DEVOIRS LIBRE : 05

(À rendre le 10/03/2023

Prof : H. KHACHANE MPSI 3
CPGE RÉSIDENCE BOUSKOURA 2022/2023

Exercice 1

D’après CNC 99
On considère pour n > 1 la fonction Pn à valeurs complexes définie sur [0, +∞[ par :

1  √ 2n+1
√ 2n+1

Pn ( x ) = ( x + i) − ( x − i) .
2i

1 Montrer que Pn est polynômiale.

2 Déterminer ses racines dans ]0, +∞[.

n
n(2n − 1)
 
kπ
3 En déduire les relations pour n > 1 : ∑ cotan 2
2n + 1
=
3
et
k =1
n
1 2n(n + 1)
∑ 
kπ
 =
3
.
k =1 sin2 2n+1

π 1 1
4 Démontrer, pour t ∈]0, [, les inégalités : cotant ≤ ≤ .
2 t sin t
+∞
1 π2
5 En déduire que ∑ n2 6 .
=
n =1

+∞
1
6 Donner la valeur de ∑ (2n + 1)2
.
n =1

Exercice 2
Quelques propriétés des polynômes de Tchebychev de 1ère espèce et application

1 Préliminaires : rappeler pourquoi si P et Q sont deux polynômes de R[ X ] vérifiant ∀θ ∈

R, P(cos θ ) = Q(cos θ ), alors P = Q.

2 Question de cours : Soit n ∈ N ; à l’aide des nombres complexes, exprimer cos(nθ ) en

fonction de cos θ et en déduire l’existence d’un polynôme Tn ( X ) de R[ X ] tel que :

(1) ∀θ ∈ R, cos(nθ ) = Tn (cos(θ )).

Donner son expression, montrer son unicité, montrer que son degré est ≤ n ; expliciter
Tk ( X ) pour 0 ≤ k ≤ 4.

3 Étudier la parité de Tn . (Indication : changer θ en θ + π dans (1).)

1
 n  π  π
4 On pose Tn ( X ) = ∑ k a X k
. Montrer que a 0 = cos n
2
, a 1 = n sin n
2
(dériver (1) par
k =0
n
rapport à θ), an = 2n −1 (en déduire le degré de Tn ) et ∑ ak = 1.
k =0

5 Montrer que (1 − X 2 ) Tn′′ − XTn′ + n2 Tn = 0 (2). (Indication : dériver (1) deux fois par
rapport à θ).
n
n2 − k 2
6 En écrivant dans (2) que Tn = ∑ ak X k , montrer que ak+2 = − (k + 1)(k + 2) ak .
k =0

7 Calculer a2 , a3 et an−2 .
Dans la suite, n est supposé impair (n = 2p + 1).
 
kπ
8 Pour k ∈ Z, on pose xk = sin , vérifier que Tn ( xk ) = 0, en déduire que Tn possède
n
n racines distinctes appartenant, à choisir parmi les xk (écrire en extension les n racines).
Que peut-on donc dire de Tn ? Écrire la décomposition de Tn en produit de facteurs
irréductibles.
p  
2 kπ
9 Montrer que Tn = 2 n −1
X ∏ X − sin
2
. On définit donc Pn par Tn ( X ) = XPn ( X 2 )
k =1
n
; écrire Pn sous forme factorisée.
kπ

 λk = sin2

10 Pour k ∈ [|1, p|], on pose : n Donner la valeur de σk en fonc-
 k
 σ = ∑ λ i1 . . . λ i k
1≤i1 <···<ik ≤ p
tion des coefficients de Pn .
p p
n2 − 1
 
kπ 1
11 En déduire les valeurs de ∑ sin 2
n
, de ∑ 
kπ
 (réponse :
6
), puis de
k =1 k =1 sin2 n
p  
kπ
∑ cot 2
n
.
k =1
i πh 1 1
12 Vérifier que pour x ∈ 0, , cotan2 x ≤ 2 ≤ .
2 x sin2 x
n
2p(2p − 1)π 2 1 4p( p + 1)π 2
13 Déduire de 7 et 8 l’inégalité :
6(2p + 1)2
≤ ∑ k2 ≤
(2p + 1)2
.
k =1
+∞
1
En déduire la valeur de ∑ k2
.
k =1

Exercice 3

Polynômes de Legendre
On définit pour n ∈ N, les polynômes à coefficients réels suivants :
(n)
P0 = 1, Pn = ( X + 1)n ( X − 1)n , Ln = Pn .

