Cours Series Entieres PDF
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Séries entières
PC*2
30 novembre 2009
Introduction
Ce nouvel épisode de la saga des séries se décompose en plusieurs chapitres
d’importances diverses suivant les ambitions des lecteurs.
– Le chapitre 1 aborde de nouvelles questions sur les séries numériques
(produit de Cauchy, groupement de termes) qui sont trop délicates pour
être abordées en début d’année.
– Le chapitre 2 couvre l’intégralité du programme sur les séries entières.
Le lecteur "normal" pourra largement s’en contenter.
– Dans le chapitre 3 j’approfondis certaines méthodes de développement
de fonctions en séries entières en flirtant souvent avec les limites du pro-
gramme (prolongement analytique, développement de produits infinis)
voire en le dépassant franchement (fonctions absolument monotones).
À conseiller aux étudiants ambitieux et déjà à l’aise avec le chapitre
précédent.
– Le chapitre 4, qui décrit des méthodes de calculs de sommes de séries,
est en revanche destiné à tous les publics.
– Enfin dans le chapitre 5 on aborde modestement des techniques de com-
portement de la somme d’une série entière au bord du disque de conver-
gence avec des applications à la détermination de rayons de convergence
dans des cas délicats. Si l’étude de l’exemple 34 page 55 est conseillée à
tous la suite est, comme on dit, "à recommander aux lecteurs avertis".
2 Séries entières 9
2.1 Rayon de convergence d’une série entière . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Comment déterminer un rayon de convergence . . . . . 12
2.1.2 Régularité de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Opérations élémentaires sur les séries entières . . . . . . . . . 14
2.3 Séries entières d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Série dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Fonction développable en série entière sur un intervalle 17
2.3.3 Développement des fonctions classiques . . . . . . . . . 18
Séries géométriques, exponentielles et trigonométriques 18
Le développement du binôme . . . . . . . . . . . . . . 18
Fonctions se ramenant aux précédentes par dérivation
ou intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Résumé des formules à connaitre . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Des exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3
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6 Travaux dirigés 65
6.1 Calculs de rayons de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Calculs de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Fonctions génératrices de suites récurrentes . . . . . . . . . . . 69
6.4 Comportements aux bords de l’ouvert de convergence . . . . . 71
P P
Théorème 1.
P Si an et bn sont absolument convergentes, il en est
de même de cn et :
∞ ∞
! ∞ !
X X X
cn = an bn
n=0 n=0 n=0
7
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P
Proposition 1. Soit an une série convergente à termes complexes de
n≥0
somme A. Si φ est une application
P strictement croissante de N dans N telle
que φ(0) = 0 alors la série k≥0 bk avec :
φ(k+1)−1
X
bk = an
n=φ(k)
n≥1
n
Séries entières
∞
X 1
∀z ∈ D(0, 1), zn =
n=0
1−z
P zn
b) Série exponentielle : la série entière n!
converge pour tout z ∈ C
n≥0
et
∞
X zn
∀z ∈ C, = ez
n=0
n!
On en déduit immédiatement :
9
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∞
X x2n
∀x ∈ R, (−1)n = cos x
n=0
(2n)!
et
∞
X x2n+1
∀x ∈ R, (−1)n = sin x
n=0
(2n + 1)!
X∞
x2n
∀x ∈ R, = ch x
n=0
(2n)!
et
∞
X x2n+1
∀x ∈ R, = sh x
n=0
(2n + 1)!
Corollaire
P 1. Avec les conventions et notations du lemme d’Abel, la série
an z n converge absolument pour |z| < r.
n≥0
|z|
Démonstration. Car < 1.
r
R = sup X
– Sinon on pose :
R = +∞
donc R = 1.
Pour la série exponentielle et les séries trigonométriques on a X = [0, +∞[
donc R = +∞.
∀r > 0, (r < a ⇒ r ≤ b) =⇒ a ≤ b
P zn
Exemple 7. Rayon de convergence de (n!)α
.
n≥0
Exemple 8. Montrer que la suite (sin n) ne tend pas vers 0 (supposer qu’elle
tend vers 0 et prouver l’existence d’une suite (kn ) d’entiers relatifs telle que,
pour tout n on ait |n − kn π| ≤ π/2. Prouver alors que la suite (kn+1 − kn )
est stationnaire et relever une contradiction). P
Déterminer le rayon de convergence de la série entière sin nz n .
n≥0
P zn
Exemple 9. Rayon de convergence de (n!)1/n
.
n≥1
P n+sin n n
Exemple 10. Rayon de convergence de 2+cos n
z .
n≥0
P
Exemple 11. Rayon de convergence de pn z n où pn est le nombre d’entiers
n≥1
premiers ≤ n.
