RETOUR SUR LES ORAUX

Avant-Propos
Chers lecteurs,

Vous voilà en deuxième année, officiellement SPE. Les concours approchent à grands pas, et bientôt,
vous devrez affronter les oraux. Même si vous n’êtes pas encore directement concerné.e, faites un petit
effort d’imagination pour apprécier pleinement le contenu de cet ouvrage.

Ce document rassemble des exercices issus des oraux de l’École Polytechnique (X) et de l’École Normale
Supérieure (ENS). Certains exercices dits ”avec déroulement” sont accompagnés de descriptions fournies
par leurs auteurs, candidats ayant eux-mêmes vécu ces épreuves. Nous avons priorisé les corrigés des ex-
ercices de mathématiques de l’X, mais prévoyons une réédition (”V2”) qui inclura davantage de corrigés.
Vous avez actuellement entre les mains l’édition ”V1”.

L’objectif principal de cet ouvrage est de soutenir les préparationnaires passant les concours X-ENS. À
travers une simple lecture, vous pourrez vous faire une idée générale du déroulement des oraux, de leur
difficulté, du type d’épreuves proposées, et de la notation. Nous insistons cependant sur le fait que la
réussite à un oral ne dépend pas uniquement du nombre d’exercices résolus, de la difficulté des exercices
ou de l’interaction avec l’examinateur. En réalité, il s’agit d’une combinaison complexe de ces facteurs.

Nous, auteurs, avons également pris soin de classer les exercices par ordre de difficulté et d’ajouter des
commentaires pour guider les lecteurs les plus motivés. Néanmoins, rappelez-vous qu’échouer un exercice
facile ou réussir un exercice difficile ne détermine pas nécessairement l’issue de votre oral. Le jour J,
de nombreux facteurs externes jouent un rôle, et tout reste possible après l’admissibilité. Gardez donc
confiance : les cartes sont redistribuées, et rien n’est figé. Peu importe le nombre de simulations d’oraux
que vous aurez faites, rien ne remplacera l’expérience unique de votre premier vrai oral.

Les exercices et leurs corrigés sont le fruit d’un travail collaboratif d’élèves ayant souhaité partager leur
expérience. Malgré nos efforts pour vérifier et enrichir ce contenu, des erreurs peuvent subsister. Si vous
en détectez ou souhaitez proposer des méthodes alternatives ou des corrigés, nous vous invitons à nous
en faire part à l’adresse suivante : oraux2024@gmail.com.

Nous exprimons notre gratitude à toutes les personnes ayant contribué à ce projet. Bien que la majorité
des retours proviennent de Lydexiens, nous avons également bénéficié des apports de Lymediens, de
Zahraouis, ainsi que de grandes prépas françaises (LLG, Fermat, etc.).

Ce document s’inspire des éditions 2022 et 2023 réalisées par des Lydexiens admissibles à l’X, que
nous remercions pour leur travail. Nous espérons que ce guide vous sera utile et que cette tradition se
perpétuera au fil des années. En attendant, nous vous souhaitons une excellente lecture et bon courage
dans votre préparation !

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 RETOUR SUR LES ORAUX

Table des matières

1 École Normale Supérieure (ENS) 6

1.1 Maths U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Sujet 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Sujet 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5 Sujet 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.6 Sujet 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.7 Sujet 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.8 Exercices sans déroulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Maths L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Sujet 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Sujet 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 Sujet 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.6 Exercices sans déroulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Maths ULSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Sujet 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 Sujet 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.5 Sujet 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.6 Sujet 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.7 Sujet 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.8 Sujet 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.9 Sujet 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.10 Exercices sans déroulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Maths SR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1 Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2 Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.3 Sujet 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Physique U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.1 Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2 Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.3 Exercices sans déroulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6 Physique LSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1 Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2 Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.3 Sujet 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.4 Sujet 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.5 Sujet 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6.6 Sujet 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6.7 Sujet 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.8 Sujet 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.9 Sujet 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2
 RETOUR SUR LES ORAUX

2 Polytechnique (X) 37
2.1 Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.1 Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2 Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.3 Sujet 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.4 Sujet 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.5 Sujet 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.6 Sujet 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.7 Sujet 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.8 Sujet 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.9 Sujet 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.10 Sujet 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.11 Sujet 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.12 Sujet 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.13 Sujet 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.14 Sujet 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.15 Sujet 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.16 Sujet 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.17 Sujet 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1.18 Sujet 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.19 Sujet 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.20 Sujet 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.21 Sujet 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.22 Sujet 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1.23 Sujet 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.24 Sujet 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1.25 Sujet 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1.26 Sujet 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1.27 Sujet 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1.28 Exercices sans déroulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2 Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.1 Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.2 Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2.3 Sujet 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2.4 Sujet 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.5 Sujet 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2.6 Sujet 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2.7 Sujet 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.8 Sujet 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2.9 Sujet 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2.10 Sujet 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2.11 Exercices sans déroulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3 Chimie MP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.1 Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.2 Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3.3 Déroulements sans énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4 Analyse de documents scientifiques (ADS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4.1 Maths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4.2 Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5 Français . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3
 RETOUR SUR LES ORAUX

2.5.1 Témoignage 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.5.2 Témoignage 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.6 Arabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.6.1 Témoignage 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3 Corrigés 92
3.1 Maths L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.1 Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.2 Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2 Maths ULSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.1 Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.2 Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.3 Sujet 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3 Maths X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3.1 Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3.2 Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.3 Sujet 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.4 Sujet 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3.5 Sujet 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3.6 Sujet 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3.7 Sujet 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3.8 Sujet 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3.9 Sujet 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3.10 Sujet 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3.11 Sujet 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3.12 Sujet 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3.13 Sujet 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3.14 Sujet 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3.15 Sujet 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3.16 Sujet 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.3.17 Sujet 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3.18 Sujet 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3.19 Sujet 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.3.20 Exercice sans déroulement 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3.21 Exercice sans déroulement 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.3.22 Exercice sans déroulement 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4 Concernant les Écrits 131

4.1 Maths A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.1.1 Témoignage 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.1.2 Témoignage 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.1.3 Témoignage 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.1.4 Témoignage 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2 Maths B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2.1 Témoignage 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3 Physique SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.3.1 Témoignage 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.3.2 Témoignage 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3.3 Témoignage 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4 Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4
 RETOUR SUR LES ORAUX

4.4.1 Témoignage 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.5 Maths D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.5.1 Témoignage 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.5.2 Témoignage 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5
Chapitre 1

École Normale Supérieure (ENS)

Présentation
Les candidats admissibles à au moins l’une des ENS passent leurs oraux en premier (vers mi-juin avant les
oraux des autres banques d’écoles). Les candidats peuvent être hébergés sur le site de Montrouge affilié
à l’ENS Ulm, et passent leurs oraux, pour la filière MP-option physique, à Montrouge (les épreuves de
physique, TIPE Physique), l’ENS Ulm (les épreuves de Maths, TIPE Maths ou info) et l’ENS Paris-Saclay
(pour l’épreuve Maths SR). Les épreuves de langues prises en compte (selon l’ENS) se passent à l’X lors
de la 2e semaine où vous passerez les oraux de l’X si vous êtes admissibles. Ci-dessous les épreuves orales
propres à chaque ENS, leur durée et leurs coefficients :
Coefficients
Épreuve Durée
U L S R
Maths U 55-60 min 30
Maths L 45 min 6
Maths SR 45 min 12 12
Maths ULSR 45 min 15 4 8 4
Physique U 60 min 25
Physique LSR 45 min 4 6 6
TIPE 40 min 8 2 2 2
LV 50 min 3 1.5 2 2
*: U=Ulm L=Lyon S=Paris-Saclay R=Rennes

Remarques et conseils généraux

• Les épreuves d’admission ne sont pas toutes des épreuves orales, comme pour l’épreuve d’informatique
et l’écrit de français et de langue vivante, nous invitons le lecteur à se renseigner sur les sites des
ENS: https://www.ens.psl.eu/une-formation-d-exception/admission-concours/concours
-voie-cpge/concours-voie-cpge-sciences

• Les oraux sont plus prépondérants que l’écrit: L’admissibilité n’est qu’un billet d’entrée à l’oral qui est
déterminant. Soyez donc prêt!

• Les oraux sont souvent des exercices originaux qui mettent le candidat devant de nouvelles situations
pour tester son raisonnement et ses réflexes. Il n’y a rien d’inquiétant à ce propos, privilégiez l’interaction
avec le jury et suivez ses indications. Prenez l’initiative si nécessaire et évitez de dire des bêtises.

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CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

• L’épreuve de TIPE est particulière et diffère de celle du tétraconcours. En effet, une partie de la notation
est réservée au rapport que vous enverrez auparavant. Le déroulement est aussi varié, vous pouvez être
amené à présenter votre travail ou bien l’épreuve pourrait être réduite à une séance de questions réponses
avec les 2 jurys sur un point particulier de votre travail.

• Prévoyez à l’avance votre trajet et présentez vous en avance pour chaque épreuve (laissez une marge de
30 à 40 minutes en cas d’imprévu) et rendez vous la veille si possible là ou vous allez passer l’épreuve.
Si Montrouge (14e arrondissement) et l’ENS Ulm (6e arrondissement) se trouvent sur Paris, l’ENS Paris-
Saclay se trouve quant à elle plus loin, sur le plateau de Saclay. Il est donc nécessaire de prendre ses
dispositions à l’avance (titre de transport, départ en groupes etc).

• Les exercices proposés n’ont pas été ordonnés par difficulté.

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CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

1.1 Maths U
1.1.1 Sujet 1
Exercice
Soit n ∈ N∗ . On considère v = (vi )i∈Z/nZ ∈ RZ/nZ et (ti )i∈Z/nZ ∈]0, 1[Z/nZ .
(k)
On définit (v (k) )k∈N = (vi )i∈Z/nZ,k∈N ∈ (RZ/nZ )N par :

 v (0) = v
i i
(k+1) (k) (k)
 v
i = (1 − ti )v + ti v
i i+1

Montrer que
(k)
∀i ∈ J0, n − 1K : (vi )k∈N convergent vers la même limite

Déroulement - (14/20) C’était mon premier oral, donc j’étais hyper stressé. À la vue de l’exercice
qui m’était donné sur un papier, l’examinateur m’a demandé si j’avais bien compris, je lui ai alors expliqué
ce que j’avais compris, surtout sur l’indexation avec Z/nZ. Il m’a confirmé que c’était bien le cas, puis
le jury m’expliqua qu’il allait quitter la salle pendant 10 minutes, après quoi il resterait 20 minutes sans
rien dire. C’est au cours des 25 minutes restantes (l’oral dure 55 minutes) qu’il pourrait intervenir.

À son retour, j’ai exposé mes pistes : soit une récurrence, car le cas où n = 1 est évident, puis je
chercherais comment passer de n à n + 1, soit en commençant par le cas n = 2. J’ai donc essayé avec
n = 2. Le problème devenait alors équivalent au fait qu’une matrice soit diagonalisable et que 1 soit une
valeur propre, ce que j’ai pu démontrer pour n = 2. J’ai alors signalé au jury qu’on pouvait généraliser
la matrice pour tout n. Le jury m’a demandé de calculer la matrice de passage pour n = 2, ainsi que
son inverse. Ensuite, il fallait montrer le résultat pour tout n. En exprimant le polynôme caractéristique,
j’ai pu montrer que 1 ∈ Sp(A), mais je n’arrivais pas à prouver que A est diagonalisable.

J’ai tenté de trouver une relation récurrente entre les polynômes caractéristiques XAn+1 , XAn , et
XAn−1 pour profiter d’une récurrence, sans succès. Le jury m’a alors demandé si je pouvais lui donner
des pistes sur la façon de déterminer la multiplicité de 1, en m’indiquant que le temps était écoulé. Je
lui ai alors dit que je pouvais soit calculer la dérivée, soit examiner le cas n = 3 et essayer de conjecturer
une relation particulière.

1.1.2 Sujet 2
Exercice
b−x x−a
Soit une fonction f : [a, b] → R, (b ̸= a) on pose pour x ∈ [a, b] τa,b,f (x) = b−a
f (a) + b−a
f (b)
on dit que f est ε-linéaire si |f (x) − τa,b,f (x)| ≤ ε|b − a| pour tout x ∈ [a, b] .
Soit f 1-lipschitzienne sur [a, b].
Montrer qu’il existe c, d ∈ [a, b] tels que f est ε-linéaire sur [c,d] avec d − c > αε (b − a)
où αε une constante à déterminer

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CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

Déroulement - (11/20) L’examinateur me donne 10 minutes de réflexion et me laisse seul. Il me

précise que les premières 30 minutes seront réservées à ma réflexion et que je ne suis pas forcément
obligé de discuter pendant ce temps. Il me laisse donc seul dans la salle.

Je commence à assimiler l’énoncé et à le traduire graphiquement : il s’agit de contrôler l’écart entre

une corde reliant f (c) et f (d) et le graphe de f . L’énoncé se visualise bien géométriquement, surtout en
raison de la 1-Lipschitzianité de f , et encore plus si f est convexe. J’applique quelques restrictions à f
: on peut supposer que f s’annule sur [a, b] en effectuant une translation, et translater l’intervalle [a, b]
de sorte que f (0) = 0. Je remarque alors que l’énoncé sera vrai pour des points proches de ce point
d’annulation (donc proches de 0). Je fais part de mes observations à l’examinateur, qui semble intéressé
par cette piste.

Il me demande alors : ”Qu’est-ce qu’on peut supposer de plus sur la fonction f pour simplifier le
graphe ?”. Je réponds immédiatement la convexité, car je l’avais déjà remarquée, et il acquiesce. Je
continue en dessinant le cas convexe en traçant des droites parallèles intersectant la courbe de f pour
utiliser le théorème de Thalès et calculer les rapports entre différentes longueurs qui m’intéressent (pour
éviter les calculs directs). L’examinateur suit avec moi et, quand il restait presque 10 minutes, il me de-
mande en quoi le caractère 1-Lipschitzien de la fonction serait intéressant. Je réponds avec un argument
graphique et en justifiant que les valeurs de f seront proches, avec un écart majoré par celui des valeurs
initiales, et il acquiesce.

Il reste 5 minutes. Il me demande ce qui se passe si l’énoncé est faux. J’inverse alors l’inégalité pour
des suites cn et dn , et j’applique de nombreuses inégalités triangulaires avec la 1-Lipschitzianité pour
aboutir à une inégalité entre trois suites que je suppose tendre toutes vers 0. L’examinateur me dit qu’il
est possible que cela fonctionne, mais l’oral est terminé. Il prend en photo les inégalités et me dit qu’il
vérifiera à tête reposée si l’on peut conclure avec ce que j’ai fait.

Examinateur sympa, intéressé par mes idées, très attentif, et qui comprend rapidement ce que je
souhaite faire sans donner trop d’indications (sauf à la toute fin), ce qui m’a fait gagner pas mal de
temps. Globalement, j’avais des idées à exprimer et je ne suis pas resté bloqué sur l’exercice.

1.1.3 Sujet 3
Exercice
Soient P, Q ∈ R[X] et n un entier non nul. On suppose que deg(P ) = n, deg(Q) = n − 1 et Q
scindé à racines simples dans R[X].
On considère H = {z ∈ C/Im(z) > 0}.
Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :

1. P est scindé sur R, et ses racines alternent avec celles de Q.

P (z)
2. H est stable par z 7−→ Q(z)
.

Déroulement - (09/20) J’hésite au début à commencer par un des deux sens, mais finalement je dis
que je vais regarder un cas particulier (n = 2) : je suppose (1.) et je me lance dans le calcul, qui était
horrible et sur lequel je fais plein d’erreurs. J’essaie de trouver les erreurs que j’ai commises sans réussite

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CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

et l’examinateur reste silencieux.

Le temps passe sans que je puisse avancer même sur le cas particulier, je tente des analyses de
fonctions qui ne marchent pas. L’examinateur me dit finalement : ”Est-ce que vous avez un moyen
pour caractériser le signe de la partie imaginaire, qui marche bien avec des produits et des rapports?”,
j’évoque l’argument d’un complexe, il me dit ”Il vous reste 5 min, essayez d’exploiter l’argument”, j’écris
l’argument et je sépare les sommes, je fais ensuite un dessin de la situation sur le tableau, l’examinateur
m’annonce la fin de l’épreuve.

Épreuve totalement ratée, examinateur sympathique mais muet tout au long de l’épreuve, il n’intervient
que les 5 dernières minutes pour me donner l’indication.

1.1.4 Sujet 4
Exercice
Soit A1 = {A ∈ Mn (R), ∀v ∈ Rn , ∃αv ∈ R tel que (Ak v) converge vers αv e1 }
e1 est le premier vecteur de la base canonique
On pose ϕv : A1 → R
A → αv
Montrer que ϕv est continue ∀v ∈ Rn

Déroulement - (15/20) Je suis entrée dans la classe et le professeur m’a remis l’énoncé de l’exercice.
Pendant les cinq premières minutes, je ne savais pas comment commencer, alors je lui ai demandé une
indication. Il m’a répondu qu’il ne m’en donnerait aucune et que c’était à moi de résoudre l’exercice
seule. J’ai donc commencé à examiner les propriétés de l’ensemble A1 et à progresser dans l’exercice.
Vers la fin de l’oral, j’ai pu terminer l’exercice en exposant la dernière idée à l’oral.

1.1.5 Sujet 5
Exercice
On dit qu’un ensemble E ⊂ R2 est relativement dense dans R2 si:

(∃R > 0)(∀x ∈ R2 )(∃y ∈ E) ∥x − y∥ ≤ R

Soit P ∈ R [X, Y ] tel que P s’annule sur un ensemble relativement dense dans R2 . Montrer que P
est nul.

Déroulement - (10/20) J’ai exploré plusieurs pistes. Celle que j’ai retenue est la suivante: j’ai fixé
y ∈ R et considéré le polynôme Q(X) = P (X, y). Mon objectif était d’abord de montrer que Q était
constant puis nul. J’ai donc supposé que Q n’était pas constant, Q tend vers ±∞ quand x tend vers
+∞ (J’ai supposé que Q tendait vers +∞ SPDG). C’est là où je me suis bloqué...

J’ai essayé des choses mais l’examinateur ne réagissait pas. À un moment, j’ai dit qu’ajouter une

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CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

hypothèse sur P pouvait nous aider: on peut traiter le cas P lipschitzien. Il m’a demandé d’explorer cette
idée (c’est la seule chose qu’il m’a dite pendant tout l’oral sauf à la toute fin où il m’a demandé: pourquoi
est-ce que je pense que l’énoncé est vrai?). J’ai montré que Q était constante pour P lipschitzien et
c’était fini.

L’examinateur n’a presque rien dit tout au long de l’épreuve. Je n’ai eu aucune indication et aucune aide
de sa part. Je ne sais pas trop quoi en penser...

1.1.6 Sujet 6
Exercice
On considère une suite (Xn )n∈N∗ de variables aléatoires i.i.d de loi µ à support fini dans Z, et on
pose Sn = nk=1 Xk .On suppose en outre que E(Xn ) = 0.
P

exp(λk)µ(k)
1. Pour λ ∈ R, on pose ν(k) = E(exp(λX 1 ))
et on se donne une suite (Yn )n∈N∗ de variables aléatoires
Pn
i.i.d de loi ν et Tn = k=1 Yk .
Montrer que :
exp(nλ(a + ϵ))
(∀n ≥ 0)(∀ϵ > 0)(∀a ∈ R) : P(na ≤ Tn ≤ n(a + ϵ)) ≤ P(Sn ≥ na)
E(exp(λX1 ))n

2. On suppose que X1 et −X1 ont même loi et qu’il existe k > a tel que µ(k) > 0.
Montrer que :
1
lim log(P(Sn ≥ na)) = inf (−as + log[E(esX )])
n→+∞ n s≥0

Déroulement - (14/20) Épreuve assez difficile. L’interrogateur m’a bien fait comprendre qu’il
n’interviendrait pas tout au long de l’exo. Je réussis tant bien que mal, après pas mal de pistes erronées,
à tomber sur une bonne piste puis à faire la 1ère question et la moitié de la 2ème. Malheureusement, je
n’ai pas eu le temps de faire plus.

Déroulement - (19/20) L’oral de Mathématiques U était le dernier de la semaine, un vendredi soir.

En attendant mon tour, une élève de première année de LLG m’a demandé si elle pouvait assister à mon
oral. Je lui ai répondu que je n’en étais pas sûr et qu’elle devait demander l’autorisation à l’examinateur.
Celui-ci a finalement accepté. C’était la première fois que je découvrais qu’il était possible d’assister à
des oraux, ce qui donne un petit avantage en termes d’expérience.

Lorsque je suis entré dans la salle, l’examinateur, un jeune professeur d’environ 25 ans, m’a donné un
énoncé manuscrit d’une page complète. Bien que très détaillé, de nombreuses données incluses étaient
inutiles. Il m’a informé qu’il allait sortir pendant dix minutes pour me laisser le temps de m’approprier
les données. J’ai donc commencé à travailler sur la première question, en essayant de comprendre les
différentes variables. Pour mieux appréhender le problème, j’ai étudié le cas n = 1, qui m’a semblé
évident. Ensuite, j’ai décidé d’aborder la question par récurrence. Cela m’a paru être la méthode la
plus naturelle, car je n’avais pas encore complètement assimilé l’ensemble de l’énoncé. Heureusement, la
méthode a finalement abouti. Lorsque l’examinateur est revenu, il a constaté que j’avais presque terminé
ma récurrence. Cependant, il semblait surpris, car il attendait une autre méthode. J’ai pris le temps

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CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

de lui expliquer ma démarche. Une fois ma récurrence terminée, il m’a demandé de justifier certains
passages qu’il trouvait peu clairs. Après mes explications, il a validé mon raisonnement et, à ma grande
surprise, il a déclaré qu’il n’avait jamais envisagé de résoudre la question de cette manière. Il a même
pris une photo du tableau pour garder une trace de ma méthode. Ce moment m’a donné un énorme
boost de confiance, ce qui m’a certainement aidé pour la suite.

Pour la deuxième question, j’ai réfléchi un moment, essayant d’utiliser les résultats de la première
question, mais sans succès, notamment parce que je ne savais pas si la suite convergeait. J’ai donc
décidé de commencer par démontrer la convergence. J’ai utilisé le lemme de Fekete pour montrer
que la suite convergeait bien, ce qui a beaucoup plu à l’examinateur. Ensuite, j’ai montré que la limite
était inférieure au minimum de la fonction. Pour démontrer l’autre sens, j’ai expliqué qu’il fallait absol-
ument s’appuyer sur la première question. J’ai ajouté une remarque qui a également été bien reçue : Tnn
s’approche de l’espérance de Y . J’ai proposé de raisonner par disjonction de cas, selon que a = E(Y )
ou non. J’ai avancé l’idée que la valeur de l’infini varierait entre une valeur finie et moins l’infini, et que
ce changement se produirait probablement lorsque a = E(Y ).

C’est sur cette réflexion que l’oral s’est terminé. Après la fin de l’oral, je me baladais à côté de
l’ENS. Comme c’était le dernier oral, j’ai croisé l’examinateur dehors en train de discuter avec un autre
examinateur. Je n’ai entendu qu’une phrase : ”Je ne sais pas pourquoi ils n’ont pas trouvé l’expression
explicite de la loi...”.

1.1.7 Sujet 7
Exercice
1. Déterminer les valeurs d’adhérence de (cos(n))n∈N .

2. Même question pour (cos(n)n )n∈N .

Déroulement - (08/20) L’exercice portait sur deux questions de topologie, demandant de trouver
l’ensemble des valeurs d’adhérence des deux suites suivantes : (cos(n))n∈N et (cos(n)n )n∈N . La première
question était un classique, dont la réponse est l’intervalle [−1, 1]. J’ai pu la résoudre en 5 minutes,
alors que le professeur était déjà sorti et m’avait laissé le temps pour réfléchir à la deuxième suite.

Mon intuition m’a suggéré que l’ensemble des valeurs d’adhérence serait simplement la paire {0, 1}.
J’ai donc essayé de démontrer que ce sont effectivement des valeurs d’adhérence, et les seules. Pour
montrer que 0 est une valeur d’adhérence, c’était assez facile: il suffit de prendre une sous-suite de
(cos(n))n tendant vers 0, sa puissance tendrait aussi vers 0, et c’est terminé. PourPmontrer que 1 est
n−1
aussi valeur d’adhérence, j’ai tenté d’utiliser l’expression 1 − cos(x)n = (1 − cos(x)) k=0 cos(x)k , mais
cela n’a rien donné. Finalement, le professeur m’a expliqué que l’exercice était vraiment difficile, et que
la réponse correcte était l’intervalle [−1, 1] entier. Je suis sorti un peu déçu de l’épreuve.

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CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

1.1.8 Exercices sans déroulements

Exercice 1
Soit E un C-ev de dimension finie et C un convexe ouvert, ne contenant pas 0, montrer qu’il existe
une droite vectorielle n’interceptant pas C.

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1.2 Maths L
1.2.1 Sujet 1
Exercice
Déterminer un équivalent de (xn )n≥0 définie par :

x0 = 1
ˆ +∞
xn+1 = xn + exp(−x2 )dx
xn

Déroulement - (13/20) Au début, l’examinateur m’a donné 15 min de réflexion. Après, il m’a
demandé d’exposer ce que j’ai fait. Il était très sympa et on a eu une très belle discussion sur l’exo.

Déroulement - (11/20) Jury silencieux, j’ai rapidement montré que (xn ) tend vers +∞ en utilisant
2
la croissance de (xn ), après j’ai fait une intégration par parties 1 × e−t mais´ ça ne donne rien, je l’ai
2 2 ∞ 2
refait mais avec 2t1 × 2te−t , je me retrouve avec xn+1 − xn = 2x1n e−xn − xn 2t12 e−t dt, on montre
2
finalement que : xn+1 − xn ∼ 2x1n e−xn , après 5min de silence, le jury m’a dit de voir cette équivalence
comme une equa diff et de s’inspirer de cette equa diff pour trouver la réponse, j’ai pas bien saisi son
2
indication, mais j’ai fait xn → f ,et xn+1 − xn → f ′ , je me trouve avec f ′ = 2f1 e−f , ce qui donne
2 2 2 2
(f 2 )′ = e−f ,donc (e−f )′ = −1, d’où j’ai eu l’idée de montrer que e−xn+1 − e−xn ∼ −1 et de conclure
avec Césaro, mais le temps s’est écoulé, je m’attendais à avoir plus, mais le jury m’a donné 11 !

1.2.2 Sujet 2
Exercice
Soient A, B ∈ Sn++ (R); n ≥ 1

1. Montrer que tr(In + A−1 B) ≥ log( det(B)

det(A)
)

2. Soit (U1 , . . . , Um ) ∈ (Rp )m

on pose
m
X
Am = Uk UkT et Bm = λIp + Am ; λ > 0
k=1

Montrer que Bm ∈ Sp++ (R)

3. Montrer que
n p
X
−1
X λi
Um Bm Um ≤ ln(1 + ) où Sp(Am ) = {λ1 , . . . , λp })
m=1 i=1
λ

Déroulement - (13/20) J’ai fait la 1re question grâce à une indication du jury. La deuxième question
est évidente, pour la dernière question j’ai proposé une piste que le jury n’a pas approuvée à cause d’une

14
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

mauvaise compréhension de la question donc je ne suis pas sûr de l’énoncé de la 3ème question.

1.2.3 Sujet 3
Exercice
Soient a > 0, (x1 , ..., xn ) ∈ (R+ )n
Déterminer ( n )
X xi Xn
inf a
| (y1 , ..., yn ) ∈ (R∗+ )n , yi ≤ 1
y
i=1 i i=1

Déroulement - (09/20) La piste des extrema sous Pcontrainte est assez intuitive. Lorsque les xi sont
non nuls, je l’ai appliquée directement pour le cas ni=1 yi = 1. J’ai ensuite montré que c’était bien
un minimum en montrant que f n’est pas majorée sur l’ensemble associé à la contrainte, il m’a regardé
bizarrement, je pense qu’il ne s’attendait pas à ce que je le montre. Après ça j’ai dit une bêtise, j’ai
voulu appliquer le théorème des extrema liés sur g −1 ([0, 1]), il m’a demandé si je me souvenais de la
démonstration dudit théorème pour me montrer que ce que j’avais fait était faux, j’ai dit oui, puis je me
suis souvenu que la contrainte était forcément de la forme g −1 ({0}). J’ai donc montré que le minimum
sur g −1 ({0}) était en fait la borne inférieure demandée.

Pour le cas où on a des xi nuls, j’ai proposé une méthode (parce qu’il ne restait pas beaucoup de
temps), il m’a fixé sans répondre, j’ai donc commencé la rédaction sur le tableau et avant de finir, il m’a
dit que les 40 minutes s’étaient écoulées et m’a dit que ma méthode marchait.

1.2.4 Sujet 4
Exercice
Résoudre dans N3 l’équation:
2a + 3b = 5c

Déroulement - (11/20) Au début, j’ai donné une mauvaise impression au jury en lui serrant la main
devant la porte, et cela se voyait clairement sur son visage. Concernant l’exercice proposé, il n’était pas
intéressant du tout. L’astuce consistait à raisonner en utilisant des modulos avec certains nombres, mais
le choix de ces nombres restait purement intuitif pour arriver à la solution. Il n’y avait pas vraiment de
raisonnement structuré pour y parvenir.

Le jury était calme et silencieux, Dans les dernières minutes il m’a proposé de raisonner modulo 27,
je me suis dit WTF?! Jusqu’à présent, je ne sais pas si c’était une indication ou un piège.

15
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

Énoncé alternatif
On cherche les triplets (a, b, c) ∈ N3 vérifiant :

2a + 3b = 5c

1. Traiter le cas a = b = c

2. Traiter le cas b impair

Déroulement - (13/20) Le jury était sympa, la question 1 consiste juste à utiliser le binôme de
Newton sur 5c , pour l’autre question, il fallait utiliser la congruence sur les deux membres de l’équation
modulo 3,4,5 et peut-être 7 aussi, en utilisant le théorème de Fermat.

1.2.5 Sujet 5
Exercice
Soit E un ensemble fini non vide.
On note E 3∗ = {(a, b, c)/a, b, c ∈ E et a ̸= b ̸= c}
si σ ∈ S3 , alors σ(x1 , x2 , x3 ) = (xσ(1) , xσ(2) , xσ(3) )
On considère S ⊂ E 3∗ tel que:

1. (∀σ ∈ S3 ) : si ϵ(σ) = −1 alors σ(S) = E 3∗ − S

2. (∀(a, b, c, d) ∈ E 4 ) : si (a, b, c) ∈ S et (a, b, d) ∈ S alors (a, c, d) ∈ S et (b, c, d) ∈ S

Montrer que ∃g : E → R tel que si g(a) < g(b) < g(c) alors (a, b, c) ∈ S

Déroulement - (11/20) Pire oral que j’ai passé (tous concours confondus). Énoncé long et dur à
assimiler et examinateur impassible et nonchalant. J’ai passé tout l’oral à gribouiller au tableau, en vain
et bien que j’aie clairement dit à l’examinateur que je n’avais pas de piste pour essayer d’en extraire un
quelconque indice, ce dernier s’en est juste fichu. Finalement, j’ai trouvé des trucs sans intérêt et suis
resté loin du résultat.

16
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

1.2.6 Exercices sans déroulements

Exercice 1
Soit (an ) une suite de réels, (an ) ∈ R∗+ N , et (bn ) une famille sommable.
+∞
X
on pose Rα = {(un ) ∈ [0, 1]N tel que un an ≤ α}
n=0

+∞
X
Maximiser un bn pour (un ) ∈ Rα (Construire (un ))
n=0

Exercice 2
f : R+ → R uniformément continue, dont une primitive est bornée. Et :
ˆ
2 x
∀x > 0, |f (x)| ⩽ 2 (x − y) |f (y)| dy.
x 0
Montrer que lim f (x) = 0
x→+∞
indic. Montrer que f est bornée (sans utiliser l’inégalité donnée)

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CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

1.3 Maths ULSR

1.3.1 Sujet 1
Exercice
1. Montrer que ∀(a1 , . . . , an ) ∈ R+n
v
u n Pn
uY ai
n
t ai ≤ i=1
i=1
n

P
2. Supposons que ( an ) une série convergente, montrer que

∞ n
! n1 ∞
X Y X
ak ≤e an
n=1 k=1 n=1

Déroulement - (12/20) Jury sympa et jeune. Pour la première question, je l’ai déjà fait beaucoup
de fois avec plusieurs méthodes, mais j’ai oublié la plus rapide d’entre elles (passer avec jensen en
utilisant la convexité de − ln), donc je l’ai faite en utilisant le théorème des extremums liés, en prenant
l’ensemble X = {a1 ≥ 0, . . . , an ≥ 0 | a1 +...+a n
= 1}, et en étudiant la fonction à plusieurs variables:
√ n
f (a1 , · · · , an ) = a1 · · · an (bon c’est un exo classique de calcul diff).
n

Passant à la deuxième question, j’ai perdu beaucoup de temps pour montrer la convergence de la
série de droite en utilisant la première inégalité bêtement. Il m’a dit d’essayer d’affiner l’inégalité et
d’introduire plusieurs facteurs, donc j’ai introduit (b1 , · · · , bn ) et appliqué la première inégalité sur les
ak bk , donc j’ai trouvé:
n
! n1 Pn
k=1 ak bk
Y
ak ≤ Qn 1
k=1 n ( k=1 bk ) n
Il me reste donc de trouver des bk convenables, j’ai testé bk = 1/k mais ça n’a abouti à rien, puis j’ai
1
bk = k, il m’a montré du” visage que c’était le bon choix, donc je me trouve avec: ( nk=1 ak ) n ≤
Q
essayé
Pn
k=1 kak
1 , après ça le temps s’est écoulé.
n(n!) n

Déroulement (Question 2 seulement) - (12/20) Premier oral que je passe. Première question
préliminaire: inégalité AM-GM, je réponds oralement en citant la concavité du log et l’inégalité de
Jensen. Deuxième question, je reconnais l’inégalité de Carleman posée au concours Centrale Na-
tional [CCS cycle normal], mais que je n’avais pas traité. Je comprends rapidement que je suis en
désavantage face aux français, qui l’ont déjà montrée de façon progressive durant le concours, ce qui me
stresse un peu.

J’explique que l’on cherche à appliquer la première question à une suite qui nous permettra d’avoir
le résultat, le jury apprécie pour l’instant. Je bloque un peu et décide finalement de travailler par
équivalence sur le résultat à montrer. Après un peu de réflexion, je pense à développer e en série entière
et faire le produit de Cauchy. Je signale que considérer directement la suite n’aboutit pas au résultat,
et je bloque encore.

18
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

L’indication m’est proposée, et je la saisis bien. Je trouve la formule de récurrence pour la suite de
correction à trouver, il m’est donc demandé de la déterminer. Je n’aboutis pas, mais, pour conclure,
l’examinateur demande la piste à suivre (oral de 45 min assez court). En pensant avoir mal passé, je
suis réconforté en sachant qu’un autre n’a pas plus avancé que moi, mais c’était sans compter sur les
autres candidats qui passaient en même temps.

1.3.2 Sujet 2
Exercice
On se donne (E, N ) un E.V.N de dimension quelconque. Soient K ⊂ E compact, convexe, et non
vide et (fi )i∈N une suite d’applications affines de K dans K telles que ∀(i, j) ∈ N2 fi fj = fj fi .
Montrer que les fi admettent un point fixe commun.

Déroulement - (14/20) L’examinateur me donne la question, et après quelques instants de réflexion,

j’ai essayé d’utiliser les conditions de commutativité et d’affinité des fonctions fi (J’ai commis une erreur
par rapport à la définition d’une fonction affine que l’examinateur a corrigée). L’examinateur me dit de
ne pas me lancer dans cette piste et de considérer directement le cas n = 1.

L’idée la plus naturelle était pour moi de considérer la suite : x0 ∈ K et xp+1 = f1 (xp ), cette
suite admet une valeur d’adhérence, mais c’était insuffisant. J’ai alors dit qu’il fallait utiliser la con-
dition de la convexité, et l’examinateur m’a demandé d’utiliser la suite que j’avais définie. Pour avoir
une intuition sur la suite que je devais définir, j’ai traité le cas d’une rotation (qui est affine), et j’ai
p
pensé directement à la notion de barycentre puis j’ai posé yp = p1 xk . L’examinateur confirme cette
P
1
idée, et en poursuivant on trouve que cette suite admet une valeur d’adhérence qui est un point fixe de f1 .

Je suis ensuite passé au cas de n fonctions par récurrence, en posant Fi l’ensemble des points fixes
de fi , qui s’avère être un compact convexe. Et pour finir, j’ai pensé au fait que l’intersection d’une suite
décroissante de compacts non vides est non vide, chose que l’examinateur m’a demandé de démontrer
oralement quelques secondes avant la fin de l’oral.

1.3.3 Sujet 3
Exercice
 
1 a
Soit A =  ; a ∈ R.
a 1
1. Trouver une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour que A ∈ S2+ (R), c’est-à-dire que A
soit une matrice symétrique positive.
2. Soient a, b, c ∈] − 1, 1[ tels que a2 + b2 + c2 ≤ 2abc + 1. Montrer que :

∀n ≥ 0, a2n + b2n + c2n ≤ 2(abc)n + 1.

19
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

Déroulement - (12/20) Question 1) Facile, mais l’examinateur m’a posé de nombreuses questions
sur la positivité d’une matrice symétrique, probablement pour tester ma connaissance du cours. La
condition était : |a| ≤ 1.

Question 2) J’ai perdu du temps à travailler sur trois matrices 2 × 2. L’examinateur, bien que silen-
cieux, était très attentif. J’ai effacé ces trois matrices sans son approbation, ce qui l’a agacé, car il n’avait
pas eu le temps de noter mes idées (règle à retenir : ne jamais effacer avant l’accord de l’examinateur).

Environ trois minutes sont passées sans rien dire. Je lui propose alors de considérer une seule matrice
symétrique 3 × 3, inspirée de la question précédente, et de trouver une condition nécessaire et suffisante
(CNS) pour sa positivité, ce qu’il approuve. J’exprime la condition de positivité de la matrice et j’essaie
de montrer que, compte tenu de l’inégalité donnée, notre expression est positive. Déjà, la condition
implique que son déterminant est positif. J’essaie de réécrire cette expression comme une somme de
carrés, mais cela ne fonctionne pas bien. L’examinateur me fait remarquer qu’il faut procéder ainsi, mais
je n’arrive pas à repérer l’erreur. Finalement, il m’assure que mes calculs sont corrects, mais le temps
s’écoule, et j’ai perdu beaucoup de temps dans ces calculs.

Ensuite, je propose de considérer la même matrice, mais avec des éléments an , en lui suggérant qu’il
faudrait trouver un lien, et que potentiellement An est semblable à An ( mais ils ne sont pas égaux). Il
me demande de revenir sur l’expression X T AX. Je ne vois pas comment démontrer que c’est positif. Il
me demande de l’écrire comme une somme de carrés (ce qui est littéralement ce que j’avais écrit devant
lui). Il me pose une dernière question : le lien entre An et A1 . Je lui réponds qu’en diagonalisant A1 , on
montre que ses valeurs propres sont positives, et qu’en tentant de calculer le polynôme caractéristique
de An , on obtiendrait des valeurs propres exprimées de manière polynomiale en fonction de celles de A1 ,
donc positives. Il est d’accord. Il reste trois minutes, et il me pose une dernière question : que peut-on
dire dans le cas d’une inégalité stricte ? Je réponds que la matrice devient définie positive.

L’oral est terminé. Ressenti : exo qui me paraı̂t accessible mais astucieux en même temps, l’examinateur
est très sérieux et attentif , globalement un peu déçu de mon oral.

1.3.4 Sujet 4
Exercice
Soient 0 < λ0 < λ1 < · · · < λn et f ∈ C 0 ([0, 1])

ˆ 1 n
X
!
Déterminer : inf (f (t) − ai tλi )2 dt
a0 ,...,an ∈R 0 i=0

Déroulement - (15/20) L’examinateur était sympa, je me suis dirigé sur le théorème de projection
puis j’ai trouvé qu’il y avait trop de calculs, et il m’a demandé de l’écrire en fonction d’un déterminant.
Après, tout s’est bien passé.

20
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

1.3.5 Sujet 5
Exercice
Soit F : R2 → R continue tel que ∀x ∈ R F (x, .) est décroissante.
Soient u et v deux fonctions de R+ × R vers R.
u et v sont de classe C 2 sur R∗+ × R et 1-périodiques par rapport à la deuxième variable.
On suppose que :
∂u ∂u ∂ 2 u ∂v ∂v ∂ 2 v
+ F( , 2 ) ≤ 0 ≤ + F( , 2 )
∂t ∂x ∂ x ∂t ∂x ∂ x
où t est la 1ère variable et x la 2ème variable
Montrer que :
sup (u − v) = sup(u(0, .) − v(0, .))
R+ ×R [0,1]

Déroulement - (13/20) Un exercice qui contient beaucoup de données, j’ai pu le terminer grâce à
l’aide de l’examinateur.

1.3.6 Sujet 6
Exercice
Soit n ∈ N∗
n−1
X 2k 2 iπ
Calculer Gn = exp( )
k=0
n

Déroulement - (13/20) Après avoir cherché quelques minutes, l’examinateur m’a demandé de con-
sidérer la matrice S = (z sr )0≤s,r≤n−1 où z = exp( 2iπ n
), j’ai dit qu’il suffisait de calculer la trace de
cette matrice (égale à Gn ) donc possiblement d’étudier les valeurs propres de S. Il m’a donc proposé
de calculer le déterminant de S 2 puis celui de S qu’on obtient tout d’abord au signe près. On cherche
ensuite le signe du déterminant de S à l’aide de la formule du déterminant de Vandermonde. Je
me suis arrêté là (j’ai passé trop de temps dans les calculs), il m’a dit qu’après ça, avec les propriétés
d’invariance sur S, on pouvait trouver les valeurs propres et donc la trace.

L’examinateur était agréable, souriant et interagissait quand il le fallait. J’aurais dû passer moins de
temps sur les calculs.

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CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

1.3.7 Sujet 7
Exercice
La différence symétrique de deux ensembles A et B est notée A∆B et est définie par :

A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Soit E = {1, 2, . . . , n} et b ∈ [0, 1].

Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans P(E), indépendantes et suivant la même loi,
telles que (∀i ∈ E) ; P(i ∈ X) = b et (i ∈ X)i∈E sont indépendants.

1. Calculer E(|X∆Y |)
On pose: Dn =max{m ∈ N, ∃A1 , ..., Am ∈ P(E), |Ai ∆Aj | ≥ n3 }
√
2. Montrer qu’il existe C > 0 ; Dn ≥ C n
Indication: Considérer une suite de v.a idd (Xi )i∈{1,...,m} et utiliser 1) en exploitant l’inégalité
de Bienaymé-Tchebychev

Déroulement - (11/20) La salle était située tout en bas du bâtiment, et c’était mon dernier oral de
la journée. Une fois entré, le jury m’a dicté un exercice qui m’a réellement déstabilisé. Il m’a fallu 12
minutes pour le comprendre et en absorber les notations. Le jury, toujours silencieux, semblait concentré
sur son ordinateur.

