Dimensionement Croix de Malte
Dimensionement Croix de Malte
Dimensionement Croix de Malte
0 Bati
1 Moteur
2 Réducteur
3 Engrenage conique 1
4 Engrenage conique 2
6 Manivelle
7 Galet
8 Croix
Ici nous étudierons l’évolution des vitesses et des accélérations du système en fonction des paramètres
d’entrées.
En fonctionnement normal, cet ensemble est soumis aux actions mécaniques suivantes :
Poids propre de l'ensemble de masse m1
Action du bâti (0) au point B transmise par la liaison pivot d'axe (8,4) supposée parfaite,
Couple résistant représentant la résistance des différentes masses a la rotation, il est
modélisé par : ⃗
C f = C f ⃗z 0 avec C f > 0,
Action ponctuelle du galet au point I : ⃗ F I =F I ⃗y 2 avec F I >0 et ⃗
A I = r 3 ⃗y 2 ou r 3est le
rayon du galet.
Données relatives à l'étude énergétique
Le motoréducteur, schématisé dans le schéma cinématique est formé d'un réducteur et d'un
moteur électrique. À l'entrée du réducteur, le moteur développe, à vitesse de rotation
constante ω m ,un couple mecanique Cm. Compte tenu du faible diamètre du galet (3) ; le point
de contact I de l'ensemble (2) avec le galet (3) sera supposé confondu avec le centre A du
galet Le réducteur est caractérisé par son rendement ηr et son rapport de réduction ρr défini
ω
par : ρr = .l’étude énergétique va nous permettre de déterminer le couple moteur C m
ωm
nécessaire à l'entrainement de l'ensemble (2), dans son mouvement par rapport au bâti (0).
⃗
V A / 0= ( )
d⃗
BA d
= (−λ ⃗x 2 )=− λ̇ ⃗x 2+ λ β̇ ⃗y 2
dt O dt
⃗
V A / 0=(− λ̇ cos β + λ β̇ sin β ) ⃗x 0 + ( λ̇ sin β+ λ β̇ cos β ) ⃗y 0
{
d −d
( R cos θ )= dt ( λ cos β )
dt 2
d d
dt
( R 2 sin θ )= ( λ sin β )
dt
d
avec ⃗ Γ G / 0=m1 r 2 ( β̇ 2 ⃗x 2− β̈ ⃗y 2 )Etδ⃗ B / 0=¿ ( ⃗σ B /0 )
R2 /0=m1 ⃗ 1
dt
σ⃗ B /0 =[ I 2 ]B . ⃗
Ω2 /0 =−E2 β̇ ⃗x 2+C 2 β̇ ⃗z 0
d
donc ⃗δ B /0=¿
2
( ⃗σ ) =−E2 β̈ ⃗x 2+ E 2 β̇ ⃗y 2+C 2 β̈ ⃗z 0
dt B /0
{ ( ) | ( ) }
2 2
R2 ω R2 ω
{D 2/ 0 }B = ⃗
R 2/ 0=m1 r 2 ⃗x 0 ⃗δ B /0=E 2 ⃗y 0
D−R2 D−R2
P1=−m1 g ⃗z 0|M ( ⃗
{P }B ={ ⃗ P1 )B =m1 g r 2 ⃗y 2 }
Couple résistant
Fr / 2=0⃗|⃗
{τ r }B= {⃗ C f =C f z⃗ 0 }
Action ponctuelle du galet
F I =F I ⃗y 2|⃗
{τ 3 /2 }B={⃗ M I =⃗ FI }
BI ∧ ⃗
⃗
M I =⃗
BI ∧ ⃗
F I =(−λ ⃗x 2 +r 3 ⃗y 2) ∧ F I ⃗y 2=−λ F I ⃗z 0
D’où
{τ 3 /2 }B={ F I =F I ⃗y 2|⃗
⃗ M I =− λ F I ⃗z 0 }
Théorème de la résultante et d moment dynamique :
La somme des torseurs des actions mécaniques par rapport au point B est égale au torseur
dynamique en ce point :
{ ( )
2
R2 ω
X B =m1 r 2
D−R2
Nous avons donc pour les actions mécaniques :
Y B + F I =0
Z B−m1 g=0
{ ( )
2
L B=0 R2 ω
Pour les moments : m1 g r 2+ E 2 =0
M B +¿−λ F I +C f =0 D−R 2
Etude Energétique :
Puissance utile
Ici, nous déterminerons la puissance développée par l’action ponctuelle du galet a point I, dans le
mouvement de la manivelle par rapport au bâti. Cette puissance est maximale lorsque θ = β = 0.
