V.

CONTROLE VECTORIEL PAR LA METHODE DU CHAMP ORIENTE

V.1. Introduction

Les machines à courant continu (MCC) occupent encore de nos jours la majeure partie du
marché de la variation de vitesse et de la robotique. On utilise les machines à excitation série pour la
traction électrique et à excitation séparée pour la robotique. Ces dernières ont une qualité intrinsèque:
elle permettent un contrôle séparé du flux et du couple.

(1)

- Ψf : Le flux imposé par le courant d’excitation If (indépendant de Ia si la réaction

d’induit est négligeable).

- Ia courant induit

A flux constant, le couple est régulé par Ia.

La production de couple et la création de flux sont indépendantes. Nous avons l’objectif d’un
pilotage vectoriel.

Cependant, cette machine sensible nécessite un entretien relativement lourd et possède une
puissance massique inférieure et un prix supérieur aux autres technologies de moteurs. On a donc
cherché à les remplacer par des machines synchrones ou des machines asynchrones.

En particulier, nous avons vu au paragraphe précédent que la machine synchrone autopilotée à

aimant permanent et f.e.m. trapézoïdale possédait les même qualités. Mais son utilisation reste limitée
pour des puissances inférieures à 50kW et ne permet pas une réduction du flux d’excitation (sans un
contrôle vectoriel).

Cependant, ces dernières années ont favorisé le développement des nouvelles technologies de
semi-conducteurs et de convertisseurs permettant une augmentation des fréquences de commutation et
par conséquence une meilleure maîtrise de la conversion d’énergie. Parallèlement, les moyens de
calcul ont considérablement évolué. Tous ces progrès ont permis l’application de nouveaux
algorithmes de commande assurant un découplage du flux et du couple dans les machines à courant
alternatif, en régime transitoire et permanent.
 Cette maîtrise indépendante du couple et du flux rend possible l’utilisation de ces machines sur
des marchés traditionnellement occupés par les moteurs à courant continu. Le pilotage vectoriel
respecte un certain nombre de contraintes spécifiques à ces applications :

Traction électrique Robotique

 minimiser les ondulations de couple  dynamique élevée,
(pour diminuer les vibrations).  fournir un couple de maintien à vitesse
 Fournir un couple d’appel important nulle : positionnement,
(pour le démarrage du train)  permettre un asservissement de position
 Assurer un contrôle rapide du couple en sans dépassement pour les machines
cas de perte d’adhérence, outils.
 Autoriser une reprise de l’onduleur avec
une machine déjà magnétisée

Tableau 1 : Objectifs recherchés en traction électrique et en robotique

Nous allons présenter l’application de ces nouvelles techniques de pilotage sur les machines
asynchrones et synchrones.

V.2. Commande vectorielle des machines asynchrones

La commande par orientation de flux consiste à régler le flux par une composante du courant
et le couple par l’autre composante. Pour cela, il faut choisir un système d’axe d,q et une loi de
commande assurant le découplage du couple et du flux.

Or le couple et donné par :

(2)

Donc, si le flux rotorique est orienté sur l’axe d( et ) d’un repère lié au champ

tournant, alors le couple devient :

(3)

et l’évolution du flux est donnée par :

(4)

avec Tr constante de temps rotorique.

Figure 12.2: Découplage du coulpe et du flux

Le courant ids fixe le flux et le courant iqs, le couple. On retrouve le comportement d’une

machine à courant continu. La liaison du repère d, q avec le champ tournant est assurée

par l’autopilotage de la machine.

La régulation de flux peut être soit directe soit indirecte.

 Contrôle direct : le flux est régulé par une contre réaction. Il doit être mesuré (rarement) ou estimé
(voir chapitre 13). La pulsation statorique ωe est directement évoluée à partir de la position du flux
dans le repère lié au stator.

 Contrôle indirect : le flux n’est ni mesuré ni reconstruit. Il est fixé en boucle ouverte. Les
tensions ou les courants assurant l’orientation du flux et le découplage sont évolués à partir d’un
modèle de la machine en régime transitoire.