P
Exemple 12. Rayon de convergence de an z n avec :
n≥0
(
1
2n
si n est pair
an = n
3 sinon
P zn
2
Exemple 13. Domaine de convergence de (n!)nα
.
n≥0
P
Exemple 14. Domaine de convergence et somme de z [log2 (n)] .
n≥1
P P
Exemple 15 (Exemples théoriques). Soient an z n et bn z n deux sé-
n≥0 n≥0
ries entières de rayons de convergence respectifs R et R0 . En étudiant d’abord
le cas où les suites complexes (an ) et (bn ) sont géométriques,
P donner une mi-
noration du rayon de convergence de la série entière an bn z n . Montrer par
n≥0
un contre exemple que l’inégalité trouvée peut être stricte.
P 2
Même question et même méthode avec la série entière an z n .
n≥0
Proposition
P 5 (Produit P de Cauchy). Soient R et R0 les rayons de conver-
gence de an z n et bn z n , de sommes A(z) et B(z). Le produit de Cauchy
n≥0 n≥0 P
de ces deux séries entières est la série entière cn z n avec, pour tout entier
n≥0
naturel n :
n
X
cn = ak bn−k = a0 bn + a1 bn−1 + ∙ ∙ ∙ + an b0
k=0
R0 ≤ R
R ≤ R0
P
Théorème 3. Soit an xn une série entière de la variable réelle x, de rayon
n≥0
de convergence R > 0. Alors :
– la série converge normalement sur tout segment de ] − R, R[,
1+x
Exercice 2. Montrer que la fonction x 7→ arctan est, sur ] − 1, 1[,
1−x
somme d’une série entière de rayon de convergence 1. Même question avec
x 7→ ln(x2 − 2x cos θ + 1) où θ 6∈ πZ.
P
Théorème 4. La somme f d’une série entière, an xn dont le rayon de
∞
convergence R est strictement positif est de classe C sur ]−R, R[. En outre,
pour tout entier k ≥ 1, la dérivée Dk f est, sur ] − R, R[ somme de la série
entière, de rayon de convergence R, obtenue en dérivant k fois terme à terme
la série initiale.
Exemple 17. Pour p ∈ N et −1 < x < 1, il vient :
X∞
1 n+p n
= x (2.1)
(1 − x)p+1 n=0
n
P
Remarque 4 (Parité de la somme). Soit an z n une série entière de
n≥0
rayon de convergence R > 0, dont la somme définit est une fonction
paire (resp impaire) sur un intervalle ] − r, r[ avec 0 < r < R, alors les
coefficients d’indices impairs (resp pairs) sont nuls.
X∞
1 n+p n
= z
(1 − z)p+1 n=0
n
∞
X
∀x ∈ I, f (x) = a n xn
n=0
X f (n) (0)
∀x ∈] − r, r[, f (x) = xn
n≥0
n!
D’après la proposition 7 page 16, cela revient à dire que f est développable
en série entière sur ] − r, r[.
Le développement du binôme
Pour α ∈ C − N, la fonction :
x 7→ (1 + x)α = eα ln(1+x)
∞
X
α α(α − 1) . . . (α − n + 1)
∀x ∈] − 1, 1[, (1 + x) = 1 + xn
n=1
n!
Puisque α 6∈ N :
an+1 α − n
an = n + 1 → 1 quand n → ∞
P
La série entière an xn a donc 1 comme rayon de convergence. Sa
n≥0
somme S est donc définie et de classe C ∞ sur ] − 1, 1[ et, d’après les
calculs faits dans la phase d’analyse qui sont licites sur ]−1, 1[ puisqu’on
peut y dériver S terme à terme, il vient :
(1 + x) S 0 (x) = α S(x) (2.4)
S(0) = 1 (2.5)
Donc S = f sur ]−1, 1[ d’après l’unicité de la solution du problème
de Cauchy (2.2), (2.3) sur cet intervalle.