P u= ⃗
FI . ⃗
V A / 0=F Imax . R2 ω . ⃗y 2 . ⃗y 1
Or lorsque θ = β = 0, ⃗y 2=⃗y 1 = ⃗y 0
C f R2 ω
Donc Pu=
D−R2
Pour obtenir la puissance moteur Pm, nous avons besoin des paramètres suivants :
Le couple résistant C f
Les paramètres géométriques de la croix de malte :
'
D l entraxe de la croix de malteet R2 ,rayon de la manivelle
Nous savons que le rendement du réducteur est de l’ordre de 95%
Nous allons rechercher ces paramètres dans la suite de l’analyse.
Calcul des paramètres géométriques de la croix de malte
Rext = 300 mm
e epaisseur = 12 mm
Rrain= 20 mm après on va vérifier cette dimension avec le calcul RDM du diamètre du galet
R v= 100 mm
Après le dimensionnent de tous les éléments on va faire un calcul de vérification des éléments
notamment la résistance de la croix de malte. Pour la longueur de la rainure Lrain : Selon
Techniques d’ingénieur la longueur minimale doit vérifier :
-Les rainures du plateau doivent avoir au minimum la longueur suivante :
( ( πZ )−1
)
sin
l min= Rext * 1+
cos ( )
π
Z
| Z=6
Or R =200 mm
ext
l min= 85 mm donc on prend l rainure= 90 mm
Selon le cahier de charge on a le rayon jusqu'au centre des pièces est : A X =¿ 150mm et les pièces
ont un rayon de 100 mm, donc si on ajoute une marge de 100 mm le rayon du plateau devient :
R p = 250 mm
- Masse et épaisseur
Dans le cahier de charge on ne spécifie ni le matériau du plateau, ni les conditions de
fonctionnement, donc on va prendre comme matériau l’acier que ça soit pour le plateau ou pour
la croix de malte, puisque si on fait la conception avec ce matériau, on n’aura pas de problème au
niveau de la résistance du système si on décide de changer l’acier pour utiliser un autre plus
léger, la masse volumique de l’acier est : ρ = 7850 kg/m3
Et aussi afin de surestimer les efforts appliqués par le plateau on prend l’épaisseur : e=20 mm Le
dimensionnement du plateau avec cet épaisseur va nous procurer une marge de sécurité si on
décide de faire des modifications dans le plateau (l’ajout d’un montage pour les pièces…). Ainsi
la masse du plateau est :
M p lateau = ρ π R p2.e = 31 kg.
Le plateau est lié à la croix par un axe. Nous supposons dans nos calculs que la croix est un
cylindre plein de rayon 200mm et d’épaisseur 20mm. Donc M croix = ρ π R croix 2.e = 20 kg et sa
distance par rapport a l’axe de la manivelle est D = 300mm
Nous supposons aussi que la manivelle est un cylindre plein de rayon 150mm et d’épaisseur
20mm. Donc M manivelle = ρ π R manivelle2.e = 11 kg.
