤ J (v) .
D'où en soustrayant hλ, zi de part et d'autre de l'inégalité, on a
∀v ∈ V, L (u, λ) ≤ L (v, λ) .
On en on lut don que (u, λ) est solution de (Q′ ).
Proposition H.8 Si u est solution du problème de minimisation (Q), alors

f − u ∈ B ⋆ (C).
Démonstration :
Soit u la solution de (Q), montrons dans un premier temps que
◦
∀v ∈ B ⋆ (C) , ∀t ≥ 0 , u + tv ∈ K.
◦
Soit v ∈ B ⋆ (C) , on a par dénition du ne polaire (dénition C.1 p. 149),
∀µ ∈ C, (B ⋆ µ, v) ≤ 0,
e qui équivaut à
∀µ ∈ C, hµ, Bvi ≤ 0.
182
Ainsi,
hµ, B(u + tv) − zi = hµ, Bu − zi + thµ, Bvi ≤ 0, ∀t ≥ 0.
Don pour tout t ≥ 0, u + tv ∈ K . Dans un se ond temps, montrons que
◦◦
f − u ∈ B ⋆ (C) .
◦
Soient v ∈ B ⋆ (C) et t ≥ 0, omme u est solution de (Q) et u + tv ∈ K d'après e qui
pré ède, on a
J(u) ≤ J(u + tv).
Par dénition de J, on a don
1 2 2
t |v| + t (u, v) − t (f, v) ≥ 0,
2
e qui implique

1 2
t t|v| − (f − u, v) ≥ 0.
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2
Par onséquent,
1
t|v|2 − (f − u, v) ≥ 0.
2
Ce i étant vrai pour tout t ≥ 0, on en déduit que
(f − u, v) ≤ 0.
◦
Cette inégalité étant vériée pour tout v ∈ B ⋆ (C) , on a démontré que
◦◦
f −u∈ B ⋆ (C) .
Comme B ⋆ (C) est un ne onvexe fermé non vide de sommet 0, on a d'après la proposition
C.4 p. 151,
◦◦
B ⋆ (C) = B ⋆ (C).
Ainsi, f − u ∈ B ⋆ (C).
Proposition H.9 Soit u la solution du problème de minimisation (Q), si B est surje tif
de V dans M , alors il existe un unique λ ∈ C tel que (u, λ) soit solution du problème de
point-selle (Q′ ).
Démonstration :
Montrons que B ⋆ (C) est un fermé. Comme B est surje tif de V dans M, on sait ( f.
théorème II.19 p.29 dans [Bre73℄) que
∃α > 0 , ∀µ ∈ M ′ , kµk ≤ α|B ⋆ µ|.
183
Considérons une suite de B ⋆ (C) qui onverge dans V,

B ⋆ µn −−−→ v,
n→∞
où µn ∈ C . L'inégalité pré édente implique que la suite (µn ) est de Cau hy dans M ′.
′
Ainsi, il existe λ ∈ M tel que
µn −−−→ λ.
n→∞
′
Or Cest un fermé de M don λ ∈ C. Par ontinuité de B⋆, on a v = B ⋆ λ ∈ B ⋆ (C). En
⋆
on lusion, B (C) est un fermé.
Soit u la solution du problème (Q), d'après e qui pré ède et la proposition H.8, on a
f − u ∈ B ⋆ (C). Par onséquent, il existe λ ∈ C tel que f − u = B ⋆ λ. Comme B est
⋆
surje tif, B est inje tif et on on lut alors que
∃ ! λ ∈ C, u + B ⋆ λ = f.
Par ailleurs, omme u (Q), on a u ∈ K , d'où Bu − z ∈ C ◦ .

