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EM 4a - Effets magnétiques d’un courant de charges

I. Sources de champ magnétiques

I.1. Aimants
Vous avez probablement joué avec des aimants quand vous étiez enfants. Ils sont d’utilisation courante, par
exemple pour les fermetures de sacs, de portes de placard...
Les propriétés d’aimantation de la matière sont connues depuis l’antiquité. Les premiers aimants ont été extraits
des mines de Magnésie en Grèce, ce qui est à l’origine éthymologique du terme magnétisme. Ils contenaient un
oxyde de fer Fe3 O4 et ont la propriété d’attirer les objets contenant du fer.

Tout aimant possède deux pôles : un pôle nord et un

pôle sud magnétique. Les interactions entre deux aimants
obéissent à la loi suivante :

• deux pôles de même nature se repoussent

• deux pôles de nature distincte s’attirent

Un aimant est neutre et n’agit pas sur des charges fixes. On introduit donc un nouveau champ B ~ appelé
champ magnétique pour décrire l’interaction magnétique à distance entre des aimants. Les lignes de champ
magnétique sont des lignes en tout point tangentes au champ magnétique. Ces lignes ne peuvent se croiser
qu’en des points où le champ magnétique s’annule.
On peut visualiser les lignes de champ produites par un aimant en utilisant de la limaille de fer. En présence
du champ magnétique, la limaille de fer s’aimante et tend à s’orienter dans le sens du champ.

aimant droit aimant en U

Le pôle nord est le pôle par lequel émergent les lignes de champ. Ces lignes sont ainsi orientées du pôle nord
vers le pôle sud.

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I.2. Boussoles
Une boussole est un petit aimant susceptible de tourner librement autour d’un axe (en général vertical). Placée
dans un champ magnétique, la boussole tend à s’aligner sur le champ B. ~ Si on note Sb et Nb les pôles sud et
−−−→ ~
nord de la boussole, localement le vecteur Sb Nb est colinéaire et de même sens que le champ magnétique B.

Sur le schéma ci-dessus on peut voir que le pôle nord (en rouge) des boussoles pointe vers le sud de l’aimant et
réciproquement.

I.3. Champ magnétique terrestre

En occident, on utilise depuis le moyen âge les aiguilles aimantées pour s’orienter, l’aiguille d’une boussole
servant à indiquer le Nord.
En première approximation le champ magnétique ter-
restre correspond au champ créé par un aimant placé
au centre de la Terre mais dont la direction ne coïncide
par tout à fait avec celle des pôles géographiques situés
sur l’axe de rotation de la Terre.
Ainsi le pôle nord d’une boussole (en rouge) pointe vers
le Nord (qui correspond en réalité à un sud magnétique).
Le champ magnétique terrestre a subi des inversions.
Il s’est inversé environ 300 fois ces derniers 200 mil-
lions d’années. La dernière inversion est survenue il y
a 780 000 ans. Actuellement une anomalie magnétique
apparaît dans l’atlantique sud, prémisse possible d’une
future inversion ?
En 2013, la mission SWARM a débuté avec la mise sur
orbite de trois satellites dans le but d’étudier le champ
magnétique terrestre.
http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/5920-swarm.php

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Inclinaison magnétique

Le champ magnétique est incliné par rapport au plan

horizontal. Une boussole, d’axe de rotation vertical,
placée dans le champ magnétique s’aligne parallè-
lement à la composante horizontale B ~ H du champ
magnétique. Le nord de l’aiguille aimantée pointe ap-
proximativement vers le Nord géographique.
Pour visualiser l’inclinaison du champ magnétique
terrestre par rapport au plan horizontal, on peut uti-
liser une boussole d’axe horizontal perpendiculaire à
l’axe nord-sud. On constate sur l’image ci-contre que
l’aiguille s’incline d’un angle I = 60◦ (son nord poin-
tant vers le bas dans l’hémisphère nord).

L’unité SI de champ magnétique est le tesla (T).

À Paris, l’ordre de grandeur de la norme du champ magnétique est de 5.10−5 T (soit 0, 5 G, 1 gauss (G)
correspondant à 10−4 T. La composante horizontale est de l’ordre de 2.10−5 T (0, 2 G).

Déclinaison magnétique

Une boussole d’axe de rotation vertical s’oriente dans de sens de la

composante horizontale B ~ H du champ magnétique et pointe vers
le Nord magnétique.
La déclinaison magnétique est, en un point donné sur la surface
de la Terre, l’angle formé entre la direction du pôle Nord géo-
graphique et le Nord magnétique (il s’agit donc d’un angle sur
le plan horizontal du point d’observation). Cet angle est compté
positivement vers l’est et négativement vers l’ouest.