X∞
(−1)n 2n+1
arctan x = x
n=0
2n + 1
√
1 1+ x
√ ln √ si 0 < x < 1
2 x 1− x
√
f (x) = arctan −x
√ si −1 < x < 0
−x
1 si x = 0
X n
1 z n+1
= zk +
1−z k=0
1−z
Les développements en série entière sur lesquels il ne faut pas hésiter sont
ceux qui figurent avant la double barre horizontale. Toutes les fonctions sont
considérées par rapport à la variable réelle x. On usera des abréviations
suivantes :
– ED : équation différentielle.
– I : intégration.
– TI : majoration du reste intégral dans la formule de Taylor.
P
∞
1.3...(2n−1) x2n+1 1
Arcsin x x+ 2n n! 2n+1
1 I de (1 − x2 )− 2
n=1
3=1+1+1=1+2=2+1
donc d3 = 4
– Exprimer dn à l’aide des (dk )0≤k≤n−1
P .n
– En déduire que la série entière dn z a un rayon de convergence non
n≥0
nul et calculer sa somme.
– En déduire dn .
NB : le cas où l’on ne tient pas compte de l’ordre est beaucoup plus difficile
et traité dans l’exemple 25 page 35
Exemple 20. Soit θ ∈]0, π[. On considère la suite réelle (un ) définie par :
(
u0 = u1 = u2 = 0
un+3 + un+2 + un+1 + un = n cos nθ pour n ≥ 0
Développement de fonctions en
série entière
∞
X
∀x ∈] − r, r[, an xn = f (x)
n=0
25
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x 7→ (1 + x)α = eα ln(1+x)
x y” + 2 y 0 + x y = 0
x (x2 + 1) y” − 2 (x2 + 1) y 0 + 2 x y = 0
2
(1 + x2 ) y” + 2 x y 0 =
1 + x2
Intégrer alors ces équations
(−1)k k!
u(k)
n (x) =
n(n + x)k+1
k!
|u(k)
n (x)| ≤
n(n − 1)k+1
est développable en série entière sur ] −1, 1[. Soit x ∈]−1, 1[, k ≥ 1, t ∈ [0, x].
Les lecteurs établiront que :
X∞
k+1 (k + 1)!
|f (t)| ≤ = (k + 1)!
n=2
n(n − 1)
k
|Rk (x)| ≤ |x|k+1
k+1
Comme |x| < 1, le résultat s’en déduit. f est donc somme de deux fonctions
développables en série entière sur ] − 1, 1[, elle l’est donc aussi.
∀x ∈ I, ∀n ∈ N, f (n) (x) ≥ 0
(x − t)n (n+1)
un (t) = f (t)
n!
est à termes positifs, convergente et sa somme est majorée par f 0 (x).
Démonstration. On applique la formule de Taylor avec reste intégral à f 0 sur
[t, x] à l’ordre N soit :
N
X Z x
0 (x − t)n (n+1) (x − s)N +1 (N +2)
f (x) = f (t) + f (s) ds
n=0
n! t (N + 1)!
Rx N +1
or le reste t (x−s)
(N +1)!
f (N +2) (s) ds ≥ 0 donc la somme partielle de rang N de
la série est majorée par f 0 (x) et le résultat suit.
Proposition 9. Pour x in [0, R[ la série de Taylor de f converge au point
x et a pour somme f (x).
Démonstration. Appliquons la formule de Taylor avec reste intégral à f à
l’ordre N entre 0 et x :
XN Z x
xn (n) (x − t)N (N +1)
f (x) = f (0) + f (t) dt
n=0
n! 0 N !
Comme les fN peuvent s’annuler, il n’est pas trés commode d’en prendre
le logarithme. On considère la série de fonctions de terme général uN =
fN +1 − fN dont on va prouver la convergence normale sur tout segment de R.
Il suffit de se limiter aux segments de la forme [−r, r], r > 0. Soit x ∈ [−r, r] :
N
Y
uN (x) = q N +1 x (1 + q n x)
n=0
N
Y
N +1
|uN (x)| ≤ q x (1 + |q n x|)
n=0
or
N
Y N
Y
n
(1 + |q x|) ≤ (1 + |q n r|)
n=0 n=0
Notons vN cette dernière expression qui est > 0, on peut en prendre le loga-
rithme :
N
X
ln(vN ) = ln(1 + |q|n r)
n=0
On, quand n → ∞, ln(1 + |q| r) ∼ |q|n r puisque |q|n → 0 vu que |q| < 1.
n
(on remarquera que la méthode adoptée est encore valable lorsque x ∈ C).
