Chapitre 1-Topologie

H.
MAHDIOUI
| UNIVERSITE IBN ZOHR|

| Ecole Nationale des Sciences Appliquées|
| DEPARTEMENT DE CP|
Ce polycopié expose le cours de l’espace vectoriel normé destiné aux étudiants de la deu-
sième année des classes préparatoires ( Ecole Nationale des Sciences Appliquées (ENSA)
d’Agadir). L’objectif de ce travail est de présenter dans un carde général, des notions de to-
pologie (dont certaines ont été acquises dans Rn ) et d’approfondir des méthodes et concepts
utiles en Analyse, Analyse numérique et Optimisation. L’accent est mis sur les espaces mé-
triques, espaces vectoriels normés, aux notions des suites et séries dans les espaces de Banach
et espaces de Hilbert.
Pour une bonne compréhension de ce cours, des exemples importants, des commentaires
et des exercices sont mises dans chaque chapitre.
Nous attirons l’attention des étudiants sur le fait que ce document ne peut
se substituer aux cours magistraux et ne peut, en aucun cas, les dispenser
d’assister régulièrement à ces cours.
- |ESPACES METRIQUES-VECTORIELS NORMES |

- |ESPACES EUCLIDIENS |
-|SUITES DANS LES ESPACES DE BANACH |
-|CONTINUITE |
-|ESPACES DE HILBERT |
Par :
| H. MAHDIOUI |
Pr: H. MAHDIOUI page 1 ENSA-S3 - (2023-2024)

Chapitre 1
Distances, Normes, Espaces : Métriques et

Vectoriels normés.
Nous introduisons dans ce chapitre les notions de distances et normes, de suites et sé-
ries convergeantes de vecteurs, d’applications linéaires continues et de spectre d’opérateurs
linéaires bornés. Nous montrons le théorème de Riesz, l’équivalence des normes dans les
espaces de dimension finie, la formule de Neumann et nous présentons un grand nombres
d’exemples classiques d’espaces de Banach. Les résultats et notations du présent chapitre
sont les plus standarts et seront largement utilisées dans les chapitres suivants.
La notion de distance est introduite par Fréchet en 1905. Elle généralise à différents es-
paces la notion de proximité que Von exprime dans IK ou C par la valeur absolue ou le
module et elle rapproche notre intuition de celle que nous avons dans l’espace qui nous en-
vironne. Elle permet surtout de traiter l’étude de la convergence uniforme indispensable en
analyse fonctionnelle. On doit au mathématicien allemand Félix Hausdorff, en 1914, la défini-
tion actuelle d’espace métrique. Ceci Vinspirera pour définir la notion plus générale d’espace
topologique.
1.1 Distances et Espaces Métriques

1.1.1 Distances
Définition 1.1.1. Soit E un ensembles non vide quelconque. Une distance sur E est une fonction
d : E × E → R+ , définie sur le produit cartisien E × E, à valeurs dans l’ensemble R+ des nombres
2
CHAPITRE 1. DISTANCES, NORMES, ESPACES : MÉTRIQUES ET VECTORIELS
NORMÉS. H. MAHDIOUI
réels, vérifiant les cinq propriétés suivantes :

(P1 ) [Positivité] ∀u ∈ E, ∀v ∈ E : d(u, v) ≥ 0 ;
(P2 ) [Nullité sur la diagonale] ∀u ∈ E : d(u, u) = 0,
(P3 ) [Séparation] d(u, v) = 0 implique (=⇒) u = v ;
(P4 ) [Symétrie] ∀u ∈ E, ∀v ∈ E, d(u, v) = d(v, u) ;
(P5 ) [Inégalité triangulaire] ∀u ∈ E, ∀v ∈ E et ∀w ∈ E,

d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v)
Remarque Importante :
Si une distance d ne vérifie pas (P5 ), mais satisafaite à la propriété suivante :
(P5 − bis) ∀u ∈ E, ∀v ∈ E ∀w ∈ E : d(u, v) ≤ max{d(u, w), d(w, v)},
propriété plus forte que (P5 ), on dit que d est ultramétrique.

Commentaire :
Pour u ∈ E et v ∈ E donnés, le nombre réel positif ou nul d(u, v) est appelé distance de u à v.
En général seule la propriété (P5 ) pose des difficultés ( parfois grandes) de vérification.
Il arrive toutefois que (P3 ) ne soit pas complétement évidante. (faire attention)
Exemple. On suppose choisir une unité de longueur, la distance classique entre deux points.
On prend pour E le plan, ou bien l’espace à trois dimensions de la géométrie élémentaire (par exemple
un triangle). Soient A, B et C trois points : Les inégalités
d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B) et |d(A, C) − d(C, B)| ≤ d(A, B)
et les autres inégalités obtenues par permutation circulaire de A, B etC, sont des inégalités bien
connues entre les longueurs des côtés d’un trianges.
Exemple. (Important)
— Soit E = R. L’application d définie par :
d(x, y) = |x − y| = valeur absolue de (x − y) = max{(x − y), (y − x)}
est une distance usuelle sur R.

..., yn ) dans Rn :
— Pour n entier ≥ 1. Soient X = (x1 , x2 , ..., xn ) et Y = (y1 , y2 ,s
X n
p
d(X, Y ) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + ... + (xn − yn )2 = (xi − yi )2 d définit la tout
i=1
à fait classique distance euclidienne sur Rn .

Exemple. — Sur E = C, on considérera la distance :
∀z, z ′ ∈ E, d(z, z ′ ) = |z − z ′ | désigne le module.
Si z = α + iβ = (α, β) et z ′ = α′ + iβ ′ = (α′ , β ′ ), alors

p
d(z, z ′ ) = (α − α′ )2 + (β − β ′ )2
d est la distance euclidienne, dans IR2 de (α, β) et (α′ , β ′ ).

— Soit U = {z ∈ C | |z| = 1}. Pour tout u, v ∈ U , on pose
δ(u, v) = |arccos (Re(u.v))|
La fonction δ ainsi définie représente la longueur de l’arc de cercle unité entre u et v. Il est alors
clair que δ est une distance.
1.1.2 Propriétés fondamentales d’une distance d sur un ensemble E

Propriété 1.1.1 (Seconde inégalité triangulaire ). Pour tout u, v et w dans E, on a
|d(u, w) − d(v, w)| ≤ d(u, v).
Démonstration : ∀u, v, w ∈ E, on a :
d(u, w) ≤ d(u, v) + d(v, w)
D’où
d(u, w) − d(v, u) ≤ d(u, v) et d(v, w) ≤ d(v, u) + d(u, w) = d(u, v) + d(u, w),
d(u, v) ≥ d(v, w) − d(u, w) = −[d(u, w) − d(v, w)]
et finalement |d(u, w) − d(v, w)| ≤ d(u, v). ■
Propriété 1.1.2 ( Inégalité triangulaire généralisée). ∀u1 ∈ E, ∀u2 ∈ E, ..., ∀up ∈ E :

p−1
X
d(u1 , up ) ≤ d(uk , uk+1 )
k=1
Démonstration : La démonstration se fait par récurrence. Le résultat est vrai pour les trois
points u1 , u2 , u3 , d’après (P5 ). Supposons-le vrai pour p points et démontrons le pour (p+1)
points.
En utilisant (P5 ), on a
d(u1 , up+1 ) ≤ d(u1 , up ) + d(up , up+1 )

D’après l’hypothèse de récurrence, on a

p−1
X
d(u1 , up ) ≤ d(uk , uk+1 )
k=1
et donc
p−1 p
X X
d(u1 , up+1 ) ≤ d(uk , uk+1 ) + d(up , up−1 ) = d(uk , uk+1 )
k=1 k=1
■
Exemple. [Distance Discrête]

Soit E un ensemble non vide. Posons

1 si u ̸= v
δ(u, v) =
0 si u = v
Cette distance est appelée "distance discrête " sur E.
En effet : on posé δ(u, u) = 0 pour tout u ∈ E et δ(u, v) = 1 si u = v, donc (P1 ) et (P4 ) sont clairs.
Démontrons (P5 ) − bis qui implique (P5 ).
L’inégalité δ(u, v) ≤ max{δ(u, w), d(w, v)} se prouve aisément en examinant tous les cas possibles :
— si δ(u, w) ou δ(w, v) vaut 1 l’inégalité est vérifiée puisque δ(u, v) vaut 0 ou 1.

— Si δ(u, w) = δ(w, v) = 0 on a u = v = w, d’où l’inégalité est encore vérifiée.
Soient E et F deux ensembles et soit f : E → F une application injective. On suppose donnée une
distance d sur F . La forme :
δ(u, v) = d[f (u), f (v)].
définit une distance δ sur E, appelée distance transportée par f (de F sur E). En effet :
∀u ∈ E : δ(u, u) = d[f (u), f (u)];
∀u, v ∈ E : δ(u, v) = d[f (u), f (v)] = 0;
δ(u, v) d[f (u), f (v)] = 0 ⇒ f (u) = f (v)
⇒ u = v car f est injective
∀u, v ∈ E : δ(u, v) = d[f (u), f (v)] = d[f (v), f (u)] = δ(v, u);
Pour l’inégalité triangulaire, on a :
∀u, v, w ∈ E : δ(u, v) = d[f (u), f (v)] ≤ d[f (u), f (w)] + d[f (w), f (v)] = δ(u, w) + δ(w, v).
Par exemple, toute fonction strictement monotone φ : IR → IR définit une distance dφ sur R
par :
dφ (u, v) = |φ(u) − φ(v)|.

-Or φ : IR → IR, donc φ est injective, et d’après ce qui précéde l’application dφ (u, v) = |φ(u) −
φ(v)| définit une distance.
Ainsi u 7→ φ(u) = u3 , u 7→ φ(u) = arctan(u), ...etc
Adjoignons à IR les deux symboles −∞ et +∞.( avec, pour tout x réel : −∞ < x < +∞) pour
obtenir la droite étendue E = IR (notation classique).
On munit souvent E de la distance :
x
d(x, y) = |φ(x) − φ(y)| où φ (x) =
1 + |x|
La fonction φ est considéré prolongeable sur IR par
φ(−∞) = −1
φ(+∞) = +1
On peut tout aussi bien considérer la fonction ψ(x) = arctan(x) prolongée par
−π π
ψ(−∞) = et par ψ(+∞) = .
2 2
Il suffit d’après l’exemple 4, de vérifie que les fonction φ et ψ sont des applications injectives de IR
dans IR
— φ est bijective de IR sur [−1, +1], d’inverse :
u
φ−1 (u) = si u ∈] − 1, +1[
1 − |u|
φ−1 (−1) = −∞, φ−1 (+1) = +∞.

