TS FicheBac03 Derivation
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4) Exercices
Exercice 1.
Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes :
2 x 2+3 2x
1°) f (x)= ; 2°) f (x)= √ x 2−3 ; 3°) f (x)= 2 .
x−2 √ x + x−2
Exercice 2.
Déterminer les domaines de définition et de dérivabilité de la fonction suivante et
calculer sa dérivée : f ( x)=( x−1) √ x−1.
Exercice 3.
Calculer les dérivées des fonctions définies par les expressions suivantes :
2 3 2 3 x 2+4 x−7
1°) f (x )=2 x 3−5 x 2+ x−√ 2 ; 2°) f (x)=− x + ; 3°) f (x)= ;
3 x 5
2 4√ x
4°) f (x)=5 x + ; 5°) f (x)=2sin x+3 cos x.
3
Exercice 4.
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
2 3 2 2 x 2+3x+1
1°) f (x)=5(2 x −3) ; 2°) f (x)=(2 x −1) √ x ; 3°) f (x)= ;
x−2
3
4°) f ( x)=
x+1
x−1 ( ) ; 5°) f (x)= √ x 2−1 ; 6°) f ( x)=
√ x−1
x+2
; 7°) f (x)= x 2 sin (3 x)
Exercice 5.
Déterminer l'équation de la droite tangente à la courbe de la fonction donnée au point
indiqué.
1°) f (x)=2 x 2+3 x−5 en a=−1 ;
2°) f (x)=sin(2 x) en a= π .
3
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CORRIGÉ
Exercice 1.
Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes :
2 x 2+3
1°) f (x)=
x−2
Une expression contenant un dénominateur, existe si et seulement si ce dénominateur est
non nul. Donc :
x∈D f (ssi) x−2≠0
(ssi) x≠2.
Par conséquent : D f =ℝ ∖ { 2 } ou encore D f = ]−∞ ; 2[∪]2 ;+∞ [ .
2x
3°) f (x)= .
√ x + x−2 2
Une expression contenant une racine carrée, existe si et seulement si l'expression sous la
racine carrée est positive ou nulle. Donc :
x∈D f (ssi) x 2+ x−2⩾0 et x 2+ x−2≠0 (racine carrée et dénominateur)
(ssi) x 2+ x−2>0
Je calcule le discriminant pour déterminer les racines du trinôme s'il en existe.
Or, ici a = 1 ; b =1 et c = 2. Donc Δ=b 2−4ac=1−4×1×(−2)=9.
Δ>0. Donc le trinôme admet deux racines qui sont : x 1=−2 et x 2 =1.
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Comme a>0 , les branches de la parabole sont positives, donc le trinôme est positif
« à l'extérieur des racines ». Autrement dit :
x∈D f (ssi) x<−2 ou x⩾1
(ssi) x∈ ]−∞ ;−2 [ ou x∈ ]1 ;+∞ [
Par conséquent : D f = ]−∞ ;−2 [ ∪ ]1 ;+∞ [
Exercice 2.
Déterminer les domaines de définition et de dérivabilité de la fonction suivante et
calculer sa dérivée : f ( x)=( x−1) √ x−1.
Domaine de définition
f ( x)=( x−1) √ x−1
x∈D f (ssi) x−1⩾0
(ssi) x⩾1
(ssi) x∈[ 1 ;+∞ [
Par conséquent : D f =[ 1 ;+∞ [
La fonction f est définie sur D = [1 ;+∞ [
Domaine de dérivabilité
On pose : u( x)= x−1 . u est dérivable sur ℝ et u ' ( x)=1 .
D'après le cours, la fonction f définie par f (x )= √ u(x) est dérivable pour tout x tel que
u( x)>0 et non dérivable au point x tels que u( x)=0.
Or, u( x)>0 si set seulement si x > 1
et u( x)=0 si set seulement si x =1.
On distingue deux cas :
– Étude la dérivabilité de f pour x > 1 :
D'après le cours, (on est sûr que) la fonction f est dérivable sur I = ] 1 ;+∞ [ .
Or, ( √ u)' =u ' 2 √ u et (uv)' =u ' v+uv ' , donc pour tout x > 1, on a :
1 x−1 3( x−1)
f ' ( x)=1×√ x−1+( x−1)× = √ x−1+ =
2 √ x−1 2 √ x−1 2 √ x−1
3
Donc : f ' ( x)= √ x−1 pour tout x>1.
2
– Étude la dérivabilité de f en x = 1.
En un point, on revient à la définition. On calcule le taux d'accroissement de f en 1.
f (1+h)− f (1) (1+h−1) √ 1+h−1−(1−1) √ 1−1 h √ h−0
on a : = = =√h .
h h h
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f (1+h)− f (1)
Donc : lim =lim √ h=0 .
h →0 h h →0
Exercice 3.
Calculer les dérivées des fonctions définies par les expressions suivantes :
3 2
f
2 3 2
x 3 x 2+4 x−7
1°) f (x )=2 x −5 x + x−√ 2 ; 2°) (x)=− + ; 3°) f (x)= ;
3 x 5
x 2+1 2 4√ x
4°) f (x)= x 3 ( x 2−4 x+3) ; 5°) f (x)= ; 6°) f (x)=5 x + ;
x−2 3
7°) f (x)=2 x sin x+3cos x.
