Devoir de Contrôle N°1 Lycée Pilote - Math - Bac Mathématiques (2011-2012) MR Troudi Kamel

Lycée pilote de Kairouan Prof : Troudi Kamel
Devoir de contrôle n°1 Date : 10-11-2011

Année Scolaire 2011-12 Classe :4ème Maths 2 Durée : 2 h Coef :4
Exercice N°1 (3 points)

Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse
2
Soit f la fonction définie sur  par : f(x) =-1  x  1  cox

1)f est dérivable sur  \ 2k , k   .
1
2) lim f(x)   , lim f(x)   et lim n 1
0
x   x   x  
f(x)  .
 
3) l’équationf(x) =0 admet dans  ,  une solution unique x0.
6 3
 
4)Il existe au moins un réel c dans  0,  tel que f’(c) =0.
 2
Dans le graphique ci-dessous C f et C g sont les courbes représentatives, dans un repère

orthonormé (O,i, j) , respectivement des fonctions f et g dérivables sur  . Au voisinage de  , C f
Possède une asymptote oblique  et C g possède une asymptote horizontale.
1) Utiliser le graphique pour donner :

a) La parité de chaque fonction
f(x) g(x)
b) f(0), g(0), f '(0), g'(0), lim f(x), lim g(x), lim , lim , lim  f(x)  x , lim  f(x)  x 
x   x   x   x x   x x   x  
c) La fonction principale et sa fonction dérivée parmi f et g

d) Construire la tangente  en M à la courbe C f (Expliquer sur votre copie)
  
2) Pour tout x de   ,  On pose : (x)  t g(2x)
4 4 
1   
a) Soit n   : Montrer que l’équation . : (x)  admet dans   ,  une solution une solution
n 1  4 4 
unique an. calculer a0puis a2
b) Montrer que la suite (an) est décroissante et quelle est convergente vers 0.
Enoncé Page 1
3) a) Calculer lim fo(x) , lim fo(x) et lim go(x) , lim go(x)
   
   
x  x x  x
4 4 4 4
  
b) Montrer que go est dérivable sur   ,  .Dresser le tableau de variation de go .
 4 4
 
Le plan complexe  étant rapporté à un repère orthonormé direct (O, u, v)
1) On donne dans  l’équation (  ) : z3  2iei  z 2  2ie2i  z  4e3 i  (i  2)  0 ,   0,2 .

a) Vérifier que 2 est une solution de (  ) (l’équation pour   0 ).
0
b) Résoudre alors dans  l’équation (  ) .
0
2)a) Montrer que z est une solution de (  ) si et seulement si e  i  z solution de (  )
 0
b) En déduire les solutions de (  ) .

3) On note A,B et C les images des solutions de (0 ) et par A',B’ et C’ les images des solutions de ( ) .
ZOA
 ZOB

a) Calculer puis interpréter les complexes et .
ZCB
 Z 
AC
P tq : M(z)  M'(z'); z' e iz

b) Caractériser l’application r : P 
c) En déduire que ABC et A’B’C’ ont le même orthocentre.
d) Montrer que les points A’, B’ et C’ varient sur des cercles concentriques apréciser .
 
On considère dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormé O, u, v , les points A, B et E  
1 3
d’affixes respectives 1,  1 et j  
i
2 2
1) a) Déterminer les racines cubiques de j et de j
jz 
b) Montrer que pour tout z   \  j et    on a :  ei  z  i j tg
jz 2
E' :  j  z      j  z
6 3 6
c) En déduire les solutions de l’équation  j2  z2 0
2z
2)Soit f l’application de P privé B dans P qui à tout point M  z  associe M'  z '  tel que z' 
z 1
a) Ecrire j et l’affixe de E’= f(E) sous forme exponentielle
1 z
b) Vérifier que pour tout z   \ 1 z' 1 
1 z
AM
c) Montrer que pour tout M distinct de B, on a : BM' 
BM
d)En déduire que lorsque M varie sur l’axe des ordonnées, M' varie sur un cercle à préciser
3)Soit  la droite d’équation x  1
1 z
a) Montrer que si M'   alors est un imaginaire
1 z
b) En déduire que lorsque M' varie sur la droite  , M varie sur un cercle à préciser
   
   
4) a)Montrer que : u , BM'    MB , MA (2)
b) En déduire l’ensemble des points M lorsque M’ décrit la demie droite [BE) privée du point B.
Enoncé Page 2

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Exercice N°1 (3 points)

1) Utiliser le graphique pour donner :

c) La fonction principale et sa fonction dérivée parmi f et g

P tq : M(z)  M'(z'); z' e iz

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