−π +π
— ψ est bijective sur [ , ].
2 2
1.1.3 Espaces Métriques

Définition 1.1.2. Un espace métrique est un couple constitué par un ensemble non vide E et par
une distance d sur E. On dit souvant que E est muni de la distance d.
Commentaires
Un espace métrique sera en général noté par (E, d) ou bien Ed .
Sur un même ensemble E on peut définir une infinité de distances.
( même si E est fini, car si d est une distance sur E, alors λ.d est aussi une distance sur E.)
Définition 1.1.3. Soit (E, d) un espace métrique et soit F ̸= ∅ une partie de l’ensemble E. L’espace
métrique (F, δ) où δ désigne la restriction d|F ×F de d à F × F ⊂ E × E est appelé sous-espace
métrique de (E, d).

Exemple. Soit E = Rn "usuel" muni de la distance enclidienne d. Soit, par exemple, le sous-ensemble
F de Rn suivant :
F = {X = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ IRn / ∀i = 1, 2, ..., n : xi ≥ 0}
(F, d) est un sous espace métrique de (E, d).
1.1.4 Distances équvalentes

Définition 1.1.4. Soient d et δ deux distances sur un même ensemble non vide E. Les distances d et
δ sont dites équvalentes s’il existe deux constantes réelles c > 0 et C > 0 telles que :
∀u ∈ E, ∀v ∈ E : c.d(u, v) ≤ δ(u, v) ≤ C.d(u, v)
δ(u, v)
∀u ∈ E, ∀v ∈ E : avec u ̸= v : c≤ ≤ C.
d(u, v)
Exemple. ..
Sur E =IR, la distance usuelle d(x, y) = |x−y| et la distance discrète δ ne sont pas équivalentes.
En effet, supposons par l’absurde qu’il existe c > et C > 0 tels que pour tous x, y de IR, on a
c.δ(x, y) ≤ |x − y| ≤ C.δ(x, y).
1
Faisons x = 0 et y = n
(n entier ≥ 1). L’inégalité à gauche donne :pour tout n ≥ 1
1 1
c.δ(0, ) = c × 1 ≤
n n
Si on fait tendre n vers +∞ au aura que c ≤ 0. Absurde.
De même pour l’inégalité à droite, en faisant x = 0 et y = n : n ≤ C.δ(0, n) = C.
Si on fait tendre n vers +∞ au aura que C = +∞ ce qui est impossible.
Alors la distance usuelle d(x, y) = |x − y| et la distance discrète δ ne sont pas équivalentes.
Exemple. Considérons un cercle E de centre O et de rayon r. Pour u et v deux points de cercle, posons
θ l’angle que fait [ou) et [ov) exprimé en rédians et compris entre 0 et π
d(u, v) = longueur(euclidienne) de la corde joignant u à v
δ(u, v) = θ.r longueur(euclidienne) du plus petit arc joignant u à v
On peut calculer la longueur d(u, v) = d par la formule :

2 2 2 θ 2
d = 2r (1 − cos(θ)) = 4r sin .
2

Il est facile de vérifier que d et δ sont deux distances sur E.

Les distances d et δ sont équivalentes en raison de l’inégalité bien connue :
longueur de plus petit arc π
1≤ ≤
longueur de la corde 2
En effet :
δ rθ θ
= θ
=
d 2r sin( 2 ) 2 sin( 2θ )
δ π
Puisque 0 ≤ δ ≤ π, alors 1 ≤ ≤ .
d 2
1.1.5 Quelques notions qu’on peut définir à l’aide d’une distance

Définition 1.1.5. Soit (E, d) un espace métrique. Etant donné un point u ∈ E et un nombre réel ρ
strictement positif. Les sous-ensembles de E définissent :
— La boule ouverte de centre u et de rayon ρ :
B(u, ρ) = B(u, ρ[:= {v ∈ E / d(u, v) < ρ},
— La boule fermé de centre u et de rayon ρ :
B(u, ρ) = B(u, ρ] := {v ∈ E / d(u, v) ≤ ρ},
— La sphère de centre u et de rayon ρ :
S(u, ρ) := {v ∈ E / d(u, v) = ρ}.
Remarque importante :
Puisque, par définition, ρ > 0, les boules fermés et ouvertes ne sont pas vides car elles
contiennent au moins leurs centre. Par contre, une sphère peut être vide.
Exemple. — Soit E =IR, muni de la distance usuelle d(x, y) = |x − y|. On a :

B(x, ρ) =]x − ρ, x + ρ[, l’intervalle ouvert
B(x, ρ) = [x − ρ, x + ρ]= l’intervalle fermé
S(x, ρ) = {x − ρ, x + ρ} = ensemble à deux éléments.

— Soit E ̸= ∅ arbitraire, muni de la distance discrète. On vérifie facilement que
B(x, ρ) = {x}, si ρ ≤ 1 B(x, ρ) = E, si ρ > 1 ;
B(x, ρ) = {x}, si ρ < 1 B(x, ρ) = E, si ρ ≥ 1 ;
S(x, ρ) = ∅ si ρ < 1 S(x, ρ) = E\{x} si ρ = 1 S(x, ρ) = ∅ si ρ > 1.

— L’application (x, y) 7→ | arctan(x) − arctan(y)| est une distance sur l’ensemble R = R ∪

{−∞, +∞}. Relativement à cette distance l’ensemble R est borné et son diamètre est égale à π.
π π
Par exemple, la boule ouverte B(0, ) est égale à R, la boule fermée B(0, ) est égale à l’espace
2 2
tout entier R, la boule B(+∞, 2π) est égale, elle aussi, à R, quant à l sphère S(+∞, 2π) elle
est vide.
Définition 1.1.6. Soit (E, d) un espace métrique et soit A une partie non vide de E. Pour tout u ∈ E
on note d(u, A) et on appelle distance de u à A le nombre réel ≥ 0 :
d(u, A) := inf d(u, a) = inf {d(u, a) / a ∈ A} .

a∈A
N.B : On prolonge cette notion en posant : d(u, ∅) = +∞ pour tout u ∈ E.
Propriété 1.1.3. Pour tout A ̸= ∅, ∀u ∈ E, ∀v ∈ E, on a :
|d(u, A) − d(v, A)| ≤ d(u, v)
Démonstration :
C’est une généralisation de la seconde inégalité triangulaire qu’on retrouve si on considère
A = {w}, w ∈ E. D’où ∀u ∈ E, ∀v ∈ E, ∀a ∈ A, on a
d(u, a) ≤ d(u, v) + d(v, a)
d’où
d(u, A) = inf d(u, a) ≤ d(u, a) ≤ d(u, v) + d(v, a)
a∈A
et
d(u, A) − d(u, v) ≤ d(v, a).
Donc d(u, A) − d(u, v) minore l’ensemble {d(v, a) / a ∈ A} et comme la borne unférieur

d(v, A) est le plus grand minorants :
d(u, A) − d(u, v) ≤ d(v, A). D’où d(u, A) − d(v, A) ≤ d(u, v).
On peut refaire la démonstration en intervertissant les rôles de u et v pour obtenir
d(v, A) − d(u, A) ≤ d(u, v).
D’où finalement
|d(u, A) − d(v, A)| ≤ d(u, v).

Définition 1.1.7. On appelle le diamètre d’une partie A d’un espace métrique (E, d) la plus grande
valeur ( éventuellement infinie) qui puisse être prise par d sur A × A :
diam(A) = sup d(x, y).

(x,y)∈A×A
Remarque importante : D’après la définition précédente, on a les résultats importants à

connaitre suivants :
1. Lorsque diam(A) est fini, on dit que la partie A est bornée.
2. Si f est une applicaiton d’un ensemble X à valeurs dans l’espace métrique (E, d), on
dit que l’application f est bornée, si la partie f (X) est bornée.
Définition 1.1.8. Soit (E, d) un espace métrique et soit A une partie de E ; On appelle adhérence
de A et on note adh(A) le sous ensemble de E défini par :
adh(A) := {u ∈ E / d(u, A) = 0}.
En particulier, pour tout u ∈ E, puisque d(u, ∅) = 0 et d(u, E) = 0, alors
adh(∅) = ∅, et adh(E) = E.
En plus
1. Tout point de adh(A) est dit point adhérent à A
2. On dit qu’une partie B de E est fermée si B = adh(B).
3. On dit qu’une partie B de E est ouverte si ∁B

E est fermée.
∁B
E est le complémentaire de B par rapport à E.

1.2 Normes et Espaces Vectoriels Normés.

On désigne par (K, +, ×) un corps commutatif et par E un ensemble muni d’une loi de
composition interne notée encore + et d’une loi de composition externe (α, x) ∈ K × E 7→
α.x ∈ E. Le triplet (E, +, .) est un espace vectoriel sur K si les conditions suivantes sont
satisfaites :
C1 - (E, +) est un groupe commutatif,
C2 - α.(x + y) = α.x + α.y (α ∈ K, x, y ∈ E),
C3 - (α + β).x = α.x + β.x, (α, β ∈ K, x ∈ E),
C4 - (α × β).x = α.(β.x), (α, β ∈ K, x ∈ E),
C5 - 1 désigne l’élément unité du corps K. 1.x = x.1 = x,
Dans tout ce qui suit nous supposons que E est un espace vectoriel sur le corps K, avec K = R
ou C.
1.2.1 Normes
Définition 1.2.1. Soit N une application de E à valeurs dans R+ , N : E → R+
On dit que N est une norme sur E si pour tout x, y ∈ E et tout λ ∈ K :
(P1 ) [Positivité] ∀u ∈ E : N (u) ≥ 0 ;
(P2 ) [Nullité à l’origine deE : ] ∀u ∈ E : N (0) = 0,
(P3 ) [Séparation] N (u) = 0 implique (=⇒) u = 0;
(P4 ) [Homogénéité] ∀u ∈ E, ∀λ ∈ K, N (λ.u) = |λ|.N (u) ;
(P5 ) [Inégalité triangulaire] ∀u ∈ E, ∀v ∈ E :
N (u + v) ≤ N (u) + N (v).
Pour u ∈ E donné, le nombre réel≥ 0, N (u) est appelé norme de u.