Si x ∈ R, il vient :
(1 + x)fN (qx) = fN +1 (x)
Donc R = +∞. Le même calcul que celui fait dans la phase d’analyse
(sauf qu’ici on sait que toutes les séries convergent donc les calculs sont
légitimes) prouve que la somme g de cette série vérifie (E) pour tout
x réel. Au surplus, g est une fonction continue sur R ce qui va nous
permettre de montrer que g = f .
Une récurrence laissée aux lecteurs permet d’établir :
g(x) = fN (x)g(q N +1 x)
Quand N → ∞, la continuité de g en 0 assure que lim g(q N +1 x) =
N →∞
g(0) = 1 et donc g(x) = f (x) ce qu’on voulait.
hExemple
i 24. Pour x > −1, la fonction t 7→ ln(1 + x sin2 t) est continue sur
π
0, . On peut donc considérer :
2
Z π
2
f (x) = ln(1 + x sin2 t)
0
sin2n t n
un (t) = (−1)n−1 x
n
P
De sorte que, pour tout t, la série un (t) converge et :
∞
X
un (t) = ln(1 + x sin2 t)
n=1
de récurrence 2nIn = (2n − 1)In−1 via une intégration par parties) on trouve
donc, pour tout x ∈] − 1, 1[ :
∞
πX 1.3 . . . 2n − 1 xn
f (x) = (−1)n−1
2 n=1 2.4 . . . 2n n
Exemple 25. (Un exemple difficile mais posé en PC*) Pour x ∈] − 1, 1[, le
produit infini :
Y∞
1
n=1
1 − xn
converge. Soit f (x) sa valeur. On se propose de démontrer que f est déve-
loppable en série entière sur ] − 1, 1[ :
∞
X
f (x) = pn xn
n=0
Où pn est le cardinal de l’ensemble (fini) des suites (αk ) d’entiers naturels
nulles à partir du rang (n + 1), telles que :
n
X
kαk = n
k=0
Démonstration. -
a) Remarques préliminaires : notons Sn l’ensemble des suites ci dessus
dont le cardinal vaut pn . Notons aussi, si N ∈ N Sn (N ) le sous ensemble
de Sn constitué des suites nulles à partir du rang (N + 1) inclus et
an (N ) = Card(Sn (N )). Il est clair que :
Sn (N ) = Sn pour N ≥ n
Q
b) Convergence du produit infini : soit x ∈]−1, 1[, PN (x) = N 1
n=1 1−xn
le produit partiel. Comme tous les facteurs de ce produit sont > 0, on
peut écrire :
XN
ln(PN (x)) = ln(1 − xn )
n=1
Qui est la somme de rang N de la série de terme général ln(1 − xn ), or,
quand n → ∞ :
| ln(1 − xn )| ∼ |x|n
P n
On
P |x| est à termes positifs et convergente puisque |x| < 1 donc
ln(1 − xn ) est absolument convergente et la suite (ln(PN (x))) aussi ;
si t est sa limite, il vient :
lim PN (x) = et > 0
N →∞
1
PN −1 (x) = PN (x)
1 − xN
surplus, puisque an (N ) ≥ 1 (pourquoi ? ), le
HN est donc prouvée. EnP
rayon de convergence de an (N )xn vaut 1.
d) Développement en série entière de f : soit t ∈ [0, 1[. Si q ∈ N, il
vient : q
X X∞
n
an (N )t ≤ an (N )tn = PN (t) ≤ f (t)
n=0 n=0
lim an (N )xn = pn xn
N →∞
Principe de la méthode
P
On remarque que, si ∞ n
n=0 an z est une série entière
P de rayon de conver-
gence R > 0 et si |z| < R, La série de fonction un (t), où un (t) est la
un (t) = an z n tn = an (zt)n
ainsi que ses dérivées successives (pourquoi ?) On pourra donc, puisqu’il s’agit
d’une série entière de la variable réelle t, intégrer ou dériver terme à terme
cette série. Le principe revient, au fond, à paramétrer le segment [0, z].
z
Exemples fondamentaux P 1 3 n(La fonction z 7→ e ). On a vu précédem-
ment que la série entière n!
z avait un rayon de convergence infini et que :
∞
X zn
∀t ∈ R, ezt = tn
n=0
n!
