Cours D 'Analyse 1 - 2023 - TAARABTI

Université Ibn Zohr
Ecole National des Sciences Appliquées, Agadir

Première année du cycle préparatoire
Cours d’Analyse 1
CP1
Prof. Said TAARABTI
Année Universitaire : 2023-2024

Analyse 1 Prof.Said TAARABTI
Contenu du polycopié
Ce cours du Module CP-11 : ANALYSE 1 s’adresse aux élèves de la première année du

cycle préparatoire de l’Ecole Nationale des Sciences Appliquées d’Agadir (ENSAA).
Le cours traite le contenu des chapitres ci-dessous. Le programme officiel de ce cours, tel
qu’il figure sur le descriptif de cycle préparatoire de l’ENSAA est le suivant :
1. Les nombres réels, Topologie de R : Propriétés élémentaires des nombres réels,
majorant, minorant, borne supérieure et borne inférieure , caractérisation de R par la
propriété de la borne supérieure, Propriété d’Archimède, partie entière, densité dans un
intervalle de R, densité de Q dans R.
Topologie de R : Intervalle, voisinages, ouverts, fermés, intérieur, extérieur, frontière,
adhérence.
2. Les suites réelles : Suites, convergence, opérations sur les limites suites, limites
usuelles, limites séquentielles, Suites monotones, Opérations algébriques sur les limites,
Suites adjacentes(erreur d’approximation de la limite), Critères de convergence, Suites
extraites, Valeurs d’adhérence et Théorème de Bolzano Weierstrass, suites de cauchy,
Suites récurrentes.
3. Fonctions d’une variable réelle : Limite d’une fonction, caractérisation séquentielle
des limites, Opérations algébriques sur les limites, Continuité, Théorème des valeurs in-
termédiaires, image d’un intervalle et d’un segment par une application continue, fonc-
tion monotone, Théorème de la limite monotone, Théorème de la bijection. Fonctions
réciproques des fonctions circulaires et hyperboliques. Continuité uniforme, fonctions
lipschitzienne, Théorème de Heine
4. Fonctions dérivables : Définition de la dérivée ( gauche et droite).Interprétation
géométrique de la dérivée, Opérations sur les dérivées, dérivation de la fonction réci-
proque.Théorèmes de Rolle et des accroissements finis.
2 Cycle Préparatoire
TABLE DES MATIÈRES
1 Les nombres réels, Topologie de R 5

1.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Le corps des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Propriétés élémentaires des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Relation d’ordre usuel ⩽ dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Valeur absolue d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Densité de Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Partie minorée, majorée, bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Borne supérieur, borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8 Topologie de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.1 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.2 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.3 Ouverts, fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.4 Intérieur, extérieur, frontière, adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Les suites réelles 17

2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Suite stationnaire, bornée, monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Propriétés algébriques des suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Cas des Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7 Suites monotones, suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.9 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.10 Etude des suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.10.1 Suites récurrentes d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.10.1.1 La fonction f est croissante sur un intervalle stable . . . . 30
2.10.1.2 La fonction f est décroissante sur un intervalle stable . . . 30
2.11 Suites récurrentes d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3
3 Fonctions d’une variable réelle 33

3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Notion de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.3 Fonctions majorées, minorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Etude local d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Limite et continuité en un point a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Limite en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3 Limite gauche et droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Continuité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.4 Suites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Propriétés globales des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.1 Le théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Fonctions uniformément continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7 Fonctions strictement monotones sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8 Calcul de limites par comparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.9 Comparaison locale de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.10 Fonctions circulaires inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.10.1 Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.10.2 Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.10.3 Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.11 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.11.1 Cosinus hyperbolique et son inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.11.2 Sinus hyperbolique et son inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.11.3 Tangente hyperbolique et son inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.11.4 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Dérivation 55
4.1 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Calcul de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
CHAPITRE 1
LES NOMBRES RÉELS, TOPOLOGIE DE R
On suppose connues les propriétés de l’ensemble R dit ensemble des entiers naturels ainsi
que celles de l’ensemble Z dit ensemble des entiers relatifs.
Ce chapitre, bien qu’élémentaire est indispensable la bonne compréhension du cours, car R est
d’une part l’espace fondamental de l’analyse et d’autre part se trouveêtre le modèle sur lequel
les différentes notions du cours seront testées.
1.1 Nombres rationnels

Par définition, un nombre r est dit un nombre rationnel s’il existe deux nombres p ∈ Z et
q ∈ N⋆ tels que r = pq . Ainsi l’ensemble des nombres rationnels Q s’écrit

p ∗
Q= |p ∈ Z, q ∈ N .
q
Parmi les nombres rationnels, on trouve les nombres décimaux qui sont des nombres de la
forme 10an , o a ∈ Z et n ∈ N.
Ainsi, on peut affirmer que :
Proposition 1. Un nombre est rationnel si et seulement si il admet une écriture décimale

périodique ou finie.
Exemple 1.
x = 0, 25 y = 0, 3333333... z = 15, 068214321432143...
sont des nombres rationnels. Cela se voit facilement pour les nombres x et y qui valent respec-
tivement x = 14 et y = 13 . Par contre, ce n’est pas le cas du nombre z.
Et donc, avant de terminer cette section, vérifions que z = 15, 068214321432143... est un
rationnel.
L’idée de la démonstration repose sur la périodicité de l’écriture de z que nous allons mul-
tiplier par 103 (car la période pour le nombre z qu’on a considéré- commence 3 chiffres après
la virgule). On a alors
103 z = 15068, 214321432143... (1.1)
5
Maintenant on va décaler tout vers la gauche de la longueur d’une période, c’est dire que
dans notre cas on multiplie par 104 pour décaler de 4 chiffres. On a donc
104 103 z = 150682143, 21432143... (1.2)
Les parties après la virgule des deux égalités (1.1) et (1.2) sont les mmes, donc si on les
soustrait en faisant (1.2)-(1.1) alors les parties décimales s’annulent et on obtient :
107 z − 103 z = 9999000z = 150667066.
Et donc
150667065
z= ,
9999000
ce qui prouve bien que z ∈ Q.
1.2 Nombres irrationnels

Nous avons vu précédemment que les nombres qui ont une écriture décimale périodique ou
qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule (donc ayant également une écriture décimale
périodique mais avec des zéros !) sont des nombres rationnels. Qu’en est t’il alors des nombres
tels que
√
2 = 1, 41421356237.... π = 3, 141592653589... e = 2, 718281828459...,
qui n’ont pas une écriture décimale périodique ? De tels nombres sont dits irrationnels
√ car ce
ne sont pas des nombres rationnels comme on le peut vérifier pour le nombre 2.
√
Exercice 1. Montrez que le nombre réel 2 n’est pas un rationnel.
1.3 Le corps des nombres réels

On admet l’existence de l’ensemble R dit ensemble des nombres réels, muni de deux lois
internes +, et d’une relation ⩽, tels que :
1. (R, +, .) est un corps commutatif.
2. ⩽ est une relation d’ordre total dans R.
Rappelons que :
1. Le premier point résume les régles usuelles de calcul dans R. En effet, (R, +, .) est un
corps commutatif signifie :
(a) + est associative : ∀(x, y, z) ∈ R3 , (x + y) + z = x + (y + z).
(b) + est commutative : ∀(x, y) ∈ R2 , x + y = y + x.
(c) R admet un élément neutre pour + noté 0 : ∀x ∈ R, x + 0 = 0 + x = x,
(d) tout élément x de R admet un symétrique, noté −x :
∀x ∈ R, x + (−x) = (−x) + x = 0
(e) . est associative : ∀(x, y, z) ∈ R3 , (xy)z = x(yz)

(f) . est commutative : ∀(x, y) ∈ R2 , xy = yx
(g) R admet un élément neutre pour . noté 1 : ∀x ∈ R, x.1 = 1.x = x
(h) tout élément x de R∗ admet un inverse, noté x−1 :

∀x ∈ R, x.x−1 = x−1 .x = 1
(i) . est distributive par rapport l’addition : ∀(x, y, z) ∈ R3 :
x(y + z) = xy + xz
et
(y + z)x = yx + zx
On reviendra sur la notion de corps en Algèbre.
2. Une relation R sur un ensemble E est une relation d’ordre si elle vérifie les trois points
suivants.
(a) elle est réflexive : tout élément est en relation avec lui-mme (xRx pour tout x)
(b) elle est antisymétrique, c’est dire que x est en relation avec y et y en relation avec
x alors cela entra que x = y
(c) elle est transitive, c’est--dire si xRy et yRz alors xRz.
Une relation R sur un ensemble E est une relation d’ordre totale :
si pour tout x, y ∈ E on a xRy ou yRx. Cela signifie que l’on peut toujours comparer deux
éléments.
L’ensemble R possède cette propriété d’tre muni d’une relation d’ordre "inférieur ou égal"
et cette relation d’ordre est mme totale. On rappelle que ceci signifie en particulier que cette
relation d’ordre est
1. réflexive, en effet pour tout x : x ⩽ x.
2. antisymétrique si x ⩽ y et y ⩽ x alors x = y.
3. transitive x ⩽ y et y ⩽ z alors x ⩽ z.
1.4 Propriétés élémentaires des nombres réels

1.4.1 Relation d’ordre usuel ⩽ dans R
1. ∀x, y, z ∈ R, (x ⩽ y ⇐⇒ x + z ⩽ y + z).

x⩽y
2. ∀x, y, u, v ∈ R, −→ x + u ⩽ y + v .
u⩽v
D’o, par récurrence immédiate, pour tous n ∈ N∗ , x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ R :
X
n X n
(∀i ∈ {1, . . . , n}, xi ⩽ yi ) −→ xi ⩽ yi .
i=1 i=1

3. ∀x ∈ R∗ , 0 < x ⇐⇒ 0 < x . 1
4. ∀x, y ∈ R, ∀z ∈ R∗+ , (x ⩽ y ⇐⇒ xz ⩽ yz).

0⩽x⩽y
5. ∀x, y, u, v ∈ R, −→ xu ⩽ yv .
0 ⩽ u ⩽ v
x⩽y u⩽v
En effet, −→ xu ⩽ yu, et −→ yu ⩽ yv .
0⩽u 0⩽y
D’o, par récurrence immédiate, pour tous n ∈ N∗ , x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ R :
Y
n Yn
(∀i ∈ {1, . . . , n}, 0 ⩽ xi ⩽ yi ) −→ xi ⩽ yi .
i=1 i=1
∗
En particulier : ∀n ∈ N , ∀(x, y) ∈ R , 2
(0 ⩽ x ⩽ y −→ x ⩽ y n ).
n
Cycle Préparatoire
2
6. ∀(x, y) ∈ R∗+ , x < y ⇐⇒ y1 < x1 .

x⩽y
7. ∀x, y, u, v ∈ R, −→ x + u < y + v .
u<v
En effet : (y + v) − (x + u) = (y − x) + (v − u) > (y − x) + v−u 2
⩾ 0.
∗
On en déduit, pour tous n ∈ N , x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ R
(
∀i ∈ {1, . . . , n}, xi ⩽ yi Xn Xn
−→ xi < yi .
∃i0 ∈ {1, . . . , n}, xi0 < yi0
i=1 i=1
1.4.2 Valeur absolue d’un réel
Définition 1. On appelle valeur absolue de x ∈ R le réel, noté |x|, défini par :

(
x si x ⩾ 0
|x| =
−x si x ⩽ 0
Proposition 2. ∀(x, y) ∈ R2 , on a :
1. |x| = max(x, −x)
2. |x| = | − x|
3. |x| ⩾ 0
√
4. x2 = |x|
5. |x| = 0 ⇔ x = 0
|x|
6. |xy| = |x||y| et si y 6= 0 : x
y
= |y|
7. L’inégalité triangulaire :
∀(x, y) ∈ R2 , |x + y| ⩽ |x| + |y|
8. Seconde inégalité triangulaire :
||x| − |y|| ⩽ |x − y|
Preuve 1. Pour la démonstration des inégalités triangulaires, on a :

1.
|x + y|2 = (x + y)2 = x2 + y 2 + 2xy = |x|2 + |y|2 + 2xy
Or
2xy ⩽ 2|xy| = 2|x||y|
alors
|x + y|2 ⩽ |x|2 + |y|2 + 2|x||y| = (|x| + |y|)2
de plus,
|x + y| ⩾ 0 et |x| + |y| ⩾ 0
alors
|x + y| ⩽ |x| + |y|
On a égalité si et seulement si x et y sont de mme signe.

2ème méthode :
−|x| ⩽ x ⩽ |x| et − |y| ⩽ y ⩽ |y|

alors
−(|x| + |y|) ⩽ x + y ⩽ |x| + |y|
donc
|x + y| ⩽ |x| + |y|
2. Puisque x = (x − y) + y, on a d’après la première inégalité :
|x| = |(x − y) + y| ⩽ |x − y| + |y|
Donc
|x| − |y| ⩽ |x − y|
et en intervertissant les rles de x et y, on a aussi
|y| − |x| ⩽ |y − x|
Comme |y − x| = |x − y| on a donc
||x| − |y|| ⩽ |x − y|
Remarque 1. 1. Sur la droite numérique, |x − y| représente la distance entre les réels x

et y ; en particulier |x| représente la distance entre les réels x et 0.
|x| |x − y|
| | |
0 x y
De plus on a :
2. |x − a| < r ⇐⇒ a − r < x < a + r.
3. Ou encore, comme on le verra bientt, |x − a| < r ⇐⇒ x ∈]a − r, a + r[.
i h
|
//////////////
a−r a a+r
1.5 Densité de Q dans R
Théorème 1. (Axime d’Archimède).

R est un corps archimédien, c’est dire :
∀a ∈ R, ∃n ∈ N∗ tq n > a.
Corollaire 1. ∀(a, b) tel que a > 0, il existe un entier n tel que na > b.
Cycle Préparatoire
Remarque 2. Cette propriété peut sembler évidente, elle est pourtant essentielle puisque elle
permet de définir la partie entière d’un nombre réel.
Proposition 3. Pour tout x ∈ R, il existe n ∈ Z unique tel que :
n⩽x<n+1
n est appelé la partie entière de x et noté E(x).