Toutes ces techniques, a priori attractives, possèdent un inconvénient majeur. Le comportement

de la machine et de sa commande vectorielle et fortement dégradé par variation des paramètres liée à
la température, à la fréquence (résistance rotorique), à la saturation (inductance, couplage)….
Souvent, une adaptation en ligne de ces paramètres est nécessaire pour maintenir un niveau de
découplage et de performance acceptable.

Le choix des variable de commande, du repère et du flux (rotorique, statorique ou d’entrefer)

fixe :

 Les coefficients dépendant du temps (pulsation ωe, ωsl ou ωm) dans la matrice d’état décrivant la
machine et son alimentation,
  Les paramètres susceptibles de varier avec la température, la fréquence ou la saturation dans les
lois de commande obtenus à partir de l’exploitation du modèle de la machine…

Il résulte aussi du type d’alimentation retenu et des possibilités de mesure ou d’estimation.

La synthèse d’une commande vectorielle se déroule en plusieurs phases :

 Choisir la machine et son alimentation (source et convertisseur).

 Choisir la nature des consignes (flux et couple, flux et glissement…),

 Déterminer le repère d, q et la nature de l’orientation (du flux rotorique sur l’axe d par exemple),

 En déduire les variables de commande (courant i ds, iqs, pulsation ωsl) adaptées au type
d’alimentation, un modèle d’état de la machine faisant apparaître la variable intervenant dans
l’orientation (le courant, le flux…),

 Déterminer, à partir du modèle d’état, la loi de commande assurant le découplage du flux et du

couple et l’autopilotage réalisant l’orientation du repère.

Ce dernier peut être lié au stator :

Au rotor :

Ou au champ tournant :

En général, cette dernière solution est retenue pour réaliser le pilotage vectoriel du fait que les
grandeurs de réglage deviennent continues dans ce référentiel comme il a été vu au chapitre 3. Pour
agir sur les grandeurs réelle, il faut alors opérer un changement de référentiel c’est-à-dire la
transformation inverse de Park et de Clarke.

De même à partir des grandeurs saisies pour l’estimation ou le contrôle, il convient pour passer
dans ce repère, d’opérer les 2 transformations Si bien qu’une commande
vectorielle comprendra souvent cette double transformation.

Cependant, le repère lié au stator est aussi utilisé pour l’estimation des flux (voir chapitre 13)
dans les commandes directes.

Dans le cas de l’utilisation de repère lié au champ tournant, la machine est modélisée par :
 (5)

(6)

A partir de ce système d’équations et des relations liant les flux et les courants(voir chapitre3),
nous pouvons mettre en équation la machine et son alimentation :

Dans le cas d’une alimentation en courant, les variables de commande sont ids, iqs, ωsl ou ωe.
Le tableau suivant donne les modèles les plus fréquemment rencontrés.

Modèle Variables d’état Equation d’état

on pose

avec
et

utilisées pour orienter pLm

Te 
Lr

dr i qs  qr ids 
8 idr , i qr , 

on pose avec

et

et

on pose
 et
avec

et

Tableau:Modélisation des machines asynchrones alimentées en courant

Dans le cas d’une alimentation en tension, les variables de commande sont vds, vqs et ωe ou ωsl
, les tableaux décrivent les modèles les plus courants.

Mod Variables d’état Equation d’état

èle
10

avec
on pose

et

et

11
avec
 on pose

et

et

12
avec

on pose

et

et

13
avec

on pose

et
 ce modèle est déduit de 4 avec :
et
et de 5 avec :
et

Tableau : Modélisation des machines asynchrones alimentées en tension

On remarque que l’ordre de la matrice d’état A pour une alimentation en tension a été doublé
par rapport à celui pour une alimentation en courant. La complexité de la commande en est
considérablement accrue.

La deuxième étape du raisonnement consiste à fixer l’orientation du flux. Trois choix sont
possibles :

 Flux rotorique :

14

 Flux statorique :

15

 Flux d’entrefer :

16

L’orientation du flux rotorique permet d’obtenir un couple de démarrage important mais

nécessite une adaptation des paramètres rotoriques. Celle du flux rotorique et du flux d’entrefer ne
donne pas d’aussi bonnes performances mais requiert des lois d’adaptation moins complexes.

A partir de l’orientation retenue, il faut réécrire les équations d’état de la machine associée à
son alimentation pour obtenir les lois de commande et d’autopilotage.

