1

Q1) Déterminer une primitive de f (x) = .

x2 + x + 6
Déja:

Le discriminant de x 2 + x + 6 est : ∆ = 12 − 4 × 1 × 6 = −23 < 0.

D’où une réécriture de f (x) :

1
f (x) = ³ 2
1 ´ 1
x+ − +6
2 4
1
f (x) = ³
1 ´2 23
x+ +
2 4

2 ³ 2 ³ 1 ´´
D’où une primitive de f est : F (x) = p · arctan p x+
23 23 2

1
Q2) Déterminer une primitive de f (x) = .
2x 2 − 3x + 1
Déja:

Le discriminant de 2x 2 − 3x + 1 est : ∆ = 9 − 4 × 2 × 1 = 1 > 0.

..
.

3−1 1
λ1 = =
4 2
3+1
λ2 = =1
4

D’où une réécriture de f (x) :

1
f (x) = ³ ´.
1 ´³
2 x− x −1
2

Soit A, B ∈ R

1 A B
³ 1 ´³ ´=³ 1´
+³ ´
x− x −1 x− x −1
2 2
³ ´ ³ 1´
A x −1 +B x −
= 2
³ 1 ´³ ´
x− x −1
2
B
x(A + B ) − A −
= ³ 2
1 ´³ ´
x− x −1
2

Par identification, il suffit que :

A = −2
B =2
D’où une réécriture de f (x) :
 
1  −2 2 
f (x) = ´+³ ´ .
2 1
³
x− x −1
2
¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯
1
µ
¯ 1 ¯
¶ ¯ x −1 ¯
D’où une primitive de f est : −2 ln ¯x − ¯ + 2 ln |x − 1| = ln ¯ ¯ .
¯ ¯ ¯ ¯
2 2 ¯ 1¯
¯x − ¯
2

Inclure le graphe des fonctions

Q3) Déterminer une primitive de f (x) = e2x · cos 3x

Déja :

f (x) = Re e(2+3i )x .
£ ¤

En effet, e(2+3i )x = e2x cos 3x + i sin 3x , donc en prenant la partie réelle, on retrouve f (x).
£ ¤

· ¸ · ¸
1 1
Or, une primitive de x 7→ e(2+3i )x étant x 7→ · e (2+3i )x , une primitive de f (x) est donc Re · e (2+3i )x .
2 + 3i 2 + 3i

A part:

1 e2x
· e (2+3i )x =
£ ¤
(2 − 3i )(cos 3x + i sin 3x)
2 + 3i 13
e2x £ ¤
= 2 cos 3x + 2i sin 3x − 3i cos 3x + 3 sin 3x
13

e2x £ ¤
D’où en prenant la partie réelle, une primitive de f (x) est 2 cos 3x + 3 sin 3x
13

Inclure le graphe des fonctions

Exercice 2)
1)
D’après la loi des mailles :

u1 = uL + u2

Aux bornes de bobine, la tension vérifie :

 di
uL = L
dt

Aux bornes du condensateur C 1 , l’intensité vérifie :

d u1
i = −C 1
dt

Aux bornes du condensateur C 2 , l’intensité vérifie :

d u2
i = C2
dt

D’où :

d u1 d uL d u2
= +
dt dt dt
−i di2 i
=L +
C1 dt C2

i i di2
+ +L =0
C2 C1 dt
1 1 di2
· ¸
i + +L =0
C1 C2 dt

Donc :

d 2i 2
+ ·i = 0
dt LC

Exercice
..
.
..
.
n +1
Par suite d’intégration par partie : I n+2 = In .
n +2

2n − 1
I 2n = I 2n−2
2n
2n − 1 2n − 3
= I 2n−4
2n 2n − 2
2n − 1 2n − 3 2n − 5
= I 2n−6
2n 2n − 2 2n − 4
2n − 1 2n − 3 2n − 5 1
= × . . . × I0
2n 2n − 2 2n − 4 2

(2n)! π
Donc I 2n = .
22n n!2 2
De même,

2n
I 2n+1 = I 2n−1
2n + 1
2n 2n − 2
= I 2n−3
2n + 1 2n − 1
2n 2n − 2 2
= × . . . × I1
2n + 1 2n − 1 3

22n n!2
Donc I 2n+1 =
(2n + 1)!

1)

Z b
I p,0 = (t − a)p d t
a
¸b
1
·
= (t − a)p+1
p +1 a
1
= (b − a)p+1
p +1

Z b
I 0,q = (b − t )q d t
a
¸b
1
·
= − (b − t )q+1
q +1 a
1 q+1
= (b − a)
q +1

2)

Z b
I p+1,q = (t − a)p+1 · (b − t )q d t
a

 u(t ) = − 1 (b − t )q+1

u ′ (t ) = (b − t )q
(
Posons : et q +1
v(t ) = (t − a)p+1
v (t ) = (p + 1)(t − a)p
 ′

Alors u et v sont de classe C 1 sur a; b , d’où par intégrations par parties :

£ ¤

¸b
1 p +1 b
· Z
I p+1,q = − (b − t )q+1 · (t − a)p+1 + (t − a)p · (b − t )q+1 d t
q +1 a q +1 a
p +1
= I p,q+1
q +1

p +1
Donc I p+1,q = I p,q+1
q +1

p!q!
On en déduit alors : I p,q = (b − a)q+p+1
(q + p + 1)!
3) Déterminons une primitive de : f : x 7−→ earcsin x .
Z x
Considérons : F : x 7−→ earcsin t d t
0

u ′ (t ) = 1  u(t ) = t
( 
Posons : et earcsin t
v(t ) = earcsin t v ′ (t ) = p

1− t2

Alors u et v sont de classe C 1 sur -1,1 ouvert, donc par intégration par parties :

earcsin t
x
Z
¤x
F (x) = t · earcsin t 0 −
£
t·p dt
0 1− t2
earcsin t
Z x
= x · earcsin x − t·p dt
0 1− t2

p
t
 
2
w ′ (t ) = p
 w(t ) = − 1 − t

Posons : 2
1 − t et earcsin t
 z(t ) = earcsin t
  z ′ (t ) = p

1− t2
Alors w et z sont de classe C 1 sur -1,1 ouvert, donc par intégration par parties :

h p ix Z x
F (x) = x · earcsin x − − 1 − t 2 · earcsin t − earcsin t d t
0 0

p
Donc F (x) = x · earcsin x + 1 − x 2 · earcsin x −F (x)

1 ³ arcsin x ³p ´´
D’où F (x) = e 1 − x2 + x
2

1 ³ arcsin x ³p ´´
ccl : Une primitive de la fonction f : x 7−→ earcsin x est x 7−→ e 1 − x2 + x
2