Exemple 2. E(3, 6) = 3, E(π) = 3, E(−5, 5) = −6.
E(x) = 7 ⇐⇒ 7 ⩽ x < 8.
Preuve 2. Existence. Soit x ⩾ 0 par la propriété d’Archimède il existe n ∈ N tel que n > x,
donc
K = {k ∈ N | k ⩽ x}
est fini. Notons kmax = max K
kmax ⩽ x car kmax ∈ K
et
kmax + 1 > x car kmax + 1 ∈
/K
alors
kmax ⩽ x < kmax + 1
on prend
E(x) = kmax .
Unicité. Si k et ℓ sont deux entiers tels que
k ⩽ x < k + 1 et ℓ ⩽ x < ℓ + 1
donc
k ⩽x<ℓ+1
on a aussi
ℓ<k+1
donc
ℓ−1<k <ℓ+1
Ainsi
k = ℓ.
Les propriétés ci dessous peuvent établies sans grand effort, elles sont données sans démons-
tration.
1. Le nombre E(x) est le plus grand nombre entier inférieur ou égal x.
2. ∀x ∈ R
E(x) ≤ x < E(x) + 1
x − 1 < E(x) ≤ x
3. E(x + m) = E(x) + m, ∀x ∈ R, ∀m ∈ Z
E(−x) = −E(x) − 1, ∀x ∈ R\Z
Théorème 2. Q est dense dans R, c’est dire :
∀(x, y) ∈ R2 , (x < y ⇒ ∃z ∈ Q/x < z < y)
Preuve 3. Trouver un tel rationnel z = pq , avec p ∈ Z et q ∈ N∗ , revient trouver de tels entiers

p et q vérifiant qx < p < qy. Cela revient trouver un q ∈ N∗ tel que l’intervalle ouvert ]qx, qy[
contienne un entier p. Il suffit pour cela que la longueur qy − qx = q(y − x) de l’intervalle
1
dépasse strictement 1, ce qui équivaut q > y−x .
1
D’après la propriété d’Archimède, il existe un entier q tel que q > y−x . Comme y − x > 0, on a
∗
q ∈ N . Posons p = E(xq) + 1. Alors p − 1 ⩽ xq < p. On en déduit d’une part x < pq , et d’autre
part pq − 1q ⩽ x, donc pq ⩽ x + 1q < x + y − x = y. Donc x < pq < y. On a montré l’affirmation.
1.6 Partie minorée, majorée, bornée

Dans toutes cette section, A désigne une partie non vide de R.
Définition 2. Soient M, m ∈ R. On dit que :

1. M ∈ R est une majorant de A si ∀x ∈ A, x ≤ M. On dit alors que A est majorée.
2. m ∈ R est un minorant de A si ∀x ∈ A, x ≥ m.on dit que A est minorée.
3. A est bornée si A est la fois minorée et majorée.
Dans la suite, nous devons tenir compte des remarques et propriétés suivantes :
- Un majorant ou un minorant d’une partie A n’est pas forcément un élément de A.
- S’il existe un majorant M de A qui appartient A, alors M est unique. Cet élément est
appelé plus grand élément de A et on note M = max(A) · Ainsi
M = max(A) ⇔ M ∈ A et M est un majorant de A.
- S’il existe un minorant m de A qui appartient A, alors m est unique. Cet élément est
appelé plus petit élément de A et on note M = min(A). Ainsi
m = min(A) ⇔ m ∈ A et m est un minorant de A.
Exemple 3. 1. Les intervalles I =] − 1, 2[ et J = [−1, 2] sont bornés car ils sont majorés
par 2 et minorés par −1. De plus, min(J) = −1 et max(J) = 2 par contre min(I) et
max(I) n’existent pas.
2. L’ensemble des entiers naturels N est minoré par 0 mais n’est pas majoré.
3. Les ensembles Z, Q et R ne sont ni minorés ni majorées.
Exemple 4. 1. A = [1, 2[
- 2 est un majorant de A.
- L’ensemble des majorants de A est [2, +∞[.
- L’ensemble des minorants de A est ] − ∞, 1 ].
- 1 est le plus petit élément de A.
- A n’admet pas de plus grand élément.
Cycle Préparatoire
2. ]0, +∞[ n’admet pas de majorant.

3. l’ensemble des majorants de [0, 1[ est [1, +∞[.
4. l’ensemble des minorants de [0, 1[ est ] − ∞, 0].
Exemple 5. Reprenons l’exemple de la partie A = {1 − 1

n
| n ∈ N∗ }.
0 = u1 1
= u2 u3 u4 u5 1
2
1. 0 est le plus petit élément de A noté min A. En effet, u1 = 0 donc 0 ∈ A de plus,

un = 1 − n1 ⩾ 0 = u1 (pour tout n ⩾ 1).
2. A n’a pas de plus grand élément.
En effet, Supposons qu’il existe un plus grand élément α = max A Alors un ⩽ α, pour
tout un Ainsi 1 − n1 ⩽ α.
Lorsque n → +∞ cela implique α ⩾ 1 Comme α est le plus grand élément de A alors
α ∈ A Donc il existe n0 tel que α = un0 Mais alors α = 1 − n10 < 1.
Contradiction avec α ⩾ 1. Donc A n’a pas de maximum.
Ainsi, une partie de R mme majorée n’admet pas forcément de plus grand élément. De
mme, une partie de R mme minorée n’admet pas forcément de plus petit élément.On va donc
introduire les notions de borne supérieure et borne inférieure.
1.7 Borne supérieur, borne inférieure
Définition 3. Soient S l’ensemble des majorants de A et I l’ensemble des minorants de A.

• Le plus petit élément de S, s’il existe, est appelé borne supérieur de A. Cet élément est noté
sup (A).
• Le plus grand élément de I, s’il existe, est appelé borne inférieur de A. Cet élément est noté
inf (A).
Concernant ces deux notions de borne supérieur et borne inférieure, nous devons remarquer
que :
• La borne supérieure de A s’elle existe est unique et c’est le plus petit des majorants de A.
• Si A admet un plus grand élément, alors cet élément est la borne supérieure de A.
• La borne inférieure de A si elle existe est unique et c’est le plus grand des minorants de A.
• Si A admet un plus petit élément, alors cet élément est la borne inférieure de A.
Théorème 3. ( Axiome de la borne supérieure (inférieure))

1. Toute partie non vide majorée de R admet une borne supérieure dans R.
2. Toute partie non vide minorée de R admet une borne inférieure dans R.
Remarque 3. Ce théorème n’est pas vrai dans Q, prenons l’exemple :

A = x ∈ Q/x2 < 2
A est une partie non vide de R majorée mais A n’admet pas de borne supérieure dans Q.
Théorème 4. (Caractérisation de la borne supérieure)

Soit A une partie non vide de R et soit α ∈ R. α est la borne supérieure de A si et seulement
si :
∀x ∈ A, x ⩽ α et ∀ε > 0, ∃x ∈ A tq α − ε < x.
Théorème 5. (Caractérisation de la borne inférieure).

Soit A une partie non vide de R et soit β ∈ R.
β est la borne inférieure de A si et seulement si :
∀x ∈ A, β ⩽ x et ∀ε > 0, ∃x ∈ A tq x < β + ε.
On peut donner une autre caractérisation, très utile, de la borne supérieure.
Proposition 4. Soit A une partie non vide et majorée de R et soit α ∈ R. α est la borne
supérieure de A lorsque α est l’unique réel tel que :
(i) α est un majorant de A.
(ii) Il existe une suite (xn )n∈N d’éléments de A qui converge vers α.
Remarque 4. On peut dire de la mme faon que β est la borne inférieure de A lorsque β est
l’unique réel tel que :
(i) β est un minorant de A
(ii) Il existe une suite (xn )n∈N d’éléments de A qui converge vers β.

Exemple 6. A = un = 1 − n1 | n ∈ N∗ .
1. inf A = min A = 0 (min A représente le plus petit élément de A ).
2. Première méthode pour sup A = 1.
• M majorant de A ⇒ M ⩾ 1 − n1 pour tout n ⩾ 1 ⇒ M ⩾ 1.
• L’ensemble des majorants de A : [1, +∞[.
3. Deuxième méthode.
(i) si x ∈ A, alors x ⩽ 1.
(ii) pour tout y < 1, il existe x ∈ A tel que y < x : pour n tel que 0 < 1
n
< 1 − y alors
y < 1 − n1 < 1 donc x = 1 − n1 ∈ A convient.
Cycle Préparatoire
1.8 Topologie de R
1.8.1 Intervalles
Définition 4. Une partie A de R est dite intervalle si pour tout x, y de A, tout élément z de
R tel que x ⩽ z ⩽ y appartient A.
On définit dans R neufs types d’intervalles : pour (a, b) ∈ R2 tel que a ⩽ b,

1. [a, b] = {x ∈ R, a ⩽ x ⩽ b} appelé intervalle fermé borné ou encore segment.
2. [a, b[= {x ∈ R; a ⩽ x < b}
3. ]a, b] = {x ∈ R; a < x ⩽ b}
4. ]a, b[= {x ∈ R; a < x < b}
5. ] − ∞, a] = {x ∈ R; x ⩽ a}
6. ] − ∞, a[= {x ∈ R; x < a}
7. [a, +∞[= {x ∈ R; a ⩽ x}
8. ]a, +∞[= {x ∈ R; a < x}
9. ] − ∞, +∞[= R
Les intervalles [a, b[, ]a, b], ] − ∞, a], [a, +∞[ sont appelés intervalles semi-ouverts ou inte-
valles semi-fermés.
Les intervalles ]a, b[, ]a, +∞[, ] − ∞, a[, ] − ∞, +∞[ sont appelés intervalles ouverts.
Les intervalles [a, b], ] − ∞, a], [a, +∞[ sont appelés intervalles fermés.
Les réels a, et b sont appelés extrémités de l’intevalle.
1.8.2 Voisinages
Définition 5. Soit a un point de R. On dit qu’une partie V de R est un voisinage de a si V
contient un intervalle ouvert contenant a. On note V(a) l’ensemble de tous les voisinages de a.
Remarque 5. Soit a ∈ R, alors :

1. Un voisinage de a contient tous les points assez proches de a, mais également des points
qui peuventêtre loin de a.
2. D’après la définition, R est également un voisinage de a.
3. a appartient tout élément de V(a).
4. Toute partie W de R contenant un élément de V(a) est encore un élément de V(a).
5. Toute intersection finie d’éléments de V(a) est encore un élément de V(a).
6. Propriété de séparation de R : Si a et b sont deux points distincts de R, il existe V ∈ V(a)
et W ∈ V(b) tels que V ∩ W = ∅
1.8.3 Ouverts, fermés

Définition 6. Une partie A de R est un ouvert (ou partie ouverte ) de R si pour tout a ∈ A, A
est un voisinage de a.
Propriétés des ouverts

O1) ∅ et R sont des ouverts de R.
O2) Toute réunion d’ouverts est encore un ouvert.
O3) Toute intersection finie d’ouverts est encore un ouvert.
Exemple 7. 1. Un intervalle ouvert ]a, b[ est un ouvert de R.

2. Montrer que A est une partie ouverte de R si et seulement si A est une réunion d’in-
tervalles Ouverts.
Définition 7. On dit que B ⊂ R est un fermé (ou partie fermée) de R si CRB est un ouvert de
R.
Exemple 8. Vérifier que tout intervalle fermé de R est un fermé.
Propriétés des fermés

F1) ∅ et R sont des fermés de R.
F2) Toute réunion finie de fermés est encore un fermé.
F3) Toute intersection de fermés est encore un fermé.
1.8.4 Intérieur, extérieur, frontière, adhérence

Définition 8. Soit A une partie de R, on dit qu’un point x ∈ A est intérieur A si A contient
un intervalle ouvert centré en x. L’ensemble des points intérieurs A s’appelle l’intérieur de A
et on le note Å.
Proposition 5. L’intérieur d’une partie A de R est un ouvert de R et c’est le plus grand

ouvert de R contenu dans A.
Exemple 9. Montrer que :

1. L’intérieur des intervalles de la forme [a, b], [a, b[, ]a, b[ et ]a, b[ est l’intervalle de la
forme ]a, b[.
2. L’intérieur de l’ensemble Q est vide ainsi que celui de son complémentaire.
Propriétés élémentaires
Vérifier que si A et B sont des parties de R, on a :
1. Si A ⊂ B alors Å ⊂ B̊.
\ ˚
2. A ∩ B = Å ∩ B̊.
\ ˚
3. A ∪ B ⊃ Å ∪ B̊.
4. Donner un exemple o l’inclusion de 3 ) est stricte.
Définition 9. Soit A une partie de R, on dit qu’un point x ∈ R est extérieur A s’il existe un
voisinage de x dans R ne rencontrant pas A.
L’ensembles points extérieurs A s’appelle l’extérieur de A et on le note Ext(A).
Remarque 6. Ext(A) = Cc̊

A
R.
Définition 10. Soit A une partie de R, on dit qu’un point x ∈ R est adhérent A si tout
intervalle centré en x dans R rencontre A.
L’ensembles points adhérents A s’appelle l’adhérence de A et on le note Ā.
Proposition 6. L’adhérence de A est fermé et c’est le plus petit ensemble fermé de R contenant
A. En particulier A est fermé si et seulement si A = Ā.
Cycle Préparatoire
Exemple 10. Montrer que l’adhérence des ensembles de la forme [a, b], [a, b[, ]a, b[ et ]a, b[ est
l’intervalle de la forme [a, b].
Définition 11. Soit A une partie de R, on dit qu’un point x ∈ R est un point frontière de A
si tout voisinage de x dans R rencontre la fois A et son complémentaire.
La frontière de A est l’ensemble des points frontières de A et on le note Fr(A) ou ∂A.
On remarque que :
1. ∂A = Ā ∩ (Å)c = Ā ∩ Āc , et donc la frontière de A est une partie fermée de R.
◦
2. A⊂ A ⊂ Ā.
3. R = Ext(A) ∪ Fr(A) ∪ Å et ces trois ensembles sont deux deux disjoints.
CHAPITRE 2
LES SUITES RÉELLES
2.1 Définitions
Définition 12. Une suite numérique, dite aussi suite réelle, une application u d’une partie I
de N dans R.
Ainsi, une suite réelle, notée u = (un )n∈I , est une application
u : I ⊂ N −→ R
n −→ un .
On pose u(n) = un et on appelle un terme générale (ou le terme de rang n ) de la suite (un )n .
Remarque 7. 1. On dira qu’une application définie partir d’un certain rang n0 est aussi
une suite.
2. Attention, la notation (un ) désigne une suite, c’est dire un élément de S(R) alors que
un désigne un terme de la suite, c’est dire un ∈ R.
Définition 13. On définit les lois suivantes sur l’ensemble des suites :
- Addition : (un ) + (vn ) = (un + vn )
- Multiplication par un réel : λ (un ) = (λun ).
- Multiplication de deux suites : (un ) · (vn ) = (un vn ) .
√ √ √
Exemple 11. 1. ( n)n≥0 est la suite de termes : 0, 1, 2, 3, . . . − ((−1)n )n≥0 est la suite
qui alterne +1, −1, +1, −1, . . ..
2. (Fn )n≥0 définie par F0 = 1, F1 = 1 et la relation Fn+2 = Fn+1 + Fn pour n ∈ N (suite de
Fibonacci). Les premiers termes sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . Chaque terme est la somme
des deux précédents.