Nous illustrerons notre propos par la synthèse des lois vectorielles effectuant une orientation du
flux rotorique mais d’autres choix sont possibles. Pour simplifier l’exposé, nous n’aborderons pas la
discrétisation des commandes. Celle-ci doit cependant être faite avec soin. Une fréquence
d’échantillonnage trop grande peut provoquer l’instabilité du système [P IETRZAK-DAVID 93]. Il est
préférable de découper l’algorithme en tâches rapides et en tâches lentes. La commande MLI, les
transformations de coordonnées et le calcul de l’orientation des repères constituent les tâches rapides.
V.2.1. Machine asynchrone alimentée en courant

V.2.1.1. Commande indirecte

Principe

Dans un repère lié au champ tournant, reportons les conditions 8 dans le modèle 1 :

soit 17

18

On peut alors évaluer les courant ids nécessaires pour créer le flux et le courant iqs pour
produire le couple Te.

La pulsation de glissement est obtenue à partir de l’équation :

soit 19

En complétant avec la loi d’autopilotage

20

On détermine complètement le pilotage vectoriel.

La composante directe du flux rotorique est déterminée à partir de la vitesse de rotation du

moteur.

ψr

--Ωn Ωn Ω
 Figure12.3 : Calcul de

Au delà de la vitesse nominale, le flux de la machine est réduit. On retrouve un fonctionnement

à flux réduit déjà rencontré avec les commandes scalaires.

Le schéma complet d’une régulation de vitesse est donné sur la figure ci-dessus.

A partir des consignes de flux et de couple les composantes ids et iqs sont calculées.

L’orientation du repère lié au champ tournant est donnée par l’intégration de la pulsation
statorique obtenue par la loi d’autopilotage .

On peut alors calculer les composantes triphasées des courants après une rotation de et une
transformation diphasées /triphasée dans le repère lié au stator. Les courants sont alors reconstitués par
un onduleur associé à une MLI.

Le filtre passe bas permet de rendre les blocs physiquement réalisables (le degré du
numérateur d’une fonction de transfert doit être inférieur ou égal à celui du dénominateur).

Le couple étant directement lié à la pulsation , on peut adopter cette dernière comme

référence en lieu et place de Te. La consigne iqs est donnée par . on obtient alors le
schéma de la figure ci-dessous :
Dégradation des performances et limites de fonctionnement

L’évolution du flux rotorique est décrite par l’équation par l’équation (4). Le flux évolue en
réponse à une variation de courant. La dynamique du réglage est fixée par la constante de temps
rotorique Tr.

Dans le cas d’une méthode directe, les composantes du courant i ds et iqs sont évaluées à partir du
flux rotorique et du couple désiré par une exploitation des équations d’état décrivant la machine.
Cette commande dépend donc fortement des paramètres de celle-ci.

Un changement de température ou de fréquence provoque une modification de la résistance

rotorique et statorique. Un déplacement du point de fonctionnement sur la courbe B(H) entraîne un
changement de l’inductance rotorique. Le couple électromagnétique s’écarte alors de la valeur
désirée. Une erreur sur la position du flux entraîne une perte de découplage d’où une altération de la
réponse en régime transitoire et régime permanant. Elle conduit à une dégradation notable de la
réponse pour les faibles vitesses de rotation, elle amène des oscillations sur la vitesse et réintroduit
une non linéarité (sur le réglage du couple).
V.2.1.2. Commande directe
Dans un schéma de commande par orientation du flux rotorique, ce dernier peut être régulé. Il
faut alors estimer ou plus rarement mesurer sa valeur. La précision et la robustesse (vis-à-vis des
variations de paramètres) de l’estimateur de flux influe sensiblement sur les performances de cette
méthode [PIETRZAK DAVID 93]. Les estimateurs de flux et de couple seront présentés au chapitre
13.

Le schéma donne le principe de cette commande.

[Fu 91] propose une estimation du flux rotorique à partir de ids, iqs et ωsl.

et (21)

On peut comme au chapitre suivant estimer le flux statorique dans un repère lié au stator. On
en déduit le flux rotorique. On calcule alors l’orientation du repère lié au champ glissant à partir des
composantes du flux rotorique dans ce repère, en utilisant la relation :

(22)

avec et les composantes du flux rotorique dans un repère lié au stator.