En particulier, pour t = 1 :
∞
X
z zn
e =
n=0
n!
(1 + z)α = eα ln(1+z)
Montrer que cette fonction est développable en série entière dans D(0, 1) et
en déterminer le développement.
P
(b) Quel est le rayon de convergence de la série entière |an | xn ?
n≥0
On note g(x) sa somme pour |x| < R. Prouver, pour t ∈ [0, 1],
l’inégalité :
|φk+1 (t)| ≤ g (k+1) (|a| + t|h|)|h|k+1
Démontrer que la série de terme général :
Z 1
(1 − t)k (k+1)
g (|a| + t|h|)|h|k+1 dt
0 k!
converge (appliquer la formule de Taylor avec reste intégral à g 0
entre |a| + t|h| et |a| + |h|) et conclure.
∞
X
∀z ∈ D(0, R), f (z) = λn z n
n=0
P
∞
par dérivations successives de xn . D’où l’idée de décomposer le polynôme
n=0
P ∈ CN [X] dans la base (H0 , H1 , . . . , HN ) de CN [X] constituée des poly-
nômes de Hilbert :
X(X − 1) . . . (X − k + 1)
Hk (X) =
k!
En remarquant que, pour |x| < 1 :
∞
X xk
Hk (n)xn =
n=0
(1 − x)k+1
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Exemple 28.
∞
X
(n3 − n2 + 1)z n
n=0
(Traité en cours)
P
4.1.2 Séries de la forme F (n)xn
Où F ∈ C(X) :
Exemple 29.
∞
X 1
xn
n=1
n(2n + 1)
et, avec Maple :
∞
X n+1
xn
n=1
n(3n + 1)
(Traité en cours)
P P (n)
4.1.3 Séries de la forme n! xn
Où P ∈ C[X]. Même technique que dans 4.1.1
Exemple 30.
∞
X n3 − 2n + 1
n=0
n!
(Traité en cours)
P an+1
4.1.4 Séries de la forme an z n où an est une fraction
rationnelle simple
On va traiter le cas, assez fréquent, où degré de deg F = 0, c’est à dire
P (n)
où F (n) = Q(n) avec deg P = deg Q. Il en résulte que, si a et b sont les
coefficients dominants de P et Q :
an+1 a
lim = = λ 6= 0
n→∞ an b
Le rayon R vaut | λ1 |.
Principe de la méthode
On décompose F en éléments simples avec la partie entière λ
F (n) = λ + φ(n)
Où φ(n) représente la somme des éléments simples de F . Pour |x| < R :
∞
X ∞
X ∞
X ∞
X
n n+1 n+1
a n x = a0 + an+1 x = an λx + an φ(n)xn+1
n=0 n=0 n=0 n=0
En séparant les séries relatives à chaque élément simple, on obtient une équa-
tion différentielle en dérivant (éventuellement plusieurs fois) le tout.