3. n12 n≥1 · Les premiers termes sont 1, 14 , 19 , 16
1
, . . ..
2.2 Suite stationnaire, bornée, monotone

Définitions :
Soit (un )n∈N une suite réelle.
17
1. (un )n∈N est stationnaire s ’il existe n0 ∈ N tel que : un = un0 , ∀n ≥ n0 .

En particulier, une suite constante (un = u0 , ∀n ≥ n0 ) est une suite stationnaire.
2. (un )n∈N est périodique de période p (p ∈ N∗ ) si ∀n ∈ N, un+p = un et p est le plus petit
entier positif vérifiant cette propriété. L’entier p est alors appelé période de la suite (un )
qui est dite suite p - périodique.
3. (un )n∈N est majorée si ∃M ∈ R ∀n ∈ N un ≤ M .
4. (un )n∈N est minorée si ∃m ∈ R ∀n ∈ N un ≥ m.
5. (un )n∈N est bornée si elle est majorée et minorée, ce qui revient dire :
∃M ∈ R ∀n ∈ N |un | ≤ M.
Remarque 8. Une suite (un ) est bornée si et seulement s’il existe M ∈ R tel que :
|un | ≤ M, n ∈ N.
n−1

Exemple 12. La suite n n∈N∗
est bornée. La suite (n2 )n∈N est minorée.
Définitions :
Soit (un )n∈N une suite.
1. (un )n∈N est croissante si ∀n ∈ N un+1 ≥ un .
2. (un )n∈N est strictement croissante si ∀n ∈ N un+1 > un .
3. (un )n∈N est décroissante si ∀n ∈ N un+1 ≤ un .
4. (un )n∈N est strictement décroissante si ∀n ∈ N un+1 < un .
5. (un )n∈N est monotone si elle est croissante ou décroissante.
6. (un )n∈N est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement dé-
croissante.
Remarque 9. Il arrive qu’une propriété ne soit pas vraie pour tous les premiers termes d’une
suite mais seulement partir d’un certain rang.
Par exemple, (un ) est croissante partir d’un certain rang s’il existe un entier n0 tel que pour
tout n ≥ n0 on a un+1 ≥ un .

Exemple 13. 1. La suite n12 est strictement décroissante.
2. La suite (un )n≥1 définie par un = (−1)n /n pour n ≥ 1, n’est ni croissante ni décrois-
sante. Elle est majorée par 1/2 (borne atteinte en n = 2 ), minorée par −1 (borne
atteinte en n = 1 ).

3. 3. La suite n1 n≥1 est une suite strictement décroissante. Elle est majorée par 1 (borne
atteinte pour n = 1 ), elle est minorée par 0 mais cette valeur n’est jamais atteinte.
2.3 Limite d’une suite

Définition 14. On dit que la suite (un ) converge vers un réel l ∈ R ( ou bien (un ) tend vers l
lorsque n tend vers +∞ ) lorsque :
∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n ⩾ N, |un − l| ⩽ ε.
On note alors lim = l ou encore un →+∞ l.
n→+∞
S’il existe un réel l tel que la suite converge vers l, on dit que la suite est convergente. Dans le
cas contraire, on dit que la suite diverge.
Remarque 10. 1. On peut étendre la notion de limite d’une suite R (on dit que (un )
diverge vers +∞ ou −∞) :
lim un = +∞ ⇔ ∀A ∈ R, ∃N ∈ N tel que ∀n ⩾ N, un ⩾ A.

n→+∞
lim un = −∞ ⇔ ∀A ∈ R, ∃N ∈ N tel que ∀n ⩾ N, un ⩽ A.
n→+∞
2. Divergente ne signifie pas tend vers +∞.
Définition 15. Une suite (un )n est convergente si elle admet une limite finie. Elle est diver-
gente sinon (c’est--dire soit la suite tend vers ∞, soit elle n’admet pas de limite).
Théorème 6. Si la limite d’une suite existe alors elle est unique.
|l−l′ |
Preuve 4. Supposons que (un ) admet deux limites différentes l et l′ . On pose ε = 4
∃N ∈ N tel que ∀n ⩾ N, |un − l| ⩽ ε
et
∃N ′ ∈ N tel que ∀n ⩾ N ′ , |un − l′ | ⩽ ε
alors
|l − l′ |
∀n ⩾ max (N, N ′ ) , |l − l′ | = |l − un + un − l′ | ⩽ |l − un | + |un − l′ | ⩽ 2ε =
2
alors
′ |l − l′ |
|l − l | ⩽
2
contradiction, donc l = l′ .
Théorème 7. Toute suite convergente est bornée, autrement dit : soit (un ) une suite réelle, si
∃l ∈ R tel que lim un = l, alors :
n→+∞
∃M > 0 tel que ∀n ∈ N, |un | ⩽ M.
Preuve 5. Soit (un ) une suite convergeant vers un réel l de R. Pour ε = 1, il existe un rang
N ∈ N tel que pour tout n ⩾ N, |un − l| ⩽ ε.
On a alors pour tout n > N
|un | = |un − l + l| ⩽ |un − l| + |l| ⩽ 1 + |l|.
Posons alors
M = max (u0 , u1 , . . . , uN , 1 + |l|) .
M existe puisque c’est le maximum d’une partie finie de R. On en déduit que la suite (un ) est
bornée.
Exercice 2. La réciproque est-elle vraie ?
Cycle Préparatoire
Théorème 8. Soit une suite (un ) qui converge vers une limite l ∈ R et (k, k ′ ) ∈ R.
1. Si l > 0 alors cette suite est termes strictement positifs partir d’un certain rang.
2. Si k < l alors il existe un rang N1 ∈ N tel que :
∀n ∈ N, n ⩾ N1 ⇒ k < u n .
3. Si l < k ′ alors il existe un rang N2 ∈ N tel que :
∀n ∈ N, n ⩾ N2 ⇒ u n < k ′ .
4. Si k < l < k ′ alors il existe un rang N ∈ N tel que :
∀n ∈ N, n ⩾ N ⇒ k < un < k ′ .
Preuve 6. En appliquant la définition de la convergence de (un ) on a :
∀ε > 0, ∃N1 ∈ IN, ∀n ⩾ N1 , |un − l| < ε

l−k
pour ε = 2
l−k
∃N1 ∈ N, ∀n ⩾ N1 , |un − l| ⩽ <l−k
2
alors
k − l < un − l < l − k
donc un > k.
k′ −l
La démonstration est analogue en prenant k = 0 dans le premier cas, en prenant ε = 2
dans
le troisième cas et en prenant N = max (N1 , N2 ) dans le dernier cas.
Théorème 9. Soit deux suites (un ) et (vn ) . On suppose que :

(H1 ) un ⩽ vn partir d’un certain rang.
(H2 ) lim un = l et lim vn = l′ .
n→+∞ n→+∞
Alors l ⩽ l′ .
l+l′
Preuve 7. Supposons l > l′ et introduisons le milieu a = 2
.
Puisque
lim un = l > a
n→+∞
il existe un rang N1 partir duquel un > a. Puisque
lim vn = l′ < a
n→+∞
il existe un rang N2 partir duquel vn < a. Pour tout n au-del du rang max (N1 ; N2 ) , on a
vn < a < un Ainsi, partir d’un certain rang un > vn , contradiction.
Remarque 11. Mme si l’on a des inégalités strictes dans (H1 ) , on ne peut obtenir que des
inégalités larges après passage la limite.
Théorème 10. On considère trois suites (un ) , (vn ) et (wn ) telles que :
(H1 ) vn ⩽ un ⩽ wn partir d’un certain rang.
(H2 ) Les suites encadrentes (vn ) et (wn ) convergent vers la mme limite l,
alors la suite (un ) converge vers l.
De mme, si :
(H1 ) vn ⩽ un ( partir d’un certain rang).
(H2 ) lim vn = +∞,
n→+∞
alors lim un = +∞.
n→+∞
De mme, si :
(H1 ) un ⩽ wn ( partir d’un certain rang).
(H2 ) lim wn = −∞,
n→+∞
alors lim un = −∞.
n→+∞
Preuve 8. Par hypothèse, il existe un rang N1 ∈ IN tel que
∀n ⩾ N1 , vn ⩽ un ⩽ wn .
Supposons que (vn ) et (wn ) convergent vers l ∈ R.

Soit ε > 0, il existe N2 et N3 dans N tel que
∀n > N2 ; |vn − l| ⩽ ε et ∀n > N3 ; |wn − l| ⩽ ε
donc
∀n > N2 ; l − ε ⩽ vn ⩽ l + ε et ∀n > N3 ; l − ε ⩽ wn ⩽ l + ε.
On pose N = max (N1 , N2 , N3 ) alors pour n ⩾ N, on a
v n ⩽ un ⩽ w n
avec
vn ⩾ l − ε et wn ⩽ l + ε
donc
∀n ⩾ N, l − ε ⩽ un ⩽ l + ε.
Ainsi (un ) converge vers l.
2.4 Propriétés algébriques des suites convergentes
Théorème 11. Soit (un ) une suite convergeant vers l ∈ R et (vn ) une suite convergeant vers
l′ ∈ R. Alors :
1. la suite (|un |) converge vers |l| ;
2. la suite (un + vn ) converge vers l + l′
3. Pour λ ∈ R, la suite (λun ) converge vers λl ;
4. Si la suite (un ) converge vers 0 et la suite (vn ) est bornée alors la suite (un vn ) converge
vers 0.
Cycle Préparatoire
5. la suite (un vn ) converge vers ll′ ;

6. Si l′ 6= 0, la suite v1n converge vers l1′ .

′
7. Si l 6= 0, la suite uvnn converge vers ll′ .
Preuve 9. 1. Soit (un ) une suite convergeant vers un réel l de R.

Soit ε > 0, cherchons un rang N ∈ IN tel que pour tout n ⩾ N, kun | − |l|| ⩽ ε. Pour ce
ε, il existe N ∈ N tel que pour tout n > N :
|un − l| ⩽ ε
Or
||un | − |l|| ⩽ |un − l|
donc pour tout n > N :
||un | − |l|| ⩽ ε
2. Supposons que un → l ∈ R et vn → l′ ∈ R. On remarque que
|(un + vn ) − (l + l′ )| ⩽ |un − l| + |vn − l′ |
Il suffit alors de prendre |un − l| et |vn − l′ | inférieurs 2ε pour conclure.
Soit alors ε > 0. Puisque un converge vers l et vn converge vers l′ , il existe N1 et N2
dans IN tels que
ε ε
∀n > N1 , |un − l| ⩽ et ∀n > N2 , |vn − l′ | ⩽
2 2
Pour N = max (N1 , N2 ) on a pour tout n > N
ε ε
|(un + vn ) − (l + l′ )| ⩽ |un − l| + |vn − l′ | ⩽ + = ε
2 2
′
Ainsi un + vn converge vers l + l .
3. Pour λ ∈ R, si λ = 0 le résultat est immédiat, sinon montrons que la suite (λun )
converge vers λl Soit ε > 0 cherchons N ∈ N tel que ∀n ∈ N, n ⩾ N ⇒ |λun − λl| ⩽ ε.
ε
Pour |λ| , ∃N ∈ N tel que
ε
∀n ∈ N, n ⩾ N ⇒ |un − l| ⩽
|λ|
d’o
ε
∀n ∈ N, n ⩾ N ⇒ |λun − λl| = |λ| |un − l| ⩽ |λ| =ε
|λ|
donc (λun ) converge vers λl.
4. Supposons que la suite (un ) converge vers 0 et que la suite (vn ) est bornée, montrons
que la suite (un vn ) converge vers 0 .
Soit ε > 0, cherchons N ∈ N tel que ∀n ∈ N, n ⩾ N ⇒ |un vn | ⩽ ε.
Par hypothèse, il existe M ∈ R tel que ∀n ∈ N, |vn | ⩽ M De plus, (un ) converge vers 0
alors pour Mε
ε
∃N ∈ INtel que ∀n ∈ N, n ⩾ N ⇒ |un | ⩽
M
alors
ε
∀n ∈ N, n ⩾ N ⇒ |un vn | ⩽ M =ε
M
et donc (un vn ) converge vers 0 .
5. Supposons que la suite (un ) converge vers l et que la suite (vn ) converge vers l′ , montrons
que (un vn ) converge vers ll′ ∀n ∈ N, on pose wn = un − l, (wn ) converge vers 0 On a
∀n ∈ IN, un vn = (l + wn ) vn = lvn + wn vn
or (lvn ) converge vers ll′ et (wn vn ) converge vers 0 puisque (wn ) converge vers 0 et (vn )
bornée. donc (un vn ) converge vers ll′ .

6. 6. Sil′ 6= 0, la suite v1n converge vers l1′ .
|l′ |
En effet, puisque (vn ) converge vers l′ 6= 0 alors (|vn |) converge vers |l′ | > 0 or |l′ | > 2
′
alors ∃N ∈ N tel que ∀n ⩾ N, |vn | ⩾ |l2 | or
1 1 |vn − l′ | 2
0⩽ − ′ = ⩽ 2 |vn − l′ |
vn l |vn | |l |
′
|l′ |
comme 2
|vn − l′ | → 0 alors v1n − l1′ → 0.
|l′ |2
Alors la suite v1n converge vers l1′ .
2.5 Cas des Suites géométriques
Définition 16. Une suite (un )n∈N est géométrique s’il existe un réel q non nul appelé raison
de la suite tel que pour tout entier naturel n :
un+1 = q × un
Remarque 12. 1. On passe d’un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par
le mme nombre q,
2. Pour tout n ∈ N, on a un = u0 × q n .
3. La somme de (n + 1) termes consécutifs d’une suite géométrique :
1 − raison nombre de termes
S = premier terme × .
1 − raison
Théorème 12. Soit un une suite géométrique de raison r, alors :

1. Si |r| < 1, alors la suite (un ) converge vers 0 ;
2. Si |r| > 1 alors la suite (un ) diverge
3. Si r = 1, la suite (un ) est constante et converge vers u0 ;
4. Si r = −1, la suite (un ) diverge.
Définition 17. (Série géométrique). Soit un réel r ∈ R. On définit la progression géométrique

(ou série géométrique) de raison r, la suite de terme général :
X
n
n
Sn = 1 + r + . . . + r = ri
i=0
Cycle Préparatoire
Définition 18. On calcule explicitement le terme général Sn :

1−rn+1
1−r
si r 6= 1
(n + 1) si r = 1
On obtient alors le résultat de convergence de la suite (Sn ) :

Si |r| < 1, alors la suite (Sn ) converge vers le réel 1−r
1
.
Si |r| ⩾ 1, alors la suite (Sn ) diverge.
2.6 Suites extraites
Définition 19. On dit qu’une suite (vn ) est une suite extraite d’une suite (un ) s’il existe une
application ϕ de N dans N strictement croissante telle que ∀n ∈ N, vn = uϕ(n) .
Exemple 14. Les suites (u2n ) et (u2n+1 ) sont extraite de la suite (un ).
Exemple 15. 1. Prenons la suite définie par un = (−1)n . L’application ϕ(n) = 2n donne
la sous-suite vn = u2n = (−1)2n = 1 (suite constante).