J’ai finalement exprimé le cardinal de la différence symétrique à l’aide des indicatrices (les éléments de
X plus ceux de Y moins ceux de l’intersection) et, en utilisant l’indépendance, j’ai calculé l’espérance de-
mandée. La deuxième question était encore plus complexe. Dans un premier temps, j’ai cru qu’il s’agissait
d’un autre exercice. Après quelques minutes de réflexion, j’ai essayé de raisonner par récurrence. C’est
alors que le jury est intervenu pour la première fois, me précisant que c’était toujours le même exercice.
Il m’a alors dit: ”Tu peux considérer une suite de v.a idd (Xi )i∈{1,...,m} et sans en justifier l’existence”.
Après quelques minutes de réflexion, il m’a demandé comment on fait des minorations en probabilité, je
lui ai répondu: par l’inégalité de Markov avant de rectifier par inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Ensuite il m’a demandé de déterminer la loi de probabilité de |Xi ∆Xj |. J’ai écrit que c’est la somme
des indicatrices de k ∈ Xi ∆Xj avec k allant de 1 jusqu’à n. Ensuite j’ai montré que ces indicatrices
suivent une loi de Bernoulli de paramètre, puis avec l’indépendance la somme suit une loi binomiale.
Après la détermination de la loi l’oral s’est terminé.

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1.3.8 Sujet 8
Exercice
Soit I un intervalle qui contient 0.
Soit f une fonction de classe C 1 de I vers R telle que : |f ′ (x)| ≤ C|f (x)| + A.

1. Montrer que : |f (x)| ≤ |f (0)|exp(C|x|) + CA (exp(C|x|) − 1)

On admet que ce résultat reste vrai si f à valeur dans Rn si on remplace la valeur absolue par
la norme.
Soient M une fonction continue de R vers Mn (R), k une fonction de R vers Rn et (fn )n∈N∗ une
suite de fonctions de R vers Rn définie de la manière suivante :

f0 = X0 ∈ Mn,1 (R)





′
fn+1 = M fn+1 + < fn |fn > k



fn+1 (0) = X0


2. Montrer que fn converge uniformément sur un voisinage de 0 vers une solution de problème de
Cauchy suivant : 
y ′ = M y+ < y|y > k


y(0) = X0


Remarque : le jury n’a pas précisé de quel produit scalaire il s’agissait.

Déroulement - (15/20) Épreuve cv en général, même avec un examinateur qui n’était pas partic-
ulièrement sympa. J’ai réussi à faire la 1 ère question ce qui l’a incité à me donner la suite, mais avec
une erreur que j’ai tantôt remarquée (probablement me faisant gagner des points de plus). Par contre,
je n’ai même pas eu le temps de bien lire la 2 ème question avant que l’oral ne se termine.

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1.3.9 Sujet 9
Exercice
s
n
|a2i,j |
P
On considère dans Mn (C) la norme: ||A|| =
i,j=1
On notera σA = Sp(A)

1. Soient A,B ∈ Sn (R), Montrer que :

inf (||AG − GB||) = min(|σA − σB |)

||G||=1

2. Soient A,B ∈ Mn (C), Montrer que :

inf (||AG − GB||) ≤ min(|σA − σB |)

||G||=1

Déroulement - (14/20) L’examinateur était assez sympathique, pour la première question, il fallait
traiter le cas particulier des fonctions diagonalisables (qui est assez simple) puis ensuite généraliser par
le théorème spectral. J’ai mis pas mal de temps pour traiter les calculs de la généralisation qui avaient
des expressions assez longues. Arrivé à la deuxième question, il ne restait pas beaucoup de temps.
L’examinateur me dit : ”Vu qu’il ne reste pas beaucoup de temps, je vous indique que cette question se
traite avec une méthode complètement différente de la première.” (Quelle indication xD). Bon, j’ai posé
quelques idées. À la fin, il me demande si j’ai une idée pour parvenir au résultat. Je propose la piste
qui me semble plausible, et l’oral se termine. L’oral n’était pas si mal, surtout quand l’examinateur vous
assiste lorsque vous bloquez.

Remarque : Attention à votre téléphone ! J’avais un problème qui m’empêchait d’éteindre mon téléphone
ou de le mettre en mode avion, et un ami (que je salue au passage) m’a appelé 3 fois ! Dont deux
avant que l’oral ne finisse et la troisième quand je rangeais mes affaires. Au final, c’était quand même
ma faute et j’ai eu beaucoup de chance qu’il n’y ait pas prêté attention.

1.3.10 Exercices sans déroulements

Exercice 1
Soit
f (x, y) = a0 xm + a1 xm−1 y + · · · + am y m , ai ∈ R
∂ n+p f
tq P (X) = f (X, 1) n’admet que des racines réelles. Montrer que (X, 1) n’admet que
(∂x)n (∂y)p
des racines réelles.

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1.4 Maths SR
1.4.1 Sujet 1
Exercice
Soit a ∈ R∗

1−cos(at)
1. Trouver les valeurs de β pour lesquelles t → tβ+1
est intégrable sur ]0, +∞[

1
´ +∞ 1−cos(at)
2. Montrer que ∃cβ > 0 tel que aβ 0 tβ+1
dt = cβ
´ +∞ 1−E(cos(Y t))
3. Soit Y une V.A.R.D. Montrer que : E(|Y |β ) = 0 tβ+1
dt

Déroulement - (14/20) C’est un exercice assez classique, notamment pour la première question, qui
repose sur des techniques et astuces que l’on rencontre souvent. Elle ne présente donc pas de difficulté
majeure.

Pour la deuxième question, c’est là que j’ai probablement perdu le plus de points. J’avais initiale-
ment proposé de définir la fonction en a, de montrer qu’elle est dérivable, puis que sa dérivée est nulle.
Cependant, cette méthode s’est révélée inutilement complexe. En réalité, il suffisait simplement de faire
un changement de variable pour obtenir directement le résultat recherché.

Quant à la troisième question, elle était posée aux Mines Maths 1 de notre session. J’ai pu la résoudre
rapidement, mais il faut veiller à être rigoureux dans chaque étape, notamment pour justifier l’interversion
entre la somme et l’intégrale.

1.4.2 Sujet 2
Exercice
On note : S = Mn (R) \ GLn (R) et on définit sur Mn (R) le produit scalaire ⟨A, B⟩ = Tr(AT B), on
note ∥ · ∥ la norme associée, et finalement d(A, P) désigne inf M ∈P ∥A − M ∥ où P ⊂ Mn (R).

1. Montrer que GLn (R) est ouvert.

2. Pour A ∈ Mn (R), déterminer d(A, GLn (R))

3. Pour A ∈ Mn (R), montrer qu’il existe M0 ∈ S tel que d(A, S) = ∥A − M0 ∥

4. Énoncer le théorème des extremums liés puis déterminer CNS sur M0 pour qu’il existe λ ∈ R
tel que : A − M0 = λCom(M0 )

5. GLn (R) est-il connexe par arcs? de même pour GLn (C).

25
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Déroulement - (18/20) L’oral était assez simple sans difficulté particulière, il suffit juste de bien
maı̂triser le cours, surtout celui de la topologie et la dernière partie du cours de calcul différentiel. Le
seul problème que j’ai rencontré, c’était le lieu du passage, c’était vraiment très loin et c’est difficile pour
quelqu’un qui vient d’arriver à Paris, ne connaissant pas encore les moyens de transport.

Déroulement (Question 1 à 3) - (10/20) Première question : presque du cours et très sim-

ple à traiter. Pareil, les questions qui suivent ne posent normalement pas beaucoup de problèmes.
L’examinateur intervenait de temps en temps pour des clarifications et/ou exiger un peu plus de rigueur.
J’ai terminé l’oral à temps, mais j’ai aussi pris du retard sur des passages qui devraient être naturels.
Bref, pas si mal comme oral.

1.4.3 Sujet 3
Exercice
´ +∞
Soit Fα,β (x) = 0
tα (1 + t)β e−tx dt une fonction définie sur ]0, +∞[, avec (α, β) ∈ C2 .

1. Pour quelles valeurs de (α, β), les intégrales sont-elles absolument convergente?

2. Étudier la régularité de F .
´x ´x 2
3. Écrire g(x) = dt
0 ln(t)
et f (x) = 1
e−t dt en fonction de Fα,β en précisant α et β.

Déroulement - (13/20) Exo d’application des intégrales à paramètres. Pas de difficultés particulières.
Examinateur bienveillant mais note surprenante! Au final, comme quoi finir n’est pas équivalent à avoir
une méga note.

26
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1.5 Physique U
1.5.1 Sujet 1
Exercice
⃗ externe. On remarque
On met une goutte d’eau dans une région où règne un champ électrique E
l’apparition d’un moment dipolaire, dont la norme est une fonction décroissante en T . Expliquez!

Déroulement - (17,5/20) Au début, j’ai essayé d’expliquer la raison derrière l’apparition du moment
dipolaire, et j’ai mentionné que, même si l’eau est neutre, il y a l’autoprotolyse de l’eau, ce qui entraı̂ne
la présence de H3 O+ et HO− . Comme on applique un champ externe, les cations sont attirés d’un côté
et les anions de l’autre, ce qui explique la création du moment dipolaire. Le jury m’a dit qu’il s’agissait
en effet d’une raison valable, mais m’a demandé si je connaissais d’autres caractéristiques de la molécule
d’eau. C’est alors que j’ai répondu qu’elle est polaire, et qu’en appliquant un champ externe, le moment
des molécules aura tendance à s’aligner avec le champ, créant un moment global non nul.

Le jury m’a alors demandé quel phénomène je devais étudier (les ions ou les molécules polaires).
J’ai répondu que, vu le faible nombre d’ions, l’origine principale est le caractère polaire de la molécule.
Ensuite, j’ai défini dP (θ) comme la probabilité que ⟨⃗p∥⃗,pe⃗∥z ⟩ = cos(θ), où p⃗ est le moment dipolaire d’une
molécule d’eau et e⃗z la direction du champ externe (sans perte de généralité). J’ai fait l’hypothèse que
cette probabilité suit la loi de Boltzmann (la seule façon d’introduire la température). J’ai ensuite
calculé l’espérance de cette probabilité, en précisant que, par symétrie, l’intégrale selon ey et ex était
nulle. Cependant, je me suis retrouvé à devoir calculer
ˆ
exp(β cos(θ)) dθ,

ce qui est assez difficile. Le jury m’a alors suggéré d’utiliser une autre probabilité, dP étant la probabilité
que ⟨⃗p∥⃗,pe⃗∥z ⟩ = α, avec α dans l’intervalle [−1, 1], ce qui m’a permis de calculer facilement l’espérance ainsi
que la constante de normalisation. J’ai ainsi obtenu l’expression du moment général, qui n’apparaissait
pas comme une fonction explicite de T . Le jury m’a demandé de justifier cet énoncé.

J’ai remarqué que j’avais un sinh(y), avec y dépendant de θ, T , du moment d’une molécule et de
N , le nombre de molécules dans la goutte d’eau. J’ai alors essayé d’évaluer y en ordre de grandeur, avec
E = U/L, U = 1 V, L = 10 cm, T = 20 ◦ C, N calculé à partir de la masse volumique de l’eau et du
nombre d’Avogadro, et le moment de la molécule d’après le schéma de Lewis de l’eau. J’ai trouvé que
y ≪ 1, ce qui permettait de faire un développement limité, pour obtenir finalement que le moment total
est proportionnel à T12 .

1.5.2 Sujet 2
Exercice
Soit une lentille convergente, on place un laser cylindrique à l’axe optique de cette dernière. Quelle
est la force exercée par le laser sur la lentille ?

Déroulement - (13/20) Dès le début, j’ai proposé 2 pistes à l’examinateur: une reposant sur un
aspect énergétique, en essayant d’exploiter le vecteur de Poynting, et une autre s’inspirant du cours

27
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

de la théorie cinétique des gaz, pour étudier la qté de mvt des photons avant et après choc, pour ensuite
conclure grâce à la 2nde loi de Newton. L’examinateur m’a répondu immédiatement en disant qu’il
aimait bien la 2 ème piste, que j’ai abordé tout au long de l’oral. Au final, j’étais à deux doigts d’écrire
l’expression finale avant que l’oral ne se termine ( 45 min ça passe trop vite mdr ). Plus tard, j’ai appris
que cet exercice est relativement classique, ce qui explique pourquoi, bien que j’aie eu l’impression d’avoir
très bien réussi, j’étais quand même déçu par la note.

1.5.3 Exercices sans déroulements

Exercice 1
La vitesse du son est c0 = 340m/s.
Expliquez!

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1.6 Physique LSR

1.6.1 Sujet 1
Exercice
1. Vous connaissez la règle des 4P ?

2. Justifiez la qualitativement et puis par calcul?

Déroulement - (16/20) Voilà un oral qui prouve qu’on peut avoir une bonne note sans résoudre
l’exercice. Déjà, je ne connaissais pas la règle des 4P , je connaissais seulement celle des 4f , que j’ai
expliquée au jury. Il m’a alors dit qu’avec les deux emplacements que nous procure la règle des 4f , il
fallait placer la face la plus plate vers l’objet le plus proche, et qu’il fallait le justifier.

Pour la partie qualitative, il m’a posé des questions de cours : stigmatisme, aplanétisme approché
ou rigoureux, condition de Gauss... J’ai bien répondu à toutes les questions, puis il m’a dit de passer
la partie qualitative que je n’ai pas su faire. Ensuite, j’ai modélisé le problème en expliquant qu’il est
plus simple de vérifier le stigmatisme en prenant un point sur l’axe optique, et j’ai annoncé qu’on allait
utiliser les lois de Snell-Descartes sur les deux faces, avec l’idée que plus le rayon de courbure est
grand, meilleur est le stigmatisme. C’est alors que le jury a déclaré que je devais démontrer la relation
entre la distance focale et les rayons de courbure des deux faces, relation que je connaissais peut-être,
selon ses dires. Je lui ai répondu que c’était hors programme, et qu’en optique, je ne connaissais pas ce
qui était hors programme.

J’ai continué à modéliser la situation (pas moins de cinq angles qu’il fallait introduire), puis j’ai établi
la relation entre ces angles et les rayons de courbure, et c’est à ce moment-là que le temps s’est écoulé.
Le jury m’a demandé quelle serait l’étape suivante, et j’ai répondu qu’il fallait faire un développement
limité, et qu’on devait s’attendre à obtenir un terme responsable de la convergence des rayons lumineux,
ainsi qu’un autre terme représentant la divergence, qui devient important lorsque l’on sort des conditions
de Gauss.

Déroulement - (18/20) Au début, je me suis senti bloqué, car je ne savais pas de quoi il s’agissait.
J’ai d’abord pensé qu’il pourrait s’agir de la règle pour obtenir une image nette en respectant une dis-
tance minimale entre l’objet et l’écran, et j’ai expliqué cette idée au professeur. Il m’a dit que c’était
bien et m’a posé quelques questions sur le cours d’optique, auxquelles j’ai su répondre.

Ensuite, il m’a demandé si je connaissais la règle des 4P. J’ai répondu que non. Il m’a alors expliqué
qu’il s’agit de la règle ”plus plat, plus près” : pour limiter les aberrations sphériques, lorsqu’une lentille
mince possède une face plus plate que l’autre, cette face doit être placée du côté du point conjugué
(objet ou image) le plus proche. Il m’a ensuite demandé de justifier cette règle.

J’ai précisé qu’il fallait respecter les courbures des deux faces, tout en évitant les conditions de
Gauss. Le professeur a trouvé cela pertinent. J’ai ensuite assimilé la lentille à deux dioptres courbés et
utilisé la relation de conjugaison des dioptres (hors programme), ce qu’il a trouvé intéressant. Cepen-
dant, il a précisé que cette relation repose sur les conditions de Gauss, et m’a demandé d’exprimer une
relation de conjugaison plus générale, sans approximation, ce qui nécessitait des calculs précis.

29
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

Je me suis donc lancé dans les calculs et l’analyse des angles. Il m’a guidé en suggérant l’utilisation
de la loi des sinus et en m’indiquant les points clés pour avancer, mais l’heure de l’oral est passée avant
que je puisse terminer. Le professeur m’a dit que j’étais sur la bonne voie et m’a remercié pour mes
efforts. Il est resté attentif et satisfait de ma solution tout au long de l’oral.

1.6.2 Sujet 2
Exercice

Soient N barreaux, reliés par des liaisons rotule parfaites, dont l’un est fixé.
On s’en fiche du poids, et ils se trouvent dans l’air.
Quelle est la configuration la plus probable?

Déroulement - (06/20) Le passage était catastrophique. Au début, j’ai demandé à l’examinateur

de me renseigner sur l’environnement de ces barreaux pour étudier la position d’équilibre, mais il m’a
répondu que le poids et l’interaction entre eux n’avaient pas d’importance. Je lui ai alors demandé de
réexpliquer le problème, et il m’a relu l’énoncé. Après 20 minutes, il m’a dit que cela était analogue à
une idée ayant des valeurs dans l’intervalle J−N, N K.
J’ai donc pensé aux probabilités et je lui ai proposé qu’il fallait chercher une loi que devrait suivre l’angle
de ces barreaux. Il m’a répondu : ”Exactement, donc quelle est cette loi ?” J’ai passé en revue toutes
les lois que je connaissais, sans succès, et la durée de l’oral s’est terminée.

30
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

1.6.3 Sujet 3
Exercice

Éc
ran
O’
θ S

1. On considère ce dispositif, étudier les interférences sur l’écran. Quelle est la valeur de
l’interfrange ?

2. On considère maintenant que la source est étendue (de taille b). Trouvez le contraste.

Données

• OS = d = 12, 5 cm

• OO′ = D = 1 m

• θ = 1, 5.10−3 rad

• λ =? (de l’ordre de 500 nm, valeur donnée à 5 chiffres significatifs.)

Déroulement - (14/20)

• Je prends du temps à rentrer dans le sujet, au début je ne fais pas attention au cache derrière la
source et je parle d’interférences entre 3 rayons (un rayon direct et 2 rayons qui se réfléchissent
sur chaque miroir), l’examinateur me signale l’existence du cache, ensuite je considère les deux
symétries de la source et j’évoque les trous d’Young.

• L’examinateur me demande de traiter le cas θ = 0, ce que je fais sans vérifier les hypothèses
d’interférence, une fois le calcul posé il m’explique que les rayons qui ne sont réfléchis qu’une fois
ne peuvent pas interférer parce que la différence de marche est plus grande que la longueur de
cohérence, il me pose ensuite une question sur l’ordre de grandeur de la longueur de cohérence
d’une lampe spectrale (sur laquelle je me trompe) et me fait faire un calcul pour voir que la zone
d’interférences est trop petite.

• Il m’indique que les rayons qui interfèrent sont nécessairement réfléchis deux fois, je fais un schéma
et je me lance dans le calcul de la distance entre les deux sources secondaires, je m’embrouille dans
le calcul et il me donne finalement la valeur de cette dernière. Il me demande donc de trouver
l’interfrange et je vérifie que c’est petit devant la longueur de cohérence.

31
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

• Pour la deuxième question, j’écris la formule de Fresnel sous forme infinitésimale et j’explique
comment on trouve la valeur de l’éclairement en intégrant, il semble satisfait de ma réponse et
m’annonce la fin de l’épreuve.

Examinateur qui intervient quand il voit que je bloque, le tableau était en feutre et l’encre était très
pâle.

1.6.4 Sujet 4
Exercice
P
F⃗

O point fixe, et P soumis à la force exercée par O d’expression:

k r
F⃗ = − 2 exp(− )u⃗r
r a
Trouver une condition sur k et a pour que P soit en mouvement circulaire uniforme autour de O.

Déroulement - (10/20) J’ai directement appliqué la RFD à P dans R galiléen. J’ai ensuite redémontré
(non intentionnellement) que r2 dθ dt
était constante. Je me suis ensuite dirigé vers une méthode énergétique,
sauf que je n’ai pas pu intégrer la force centrale pour obtenir l’énergie potentielle associée (j’ai essayé
de faire 2 intégrations par parties). Il m’a ensuite demandé de supposer que r était constante, pour
déterminer le rayon qu’aurait la trajectoire dans le cas d’un mouvement circulaire, ce qui m’a amené à
faire l’étude de la fonction x 7−→ xe−x . La fonction admettait un maximum qui correspondait à l’état
d’équilibre, il m’a demandé d’expliquer pourquoi, par analyse qualitative: j’ai dit que le terme mr( dθ dt
)2
→
− →
−
pouvait être assimilé à une force F ′ qui compense la force F dans le cas d’une trajectoire circulaire, et
→
−′ → − →
que, selon le signe de ( F − F ).− er , l’objet était soit renvoyé vers l’infini soit tombait vers O. Il m’a ensuite
dit que c’était bien ça, et que ça se démontrait mathématiquement en faisant une autre étude de fonction.

L’examinateur était agréable, souriant et interagissait quand il le fallait. Je suis assez satisfait de ce
que j’ai pu produire.

32
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

1.6.5 Sujet 5
Exercice
Soit un système binaire constitué de deux étoiles M1 ,M2 ayant des trajectoires circulaires l’une par
rapport à l’autre. Il est connu qu’il existe 5 points particuliers (Points de Lagrange) tels qu’en y
plaçant un troisième corps de masse négligeable, il reste à une distance constante par rapport aux
deux étoiles. Trois d’entre eux sont situés sur l’axe passant par le centre des deux étoiles: L1 , L2 , L3
et les deux autres L4 , L5 se trouvent sur le troisième sommet des deux triangles équilatéraux de base
[M1 , M2 ].
Pour alléger les notations on fait les considérations suivantes:
1. les deux étoiles sont de masse m et 1-m.
2. L’unité de distance est celle séparant les deux étoiles.
3. L’unité de temps est celle correspondant à une rotation d’angle 2π.
Question: Étudier la stabilité de L4 .

Déroulement - (08/20) Dès mon entrée dans la salle, le jury a vérifié mon identité et m’a remis
l’exercice. Il m’a conseillé de prendre le temps nécessaire pour bien comprendre l’énoncé. Après quelques
minutes de réflexion et quelques schémas au tableau, j’ai honnêtement dû admettre que je ne comprenais
pas grand chose. Le jury a remarqué cela et m’a expliqué seulement l’emplacement des cinq points et les
notations importantes de l’exercice. J’ai d’abord interprété la phrase ”ayant des trajectoires circulaires
l’une par rapport à l’autre” comme signifiant qu’une étoile tournait autour de l’autre.

Cependant, le jury ne m’a pas laissé avancer dans l’exo, j’ai compris finalement que les deux étoiles
tournaient autour de leur centre de gravité commun. J’ai alors tenté de raisonner de manière énergétique
pour déterminer la stabilité de L4 , en expliquant que le gradient d’énergie à ce point devrait être nul,
car il s’agit d’un point d’équilibre. Néanmoins, il a fallu plus de cinq minutes au jury pour m’expliquer
que L4 est effectivement un point d’équilibre mais pas dans le sens que je pensais. Je lui ai donc dit
qu’on allait écarter la masse légèrement de L4 , et voir si elle allait y revenir, et que cette fois-ci je vais
raisonner dynamiquement en étudiant les forces exercées sur la petite masse. J’ai effectué beaucoup de
calculs sans trouver des choses intéressantes, puis l’oral s’est terminé.

L’erreur que j’avais commise était le choix du référentiel. Il fallait choisir le référentiel barycentrique,
tournant avec les étoiles. On allait faire intervenir la force d’inertie d’entraı̂nement, mais les calculs
deviennent vraiment très simples.

1.6.6 Sujet 6
Exercice
Soit une corde de longueur L soumise à ses extrémités à l’effort f . Décrire le mouvement du milieu
de la corde en fonction de la température T .

33
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

Déroulement - (19/20) Honnêtement, au début, je n’ai rien compris de l’énoncé, j’ai donc décidé
de bêtement penser aux différentes relations contenant T dans le programme. Après avoir jugé que
l’exercice ne contenait aucune piste où il serait préférable de recourir à la physique statistique, je suis
parti à la recherche d’une idée où la formule clé était le théorème d’équipartition d’énergie.

En m’inspirant d’une épreuve de physique X où l’on parlait d’énergie potentielle linéique de torsion et
d’énergie cinétique linéique, j’établis une relation liant ces différentes grandeurs à une énergie mécanique
que j’ai nommée linéique. J’obtiens ainsi le résultat après avoir explicité l’équation de d’Alembert de la
corde vibrante. L’interrogateur avait tout le temps une expression méprisante et j’entendais souvent des
rires étouffés. En sortant, je pensais avoir vraiment merdé, mais au final, il m’a mis une note incroyable.

1.6.7 Sujet 7
Exercice
Soit un gaz réel d’équation d’état:
n2 a
(P + )(V − nb) = nRT
V2
Le gaz subit une détente de Joule-Gay Lussac.
On admet que T dS = Cv dT + ldV , où l une quantité thermodynamique.
On pose F = U − T S l’énergie libre (fct d’état).

1. Trouver l
2. Calculer S p , l’entropie produite au cours de la transformation.

Déroulement - (08/20) Exercice fort calculatoire. Dès le départ, j’ai oublié c’est quoi la détente
de Joule-Gay Lussac, c’était un truc de thermo de sup que j’avais pas révisé. Bon j’ai commencé
par différentier F comme c’est une fct d’état, je me suis trouvé avec : dF = dU − dT S − T dS donc
dF = Q − (S + Cv )dT − (P + l)dV , j’ai oublié que la détente Joule-Gay Lussac est adiabatique qui
est un truc basique de cours. Je savais pas comment continuer, j’ai dit: au moins, essayons de savoir la
dimension de l, le jury avait l’air satisfait, mais j’ai procédé avec des calculs treees longs avec la première
équation donnée par l’énoncé, alors qu’on peut voir immédiatement à partir de cette dernière que l est
une pression. Après, j’ai procédé autrement avec l’identité thermodynamique, et j’ai écrit:

dF = −P dV + T dS − T dS − SdT
Donc dF = −P dV − SdT , je me suis bloqué pendant 5min, le jury

m’a dit d’utiliser le fait que F est
une fonction d’état, donc par Schwarz, j’ai écrit: ∂P ∂S


∂T V
= ∂V T
. Après on a
Cv l
dS = dT + dV
T T
∂S
= Tl , pour trouver l’autre terme, on revient à l’équation d’état , on a V constant:


Donc ∂V T
2
P (V − nb) + nV 2a (V − nb) = nRT , donc ∂P = V nR


∂T V −nb

2
En combinant tout ça, on trouve que V nR
−nb
= Tl , d’où l = P + nV 2a , après il m’a demandé d’énoncer les
résultats de la détente de Joule-Gay Lussac. Mais je me suis bloqué, car je n’avais pas révisé ces
trucs, après le temps s’est écoulé.

34
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

1.6.8 Sujet 8
Exercice
Soit un système binaire formé de deux étoiles ayant des trajectoires circulaires l’une par rapport à
l’autre. On considère un troisième corps de masse très inférieure à celle des deux étoiles.
Pour alléger les notations, on fait les considérations suivantes:

• Les deux étoiles sont de masses m et 1-m

• L’unité de distance est celle séparant les deux étoiles

• Le troisième corps est repéré par ses coordonnées (x,y,z) dans le référentiel d’origine O, centre
de gravité du système

On considère la fonction suivante:

1 2
1−m m
f (x, y, z) = x + y2 + +
2 ρ1 ρ2
Avec ρi distance du corps à l’étoile i.
Question : Montrer que l’estimation de la fonction f à l’instant initial permet de séparer l’espace en
des régions où le mouvement est possible ou non

Déroulement - (08/20) L’énoncé m’a d’abord intimidé, il commence par un système plutôt usuel qui
me fait penser aux cas des points de Lagrange et problèmes similaires des forces centrales, cependant
en jetant un coup d’œil sur la fonction considérée qui m’a l’air plutôt exotique cela me perturbe un
peu. Mais bon, cela ne m’a pas dérangé et je me suis dit que je pourrais retrouver peut-être la formule
en faisant les calculs, sauf que je rencontre un premier problème: je n’ai pas bien compris l’expression
”ayant des trajectoires circulaires l’une par rapport à l’autre”, j’essaie de faire une représentation basée
sur ce que j’ai compris, mais je trouve très vite un problème avec l’étude. L’examinateur intervient et me
demande de corriger la représentation, et après une petite discussion, j’ai saisi la situation réelle et j’ai
corrigé mon schéma. Je commence alors à poser mes premiers théorèmes et équations de la mécanique,
mais je ne vois vraiment pas comment arriver à la fonction, même si je reconnais quelques expressions
de cette dernière (à noter que ces notations ”allégées” m’ont porté à confusion et que le fait d’avoir
tout le temps des expressions non homogènes m’a perturbé). L’examinateur remarque que je bloque
et me demande où dans le cours on a une situation où une estimation à l’instant initial détermine le
mouvement. Naturellement je pense au cours sur les forces centrales, quand l’énergie mécanique sépare
les états (diffusion, lié), l’examinateur acquiesce et m’invite à remarquer que dans le cours on traite le
cas de deux corps et qu’ici on en a trois, il me dit alors d’appliquer le même raisonnement que dans
le cours. Je bloque totalement, d’une part je ne me rappelle plus exactement de la démarche adoptée
dans le cours, d’autre part, même si j’ai toujours en tête des souvenirs vagues, je n’arrive pas du tout
à les appliquer au système présent, j’essaie d’avancer avec beaucoup de mal, l’examinateur insiste une
deuxième fois sur l’indication qu’il m’a donnée, j’ai compris mais je ne sais pas comment avancer, à un
moment je n’ai plus aucune idée, je commence à regarder le tableau sans plus rien dire, en réfléchissant,
l’examinateur ne me donne plus un mot, et s’installe alors un silence glacial, je sais qu’il n’est jamais
conseillé d’en laisser un, mais je n’avais plus aucune idée, l’examinateur ne parle plus du tout non plus, le
temps qui s’écoula à partir de cet instant jusqu’au moment où l’examinateur m’annonce que le temps est

35
CHAPITRE 1. ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) RETOUR SUR LES ORAUX

terminé me sembla douloureusement long, et bon, ça avait beau n’être que les ENS qui ne m’intéressaient
pas tant que ça, ce n’était pas très agréable.
Anecdote : l’énoncé m’a été donné sur papier, et j’ai souvent le réflexe d’enrouler les énoncés pour les
tenir d’une seule main quand j’écris sur le tableau, mais là l’examinateur me le reproche et me dit : ”Ne
détruis pas mon document s’il te plaı̂t”, c’était aussi une interaction un peu déroutante, je ne conseille
donc pas de le faire !

1.6.9 Sujet 9
Exercice
⃗
E
⃗
B

⃗k

Surface réfléchissante

Déterminer la pression de radiation à la surface.

Déroulement - (09/20) Je n’étais pas du tout serein sur cette épreuve, je n’avais pas révisé depuis
longtemps, et les ENS c’était pas vraiment ce qui m’intéressait. L’énoncé m’étant donné sur papier, je
le voyais sans paniquer car il y avait dans notre cours un cas où l’on traitait ( un angle d’incidence égal à
0) et où on définissait la pression de radiation. Mais la seule chose dont je me rappelais, c’est l’existence
de 2 méthodes (corpusculaire et ondulatoire). Tout au long de l’exercice, j’étais parti sur une méthode,
mais je switchais pas mal de fois entre les deux, ce qui a agacé l’examinateur. A un stade où c’était la
fin de l’épreuve, j’étais arrivé au résultat, mais l’examinateur me fait remarquer une erreur de calcul (sin
au lieu de cos), là j’ai paniqué, et ça se voyait, puis le jury m’a dit que c’était fini et m’a demandé de
sortir.
Bref, oral catastrophique, mais pas trop de surprises avec un peu de recul pour quelqu’un qui n’avait
pas révisé son cours, et pour qui les ENS étaient complètement égales.

36
Chapitre 2

Polytechnique (X)

Présentation
Les candidats admissibles sont convoqués individuellement au campus de l’X, à Palaiseau, Paris, pour y
subir les différentes épreuves d’admission. (Excepté pour l’épreuve de Français qui a eu lieu à l’ENSTA
qui se trouve à 10min à pied de l’X)
Voici les différentes épreuves à passer en cas d’admissibilité :

Épreuves d’admission Coefficients

Mathématiques I - 50min 16
Mathématiques II - 50min 16
Physique - 50min 20
Chimie MP - 40min 9
Analyse de documents scientifiques (ADS) - 2h+40min 15
Français - 45min+30min 8
LV Obligatoire - 30min+20min 8*
LV Facultative - 30min+20min 2**
EPS 5
Informatique B*** 4

* : La note et le coefficient ne sont pris en compte que si cela améliore la moyenne.

** : Seuls les points au dessus de 10 auxquels est appliqué le coefficient, entrent dans le score. Le
coefficient 4 qu’on trouve sur la notice du concours est spécifique aux candidats français.
*** : Épreuve écrite d’admission passée en même temps que les autres épreuves écrites.

Ne négligez aucune épreuve de l’oral (remarque valable pour tous les concours). L’écrit compte avec
un coefficient 39 sur 140. Dans la plupart des cas, l’écrit ne sert qu’à vous donner le droit de passer l’oral !

Les notes communiquées ne reflètent en aucun cas la distribution réelle des résultats lors des oraux
de l’X. Gardez à l’esprit qu’une bonne note est généralement supérieure à 12, en sachant que le seuil
d’admission avoisine chaque année une note comprise entre 11 et 12, sans jamais dépasser 12.

Vous pouvez trouver plus d’informations concernant le concours en consultant sa notice sur :
https://www.polytechnique.edu/admission-cycle-ingenieur/documentation/notices

37
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.1 Mathématiques
Plusieurs des exercices présentés ci-dessous ont fait l’objet de chacune des épreuves de Maths I et Maths
II. Nous avons pour cela préféré les réunir sous le même titre de ”Mathématiques”.

2.1.1 Sujet 1
Exercice
Pour d ∈ Z, on considère l’équation:

(E) : x2 − dy 2 = 1

Et on note S l’ensemble des solutions dans Z2 .

1. Déterminer S dans le cas :

• d≤0
√
• d ∈ N et d > 0
√
2. Soit (x0 , y0 ) ∈ S − {(1, 0)} et supposons que d ̸∈ N. Montrer que pour tout n ∈ N, il existe
√
xn , yn tels que, en notant z = x0 + dy0 , on a:
√
z n+1 = xn + dyn

3. En déduire que S est infini.

Déroulement - (08/20) Épreuve bizarre avec un énoncé inattendu en termes de difficulté. La dernière
fois que j’avais pratiqué de l’arithmétique était en début de SPE, donc il fallait que je retrouve les réflexes
nécessaires. Je fais la première question en discutant les cas possibles, mais je me suis rendu compte
lors de mon explication que j’ai commis une faute dans mon raisonnement, que je corrige en autonomie.

L’examinateur était silencieux et ne faisait qu’affirmer par un oui. Il me dicte la deuxième question à
laquelle je commence à répondre instantanément, il me demande ce que je pensais faire, et approuve la
démarche. Il me dicte enfin la troisième question à laquelle je réussis à répondre après quelques tentatives,
l’examinateur me demande de vérifier une certaine condition pour garantir l’infinitude de l’ensemble des
solutions, et je réponds sans indication.

L’oral est terminé, j’étais satisfait de ce que j’ai pu faire mais un petit doute sur le niveau de l’exercice
m’accompagnait, surtout que l’examinateur m’avait annoncé après les deux premières questions qu’elles
étaient ”préliminaires”. Malheureusement, mon doute était juste et j’ai eu un 8 au lieu d’un 13 ou 12 que
j’espérais, chose inattendue, mais pour l’X, il ne faut jamais être trop confiant en une certaine prestation
avant les résultats.

38
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Déroulement (Question 1 uniquement) - (08/20) Plusieurs raisons peuvent expliquer ma note

dans cette épreuve :

Premièrement, j’étais trop lent. L’examinateur m’a demandé de commencer par des cas particuliers:
d négatif, puis d positif dont la racine est un entier, et enfin d positif dont la racine n’est pas un entier.
J’ai pris beaucoup de temps dans le premier cas particulier, dont la solution est pourtant relativement
simple, car je souhaitais prouver mon raisonnement au professeur. Cela m’a donc ralenti.

Deuxièmement, j’aurais pu gagner des points en utilisant des résultats √

classiques que je connais bien
mais que j’ai oubliés au √
pire moment, comme l’unicité de l’écriture a + b 2 avec a et b entiers. Dans
mon cas, il s’agissait de d, mais le principe est le même. Cela m’a pris trop de temps pour remarquer
cette écriture unique.

Enfin, il est essentiel de ne pas perdre ses moyens face au jury, surtout lorsque l’examinateur est
désagréable. Dans mon cas, il parlait un français difficile à comprendre, et j’ai dû lui demander à
plusieurs reprises de répéter, ce qu’il n’a pas apprécié.

2.1.2 Sujet 2
Exercice
n
ai X i ∈ C [X] et z0 , ..., zn−1 ses racines.
P
Posons P =
i=0
Supposons que (∀i ∈ J0, n − 1K) |zi | ≤ 1. On considère t1 , ..., tn−1 les racines de P ′ .
1) Montrer que: (∀i ∈ J1, n − 1K) |ti | ≤ 1.
2) Supposons que z0 est racine simple de P .
P ′′ (z0 )
a) Calculer P ′ (z0 )
en fonction de z0 et des (ti )i∈J1,n−1K .
P ′′ (z0 )
b) Calculer P ′ (z0 )
en fonction des (zi )i∈J0,n−1K .
3) Supposons également que z0 = 1, montrer que: (∃i ∈ J1, n − 1K) |ti − 1| ≤ 1 .
′′
(Indication: Montrer que Re( PP ′ (1)
(1)
) ≥ n − 1)

Déroulement - (12/20) Au début, j’ai distingué les cas: ti est racine de P ou non. Pour le premier
cas, c’est trivial. Pour le deuxième, j’ai essayé de raisonner par l’absurde, et d’utiliser un argument
du type théorème de Rolle, mais 5 minutes plus tard, l’examinateur m’a demandé de considérer la
dérivée logarithmique de P (Je n’avais pas la suite de l’exercice). J’ai calculé cette dérivée logarithmique
au point ti , et j’ai ensuite utilisé un argument de convexité de D(0, 1) (j’ai trouvé que ti était égal
à une moyenne à poids positifs des zi ). La question 2)a) est immédiate. Pour la question 2)b), j’ai
essayé de dériver la dérivée logarithmique de P, il m’a dit que ça pouvait marcher mais qu’il y a mieux
(surtout que l’expression obtenue est très simple). Après quelques minutes de réflexion, il m’a demandé
d’écrire une factorisation de P , que j’ai écrite P = (X − z0 )Q. On trouve que l’expression est la dérivée
logarithmique de Q évaluée en z0 . Pour la question 3, on utilise l’expression de la 2)b) pour montrer
1
l’indication. On obtient, en utilisant 2)a), l’existence d’un i tel que Re( 1−t i
) ≥ 1, puis, en utilisant la
propriété: (∀z ∈ C) |Re(z)| ≤ |z|, on conclut.

L’examinateur était agréable, mais il ne m’écoutait pas toujours: lorsque j’ai fini la question 2, en
me retournant j’ai vu qu’il était sur son téléphone, et qu’il n’avait même pas remarqué que j’avais fini

39
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

la question, après quelques secondes de silence, il s’en est rendu compte. Ça s’est passé un peu moins
bien que Maths 2, où j’avais presque tout fait seul, mais je pense que ça s’est quand même plutôt bien
passé.

2.1.3 Sujet 3
Exercice
Soit G un sous-groupe de l’ensemble des bijections de C, cyclique, d’ordre 2n avec n ≥ 2, qui contient
l’application conjugaison (z ∈ C 7→ z) et tel que : ∀z ∈ C, ∀m ∈ Z, ∀g ∈ G, g(mz) = mg(z).

τ (z)
1. Montrer que ∀z ∈ C\R, ∃τ ∈ G tel que z
̸∈ {−1, 1}.

2. Soit H un sous groupe de G de cardinal 2n−1 , montrer que H contient au moins deux isomor-
phismes (de C, vu comme R-ev).

3. H peut-il ne contenir que des isomorphismes?

Déroulement - (13/20)

1. Je commence par utiliser le morphisme de conjugaison, ce qui donne le résultat pour C\iR, je
bloque ensuite un peu. J’explique aussi comment on peut généraliser ma propriété sur m ∈ Z à Q,
mais ça ne m’a pas servi. J’oublie complètement d’exploiter le fait que G est cyclique, et, suite à
plusieurs indications, l’examinateur me pousse à considérer la racine du morphisme de conjugaison,
ce qui donne le résultat.

2. Au début, je pars sur des choses inutiles, l’examinateur me demande combien de possibilités il y a
pour H, je finis par montrer que H contient toujours l’identité et le morphisme de conjugaison.

3. Question donnée vers la fin, il me donne quelques indications pour montrer que la réponse est
négative, mais je ne vois pas comment les exploiter.

Épreuve pas très bien réussie, les questions ont l’air très simples. L’examinateur était attentif et réagissait
à ce que je disais de manière constructive.

40
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.1.4 Sujet 4
Exercice
Soit α > 0. On considère (Bi )i∈N∗ une suite de V.A indépendantes, telles que pour tout i :
1
Bi ⇝ B( )
iα
. On pose:
S = {i ∈ N∗ |Bi = 1}

1. Discuter, selon la valeur de α, la probabilité que S soit infini.

2. On suppose que α > 1, et soit β > 0. On pose:

N = {n ∈ N∗ |S ∩ [n; n + nβ ] = ∅}

Discuter selon α et β la finitude de N .

Déroulement - (11/20) La notion d’ensemble aléatoire m’était un peu étrangère, mais l’examinateur
m’a aidé à l’assimiler et m’a pas mal guidé. Pour la première question, il me semble qu’il fallait raisonner
sur le sup de S. L’événement S est fini est équivalent à l’existence d’un i0 tel que ∀i ≥ i0 : Bi = 0. Il
fallait ensuite raisonner sur les probabilités et utiliser les théorèmes et l’indépendance. La condition finale
portait sur la comparaison de α avec 1. C’était quelque chose de similaire pour la deuxième question.
À noter que très vite, on se retrouve à devoir manipuler des sommes de séries et des produits, et le
problème de probabilité devient de l’analyse. Je n’avais pas fini les calculs pour le deuxième cas, mais
j’ai bien aimé l’oral.

2.1.5 Sujet 5 ( )
Exercice 1
Pn
Posons ∀n ∈ N∗ an l’unique réel strictement positif tel que i=1 ain = 1.

Donner un développement asymptotique de an .

Exercice 2
Soient n ∈ N∗ , (v1 , ..., vn ) une famille de vecteurs unitaires de Rn et (ε1 , ..., εn ) ∈ {−1, 1}n .

Montrer en utilisant un argument probabiliste que:

n
n
X √
∃(ε1 , ..., εn ) ∈ {−1, 1} εi vi ≤ n
i=1

41
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Déroulement - (15/20)
Exercice 1 :
Au début, j’ai voulu déterminer la limite de an , j’ai donc posé fn : x 7−→ ni=1 xi et je l’ai utilisée
P
pour montrer que (an ) était décroissante et minorée par 0, donc convergente vers une limite l. Je ne
sais pas pourquoi, mais je n’ai à aucun moment pensé à modifier la forme de fn (série géométrique),
qui avait une forme beaucoup plus simple et qui permettait de facilement trouver la limite. Ce que j’ai
fait c’est que j’ai supposé l > 12 (par intuition) et j’ai montré une absurdité par passage à la limite, et
la même chose pour l < 21 . C’est là qu’il m’a fait remarquer qu’il y avait plus simple, j’ai donc changé
la forme de fn et je n’ai plus utilisé la forme initiale. J’ai posé bn = an − 12 puis en utilisant la nouvelle
forme, ça marche tout de suite. Il m’a ensuite demandé d’aller un peu plus loin dans le développement
asymptotique. J’ai donc posé ebn = an − l’équivalent, j’ai procédé de la même manière, sauf qu’à un
moment, je suis resté bloqué devant l’exponentielle d’une suite tendant vers 0, alors que c’était évident
qu’il fallait prendre un équivalent (il m’a dit que j’y étais presque et ça m’a rappelé qu’on avait une
”exponentielle de 0”. Avec ça, c’était bon.