De sorte que :
an+1 n(2n + 1)
=− pour n ≥ 1
an 2(n + 1)2
Il vient alors (sauf erreur de calcul) pour x ∈] − 1, 0[∪]0, 1[ :
√
1+x+1
y(x) = ln x √ − 2 ln 2, y(0) = 0
1+x−1
n(2n + 1) 3n + 2 3 1
2
=1− 2
=1− +
2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1) 2(n + 1)2
Donc, vu que toutes les séries entières ci-dessous convergent :
∞ ∞ ∞
x X n+1
X 3 n+1
X 1
y(x) = − an x + an x − an 2
xn+1
2 n=1 n=1
2(n + 1) n=1
2(n + 1)
∞ ∞
x 3 X xn+1 1X xn+1
(1 + x)y(x) = + an − an
2 2 n=0 n + 1 2 n=0 (n + 1)2
Toutes ces séries entières ayant 1 comme rayon de convergence, on peut dé-
river terme à terme cette dernière relation pour n ≤ 1 :
∞
0 3 1X xn
(1 + x)y (x) + y(x) = y(x) − an
2 2 n=0 (n + 1)
est continue en 0 (la seule utilité de cette vérification est de voir si les calculs
sont cohérents). Il vient donc, puisque z est continue sur ] − 1, 1[ :
Z x Z x
1 1
∀x ∈] − 1, 1[, y(x) = z(t) dt = − √ dt
0 0 t t 1+t
Pour calculer cette intégrale, il faut la scinder en deux mais les fonctions :
1 1
t 7→ et t 7→ √
t t 1+t
ne sont pas intégrables sur [0, x]. Il faut donc séparer les cas x > 0 et x < 0
en isolant la valeur 0. Soit 0 < h < x. On considère :
Z x
1 1
− √ dt
h t t 1+t
qu’on peut scinder en deux puisque les fonctions considérées sont continues
sur [h, x] : Z x Z x
1 1
= dt − √ dt
h t h t 1+t
√
Pour calculer la deuxième intégrale, on pose u = 1 + t et :
Z Z √ √
x
1 1+x
du 1 + u 1+x
√ dt = −2 = − ln
h t 1+t √
1+h 1 − u2 1 − u √1+h
On regroupe les deux intégrales, en supprimant les valeurs absolues, via les
signes des expressions et en regroupant les deux termes qui ont chacun une
limite infinie quand h → 0 mais dont la sommme a une limite finie :
Z x Z x
1 1
dt − √ dt =
h t h t 1+t
√ √
1+h−1 √ 1+x+1
ln − ln(1 + 1 + h) + ln x √
h 1+x−1
√
Or 1+h−1
h
∼ 12 quand h → 0 d’où la formule voulue en faisnt tendre h vers
0. Les lecteurs traiteront, de même le cas x < 0.
∞
X
Cn2n xn
n=0
Propriétés de la somme au
bord du disque de convergence
Théorème 6 (Abel). Soit (an )n∈N une suite de nombre complexes telle
que la série entière de terme général an z n ait un rayon de convergence R ∈
]0, +∞[. Si la série de terme général an Rn converge, la fonction f définie
dans l’intervalle ] − R, R] par :
∞
X
f (x) = a n xn
n=0
55
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√
v(x) = 2(1 + x/2)1/2 est développable en série entière sur ] − 2, 2[.
Son développement s’écrit :
∞
X
u(x) = bn xn
n=0
avec :
√
b0 = √2
b1 = 2/4
√ √
bn = 2 1/2(1/2−1)...(1/2−n+1)
2n n!
= 2(−1)n−1 1.3...(2n−3)
4n n!
pour n ≥ 2
P
Si R est le rayon de convergence de cn xn , il vient R ≥ 1 mais
n≥0
l’expression des cn est trop compliquée pour qu’on puisse en déduire
une majoration directe de R.
b) Majoration du rayon : o s’aide du comportement de y au voisinage
de
P 1. Supposons que R > 1. Notons alors U (x) la somme de la série
cn xn sur ] − R, R[. La fonction U est C ∞ sur cet intervalle et :
n≥0
Donc :
−1 − 2x
∀x ∈] − 1, 1[, U 0 (x) = y 0 (x) = p
2 (1 − x)(2 + x)
Donc
lim U 0 (x) = −∞
x→1−
y(x) = eu(x)
l’est aussi. Pour cela, on observe que y ∈ C ∞ (] − R, R[, C) et vérifie sur cet
intervalle l’équation différentielle linéaire :
avec, pour n ≥ 0 :
n
X
cn = ak bn−k
k=0
n
! n
!
r X Mn r X
|an+1 |rn+1 ≤ |ak |rk |bn−k |rn−k ≤ |bk |rk
n+1 k=0
n+1 k=0
en ayant remarqué que :
n
X n
X
n−k
|bn−k |r = |bk |rk
k=0 k=0
P
Or, puisque 0 ≤ r < R, la série |bk |rk converge. Si S est sa somme,
k≥0
il vient, vu la positivité des termes de cette série :
Sr
|an+1 |rn+1 ≤ Mn
n+1
Sr
Puisque la suite de terle général n+1
tend vers 0, il existe un rang N
tel que :
Sr
n>N ⇒0≤ <1
n+1
La suite (Mn ) est donc constante à partir du rang N + 1, elle est donc
bornée. Il en est de même de la suite (|an |rn ) puisque, pour tout n :
0 ≤ |an |rn ≤ Mn
∀r ∈ [0, R[, R0 ≥ r
R0 ≥ R
avec r > 0 et θ 6∈ πZ. Ses racines sont r ei±θ . T (x) > 0 pour tout x ∈ R.
