Corrige Probleme 10
Corrige Probleme 10
Corrige Probleme 10
problème
10
x
f ( x) = x
si x > 0 et f (0) = 1
e −1
1. a.
f
est
continue
sur
]0, +∞[ comme
quotient
de
fonctions
continues
sur ]0, +∞[ .
donc
et
lim f ( x ) = 1 = f ( 0 )
et
f
est
continue
en
0.
x →0
Donc
f
est
continue
sur
[0, +∞[
b.
f
est
de
classe
C 1
sur
]0, +∞[
comme
quotient
de
fonctions
de
classe
C 1
sur
[0, +∞[
e x − 1 − xe x
pour
tout
x ∈ ]0, +∞[ ,
f ' ( x ) = 2
(e x
− 1)
c.
.
2
x
e x = 1 + x + + o ( x 2 )
2 x →0
x2 x2
donc
e x − 1 − xe x = 1 + x + − 1 − x − x 2 + o ( x 2 ) = − + o ( x 2 )
2 x →0 2 x →0
soit
1
donc
et
lim f ' ( x ) = −
x →0 2
1
d.
f
est
continue
sur
[0, +∞[ ,
de
classe
C 1
sur
]0, +∞[
et
lim f ' ( x ) = −
donc
d’après
le
x →0 2
1
théorème
limite
de
la
dérivée,
f
est
de
classe
C 1
sur
[0, +∞[ et
f ' ( 0 ) = −
2
e.
x 1 1
lim x
= 0 (croissances
comparées)
et
lim x = lim 2 x = 0
donc
lim f ' ( x ) = 0
x →+∞ e
x →+∞ e x →+∞ e x →+∞
f '' ( x ) =
(e − (e
x x
)
+ xe x ) ( e x − 1) − 2e x ( e x − 1)( e x − 1 − xe x )
4
( e x − 1)
− xe x ( e x − 1) − 2e x ( e x − 1 − xe x )
= 3
(e x
− 1)
e x ( xe x − 2e x + x + 2 )
soit
f " ( x ) = 3
(e x
− 1)
b.
g ( x ) = xe x − 2e x + x + 2 .
g
est
dérivable
sur
[0, +∞[ et
∀x ≥ 0, g ' ( x ) = e x + xe x − 2e x + 1 = xe x − e x + 1
g ' est
dérivable
sur
[0, +∞[ et
∀x ≥ 0, g "( x ) = e x + xe x − e x = xe x
∀x > 0, g "( x ) > 0 donc
g '
est
strictement
croissante
sur
[0, +∞[
;
g ' ( 0 ) = 0
donc
∀x > 0, g ' ( x ) > 0
et
g
est
strictement
croissante
sur
[0, +∞[
;
g ( 0 ) = 0
donc
∀x > 0, g ( x ) > 0 .
ex g ( x )
Or
f " ( x ) = 3
donc
∀x ∈ ]0, +∞], f '' ( x ) > 0 .
(ex −1)
c.
f '
est
strictement
croissante
sur
[0, +∞[
.
1
f ' ( 0 ) = −
et
lim f ' ( x ) = 0
donc
∀x ≥ 0, f ' ( x ) < 0 et
f
est
strictement
décroissante
2 x →+∞