UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE

U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 – 2015

L1 Économie Cours de M. Desgraupes

Mathématiques: Mise à niveau

Séance 02: Puissances et racines

Table des matières

1 Valeurs absolues 1

2 Puissances 2
2.1 Puissances négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Puissances fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Inégalités et carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Somme de puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Pourcentages 7
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Calculs de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Exercices 9

1 Valeurs absolues
La valeur absolue d’un nombre réel est la valeur de ce nombre privée de son
signe. Si le nombre est x, sa valeur absolue est notée |x|.
Exemples :
• |12, 34| = 12, 34

• | + 12, 34| = 12, 34

• | − 5, 67| = 5, 67
Dans le dernier exemple, on a x = −5, 67, ce qui est équivalent à −x = 5, 67.
Par conséquent, on voit que dans ce cas |x| = 5, 67 = −x.
Ce résultat est vrai pour toute valeur négative x. On en déduit donc la
définition officielle de la fonction valeur absolue :
(
x si x ≥ 0
f (x) = |x| =
−x si x < 0

1
En 0, les deux définitions coïncident. La fonction valeur absolue est continue.
On peut donc calculer sa dérivée :
(
0 1 si x > 0
f (x) =
−1 si x < 0

En x = 0, la fonction n’est pas dérivable car il y a une dérivée à gauche

(égale à -1) et une dérivée à droite (égale à 1) qui ne sont pas égales entre elles.
Le graphe de la fonction valeur absolue est en forme de V.
10
8
6
abs(x)

4
2
0

−10 −5 0 5 10

2 Puissances
2.1 Puissances négatives
On étend la notion de puissance aux nombres entiers négatifs au moyen de la
convention
1
a−1 =
a
Changer le signe d’un exposant revient à inverser la quantité sur laquelle
porte cet exposant. Cela permet de définir an pour un entier relatif n ∈ Z.
De manière générale, on a :

1
a−n = avec n ∈ Z
an

2
 En particulier, si un dénominateur porte une puissance négative, on peut le
remonter au numérateur :
1
=a
a−1
et
1
= an
a−n
Les propriétés algébriques vues dans le cas des exposants positifs restent
valables lorsqu’on utilise des exposants négatifs :
• dans un produit, les exposants s’ajoutent :

am × an = am+n

• dans une composition, les exposants se multiplient :

n
am = amn

• la puissance d’un produit est le produit des puissances :

n
ab = an bn

• il en est de même pour les quotients :

 a n an
=
b bn

avec m ∈ Z et n ∈ Z.

2.2 Racines
Racines carrées
La racine carrée d’un nombre réel a est un nombre b réel tel que b2 = a.
Puisque b2 est une quantité toujours positive, on en déduit que nécessaire-
ment a doit être positif. Il n’y a pas de racine carrée réelle pour un nombre
négatif.
Exemple
3 est racine de 9 car 32 = 9. Mais on sait aussi que (−3)2 = 9, ce qui signifie
que -3 est aussi racine carrée de 9.
C’est un résultat général : si b est racine carrée, alors −b l’est aussi. Il n’y
en a pas d’autre.
Un nombre strictement positif a donc deux racines carrées
√ réelles qui sont
opposées l’une
√ de l’autre. On les note respectivement b pour celle qui est
positive et − b pour celle√qui est négative.
La racine de 0 est 0 : 0 = 0.
Remarques importantes :

3
 • une expression placée sous une racine carrée doit nécessairement être pos-
itive ou nulle.
• on a l’identité suivante
√
a2 = |a|
Quand on prend la racine d’une expression élevée au carré, on obtient la
valeur absolue de cette expression.
√ √ √
• si a et b sont deux nombres positifs, on a ab = a × b. Autrement dit,
la racine (positive) d’un produit est le produit des racines (positives).
• Attention : la racine d’une somme n’est pas la somme des racines.