Exercice 2 :
Lorsque qu’il m’a parlé de raisonnement probabiliste, c’était assez évident qu’il fallait montrer que la
probabilité associée au résultat (en supposant que les ϵi étaient des variables aléatoires de Rademacher
indépendantes) était non nulle. J’ai dit qu’il était plus judicieux de regarder la probabilité de l’événement
contraire,
Pn puisqu’il est compatible avec l’inégalité de Markov. J’ai essayé de calculer l’espérance de
i=1 ϵi vi , il m’a dit que sous cette forme, c’est difficile à calculer. J’ai donc dit que sous l’hypothèse
∥.∥ euclidienne, on pouvait regarder le carré de la norme qui se développait avec des produits scalaires.
Il m’a dit que c’était bien ce qu’il fallait faire, et c’était fini.

L’examinateur était plutôt agréable et souriant. Il m’a corrigé quelques erreurs de calcul, mais ne
m’a pas trop aidé (le premier exercice était plutôt facile et le deuxième m’a été donné à la fin de l’heure).

2.1.6 Sujet 6

Exercice ( )
Trouver deux dés, équilibrés, numérotés par des entiers (répétition possible), tels que la distribution
de la somme des deux dé soit égale à la distribution de la somme de deux dé normaux.

Déroulement - (07/20) Jury sympa, mais ne te pas laisse beaucoup de temps pour réfléchir sans
te donner l’indication. À première vue, l’exo était bizarre, car on demande juste ici un exemple. J’ai
demandé au jury de clarifier un peu, puis j’ai compris qu’on a besoin de trouver des exemples d’entiers
(12 entiers), avec lesquels on peut numéroter ces deux dés. On observe alors la variable aléatoire qui est
la somme de ces deux dés, et elle doit être égale à la somme de deux dés normaux. Je suis resté coincé
5 minutes, le jury m’a dit que c’était un exercice d’algèbre, ce qui m’a un peu choqué. Ensuite, j’ai écrit
la loi de la somme et j’ai essayé de voir un produit matriciel ou quelque chose comme ça. Il m’a dit de
plutôt penser aux polynômes, j’ai répondu que ça ressemblait à un produit de Cauchy, et il m’a dit de
penser aux fonctions génératrices. Ça a ”tué” l’exercice, car en regardant les fonctions génératrices, on
obtient des polynômes. Donc, si GD1 , GD2 et GD sont les fonctions génératrices des variables D1, D2,
et D celle du dé normal, il faut que G2D = GD1 × GD2 . J’ai essayé de proposer des polynômes, mais j’ai
fait beaucoup d’erreurs de calcul qui m’ont gravement pénalisé. J’ai proposé plusieurs exemples qui ne
fonctionnaient pas, car j’étais vraiment stressé, et comme l’exercice avait une seule indication clé que je

42
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

n’avais pas trouvée moi-même, je voulais le faire rapidement, la note était un peu sévère :7.

2.1.7 Sujet 7

Exercice ( )
Soit (Xn )n∈N suite de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur {1, 2, ..., n}.
√ √
On note an = P(Premier chiffre après la virgule de Xn est 1) et bn = P(Premier chiffre de Xn
est 1).

1. Calculer la limite de (an )n∈N en +∞.

2. Calculer la limite de (bn )n∈N en +∞.

Déroulement - (15/20) Le jury était silencieux, attentif, ne réagissait pas avec moi. L’exercice m’a
déstabilisé au début, et semblait infranchissable. Mais j’ai √
essayé de garder ma concentration. Au début,
j’ai tenté d’exprimer le premier chiffre après la virgule de Xn à l’aide de la partie entière, mais je n’ai
pas réussi à déterminer sa
√ loi de probabilité. Le jury m’a laissé plus de 10 minutes avant√de m’indiquer
1
que le premier chiffre de Xn est 1, ce qui équivaut à l’existence d’un entier k tel que k ≤ Xn ≤ k+ 10 .

1 2


J’ai élevé cette inégalité au carré k 2 ≤ Xn ≤ h k + 10 , puisi j’ai expliqué au jury que je devais calculer
2 1 2

√ 1
le nombre d’entiers nk dans chaque intervalle k , k + 10 pour k variant entre 1 et n − 10 , car Xn
prend ses valeurs entre 1 et n.
Comme la variable suit une loi uniforme, la probabilité sera la somme des nk divisée par n. Après sim-
1
plifications et équivalences, j’ai trouvé 10 .

Pour la deuxième
√ question, j’ai essayé de procéder de la même manière en indiquant qu’il existe un
k tel que Xn soit compris entre 10k et 2 × 10k . J’ai presque fait les mêmes calculs, mais le problème
est que j’ai trouvé une limite, alors que la question demande de démontrer qu’il n’y en a pas. Finalement,
j’ai mentionné cela au jury en lui disant que j’avais peut-être commis une erreur quelque part. Il m’a
alors dit de vérifier mes calculs, puis l’oral a pris fin.

2.1.8 Sujet 8

Exercice ( )
1. Etudier la convergence de la suite (xn ) définie par :

x0 ∈ R∗
1 1
xn+1 = (xn + )
2 xn
2. Même question pour x0 ∈ C∗ .

43
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Déroulement - (09/20)
La question 1 était facile : il suffit de calculer xn+1 − xn et d’étudier la

fonction f (x) = 21 x + x1 . On trouve que (xn ) converge vers 1 si x0 > 0 et converge vers -1 si x0 < 0.

Pour la deuxième question, le jury m’a proposé directement de traiter la question en fonction de la
condition Re(x0 ) > 0 ou Re(x0 ) < 0, en gardant le cas Re(x0 ) = 0 pour la fin. Dans les deux premiers
cas, il faut d’abord démontrer que (xn ) est bien définie. Ensuite, pour l’étude de la convergence, je
suis resté bloqué et j’ai proposé d’écrire xn = an + ibn , ou de travailler avec l’écriture exponentielle
afin de revenir à des suites réelles et d’obtenir un système de deux équations vérifiées par (an ) et (bn ).
Cependant, ces calculs se sont avérés inutilement complexes.

Le jury m’a alors suggéré de considérer la suite zn = xxnn +1

−1
, ce qui m’a permis de trouver que
2 2n
zn+1 = zn . Ainsi, zn = z0 . Si Re(x0 ) > 0, alors |z0 | > 1, donc |zn | tend vers +∞, ce qui implique
que z1n tend vers 0. Ensuite, il suffit d’écrire xn en fonction de z1n pour en déduire sa limite. De même,
si Re(x0 ) < 0, on aboutit à un raisonnement similaire. Finalement, le jury m’a demandé de conclure
rapidement pour le cas Re(x0 ) = 0, mais malheureusement, je n’ai pas eu suffisamment de temps pour
réfléchir et conclure.

2.1.9 Sujet 9 ( )
Exercice 1
Soit H une fonction de classe C 0 sur R qui ne s’annule pas. On suppose que:

(∀t ∈ R) : |H(t)| ∈ [m, M ] où (m, M ) ∈ (R∗+ )2

Soit q ∈ R∗ \{−1, 1}.

1


Montrer que m > 2 ou M < 2
⇒ ∃f ∈ C 0 (R, R+ ) tq (∀t ∈ R) : f (t) = 1 + H(t)f (tq).

Exercice 2
Soit E un C − ev de dim < +∞.
Soit u ∈ L(E) tq (∃c ∈ R)(∀k ∈ N) : tr(uk ) ≤ c.
Montrer que tr(uk ) ≤ dim(E) pour tout k ∈ N.

Déroulement - (17/20) Oral d’analyse générale. J’ai eu l’idée presque tout de suite, ce qui a fait
qu’en 20 min, j’avais déjà terminé l’exo. L’examinateur qui ne s’y attendait peut-être pas, du moins c’est
ce que je pense, me dit alors qu’il devait chercher un autre exo, et commença à démarrer son pc puis à
tourner autour de la classe en attendant, ce qui me remonta le moral de malade.

Ensuite, le deuxième exo était encore plus simple que le premier. L’examinateur commença alors à
discuter avec moi comment il serait possible d’étendre le logarithme aux nombres complexes, puis quelles
propriétés se conserveraient. Bon honnêtement, un des meilleurs oraux que j’ai passés.

44
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.1.10 Sujet 10

Exercice ( )
1. On considère la suite définie par u0 = π/2, un+1 = sin(un ).
Quelle est la nature de la série de terme général u2n ?

2. Soit f : R∗+ −→ R∗+ de classe C 1 telle que:

xf ′ (x)
lim =a∈R
x→+∞ f (x)

Pour m > 0, calculer:

f (mx)
lim
x→+∞ mx

puis:
f (mx)
lim
x→+∞ f (x)

´ +∞
3. Montrer que l’intégrale I(t) = 0
e−tx f (x)dx converge.

4. Montrer que lim+ I(t) est finie.

t→0

Déroulement - (16/20) Pour cette épreuve, j’ai eu un observateur, qui n’a eu aucune influence sur
le déroulement. L’examinateur me donne la première question, je connaissais déjà la technique à utiliser,
et j’ai donc essayé de montrer des résultats basiques sur la suite afin d’en trouver un équivalent.

L’examinateur était silencieux, et regardait beaucoup son ordinateur, mais j’ai continué à expliquer
ma démarche en montrant la motivation derrière chaque étape. Quand j’ai terminé la première question,
il m’affirme la réponse et me donne la deuxième. J’ai résolu les questions suivantes de la même manière
que la première, mais pour la deuxième question l’examinateur intervient, et me demande de sauter un
cas d’étude. Pour la dernière question, je n’ai donné qu’une possible piste pour la résolution, et je ne
suis arrivé qu’à montrer que la fonction est décroissante et d’en trouver un encadrement juste avant la
fin de l’épreuve.

Pendant toute l’épreuve, j’ai expliqué tout ce que j’écrivais au tableau, et j’ai sauté les passages
triviaux, que j’annonçais oralement. Ce qui est important, c’est de montrer son cheminement de pensée
et ce qui motive une idée particulière dans le raisonnement, même si vous connaissez le résultat final ou
la technique à utiliser.

Déroulement (Questions 2 et 4 seulement) - (13/20) Pour la 1re question, je commence à

tâtonner au tableau pour voir ce que je peux utiliser comme notion. Je suppose que a ̸= 0, pour écrire
f ′ (x)
que f (x) ∼ xa ce qui donne (en justifiant par le théorème adéquat) :
+∞

f (mx)
f (x) ∼ xa =⇒ → ma
f (x)
Je présente à l’examinateur mon résultat, très content, il me dit que c’est bien, mais me dit de traiter
le cas a = 0, là je bloque un peu, puis il me propose une autre piste qui traite le cas général, il reste

45
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

silencieux et attentif, jusqu’à ce qu’à un certain moment j’utilise le théorème de la moyenne, et là,
m’interroge sur l’énoncé complet, je le fais, puis je continue mais arrive un moment où je ne savais pas
trop ce que je faisais, j’ai perdu ma concentration, et il m’interroge immédiatement sur ce que j’écrivais.

Pour la 2e question, je commence à justifier la convergence, puis je m’arrête pour réfléchir à la

question. Je bloque, et là l’examinateur me dit de revoir un résultat intermédiaire utilisé à la question
1, puis me dit d’arrêter, et que j’avais dépassé le temps imparti. Je voulais lui demander en quoi cela
servait pour résoudre l’exercice, mais il me dit: ”désolé je ne peux plus t’écouter c’est fini”.

En définitive, j’étais moyennement satisfait de ma performance, mais j’ai senti que l’examinateur,
sympa tout au long de l’oral, était ”satisfait” lui aussi.

Déroulement (Questions 2 et 3 seulement) - (12/20) Examinateur neutre, il m’a aidé quand

c’était nécessaire, mais m’a laissé tenter les choses. Quand il me donne l’exo, la première idée qui me
vient en tête est de conjecturer une valeur de cette limite, en tentant cela avec les fonctions de type
x 7→ xn + 1 .Toutefois, je commets l’erreur d’oublier que cette limite dépend de f et de a, et non
seulement de f, donc ma conjecture était fausse (f (m) − 1 à la place de ma ). L’examinateur me donne
alors la valeur de la limite à montrer, et en utilisant un encadrement, en valeur absolue, de la différence,
j’arrive à montrer le résultat.

Déroulement (Questions 2 et 3 seulement ) - (14/20) Ce déroulement est la seconde partie d’un

oral. La première partie traite le sujet 6.
Pour le second exercice, j’avais commencé par écrire une relation d’équivalence de fonctions dans le cas
a ̸= 0, mais j’ai tout de suite compris qu’elle seule ne nous ferait pas aboutir (mais c’était utile pour la
suite). J’ai alors essayé de trouver la limite avec des cas particuliers, j’ai pensé à prendre f une fonction
polynomiale et de voir ce que ça donne, ainsi, je trouve la limite mdeg(P ) .L’examinateur acquiesce aussitôt
et me demande de trouver a dans le cas où f est polynomiale, et je trouve a = deg(P ), ainsi la limite est
ma . Reste maintenant à démontrer que c’est bien la limite pour n’importe quelle fonction f , vérifiant
les conditions. J’ai proposé d’étudier plutôt la fonction g : x 7→ ln(f (x)), ainsi, la condition sur f se
transforme en xg ′ (x) −→ a, et donc par équivalence (pour a ̸= 0), et par divergence de l’intégrale
´ +∞ a x→+∞

1 x
dx, on a : g(mx) − g(x) ∼ ln(mx) − ln(x), ce qu’il fallait démontrer. (le cas a=0 se fait de la
même manière en remplaçant les ∼ par des petits o)

La seconde question est pompée sur la première, de méchantes équivalences (relations de négligeabilité)
pour trouver une fonction qui est intégrable (l’idée de poser g est aussi utile).

2.1.11 Sujet 11

Exercice ( )
Soit f : R 7→ R, C ∞ , telle que ∀x ∈ R, ∀n ∈ N, on a f (n) (x) ≥ 0.

1. On suppose que f (0) = 0, montrer que ∀x ≤ 0, f (x) = 0.

xf ′ (x)
2. Montrer que ∀x ≥ 0, ∀n ∈ N, on a : f (x) ≤ n
, conclure.

3. On ne suppose plus que f (0) = 0, montrer que la série de Taylor de f converge vers f .

46
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Déroulement - (12/20)

1. J’écris que f (x) ≤ 0 par décroissance de f , et je pars sur des trucs compliqués alors que la solution
est simple. Au bout de 10 minutes, je dis qu’il suffit d’utiliser la positivité de f donnée par n = 0.

2. Je fais plusieurs dessins, après un certain temps je propose d’écrire la différence des deux termes
comme une dérivée, je commence par le cas n = 0 en posant g(x) = f (x) x
et j’évoque la croissance
des pentes, ce qui donne le résultat, ensuite la généralisation est simple à établir. L’examinateur
semble être surpris du fait que ça marche aussi pour n ∈ R. J’explique comment on conclut que
f est nulle.

3. Je ressens une déception car la question a été traitée en cours et je ne l’ai pas réussie. Je me
rappelle qu’il fallait majorer astucieusement le reste, mais je ne me rappelle plus comment. Il me
semble que la méthode que l’examinateur avait en tête était différente de celle traitée en classe,
car il me demande de m’inspirer de la question précédente mais je ne vois pas ce qu’il veut dire.

Examinateur très sympathique, contrairement aux autres examinateurs à l’X. Par contre, il n’était pas
très attentif (l’épreuve était en fin de journée) et j’ai dû reprendre certains arguments plusieurs fois.

2.1.12 Sujet 12

Exercice 1 ( )
Soit V un C-espace vectoriel de dimension finie. On se donne G un groupe fini et φ : G −→ GL(V )
un morphisme de groupes injectif.

1. Calculer T r(φ(e)) où e l’élément neutre de G.

2. Montrer que pour tout g ∈ G, φ(g) est diagonalisable.

3. Montrer que si T r(φ(g)) = dim(V ) alors g = e.

4. Pour f : G −→ C telle que: f (e) ̸= 0, montrer qu’il existe m ≥ 0 tel que

X
f (g)T r(φ(g))m ̸= 0
g∈G

47
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Exercice 2 ( )
On pose:
d
X
E = {P ∈ R[X]|P = ak X k , ak ∈ {−1, 0, 1}}
k=0
et:
A = {x ∈ R|il existe P ∈ E − {0}, P (x) = 0}

1. Étudier les symétries de A.

2. Montrer que A∩]2; +∞[= ∅

3. Montrer que [1/2; 2] ⊂ A

Déroulement (Ex1 + Ex2 Q.1) - (13/20) Je prends 3-4 min le temps de saisir toutes les données
du problème, et en essayant de me rappeler les propriétés des groupes. Je croyais connaı̂tre l’exercice car
j’ai eu pendant ma période de préparation un énoncé semblable (Théorème de Burnside) mais non.

1. M’a pris 2-3min.

2. En me précipitant, je commets d’abord une erreur en confondant φ(g) et sa trace, ce qui bloque
le raisonnement, mais après la remarque de l’examinateur, au bout de 2min, j’aboutis au résultat
et sais à présent les valeurs propres de φ(g).

3. C’est la réciproque de 1 (à noter qu’on a l’énoncé de façon progressive). Je propose l’idée de la
démonstration mais l’examinateur me demande encore de détailler chacun des passages, alors que
j’essaie de passer rapidement.

4. Qst la plus importante de l’exercice, j’explique à l’examinateur ce que je cherche à trouver en

raisonnant par absurde, tout en utilisant l’ensemble des résultats démontrés jusqu’à présent. Pas
très concentré avec ce que je faisais, j’essaie de lui expliquer en écrivant, mais dès que je finis,
de nouvelles explications me sont demandées. Une indication m’a été proposée après quelques
tentatives de démonstration, j’aboutis à 10min de la fin au résultat.

Proposé dans les 5-8 dernières minutes (Deuxième exercice), je ne trouve que 2 symétries (par l’opposé
et l’inverse).

Déroulement (Ex1 + Ex2 Q.1) - (16/20) L’exercice 1 était facile. J’ai buggé sur la première
question, mais après quelques minutes, j’ai dit à l’examinateur que f est un morphisme de groupes, ce
qui permet de dire que f (eG ) = idE , et alors tr(f (eG )) = n.

Pour la deuxième question, je l’avais déjà rencontrée plusieurs fois, que ce soit dans d’anciens écrits
ou oraux, donc je me suis dit qu’il fallait aller vite. J’ai répondu que f (G) est un sous-groupe fini de
GL(E), et que ∀g ∈ G : f (g) ∈ f (G), donc ∀g ∈ G : f (g) est d’ordre fini. D’où, pour tout g ∈ G,
f (g) annule un polynôme de la forme X m − 1 avec m ∈ N, ce qui implique que ∀g ∈ G : f (g) est diag-
onalisable (puisque X m − 1 est un polynôme scindé à racines simples). Je n’ai pas rédigé ces questions
au tableau, j’ai simplement répondu oralement.

48
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Pour la troisième question, j’ai fixé g ∈ G tel que tr(f (g)) = n, et j’ai noté Sp(f (g)) = {λ1 , . . . , λn }.
D’après la question 2, on a ∀i ∈ {1, . . . , n} : |λi | = 1, et donc:

|λ1 + · · · + λn | = |λ1 | + · · · + |λn |.

λi
Ainsi, par le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire, ∀i ∈ {1, . . . , n} : λ1
∈ R+ (positivement liés). De
plus, on a ∀i ∈ {1, . . . , n} : λλ1i = 1, ce qui implique ∀i ∈ {1, . . . , n} : λi = λ1 .
Puisque tr(f (g)) = n, on a alors nλ1 = n, d’où λ1 = 1. Par conséquent, Sp(f (g)) = {1} et par
diagonalisabilité de f (g), on déduit que f (g) = idE . Ainsi, g = eG (car f est injective).
Cette troisième question exige une maı̂trise de l’égalité dans l’inégalité triangulaire, et d’en parler avec
confiance sans hésitation, pour éviter que l’examinateur demande une démonstration qui prendrait du
temps.

Pour la dernière question, je me suis bloqué pendant quelques minutes. L’examinateur P est intervenu
m
(c’est sa première intervention pendant l’oral), et m’a proposé de considérer la série entière m≥0 um x
où ∀n ∈ N, un = g∈G (tr(f (g)))n . J’ai alors dit qu’il suffit de montrer que cette série entière est non
P
nulle pour répondre
P à la dernière question, et il m’a confirmé.
J’ai justifié que un xn a un rayon de convergence non nul en utilisant l’inégalité ∀m ∈ N : |un | ≤ |G|nm .
Après un petit calcul, on déduit que:
X X 1 X 1 1
um xm = = + .
m≥0 g∈G
1 − tr(f (g))x 1 − tr(f (g))x 1 − nx
g∈G\{eG }

Par un argumentP
de liberté et en utilisant la question 3, on déduit que la série est non nulle. D’où :
m
∃m ∈ N tel que g∈G tr(f (g)) ̸= 0.

Pour la première question de l’exercice 2, il suffit de remarquer que ∀P ∈ D : P (−X) ∈ D et

X deg(P ) P X1 ∈ D. D’où, ∀x ∈ H : −x ∈ H et ∀x ∈ H \ {0} : x1 ∈ H. Ce sont les deux symétries

demandées.
Pour la deuxième question, je me suis dit que s’il n’existait pas d’intervalle I tel que H ∩ I ̸= ∅, alors H
serait dense dans R. En utilisant les deux symétries, il suffirait alors de montrer que H est dense dans
[0, 1], ce qui n’est malheureusement pas le cas, comme me l’a indiqué l’examinateur. Il m’a demandé de
regarder l’intervalle ]2, +∞[. En faisant quelques tentatives au tableau, le temps s’est écoulé.

Déroulement (Exercice 1 uniquement) - (11/20) Les trois premières questions étaient simples,
donc j’étais très à l’aise au début. Mais la quatrième question s’est révélée plus difficile. Le jury était
attentif et silencieux, et la seule indication qu’on m’a donnée dans le dernier quart d’heure était : ”Utilisez
les séries entières”. Finalement, j’ai réussi à terminer, mais le jury n’était pas satisfait. J’ai parlé de
l’unicité de la décomposition en fractions rationnelles, alors qu’il voulait entendre ”cette famille est une
base, donc blablabla...”. Pourtant, c’était vraiment la même idée ! Bref, ce genre de débat m’arrive
souvent dans les colles de M. Karakhi... Je suis habitué !!

Déroulement (Exercice 2 uniquement) - (12/20) La 1e et 2e questions ont été bien traitées. Pour
la 1e, je lui ai quand même demandé ce qu’il voulait dire par symétrie, et j’ai insisté là-dessus jusqu’à ce
qu’il me dise que je pouvais choisir, par exemple, que 2 et la symétrie de (-2). Donc, il fallait montrer la
stabilité de A par λ 7→ −λ et λ 7→ λ1 . Après cela, et grâce à un indice donné par l’examinateur, qui m’a
guidé, en mentionnant une piste que j’avais établie, mais que je n’avais pas forcément continué. Après,
ça m’a aidé à entamer de façon autonome la 2e question. Mais à la 3e question, j’étais sans mots et j’ai
essayé juste de reformuler la question afin de trouver des pistes, mais honnêtement, j’avais pas d’idée.
L’oral s’est finalement terminé, l’examinateur m’a demandé si j’avais des pistes, mais je n’avais rien à dire.

49
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Remarque: Je tiens à préciser que pour la 1e question j’ai mis du temps à montrer la symétrie par
l’application λ → λ1 . Cela peut arriver, il faut juste garder le moral intact.
Impression: je m’attendais à ce que j’aie moins de 12, mais peut-être que l’examinateur a apprécié le
fait que je sois direct et franc, dans mon approche.

2.1.13 Sujet 13

Exercice ( )
Soit Y une variable aléatoire réelle discrète.
On dit que Y est k-divisible (k ∈ N∗ ) s’il existe X1 , X2 , . . . , Xk , des variables aléatoires réelles
discrètes i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées), telles que:
k
X
Y ∼ Xi .
i=1

1. Trouver tous les diviseurs de Y ∼ Bin(n, p), avec 0 < p < 1.

2. Donner un exemple de variable aléatoire telle que ∀k ∈ N∗ , k divise Y .

Déroulement - (15/20) L’examinateur était sympa. Dans un premier temps, j’ai essayé de décomposer
la v.a.r.d en une somme de n v.a.r.d. suivant la loi de Bernoulli (comme vu en cours), puis j’ai tenté
de démontrer que les seuls diviseurs de Y sont 1 et n. Après quelques tentatives, l’examinateur m’a
demandé de trouver les diviseurs de Y lorsque n = 4, et c’est ainsi que j’ai pu conjecturer que les
seuls diviseurs de Y sont les diviseurs de n. Le sens direct était facile, le problème résidait dans la
réciproque. Pour la résoudre, il m’a proposé plusieurs pistes, et j’ai finalement pu répondre à la question
cinq minutes avant la fin de l’oral. Ensuite, nous sommes passés à la deuxième question, où il m’a donné
l’indication que c’était une variable aléatoire classique. Ce qui m’a aidé à obtenir une bonne note, c’est
l’échange dynamique avec l’examinateur et ma parfaite maı̂trise du cours, car à chaque fois que j’utilisais
un résultat, j’essayais de le justifier oralement, ce qui était apprécié par l’examinateur.

50
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.1.14 Sujet 14

Exercice ( )
Pour k ∈ N∗ , on dit qu’une variable aléatoire Y est k-divisible si ∃X1 , X2 , . . . , Xk des variables
aléatoires indépendantes et identiquement distribuées telles que Y et X1 + X2 + · · · + Xk suivent la
même loi.

On dit que Y est infiniment divisible si elle est k-divisible pour tout k ∈ N∗ .

1. Si Y ,→ B(n, p), avec n ∈ N∗ et 0 < p < 1, déterminer les k ∈ N∗ telles que Y soit k-divisible.

∗
2. Soit Y une variable aléatoire à valeurs dans N, α > 0 et (ai )i∈N∗ ∈ R+ N tels que :

X+∞
∀t ∈ C : GY (t) = α.exp( ai ti )
i=1

Montrer que Y est infiniment divisible.

Déroulement - (10/20) Après avoir lu et relu l’énoncé de l’exercice, je me suis tout de suite rappelé
qu’une somme de variables aléatoires i.i.d suivant la loi de Bernoulli d’un même paramètre, suit une loi
binomiale. C’est essentiellement autour de ce même esprit que la première question tourne.

J’ai alors commencé par noter que k = n et k = 1 sont des cas possibles. Après avoir un peu bloqué,
l’examinateur me dit qu’ils n’étaient pas les seuls, et qu’en général, les diviseurs de n sont des cas to-
talement valables, et me demande de montrer cela, ce que je fais assez rapidement (il suffit de prendre,
si par exemple n = kq avec q ∈ N, les n variables aléatoires qui constituent Y ∼ X1 + X2 + · · · + Xn
et de regrouper les q premiers Xi en une variable suivant la loi B(q, p), puis les (k − 1)q autres de la
même manière).

Il me faut ainsi montrer que les seuls k valables sont les diviseurs de n. Après un temps de réflexion,
l’examinateur me demande de regarder la fonction génératrice de Y et celles des Xi , en admettant en
premier lieu que les Xi sont des variables aléatoires à valeurs dans N, la condition s’écrit alors :
+∞
X n/k(n/k − 1) . . . (n/k − i)
GY (t)1/k = GX1 (t) = (1 + pt)n/k = (pt)i
i=0
i!

avec t > 0.

n
La condition étant que les coefficients de cette série soient positifs, si k
/ N, alors pour i = ⌊ nk ⌋ + 1,
∈
le coefficient est négatif, ce qui est absurde, ainsi k divise n.

Il ne reste maintenant que montrer que X1 est à valeurs dans N.

J’ai commencé par étudier P(X1 < 0), qui vaut 0 car (P(X1 < 0))k ≤ P(Y < 0) = 0, ainsi presque
sûrement, X1 est à valeurs dans R+ . Donc Y = 0 équivaut presque sûrement à Xk = 0 pour tout

51
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

1 ≤ k ≤ n, et puisque P(Y = 0) ̸= 0, alors P(X1 = 0) ̸= 0. Après un court temps de réflexion, j’ai dit
que si ∃r ∈/ N tel que P(X1 = r) ̸= 0, alors (X1 = r) ∪ (X2 = 0) ∪ · · · ∪ (Xn = 0) ⊂ (Y = r) et donc
P(Y = r) ̸= 0, ce qui est absurde car Y est à valeurs dans N, ainsi X1 est presque sûrement à valeurs
dans N. L’examinateur me dit que c’était suffisant et me fait passer à la deuxième question. Durant
tout ce passage, je m’obstinais à écrire les choses de la manière la plus rigoureuse qui soit, même sur des
points qui, pour l’examinateur, paraissaient quelque peu triviaux, ceci est ce qui m’a coûté de précieux
points à mon avis.

À ce stade, il ne reste que 5 minutes avant la fin de l’oral. L’examinateur me dit de simplement
de décrire la démarche et le raisonnement,
P+∞ ai sans écrire sur le tableau. Je lui ai expliqué qu’on pourrait
1
i
montrer que ∀k ∈ N, t 7→ α .exp( i=1 k t ) est une série entière à coefficients positifs inférieurs à 1,
k

en utilisant notamment le développement en série entière de l’exponentielle. L’examinateur acquiesce et

me demande de quitter la salle.

2.1.15 Sujet 15

Exercice ( )
Soit n ∈ N, soit Sn l’ensemble de permutation de J1, nK.
On munit cet ensemble d’une loi de probabilité uniforme P.
On définit aussi la variable aléatoire Xn telle que (Xn = k) est l’ensemble des permutations qui
s’écrivent comme produit de k cycles à support disjoint.

1. Calculer P(Xn = n) et P(Xn = 1).

2. Déterminer GXn .

Déroulement - (10/20) Le jury était silencieux et n’intervenait que lorsque je faisais des erreurs. Dès
que le jury m’a dit ”On munit cet ensemble d’une loi de probabilité uniforme P”, j’ai perdu les pédales,
car le dénombrement est ma bête noire. Ensuite, ils m’ont défini la variable Xn , qui était également à
math A (une partie que je n’avais pas traitée), et à ce moment-là, j’étais certain que j’obtiendrais un
6 à cet oral. C’est pour cela que je vous conseille de refaire les épreuves écrites que vous avez passées
pour éviter de vous retrouver dans la même situation.

Revenons au déroulement de l’épreuve : pour déterminer P(Xn = 1), il fallait trouver le cardinal de
l’ensemble des cycles de Sn . C’est un classique, mais j’avais oublié le résultat. J’ai essayé de faire une con-
jecture en remplaçant n par 3 et 4, et j’ai remarqué que le cardinal serait (n − 1)!. Pour le démontrer,
j’ai tenté de m’exprimer uniquement en français (comme on le fait souvent en dénombrement), mais
l’examinateur attendait une démonstration mathématique rigoureuse. J’ai pas bien compris ce qu’il
voulait, et donc j’ai essayé seulement de reformuler ma phrase en utilisant des schéma, ce qui l’a un peu
agacé, et il a commencé à regarder par la fenêtre.

Après plusieurs tentatives et sans l’aide de l’examinateur, j’ai finalement trouvé une application
qui répondait à ma question. J’ai passé la majorité de mon temps sur cette question qui était, selon
l’examinateur, une question préliminaire, et il ne me restait peut-être que les vingt dernières minutes pour
passer à la deuxième question. J’ai dit à l’examinateur qu’il n’était pas possible de trouver une expression
littérale pour P(Xn = k), et que ce serait donc plus efficace de passer par récurrence. Je savais déjà

52
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

qu’il y avait une relation récurrente (c’était la question 10 en Math A), mais je ne me souvenais pas bien
de cette relation. J’ai expliqué qu’on pouvait prendre un élément j ∈ J1, nK arbitraire, et examiner les
cas σ(j) = j ou σ(j) ̸= j (il suffisait de traiter le cas k = 1).

J’ai finalement trouvé la relation de récurrence :

P(Xn = k) = P(Xn−1 = k − 1) + (n − 1)P(Xn−1 = k).

J’avais commencé les calculs pour obtenir une relation de récurrence de GXn , mais le temps m’a manqué
pour aller jusqu’au bout. C’était le pire oral que j’ai passé, et j’étais persuadé que j’allais avoir un 6.
À ma grande surprise, j’ai obtenu un 10 le jour des résultats. Je pense que ce qui m’a sauvé, c’est la
proposition de trouver une relation de récurrence pour P(Xn = k).

2.1.16 Sujet 16 ( )
Exercice 1
Soit n ∈ N, on considère Sn le groupe des permutations, on tire de manière équiprobable un élément
de Sn . Soit Xn la variable aléatoire qui compte le nombre de cycles, dans la décomposition en cycles
à supports disjoints d’un élément de Sn . Par exemple Xn (Id) = n car Id = (1)(2) . . . (n) pour un
Q
n-cycle σ : Xn (σ) = 1. Pour une transposition (i, j): Xn (i, j) = n − 1 car (i, j) = (i, j) k̸=i (k)
k̸=j

1. Calculer GXn la fonction génératrice de Xn .

2. En déduire E(Xn ), V(Xn ).

Exercice 2
Soit P ∈ R[X, Y ] tel que ∀(X, Y ) ∈ R2 P (X, Y ) ≥ 0

A t-on inf P (X, Y ) atteint?

(X,Y )∈R2

Déroulement - (16/20) Lorsque j’ai entendu l’énoncé du premier exercice, j’étais content, car je
l’avais déjà vu dans le célèbre livre Les Clefs pour l’X. À ma grande tristesse, le jury, avant même que je
ne commence la résolution, m’a interrompu pour dire qu’il voulait m’aider, en me conseillant de chercher
une relation récurrente entre GXn+1 et GXn , ce qui n’avait aucun rapport avec la solution proposée dans
Les Clefs. J’ai donc dû m’adapter, car c’était un nouvel exercice pour moi. J’ai commencé par essayer
de trouver une relation récurrente en m’appuyant sur l’analyse combinatoire, entre P(Xn = k + 1),
P(Xn = k) et P(Xn = k − 1) pour établir une relation entre GXn+1 et GXn .
Pour E(Xn ) et V(Xn ), il s’agissait simplement de calculs. On trouve :
n n  
X 1 X 1 1
E(Xn ) = et V(Xn ) = − 2 .
i=1
i i=1
i i

Le jury m’a alors demandé un équivalent de E(Xn ) et de V(Xn ), ce qui est évidemment ln(n). Puis,
n −ln(n)
il a défini Yn = X√ et m’a demandé quelle était, à mon avis, la loi de Yn . Heureusement, j’ai
ln(n)
pu répondre qu’il s’agissait du théorème central limite, un hors programme que je connaissais, bien que

53
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

j’en ignorais la démonstration. Par conséquent, Yn suivrait une loi normale. Le jury était surpris que je
connaisse le théorème, et il m’a alors donné le second exercice. Ce fut un soulagement pour moi qu’il
ne me demande pas la démonstration.

Pour le second exercice, il restait 10 minutes. J’ai rapidement indiqué que, pour une variable, c’était
vrai en isolant un compact... Le jury m’a alors demandé de trouver un contre-exemple. Comme nous
avions ici P positif, j’ai proposé d’écrire P (X, Y ) comme la somme de deux carrés et de faire tendre
l’une des deux variables vers l’infini (sinon, on aurait un produit de compacts et l’inf serait atteint). C’est
alors que le jury m’a donné la réponse : P (X, Y ) = X 2 + (1 − XY )2 .

2.1.17 Sujet 17 ( )
Exercice 1
1. Soit f : [0; π] −→ R de classe C 1 telle que f (0) = f (π) = 0. Montrer que:
ˆ π ˆ
2 π 2 π ′2
f (x)dx ≤ f (x)dx
0 8 0

2. Soit f : [0; π] −→ R et q : [0; π] −→ R continues telles que q(t) ≤ 8/π 2 pour tout t ∈ [0; π].
Pour a et b dans R, montrer qu’il existe une unique fonction y solution du problème:

′′
 y + q(t)y = f (t)


y(0) = a


 y(π) = b

Exercice 2
On considère 2 dés à 6 faces, indépendants.

1. Calculer la fonction génératrice de la somme des dés.

2. Factoriser le polynôme correspondant.

Déroulement - (15/20) C’est le début de l’oral, je ne sais pas par où commencer. Je vois que je
peux dériver f , donc je décide de proposer une intégration par parties. Cela fait apparaı̂tre une primitive
F de f que je n’arrive pas´ à exploiter, et je dis donc que ce n’est pas la bonne piste. Puisque f (0) = 0,
x
je décide d’écrire f (x) = 0 f ′ (t)dt; je trouve alors:
ˆ π ˆ π ˆ x
2
f (x)dx = ( f ′ (t)dt)2 dx
0 0 0

L’examinateur m’annonce que je suis sur la bonne route, et qu’il faut maintenant penser à une égalité
bien connue lorsqu’il s’agit de carrés dans des intégrales. Je pense alors à celle de Cauchy-Schwartz.
Il me confirme mon idée, et me propose de raisonner sur [0, π/2] et sur [π/2, π], ce qui me conduit au
résultat.
Pour la deuxième question, il me demande d’abord de montrer l’unicité en utilisant la première ques-
tion, ce que j’ai réussi à faire sans difficultés. Puis pour l’existence, mon rythme s’est beaucoup ralenti,

54
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

malgré les indications qu’il m’a données : il faut faire un raisonnement d’algèbre en raisonnant sur des
dimensions, sachant qu’on a affaire à un espace affine (je n’avais pas entendu ce mot depuis ma SUP, j’ai
eu peur). J’ai fini par finir la question avec 10min restantes dans lesquelles il m’a proposé un deuxième
exercice.

Pour le deuxième exercice, il me restait je pense 10min pour le faire (je ne portais pas de montre). La
dernière P
question du premier exercice m’a bien fatiguée. Je pose la définition de la fonction génératrice
G(x) = 12 k
k=2 P(S = k)x ; il faut donc que je trouve l’expression des P(S = k) et je perds tout mon
temps à la trouver, l’oral est fini (en fait il me restait même pas 5min).

2.1.18 Sujet 18

Exercice ( )
Soit P ∈ C[X]. Montrer que:
n
′ n 2 X δk P (δk X)
XP (X) = P (X) +
2 n k=1 (1 − δk )2

Où δ1 , δ2 , ..., δn les racines n-ièmes de l’unité.

Déroulement - (07/20) Épreuve connue pour être plus délicate que Maths 1 (ce n’est pas toujours
le cas). J’étais le dernier candidat de la semaine, l’examinateur me dicte l’énoncé d’une formule polyno-
miale astronomique, face à laquelle je me suis retrouvé terrifié. Les premières tentatives se basaient sur
la relation entre le polynôme et sa dérivée, ainsi que ses racines, qui est généralement un exercice très
classique dans le cours des fractions rationnelles.

Pendant 40 min, l’examinateur est resté silencieux, avec une certaine confirmation de la démarche
qui faisait intervenir la dérivée, or ce n’était guère la bonne piste. 5 min avant la fin de l’oral, il me dit
que c’était plus simple de chercher l’égalité des coefficients et de se rapporter au cas numérique. J’ai
suivi cette indication, et je me retrouve avec une somme effrayante à calculer. L’examinateur me dit
d’un ton ironique : c’est là qu’il fallait utiliser le truc de la ”dérivée”, mais on ne pourra plus le faire car
votre semaine d’oral est fini. Mauvaise prestation à laquelle la note de 7 était parfaitement méritée.

Déroulement - (11/20) Pour mon examen oral de maths, je suis entré dans la salle et j’ai donné
mon ID au jury. Il m’a demandé d’écrire la question au tableau.

Dès que j’ai vu la question, j’ai compris que l’équation était linéaire. Je l’ai signalé au jury, et je pouvais
donc travailler sur les vecteurs de base sans m’inquiéter du reste. J’ai remplacé P, le polynôme, par le
polynôme X k , puis j’ai commencé à écrire ma nouvelle équation. Ensuite, j’ai trouvé une relation que je
devais démontrer, une égalité complexe, mais je n’ai pas pu le faire. Le jury est resté silencieux. Il m’a
dit d’utiliser le polynôme X n+1 .
1
J’ai essayé d’utiliser n+r , mais je n’ai obtenu de résultats que pour k égal à 0 ou 1, et pas pour les
X
autres valeurs. Après cela, il ne m’a pas donné d’autres polynômes ou fractions pour continuer. J’étais
bloqué, et je n’ai pas trouvé de solution à la somme.

55
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

À un moment, le jury m’a posé une question simple sur comment obtenir z k au-dessus de la fraction, mais
je n’ai pas pu répondre, car même si j’y avais déjà pensé, je n’ai pas réussi à utiliser la bonne méthode.
Le jury n’a pas donné d’indication supplémentaire à part le polynôme X n+1 . J’ai essayé d’utiliser la
dernière fraction, mais j’étais trop stressé pour l’appliquer correctement.

Finalement, le temps est écoulé. Je me sentais plutôt bien, mais apparemment le jury était déçu et je
n’ai obtenu que 11 à ce test.

2.1.19 Sujet 19 ( )
Exercice 1
Pn−1
Soit P ∈ Cn [X] ; P = X n + k=0 ak X k .

Y
On Pose M = |λ| (les racines peuvent se répéter)
λ racine de P
|λ|≥1

n−1 n−1



Montrer que ∀k ∈ J0, n − 1K; |ak | ≤ M k
+ k−1
.

Exercice 2
Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ Cn [X].
pPn
On définit ∥P ∥ = 2
i=1 |ai | .

Montrer que ∀z ∈ C ∥(X − z)P ∥ = ∥(1 − Xz)P ∥.

Déroulement - (14/20) Une professeure de mathématiques est venue assister à mon oral. L’examinateur,
sympathique, préférait l’échange à la résolution pure. J’ai commencé mon oral par la formule de Viète
(relation entre les coefficients et les racines), puis il m’a directement demandé de traiter le cas où n = 2.
À la fin, j’ai fait une erreur dans la récurrence (donnée dans la correction), mais le jury m’a aidé à
rectifier l’erreur. Lorsque j’ai terminé la première question, il m’a proposé un deuxième exercice dans les
dernières minutes. J’ai proposé une piste, et l’oral s’est terminé.

56
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.1.20 Sujet 20

Exercice ( )
1. Soit f : R∗+ −→ R convexe. Montrer que:

f (x)
lim = α ∈ R ∪ {+∞}
x→+∞ x

2. Si α ∈ R, montrer que:
lim f (x) − αx = l ∈ R ∪ {−∞}
x→+∞

3. Soient f1 , f2 , ..., fn convexes et continues sur [0; 1] telles que max(f1 , f2 , ..., fn ) ≥ 0. Montrer
qu’il existe α1 , α2 , ..., αn ≥ 0 non tous nuls tels que:
n
X
αi f i ≥ 0
i=1

Déroulement - (09/20) C’était mon premier oral à l’X, mais je n’étais pas vraiment stressé grâce à
mon expérience aux oraux des ENS.