α β

Ψr
Өs
Ψr
α
Ψrα

Figure12.7 : Calcul de l’orientation du repère

On obtient alors un schéma de commande directe par orientation du flux rotorique.

Cependant, cette méthode peut donner un résultat fortement entaché d’erreur si la machine est
saturée.

Les performances de l’estimateur se dégradant à haute fréquence cette méthode ne peut être
utilisée sur cette plage de fonctionnement.

V.2.2 Machine asynchrone alimentée en tension

Les remarques faites au chapitre précèdent, sur la stabilité de ces commandes vis-à-vis des
variations de paramètres gardent toute leur justesse. L’augmentation de l’ordre des systèmes avec
l’introduction des transferts tensions/courants accroît cette dépendance paramétrique.

Cependant, les onduleurs de tensions ne nécessitent pas d’inductances lourdes ou coûteuses

indispensable pour réaliser une source de courant. On préfère souvent ces dispositifs en traction
électrique (TGV Transmanche, voiture électrique à moteur asynchrone…).

V.2.2.1.Commande vectorielle
Comme précédemment, les lois de commande sont obtenues en exprimant que et
dans les équations d’états de la machine représentée dans le repère lié au champ tournant
rotorique.

La position Өs de l’axe d par rapport au stator est obtenue soit par intégration de ωe=ωsl+pΩ
dans le cas d’une commande indirecte où à partir de l’équation (22) si l’on dispose d’une estimation
du flux rotorique (comme c’est le cas sur les schémas de commande directe). La vitesse Ω peut être
mesurée ou estimée.

Reprenons le modèle (13) :

avec :
et

Avec : et

Injectons les conditions (14). On obtient :

(23)

(24)

(25)

(26)

Ces expressions peuvent être exploitées telles quelles pour réaliser la commande vectorielle
mais elles ont un gros inconvénient : vds influe à la fois sur ids et iqs donc sur le flux et le couple.

Il en est de même pour vqs. On est alors amené à réaliser un découplage. Cela revient à définir
deux nouvelles variables vds1 et vqs1 sur iqs. Une telle méthode sera présentée au chapitre 12.3.

Vds1 k ids
1  Ts

Vqs1 k iqs
1  Ts
 Figure12.8 : Commande découplée

Ces méthodes admettent de multiples variantes. Citons à titre d’exemple, une approche
originale proposée par [CASADEI 93]. Le schéma de principe est donné sur la figure 12.10.

Il réalise la commande vectorielle dans un repère lié au champ tournant dans l’axe d est lié au

flux rotorique et adopte pour variable de commande

Le modèle (11) permet alors d’écrire :

(27)

(28)

Soit compte tenu de et , on obtient les lois de commande :

(29)

(30)

Ψds permet de fixer le flux rotorique Ψr avec une constante de temps , Ψqs permet de
régler le couple.

Le flux statorique peut être estimé dans un repère fixe par rapport au stator (voir chapitre
13). Le flux rotorique dans ce même repère est alors donné par :

(31)

On peut donc déduire l’orientation Өs de par rapport au repère lié au stator et donc de
l’axe d (du repère lié au champ tournant) par rapport au stator :

MA
S

Ia Ib Ic va vb vc

Commande par Transformation

Commande par Transformation
hysteresis a,hysteresis
b, c→d, q a, b, c→d, q
 Өs Өs

V*a V*b V*c vds vqs

Transformation
Өs d, q → a, b, c Estimateur ωe ou ωsl

V*ds V*qs

Découplage

V*ds1 V*qs1

K i1 K i2
K p1  K p2 
s s
Régulateur Régulateur
flux couple

- -

+ +

Contrôle de flux

MA
S
Figure.12.9 :- Contrôle vectoriel direct du flux d’une machine alimentée en tesion
va vc vb Ia Ib Ic Xs : Variable représentée dans un repère
lié au stator

Xe : Variable représentée dans un repère

lié au champ tournant
Commande par Commande
Transformation
par
hysteresis hysteresis
a, b, c→d, q Orientation de l’axe d du repère lié au
champ tournant par rapport au repère lié
au stator

Avec les composantes du flux rotorique

Is
s dans unCalcul
repèrede lié au stator.
l’orientation

Estimateur s

- Rotation Loi de
+ commande


se Te
 Figure 12.10.- Contrôle vectoriel direct du flux rotorique par le flux statorique.

