Chap1 MDF

Vocabulaire des Marchés Financiers
Arbitrage
Relation de parité Call-Put
Contrat Forward
M ODÈLES D ISCRETS EN F INANCE
M’hamed Gaïgi
Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 1 / 35

Arbitrage
Contrat Forward
M ODÈLES D ISCRETS EN F INANCE
M’hamed Gaïgi
Romuald ELIE et Idris KHARROUBI : "Calcul stochastique

appliqué à la finance "

Arbitrage
Contrat Forward
Programme
1 Notion d’arbitrage

Arbitrage
Contrat Forward
Programme
2 Modèle binomial à une période

Arbitrage
Contrat Forward
Programme
3 Modèle binomial à plusieurs périodes (CRR)

Arbitrage
Contrat Forward
Programme
4 Options Américaines dans le modèle binomial

Arbitrage
Contrat Forward
Programme
4 Options Américaines dans le modèle binomial
5 Travaux Pratiques sur le Pricing

Arbitrage
Contrat Forward
Chapitre 1: Notion d’Arbitrage

Vocabulaire des Marchés Financiers Le Marché Financier
Arbitrage Action, Obligation et Produits dérivés
Relation de parité Call-Put Contrat à terme
Contrat Forward Option
VOCABULAIRE DES M ARCHÉS F INANCIERS

Le Marché Financier
1 Le marché financier est le marché sur lequel s’échange les

valeurs mobilières telles que les actions, les obligations et les
titres dérivés.


titres dérivés.
2 C’est un lieu où on achète et on vend des titres financiers.


titres dérivés.
3 Les opérateurs de marché sont le plus souvent autorisés à vendre
à découvert (short selling) des titres qui ne possèdent pas.


titres dérivés.
3 Les opérateurs de marché sont le plus souvent autorisés à vendre
à découvert (short selling) des titres qui ne possèdent pas.
4 Attention ! ! vendre à découvert signifie s’engager à en verser les
revenus à l’acquéreur.

Un titre financier
1 Un titre financier est un contrat où les parties s’échangent des

flux d’argent.

Un titre financier

flux d’argent.
2 La valeur d’un titre financier est un montant positif ou négatif
qui représente l’enrichissement ou l’appauvrissement des flux
futurs.

Un titre financier

flux d’argent.
2 La valeur d’un titre financier est un montant positif ou négatif
qui représente l’enrichissement ou l’appauvrissement des flux
futurs.
3 Rien ne garantit a priori que la valeur d’un titre soit unique, il
existe plusieurs méthodes de valorisation.

Prix d’un titre financier
1 Le prix d’un titre financier est un montant convenu entre deux

parties en échange du titre.


2 Le plus souvent c’est l’acheteur qui verse le montant, mais il
arrive que le vendeur doive payer l’acheteur pour que celui-ci
accepte un titre qui lui causera des pertes.


2 Le plus souvent c’est l’acheteur qui verse le montant, mais il
arrive que le vendeur doive payer l’acheteur pour que celui-ci
accepte un titre qui lui causera des pertes.
3 Le prix n’est pas forcément égal à la valeur ; tout le monde n’a
pas la même anticipation de l’avenir.

Action
1 Une action est un titre de propriété représentant une fraction

du capital d’une entreprise

Action
1 Une action est un titre de propriété représentant une fraction

du capital d’une entreprise
2 Elle donne à son porteur le droit de vote aux assemblées, le droit
à l’information et aux bénéfices (nommés dividendes).

Obligation
1 Les obligations sont des titres de créances représentatifs de dette.

Obligation
2 Une obligation donne droit au paiement d’un intérêt, en général
annuel, et au remboursement du capital.

Obligation
3 Le détenteur d’une obligation perçoit un revenu connu à
l’avance et dont la révision se réalise dans les conditions prévues
au moment de l’émission.

Obligation
4 En cas de faillite de l’émetteur, le détenteur d’une créance est
prioritaire sur l’actionnaire.

Obligation
5 Les obligations peuvent être émises par les entreprises privées
ou public ainsi que par l’État, les administrateurs publics et les
collectivités locales.

Obligation
5 Les obligations peuvent être émises par les entreprises privées
ou public ainsi que par l’État, les administrateurs publics et les
collectivités locales.
Exemple
Le Zéro Coupon (Z.C.) : obligation dont les coupons (mensuels ou
annuels) sont nuls.
Produit dérivé
1 Un produit dérivé est un produit financier qui s’achète et se

vend.