Montrons que la fonction :
√
y(x) = x2 − 2rx cos θ + r2
est développable en série entière sur ] − r, r[ et que le rayon de convergence
de son développement en série entière vaut r.
a) Montrons que y est développable en série entière pour |x| < r :
on remarque que :
y(x) = eu(x)
avec
ln(T (x))
u(x) =
2
Prouvons que u est développable en série entière sur ] − r, r[. Elle y est
C ∞ et :
T 0 (x) x − r cos θ
u0 (x) = = 2
2 T (x) x − 2rx cos θ + r2
qui se décompose en éléments simples sur C 2 :
0 1 1 1
u (x) = +
2 x − r eiθ x − r e−iθ
Chacun de ces termes se décompose en série géométrique convergente
sur ] − r, r[ :
X∞
1 xn
= −
x − r eiθ n=0
rn+1 ei(n+1)θ
Donc, pour |x| < r, u0 (x) est somme de la série entière :
∞
X cos(n + 1)θ xn
−
n=0
rn+1
Le cours assure alors que u est développable en série entière sur ] − r, r[,
son développement en série entière s’obtenant en intégrant le précédent
terme à terme.
On a alors prouvé que y = eu était développable en série entière sur
] − r, r[. Notons R le rayon de convergence de la série, de sorte que
R ≥ r.
2
Je rappelle que la décomposition de P 0 /P où P est un polynôme scindé doit être
connue
D’où : ∞
X
y 0 (x) = bn xn pour |x| < r
n=0
Notons U (z) et V (z) leurs sommes pour |z| < R. La série produit de
Cauchy : X
cn z n
n≥0
Or, pour x ∈] − r, r[ :
à tout le disque D(0, R). Donc, pour tout complexe z tel que
|z| < R, il vient :
W (z) = z − r cos θ
soit :
∀z ∈ D(0, R), U (z)V (z) = z − r cos θ (5.1)
De la même manière, on prouve que :
Travaux dirigés
Exercice 19 (Mines 2001). Soit (an ) une suite réelle strictement positive
telle que :
a2n
lim = l 6= 1
n→∞ an−1 an+1
P
Étudier le rayon de convergence de la série entière an z n suivant l.
n≥0
65
30 novembre 2009
Exercice 24 (Cen 2000). Soit (an )n≥1 une suite de réels. On pose Sp =
Pp P
ak . On note R resp R1 le rayon de convergence de la série entière an xn
k=1 P n≥1
resp Sn xn . On suppose R > 0 et on note f (x) et g(x) les sommes respec-
n≥1
tives de ces séries dans leurs intervalles ouverts respectifs de convergence.
1. Comparer R et R1 puis f (x) à g(x).
2. Donner un exemple où R > 1, R1 = R puis un autre avec R > 1,
R1 = 1.
Exercice 25 (X 97 : 5/2 seulement). z ∈ C. Ensemble de définition de
∞
X cos n z n
√ ?
n=0
n + cos n
P
∞
4n−3
Exercice 33 (X 1997). Calculer n(n2 −4)
.
n=3
P
∞
2n+n3
Exercice 34 (X 2000). Calculer (n+1)!
.
n=0
P
Exercice 35 (CCP 1999). Rayon de convergence et somme de ch(na)xn ?
n≥0
P x3n
Exercice 36 (Cen 1999). Convergence et somme de 3n!
.
n≥0
Rπ
Exercice 39 (Mines). Calculer In = 0
2
sin2n+1 t dt. En déduire :
∞
X 1
n
n=0
(2n + 1)2 C2n
Exercice 41 (X 98). -
1. Pour n ≥ 1 on pose :
n−1
X
n 1
un = (−1)
k=0
(2k + 1)(n − k)
P
Nature de un ?
n≥1
P
∞
2. Calculer un .
n=1
Exercice 42 (Mines). Soit (an ) une suite d’éléments de {−1, 1} telle que
a0 = 1, et qu’en posant :
X∞
an n
f (x) = x
n=0
n!
on ait :
∀p ∈ N, ∀x ≥ 0, |f (p) (x)| ≤ 1
Montrer que f (x) = e−x
Expliciter an en fonction de a0 , a1 et n.