Notons que pour tout u ∈ E :
N (−u) = N ((−1).u) = | − 1|.N (u) = 1.N (u) = N (u).
Lorsque N est une norme sur E, on dira que (E, N ) est un espace vectoriel
normé (en abrégé e.v.n).
Nous noterons N (x) =∥ x ∥ si aucune confusion n’est à craindre.
Commentaires :
— Contrairement au paragraphe précédent, E désigne ici un espace vectoriel (réel ou
bien complexe) et non un ensemble quelconque ! ! ! !
La notion de norme est beacoup plus spécialisée que celle de distance.
— Les seules difficultés de vérification des axiomes d’une normes sont (P5 ), parfois très
difficile à prouver, et (P3 ) parfois non trivial.
— Question de notation :
Le plus souvent, on note pas une norme avec une lettre N . Mais plutôt avec un signe
rappelant la valeur absolue et le module.
En général, on note une norme par ∥ • ∥, parfois simplement | • |.
Définition 1.2.2. [Distance associée à une norme] Soit E un espace vectoriel sur K, et soit ∥ · ∥
une norme sur E. On associe à cette norme, de manière natrelle, une distance d sur E par la formule :
∀u ∈ E, ∀v ∈ E : d(u, v) := ∥u − v∥.
La distance d est dite associée à la norme ∥ · ∥.

Remparque :
L’application d définie sur E par d (x, y) =∥ x − y ∥ est une distance sur E et l’application
x 7→∥ x ∥ est continue de (E, d) dans R+ .
En effet : Nous montrons les axiomes définissant une distance.
d est bien une fonction positive de E × E dans R.
d(u, u) = ∥u − u∥ = ∥0∥ = 0, et
d(u, v) = 0 ⇒ ∥u − v∥ = 0 ⇒ u − v = 0 ⇒ u = v
d(v, u) = ∥v − u∥ = ∥u − v∥ = d(u, v)
d(u, v) =∥ u − v ∥=∥ u − w + w − v ∥≤∥ u − w ∥ + ∥ w − v ∥= d(u, w) + d(w, v).
d est effectivement une distance sur E.
1.2.2 Propriétés importante d’une norme

Propriété 1.2.1. Seconde inégalité triangulaire
∀u ∈ E, ∀v ∈ E : |∥u∥ − ∥v∥| ≤ ∥u − v∥.
Preuve (T.D)

Propriété 1.2.2. Inégalité triangulaire généralisée

∀u1 ∈ E, ..., ∀un ∈ E, ∀λ1 ∈ K, ..., λn ∈ K :
n
X n
X
∥ λi ui ∥ ≤ |λi |.∥ui ∥.
i=1 i=1
Preuve (T.D)
1.3 Espaces Vectoriels normés

Définition 1.3.1. Un espace vectoriel normé réel [resp. complexe] est un couple constitué par un
espace vectoriel E réel [resp. complexe] et par une norme ∥ · ∥ sur l’espace vectoriel E. on le note par
(E, ∥ · ∥) et on l’abrégera souvent par e.v.n.
Terminologie
Soit (E, ∥ · ∥) un e.v.n et soit F un sous espace espace vectoriel de E.
La restriction ∥ · ∥F de la norme ∥ · ∥ à F est une norme sur F .
Le couple (F, ∥·∥F ) est appelé sous espace vectorie normé ( en abrégé : sous e.v.n) de (E, ∥·∥)
Définition 1.3.2. Deux normes sur un même espace vectoriel E seront dites équivalente si les deux
distances associées sont équivalentes.
C-à-d : ∥ · ∥ et ∥| · ∥| sont équvalentes si et seulement si : il exsite c > et C > 0 tels que :
∀u ∈ E, c.∥u∥ ≤ ∥|u∥| ≤ C.∥u∥.
Exemple. Soit n ∈ IN ∗ , considérons pour tout x = (x1 , ..., xn ) de IK n , les réels ∥x∥1 , ∥x∥2 et ∥x∥∞
définis par :
n n
! 21
X X
∥x∥1 = |xk |, ∥x∥2 = |xk |2 , ∥x∥∞ = max |xk |.
1≤k≤n
k=1 k=1
Les applications ∥ · ∥1 , ∥ · ∥2 et ∥ · ∥∞ : IK n → IR sont des normes équvalentes sur IK n .

En effet :
• On peut écrire :
n
X
∥x∥1 ≤ ∥x∥∞ = n.∥x∥∞ .
k=1
Et si k0 tel que |xk0 | = max1≤k≤n |xk | = ∥x∥∞ , alors :

n
X
∥x∥1 = |xk | ≥ |xk0 | = ∥x∥∞
k=1

Donc :
∀x ∈ IK n , ∥x∥∞ ≤ ∥x∥1 ≤ n.∥x∥∞ .
Les deux normes ∥x∥1 et ∥x∥∞ sur IK n sont équivalentes .
• Avec ∥x∥2 , on a aussi :
n
! 12 v
u n
X uX √
∥x∥2 = |xk |2 ≤t ∥x∥2∞ = n∥x∥∞ .
k=1 k=1
De même si |xk0 | = ∥x∥∞ :

p
∥x∥2 ≥ |xk0 |2 = |xk0 | = ∥x∥∞ .
Donc les normes ∥x∥2 et ∥x∥∞ sont équivalentes sur IK n .
• On en déduit : ∀x ∈ IK n :
1
∥x∥1 ≤ ∥x∥∞ ≤ ∥x∥2
n
√ √
≤ n∥x∥∞ ≤ n∥x∥1
Les normes ∥x∥1 et ∥x∥2 sont donc équivalentes.
1.3.1 Exemples d’espacces vectoriels normés

Exemple. [Les normes usuelles (norme standars) sur IK n ]
— Soit n ∈ IN ∗ , considérons pour tout x = (x1 , ..., xn ) de IK n , pour tout p ∈ [1, +∞[, l’appli-
cation :
∥ · ∥p IK n → IR
n
p1
p
P
x = (x1 , ..., xn ) 7→ |xk |
k=1
est une norme sur IK n , appelée norme de Hölder.
Exemple. Soit E = C([a, b], IR) l’espace vectoriel réel de toutes les fonctions f : [a, b] → R qui sont
continues sur [a, b](a < b). Les normes classiques sur l’espace C([a, b], IR) sont :
Z b
Norme de la moyenne : ∥f ∥1 := |f (t)|dt
a
Z b 21
2
Norme de la moyenne quadratique : ∥f ∥2 := |f (t)| dt
a
Norme uniforme : ∥f ∥∞ = max |f (t)| = max{ |f (t)| / t ∈ [a, b]}

a≤t≤b

(T.D) :Il est facile de démontrer qu’il existe c et C réels > 0 tels que :
∀f ∈ E, ∥f ∥1 ≤ c.∥f ∥2 ≤ C.∥f ∥∞ .
On peut, pour tout réel p ≥ 1, définir sur E la norme suivante :

Z b p1
∥f ∥p = |f (t)|p dt
a
Exemple. Soit I un ouvert non vide de R et soit Cb (I, R) l’ensemble de toutes les fonctions numé-
riques continues bornées sur I. On définit sur Cb (I, R) l’application
f 7→ ∥f ∥∞ = sup{|f (x)| , x ∈ I}.
On vérifie aisément que ∥ · ∥∞ est une norme sur Cb (I, R). Cette norme est appelée la norme de la
convergence uniforme.
Exemple. Soit E = Rn ou Cn muni de sa structure ordinaire d’espace vectoriel.

Soit x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ E. On définit les trois applications de E dans R+ par :
i=n
P
∥x∥1 = |xn |,
i=1
i=n 12
2
P
∥x∥2 = |xn |
i=1
∥x∥∞ = max (|x1 |, |x2 |, ..., |xn |) = max (|xi |) .

1≤i≤n
Ces trois applications sont des normes sur E. De plus E muni de l’une quelconque de ces normes
est un espace vectoriel normé.
On peut aussi définir sur E = Rn ou Cn , p ≥ 1 la norme
i=n
! p1
X
x 7→ ∥x∥p = |xi |p .
i=1
Soit E un espace vectoriel normé. Pour tout a ∈ E, r > 0 les ensembles B(a, r), B(a, r) et
S(a, r) désignent respectivement la boule fermée, la boule ouverte et la sphére de centre a et

de rayon r, de E définies par :
B(a, r) = {x ∈ E, ∥x − a∥ < r},
B(a, r) = {x ∈ E, ∥x − a∥ ≤ r}
S(a, r) = {x ∈ E, ∥x − a∥ = r}.

Définition 1.3.3. Un sous-ensemble U de E est dit ouvert dans (E, d) s’il est vide ou si pour tout
a ∈ U , il existe r > 0 tel que
B(a, r) ⊂ U.
L’ensembles des ouverts de E est une topologie sur E dans le sens suivant.
Propriété 1.3.1. Soit (E, d) un espace métrique, on a
1. Toute réunion d’ensembles ouverts de E est un ensemble ouvert dans E.
2. Toute intersection d’un nombre fini d’ensembles ouverts de E est un ensemble ouvert dans E.
3. E et ∅ sont des ouverts de E.
On verifie que B(a, r) est fermée et que B(a, r) = {x ∈ E, d(a, x) < r} est un ensemble ouvert de E.
Les propriétés ci-dessus seront démontrées dans le cadre plus générale des espaces mé-
triques (en exercices). Comme pour toute espace métrique, la topologie d’un e.v.n est sé-
r r
parée. En effet, si x ̸= y, r = d (x, y) ̸= 0 alors les boules B(x, ) et B(y, ) sont ouvertes,
2 2
disjointes et contienent respectivement x et y.