Produit dérivé
1 Un produit dérivé est un produit financier qui s’achète et se

vend.
2 Il est toujours bâti sur la base d’un autre produit financier
(exemples : action, obligation, devise, matière première et
produits dérivés) appelé le sous-jacent.

Contrat à terme
1 Un contrat à terme est un contrat d’achat ou de vente d’un

produit financier passer entre deux contreparties.

Contrat à terme

2 Toutes ses caractéristiques sont fixées à l’avance : date de
règlement, prix à terme ...

Contrat à terme

3 Le prix conclu est appelé le cours à terme.

Contrat à terme

3 Le prix conclu est appelé le cours à terme.
4 L’échange se fera à ce prix quelque soit le cours du marché à
la date de livraison (exemple : futurs, forward, swap..)

Option
Une option est un contrat qui confère à son acheteur le droit et non
l’obligation, d’acheter ou de vendre, jusqu’à une certaine date,
appelée date d’échéance, un actif sous-jacent, à un prix fixé dès la
conclusion du contrat, appelé prix d’exercice en contrepartie du
versement immédiat d’une prime au vendeur .

Option
Il existe plusieurs types d’options, les plus courrantes sont :

1 Les options d’achat (Call) et les options de vente (Put).

Option

2 L’option européenne : c’est une option qui ne peut être exercée
qu’à la date d’échéance.

Option

2 L’option européenne : c’est une option qui ne peut être exercée
qu’à la date d’échéance.
3 L’option américaine : c’est une option qui peut être exercée à
tout moment entre la date de création de l’option et la date
d’échéance. C’est une option plus souple mais plus coûteuse que
l’européenne.

Vocabulaire des Marchés Financiers Opportunité d’arbitrage
Arbitrage Portefeuille autofinaçant
Relation de parité Call-Put Arbitrage
Contrat Forward Comparaison de portefeuilles
A RBITRAGE

Hypothèses sur le marché
Dans la suite, nous ferons les hypothèses simplificatrices suivantes :

1 les actifs sont divisibles à l’infini.


2 le marché est liquide, c’est-à-dire qu’on peut acheter et vendre à
tout instant.


tout instant.
3 on peut emprunter et vendre à découvert.


tout instant.
4 les échanges ont lieu sans coûts de transaction.


tout instant.
5 on peut emprunter et prêter de l’argent au même taux constant r.


tout instant.
5 on peut emprunter et prêter de l’argent au même taux constant r.
Ces hypothèses, qui ne sont pas toujours vérifiées dans la réalité,
constituent une première modélisation ayant l’avantage de pouvoir
fournir une évaluation des produits dérivés, notamment à l’aide de la
notion d’arbitrage que nous présenterons dans la suite.

Opportunité d’arbitrage
De manière générale, la notion d’opportunité d’arbitrage fait
référence à une situation où un individu rationnel a la possibilité de
prendre une décision qui lui permet de tirer profit de manière
certaine de l’avenir.

Afin de formaliser cette notion, il faut donc mettre en place une
modélisation de l’incertitude liée à l’évolution future du marché
financier.

financier.
Question : Quelles sont les évolutions possibles du marché ?

financier.
Soit Ω l’ensemble des états possibles du marché et soit P la
probabilité réelle, ou en tout cas anticipée, de survenance de chacun
des événements.

financier.
des événements.
Toujours dans le but de formaliser cette notion d’arbitrage, il nous
faut préciser la manière dont peut intervenir un agent sur le marché.

financier.
des événements.
Toujours dans le but de formaliser cette notion d’arbitrage, il nous
faut préciser la manière dont peut intervenir un agent sur le marché.
Question : Quelles sont les stratégies d’investissement ?
Portefeuille autofinaçant
Un portefeuille autofinançant est une stratégie non anticipative

d’achat ou de vente de titres, actions, prêts, emprunt à la banque et
plus généralement de produits dérivés dont la valeur n’est pas
modifiée par l’ajout ou le retrait d’argent.
Pour t ≤ T , on note Xt la valeur en t du portefeuille X.


Fixer un portefeuille revient donc simplement à se donner un capital
initial et une stratégie dynamique d’investissement dans les actifs du
marché à partir de ce capital de départ.


