CPGE - Sciences Industrielles de l'Ingénieur - Chapitre 7 MPSI/PCSI

Étude statique des Cours

mécanismes
v0.1
Lycée du Parc  1,bd Anatole France  69458 LYON

Référence programme
ANALYSER
• Dénir les frontières de l'analyse
 Isoler un système et justier l'isolement.
 Dénir les éléments inuents du milieu extérieur.
MODÉLISER
• Proposer un modèle de connaissance et de comportement
 Modéliser une action mécanique.
 Simplier un modèle de mécanisme.
RÉSOUDRE
• Mettre en ÷uvre une méthode de résolution analytique
 Déterminer les actions mécaniques en statique.

Communiquer Analyser

Concevoir Compétences Modéliser

Expérimenter Résoudre

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Table des matières

1 Introduction 4

2 Modélisation des actions mécaniques 5

2.1 Modélisation d'une action mécanique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Modélisation d'une action mécanique globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Action mécanique transmissible par une liaison parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Action mécanique de contact (lois de Coulomb) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Étude statique des mécanismes 14

3.1 Notion d'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Isolement d'un système matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Actions mécaniques extérieures et intérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Principe fondamental de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 Théorème des actions mutuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Méthode de résolution 18
4.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Isostatisme et hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Bilan 24

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Support de cours

Le moteur OS Max 35 FP
Mise en situation
Les moteurs thermiques sont aujourd'hui utilisés dans plusieurs domaines du modélisme, comme
les voitures radio-commandées, l'aéromodélisme ou encore le modélisme naval. L'avantage de ce
type de motorisation par rapport aux moteurs électriques est le poids, généralement réduit grâce à
l'absence de batteries, mais également la facilité d'augmenter l'autonomie. De nombreux types de
moteurs ont été développés an de répondre aux diérents types d'utilisation, allant des moteurs
mono-cylindres 2 temps aux multi-cylindres 4 temps.
L'objet de cette étude est le moteur mono-cylindre 2 temps de 6 cm3 OS Max 35 FP développé
par la société OS Engines.
Les principales pièces composant l'ensemble du moteur sont :

• le vilebrequin noté 1 ;
• la bielle notée 2 ;
• le piston noté 3 ;
• l'ensemble noté 0
{carter + culasse +
chemise} .

Problématique
Les moteurs de modélisme sont généralement utilisés à des régimes de rotation très importants
(entre 2500 et 15000 tr/min). Le principal défaut de cette utilisation est l'usure souvent très rapide
des composants du moteur, puisque les vitesses relatives des pièces les unes par rapport aux autres
sont très grandes, ce qui implique des frottements et donc une usure rapide.
L'une des pièces les plus sollicitées du mécanisme est le piston. En eet, celui-ci réalise des allers-
retours dans la chemise à une fréquence élevée. Il est donc important de vérier la compatibilité des
matériaux utilisés pour le piston et la chemise, et l'utilisation de celui-ci lors du fonctionnement
du moteur.
L'un des facteurs limitant est la vitesse linéaire du piston (qui correspond à la vitesse
relative entre le piston et la chemise). Celle-ci dépend de la course du piston et du régime de
rotation. Le matériau utilisé sur ce moteur pour le piston est l'AU 2GN . La chemise est réalisée
quant à elle dans un alliage de fonte. Pour ce couple de matériaux, la vitesse linéaire maximale
admissible est de 24 m/s.

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1 Introduction
Tout mécanisme est dimensionné pour pouvoir être utilisé pendant un temps donné. Or, la durée
de vie d'une pièce dépend généralement :
• de l'environnement dans lequel elle se trouve,
• de ses dimensions,
• du matériau utilisé,
• des actions qui lui sont appliquées...
Ces actions peuvent être mesurées mais cela demande :
• la construction d'un prototype,
• la mise en place d'un laboratoire de mesure ...
On peut également essayer de prévoir les actions appliquées sur un mécanisme en utilisant des
modèles mathématiques et des lois physiques.

Dénition
On appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir un ensemble matériel au repos,
de le déplacer ou de le déformer.

Les actions mécaniques sont de deux sortes :

• Actions à distance (action magnétique, action de la pesanteur. . . ) encore appelées actions
volumiques car elles s'exercent en tout point de l'ensemble matériel ;
• Action de contact (action exercée par l'intermédiaire d'une liaison, action exercées par la
pression d'un uide. . . ) encore appelées actions surfaciques.

action à distance action de contact

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2 Modélisation des actions mécaniques

2.1 Modélisation d'une action mécanique élémentaire
L'action mécanique élémentaire qu'exerce un ensemble matériel 1 sur un ensemble matériel 2 (1 ∪
2 = ∅) se représente en tout point M de 2 (ou d'une surface de 2) par une force élémentaire dont le
−→ →
−
vecteur associé est : dF M (1 → 2) = f M (1 → 2).dµ
−→
• dF M (1 → 2) : force élémentaire au point M ;
→
−
• f M (1 → 2) : densité de force au point M ;
• dµ : élément de surface ou de volume.

Remarque
une densité surfacique de forces s'exprime gé-
néralement en méga pascals (Mpa) : 1 Mpa =
1 N.mm−2 .

Exemple

Action de la pesanteur

• →
−
g : accélération de la pesanteur ;
• ρ : masse volumique ;
• dV : élément de volume ;
• ρ.→
−g : densité volumique des forces de pe-
santeur.