2 2
2°) f (x)=− x 3+
3 x
2 3 1
On remarque d'abord que f (x)=− x +2×
3 x
La fonction f est composée de fonctions définies et dérivables sur ℝ * et pour tout
x∈ℝ * , on a :
2
f ' ( x)=− ×3 x 2+2× 2
3
−1
x ( )
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2
On simplifie par 3 et on obtient pour tout x∈ℝ : f ' (x)=−2 x 2− 2
x
3 x 2+4 x−7
3°) f (x)=
5
Ici le quotient est un leurre ! En effet pour tout x ∈ℝ , on peut écrire :
3 4 7
f (x)= x 2+ x−
5 5 5
La fonction f est donc une fonction polynôme, donc f est définie et dérivable sur ℝ et
pour tout x∈ℝ , on a :
3 4
f ' (x)= ×2 x+ ×1−0
5 5
Donc : f ' (x)= 6 x+ 4
5 5
2ème manière :
La fonction f est le produit de deux fonctions u et v et pour tout x ∈ℝ , on pose :
{
5
{
2
u( x)=x +2 x v( x)= x −4 x+3
4 et
u ' ( x)=5 x +2 v ' (x)=2 x−4
D'autre part, on sait que : (uv)' =u ' v+uv ' . Donc, pour tout x ∈ℝ , on a :
f ' (x)=(5 x 4+2)(x 2−4 x+3)+( x 5+2 x)(2 x−4)
Ce qui donne après développement et réduction :
f ' (x)=5 x 4−16 x 3+9 x 2
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x 2+1
5°) f (x)=
x−2
La fonction f est composée de fonctions définies et dérivables sur ℝ ∖ {2 } et pour tout
x∈ℝ ∖ {2 } on pose :
{
2
u( x)=x +1
u ' (x)=2 x
et {v( x)= x−2
v ' (x)=1
2 x (x−2)−( x 2+1)×1
f ' (x)= Surtout, je ne développe pas le dénominateur !
(x−2)2
2 x (x−2)−( x 2+1)×1
f ' (x)=
(x−2)2
x 2−2 x−1
D'où : f ' (x)=
( x−2)2
4√ x 2
6°) f (x)=5 x +
3
Tout d'abord, on peut réécrire f (x) autrement pour simplifier. En effet, pour tout x⩾0 :
4
f (x)=5 x 2+ √ x
3
La fonction f est composée de fonctions définies sur [ 0 ;+∞ [ et dérivables sur
] 0 ;+∞ [ . Donc, f est définie sur [ 0 ;+∞ [ et dérivable sur ] 0 ;+∞ [ .
(Comme il y a une racine carrée isolée, f n'est pas dérivable en 0 d'après le cours) !
1
Or, on sait que pour tout x>0 : ( √ x)' =
2√ x
4 1
Donc : f ' (x)=5×2 x+ × puis on simplifie par 2 pour obtenir :
3 2√x
2
f ' (x )=10 x+
3√x
Exercice 4.
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
2 3 2 x 2+3 x+1
2
1°) f (x)=5(2 x −3) ; 2°) f (x)=(2 x −1) √ x ; 3°) f (x)= ;
x−2
3
4°) f ( x)=
x+1
x−1 ( ) ; 5°) f (x)= √ x 2−1 ; 6°) f ( x)=
√ x−1
x+2
; 7°) f (x)= x 2 sin (3 x)
{
2
u (x)=2 x −3 3
et f (x)=5 ( u( x) ) .
u ' ( x)=4 x
et on sait que (u 3)' =3×u ' ×u 3−1=3 u ' u 2 .
Donc, pour tout x∈ℝ , (le coefficient 5 extérieur reste dans le produit) :
f ' (x)=5×3×4 x×(2 x 2−3)2
D'où : f ' (x)=60 x(2 x 2−3)2
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En réduisant au même dénominateur, on obtient :
8 x 2 2 x 2−1
f ' (x)= + .
2√ x 2 √x
10 x 2−1
Ce qui donne : f ' (x )=
2√x
2 x 2+3 x+1
3°) f (x)=
x−2
La fonction f est composée de fonctions définies et dérivables sur ℝ ∖ {2 } et pour tout
x∈ℝ ∖ {2 } on pose :
{
2
u (x)=2 x +3 x+1
u ' ( x)=2 x+3
et { v( x)= x−2
v ' (x)=1
4°) f ( x)= ( )
x+1
x−1
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La fonction f est composée de fonctions définies et dérivables sur ℝ ∖ {1 } Donc, f est
définie et dérivable sur ℝ ∖ {1 } . De plus, pour tout x∈ℝ ∖ {1 } on pose :
{
2
w (x)=
x+1
x−1
avec
u (x)=2 x −3
u ' ( x)=4 x
et {v(v x)= x−1
' ( x)=1
1(x−1)−(x+1)×1 −2
w ' (x)= =
( x−1)2 ( x−1)2
3
D'autre part, on sait que : f (x)=( w ( x) ) et (w 3)' =3×w ' ×w 2 .
Donc, pour tout x∈ℝ ∖ {2 } :
2
f ' ( x)=3×
( −2
(x−1)2 )( )
×
x+1
x−1
2
{
2
u (x)= x −1
Pour tout x∈D f , on pose :
u' ( x)=2 x
La fonction x → √ u (x) est dérivable pour tout x tel que u( x)>0 et non dérivable aux
bornes pour lesquelles u( x)=0.
Par conséquent f est dérivable sur D f ' =]−∞ ;−1 [ ∪ ]1 ;+∞ [ et non dérivable en –1 ni
u' ( x)
en 1. De plus : ( √ u(x))' = . Donc, pour tout x∈]−∞ ;−1 [ ∪ ] 1 ;+∞ [ :
2 √ u( x)
2x
f ' ( x )=
√ x 2−1
A SUIVRE...
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