Fixer un portefeuille revient donc simplement à se donner un capital
initial et une stratégie dynamique d’investissement dans les actifs du
marché à partir de ce capital de départ.
Question : Qu’est-ce qu’une stratégie d’arbitrage ?

Arbitrage
Définition
Un arbitrage entre les instants 0 et T est un portefeuille autofinançant
X de valeur nulle en t = 0 dont la valeur XT en T est positive et
strictement positive avec une probabilité strictement positive :
X0 = 0, XT ≥ 0 et P (XT > 0) > 0.

Absence d’arbitrage
On supposera dans la suite que le marché vérifie l’hypothèse

d’absence d’opportunités d’arbitrage (AOA en abrégé et NFL en
anglais pour no free lunch) entre les instants 0 et T :
{X0 = 0 et XT ≥ 0} ⇒ P (XT > 0) = 0

Absence d’arbitrage
On supposera dans la suite que le marché vérifie l’hypothèse

d’absence d’opportunités d’arbitrage (AOA en abrégé et NFL en
anglais pour no free lunch) entre les instants 0 et T :
{X0 = 0 et XT ≥ 0} ⇒ P (XT > 0) = 0
L’hypothèse signifie simplement : "Si ma richesse aujourd’hui est

nulle, elle ne peut devenir positive et non identiquement nulle", soit
"On ne peut gagner d’argent sans capital initial".
Le raisonnement (défaitiste) est : "Si il y avait un arbitrage, quelqu’un
en aurait déja profité".
Sachant qu’il y a dans les banques beaucoup d’arbitragistes, cette
hypothèse est cohérente sur les marchés.

Comparaison de portefeuilles
Nous notons dans la suite B(t, T ) le prix en t d’un zéro coupon de

maturité T i.e. un actif sans risque dont la valeur en T vaut 1. La
valeur B(t, T ) dépend du modèle choisi.


Dans le cas d’un modèle en temps continu, la présence du taux
d’intérêt r conduit à B(t, T ) = e−r(T −t) .


Alors que dans un modèle en temps discret B(t, T ) = (1 + r)−n où n
désigne le nombre de périodes entre t et T .


Alors que dans un modèle en temps discret B(t, T ) = (1 + r)−n où n
désigne le nombre de périodes entre t et T .
Proposition
En AOA, si deux portefeuilles autofinançants X et Y ont la même
valeur en T, alors ils ont la même valeur en 0 :
XT = YT ⇒ X0 = Y0 .

Démonstration
Supposons X0 < Y0 et proposons la stratégie suivante :
A l’instant t = 0, achat de X, vente de Y et placement de Y0 − X0 > 0 à la banque.
La valeur du portefeuille à l’instant t = T est XT − YT plus ce qu’a rapporté
l’argent à la banque, qui est toujours > 0.
en 0 en T
Achat de X X0 XT
Vente de Y −Y0 −YT
Placement du gain à la banque Y0 − X0 > 0 (Y0 − X0 ) /B(0, T ) > 0
Valeur 0 >0
Donc AOA implique X0 ≥ Y0 et, de manière similaire, on obtient X0 ≤ Y0 si bien
que X0 = Y0 .

Démonstration
Supposons X0 < Y0 et proposons la stratégie suivante :
A l’instant t = 0, achat de X, vente de Y et placement de Y0 − X0 > 0 à la banque.
La valeur du portefeuille à l’instant t = T est XT − YT plus ce qu’a rapporté
l’argent à la banque, qui est toujours > 0.
en 0 en T
Achat de X X0 XT
Vente de Y −Y0 −YT
Placement du gain à la banque Y0 − X0 > 0 (Y0 − X0 ) /B(0, T ) > 0
Valeur 0 >0
Donc AOA implique X0 ≥ Y0 et, de manière similaire, on obtient X0 ≤ Y0 si bien
que X0 = Y0 .
Remarque
Pour créer un arbitrage, on a acheté le moins cher et vendu le plus cher. Etant donné
qu’ils ont même valeur en T , l’opération fournit un gain positif.

Proposition
valeur en T , ils ont presque sûrement la même valeur en tout instant
t ≤ T.
XT = YT ⇒ Xt = Yt pour tout t≤T P − p.s.