est solution du problème
Comme B est surje tif, il existe a ∈ V tel que z = Ba. De plus, d'après la remarque H.3,
on sait que u est la proje tion de f sur K : u = PK f . Par onséquent,
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u − a = PK−a (f − a)
( e i est évident lorsqu'on pense à la ara térisation de la proje tion sur un onvexe fermé
f. théorème A.1 p. 142). Enn, omme K−a⊂V est un ne onvexe fermé non vide
de sommet 0, on a don d'après la proposition C.3 p. 150,
(u − a, f − u) = 0.
Ce i implique
(u − a, B ⋆ λ) = 0
et par onséquent
hλ, B (u − a)i = hλ, Bu − zi = 0.
Ainsi, il existe un unique λ ∈ C tel que (u, λ) soit solution du problème (Q′′ ), e qui
implique d'après la proposition H.7 qu'il existe un unique λ ∈ C tel que (u, λ) soit
′
solution du problème (Q ).
En reprenant la démonstration, on remarque que les hypothèses B ⋆ (C) fermé et z ∈ ImB

susent à assurer l'existen e d'un multipli ateur de Lagrange.
Proposition H.10 Si B ⋆ (C) est fermé dans M et si z ∈ ImB , alors il existe un λ ∈ C

tel que (u, λ) soit solution de (Q′ ).
Dans le as où z ∈
/ ImB , la démonstration de la proposition H.9 ne s'applique pas.
En eet, on ne peut plus obtenir la relation de omplémentarité en utilisant la notion
de ne polaire puisque K n'est pas un ne. Cependant, dans le as d'un nombre ni
de ontraintes, 'est-à-dire quand le ne C est niment généré, l'hypothèse sur z n'est
⋆
pas né essaire, (l'hypothèse sur B (C) est automatiquement vériée) et on obtient la
proposition suivante.
184
Proposition H.11 (Cas d'un nombre ni de ontraintes)
On suppose que C est niment généré, autrement dit,
p
X
C= R+ µi , avec µi ∈ M ′ .
i=1
Si on note u la solution du problème de minimisation (Q) déni p. 179, alors il existe

λ ∈ C tel que (u, λ) soit solution du problème de point-selle (Q′ ) déni p. 179.
Démonstration :
Soit u la solution de (Q), on dénit l'ensemble, que l'on suppose dans un premier temps
non vide,
Iu = {i ∈ {1, .., p}, hµi, Bu − zi = 0},
et le ne onvexe fermé in lus dans M ′,
X
Cu = {µ ∈ C , hµ, Bu − zi = 0} = R+ µ i .
i∈Iu
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
Par onséquent,
X
B ⋆ (Cu ) = R+ B ⋆ (µi ).
i∈Iu
On utilise une proposition analogue à la proposition H.8, qui sera démontrée ultérieure-
ment, à savoir :
Proposition H.12 Si u est solution de (Q), alors f − u ∈ B ⋆(Cu ).

De plus, d'après le sous-lemme B.2 p. 146, le ne onvexe B ⋆ (C
X u ) non vide de sommet 0
⋆
est fermé. Par onséquent, f − u ∈ B (Cu ). Ainsi, il existe λ= λi µ i où λi ≥ 0 , tel que
i∈Iu
X
f − u = B ⋆ (λ) = λi B ⋆ (µi ).
i∈Iu
Par onséquent, par dénition de Iu ,

X
hλ, Bu − zi = λi hµi, Bu − zi = 0.
i∈Iu
Si Iu = ∅, alors Cu = {0} et don λ = 0, e qui nous amène à la même on lusion.

La relation de omplémentarité est bien vériée. Ainsi, le ouple (u, λ) est solution du
′′ ′
problème (Q ), qui est équivalent d'après la proposition H.7 au problème (Q ).
Démonstration de la proposition H.12 :

Soit u la solution de (Q), montrons dans un premier temps que
◦
∀v ∈ B ⋆ (Cu ) , ∃tv > 0 , ∀t ∈ [0, tv [ , u + tv ∈ K.
185
◦
Soit v ∈ B ⋆ (Cu ) , on a
∀µ ∈ Cu , (B ⋆ µ, v) ≤ 0,
e qui équivaut à
∀µ ∈ Cu , hµ, Bvi ≤ 0.
En onséquen e, si µ ∈ Cu , on a
hµ, B(u + tv) − zi = hµ, Bu − zi + thµ, Bvi = thµ, Bvi ≤ 0, ∀t ≥ 0.