Pression hydrostatique sur une paroi verticale

• →
−
n : normale à la surface de contact en M ;
• P (M ) : pression de l'eau en M ;
• −P (M ).→−n : densité surfacique des forces de
pression.

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2.2 Modélisation d'une action mécanique globale

La modélisation locale d'une action mécanique est parfois dicile à mettre en ÷uvre. Elle est
cependant nécessaire dans les problèmes qui s'intéressent à la déformation des corps. En statique
nous travaillons uniquement sur des ensembles de solides supposés indéformables. Par conséquent une
modélisation globale de l'action mécanique sera susante.
L'action mécanique qu'exerce un ensemble matériel 1 sur un ensemble matériel 2 étant représentée
−→ →
−
par un champ de force illustré par le vecteur dF M (1 → 2) = f M (1 → 2).dµ, on peut lui associer en
un point A quelconque, le torseur suivant :
( →− ) ( →
− R −→
R 1→2 R 1→2 = dF M (1 → 2)
{T1→2 } = −
→ avec −
→ R −−→ −→
M A,1→2 A M A,1→2 = AM ∧ dF M (1 → 2)

• {T1→2 } : torseur d'action mécanique de 1 sur 2 ;

→
−
• R 1→2 : résultante du torseur d'action mécanique de 1 sur 2 exprimée en Newton (N) ;
−
→
• M A,1→2 : moment au point A du torseur d'action mécanique de 1 sur 2 exprimée en newton
mètre (N.m).

Exemple

Action de la pesanteur
Le torseur d'action mécanique
( → de )la pesanteur sur l'ensemble matériel H s'écrit en un point A
−
R T →H
quelconque : {TT →H } = − →
M A,T →H A
( →
− t → − . dV = m.→−
avec −
R T →H =
→ tρ.−g−→ →
−
g
t −−→
M A,T →H = AM ∧ ρ. g . dV = AM .dm ∧ →
−
g

Si G est le centre d'inertie de l'ensemble matériel H alors :

t −−→ m.→
−
( )
→
− g
GM .dm = 0 ⇒ {TT →H } = →
−
0 G
Cette action mécanique que l'on peut modéliser par le glisseur (G, m.→
−
g ), est représentative d'une
force.

Pression hydrostatique sur une paroi verticale

En tout point M d'une paroi 2 où la pression est P (M ) = ρ.(H − z).g , l'action élémentaire du
uide 1 sur un élément de surface dS de normale extérieure →
−
n peut être modélisée par :
−→
dF M (1 → 2) = −ρ.(H − z).g.→
−
n . dS
Le torseur d'action mécanique de 1 sur 2 s'écrit en un point A quelconque :

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( →−

 →
− s 1
R 1→2 = −ρ.(H − z).g.→
−n . dS = − ρ.g.S.H →
−
)
R 1→2 n
{T1→2 } = −
→ avec −
→ s −−→ 2
M A,1→2 A  M
A,1→2 = AM ∧ −ρ.(H − z).g.→
−n . dS

→
− −
→
Comme R 1→2 · M A,1→2 = 0, Le moment sera nul en tout point de l'axe centrale. Par conséquent
cette action mécanique est également représentative d'une force.
 
1 →
−
− .ρ.g.S.H. n
 
{T1→2 } = 2 → −
 0 
H0
→
− −
→
−−→ R 1→2 ∧ M A,1→2
avec AH0 = →
− et H0 la projection orthogonale de A sur l'axe central.
( R 1→2 )2
−−→ H→
Remarque : En développant le calcul du moment en O on obtient : OH0 = −
z.
3

Moment d'une force

−F.→
−
( )
y
L'action du pied sur la pédale est modélisée par une force : {Tpied→pedale } = →
−
0 M
→
−
Le moment de la force F par rapport à l'axe de rotation (A, →
−
x ) du pédalier peut se calculer par
la relation :
−
→ −−→ →− −
M A,p→d · →
−
x = AM ∧ F · →
x = ((−R.→
−
z1 + L.→
−
x ) ∧ −F.→
−
y)·→
−
x
−
→
M A,p→d · →
−
x = (−R.→−
z1 + L.→
−
x ) · (−F.→
−
y ∧→−x ) = (−R.→−
z1 + L.→−x ) · (F.→
−
z)
−
→
Finalement : M A,p→d · →
−
x = −R.F. cos α(t)
→
−
En remarquant que R. cos α(t) correspond à la distance de la force F à l'axe de rotation (A, →
−
x ),
on peut utiliser la méthode du bras de levier pour l'expression du moment recherché :
−
→
M A,p→d · →
−
x = d.F = R. cos α(t).F
→
−
Si F tend à faire tourner la pédale dans le sens négatif on ajoute un  - à la valeur algébrique.

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Couple de 2 forces

Le torseur d'action mécanique globalde 1 sur

2 s'exprime par : {T1→2 } = A B

T1→2 A
+ T1→2 A
−−→
Sachant que M B A,1→2( = L.→−
x ∧)F.→
−
y = L.F.→
−
z
→
−
0
on obtient :{T1→2 } =
L.F.→
−z A

Considérons 2 actions mécaniques que l'on ( →

− )
peut modéliser par 2 forces : 0
Finalement : {T1→2 } =
L.F.→
−
z
−F.→−
( )
∀P
y
A et Cette action mécanique que l'on modélise par

T1→2 = →
−
0 A un torseur couple est représentative d'un couple.
F.→
−
( )
y
B .