A partir des consignes de couple et de flux rotoriques, les lois de commande donnent les
coordonnées Ψds et Ψqs du flux statorique désiré dans un repère lié au champ tournant.

L’estimateur fournit le flux statorique dans un référentiel fixe par rapport au stator. A partir
de ce flux et du courant statorique, on en déduit l’orientation de l’axe d lié au champ tournant. On peut
donc calculer les composantes de dans un repère lié au stator. L’erreur entre la consigne et la
valeur estimée permet l’évaluation de la tension à appliquer au pas d’échantillonnage suivant. Cette
commande est très sensible à une variation de R S et de σLs. L’auteur [CASADEI 93] propose une
adaptation de ce dernier paramètre.

Toutes ces méthodes admettent des versions directes ou indirectes.

V.2.2.2. Commande directe du flux et du couple

Souvent, la commande vectorielle ne peut être maintenue en survitesse. La fréquence des
commutations devient trop importante. On adopte alors une commande directe en couple et en flux
[ANDRESEN 93] [BOLEDA 92]. Le schéma de principe est donné sur la figure ci-dessous (figure
12.11)
 Figure 12.11 :- commande directe du flux et du couple

Dans un repère lié au stator, le flux et le couple Te sont estimé. Un algorithme élémentaire
donne alors le secteur n où se trouve le vecteur flux statorique (voir figure 12.12). L’erreur entre
la consigne de flux et le module de est envoyée sur un comparateur deux états à hystérésis (sortie
uΨ). Celle entre la consigne de couple et Te est introduite en entrée d’un comparateur trois états à
hystérésis (sortie uTe). A partie des signaux uΨ, uTe et n, une table donne l’état des interrupteurs (voir
tableau 12.5).

Secteur n
I II III IV V VI
UΨ UTe
1
1
0

-1

1
0 0
 -1

Tableau 12.5: Détermination des séquences de conduction

représente le vecteur de tension obtenu en sortie de l’onduleur pour la configuration « i ».

0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 0 1
0 1 0 1 0 1
0 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 0
1 0 1 0 1 0
1 1 1 0 0 0
Tableau 12.6: correspondance vecteur de tension en sortie de l'onduleur- configuration.

L’évolution du flux statorique est imposée par le vecteur de tension :

(12.33)

Dans chaque secteur, le flux est maintenu dans une bande d’hystérésis autour de sa valeur de
consigne à l’aide des deux configurations définies par les vecteurs adjacents (dans le secteur I par
).

Le contrôle du couple est assuré par une commutation entre les états de repos (où, la tension
appliquée aux bornes de la machine étant nulle, le flux statorique reste fixe) et els états actifs (où, la
machines étant alimentée, le flux statorique avance ). Une augmentation du couple de consigne conduit
à une accélération du flux donc une augmentation du glissement et du couple T e. Inversement, une
diminution du couple de consigne entraîne une décélération du flux statorique, donc une diminution du
glissement et du couple Te.
 Figure 12.12.- trajectoire du flux statorique

V.3. Commande vectorielles des machines asynchrones

Les principes généraux des commandes vectorielles des machines asynchrones restent
identiques à ceux introduits pour les moteurs asynchrones mais avec des spécificités suivant les
technologies utilisées (machines à rotor bobiné, à pôles saillants ou à pôles lisses, à réluctance variable
directe ou inversée, à aimants montés en surface ou enterrés) .

Ces contrôles permettent une amélioration du temps de réponse et de la qualité du couple mais
conduisent à des commandes complexes.

Nous n’aborderons pas le cas des machines à reluctance variable pour ne pas alourdir l’exposé.
Cependant, le lecteur pourra ce reporter aux références données dans la bibliographie [BOLEDA 94]
[VAS 94].

Le contrôle vectoriel porte en général sur des machines alimentées en tension et régulées en courant
sur les axes d et q. cette topologie permet une meilleur dynamique dans le contrôle du couple tout en
évitant les inconvénients d’une alimentation en courant.