X X
Si µ ∈ C \ Cu , alors µ = ρi µi + ρj µj , ave ρi , ρj ≥ 0 (la deuxième somme porte
i∈Iu j ∈I
/ u
sur un ensemble né essairement non vide). 0n dénit alors
−hµj , Bu − zi
tv = min > 0.
j ∈I(u)
/ |hµj , Bvi|
Aussi pourt ∈ [0, tv [,

X X
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hµ, B(u+tv)−zi ≤ ρi (hµi, Bu − zi + thµi, Bvi)+ ρj (hµj , Bu − zi + thµj , Bvi) .

i∈I(u) j ∈I(u)
/
D'après e qui pré ède, la première somme est négative et par dénition de tv , la deuxième
aussi. Par onséquent, on en déduit que
∀t ∈ [0, tv [ , ∀µ ∈ C , hµ, B(u + tv) − zi ≤ 0.
Don pour tout t ∈ [0, tv [, u + tv ∈ K .
Dans un se ond temps, montrons que
◦◦
⋆
f − u ∈ B (Cu ) .
◦
Soient v ∈ B ⋆ (Cu ) et t ∈ [0, tv [, omme u est solution de (Q), on a
J(u) ≤ J(u + tv).
Par dénition de J, on a don
1 2 2
t |v| + t (u, v) − t (f, v) ≥ 0,
2
e qui implique
1
t|v|2 − (f − u, v) ≥ 0.
2
Ce i étant vrai pour tout t ∈ [0, tv [, on en déduit que
(f − u, v) ≤ 0,
186
autrement dit que
◦◦
f − u ∈ B ⋆ (Cu ) .
Comme B ⋆ (Cu ) est un ne onvexe fermé non vide de sommet 0, on a d'après la propo-
sition C.4 p. 151,
◦◦
⋆
B (Cu ) = B ⋆ (Cu ).
Ainsi, f − u ∈ B ⋆ (Cu ).
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187
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189
Annexe I
Algorithme d'Uzawa
Annexe I. Algorithme d'Uzawa
On reprend les notations de l'annexe H mais on suppose désormais que M est un

espa e de Hilbert, que l'on identie à son dual, de telle sorte que C est onsidéré omme
un ne de M.
Dans ette annexe, on rappelle omment al uler les multipli ateurs de
′
Lagrange solutions d'un problème point-selle (Q ) (déni page 180), grâ e à l'algorithme
d'Uzawa. Les résultats suivants jusqu'à la proposition I.4, sont issus de [Mau04℄.
On se donne ρ > 0, λ0 ∈ C et on onsidère une suite d'éléments de M dénis par

∀k ≥ 0, λk+1 = PC λk + ρ B f − B ⋆ λk − z . (I.1)
La proposition suivante montre que si la suite dénie par (I.1) onverge alors il y a
existen e d'un point-selle qui peut être exprimé en fon tion de la limite de la suite.

Proposition I.1 On suppose que z = Ba. Si la suite λk dénie par (I.1) onverge vers
λ ∈ M , alors (f − B ⋆ λ, λ) est solution du problème de point-selle (Q′ ) déni p. 179.
Démonstration :
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Comme PC est une appli ation ontinue (1-lips hitz), on a à la limite l'équation,
λ = PC (λ + ρB (f − B ⋆ λ − a)) ar z = Ba.
On a don pour tout µ∈C ( f. théorème A.1 p. 142),
hµ − λ, ρB (f − B ⋆ λ − a)i ≤ 0,
hµ − λ, B (f − B ⋆ λ − a)i ≤ 0.
Ce i équivaut aussi à
(B ⋆ (µ − λ) , f − B ⋆ λ − a) ≤ 0 , ∀µ ∈ C,
et par onséquent
B⋆λ = P B ⋆ (C) (f − a) .
Comme B ⋆ (C) est un ne onvexe fermé non vide de sommet 0, d'après la proposition C.3
p. 150, on a
f − a − B ⋆ λ = P(B⋆ (C)) ◦ (f − a).