T1→2 = →
−
0 B

Support de cours

Le moteur OS Max 35 FP
L'hélice (2) est composée de 2 pales
(2a) et (2b) et possède un axe de sy-
métrie (O2 , →
−
z1 .
Au niveau d'une section de pale, on
peut représenter la densité de force sur-
facique exercée par l'air par le vecteur
→
−
f M (air → 2).

Dans le but de simplier l'étude, on ad-

mettra que cette répartition de pression
amène à la dénition
−→
des forces élémen-
taires de portance dP air→2a et de traî-
−→
née dT air→2a appliquée au point P.

Les conditions aérodynamiques permettent d'écrire la vitesse d'un point P de l'hélice (2) dans
→
−
son mouvement par rapport à l'air : V P,2/air = V.−→ avec V = −λ.ω > 0 (ω est la vitesse de
x 2
rotation de l'hélice 2 par rapport au corps 1).
Ces actions innitésimales sont dénies par :
−→
• dP air→2a = −Kz .V 2 .dλ.→
−
z1 avec Kz = 0,024 kg.m−2 (coecient de portance supposé constant) ;
−→
• dT air→2a = −Kx .V 2 .dλ.−
→ avec K = 0,006 kg.m−2 (coecient de trainée supposé constant).
x 2 x

−−→
On pose O2 P = λ.→
−
y2 où r2 < λ < R2 avec r2 = 2 cm et R2 = 12 cm.

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Question 1 A partir de la modélisation locale de la portance et de la trainée sur une section

de la pâle (2a), déterminer le torseur d'action mécanique de l'air sur la pâle (2a) au point O2 .
Calcul de la résultante :
→
− R −→ R −→
R air→2a = dP air→2a + dT air→2a = −ω 2 (Kz .→
−
z1 + Kx .−
→) R R2 λ2 .dλ
x 1 r2

→
− 1
Finalement : R air→2a = ω 2 (r23 − R23 )(Kz .→
−
z1 + Kx .−
→)
x 1
3

Calcul du moment en O2 :
−
→ R −−→ −→ R −−→ −→
M O2 ,air→2a = O2 P ∧ dP air→2a + O2 P ∧ dT air→2a = −ω 2 (Kz .−
→ − K .→
x 1
− R R2 3
x z1 ) r2 λ .dλ

−
→ 1
Finalement : M O2 ,air→2a = ω 2 (r24 − R24 )(Kz .−
→ − K .→
x 1
−
x z1 )
4

Question 2 Montrer que le torseur d'ac-

tion mécanique de l'air sur l'hélice (
(pâles (2a)
) et
F.→
−
z1
(2b)) est de la forme : {Tair→2 } = →
− .
C. z1 O2


→
− 1
R air→2b = ω 2 (r23 − R23 )(Kz .→
−
z1 − Kx .−
→)
( −→ −→ x

dT air→2a = −dT air→2b 1

Comme −→ −→ on en déduit : −
→
3
1 2 4
dP air→2a = dP air→2b 
 M O2 ,air→2b = ω (r2 − R24 )(−Kz .− → − K .→
x 1
−
x z1 )
4

 F = − 2 ω 2 (R23 − r23 ).Kz .→
−
F.→
−
( )
z1

z1
Finalement :{Tair→2 } = →
− avec 1
3
C. z1 O2  C = ω 2 (R24 − r24 ).Kx .→
 −
z1
2
Question 3 Calculer la valeur minimale du couple moteur permettant d'entrainer l'hélice à la
vitesse de 24 000 tr.min−1 ? Quelle est alors l'eort de propulsion de l'hélice ?

 Cmin = 1 (24000 × π )2 (0, 124 − 0, 0224 ) × 0, 006 ≈ 3,9 N.m

30
Application numérique : 2
2
π
 |F | = (24000 × 30 )2 (0, 123 − 0, 023 ) × 0, 024 ≈ 43,5 N

3

2.3 Action mécanique transmissible par une liaison parfaite

Hypothèse de liaison parfaite (rappel)
• Les pièces sont supposées indéformables (ceci exclut les ressorts, les joints. . . ) ;
• les surfaces sont géométriquement parfaites ;
• les contacts sont considérés sans adhérence pour les pièces en mouvement relatif ;
• les liaisons sont permanentes.

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Puissance développée par une action mécanique

La puissance développée par une action mécanique Σ sur un solide S en mouvement par rapport
à un repère R peut être calculée par le comoment du torseur d'actions mécaniques de Σ sur S et du
torseur cinématique du mouvement de S par rapport à R :
 →
− →
− →
− −
→
PΣ→S/R = {TΣ→S } ⊗ VS/R = R Σ→S · V A,S/R + Ω S/R · M A,Σ→S

Remarque
• Comme le comoment d'un torseur est un invariant scalaire, le point P peut être n'importe quel
point de l'espace.
• l'unité de la puissance est le watt (W).