1.4 Exercices
Exercice 1.1. Soit d une fonction définie sur le produit cartisien E × E à valeur dans IR+ vérifiant
les propriétés suivantes :
1. ∀u ∈ E, d(u, u) = 0 ;
2. ∀u ∈ E, ∀v ∈ E, si d(u, v) = 0 ⇒ u = v ;
3. ∀u, v, w ∈ E, d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v).
Démontrer que les fonctions d′ et d′′ définies par

1
d′ (u, v) = [d(u, v) + d(v, u)] et d′′ (u, v) = max{d(u, v), d(v, u)} sont des distances sur E.
2
Exercice 1.2. Soit E un ensemble des polynômes de degré ≤ 2. Pour P (x) = ax2 + bx + c et Q(x) =
a′ x2 + b′ x + c′ dans E on pose
d(P, Q) = 3 si a ̸= a′
d(P, Q) = 2 si a = a′ et b ̸= b′
d(P, Q) = 1 si a = a′ et b = b′ c ̸= c′
d(P, Q) = 0 si P =Q
Démontrer que d est une distance ultramétrique.
Exercice 1.3. Soit E ̸= ∅ un ensemble et soit δ une distance sur E. Soit d’autre part φ : [0, +∞[→ IR
une fonction croissante telle que :
φ(0) = 0, φ(t) ̸= 0 pour tout t>0
et vérifiant pour tout s, t ≥ 0 :

φ(s + t) ≤ φ(s) + φ(t).
(1) Démontrer que la fonction composée d = φoδ est une distance.
(2) Démontrer que les fonctions suivantes possèdent les propriétés exigées pas φ :
t
t 7→ , t 7→ ln(1 + t).
1+t

Exercice 1.4. Soit E = IR. On muni E d’une fonction d : E × E → R+ définie par
d(ξ, η) = |φ(ξ) − φ(η)|

π π
où la fonction φ(ξ) = arc tan(ξ) est prolongée dans E par φ(−∞) = − et φ(+∞) = Montrer
2 2
que d est une distance sur E = R.
Exercice 1.5. Soit (E, d) un espace métrique et soient A et B des parties non vides fermés de E
vérifiant :
0 ̸= d(A, B) = inf d(a, B) = inf d(A, b) = inf inf d(a, b).
a∈A b∈B a∈A b∈B
d(u, A)
Pour tout u ∈ E, on pose f (u) = .
d(u, A) + d(u, B)
(1) Démontrer que f est une fonction : E → IR telle que :
f|A = 0, f|B = 1, 0 ≤ f (u) ≤ 1.
d(u, v)
(2) Démontrer que |f (u) − f (v)| ≤ ?
d(A, B)
Exercice 1.6. Soit E = C 2 ([0, 1], R). Pour tout f ∈ E, on définit les applications suivantes
Z 1 Z 1 Z 1
′ ′ ′′ ′
N (f ) = |f (x)|dx, N (f ) = |f (0)| + |f (x)|dx, N (f ) = |f (0)| + |f (0)| + |f ′′ (x)|dx
0 0 0
1. Montrer que ces trois applications sont des normes.
2. Prouver que, pour tout f ∈ E : N (f ) ≤ N ′ (f ) ≤ N ′′ (f ).
Exercice 1.7. Soit (E, ∥ · ∥) un espace vectoriel normé sur IK.
1. Montrer que l’application norme ∥ · ∥ est convexe, c-à-d verifie :
∀u, v ∈ E : ∀t ∈ [0, 1], ∥tu + (1 − t)v∥ ≤ t∥u∥ + (1 − t)∥v∥.
2. Soit d la distance associée à la norme ∥ · ∥. Montrer que :
(a) ∀(λ, u, v) ∈ IK × E 2 : d(λu, λv) = |λ|d(u, v).

(b) ∀(u, v, w) ∈ E 3 : d(u, v) = d(u + w, v + w).

Exercice 1.8. Soit (E, ∥ · ∥) un espace vectoriel normé sur IK. Soient u, v ∈ E et ρ ∈ IR+ .
Montrer que :
lim [∥(n + ρ)u + v∥ − ∥n.u + v∥] = ρ∥u∥.
n→+∞
Exercice 1.9. Soit (E, ∥ · ∥) un espace vectoriel normé.
1. Démontrer que pour tous u, v ∈ E, on a
1 u v
(1) ∥u − v∥ ≥ max{∥u∥, ∥v∥}. −
2 ∥u∥ ∥v∥
1 u v
(2) ∥u − v∥ ≥ (∥u∥ + ∥v∥). − ;
4 ∥u∥ ∥v∥
1
2. En déduire que la constante dans (1) ne peut pas être remplacée par une plus grande constante.
2
1
De même pour dans (2).
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soit E = C 1 ([0, 1], R). Pour tout f ∈ E, on pose
Z 1 21
2 ′ 2
N (f ) = f (0) + (f (t)) dt .
0
1. Montrer que N est une norme sur E.

√
2. Montrer que ∥f ∥∞ ≤ 2N (f ).
3. N et ∥ · ∥∞ sont-elle équivalentes.
Indication : On pourra utiliser l’inégalité de Minkowski : si u et v sont deux fonctions continues sur
[0, 1] à valeurs dans [0, +∞], alors
Z 1 12 Z 1 12 Z 1 21
2 2 2
[u(x) + v(x)] ≤ u (x) + v (x)
0 0 0
Et l’inégalité suivante :
√ √ √ √
∀(a, b, c, d) ∈ IR4 , ab + c. d≤ a2 + c . b2 + d.

Chapitre 2
Espace euclidiens
2.1 Espace euclidiens

2.1.1 Produit Scalaire
Définition 2.1.1. .
Etant donné un R-espace vectoriel E. On appelle un produit scalaire sur E tout application :

E×E →R
S:
(x, y) 7→ S(x, y) = (x|y)
vérifiant :
1. [Positivité], ∀x ∈ E, S(x, x) ≥ 0;
2. [Forme bilinéaire] : ∀x, y, z ∈ E et ∀(λ, µ) ∈ R :
S(λx + µy, z) = λS(x, z) + µS(y, z)

S(x, λy + µz) = λS(x, y) + µS(x, z);
3. [Symétrie] : ∀x, y ∈ E : S(x, y) = S(y, x);
4. [Définie positive] : ∀x ∈ E : (S(x, x) = 0) ⇔ (x = 0)
Soit E un R− espace vectoriel.

Question de notation :
— Le produit scalaire de deux éléments x et y de E est noté généralement
(x|y) ou bien ⟨x, y⟩
— En géométrie, on utilise souvent la notation →

−
u .→
−
v pour désigner le produit scalaire des vecteurs
→
−
u et →
−v.
20
CHAPITRE 2. ESPACE EUCLIDIENS H. MAHDIOUI
Remarque. (Importante)
Si E est muni d’un produit scalaire (·|·) ,
E → R+
l’application : p est une norme sur E.
x 7→ ∥x∥ = (x|x)
On l’appelle norme euclidienne associée au produit scalaire (·|·) ; la distance

associée est appelée distance euclidienne.
Définition 2.1.2. On appelle espace vectoriel euclidien, un espace vectoriel réel de dimension finie
muni d’un produit scalaire et de la norme euclidienne associée à ce produit scalaire.
2
Exemple. Produit scalaire R
dans
x α
Pour tous vecteurs X = et Y = R2 , posons
y β
X · Y = pxα + q(xβ + αy) + ryβ,
où p, q, r sont des nombres réels donnés.

— L’expression X · Y est symétrique, autrement dit X · Y = Y · X ;
— les valeurs dépendent linéairement du couple (x, y) , donc pour Y fixé, l’application X 7→ X ·Y
est linéaire.
Pour que X·Y définisse un produit scalaire, il faut encore que l’expression X·X = px2 +2qxy+ry 2
ne prenne que des valeurs strictement positives, sauf si x = y = 0. Cela exige que ni x, ni y ne soit en
facteur, donc p et r doivent être différents de 0. Puisqu’on a alors
q 2 rp − q 2 2

2 2
px + 2qxy + ry = p (x + y) + y
p p2
X · X sera strictement positif pour tout X ̸= 0 si et seulement si p > 0 et rp − q 2 > 0,
Supposons p > 0 et q 2 − rp < 0 .
L’expression X · Y est alors un produit scalaire sur R2 . On a
pxα + q(xβ + αy) + ryβ = x(pα + qβ) + y(qα + rβ)
donc
p q α
X · Y = [x y]
q r β

p q
La matrice A = est symétrique ; son déterminant pr − q 2 est par hypothèse non nul, donc
q r
A est inversible.
Norme d’un vecteur. Par définition, on a
√ p
∥X∥ = X · X = px2 + 2qxy + ry 2


p 0
Par exemple, Prenons A = , où p et r sont des nombres strictement positifs. La matrice A
0 r
définit le produit scalaire X · Y = pxα + ryβ.
Exemple. .
1. La forme bilinéaire S définie sur Rn par :

n
X
2
∀(x, y) ∈ E , S ((x1 , x2 , ..., xn ), (y1 , y2 , ..., yn )) = xi y i .
i=1
est symétrique.
2. Soit H = Cn et soit φ : H × H −→ C définie par :

n
X n
X
φ(x, y) = xi yi (ou bien on note (x|y) = xi y i )
i=1 i=1
où x = (x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ).

φ est un produit scalaire sur H.
De plus
φ(x, y) = φ(y, x) pour tout (x, y) ∈ H 2 ,
donc φ est hermitienne. Elle est définie positive :

n
X n
X
φ(x, x) = xi xi = | xi |2 .
i=1 i=1
3. Sur l’espace vectoriel des fonctions continues et 2π-périodiques sur R, l’application :
1 2π
Z
(f, g) 7→ (f |g) = f (x)g(x)dx
π 0
est un produit scalaire.
4. Sur R3 , la forme bilinéaire symétrique S définie par :

1
S((x, y, z), (x′ , y ′ , z ′ )) = xx′ + yy ′ + zz ′ + (xy ′ + x′ y + xz ′ + x′ z + yz ′ + y ′ z)
2
est un produit scalaire puisque :
S((x, y, z), (x, y, z)) = x2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz

1
= ((x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2 )
2
est positif et ne peut être nul que si x = y = z = 0.