Dans tous les cas de figure, l’autopilotage assure .

V.3.1. Principe de la commande vectorielle d’une machine synchrone

alimentée en tension et régulée en courant
Au chapitre III, on a montré que dans un repère d, q avec l’axe aligné sur le flux rotorique

(12.34)

(12.35)

Pour une machine à aimant :

(12.36)
 (12.37)

et dans le cas d’une machine à rotor bobiné avec amortisseurs :

(12.38)

(12.39)

avec composante sur l’axe d du flux inducteur engendré par les aimants de la roue
polaire

(12.40)

Dans le cas général le couple est donne par :

(12.41)

Et pour une machine à f.e.m. sinusoïdale dont le flux est imposé par des aimants et sans
amortisseur, 12.41 se simplifie en :

(12.42)

Dans le cas d’une machine sans saillance (Ld=Lq) et sans amortisseur, le couple
électromagnétique ne dépend que de la composante du courant sur l’axe q. la puissance absorbée est
optimisée pour un couple donnée si ids=0.

La commande doit maintenir ids=0 et réguler le couple avec iqs.

Si la machine possède une saillance directe (L ds>Lqs) ou inverse (Lqs>Lds), le couple dépend
simultanément de iqs et de ids. Dans le cas des machines à aimants, on peut utiliser i ds pour affaiblir,
dans une certaine mesure, la composante du flux sur l’axe d (voir le paragraphe suivant).

La régulation du courant peut se faire à l’aide de comparateurs à hystérésis (voir figure 12.13
pour une machine à rotor bobiné sans saillance)[NOVOTONY 91]. Mais le principe reste valable pour
des machines à aimants [DHAOUDI 90].

A partir de 12.34 à 12.40, pour une machine à aimant, on obtient :

(12.43)

(12.44)

et (12.45)
 Ces équations montrent que vds et vqs dépendent à la fois des courants sur les axes d et q.

On est donc amener à implanter un découplage comme pour la machine asynchrone alimentée
en tension. Cette technique est développée au chapitre (12.3) dans le cas de la machine synchrone.

On omet souvent les termes de découplage si la fréquence de travail du convertisseur et celle

d’échantillonnage sont suffisamment élevées [LEVI 91]

Dans notre exemple, on peut définir :

(12.46)
 (12.47)

(12.48)

(12.49)

On a donc :

(12.50)

La commande obtenue est représentée sur la figure 12.14.

V.3.2. Réduction du flux dans les machines synchrones à aimants
Dans les machines synchrones à rotor bobiné, une réduction du flux Ψ f peut être obtenue par
une diminution du courant inducteur. Mais cette technique ne peut plus être utilisée lorsque le flux est
créé par des aimant permanant. Pour les vitesses supérieures à la vitesse nominale de la machine, la
tension est maintenue constante. L’accroissement de vitesse est obtenu par une réduction de flux. La
machine fonctionne dans une région à « puissance constante ».

Dans ce cas, les machines à aimants enterrés présentant une forte saillance (rotor laminé
axialement) sont les mieux adaptées aux applications qui nécessitent une grande plage de survitesse
[VAS 94 p116][SOONG 94].

L’affaiblissement du flux reste possible avec d’autres technologies (aimants en surface…).

Mais la stratégie de contrôle assurant un couple maximal en mode « défluxé » est différente et peut
présenter différentes options.

Au dessus de la vitesse de base, la tension ne doit pas augmenter. Il faut donc effectuer une
réduction de flux. Celle-ci est obtenue en introduisant une composante négative sur i ds (on considère un
repère dq dont l’axe d est lié à Ψf). Cette dernière, opposée au flux inducteur Ψ f provoque une
réduction du flux d’entrefer. Mais on doit alors réduire iqs pour avoir [LEOHNARD
94] ce qui implique un affaiblissement du couple. Ce mode de réduction du flux est moins performant
qu’une diminution directe du flux inducteur dans le cas d’une machine à rotor bobiné (il implique
nécessairement une augmentation de et donc des pertes). Son utilisation doit demeurer limitée
dans le temps pour ne pas provoquer un échauffement excessif de la machine.
 Représentons plus précisément les différents modes de fonctionnement d’un moteur à aimants
permanents [JAHNS 87] [DHAOUADI 90]. Dans le plan ids , iqs . Pour simplifier les calcules, nous
supposons Rs=0.

