Naouel ZRELLI Programme Linéaire (P.

L)

Exercice 1 : Ciments

1. Variables de décision :

x1 : Ciment 1

x2 : Ciment 2

2. Fonction objectif :

z(x) = 500x1 + 700x2

3.
Ciment 1 Ciment 2 Disponibilité

Calcination 40 30 360
Broyage 20 30 480



  z(x) = 500x1 + 700x2
Max

 40x1 + 30x2 ≤ 360


(P.L)

 s.c 20x 1 + 30x 2 ≤ 480
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
 

Exercice 2 : Mortiers

1. Variables de décision :

x1 : nombre de mortiers A

x2 : nombre de mortiers B

2. Fonction objectif :

z(x) = 5x1 + 6x2

3.
Morteir A Mortier B Disponibilité

Ciment 2 1 10
Sable 9 5 30
Broyage 60 45 480



  z(x) = 5x1 + 6x2
Max

2x1 + x2 ≤ 10


 

(P.L) 9x1 + 5x2 ≤ 30

 s.c


 
 60x 1 + 45x 2 ≤ 480
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
 

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Exercice 1 : Fer et acier

1. Variables de décision :

x1 : quantité de Fer produite quotidiennement (en tonnes)

x2 : quantité d'acier produite quotidiennement (en tonnes)

2. Fonction objectif :

z(x) = 1000x1 + 1000x2

3.
1tonne de Fer 1tonne d'acier Disponibilité

Main d'÷uvre 2h 3h 6h



 Max
 z(x) = 1000x1 + 1000x2
2x1 + 3x2 ≤ 6


 

(P.L) x2 ≤ 1.5

s.c
x − x ≤ 2

1 2

 
 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
 

Exercice 2 : Mélange d'aliments

1. Variables de décision :

x1 : pourcentage de Mais

x2 : pourcentage de Blé

x3 : pourcentage d' Orge

2. Fonction objectif :
x1 x2 x3
z(x) = 41 + 39 + 25
100 100 100
Mais Blé Orge Minimum requis

Protéine 52% 42% 12% 22%

3.
Graisses 2% 10% 2% 3.6%
Cout par tonne 41 39 25

x1 x2 x3 1


 z(x) = 41
Min + 39 + 25 = (41x1 + 39x2 + 25x3 )

  100 100 100 100
(P.L)  0.52x1 + 0.42x2 + 0.12x3 ≥ 22


 s.c 0.02x1 + 0.1x2 + 0.02x3 ≥ 3.6
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
 

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Exercice 1 : Problème d'agriculture

1. Variables de décision :

x1 : surface cultivée en tomates (en hectares)

x2 : surface cultivée en piments (en hectares)

2. Fonction objectif :

z(x) = 100x1 + 200x2

3.
1hec de Tomates 1 hec de piments Disponibilité

Main d'÷uvre 1h 4h 480

Eau 4m3 2m3 440



 Max
 z(x) = 100x1 + 200x2
x1 + 4x2 ≤ 480



 

 4x1 + 2x2 ≤ 440
 

(P.L)

 s.c x1 ≤ 90
x1 + x2 ≤ 150

 


 

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
 

Exercice 2 : Problème de médecine

1. Variables de décision :

x1 : nombre des pilules de petite taille

x2 : nombre des pilules de grande taille

2. Fonction objectif :

z(x) = x1 + x2
3.
1pillule de petite taille 1 pillule de grande taille Besoin

Aspirine 2 1 12
Bicarbonates 5 8 74
Codéine 6 6 24



 Min
z(x) = x1 + x2
2x1 + x2 ≥ 12


 

(P.L) 5x1 + 8x2 ≥ 74

s.c
6x1 + 6x2 ≥ 24



 

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
 

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Exercice 3 : Problème de production

1. Variables de décision :

x1 : quantité du produit P1

x2 : quantité du produit P2

2. Fonction objectif :

z(x) = 900x1 + 1000x2

3.
M1 M2 M3

P1 11mn 7mn 6mn

P2 9mn 12mn 16mn

Disponibilité 9900mn 8400mn 9600mn



 Max
 z(x) = 900x1 + 1000x2
11x1 + 9x2 ≤ 9900


 

(P.L) 7x1 + 12x2 ≤ 8400

s.c
6x + 16x ≤ 9600

1 2

 
 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
 

Exercice 4 : Problème d'alimentation

1. Variables de décision :

x1 : quantité de l'aliment M (en Kg)

x2 : quantité de l'aliment N (en Kg)