Puissance des inter-eorts dans une liaison parfaite

Considérons 2 solides S1 et S2 .
On appelle puissance des inter-eorts le scalaire : PS1 ↔S2 = {TS1 →S2 } ⊗ VS2 /S1


→
− →
− →
− −
→
Ainsi : PS1 ↔S2 = R S1 →S2 · V A,S2 /S1 + Ω S2 /S1 · M A,S1 →S2
Une liaison parfaite ne développant pas de puissance, on peut écrire : PS1 ↔S2 = 0

Exemple

Liaison pivot glissant

Cherchons le torseur d'actions mécaniques transmissible par une liaison pivot glissant d'axe
(A, →
−
x ) entre les solides S1 et S2 .
ω21 .→−
( )
x
Nous savons que le torseur cinématique de cette liaison est : VS2 /S1 =

V21 .→
−
x A
 
 ω21 V21
 

Torseur que l'on peux également exprimer par ses composantes : VS2 /S1 =

0 0
 
0 0
 
(A,−
→
x ,−,−)
→
− −
→
PS1 ↔S2 = 0 ⇒ R S1 →S2 · V21 .→
−
x + ω21 .→
−
x · M A,S1 →S2
Comme V21 et ω21 sont 2 paramètres indépendants, la puissance dissipée sera toujours nulle si
→
− −
→
R S1 →S2 · V21 .→
−
x = 0 et ω21 .→
−
x · M A,S1 →S2 = 0.

Le torseur d'action mécanique transmissible par une liaison pivot glissant parfaite d'axe (A, →
−
x)
est déni par :
( →− )
R S1 →S2 →
− −
→
{TS1 →S2 } = −
→ avec R S1 →S2 · V21 .→
−
x = 0 et ω21 .→
−
x · M A,S1 →S2 = 0.
M A,S1 →S2 A

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 
 0
 0 

Où par ses composantes : {TS2 →S1 } = Y12 M12
 
Z12 N12
 
(A,−
→
x ,−,−)

Liaison hélicoïdale
Cherchons le torseur d'actions mécaniques transmissible par une liaison hélicoïdale d'axe (A, →
−
x)
entre les solides S1 et S2 .
ω21 .→
−
( )
x
Nous savons que le torseur cinématique de cette liaison est : VS2 /S1 =

p.ω21 .→
−
x A
 
 ω21 p.ω21
 

Torseur que l'on peux également exprimer par ses composantes : VS2 /S1 =

0 0
 
0 0
 
(A,−
→
x ,−,−)
→
− −
→
PS1 ↔S2 = 0 ⇒ R S1 →S2 · p.ω21 .→
−
x + ω21 .→
−
x · M A,S1 →S2 = 0

Le torseur d'action mécanique transmissible par une liaison hélicoïdale parfaite d'axe (A, →
−
x ) est
( →
− )
R S →S →
− −
→
déni par : {TS1 →S2 } = → 1 2
− avec p. R S1 →S2 · →
−
x = −M A,S1 →S2 · →
−
x.
M A,S1 →S2 A
 
 X12 −p.X12
 

Où par ses composantes : {TS2 →S1 } = Y12 M12
 
Z12 N12
 
(A,−
→
x ,−,−)

2.4 Action mécanique de contact (lois de Coulomb)

Modélisation locale

Considérons deux solides 1 et 2 en contact suivant

une surface (S). L'action mécanique de 1 sur 2 est
représentée en chaque point P de (S) par la densité
→
−
surfacique de force f P (1 → 2) .
On admet l'existence au point P d'un plan tangent
commun (π ) aux deux solides.
→
− →
− →
−
Posons
( : f P (1 → 2) = n P (1 → 2) + t P (1 → 2)
→
−
n P (1 → 2)⊥π
avec →
−
t P (1 → 2) ∈ π

→
−
• f P (1 → 2) : densité surfacique des forces de contact au point P de l'action mécanique de 1 sur
2.
• →
−
n P (1 → 2) : densité surfacique normale des forces de contact au point P de l'action mécanique
de 1 sur 2.

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→
−
• t P (1 → 2) : densité surfacique tangentielle des forces de contact au point P de l'action mécanique
de 1 sur 2.

Lois de Coulomb
→
−
Notons V P,2/1 la vitesse de glissement au point P du solide 2 par rapport au solide 1.

→
−
• Premier cas : V P,2/1 6= →
−
0 (on dit qu'il y a frottement au point P entre les solides 1 et 2)
 →
− →
− →
−
 t P (1 → 2) ∧ V P,2/1 = 0
→
−

 →
−
t P (1 → 2) · V P,2/1 < 0
 → −
t P (1 → 2) = f. k→ −
n P (1 → 2)k avec f le coecient de frottement en P des matériaux 1 et 2



Remarque
 Les deux premières relations montrent que la densité surfacique tangentielle s'oppose au
vecteur vitesse de glissement.
 La troisième relation montre que les normes des densités surfaciques normales et tangen-
tielles sont proportionnelles.
Interprétation géométrique :
Si l'on considère l'angle ϕ, appelé angle de frot-
tement, tel que f = tan ϕ, alors la densité surfa-
→
−
cique des forces de contact f P (1 → 2) se situe
sur le bord du cône de révolution, appelé cône de
frottement, de sommet P , d'axe perpendiculaire
au plan (π ) et de demi angle au sommet ϕ.
→
−
La position de f P (1 → 2) est xée sur le cône
de frottement par l'orientation du vecteur vitesse
→
−
de glissement V P,2/1 .
→
− →
−
• Deuxième cas : V P,2/1 = 0 (on dit qu'il y a adhérence au point P entre les solides 1 et 2)
→
−
t P (1 → 2) ≤ f0 . k→
−
n P (1 → 2)k avec f0 le coecient d'adhérence en P des matériaux 1 et 2

Interprétation géométrique :
Si l'on considère l'angle ϕ0 , appelé angle de
d'adhérence, tel que f0 = tan ϕ0 , alors la den-
→
−
sité surfacique des forces de contact f P (1 → 2)
se situe à l'intérieur ou sur le bord du cône de
révolution, appelé cône d'adhérence, de sommet
P , d'axe perpendiculaire au plan (π ) et de demi
angle au sommet ϕ0 .

