Lycée : Ahmed EL HANSALI Notions de logique Niveau : 1BSMF1

L’année Scolaire : 2023-2024 Série 01 Prof : INSAF

EXERCICE 1 : 7) ∀(x, y) ∈ ℝ2 , on a :
Donner la valeur de vérité des propositions suivantes : 𝛼2
|𝑥 − 𝑦| ≤ 𝛼 et |𝑥 + 𝑦| ≤ 𝛼 ⇒ |𝑥𝑦| ≤
2
1) P "(∀m ∈ ℝ)(∃x ∈ ℝ) x 2 − mx + 1 = 0" 8) a , b , x et y des réels strictement positifs :
x+1 𝑥 𝑎𝑥+𝑏𝑦 𝑦
2) Q "(∃! x ∈ ℤ) 2x−1 ∈ ℕ" Montrer que 𝑥 < 𝑦 ⇔ 𝑦 < 𝑏𝑥+𝑎𝑦 < 𝑥
3) R "(∀x ∈ ℕ)(∃y ∈ ℝ) x(y 2 + 1) < 2y" 9) ∀(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℝ × ℝ × ℝ , on a :
x2n
4) S "(∃n ∈ ℕ ∗ )(∀x
∈ℝ) > 1" 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 ⇔ 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 = 3𝑎𝑏𝑐
x+1
10) ∀x ∈ ℝ+ , ∀y ∈ ℝ+ , ∀z ∈ ℝ+
5) T "(∃M ∈ ℝ)(∀x ∈ ℝ ) x ≤ M" 𝑥+𝑦+𝑧+3
= √𝑥 + √𝑦 + √𝑧 ⇔ 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 1
2
EXERCICE 2 : 11) ∀(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℝ3
Ecrire ce qui suit en utilisant les quantificateurs et 𝑎2 + 𝑏 2 + 1 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑎 + 𝑏
⇔ (𝑎 − 𝑏)2 + (𝑎 − 1)2 + (𝑏 − 1)2 ≥ 1
connecteurs logiques : 12) Si un entier n n’est pas divisible par 3 alors
1) La fonction 𝑓 est croissante sur I. 𝑛2 − 1 est divisible par 3.
2) Il n’existe aucun rationnel solution de
l’équation x 2 =2. EXERCICE 4:
3) Tout point de la droite (𝐷) est invariant par la Utiliser un raisonnement par contraposée pour
montrer les deux résultats :
symétrie axiale 𝑆(𝐷) .
1) 𝑛2 ∈ 2ℕ ⇒ 𝑛 ∈ 2ℕ 𝑛 ∈ ℕ
4) Il existe toujours un nombre irrationnel compris
2) ∀(𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 tel que 𝑎 < 𝑏
entre 2 réels distincts.
[𝑎, 𝑏] ∩ ℤ = ℚ ⇒ 𝑏 − 𝑎 < 1
5) f n’a jamais les mêmes valeurs en deux points
distcincts ;
EXERCICE 5:
EXERCICE 3: x et y deux réels tel que :
En utilisant un raisonnement convenable pour 1 1
∀𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑥 − 𝑛 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑛. Comparer x et y.
montrer chacun des résultats suivants :
1) a , b , x et y des réels non nuls
1 EXERCICE 6:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 1 ⇒ 2 ≤ 𝑎2 + 𝑏 2 Déterminer et construire l’ensemble des points
𝑥 + 𝑦2
M(x; y) du plan vérifiant |x| + |y − 1| = 2
2) ∀(x, y) ∈ ℝ2 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0 ⇒ 𝑎 = 𝑏 = 0
3) ∀(x, y) ∈ ℝ2 , on a : EXERCICE 7: ( Disjonction de cas )
• |𝑥| + |𝑦| ≤ |𝑥 + 𝑦| + |𝑥 − 𝑦| 1) Montrer que (∀x ∈ ℝ) on a :
|𝑥+𝑦| |𝑥| |𝑦|
• ≤ 1+|𝑥| + 1+|𝑦| √𝑥 2 + 1 − 𝑥 > 0 𝑒𝑡 √𝑥 2 + 1 + 𝑥 > 0
1+|𝑥+𝑦|
2) Pour tout n ∈ ℕ
• ||𝑥| − |𝑦|| ≤ |𝑥 − 𝑦|
2𝑛 (𝑛 − 1)2 𝑛2
4) a , b , x et y des réels 𝐸( )+𝐸( ) = 𝐸( )
3 3 3
𝑎2 + 𝑏 2 = 1 et 𝑐 2 + 𝑑2 = 1 ⇒ |𝑎𝑐 + 𝑏𝑑| ≤ 1 3) Résoudre dans ℝ
5) 𝑎, 𝑏 des éléments de ℝ∗ tel que 𝑎 < 𝑏 (E) |𝑥 − 1| + |2𝑥 − 3| = 6
(𝑏−𝑎)2
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ⇒ (𝑎 − 𝑥)(𝑥 − 𝑏) ≤ (I) √𝑥 − 1 ≥ 𝑥 − 4
4
6) ∀𝜀 > 0, 𝑎<𝑏+𝜀 ⇒𝑎 ≤𝑏