L’examinateur me donne la première question, et j’ai considéré directement la fonction qui à x associe
la quantité f (x)−f
x−a
(a)
(où a est un réel strictement positif), qui est croissante sur ]a, +∞[ et donc admet
une limite la finie ou infinie. Ensuite, en écrivant
f (x) f (x) − f (a) x − a f (a)
= · +
x x−a x x
on déduit que la quantité en question tend vers la quand x tend vers l’infini (et donc, la = l ne dépend
pas de a).

L’examinateur me donne la deuxième question, et j’ai pensé à utiliser la même méthode que la
première. J’ai utilisé la croissance de la fonction déjà considérée pour obtenir l’inégalité f (x)−f
x−a
(a)
≤ l, et
en réarrangeant cette inégalité, on trouve que f (x) − lx décroı̂t, ce qui fournit le résultat.

La troisième question était difficile, je n’ai donné que des pistes de réflexion. J’ai fourni des cas
triviaux, et ensuite j’ai essayé de traiter le cas n = 2. Même ce cas était difficile pour moi, mais j’ai
essayé de donner des idées afin de construire les réels αi . L’examinateur me demande de traiter le cas
des fonctions affines pour n = 2, mais je suis entré dans des calculs qui n’aident pas pour trouver la
solution générale.

Déroulement - (14/20) Les deux premières questions étaient classiques. Il suffit seulement de se
rappeler le cours de convexité vu généralement en première année.

Pour la première question, puisque f est convexe, alors la quantité f (x)−f

x−1
(1)
est croissante sur R \ {1},
ce qui implique que la fonction admet une limite en +∞, soit finie, soit égale à +∞. En effet, on peut
écrire :
f (x) f (x) − f (1) x − 1 f (1)
= · + .
x x−1 x x

57
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Ainsi, f (x)
x
admet une limite α en +∞, qui est soit finie, soit +∞.
Pour la deuxième question, on montre que la fonction g(x) = f (x) − αx est décroissante. Pour cela,
prenons x < y, et fixons un réel c > y. La convexité de f permet d’appliquer la propriété des pentes :
f (x) − f (c) f (y) − f (c)
≤ .
x−c y−c
Après quelques manipulations, on obtient :
(x − c)f (y) f (c) y − x
f (x) ≥ + ·
y−c c y−c
ce qui est valable pour tout c > y. En faisant tendre c vers +∞ et en utilisant la première question, on
en déduit le résultat.

Pour la troisième question, j’ai commencé par tracer des exemples de f1 et f2 vérifiant les conditions
de l’énoncé. Je me suis d’abord demandé si on pouvait appliquer les deux premières questions, mais
n’ai remarqué aucun lien évident. J’ai donc choisi d’aborder cette question indépendamment des deux
premières.
Supposons que f1 (0) ≥ 0 et posons

X1 = sup{t ∈ [0, 1] | ∀x ∈ [0, t], f1 (x) ≥ 0}.

Ainsi, f1 est positive sur [0, X1 ] et, si X1 < 1, alors f1 (X1 ) = 0. Sur l’intervalle [X1 , 1], la fonction f1
est soit entièrement négative, soit elle présente un intervalle négatif suivi d’une remontée positive, mais
elle ne peut plus être négative ensuite, grâce à sa convexité. J’ai ensuite proposé de répéter le même
raisonnement pour f2 .

Le but était de déterminer le signe de f1 et f2 précisément sur [0, 1], en travaillant sur chaque sous-
intervalle soit avec ff21 soit avec ff12 . Comme f1 et f2 sont continues sur un segment, elles admettent un
maximum et un minimum. Toutefois, le jury a fait remarquer que cette approche menait à de nombreux
cas et contraintes. Ils m’ont alors proposé de commencer avec des fonctions affines et de déterminer
les valeurs de α1 et α2 dans ce cas simple. J’ai suivi cette suggestion, mais le temps de l’épreuve s’est
terminé avant que je puisse conclure.

2.1.21 Sujet 21 ( )
Exercice 1
Pn Pn
Soit (un )n≥0 , (vn )n≥0 ∈ (R∗+ )N . On note Sn = k=0 uk et Tn = k=0 vk tels que Sn
nun
−→ a > 0 et
Tn
nvn
−→ b > 0

1. Trouvez lim Sn .
n→+∞

n
X
1
2. Trouvez un équivalent simple de un
kuk .
k=0

n
X
1
3. Trouvez un équivalent simple de un vn
kuk vk .
k=0

58
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Exercice 2
Soit P ∈ Z[X] et ∆ = pgcd(P (0), ..., P (n)). Montrez que

∀m ∈ Z : ∆|P (m)

Déroulement - (14/20) Examinateur silencieux, la 1ère question était facile. J’ai fait la 2ème, à
l’aide de la transformation d’Abel, je me suis bloqué ainsi à la 3e question qui était difficile. Jusqu’à
maintenant, l’examinateur n’a pas encore bougé. Il a enfin décidé de parler et de dire: ”Bon le temps
s’écoule, on changera d’exercice”, et il m’a donné le 2ème exo. J’ai essayé de faire avec l’interpolation
de Lagrange et d’autres tentatives par récurrence, mais le temps s’est écoulé.

Déroulement (Premier exercice seulement) - (15/20) La 1e question m’a pris, je pense, quelques
minutes. Il fallait supposer par absurde que Sn converge, puis on trouve un résultat contradictoire.
Entre-temps, l’examinateur ne dit aucun mot et me laisse parler. Lorsque je passe à la 2e question, il
me demande de donner un exemple de un qui vérifie les conditions de l’énoncé. J’ai fait une pause de
1 minute, avant de dire l’exemple de la suite un = 1 ou la suite constante. Je me sentais un peu mal
à l’aise du fait que j’avais mis du temps à répondre. Mais j’ai ignoré cela et j’ai essayé de continuer
sereinement. Pour la 2e question, j’ai essayé plusieurs pistes, mais en vain, et j’ai aussi essayé de traiter
les cas particuliers. Ça m’a donné des résultats, mais pas la réponse voulue. C’est là où l’examinateur
me dirige vers une piste que j’avais laissée tomber, et c’est là où j’ai eu un déclic. Et avant 15 min de
la fin de l’oral, j’ai trouvé le résultat qui était cohérent avec les cas particuliers que j’avais traité, ce qui
m’a motivé et a plu, je pense, à l’examinateur. Pour la 3e question, vu qu’il ne restait que 15 minutes,
l’examinateur n’est plus resté silencieux et commence à me guider en donnant quelques indices de façon
très hasardeuse et en me disant que le temps pressait et qu’il fallait faire vite. Et c’est là où j’ai essayé
de réagir vite à ces indications, et heureusement, j’ai pu établir le résultat à la fin de l’oral. Remarque:
Ne pas douter de soi lorsque l’examinateur reste trop silencieux et être très attentif lorsqu’il dit quelque
chose. (Ghir huwa quand je dis ne pas douter machi hia tsd9o za3min et tktbou kawarit)[sic]

2.1.22 Sujet 22

Exercice ( )
On considère A et B deux polynômes de R[X] tels que pour tous α, β de R, αA + βB est scindé
dans R. Montrer qu’entre 2 racines de A se trouve toujours une racine de B.

On admet le lemme suivant (à démontrer si le temps le permet) :

Si f est développable en série entière au voisinage de 0 telle que f (z) = o(z r ) (au voisinage de 0),
alors ∀ρ > 0 assez petit, il existe 2r complexes z1 , z2 , ...z2r tels que |zi | = ρ et f (zi ) ∈ R

Déroulement (10/20) À peine avoir écrit l’énoncé, je me suis réjoui (beaucoup trop tôt), puisque je
pensais avoir déjà vu l’exercice, et que même si je me souvenais pas des démarches, je réussirais sans trop
de difficultés (en fait non, je n’ai jamais vu l’exercice et j’ai eu beaucoup de difficultés). L’examinateur
me propose le lemme et je commence à trembler (ça fait longtemps que je n’ai pas travaillé avec une

59
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

fonction développable en série entière).

Je reprends assez vite mes esprits, et commence à gribouiller des pistes. Je suppose, par absurde,
qu’il existe deux racines de A (qu’on notera x1 et x2 ), entre lesquelles B ne s’annule pas, ce qui est le
premier pas à faire, sauf que je propose de montrer, par un moyen ou un autre (je ne sais pas lequel),
que grâce au théorème des valeurs intermédiaires, B s’annule. Sauf que cette idée ne met pas en valeur
l’hypothèse de l’énoncé. En fait, il faut trouver un polynôme αA + βB qui admet une racine complexe
(indication de l’examinateur). Pour ce faire, et pour utiliser le lemme, on a besoin de trouver au moins
3 nombres complexes de même module (à fortiori un est non réel). On doit donc trouver une fonction
développable en série entière, telle que f (z) = O(z 2 ) (on peut d’ailleurs réécrire le lemme au voisinage
de n’importe quel point).
A(t)
Je tourne en rond pendant un certain temps, puis il me propose de considérer la fonction g(t) = B(t)
qui d’après lui, est une construction naturelle à laquelle je dois penser. Elle s’annule en x1 et x2 et donc,
sa dérivée s’annule en un point entre les deux (qu’on notera c). Il me dit qu’on a besoin d’annuler g sans
modifier sa dérivée, et j’ai mis beaucoup trop de temps à considérer la fonction h(t) = g(t) − g(c). h est
la fonction à laquelle il faut appliquer le lemme, et en écrivant bien les choses, on arrive à la contradiction
attendue.

J’ai beaucoup été aidé par l’examinateur à mon avis, et j’ai perdu du temps sur des idées qui, d’après
lui, sont naturelles et évidentes, ce qui justifie, à mon avis, le 10 que j’ai obtenu. C’est peut-être la seule
épreuve, avec la chimie, où la note reflète bien mon ressenti.

Déroulement - (09/20) J’ai reçu un exercice que j’avais déjà vu, sans jamais l’avoir résolu. J’observe
que les premiers coefficients du développement en série de f sont nuls, je décide alors d’utiliser la for-
mule de Cauchy pour obtenir des informations sur f . Mon idée principale était de transformer cette
information sur les coefficients en une information sur la fonction elle-même.

J’étudie d’abord le cas k = 1, ce qui me conduit à l’intégrale de f (reiθ ) égale à zéro. Cela signifie
qu’il existe un point où la partie réelle de f est nulle, mais nous en cherchons deux. Je tente alors
d’exploiter la périodicité de la variable θ, en essayant de démontrer que: Si l’intégrale d’une fonction
périodique sur une période est nulle, alors la fonction s’annule au moins deux fois. Après un bref instant,
je trouve un contre-exemple et je me rends compte que cette approche n’utilise pas le fait que l’énoncé
n’est vrai que pour des r petits. J’explique à l’examinateur pourquoi cette méthode échoue, et il confirme
mon raisonnement.

Pour ne pas rester bloqué, je décide de traiter le cas particulier de z k , que je résous facilement.
L’examinateur me dit que c’est bien l’idée à retenir. Je dis qu’il faut alors utiliser une forme de conti-
nuité, et j’écris l’idée sans aller jusqu’à la solution complète. Je raisonne sur les points où les parties
imaginaires sont nulles, mais je rencontre un petit blocage, que je résous en raisonnant sur les ex-
tremums de Im(ak z k ). Je montre que pour r suffisamment petit, f (reiθ ) change de signe 2k fois, et
comme la fonction est périodique, elle s’annule donc 2k fois. L’examinateur me demande de tout rédiger.

La rédaction m’a pris beaucoup de temps, car chaque fois que je donnais une idée, il insistait pour
que je l’écrive intégralement, ce qui est inhabituel pour un oral. Cela m’a fait perdre beaucoup de temps,
et il ne me restait que 5 minutes pour la deuxième question, que je n’ai pas pu aborder. Je pense que
l’oral se serait mieux passé si l’examinateur n’avait pas exigé de tout rédiger au tableau (je comprends
qu’il voulait évaluer la rigueur technique dans les calculs).

60
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Par exemple, j’ai dit que pour r assez petit, on a pour tout θ ∈ [0, 2π]:

f (reiθ )
 
iθ k
Im − ak (e ) < ϵ,
rk

et que l’on peut choisir ϵ de sorte que Im(f (reiθ )) change de signe 2k fois. Cependant, il m’a demandé
de tout préciser minutieusement, ce qui ajoutait beaucoup de calculs.

Déroulement - (08/20) Malheureusement, c’était mon premier oral à l’X, un lundi de 9h20min à
10h10, et j’étais stressé presque durant tout l’oral. Après mon installation, le jury m’a dicté l’exercice,
et m’a demandé d’écrire un résultat admis au tableau, en précisant que je pouvais l’utiliser dans mon
raisonnement et que nous le démontrerions si le temps le permettait. Au début, j’ai eu du mal à établir
le lien entre ce résultat et l’exercice, mais j’ai quand même entamé ma réflexion. Après environ 5min,
j’ai proposé au jury de supposer, par l’absurde, qu’il existe deux racines distinctes de A, que j’appelle
a et b, telles que B ne s’annule pas entre elles. Le jury m’a encouragé à poursuivre, en soulignant que
c’était une bonne méthode. J’ai d’abord tenté de trouver un polynôme αA + βB non scindé, en utilisant
la caractérisation d’un polynôme scindé sur R avec les complexes pour utiliser le résultat admis. J’ai
précisé ensuite au jury que je cherchais un polynôme, pour lui appliquer le résultat admis, et relier ça avec
ce que j’ai fait. Après quelques minutes de réflexion, il m’a finalement proposé de prendre la fraction
A
rationnelle B , et de voir sous quelle condition elle est développable en série entière au voisinage d’un
point c, je lui ai dit que c ne doit pas être racine de B. Maintenant, on doit chercher k et c vérifiant
F (z) = O((z − c)k ), il m’a d’abord demandé de préciser la condition de ça, j’ai répondu qu’il fallait que
les dérivées successives soient toutes nulles jusqu’à k − 1. Il m’a proposé de prendre k = 2, ensuite en
appliquant Rolle à F entre a et b, on déduit l’existence de c. Alors j’ai appliqué le résultat. Il reste
seulement 5min, le jury m’a demandé de raisonner géométriquement et de répondre oralement: il existe
quatre points du cercle de centre c et rayon r où F(z) est réel, ce cercle coupe l’axe des abscisses en
deux points, on prend celui non réel z, donc A − f (z)B a une racine complexe, absurde. Le jury m’a
donné beaucoup d’indications durant l’oral, ce qui justifie la note obtenu.

Déroulement - (11/20) J’ai pris 5 minutes pour comprendre l’énoncé, qui était long. J’ai commencé
par traiter le cas f = X − a. J’ai dit que les termes avant le rang k étaient nuls, et j’ai supposé que c
était nul (par translation). J’ai posé z = reiθ , et j’ai dit qu’il fallait examiner le comportement de Im(f ).
Je me suis investi dans une démarche brute et très calculatoire, en utilisant la notation exponentielle
pour chaque terme, et en m’intéressant à la partie imaginaire. Après que j’ai rempli le tableau, il m’a
dit que ça n’aboutirait pas. Après 5 minutes de silence, il m’a suggéré de poser f (z) = ak z k (1 + g(z)).
En passant à la notation complexe pour ak , j’ai écrit :

Im(f ) = Ark (Im(g(z)) cos(α + kθ) + (1 + Re(g(z))) sin(α + kθ))

Il m’a dit que je devais conclure à ce stade. Après encore 5 minutes de silence, il m’a dit d’essayer
d’annuler le cosinus. J’ai répondu que, puisque g(z) tend vers 0, on a Re(g(z)) > −1 pour r < r0 .
Donc, pour annuler le cosinus, il faut que α + kθ = π2 + pπ. Par le TVI, entre chaque deux valeurs de θ
pour lesquelles p = −k, −k + 1, . . . , 0, . . . , k, on peut trouver des z tels que Im(f ) soit nul.

J’ai pu terminer l’oral, mais le jury m’a donné beaucoup d’indications. La note était logique : 11.

61
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.1.23 Sujet 23

Exercice ( )
On prend a et b dans R∗+ tels que a
b
̸∈ Q.

1. Montrer qu’il n’existe aucun c dans R∗ tel que aZ + bZ = cZ.

2. Que peut-on dire de aZ + bZ ?

3. On considère (sn )n∈N∗ une suite d’entiers naturels tels que 2 ≤ s1 < s2 < ... et on pose
S = {sn |n ∈ N∗ } qu’on suppose stable par multiplication interne (i.e. ∀x, y ∈ S : xy ∈ S).
ln(p)
On prend p, q ∈ S tels que p < q et ln(q)
̸∈ Q. Montrer que:
sn+1
lim =1
n→+∞ sn

Déroulement - (11/20) L’oral était progressif, l’examinateur commence par une question classique
sur les sga [sous-groupes additifs], et donc il profite de ce moment pour me poser diverses questions sur
la densité de ces sga, sans discuter le fondement de ces résultats, ce qui m’a coûté très cher dans cet
∗
oral, car la question suivante, selon mon déroulement, se basait sur l’idée d’utiliser l’inf de A ∩ R+ = 0,
couplé avec une caractérisation épsilonienne, afin de bien formuler la définition de la limite dont on aura
besoin pour la question suivante, une idée que je n’ai malheureusement eue qu’en sortant de l’oral.

Pour cette deuxième question, j’ai reformulé le problème en posant mes propres notations, pour la
lier avec la première, sauf que la multiplicativité de l’ensemble avec le ln faisait qu’on cherchait la densité
de ln(p)N + ln(q)N, ce que j’ai mentionné à l’examinateur, qui a approuvé. Une autre idée c’est que
le rapport de deux éléments de S, non nécessairement successifs, suffisait pour conclure (en utilisant
la monotonie + gendarmes). Une chose qui nous poussera à construire nos éléments, en se basant sur
ces remarques sous la forme de puissances de p et de q. En fin de compte, je n’ai pas vraiment donné
grande chose dans cet oral, mais un mythe s’est réalisé: celui de proposer des idées à l’examinateur, une
initiative qui a vraiment marché pour moi pour l’oral de maths, mais qui a échoué en oral de physique,
comme les examinateurs s’attendent vraiment à ce qu’on résolve totalement ou partiellement l’exercice.

Déroulement (Question 3 uniquement) - (14/20) À première vue, l’exercice m’a choqué un peu.
Après quelques minutes de réflexion, j’ai proposé de monter que (un résultat classique): log(sp )Z +
log(sq )Z dense dans R. L’examinateur m’a demandé d’être bref. Puis, j’ai dit qu’il suffit de montrer que
: log(sn+1 ) − log(sn ) −→ 0 et je suis resté bloqué, c’est pour cela il m’a dit de raisonner par l’absurde.
n→∞
Donc j’ai supposé que:

(∃ϵ0 > 0)(∀N ≥ 0)(∃n0 ≥ N ) : log(sn0 +1 ) − log(sn0 ) > ϵ0

J’ai rapidement avancé en disant qu’il existe (α, β) ∈ Z2 tel que log(sn0 ) < log(sαp sβq ) < log(sn0 +1 ), et
je lui ai directement signalé que je n’ai pas utilisé l’hypothèse de l’absurde et (α, β) ∈ Z2 (donc je ne
peux pas utiliser la stabilité). À ce point il m’a demandé comment peut-on les rendre dans N?

Ici, il m’a demandé de fixer 0 < ϵ < log(sp sq ), de poser m = max{n ≥ 0/nϵ ≤ log(sp sq )} et de
montrer que:
(∀0 ≤ n ≤ m)(∃(αn , βn ) ∈ Z2 ); bn ≤ log(sαp n sβq n ) ≤ bn+1

62
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

avec bn = nϵ si 0 ≤ n ≤ m et bn = log(sp sq ) si n = m + 1 : ça passe par la densité.

J’ai fixé N1 ≥ 0 tel que : N1 ≥ max{|α0 |, . . . , |αn |, |β0 |, . . . , βn }, la stabilité par produit et l’hypothèse
de l’absurde donnent l’existence de N0 ≥ 0 tel que : log(sN0 ) ≥ log(sN 1 N1
p sq ) et log(sN0 +1 ) − log(sN0 ) >
ϵ0 .
Soit N2 = max{n ≥ N1 , log(snp snq ) ≤ log(sN0 )} En raison de la stabilité et la croissance de (si )i≥0 on
a:
log((sp sq )N2 ) ≤ log(sN0 ) < log(sN0 +1 ) ≤ log((sp sq )N2 +1 )
d’où :
0 ≤ log(sN0 ) − log((sp sq )N2 ) < log(sN0 +1 ) − log((sp sq )N2 ) ≤ log(sp sq )

ϵ0 ϵ0
On prend : ϵ = 2
et on a log(sN0 +1 ) − log(sN0 ) > 2 × 2
, donc

∃(α, β) ∈ {α0 , . . . , αn }×{β0 , . . . , βn } tq: log(sN0 )−log((sp sq )N2 ) < log(sαp sβq ) < log(sN0 +1 )−log((sp sq )N2 )

D’où
log(sN0 ) < log((sp sq )N2 sαp sβq ) < log(sN0 +1 )
Alors
sN0 < (sp sq )N2 sαp sβq < sN0 +1
Comme
N2 ≥ N1 ≥ max{|α0 |, . . . , |αn |, |β0 |, . . . , βn }
et que S est stable par produit alors : sN
p
2 +α N2 +β
sq ∈ S. Absurde, car entre deux éléments consécutifs
de S on a trouvé un élément de S.

2.1.24 Sujet 24

Exercice ( )
1. Soit n ≥ 1, Calculer le nombre de parties de [[1, n]] à k éléments ne contenant pas d’éléments
successifs.
On note Sn = J1, nK.

2. Soit une table ronde de 2n places où les places paires sont occupés par les (ai )i∈J1,nK ,on dispose
en outre de (bi )i∈J1,nK .
Quelle est la probabilité qu’aucun bi ne soit à côté du ai correspondant ?

Déroulement - (14/20) Épreuve de dénombrement puis de probabilités. J’ai réussi; presque instan-
tanément, à faire la 1ère question, ce qui choqua même l’interrogateur. Pour la 2ème question, il fallait
utiliser la formule de probabilité d’union généralisée, que l’examinateur m’a demandé de démontrer. En-
suite, j’ai posé une suite d’événements qui ne plut pas trop à ce dernier, et qui me demanda d’en poser
une autre, chose qui me perturba pour le reste de l’oral, qui s’est terminé juste avant que je conclue
l’exo.

63
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.1.25 Sujet 25

Exercice ( )
Une fonction f : N∗ −→ R est dite logarithmique si et seulement si:

∀m, n : f (mn) = f (m) + f (n)

1. Montrer que si f est croissante, alors il existe une constante C telle que:

∀n ∈ N∗ : f (n) = C · log(n)

2. Montrer que le résultat reste vrai si on suppose seulement que f (n + 1) − f (n) tend vers 0.

Déroulement - (12/20) En voyant que l’énoncé de l’exercice portait sur les équations fonctionnelles,
j’ai directement pensé à montrer la continuité et d’utiliser quelques astuces de ce genre, sauf que je me
suis rendu compte que l’ensemble de départ était N, chose que j’ai signalée à l’examinateur. (Cette piste
que je viens d’évoquer est possible, en définissant un prolongement de cette fonction, en s’inspirant des
propriétés du logarithme, et du fait que la fonction f est croissante – je n’ai pas pensé à cette idée au
moment de l’oral).

Je suis passé ensuite, en supposant l’existence d’une telle fonction f , à regarder des valeurs partic-
ulières f (1) = 0 . . . , l’examinateur me guida, en me disant de bien utiliser la monotonie de f . Toujours
en parlant avec l’examinateur, il me dit de supposer que f n’est pas la fonction nulle, et donc par
la monotonie, on a l’existence de b > 1 tel que f (b) ̸= 0 (comme f (1) = 0). Je commence donc
par établir quelques inégalités en utilisant ce fait, je fixe un n > 1, on a sûrement n entre bm et
bm+1 avec m dans N, et donc f (bm ) ≤ f (n) < f (bm+1 ). De même, en utilisant le logb , on obtient:
m ≤ logb (n) < m + 1. Comme f est logarithmique on peut facilement montrer que f (bm ) = m · f (b),
et donc on a m ≤ f (n)/f (b) < m + 1 et m ≤ logb (n) < m + 1. Je divise les deux inégalités, je me
retrouve avec une inégalité, à première vue, pas aussi intéressante qu’elle ne paraı̂t:

m f (n) m+1
< · logb (n) <
m+1 f (b) m

Soudain j’ai eu l’idée que cette inégalité est précise pour des valeurs grandes de n, et donc en considérant
nm avec n > 1 et m assez grand on a:

f (nm ) f (n)
m
logb (nm ) = −→ 1
f (b) logb (n ) f (b) logb (n)

quand m tend vers +∞. On conclut, par unicité de la limite, il a approuvé puis passa à la question
suivante. Cette fois-ci, nous avons continué sur la même hypothèse qu’il existe un b > 1 tel que f (b) ̸= 0.
Il me donna comme indication d’utiliser l’écriture décimale en base b (b > 1) donc bien définie. Je suis
son indication, j’écris, puis il me dit d’écrire la définition de cette limite. À la fin de l’oral, il m’a écrit
le résultat, et m’a dit ce qu’on doit faire pour y arriver. Je lui ai dit qu’il s’agit d’un télescopage, il a
approuvé et l’oral est fini.

Déroulement (Question 1 uniquement) - (14/20) Face au premier exercice, la première idée qui
m’est venue est de calculer f (1), qui vaut donc 0. Il m’a tout de suite dit que c’était un bon début,

64
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

et que ça permettait d’isoler deux cas: l’un où f = 0 et l’autre où f ̸= 0. Il me demanda aussitôt
f (2)
quelle devrait être la constante C dans le cas f ̸= 0, je lui ai répondu C = ln(2) , il me demanda de
justifier pourquoi f (2) ̸= 0. Je bloque un peu, avant qu’il me propose de considérer les puissances de
2. Je rebloque encore une fois, avant de lui dire qu’en fait, la croissance de f couplée avec le fait que
f (2) = 0, donnerait que f = 0, puisqu’on peut majorer tout entier par une puissance de 2. À ce stade-là,
f (2)
il me suffit de montrer que f (n) = g(n) avec g : n 7→ C.ln(n) où C = ln(2) . Il me proposa de me
reconcentrer sur les puissances de 2, et de trouver un majorant et un minorants pour chaque n ∈ s
N∗ . Je
ln(n ) ln(n )
bloque à nouveau et il me donne, au bout de 5 minutes, la majoration 2⌊ ln(2)
⌋
≤ ns ≤ 2⌊ ln(2)
⌋+1
, en
utilisant la croissance de f et en tendant s → +∞, on a le résultat.

Déroulement - (16/20) L’examinateur était silencieux, j’ai commencé par proposer des résultats
(utiles ou pas) tels que f (1) = 0. Si f ̸= 0, alors f (2) ̸= 0 car ∀k ∈ N∗ , ∃n ∈ N tq 2n ≤ k ≤ 2n+1 ,
donc la croissance de f assure que f (2) = 0 =⇒ f = 0. J’ai donc travaillé en base 2, en prenant
C = f (2), ce qui donne (I) : f (2n ) = nC et (II) : f (nk ) = kf (n) ∀(n, k) ∈ N∗ 2 .
Ensuite, j’ai proposé des pistes qui n’ont rien donné (raisonnement sur les nombres premiers, tentative
de récurrence...), puis j’ai dit à l’examinateur que f (3) devrait être égal à log2 (3)f (2), ce qui n’est pas
possible à trouver par un calcul simple, et pourrait amener à envisager une limite. L’examinateur a alors
k
décidé de me donner l’indication d’écrire la relation (II) sous la forme f (nk ) = f (n) pour n fixé et k
variable. J’ai ainsi proposé de faire tendre k vers l’infini et d’approximer nk par 2p lorsque k tend vers
l’infini, pour utiliser (I). En posant nk = 2p , on obtient p = log2 (nk ), ce qui en fait un bon candidat.
J’ai également écrit :
k
f (nk ) f (2log2 (n ) )
f (n) = lim = lim
k→+∞ k k→+∞ k
Or, on sait que :
k k k
2⌊log2 (n )⌋ ≤ 2log2 (n ) ≤ 2⌊log2 (n )⌋+1
et donc, par croissance de f :
k )⌋ k k )⌋+1
f (2⌊log2 (n ) f (2log2 (n ) ) f (2⌊log2 (n )
≤ ≤
k k k
d’où
⌊k log2 (n)⌋ ⌊k log2 (n)⌋ + 1
C ≤ f (n) ≤ C
k k
Quand k → +∞, on trouve f (n) = C log2 (n).
Il m’a confirmé l’idée, puis m’a donné la deuxième question. Il me restait environ 25 minutes, j’ai
demandé si f était positive, et il m’a dit que je pouvais le supposer. Ne voulant pas rester bloqué,
j’ai proposé des pistes comme f (n) n
−→ 0 grâce à Cesaro, ou encore de m’inspirer de la question
n→∞
précédente. Pour gagner du temps, j’ai tracé le graphe de log, pour essayer d’en déduire des propriétés.
∞
ϵi 2i où ϵi ∈ {0, 1}.
P
Le jury m’a ensuite suggéré d’écrire n en base 2. J’ai écrit n =
i=0
Étant toujours bloqué, il m’a indiqué qu’en fait, une base quelconque
 serait  nécessaire, et m’a
f (n)
demandé d’identifier C comme étant la plus petite valeur d’adhérence de log (n) . Ne voulant pas
2 n∈N∗
montrer de faiblesse, même si je commençais à perdre les pédales (comme disait Karakhi), j’ai proposé
de montrer que c’est l’unique valeur d’adhérence, pour établir une convergence (on pourrait ainsi utiliser
l’extraction avec n fixé (nk )k∈N∗ pour trouver le résultat, si l’on peut prouver l’unicité). Il a confirmé
l’idée, et m’a demandé de procéder par double inégalité. J’ai alors écrit :
f (n) f (nk )
= lim ≥C
log2 (n) k→+∞ log2 (nk )
et le temps s’est écoulé.

65
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.1.26 Sujet 26

Exercice ( )
Soit E = Rn euclidien (n ≥ 2) et (v1 , ..., vn ) une famille de E de rang r ≥ 1.
Trouver une CNS pour qu’il existe un projecteur p de E et (f0 , ..., fn ) une b.o.n de E tels que
∀i ∈ [[1; n]] p(fi ) = vi

Déroulement - (13/20) Examinateur sympa, il m’a dit de commencer avec le cas où r = n (cas
simple pour s’approprier l’exo). On a passé le reste de l’oral au cas de n = 2 et r = 1, la condition était
n
||v1 ||2 + ||v2 ||2 ≥ 1 qu’on peut généraliser au cas de r = 1 à ||vi ||2 ≥ 1.
P
i=1
N.B: Ce cas est traité géométriquement.

2.1.27 Sujet 9

Exercice ( )
Soit (an )n∈N une suite réelle telle que pour tout entier naturel n on a 0 < an < an+1 < 1.
On définit la suite (un )n≥0 par u0 ≥ 0 et

un+1 = un (uαn + an )

Montrer qu’il existe un unique u0 pour lequel (un )n converge vers l > 0.

Déroulement - (15/20) Examinateur très calme. Je commence par établir la CV de (an )n , l’unique
limite l non nulle possible de (un )n , J’essaie d’écrire un en fonction de u0 en calculant le produit
téléscopique de uun+1
n
, mais sans aboutir. J’explique que, pour (an )n fixée, un+1 est comme une suite
d’ordre 1 (par exemple an = 0 c’est évident), et donc est entièrement déterminée par u0 . L’examinateur
apprécie l’idée et demande de continuer sur cette piste.

Après m’être bloqué, il me propose d’écrire fn (t) = un (u0 = t) c.à.d prendre u0 comme paramètre,
je n’avance pas plus que ça car c’est déjà ce que j’essayais de faire, puis il me propose de penser à fn
comme des fonctions, donc étudier (fn )n comme suite de fonctions. J’établis plusieurs propriétés sur la
croissance, le signe, les limites etc... J’aboutis à une suite (bn )n décroissante, où change le signe de fn′
et dont la limite est ce u0 qu’on cherche. Par intuition, je lui propose de prouver que pour cette unique
u0 = a il y a CV vers l. Pour u0 > a, un tend vers l’infini et pour u0 < a, un tend vers 0. Je montre la
première, et il me demande, pour conclure, comment faire pour le dernier cas par manque de temps.

66
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.1.28 Exercices sans déroulements

Exercice 1
X φ(n)
Soit φ une injection de N vers N, est-ce que diverge ?
n≥1
n2

Exercice 2
Soit (G, ·) un groupe d’ordre n. Pour g1 , · · · , gk ∈ G, on pose :

E(g1 , · · · , gk ) = {gi1 · · · gis /1 ⩽ s ⩽ k et i1 < · · · < is } ∪ {e}

1. Montrer que si E = G alors k ⩾ log2 (n).

2. Si A est une partie de G, montrer que :
X
|xA| = |A|2
x∈G

Exercice 3 ( )
On considère la condition :
(i) f : R+ → R+ , lipschitzienne de rapport 1, continue et intégrable sur R+ .
X
Si f vérifie (i), a-t-on : ∀x ∈ R∗+ , f (nx) converge ?
n≥0

Indications (de la part de l’auteur)

• Considérer le cas de monotonie de f .

|sinx|
• Construire une fonction ne vérifiant pas cela en se basant sur x
et en considérant des
triangles dont on peut changer la base et la hauteur.

Exercice 4 ( )
Existe-t-il une matrice A ∈ M2 (R) telle que:
 
+∞ n
X (−1) 1 2024
A2n+1 =  ?
n=0
(2n + 1)! 0 1

67
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Exercice 5 ( )
Soit n ≥ 2 et f1 , f2 , . . . , fn des fonctions de D1 (R, R). On suppose que les (aij )1≤i,j≤n sont des
réels strictements positifs, et on pose:
n
X
fi′ = aij fj pour tout i ∈ {1, . . . , n}.
j=1

Est-ce que les (fi ) peuvent être libres ?

Exercice 6 ( )
Soit Y une variable aléatoire réelle discrète (v.a.r.d). On dit que Y est k-divisible s’il existe
X1 , · · · , Xk des v.a.r.d, ayant la même loi, et indépendantes, telles que Y ∼ X1 + · · · + Xk .

1. Si Y ∼ B(n, p) (0 < p < 1), trouver les entiers k ∈ N∗ tels que Y est k-divisible.
Indication : c’est les diviseurs de n.

2. (a) Si Yn ∼ B(n, nλ ), calculer lim P(Yn = k).

n→+∞

(b) Si Y ∼ P(λ), λ ∈ R∗ , montrer que Y est k-divisible pour tout k ∈ N∗ .

68
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.2 Physique
2.2.1 Sujet 1
Exercice
Absorbeur de neutrons

d v Détecteur

Miroir
L

On se donne des miroirs de dimension caractéristique L, infiniment répulsifs pour les neutrons sur
une très courte distance. On place un tel miroir horizontalement au-dessus de la Terre, puis on place
un absorbeur de neutrons au dessus de ce miroir à une distance d. On émet un flux à neutrons bien
collimaté à une vitesse v = 10m.s−1 .
À quelle condition sur L peut-on observer un comportement quantique sur une distance d ? On peut
utiliser le résultat suivant:
Pour avoir une incertitude de mesure d’une énergie de ∆E il faut un temps de mesure:
ℏ
∆t =
∆E

Déroulement - (05/20) Commençons par la fin: Je suis sorti de l’oral les jambes qui tremblent et
les larmes aux yeux.
L’examinateur me propose le sujet sur papier, je prends le temps de le lire (grand nombre d’informations
implicites ou décrites sous forme de texte). Après 5min de lecture, je n’ai pas en tête une piste claire
de ce qui m’est demandé, alors que je suis sur le point de commencer par présenter le problème avec un
schéma et les différents paramètres mis en jeu, l’examinateur me dit : ”Si tu ne comprends pas quelque
chose, je peux t’aider. Après, il ne faut pas que les questions soient bêtes”.

Je présente ce que j’ai compris, il dit que c’est bien, et insiste sur le fait que je suis bien en train
de répondre à la première question. Pour montrer qu’il y a un comportement quantique, je propose
2 méthodes, soit de calculer la vitesse et qu’elle soit relativiste ce qui n’est pas le cas (v donné), soit
de calculer par analyse dimensionnelle le quantum d’action, et qu’il soit de l’ordre de grandeur de la
constante de Planck. Il ne me laisse pas finir ma phrase et crie à la bêtise (la deuxième est ce qu’il
fallait faire...). Sans réagir, je me retourne et lui propose donc de changer d’approche en passant par
l’équation de Schrödinger, je trouve une difficulté pour calculer le potentiel V associé. Durant 15min,
il ne cesse de répéter ”lisez l’énoncé” en soufflant.

Je finis par trouver l’équation en régime stationnaire (nom qu’il ne cesse de demander à plusieurs
reprises). Celle-ci est d’hamiltonien non constant, il me demande alors de laisser tomber tout cela et si

69
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

je connais le modèle de l’atome d’hydrogène et comment on calcule son énergie, je lui explique le modèle
de Bohr, mais il me coupe et me dis de le faire sans calcul. Je n’ai pas compris le but de la remarque.
En fait, par analyse dimensionnelle (le quantum d’action finalement) ce qui nécessite bien des calculs,
ou non ? hhhhhhh law3lm. Pire oral que j’ai passé.

Déroulement - (06/20) Je ne me suis jamais senti comme le plus fort en quantique, mais alors là,
cet énoncé avec ses notions inconnues ne m’a pas aidé. Donc j’ai eu besoin de l’aide de l’examinateur
pour comprendre la situation, les notions et pour finalement faire un schéma correct. Ensuite, pour
avancer, je me suis dit que j’allais commencer par la base, poser mon équation de Schrödinger et
essayer d’avancer. J’ai déjà un problème car je ne me souviens plus très bien de cette dernière et j’ai
mis du temps à m’en rappeler, pour ensuite avoir une expression dont je vais douter et, par la suite,
revenir pour corriger quelques éléments. Bref, je n’étais pas du tout sûr de moi. Passé un petit moment,
je bloque à nouveau et ne sais plus quoi faire. L’examinateur me lance une indication, celle d’utiliser
un raisonnement physique ”fondamental” et ”qu’on utilise tout le temps”, il insiste beaucoup là-dessus,
mais dans le contexte, je n’arrive pas à deviner de quoi il me parle. Après un long moment, il s’est avéré
qu’il s’agissait de l’analyse dimensionnelle. Je pose alors mon équation pour chercher une expression
pour le ∆E faisant intervenir les paramètres du problème, et j’arrive sur un système d’équations que
je commence à résoudre pour trouver les exposants. L’oral se termine alors que j’en avais trouvé que
quelques-uns.

C’était certainement l’examinateur le plus désagréable que j’ai eu pendant mes oraux. D’abord, au
moment d’entrer, il exige à voir mon téléphone éteint. J’ai un petit problème avec mon téléphone et lui
demande s’il serait possible de juste le mettre en mode avion. Il ne veut rien savoir et veut le voir éteint,
je cède alors. Pendant mon passage, quand je me retourne pour lui expliquer ce que je fais, je vois qu’il
secouait sa jambe nerveusement, comme s’il était stressé, et ce stress était un peu contagieux. Quand
je bloque, il soupire en disant : ”Bon, il faudrait avancer quand même, parce que dans un oral l’objectif
c’est de résoudre l’exercice”. J’ai déjà parlé de l’indication qu’il m’a lancée comme une énigme et que je
n’ai pas pu deviner. Une chose qui m’a aussi choqué, c’est que la salle avait deux tableaux côte à côte,
le premier avec craie et le second un tableau blanc. Vers la fin, j’avais écrit mes premières pistes sur
le tableau à craie, et j’étais en train de faire la résolution du système d’équations sur le tableau blanc.
L’examinateur se lève, sans dire un mot, avance vers moi et se met à frénétiquement effacer ce que
j’avais écrit sur le premier tableau. J’ai arrêté pour un moment, ne comprenant pas et me demandant
si le temps s’était écoulé. Il ne me regarde même pas alors je continue mon travail et ce n’est qu’après
quelques minutes que le temps s’écoule vraiment.

Déroulement - (08/20) Au début, un spectateur a rejoint mon oral, ce qui n’a pas du tout aidé
ma performance. De plus, l’examinateur parlait très doucement et j’avais du mal à l’entendre, même
lorsque je lui ai dit que je n’entendais rien, son ton n’a pas changé. Lorsqu’il m’a donné l’énoncé, j’ai
commencé par dessiner un schéma et paramétrer la situation. Après quelques minutes de réflexion, j’ai
limité mon étude à un seul neutron, et j’ai supposé que ce neutron suivait la mécanique classique, et donc
son mouvement sera simplement une chute libre accompagné par des rebonds sur le miroir sans perte
d’énergie. Cette étude m’a donné une condition sur le temps nécessaire pour réaliser cette expérience en
ℏ
le comparant au temps donné (T = ), qui n’a donné aucune condition sur L.
E
Après, mon premier réflexe a été de parler des potentiels. L’examinateur a approuvé, puis j’ai souligné
que le neutron était uniquement soumis au potentiel de pesanteur. J’ai tracé le graphe du potentiel, et
je me suis bloqué pour quelques minutes.

L’examinateur m’a dit de traduire le fait que le miroir soit parfait dans le graphe du potentiel, je
ne savais pas ce que cela signifiait. Il m’a ensuite dit de comparer le miroir à un mur de potentiel

70
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

et de procéder par analogie. J’ai alors déduit que le graphe du potentiel devait avoir un mur infini
positif à z = 0. Après, je me suis bloqué une autre fois. J’ai proposé de résoudre l’équation de
Schrödinger, mais j’ai vite vu que cela ne donnerait rien, étant donné que nous n’avons aucune
information supplémentaire concernant le neutron. Il a confirmé et m’a ensuite demandé si nous pouvions
dire que le neutron et le miroir étaient dans un état lié, et nous avons eu une discussion sur ce que cela
signifiait et comment cela affecterait notre étude, puis il m’a demandé si les états liés faisaient partie
de notre programme (ce à quoi je ne sais pas répondre à ce jour). Suivant cette discussion, l’oral s’est
terminé.

2.2.2 Sujet 2
Exercice
z

Air
z=e
Béton
z=0
Φ(t) Sol

Établir les équations régissant les transferts thermiques et essayer de les résoudre dans les cas :

• Φ(t) = Φ0 constante

• Φ(t) fluctue à cause de la variation jour/nuit

Déroulement - (11/20) La première question consiste à retrouver l’équation de la chaleur dans le

cas unidimensionnel, ce que j’ai tendance à qualifier de trivial (bilan simple et aucun piège dans les
équations). Je le fais bien et rapidement. L’équation est:
∂T (z, t) ∂ 2 T (z, t)
=D
∂t ∂z 2
L’examinateur me demande de la résoudre dans le cas où Φ(t) est constante, on élimine alors les dérivées
temporelles et on intègre. L’examinateur paraı̂t satisfait jusque-là. Cependant, aucune réaction de sa
part, seulement des ”ok” lorsque je prends la bonne décision. Ensuite il me dit qu’en réalité Φ(t) fluctue
entre le jour et la nuit, je décide alors de poser la forme:
Φ(t) = Φ0 (1 + δ cos(ωt))
L’examinateur approuve et me demande comment résoudre l’équation dans ce cas. Je propose déjà
des situations pour pouvoir se ramener au cas stationnaire: si les valeurs numériques sont adéquates,
on peut négliger les variations temporelles (sauf qu’il faut toujours négliger devant quelque chose, mais
l’examinateur était d’accord avec ma démarche). Ensuite, je propose d’étudier une solution à variables
séparées T (z, t) = f (z)g(t), je suis alors un calcul classique et fais apparaı̂tre une constante K telle que:
1 dg(t) D d2 f (z)
= =K
g(t) dt f (z) dz 2

71
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Je constate alors que g(t) = exp(Kt), et propose de prendre K < 0 pour que la solution ne diverge pas.
Seulement je n’aime pas où cela nous mène, parce que cette solution ne fait pas apparaı̂tre les fluctuations
de Φ, et je le dis à l’examinateur. Je propose alors de prendre K = a + ib complexe: la partie imaginaire
témoigne des variations, ce qui me pousse à reprendre la définition de Φ par Φ(t) = Φ0 (1 + δ exp(iωt)),
et après un temps de discussion, j’arrive à la conclusion qu’il faut en fait prendre K = ib imaginaire pur,
et l’oral se termine. Au vu de comment s’est déroulé l’oral, et le rythme élevé et quasi constant que
j’avais je pensais avoir plus que 11, j’espérais même une note bien plus respectable, mais voilà.