Proposition
valeur en T , ils ont presque sûrement la même valeur en tout instant
t ≤ T.
XT = YT ⇒ Xt = Yt pour tout t≤T P − p.s.
Démonstration
Ce résultat est une conséquence directe de la proposition suivante.

Proposition
En AOA, considérons deux portefeuilles autofinançants X et Y ,
alors :
XT ≤ YT ⇒ Xt ≤ Yt pour tout t≤T P − p.s.

Démonstration
Soit t ≤ T . Proposons la stratégie suivante :
1 en 0 : je ne fais rien.
2 en t :
1 Sur {ω ∈ Ω, Xt (ω) > Yt (ω)}, j’achète le portefeuille Y au prix
Yt , je vends le portefeuille X au prix Xt et je place la différence
Xt − Yt > 0 à la banque.
2 Sur {ω ∈ Ω, Xt (ω) ≤ Yt (ω)}, je ne fais rien.
3 en T ,
1 sur {Xt > Yt }, je touche YT − XT ≥ 0 plus ce qu’a rapporté
l’argent à la banque qui est toujours > 0, soit une valeur > 0
2 sur {Xt ≤ Yt }, la valeur du portefeuille est nulle.

Démonstration (suite)
en t en T
Sur {Xt > Yt } Achat de Y en t Yt YT
Vente de X en t −Xt −XT
Xt −Yt
Placement du gain en banque Xt − Yt > 0 B(t,T )
>0
Valeur 0 >0
Sur {Xt ≤ Yt } Valeur 0 0
Donc AOA implique P (Xt > Yt ) = 0.

Arbitrage Définitions
Relation de parité Call-Put Parité Call-Put
Contrat Forward
R ELATION DE PARITÉ C ALL -P UT

Contrat Forward
Option Call
Définition (Call)
Un Call de strike K et d’échéance T sur le sous-jacent S a pour
payoff : (ST − K)+ , notons Ct son prix à l’instant t.

Contrat Forward
Option Call
Définition (Call)
Un Call de strike K et d’échéance T sur le sous-jacent S a pour
payoff : (ST − K)+ , notons Ct son prix à l’instant t.
F IGURE: Profil de l’option Call

Contrat Forward
Option Put
Définition (Put)
Un Put de strike K et d’échéance T sur le sous-jacent S a pour
payoff : (K − ST )+ , notons Pt son prix à l’instant t.

Contrat Forward
Option Put
Définition (Put)
Un Put de strike K et d’échéance T sur le sous-jacent S a pour
payoff : (K − ST )+ , notons Pt son prix à l’instant t.
F IGURE: Profil de l’option Put

Contrat Forward
Proposition (Parité Call-Put)

Nous rappelons qu’un zero-coupon (Z.C.) d’échéance T est un
produit financier de valeur 1 en T . Son prix en t est noté B(t, T ).
Alors, en AOA, les prix des calls et des puts en t sont reliés par la
relation de parité call put :
Ct − Pt = St − KB(t, T )

Contrat Forward
Démonstration
Considérons les deux stratégies de portefeuille :
en t en T
Port. 1 Achat d’un Put eur. Pt (K − ST )+
Achat d’un actif risqué St ST
Valeur Pt + St (K − ST )+ + ST
Port. 2 Achat d’un Call eur. Ct (ST − K)+
Achat K actifs sans risque KB(t, T ) K
Valeur Ct + KB(t, T ) (ST − K)+ + K
Remarquons que l’on a :
(K − ST )+ + ST = K1{ST ≤K} + ST 1{K≤ST } = (ST − K)+ + K
Donc, les deux portefeuilles ont des flux finaux égaux, et donc en AOA des valeurs
égales à tout instant t ≤ T ce qui nous donne la relation de parité Call-Put.

Contrat Forward
Démonstration
Considérons les deux stratégies de portefeuille :
en t en T
Port. 1 Achat d’un Put eur. Pt (K − ST )+
Achat d’un actif risqué St ST
Valeur Pt + St (K − ST )+ + ST
Port. 2 Achat d’un Call eur. Ct (ST − K)+
Achat K actifs sans risque KB(t, T ) K
Valeur Ct + KB(t, T ) (ST − K)+ + K
Remarquons que l’on a :
(K − ST )+ + ST = K1{ST ≤K} + ST 1{K≤ST } = (ST − K)+ + K
Donc, les deux portefeuilles ont des flux finaux égaux, et donc en AOA des valeurs
égales à tout instant t ≤ T ce qui nous donne la relation de parité Call-Put.
Remarque
Cette relation est intrinsèque à l’absence d’opportunité d’arbitrage sur le marché et
ne dépend en rien du modèle d’évolution imposé aux actifs.