Il existe des programmes qui permettent de calculer la déclinaison magnétique pour un lieu donné.
http://www.ngdc.noaa.gov/geomag-web/#declination
Des modèles tracent les courbes isogones (courbes d’égale déclinaison magnétique).
US/UK World Magnetic Model - 2019.0
Main Field Declination (D)
1
80° 1
35°W 9
0°W 4
5°W 0
° 4
5°E 9
0°E 1
35°E 1
80°
7
0°N 7
0°N
0
2
0
1

-3
0
0

-2

0
2
0
1
0

-1
0

6
0°N 6
0°N
0
-1

0
1
0

4
5°N 4
5°N

3
0°N 3
0°N

0
1
5°N 1
5°N

0
° 0
°
1
0
0
-2

1
5°S -1 1
5°S
0

3
0°S 3
0°S

2
0
-1
0

4
5°S -4
0 4
5°S

0
3 0
3
-3
0

0
4
0

4
0
-2

1
2
0
0
0

6
0°S 6
0°S
0
5
5
0 6
0
0
-9
k
j 8
0 70
6
0
3

2
0

0
1
0

9
-1

0
0

0
-2

0
-3

0
-4
0

0
-5

-6

0
-7

7
-8

8
0 0
7
0°S 7
0°S
1
80° 1
35°W 9
0°W 4
5°W 0
° 4
5°E 9
0°E 1
35°E 1
80°

Main Field Declination (D) Map developed by NOAA/NCEI and CIRES

Contour interval: 2 degrees, red contours positive (east); blue negative (west); green (agonic) zero line. https://ngdc.noaa.gov/geomag/WMM
Mercator projection. Published February 2019
j: Position of dip poles

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I.4. Expérience d’Ørsted

Il n’y a pas que des aimants qui produisent un champ magnétique.
Au XIXème siècle, une expérience historique, menée par le danois Ørsted, fait un lien en l’électricité et le
magnétisme.
Ce dernier constate qu’une une petite boussole placée sous un fil électrique dévie de sa direction initiale lorsqu’un
courant circule dans le fil.
https://www.youtube.com/watch?v=n7EWhEYOa0o
Ainsi, des charges en mouvement (courant électrique) peuvent avoir des effets magnétiques.

I.5. Quelques ordres de grandeurs

On a vu que l’unité SI de champ magnétique est le tesla. Le gauss est parfois utilisé : 1 G = 10−4 T.

Champ magnétique terrestre 0, 5.10−4 T

Champ au voisinage d’un bon aimant (type néodyme) 0.1 à 1 T
Champ au voisinage un électro-aimant 1 à 10 T
IRM 1, 5 à 3 T
LHC ' 10 T
Pulsar ou étoile à neutrons 108 T

Un électroaimant est constitué d’un bobinage de cuivre autour d’un noyau de fer doux. La présence de fer amplifie
le champ magnétique produit 1 .
Pour éviter les pertes par effet Joule, les forts champs magnétiques sont créés par des bobines supra-conductrices.
Par exemple, CMS, un des détecteurs du LHC, utilise un solénoïde supraconducteur (fil en alliage niobium-
titane) refroidi par un circuit d’hélium liquide et parcouru par un courant de 18 kA.

II. Force de Laplace

II.1. Expression
Le champ E~ a été défini par la force F~ = q E
~ s’exerçant sur une charge q.
~
On peut définir le champ magnétique B à partir de la force qui s’exerce sur une portion de conducteur.

On considère un circuit filiforme parcouru par un courant d’intensité I.

Soit d~` un élément de longueur tangent à ce circuit et orienté dans le
même sens que I.
~ le champ magnétique extérieur régnant au niveau de d~`.
Soit B
La force dF~Lap s’exerçant sur d~` a pour expression :

dF~Lap = Id~` ∧ B
~

(Id~`, B,
~ dF~Lap ) forment un trièdre direct.

Indiquer la direction de dF~Lap sur le schéma ci-contre.