Racines cubiques
La racine cubique d’un nombre réel a est un nombre b réel tel que b3 = a.
Puisque b3 est une quantité de même signe que b, on peut prendre la racine
cubique d’un nombre négatif.
Exemple
2 est racine de 8 car 23 = 8. On calcule aussi que (−2)3 = −8, ce qui signifie
que -2 est racine cubique de -8.
C’est un résultat général : si b est racine cubique de a, alors −b est racine
cubique de −a. √
Un nombre réel a possède une √ seule racine cubique réelle. On la note 3 a.
La racine cubique de 0 est 0 : 3 0 = 0.
Les propriétés précédentes des racines carrées et cubiques se généralisent au
cas de racines n-ièmes. Par définition, une racine n-ième de a est un nombre b
tel que bn = a.
Si le nombre n√est pair (n = 2m), la situation est la même que pour les
racines carrées : n a n’existe que si a est positif.
√ Il √y a deux racines réelles
opposées l’une de l’autre et elles sont notées n a et − n a.
Si le nombre n est
√ impair (n = 2m + 1), la situation est la même que pour les
racines cubiques
√ : n
a existe pour tout nombre réel a et il y a une seule racine
réelle notée n a.

2.3 Puissances fractionnaires

Notation
On convient de noter les racines n-ièmes au moyen d’exposants fractionnaires
de la manière suivante :
√
n
1
a = an
En particulier, on écrit :
√ 1
a = a2
√
3
1
a = a3

4
 Cette notation permet de définir la fonction puissance pour n’importe quel
nombre fractionnaire pq . On pose :

p √
q

p
aq = a

Exemple
Calculer les quantités suivantes :
5 1 √
• 4 2 = (4 2 )5 = ( 4)5 = 25 = 32
1 1
31 3
• (−125) 3 = (−5 × −5 × −5) 3 = (−5)3 = (−5) 3 = −5
2 2 5×2
• 32− 5 = (25 )− 5 = (2)− 5 = 2−2 = 1
22 = 1
4

2.4 Inégalités et carrés

Il faut être très prudent avec les questions de signes lorsqu’on élève au carré
dans une égalité.
On a l’implication suivante :

a = b =⇒ a2 = b2

Mais réciproquement, il faut écrire :

a2 = b2 =⇒ a = ±b

Il faut être encore plus prudent avec les questions de signes lorsqu’on élève
au carré dans une inégalité.
On ne peut le faire que si les deux membres sont de même signe et on doit
distinguer les deux cas suivants :

• si a et b sont tous les deux positifs, on a :

a < b =⇒ a2 < b2

• si a et b sont tous les deux négatifs, on a :

a < b =⇒ a2 > b2

Ici le sens de l’inégalité est renversé.

• si a et b ne sont pas de même signe, on ne peut pas conclure. Par exemple,
−3 < 2 et 9 > 4, tandis que −1 < 2 et 1 < 4...

5
 Inversement, prendre la racine carrée dans une inéquation demande aussi de
tenir compte des signes des expressions.
Par exemple, en supposant que b est un nombre positif :

a2 < b2 =⇒ −b < a < b

et non pas simplement a < b.

En particulier,
a2 < 1 =⇒ −1 < a < 1
Les inégalités peuvent être strictes ou larges :

a2 ≤ b2 =⇒ −b ≤ a ≤ b

2.5 Somme de puissances

La formule suivante permet de calculer la somme des N premières puissances
d’un nombre :
1 − aN +1
1 + a + a2 + a3 + · · · + aN =
1−a
Notation
L’expression de gauche dans la formule précédente est habituellement notée
N
X
ak
k=0

N
X N
X
Ici k est un indice muet. On pourrait écrire ai ou at .
i=0 t=0
Exemple
Calculer 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2N .
Corrigé

1 − 2N +1 2N +1 − 1
1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2N = = = 2N +1 − 1
1−2 2−1
En prenant N = 3 par exemple, on vérifie facilement en effet que 1+2+4+8 =
15 = 16 − 1 = 24 − 1.
2
3
N
Calculer S = 1 + 21 + 12 + 21 + · · · + 12 .
Corrigé