5. Soit H = C ([a, b] , K) et soit φ : H × H −→ C définie par

Z b
φ(f, g) = f (x)g(x)dx.
a
On vérifie que φ est un produit scalaire hermitienne définie positive sur H.
6. [Produit scalaire Canonique]

Soit l’espace vectoriel des matrices de dimension n × p. Pour toute matrice
A = (ai,j ) ∈ Mn,p (K)

1≤i≤n
1≤j≤p
on note
t
A∗ = A = (ai,j ) ∈ Mp,n (K)
1≤j≤p
1≤i≤n
La matrice A∗ est appelée la trans-conjuguée de A. On remarque que si IK = R, alors A∗ = At .
considérons l’application φ définie par :
φ : Mn,p (IK) → IK
(A, B) 7→ tr(A∗ .B)
avec tr(A) est la trace d’une matrice.

Alors φ est un produit scalaire sur Mn,p (K) appelé [Produit scalaire Canonique].
7. Si A ∈ Mn (R), montrons que la forme bilinéaire définie sur Rn par
φ(X, Y ) = Y t .A.X
est symétrique si, et seulement si, la matrice A est symétrique.

— Si A est symétrique, on a :
φ(X, Y ) = Y t .A.X
= (Y t .A.X)t (Puisque Y t .A.X est un réel)
= X t .At .Y
= φ(Y, X) (Puisque A est symétrique)
donc φ est une forme bilinéaire symétrique.

— Réciproquement, notons (e1 , e2 , ..., en ) la base canonique de Rn .
Si A = (ai,j )1≤i,j≤n on a :
∀(i, j) ∈ {1, ..., n}, φ(ei , ej ) = ai,j .
Donc si φ est une forme bilinéaire symétrique, la matrice A est symétrique.

Proposition 2.1.1. (Inégalité de Cauchy-Schwartz)

Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire (·|·) .
1. Pour x et y dans E, on a :
(x|y)2 ≤ (x|x)(y|y).
2. Cette inégalité est une égalité si, et seulement si, x et y sont proportionnels.
p
Si ∥x∥ = | (x | x) |, l’inégalité de Cauchy-Schwartz s’écrit aussi comme suit :
| (x | y) |≤ ∥x∥.∥y∥.
Preuve : 1) Soient λ ∈ R et (x, y) ∈ E 2 .

On a (x + λy | x + λy) ≥ 0, d’où
0 ≤ (x + λy | x + λy) = (x | x) + (x | λy) + (λy | x) + (λy | λy)
= (x | x) + 2.λ (x | y) + λ2 (y | y)
• Si y = 0, il n’y a rien à démontrer ( c’est une égalité).
• Sinon, on considère le polynôme P du second degré à varaible λ suivant :
P (λ) = λ2 (y | y) + 2.λ (x | y) + (x | x)
Puisque (y | y) ̸= 0, alors ∀λ ∈ IR, P (λ) ≥ 0.

Son discriminant :
△λ = 4 (x | y)2 − 4 (y | y) . (x | x)
est forcément négalif (≤ 0),
△λ = (x | y)2 − (y | y) . (x | x) ≤ 0
Alors |⟨x | y⟩|2 ≤ | (x | x) |.| (y | y) |.
2) Si x et y sont proportionnels, il existe un scalaire λ tel que y = λ.x ou x = λ.y.

Supposons par exemple y = λ.x. Alors :
(x|y)2 = (x|λx)2 = λ2 (x|x)2 = (x|x).(y|y).
Réciproquement, supposons (x|y)2 = (x|x)(y|y)
• Si y = 0, alors x et y sont proportionnels.

• Sinon, le polynôme P a un discriminant nul. Il existe donc un scalaire λ tel que P (λ) = 0. On a
alors :
(x + λy|x + λy) = 0.
Par définition du produit scalaire, on en déduit x + λy = 0 et donc que x est proportionnel à y.

■
Corollaire 2.1.2. [Inégalité de Minkowski]
∀(x, y) ∈ H, |∥x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
Il y a égalité si y = λ.x ou x = λ.y avec λ > 0.

Preuve : Laisser à titre d’exercice. ■
Exemple. .
1. L’application :
Rn × Rn → R
n
X
(x, y) 7→ xi yi
i=1
est un produit scalaire sur R appelé produit scalaire canonique de Rn . La norme euclidienne
n
associée est : v
u n
uX
∥(x1 , x2 , ..., xn )∥ = t x2i
i=1
L’inégalité de Cauchy-Schwarz pour ce produit scalaire s’écrit :
n n
! 21 n
! 12
X X X
xi yi ≤ x2i . yi2
i=1 i=1 i=1
2. Dans C([a, b]), l’application :

Z b
(f, g) 7→ (f |g) = f (x)g(x)dx
a
est un produit scalaire. L’inégalité de Cauchy-Schwarz correspondante a déjà été démontrée sur
l’intégration :
Z b Z b 21 Z b 12
f (x)g(x)dx ≤ f 2 (x)dx . g 2 (x)dx
a a a
n
Exemple. — L’espace vectoriel R muni de son produit scalaire canonique est un espace vectoriel
euclidien.

2.1.2 Identités de polarisation

La norme euclidienne d’un espace vectoriel euclidien est définie à partir du produit scalaire. Ré-
ciproquement, si l’on connaît la norme euclidienne, on peut retrouver le produit scalaire grâce aux
trois premières égalités suivantes appelées identités de polarisation ; la quatrième est dite égalité du
parallélogramme.
Proposition 2.1.3. (Importante)

Soit (E, (·|·)) un espace vectoriel euclidien. Alors pour tout x, y ∈ E on a :
(Id.1) [Identité caractéristique : ] ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 + 2.(x|y),
(Id.2) [Identité caractéristique : ] ∥x − y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 − 2.(x|y),
(Id.3) [Identité du parallélogramme :] ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2 (∥x∥2 + ∥y∥2 ),
(Id.4) [Identité de polalarisation :] ∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 = 4 (x | y) ;

Preuve : On a pour tout x, y ∈ E
1.
∥x + y∥2 = (x + y|x + y)
= (x|x) + (x|y) + (y|x) + (y|y)
= (x|x) + 2(x|y) + (y|y).
2. Appliquer l’inégalité précédente à x et −y.
3. et 4 déduit des précédents par somme et différence.
Exemple. 1. Pour prouver que :

p
N (x, y) = x2 + 2xy + 3y 2
définit une norme euclidienne sur R2 , on commence par vérifier que :
x2 + 2xy + 3y 2 = (x + y)2 + 2y 2
est positif et ne peut être nul que si (x, y) = (0, 0).

Il faut alors exhiber le produit scalaire dont elle provient, produit scalaire qui, d’après la dernière
identité de polarisation, ne peut être que :
N (x + x′ , y + y ′ )2 − N (x − x′ , y − y ′ )2
S((x, y), (x, y)) =
4
= xx′ + xy ′ + yxf + 3yy ′

Comme cette dernière relation définit une forme bilinéaire symétrique S et que l’on a :
∀(x, y) ∈ R2 , S((x, y), (x, y)) = N (x, y)2 ,
on en déduit que N est une norme euclidienne.
2. Sur R2 , l’application définie par :
∥(x, y)∥ = max (|x|, |y|)
est une norme (immédiat), mais ce n’est pas une norme euclidienne.
En effet, pour u = (2, 1) et v = (1, 2), on a :
∥u + v∥ = 3, ∥u − v∥ = l, ∥u∥ = ∥v∥ = 2
et donc :
∥u + v∥2 + ∥u − v∥2 ̸= 2 ∥u∥2 + ∥v∥2 .

3. Dans un triangle (ABC), la première identité de polarisation donne :

−−→ −→ −→ −→ −→
∥BC∥2 = ∥AB∥2 + ∥AC∥2 − 2(AB|AC).
4. Dans un parallélogramme (ABCD), la somme des carrés des longueurs des deux diagonales et
égale à la somme des carrés des quatre côtés, comme il sera prouvé ultérieurement appliquée aux
−→ −−→ −−→ −−→
vecteurs AB = DC et BC = AD.

2.2 Bases orthonormées

Dans la suite, E désigne un espace vectoriel euclidien muni de sa norme euclidienne ∥ · ∥ et de la
distance d associée.
Commentaire Certains exemples sont donnés dans le cadre d’espaces vectoriels de dimension infinie
munis d’un produit scalaire, car les notions correspondantes ne nécessitent pas la dimension finie.
2.2.1 Familles orthonormées

Définition 2.2.1. On appelle vecteur normé ou unitaire, un vecteur de norme 1.
Exemple. 1. Dans Rn muni du produit scalaire canonique, les vecteurs de la base canonique sont
normés.
2. Dans l’espace vectoriel des fonctions continues et 2π-périodiques sur R, muni du produit sca-
laire : Z 2π
1
(f, g) 7→ f (x)g(x)dx,
π 0
les éléments sin et cos sont unitaires.
Définition 2.2.2. On dit que deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux si (x|y) = 0. On note alors
x ⊥ y.
Remarque : Par la symétrie du produit scalaire, si (x|y) = 0, alors (y|x) = 0, ce qui justifie la
symétrie de la définition précédente.
Exemple. 1. Dans Rn muni du produit scalaire canonique, les vecteurs de la base canonique sont
orthogonaux deux à deux.
2. Dans l’espace vectoriel des fonctions continues et 2π-périodiques sur R, muni du produit sca-
laire : Z 2π
1
(f, g) 7→ f (x)g(x)dx,
π 0
les fonctions sin et cos sont orthogonales.
Définition 2.2.3. On appelle orthogonal d’une partie A de E, l’ensemble noté A⊥ ou AO défini par :
A⊥ = {x ∈ E | ∀a ∈ A, x ⊥ a }.
Proposition 2.2.1. L’orthogonal d’une partie de E est un sous-espace vectoriel de E.

Démonstration : Soit A une partie de E.
— A⊥ contient le vecteur nul puisque celui-ci est orthogonal à tout élément de A.