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Adhérence et frottement
La détermination expérimentale des coecients de frottement et d'adhérence est délicate à cause de
l'inuence de nombreux paramètres. Toutefois on admet qu'ils dépendent essentiellement de la nature
des matériaux en contact.
Le tableau suivant donne des ordres de grandeur des coecients pour quelques couples de matériaux.

Matériaux en contact Frottement Adhérence

Acier sur acier de 0,1 à 0,2 de 0,15 à 0,25
Acier sur bronze de 0,12 à 0,2 de 0,15 à 0,2
Acier sur matériau de friction de 0,2 à 0,35 de 0,3 à 0,4
Pneu sur revêtement routier de 0,3 à 0,6 de 0,6 à 1,2

Remarque
• Le coecient d'adhérence est toujours supérieur au coecient de frottement (f0 ≥ f ).
• Dans de nombreuses applications on confond ces deux valeurs.
• Dans la résolution de problèmes, on est parfois amené à se placer à la limite du glissement an
d'obtenir des équations supplémentaires. Dans ce cas, le glissement est nul au point considéré
→
−
mais on peut orienter précisément le vecteur f P (1 → 2) .

Contact ponctuel
Considérons deux solides en contact ponctuel en un
point A (en réalité, le contact s'eectue sur une
petite surface (S) contenant le point A). Notons
(π ) le plan tangent commun en A au deux solides
→
−
et f P (1 → 2) la densité surfacique des forces de
contact en un point P de (S).
L'action mécanique de 1 sur 2 se (
représente globa-
→
− )
R 1→2
lement par le torseur : {T1→2 } = −→
M A,1→2 A
 →− s −→ →
− →
−
 R 1→2 =
 dF M (1 → 2) = N 1→2 + T 1→2
−
→ s
M ∈2
−−→ −→ −−→ −→
 M A,1→2 =
 AM ∧ dF M (1 → 2) = M n A,1→2 + M t A,1→2
M ∈2
→
−
• N 1→2 : composante normale de la résultante ou eort normal ;
→
−
• T 1→2 : composante tangentielle de la résultante ou eort tangentiel ;
−−→
• M n A,1→2 : composante normale du moment en A ou moment de pivotement ;
−→t
• M A,1→2 : composante tangentielle du moment en A ou moment de roulement ;

An d'énoncer, dans le cas du contact ponctuel, des lois analogues aux lois de Coulomb, considérons
au point A le torseur cinématique du mouvement de 2 par rapport à 1 :

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( →
− →
− →
− )
 Ω 2/1 = Ω n2/1 + Ω t2/1
V2/1 = →
−
V A,2/1 A
→
−
• Ω n2/1 : vecteur rotation de pivotement ;
→
−
• Ω t2/1 : vecteur rotation de roulement ;
→
−
• V A,2/1 : vecteur vitesse de glissement ;

• Glissement :  →− →− →
−

 →T 1→2 ∧ V A,2/1 = 0
− →
−

→
− →
−
 V A,2/1 6= 0 : T 1→2 · V A,2/1 < 0
 → − →
−

 T 1→2 = f. N 1→2
→
− →
− →
− →
−
 V A,2/1 = 0 : T 1→2 ≤ f. N 1→2
• Roulement :  −→ →
− →
−
Mt ∧ Ω t2/1 = 0
 −→A,1→2 →


→
− →
− −
 Ω t2/1 6= 0 : M t A,1→2 · Ω t2/1 < 0
 − → →
−

Mt

A,1→2 =µ . N
r 1→2
→
− →
− −→ →
−
 Ω t2/1 = 0 : M t A,1→2 ≤ µr N 1→2
µr : paramètre de résistance au roulement, homogène à une longueur.
• Pivotement :  −−→
→
−  M n A,1→2 · →
−n
Ω 2/1 < 0
→
−
 Ω n2/1 6= 0 : −−→ →
−
 M n A,1→2 = µp . N 1→2
→
− →
− −−→ →
−
 Ω n2/1 = 0 : M n A,1→2 ≤ µp N 1→2
µp : paramètre de résistance au pivotement, homogène à une longueur.

Remarque
Dans le cas d'un contact rigoureusement ponctuel, le moment du torseur d'action mécanique de 1
sur 2 au point de contact A est nul.
( →
− )
R 1→2
L'action peut être modélisée par un glisseur : {T1→2 } = →
−
0 A
Cette hypothèse sera implicite dans les exercices, sauf mention contraire.

3 Étude statique des mécanismes

3.1 Notion d'équilibre
Un ensemble matériel (E) est dit en équilibre par rapport à un repère R si, au cours du temps,
chaque point de (E) conserve une position xe par rapport à R .
Dans la mécanique newtonienne, ce repère doit être un repère galiléen.

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Remarque
• Tout référentiel animé d'un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport aux axes
du repère de Copernic a est un référentiel galiléen.
• La Terre est généralement considérée comme un référentiel galiléen. Mais cette approximation
n'est plus valable pour l'étude du mouvement d'un avion ou du décollage d'une fusée par
exemple.

a. Le centre du repère de Copernic est le centre du soleil ; ses trois directions passent par trois étoiles.