2.2.3 Sujet 3
Exercice 1

Le cylindre de rayon R et de masse M est coincé contre un mur, et tourne initialement à la vitesse
angulaire ω = ω0 . Combien de tours fait-il avant de s’arrêter ?

Exercice 2
Est-il mieux de se peser :

• à midi ou bien à minuit?

• à l’équateur ou bien aux pôles?

Déroulement - (10/20) Cette épreuve de physique au concours X-ENS était la toute première que
j’ai passée, ce qui ajoutait une pression supplémentaire à ce moment crucial. Le sujet m’a été introduit
par le jury avec un premier exercice de mécanique du solide, qui m’a semblé relativement moins difficile
que prévu. J’ai d’abord reformulé l’énoncé pour m’assurer de bien le comprendre et, une fois que le
professeur a confirmé ma compréhension, j’ai entamé la résolution. J’ai proposé que le mouvement
s’arrêterait sous l’effet des forces de frottement et, après son approbation, j’ai introduit le coefficient de
frottement.

J’ai établi un système dynamique en représentant les forces de façon algébrique. Après avoir trouvé
une relation, j’ai proposé une approche énergétique avec le théorème de l’énergie cinétique, en expli-
quant que la variation de l’énergie cinétique est égale au travail des forces. Le professeur a validé ce
raisonnement, et j’ai finalisé les calculs. Cependant, lorsque j’ai tenté de commenter les résultats, je ne
savais pas comment répondre à certaines questions de précision sur les valeurs usuelles du coefficient de
frottement. Finalement, le professeur a indiqué que le coefficient de frottement est en général inférieur
à 1, et mon absence de réponse précise sur ce point semblait le laisser insatisfait.

72
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Après avoir terminé ce premier exercice, le professeur m’a proposé un deuxième exercice, plus diffi-
cile que le précédent. Mon premier réflexe a été de mentionner ma confusion quant à une donnée qui
impliquait que le poids puisse dépendre du temps, ce qui me semblait incohérent. Le professeur a souri à
ma remarque, et j’ai alors eu l’idée de dessiner le globe terrestre au tableau. Cela m’a permis d’illustrer
la différence entre midi et minuit, évoquant l’impact de la force gravitationnelle du Soleil. Le professeur
a semblé satisfait et m’a donné la deuxième partie de la question.

Pressé par le temps, j’ai évoqué brièvement les forces d’inertie, en expliquant que la distance à l’axe
de rotation de la Terre diffère selon qu’on se trouve aux pôles ou à l’équateur. Il a approuvé cette idée
avant de clore l’épreuve.

Déroulement (Exercice 1 seulement) - (06/20) C’est ma première épreuve à l’X, ceci implique
que c’était une double épreuve: la deuxième étant totalement psychique. Il paraı̂t au premier instant que
c’est exagéré de parler d’une telle chose, mais la réalité montre le contraire, même si vous vous entraı̂nez
dans plusieurs simulations, la terreur avant de s’habituer aux oraux est incomparable. L’examinateur
ne m’a appelé qu’après 15 min de la date de passage, ce qui m’a encore stressé. J’entre dans la salle
et je refuse déjà d’avoir un spectateur, ensuite je ne réussis même pas à éteindre mon téléphone et
j’ai commencé à stresser d’une manière incontrôlable. L’examinateur me demande de me calmer, mais
c’était sûrement au profit de la note .

Il m’écrit l’exercice au tableau et s’installe au fond. Un exercice de mécanique du solide dont la

démarche est généralement connue et classique pour la SII (TMD, PFD, ...). Je présente ma stratégie
mais l’examinateur ne faisait que regarder et écrire sur son cahier. Il intervient parfois pour me corriger
certaines fautes de signe. Je réussis mon exercice, mais l’examinateur n’avait pas l’air content, il me dit
que vous avez mis beaucoup de temps pour répondre. L’oral est fini, et une telle phrase m’a totalement
détruit, car j’ai su que ma note serait mauvaise même si j’avais trouvé la solution sans aucune indication
majeure (j’avais quand même l’espoir d’un certain 11). Et voilà, je me suis retrouvé avec un joli 6 qui a
confirmé mon échec à l’X.

Déroulement (Exercice 1 seulement) - (13.5/20) La première question était facile ; une appli-
cation du PFD et du TMC (ou du PFD et du TEC) suffisait pour la résoudre. J’ai fait une erreur
de signe que je n’ai pu remarquer qu’après la remarque de l’examinateur, ce qui m’a coûté très cher.
J’ai pu terminer la question dans la première demi-heure, puis nous sommes passés à l’étude qualita-
tive, et c’est cette partie de l’oral qui est la plus pondérée (généralement le cas pour des exercices faciles).

Il m’a posé plusieurs questions, comme : ”Pourquoi le nombre de tours dépend-il linéairement du
rayon du cylindre ?”, ”Étudiez le comportement asymptotique du nombre de tours lorsque k, le coeffi-
cient de frottement, tend vers l’infini” et ”Interprétez-le”. L’examinateur était neutre et il m’a aidé à
trouver la bonne explication pour la deuxième question.

Je voudrais ajouter que, lors des deux oraux de physique et d’ADS, les examinateurs m’ont demandé
de trouver la formule du moment d’inertie d’une sphère et d’un cylindre en utilisant la formule intégrale.
Il faut donc la connaı̂tre :
˚
J= r2 dm
V

73
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.2.4 Sujet 4
Exercice

−q +q

+q −q

Calculer le potentiel électrique en un point du voisinage du centre du carré.

Déroulement - (15/20) J’avais déjà vu un exercice pareil. Ce que j’avais fait, c’est que j’ai tout
d’abord paramétré mon schéma en posant l’axe des x horizontal et l’axe des y vertical, et qui passent
tous les 2 du centre du carré. Le potentiel dépendra de x et de y. J’ai pris un peu de temps pour
réfléchir à ce que je pouvais faire. L’examinateur a été silencieux et intervenait rarement. J’ai calculé le
potentiel créé par une seule charge et effectué le développement limité à l’ordre 1. On pouvait déduire le
potentiel créé par les autres charges en remplaçant q par –q, x par −x ou y par −y selon le cas étudié.
Ensuite, par le principe de superposition, on somme les 4 potentiels pour retrouver le potentiel au centre
du carré.

Dans ce cas, avec tous ces longs calculs, le potentiel est nul sur tout le voisinage. J’ai retrouvé
V = 0, et l’examinateur m’a demandé ce que je pouvais en déduire. J’ai senti comme s’il voulait me
piéger, car en fait, on ne devait pas le trouver nul, j’ai réfléchi un peu et lui ai proposé de pousser le
développement limité un peu plus, c’est-à-dire, à l’ordre 2. Il n’a pas réagi et je me suis lancé encore
une fois dans les calculs qui étaient très longs. Je faisais beaucoup d’attention à ne commettre aucune
faute, et finalement, j’ai retrouvé une expression non nulle.

Dès que j’ai fini mes calculs, l’examinateur m’a demandé de donner l’allure des équipotentielles et
des lignes de champ. J’avais discuté cet exercice avec un camarade qui avait eu le même exercice et il
m’a dit qu’il avait procédé autrement : il avait dit que le potentiel dépend forcément de x et y et qu’il
admettait un DL à l’ordre 2 au voisinage du centre, donc:

V (x, y) = Ax2 + By 2 + Bxy + Bx + Ey + F

Où A,B,C,D,E,F des constantes. Ensuite il a utilisé plusieurs propriétés pour éliminer ces constantes telles
que la symétrie du problème et le fait que le potentiel est nul au centre du carré. Ainsi, il a pu donner
l’expression du potentiel en gardant une seule constante parmi les 5, sans chercher à la déterminer. Son
examinateur avait beaucoup apprécié sa démarche.

Déroulement - (16/20) De loin, l’oral le plus chanceux auquel j’ai participé. En effet, j’avais vu un
exo similaire en colle normale, ce qui est archi drôle. Bon, tout au long de l’épreuve, je pensais juste
à ne pas révéler tout de suite le fait que j’avais la réponse en tête, et faire semblant de penser. L’idée

74
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

consistait à faire un DL d’ordre 2 de V , puis grâce à des théorèmes d’électrostatique, des symétries et
des propriétés géométriques, déterminer les constantes de ce DL. À la fin de l’épreuve, l’examinateur me
posa des questions de cours sur les lignes de champ que j’avais totalement oubliées (no judgin haha), et
donc je suis resté figé, à deux doigts de lui dire que je ne savais pas, mais le temps s’est terminé juste à
ce moment-là.

2.2.5 Sujet 5
Exercice
V

x
a
−V0

Ordres de grandeurs : a ∼ 1 fm, V0 ∼ 250 MeV

1. Déterminer le domaine des états liés.

2. Trouver les solutions correspondantes.

Déroulement - (12/20) Dans la première question, en m’inspirant des forces centrales, j’ai répondu
que le domaine est [−V0 , 0]. Dans la deuxième question, en essayant de résoudre l’équation de Schrödinger,
le jury m’a fait la remarque que j’avais oublié qu’on travaillait avec un potentiel négatif. Et grâce aux
conditions aux limites, j’ai pu trouver les modes qui s’écrivent comme k = tan(f (k)), puis le jury a mené
avec moi le reste du calcul, pour trouver une relation de type | sin(x)| = αx, avec x et α dépendants
des paramètres déjà mentionnés. Graphiquement, j’ai trouvé que α devait être petit pour espérer une
solution.

2.2.6 Sujet 6
Exercice
On considère une cuillère dont le cuilleron est plongé dans de l’eau chaude, et son manche, qu’on
symbolise par un parallélépipède, est en contact avec l’air. Trouver la température au bout du manche.

Déroulement - (10,5/20)

• Je commence par établir, assez lentement, l’équation de diffusion, mais j’oublie totalement les
échanges thermiques avec l’air. L’examinateur me demande d’expliquer certaines simplifications et
certains signes, ce que je fais.

• Je trouve l’équation générale et je bloque un peu, ensuite je me rappelle qu’il faut aussi considérer
les échanges sur les parois latérales, j’introduis le coefficient conducto-convectif et je réécris mes

75
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

équations. Je me trompe sur le signe des échanges conducto-convectifs, et pour me signaler ceci,
l’examinateur me pose des questions mal formulées: ”C’est quoi ϕ?? Pour vous ϕ c’est ce qui
sort?”. Il n’a pas aimé mes réponses, et je commence à paniquer, car je ne vois pas ce qu’il veut
que je dise. J’ai pas pensé à l’erreur de signe, finalement il me signale clairement mon erreur, je
continue le calcul.

• Je trouve encore une fois l’équation, je lui dis que je vais supposer le régime permanent, l’équation
devient celle d’un anti-oscillateur harmonique, avec un terme en plus (de la forme T̈ −k 2 (T −T0 ) =
0). À ce stade, j’écris directement T = T0 + Ach(kx) + Bsh(kx), et je dis que c’est la forme
générale. Il me regarde et me dit que ça ne l’est pas. Je me tais pour un moment, et je ne vois
pas du tout ce qui le dérange dans ce que j’ai écrit, il me dit ”dans ce que vous écrivez, vous
faites un choix, vous devez l’expliquer”. Là encore, je ne vois pas ce qu’il veut que je fasse, et
je panique. Finalement, je dis que c’est ce qu’on obtient en posant z = T − T0 , il me dit ”Ok”.
Apparemment, c’est ce qu’il voulait que j’explique mais je ne sais encore pas pourquoi il m’a fait
perdre autant de temps pour un simple résultat mathématique.

• J’explique qu’on trouve A en connaissant T (0), et je suppose que ça correspond à la température
de l’eau en régime permanent, ensuite je bloque pour trouver l’autre condition initiale, je tente
de trouver Ṫ (0) mais ça ne marche pas, il m’invite à considérer j(L) (avec L la longueur de la
partie du manche en contact avec l’air), en utilisant un flux conducto-convectif, ce qui donne une
équation qui fait intervenir T (L) et B. Je dis qu’on a une autre équation qui fait intervenir les
deux, qui est l’expression de T (x) en L.

L’examinateur posait mal les questions pour donner des indications, il était tout de même attentif.

2.2.7 Sujet 7
Exercice 1
On appelle secousse (ou jerk) la dérivée de l’accélération.

1. Calculer le vecteur secousse dans le cas bidimensionnel en coordonnées polaires.

2. Le calculer pour le cas θ = θ0 − ωt et r = cte. Interpréter.

3. Le calculer pour le cas θ = θ0 exp(−ωt) et r = cte. Interpréter.

Exercice 2
On considère un cadre rectangulaire très long selon ⃗ez . On divise l’espace en deux demi-espaces par
un plan orthogonal à ⃗ez . Dans le demi-espace supérieur, il y a un champ magnétique B⃗ non nul. Le
champ magnétique est nul dans le demi-espace inférieur. Étudier le mouvement.

Déroulement - (15/20)
Exercice 1 :
Après avoir calculé le vecteur secousse, j’ai fait la suite de l’exercice sous la forme d’une discussion avec
l’examinateur. Il m’a notamment demandé de dessiner, pour le premier cas, les vecteurs accélération à
des instants différents (t et t + dt), et de dessiner la différence des deux (qui doit être dessinée colinéaire
au vecteur secousse). Pour le deuxième cas, l’expression du vecteur était bien plus complexe, il m’a

76
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

demandé de ”dire des choses sur le vecteur ortho-radial”, j’ai dit que le vecteur secousse changeait de
sens selon e⃗θ en s’annulant, il m’a demandé de regarder quand le changement de sens se faisait. Je n’ai
pas vu tout de suite que ce changement se faisait lorsque θ = 1, mais je l’ai vu après.

Exercice 2 :
J’ai supposé que B⃗ était orthogonal au plan du cadre. J’ai trouvé une équation différentielle du mouve-
ment en z, que j’ai intégrée pour obtenir dz
dt
, puis z. Il m’a demandé de regarder la vitesse limite, la durée
dz
à partir de laquelle on pouvait supposer dt constante (quelques τ ), et une condition qui permettrait
d’atteindre ces durées. Dans le cadre de mon calcul, il faut avoir z > −L pour un t suffisamment grand.
Il m’a demandé de calculer z pour t = τ et d’en déduire une condition, et pareil pour t = 5τ .

L’examinateur était assez froid: je suis passé en dernier à 17h40, je pense que ça doit être pour ça.
Le tableau était petit, je n’avais donc pas beaucoup de place mais l’oral s’est plutôt bien passé (les deux
exercices étaient accessibles).

2.2.8 Sujet 8
Exercice 1

Un cerceau de rayon r, qui tourne avec une vitesse ω contstante autout d’un axe, trouver une condition
pour laquelle le cerceau ne tombe pas.

Exercice 2
Vous avez un potentiel harmonique:
1
V (x) = kx2
2
Énoncer et résoudre l’équation de Schrödinger dans ce potentiel.

Déroulement - (8.5/20) Le jury était très silencieux. J’ai pensé qu’on devait trouver une condition
pour que le cerceau ne tombe pas, mais en fait, ce n’était pas ce qu’on cherchait ! J’ai essayé de
déterminer la variation de la hauteur pour trouver une condition, et j’ai tenté d’appliquer le TMC, mais
sans succès. Le jury m’a laissé faire des calculs inutiles et, à la fin, il m’a dit : ”Supposez qu’il ne tombe
pas !” Je n’ai pas compris cette indication, mais je ne voulais pas poser plus de questions, car il ne
répondait pas. J’ai appliqué le PFD et les lois de Coulomb, mais j’ai trouvé une condition illogique (la
vitesse de rotation inférieure à un certain seuil). J’ai dit que ce n’était pas logique, car normalement,
plus la vitesse augmente, moins le cerceau tombe. Cependant, je n’ai pas réussi à identifier l’erreur.
Après 5 minutes de silence, il m’a dit que j’avais inversé T et R, que T était en fait vertical ici!!! Cela

77
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

m’a vraiment déstabilisé, et j’ai rapidement conclu avec une inégalité sur le rayon et la vitesse.

Le deuxième exercice, je l’avais déjà fait pendant ma préparation, donc je voulais sauver mon oral
en le faisant rapidement. J’ai proposé la fonction ϕ(x) = Ae−αx , je l’ai injectée dans l’équation de
Schrödinger, mais ça a donné des résultats illogiques. Le jury m’a laissé continuer longtemps avant
de me dire finalement que la fonction n’était pas normalisable! Ça m’a détruit mentalement. J’ai corrigé
2
la fonction en prenant ϕ(x) = Ae−αx , et j’ai terminé les calculs. Mes erreurs de calcul m’ont beaucoup
pénalisé, et la note finale était logique : 8.5.

Un conseil que je peux donner: essayez de ne pas être déstabilisé par le comportement du jury, et
surtout évitez les erreurs de calcul, ça coûte vraiment !!!

2.2.9 Sujet 9
Exercice
On remarque que la gravitation universelle décroı̂t plus lentement lorsqu’on s’éloigne trop de la source.
Pour justifier ce phénomène, on s’adosse à la relation suivante:
!!
⃗
grad(ψ)
div f ⃗
.grad(ψ) ⃗
= 4πGρ ⃗g = −grad(ψ)
a0

 f (x) ≈ x si x ≪ 1
Où Ψ potentiel gravitationnel et tq
 f (x) ≈ 1 si x ≫ 1

1. Retrouver la loi gravitationnelle que l’on trouve (pour les petites distances).

2. Qu’en est-il pour les grandes distances ? Quelle est la limite entre les ”petites” et les ”grandes”
distances ?
Sachant que a0 ≈ 10−10 calculer cette limite pour le cas du soleil.

Déroulement - (12/20) Le prof était soo aigri, il n’était pas réactif et, même si je finis par répondre à
la question et donc faire la bonne chose, il me fixe du regard avec 0 réaction ou impression et me pose des
questions déroutantes, dès qu’il en avait l’opportunité. Il était vraiment très minutieux et ne laissait rien
passer sans vouloir me faire tomber dans l’erreur. En réalité, cela a fini un peu par me déstabiliser, mais
concrètement, j’ai réussi à terminer l’exercice, même si je n’ai pas forcément pu répondre correctement
à toutes ses questions, parfois ”trop vagues”. ‚ Le plus
˝ important dans l’oral, c’était de savoir manipuler
les triples intégrales et les transformations □→ div(□) ⃗ et surtout savoir interpréter les résultats
équivalents et choisir le résultat mathématique physiquement possible.

78
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.2.10 Sujet 10
Exercice
On considère un globe rotatif dans le vide, sur lequel on pose une fourmi qui va droit devant elle.
Combien de tours fera le globe lorsque la fourmi tombera ?

Déroulement - (9.5/20) L’examinateur était au premier abord silencieux, c’est moi qui essayais de
lui parler et lui présenter mes réflexions. Ne voyant quelle influence pourrait avoir une fourmi sur la
rotation du globe, je propose une relation linéaire simple liant ω en expliquant les raisons logiques (bon
sens) qui justifient pourquoi l’influence est moindre. Il rétorque à ce que j’ai dit et me demande de
proposer mieux. Là, je fais un bilan des forces et j’étudie le mouvement de la fourmi dans le référentiel
du globe, pour voir à quel moment la fourmi arrive à la fin de son parcours vers le sud, comme première
approche. Je détaille mes calculs, que je trouve laborieux et sans issue, je suis là déstabilisé et je bégaie.
L’examinateur en profite pour me poser des questions sur le cours du référentiel non-galiléen. J’ai du
mal à répondre, mais j’y arrive tout de même. Là, le jury me dit que ma méthode marche mais, comme
prévu, laborieuse. Il me propose une approche énergétique, en considérant le système {fourmi + globe},
et me demande de déterminer le moment d’inertie. J’y arrive avec beaucoup de mal (il y avait un angle
à considérer dans les calculs sur lequel je me suis trompé). Je lui propose ensuite d’appliquer le théorème
de la puissance cinétique, il me dit de l’énoncer, chose que je fais, en évoquant les forces intérieures, le
jury s’étonne et note sur son ordi sans dire un mot et l’oral se termine là-dessus.
Dévastateur comme oral, je pensais que tout était perdu, surtout qu’avant, j’avais aussi mal passé un
autre oral, mais tout s’est bien passé hamdollah.

2.2.11 Exercices sans déroulements

Exercice 1
On considère une corde vibrante dans le régime sinusoı̈dal, on prend en compte les frottements de
l’air, modélisés par une force locale proportionnelle à la vitesse transversale. On veut calculer la
vitesse transversale de la corde, déterminer l’expression de la distance caractéristique d’atténuation,
et trouver une condition sur l’existence de la propagation.

Exercice 2
Soit un trou noir de distance caractéristique a de masse MT , le potentiel créé par ce trou noir à une
distance r ≫ a : V (r) = − GM
r−a
T
.
Soit un corps qui subit ce potentiel, possédant une trajectoire quasi-circulaire.
Montrer que sa trajectoire oscille autour d’une trajectoire circulaire.

79
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.3 Chimie MP
2.3.1 Sujet 1
Exercice
1. Donner la formule de Lewis de l’ozone O3 .

2. On donne les longueurs de liaisons O − O pour O2 , H2 O2 et O3 , Commenter.

3. On donne la valeur moyenne de la charge des deux atomes O extrémaux dans O3 ainsi que le
moment dipolaire de O3 . Estimer l’angle au centre, commenter.

4. Proposer une structure géométrique pour H2 O2 .

5. On étudie la réaction de dismutation de H2 O2 , quelles sont les espèces mises en jeu? Les
nombres d’oxydation? Les demi-équations? L’équation finale?

6. Quel est le potentiel standard du couple O2 /H2 O2 ? Est-ce compatible?

7. On observe expérimentalement que la réaction avance bien en présence de F e2+ , Expliquer.

8. Il restait 2 question que j’ai pas traitée, en relation avec la cinétique : un tableau de concen-
tration en fonction du temps était donné.

Données

• Tableau périodique.

• Les distances O − O pour O2 , O3 et H2 O2 (c’était croissant dans cet ordre).

• Le moment dipolaire de O3 (en Debye, et la conversion Debye-SI était fournie).

• La charge moyenne des deux oxygènes.

• Le potentiel du couple H2 O2 /H2 O.

• Les enthalpies et entropies standard de H2 O2 , O2 et H2 O.

• Le tableau pour la question de cinétique.

Déroulement - (11/20)

1. Je propose une formule que l’examinateur corrige, je trouve à la fin la bonne formule.

2. J’écris les différentes formules de Lewis, je dis que le fait qu’on ait une seule valeur de la distance
O − O pour O3 , alors que la formule de Lewis n’est pas symétrique, est problématique, après

80
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

réflexion, j’explique ceci par l’existence d’électrons délocalisés, l’examinateur est d’accord. Je
justifie ensuite la distance pour H2 O2 par la double liaison et je dis que O3 est ”quelque chose
entre les deux”.

3. Je pose le calcul géométrique, mais je me trompe et j’écris un cos au lieu d’un sin, l’examinateur
me signale ceci, j’utilise ma calculette qui m’affiche ”math error”, je bugge un peu, et suite à une
discussion l’examinateur m’explique qu’il faut prendre le double de la charge, je me rends compte
que ce que j’ai mis dans l’arccos était plus grand que 1, je refais le calcul et je trouve la bonne
formule. L’examinateur me demande de justifier (la valeur était proche de 110°), je ne vois pas
ce qu’il veut dire, il me demande ”pourquoi la molécule de l’eau est coudée”, je comprends que
c’est en relation avec les doublets non liants, et je dis qu’on s’attend, vu la formule de Lewis qui
suggère une forme triangulaire, à avoir 120.

4. L’examinateur me demande de passer cette question .

5. J’écris les différentes formules.

6. J’explique comment il faut procéder en utilisant l’enthalpie libre standard, je me trompe dans les
calculs, mais je réussis à la fin à trouver le bon résultat, je fais une échelle de potentiels standards
pour vérifier que c’est compatible.

7. Je ne vois pas du tout ce qui se passe, je dis qu’il faudrait regarder le diagramme E − pH du fer, il
me dit que le potentiel standard de F e2+ /F e3+ est entre ceux de O2 /H2 O2 et de H2 O2 /H2 O, il
me demande ensuite de l’inclure dans l’échelle des E, je bégaye un peu, il me dit ”dépêchez vous,
c’est presque fini, il vous faut une phrase”, je dis que si la dismutation n’est pas favorisée, H2 O2
réagit d’abord avec F e2+ et ensuite F e3+ réagit, il m’annonce la fin de l’épreuve.

Examinateur neutre mais assez interactif et qui intervient au besoin, il était tout de même un peu aigri
vers la fin.

81
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.3.2 Sujet 2
Exercice
1) Comparer le rayon atomique et l’électronégativité du soufre S et de l’oxygène O.
2) Donner le schéma de Lewis de SO42− (sulfate), S2 O32− (thiosulfate) et de S2 O82− (peroxodisul-
fate), on admet que cette dernière est symétrique.
3) Déterminer le nombre d’oxydation du soufre dans chacune d’elles.
On considère la réaction de réduction du peroxodisulfate dans l’eau.
4) Ecrire l’équation de la réaction et calculer la constante de la réaction.
Cette réaction est très lente, on va donc utiliser un catalyseur. On considère donc les réactions
suivantes:
S2 O82− + 2Ag + = 2SO42− + 2Ag 2+
4Ag 2+ + 2H2 O = 4Ag + + O2 + 4H +
5) Donner un encadrement de E 0 (Ag + /Ag 2+ ).
6) Donner le diagramme EpH du système étudié.
Données:
Z(S) = 16, E 0 (S2 O82− /SO42− ) = 2, 01V (Il y avait d’autres données que je n’ai pas utilisé)

Déroulement - (11/20) Au début, j’ai essayé de ne pas aller trop vite pour faire les choses bien.
J’ai donc bien expliqué en détail la première question, en dessinant le tableau périodique. Pour la
deuxième question, les deux premiers schémas de Lewis étaient assez immédiats, pour le troisième elle
[l’examinatrice] m’a aidé. Dans la question 3, pour la troisième, j’ai fait une erreur, en voulant aller
vite, j’ai pris comme nombre d’oxydation (-II) pour tous les oxygènes, elle m’a demandé de refaire les
calculs des nombres d’oxydations pour tous les oxygènes, et c’est là où je me suis rendu compte de mon
erreur. La question 4 est assez immédiate, j’ai trouvé un K très très grand, j’ai commenté en disant
que la réaction était très déplacée. Pour la question 5, on utilise la règle du gamma, elle m’a demandé
de l’expliquer à l’oral. Puis, on a fait la question 6 sous la forme d’une discussion. Elle m’a posé des
questions sur la différence entre un couple lent et un couple rapide, ce qu’était un palier de diffusion et
à quoi il est dû, de quoi il dépend... il restait des questions.

L’examinatrice était sympa. Le seul problème était qu’elle me donnait parfois les indications un peu trop
tôt mais à part ça, c’était plutôt agréable. Elle m’écoutait au début et ne m’a posé de questions qu’après
10 minutes.

2.3.3 Déroulements sans énoncés

Déroulement 1 - (13/20) Épreuve généralement conçue pour être la plus simple parmi toutes les
autres épreuves scientifiques, où une connaissance approfondie du cours est nécessaire pour avoir une
bonne note. Je savais que la chimie était l’un de mes points forts, donc c’était une épreuve à ne pas rater.

L’examinateur était très silencieux et ne faisait qu’approuver par OK. L’oral était constitué d’une planche
avec 8 ou 9 questions (pour moi, c’était autour du fonctionnement des piles). Je me rappelle que j’avais
répondu à 8 questions, avec une seule où l’examinateur m’avait guidé par la définition de la solubilité.

82
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

J’ai eu un 13 à cette épreuve ce qui est déjà pas mal.

Ce que je conseille pour cette matière, c’est de maı̂triser son cours ainsi que ses applications, car c’est
largement suffisant pour avoir une bonne note.

Déroulement 2 - (06/20) L’épreuve tourne autour d’une pile (je déteste les piles). Dès que j’ai vu
qu’il s’agissait des piles j’ai été totalement déstabilisé (pire chose qui puisse arriver lors d’un oral). Les
questions étaient objectivement très simples et ne nécessitaient pas une connaissance spéciale, si ce n’est
les bases du cours et ses premières applications.

À cause du stress, ce que je disais oralement à l’examinatrice n’était pas ce que j’écrivais sur le tableau
(faute de frappe hh), mais apparemment, elle n’écoutait pas ce que je disais puisqu’elle n’a réagi qu’à
ce que j’ai écrit. J’ai donc perdu pas mal de temps sur les deux premières questions (schématisation de
la pile / équation de fonctionnement).

Une autre question qui m’a causé je pense du tort: calcul de la tension à vide aux bornes de la pile, je
n’ai pris en compte que les potentiels standards, ce qui ne donne pas le résultat exact. J’ai encore perdu
du temps à tout corriger.

Question fatale : calcul d’une solubilité, j’écris le tableau d’avancement de la réaction en question,
et pour la première fois de ma vie, je ne sais plus écrire le quotient d’une réaction : je donne une activité
différente de 1 à un solide, j’oublie celle du solvant, bref on aurait dit que je n’ai jamais travaillé la chimie.

L’oral se termine et j’ai bien conscience que ma performance a été désastreuse, je garde néanmoins
la tête haute pour les épreuves suivantes en espérant que d’autres ratent leur chimie plus que moi.

Déroulement 3 - (15/20) Dernier candidat de la journée, l’examinateur était à bout. Il me présente

mon énoncé avec 6 questions et une annexe sur table comportant le tableau périodique et au dos quelques
valeurs numériques. Je commence par une lecture des 2 premières questions.

Je réponds à la première facilement, il me demande des explications concernant l’évolution de l’électronégativité

et du rayon atomique. Je propose d’utiliser un argument de thermochimie pour la 2ème (Van’t Hoff
pour la réaction d’évaporation), mais, en l’absence de valeurs pour calculer ∆r H, l’examinateur me
réoriente en me disant de raisonner qualitativement comme à la 1ère question, je propose alors la loi
des GP, et compare les rayons atomiques des éléments, j’insiste en expliquant mon raisonnement, puis
je passe.

Le reste n’est que du calcul simple en utilisant Ks et la loi de Nernst pour trouver quelques in-
formations sur le diagramme E-pH proposé. Fin d’oral 5/6 questions, jury neutre = aucune impression.

Déroulement 4 - (14/20) L’oral de chimie était mon dernier. En attendant mon tour, j’entendais
l’élève avant moi calculer des températures de flamme, et cela me donna confiance pour cet oral.
Je rentre dans la salle avec 10 minutes de retard. L’examinatrice, d’abord sympathique, me donne
l’énoncé. À ma grande surprise, il s’agit de chimie organique! J’ai même hésité à lui demander si elle ne
s’était pas trompée de filière. L’énoncé comporte six questions : trois sur la chimie organique et trois
sur l’oxydoréduction et le diagramme E-pH. Je bloque complètement sur les trois premières questions.
J’essaie de répondre aux deux dernières, mais je sens que mes réponses sont incohérentes. L’examinatrice,
visiblement frustrée, me demande simplement d’avancer, devenant de plus en plus froide. Le stress
monte, mais je me dis que je dois continuer pour minimiser les dégâts. Les trois dernières questions sont

83
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

heureusement plus simples. Elles portent sur des notions de cours: un diagramme de prédominance, la
détermination d’un potentiel standard avec un diagramme E-pH, et une méthode pour diagnostiquer une
maladie via un dosage chimique. Le jour des résultats, je suis surpris de recevoir un 14. La partie chimie
organique semblait avoir posé problème à tout le monde. Ce qui a probablement fait la différence, c’est
la capacité de chacun à se rattraper sur les autres questions et à ne pas se laisser décourager.

Déroulement 5 - (16/20) Une page contenant 12 questions et couvrant de l’électrochimie (partic-

ulièrement les piles électrochimiques), puis de l’atomistique, de la cristallographie et enfin des phénomènes
de corrosion et de la protection contre la corrosion. Pas de difficulté majeure dans l’énoncé, une con-
naissance assez pointue des cours cités plus haut est plus que suffisante pour répondre à l’intégralité des
questions.

Déroulement 6 - (06/20) Pour l’épreuve de chimie, j’étais conscient de ne pas être bien préparé, car
je n’avais pas beaucoup travaillé cette matière pendant la prépa, et mes résultats aux écrits du concours
des Mines n’étaient pas satisfaisants. Bien que l’épreuve soit réputée facile, je savais que je n’avais pas
révisé suffisamment pour la réussir. Le sujet portait sur la cristallographie et le fonctionnement des piles,
une thématique que je reconnaissais comme étant relativement accessible, mais qui m’a posé problème.
Les questions étaient abordables, mais j’ai eu du mal à y répondre, ce qui n’a pas échappé au jury, qui
semblait peu satisfait de ma prestation.
J’ai essayé de m’engager dans des calculs, mais lorsque le jury m’a demandé de les réaliser à l’aide d’une
calculatrice, j’ai répondu que je n’en avais pas, ignorant qu’il était permis d’utiliser une calculatrice
pendant l’épreuve. Cela a aggravé la situation, car le jury a pu penser que je manquais d’intérêt pour
l’épreuve. En toute honnêteté, je conseille vivement aux futurs candidats d’apporter une calculatrice lors
de l’épreuve de chimie, car cela peut éviter une erreur fatale facilement prévisible.
Au final, je savais que ma performance serait médiocre: sur une feuille comportant 16 questions, je n’en
ai complété que 5, toutes relatives à des calculs, sans aborder le fond des sujets. Il est donc impératif de
bien travailler la chimie pour éviter des notes catastrophiques, car c’est une matière relativement simple
et, surtout, très rentable par rapport aux autres matières.

2.4 Analyse de documents scientifiques (ADS)

2.4.1 Maths
Déroulement 1 - (13/20) L’épreuve d’ADS est importante à l’X, c’est l’équivalent du TIPE pour
les autres concours. Déjà, une question importante se posait généralement sur cette épreuve: Choisir
Maths ou Physique. Pour moi, j’ai fait une auto-évaluation en me basant sur ma culture scientifique et
j’ai conclu que c’était pour les maths que je devais opter. L’épreuve dure 2h40 avec 2h de préparation,
le document proposé discutait les spectres de Markov et de Lagrange et leur relation avec les
approximations diophantiennes d’un rationnel. Le document se composait de 14 à 16 pages, ainsi il
était extrêmement délicat de le terminer (une consigne de l’épreuve annonçait que ce n’est pas du tout
nécessaire de finir tout le document, il suffit de choisir la discussion d’une partie). La présentation se
faisait sous forme de papier en format paysage (Powerpoint à la main HHH), et l’examinateur ne faisait
dans la discussion que revenir sur certaines démonstrations majeures et demandait des explications au
tableau (lemme de Gauss, Liouville, exemple d’un nombre approximable au plus à l’ordre 2, continuer
l’arbre de Markov etc.). J’ai eu un 13 à cette épreuve ce qui est déjà bon. Profitez des simulations
orales de l’épreuve d’ADS au LYMED, même si elles ne sont pas parfaitement identiques au passage
réel, mais elles vous permettront de vous habituer avec les documents ...

84
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Déroulement 2 - (16/20) Pendant les 2 premières heures de préparation, j’ai été face à un document,
d’approximativement 16 pages, parlant de formes quadratiques et d’arithmétique (je ne me rappelle plus
trop du reste). Durant la première heure, je ne faisais que lire et bien assimiler les notions, faire quelques
tentatives sur des démonstrations, ainsi que reformuler les démonstrations présentes dans le document et
les refaire d’une manière plus intuitive (et c’est ce point qui m’a fait me démarquer), en négligeant totale-
ment l’aspect calculatoire de la démo et en accentuant l’idée et la motivation derrière la démonstration,
parfois graphiquement ou géométriquement. La 2ème heure était consacrée à la réécriture des points
clés du document ainsi qu’aux démonstrations intuitives citées avant.

Le temps de passage arrive: je présente mon document (avec les démos intuitives, j’ai d’ailleurs insisté
sur le fait qu’elles ne prétendaient pas être des démonstrations mais plutôt des idées clés). Après quoi
commença la discussion autour du sujet, il me demanda d’abord de prouver un point de la démonstration
(qui était présent dans le sujet) ce que je fis sans grosse difficulté. Il me questionna ensuite sur quelques
notions relatives à certains groupes commutatifs présents dans le sujet, et me signala une coquille dans
la présentation: un graphe que j’avais utilisé pour ”démontrer” un point du sujet était une parabole (en
trois dimensions), sauf que c’était un cas très particulier du théorème en question (chose que j’avais
signalée durant ma présentation sans réellement m’y approfondir). Il me demanda alors ce qu’étaient
les autres cas. Après des formules quadratiques et un changement du plan, je me rendis compte de la
subtilité du théorème et lui ai montré tous les cas du théorème en question. Ceci marquait la fin de mon
oral.

Déroulement 3 - (15/20)

Partie Préparation
Le sujet portait sur la conjecture de Straus-Erdös : ∀n ≥ 2, ∃(x, y, z) ∈ N∗ 3 tel que n4 = x1 + y1 + z1 ,
donnant les différents résultats établis par les chercheurs, à l’aide de l’arithmétique. Notamment : le
symbole de Legendre, la loi de réciprocité quadratique et une généralisation de ce symbole sur les nom-
bres rationnels.

Le sujet était relativement court pour un ADS de mathématiques (12 pages), commençant par une
présentation de Straus-Erdös que je n’ai pas lue. J’ai essayé de donner les grandes lignes pour les
démonstrations des propriétés admises et j’ai consacré plus de temps aux exercices : il y avait 3 pro-
priétés admises qui m’ont coûté une heure pour les démontrer (stratégie risquée). Lorsqu’il me restait
15 minutes, je me suis retrouvé à la page 10. J’ai donc décidé d’ajouter une ouverture qui portait sur
le théorème d’incomplétude de Gödel à la place de traiter la dernière partie. J’ai posé la question
rhétorique de savoir si c’est une conjecture démontrable dans les systèmes d’axiomes offerts (Peano,
ZFC, ...) ou si c’est indémontrable.

Partie Présentation et Échange

J’ai fait ma présentation en essayant de garder un contact avec le jury. Après la fin de la présentation,
le jury m’a donné un exercice relativement classique que j’avais déjà fait : si X ⊂ J1, 2nK et |X| ≥
n + 1, alors ∃(a, b) ∈ X 2 , a ̸= b et a|b. J’ai compris que c’était une question pour voir si je connaissais
la solution ou pas, donc j’ai donné l’idée principale (tiroir sur l’écriture des entiers sous la forme 2p (2q+1)).
J’ai eu une question sur la dernière partie ; j’ai dit que je ne l’avais pas traitée, et le jury m’a demandé si
j’avais passé 2 heures au cours de la préparation ou si je n’avais pas compris cette partie. J’ai répondu
que j’avais préféré faire une ouverture qui présente une valeur ajoutée plutôt que de traiter la dernière
partie, car je n’avais pas le temps pour faire les deux. À part ça, les autres questions étaient faciles et
en relation directe avec le sujet, comme si j’étais un chercheur, que ferais-je à ce propos, et comment
résoudre cette conjecture pour des valeurs particulières...

85
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Conseils Généraux
Une culture mathématique peut vraiment aider dans un ADS de mathématiques.
Voici quelques chaı̂nes YouTube que je recommande :

• Science Étonnante

• 3Blue1Brown

• Math*

Déroulement 4 - (12.5/20) L’épreuve d’Analyse de Documents Scientifiques (ADS) était partic-

ulièrement importante, avec un coefficient de 15 à l’X. Cependant, nous n’étions pas vraiment formés
pour ce type d’épreuve, que j’ai personnellement pratiquée seulement deux fois au cours de l’année.
Cette troisième tentative, donc en concours, a rendu l’épreuve un peu difficile, notamment en termes de
gestion du temps.
J’ai choisi l’ADS en mathématiques, et le document de 16 pages qui m’a été fourni portait sur les
groupes de réflexions. Heureusement, le sujet m’était relativement familier, et j’ai pu bien comprendre
les notions. Malgré cela, je n’ai réussi à couvrir que 9 pages sur les 16, ce qui, bien que satisfaisant dans
le contexte, m’a laissé penser que ce ne serait pas suffisant pour obtenir un bon score.
Après deux heures de travail, je suis passé devant le jury pour présenter mon analyse. Pendant cette
présentation, le membre du jury paraissait peu intéressé, ne me regardant pas et restant concentré sur
son ordinateur. Cela m’a un peu déstabilisé, mais j’ai poursuivi en exposant mes idées.
Nous sommes ensuite entrés dans un échange, qui ressemblait plus à une épreuve orale de mathématiques,
car il m’a demandé de démontrer plusieurs résultats purement mathématiques sans revenir réellement
au sujet du document. Certaines démonstrations ont été réussies, mais d’autres m’ont échappé. Le jury
a également insisté sur l’interprétation géométrique de plusieurs concepts en lien avec les groupes de
réflexions.
Il m’a donné des exemples de polygones dans le plan et m’a demandé de déterminer quelles réflexions
laissaient ces polygones invariants. L’épreuve s’est terminée sur ces échanges mathématiques, et bien
que j’aie eu l’impression d’avoir raté l’épreuve, j’ai finalement obtenu une note moyenne, qui a contribué
positivement à mon classement.

2.4.2 Physique
Déroulement 1 - (10.5/20) Mon sujet porte sur la rotation propre du soleil, et sa mise en évidence
grâce à l’effet Doppler. Le document donne un contexte historique rapide, puis présente comment la
rotation est observée grâce à la différence de fréquences émises par des points diamétralement opposés
sur l’équateur (effet Doppler). Durant ma préparation, j’ai réussi à trouver, de manière simple, la
relation de l’effet Doppler dans le cas traité, mais lorsque je passe à la présentation, l’examinateur
me demande comment j’ai pu trouver cette relation si je ne connais pas la formule générale, et n’a
pas aimé comment je l’avais trouvée. À part ça, la présentation se déroule bien, il me fait cependant
une remarque (post-présentation) pour avoir représenté un réseau par une surface plane, alors que je ne
l’ai fait que pour simplifier le schéma afin d’y lire toutes les grandeurs. Ensuite, vient la discussion, il
me demande à mon avis pourquoi le soleil a une rotation propre : je réfléchis un instant et lui dis que
cette rotation doit accompagner le soleil depuis sa création, étant donné les énergies mises en jeu, il me
confirme mes propos. On parle en outre de quelques détails du document sauf que je ne comprends pas
exactement ce qu’il me demande, je réponds à ce que j’avais compris, et après un certain temps je saisis
enfin l’entièreté de sa question, sauf que vu ma note, je crois qu’il a dû penser que je ne l’avais pas
compris (la question aurait pu être posée beaucoup plus clairement). La discussion a été généralement

86
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

très fructueuse. Honnêtement, je ne suis pas satisfait de la note qui me fut attribuée et pense que je
méritais objectivement bien plus que 10.5, mais bon on ne peut rien y faire.