1. Pour plus d’information sur l’obtention de champs magnétiques forts, on pourra consulter l’article "La clé des champs forts",
J.M. Courty et E. Kierlik, Pour la Science, Oct 2019

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Pour calculer la résultante des forces de Laplace sur un tronçon AB de circuit il faut intégrer :
ˆ B
F~Lap = Id~` ∧ B
~
A

~ est uniforme (même valeur en tout point de l’espace), on peut écrire

Dans le cas où le champ B
ˆ B !
F~Lap = I d~` ∧ B ~ = I−−→ ~
AB ∧ B
A

Cas particulier des rails de Laplace :

Calculer la force qui s’exerce sur la barre mobile et préciser son sens sur le schéma.
−−→ ~
F~Lap = I AB ∧ B = I`~uy ∧ (−B~uz ) = −I`B~ux

https://www.youtube.com/watch?v=QK_irRFTM-U
http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/electri/forcelaplace.html

II.2. Force de Lorentz (HP)

Le champ électromagnétique (E, ~ B)

~ est défini dans un référentiel galiléen
R à partir de la force qui s’exerce sur une charge q, en mouvement à la
vitesse ~v par rapport à ce référentiel :

F~ = q(E
~ + ~v ∧ B)
~

En l’absence de champ électrique il reste la force magnétique :

F~ = q~v ∧ B
~

Cette force qui s’exerce sur les porteurs de charges en circulation dans
le conducteur est transmise au réseau cristallin du conducteur auquel ils
sont liés.
~ v = 0.
Remarque : la puissance de cette force est nulle : P = q(~v ∧ B).~

Calculer la résultantes F~ des forces s’exerçant sur l’ensemble des électrons de conduction contenus dans une tige
conductrice rectiligne de longueur ` (voir schéma). On note n le nombre d’électrons de conduction par unité de
volume et s la section du fil. Vérifier que l’on retrouve l’expression de la force de Laplace
Force sur un électron : f~m = −e~v ∧ B
~ = evB~ux

Nombre d’électrons contenus dans une longueur ` de conducteur : ns`

Résultante des forces sur l’ensemble des électrons de conduction contenus dans la tige : F~ = ns` evB~ux
Or I = ~.S~uy = n(−e)~v .S~uy = n(−e)(−v~uy ).S~uy = nevs
d’où
F~ = (nevs)`B~ux = I`B~ux

~ = I−
Cette valeur correspond bien à I ~` ∧ B
−→ ~
MP ∧ B = I`~uy ∧ B~uz = I`B~ux .

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III. Propriétés de symétrie

Le champ magnétique B ~ est défini par la force de Laplace. Cette force fait intervenir un produit vectoriel dont le
sens dépend de l’orientation de l’espace. Le champ magnétique aura donc des propriétés de symétrie différentes
suivant que l’on considère les isométries positives (translation, rotation) ou négatives (symétrie plane).

III.1. Invariance par translation ou rotation

Le champ magnétique vérifie les mêmes propriétés d’invariance par translation et par rotation que la
distribution de courant qui le crée.

Exemples :
– si la distribution de courant est invariante par translation quelconque suivant ~ux , alors le champ magné-
tique sera indépendant de x ⇒ B( ~ x, y, z)


– si la distribution de courant est invariante par rotation d’angle θ quelconque autour de Oz alors la champ
magnétique sera indépendant de la variable θ ⇒ B(r, ~
θ, z)

III.2. Symétrie, antisymétrie

Une BON directe est transformée en une BON indirecte par une symétrie plane. Il y a donc une inversion entre
les propriétés de symétrie des courants et celles du champ magnétique.

Si Π est un plan de symétrie pour les courants alors il est plan d’antisymétrie pour le champ magnétique.
Si Π∗ est un plan d’antisymétrie pour les courants alors il est plan de symétrie pour le champ magnétique.

Plan de symétrie pour les courants

Soit P 0 le symétrique de P par rapport au plan Π : P 0 = SΠ (P ). La distribution de courant est symétrique par
rapport au plan Π si
~(P 0 ) = SΠ (~(P ))
Dans ce cas, si P ∈ π alors ~(P ) ∈ π : le vecteur ~ est contenu dans le plan de symétrie.
Le plan Π est alors plan d’antisymétrie pour le champ B ~ : si M 0 est le symétrique de M par rapport au plan Π
on a  
~
B(M 0
) = −SΠ B(M~ )

M∈
/Π M ∈Π

~
Si M appartient à un plan de symétrie Π pour les courants alors B(M ) est perpendiculaire à ce plan.

~
B(M )⊥Π

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Plan d’antisymétrie pour les courants

Soit P 0 le symétrique de P par rapport au plan Π∗ : P 0 = SΠ∗ (P ). La distribution de courant est antisymétrique
par rapport au plan Π∗ si
~(P 0 ) = −SΠ∗ (~(P ))
Dans ce cas, si P ∈ π ∗ alors ~(P ) ⊥ π ∗ : le vecteur ~ est perpendiculaire au plan d’antisymétrie.
Le plan Π∗ est alors plan de symétrie pour le champ B ~ : si M 0 est le symétrique de M par rapport au plan Π
on a  
~
B(M 0 ~
) = SΠ∗ B(M )

/ Π∗
M∈ M ∈ Π∗

~
Si M appartient à un plan d’antisymétrie Π∗ pour les courants alors B(M ) est appartient à ce plan.