3.2 Isolement d'un système matériel

Pour identier les actions mécaniques s'exerçant sur un système, il faut tout d'abord l'isoler.
Cette opération consiste à diviser l'environnement en deux parties :
• d'une part, le système matériel considéré (E), objet de l'étude ;
• d'autre part, l'extérieur (ou milieu extérieur) (E), c'est-à-dire tout ce qui n'est pas le système
considéré (y compris les autres pièces du mécanisme qui n'appartiennent pas au système isolé).

Si le système matériel n'est pas clairement identié et délimité, l'inventaire des actions mécaniques
est compromis. Il faut donc créer mentalement une frontière autour du système matériel isolé.

3.3 Actions mécaniques extérieures et intérieures

• Les actions mécaniques exercées sur (E) par tout autre système (Σ) tel que Σ ∩ E = ∅ sont
appelées actions extérieures (voir exemple du compresseur) ;
• Les actions mécaniques exercées entre des sous-ensembles de (E) sont dites intérieures (voir
exemple).

Support de cours

Le moteur OS Max 35 FP

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3.4 Principe fondamental de la statique

Dénition
Il existe au moins un repère, appelé repère galiléen, tel que
pour tout sous-ensemble matériel (e) de l'ensemble (E) en
équilibre par rapport à ce repère, le torseur associé aux ac-
tions mécaniques extérieures à (e) soit nul : {Te→e } = {0}

→
− −
→
En notant R e→e et M A,e→e les éléments de réduction au point A du torseur {Te→e }, le principe
fondamental de la statique peut s'exprimer par :
• Théorème de la résultante statique : Si un système (E) en équilibre par rapport à un repère
galiléen, la résultante du torseur associé aux actions extérieures à un sous ensemble (e) de (E)
→
− →
−
est nulle : R e→e = 0 .
• Théorème du moment statique : Si un système (E) en équilibre par rapport à un repère
galiléen, le moment (en un point quelconque) du torseur associé aux actions extérieures à un sous
−
→ →
−
ensemble (e) de (E) est nulle : M A,e→e = 0 .

Remarque
• L'application du principe fondamental de la statique à un système matériel conduit à écrire
deux équations vectorielles, dont les projections sur une base orthonormée directe donnent, au
maximun, six équations scalaires indépendantes (trois dans le plan).
• Le principe fondamental de la statique est un cas particulier du principe fondamental de la
dynamique. L'application du principe fondamental de la dynamique se ramène à l'application
du principe fondamental de la statique, lorsque le torseur dynamique du mouvement du sys-
tème matériel par rapport au repère galiléen est nul. Le torseur dynamique d'un solide fait
intervenir, dans ses éléments de réduction, des accélérations linéaires et angulaires, ainsi que
des caractéristiques d'inertie du solide.
• En pratique, on peut appliquer le principe fondamental de la statique à un ensemble de solides
 en mouvement de translation uniforme par rapport à un repère galiléen,
 en mouvement de rotation uniforme par rapport à un repère galiléen (solide dynamique-
ment équilibré),
 en mouvement quelconque, si les eets d'inertie peuvent être négligés.
• Le principe fondamental énonce simplement une condition nécessaire d'équilibre, mais non pas
susante pour traduire l'équilibre d'un système matériel. Il existe des systèmes matériels pour
lesquels le torseur des actions mécaniques extérieures est nul, mais qui ne sont pas en équilibre.
Par exemple :
 une paire de ciseaux soumise à la seule action de deux doigts, représentée par deux forces
opposées.
 un arbre dynamiquement équilibré en rotation uniforme par rapport à un palier.
• Pour qu'un système matériel (E) soit en équilibre par rapport à un repère galiléen, il faut et il
sut que :
 il soit en équilibre au début de l'étude,
 le principe fondamental de la statique soit vérié pour tout sous-système (e) de (E) :

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cas particulier d'un équilibre sous l'action de 2 forces

Considérons un ensemble de solides (E) en équilibre par rapport( →à un repère galiléen sous l'action
− ) ( →− )
FA FB
de deux forces modélisées par les glisseurs suivants : {TFA →E } = →
− et {TFB →E } = →
−
0 A
0 B
Le principe fondamental de la statique appliqué à (E) s'écrit : {TFA →E } + {TFB →E } = {0}
( →
− →
− →
−
FA + FB = 0
L'équilibre de (E) se traduit au point A par les deux équations vectorielles : −−→ → − →
−
AB ∧ F B = 0
→
− −−→
• La seconde équation indique que F B est colinéaire à AB . C'est à dire que le support du vecteur
→
−
force F B est la droite AB.
→
−
• La première équation montre que le support de F A est également la droite AB et que les deux
vecteurs sont opposés.

À retenir
Si un ensemble de solides est en équilibre par rapport à un
repère galiléen sous l'action de deux forces, celles-ci sont di-
rectement opposées (les vecteurs force ont même support et
leur valeur algébrique sont opposées).

3.5 Théorème des actions mutuelles

(E) est un ensemble matériel en équilibre par rapport à un repère galiléen Rg . Considérons une
partition de (E) en deux sous ensembles (e1 ) et (e2 ). Appliquons successivement le principe fondamen-
tal de la statique à (E), (e1 ) et (e2 ).

 n o n o
(1) TE→E = TE→e1 + TE→e2
n o
(2) {Te1 →e1 } = {Te2 →e1 } + TE→e1
n o
(3) {Te2 →e2 } = {Te1 →e2 } + TE→e2

(1) − (2) − (3) ⇒ {Te1 →e2 } + {Te2 →e1 } + {0}

À retenir
L'action mécanique d'un ensemble matériel (e1 ) sur un ensemble matériel (e2 ) tel que (e1 ∩ e2 = ∅)
est l'opposé de l'action de (e2 ) sur (e1 ).