2. Si un = sin 2πn17
. Elle est périodique de période 17 . L’application ϕ : 17n donne la
sous-suite vn = u17n = sin 2πn = 0
Lemme 1. Si ϕ : N → N est strictement croissante, alors
∀n ∈ N, ϕ(n) ⩾ n
Théorème 13. Toute suite extraite d’une suite convergeant vers une limite l est une suite
convergeant vers l.

Preuve 10. Soit (un) une suite qui converge vers l ∈ R et uϕ(n) une suite extraite de (un ) .
Montrons que uϕ(n) converge vers l. Soit ε > 0, cherchons N ∈ N tel que ∀n ∈ N, ϕ(n) ⩾
N ⇒ uϕ(n) − l ⩽ ε, on
∀n ∈ N, n ⩾ N ⇒ ϕ(n) ⩾ ϕ(N ) ⩾ N ⇒ uϕ(n) − l ⩽ ε
d’o le résultat.
Lemme 2. Soit une suite (un ) . On suppose qu’il existe deux suites extraites (vn ) et (wn ) de
(un ) telles que :
(H1 ) (vn ) converge vers a
(H2 ) (wn ) converge vers b
(H3 ) a 6= b.
Alors la suite (un ) est divergente
Preuve 11. Supposons que (un ) est convergente. Puisque (vn ) est une suite extraite qui
converge vers a alors (un ) converge vers a. De mme, puisque (wn ) est une suite extraite qui
converge vers b alors (un ) converge vers b impossible puisque la limite, lorsqu’elle existe, est
unique.
Donc (un ) diverge.
Théorème 14. La suite (un ) converge vers l si et seulement si Les deux suites extraites (u2n )
et (u2n+1 ) convergent vers la mme limite l ∈ R.
Preuve 12. Une première implication est évidente.

Supposons maintenant que (u2n ) et u2n+1 deux suites extraites de (un ) qui convergent vers
l ∈ R.
Montrons que (un ) converge vers l.
Soit ε > 0, cherchons N ∈ N tel que ∀n ∈ N, n ⩾ N ⇒ |un − l| ⩽ ε Pour ce ε
∃N1 ∈ N, ∀p ∈ N, p ⩾ N1 ⇒ |u2p − l| ⩽ ε
et
∃N2 ∈ N, ∀p ∈ N, p ⩾ N2 ⇒ |u2p+1 − l| ⩽ ε
Notons N = max (2N1 , 2N2 + 1) , ∀n ∈ N tel que n ⩾ N .
1. Si n = 2p ⩾ 2N1 alors p ⩾ N1 donc |un − l| = |u2p − l| ⩽ ε.
2. Si n = 2p + 1 ⩾ 2N2 + 1 alors p ⩾ N2 donc |un − l| = |u2p+1 − l| ⩽ ε.
Ceci montre que (un ) converge également vers l.
2.7 Suites monotones, suites adjacentes
Théorème 15. Soit (un ) une suite croissante. On a les deux possibilités suivantes :
1. Si (un ) est majorée, alors (un ) converge vers une limite finie ;
2. Si (un ) n’est pas majorée, alors (un ) diverge vers +∞.
Preuve 13. Considérons une suite (un ) croissante et majorée. Posons l = sup (un )n ∈ R et
montrons que (un ) converge vers l.
On a déj ∀n ∈ N, un ⩽ l car l = sup (un )n donc l majore la suite (un ) . Soit ε > 0. Comme
l = sup (un )n alors l − ε n’est pas majorant de la suite (un ) et donc il existe N ∈ N vérifiant
uN > l − ε. Par croissance de la suite (un ) , on a alors
∀n > N, un ⩾ uN ⩾ l − ε
Par suite, pour tout n ⩾ N

l − ε ⩽ un ⩽ l ⩽ l + ε
donc un converge vers l.
Soit maintenant une suite (un ) croissante non majorée. Soit A ∈ R. La suite un n’est pas
majorée par A donc il existe N ∈ N vérifiant uN > A. Par croissance de la suite (un ) on a
alors ∀n ⩾ N, un ⩾ uN et donc un > A. Ainsi (un ) tend vers +∞.
Théorème 16. Soit (un ) une suite décroissante. On a les deux possibilités suivantes :
1. Si (un ) est minorée, alors (un ) converge vers une limite finie ;
2. Si (un ) n’est pas minorée, alors (un ) diverge vers −∞.
Démonstration. Mme démonstration que dans le cas de suite croissante.
Cycle Préparatoire
Exemple 16. Soit (un ) une suite définie par :
1 1 1
un = 1 + 2
+ 2 + ··· + 2.
2 3 n
La suite (un ) est croissante et majorée par 2 , donc elle converge.
Définition 20. Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. On dit qu’elles sont adjacentes si et
seulement si
1. les deux suites sont monotones de sens contraire ;
2. La suite (vn − un ) converge vers 0 .
Théorème 17. Deux suites adjacentes convergent et ont la mme limite.
Preuve 14. Soit (un ) et (vn ) deux suites adjacentes.

Montrons que ∀n ∈ N, un ⩽ vn Soit m ⩾ n.
Par monotonie, on a um ⩾ un et vn ⩾ vm donc vn − un ⩾ vm − um , A la limite quand m → +∞
on obtient vn − un ⩾ 0. Ainsi ∀n ∈ N, un ⩽ vn .
Puisque (vn ) est décroissant, on en déduit que pour tout n ∈ N, un ⩽ vn ⩽ v0 . La suite (un ) est
donc majorée et puisqu’elle est aussi croissante, elle converge vers une limite l ∈ R. De plus
vn = un + (vn − un ) qui converge vers l, ainsi (un ) et (vn ) convergent vers une mme limite l.
Et puisque (un ) est croissante et (un ) converge vers l, on a ∀n ∈ N, un ⩽ l et aussi puisque
(vn ) est décroissante et (vn ) converge vers l on a ∀n ∈ N, vn ⩾ l donc
∀n ∈ N, un ⩽ l ⩽ vn
Exemple 17. Les suites (un ) et (vn ) définies pour n ⩾ 1 par
Xn
1 1 1 1 2
un = 2
= 1 + 2 + 2 + ··· + 2 et v n = un + .
k=1
k 2 3 n n+1
sont adjacentes .
Théorème 18. (Théorème de Bolzano-Weiestrass). De toute suite réelle bornée on peut ex-
traire une suite convergente.
Prenons l’exemple de la suite un = (−1)n .

C’est bien une suite bornée et nous avons bien des sous suites convergentes, par exemple la
suite des termes de rang pair, ou celle des termes de rang impairs (qui sont mme des suites
constantes).
Un autre exemple avec la suite définie par vn = cos n. C’est encore une suite bornée, mais il
n’est pas facile de montrer explicitement qu’il existe une sous-suite qui converge.
Le théorème de Bolzano-Weierstrass affirme pourtant qu’une telle sous-suite existe ! C’est un
résultat d’existence mais qui n’indique pas comment expliciter une sous-suite convergente.
Preuve 15. La preuve repose sur un procédé de dichotomie. En effet, Comme la suite est
bornée, l’ensemble des valeurs de la suite est contenue dans un intervalle [a, b].
On initialise la construction en posant a0 = a, b0 = b, ϕ(0) = 0 Si on coupe [a, b] en deux
sous-intervalles égaux, au moins un des deux intervalles obtenu contient un pour une infinité
d’indices n.
On note [a1 , b1 ] un tel intervalle, par hypothése il existe ϕ(1) un entier ϕ(1) > ϕ(0) tel que
uϕ(1) ∈ [a1 , b1 ].
Par récurrence, on construit pour tout entier naturel n un intervalle [an , bn ] , de longueur b−a
2n
,
et un entier ϕ(n) > ϕ(n − 1) tel que uϕ(n) ∈ [an , bn ].
Par construction la suite (an )n∈N est croissante et la suite (bn )n∈N est décroissante.
b−a
De plus lim (bn − an ) = lim = 0, donc les suites (an )n∈N et (bn )n∈N sont adjacentes
n→+∞ n→+∞ 2n
et convergent vers une mme limite ℓ.
On peut conclure que lim uϕ(n) = ℓ.
n→+∞
Corollaire 2. Soit un segment [a, b] et une suite (xn ) de points de ce segment. Alors il existe
une suite extraite de la suite (xn ) qui converge vers un point l ∈ [a, b].
2.8 Suites de Cauchy

Soit (un )n∈N une suite réelle.
Définition 21. La suite (un )n∈N est dite suite de cauchy si elle vérifie :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, tel que ∀n > N, ∀m > N, |um − un | < ε
Remarque 13. Il est facile de vérifier que (un )n∈N est de cauchy si
∀ε > 0, ∃N ∈ N, tel que ∀n > N, ∀p > 0, |un+p − un | < ε
Théorème 19. Une suite réelle est convergente dans R est une suite de Cauchy dans R.
Preuve 16. Si (un ) est une suite réelle convergente vers l dans R, alors
ε
lim un = l ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n > N, |un − l| <
n→+∞ 2
Donc
ε ε
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n ≥ N, ∀m ≥ N : |um − un | ≤ |un − l| + |um − l| < + =ε
2 2
La réciproque du théorème précédent est vraie.
Théorème 20. Toute suite de cauchy dans R est convergente dans R.
Xn
1
Exemple 18. La suite (un ) définie par : un = est de cauchy et donc elle est convergente.
k=2
k2
Cycle Préparatoire
2.9 Relations de comparaison
Définition 22. Soient deux suites (un ) et (vn ) . On dit que

− La suite (un ) est négligeable devant la suite (vn ) et l’on note un = o (vn ) lorsque :
∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n ⩾ N, |un | ⩽ ε |vn |
si la suite (vn ) ne s’annule pas, c’est équivalent dire que :

un
−→n→+∞ 0
vn
− La suite (un ) est dominée par la suite (vn ) et l’on note un = O (vn ) lorsque
∃M > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n ⩾ N, |un | ⩽ M |vn |
si la suite (vn ) ne s’annule pas, c’est équivalent dire que la suite (un /vn ) est bornée.
Définition 23. On dit que deux suites (un ) et (vn ) sont équivalentes lorsque
un − vn = o (vn )
Lorsque la suite (vn ) ne s’annule pas, cela revient dire que :

un
−→n→+∞ 1.
vn
Théorème 21. Soient quatre suites (un ) , (an ) et (vn ) , (bn ) vérifiant un ∼ an et vn ∼ bn alors :
1. un vn ∼ an bn
2. un
vn
∼ an
bn
( si vn et bn ne s’annulent pas)
3. ∀α ∈ R, uαn ∼ aαn (pour des suites termes positifs).
Théorème 22. 1. Si un ∼ vn et lim vn = l ∈ R, alors lim un = l

n→+∞ n→+∞
2. Si lim un = l et l 6= 0, alors un ∼ l.
n→+∞
Théorème 23. (Comparaison logarithmique). Si (un ) et (vn ) sont deux suites termes stric-
tement positifs et si, partir d’un certain rang, uun+1
n
⩽ vn+1
vn
alors un = O (vn ).
Preuve 17. Démonstration. Soit un rang n0 ∈ R, supposons que ∀n ⩾ n0 , uun+1 ⩽ vn+1 alors la
n vn
un u0
suite vn est décroissante, donc majorée par v0 et minorée par 0 . cette suite est alors bornée
d’où un = O (vn ). En particulier, si (un ) est termes strictement positifs et s’il existe k ∈ R∗+
tel qu’ partir d’un certain rang, uun+1

n
⩽ k, alors un = O (k n ).
n
Si 0 < k < 1, lim k = 0, donc (un ) converge vers 0.
+∞
Comparons les suites (nα ) , (ln(n))β , (an ) , (n!), (nn ).

On a le théoréme suivant :
Théorème 24. (Comparaison des suites usuelles). Si α > 0, β > 0, a > 1 alors
(ln n)β = o (nα ) nα = o (an ) an = o(n!) n! = o (nn )
et dans le sens inverse :

−n 1 1
n =o = o a−n a −n
=o n −α
n −α
= o(ln n) −β
n! n!
Théorème 25. (Equivalents usuels). Soit un une suite telle que lim un = 0, alors
n→+∞
1. sin un ∼ un
2. tan un ∼ un
3. ln (1 + un ) ∼ un
u2n
4. (1 − cos un ) ∼ 2
5. (exp (un ) − 1) ∼ un 6. ((1 + un )α − 1) ∼ αun (α ∈ R∗ )
2.10 Etude des suites récurrentes

2.10.1 Suites récurrentes d’ordre 1
Soit une fonction continue f : R → R. On peut définir une suite (un ) par la donnée de son
premier terme u0 et d’une relation de récurrence de la forme ∀n ∈ N, un+1 = f (un ).
Cette suite est appelé suite récurrente d’ordre 1 .
Notons qu’une suite récurrente donnée n’est pas forcément convergente. Lorsqu’elle admet une
limite, l’ensemble des valeurs possibles est restreint par le résultat essentiel suivant.
Proposition 7. Si f est une fonction continue et la suite récurrente (un ) converge vers l, alors
l est une solution de l’équation :
f (l) = l.
Si on arrive montrer que la limite existe, cette proposition affirme qu’elle est chercher parmi
les solutions de l’équation f (l) = l.
Définition 24. Soit J ⊂ R un intervalle de R. On dit que J est stable par f si et seulement
si f (J) ⊂ J.
Cycle Préparatoire
Théorème 26. Si J est un intervalle stable, et u0 ∈ J, alors ∀n ∈ N, un ∈ J.