On utilise maintenant le lemme suivant, qui sera démontré ultérieurement.
Lemme I.2 On suppose que z = Ba, alors

◦
K − a = B ⋆ (C) .
190
On en déduit que
f − a − B ⋆ λ = PK−a (f − a),
e qui équivaut à
f − B ⋆ λ = PK f.
(Ce i est évident lorsqu'on pense à la ara térisation de la proje tion sur un onvexe fermé
f. théorème A.1 p. 142). On pose maintenant u = f − B ⋆ λ, u est bien un élément de
K . Il reste à vérier la relation de omplémentarité hλ, Bu − zi = 0 pour montrer que
(u, λ) est solution du problème (Q′′ ) déni dans l'annexe H page 181. Comme u − a est la
proje tion de f − a sur K − a et d'après la proposition C.3 p. 150, on a (u − a, f − u) = 0.
D'où,
(u − a, B ⋆ λ) = 0 = hλ, Bu − zi.
Ainsi, (u, λ) est solution du problème (Q′′ ) et don ( f. proposition H.7 p. 181) du problème
(Q′ ).
Remarque I.3 L'hypothèse importante est que z ∈ ImB , il n'est pas né essaire de sup-
poser que B ⋆ (C) est fermé omme dans la proposition H.10 p. 184.
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Il reste à démontrer le lemme utilisé dans le preuve pré édente.
Démonstration du lemme I.2 :

On rappelle la dénition de K,
K = {v ∈ V , hµ, Bv − zi ≤ 0 , ∀µ ∈ C}.
En é rivant que z = Ba, on obtient que
K = {v ∈ V , hµ, Bv − Bai ≤ 0 , ∀µ ∈ C},

e qui s'é rit en ore
K = {v ∈ V , (B ⋆ µ, v − a) ≤ 0 , ∀µ ∈ C}.
Par onséquent,
K − a = {w ∈ V , (B ⋆ µ, w) ≤ 0 , ∀µ ∈ C}.
Autrement dit,
◦
K − a = B ⋆ (C) ◦ = B ⋆ (C) .

Proposition I.4 Si est solution du problème de point-selle (Q ) (déni p. 179),

(u, λ) ′
alors la suite f − B λ onverge vers u, solution du problème de minimisation (Q)

⋆ k
(déni p. 179), dès que

2
0<ρ< ,
kBk2
où kBk = sup |Bx|.
|x|≤1
191
Démonstration :
Si (u, λ) est solution de (Q′ ) alors (u, λ) est aussi solution de (Q′′ ), d'après la proposi-
tion H.7 p. 181. Par onséquent, hλ, Bu − zi = 0. Montrons que l'élément λ vérie
λ = PC (λ + ρ (Bu − z)) . (I.2)
Il sut de montrer pour tout µ ∈ C , hµ − λ, ρ(Bu − z)i ≤ 0. Ce i est équivalent à
hµ − λ, Bu − zi ≤ 0 , ∀µ ∈ C.
Ce i est vrai puisque u ∈ K et hλ, Bu − zi = 0.

De plus, si on note uk = f − B ⋆ λk , l'équation (I.1) vériée par λk+1 devient

λk+1 = PC λk + ρ Buk − z . (I.3)
Grâ e à (I.2) et (I.3) et au fait que PC soit 1-lips hitz, on obtient,

|λk+1 − λ|2 = |PC λk + ρ Buk − z − PC (λ + ρ (Bu − z)) |2 (I.4)
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≤ |λk − λ + ρB uk − u |2

≤ |λk − λ|2 + 2ρ B ⋆ λk − λ , uk − u + ρ2 |B uk − u |2

≤ |λk − λ|2 − 2ρ|uk − u|2 + ρ2 |B uk − u |2
≤ |λk − λ|2 − 2ρ|uk − u|2 + ρ2 kBk2 |uk − u|2

≤ |λk − λ|2 − ρ 2 − ρkBk2 |uk − u|2. (I.5)

2
Si on suppose ρ ∈ 0, , on a don
kBk2
|λk+1 − λ| ≤ |λk − λ|.
La suite |λk − λ| est alors dé roissante, positive. Elle onverge don vers un réel positif,
et on a d'après (I.5),
|λk − λ|2 − |λk+1 − λ|2

|uk − u|2 ≤ −−−→ 0
ρ (2 − ρkBk2 ) k→∞

2 k ⋆ k
En on lusion, pour tout ρ ∈ 0, , la suite u = f − B λ onverge vers u, solution
kBk2
de (Q).
Dans le as qui nous intéresse (nombre ni de ontraintes), on peut même montrer que la
suite des multipli ateurs de Lagrange onstruite par l'algorithme d'Uzawa onverge.
Proposition I.5 (Cas d'un nombre ni de ontraintes)