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4 Méthode de résolution
4.1 Hypothèses
Lors d'une étude de statique, on supposera toujours que :
• le référentiel d'étude est galiléen ;
• les solides sont indéformables ;
• les liaisons sont géométriquement parfaites.

D'autres hypothèses peuvent s'y ajouter : prise en compte du frottement, action de la pesanteur
négligée, hypothèse de problème plan,...

4.2 Isostatisme et hyperstatisme

Avant tout calcul, il s'agit de vérier que le problème est soluble 1 !

Mathématiquement, cela se traduit par le fait qu'il ne faut pas que le problème présente plus d'in-
connues que d'équations ! Or, avec le PFS, on peut écrire 6 équations scalaires par isolement (3 si
hypothèse de problème plan). Il sut donc de faire le bilan des inconnues du problème et du nombre
d'équations indépendantes que l'on peut écrire.

S'il y a autant d'inconnues que d'équations indépendantes, on peut résoudre et on parle

de problème isostatique. C'est le cas idéal : il est important de pouvoir quantier les inconnues de
liaison pour pouvoir dimensionner les diérents composants du mécanisme.

S'il y a plus d'inconnues que d'équations indépendantes, on ne peut pas résoudre et on parle
de problème hyperstatique. L'hyperstatisme impose des contraintes géométriques très fortes ; la mise
en position des pièces doit être très précise pour permettre le montage. Cela coûte cher. Par contre,
cela a l'avantage de rigidier le mécanisme, qui résistera de ce fait mieux aux actions mécaniques qui
s'y appliquent.

Remarque
Une grande majorité des produits ne sont pas isostatiques, mais hyperstatiques : nos chaises ont
bien quatre pieds ! Lorsque l'on s'assied dessus, les petites déformations induites comblent les défauts
géométriques et la stabilité est présente. En plus de la rigidité !

tabouret isostatique tabouret hyperstatique

1. Évidemment, pour les concours, si l'on vous demande de mener une étude statique, c'est qu'il est possible de

résoudre le problème !

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4.3 Méthode
Lorsque l'on s'est assuré de la solvabilité du problème, il ne reste plus qu'à le résoudre. Or, pour
résoudre méthodiquement et donc correctement un problème de statique complexe, il est nécessaire de
respecter quelques étapes qui permettent d'adopter la meilleure démarche à suivre.
1. Établir le graphe de liaisons du mécanisme et y faire apparaître l'ensemble des actions mé-
caniques (ne pas oublier les actions de pesanteur).

2. Identier la (les) grandeur(s) cherchée(s) (c'est-à-dire celles que l'on a besoin de déterminer,
par exemple la raideur d'un ressort, le diamètre du corps d'un vérin, ou encore l'action mécanique
transmise par une liaison) et la (les) grandeur(s) connue(s) (par exemple un eort ou une
pression dont on connait la valeur et qui agît sur le système an de réaliser l'opération voulue).

Une fois ces deux premières étapes réalisées, il devient possible de déterminer quel(s) isolement(s)
(de solides ou d'ensembles de solides) vont nous permettre de déterminer la grandeur cherchée grâce à
l'utilisation du PFS 2 .
3. Isoler un ensemble de solides (sans le bâti !) dont la frontière coupe d'une part la connexion
liée à la grandeur cherchée (inconnue), et d'autre part la (les) connexion(s) liée(s) à la (aux)
grandeur(s) connue(s) ; de façon à les relier.
4. Faire le bilan des actions mécaniques extérieures à cet ensemble isolé. Ecrire éventuelle-
ment les torseurs d'action mécanique pour mettre en évidence les paramètres.

5. Choisir la (les) équation(s) issue(s) du principe fondamental de la statique permettant

d'éliminer le maximum d'inconnues non recherchées, notamment les inconnues de liaison avec le
bâti.

Il existe alors deux cas possibles :

• soit il est possible de déterminer la grandeur cherchée et on résout alors le problème ;
• soit il est impossible de déterminer la grandeur cherchée, car des inconnues (de liaison) ap-
paraissent dans l'équation. On doit alors isoler un autre ensemble (sans le bâti !) en utilisant
éventuellement le théorème des actions mutuelles, an de déterminer ces inconnues.
Cette méthode peut être résumée par l'organigramme de la gure suivante.

2. Le raisonnement est à réitérer pour chaque grandeur cherchée si elles sont plusieurs.

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Algorigramme de résolution d'un problème de statique

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Support de cours

Le moteur OS Max 35 FP
• Objectif :
Relier la pression du uide de refoulement au couple moteur an de le dimensionner.

• Hypothèse :
- solides indéformables ;
- liaisons sans frottement ;
- pesanteur négligeable ;
- problème plan.

• Graphe de structure :

• Paramètres à relier :
On cherche une relation algébrique entre le couple moteur Cm et la pression du uide p.

• Choix du premier isolement :

On isole l'ensemble 2, 3, 4 de façon à faire apparaitre Cm et p dans le bilan des actions mé-
caniques extérieures.