~
B(M ) ∈ Π∗

IV. Observations de champs créés par quelques distributions

IV.1. Champ créé par un fil infini

Un fil peut être considéré comme infini, si on se place à une dis-

tance r très petite devant sa longueur ` (r  `).
On établira dans le chapitre suivant l’expression du champ ma-
gnétique créé.
On visualise ici l’allure des lignes de champs.

~ pour I > 0 on utilise la règle de

Pour déterminer le sens du champ B
la main droite :

Lorsque l’index pointe dans le sens de I les autres doigts se replient dans
~
le sens de B.

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/electri/filampere.html
En supposant le fil infini, quelles sont les invariances par translation, rotation, les plans de symétrie et les plans
d’antisymétrie pour les courants ?

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IV.2. Champ créé par une spire

On constate que le sens du champ magnétique créé est en accord avec la règle de la main droite vue précédem-
ment.
Dans le cas des circuits à enroulement circulaire il existe une seconde loi de la main droite utilisable : si les
~
doigts s’enroulent dans le sens de I alors le pouce pointe dans le sens de B.

On constate que la spire de courant est inva-

riante par rotation quelconque autour de son axe
∆ = Oz : le champ magnétique vérifie la même
invariance.

Faire le bilan des symétries.

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IV.3. Utilisation de deux spires pour créér un champ uniforme : bobines de Hel-
moltz

Les lois de l’électromagnétisme étant linéaires, la superposition des courants entraîne la

superposition des champs magnétiques.

Ainsi, si on considère deux spires (1) et (2) créant respectivement les champs magnétiques B~1 (~r) et B~2 (~r), le
champ résultant créé par les deux bobines vaudra

~ r) = B~1 (~r) + B~2(~r)

B(~
On s’intéresse au champ créé par deux bobines identiques de même axe.

C’est lorsque la distance entre les deux spires, parcou-

rues par des courants de même sens, est égale à leur
rayon que l’on obtient un champ le plus homogène
possible.

Voir l’animation suivante :

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/electri/helmoltz.html

IV.4. Solénoïde
Ce dispositif permet d’obtenir un champ magnétique quasi-uniforme dans un volume plus important.

Un solénoïde est constitué d’un enroulement de fil conducteur sur

un profil cylindrique. Il est assimilable à la juxtaposition de N
spires parcourues par un courant I. Si on note L la longueur totale
du solénoïde, on définit n = N L le nombre de spires par unité de
longueur.

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/electri/solenoide.html

http://www.physics-chemistry-interactive-flash-animation.com/electricity_electromagnetism_interactive/
solenoid_magnetic_field_current_poles_north_south.htm

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Si on note R le rayon d’une spire, plus L augmente, plus le champ est uniforme à l’intérieur du solénoïde. À la
~ int uniforme et parallèle à l’axe Oz
limite du solénoïde infini, on obtient à l’intérieur du solénoïde un champ B
et à l’extérieur un champ B ~ ext nul. On admettra le résultat suivant :

Champ magnétique créé par un solénoïde infini (L  R) :

~ int = µ0 nI u~z
B ~ ext = ~0
B
avec µ0 = 4π.10−7 H.m−1 la perméabilité magnétique du vide.

~ se déduit de celle de I par la règle de la main droite.

L’orientation de B

On peut, par analogie avec le champ créé par un aimant, attribuer des faces Nord et Sud à un solénoïde (ou à
une spire). La face Nord correspond à la face par laquelle le champ magnétique émerge.

Magnétostatique du vide
Effets magnétiques d’un courant de Décrire un dispositif permettant de réaliser un champ magnétique
charges quasi uniforme.
Citer des ordres de grandeur de champs magnétiques : au voisinage
d’aimants, dans une machine électrique, dans un appareil d’IRM, dans
le cas du champ magnétique terrestre.
Définir la notion de ligne de champ magnétostatique. Énoncer la rela-
tion donnant la force de Laplace s’exerçant sur un élément de circuit
filiforme parcouru par un courant et placé dans un champ magnéto-
statique.
Identifier les propriétés de symétrie et d’invariance d’une distribution
de courant.
Tracer l’allure des cartes de champs magnétiques pour un aimant droit,
un fil rectiligne, une spire circulaire, une bobine longue et un tore.

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