6

N +1
1 − 21
S=
1 − 21

N +1
1 − 21
= 1
 2 
1
= 2 1 − N +1
2
 N +1 
2 −1
=2
2N +1
2N +1 − 1
=
2N
En prenant N = 3 par exemple, on vérifie facilement que
 2  3
1 1 1 1 1 1 15 24 − 1
S =1+ + + =1+ + + = =
2 2 2 2 4 8 8 23

3 Pourcentages
3.1 Définition
Pourcentages
L’expression “a%” (lue “a pour cent”) désigne, par convention, le rapport
a
100 .
On l’utilise souvent avec des valeurs de a comprises entre 0 et 100, ce qui
fait que le rapport a/100 dans ce cas est un nombre dans l’intervalle [0, 1].
Par exemple, l’expression “10%” n’est autre que le nombre 0,1 et l’expression
“75%” n’est autre que le nombre 0, 75 = 3/4.
Les pourcentages sont utilisés principalement pour désigner la valeur de taux
∆Y
de variations de la forme r = ∆X . Ils permettent de rapporter la valeur de ces
quantités à une valeur commune (à savoir 100). On peut aussi écrire ∆Y =
r × ∆X.

3.2 Calculs de taux

Taux de variations
Supposons que r est un taux de variation (qu’il soit exprimé en pourcentage
ou pas).
Le nombre r est positif dans le cas d’une grandeur qui croît et négatif dans
le cas d’une grandeur qui décroît.
La quantité X est augmentée de ∆X = r × X et devient donc

X + ∆X = X + r × X = (1 + r)X

7
 On voit finalement que X a été multipliée par (1 + r). Le terme (1 + r) est
appelé le coefficient multiplicateur associé au taux de variation r.
On passe du taux de variation au coefficient multiplicateur en ajoutant 1.
Inversement, on passe du coefficient multiplicateur au taux de variation en
soustrayant 1.
Par exemple, appliquer une augmentation de 10% revient à multiplier par
1,1. De même, multiplier un nombre par 0,95 revient à lui appliquer une diminu-
tion de 5% (une variation de −5%).
Multiplier une quantité par 2 revient à lui appliquer un taux de variation de
100
100%. En effet 2 = 1 + 1 donc r = 2 − 1 = 1 = 100 = 100%.
Appliquer n fois de suite un taux de variation r, revient à multiplier n fois
par le coefficient multiplicateur m = 1 + r.
Cela revient finalement à multiplier par (1 + r)n .
Si on note Qn la valeur au temps n d’une quantité qui augmente de r%, on
trouve finalement que :
Qn = Q0 (1 + r)n
Exemple
Si une quantité augmente au taux de 1% = 0, 01, elle est multipliée par 1,01.
Au bout de 10 périodes, elle a été multipliée par 1, 0110 = 1.104622. Son taux
de variation au total est donc de 1.104622 − 1 = 0.104622 ≈ 10.46%.
En conclusion, les taux de variation ne sont pas additifs: 10 fois 1% ne font
pas 10% mais 10.46% !

8
4 Exercices
Exercices complémentaires

Exercice 1
Pendant une année, une valeur boursière a augmenté chaque mois de 0.5%.
Quel est son taux annuel d’accroissement ?

Exercice 2
Une grandeur Q augmente de 10% sur une année: calculer, en pourcentage,
le taux mensuel qui donnerait le même accroissement.

Exercice 3
Une quantité à triplé en deux ans.
a) Quel est son taux d’accroissement annuel ?
b) Quel est son taux d’accroissement semestriel ?

Exercice 4
Une quantité a varié de 1%, 1.5%, -0.5% et -2% au cours de quatre trimestres
consécutifs.
a) Calculer le taux de variation annuel de cette quantité.
b) Quel est le taux de variation trimestriel moyen ?

Exercice 5
Un capital a perdu un tiers de sa valeur. De quel pourcentage devrait-il
augmenter pour retrouver sa valeur initiale ?

Exercice 6
N
X
Calculer la somme SN = (0, 75)k pour N = 1, 2, 3. À partir de quelle
k=0
valeur de N cette somme sera-t-elle supérieure ou égale à 3,75 ?