— Soient x et y deux éléments de A⊥ , ainsi que λ et µ deux scalaires. Pour tout a ∈ A, on a :
(a|λx + µy) = λ(a|x) + µ(a|y) = 0
et donc λx + µy ∈ A⊥ . Donc A⊥ est un sous-espace vectoriel de E.

■
Exemple. 1. L’orthogonal de {0} est E.

2. L’orthogonal de E est {0}. En effet :
• 0 est orthogonal à tout élément de E ;

• si x ∈ E ⊥ , alors en particulier x est orthogonal à lui même et donc :
∥x∥2 = (x|x) = 0
ce qui prouve que x est nul.
Proposition 2.2.2. (Théorème de Pythagore)
1. Deux vecteurs x et y sont orthogonaux si, et seulement si, on a :
∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 .
2. Trois points A, B et C forment un triangle rectangle en A si, et seulement si :

−−→ −→ −→
∥BC∥2 = ∥AB∥2 + ∥AC∥2 .
Définition 2.2.4. • On appelle famille orthogonale, toute famille de vecteurs deux à deux orthogo-
naux.
• On appelle famille orthonormée (ou orthonormale) toute famille de vecteurs normes deux à deux
orthogonaux.
Exemple. 1− Dans R muni de son produit scalaire canonique, la base canonique est une famille
orthonormée.
2− Dans l’espace vectoriel des fonctions continues et 2π-périodiques sur R, muni du produit scalaire :
1 2π
Z
(f, g) 7→ f (x)g(x)dx.
π 0
la famille des vecteurs suivants :
1
x 7→ √ , x 7→ cos(x), x 7→ cos(2x), ..., x 7→ cos(nx)
2
, x 7→ sin(x), x 7→ sin(2x), ..., x 7→ sin(nx)
est orthonormée.

Proposition 2.2.3. Si {x1 , x2 , ..., xn } est une famille orthogonale de vecteurs de E, on a :

n 2 n
X X
xi = ∥xi ∥2 .
i=1 i=1
Preuve : Par la bilinéanté du produit scalaire, on a :

n
X n
X Pn
( xi | xi ) = 1≤i,j≤n (xi |xj )
i=1 i=1 Pn
= 1≤i,j≤n (xi |xi )
puisque si i ̸= j, alors (xi |xj ) = 0. ■

Soit {e1 , e2 , ..., en } une famille orthonormée de E.
1. Si x = ni=1 λi ei , alors ∀i ∈ {1, ..., n}

P
λi = (ei |x).
2. La famille {e1 , e2 , ..., en } est libre.
Preuve :
1. Par la bilinéarité du produit scalaire, on a
n
X
(ei |x) = λj (ei |ej ) = λi .
j=1
2. D’après ce qui précède, un vecteur de V ect{e1 , e2 , ..., en } s’écrit donc de façon unique comme
combinaison linéaire des ei , ce qui prouve que la famille est libre. ■
Définition 2.2.5. [Bases orthonormées] On appelle base orthonormée de E, toute base de E qui
est une famille orthonormée.
• Un repère (O, B) est orthonormé si B est une base orthonormée.
Par exemple, dans R muni du produit scalaire canonique, la base canonique ainsi que
le repère canonique sont orthonormés.
Proposition 2.2.5. 1. Un espace vectoriel euclidien E admet au moins une base orthonormée.
2. Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien est euclidien pour le produit scalaire
induit, et donc admet au moins une base orthonormée.
3. Tout espace vectoriel euclidien admet des repères orthonormés. En particulier, si E est un espace
→
− → −
vectoriel euclidien de dimension 2 muni d’un repère orthonormé (0, i , j ), on peut lui appliquer
tous les résultats précédents.


Soit B = (e1 , e2 , ..., en ) une base orthonormée de E.
Xn
1. Si x est un vecteur de E, on a x = (ei |x)ei .
i=1
n
X n
X
2. Si x = xi ei et y = yi ei sont deux vecteurs de E, on a
i=1 i=1
n
X n
X
t 2
(x|y) = xi yi = X .Y et ∥x∥ = x2i = X t .X,
i=1 i=1
où X et Y sont les matrices colonnes constituées des composantes dans B des vecteurs x et y.
Xn
Démonstration : L’égalité x = (ei |x)ei est une conséquence de la proposition 2.2.4 ; Les autres
i=1
résultats sont immédiats. ?
Remarque. (Importante)
Soit B = (e1 , e2 , ..., en ) une base orthonormée d’un espace vectoriel euclidien E.
1. L’application qui associe à un vecteur de E ses composantes dans B est un isomorphisme d’es-
paces vectoriels de E sur Rn .
2. Si l’on munit Rn de sa structure euclidienne canonique, cet isomorphisme conserve la norme et

le produit scalaire.
2.3 Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt

Théorème 2.3.1. (Fondamental)
Si B = (e1 , e2 , ..., en ) est une base de E, on peut construire une base orthonormée (f1 , f2 , ..., fn )
de E telle que :
∀p ∈ {1, ..., n}, V ect{e1 , e2 , ..., ep } = V ect{f1 , f2 , ..., fp }.
Démonstration Cette démonstration par récurrence nous donne en fait une méthode pratique
de détermination d’une telle base : c’est le procédé d’orthonormalisation de Schmidt.
e1
▶ f1 doit être un vecteur norme colinéaire à e1 . Il suffit de prendre f1 =
∥e1 ∥
▶ Supposons construits (f1 , f2 , ..., fp ) orthonormés tels que :
∀k ∈ {1, ..., p}, V ect{e1 , e2 , ..., ek } = V ect{f1 , f2 , ..., fk }.

Comme :
F = V ect{e1 , e2 , ..., ep } = V ect{f1 , f2 , ..., fp }.
tout vecteur de V ect{e1 , e2 , ..., ep+1 } peut s’écrire comme combinaison linéaire de , f1 , f2 , ..., fp
et ep+1 .
Cherchons donc gp+1 orthogonal à f1 , f2 , ..., fp sous la forme :
n
X
gp+1 = ep+1 − λi f i
i=1
Le vecteur gp+1 répond au problème si, et seulement si, on a :
∀i ≤ p, (fi |gp+1 ) = (fi |ep+1 ) − λi = 0
En prenant λi = (fi |ep+1 ) on a donc bien un vecteur gp+1 orthogonal à f1 , f2 , ..., fp appartenant
à V ect{e1 , e2 , ..., ep+1 }.
Le vecteur gp+1 est non nul puisque :
ep+1 ∈
/ V ect{e1 , e2 , ..., ep } = V ect{f1 , f2 , ..., fp }
et on peut donc le normer en posant

gp+1
fp+1 =
∥gp+1 ∥
La famille {f1 , f2 , ..., fp } est alors une famille orthonormée (donc libre) de p + 1 vecteurs de
V ect{e1 , e2 , ..., ep+1 }. Elle en est donc une base et l’on a :
V ect{f1 , f2 , ..., fp+1 } = V ect{e1 , e2 , ..., ep+1 }.
Exemple. Considérons l’espace vectoriel R3 muni du produit scalaire de la forme bilinéaire symétrique
S définie par :
1
S((x, y, z), (x′ , y ′ , z ′ )) = xx′ + yy ′ + zz ′ + (xy ′ + x′ y + xz ′ + x′ z + yz ′ + y ′ z)
2
dont la norme associée est :
p
∥(x, y, z)∥ = x2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz.
Construisons une base orthonormée (f1 , f2 , f3 ) par le procédé de Schmidt à partir de la base canonique
(e1 , e2 , e3 ).

— Le vecteur e1 = (1, 0, 0) est norme, donc on peut prendre f1 = e1 .

— Cherchons g2 orthogonal à f1 de la forme :
g2 = e2 − λf1
1
On a (f1 |g2 ) = (f1 |e2 ) − λ, donc il suffit de prendre λ = (f1 |e2 ) = , ce qui donne :
2
−1 1
g2 = ( , 1, 0) et doncf2 = √ (−1, 2, 0).
2 3
— Cherchons g3 orthogonal à f1 et f2 de la forme :
g3 = e3 − λf1 − µf2 .
Il suffit de prendre :
1 1
λ = (f1 |e3 ) = et µ = √
2 2 3
ce qui donne :
−1 −1 1
g3 = ( , , 1) et doncf3 = √ (−1, −1, 3).
3 3 6
2.3.1 Projections vectorielles

Définition 2.3.1. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. L’application p
de E dans E qui, à tout élément x de E, associe l’unique y de F tel que x = y + z, avec z ∈ G
est appelée projection sur F parallèlement à G. Une telle application est aussi appelée un
projecteur.
Proposition 2.3.2. Etant donnés deux sous-espaces vectoriels supplémentaires F et G de E, la pro-

jection sur F parallèlement à G est linéaire.
— Son noyau est G.
— Son image, qui est aussi l’ensemble des vecteurs invariants, est égale à F .
Démonstration :
— Soit (x, y) ∈ E 2 ; on peut écrire x = x1 + x2 , y = y1 + y2 avec (x1 , y1 ) ∈ F 2 et (x2 , y2 ) ∈ G2 .
Pour (α, β) ∈ K2 , on a :
αx + βy = (αx1 + βy1 ) + (αx2 + βy2 )
avec :
αx1 + βy1 ∈ F et αx2 + βy2 ∈ G

puisque F et G sont des sous-espaces vectoriels. Par suite :
p(αx + βy) = αx1 + βy1 = αp(x) + βp(y)
L’application p est donc linéaire.