Déroulement 2 - (10.5/20) C’était un sujet en rapport avec le fonctionnement d’une fusée envoyée à
l’espace. (Pour ceux qui choisissent physique, en ADS, une culture astrophysique et une connaissance des
relations avec celle-ci s’avèrent nécessaires). La présentation doit durer maximum 15 minutes, cependant,
lors de mon passage et après avoir présenté mon exposé, le jury m’a demandé de montrer une relation
qui était dans mon ADS et a ignoré toutes les autres choses que j’ai faites (relations et interprétations
incluses). La relation à montrer était la suivante :

Fc = Dm × v
(voir Sujet Mines 2015)

• Fc force de propulsion

• Dm débit massique

• v vitesse

Malheureusement, je suis resté bloqué et je ne savais pas comment démontrer la relation, ainsi le temps
s’est écoulé et avant de terminer, il m’a posé 2 questions rapides. À noter que la présentation était bien
faite, synthétique et avec des ordres de grandeurs, mais il s’est uniquement focalisé sur la relation citée.

Déroulement 3 - (15.5/20)

Partie Préparation Le sujet était un sujet d’astronomie (comme par hasard tous les sujets d’ADS
de physique que j’avais préparés auparavant avec mes profs, qui étaient en relation avec l’étude des
planètes/météorites. . . ) Je ne me souviens pas exactement du but de l’ADS, ni de son contenu scien-
tifique, et cela aura peu d’importance par la suite. Le sujet était relativement moyen en longueur (ne
dépassant pas 10 pages) et avait un glossaire d’un quart de page rappelant quelques lois : la loi de
Stefan-Boltzmann M = σT 4 avec M l’émittance.
Mes 2 heures de préparation étaient entièrement consacrées à une présentation claire et ”jolie” de mon
sujet, avec des pages de présentation aérées, peu d’écriture, des schémas (si possible) et des couleurs.
Bien que le contenu scientifique proposé était court – et donc facile de compréhension – il était difficile
d’avoir une valeur ajoutée avec ce que j’avais comme culture physique, j’ai proposé en fin d’ADS un
modèle d’estimation de la température de la terre par la loi de Stefan et sa critique (la non prise
en considération de l’albedo, les hypothèses simplificatrices. . . ). J’étais relativement satisfait de ma
présentation, et le fait que j’avais fait plusieurs essais auparavant me donnait confiance.

Partie Présentation et Échange Je me présente à la salle devant le jury qui avait l’air d’un fan
d’astronomie (un gilet coloré du cosmos). Je présente tout ce que j’avais avec un chrono près de
mes feuilles. Je suis dans les temps, le jury ne m’interrompt pas, est attentif et a l’air d’apprécier le
modèle proposé à la fin. Il me demande de revenir sur le glossaire, néglige complètement le doc et ma
présentation, et me demande de démontrer la loi de Stefan-Boltzmann.
Là je fais mes calculs en partant de la loi de Planck, je me plante parfois et il m’accompagne tout au
long. Là je suis devant un calcul d’intégrale :
ˆ +∞
t3
dt
0 et − 1

87
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

Et le jury me dit : ”Est-ce que tu peux me dire de tête la valeur de cette intégrale ?”. Je ne sais pas,
4
et il me dit d’un air à la fois étonné et déçu π15 ! Je démontre la loi et on revient discuter sur le modèle
que j’avais donné à la fin. L’échange était légèrement tendu, car, sans réellement m’en rendre compte,
j’expliquais des choses triviales à l’examinateur qui pensait que je le prenais pour ”un con” (il me l’a fait
remarquer).

Conseils Généraux Une culture en physique est un surplus énorme, mais n’est pas pénalisante non
plus si on n’en dispose pas en relation avec le sujet. Je pense pour ma part que mettre en relation
ses connaissances de programme, ou ce qu’on a vu en classe/seul comme hors-programme (ça peut
être un concours X ou Mines qui traite une notion de cours différemment ou une notion adjacente au
programme) peut aussi aider énormément, comme pour le modèle que j’ai proposé, que j’ai vu avec mon
prof lorsqu’on faisait le cours de la diffusion thermique et qu’il nous a parlé d’un HP, qui est la loi de
Planck. Pour se préparer à ce type d’épreuve, vous pouvez vous rappeler des concours ”intéressants”
que vous avez fait avant les écrits, et si je venais à vous recommander des ressources, je recommanderais
:

1. La chaine science étonnante (si vous avez parfois le temps de voir le soir 1 épisode ou 2 ).

2. Physique prepa mp-mp* de Vincent Renvoizé ; une pépite pour cultiver un ”sens physique”.

Et je ne sais pas si on en parle assez mais une bonne présentation qui donne à l’examinateur envie de prêter
attention est très importante, donc un conseil : utilisez les couleurs, faites des schémas, écrivez peu,
présentez un sommaire organisé avant de commencer, évitez la paraphrase et de recopier des phrases du
support, présentez dans un format paysage, respectez le temps imparti et ayez un tempo de présentation
modéré.

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CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.5 Français
2.5.1 Témoignage 1 - (16/20)
Je ne peux pas vous aider au niveau méthodologique, mais je souhaite seulement signaler qu’il est
possible d’obtenir une excellente note à l’oral de français à l’X, même si votre niveau en langue française
est moyen. L’astuce est d’adopter d’abord une mentalité visant à réussir cet oral, même si le français
est facultatif et que vos compétences linguistiques ne sont pas forcément favorables. Il faut cependant
être courageux, ambitieux et donner le meilleur de vous-même. Je suis convaincu que le jury ne m’a pas
attribué 16/20 grâce à mon niveau linguistique à l’oral, mais plutôt grâce à mon enthousiasme pendant
l’épreuve, à ma volonté d’essayer, de parler autant que possible, de commettre des erreurs et de les
corriger ensuite.
La deuxième astuce, c’est que, même si le texte est philosophique et difficile, vous pouvez toujours
orienter la discussion dans la direction qui vous convient. Personnellement, il y avait dans le texte un
paragraphe qui parlait du concept de génie. J’ai focalisé mon analyse sur cette partie, car je n’avais pas
bien compris les autres idées du texte. Le jury a trouvé ce sujet intéressant et m’a posé des questions
sur ma propre définition du génie, sur le fait de savoir si je me considère comme un génie, si je suis
ambitieux, ce que je souhaite faire dans l’avenir, pourquoi nous faisons des sciences, à quoi servent les
mathématiques dans la vie quotidienne, ou encore quelle est l’utilité d’étudier les trous noirs ou les os
des dinosaures disparus depuis des millions d’années. Quelle est la relation entre la science et la religion
? J’ai ainsi réussi à orienter le sujet vers la science et à engager une discussion intéressante avec le jury,
durant laquelle nous avons tous deux pris plaisir à échanger.

2.5.2 Témoignage 2 - (15/20)

L’épreuve s’est bien passée dans le sens où j’ai pu réagir aux questions de l’examinateur, qui, à son tour,
a pu suivre mon raisonnement, et m’a à un moment posé des questions qui mettaient réellement mon
point de vue à l’épreuve. Conseil: rester fidèle à son point de vue tout en le nuançant tout au long du
débat avec l’examinateur.
Bien structurer sa présentation :
(1) Analyse de texte Thèse
Arguments
(Pas de subjectivité à ce stade) Exemples
Figures de style
Conclusions, dégager l’idée

(2) Mini-dissertation: Choisir un point pertinent du texte à discuter,

puis suivre la méthode d’une dissert.

Et j’insiste sur l’importance de donner des exemples diversifiés mais pertinents, ça peut aller de l’Afghanistan
à l’Europe, à votre vie personnelle... Peu importe, il suffit que l’exemple prenne bien sa place au centre
de votre argumentation.

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CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

2.6 Arabe
2.6.1 Témoignage 1
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90
CHAPITRE 2. POLYTECHNIQUE (X) RETOUR SUR LES ORAUX

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91
Chapitre 3

Corrigés

3.1 Maths L
3.1.1 Sujet 1
On a xn+1 − xn ≥ 0 ∀n ∈ N∗
donc (xn ) est croissante et alors elle admetˆ une limite l ∈ˆR ∪ {+∞}
+∞ +∞
2 2
Supposons par absurde l ∈ R, alors lim e−t dt = e−t dt = 0
n→+∞ xn l
Ce qui est absurde, d’où lim xn = +∞
n→+∞
ˆ +∞ 2
−t2 e−x
On a e dt ∼ (car les dérivées des deux sont équivalentes, résultat classique sur
x x→+∞ 2x
l’intégrale de Gauss).
ˆ +∞ 2
−t2 e−xn
D’où e dt ∼
xn n→+∞ 2xn
On a:
 ˆ +∞ 2 !
2
exp(x2n+1 ) − exp(x2n ) = exp xn + e−t dt − exp(x2n )
xn
ˆ +∞ ˆ +∞ 2 !
−t2 −t2
= exp x2n + 2xn e dt + e − exp(x2n )
xn xn
" ˆ +∞ ˆ +∞ 2 ! #
x2n −t2 −t2
=e exp 2xn e dt + e −1
xn xn

ˆ +∞
2
Or d’après l’équivalence établie: 2xn e−t dt → 0
xn +∞

  ˆ ˆ +∞
+∞  
x2n −t2
−t2
= e 1 + 2xn e dt + o 2xn e dt − 1
n→+∞ xn xn
 ˆ +∞  ˆ +∞ 
x2n −t2 −t2
= e 2xn e dt + o 2xn e dt
n→+∞ xn xn
exp(x2n+1 ) − exp(x2n ) ∼ 1
n→+∞

92
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Pn−1  x2 2

2
Donc : e n+1 − exn ∼ n =⇒ exn ∼ n
k=0 n→+∞
D’où : p
xn ∼ ln(n)
n→+∞

Connaissances requises Fin SUP

Commentaire Pour bien réussir l’exercice, il faut connaı̂tre l’astuce de traiter les équivalents par des
équations différentielles, dans ce cas, on a démontré que:
2
e−xn
(xn+1 − xn ) ∼
n→+∞ 2xn
On identifie (xn )′ par xn+1 − xn  ′
2
e−xn 2 2 2
Donc (xn )′ ∼ 2xn
=⇒ 2xn (xn )′ exn ∼ 1 =⇒ (x2n )′ exn ∼ 1 =⇒ exn ∼ 1
2 2
Ceci mène à penser à montrer que exn+1 − exn −→ 1 ce qui donne l’idée de l’exercice, cette méthode
aimée par les physiciens n’est pas rigoureuse mais sert pour beaucoup d’exercices classiques, tel que:
Trouver l’équivalent de (un ) pour un+1 = sin(un ) ou un+1 = un + e−un
Néanmoins ceci ne marche pas pour la suite définie par un+1 = u2n + un pour u0 > 0, généralement
quand un+1 − un → 0 ceci donne un résultat.
n→+∞

3.1.2 Sujet 2
 
−1 det(B)
1. Montrons que tr(In + A B) ≥ log det(A)
On a : A−1 ∈ Sn++ (R), alors il existe une matrice M ∈ Sn++ (R) telle que M 2 = A−1 (cette
propriété reste à justifier).
Ainsi, nous avons :
tr(In + A−1 B) = tr(M −1 (In + A−1 B)M ).
Alors :
tr(In + A−1 B) = tr(In + M −1 A−1 BM ) = tr(In + M BM ).
Or, pour tout vecteur X ∈ Mn,1 (R) \ {0}, on a :

X T M BM X = (M X)T B(M X) > 0,

car B ∈ Sn++ (R) et M X ̸= 0 (puisque M est inversible). De plus, puisque (M BM )T = M BM ,

il en résulte que M BM ∈ Sn++ (R).
Posons C = M BM , alors :
 
det(B)
log = log(det(M BM )) = log(det(C)).
det(A)
Il s’agit donc de démontrer que :

tr(In + C) ≥ log(det(C)) pour C ∈ Sn++ (R).

Soit (α1 , . . . , αn ) les valeurs propres de C. On a alors :

n
X
tr(In + C) = (1 + αi ),
i=1

93
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

et : !
n
Y n
X
log(det(C)) = log αi = log(αi ).
i=1 i=1

Il nous reste donc à démontrer que :

n
X n
X
(1 + αi ) ≥ log(αi ).
i=1 i=1

Or, pour tout i ∈ J1, nK, on sait que log(αi ) ≤ 1 + αi .

Ainsi, par sommation :
Xn Xn
log(αi ) ≤ (1 + αi ).
i=1 i=1

D’où le résultat.

2. Vérification des propriétés de Bm

T
On a : Bm = Bm , et pour tout X ∈ Mn,1 (R) \ {0} :
n
X
X T Bm X = X T Ui UiT X + λX T X.
i=1

Cela peut se réécrire comme :

n
X
T
X T Bm X = UiT X UiT X + λ∥X∥22 .


i=1

Or, (UiT X) est un scalaire, donc (UiT X)T = UiT X. Cela implique que :
n
X
T
X Bm X = (UiT X)2 + λ∥X∥22 > 0,
i=1

car λ > 0. Cela montre la positive-définition de Bm .

3.2 Maths ULSR

3.2.1 Sujet 1
On considère la suite définie pour tout n ∈ N∗ par :

(n + 1)n
cn = .
nn−1
On remarque que :
n
Y n
Y  n1
n
ck = (n + 1) et donc ck = n + 1.
k=1 k=1

Soit N ∈ N∗ . On a :
N Y
n  n1 N n
Y  n1
X X 1
ak = ak c k .
n=1 k=1 n=1
n+1 k=1

94
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Par inégalité AMGM, on obtient :

N Y
n  n1 N n
X X 1 X
ak ≤ ak c k .
n=1 k=1 n=1
n(n + 1) k=1

Ainsi :  n1
N Y
n N X
N 
X X 1
ak ≤ ak c k .
n=1 k=1 k=1 n=k
n(n + 1)
En simplifiant davantage, on a :
N Y
n  n1 N   N
X X 1 1 X ak c k
ak ≤ − ak c k ≤ .
n=1 k=1 k=1
k N +1 k=1
k

ck
Étude de la suite
k
La suite ckk est donnée par :
 k
ck 1
= 1+ .
k k
 x
1
Elle est croissante. Pour démontrer cette propriété, définissons la fonction f : x 7→ 1+ x
, qui est
dérivable sur [1, +∞[.
La dérivée de f (x) est donnée par :
      
′ 1 1 1
f (x) = ln 1 + − exp x ln 1 + .
x 1+x x

Grâce au théorème des accroissements finis (TAF) appliqué à la fonction x 7→ ln(x) sur l’intervalle
[x, x + 1], on a :
1 1
≤ ln(x + 1) − ln(x) ≤ .
x+1 x
Ainsi, ln 1 + x1 ≥ x+1 1


, ce qui prouve que f est croissante sur [1, +∞[. En conséquence, la suite
cn
( n )n∈N∗ est croissante.
De plus, on montre que :
cn
lim = e.
n→+∞ n

Ainsi, pour tout k ≥ 1, on a :

ck
≤ e.
k
Conclusion
En combinant les inégalités précédentes, on obtient :
N Y
X n  n1 N
X
ak ≤e an .
n=1 k=1 n=1

n
Y  n1 +∞
X
Par conséquent, la série de terme général ak est convergente si la série an converge. De
k=1 n=1
plus, on a l’inégalité :
+∞  Y
X n  n1 +∞
X
ak ≤e an .
n=1 k=1 n=1

95
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

3.2.2 Sujet 2
Pour n = 1, soit x ∈ K. On écrit f1 = u + α, où u ∈ L(E) et α ∈ E.

n−1
1 X (k)
On pose : ∀n ∈ N∗ , yn = f (x),
n k=0 1
avec yn ∈ K, car K est convexe.

Soit ϕ : N → N strictement croissante, telle que yϕ(n) → y0 ∈ K. Montrons que f1 (y0 ) = y0 .

ϕ(n)−1
1 X
f1 (yϕ(n) ) − yϕ(n) = (u ◦ f1k (x)) + α − yϕ(n)
ϕ(n) k=0
ϕ(n)−1
1 X
= (u(f1k (x)) + α) − yϕ(n)
ϕ(n) k=0
ϕ(n)−1
1 X k+1
= (f (x)) − yϕ(n)
ϕ(n) k=0 1
 
ϕ(n)−1 ϕ(n)−1
1 X (k) 1 X (k)
f1 (yϕ(n) ) − yϕ(n) = f1  f1 (x) − f (x).
ϕ(n) k=0
ϕ(n) k=0 1

d’où :
ϕ(n)−1 ϕ(n)−1
1 X (k+1) 1 X (k)
f1 (yϕ(n) ) − yϕ(n) = f (x) − f (x).
ϕ(n) k=0 1 ϕ(n) k=0 1
Ainsi :
1  (ϕ(n)) 
f1 (yϕ(n) ) − yϕ(n) = f (x) − x .
ϕ(n) 1
Par bornétude de K :
1  (ϕ(n)) 
f1 (x) − x → 0 quand n → ∞.
ϕ(n)
Donc, f1 (yϕ(n) ) − yϕ(n) → 0. Par continuité de f1 (car E est de dimension finie) :

lim f1 (yϕ(n) ) = f1 (y0 ),

n→∞

on obtient f1 (y0 ) = y0 .
Récurrence On procède par récurrence pour démontrer le résultat pour n applications affines commutant
deux à deux.
Pour n = 1 : OK
Pour n + 1 : On suppose le résultat vrai pour n et on montre qu’il est vrai pour n + 1.
On pose :
F = {x ∈ K | ∀i ∈ J1, nK, fi (x) = x}.
D’après l’hypothèse de récurrence, F est non vide, compact et convexe.
Pour y ∈ F :
∀i ∈ J1, nK, fi (fn+1 (y)) = fn+1 (fi (y)) = fn+1 (y).

96
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Ainsi, fn+1 (F ) ⊂ F .
Par le cas n = 1, fn+1 admet un point fixe x ∈ F , et :
∀i ∈ J1, n + 1K, fi (x) = x.
Passage à une suite d’applications On pose :
\
Fn = {x ∈ K | ∀i ∈ J1, nK, fi (x) = x}, F = Fn .
n≥1

L’intersection d’une famille de compacts non vides est non vide, donc F ̸=
T∅.
Ainsi, il existe x ∈ F tel que ∀i ∈ N, fi (x) = x. En effet, On note Kn = nk=1 Fk . Alors :
∀n ∈ N, ∃xn ∈ Kn ⊂ K1 .
Ainsi, (xn ) ∈ K N , et il existe une sous-suite (xϕ(n) ) telle que xϕ(n) → x ∈ K1 .
Pour N ∈ N, à partir d’un certain rang, xϕ(n) ∈ KN , donc x ∈ KN .
D’où :
∀N ∈ N, x ∈ KN .
T T
Ainsi, n≥1 Kn = n≥1 Fn ̸= ∅.

Commentaire Ce résultat est une variante du théorème du point fixe de Kakutani, bien connu pour
les endomorphismes. Cependant, les applications affines présentent un comportement similaire.

Soit A un ensemble d’applications affines commutant deux à deux. Pour tout f ∈ A, on note :
Kf = {x ∈ K | f (x) = x}.
Pour G ⊂ A fini : \
Kf ̸= ∅ (intersection de fermés compacts).
f ∈G

Par le théorème de Borel-Lebesgue, on obtient :

\
Kf ̸= ∅.
f ∈A

Ainsi, les éléments de A admettent un point fixe commun.

3.2.3 Sujet 10
1. Pour A et B de Sn (R) on considère l’application φ : M ∈ Mn (C) 7−→ AM − M A ∈ Mn (C).
On note Sp(A) = {λ1 , ...λn } et Sp(B) = {µ1 , ..., µn }.

Selon le théorème spectral, il existe (X1 , ....Xn ) et (Y1 , ..., Yn ) deux bases orthonormées de Mn,1 (R)
telles que pour tout i ∈ J1, nK :
AXi = λi Xi et BXi = µi Xi
!
Xi YjT
Donc la famille (ei,j )1≤i,j≤n = est une base orthonormée de Mn (C) muni du
||Xi YjT ||
1≤i,j≤n
produit scalaire canonique :
⟨Xi YjT , Xr YsT ⟩ = Tr((Xr YsT )T (Xi YjT )) = Tr(XrT Xi · YsT Yj ) = 0 si (i, j) ̸= (r, s)

97
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Alors pour tout i, j ∈ J1, nK :

φ(ei,j ) = Aei,j − ei,j B

Xi YjT Xi YjT
=A − B
||Xi YjT || ||Xi YjT ||

= (λi − µj )ei,j

Donc
inf ||AG − GB|| = inf ||φ(G)|| = inf ||φ(ei,j )||
||G||=1 ||G||=1 1≤i,j≤n
X
En effet on a déjà inf ||φ(G)|| ≤ inf ||φ(ei,j )||, et en écrivant G = ti,j ei,j
||G||=1 1≤i,j≤n
i,j
X X
Alors |ti,j |2 = 1 puis ||φ(G)||2 = |ti,j |2 ||φ(ei,j )||2 donc inf ||φ(G)|| ≥ inf ||φ(ei,j )||
1≤i,j≤n 1≤i,j≤n
i,j i,j
On injecte ensuite la forme de φ(ei,j ) trouvée

inf ||AG − GB|| = inf |(λi − µj )| · ||ei,j || = min |σA − σB |

||G||=1 1≤i,j≤n | {z }
=1

2. On considérant cette fois A, B de Mn (C) en gardant les même notations précédentes pour φ et
les spectres de A et B. On prend cette fois (X1 , ..., Xn ) et (Y1 , ..., Yn ) les vecteurs propres associés
aux λi et µj respectivement. Alors pour 1 ≤ i, j ≤ n
!
Xi YjT Xi YjT Xi YjT
φ = (λi − µ j ) et =1
||Xi YjT || ||Xi YjT || ||Xi YjT ||

Donc !
Xi YjT
inf ||AG − GB|| ≤ min φ
||G||=1 1≤i,j≤n ||Xi YjT ||

≤ min |λi − µj |
1≤i,j≤n

≤ min |σA − σB |

3.3 Maths X
3.3.1 Sujet 1
1. (a) 1er cas : si d ≤ 0
( (
x2 = 1 x2 = 0
Alors ou
dy 2 = 0 dy 2 = 1 (impossible car d négatif).

Donc, si d = 0, on a : (
y∈Z
x = ±1

98
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Et si d < 0, alors : (
x = ±1
y = 0.
√
(b) 2ème cas : si d > 0 et d ∈ N Dans ce cas, on peut écrire :
√ √
(x − dy)(x + dy) = 1

On obtient : ( √ ( √
x − dy = 1 x − dy = −1
√ ou √
x + dy = 1 x + dy = −1

Donc : ( (
x=1 x = −1
ou
y=0 y=0

2. On pose : √
z = x0 + dy0 .

Alors :
n+1 
√ n + 1 √ k n+1−k k
X 
n+1 n+1
z = (x0 + dy0 ) = ( d) x0 y0
k=0
k

En séparant les termes pairs et impairs :

n+1
! n+1
!
n + 1 √ k n+1−k k √ n + 1 √ k−1 n+1−k k
X   X  
n+1
z = ( d) x0 y0 + d ( d) x0 y0
k=0, k pair
k k=1, k impair
k
√
donc : z n+1 = xn + dyn avec : xn+1 , yn+1 ∈ N
√
3. On pose z = x0 − dy0 .
Alors : √
z n+1 = (x0 − dy0 )n+1 .
Avec le même calcul que précédemment, on trouve :
√
z n+1 = xn+1 − dyn+1 .

Or : √ √
zz = (x0 − dy0 )(x0 + dy0 ) = 1.
Alors :
z n+1 z n+1 = 1.
Donc :
x2n − dyn2 = 1.
Ainsi, (xn , yn ) ∈ S.
/ {−1, 1}, donc {z n+1 | n ∈ N} est infini.
, y0 ) ∈ S − {(1, 0), (−1, 0)}. Alors z ∈
Or on a : (x0√
Ainsi, {xn + dyn | n ∈ N} est infini.

99
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

4. On pose :
f : Z2 → R,
√
(x, y) 7→ x + dy.

f est injective. En effet :

Soient (a, b), (x, y) ∈ Z2 tels que f (a, b) = f (x, y).
Donc : √
a − x + d(b − y) = 0.
√
Si b − y ̸= 0, alors d ∈ Q. √
Soient p, q ∈ N∗ tels que pgcd(p, q) = 1 et d = pq .
Donc :
p2
d = 2 ∈ N.
q
Alors, q 2 | p2 , et donc q√
2
/pgcd(p2 , q 2 ) = 1.
Ainsi, q = 1, d’où p = d ∈ N, absurde.
D’où b = y, et ainsi a = x.
Alors, f est injective.

Comme {f (xn , yn ) | n ∈ N} est infini, alors {(xn , yn ) | n ∈ N} l’est aussi.

Connaissances requises Aucune connaissance du programme de CPGE n’est nécessaire .

Commentaire Exercice d’Arithmétiques : il sera l’occasion de tester vos connaissances. Certains

passages peuvent être justifiés oralement pour gagner du temps afin de traiter un autre exercice.

3.3.2 Sujet 2
1. C’est une conséquence directe du Théorème de Lucas

∀P ∈ C[X] tel que deg(P ) ≥ 2, l’ensemble des racines de P ′ est contenu dans
l’enveloppe convexe des racines de P

Pour démontrer cela, on considère P un polynôme non constant de C[X] et notons (zi )0≤i≤n−1
ses racines.

Pour t une racine de P ′ :

• Si P (t) = 0, alors t est bien dans l’enveloppe convexe des racines de P

• Si P (t) ̸= 0 on a
n−1
P ′ (t) X 1
0= =
P (t) i=0
t − zi
En passant au conjugué on écrit alors
n−1 n−1
X t − zi
X 1
= 2
=0
i=0
t − zi i=0
|t − zi |

100
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Isolons alors les t du numérateur

n−1 n−1
X 1 X zi
t 2
=
i=0
|t − zi | i=0
|t − zi |2
On pose
1
|t − zi |2
λi = n−1 >0
X 1
|t − zj |2
j=0

Ces réels vérifient donc n−1

P Pn−1
i=0 λ i = 1 et t = i=0 λi zi . Ce qui veut dire que t est bien dans
l’enveloppe convexe des racines de P .
Appliquons le théorème pour démontrer la question. Pour i ∈ J0, n − 1K on écrit ti sous la forme
n−1
X (i) (i)
ti = λj zj avec les λj construits précédemment
j=0

On obtient finalement le résultant en appliquant l’inégalité triangulaire

n−1
X n−1
X
(i) (i)
|ti | ≤ |λj ||zj | ≤ λj = 1
j=0 j=0

Et ceci ∀i ∈ J1, n − 1K.

′′
2. (a) Puisque z0 est une racine simple de P , l’expression PP ′ (z
(z0 )
0)
est bien définie d’une part. D’autre
′′ ′
part P étant le polynôme dérivé de P on écrit directement
n−1
P ′′ (z0 ) X 1
=
P ′ (z0 ) z − ti
i=1 0

(b) On note P = (X − z0 )Q, en dérivant successivement on a

P ′ = Q + (X − z0 )Q′ et P ′′ = 2Q′ + (X − z0 )Q′′
Ou encore en appliquant à z0 on peut écrire P ′ (z0 ) = Q(z0 ) et P ′′ (z0 ) = 2Q′ (z0 ). Donc
P ′′ (z0 ) Q′ (z0 )
= 2
P ′ (z0 ) Q(z0 )
Sachant que les racines de Q sont (zi )1≤i≤n−1 on peut finalement écrire
n−1
P ′′ (z0 ) X 1
= 2
P ′ (z0 ) z − zi
i=1 0

3. Pour tout i ∈ J0, n − 1K : |1 − zi | ≤ 1 + |zi | ≤ 2 Donc

n−1 n−1
!
X 1 n−1 X 1
≥ ou encore 2 ≥n−1
i=1
|1 − zi | 2 i=1
|1 − zi |
′′
P (1)
On en déduit de la question précédente que ≥ n − 1, ce qui se réécrit d’après la question
P ′ (1)
2.(a)
n−1 n−1
X 1 X 1
≥ ≥n−1
i=1
|1 − ti | i=1
1 − ti
Finalement on obtient bien qu’il existe au moins un i ∈ J1, n − 1K tel que |1 − ti | ≤ 1

101
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Connaissances requises Polynômes

Commentaire Exercice abordable en sup; pour avoir une bonne note, il faut avancer rapidement dans
l’exercice, pour pouvoir en traiter un autre.

3.3.3 Sujet 7
√ 1
√ 2
1. pour que√le premier √ √ 1, il 1faut que ∃k ∈ N; 10 + k ≤ Xn < k + 10 .
chiffre de Xn soit
Puisque Xn ∈ [1, n] alors k ∈ J1, n − 10 K
1 2 2 2
on a : (k + 10 ) ≤ Xn < (k + 10 )
1 2 2 2
Donc il faut calculer le nombre des entiers dans l’intervalle [(k + 10 ) , (k + 10 ) ] noté nk .
1 2
(k + 5 ) n’est pas un entier donc c’est pas grave de ne pas faire une inégalité stricte. Puisque
pour des k différents on n’a pas de chevauchements entre ces intervalles alors :
√ √
⌊ n−1⌋ ⌊ n−1⌋  
1 X 1 X 1 2 1 2
an = nk = ⌊(k + ) ⌋ − (⌊(k + ) ⌋ + 1) + 1
n k=1 n k=1 5 10
Donc : √
⌊ n−1⌋  
1 X 2 1 1 1
an = ⌊( k + ⌋ − ⌊ k + 2 ⌋
n k=1 5 25 5 10
D’où :
√ √
⌊ n−1⌋   ⌊ n−1⌋  
1 X 2 1 1 1 1 X 2 1 1 1
k+ −1− k− 2 ≤ an ≤ k+ − k− 2 +1
n k=1 5 25 5 10 n k=1 5 25 5 10

Tout calcul fait, on trouve :

√ √ √ √ √ √
⌊ n⌋(⌊ n⌋ − 1) 97(⌊ n − 1⌋) ⌊ n⌋(⌊ n⌋ − 1) 103(⌊ n − 1⌋)
− ≤ an ≤ +
10n 100n 10n 100n
En tendant n dans les deux côtés de l’inégalité vers l’infini on trouve :
1
lim an =
n→+∞ 10
√
2. On fait la même chose avec une inégalité de type 10k + 1 ≤ αn < 10k + 2

Connaissances requises Probabilités élémentaires (c’est quoi une variable aléatoire et la probabilité
uniforme).

Commentaire Un √ exercice technique qui nécessite une traduction optimale de l’événement”le chiffre
après la virgule de Xn est 1. Une fois ceci fait, le calcul devient direct et sans grande difficulté.

102
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

3.3.4 Sujet 8
1) Si x0 > 0 :

alors ∀n ∈ N xn > 0
1 1
donc ∀n ∈ N + xn ≥ 2 (Voir le comportement de x 7→ x + )
xn x
d’où ∀n ∈ N∗ xn ≥ 1
1 1 − x2n
 
ainsi ∀n ∈ N∗ xn+1 − xn = ≤0
2 xn
1 1


D’où (xn ) suite décroissante et minorée, alors convergente vers un point fixe positif de x 7→ 2
x+ x
D’où
lim xn = 1
n→+∞

Si x0 < 0 :

alors ∀n ∈ N xn < 0
1 1
∀n ∈ N + xn ≤ −2 (Voir le comportement de x 7→ x + )
xn x
∀n ∈ N∗ xn ≤ −1
ainsi ∀n ∈ N∗ xn+1 − xn ≥ 0

D’où (xn ) suite croissante majorée, alors convergente et le point fixe correspondant dans ce cas est -1.

lim xn = −1
n→+∞
xn +1
2) On pose zn = xn −1
 
1 1
2
xn + xn
+1 1
(x2n + 1) + xn
2
On a zn+1 =   = 1
1
xn + 1
−1 2
(x2n + 1) − xn
2 xn

(xn + 1)2 2
= 2 = zn
(xn − 1)
n
d’où ∀n ∈ N, zn = z02

Si Re(x0 ) > 0: on note x0 = a + ib

2
2 a + 1 + ib (a + 1)2 + b2
|z0 | = = >1
a − 1 + ib (a − 1)2 + b2
car (a + 1)2 > (a − 1)2 (puisque 4a > 0)
et comme |z0 | > 1 alors |zn | → +∞
1
→ 0
zn n→+∞
xn − 1
→ 0
xn + 1 n→+∞
2
1− → 0
xn + 1 n→+∞
ainsi xn → 1
n→+∞

103
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Si Re(x0 ) < 0 alors Re(−x0 ) > 0

−x0 + 1
Grâce au 1er cas on a >1
−x0 − 1
1 x0 − 1
= >1
z0 x0 + 1
et comme |z0 | > 1 alors |zn | → 0
n→+∞
xn + 1
→ 0
xn − 1 n→+∞
2
1+ → 0
xn + 1 n→+∞

alors xn → −1
n→+∞

Si Re(x0 ) = 0 alors x0 = ib où b ∈ R∗

xn
On pose yn =
i 
1 1
alors yn+1 = yn −
2 yn
Si par absurde yn → l ∈ R
 
1 1
alors l= l− (l ̸= 0 car sinon yn → +∞ = l)
2 l
l −1
=
2 2l
l2 = −1 absurde
d’où (yn ) n’admet pas de limite, alors (xn ) n’admet pas de limite.

Commentaire Exercice très technique, il faut faire rapidement la 1ère question et interagir avec le
jury pour prendre l’indication de la suite auxiliaire, l’exercice devient calculatoire ensuite.

3.3.5 Sujet 9
si M < 12 :
Raisonnement par analyse synthèse : supposons que cette fonction f existe.
Alors
f (t) = 1 + H(t)f (qt)
= 1 + H(t)(1 + H(qt)f (q 2 t))
= 1 + H(t) + H(t)H(qt)(1 + H(q 2 t)f (q 3 t))
= 1 + H(t) + H(t)H(qt) + H(t)H(qt)H(q 2 t) + . . .
Yn
Ainsi, on pose : ∀n ∈ N∗ fn (t) = H(q n−1 t) et f0 = 1
X k=1
Montrons que fn C.U sur R :
n≥0
On a :
1
∀t ∈ R ∀k ≥ 1 |H(q k−1 t)| ≤ (car H ne prend pas des valeurs négatifs)
2
104
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

D’où ∀n ∈ N ∥fn ∥∞ ≤ ( 21 )n
X
Ainsi ∥fn ∥∞ Converge
n≥0
X
D’où fn C.U sur R
n≥0
+∞
X
On pose : ∀t ∈ R f (t) = fn (t)
n=0
puisque (fn )n≥0 sont continues alors f l’est aussi
+∞
X
et on a : ∀t ∈ R f (qt) = fn (qt)
n=0
n n+1
Y Y f n+1 (t)
Et fn (qt) = H(q k t) = H(q k−1 t) = (car H ≥ m > 0)
k=1 k=2
H(t)
D’où H(t)fn (qt) = fn+1 (t)
+∞
X +∞
X
Alors : H(t) fn (qt) = fn+1 (t)
n=0 n=0
D’où ∀t ∈ R 1 + H(t)f (qt) = f (t) d’où le résultat

De même si m > 2 en prenant pour f ( qt ) = 1 + H( qt )f (t) (les fn seront produit des inverses de
H )

Connaissances requise : SPE (suites et séries de fonctions)

Commentaire : Un raisonnement par analyse-synthèse est primordial pour résoudre cette question.
L’exercice montre l’utilité des suites/séries de fonctions comme étant un moyen plutôt qu’un objet d’étude
en soi. Une telle perspective permet de résoudre l’exercice et laisse du temps pour en traiter un autre.

3.3.6 Sujet 10
1. Puisque ∀x ≥ 0 : sin(x) ≤ x on a en particulier ∀n ∈ N : sin(un ) ≤ un soit ∀n ∈ N : un+1 ≤ un .
Donc (un )n∈N est décroissante et minorée par 0 donc converge vers un réel l ≥ 0. De plus par
continuité de la fonction sin on a sin(l) = l ce qui permet de trouver que l = 0.
On a donc les développements asymptotiques suivants
1
sin(un ) = un − u3n + o(u3n )
n→+∞ 6
⇒  
1 2 2
un+1 = un 1 − un + o(un )
6
⇒  
−2 −2 1 2 2
un+1 = un 1 + un + o(un )
3
⇒
1 −2
lim u2−
n+1 − un =
n→+∞ 3
Puis par un argument de sommation de relations de comparaisons on obtient
n
u−2
n ∼
n→+∞ 3

105
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Finalement
3
u2n ∼
n→+∞ n
D’où u2n le terme général d’une série divergente.

2. On peut réécrire l’hypothèse sur f comme suit

f ′ (x) a 1
= + o( )
f (x) x→+∞ x x

Par intégration des relations de comparaisons on a donc

 
f (x)
ln = a ln(x) + o(ln(x))
f (1) x→+∞

Ainsi pour m > 0 on a

 
f (mx)
ln = (a − 1) ln(x) + o(ln(x))
mxf (1) x→+∞

On supposera pour la suite que a ̸= 1. On a donc l’équivalence

 
f (mx)
ln ∼ (a − 1) ln(x)
mxf (1) x→+∞

Et par conséquent 
f (mx) +∞ : a > 1
−→
mx x→+∞ 0 : a<1
f (mx)
Dans le cas où a = 1, il n’y a pas de conclusion à donner. En effet pour f = id on a lim =
x→+∞ mx
f (mx)
1, mais pour f = (x 7−→ x ln(x)) on trouve lim = +∞
x→+∞ mx

Pour la suite du calcul montrons le lemme suivant :

ˆ +∞
∗
Pour toute fonction g : R+ −→ R+ telle que g(x)dx diverge. Si f vérifie
1
f (x) = o(g(x)) alors pour tout m > 0 on a
x→+∞

ˆ mx ˆ mx 
f = o g
x x→+∞ x

Pour cela, supposons que f (x) = o(g(x)). Supposons également (sans perte de généralité) que
m > 1 et considérons ε > 0. Il existe donc η > 0 tel que

∀x > η : |f (x)| ≤ ε|g(x)| = εg(x)

On peut donc trouver η > 0 tel que

η
∀x > , ∀t ∈ [x, mx] : |f (t)| ≤ εg(t)
m
⇒ ˆ mx ˆ mx
f (t)dt ≤ ε g(t)dt
x x

106
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

D’où le résultat.
Rappelons que
a 1
(ln(f (x)))′ = + o( )
x→+∞ x x
En appliquant le lemme on a donc
ˆ mx
(ln(f (t)))′ dt = a[ln(mx) − ln(x)] + o(ln(m))
x x→+∞

⇒  
f (mx)
ln = ln(ma ) + o(1)
f (x) x→+∞

On a enfin
f (mx)
lim = ma
x→+∞ f (x)
3. On a montré précédemment que

ln(f (x)) = (a − 1) ln(x) + o(ln(x))

x→+∞

Donc il existe c > 0 tel que pour tout x > 0

ln(f (x)) ≤ (a − 1) ln(x) + c ln(x)

ln(f (x)) ≤ ln(xa−1+c )

∀t > 0 e−tx f (x) ≤ e(a−1+c)ln(x)−tx
tx
or : ∀t > 0 e(a−1+c)ln(x)−tx = o(e− 2 )
x→+∞

− tx
et x 7→ e 2 est intégrable sur [0, +∞[, par conséquent :
ˆ +∞
I(t) = e−tx f (x)dx est bien définie et ceci ∀t > 0
0

4. On écrit comme dans ce qui précède :

∀(x, t) ∈]0, +∞[2 xe−tx f (x) ≤ xe(a−1+c)ln(x)−tx

∀t ≥ 1 xe(a−1+c)ln(x)−tx ≤ xe(a−1+c)ln(x)−x
x
et e(a−1+c)ln(x)−x = o(e− 2 )
x→+∞
− x2
or : x 7→ e est intégrable sur [0, +∞[
x
D’où : x 7→ e− 2 f (x) est dominée.

Sous réserve de vérifier les autres conditions de dérivation sous signe intégrale on trouve que
ˆ +∞
∂I(t)
= −xe−tx f (x)dx ≤ 0
∂t 0

Donc I est décroissante et minorée par 0 et par conséquent la valeur de lim I(t) est à fortiori finie.
t→0

Connaissances requises Suites numériques, Analyse, Intégrales paramétrées

107
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Commentaire La première question est à traiter rapidement mais rigoureusement : la majorité des
candidats admissibles connaissent déjà la solution et il ne faudrait pas tarder sur cette dernière ou faire
semblant de ne pas en connaı̂tre la solution. Les autres questions sont de difficulté moyenne et peuvent
être abordées après une bonne maı̂trise des manipulations sur les relations de comparaisons.

3.3.7 Sujet 11
1. On suppose que f (0) = 0. Comme f ′ ≥ 0 alors f est croissante, et par conséquent ∀x ≤ 0 :
f (x) ≤ 0. Or ∀x ≤ 0 : f (x) ≥ 0 (on applique l’hypothèse de l’énoncé pour n = 0), donc
f (x) = 0 : ∀x ≤ 0.

2. D’après la question précédente on en déduit qu’on a

∀n ∈ N ∀x ≤ 0 f (n) (x) = 0

En particulier pour ∀n ∈ N : f (n) (0) = 0.

De plus pour tout x ≥ 0 :
xf (n+1) (x)
f (n) (x) ≤ f (n) (x) +
n
Donc ˆ ˆ ˆ
x x x
(n) (n) tf (n+1) (t)
f (t)dt ≤ f (t)dt + dt
0 0 0 n
Puis par une intégration par parties on obtient

xf (n) (x) f (n−1) (x) xf (n) (x)

 
(n−1) (n−1) 1
f (x) ≤ f (x) + − = 1− f (n−1) (x) +
n n n n
En continuant à intégrer n fois on a finalement
x ′
∀x ≥ 0 f (x) ≤ f (x)
n
D’où en tendant n vers +∞ on a ∀x ≥ 0 : f (x) = 0 et par conséquent f = 0
X f (n) (0)
3. La série xn admet une limite pour tout x ≥ 0 et ∀n ∈ N; ∀x ≥ 0; f (n) (x) ≥ f (n) (0).
n≥0
n!
En intégrant cette dernière n fois on obtient
n
X f (k) (0)
∀n ∈ N ∀x ≥ 0 f (x) ≥ xk
k=0
k!

X f (n) (0)
Et par conséquent xn converge de rayon de convergence R = +∞. On note sa limite
n≥0
n!
g(x) et posons ∀x ∈ R : H(x) = f (x) − g(x). On a déjà H(0) = 0 et ∀x ≥ 0 : f (x) ≥ g(x).

Comme les hypothèses sur f sont aussi valables pour f (n) on a ∀x ≥ 0f (n) (x) ≥ g (n) (x) et
ceci pour tout n. Ou encore en l’écrivant pour H on a ∀n ∈ N; ∀x ≥ 0; H (n) (x) ≥ 0

On a notamment ∀x ≤ 0 : f ′ (x) ≤ f ′ (0) et donc en intégrant on obtient

ˆ 0
f ′ (t)dt ≤ −xf ′ (0)
x

108
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Soit
f (x) ≥ f (0) + xf ′ (0)
De même
∀n ∈ N ∀x ≤ 0 f (2n+1) (x) ≤ f (2n+1) (0)
En intégrant 2n + 1 fois on obtient
2n+1
X f (k) (0) k
f (x) ≥ x
k=0
k!