Nous avons deux cas particuliers :
1. f est croissante sur un intervalle stable J et u0 ∈ J ;
2. f est décroissante sur un intervalle stable J avec u0 ∈ J.
2.10.1.1 La fonction f est croissante sur un intervalle stable
Théorème 27. Lorsque f est croissante sur un intervalle stable J et u0 ∈ J, alors (un ) est
monotone :
1. Si u0 ⩽ f (u0 ) , alors (un ) est croissante
2. Si f (u0 ) ⩽ u0 , alors (un ) est décroissante
Preuve 18. La preuve est facile par récurrence. En effet, si u1 ⩾ u0 , alors comme f est
croissante on a u2 = f (u1 ) ⩾ f (u0 ) = u1 . Partant de u2 ⩾ u1 on en déduit u3 ⩾ u2 , . . ..
Pour la convergence, on a le résultat suivant :
Proposition 8. Si f : [a, b] → [a, b] une fonction continue et croissante, alors quelque soit
u0 ∈ [a, b], la suite récurrente (un ) est monotone et converge vers l ∈ [a, b] vérifiant f (l) = l.
Notons que f est définie de l’intervalle [a, b] dans lui-mme. Dans la pratique, pour appliquer
cette proposition, il faut commencer par choisir [a, b] et vérifier que f ([a, b]) ⊂ [a, b].
Exemple 19. Soit un la suite définie par :
u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = f (un )
√
avec f (x) = 1 + x ∀x ∈ [−1, 3].
Etudier la suite (un )n∈N .
2.10.1.2 La fonction f est décroissante sur un intervalle stable

Ce cas est plus compliqué, mais si l’on remarque que les deux suites extraites :
(vn ) = (u2n ) , (wn ) = (u2n+1 )
vérifiant la relation de récurrence :

v0 = u0 , ∀n ∈ N, vn+1 = fof (vn )
w0 = u1 , ∀n ∈ N, wn+1 = fof (wn )
et que la fonction g = f of est croissante, on se ramène alors au cas précédent. Les suites (vn )
et (wn ) sont monotones de sens contraire.
Pour la convergence, on a le résultat suivant :

Proposition 9. Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction continue et décroissante. Soit u0 ∈ [a, b] et
la suite récurrente (un ) définie par un+1 = f (un ).
Alors :
1. La sous-suite (u2n ) converge vers une limite l vérifiant f ◦ f (l) = l.

2. La sous-suite (u2n+1 ) converge vers une limite l′ vérifiant f ◦ f (l′ ) = l′
Il se peut (ou pas !) que l = l′ .
Si ces deux suites u2n) ) et (u2n+1 ) convergent vers la mme limite l = l′ , alors la suite (un )
converge vers cette mme limite l. sinon, la suite (un ) diverge.
2.11 Suites récurrentes d’ordre 2

Une suite récurrente d’ordre 2 est de la forme :
(E) ∀n ∈ N, un+2 = αun+1 + βun
o α et β sont deux réels fixés. L’exemple le plus simple est la suite de Fibonacci :
un+2 = un+1 + un .
Nous notons E l’ensemble des suites de réels qui vérifient (E). Dire que (E) est linéaire revient
dire que E est un espace vectoriel.
Proposition 10. L’ensemble E des suites de réels vérifiant (E) est un espace vectoriel de
dimension 2 .
Pour trouver une expression explicite aux solutions de (E), nous allons trouver une base de
E. Nous commens par écarter le cas o α = β = 0 : dans ce cas, les suites solutions de (E) sont
nulles partir du rang 2. Nous supposons désormais que α et β ne sont pas tous les deux nuls.
Cherchons quelles suites géométriques vérifient (E). Supposons que (rn ) vérifie (E). Alors,
∀n ∈ N, rn+2 = αrn+1 + βrn
C’est vrai si r est nul, ou bien s’il est solution de l’équation du second degré suivante, qu’on
appelle l’équation caractéristique associée.
r2 = αr + β.
Théorème 28. Si l’équation caractéristique associée possède :

1. deux racines réelles distinctes r1 et r2 , alors ((r1n ) , (r2n )) est une base de E :

E = (λr1n + µr2n ) , (λ, µ) ∈ R2
2. une racine double r, alors ((rn ) , (nrn )) est une base de E :

E = (λrn + µnrn ) , (λ, µ) ∈ R2
3. deux racines complexes conjuguées ρeiθ et ρe−iθ , alors ((ρn cos(nθ)) , (ρn sin(nθ))) est
une base de E :

E = (λρn cos(nθ) + µρn sin(nθ)) , (λ, µ) ∈ R2
Cycle Préparatoire
Pour la démonstration : Puisque l’espace vectoriel E est de dimension 2, il suffit dans chacun
des trois cas de montrer que les deux suites proposées vérifient (E) et forment une famille libre.
Exemple 20. Considérons l’équation définissant les nombres de Fibonacci :
(E) ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + un .
L’équation caractéristique associée est r2 = r + 1.

Elle a deux racines réelles distinctes, ϕ et −1/ϕ, o ϕ est le nombre d’or :
√ √
1+ 5 1 1− 5
ϕ= , − = .
2 ϕ 2
L’ensemble des suites réelles vérifiant (E) est donc

( √ !n √ !n ! )
1+ 5 1− 5
λ +µ , λ, µ ∈ R .
2 2
Les nombres de Fibonacci sont définis par (E), avec u0 = 1 et u1 = 1. Pour calculer les
coordonnées λ et µ de cette suite, il faut résoudre le système

λ+µ=1
λϕ − µ/ϕ = 1
On en déduit l’expression suivante du n -ième nombre de Fibonacci :

1 √ √
un = √ (1 + 5)n+1 − (1 − 5)n+1 .
2n+1 5
CHAPITRE 3
FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE
3.1 Définitions
3.1.1 Notion de fonction
Définition 25. On appelle fonction réelle d’une variable réelle, toute application f définie sur
une partie D de R valeur dans R.
L’ensemble D est appelé domaine de définition de f et est noté Df .
On a alors
Df = {x ∈ R/f (x) existe }
3.1.2 Opérations sur les fonctions

On suppose que les fonctions qui interviennent ici sont définies sur un intervalle I de R.
L’ensemble des fonctions de I dans R se note F(I, R)
Définition 26. Dans F(I, R) on définit les lois suivantes :

1. Addition : si (f, g) ∈ F (I, R)2 , on définit l’application (f + g) ∈ F (I, R) par :
∀x ∈ I, (f + g)(x) = f (x) + g(x)
2. Multiplication par un réel : si f ∈ F (I, R) et λ ∈ R, on définit l’application (λf ) par :
∀x ∈ I, (λf )(x) = λ × f (x)
3. Multiplication de deux fonctions : si(f, g) ∈ F (I, R)2 , on définit l’application (f g) ∈

F(I, R) par :
∀x ∈ I, (f g)(x) = f (x) × g(x)
4. Valeur absolue d’une fonction : si f ∈ F (I, R), on définit l’application (|f |) ∈ F (I, R)
par :
∀x ∈ I, |f |(x) = |f (x)|
33
5. Minimum, maximum de deux fonctions : si (f, g) ∈ F (I, R)2 , on définit les deux appli-
cations (sup(f, g), inf(f, g)) ∈ F (I, R)2 par :
∀x ∈ I, sup(f, g)(x) = max{f (x), g(x)}

∀x ∈ I, inf (f, g)(x) = min{f (x), g(x)}
Remarque 14.
∀(f, g) ∈ F (I, R)2 , sup(f, g)(x) = max{f (x), g(x)} = f (x)+g(x)+|f
2
(x)−g(x)|
∀(f, g) ∈ F (I, R)2 , inf(f, g)(x) = min{f (x), g(x)} = f (x)+g(x)−|f

2
(x)−g(x)|
3.1.3 Fonctions majorées, minorées, bornées
Définition 27. Soit f : U → R, et g : U → R deux fonctions. Alors :

•f ≥ g si ∀x ∈ U, f (x) ≥ g(x) ;
•f ≥ 0 si ∀x ∈ U, f (x) ≥ 0 ;
•f > 0 si ∀x ∈ U, f (x) > 0 ;
•f est dite constante sur U si ∃a ∈ R, ∀x ∈ U, f (x) = a ;
•f est dite nulle sur U si ∀x ∈ U, f (x) = 0.
Définition 28. Si f : U → R est une fonction. On dit que :

•f est majorée sur U si ∃M ∈ R, ∀x ∈ U, f (x) ≤ M ;
•f est minorée sur U si ∃m ∈ R, ∀x ∈ U, f (x) ≥ M ;
•f est bornée sur U si f est la fois majorée et minorée sur U, c’est dire si ∃M ∈ R+ , ∀x ∈
U, |f (x)| ≤ M .
Exemple 21. La fonction cos est bornée car

∀x ∈ R, −1 ⩽ cos(x) ⩽ 1
Caractérisations des bornes inf et sup d’une fonction :
1. Si f est majorée sur A alors

1.∀x ∈ A, f (x) ≤ M
M = sup(f (x)) = sup(f (A)) ⇔
x∈A 2.∀ε > 0, ∃aε ∈ A, M − ε < f (aε ) ≤ M
2. Si f est minorée sur A alors

1.∀x ∈ A, f (x) ≥ M
M = inf (f (x)) = inf(f (A)) ⇔
x∈A 2.∀ε > 0, ∃bε ∈ A, m < f (bε ) ≤ m + ε.
Définition 29. 1. Soit un réel a ∈ R. On appelle voisinage du point a, une partie V ⊂ R

telle que ∃α > 0, ]a − α, a + α [⊂ V. On note Va l’ensemble des voisinages du point a ;
2. Une partie V ⊂ R est un voisinage de +∞ si et seulemnt si il existe A > 0 tel que
]A, +∞[⊂ V ;
3. Une partie V ⊂ R est un voisinage de −∞ si et seulement si il existe B < 0 tel que
] − ∞, B[⊂ V .
Définition 30. Soit A ⊂ R une partie de R et x ∈ R. On dit que le point x est adhérent la
partie A si et seulement si
∀ε > 0, ∃a ∈ A tel que |x − a| ⩽ ε.
On note Ā l’ensemble des points adhérents A.
Remarque 15. Lorsque A est un intervalle, les points adhérents A sont les éléments de A et
les extrémités de l’intervalle.
Définition 31. On dit que M ∈ R est un maximum de f si et seulement si il existe a ∈ I

tel que f (a) = M et si pour tout x de I, f (x) ⩽ f (a) (On dit aussi que f présente en a
un maximum). On définit de mme un minimum et on parlera d’extremum lorsqu’on aura un
maximum ou un minimum. On notera
M = maxx∈I f (x)
m = minx∈I f (x)
Exemple 22. On prend la fonction cos sur I = R. On a cos(x) ⩽ 1 ∀x et cos(0) = 1, donc 1

est un maximum de cos.
Définition 32. On dit que M = f (a) est un extremum local de f si et seulement si il existe
un voisinage V de a tel que la restriction de f ce voisinage présente en a un extremum.
Définition 33. On dit que f est croissante sur I si et seulement si
∀(x, y) ∈ I 2 , x ⩽ y ⇒ f (x) ⩽ f (y).
On dit que f est décroissante sur I si et seulement si
∀(x, y) ∈ I 2 , x ⩽ y ⇒ f (x) ⩾ f (y).
On dit que f est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante.

On dit que f est strictement croissante sur I si et seulement si
∀(x, y) ∈ I 2 , x < y ⇒ f (x) < f (y).
On dit que f est strictement décroissante sur I si et seulement si
∀(x, y) ∈ I 2 , x < y ⇒ f (x) > f (y)
Exemple 23. La fonction racine carrée

√
{[0, +∞[−→ Rx 7−→ x
est strictement croissante.

- Les fonctions exponentielle exp : R → R et logarithme ln :]0, +∞[→ R sont strictement
croissantes.
Cycle Préparatoire

R −→ R
-La fonction valeur absolue n’est ni croissante, ni décroissante. Par contre, la
x 7−→ |x|
[0, +∞[−→ R
fonction est strictement croissante.
x 7−→ |x|
Définition 34. Soit un intervalle I symetrique par rapport 0. On dit que f est paire si et
seulement si
∀x ∈ I, f (−x) = f (x)
et que f est impaire si et seulement si
∀x ∈ I, f (−x) = −f (x)
Exemple 24. la fonction f (x) = x2 est paire. Graphiquement :

−f est paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport l’axe des ordonnées.
−f est impaire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport l’origine.
Définition 35. Une fonction f définie sur R est périodique si et seulement si
∃T > 0, ∀x ∈ I, f (x + T ) = f (x)
Exemple 25. Les fonctions sin et cos sont périodiques de période 2π car ∀x ∈ R, sin(x + 2π) =
sin(x) et cos(x + 2π) = cos(x)
3.2 Etude local d’une fonction
3.2.1 Limite et continuité en un point a
Définition 36. Soit une fonction f ∈ F (I, R), un point a ∈ I¯ (éventuellement infini), et
l ∈ R. On dit que f (x) −→x→a l si et seulement si :
∀W ∈ Vl , ∃V ∈ Va tel que f (I ∩ V ) ⊂ W
Lorsque a ∈ R est fini, et la limite l ∈ R est finie, cette définition se traduit par :
∀ε > 0, ∃ηε > 0 tel que ∀x ∈ I, |x − a| ⩽ ηε ⇒ |f (x) − l| ⩽ ε
Lorsqu’un tel l existe, on dit que l est la limite de f en a et l’on note alors :
l = lim f (x)
x→a
ε
ℓ
ε
a
x
ηε
Remarque 16. — L’inégalité |x − x0 | < ηε équivaut x ∈]x0 − ηε , x0 + ηε [. L’inégalité

|f (x) − ℓ| < ε équivaut f (x) ∈]ℓ − ε, ℓ + ε[.
— On peut remplacer certaines inégalités strictes « < » par des inégalités larges « ≤ » dans
la définition : ∀ε > 0 ∃ηε > 0 ∀x ∈ I |x − x0 | ≤ ηε =⇒ |f (x) − ℓ| ≤ ε
— Dans la définition de la limite
∀ε > 0 ∃ηε > 0 ∀x ∈ I |x − x0 | < ηε =⇒ |f (x) − ℓ| < ε
le quantificateur ∀x ∈ I n’est l que pourêtre sr que l’on puisse parler de f (x). Il est
souvent omis et l’existence de la limite s’écrit alors juste :
∀ε > 0 ∃ηε > 0 |x − x0 | < ηε =⇒ |f (x) − ℓ| < ε.
— N’oubliez pas que l’ordre des quantificateurs est important, on ne peut pas échanger le
∀ε avec le ∃ηε : le ηε dépend en général du ε. Pour marquer cette dépendance on peut
écrire : ∀ε > 0 ∃ηε (ε) > 0 . . .
√ √
Exemple 26. — lim x= x0 pour tout x0 ≥ 0,
x→x0
— la fonction partie entière E n’a pas de limite aux points x0 ∈ Z.
√
x
√
x0
0 1 x0 x
Cycle Préparatoire
E(x)
0 1 x0 ∈ Z x
Soit f une fonction définie sur un ensemble de la forme ]a, x0 [∪]x0 , b[.
Définition 37. — On dit que f a pour limite +∞ en x0 si
∀A > 0 ∃ηε > 0 ∀x ∈ I |x − x0 | < ηε =⇒ f (x) > A
On note alors lim f (x) = +∞.

x→x0
— On dit que f a pour limite −∞ en x0 si
∀A > 0 ∃ηε > 0 ∀x ∈ I |x − x0 | < ηε =⇒ f (x) < −A
On note alors lim f (x) = −∞.

x→x0
x0 x
x0 − ηε
x0 + ηε
3.2.2 Limite en l’infini

Soit f : I → R une fonction définie sur un intervalle de la forme I =]a, +∞[.
Définition 38. — Soit ℓ ∈ R. On dit que f a pour limite ℓ en +∞ si
∀ε > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ I x > B =⇒ |f (x) − ℓ| < ε
On note alors lim f (x) = ℓ ou lim f = ℓ.

x→+∞ +∞
— On dit que f a pour limite +∞ en +∞ si
∀A > 0 ∃B > 0 ∀x ∈ I x > B =⇒ f (x) > A
On note alors lim f (x) = +∞.

x→+∞
On définirait de la mme manière la limite en −∞ pour des fonctions définies sur les inter-
valles du type ] − ∞, a[.
suivantes pour tout n ≥ 1 :

Exemple 27. On a les limites classiques (
+∞ si n est pair
— lim xn = +∞ et lim xn =
x→+∞ x→−∞ −∞ si n est impair

1 1
— lim n
= 0 et lim = 0.
x→+∞ x x→−∞ xn
Exemple 28. Soit P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 avec an > 0 et Q(x) = bm xm +

bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 avec bm > 0.


