Devoir de Mathématiques – Seconde

Durée : 3 heures

Les calculatrices sont interdites.

Questions de cours
(i) Donner les définitions suivantes : racine carrée, diviseur, nombres premiers entre eux.
(ii) Soit α un réel, quelles sont les solutions de l’équation x2 = α ?

Exercices
Exercice 1
2 1 2 1 a+d
(i) Soit a = , b = , c = et d = − . Calculer A = ab + cd et B = .
3 4 5 2 b+c
  
5 1 1
− 3−  
9 3 2 1 1 1
(ii) Simplifier 10 − 4 × + + −
7 6 3 2
−3
9
a−17 × a14 a−2 × a−1
(iii) Soit a un réel non nul. Simplifier −2 2 et .
(a ) × a−3 a−7 15
× a
√ a12
32 √ √
(iv) Simplifier √ et 12 × 48
20

Exercice 2
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
(i) −3(2x − 1) + 5x = 3x − 2(4x − 3), (iii) 14 − (5 − 6x) < 7(x − 9),
5 1 1 5x − 1 3x + 2
(ii) x − 2 = x + , (iv) >
7 5 3 8 4

Exercice 3
Factoriser :
(i) 5(3x − 1)(2x + 3) + 3(2x + 3)(5 − 3x) + (2x + 3) (ii) 81y 2 − 90xy + 25a2
Développer :
(v) (2 − 7x)(2 + 7x) (vi) (7x + 3)(x − 2)

Exercice 4
Résoudre les systèmes d’équations suivants :
( (
2x − 3y = 3 5x − y = 3
(i) . (ii) .
−4x + 5y = −7 x + 4y = 1

Exercice 5
(i) Calculer le PGCD de 325 et 724 avec l’algorithme d’Euclide.
(ii) Écrire les diviseurs de 220.
Problèmes
Problème 1
Soit a et b deux entiers tels que a > b et r le reste de la division euclidienne de a par b.
(i) Montrer que si un entier c divise a et b, alors il divise r
(ii) Montrer que si un entier c divise b et r, alors il divise a
(iii) En déduire que les diviseurs communs de a et b sont les diviseurs communs de b et r.
(iv) Conclure. Que cela vous évoque-t-il ?

Problème 2
(i) Une dame charitable rencontre un pauvre auquel elle donne la moitié de l’argent qu’elle avait dans son
porte-monnaie, plus un euro. Elle rencontre un deuxième mendiant, auquel elle donne la moitié de ce
qu’il reste, plus deux euros. Au troisième, elle donne la moitié de ce qu’il reste, plus trois euros. À présent,
il lui reste un euro. Combien avait-elle au début de sa promenade ?

x + y + z = 46

(ii) On considère le système 3x − 2z = 9 .

y − z = −5


(a) Isoler les variables x et y dans les deux dernières équations.

(b) Trouver z en substituant x et y dans la première équation.
(c) Conclure.
.

Problème 3
(i) Factoriser l’expression suivante E = (x + 6)2 − 49
(ii) Développer et réduire l’expression E.
√
(iii) Soit ABC un triangle tel que AB = 2 6, AC = 5 et soit M un point de BC tel que M B = x et
M C = 6. Déterminer une valeur de x tel que ABC soit rectangle en A.

Bonus
Soit A, B et C trois ensembles de nombres.
(i) Montrer que si A ∩ B = A ∪ B, alors A = B.
(ii) Supposons maintenant que A ∩ B = A ∩ C et A ∪ B = A ∪ C, montrer que B = C
Questions de cours (3 points)
(i) (2 points)
√ √
• Soit a un réel positif, la racine carrée de a, notée a est l’unique réel positif qui vérifie ( a)2 = a.
• Un entier relatif n est un diviseur d’un entier relatif m s’il existe un entier relatif k tel que m = k ×n
• Deux entiers m et n sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
(ii) (1 point)
√ √
• Si α > 0, l’équation admet deux solutions distinctes x1 = − α et x2 = α.
• Si α = 0, l’équation admet pour unique solution : x = 0.
• Si α < 0, l’équation n’a aucune solution.