1
 EXERCICE 10:
EXERCICE 8: Montrer que les propositions suivantes sont des
1) Monter que le système suivant : lois logiques:
2𝑥 − 3𝑧 > 3
1) [A et A ⇒ B] ⇒ B
{3𝑦 − 2𝑥 ≥ 3 N’admet pas de solutions.
𝑦−𝑧 ≤2 2) [A ⇒ B et A ⇒ C] ⇒ [A ⇒ (B et C)]
2) Soient a, b, et c des réels, on considère les 3) [A et A ⇒ B] ⇒ B
équations : 4) [A ⇒ (BouC)] ⇒ [(A et B ̅) ⇒ C ]
(E1 ) 𝑥 2 − 2ax + bc = 0
(E2 ) 𝑥 2 − 2bx + ac = 0
(E3 ) 𝑥 2 − 2cx + ab = 0
Montrer que (E1 ) ou (E2 ) ou (E3 ) admet des
solutions dans ℝ.
1
3) Montrer que le nombre 3 n’est pas décimal.
EXERCICE 9:
Montrer par récurrence les résultats suivants :
• 𝑎 ∈ ℝ+∗ , ∀𝑛 ∈ ℕ (1 + 𝑎)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑎
(Inégalité de Bernoulli)
1 𝑛
En déduire que ∀𝑛 ∈ ℕ∗ : (1 + 𝑛) ≥ 2
• ∀𝑛 ∈ ℕ 32𝑛+1 + 2𝑛+2 ∈ 7ℕ
• ∀𝑛 ∈ ℕ∗ 4𝑛 + 6𝑛 − 1 est divisible par 9
𝑛(𝑛+1)
• 1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛 = pour 𝑛 ∈ ℕ∗
2
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
• 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 = 6
𝑛2 (𝑛+1)2
• 3 3 3
1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛 = 3
4
• ∀𝑘 ∈ ℕ ∗ ∑𝑛𝑘=1 𝑘 × (𝑘!) = (𝑛 + 1)! − 1
Ou 𝑘! = 1 × 2 × 3 × … × 𝑘
• Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ , on définit 𝑃𝑛 et 𝑄𝑛 par
𝑃𝑛 = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) … (2𝑛)
𝑄𝑛 = 1 × 2 × 3 × … × (2𝑛 − 1)
Montrer que 𝑃𝑛 = 2𝑛 × 𝑄𝑛
• 𝑛 ∈ ℕ∗ , on considère les réels strictement
positifs 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 .
1
Montrer que (∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 ) × (∑𝑛𝑖=1 𝑎 ) ≥ 𝑛2
𝑖
1 1 1
• ∗
𝑛 ∈ ℕ , on pose 𝑆𝑛 = 3 + 15 + ⋯ + 4𝑛2 −1
a- Calculer 𝑆1 , 𝑆2 𝑒𝑡 𝑆3.
𝑛
b- Montrer que 𝑆𝑛 = 2𝑛+1 pour 𝑛 ∈ ℕ∗