+∞ si n > m
P (x)
lim = bamn si n = m
x→+∞ Q(x) 

0 si n < m
3.2.3 Limite gauche et droite

Définition 39. (limite droite, limite gauche)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f admet une limite l :
— gauche en x0 si et seulement si
∀ε > 0, ∃ηε > 0, x0 − ηε < x < x0 ⇒ |f (x) − l| < ε.
On note lim− f (x) = l ou lim

−
f (x) = l.
x→x0 x0
— droite en x0 si et seulement si
∀ε > 0, ∃ηε > 0, x0 < x < x0 + ηε ⇒ |f (x) − l| < ε.
On note lim+ f (x) = l ou lim

+
f (x) = l.
x→x0 x0
Proposition 11. Une fonction f admet une limite l en x0 si et seulement si elle admet l
comme limite gauche et droite en x0 , i.e.,
lim f (x) = l ⇔ lim+ f (x) = lim− f (x) = l.

x→x0 x→x0 x→x0
Exemple 29. Considérons la fonction partie entière au point x = 2 :

— comme pour tout x ∈]2, 3[ on a E(x) = 2, on a lim+
E=2,
2
— comme pour tout x ∈ [1, 2[ on a E(x) = 1, on a lim
−
E = 1.
2
Ces deux limites étant différentes, on en déduit que E n’a pas de limite en 2.
Cycle Préparatoire
3.2.4 Propriétés
Proposition 12. Si une fonction admet une limite, alors cette limite est unique.
On ne donne pas la démonstration de cette proposition, qui est très similaire celle de
l’unicité de la limite pour les suites (un raisonnement par l’absurde).
Soient deux fonctions f et g. On suppose que x0 est un réel, ou que x0 = ±∞.
Proposition 13. Si lim f = ℓ ∈ R et lim g = ℓ′ ∈ R, alors :

x0 x0
— lim(λ · f ) = λ · ℓ pour tout λ ∈ R
x0
— lim(f + g) = ℓ + ℓ′
x0
— lim(f × g) = ℓ × ℓ′
x0
1 1
— si ℓ 6= 0, alors lim =
x0 f ℓ
1
De plus, si lim f = +∞ (ou −∞) alors lim = 0.
x0 x0 f
Remarque 17. Il y a des situations o l’on ne peut rien dire sur les limites. Par exemple si
lim f = +∞ et lim g = −∞ alors on ne peut priori rien dire sur la limite de f + g (cela
x0 x0
dépend vraiment de f et de g). On raccourci cela en +∞ − ∞ est une forme indéterminée.
∞ 0 ∞
Voici une liste de formes indéterminées : +∞ − ∞ ; 0 × ∞ ; ; ; 1 ; ∞0 .
∞ 0
Proposition 14. — Si f ≤ g et si lim f = ℓ ∈ R et lim g = ℓ′ ∈ R, alors ℓ ≤ ℓ′ .

x0 x0
— Si f ≤ g et si lim f = +∞, alors lim g = +∞.
x0 x0
— (Théorème des gendarmes
Si f ≤ g ≤ h et si lim f = lim h = ℓ ∈ R, alors g a une limite en x0 et lim g = ℓ.
x0 x0 x0
3.3 Continuité d’une fonction
3.3.1 Continuité en un point

Soit I un intervalle de R et f : I → R une fonction.
Définition 40. — On dit que f est continue en un point x0 ∈ I si
∀ε > 0 ∃ηε > 0 ∀x ∈ I |x − x0 | < ηε =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
c’est--dire si f admet une limite en x0 , cette limite vaut alors nécessairement f (x0 ).
— On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I.
ε
f (x0 )
ε
x0
x
ηε
√
Exemple 30. La fonction f définie par x est continue en a (a ∈ R∗+ ).
Proposition 15. Si f est continue en a, alors f est bornée au voisinage de a.
La réciproque est fausse, comme le montre l’exemple suivant : f définie sur [0, 1] par
(
0 si x 6= 1
f (x) =
1 si x = 1
3.3.2 Propriétés
La continuité assure par exemple que si la fonction n’est pas nulle en un point (qui est
une propriété ponctuelle) alors elle n’est pas nulle autour de ce point (propriété locale). Voici
l’énoncé :
Lemme 3. Soit f : I → R une fonction définie sur un intervalle I et x0 un point de I. Si f
est continue en x0 et si f (x0 ) 6= 0, alors il existe ηε > 0 tel que
∀x ∈]x0 − ηε , x0 + ηε [ f (x) 6= 0
f (x0 )
x0 − ηε x0 x0 + ηε
Preuve 19. Supposons par exemple que f (x0 ) > 0, le cas f (x0 ) < 0 se montrerait de la mme
manière. Écrivons ainsi la définition de la continuité de f en x0 :
∀ε > 0 ∃ηε > 0 ∀x ∈ I x ∈ ]x0 − ηε , x0 + ηε [ =⇒ f (x0 ) − ε < f (x) < f (x0 ) + ε.
Il suffit donc de choisir ε tel que 0 < ε < f (x0 ). Il existe alors bien un intervalle J =
I∩ ]x0 − ηε , x0 + ηε [ tel que pour tout x dans J, on a f (x) > 0.
La continuité se comporte bien avec les opérations élémentaires. Les propositions suivantes
sont des conséquences immédiates des propositions analogues sur les limites.
Cycle Préparatoire
Proposition 16. Soient f, g : I → R deux fonctions continues en un point x0 ∈ I. Alors

— λ · f est continue en x0 (pour tout λ ∈ R),
— f + g est continue en x0 ,
— f × g est continue en x0 ,
— si f (x0 ) 6= 0, alors f1 est continue en x0 .
La proposition précédente permet de vérifier que d’autres fonctions usuelles sont continues :
Exemple 31. — les fonctions puissance x 7→ xn sur R (comme produit x × x × · · · ),
— les polynmes sur R (somme et produit de fonctions puissance et de fonctions constantes),
— les fractions rationnelles x 7→ Q(x)
P (x)
sur tout intervalle o le polynme Q(x) ne s’annule
pas.
La composition conserve la continuité (mais il faut faire attention en quels points les hy-
pothèses s’appliquent).
Proposition 17. Soient f : I → R et g : J → R deux fonctions telles que f (I) ⊂ J. Si f est
continue en un point x0 ∈ I et si g est continue en f (x0 ), alors g ◦ f est continue en x0 .
3.3.3 Prolongement par continuité

Définition 41. Soit I un intervalle, x0 un point de I et f : I \ {x0 } → R une fonction.
— On dit que f est prolongeable par continuitéé
en x0 si f admet une limite finie en x0 . Notons alors ℓ = lim f .
x0
— On définit alors la fonction f˜ : I → R en posant pour tout x ∈ I
(
f (x) si x 6= x0
f˜(x) =
ℓ si x = x0 .
Alors f˜ est continue en x0 et on l’appelle le prolongement par continuité de f en x0 .
x0 x

Exemple 32. Considérons la fonction f définie sur R∗ par f (x) = x sin x1 .
Voyons si f admet un prolongement par continuité en 0 ?
Comme pour tout x ∈ R∗ on a |f (x)| ≤ |x|, on en déduit que f tend vers 0 en 0. Elle est
donc prolongeable par continuité en 0 et son prolongement est la fonction f˜ définie sur R tout
entier par : (
x sin 1
si x 6= 0
f˜(x) = x
0 si x = 0.
Exemple 33. Certaines fonctions n’admettent pas de limite en a, donc ne peuventêtre prolon-
ger en a.
Par exemple, la fonction f (x) = |x|
x
définie sur R∗ n’admet pas de limite en 0 .
3.3.4 Suites et continuité

Proposition 18. Soit f : I → R une fonction et x0 un point de I. Alors : f est continue en x0 ⇐⇒
pour toute suite(un )qui converge vers x0
la suite(f (un )) converge vers f (x0 )
Remarque 18. On retiendra surtout l’implication : si f est continue sur I et si (un ) est une
suite convergente de limite ℓ, alors (f (un )) converge vers f (ℓ). On l’utilisera intensivement
pour l’étude des suites récurrentes un+1 = f (un ) : si f est continue et un → ℓ, alors f (ℓ) = ℓ.
3.4 Propriétés globales des fonctions continues

On dit qu’une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si la fonction f
est continue en chaque point de I, ce qui se traduit avec des quantificateurs de la manière
suivante :
∀a ∈ I, ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I, |x − a| ⩽ α ⇒ |f (x) − f (a)| ⩽ ε.
On note C(I) ou C 0 (I) l’ensemble des fonctions continues sur I.

Graphiquement cela signifie que l’on peut tracer la courbe représentative de f sur l’intervalle
I sans avoir lever le crayon.
3.5 Continuité sur un intervalle

3.5.1 Le théorème des valeurs intermédiaires
Théorème 29. (Théorème des valeurs intermédiaires)
Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur un segment. Pour tout réel y compris entre
f (a) et f (b),
il existe c ∈ [a, b] tel que f (c) = y.
Une illustration du théorème des valeurs intermédiaires , le réel c n’est pas nécessairement
unique. De plus si la fonction n’est pas continue, le théorème n’est plus vrai .
f (b)
f (a)
a c1 c2 c3 b x
Cycle Préparatoire
y
f (b)
f (a)
a b x
Théorème 30. (Théorème de Bolzano)

Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue telle que f (a)f (b) ≤ 0, alors il existe au moins
un réel c compris entre a et b tel que f (c) = 0.
y
f (b) > 0
a c
b x
f (a) < 0
Exemple 34. Tout polynme de degré impair possède au moins une racine réelle.
y
x 7→ P (x)
En effet, un tel polynme s’écrit P (x) = an xn +· · ·+a1 x+a0 avec n un entier impair. On peut
supposer que le coefficient an est strictement positif. Alors on a lim P = −∞ et lim P = +∞.
−∞ +∞
En particulier, il existe deux réels a et b tels que f (a) < 0 et f (b) > 0 et on conclut grce au
corollaire précédent.
Corollaire 3. Soit f : I → R une fonction continue sur un intervalle I. Alors f (I) est un
intervalle.
Attention ! Il serait faux de croire que l’image par une fonction f de l’intervalle [a, b] soit
l’intervalle [f (a), f (b)] (voir la figure ci-dessous).
y
f (b)
f ([a, b])
f (a)
a b x
Preuve 20. Soient y1 , y2 ∈ f (I), y1 ≤ y2 . Montrons que si y ∈ [y1 , y2 ], alors y ∈ f (I). Par
hypothèse, il existe x1 , x2 ∈ I tels que y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ) et donc y est compris entre f (x1 )
et f (x2 ). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, comme f est continue, il existe donc
x ∈ I tel que y = f (x), et ainsi y ∈ f (I).
3.6 Fonctions uniformément continues
Définition 42. Soit I ⊂ R, et f : D −→ R une fonction. On dit que f est uniformément

continue sur D si
′ ′ ′
∀ε > 0, ∃ηε > 0 tel que ∀x, x ∈ I, |x − x | ≤ ηε ⇒ |f (x) − f (x )| ≤ ε.
Remarque 19. — Il est immédiat que l’uniforme continuité de f sur I entrane sa conti-
nuité en tout point de I.
— La réciproque n’est pas toujours vraie, mais nous avons le théorème suivant.
Exemple 35. La fonction f : x −→ x2 n’est pas uniformément continue sur R.
Théorème 31. (Heine)

Soit I = [a, b] ⊂ R un intervalle fermé borné de R, f : I −→ R une application continue
sur I. Alors f est uniformément continue sur I.
Exemple 36. 1. La fonction f : x −→ x2 est uniformément continue sur [0, 1].