i h
On suppose que C est niment généré. Si ρ ∈ 0, kBk 2
2 , alors la suite (λ ) dénie par
k
(I.1) onverge vers un λ ∈ C tel que (u, λ) soit solution du problème (Q′ ) (déni p. 179).
192
Démonstration :
La preuve repose essentiellement sur le lemme d'Opial qui sera démontré plus loin.
Lemme I.6 (Lemme d'Opial) Soit Λ un espa e de Hilbert, Λ̃ un sous-ensemble non

vide de Λ, et (λk ) une suite d'éléments de Λ telle que
(i) pour tout µ ∈ Λ̃, la suite |λk − µ| onverge,
(ii) si une sous-suite (λkp ) onverge faiblement vers un élément µ de Λ, alors µ ∈ Λ̃.
Alors la suite (λk ) onverge faiblement vers un élément de Λ̃.
′
On note Λ̃ ⊂ M ,
l'ensemble des λ tels que (u, λ) soit solution de (Q ). On her he à
k
démontrer que la suite (λ ) vérie les hypothèses du lemme d'Opial. On a vu lors de la
démonstration de la proposition I.4 que l'hypothèse (i) du lemme d'Opial était vériée.
Il reste à vérier l'hypothèse(ii). On onsidère don une sous-suite toujours notée (λk )
qui onverge faiblement vers µ ∈ M . Comme C est un onvexe fermé de M , il est fermé
k ⋆ k ⋆ k
pour la topologie faible don µ ∈ C . Ensuite, on a pour tout k , u = f − B λ . Or B λ
⋆ k
onverge faiblement vers B µ et d'après la proposition I.4, u onverge vers u. On a don
par passage à la limite faible,
u = f − B ⋆ µ.
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Pour montrer que (u, µ) est une solution de (Q′ ), il sut de prouver la relation de om-
plémentarité,
hµ, Bu − zi = 0.
Par dénition de λk+1 , on a pour tout µ̃ ∈ C,
hµ̃ − λk+1 , λk + ρ(Bu − z) − λk+1 i ≤ 0.
Comme C
est niment généré, il est in lus dans un espa e hilbertien de dimension nie.
k
Par onséquent, la suite des (λ ) onverge fortement et on peut passer à la limite dans
l'équation pré édente . En prenant enn µ̃ = 0, on obtient
hµ, Bu − zi ≥ 0.
Or u∈K et µ∈C hµ, Bu − zi ≤ 0. Finalement la relation de omplémen-

impliquent que
k
tarité est vériée et µ ∈ Λ̃. Ainsi, la suite (λ ) vérie les hypothèses du lemme d'Opial. On
en déduit qu'elle onverge faiblement et don fortement (dimension nie) vers un élément
de Λ̃.
Il reste à démontrer le lemme d'Opial ( f. par exemple [Har81℄).
Démonstration du lemme I.6 :