2. Fonction objectif :

z(x) = 10x1 + 4x2

3.
A B C D

M 100g 0 100g 200g

N 0 100g 200g 100g

Minimum requis 400g 600g 2000 1700



 Min
z(x) = 10x1 + 4x2
100x1 ≥ 400



 

 100x2 ≥ 600
 

(P.L)

 s.c 100x1 + 200x2 ≥ 2000
200x1 + 100x2 ≥ 1700

 


 

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
 

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Exercice 5 : Problème de mélange

1. Variables de décision :

xA : quantité de l'alliage A
xB : quantité de l'alliage B
xC : quantité de l'alliage C
xD : quantité de l'alliage D
xE : quantité de l'alliage E
xF : quantité de l'alliage F
xG : quantité de l'alliage G
xH : quantité de l'alliage H
xI : quantité de l'alliage I

2. Fonction objectif :

z(x) = 4.1xA + 4.3xB + 5.8xC + 6xD + 7.6xE + 7.5xF + 7.3xG + 6.9xH + 7.3xI
3.
A B C D E F G H I Alliage

à fabriquer

Plomb 10 10 40 60 30 30 30 50 20 30

Zinc 10 30 50 30 30 40 20 40 30 30

Etain 80 60 10 10 40 30 50 10 50 40

Coût au kilo 4.1 4.3 5.8 6 7.6 7.5 7.3 6.9 7.3



 Min
z(x) = x1 + x2
10xA + 10xB + 40xC + 60xD + 30xE + 30xF + 30xG + 50xH + 20xI = 30


 

(P.L) 10xA + 30xB + 50xC + 30xD + 30xE + 40xF + 20xG + 40xH + 30xI = 30

s.c
80xA + 60xB + 10xC + 10xD + 40xE + 30xF + 50xG + 10xH + 50xI = 40



 

xA ≥ 0, xB ≥ 0, xC ≥ 0, xD ≥ 0, xE ≥ 0, xF ≥ 0, xG ≥ 0, xH ≥ 0, xI ≥ 0
 

Exercice 6 : Gaz

1. Variables de décision :

x1 : Volume du gaz 1 (en m3 )

x2 : Volume du gaz 2 (en m3 )
x3 : Volume du gaz 3 (en m3 )

2. Fonction objectif :

z(x) = 12x1 + 36x2 + 10x3

3.
Soufre Pouvoir calorique

Ga1 7 1000

Gaz2 5 2000

Gaz3 2 6000

Minimum requis 3 entre 2200 et 2600



 Min
z(x) = 12x1 + 36x2 + 10x3
 x1 + x2 + x3 = 250000



 
 2200 ≤ 1000x1 + 2000x2 + 6000x3 ≤ 2600

 


(P.L) 7x1 + 5x2 + 2x3 ≥ 3
s.c
28


 x3 < × 250000

 



 
 100
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
 

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Exercice 7 : Pièces

1. Variables de décision :

x1 : nombre des pièces P1

x2 : nombre des pièces P2

x3 : nombre des pièces P3

2. Fonction objectif :

z(x) = 0.3x1 + 0.4x2 + 0.2x3

3.
Atelier 1 Atelier 2 Atelier 3

P1 0.01 0.005 0.001

P2 0.002 0.01 0

P3 0 0.02 0.1

Disponibilité 10000 7000 5000



 Max
 z(x) = 0.3x1 + 0.4x2 + 0.2x3
0.01x1 + 0.002x2 ≤ 10000



 

0.005x1 + 0.01x2 + 0.02x3 ≤ 7000

 


 

 0.001x1 + 0.1x3 ≤ 5000
 

(P.L)

 s.c x1 ≤ 500000
x2 ≤ 250000

 


 

x3 ≤ 50000

 


 

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
 

Exercice 3 : Sélection des médias

1. Variables de décision :

x1 : nombre de spots publicitaires par TV locale

x2 : nombre de spots publicitaires par TV satellite

x3 : nombre de spots publicitaires par Radio

x4 : nombre de spots publicitaires par Journaux

2. Fonction objectif :

z(x) = 400x1 + 900x2 + 500x3 + 200x4

3. 

 Max
 z(x) = 400x1 + 900x2 + 500x3 + 200x4
 40x1 + 75x2 + 30x3 + 15x4 ≤ 800



 
 300x1 + 400x2 + 200x3 + 100x4 ≥ 2000

 


 
 40x1 + 75x2 ≤ 500

 

 
(P.L) x1 ≥ 3

s.c
x2 ≥ 2



 

5 ≤ x3 ≤ 10

 


 

5 ≤ x4 ≤ 10

 


 

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0
 

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