Arbitrage Définition
Relation de parité Call-Put Prix d’un contrat Forward
Contrat Forward
C ONTRAT F ORWARD

Contrat Forward
Définition (Contrat Forward)

Le contrat Forward est un contrat signé à la date t = 0 qui assure
l’échange en T de l’actif risqué S contre un prix F (0, T ) fixé en
t = 0. Il n’y a aucun échange d’argent à la date t = 0.

Contrat Forward
Définition (Contrat Forward)

Le contrat Forward est un contrat signé à la date t = 0 qui assure
l’échange en T de l’actif risqué S contre un prix F (0, T ) fixé en
t = 0. Il n’y a aucun échange d’argent à la date t = 0.
F IGURE: Profil d’un Forward

Contrat Forward
Proposition (Prix d’un contrat Forward)

Le prix F (0, T ) d’un contrat Forward est
S0
F (0, T ) = .
B(0, T )

Contrat Forward
Démonstration
Pour déterminer le prix F (0, T ) du contrat, considérons les deux stratégies de
portefeuille suivantes :
en 0 en T
Port. 1 Achat de l’actif S S0 ST
Vente de F (0, T ) Z.C. −F (0, T )B(0, T ) −F (0, T )
Valeur S0 − F (0, T )B(0, T ) ST − F (0, T )
Port. 2 Achat du contrat Forward 0 ST − F (0, T )
Sous AOA, puisque les deux portefeuilles sont égaux à T , on a donc
S0
F (0, T ) = .
B(0, T )

Contrat Forward
Proposition (Prix d’un contrat Forward en t)

De manière plus générale, on obtient :
St
F (t, T ) =
B(t, T )
pour tout t ≤ T .

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Vocabulaire des Marchés Financiers

M ODÈLES D ISCRETS EN F INANCE

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 1 / 35

M ODÈLES D ISCRETS EN F INANCE

Romuald ELIE et Idris KHARROUBI : "Calcul stochastique

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 1 / 35

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 2 / 35

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 2 / 35

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 2 / 35

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 2 / 35

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 2 / 35

Chapitre 1: Notion d’Arbitrage

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 3 / 35

VOCABULAIRE DES M ARCHÉS F INANCIERS

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 4 / 35

1 Le marché financier est le marché sur lequel s’échange les

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 5 / 35

1 Le marché financier est le marché sur lequel s’échange les

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 5 / 35

1 Le marché financier est le marché sur lequel s’échange les

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 5 / 35

1 Le marché financier est le marché sur lequel s’échange les

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 5 / 35

1 Un titre financier est un contrat où les parties s’échangent des

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 6 / 35

1 Un titre financier est un contrat où les parties s’échangent des

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 6 / 35

1 Un titre financier est un contrat où les parties s’échangent des

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 6 / 35

Prix d’un titre financier

1 Le prix d’un titre financier est un montant convenu entre deux

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 7 / 35

Prix d’un titre financier

1 Le prix d’un titre financier est un montant convenu entre deux

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 7 / 35

Prix d’un titre financier

1 Le prix d’un titre financier est un montant convenu entre deux

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 7 / 35

1 Une action est un titre de propriété représentant une fraction

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 8 / 35

1 Une action est un titre de propriété représentant une fraction

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 8 / 35

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 9 / 35

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 9 / 35

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 9 / 35

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 9 / 35

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 9 / 35

1 Un produit dérivé est un produit financier qui s’achète et se

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 10 / 35

1 Un produit dérivé est un produit financier qui s’achète et se

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 10 / 35

1 Un contrat à terme est un contrat d’achat ou de vente d’un

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 11 / 35

1 Un contrat à terme est un contrat d’achat ou de vente d’un

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 11 / 35

1 Un contrat à terme est un contrat d’achat ou de vente d’un

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 11 / 35

1 Un contrat à terme est un contrat d’achat ou de vente d’un

Modèles Discrets en Finance M’hamed Gaïgi Chapitre 1: Notion d’Arbitrage 11 / 35