Les zones de fonctionnement (figure 10.16) sont limitées par les contraintes en tension et en
courant du convertisseur et de la machine.

La limite en courant

(12.51)

est donnée par un cercle centré sur l’origine.

Celle en tension est déterminée par :

(12.52)

soit :

(12.53)

Rappelons pour la machine synchrone.

L’équation 12.53 définit des trajectoires ellipsoïdales dont les dimensions diminuent avec la vitesse et

centrées en .

Les courbes Te=cste sont des hyperboles présentant une asymptote parallèle à l’axe q est passant par

Représentons ces courbes sur la figure 12.16 dans le cas où Lqs>Lds [BIANCHI 94] :
On distingue trois types de fonctionnement :

1. Mode à couple constant

Lorsque la machine tourne en deçà de ça vitesse nominale, le couple est limité par l’amplitude
maximale de courant. La loi de commande assure un rapport (couple/intensité) optimal. Ceci
correspond au point de tangence de l’hyperbole associée au couple désiré et au cercle Is=cste. Le point
A donne le couple maximal que peut fournir la machine avec un courant Is =Imax.

2. Mode à flux réduit avec limite en tension et en courant

De la vitesse nominale (point A, vitesse ) jusqu’à la vitesse (point B), la loi de

commande maintient le courant et la tension à la valeur nominale. Le point de fonctionnement (i ds,iqs)
est donc donné par l’intersection du cercle définissant le courant limite et l’ellipse relative à la tension
maximale à la vitesse considérée. Une augmentation de ωm se traduit par une diminution de la taille de
l’ellipse (Vs=Vmax) et un déplacement du point d’intersection sur le cercle I=Imax. L’augmentation de la
vitesse se fait avec diminution du couple disponible à « puissance constante ».

3. Mode à flux réduit et limite en tension (zone où la puissance décroît)

Pour une machine telle que (le centre des ellipse C est à l’intérieur du cercle
I=Imax) et au-delà de , la loi de commande assure un couple maximal avec une tension limitée à ça
valeur nominale Vmax. A ωm donné (ids,iqs) est donc défini par le point de tangence de l’hyperbole du
couple et de l’ellipse (Vs=Vmax).

Lors d’une augmentation de vitesse, le couple et la puissance disponibles sont réduits.

Avec les hypothèses retenues, il n’y a pas de limite en vitesse (à part des contraintes mécaniques).
La trajectoire converge vers C pour un couple nul.

Les limites et l’existence de ces modes de fonctionnement dépendent des classes de machines utilisées.
Le lecteur peut trouver une description complète dans [SOONG 94].

V.3.3. Séparation de modes, découplage

V.3.3.1. Séparation de modes
Cette méthode [PIEZTRAK- DAVID 88] [DE FORNEL 89] [BORNE 92B] consiste à séparer

les composantes lentes et rapides du vecteur d’état . Les premières sont regroupées dans x1 et

les secondes dans x2. On est souvent conduit, par exemple, à séparer les grandeurs électriques
(courant…) et mécaniques (vitesse de rotation…).

L’objectif est de ramener le système sous la forme suivante :

(12.54)

(12.55)

(12.56)

avec

Ces équations font intervenir deux échelles de temps :

 t : pour les variables tentes,

 τ = t/ε échelle dilatées pour les variables rapides.

Les variables x1 et x2 sont décomposées suivant leurs composantes lentes et rapides (le
fondamentale et leurs harmoniques par exemple).

On pose donc :

On suppose que les variables rapides ont atteint leur régime d’équilibre pour écrire le modèle
lent (ε=0) :

(12.57)

(12.58)

(12.59)

On en déduit les équations du sous système « lent » :

(12.60)

(12.61)
 Le système rapide est obtenu en représentant les variations x2r de x2 autour de son régime établi

x2l et e supposant les variables lentes constantes

(12.62)

(12.63)

On peut alors calculer séparément les gains des retours d’état (voir chapitre 14) et en déduire la
loi de commande :

(12.64)

Le lecteur trouvera une application de cette méthode au chapitre 13.2.1dans le cadre d’un
estimateur de flux.