Exercices (19 points)

Exercice 1 (4 points)
(i) (1 point)  
2 1 2 1 2 2 1 1 5 6 1
A = ab + cd = × + × − = − = − = − =−
3 4 5 2 12 10 6 5 30 30 30
2 1 4 3 1
a+d − − 1 20 1 10 10
B= = 3 2 = 6 6 = 6 = × = × =
b+c 1 2 5 8 13 6 13 3 13 39
+ +
4 5 20 20 20
(ii) (1 point)
     
5 1 1 5 3 6 1
− 3−   − −  
9 3 2 1 1 1 9 9 2 2 1 2 3
10 − 4 × + + − = 10 − 4 × + + −
7 6 3 2 7 27 6 6 6
−3 −
9 9 9
2 5
×
= 10 − 4 × 9 2
20
−
9
2 5 9
= 10 + 4 × × ×
9 2 20
= 11

(iii) (1 point) Soit a un réel non nul.

a−17 × a14 a−3 a−3 a−2 × a−1 a−3 a−3
= = = a4
et = = = a.
(a−2 )2 × a−3 a−4 × a−3 a−7 a−7 15
a−19 × a15 a−4
× a
a12r
√ √ √ √
32 16 × 2 4 2 2 2 2√
(iv) (1 point) √ = √ = √ = 2√ = 2 = 10
20 4×5 2 5 5 5 5
√ √ √ √ √ √
12 × 48 = 12 × 48 = 12 × 4 × 12 = 4 122 = 2 × 12 = 24

Exercice 2 (4 points)
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
(i) (1 point) −3(2x − 1) + 5x = 3x − 2(4x − 3) ⇔ −6x + 3 + 5x = 3x − 8x + 6 ⇔ −x + 3 = −5x + 6 ⇔
3
4x + 3 = 6 ⇔ 4x = 3 ⇔ x =
4
3
L’unique solution de l’équation dans R est x = .
4
5 1 1 35 35 245 245
(ii) (1 point) x − 2 = x + ⇔ 25x − 70 = 7x + ⇔ 18x = 70 + = ⇔x= ,
7 5 3 3 3 3 54
245
L’unique solution de l’équation dans R est x = .
54
(iii) (1 point) 14 − (5 − 6x) < 7(x − 9) ⇔ 14 − 5 + 6x = 9 + 6x < 7x − 63 ⇔ 9 < x − 63 ⇔ 72 < x.
Les solutions de l’inéquation sont les réels strictement supérieurs à 72.
5x − 1 3x + 2
(iv) (1 point) > ⇔ 5x − 1 > 2(3x + 2) = 6x + 4 ⇔ −1 > x + 4 ⇔ −5 > x
8 4
Les solutions de l’inéquation sont les réels strictement inférieurs à −5.

Exercice 3 (4 points)
Factoriser :
(i) (1 point)

5(3x − 1)(2x + 3) + 3(2x + 3)(5 − 3x) + (2x + 3) = (2x + 3) [5(3x − 1) + 3(5 − 3x) + 1]
= (2x + 3)(15x − 5 + 15 − 9x + 1) = (2x + 3)(6x + 11)

(ii) (1 point)
81y 2 − 90xy + 25x2 = (9y)2 − 2(9y)(5x) + (5x)2 = (9y − 5x)2
Développer :
(iii) (1 point) (2 − 7x)(2 + 7x) = 22 − (7x)2 = 4 − 49x2
(iv) (1 point) (7x + 3)(x − 2) = 7x2 + 3x − 14x − 6 = 7x2 − 11x − 6

Exercice 4 (4 points)
Résoudre les systèmes d’équations suivants :
3 3

( (  x= + y
2x − 3y = 3

2x = 3 + 3y 
2 2
(i) (2 points) ⇔ ⇔  
−4x + 5y = −7 −4x + 5y = −7 3 3
−4 + y + 5y = −7


2 2
 
3 3
Or −4 + y + 5y = −7 ⇔ −6 − 6y + 5y = −7 ⇔ −6 − y = −7 ⇔ y = −6 + 7 = 1
2 2
3 3
On a donc x = + = 3
2 2
Le couple (3, 1) est l’unique solution du système d’équations.
( (
5x − y = 3 x = 1 − 4y
(ii) (2 points) ⇔
x + 4y = 1 5(1 − 4y) − y = 3
2
Or 5(1 − 4y) − y = 3 ⇔ 5 − 20y − x = 3 ⇔ −21y = −2 ⇔ y = .
21
8 13
On a donc x = 1 − 4y = 1 − = .
21 21
13 2
Le couple ( , ) est l’unique solution du système d’équations.
21 21