• Bilan des actions mécaniques extérieures :

 action transmise par la liaison pivot entre 1 et 2 ;
 action transmise par la liaison glissière entre 1 et 4 ;
 couple moteur ;
 poussée du uide.

• Choix des équations à développer :

On choisit d'applique le théorème du moment statique en O pour éliminer les inconnues de
la liaison pivot.

• La résolution est elle possible ?

La résolution n'est pas possible car l'équation fait apparaitre l'inconnue de moment (M14 )

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de la liaison glissière.

Remarque : compte tenu de la géométrie du mécanisme le moment statique du uide est

nul en O.

• Choix du deuxième isolement :

On isole l'ensemble 4 de façon à faire apparaitre à nouveau la glissière dans le bilan des
actions mécaniques extérieures.

• Bilan des actions mécaniques extérieures :

 action transmise par la liaison pivot entre 3 et 4 ;
 action transmise par la liaison glissière entre 1 et 4 ;
 poussée du uide.

• Choix des équations à développer :

On choisit d'applique le théorème du moment statique en B pour ne pas faire apparaitre les
inconnues de la liaison pivot entre 3 et 4.

• La résolution est elle possible ?

La résolution n'est toujours pas possible car l'équation fait apparaitre en plus de l'inconnue
de moment (M14 ) cette de résultante (X14 ) par la formule de Varignon.

Remarque : L'action du uide n'apparait toujours pas dans l'équation car le moment sta-
tique est également nul en B.

• Choix du troisième isolement :

On isole l'ensemble 3, 4

• Bilan des actions mécaniques extérieures :

 action transmise par la liaison pivot entre 2 et 3 ;
 action transmise par la liaison glissière entre 1 et 4 ;
 poussée du uide.

• Choix des équations à développer :

On choisit d'applique le théorème du moment statique en A pour ne pas faire apparaitre les
inconnues de la liaison pivot entre 2 et 3.

• La résolution est elle possible ?

La résolution est possible car on dispose maintenant d'un système de 3 équations à 3 incon-
nues (il faudrait encore vérier que ces 3 équations sont indépendantes) :M14 , X14 et p.

Remarque :
 d'autres stratégies d'isolement sont envisageables ;
 On pouvait simplier le problème en remarquant que la bielle est en équilibre sous l'ac-
→
−
tion de 2 glisseurs. Dans ce cas R 3→4 est colinaire à AB.

• Résolution
 Théorème du moment statique en O, en projection sur ~z, appliqué à l'équilibre de l'en-

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semble (2,3,4) :
−
→ −
→ −
→ −
→
M O,1→2 · →
−
z + M O,1→4 · →
−
z + M O,moteur→2 · →
−
z + M O,f luide→2 · →
−
z =0⇒

M14 + Cm = 0
 Théorème du moment statique en B, en projection sur ~z, appliqué à l'équilibre de 4 :
−
→ −
→ −
→
M B,1→4 · →
−
z + M B,3→4 · →−z + M B,f luide→4 · →
−
z =0⇒
→
− →
− →
−
M14 − (λ(t). y ∧ X14 . x ) · z = 0 ⇒

M14 + λ(t).X14 = 0
 Théorème du moment statique en A, en projection sur →
−
z , appliqué à l'équilibre de (3,4) :
−
→ −
→ −
→
M A,1→4 · →
−
z + M A,2→3 · → −
z + M A,f luide→4 · →
−
z =0⇒
M14 − (r.x1 ∧ X14 . x ) · z + (L. y2 ∧ −p.S. y ) · →
−
→ →
− →
− →
− →
− −
z =0⇒

M14 + r.X14 . sin α(t) + L.p.S. sin β(t) = 0

Finalement :
λ(t) − r. sin α(t)
p= Cm
λ(t).L.S. sin β(t)

Remarque : Il faut encore trouver les relations géométriques permettant d'exprimer

λ(t) et β(t) en fonction de r, L, α(t).

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5 Bilan

À retenir : SAVOIR
je connais :
• la diérence entre une action mécanique de contact et une action mécanique à distance ;
• la modélisation locale d'une action mécanique ;
• les relations permettant de modéliser une action mécanique à partir de sa dénition locale ;
• les torseurs d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons normalisées ;
• la diérence entre frottement et adhérence ;
• les lois de Coulomb relatives au frottement  sec  ;
• la notion d'isolement d'un système matériel ;
• le concept d'actions mécaniques intérieures et extérieures ;
• la dénition du principe fondamental de la statique ;
• le théorème des actions réciproques ;

À retenir : SAVOIR FAIRE

je sais :
• modéliser une action mécanique :
 par sa représentation locale ;
 par sa représentation globale.
• calculer le torseur d'une action mécanique à partir de sa modélisation locale pour :
 une action de contact sans frottement ;
 une action de contact avec frottement ;
 une action à distance.
• exprimer le torseur d'action mécanique d'une liaison parfaite connaissant son torseur cinéma-
tique.
• faire le bilan des actions mécaniques extérieures sur un système isolé ;
• déterminer, dans le cas d'une étude spatiale ou plane, la forme des torseurs d'actions mécaniques
transmissibles par les liaisons ;
• déterminer, dans le cas d'une étude spatiale ou plane, le nombre d'inconnues d'actions méca-
niques ;
• dénir une stratégie de résolution permettant d'obtenir les actions mécaniques recherchées ;
• applique le principe fondamental de la statique à un système isolé.

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