2. La fonction x −→ sin x est uniformément continue sur R.
Définition 43. (Fonction lipschitzienne)

Soit I ⊂ R, f : I −→ R une fonction. On dit que f est
— k−lipschitzienne sur I si
′ ′ ′
∀x, x ∈ I, |f (x) − f (x )| ≤ k|x − x |.
— k− contractante sur I si f est k−lipschitzienne et k ∈ [0, 1[.
Cycle Préparatoire
Le nombre k n’est pas unique car si∀(x, y) ∈ I2 , |f(x) − f(y)| ⩽ k|x − y|) alors par exemple,
∀(x, y) ∈ I2 , |f(x) − f(y)| ⩽ (k + 1)|x − y|.
Un résultat immédiat est
n o
Théorème 32. f est lipschitzienne sur I ⇔ Sup f (x)−f x−y
(y)
, (x, y) ∈ 1 2
, x 6
= y < +∞.
Proposition 19. Soit I ⊂ R, f : I −→ R une fonction k−lipschitzienne sur I. Alors f est

uniformément continue sur I.
√
Exemple 37. 1. La fonction x 7→ x est lipschitzienne sur [1, +∞[.
√
2. La fonction x 7→ x n’est pas lipschitzienne sur [0,1].
3.7 Fonctions strictement monotones sur un intervalle
Définition 44. (injectivité, surjectivité, bijectivité)

— Une application f : E −→ F est injective si tout élément de F a au plus un antécédent
par f , i.e.,
∀x1 , x2 ∈ E, f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
— Une application f : E −→ F est surjective si tout élément de F a au moins un antécédent
par f , i.e.,
∀y ∈ F, ∃x ∈ E, y = f (x).
— Une application f : E −→ F est bijective si elle est la fois injective et surjective, i.e.,
∀y ∈ F, ∃!x ∈ E, y = f (x).
Définition 45. (Fonction réciproque)

Soit une application bijective f : E −→ F . Il existe alors une unique application notée
−1
f : F −→ E telle que f −1 ◦ f = IdE et f ◦ f −1 = IdF . L’application f −1 est appelée
application réciproque de f .
Théorème 33. (Fonction réciproque et monotonie)

Soit une fonction f : I → R On note J = f (I). On suppose que la fonction f est :
1. continue sur I
2. strictement monotone sur I.
Alors la fonction f réalise une bijection de l’intervalle I vers l’intervalle J, et sa bijection
réciproque f −1 : J → I est une fonction continue strictement monotone de mme sens
que f .
Exemple 38. La fonction x 7→ ex est une bijection de R sur R∗+ , sa fonction réciproque est
f −1 (x) = Log(x).
Exercice 3. Soit f la fonction définie de [0,1] dans R, par :

x
f (x) =
x2 +1
1. Montrer directement que f est strictement monotone.

2. En déduire que f est bijective et déterminer f −1 .
Proposition 20. Soient I de R et f : I −→ R continue, alors :
f est injective ⇔f est strictement monotone sur I
3.8 Calcul de limites par comparaisons

Théorème 34. Soit une fonction f : I −→ R, un point a ∈ I¯ et un réel l ∈ R. Soit θ une
fonction définie sur un voisinage V de a. On suppose que :
H1) ∀x ∈ V, | f (x) − l |⩽ θ(x) ;
H2) θ(x) −→x→a 0.
Alors f (x) −→x→a l
Théorème 35. Soient α, f, β trois fonctions définies sur un voisinage V du point a, et l ∈ R.

On suppose que :
H1) ∀x ∈ V, α(x) ⩽ f (x) ⩽ β(x)
H2) α(x) −→x→a l, β(x) −→x→a l.
Alors la fonction f admet une limite au point a et
f (x) −→x→a l
∗ −1
tout x∈ R+
, x ⩽ x ⩽ x.
sin x 1
Exemple 39.
Pour
−1 1 sin x
Or, lim = lim = 0 donc : lim =0.
x→+∞ x x→+∞ x x→+∞ x
3.9 Comparaison locale de fonctions

Soient deux fonctions f, g : I → R et un point a ∈ I ou borne (éventuellement infinie) de
I g ne s’annule pas au voisinage de a.
Théorème 36. f = o(g) (la fonction f est négligeable devant la fonction g au voisinage du
point a ) si et seulement si
f (x)
−→x→a 0
g(x)
Proposition 21. 1. f = o(g), g = o(h) ⇒ f = o(h)

2. f1 = o(g), f2 = o(g) ⇒ f1 + f2 = o(g)
3. f1 = o (g1 ) , f2 = o (g2 ) ⇒ f1 f2 = o (g1 g2 )
Définition 46. On dit que les fonctions f et g sont équivalentes au voisinage du point a lorsque
f − g = o(g), cela revient dire que :
f (x)
−→x→a 1
g(x)
Cycle Préparatoire
Théorème 37. Soient deux fonctions f, g : I → R et un point a ∈ I¯

1. f ∼x→a g et g(x) −→x→a l ⇒ f (x) −→x→a l
2. f (x) −→x→a l et l 6= 0 ⇒ f ∼x→a l

3. f1 ∼x→a g1 et f2 ∼x→a g2 ⇒ f1 g1 ∼x→a f2 g2 (et f1
f2
∼x→a g1
g2
4. Soit α ∈ R (indépendant de x ). Si f ∼x→a g alors f α ∼x→a g α .
Théorème 38. Soient α, β, γ > 0 trois réels.

1. Comparaison ln et puissance :
- en + ∞ : (ln(x))γ = o(xα )
- en 0 : | ln(x)|γ = o x1α
2. Comparaison puissance et exponentielle :

- en + ∞ : xα = o eβx

1
- en − ∞ : e = o
βx
xα
3.10 Fonctions circulaires inverses

3.10.1 Arccosinus
Considérons la fonction cosinus cos : R → [−1, 1], x 7→ cos x. Pour obtenir une bijection
partir de cette fonction, il faut considérer la restriction de cosinus l’intervalle [0, π]. Sur cet
intervalle la fonction cosinus est continue et strictement décroissante, donc la restriction
cos| : [0, π] → [−1, 1]
est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction :
arccos : [−1, 1] → [0, π]
y
arccos x π
y +1
π
x 2
−π − π2 0 π
2
π
x
−1 cos x −1 0 1
On a donc, pardéfinition de la bijection réciproque :
cos arccos(x) = x ∀x ∈ [−1, 1]
arccos cos(x) = x ∀x ∈ [0, π]
Autrement dit :
Si x ∈ [0, π] cos(x) = y ⇐⇒ x = arccos y
Terminons avec la dérivée de arccos :
−1
arccos′ (x) = √ ∀x ∈] − 1, 1[
1 − x2
3.10.2 Arcsinus
La restriction
sin| : [− π2 , + π2 ] → [−1, 1]
arcsin : [−1, 1] → [− π2 , + π2 ]
y
π
2 arcsin x
y +1 sin x x
−1 0 1
x
−π − π2 0 π
2
π
− π2
−1

sin arcsin(x) = x ∀x ∈ [−1, 1]
arcsin sin(x) = x ∀x ∈ [− π2 , + π2 ]
Si x ∈ [− π2 , + π2 ] : sin(x) = y ⇐⇒ x = arcsin y.
1
arcsin′ (x) = √ ∀x ∈] − 1, 1[.
1 − x2
3.10.3 Arctangente
La restriction
tan| :] − π2 , + π2 [→ R
arctan : R →] − π2 , + π2 [
Cycle Préparatoire
y tan x
−π π x
− π2 π
2
3π
2
y
π
2
arctan x
0 x
− π2

tan arctan(x) = x ∀x ∈ R
arctan tan(x) = x ∀x ∈] − π2 , + π2 [
Si x ∈] − π2 , + π2 [: tan(x) = y ⇐⇒ x = arctan y.
1
arctan′ (x) = ∀x ∈ R.
1 + x2
3.11 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses

3.11.1 Cosinus hyperbolique et son inverse
ex + e−x
Pour x ∈ R, le cosinus hyperbolique est : chx = .
2
La restriction ch| : [0, +∞[→ [1, +∞[ est une bijection. Sa bijection réciproque est Argch :
[1, +∞[→ [0, +∞[.
y
chx
shx
y
1 Argshx
Argchx
1
0 1 x
0 1 x
3.11.2 Sinus hyperbolique et son inverse

ex − e−x
Pour x ∈ R, le sinus hyperbolique est : shx =
2
sh : R → R est une fonction continue, dérivable, strictement croissante vérifiant lim shx =
x→−∞
−∞ et lim shx = +∞, c’est donc une bijection. Sa bijection réciproque est Argsh : R → R.
x→+∞
Proposition 22. .
1. ch2 x − sh2 x = 1
2. ch′ x = shx, sh′ x = chx
3. Argsh : R → R est strictement croissante et continue.
4. Argsh est dérivable et Argsh′ x = √x12 +1 .
√
5. Argshx = ln x + x2 + 1
Démonstration.

1. ch2 x − sh2 x = 14 (ex + e−x )2 − (ex − e−x )2 = 14 (e2x + 2 + e−2x ) − (e2x − 2 + e−2x ) = 1.
−x −x
= e −e
d d e +ex x
2. dx (chx) = dx 2 2
= shx. Idem pour la dérivée de shx.
3. Car c’est la réciproque de sh.
4. Comme la fonction x 7→ sh′ x ne s’annule pas sur R alors la fonction Argsh est dérivable
sur R. On calcule la dérivée par dérivation de l’égalité sh(Argshx) = x :
1 1 1
Argsh′ x = =p =√
ch(Argshx) 2
sh (Argshx) + 1 2
x +1
√
5. Notons f (x) = ln x + x2 + 1 alors
′
1 + √xx2 +1 1
f (x) = √ =√ = Argsh′ x
x + x2 + 1 x2 + 1
Comme de plus f (0) = ln(1) = 0 et Argsh0 = 0 (car sh0 = 0), on en déduit que pour
tout x ∈ R, f (x) = Argshx.
Cycle Préparatoire
3.11.3 Tangente hyperbolique et son inverse

shx
Par définition la tangente hyperbolique est : tanhx = .
chx
La fonction tanh : R →] − 1, 1[ est une bijection, on note Argth :] − 1, 1[→ R sa bijection
réciproque.
yArgthx
y
1 thx −1 0 1 x
0 x
−1
3.11.4 Trigonométrie hyperbolique
ch2 x − sh2 x = 1
ch(a + b) = cha · chb + sha · shb

ch(2a) = ch2 a + sh2 a = 2 ch2 a − 1 = 1 + 2 sh2 a
sh(a + b) = sha · chb + shb · cha

sh(2a) = 2 sha · cha
tanha + tanhb
tanh(a + b) =
1 + tanha · tanhb
ch′ x = shx
sh′ x = chx
1
tanh′ x = 1 − tanh2 x =
ch2 x
1
Argch′ x = √ (x > 1)
x2 −1
1
Argsh′ x = √
x2 + 1
1
Argth′ x = (|x| < 1)
1 − x2
√
Argchx = ln x + x2 − 1 (x ≥ 1)
√
Argshx = ln x + x2 + 1 (x ∈ R)

1 1+x
Argthx = ln (−1 < x < 1)
2 1−x
Cycle Préparatoire
CHAPITRE 4
DÉRIVATION
4.1 Fonction dérivée

Dans la suite, I désigne un intervalle de R.
Définition 47. Soit une fonction f ∈ F (I, R), et un point x0 ∈ I.
On définit le taux d’accroissement de la fonction f au point x0 :

I\ {x0 } → R
∆ x0 f : f (x) − f (x0 )
 x 7→ .
x − x0
1. On dit que la fonction f est dérivable droite (respectivement gauche) au point x0
lorsque le taux d’accroissement ∆x0 (x) admet une limite finie lorsque x → x0 droite
(respectivement gauche).
2. Lorsque la fonction f admet une dérivée droite (respectivement gauche), on note fd′ (x0 )
(respectivement fg′ (x0 ) la limite du taux d’accroissement.
3. On dit que la fonction f est dérivable au point x0 lorsque le taux d’accroissement ∆x0 (x)
admet une limite finie lorsque x → x0 . On note f ′ (x0 ) cette limite.
Théorème 39. La fonction f est dérivable au point x0 si et seulement si il existe une fonction
ε : I → R telle que ε →x→x0 0 et un réel c ∈ R tels que ∀x ∈ I,
f (x) = f (x0 ) + c (x − x0 ) + (x − x0 ) ε(x)
On a alors c = f ′ (x0 )
Corollaire 4. Soit f : I 7→ R. Alors ( f dérivable au point x0 ) ⇒ (f continue au point x0 ).

Démonstration. Supposons f dérivable en x0
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) c + (x − x0 ) ε(x)
| {z } | {z }
→0 →0
alors f (x) → f (x0 ) lorsque x → x0 .

Ainsi f est continue en x0 .
55
Définition 48. On dit qu’une fonction est dérivable sur un intervalle I si et seulemnt si elle
est dérivable en tout point x0 ∈ I. On définit alors la fonction dérivée :

′ I→ R
f :
x 7→ f ′ (x).
4.2 Calcul de dérivées
Théorème 40. Si u et v sont deux fonctions dérivables en un point x0 ∈ I, on a les propriétés

suivantes :
1. la fonction (u + v) est dérivable au point x0 et
(u + v)′ (x0 ) = u′ (x0 ) + v ′ (x0 )
2. pour tout réel λ ∈ R, la fonction (λu) est dérivable au point x0 et
(λu)′ (x0 ) = λu′ (x0 )
3. la fonction (uv) est dérivable au point x0 et
(uv)′ (x0 ) = u′ (x0 ) v (x0 ) + u (x0 ) v ′ (x0 )
4. si v (x0 ) 6= 0, il existe un voisinage de x0 sur lequel la fonction v ne s’annule pas et

alors la fonction (1/v) est dérivable au point x0 avec
v ′ (x0 )
(1/v)′ (x0 ) = −
v 2 (x0 )
5. si v (x0 ) 6= 0, la fonction (u/v) est dérivable au point x0 avec
u′ (x0 ) v (x0 ) − u (x0 ) v ′ (x0 )

(u/v)′ (x0 ) =
v 2 (x0 )
6. pour un entier n ∈ Z la fonction (un ) est dérivable au point x0 et
(un )′ (x0 ) = nun−1 (x0 ) u′ (x0 )
Théorème 41. Soient deux fonctions f : I → R, g : J → R telles que f (I) ⊂ J. On suppose

que :
(H1) la fonction f est dérivable au point x0 ;
(H2) la fonction g est dérivable au point f (x0 ). Alors la fonction gof est dérivable au point
x0 avec
(gof )′ (x0 ) = [g ′ (f (x0 ))] f ′ (x0 )
On en déduit que si :
(H1) la fonction f est dérivable sur l’intervalle I ;
(H2) la fonction g est dérivable sur l’intervalle J ; alors la fonction gof est dérivable sur
l’intervalle I avec
(gof )′ = [g ′ of ] f ′
Théorème 42. Soit f : I 7→ R et un point x0 ∈ I. On suppose que :