— Si x ∈ G, alors x = 0 + x avec (0, x) ∈ F × G, donc p(x) = 0.
Réciproquement, si p(x) = 0, alors comme x = p(x) + x2 = x2 avec x2 ∈ G, on a x ∈ G. Par
suite, ker(p) = G.
— On a immédiatement Im(p) ⊂ F et donc aussi l’implication :
x = p(x) ⇒ x ∈ F.
Réciproquement, si x ∈ F , alors x = x + 0 avec (x, 0) ∈ F × G, donc x = p(x) ∈ Im(p). Par

suite, Im(p) = F = {x ∈ F |p(x) = x}.
Exemple. 1. Dans le plan, si D et D′

sont deux droites vectorielles distinctes,
la projection p sur D parallèlement à
D′ est une application linéaire, dont le
noyau est D′ , et l’image D.
2. De même, si P est un plan vectoriel de
R3 et D une droite vectorielle non conte-
nue dans P , les projections :
— p sur P parallèlement à D
— q sur D parallèlement à P sont
des applications linéaires dont les
noyaux sont respectivement D et P
et les images respectivement P et D. Figure 2.1 – titre figure
Proposition 2.3.3. Soit p ∈ L(E). Alors p est un projecteur si, et seulement si, pop = p.
Démonstration
— Si p est la projection sur F parallèlement à G, alors pour tout élément x de F , on a p(x) ∈ F
et donc p(p(x)) = p(x). Par suite pop = p.
— Supposons pop = p. Les ensembles G = Ker(p) et F = Im(p), qui sont respectivement noyau
et image de l’endomorphisme p, sont donc des sous-espaces vectoriels de F . Montrons qu’ils
sont supplémentaires. En effet
— Soit y ∈ F ∩ G. Comme y ∈ F = Im(p), on peut trouver x ∈ F tel que y = p(x). Or
y ∈ G = Ker(p), donc :
0 = p(y) = (pop)(x) = p(x) = y.
Par suite F ∩ G = {0}.

— Si x ∈ F , alors :
x = p(x) + (x − p(x)).
on a x − p(x) ∈ G, puisque
p(x − p(x)) = p(x) − (pop)(x) = 0
et évidemment p(x) ∈ F . Ainsi x ∈ F + G et donc E = F + G.

Enfin, la relation précédente montre que p(x) est le projeté de x sur F parallèlement à G. Donc p est
la projection sur F parallèlement à G. ■
Attention Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E, la projection sur F
parallèlement à G est, par définition, un endomorphisme de E et non une application linéaire de E
dans F . C’est ce qui permet d’ailleurs de parler de pop dans la proposition précédente.
Projections orthogonales vectorielles
Définition 2.3.2. Si F est un sous-espace vectoriel de E, on appelle projection orthogonale sur F ,

la projection sur F parallèlement à son supplémentaire orthogonal F ⊥ .
Proposition 2.3.4. Si B = (e1 , e2 , ..., ep ) est une base orthonormée d’un sous-espace vectoriel F de
E, le projeté orthogonal sur F d’un vecteur x de E est :
n
X
π(x) = ( ei | x )ei .
i=1
Preuve : Décomposons π(x) dans la base B :

n
X
π(x) = λi ei
i=1
Comme x − π(x) ∈ F ⊥ , on en déduit : (ei |x) = (ei |π(x)) = λi ce qui donne le résultat. ■
Exemple. (Méthode pratique)

1. Soit B une base orthonormée de E. Si a est un vecteur normé, la proposition précédente nous
donne l’expression de la projection orthogonale π sur la droite vectorielle engendrée par a :
π(x) = (x|a)a
Si le vecteur a n’est pas normé, on peut soit le normer, soit trouver directement l’expression de
π en procédant comme suit :
pour x ∈ E, on a π(x) = λa, avec λ est tel que
(x|a)
(x − λa) ⊥ a, c’est-à-dire λ =
(a|a)

Donc :
(x|a)
∀x ∈ E, π(x) = ×a
(a|a)
Si (x1 , x2 , ..., xn ) (respectivement (a1 , a2 , ..., an ) ) sont les composantes de x (respectivement
de a) dans la base B, on a :
n
X
ai x i
i=1
π(x) = n a.
X
a2i
i=1
a21 a1 a2
 
. . . a1 an

 a1 a2 a22 . . . a2 an 

1  . . . . . . 
La matrice de π dans B est donc n
 
X  . . . . . . 
2 
ai 

. . . . . . 
i=1 a1 an a2 an . . . a2n
ce qui permet de vérifier qu’elle est bien symétrique.
2. Dans le procédé d’orthonormalisation de

Schmidt, on construit :
n
X
gp+1 = ep+1 − λi fi avec λi = (fi |ep+1 ).
i=1
On obtient donc le vecteur gp+1 en retran-

chant à ep+1 sa projection orthogonale sur F =
V ect{e1 , e2, ..., ep }. Pour normer le vecteur gp+1 ,
il suffit alors d’appliquer le théorème de Pythagore
aux vecteurs orthogonaux π(ep+1 ) et gp+1 . On ob-
tient ainsi :
n
X
2 2 2 2
∥gp+1 ∥ = ∥ep+1 ∥ − ∥π(ep+1 )∥ = ∥ep+1 ∥ − λ2i
i=1
2.4 Projection sur un sous-espace de dimension finie

Supposons que W est un sous-espace de dimension finie de V .
Théorème 2.4.1. [Théorème de la projection]

Soit W un sous-espace vectoriel de dimension finie de V .

— Pour tout vecteur u ∈ V , il existe un unique vecteur pW (u) ∈ W tel que u − pW (u) ∈ W ⊥ .
Le vecteur pW (u) s’appelle le projeté orthogonal de u sur W .
— Si e1 , e2 , ..., en est une base orthonormée de W , alors
n
X
pW (u) = ( ei | x )ei = ( e1 | u )e1 + ( e2 | x )e2 + ... + ( en | x )en
i=1
— L’application pW : V → W est linéaire et s’appelle la projection orthogonale sur W .

— Si u est un vecteur de V , alors :
(i) ∥u∥2 = ∥pW (u)∥2 + ∥u − pW (u)∥2 ;
(ii) u ∈ W ⇔ pW (u) = u et u ∈ W ⊥ ⇔ pW (u) = 0;
(iii) pour tout vecteur w ∈ W, on a
∥u − w∥ ≥ ∥u − pW (u)∥
Démonstration.(Exercice)
Remarque. (Importante) Voici la signification de la propriété (iii) : si l’on cherche à approcher un

vecteur de u ∈ V par un vecteur de W , la meilleure approximation en norme est le projeté orthogonal
pW (u) .
Par le théorème de la projection, il est très simple de calculer le projeté d’un vecteur sur un sous-
espace W dont on connaît une base orthonormée. On peut cependant avoir besoin d’exprimer le vecteur
projeté au moyen d’une base quelconque de W . Avant d’établir une telle formule, démontrons un
résultat préliminaire.
Proposition 2.4.2. [Importante].

Soit A une matrice réelle à n lignes et p colonnes. Si p ≤ n et si les colonnes de A sont indépendantes,
alors la matrice (t A)A est carrée de taille p et inversible.
Démonstration. Supposons que X ∈ Rp est un vecteur-colonne tel que (t AA)X = 0. En multipliant
à gauche par la matrice-ligne t X, il vient
0 = (t X t A)(AX) = t
(AX)(AX) = ∥AX∥2 ,
où la norme est la norme euclidienne dans Rn . On a donc AX = 0. Puisque les colonnes de A sont
indépendantes, on en déduit X = 0. Cela montre que l’équation linéaire (t AA)X = 0 a pour seule
solution X = 0 : la matrice carrée t AA est donc inversible. ■

Proposition 2.4.3. [Importante].

Soient u1 , u2, ..., up des vecteurs indépendants appartenant à Rn et soit W le sous-espace vectoriel de
Rn engendré par u1 , u2 , ..., up . Soit A la matrice ayant pour colonnes les coordonnées de u1 , u2 , ..., up .
Alors pour tout vecteur-colonne X ∈ Rn , le projeté orthogonal de X sur W est
 
y1
 . 
−1 t
  t
pW (X) = y1 u1 + + yp up , où   .  = ( AA) ( A)X.

 . 
yp
Cette formule donne les coordonnées du projeté orthogonal dans la base

u1 , u2 , ..., up de W .
— Si A1 , A2 , ..., Ap sont les colonnes de A, les coordonnées de pW (X) dans la base canonique sont
 
y1
 . 
 
y1 A1 + y2 A2 + + yp Ap = A   . 

 . 
yp
Démonstration : Tout vecteur X ∈ Rn se décompose en X = X ′ + X ′′ , où X ′ ∈ W et X ′′ ∈ W ⊥

. En notant Ai les colonnes de A, les coefficients de la matrice-colonne ( t
A)X ′′ sont les produits
scalaires ( t Ai )X ′′ = ui .X ′′ qui sont nuls puisque X ′′ est orthogonal à tous les vecteurs de W . Il vient
donc
( t A.A)−1 ( t A)X = ( t AA)−1 ( t A)X ′ + ( t AA)−1 ( t A)X ′′ = ( t AA)−1 ( t A)X ′
Puisque X ′ ∈ W, on a X ′ = y1 A1 + y2 A2 + ... + yp Ap = AY, où Y est la matrice-colonne des

coefficients yi . Alors
( t AA)−1 ( t A)X ′ = ( t
AA)−1 ( t AA)Y = Ip Y = Y,
d’où le résultat puisque X ′ = pW (X) par définition du projeté orthogonal. ■
La projection pW : Rn → Rn a pour matrice A( t AA)−1 ( t A) dans la base

canonique de Rn .

2.4.1 Une application : la méthode des moindres carrés

Le problème : Supposons qu’une quantité réelle y dépende d’un paramètre x et qu’on dispose de
n mesures y1 , y2 , ..., yn correspondant à des valeurs x1 , x2 , ..., xn du paramètre ; on suppose n ≥ 2 et
que les xi ne sont pas tous égaux.
x= x1 x2 .. .. xn
y= y1 y2 .. .. yn
Il s’agit de trouver une relation de la forme y = ax+b qui approxime le mieux la relation entre les
xi et les yi : précisément, on cherche à déterminer a et b pour que la somme des écarts [yi − (axi + b)]2
soit la plus petite possible.
— La droite d’équation y = ax+b sera celle qui s’écarte globa-

lement le moins des points (xi , yi ) ; on l’appelle la droite
de régression.
— La droite de régression permet de calculer pour tout x une
valeur raisonnable de y : on peut ainsi faire des extrapola-
tions.
— Pour déterminer la droite de régression, nous utiliserons le
théorème de projection dans l’espace euclidien usuel
Rn .
Résolution Soient, dans Rn , les vecteurs suivants :
     
x1 y1 1

 . 


 . 