Exercice 46 (Mines). an = an−1 + an−2 − an−3 .
1. Montrer, sans calculer les an que :
Exercice 48 (X 2003). Soit (un ) une suite réelle telle que, pour tout entier
naturel n : n
X un−k
=1
k=0
k!
Déterminer la limite de la suite (un ).
Exercice 49 (Ccp 2000). Soit (an ) la suite récurrente
P définie par a0 = 1 et
n+b
an+1 = n+2 an . Donner le rayon de convergence de an xn et une équation
n≥0
différentielle, que l’on résoudra, satisfaite par sa somme.
Exercice
P 50 (Cen 2002). Déterminer le rayon de convergence et la somme
de an xn où la suite (an ) est définie par :
n≥0
(
a 0 = a1 = 1
2
an+1 = an + n+1
an−1 pour n ≥ 1
an
1. Montrer que la suite de terme général bn = converge.
n
2. Etudier la limite de (bn ) en fonction de a.
P
3. Utiliser la série entière an xn afin de connaı̂tre l’application :
n≥0
a 7→ lim bn
n→∞
P
Rayon de convergence et domaine de convergence de un xn . Étude du
n≥0
comportement au bord du domaine de définition.
Exercice 55 (Cen 1997 et Ccp 1999). On considère la série entière de
2n + 1 n−1
terme général x (n ≥ 1).
2n − 1
1. Rayon de convergence ?
2. Etude aux bornes.
3. Calcul de la somme.
P
Exercice 56 (Mines 2002 et 2003). Rayon de convergence de an xn
n≥1
avec :
(−1)n 1
an = ln 1 + √ + ?
n 2n
Étude du comportement de la somme aux bords de l’intervalle ouvert de
convergence.
P (2n )
Exercice 57 (Cen 2003). Équivalent de la somme de x aux bornes
n≥0
de l’intervalle ouvert de convergence ?
1. Limite et équivalent de an ?
P
∞
2. On pose f (x) = an xn . Quel est le domaine de définition de f ?
n=0
3. Comportement de f aux bornes de l’intervalle ouvert de convergence ?
Exercice 61 (Cen 2000). Soit (bn ) une suite de réels strictement positifs
et (an ) une suite réelle telle que an = o (bn ).
1. On suppose que la série
P entière de terme général bn xn a un rayon infini.
Quel est le rayon de an xn ?
2. Soient f et g les sommes de ces deux séries. Prouver que f (x) = o (g(x))
quand x → +∞.
3. Montrer que, si y est une solution de :
P
1. Déterminer l’intervalle ouvert de convergence de un xn et montrer
n≥0
que sa somme f vérifie l’équation différentielle :
x y 0 (x) + (a − x) y(x) = a
R +∞
2. On pose Γ(a) = 0
e−t ta−1 dt. Montrer que f (x) ∼ Γ(a + 1) ex x−a
quand x → +∞.
1. Domaine de définition ?
2. Limite en +∞ ?
3. f est-elle prolongeable par continuité en 0 ?
4. Si oui, f est-elle développable en série entière autours de 0 ?
Exercice 66 (X 2006). Développement en série entière de f : R → R telle
que : Z x
x2 /2 2
∀x ∈ R f (x) = e e−t /2 dt
0
1. Prouver l’existence P d’une suite (Hn ) de polynômes telle que pour tout
t et tout x la série Hn (t) xn soit convergente de somme f (t, x).
n≥0
2. Prouver la formule :
(−1)n t2 dn − t2
Hn (t) = e2 ne 2
n! dt
3. Calculer, si k 6= n : Z
t2
Hn (t) Hk (t) e− 2 dt
R
Peut-on calculer la valeur de cette intégrale si k = n ?
Exercice 74 (Mines 1999). Soit f définie sur ] − π/2, π/2[ par :
1
f (x) =
cos x
Exercice 77 (Cen 1999). Soit f ∈ C ∞ (R, R) telle que, pour tout n et pour
tout x ∈] − 2, 2[ on ait :
n!
|f (n) (x)| ≤ n
2
Montrer que f est développable en série entière sur cet intervalle.
Exercice 79 (Centrale). -
1. Domaine de convergence de :
∞
X x n n
f (x) = 1+ x
n=0
n