(H1) f est strictement monotone sur l’intervalle I ;
(H2) f est dérivable au point x0 ;
(H3) f ′ (x0 ) 6= 0.
On sait déj que f réalise une bijection de l’intervalle I vers l’intervalle J = f (I) et alors la
fonction f −1 est dérivable au point y0 = f (x0 ) avec
′ 1
f −1 (y0 ) =
f ′ (x0 )
On en déduit que si :
(H1) f : I 7→ R est strictement monotone sur l’intervalle I ;
(H2) f est dérivable sur l’intervalle I ;
(H3) ∀x ∈ I, f ′ (x) 6= 0
alors la fonction f −1 est dérivable sur l’intervalle f (I) avec
′ 1
f −1 =
f ′ of −1
Donnons titre d’exemple les dérivées des fonctions hyperboliques et trigonométriques in-
verses.
Pour la dérivée de la fonction arccos :
−1
arccos′ (x) = √ ∀x ∈] − 1, 1[
1 − x2
Démonstration. On démarre de l’égalité cos(arccos x) = x que l’on dérive :
cos(arccos x) = x
=⇒ − arccos′ (x) × sin(arccos x) = 1
−1
=⇒ arccos′ (x) =
sin(arccos x)
−1
=⇒ arccos′ (x) = p (∗)
1 − cos2 (arccos x)
−1
=⇒ arccos′ (x) = √
1 − x2
Le point crucial (∗) se justifie ainsi : on démarre de l’égalité cos2 y + sin2 y = 1, en substituant
y = arccos x on obtient cos2 (arccos
√ x) + sin2 (arccos x) = 1 donc x2 + sin2 (arccos x) = 1. On
en déduit : sin(arccos x) = + 1 − x2 (avec le signe + car arccos x ∈ [0, π], et donc on a
sin(arccos x) ⩾ 0).
On a également :
arcsin′ (x) = √1−x
1
2 ∀x ∈] − 1, 1[
′ 1
arctan (x) = 1+x2 ∀x ∈ R
Cycle Préparatoire
Proposition 23. Les fonctions argsinh, argcosh et argth sont dérivables sur leur domaine de
définition.
1. ∀x ∈ R arg sinh′ (x) = √x12 +1
h
2. ∀x ∈]1, +∞ , argcosh′ (x) = √x12 −1 ,

3. ∀x ∈] − 1, 1 , argth′ (x) = 1−x 1
2
Pour la démonstration : On peut dériver directement l’expression en logarithme ou bien

appliquer la formule donnant la dérivée d’une fonction réciproque.
1 1 1
arg sinh′ (x) = ′ = =√
sinh (arg sinh(x)) cosh(arg sinh(x)) x2 + 1
1 1 1
arg cosh′ (x) = ′ = =√
cosh (argcosh(x)) sinh(arg cosh(x)) x2 − 1
1 1 1
argth′ (x) = ′ = =
th (argth(x)) 1 − th (argth(x))
2
1 − x2
√
Exercice 4. f est la fonction définie sur [−1; 1] par f (x) = 1 − x2 . La fonction f est-elle
dérivable en −1? en 0?
Solution .Pour 0 < h ⩽ 2

q
√ r
f (−1 + h) − f (−1) 2h − h2 h 2
h
−1 2
= = = −1
h h h h
Or
2 √
lim − 1 = +∞ et lim X = +∞
h→0 h X→+∞
et d’après les propriétés sur les limites des fonctions composées :

r
2
lim − 1 = +∞
h→0 h
Ceci nous donne
f (−1 + h) − f (−1)
lim = +∞
h→0 h
donc la fonction f n’est pas dérivable en −1.
Pour −1 ⩽ h ⩽ 1 avec h 6= 0
√ √ √
f (h) − f (0) 1 − h2 − 1 1 − h2 − 1 1 − h2 + 1 h
= = √ =√
h h h 1 − h2 + 1 1 − h2 + 1
Or √
lim 1 − h2 + 1 = 2
h→0
donc √
f (h) − f (0) 1 − h2 − 1
lim = =0
h→0 h h
La fonction f est alors dérivable en 0 et f ′ (0) = 0.
4.3 Dérivées successives

On définit lorsqu’elles existent les fonctions f " par (f ′ )′ et par récurrence :
(
f0 = f
′
∀k ∈ N, f (k+1) = f (k) = (f ′ )
(k)
On notera Dk (I) l’ensemble des fonctions k fois dérivables sur l’intervalle I.
Définition 49. On dit qu’une fonction f : I → R est de classe C k sur l’intervalle I si et

seulement si elle est k -fois dérivable sur lintervalle I et si la fonction f (k) est continue sur
l’intervalle I.
On note C k (I) l’ensemble des fonctions de classe C k sur l’intervalle I. On note C ∞ (I) l’ensemble
des fonctions indéfiniment dérivables sur l’intervalle I.
Théorème 43. C n (I) est un stable par somme. Soient (f, g) ∈ C n (I) et (λ, µ) ∈ R2 , alors
(λf + µg) ∈ C n (I).
Théorème 44. Soient deux fonctions f, g de classe C n sur l’intervalle I. Alors la fonction
(f g) est aussi de classe C n sur l’intervalle I et on la formule de leibniz qui exprime la dérivée
neme du produit :
Xn
(n)
(f g) = Cnk f (n−k) g (k)
k=0
Théorème 45. La composée de fonctions C n est C n . Sif ∈ C n (I, J) et g ∈ C n (J, R), alors
gof ∈ C n (I, R).
Il n’y a pas de formule simple qui donne (gof )(n) .
Définition 50. Soit un intervalle I, et une application ϕ : I 7→ R. Soit un entier k ⩾ 1. On

dit que l’application ϕ est un C k -difféomorphisme de l’intervalle I vers l’intervalle f (I) si et
seulement si :
1. ϕ est de classe C k sur l’intervalle I ;
2. ϕ réalise une bijection de l’intervalle I vers l’intervalle J = f (I) ;
3. La bijection réciproque ϕ−1 : J 7→ I est de classe C k sur l’intervalle J.
Théorème 46. (Théorème de Rolle)

Soit f : [a, b] → R telle que
— f est continue sur [a, b],
— f est dérivable sur ]a, b[,
— f (a) = f (b).
Alors il existe c ∈]a, b[ tel que f ′ (c) = 0.
Cycle Préparatoire
f (a) = f (b)
a c b
Interprétation géométrique : il existe au moins un point du graphe de f o la tangente est
horizontale.
Théorème 47. (Théorème des accroissements finis)

Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Il existe c ∈]a, b[
tel que f (b) − f (a) = f ′ (c) (b − a).
A
B
a c b
Interprétation géométrique : il existe au moins un point du graphe de f o la tangente est
parallèle la droite (AB) o A = (a, f (a)) et B = (b, f (b)).
Lemme 4. (Théorème des accroissements finis généralisé)

Soient f et g : [a, b] −→ R deux fonctions continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[. On
′
suppose que g (x) 6= 0 pour tout x ∈]a, b[, alors :
′
f (b) − f (a) f (c)
∃c ∈]a, b[ tel que = ′
g(b) − g(a) g (c)
Corollaire 5. Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
1. ∀x ∈]a, b[ f ′ (x) ≥ 0 ⇐⇒ f est croissante ;
2. ∀x ∈]a, b[ f ′ (x) ≤ 0 ⇐⇒ f est décroissante ;
′
3. ∀x ∈]a, b[ f (x) = 0 ⇐⇒ f est constante ;
4. ∀x ∈]a, b[ f ′ (x) > 0 =⇒ f est strictement croissante ;
5. ∀x ∈]a, b[ f ′ (x) < 0 =⇒ f est strictement décroissante.
Remarque 20. La réciproque au point (4) (et aussi au (5)) est fausse. Par exemple la fonction
x 7→ x3 est strictement croissante et pourtant sa dérivée s’annule en 0.
Théorème 48. (Règle de l’Hospital)

Soient f, g : I → R deux fonctions dérivables et soit x0 ∈ I. On suppose que
— f (x0 ) = g(x0 ) = 0,
— ∀x ∈ I \ {x0 } g ′ (x) 6= 0.
f ′ (x) f (x)
Si lim ′ = ℓ (∈ R) alors lim = ℓ.
x→x0 g (x) x→x0 g(x)
Remarque 21. .
— La règle de l’Hospital permet de lever (parfois) des formes indéterminées du type 00 ou
∞
∞
dans le cas o f et g tendent toutes les deux vers 0 en x0 , ou vers ±∞, et si le rapport
′
admet une limite finie ou égale ±∞ en x0 .
f (x)
g ′ (x)
— La réciproque du thèoréme précédent est fausse.
′ ′
— Dans le cas o f et g vérifient les mmes conditions que f et g ci-dessus, on recommence
nouveau le procédé.
Exemple 40. .
xn − 1
1. lim
x→1 x − 1
x2
2. lim x
x→+∞ e
Théorème 49. Soient une fonction f : [a, b] 7→ R vérifiant :

(H1) la fonction f est continue sur le segment [a, b] ;
(H2) la fonction f est dérivable sur l’intervalle ]a, b] ;
et f ′ (x) −→x→a l o l ∈ R.
Alors la fonction f est dérivable au point a et f ′ (a) = l.
4.4 Fonctions convexes

Définition 51. Soit f : I 7→ R une fonction définie sur un intervalle I ⊂ R. On dit que f est
convexe lorsque
∀(x, y) ∈ I 2 , ∀λ ∈ [0, 1], f (λx + (1 − λ)y) ⩽ λf (x) + (1 − λ)f (y)
Remarque 22. 1. On dit qu’une fonction f définie sur un intervalle I est concave lorsque :
∀(x, y) ∈ I 2 , ∀λ ∈ [0, 1], f (λx + (1 − λ)y) ⩾ λf (x) + (1 − λ)f (y)
2. Les fonction qui sont la fois convexes et concaves sont les fonctions affines.
Définition 52. On dit qu’une fonction f : I 7→ R est strictement convexe lorsque ∀(x, y) ∈
I 2 , x 6= y
∀λ ∈ [0, 1], f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y)
Proposition 24. Soit une fonction f convexe sur l’intervalle I. Alors :

Pn
∀n ⩾ 2, ∀ (x1 , . . . , xn ) ∈ I n , ∀ (λ1 , . . . , λn ) ∈ [0, 1]n telque i=1 λi = 1
f (λ1 x1 + . . . + λn xn ) ⩽ λ1 f (x1 ) + . . . + λn f (xn )
Lemme 5. Soit f : I 7→ R une fonction convexe :
f (y) − f (x) f (z) − f (x) f (z) − f (y)

∀(x, y, z) ∈ I 3 , x < y < z, ⩽ ⩽
y−x z−x z−y
Cycle Préparatoire
Théorème 50. 1. Si f : I 7→ R est dérivable,
(f convexe ) ⇔ (f ′ croissante )
2. Si f : I 7→ R est deux fois dérivable,
(f convexe ) ⇔ (f ” ⩾ 0 sur I)
Théorème 51. Le graphe d’une fonction convexe est situé au dessus de toutes ses tangentes :
Soit une fontion f : I 7→ R convexe et dérivable.
∀x0 ∈ I, ∀x ∈ I, f (x) ⩾ f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 )

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Université Ibn Zohr

Ecole National des Sciences Appliquées, Agadir

Prof. Said TAARABTI

Année Universitaire : 2023-2024

Ce cours du Module CP-11 : ANALYSE 1 s’adresse aux élèves de la première année du

1 Les nombres réels, Topologie de R 5

2 Les suites réelles 17

3 Fonctions d’une variable réelle 33

1.1 Nombres rationnels

Proposition 1. Un nombre est rationnel si et seulement si il admet une écriture décimale

x = 0, 25 y = 0, 3333333... z = 15, 068214321432143...

104 103 z = 150682143, 21432143... (1.2)

107 z − 103 z = 9999000z = 150667066.

1.2 Nombres irrationnels

1.3 Le corps des nombres réels

(e) . est associative : ∀(x, y, z) ∈ R3 , (xy)z = x(yz)

(h) tout élément x de R∗ admet un inverse, noté x−1 :

1.4 Propriétés élémentaires des nombres réels

4. ∀x, y ∈ R, ∀z ∈ R∗+ , (x ⩽ y ⇐⇒ xz ⩽ yz).

1.4.2 Valeur absolue d’un réel

Déﬁnition 1. On appelle valeur absolue de x ∈ R le réel, noté |x|, déﬁni par :

∀(x, y) ∈ R2 , |x + y| ⩽ |x| + |y|

8. Seconde inégalité triangulaire :

Preuve 1. Pour la démonstration des inégalités triangulaires, on a :

On a égalité si et seulement si x et y sont de mme signe.

−|x| ⩽ x ⩽ |x| et − |y| ⩽ y ⩽ |y|

|x| = |(x − y) + y| ⩽ |x − y| + |y|

Remarque 1. 1. Sur la droite numérique, |x − y| représente la distance entre les réels x

1.5 Densité de Q dans R

Théorème 1. (Axime d’Archimède).

n est appelé la partie entière de x et noté E(x).

Unicité. Si k et ℓ sont deux entiers tels que

E(−x) = −E(x) − 1, ∀x ∈ R\Z

Théorème 2. Q est dense dans R, c’est dire :

∀(x, y) ∈ R2 , (x < y ⇒ ∃z ∈ Q/x < z < y)

Preuve 3. Trouver un tel rationnel z = pq , avec p ∈ Z et q ∈ N∗ , revient trouver de tels entiers

1.6 Partie minorée, majorée, bornée

Déﬁnition 2. Soient M, m ∈ R. On dit que :

2. ]0, +∞[ n’admet pas de majorant.

Exemple 5. Reprenons l’exemple de la partie A = {1 − 1

1. 0 est le plus petit élément de A noté min A. En eﬀet, u1 = 0 donc 0 ∈ A de plus,

1.7 Borne supérieur, borne inférieure

Déﬁnition 3. Soient S l’ensemble des majorants de A et I l’ensemble des minorants de A.

Théorème 3. ( Axiome de la borne supérieure (inférieure))

Remarque 3. Ce théorème n’est pas vrai dans Q, prenons l’exemple :

Théorème 4. (Caractérisation de la borne supérieure)

Théorème 5. (Caractérisation de la borne inférieure).

On peut donner une autre caractérisation, très utile, de la borne supérieure.

On déﬁnit dans R neufs types d’intervalles : pour (a, b) ∈ R2 tel que a ⩽ b,

Remarque 5. Soit a ∈ R, alors :

1.8.3 Ouverts, fermés

Propriétés des ouverts

O3) Toute intersection ﬁnie d’ouverts est encore un ouvert.

Exemple 7. 1. Un intervalle ouvert ]a, b[ est un ouvert de R.

Exemple 8. Vériﬁer que tout intervalle fermé de R est un fermé.

Propriétés des fermés

1.8.4 Intérieur, extérieur, frontière, adhérence

Proposition 5. L’intérieur d’une partie A de R est un ouvert de R et c’est le plus grand

Exemple 9. Montrer que :