 1 

X=
 . ,
 Y =
 . 
 et U =
 . 

 .   .   . 
xn yn 1
Pour tous nombres a et b, les yi − axi − b sont les coordonnées du vecteur Y − aX − bU et la somme
des (yi − axi − b)2 est égale à ∥Y − aX − bU ∥2 . Quand a et b parcourent les nombres réels, le vecteur
aX + bU parcourt le sous-espace vectoriel W = vect{X, U } de Rn engendré par X et U . Puisque les
nombres xi ne sont pas tous égaux, les vecteurs X et U ne sont pas colinéaires, donc ils forment une
base de W .
D’après la propriété (iii) du théorème de projection, la norme ∥Y − aX − bU ∥ sera minimum si
aX + bU est la projection orthogonale de Y sur W .
Soit A = [X U ] la matrice à n lignes dont les deux colonnes sont X et U . D’après la proposition
précédente, le projeté orthogonal de Y sur W est A( t AA)−1 ( t AY ) .
t
— La matrice AA est carrée de taille 2 : on a
t t t

t X XX XU ∥X∥2 X.U
AA = t .[X U ] = t t =
U UX UU U.X ∥U ∥2

Le produit scalaire XU est la somme sx = x1 + x2 + ... + xn et ∥U ∥2 = n.

En posant sx2 = x21 + x22 + ... + x2n = ∥X∥2 , il vient donc
−1
t −1 s x2 sx 1 n −sx
( AA) = =
sx n nsx2 − s2x2 −sx sx2
— On a
t t
t X XY sxy
AY = t Y == t =
U UY sy
où sxy = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn et sy = y1 + y2 + ... + yn . Il vient

t −1 t 1 n −sx sxy 1 nsxy − sx sy
( AA) ( AY ) = =
nsx2 − s2x2 −sx sx2 sy nsx2 − s2x2 sx2 sy − sx sxy
nsxy − sx sy sx2 sy − sx sxy
En posant a= et
nsx2 − s2x2 nsx2 − s2x2

a
On obtient projW (Y ) = A = aX + bU
b
La droite de régression a donc pour équation y = ax + b.
Par exemple, pour les données du tableau suivant,
x= 0,3 0,8 1,1 1,6 2,3 2,6 3,0 3,4 4,1 4,5
y= 1,2 1,5 1,2 1,9 1,3 2,4 2,0 2,5 2,1 2,0
la droite de régression a pour équation y = 0, 24x + 1, 23.

2.5 Exercices
Exercice 2.1. 1. Soit E = R2 . Pour tout x = (a, b) de E, on pose :

√
N (x) = a2 + 2ab + 5b2
Montrer que N est une norme sur E.
2. Montrer que l’application (a, b) 7→ |a| + 2|b| est une norme sur E. Cette norme dérive -t- elle
d’un produit scalaire.
3. Soit F = R3 . Montrer que l’application S : F × F → R

   ′ 
x x
( y
  , y ′ ) 7→ 2xx′ + yy ′ + 5zz ′

z z′
définit un produit scalaire sur F .
4. Soient x, y et z trois réels tels que 2x2 + y 2 + 5z 2 ≤ 1. Montrer que :

17
(x + y + z)2 ≤
10
Exercice 2.2. Soit E un espace vectoriel de dimension n et soit {X1 , ..., Xn } une famille de n vecteurs
de E. Montrer que :
det({X1 , ..., Xn }) ≤ ∥X1 ∥ × ∥X2 ∥... × ∥Xn ∥
Dans quel cas a t-on l’égalité ?
Exercice 2.3. 1. Soit E = C 1 ([a, b], R) l’ensemble des fonctions continues et de dérivées continues
sur ]a, b[.
Montrer que l’application :
Z b Z b
(f, g) 7→ ⟨f, g⟩ = f (t)g(t)dt + f ′ (t)g ′ (t)dt
a a
définie un produit scalaire sur E.
2. Sur C2π ([a, b] , C) l’espace vectoriel des fonctions continues et 2π-périodiques sur C,

a- montrer que l’application :

Z 2π
1
(f, g) 7→ (f |g) = f (x)g(x)dx
π 0
est un produit scalaire.

b- Se convaincre que : ∀n ∈ Z, en : t 7→ eint est dans C2π ([a, b] , C).
c- Calculer (en |ep ) pour tous n, p ∈ Z.
Exercice 2.4. 1. Montrer que pour ∀(x1 , ..., xn ) ∈ Rn :
n n
! 12
X √ X
xk ≤ n x2k
k=1 k=1
2. Soient a1 , ..., an , b1 , ..., bn et c1 , ..., cn des réels positifs. Montrer que

n
!2 n
! n
!
X X X
ak b k c k ≤ a2k ck b2k ck
k=1 k=1 k=1
3. Soit f : [0, 1] → R une fonction de classe C 1 et telle que f (0) = 0. Montrer que pour tout
x ∈ [0, 1] on a Z 1
2 ′ 2
f (x) ≤ x (f (t)) dt
0
Exercice 2.5. Soit E = Mp,n (C) l’espace vectoriel des matrices de dimension n × p.
1. Montrer que l’application φ définie par :
φ : Mn,p (IK) → IK
(A, B) 7→ T tr( t A.B)
avec T r(A) est la trace d’une matrice, est un produit scalaire sur Mn,p (C)
2. On note N la norme associée à ce produit scalaire complexe. Montrer que :

√
∀A ∈ Mn,p (C), |T r(A)| ≤ n(A).
Exercice 2.6. Sur R2 [X], on définit l’application

Z 1
S(P, Q) = P (x)Q(x)dx
0

1. Montrer que S est un produit scalaire.
2. Trouver une base orthonormée de R2 [X] pour ce produit scalaire.
3. Calculer le minimum pour (a, b) ∈ R2 de la quantité :

Z 1
(x2 − ax − b)2 dx
0
(traduire cette situation en terme de distance à sous-espace).

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H.

| UNIVERSITE IBN ZOHR|

- |ESPACES METRIQUES-VECTORIELS NORMES |

Pr: H. MAHDIOUI page 1 ENSA-S3 - (2023-2024)

Distances, Normes, Espaces : Métriques et

1.1 Distances et Espaces Métriques

réels, vérifiant les cinq propriétés suivantes :

(P2 ) [Nullité sur la diagonale] ∀u ∈ E : d(u, u) = 0,

(P3 ) [Séparation] d(u, v) = 0 implique (=⇒) u = v ;

(P4 ) [Symétrie] ∀u ∈ E, ∀v ∈ E, d(u, v) = d(v, u) ;

(P5 ) [Inégalité triangulaire] ∀u ∈ E, ∀v ∈ E et ∀w ∈ E,

(P5 − bis) ∀u ∈ E, ∀v ∈ E ∀w ∈ E : d(u, v) ≤ max{d(u, w), d(w, v)},

propriété plus forte que (P5 ), on dit que d est ultramétrique.

d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B) et |d(A, C) − d(C, B)| ≤ d(A, B)

d(x, y) = |x − y| = valeur absolue de (x − y) = max{(x − y), (y − x)}

est une distance usuelle sur R.

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Exemple. — Sur E = C, on considérera la distance :

∀z, z ′ ∈ E, d(z, z ′ ) = |z − z ′ | désigne le module.

Si z = α + iβ = (α, β) et z ′ = α′ + iβ ′ = (α′ , β ′ ), alors

d est la distance euclidienne, dans IR2 de (α, β) et (α′ , β ′ ).

δ(u, v) = |arccos (Re(u.v))|

1.1.2 Propriétés fondamentales d’une distance d sur un ensemble E

|d(u, w) − d(v, w)| ≤ d(u, v).

d(u, w) ≤ d(u, v) + d(v, w)

d(u, v) ≥ d(v, w) − d(u, w) = −[d(u, w) − d(v, w)]

et finalement |d(u, w) − d(v, w)| ≤ d(u, v). ■

Propriété 1.1.2 ( Inégalité triangulaire généralisée). ∀u1 ∈ E, ∀u2 ∈ E, ..., ∀up ∈ E :

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D’après l’hypothèse de récurrence, on a

Exemple. [Distance Discrête]

— si δ(u, w) ou δ(w, v) vaut 1 l’inégalité est vérifiée puisque δ(u, v) vaut 0 ou 1.

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La fonction φ est considéré prolongeable sur IR par

φ−1 (−1) = −∞, φ−1 (+1) = +∞.

1.1.3 Espaces Métriques

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F = {X = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ IRn / ∀i = 1, 2, ..., n : xi ≥ 0}

(F, d) est un sous espace métrique de (E, d).

1.1.4 Distances équvalentes

∀u ∈ E, ∀v ∈ E : c.d(u, v) ≤ δ(u, v) ≤ C.d(u, v)

c.δ(x, y) ≤ |x − y| ≤ C.δ(x, y).

θ l’angle que fait [ou) et [ov) exprimé en rédians et compris entre 0 et π

d(u, v) = longueur(euclidienne) de la corde joignant u à v

δ(u, v) = θ.r longueur(euclidienne) du plus petit arc joignant u à v

On peut calculer la longueur d(u, v) = d par la formule :

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Il est facile de vérifier que d et δ sont deux distances sur E.

1.1.5 Quelques notions qu’on peut définir à l’aide d’une distance

B(u, ρ) = B(u, ρ[:= {v ∈ E / d(u, v) < ρ},

— La boule fermé de centre u et de rayon ρ :

B(u, ρ) = B(u, ρ] := {v ∈ E / d(u, v) ≤ ρ},

— La sphère de centre u et de rayon ρ :

S(u, ρ) := {v ∈ E / d(u, v) = ρ}.

Exemple. — Soit E =IR, muni de la distance usuelle d(x, y) = |x − y|. On a :

B(x, ρ) = [x − ρ, x + ρ]= l’intervalle fermé

S(x, ρ) = {x − ρ, x + ρ} = ensemble à deux éléments.

B(x, ρ) = {x}, si ρ < 1 B(x, ρ) = E, si ρ ≥ 1 ;

S(x, ρ) = ∅ si ρ < 1 S(x, ρ) = E\{x} si ρ = 1 S(x, ρ) = ∅ si ρ > 1.

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