Et donc pour n qui tend vers +∞ :

∀x ≤ 0 : f (x) ≥ g(x)

De la même manière on obtient la même inégalité pour les dérivées (les hypothèses sur f sont
valables pour ses dérivées)

∀n ∈ N ∀x ≤ 0 f (n) (x) ≥ g (n) (x)

Par conséquent on a ∀n ∈ N; ∀x ∈ R
 (n)
 H (x) ≥ 0

H(0) = 0


Grâce à la question 2 on en déduit que H = 0 d’où le résultat

+∞ (n)
X f (0)
∀x ∈ R f (x) = xn
n=0
n!

Connaissances requises : SUP (analyse)

Commentaire : Exercice qui traite les fonctions absolument monotones, on peut avoir en SUP un DM
qui démontre le résultat établi à l’aide de Taylor avec reste intégral, cependant il n’est pas utile d’essayer
de se rappeler de cette solution qui est bien loin de l’esprit de l’exercice.

3.3.8 Sujet 12
Exercice 1
1. on a φ(e) = Id (car ϕ est un morphisme de groupe)
Donc : tr(ϕ(e)) = n

2. Soit g ∈ G,
On a G est fini alors g est d’ordre fini ainsi ∃m ∈ N∗ ; g m = e
Donc : φ(g)m = Id
Ainsi le Polynôme scindé à racine simple X m − 1 est un annulateur de φ(g) d’où φ(g) est diago-
nalisable.

109
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

3. Soit g ∈ G tel que tr(φ(g)) = n, et Sp(φ(g)) = {λ1 , . . . , λn }. D’après la question 2, on a

∀i ∈ {1, . . . , n} : |λi | = 1, et donc

|λ1 + · · · + λn | = |λ1 | + · · · + |λn |.

λi
Ainsi, par le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire, ∀i ∈ {1, . . . , n} : λ1
∈ R+ (positivement
λi
liée). De plus, on a ∀i ∈ {1, . . . , n} : λ1
= 1, ce qui implique ∀i ∈ {1, . . . , n} : λi = λ1 .
Puisque tr(φ(g)) = n, on a alors nλ1 = n, d’où λ1 = 1. Par conséquent, Sp(φ(g)) = {1} et par
diagonalisabilité de φ(g), on déduit que φ(g) = idE . Ainsi, g = e (car φ est injective).
X X
4. On note ∀m ∈ N, am = φ(g) tr(g)m . et n = dim(V ) On a am xm a un rayon de
g∈G m≥0
convergence non nul car ∀m ∈ N : | tr(φ(g)) | ≤ n ∀g ∈ G.
En utilisant le fait que G est fini pour permuter les sommes, on trouve :
+∞ +∞
! +∞
X
m
X X
m m (G fini) X X
am x = φ(g)tr(g) x = φ(g) (tr(g)x)m
m=0 m=0 g∈G g∈G m=0
X φ(g) X φ(g) φ(e)
= = + .
g∈G
1 − tr(φ(g))x 1 − tr(φ(g))x 1 − nx
g∈G\{e}

On suppose que ∀m ∈ N; am = 0
X φ(g) φ(e)
Alors : + =0
1 − tr(φ(g))x 1 − nx
g∈G\{e}
X φ(g)
Donc (1 − nx) + φ(e) = 0
1 − tr(φ(g))x
g∈G\{e}
Or, grâce à la question 3 ∀g ∈ G \ {e}; tr(φ(g)) ̸= n
Ainsi pour X = n1 on a φ(e) = 0 ce qui est absurde.
Remarque: On peut remplacer X par n1 car c’est une fraction rationnelle nulle pour une infinité
de valeur donc partout sur son domaine de définition.

Connaissances requises SPÉ : réduction et algèbre générale. .....Spoil alert .....: série entière.

Commentaire Un exercice qui commence par trois questions faciles. Pour la quatrième question, elle
est astucieuse : une indication du jury peut aider. Mais on aimerait bien que les élèves connaissent
ces méthodes qui ne sont pas naturelles comme des réflexes, car l’utilisation des séries pour résoudre
des situations n’est pas nouveau. Notons bien qu’il est possible de trouver une solution alternative sans
utiliser les séries entières pour cette question.

Exercice 2
1. Symétrie : On montre que l’ensemble est stable par opposé
grâce à P (−X) pour P ∈ E, et par
inverse (si la racine est non nulle) pour le polynôme X n P X1 .

2. Démonstration par l’absurde : Supposons par l’absurde que A ∩ [2, +∞[̸= ∅. Soit alors
n
X
b ∈ A ∩ [2, +∞[ et P ∈ E tel que P (b) = 0. On écrit P = ak X k .
k=0

110
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Donc :
n−1
X
n
|an b | ≤ |ak bk |.
k=0

Ainsi :
n−1
X
n
b ≤ bk .
k=0

En simplifiant, on obtient :
bn − 1
bn ≤ .
b−1
On a donc bn+1 − 2bn ≤ −1, or bn (b − 2) ≥ 0, ce qui est absurde.
Par conséquent :
A ∩ [2, +∞[= ∅.

3. 1er méthode : Essayons d’analyser ensemble cette question par un argument de symétrie (de
question 1)) . Il suffit de montrer que [ 21 , 1] ⊂ A. Soit a ∈ [ 12 , 1], il faut construire une suite
(an ) ∈ AN telle que an → a. Pour cela, il nous faut une suite de polynômes de E, notée (Pn ), qui
converge.
Si on se limite à un certain degré, c’est-à-dire si on ne prend que des éléments de Rm [X] avec
m ∈ N∗ , alors, comme Rm [X] est fermé, Rm [X] ∩ E est également fermé. Ainsi, la limite de (Pn )
sera dans E.
C.U.
De plus, comme Pn −−→ P , alors 0 = Pn (an ) → P (a), donc P (a) = 0, ce qui implique a ∈ A.
Donc, cela ne peut s’appliquer qu’à des éléments de A, et, comme on peut remarquer que A est
dénombrable (et donc ne couvre pas beaucoup)), essayons plutôt de construire une série entière.
X XN
n
On note f (x) = cn x et PN (x) = cn xn . Essayons de construire les cn ∈ {−1, 0, 1} de
n≥0 n=0
manière à ce que f (a) = 0, et donc que PN (a) tende vers 0.
Pour n = 0, on prend c0 = 1 (et ajustera ensuite si nécessaire). On choisit c1 de façon à minimiser
P1 (a). Si P0 (a) > a, on prend c1 = −1, sinon c’est bon. De manière générale, si Pk (a) > ak+1 ,
on prend ck+1 = −1, sinon ck+1 = 0.
Montrons par récurrence que ∀k ∈ N, 0 ≤ Pk (a) ≤ ak :
Pour k = 0 : P0 (a) = 1 ≤ 1.
Soit k ∈ N, et supposons 0 ≤ Pk (a) ≤ ak+1 .
Si Pk (a) ≤ ak+1 , alors ck+1 = 0, et donc Pk+1 (a) = Pk (a).
1
Sinon, Pk+1 (a) = Pk (a) − ak+1 ≤ ak − ak+1 ≤ ak (car a ≥ 2
).
Ainsi, ∀k ∈ N, 0 ≤ Pk (a) ≤ ak .
donc f (a) = 0 pour a < 1 (en tendant k vers +∞)
On a |cn | ≤ 1, donc le rayon de convergence de la série entière est supérieur à 1.
D’où on peut écrire :
f (a + h) = f (a) + hf ′ (a) + o(h).
h→0
+∞
X
On obtient f ′ (a) = ncn an−1 < 0 (car les ci sont négatifs et non tous nuls).
n=1

111
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Donc, f (a + h) = hf ′ (a) + o(h).

Ainsi f a un comportement négative(pour h > 0) autour de a. Transformant cette information
vers les Pk puisque Pk (a) ≥ 0, donc on aura un T.V.I sur un intervalle restreint.
C.U.
On a Pn −−→ P sur [a − η, a + η] avec η > 0
[a−η,a+η]
Ainsi (∀ϵ > 0)(∃N ∈ N)(∀k ≥ N ); ∥Pk − f ∥+∞ <ϵ
Soit h ∈ R tel que a + h ∈ [a − η, a + η] et ϵ une fonction tel que ϵ(h) −−→ 0 .
h→0
On a f (a + h) = hf ′ (a) + hϵ(h) et

(∀ϵ > 0)(∃N ∈ N)(∀k ≥ N ); Pk (a + h) ≤ ϵ + f (a + h) = ϵ + hf ′ (a) + hϵ(h)

′
On prend h suffisament petit tel que ϵ(h) ≤ − f 4(a) > 0
On note cet intervalle [−η ′ , η ′ ]
3hf ′ (a)
Donc ∀h ∈ [−η ′ , η ′ ]; ∀ϵ > 0; ∃N ∈ N, ∀k ≥ N ; Pk (a + h) ≤ ϵ + 4
′
Pour ϵ = − hf 4(a) en prennant h > 0
hf ′ (a)
D’où ∀h ∈]0, η ′ ]; ∃N ∈ N, ∀k ≥ N ; Pk (a + h) ≤ 2
<0
Soit N ′ > 0 tel que 1
N′
< η′
f ′ (a)
∀n ≥ N ′ ; ∃N ∈ N; ∀k ≥ N ; Pk (a + n1 ) ≤ 2n
< 0) et Pk (a) ≥ 0
d’où grâce au T.V.I : ∃an ∈ [a, a + n1 ]; PN (an ) = 0
d’où on a construit une suite (an )n≥N ′ une suite à valeur dans A tel que an −−−−→ a
n→+∞

D’où [ 21 , 1[⊂ A
je laisse au lecteur de vérifier que 1 ∈ A
Ainsi [ 21 , 2] ∈ A (grâce à la première question)

2éme méthode : ∀a ∈] 12 , 1[ on définit la série entiére de rayon de convergence supérieur ou égal

X
à 1 fa = cn (a)xn avec cn (a) ∈ {−1, 0, 1}
n≥1
On définit ainsi par récurrence :


c0 (a) = 1
N  
−1 si Pk (a) > 0,
X 
∀N ∈ N∗ Pa = ck x(a)k par

k=0

ck+1 (a) = 0 si Pk (a) = 0,

 
1 si Pk (a) < 0.


on peut montrer analogiquement à la méthode 1 que:

∀k ∈ N − ak ≤ Pk (a) ≤ ak

Ainsi lim Pk (a) = fa (a) = 0

k→+∞
soit ϵ > 0 tel que ]a − ϵ, a + ϵ[⊂] 21 , 1[, on suppose par absurde que ∀x ∈]a − ϵ, a + ϵ[, ∀k ∈
N∗ , ck (x) = ck (a) alors fx = fa donc

∀x ∈]a − ϵ, a + ϵ[fa (x) = 0

Ainsi fa est la série entière nulle (nulle sur un ouvert donc nulle partout) or c0 (a) = 1 absurde.
D’où ∃x ∈]a − ϵ, a + ϵ[; ∃k ∈ N∗ ; ck (x) ̸= ck (a)

112
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Ainsi ∃k ∈ N; Pk (x)Pk (a) ≤ 0 (en raisonnant sur le plus petit k pour que les notations restent
valables)
D’où ∃c ∈ [a, x] ⊂]a − ϵ, a + ϵ[; Pk (c) = 0 (T.V.I)
ainsi ∀ϵ > 0; ]a − ϵ, a + ϵ[∩A ̸= ∅
D’où ] 12 , 1[⊂ A
alors [ 21 , 1] ⊂ A (car c’est le plus petit fermé contenant ] 12 , 1[
D’où grâce à 1) [ 21 , 2] ⊂ A

Connaissances requises Spé.

Commentaire Cet exercice commence par deux questions préliminaires relativement accessibles, suivies
d’une troisième question plus difficile. Pour réussir cette dernière, il est essentiel d’avoir le réflexe d’utiliser
le polynôme X n P ( X1 ), un outil efficace dans de nombreuses situations. Ainsi, il est recommandé de traiter
rapidement les deux premières questions pour consacrer plus de temps à la troisième.
La troisième question présente une difficulté particulière. Pour l’aborder, il convient d’abord de compren-
dre l’ensemble A. On remarque qu’il est dénombrable et qu’il ne contient que -1, 0, et 1 comme éléments
rationnels. En effet, ces rationnels sont des entiers algébriques et donc des entiers, ce qui montre que A
ne contient pas un grand nombre d’éléments. Par conséquent, il est pertinent de raisonner sur les séries
entières, car une suite de polynômes de degrés majorés ne sera pas utile dans ce contexte.
Un tel raisonnement peut encourager l’examinateur à transformer l’oral en une discussion où il est possible
de se distinguer des autres candidats.
Il est à noter qu’une note assez correcte (12/20) est envisageable même sans aborder la troisième
question. Cela s’explique par le fait que le jury compare généralement les élèves ayant reçu le même
exercice.

3.3.9 Sujet 13
1. Question 1 : Voir correction première question sujet 14

2. Question 2 : Soit Y une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ,Montrons
que Y est k-divisible. Soit k ∈ N∗ ,

Soient X1 , . . . , Xk des v.a.r.d. i.i.d. suivant une loi de Poisson de paramètre λk .

On a, d’après le cours :
X1 + · · · + Xk ∼ P(λ) ∼ Y.
Ainsi, Y est k-divisible pour tout k ∈ N∗ .

3.3.10 Sujet 14
1. Question 1 : Montrons que Y est k-divisible si et seulement si n | k :
Xk
Supposons qu’il existe k ∈ N∗ tel que Y ∼ Xi , avec X1 , . . . , Xk indépendantes et identique-
i=1
ment distribuées (i.i.d).

113
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Montrons que les Xi sont des variables aléatoires à valeurs dans N afin de pouvoir travailler avec
leur fonction génératrice.

On a :
P(X1 + · · · + Xk < 0) = P(Y < 0) = 0.
Or,
P(X1 < 0, X2 < 0, . . . , Xk < 0) ≤ P(X1 + · · · + Xk < 0).
Cela implique :

P(X1 < 0)k ≤ 0 (car les Xi suivent la même loi et sont indépendantes).

D’où :
∀i ∈ J1, kK, P(Xi < 0) = 0.

De plus :

P(Y = 0) = P(X1 + · · · + Xk = 0) = P(X1 = 0, . . . , Xk = 0) = P(X1 = 0)k (car Xi ≥ 0).

Donc, comme P(Y = 0) ̸= 0, il en résulte que P(X1 = 0) ̸= 0.

Par ailleurs, pour tout r ∈ R \ N :

P(X1 = r) × P(X1 = 0)k−1 ≤ P(X1 + · · · + Xk = r) = P(Y = r) = 0.

Ainsi :
P(X1 = r) = 0 ∀r ∈ R \ N.
D’où les Xi sont des variables aléatoires à valeurs dans N.

En utilisant les fonctions génératrices, on a :

GkX1 = GY .

Donc :
1 n
GX1 (t) = GY (t) k = (1 + pt) k .
Cela donne :
+∞ n n

n


X − 1 ... −i+1
GX1 (t) = k k k
(pt)i .
i=0
i!
n
Si k
/ N, alors pour i = ⌊ nk ⌋ + 1, on aurait P(X1 = i) < 0, ce qui est absurde. Donc k | n.
∈

- Réciproquement, supposons que n | k, alors il existe r ∈ N tel que n = kr.

On a Y ∼ B(n, p), donc il existe X1 , . . . , Xn suivants la loi de bernoullie B(p) i.i.d. telles que
Xn
Y ∼ Xi .
i=1

Alors :
k jr
X X
Y ∼ Xi .
j=1 i=(j−1)r+1

114
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

jr
X
En notant Yj = Xi , par le théorème de la coalition et l’indépendance des (Xi )1≤i≤n , on
i=(j−1)r+1
en déduit que les (Yj )1≤j≤k sont aussi i.i.d. suivant la loi B(r, p)

Donc :
k
X
Y ∼ Yi , avec Y1 , . . . , Yk i.i.d.
i=1

Ainsi, Y est k-divisible.

2. Question 2 : Soit t ∈ R+ .

On a : ! !j
+∞ +∞ +∞
X X 1 X
GY (t) = α exp ai t i =α ai t i .
i=1 j=0
j! i=1

En développant :
+∞ +∞
X 1 X
GY (t) = α ai1 . . . aij ti1 +···+ij .
j=0
j! i ,...,i =1 1 j

+
Comme on manipule les sommes dans R on peut les partitionner et les permuter sans se soucier
de leur nature de convergence.
Et donc en réarrangeant les termes :
 
+∞
X +∞
X X
ai1 . . . aij ti1 +···+ij =  ai1 . . . aij  tr .
i1 ,...,ij =1 r=j i1 +···+ij =r

On pose : X
∀j ∈ N, ∀r ≥ j, br,j = ai1 . . . aij .
i1 +···+ij =r

Ainsi :
+∞ +∞ +∞ r
X 1X X X br,j r
GY (t) = α br,j tr = α t.
j=0
j! r=j r=0 j=0
j!

1 1 ai
Pour chercher le développement de (GY (t)) k , on remplace α par α k et ai par k
. Cela donne :

1 X
br,j = ai1 . . . aij .
kj i1 +···+ij =r

Soit Yk une variable aléatoire définie par :

r
1
X br,j
P(Yk = r) = α k ≥ 0.
j=0
j!

Comme :
+∞
1
X
P(Yk = r) = GYk (1) = (GY (1)) k = 1,
r=0

115
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Yk est bien une variable aléatoire.

Soit X1 , . . . , Xk des v.a.r.d. i.i.d. suivant la même loi que Yk . On montre facilement que :

Y ∼ X1 + · · · + Xk .

Donc Y est k-divisible ∀k ∈ N∗ .

Connaissances requises : SPE (Probabilités)

Commentaire : Exercice qui traite les v.a.r infiniment divisibles. Il est pertinent de savoir profiter
d’une relation du type Y ∼ X1 + X2 , la fonction génératrice est une bonne piste qui n’est valide que
lorsqu’on est face à des v.a.r à valeurs entières positives, ce qui donne une idée pour résoudre l’exercice.

3.3.11 Sujet 15
Voir sujet 16.

3.3.12 Sujet 16
Exercice 1 ˙
On note s(n, k) le nombre de permutations de Sn ayant k cycles.
Si σ ∈ Sn tel que Xn (σ) = k pour k ∈ J1, n − 1K :

Si σ(1) = 1 : alors (1) est un cycle de la décomposition ; il reste k − 1 cycles dans J2, nK.
Donc s(n − 1, k − 1) possibilités.

Sinon : σ(1) a n − 1 possibilités. En éliminant σ(1), il nous reste encore k cycles car σ(1) ̸= 1. Ainsi,
(n − 1)s(n − 1, k) possibilités.
D’où s(n, k) = s(n − 1, k − 1) + (n − 1)s(n − 1, k).
Ainsi, P(Xn = k) = P(Xn−1n=k−1) + 1 − n1 P(Xn−1 = k).

n+1 n+1  
X
k
X P(Xn = k − 1) n
On a donc : GXn+1 = P(Xn+1 = k)X = + P(Xn = k) X k
k=0 k=0
n + 1 n + 1
n  Xn+1
1 X k+1 1
D’où : GXn+1 = P(Xn = k)X + 1− P(Xn = k)X k
n + 1 k=0 n + 1 k=0
   
X 1 X −1 1
D’où : GXn+1 = GXn + 1 − GXn = 1 + GXn = (X + n)GXn
n+1 n+1 n+1 n+1
On a : GX1 = X.
n−1
Y
1 1
Donc GXn = n!
+ (n − 1)][X + (n − 2)] . . . [X + 0] =
[X n!
(X + k).
! k=0
n−1 n−1 n−1 n
′ 1
X Y
1
X n! X 1
Ainsi : E(Xn ) = GXn (1) = n! (k + 1) = n! = .
i=0 k=0,k̸=i i=0
i + 1 i=1
i
n  
2
X 1 1
Et : V (Xn ) = G′′Xn (1) − G′Xn (1) =


− 2 .
i=1
i i

116
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

1


Exercice 2 Non. Pour P (X, Y ) = X 2 + (1 − XY )2 ≥ 0, on a lim P n
,n = 0.
n→+∞
Donc, si l’inf est atteint, il sera 0.
Or, P (a, b) = 0 ⇒ a = 0 et 1 − ab = 0, ce qui est absurde.

Connaissances requises Spé(Proba).

Commentaire Exercice de dénombrement qui traite la variable aléatoire posé à l’épreuve de MathA-
2024,exactement les deux questions 10 et 11. Lorsqu’on trouve la fonction génératrice le calcul d’espérance
et de variance se découle directement.

3.3.13 Sujet 18
En identifiant les coefficients, on trouve que l’exercice est équivalent à démontrer que :
n
X δjk+1 n n
∀k ∈ J0, nK 2
= (k − )
j=1
(1 − δj ) 2 2

n n n
X δjk+1 X δjk+1 − 1 X 1
On a 2
= 2
+ 2
.
j=1
(1 − δj ) j=1
(1 − δ j ) j=1
(1 − δj )
n n
′
X 1 Q′ X 1
On pose Q = X n + 1; QQ = ; ( )′ (1) = − 2
.
j=1
x − δ j Q j=1
(1 − δj )
n−2 n +1)−n2 X 2n−2
Q′ nX n−1 ′
Or Q
= X n +1
donc ( QQ )′ = n(n−1)X (X(Xn +1)2 .
′ n2 −2n(n−1) 2
Donc −( QQ )′ (1) = 4
= n2 − n4 .
D’où, on doit démontrer que :
n
X δjk+1 − 1 n n n n2 n
∀k ∈ J0, nK 2
= (k − ) − + = (k − 1)
j=1
(1 − δj ) 2 2 2 4 2

Soit k ∈ J0, nK,

n n Xk n  X k n X k  h
δjk+1 − 1 X (δj − 1)δjk δjh δj − 1
 X  
X X 1
On a : 2
= 2
= − =− + .
j=1
(1 − δj ) j=1 h=0
(1 − δ j ) j=1 h=0
(1 − δ j ) j=1 h=0
1 − δ j 1 − δ j

n n n k h−1 k−1 X k n
X δjk+1 − 1 X k + 1 XXX a Q′ X X
Donc : 2
=− + δj = −(k + 1) (1) + δja .
j=1
(1 − δ j ) j=1
1 − δ j j=1 h=1 a=0
Q a=0 h=a+1 j=1

n n−1 2nπ
ei n −1
 
(2j+1)πa
i πa
X X
Or, on a pour a ̸= 0 : = δja e i
=e n
i πa
= 0.n
e n − 1
j=1 j=0
Notons que ceci est bien défini car 0 < a ≤ k − 1 < n.
n k n
X δjk+1 − 1 n XX n n
Donc : 2
= −(k + 1) + 1 = −(k + 1) + nk = (k − 1) d’où le résultat.
j=1
(1 − δj ) 2 h=1 j=1 2 2

Connaissances requises Sup : Polynômes

117
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Commentaire Exercice calculatoire et technique,le calcul nécessite une bonne maı̂trise de la manip-
ulation des polynômes,pour réussir l’exercice il ne faut pas se planter devant l’exercice et remarquer la
linéarité de l’égalité ce qui mène à penser de raisonner sur X k puis les coefficients . . .

3.3.14 Sujet 19
Pour n = 2:
Soit P ∈ C2 [X] : P = (X − α)(X − β) = X 2 − (α + β)X + αβ
si |α| ≥ 1 et |β| ≥ 1 alors M = |αβ|
On a donc |α + β| ≤ |α| + |β| ≤ |αβ| + 1 = 11 M + 10

car |α| + |β| ≤ |αβ| + 1 ⇐⇒ (|α| − 1)(|β| − 1) ≥ 0 Ce qui est vrai

Pour les autres cas c’est trivial.
On traite maintenant le cas général:
On pose (λ1Q , . . . , λn ) les racines de P et ∀k ∈ [[1, n]] αk = sup(1, |λk |)
alors: M = nk=1 αk
Grâce à la formule de Viète:
X
∀k ∈ [[1, n − 1]] |an−k | = λi1 λi2 . . . λik
1≤i1 <i2 <...<ik ≤n
X X
≤ |λi1 | . . . |λik | ≤ αi1 . . . αik
1≤i1 <i2 <...<ik ≤n 1≤i1 <i2 <...<ik ≤n

Maintenant on essaye de démontrer l’inégalité suivant:

  n  
X n−1 Y n−1
αi1 . . . αik ≤ αk +
1≤i1 <i2 <...<ik ≤n
n − k k=1 n−k−1

Car c’est le résultat de l’exercice pour |an−k |, donc l’exercice revient (grâce à Pascal) à démontrer
l’inégalité suivante:

∀(α1 , . . . ., αn ) ∈[1, +∞[n ∀k ∈ [[1, n − 1]]

  n  
X n−1 Y n−1
Sn,k = αi1 . . . αik ≤ αk +
1≤i1 <...<i ≤n
k − 1 k=1
k
k

On a Sn+1,k = αn+1 Sn,k−1 + Sn,k

Maintenant la récurrence:
  n  
n−1 Y n−1
P (n) : ∀n ≥ 2 ∀k ∈ [[1, n − 1]] |Sn,k | ≤ αk +
n − k k=1 k

Pour n = 2, c’est comme le cas traité au début

Soit n ≥ 2 on suppose P(n) Q
Soit k ∈ [[1, n]] On pose A = nk=1 αk ≥ 1 et B = αn+1 ≥ 1
Si k = n alors Sn,n = A
On a
   
n−1 n−1
Sn+1,n = αn+1 Sn,n−1 + Sn,n ≤ AB + B +A
1 n−1
≤ (n − 1)AB + B + A

118
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Or on a

(A − 1)(B − 1) ≥ 0 ⇐⇒ A + B ≤ AB + 1
⇐⇒ (n − 1)AB + B + A ≤ nAB + 1

D’où    
n n
Sn+1,n ≤ AB + = nAB + 1
n−1 n
Si k ∈ [[1, n − 1]] alors grâce à l’hypothèse de récurrence:
       
n−1 n−1 n−1 n−1
Sn+1,k ≤ AB + B+ A+
k−2 k−1 k−1 k
donc il faut montrer que:
           
n−1 n−1 n−1 n−1 n n
AB + B+ A+ ≤ AB +
k−2 k−1 k−1 k k−1 k
           
n n−1 n n−1 n−1 n−1
⇐⇒ 0 ≤ − AB + − − A− B
k−1 k−2 k k k−1 k−1
       
Pascal n−1 n−1 n−1 n−1
⇐⇒ 0 ≤ AB + − A− B
k−1 k−1 k−1 k−1
⇐⇒ 0 ≤ AB + 1 − A − B ⇐⇒ 0 ≤ (A − 1)(B − 1) ce qui est vrai

D’où le résultat

Connaissances requises : SUP (Polynômes)

Commentaire : Exercice calculatoire, l’aide du jury sera pertinente pour prendre la bonne piste. Il
n’était pas attendu de faire un raisonnement par récurrence, mais plutôt séparer la somme de la formule
de Viète.

3.3.15 Sujet 20
1. Voir déroulement.

2. Voir déroulement.

3. Démonstration par récurrence pour n ≥ 2 :

Pour n = 2, soient f1 et f2 deux fonctions convexes, continues et telles que max(f1 , f2 ) ≥ 0.
Posons I1 = {x ∈ [0, 1] | f1 (x) < 0} et I2 = {x ∈ [0, 1] | f2 (x) < 0}.
En raison de la convexité des fonctions f1 et f2 , on peut aisément démontrer que I1 et I2 sont
convexes, donc ce sont des intervalles.
Supposons que I1 et I2 ne soient pas vides (dans le cas contraire, on aurait fi ≥ 0 pour i ∈ {1, 2},
ce qui montre directement le résultat).
Par continuité des fonctions f1 et f2 , les ensembles I1 = f1−1 (R∗− ) et I2 = f2−1 (R∗− ) sont ouverts.
On peut donc écrire Ij =]aj , bj [ avec 0 ≤ aj < bj ≤ 1.
Supposons, sans perte de généralité, que b1 ≤ a2 .
Ainsi, f1 (b1 ) ≤ 0 (car ∀x ∈]a1 , b1 [, f1 (x) < 0, et par continuité de f1 ).
Puisque b1 ≤ a2 < b2 ≤ 1, il en résulte que ]b1 , 1] ̸= ∅. Donc, ∀x ∈]b1 , 1], f1 (x) ≥ 0. Par limite,
cela implique f1 (b1 ) ≥ 0.

119
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Ainsi, f1 (b1 ) = 0. De même, f2 (a2 ) = 0.

f1 (x)−f1 (b1 ) f2 (x)−f2 (a2 )

Posons λ = lim− x−b1
et µ = lim+ x−a2
. Les limites λ et µ existent, car b1 et a2 sont
x→b1 x→a2
à l’intérieur de [0, 1].
On a alors, pour tout x ∈ [0, 1] :
(
f1 (x) ≥ f1 (b1 ) + λ(x − b1 ),
f2 (x) ≥ f2 (a2 ) + µ(x − a2 ).
D’où f1 (x) ≥ λ(x − b1 ) et f2 (x) ≥ µ(x − a2 ).
En conséquence, λ > 0 et µ < 0 (car si λ ≤ 0, alors ∀x ∈]a1 , b1 [, f1 (x) ≥ λ(x − b1 ) ≥ 0, ce qui
est absurde. Un raisonnement analogue s’applique pour µ).
Posons α = − µλ . Alors, pour x ∈ [0, 1] :
f1 (x) + αf2 (x) ≥ λ(x − b1 ) + αµ(x − a2 ) = −λb1 + λa2 = λ(a2 − b1 ) ≥ 0.
Le résultat est ainsi établi pour n = 2.

Soit n ≥ 2, supposons que le résultat soit vrai pour n, et montrons-le pour n + 1.

Soient f1 , . . . , fn+1 des fonctions vérifiant les hypothèses.
Alors, max(max(f1 , . . . , fn ), fn+1 ) ≥ 0.
Puisque les fi sont convexes et continues, il en est de même pour max(f1 , . . . , fn ).
D’après l’initialisation, il existe α1 , α2 ≥ 0 tels que :
α1 max(f1 , . . . , fn ) + α2 fn+1 ≥ 0 et (α1 , α2 ) ̸= (0, 0).
Ainsi,
max(α1 f1 + α2 fn+1 , . . . , α1 fn + α2 fn+1 ) ≥ 0.
Par hypothèse de récurrence, il existe (β1 , . . . , βn ) ∈ (R+ )n \ {(0, . . . , 0)} tel que :
n
X
βi (α1 fi + α2 fn+1 ) ≥ 0.
i=1

En réarrangeant :
 n
X  n
X
α2 βi fn+1 + (α1 βi )fi ≥ 0.
i=1 i=1
Si ∀i ∈ J1, nK, α1 βi = 0, alors comme
Pnles (βi ) ne sont pas tous nuls, on aurait α1 = 0, ce qui
implique α2 > 0. Par conséquent, α2 i=1 βi > 0.

3.3.16 Sujet 21
Exercice 1
1. (un )n≥0 ∈ R∗+ donc: lim Sn existe et est dans R∗+ ∪ { +∞}
Si lim Sn = l ∈ R∗+
Sn
On a ∼
nun +∞
a>0
Sn
∼ l 1
P
D’où un ∼ Ce qui est absurde car: diverge
+∞ a.n +∞ a.n n≥1
n

=⇒ Sn → +∞
n→+∞

120
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

P n
P
2. Puisque Sn diverge, que anun ∼ Sn et que les séries sont à termes positifs, alors: a kuk ∼
+∞ k=0 +∞
n
P
Sk
k=0
On remarque alors que:
n
X n X
X k
Sk = ui
k=0 k=0 i=0
Xn X n
= ui
i=0 k=i
n
X n
X
= (n + 1 − i)ui = (n + 1)Sn − iui
i=0 i=0

Alors on obtient: Pn
(n + 1)Sn Sk
Pn = 1 + Pnk=0 → a+1
k=0 kuk k=0 kuk
n→+∞

n
(n+1)Sn nSn an2 un
P
Et donc kuk ∼ a+1
∼ a+1
∼ a+1
k=0
D’où n
1 X a
kuk ∼ n2
un k=0 a+1

3. On a de même anun vn ∼ Sn vn et Tn diverge par analogie avec Sn , donc il en est de même pour
P P Pn P
Sn vn , alors on déduit: a kuk vk ∼ Sk vk et de même on trouve: b kuk vk ∼
k=0 n→+∞ k=0 k=0 n→+∞
n
P
Tk uk Donc
k=0
n
P n
P
Sk vk + Tk uk
k=0 k=0
n → a+b
P n→+∞
kuk vk
k=0

ainsi n n n
X X X
(a + b) kuk vk ∼ Sk vk + Tk uk
n→+∞
k=0 k=0 k=0

On observe alors que:

n
X n
X X X
Sk vk + Tk uk = ul vk + uk vl
k=0 k=0 0≤l≤k≤n 0≤l≤k≤n
!
X
= uk vl + u1 v1 + . . . + un vn
0≤k,l≤n
n
X
= Sn Tn + uk vk
k=0

P n
P n
P
On a kuk vk divergente et un vn = o(nun vn ) d’où: uk vk = o( kuk vk )
k=0 k=0

121
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Alors: n
X
(a + b) kuk vk ∼ Sn Tn ∼ abn2 un vn
n→+∞ n→+∞
k=0

D’où: n
1 X ab 2
kuk vk ∼ n
un vn k=0 n→+∞ a+b

Exercice 2
Soit k ∈ [[0, n]], On pose:
n
Q
(X − i)
i=0
i̸=k
Lk = Q
n
(k − i)
i=0
i̸=k

n
P
Alors on sait que: P = P (k)Lk
k=0
Soit m ∈ Z: -Si m ∈ [[0, n]] ∆|P (m) d’après l’énoncé
-Si m > n :
On a pour k ∈ [[0, n]]:
n
Q
(m − i)
i=0
i̸=k
Lk (m) = Q
n
(k − i)
i=0
i̸=k

m! (m−k−1)!
(m−k)!
×
(m−n−1)!
=
k! × (−1)n−k (n − k)!
  
n−k m m−k−1
= (−1) ∈Z
k n−k
n
P
Alors P (m) = P (k)Lk (m) est divisible par ∆
k=0
-Si m < 0
n
Q
(m − i)
i=0
i̸=k
Lk (m) = Q
n
(k − i)
i=0
i̸=k

(−1)k (k−1−m)!
(−1−m)!
(nm )!
× (−1)n−k (k−m)!
=
k! × (−1)n−k (n − k)!
  
k−1−m n−m
= ∈Z
k n−k

Et donc de même ∆|P (m)

122
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

3.3.17 Sujet 22
Démonstration du Lemme On a f développable en série entière, et comme f (z) = o(z r ) ; r ∈ N∗ ,
alors on déduit que le premier terme non nul dans le développement de f est le r-ième.
Soit ρ > 0 soit z ∈ C tq |z| = ρ
Écrivons z = ρeiθ et r!1 f (r) (0) = ρ′ eiα (ρ′ > 0)

f (z) = ρ′ eiα z r (1 + ϵ(z))

= ρ′ ρr eiα+rθ (1 + ϵ(z)) tel que |ϵ(z)| < 1 pour ρ assez petit

Im(f (z)) = ρ′ ρr sin(α + rθ) + ρ′ ρr cos(α + rθ)Im(ϵ(z)) + ρ′ ρr sin(α + rθ)Re(ϵ(z))

= ρ′ ρr Im(ϵ(z))cos(α + rθ) + ρ′ ρr (1 + Re(ϵ(z)))sin(α + rθ)
= ρ′ ρr [Im(ϵ(z))cos(α + rθ) + (1 + Re(ϵ(z)))sin(α + rθ)]

pour α + rθm = mπ + π2 où m ∈ [[0, 2r]]

On a Im(f (zm )) = ρ′ ρr (−1)m (1 + βm ), avec zm = ρeiθm et βm = Re(ϵ(zm )) > −1
(car |Re(ϵ(z))| ≤ |ϵ(z)| < 1)
d’où Im(f (zm )) change de signe 2r fois.
ainsi en appliquant le T.V.I entre θm et θm+1 pour chaque m ∈ [[0, 2r − 1]], on déduit que Im(f ) est
nulle pour 2r valeurs de z tq |z| = ρ
(On a θ2r − θ0 = 2π, ce qui justifie que les racines sont bien distinctes)
D’où le résultat.

Application du Lemme A et B jouent un rôle symétrique, il suffit donc de montrer le résultat pour
B par rapport à A (B pris non nul, ce cas étant évident)
A
On pose f = B
Soient a,b deux racines consécutives de A.
On suppose par absurde que B ne s’annule pas sur [a,b]
Alors f de classe C 1 sur [a,b] et f (a) = f (b) = 0
D’où grâce à Rolle ∃c ∈ [a, b] f ′ (c) = 0
Alors f − f (c) admet donc c comme zéro de multiplicité au moins 2.
On pose H : z 7→ f (z + c) − f (c)
alors: H(z) = O(z 2 ) (développement de Taylor)
z→0
Donc, d’après le lemme ∀ρ > 0 assez petit, il existe 4 racines de Im(H), donc 4 racines de Im(f ) tq
|zi − c| = ρ ∀i ∈ [[1, 4]].
On a 4 racines distinctes de module ρ. Les valeurs réelles possibles n’étant que +ρ et −ρ, il existe donc
une solution non réelle que l’on note z0
Donc f (z0 ) = α ∈ R
c’est-à-dire A(z0 ) = αB(z0 )
alors A − αB s’annule en z0 ∈ C \ R or, A − αB est scindé dans R ce qui est absurde.
D’où le résultat.

3.3.18 Sujet 24
1. Voir sujet 4

2. Quitte à permuter (ai )i on peut considérer la configuration suivante

123
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

a3 a2

a4 a1

a5 an

Introduisons les évènements suivants

∀i ∈ J1, nK Bi,d = {bi se trouve à droite de ai } et Bi,g = {bi se trouve à gauche de ai }

A = {aucun bi n’est à côté du ai correspondant}

∀k ∈ J1, nK A2k = Bk,d et A2k−1 = Bk,g

Alors
n
[ 2n
[
A = (Bi,g ∪ Bi,d ) = Ak
i=1 k=1
X2n X
⇒ Card(A) = (−1)k+1 Card(Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik )
k=1 1≤i1 <i2 <...<ik ≤2n

Si dans cette somme il y a deux indices successifs (i.e. il existe un p ∈ J1, k − 1K tel que
ip+1 = ip + 1). Alors il y aura une intersection qui contient soit un Bj,d ∩ Bj,g soit un Bj,d ∩ Bj+1,g .
Or
Bj,d ∩ Bj,g = ∅ (car bj ne peut pas être simultanément à droite et à gauche)
Bj,d ∩ Bj+1,g = ∅ (car si bj à droite de aj , bj+1 ne peut pas être à gauche de aj+1 , car occupé par bj )

Lorsque ik = 2n et i1 = 1, puisque la table est ronde on a effectivement deux éléments successifs

et donc on à encore une fois une intersection vide.
Il faut donc que {i1 , ..., ik } soit une partie de cardinal k qui ne contient pas d’éléments successifs
et que (i1 , ik ) ̸= (1, 2n).
Ce qui nous donne un cardinal d’après la question 1
       
2n + 1 − k 2(n − 2) + 1 − (k − 2) 2n + 1 − k 2n − 1 − k
− = −
k k−2 k k−2
En effet, pour éliminer le cas (i1 , ik ) = (1, 2n) il faut aussi voir que dans ce cas 2 et 2n − 1 ne
peuvent pas se succéder, donc il faut aussi éliminer les ensembles de cardinal k − 2 d’un ensemble
de 2n − 4 éléments (J3, 2n − 2K).

De plus, pour chaque configuration des k éléments, il y a (n − k)! configurations des (bi )i non
choisis. Cependant d’après le lemme des tiroirs, quand k ≥ n + 1 on ne peut construire une partie
sans éléments successifs.
En réunissant tout cela on a
n    
X
k+1 2n + 1 − k 2n − 1 − k
Card(A) = (−1) (n − k)! −
k=1
k k−2
n    
X
k+1 2n + 1 − k 2n − 1 − k
⇒ Card(A) = n! − (−1) (n − k)! −
k=1
k k−2

124
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Notons E l’évènement décrit dans l’énoncé. Puisque le travail sur A se fait par une permutation
des (ai )i dans la configuration initiale. On a

Card(E) = n!Card(A)

Ce qui donne en terme de probabilités

n    
Card(E) 1 X 2n + 1 − k 2n − 1 − k
P(E) = = 1 − (−1)k+1 (n − k)! −
(n!)2 n! k=1 k k−2

Connaissances requises : SUP (dénombrement).

Commentaire : Exercice difficile. Pour le réussir, il faut être habitué à faire des raisonnements de
dénombrement. La première question est relativement préliminaire, vue la durée limitée de l’épreuve,
il sera pertinent de discuter avec le jury afin de poser les événements adéquats, après, les passages
deviennent plus clairs pour un bon candidat qui pourra se démarquer en utilisant judicieusement la 1ère
question en autonomie et trouver la solution. Pour vous entraı̂ner à ce type d’oraux, je vous invite à voir
aussi :

• Le nombre de surjections

• L’inversion de Pascal (comme un HP)

• Répétition des entiers ( ri=1 ai ni = k par le DSE de 1

P
(1−X a1 )(1−X a2 )...(1−X ar )
ou par dénombrement)

• Série génératrice pour le ”nombre de Bell”-Catalan-Dérangement...