2
 Les polynômes Ln sont les polynômes de Legendre.

1 Déterminer L0 , L1 et L2 .

2 Montrer que pour tout entier n ∈ N, le polynôme Ln est de degré n. On précisera son
coefficient dominant.

3 Comparer les polynômes Ln (− X ) et Ln ( X ).

(k)
4 Déterminer pour un entier n ∈ N∗ et un entier k ∈ {0, . . . , n − 1}, les valeurs Pn (−1) et
(k)
Pn (1).
(k)
5 a Soit n ∈ N∗ . Montrer, par récurrence sur k ∈ {0, . . . , n}, que le polynôme Pn admet
au moins k racines distinctes dans l’intervalle ] − 1, 1[.
(Indication : Utiliser le théorème de Rolle.)
b Montrer que pour tout entier n ∈ N∗ , le polynôme Ln est scindé, que toutes ses
racines sont distinctes et qu’elles appartiennent toutes à l’intervalle ] − 1, 1[.

6 En utilisant la formule de Leibniz, montrer, pour n ∈ N, que :

n
Ln = n! ∑ (Cnk )2 (X + 1)n−k (X − 1)k .
k =0

En déduire la valeur de Ln (1) et de Ln (−1).

7 Vérifier que :

∀n ∈ N, Pn′ +1 = 2(n + 1) XPn (1)

∀n ∈ N, Pn′′+1 = 2(n + 1)(2n + 1) Pn + 4n(n + 1) Pn−1 (2)

8 Soit un entier n ≥ 1. En dérivant n fois la relation (1) et n − 1 fois la relation (2), trouver
une relation simple liant Ln+1 , Ln et Ln−1 .

9 En appliquant la formule du binôme de Newton au polynôme Pn = ( X 2 − 1)n , puis en

dérivant n fois la formule obtenue, trouver la décomposition du polynôme Ln sur la base
canonique. On exprimera les coefficients à l’aide de coefficients binômiaux.

Exercice 4

Étude d’une suite de polynômes

1
Soit ( Pn )n∈N une suite de polynômes définies par : P0 ( X ) = 2, P1 ( X ) = X + et ∀n ≥
  2
1 1
2, Pn ( X ) = X + Pn−1 ( X ) − Pn−2 ( X ).
2 16
′
On notera Pn le polynôme dérivé de Pn .
1 a Expliciter P2 , P3 et P4 .
b Déterminer le degré de Pn et son coefficient dominant pour tout n ∈ N∗ .
c Établir une relation entre Pn ( X ) et Pn (− X − 1).

3
 d Établir une relation analogue entre Pn′ ( X ) et Pn′ (− X − 1).
e Montrer que si α est une racine de Pn il en est de même pour −1 − α.
f Montrer qu’il existe une racine commune à tous les polynômes P2n+1 et à tous les
P2n .

2 Dans cette question, on suppose que −1 ≤ x ≤ 0.

h πi
a Justifier l’existence de θ ∈ 0, tel que x = − cos2 (θ ).
2
Dans la suite, on pose f n (θ ) = Pn (− cos2 (θ )) et f n (θ ) = Pn′ (− cos2 (θ )).
b Exprimer f 1 (θ ) en fonction de cos(2θ ) et f 2 (θ ) en fonction de cos(4θ ).
2(−1)n
c Montrer que ∀n ∈ N, f n (θ ) = cos(2nθ ).
4n
d Déterminer l’ensemble des racines de Pn , pour tout n ≥ 1.
π
e On suppose que 0 < θ < .
2
sin(2nθ )
Pour n ≥ 1, exprimer gn (θ ) en fonction de .
sin(2θ )
En déduire l’ensemble des racines du polynôme Pn′ .
 
′ ′ ′ 1
f Calculer Pn (0), Pn (−1), Pn (0), Pn (−1) et P2 n − pour n ≥ 1.
2
item Dans cette question, on suppose que x < −1 ou x > 0.

a Déterminer deux fonctions λ et µ, linéairement indépendantes, telles que pour tous

réels a et b, la suite de fonctions (zn )n≥1 définie par : zn ( x ) = aλn ( x ) + bµn ( x ) vérifie
la relation :  
1 1
∀n ≥ 2, zn ( x ) = x + z n −1 ( x ) − z n −2 ( x ).
2 16
b Déterminer ( a, b) ∈ R2 tel que : Pn ( x ) = aλn ( x ) + bµn ( x ).

3 Montrer que la famille ( Pn )n∈N vérifie l’équation différentielles

∀ x ∈ R, ∀n ∈ N, 2x ( x + 1) Pn′′ ( x ) + (2x + 1) Pn′ ( x ) − 2n2 P − n( x ) = 0.

(Indication : Utiliser la question (2.c) et dériver par rapport à θ.