Exercice 5 (3 points)
(i) (2 points) Calcul du PGCD de 325 et 724 par l’algorithme d’Euclide : a ← 724 et b ← 325.
— Division euclidienne de 724 par 325 : le reste est 74. a ← 325 et b ← 74,
— Division euclidienne de 325 par 74 : le reste est 29. a ← 74 et b ← 29,
— Division euclidienne de 74 par 29 : le reste est 16. a ← 29 et b ← 16,
— Division euclidienne de 29 par 16 : le reste est 13. a ← 16 et b ← 13,
— Division euclidienne de 16 par 13 : le reste est 3. a ← 13 et b ← 3,
— Division euclidienne de 13 par 3 : le reste est 1. a ← 3 et b ← 1,
— Division euclidienne de 3 par 1 : le reste est 0. a ← 1 et b ← 0,
— b = 0, l’algorithme se termine et retourne la valeur a, soit 1.
Ainsi PGCD(724, 325) = 1.
(ii) (1 point) Les diviseurs de 220 sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220.
Problèmes (18 points)
Problème 1 (7 points)
Soit a et b deux entiers tels que a > b et r le reste de la division euclidienne de a par b.
Soit k ∈ Z le quotient de la division euclidienne de a par b. On a donc a = kb + r, avec 0 ≤ k < b.
(i) (2 points) Soit c ∈ Z un diviseur de a et de b, alors il existe m ∈ Z et n ∈ Z tels que a = cm et b = cn.
On a r = a − kb = cm − kcn = c(m − kn). Comme (m − kn) ∈ Z, on en déduit que c est un multiple de
r.
(ii) (1 point) De même, soit c ∈ Z un diviseur de a et de b, alors il existe m ∈ Z et n ∈ Z tels que b = cm et
r = cn.
On a a = kb + r = kcm + cn = c(km + n). Comme (km + n) ∈ Z, on en déduit que c est un multiple de
a.
(iii) (3 points) On note E1 l’ensemble des diviseurs communs de a et b et E2 l’ensemble des diviseurs communs
de b et r.
Soit c ∈ E1 , donc c divise a et b, ainsi d’après la question (i), c est un diviseur de r, et donc c est un
diviseur de b et r et donc c ∈ E2 . Donc E1 ⊂ E2 .
Soit c ∈ E2 , donc c divise b et r, ainsi d’après la question (ii), c est un diviseur de a, et donc c est un
diviseur de a et b et donc c ∈ E1 . Donc E2 ⊂ E1 .
Comme E1 ⊂ E2 et E2 ⊂ E1 , on a E1 = E2 , ainsi les diviseurs communs de a et b sont les diviseurs
communs de b et r.
(iv) (1 point) Comme les diviseurs communs de a et b sont les diviseurs communs de b et r, on a PGCD(a, b)
= PGCD(b, r).
On retrouve le principe de l’algorithme d’Euclide.

Problème 2 (6 points)
(i) (3 points) Soit s0 la somme que la dame possède au début de sa promenade :
1
— Après une étape, il lui reste s1 = s0 − 1
2
1
— Après deux étapes, il lui reste s2 = s1 − 2
2
1
— Après trois étapes, il lui reste s3 = s2 − 3
2
On a donc :
     
1 1 1 1 1 1 1 1 1 17
s3 = s0 − 1 − 2 − 3 = s0 − − 2 − 3 = s0 − − 1 − 3 = s0 −
2 2 2 2 4 2 8 4 8 4
1 17
Or s3 = 1, donc s0 − = 1 ⇔ s0 − 34 = 8 ⇔ s0 = 42.
8 4
(On peut aussi calculer s2 = 2s3 + 6 = 8, s1 = 2s2 + 4 = 20 et s0 = 2s1 + 2 = 42.)
Elle avait 42 euros au début de sa promenade.

x + y + z = 40

(ii) On considère le système 3x − 2z = 9 .

y − z = −5


x + y + z = 46



2

(a) (1 point) x=3+ z .


 3
y = −5 + z
(b) (1 point) En remplaçant dans la première équation, on trouve :
2 8 8 3
3 + z − 5 + z + z = 46 ⇔ z − 2 = 46 ⇔ z = 48 ⇔ z = 48 = 18
3 3 3 8
2 2
(c) (1 point) On déduit x = 3 + z = 3 + 18 = 15 et y = −5 + z = 13.
3 3
.
Problème 3 (5 points)
(i) (1 point) E = (x + 6)2 − 49 = (x + 6)2 − 72 = (x + 7 + 7)(x + 6 − 7) = (x + 14)(x − 1).
(ii) (1 point) E = (x + 6)2 − 49 = x2 + 12x + 36 − 49 = x2 + 12x − 13.
√
(iii) (3 points) Soit ABC un triangle tel que AB = 2 6, AC = 5 et soit M un point de BC tel que M B = x
et M C = 6.

A M C

D’après le théorème
√ de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si AB 2 + AC 2 =
BC 2 , soit (2 6)2 + 52 = (x + 6)2 , soit 4 × 6 + 25 = (x + 6)2 , soit (x + 6)2 = 49.
Or (x + 6)2 = 49 ⇔ (x + 6)2 − 49 = 0 ⇔ (x + 14)(x − 1) = 0.
Si x = 1, alors (x + 14)(x − 1) = 0 et donc AB 2 + AC 2 = BC 2 .