3.3.19 Sujet 25
1) Méthode 1:
On pose C = f (2)
∀n ∈ N∗ f (2n ) = nC et ∀(n, k) ∈ N∗2 f (nk ) = kf (n)
donc soit n ∈ N∗


f (nk ) f 2klog2 (n)
f (n) = lim = lim
k→+∞ k k→+∞ k

f 2⌊klog2 (n)⌋ f 2⌊klog2 (n)⌋+1

f 2nlog2 (n)
or ≤ ≤
k k k


⌊klog2 (n)⌋ f 2nlog2 (n) ⌊klog2 (n)⌋ + 1
donc C≤ ≤ C
k k k

n → +∞ f (n) = Clog(n) ∀n ∈ N∗

Méthode 2:
On pose g(n) = 10f (n) ; On a g(nm) = g(n) × g(m) ∀(n, m) ∈ N∗2
Montrons que ∃c ∈ R ∀p ∈ P g(p) = pc
Supposons par absurde que ∄c ∈ R tq ∀p ∈ P g(p) = pc

125
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

f (n)
f (p)
On remarque que g(n) = n log(n) , soit p ∈ P, notons α = log(p)
la supposition nous donne donc l’existence
f (p) f (q)
de q ∈ P tel que: α = log(p) ̸= log(q) = β (sinon on aurait: ∀q ∈ P g(q) = q α )
Ainsi: g(p) = pα et g(q) = q β avec α > β (sans perte de généralité)
n
Soit r = m ∈Q
 
β log(q) n log(q) β
tq < < car < 1 et Q dense dans R
α log(p) m log(p) α
D’où g(pn ) = g(p)n = pαn et g(q m ) = q βm
or n log(p) < m log(q)
donc pn < q m alors g(pn ) < g(q m )
alors pαn < q βm d’où αn log(p) < βm log(q)
n β log(q)
ainsi: < Absurde
m α log(p)

D’où ∃c ∈ R ∀p ∈ P g(p) = pc
Et par la décomposition en facteurs premier:

∀n ∈ N∗ f (n) = Clog(n)

2) Méthode 1
kP
n,b
∀b ≥ 2; ∀n ∈ N ∗
Notons: n = an,j bj l’écriture de n en base b avec kn,b = ⌊ log(n)
log(b)
⌋ et an,j ∈
j=0
[[0, b − 1]] ∀j ∈ [[0, kn,b ]]
On a (f (n + k) − f (n))k∈[[0,b−1]] → (0)k∈[[0,b−1]]
n→∞
Donc selon la norme infinie de Rb on a:

∀ϵ > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N ∀k ∈ [[0, b − 1]] |f (n + k) − f (n)| < ϵ

Soit ϵ > 0 alors: ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 ∀k ∈ [[0, b − 1]] |f (n + k) − f (n)| < ϵ

Soit n ∈ N∗

|f (n) − kn,b f (b)| ≤ |f (n) − f (an,kn,b ) − kn,b f (b)| + |f (an,kn,b )|

 
kn,b −1 kn,b kn,b
X X X
≤ f ( an,j bj−i ) − f ( an,j bj−(i+1) ) − kn,b f (b) + |f (an,kn,b )|
i=0 j=i j=i+1

kn,b −1 kn,b kn,b

X X X
j−i
≤ f( an,j b ) − f ( an,j bj−(i+1) ) − f (b) + |f (an,kn,b )|
i=0 j=i j=i+1

kn,b −1 kn,b kn,b

X X X
j−i
|f (n) − kn,b f (b)| ≤ f( an,j b ) − f (b an,j bj−(i+1) ) + |f (an,kn,b )|
i=0 j=i j=i+1

On pose Mb = max |f (i)| (qui ne dépend que de b)

0≤i≤b−1
alors
kn,b −1 kn,b kn,b
X X X
j−i
|f (n) − kn,b f (b)| ≤ f( an,j b ) − f ( an,j bj−i ) + Mb
i=0 j=i j=i+1

126
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Or on a:
kn,b kn,b
X X
j−i
∀i ∈ [[0, kn,b − 1]] an,j b − an,j bj−i = |an,i | < b
j=i j=i+1

kP
n,b kP
n,b
On veut appliquer la définition de la limite sur an,j bj−i donc il faut que an,j bj−i ≥ n0
j=i+1 j=i+1
On a
kn,b
X
an,j bj−i ≥ an,kn,b bkn,b −1−i ≥ bkn,b −1−i (car b ≥ 1 et an,kn,b ≥ 1)
j=i+1

et bkn,b −1−i ≥ n0 ⇐⇒ kn,b − 1 − i ≥ logb (n0 )

⇐⇒ i ≤ kn,b − logb (n0 ) − 1
⇐⇒ i ≤ s0 = ⌊kn,b − logb (n0 ) − 1 = kn,b − 1 + ⌊−logb (n0 )⌋

Ainsi:
kn,b kn,b
X X
j−i
∀i ∈ [[0, s0 ]] : f( an,j b ) − f ( an,j bj−i ) < ϵ
j=i j=i+1

D’où:
s0 kn,b kn,b
X X X
j−i
|f (n) − kn,b f (b)| ≤ f( an,j b ) − f( an,j bj−i )
i=0 j=i j=i+1

kn,b −1 kn,b kn,b

X X X
j−i
+ f( an,j b ) − f ( an,j bj−i ) + Mb
i=s0 +1 j=i j=i+1

kn,b −1 kn,b kn,b

X X X
j−i
≤ (s0 + 1)ϵ + Mb + f( an,j b ) − f( an,j bj−i )
i=s0 +1 j=i j=i+1

kn,b kn,b −i kn,b −i

X X X
j
≤ (s0 + 1)ϵ + Mb + f( an,j+i b ) − f ( an,j+i bj )
i=s0 +1 j=0 j=1

On a

∀i ∈ [[s0 + 1, kn,b ]] [[0, kn,b − i]] ⊂ [[0, kn,b − s0 ]]

⊂ [[0, 1 − ⌊−logb (n0 )⌋]] Ne dépend que de n0 donc que de ϵ

Donc son maximum ne dépend que de ϵ

Ainsi on pose: Mϵ = max2 (f (a) − f (c)) où E = {h ∈ N∗ /kh,b < kn,b−s0 −1 }
a,c∈E
donc:

∀n ∈ N∗ ∀ϵ > 0 (n0 ne dépend que de ϵ)

|f (n) − kn,b f (b)| ≤ (s0 + 1)ϵ + Mb + (kn,b − s0 )Mϵ
≤ kn,b ϵ + Mb + (1 − ⌊−logb (n0 )⌋)Mϵ

Ainsi
f (n) Mb (1 − ⌊−logb (n0 )⌋)
− f (b) ≤ ϵ + + Mϵ
kn,b kn,b kn,b

127
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

Quand n → +∞ ( puisque kn,b → +∞ )

f (n)
∀ϵ > 0 ∃n ≥ N − f (b) ≤ 2ϵ
kn,b
D’où:
f (n) = kn,b f (b) + o(kn,b )
n→+∞

or kn,b ∼ log(n)
n→+∞ log(b)
ainsi:
f (b)
f (n) = log(n)
+ o(log(n))
log(b)
n→+∞

Par unicité du développement limité et comme ceci est vrai pour tout b ≥ 2
f (b)
Alors ∀b ≥ 2 log(b) est une constante.
D’où le résultat.
Méthode 2: On se place dans le cas b = 2, plus simple à traiter. Par un argument identique à celui de
la première méthode on parvient à :

f (n)
∀ϵ > 0 ∃N ∈ N∀n ≥ N − f (2) ≤ 2ϵ
kn
D’où
f (n)
→ f (2)
⌊log2 (n)⌋
f (n)
=⇒ → f (2)
log2 (n)
Soit n ∈ N∗
f (n) f (nk )
log2 (n)
= limk→+∞ log2 (nk )
= f (2)
D’où
f (n) = f (2)log2 (n)

Connaissances requises : Aucune connaissance du programme de CPGE n’est requise pour un éléve
de Sciences mathématiques marocain.

Commentaire : Exercice extrêmement difficile. La 1ère question joue un rôle crucial dans la notation,
il faut la résoudre avec un maximum d’autonomie, et trouver le temps pour faire une discussion avec le
jury sur la deuxième question et obtenir des indications. Il faut noter que pour obtenir 16/20 ou plus
dans ce type d’oral, il ne s’agı̂t pas de trouver la solution mais de montrer au jury qu’on est bon en
maths, et se démarquer par rapport aux autres candidats. Notons bien qu’une note correcte (12/20)
peut être obtenue en proposant des idées pertinentes à l’examinateur, au lieu de rester bloqué auquel
cas le jury n’a pas de raison de vous donner plus de 06/20.

3.3.20 Exercice sans déroulement 1

On note E l’ensemble des parties de Sn de cardinal k qui ne contiennent pas d’éléments successifs, et
A l’ensemble des parties de [[1, n − (k − 1)]] de cardinal k.
On a:
f :E→A
{a1 < a2 < . . . < ak } → {a1 < a2 − 1 < a3 − 2 < . . . < ak − (k − 1)}

128
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

est bijective, donc:  

n−k+1
Card(E) =
k

Commentaire Exercice de dénombrement car il faut tomber sur la bonne piste, un tel oral ne reflète
pas le niveau du candidat donc il faut essayer de ne pas passer la majorité de son temps sur un tel type
de question.

3.3.21 Exercice sans déroulement 3

On pose :
n
X φ(k)
∀n ∈ N∗ , Sn = .
k=1
k2
La suite (Sn ) est croissante, donc elle admet une limite. Supposons par l’absurde que cette limite est
finie.
2n 2n n
∗
X φ(k) 1 X 1 X
On a : ∀n ∈ N , S2n − Sn = ≥ 2 φ(k) ≥ 2 k.
k=n+1
k2 4n k=n+1 4n k=1
Car l’ensemble {φ(k)/k ∈ Jn + 1, 2nK} contient n éléments car φ est injective. Ainsi, leur somme est
n
X
supérieure à k. Par conséquent :
k=1
1 n(n + 1) 1
S2n − Sn ≥ 2
× →
4n 2 8
Or, on sait que S2n − Sn → 0, ce qui est absurde.
X φ(n)
Ainsi, la série 2
diverge.
n≥1
n

Connaissances requises Aucune connaissance du programme de CPGE n’est nécessaire.

Commentaire Cet exercice est relativement classique lorsque φ est une permutation qui ne change
pas grand-chose. Pour réussir cet exercice, il est utile de considérer le cas φ = id, où la série devient
une somme harmonique. La démonstration doit donc inclure une démonstration de ce cas particulier.

Il est connu que le calcul de S2n − Sn fournit une démonstration pour la somme harmonique. En général,
dans ce type d’exercices, on peut utiliser :
• l’inégalité de réarrangement ;
• ou calculer Sp − Sq avec p et q choisis convenablement selon la situation.
On vérifie ensuite que Sp − Sq ne tend pas vers 0 pour conclure.

Exercices supplémentaires Voici d’autres exercices que l’examinateur pourrait proposer après une
résolution rapide de ce problème :
X φ(m) X φ(m)
Étudier la convergence des séries : et ,
m≥1
m3 m≥1
m2 ln(m)
où φ est une permutation de N∗ → N∗ .

129
CHAPITRE 3. CORRIGÉS RETOUR SUR LES ORAUX

3.3.22 Exercice sans déroulement 4

Supposons par l’absurde qu’il existe A ∈ M2 (R) tel que :
+∞
(−1)n A2n+1
 
X 1 2024
=B avec B = .
(2n + 1)! 0 1
n=0

Soient (λ1 , λ2 ) ∈ C2 les valeurs propres de A.

Si λ1 ̸= λ2 , alors A est diagonalisable.
+∞
X (−1)n A2n+1
Dans ce cas, est également diagonalisable (je vous laisse le soin de le démontrer).
n=0
(2n + 1)!
Ainsi, B serait diagonalisable avec pour valeur propre 1. Cela impliquerait que B = I2 , ce qui est
absurde.
Par conséquent, λ1 = λ2 = λ.  
−1 λ c
Ainsi, il existe P ∈ GL2 (C) et c ∈ C tels que A = P P.
0 λ
Comme tr(A) ∈ R, alors λ ∈ R.
 k  k k−1

λ c λ kλ c
On montre par récurrence que ∀k ∈ N, T k = = .
0 λ 0 λk
D’où
+∞
(−1)n
 
X
2n+1 sin(λ) cos(λ)c
T = .
(2n + 1)! 0 sin(λ)
n=0

Ainsi,
+∞
(−1)n
 
−1 sin(λ) cos(λ)c
X
2n+1
A =P P.
(2n + 1)! 0 sin(λ)
n=0

Or,
+∞
(−1)n
X 
tr A2n+1 = 2 sin(λ) = 2.
n=0
(2n + 1)!
Donc sin(λ) = 1, ce qui implique cos(λ) = 0.
Ainsi,
+∞
X (−1)n
A2n+1 = I2 ,
n=0
(2n + 1)!
ce qui est absurde.

Connaissances requises : SPE (Réduction)

Commentaire : Exercice technique. Pour avoir une bonne note il faut traiter cette question tout en
montrant une rigueur et même traiter un deuxième exercice.

130
Chapitre 4

Concernant les Écrits

4.1 Maths A
4.1.1 Témoignage 1 - (14,6/20)
Première épreuve de concours et qui s’accompagnait naturellement d’un peu de stress. J’étais un peu
étonné de ne voir que deux parties, n’ayant jamais vu ce format dans les épreuves de Maths A que j’ai
traitées lors de ma préparation.

Quand j’ai pris l’énoncé en main, j’ai fait une lecture très rapide de toutes les questions et j’ai marqué
celles qui m’avaient l’air d’être faisables/sur lesquelles j’avais déjà une petite idée, cela m’a donné un
peu de confiance.

Le stress dont j’ai parlé s’est très vite manifesté lorsque j’ai commencé l’épreuve. En effet, la première
question, censée être ”sans difficulté” selon le rapport, me bloque. Je suis certain d’avoir traité des
questions similaires auparavant, mais je ne retrouve plus les manipulations à faire sur le déterminant
pour calculer le polynôme caractéristique. Je n’aime pas passer trop de temps sur une question, surtout
une qui m’a l’air triviale. Je passe à la deuxième et je vois qu’elle découle de la première. Pris d’un
peu de panique, je me rappelle que dans la lecture rapide que j’avais faite avant de commencer, pas mal
de questions de la seconde partie m’avaient l’air faisables. Je décide donc de passer à cette dernière.
La première question que j’avais marquée, car elle ressemblait à une sorte de transformation d’Abel, me
prend un peu de temps aussi, mais rapidement j’arrive à devenir plus fluide. Je commence à traiter les
questions linéairement et je ressens que j’avance bien, ce qui me donne un peu de confiance.

Je passe pas mal de temps dans cette partie, j’arrive à la dernière question, qui m’a l’air très intimidante
et à laquelle je ne réfléchis même pas. Mais passé le trac du début, je décide de revenir à la première
partie. Cette fois, j’arrive à résoudre la première question. Il ne reste pas beaucoup de temps, mais
j’arrive quand même à traiter quelques questions et je pense être arrivé aux questions 6-7 quand le temps
s’est écoulé.

Ce n’est jamais une bonne idée de discuter des épreuves après leur fin, mais je remarque quand même que
les personnes autour de moi ont commencé par la première partie, et se plaignaient de sa difficulté, tandis
que j’étais assez satisfait de ma performance sur la seconde. D’ailleurs, vous trouverez que le rapport
souligne que ma stratégie était aussi possible, mais qu’elle n’a été adoptée que dans quelques rares copies.

131
CHAPITRE 4. CONCERNANT LES ÉCRITS RETOUR SUR LES ORAUX

En tout cas, quelque part, je sens que le fait de trébucher sur une question facile au début m’a permis
 
de traiter une partie sur laquelle j’ai mieux avancé. Comme on dit en arabe : ” 骯AK èPA“ H . P ”
C’est en forgeant qu’on devient forgeron, donc pour moi, rien de mieux pour s’améliorer que de s’entraı̂ner
sur des annales. En général, j’avais toujours trois onglets dans cet ordre : sujet, rapport, corrigé. Je ne
faisais pas de chronomètre mais je surveillais quand même le temps que je passais par épreuve, et passé
ce délai, je revois mon travail, avec le rapport surtout pour me comparer aux autres candidats de ce
concours, et de manière occasionnelle, je regardais le corrigé si une question m’intriguait vraiment.

Gardez cependant en tête que le concours n’est plus une question de connaissance pour la plupart, mais
vraiment une gestion optimale de vos ressources. C’est pour cela que le corrigé des questions hyper
difficiles m’importe peu si j’ai réussi à amasser des points importants sur le reste des questions.

Privilégier une montée graduelle en niveau me semble essentiel, et si traiter des sujets de l’X vous est
trop dur, vous pouvez commencer par plus simple et monter au fur et à mesure.

4.1.2 Témoignage 2 - (20/20)

L’épreuve était étrange dans le sens où, contrairement aux années précédentes où Maths A consistait
généralement en des questions d’algèbre, l’algèbre était très peu présente dans ce sujet. Pour ma part,
j’ai abordé l’épreuve de manière linéaire, question par question, sans en sauter aucune. Cela m’a permis
de rester concentré, mais, malheureusement, je n’ai pas réussi à terminer l’épreuve : il me restait une
question et une page à traiter.

Dans l’ensemble, l’épreuve était relativement abordable, bien que certaines questions aient été partic-
ulièrement difficiles, notamment la 5.d et la 6. La difficulté majeure résidait davantage dans la nécessité
de suivre pas à pas le raisonnement proposé, plutôt que dans une réflexion pure. Comprendre les notions
introduites tout en les manipulant efficacement représentait, à mon avis, le plus grand défi.
Conseils généraux :
Pour bien préparer Maths A, bien que beaucoup recommandent de travailler les annales, je pense que
celles-ci servent principalement à prendre confiance en soi. En effet, résoudre une question difficile qui
n’a été réussie que par un faible pourcentage de candidats peut être une manière de situer son niveau
par rapport à celui des candidats des années passées. Cela reste, certes, une méthode approximative,
mais elle est néanmoins objective.

Cependant, je conseille avant tout d’améliorer son niveau avant de se plonger avidement dans les an-
nales. Pour cela, il est préférable de travailler les TD des différents professeurs, d’utiliser des livres de
référence comme Assila ou Maths en tête, et d’explorer d’autres ressources disponibles. L’important est
de comprendre que la phase “annales” ne contribue pas directement à améliorer votre niveau, mais plutôt
à apprendre à exploiter tout votre potentiel. Ainsi, adaptez votre méthode de travail à vos objectifs.

4.1.3 Témoignage 3 - (17,60/20)

L’épreuve de Mathématiques A comportait deux parties, dont la première était davantage pondérée. J’ai
commencé par cette première partie, en laissant de côté les questions 9 et 15, qui étaient heureusement
peu pondérées. Ensuite, je suis passé à la deuxième partie. Celle-ci ressemblait au sujet de Maths A de
2021, ce qui m’a permis d’aborder les premières questions avec assurance. Cependant, j’ai rencontré un
blocage mental après un certain temps, un phénomène naturel lors des concours. Après une pause de

132
CHAPITRE 4. CONCERNANT LES ÉCRITS RETOUR SUR LES ORAUX

15 minutes, j’ai repris en balayant les questions jusqu’à la question 20, sans toutefois traiter la question
19-a.

Remarque générale L’expérience d’un concours est bien différente de celle d’une simulation. Il est
tout à fait possible de réussir des questions complexes tout en échouant sur des questions apparemment
simples et directes. Cela souligne l’importance de la gestion du stress et de la concentration.

Conseils généraux Pour réussir une épreuve, il est essentiel d’évaluer rapidement le niveau de difficulté
du sujet. Si le sujet est difficile, il est probable que les questions nécessitant une réflexion approfondie
soient plus fortement pondérées. Dans ce cas, il ne faut pas s’inquiéter de ne pas avancer rapidement.
En revanche, pour un sujet plus abordable, les correcteurs valoriseront une rédaction claire et un bon
avancement.

4.1.4 Témoignage 4 - (15,5/20)

L’épreuve de Maths A est particulière à plusieurs titres. Non seulement c’est la première épreuve du
concours X/ENS, mais c’est aussi la toute première de tous les concours, ce qui en fait un moment clé,
souvent accompagné d’un certain stress. Pour ma part, j’avais pris soin de me préparer mentalement,
notamment grâce aux témoignages des X23, qui avaient souligné que, même en traitant seulement la
préliminaire et une ou deux questions de la première partie, il était possible d’obtenir une excellente note,
parfois au-delà de 15/20.

Une gestion méthodique de l’épreuve

Dès le début, je suis entré dans l’épreuve avec une mentalité claire : avancer de manière rigoureuse,
question par question, sans me précipiter ni me laisser submerger par la difficulté. Je gardais à l’esprit
qu’une question difficile est bien valorisée dans la correction et qu’il vaut mieux prendre le temps de la
traiter correctement que de se disperser.

Partie 1 : Une progression avec des hauts et des bas

J’ai commencé avec la question 1a, qui portait sur la diagonalisabilité d’une matrice. L’application du
théorème spectral était évidente, mais pour déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres, j’ai
rencontré des difficultés inattendues. Les calculs étaient plus complexes que prévu, ce qui m’a déstabilisé
au début. Après un moment de doute, j’ai décidé de m’accrocher et de consacrer environ 30 minutes
pour résoudre cette question de manière rigoureuse.

Les questions suivantes, comme la 1b et la 2, étaient relativement abordables, et j’ai pu avancer avec
confiance. Cependant, en arrivant à la question 3, j’ai fait une erreur de stratégie en tentant de construire
une bijection complexe. Après avoir revu l’énoncé et réfléchi calmement, j’ai trouvé une méthode plus
simple qui m’a permis de conclure rapidement.

La question 5, un exercice typique de Maths en tête , m’a redonné confiance grâce à sa rapidité
d’exécution. En revanche, pour la question 6, j’ai manqué de persévérance et suis passé trop vite à autre
chose, ce que j’ai regretté plus tard, car ce genre de questions est souvent bien valorisé.

Les questions 7 et 8, basées sur les probabilités, étaient complexes, mais j’ai réussi à les traiter avec
une certaine intuition, même si je n’étais pas totalement sûr de mes réponses sur le moment. Pour la
question 9, les calculs étaient si fastidieux que j’ai décidé de passer pour économiser du temps pour la
suite.

133
CHAPITRE 4. CONCERNANT LES ÉCRITS RETOUR SUR LES ORAUX

J’ai ensuite enchaı̂né sur les questions 10 à 15, qui étaient majoritairement des calculs. Même si je ne
comprenais pas entièrement les notions définies dans l’énoncé, j’ai pu les résoudre grâce à une analyse
méthodique.

Partie 2 : La gestion du temps et la fin de l’épreuve

En abordant la deuxième partie, il ne me restait qu’une demi-heure. À la question 16, le stress m’a joué
des tours : bien que j’aie compris l’idée, une erreur de calcul m’a fait perdre du temps inutilement. J’ai
alors décidé de passer à la question 17, qui reprenait une méthode déjà connue, et j’ai pu la résoudre
rapidement.

Les questions suivantes, comme la 18 (basée sur la formule de Legendre) et les 19a et 19b, étaient
accessibles, mais je n’ai pas pu finir la 19c faute de temps, bien qu’elle ne fût pas très difficile.

Analyse et leçons tirées

En général, j’étais relativement satisfait de ma performance, qui m’a permis d’obtenir une note de
15,5/20. Cependant, avec une meilleure gestion du stress et une stratégie plus adaptée, j’aurais pu faire
encore mieux.

La clé pour réussir cette épreuve réside dans la stabilité mentale. Il faut éviter de se laisser déstabiliser
devant une question difficile ou une notion inconnue. Si une question nous bloque, il est probable qu’elle
bloque également les autres candidats. Il est important de rester méthodique et de prendre son temps
pour chaque question, tout en avançant avec confiance.

Il est aussi essentiel de ne pas se laisser impressionner par les énoncés complexes qui mêlent plusieurs
disciplines, comme l’algèbre et les probabilités. Ces approches interdisciplinaires deviennent de plus en
plus fréquentes dans les concours, et il faut avoir confiance en ses capacités pour les aborder sereinement.

Enfin, il est crucial d’être rapide et efficace sur les questions classiques ou déjà travaillées, afin de gagner
du temps pour celles qui demandent davantage de réflexion. La rigueur doit toujours primer : mieux vaut
répondre correctement à moins de questions que de fournir des réponses approximatives sans méthode
solide.

En somme, l’épreuve de Maths A est autant un défi intellectuel qu’un exercice de gestion mentale et
stratégique. Avec une préparation adéquate et une bonne gestion de soi, il est tout à fait possible de
réussir cette épreuve exigeante.

4.2 Maths B
4.2.1 Témoignage 1 - (17,70/20)
Présentation de l’épreuve Le sujet portait sur les équations différentielles linéaires, avec une démonstration
originale de la surjectivité de l’exponentielle matricielle, utilisant le théorème d’inversion locale. Il cou-
vrait une grande partie du programme : équations différentielles, calcul différentiel, topologie, réduction
des endomorphismes, etc.

Déroulement de l’épreuve L’épreuve débutait par trois questions abordables. À la question 3, après
avoir tenté quelques idées sans succès, j’ai décidé de passer directement à la deuxième partie, consacrée
au théorème d’inversion locale. Bien que j’aie oublié certains aspects de ce théorème, la méthode pro-

134
CHAPITRE 4. CONCERNANT LES ÉCRITS RETOUR SUR LES ORAUX

posée était originale. J’ai traité cette partie presque entièrement, à l’exception de la question 6b et de
quelques détails dans une autre question.

J’ai traité la troisième partie presque intégralement, sauf la question 12 et en faisant une erreur au niveau
du calcul de la différentielle de l’exponentielle à la question 11a.

Enfin, la quatrième partie était plus simple que les précédentes. J’ai répondu jusqu’à la question 17c et
réussi à résoudre partiellement la question 19.

Conseils généraux Il n’existe pas de stratégie universelle pour toutes les épreuves. Dans mon cas,
j’ai choisi de consacrer du temps aux questions difficiles sans en abuser. Cette approche m’a permis de
progresser, mais elle m’a aussi conduit à commettre des erreurs sur des questions plus simples.

Cette méthode ne fonctionne pas toujours ; il est donc essentiel de se préparer avec des sujets Maths
B, d’étudier les rapports des concours précédents et de développer des stratégies adaptées à chaque
situation.

4.3 Physique SI
4.3.1 Témoignage 1 - (17,10/20)
Une première surprise par rapport aux épreuves de Physique SI que j’ai travaillées était le fait que l’épreuve
soit équitablement répartie entre la partie physique et celle de SI. En effet, j’avais l’habitude de voir des
sujets où la physique prédominait largement, puis une partie généralement plus courte de SI, parfois de
l’asservissement, qui était en général plus facile. Je me rappelle du conseil de notre professeur qui nous
conseillait de traiter cette dernière d’abord, mais cela ne s’appliquait pas ici.

J’ai commencé alors la partie physique sur laquelle j’avançais bien, faute de quelques questions diffi-
ciles que j’aurais pu sauter, mais j’avais un bon enchaı̂nement et cela m’avait donné confiance. À la
fin des deux premières heures, j’étais arrivé aux alentours de la question 11 (sur 18), et là j’étais dans
un dilemme. Je sentais que j’avais déjà un bon élan en physique et j’avais un peu envie de continuer
là-dessus, mais je me rappelle aussi du début d’énoncé qui ne conseillait pas de consacrer plus de deux
heures par partie.

Finalement, j’ai décidé de suivre le conseil de l’énoncé, j’ai donc arrêté la partie physique et suis passé
à celle de SI. Mon raisonnement était le suivant : je me serais considéré plus compétent en SI qu’en
physique. À partir du moment où j’ai eu l’impression d’avoir bien performé en physique, alors je ferais
encore mieux en SI. Honnêtement, j’avais un peu regretté cette décision et assez tôt. La vérité est que je
me suis retrouvé plongé dans une partie très calculatoire, sur laquelle j’ai trébuché plusieurs fois (j’avais
rayé une page entière de calcul par moments). Je commençais à douter s’il n’aurait pas été mieux de
revenir sur la physique, mais je suis resté déterminé et j’ai essayé de mener mes calculs jusqu’au bout.
Je ne me souviens plus où j’étais arrivé exactement, mais il me semble que j’avais dépassé la question
17 (sur 19).

J’ai été positivement surpris de voir ma note. Je ne croyais pas trop en les calculs que j’avais faits dans
la partie SI et pensais que la plupart d’entre eux seraient faux. Finalement, je pense que respecter la
consigne n’a pas été une mauvaise idée et que cela m’a permis d’assurer plus de points.

135
CHAPITRE 4. CONCERNANT LES ÉCRITS RETOUR SUR LES ORAUX

Pour la préparation de cette épreuve, je pense qu’elle découle d’une bonne préparation à la physique en
général, et aussi d’une préparation à la SI (pour les Mines, par exemple). Je travaillais donc plutôt des
épreuves individuelles, physique de l’X ou des Mines, et SI des Mines ou de Centrale, mais je pense que
c’est bien de faire quelques sujets de Physique SI (1 ou 2 au moins), question de savoir à quoi ressemble
l’épreuve et donc avoir une idée de ce que vous retrouverez le jour du concours.

4.3.2 Témoignage 2 - (19,30/20)

Déroulement de l’épreuve Cette épreuve était composée pour moitié de SI et pour moitié de
Physique. N’ayant pas suffisamment révisé la SI, j’ai choisi de me concentrer sur la partie Physique
(avec un accent sur l’application du PFD). Après avoir terminé cette section, il me restait 1h15 pour
aborder la SI. J’ai pris le temps d’analyser le système, mais je suis resté bloqué sur la question 2, sans
parvenir à un résultat. Dans les dernières minutes, j’ai réussi à répondre à deux questions supplémentaires.

Sentiment après l’épreuve Je m’attendais à une note située entre 13 et 14, en supposant que mes
calculs étaient corrects. Je pense que la note obtenue se justifie par les commentaires que j’avais laissés
tout au long de l’épreuve, montrant que je comprenais bien les concepts abordés.

Conseils généraux L’épreuve Physique-SI demande un esprit critique et une capacité à modéliser
physiquement les systèmes étudiés. Je recommande aux candidats de se familiariser avec des modèles
couramment utilisés en Physique, ce qui peut renforcer leur confiance, aussi bien à l’écrit qu’à l’oral.
Quelques exemples de modèles utiles incluent :

• Le modèle de la corde vibrante

• Le modèle de la pression radiative

• La modélisation d’un cristal ou d’un solide par une chaı̂ne d’atomes

• La diffusion de particules (modèle probabiliste de marche aléatoire)

En s’entraı̂nant à appliquer ces modèles dans différents contextes, il devient plus facile de comprendre
et résoudre les problèmes posés lors des épreuves.
De plus je vous recommande les épreuves de mines qui sont une mine d’or en physique pour les gens qui
veulent préparer à n’importe quelle concours (X/ENS - Mines/Centrale et CCP) , et je vous conseille
aussi de ne pas glorifier une école par rapport à une autre dans votre préparation et également dans votre
vision .
Qå„ ÑêÊË@ é<Ë@ YJK. I.KA¾ÖÏ @

4.3.3 Témoignage 3 - (14,5/20)

Une épreuve déterminante L’épreuve de Physique et Sciences de l’Ingénieur a marqué un tournant
dans mon expérience des concours. Elle a eu un impact non seulement sur mon moral, mais aussi sur
ma manière d’aborder les épreuves suivantes. Cette épreuve, qui s’annonçait comme un défi majeur,
s’est finalement soldée par une note inattendue, et m’a offert une leçon précieuse sur l’importance de la
résilience.

136
CHAPITRE 4. CONCERNANT LES ÉCRITS RETOUR SUR LES ORAUX

Déroulement de l’épreuve Dès le début, cette épreuve m’a surpris. Contrairement à ce que j’imaginais,
elle ne se limitait pas à la physique. L’énoncé était divisé en deux parties distinctes : une en Physique
et une en SI, avec une recommandation de consacrer deux heures à chaque partie. J’ai tenté de suivre
cette suggestion, mais la fatigue accumulée après trois jours d’épreuves pesait lourdement sur ma con-
centration.

Partie Physique J’ai débuté par la partie Physique, mais le stress combiné à la fatigue m’a fait perdre
un temps précieux. Les premières questions m’ont semblé confuses, et j’ai mis du temps à comprendre le
schéma de l’énoncé. Toutefois, en reprenant mon calme, j’ai pu répondre méthodiquement aux premières
questions, bien que cela m’ait pris plus de temps que prévu.

Certaines questions, comme la quatrième, m’ont particulièrement bloqué et m’ont demandé un effort
considérable pour avancer. Heureusement, les cinquième et sixième questions étaient plus accessibles
et m’ont permis de reprendre confiance. En gardant à l’esprit les conseils des X23, qui soulignaient
l’importance des questions d’interprétation, j’ai abordé ces dernières avec sérieux, ce qui m’a permis de
progresser jusqu’à la question 12.

Malgré tout, j’ai trouvé l’épreuve très axée sur des calculs, parfois au détriment d’un véritable sens
physique clair. J’ai finalement atteint la question 15 avant de passer à la partie SI, ayant déjà dépassé
les deux heures prévues.

Partie Sciences de l’Ingénieur Si j’étais relativement confiant en Physique, la partie SI m’a confronté
à mes lacunes. Dès les premières questions, je me suis retrouvé bloqué, incapable de progresser. J’ai
tenté de répondre à quelques questions, comme la quatrième, mais sans succès notable. La frustration
montait et, conscient que je n’allais pas résoudre cette partie correctement, j’ai choisi de revenir à la
Physique pour peaufiner mes réponses et compléter les questions laissées en suspens.

Ressenti après l’épreuve En sortant de cette épreuve, j’étais convaincu d’avoir échoué. Le fait de
n’avoir touché qu’à une infime partie de la SI me faisait penser que ma performance serait insuffisante
pour être admissible. Cette pensée m’a complètement démoralisé. Je me souviens être rentré directement
chez moi pour dormir, sans même avoir le courage d’échanger avec mes proches. À ce moment-là, je
pensais que l’X était hors de portée.
Une surprise inattendue Cependant, lorsque les relevés de notes ont été publiés en juillet, j’ai été
surpris d’obtenir une note de 14,5/20, bien au-delà de mes attentes. Cette note m’a révélé une vérité
essentielle : les concours ne sont pas une évaluation absolue, mais un classement. Même sans avoir
traité la majeure partie de la SI, ma performance en Physique a suffi pour me placer parmi les meilleurs.

Conseils aux futurs candidats Si je devais donner un conseil, ce serait de ne jamais vous laisser
démoraliser après une épreuve. Une mauvaise impression ou un sentiment d’échec ne reflètent pas
nécessairement la réalité. Rappelez-vous que si une épreuve vous semble difficile, elle l’est probablement
aussi pour les autres.

Faites de votre mieux, restez concentrés, et attendez les résultats avant de tirer des conclusions. Cette
expérience m’a appris que persévérer, même dans l’adversité, peut faire toute la différence dans un
concours.

137
CHAPITRE 4. CONCERNANT LES ÉCRITS RETOUR SUR LES ORAUX

4.4 Physique
4.4.1 Témoignage 1 - (18,4/20)
Présentation L’épreuve de physique était relativement longue, avec une difficulté moyenne, et couvrait
plusieurs chapitres de spé (électromagnétisme, physique quantique, physique statistique, etc.). Rien
d’exceptionnel à mon avis par rapport aux années précédentes : quelques calculs par moments, mais
surtout beaucoup de questions qualitatives.

Déroulement Les premières questions étaient simples et classiques (par exemple, sur le solénoı̈de),
mais j’ai trébuché à cause du stress. À partir de la question 4, j’ai commencé à faire des erreurs de
calcul, et pour la question 5, j’étais complètement perdu (je l’ai même signalé sur ma copie). Pour éviter
un blocage mental, j’ai décidé de sauter les questions 7 et 8 en espérant y revenir plus tard.

À partir de la partie 2, je me suis ressaisi et j’ai attaqué toutes les questions qui suivaient jusqu’à la
dernière. Là, je me suis senti de plus en plus à l’aise. Le fait de trouver des résultats qui me semblaient
logiques et qui étaient validés par les questions suivantes m’a donné beaucoup de confiance, Hamdo-
lillah. J’ai terminé un quart d’heure avant la fin et j’ai revu quelques questions dont je n’étais pas sûr.
Malheureusement, je n’ai pas eu le temps de m’attaquer aux deux questions de la première partie ; tout
juste ai-je pu rédiger une demi-réponse rapide à la question 8.

Après la partie 2, j’avais décidé de speedrunner les questions faciles et d’enchaı̂ner les parties pour
garantir une bonne note, en réservant un peu de temps pour les questions difficiles, comme celles de la
fin de la partie 1.De plus il faut essayer de garder le fil le long de l’épreuve, mais ce n’ést pas indispensable.

Sentiment après l’épreuve Honnêtement, l’épreuve de physique m’a vraiment remonté le moral,
surtout que j’avais raté l’épreuve de Physique-SI et que j’avais moyennement réussi l’épreuve de Maths
B. Cependant, comme le jour des résultats réserve souvent des surprises (bonnes ou mauvaises), tout
reste possible.

Je m’attendais à une très bonne note, mais pas à un 20, étant donné que je n’ai pas traité 2 ou 3
questions et que j’ai sûrement fait des erreurs de calcul. De plus, j’avais peur que mon écriture ait été
difficile à lire.

Conseils généraux Pour préparer l’épreuve de physique, je vous conseille de travailler des épreuves
des Mines, qui sont, à mon avis, plus formatrices que les annales de l’X, et parfois même plus difficiles.
Ciblez vos annales par thème ou par chapitre, mais ne les entamez qu’une fois votre cours parfaitement
maı̂trisé. Ensuite, travaillez les exercices classiques (oui, il y en a même en physique !). Par exemple, les
questions sur le solénoı̈de dans cette épreuve.

Dans cette optique, connaı̂tre et travailler des notions hors-programme peut aussi être bénéfique, ne
serait-ce que pour vous rappeler une méthode ou une approche moins connue. Il n’y a pas de honte non
plus à travailler des annales de CNC ou CCP, même si vous visez l’X, surtout si cela vous aide à revoir
un chapitre qui vous pose problème. Allez-y progressivement et souvenez-vous :
 è@P
é<Ë@ ñë Q«@ñË@ ,Q«@ð è@P AÓ Yg@ð úæk
Pendant la semaine des écrits, soyez mentalement préparés. Oubliez une épreuve une fois passée et ne
vous souciez pas de ce que les autres ont fait, cela ne vous regarde pas. Reposez-vous entre les épreuves,
et si vous tenez absolument à revoir quelque chose, faites-le sans vous mettre la pression. Vous vous

138
CHAPITRE 4. CONCERNANT LES ÉCRITS RETOUR SUR LES ORAUX

êtes préparés pendant deux ans, pas en un jour ou une semaine.

Cette semaine sera physiquement épuisante : mangez bien, dormez bien, et changez-vous les idées
si nécessaire (sport, appel à des proches, etc.), surtout la veille de la première épreuve. Et ne vous
découragez pas si vous pensez avoir raté une épreuve : c’est un concours, vous êtes jugés sur toutes les
épreuves, aucune seule ne déterminera votre avenir. De plus, vous êtes évalués par rapport aux autres.
Et n’oubliez pas, les miracles existent, et ils sont nombreux.

4.5 Maths D
4.5.1 Témoignage 1 - (18/20)
L’épreuve était extrêmement longue, même pour une durée de 6 heures, sans parler de sa difficulté. J’ai
avancé de manière linéaire tout au long de l’épreuve et réussi à traiter toutes les parties sauf la dernière,
ainsi qu’une question de calcul au milieu. Honnêtement, je n’ai pas pris le temps de faire ce calcul, alors
je me suis contenté d’écrire rapidement la procédure à suivre avant de passer à autre chose (c’était la
question 15 concernant l’explicitation de l’équation différentielle).
Globalement, bien qu’il y ait eu pas mal de questions relativement difficiles, l’épreuve restait abordable
dans le sens où, tant qu’on parvenait à suivre le fil conducteur, le reste s’enchaı̂nait naturellement.
Cependant, dès qu’on perdait ce fil, la difficulté augmentait de manière exponentielle.

Conseils généraux :
Pour commencer, il faut mentionner que c’était ma première épreuve de type Maths D. Honnêtement, je
pense qu’il n’est pas vraiment utile de travailler ce type d’épreuve à l’avance. Vu que l’objectif final pour
la plupart d’entre nous n’est, au mieux, que l’X (à moins de viser absolument Ulm ou rien), s’entraı̂ner
spécifiquement pour les Maths D n’est pas rentable. L’épreuve de cette année, par exemple, était très
particulière, et bien la réussir ne garantirait en aucun cas une performance similaire sur une autre épreuve
de Maths D.
En ce qui concerne les épreuves liées aux ENS, ces dernières valorisent essentiellement la prise d’initiative
et le raisonnement (sauf peut-être pour les Maths C cette année). Par conséquent, je n’argumentais
pas toujours en détail mes réponses, car l’idée compte bien plus que de rédiger parfaitement chaque
étape. Cela dit, même les idées prenaient parfois 2 à 3 pages d’écriture. Et quand je voyais que rédiger
proprement aurait nécessité 5 à 6 pages, je dois avouer que je préférais optimiser mon temps.
Enfin, je conseille à tout le monde d’essayer de rester jusqu’au bout de l’épreuve. C’est une expérience
assez unique, et, honnêtement, l’épreuve d’informatique qui suit n’a presque aucun impact au final.

4.5.2 Témoignage 2 - (15,5/20)

Bilan de performance : Au bout de 5h30, j’avais traité toutes les questions jusqu’à la 23ème (en
sautant 3 ou 4 questions, bien sûr). Ensuite, j’ai commencé à grappiller des points en m’attaquant
aux questions 24, 25, 27 et 29. Les questions 10 et 23 étaient particulièrement difficiles, mais pour
les questions les plus ardues, j’ai essayé de noter toutes les pistes auxquelles j’avais pensé, en précisant
pourquoi elles ne fonctionnaient pas.
Je pense que cette démarche a été appréciée par le correcteur. À mon avis, il est important d’enchaı̂ner
les questions de manière aussi linéaire que possible, et surtout de ne pas bluffer. Les correcteurs repèrent
très bien les tentatives de bluff et ne les apprécient pas.

139
CHAPITRE 4. CONCERNANT LES ÉCRITS RETOUR SUR LES ORAUX

Préparation : Pour ma part, je n’avais travaillé qu’un seul sujet de Maths D, celui de 2017, que
je recommande pleinement. Dès la partie 4, l’épreuve devient très difficile, ce qui en fait un bon
entraı̂nement.
Cela dit, je pense qu’il est impossible – et même inutile – de se préparer spécifiquement pour une épreuve
de Maths D, car les sujets sont toujours originaux. Peut-être que s’habituer à se concentrer pendant 6
heures pourrait aider, mais, au-delà de cela, je n’y vois pas beaucoup d’intérêt.

Remarques générales : Il est aussi important de noter qu’obtenir une très bonne note en Maths D
n’est pas indispensable pour être admissible à Ulm. Par exemple, un 14 en Maths C et un 16 en Physique
avec un 8 en Maths D suffisent largement pour l’admissibilité.
Enfin, il pourrait être plus rentable de réviser l’informatique le matin du jeudi pour l’épreuve Info-B plutôt
que de passer 6 heures sur l’épreuve de Maths D.

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Vous pouvez remercier les contributeurs qui ont permis la réalisation de cet ouvrage

Abdelkayoum Kaddouri - LLG - École Polytechnique

Abderrahmane Ait Mansour - LYDEX - École Polytechnique
Ahmed Yassine Ghosne - Pierre de Fermat - École Polytechnique
Ali Hakim - LYDEX - École Polytechnique
Amine Brouk - LYDEX - CentraleSupélec
Amine El Khanchaf - LYDEX - École Polytechnique
Anas Labgoul - LYDEX - École Polytechnique
Anass Ettahiri - LYDEX - École Polytechnique
Anass Takfa - LYDEX - École Polytechnique
Adam El Kharraze - LLG - École Polytechnique
Aya Aguerjout - LYDEX - École Polytechnique
Aymen El Ouadrhiri - LYDEX - École Polytechnique
Ilyass Et-Tabouti - LYDEX - CentraleSupélec
Majd Sebbah - LYDEX - CentraleSupélec
Mohamed Taha Ramlaoui - Ezzahraoui - École Polytechnique
Mohamed Yassir Boussenna - LYDEX
Mohammed El Barkany - LYDEX - Ensimag
Mohammed Laaroussi - LYMED - Centrale Lille
Mouad Enoua - LLG - CentraleSupélec
Reda Hamama - LYDEX - CentraleSupélec
Saad chairi - LLG - École Polytechnique
Soufien El Mazlouzi - LYDEX - CentraleSupélec
Wassel Ben Yahia - LYMED - École Polytechnique
Yassine Benchekroun Krimi - LYMED - École Polytechnique
Yassir Namaty - LYDEX - Ensimag
Youssef Amraoui - LYDEX - CentraleSupélec
Youssef Bouhtouch - LYDEX - École Polytechnique
Youssef Boulmelf - LYDEX - École Polytechnique
Youssef Sahraoui - LYMED - Ponts et Chaussées
Zouhair Esseqally - LYDEX - École Polytechnique

Auteurs :

Haitam Yassine Oujaa - LYDEX - École Polytechnique

Mehdi Tanana - LYMED - CentraleSupélec
Mohamed Yahya El Karkouri - LYDEX - École Polytechnique
Youssef Ibn Seddik - LYDEX - CentraleSupélec
Youssef Lazzouzi - LYDEX - École Polytechnique