Masse des pièces à transporter : les pièces à transporter sont en aluminium (densité 2700kg/
3
m ¿de forme cylindrique de diamètre 100mm et d’épaisseur 2 mm donc la masse est :
M pieces = ρ Al π R p iece 2.e piece = 0,04Kg
Selon le Cahier de charge on a le temps d’arrêt de la croix de malte, on prend max des
On suppose pour simplifier et aussi puisque la durée de temps de marche est de l’ordre de
secondes, que la vitesse suit une loi triangulaire :
|
π
d d= R p
V moy = or 6 implique V moy = 0,52 R poste mm. s−1
Tm
Tm
- La vitesse du maneton
On a selon technique d’ingénieur pour un système croix de malte extérieur :
|
1
α= =2
π
ω= φ max
˙ ( α – 1) or sin implique
6
−1
˙ =1 ,04 rad . s
φmax
Le seul couple résistant qu’on a est le couple qui est dû à l’inertie de {plateau + pièces + croix de malte}
donc :
|
m p=31 k g
2
J ∆ p = mr +m D2 or et D = 300mm, la distance entre l’axe du plateau et
2 r p=2 50 mm
l’axe de la manivelle. ainsi J ∆ p =3,76k g.m2
|
m =0 , 04 k g
2
m r
J ∆ pces = p p or p ainsi J ∆ pces =5.10−5 k g.m2
2 r p =0 , 05 m
10 k g.m
−3 2
|
mmani=11 k g
2
J ∆ m= mr or . ainsi J ∆ manivelle=0,12k g.m2
2 r mani=1 50 mm
| mcroix =2 0 k g
2
mcroix r croix
J ∆ croix= + mcroix D
2
or ainsi J ∆ croix=2,2 k g.m2
2 r croix =2 00 mm
Donc finalement :
|
J ∆ p=3 ,76 k . mg
2
J ∆manivelle =0 , 12
J ∆ = J ∆ p + J ∆ pces + J ∆ croix+ J ∆ manivelle/axe manivelle or J 2
∆ pces=0,022 k .m g
J ∆ croix=2 , 2 k .m g
2
Ainsi J ∆ =6 ,11k . m
g
2
C f =J ∆ . φ̈ = or
|
J ∆=6 , 11k .m
g
φ̈=0 , 65 rad . s
−2
2
C f = 4 N.m
Choix du moteur :
Nous trouvons que la puissance minimale nécessaire pour déplacer les pièces est de 4,16W. nous
choisirons un moteur dont la puissance est proche de cette valeur.
Dans le catalogue ci-dessous nous choisissons un moteur de puissance 90W qui est la valeur la
plus proche de 4,16W.
Figure 5 : Choix du moteur
|
σ ad =140 Mpas ( Acier)
C=Rrayon (rayon rec h erc h ee ) R
√
1
I 3 M max
M max ≤ σ ad or rayon= 4
σad π
C 4
πR
I=
4
√
Rrayon min= 3 4
M max
σ ad π
on a M max = F. L= 1,1 N.m
Vu que la largeur de la rainure est de 20mm, nous choisissons D galet =15 mm.
Pm
Cet arbre est sollicité en torsion et reçoit un couple M t = =173 N . mqui correspond au couple
ω
que reçoit l’arbre lie à la manivelle.
La condition de résistance de l’arbre s’écrit :
√
16 C f 1 16 M t
τ max= ≤ Reg = Re ⟹ d ≥ 3
πd
3
2 π Re
2s
S est le coefficient de sécurité, nous prenons s=2, Re =235 Mpa
Dimensionnement du réducteur :
Il s’agit de trouver les caractéristiques du réducteur pour pouvoir faire un choix raisonnable. Le
choix du type de réducteur est celui d’un réducteur orthogonal à cause de la disposition de l’axe
du moteur et du contenant.
Nous avons trouvé plus haut la vitesse du plateau, qui représente la vitesse à la sortie du
réducteur ω=0 , 52 rad /s
ω 0 ,52
Le rapport de réduction du réducteur est ρr = = =0,0072
ωm 72, 22
Nous recherchons ici, un réducteur dont le rapport de réduction est proche de 0,0072.
Nous choisissons dans le catalogue des réducteurs a train d’engrenage cylindrique a denture
droite, un réducteur dont le rapport est de 0,008, qui est le rapport le plus proche de 0,0072 que
nous avons trouvé.