V.3.3.2. Découplage
Les lois de commande vectorielles des machines asynchrones alimentées en tension présentent
des couplages entre les actions sur les axes d et q . le flux et le couple dépendent simultanément des
tensions vds et vqs.

Ainsi, si nous reprenons la description d’une commande vectorielle par orientation du flux
rotorique sur l’axe d d’un repère lié au champ tournant, nous avons montré au paragraphe V.2.2 :

(12.65)

(12.66)

(12.67)

(12.68)

Ces équations mettent en évidence le couplage entre les actions sur les axes d et q.

ids
vds Fvds ids + Fids  flux flux
+

Fvds ids

Fvqs iqs
vqs + iqs
Fvqs iqs Fiqs couple couple
+
vqs Couplage
 Figure 12.17.- description des couplages.

Découplage par compensation

Définissons deux nouvelles variables de commande vds1 et vqs1 [ROBOAM 91] [PIETRZAK-DAVID
93] :

et (12.69)

avec (12.70)

et

soit (12.71)

Les tension vds et vqs sont alors reconstituées à partir des tension vds1 et vqs1 :

femd

-
vds1 vds flux
+
MAS
+
Commande
+ vqs Vectorielle
vqs1 couple
-

Figure 12.18.-Reconstitutions
Femq des tensions vds et vqs

Nous définissons ainsi un nouveau système (figure 12.19) pour lequel :

(12.72)

L2r
Les actions sur les axes d et q sont donc découplées.
vds1 ids
Ls L2r s  Rs L2r  Rr L2m

L2r
vqs1 iqs
Ls L2r s  Rs L2r  Rr L2m
 Figure 12.19.- Commande découplée

On réalise finalement la commande suivante :

 Ce découplage est basé sur l’introduction de termes compensatoires femd et femq. on peut
utiliser soit la consigne de flux soit une estimation du flux réel pour le calcul de ces valeurs
femd et femq. L’influence de ces termes est d’autant plus importante que la fréquence
d’échantillonnage est faible.

La synthèse des régulateurs porte sur des systèmes linéaires (du premier ordre sur notre
exemple). Mais une erreur ou une dérive sur les paramètres de la machine provoquent une réapparition
du couplage et de la non stationnarité du système et parfois même sa déstabilisation. Il faut donc
utiliser des régulateurs robustes (voir chapitre 14) ou des techniques adaptatives (voir chapitre 15).

Découplage par retour d’état

Soit un système observable décrit par :

(12.73)

avec X vecteur d’état d’ordre n, A matrice d’état et B matrice d’entrée.

Le but est de trouver un retour d’état (voir chapitre 14)

(12.74)

où K désigne la matrice de gain du retour d’état et w, le nouveau vecteur d’entrée, qui découple le
système [BORNE 90] [PIETRZAK DAVID 88].

La nouvelle matrice de transfert doit donc être diagonale. La sortie y j ne dépend plus que de l’entrée
wj. L’équation d’état du système corrigé est :

(12.75)

et la transmittance du système (matrice de transfert) :

(12.76)
avec y=T(s).w

L’objectif est de déterminer K et L telles que T soit diagonale. La résolution de ce problème

peut s’avérer complexe. Une approche simplifiée et plus restrictive consiste à rechercher :

(12.77)

Soit (12.78)

Si B est une matrice carrée inversible d’ordre n, on peut écrire :

(12.79)

Le retour d’état obtenu est non linéaire. Il dépend implicitement ou explicitement des
pulsations ωe, ωs et ωsl.

Application

Reprenons l’exemple d’une machine asynchrone alimentée en tension. Donnons les équations
d’état du système obtenu avec une commande vectorielle par orientation du flux rotorique.

avec :

(12.80)

et

et et

Les matrices de gain K et L assurant le découplage sont [HAUTIER 93] :

 (12.81)

On obtient :

(12.82)

et soit (12.83)

Cette méthode admet de nombreuses variantes. Citons par exemple [BELLINI 91] qui propose
un retour d’état non linéaire pour réaliser un système linéaire découplé. Le lecteur pourra se reporter à
[BORNE 92B] pour de plus amples développements.