D'après (i), la suite (λk )
est bornée. Il sut don de vérier que deux sous-suites qui
m
onvergent faiblement ont la même limite. On onsidère don deux sous-suites (λ k ) et
nk
(λ ) qui onvergent faiblement vers λ1 et λ2 , respe tivement. D'après (ii), λ1 et λ2 ap-
partiennent à Λ̃. On introduit les limites (qui existent d'après (i))
ℓ1 = lim |λk − λ1 | , ℓ2 = lim |λk − λ2 |.
193
On é rit alors
|λk − λ1 |2 − |λk − λ2 |2 = hλ2 − λ1 , 2λk − λ1 − λ2 i.
On passe à la limite dans l'identité pré édente pour la sous-suite (λmk ) puis pour (λnk ).
Il vient
|ℓ1 |2 − |ℓ2 |2 = −|λ2 − λ1 |2 et |ℓ1 |2 − |ℓ2 |2 = |λ2 − λ1 |2 .
On a don né essairement |λ2 − λ1 | = 0, d'où le résultat.
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tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
200
tel-00346035, version 1 - 10 Dec 2008
N
o d'impression 2870
4ème trimestre 2008
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Résumé
Modélisation mathématique et numérique de mouvements de foule
Nous nous intéressons à la modélisation des mouvements de foule ausés par des situa-
tions d'éva uation d'urgen e. L'obje tif de ette thèse est de proposer un modèle mathé-
matique et une méthode numérique de gestion des onta ts, an de traiter les intera tions
lo ales entre les personnes pour nalement mieux rendre ompte de la dynamique globale
du tra piétonnier.
Nous proposons un modèle mi ros opique de mouvements de foule qui repose sur
deux prin ipes. D'une part, haque personne a une vitesse souhaitée, elle qu'elle aurait
en l'absen e des autres. D'autre part, la vitesse réelle des individus prend en ompte
une ertaine ontrainte d'en ombrement maximal. Plus pré isément, la vitesse réelle est
la proje tion de la vitesse souhaitée sur un ensemble dit de vitesses admissibles (qui
respe tent une ontrainte de non- hevau hement des disques représentant les individus).
Nous proposons d'étudier e modèle en trois parties.
La première partie est onsa rée à son étude théorique. Après reformulation, le pro-
blème prend la forme d'une in lusion diérentielle du premier ordre. Nous démontrons
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alors son ara tère bien posé : tout d'abord dans un as parti ulier (où les individus se
dépla ent dans un ouloir) grâ e à la théorie des opérateurs maximaux monotones, puis
en toute généralité, en utilisant des résultats sur les pro essus de rae par un ensemble
uniformément prox-régulier.
La se onde partie est dédiée à la résolution numérique du problème pré édent. Nous
proposons un s héma numérique en se basant sur le se ond prin ipe du modèle, à savoir
en al ulant une vitesse réelle dis rète qui soit la proje tion de la vitesse souhaitée sur un
ensemble de vitesses admissibles au premier ordre. En reformulant ette proje tion sous
la forme d'un problème point-selle, nous démontrons sa onvergen e par une méthode de
ompa ité, en prouvant le ara tère uniformément borné des multipli ateurs de Lagrange.
La troisième partie est onsa rée à la programmation et à la présentation des résultats
numériques. Nous proposons d'utiliser l'algorithme d'Uzawa an de al uler la vitesse
réelle dis rète omme proje tion de la vitesse souhaitée. Ensuite, nous nous intéressons
au premier point du modèle en hoisissant une vitesse souhaitée parti ulière ( elle dirigée
par le plus ourt hemin évitant les obsta les). Pour ela, nous présentons une program-
mation orientée objet in luant une méthode de type Fast Mar hing et ayant pour but de
simuler l'éva uation d'une stru ture de plusieurs étages présentant une géométrie quel-
onque. Nous nissons ave d'autres hoix de vitesse souhaitée (par exemple, en ajoutant
des stratégies individuelles) et présentons les résultats numériques asso iés. Ces simula-
tions numériques permettent de retrouver les phénomènes observés lors de dépla ements
piétonniers mais aussi de pré iser le rle des multipli ateurs de Lagrange. Apparaissant
omme un moyen de quantier le non-respe t des ontraintes par la vitesse souhaitée, es
derniers peuvent être interprétés omme des termes de pression subie par les individus.
Mots lés : mouvements de foule, onta ts, analyse onvexe, in lusion diérentielle,
pro essus de rae, ensemble prox-régulier, minimisation sous ontrainte, algorithme de
rattrapage, programmation orientée objet.
Codes AMS (MSC 2000) : 34A60, 47H04, 65L20, 70F35, 90C46.

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Fa ulté des S ien es d'Orsay

présentée pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES

Spé ialité : Mathématiques

MODÉLISATION MATHÉMATIQUE ET NUMÉRIQUE DE

Soutenue le 27 Novembre 2008 devant la Commission d'examen :

Mme. Cé ile Appert-Rolland (Examinateur)

M. Yann Brenier (Rapporteur)

M. Jean-François Coulombel (Examinateur)

M. Patri k Gérard (Président du jury)

M. Bertrand Maury (Dire teur de thèse)

M. Lionel Thibault (Rapporteur)

J'aimerais tout d'abord exprimer ma profonde re onnaissan e à Bertrand Maury, mon

Cela m'amène tout naturellement à évoquer l'équipe Analyse Numérique et Equations

1.1.1 Données empiriques qualitatives et quantitatives . . . . . . . . . 6

1.1.2 Modèles utilisés pour la simulation des mouvements de foule . . 8

1.1.3 Phénomènes observés dans le tra piétonnier, eets d'auto-

1.1.4 Simulations d'éva uation d'urgen e . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Des ription d'un nouveau modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Cas parti ulier : dépla ement dans un ouloir . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Problèmes ren ontrés lors de la généralisation . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Cadre mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.1 Notion de prox-régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.2 Pro essus de rae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Cne proximal normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1 Cne proximal normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Majoration de la onstante η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.1 Etude du boulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.2 Démonstration des lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.1 En termes de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.2 En termes de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Convergen e du s héma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.1 Extra tion et propriétés de la fon tion limite . . . . . . . . . . . 72

4.2.2 Démonstration de la proposition 4.10 : étude des multipli ateurs

4.2.3 Lemmes te hniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.1.2 Programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.1.3 Logi iel SCoPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2 Cal ul de la vitesse souhaitée en utilisant une méthode de type Fast

Mar hing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.2.2 Programmation Orientée Objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.1.1 A ès à un es alator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.1.2 Eva uation à deux vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.1.3 Formation de les à ontre- ourant ( Fingering patterns ) . . 124

6.1.4 Formation d'ar hes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2 Vitesse souhaitée dirigée par le plus ourt hemin . . . . . . . . . . . . 127

6.3 Vitesse souhaitée en tant que solution d'une e.d.p. . . . . . . . . . . . . 130

6.4 Ajout de stratégies individuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.4.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.4.2 Résultats numériques asso iés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Contexte et obje tifs

fortement on entrés. Les résultats permettraient d'éviter dans la mesure du possible,

Présentation des travaux ee tués

1.1.1 Données empiriques qualitatives et quantitatives . . . . . . 6

1.1 Etat de l'art

1.1.1 Données empiriques qualitatives et quantitatives

Vitesse moyenne et densité

1.1.3 Phénomènes observés dans le tra piétonnier, eets d'auto-

2.4.2 Pro essus de rae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Cne proximal normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1 Cne proximal normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.1.3 Formation de les à ontre- ourant ( Fingering patterns ) . . 124

Présentation des travaux ee tués

Fig. 1.1 Expérien e réalisée dans [DH03, HD05℄.

Fig. 1.2 Traje toires des individus observées ([DH03℄).

1.1.3 Phénomènes observés dans le tra piétonnier, eets d'auto-

Fig. 1.3 Observation de les à ontre- ourant.

iales retrouvent e phénomène de séparation de ux. Dans une allée large de 10 m se

Fig. 1.4 Résultats numériques issus de [HM95℄.

Fig. 1.5 Résultats numériques issus de [SKN03℄.

Fig. 1.7 Réseau piétonnier observé dans le ampus de Stuttgart-Vaihingen ([HSKM97℄).

Fig. 1.8 Résultats numériques issus de [HSKM97℄.

Fig. 1.9 Résultats numériques issus de [HFV00b℄.

Fig. 1.10 Résultats numériques issus de [SKN03℄.

Fig. 1.11 Représentation de la situation.

Fig. 1.12 Notations.

Dénition 2.1 (Ensemble de ongurations admissibles)

Dénition 2.2 (Ensemble de vitesses admissibles)

Propriété 2.3 Cq est un ne onvexe fermé non vide de sommet 0.

Dénition 2.5 (Cne normal sortant)

Cq = Fq◦ . Cq est un ne onvexe fermé

Fig. 2.2 Cnes Cq et Nq .

Remarque 2.7 (Appellation ne normal sortant)

Remarque 2.8 (Interprétation de l'in lusion diérentielle)

Fig. 2.3 Cas du ouloir.

le ve teur w vérie la propriété suivante,

En prenant le ne polaire de es deux ensembles, on obtient grâ e à la proposition A.4

où Nq est le ne normal sortant au point q, déni par (2.4) p. 28.

Théorème 2.14 (Existen e et uni ité d'une solution à l'équation diérentielle)

où Nq est le ne normal sortant au point q, déni par (2.4) p. 28.

Fig. 2.5 Défaut de monotonie.