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    exercices sur les determinants

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    UNIVERSITÉ SULTAN MOULAY SLIMANE

    Année Universitaire :2019-2020


    FACULTÉ DES SCIENCES ET TECHNIQUES
    Parcours : MIPC, GE, GM
    DÉPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

    Module : Algèbre 2
    Série N◦ 2

    Exercice 1. Calculer le déterminant de chacune des matrices suivantes


         
    1 −1
    −2 0 5 2 3 −2 2
    −1 3
         
    A= 3 3 1
    1 2 , B= 1 0 0 , C= −1  ,
         
         4 2 
    4 0 7 −1 1 0 1 −4 1
     
      2 5 −3 −2
    t+3 −1 1  
     −2 −3 2 −5 
       
    D= t−3  avec t ∈ R, E= .
     
    5 1
    3 −2
     
       1 2 
    6 −6 t+4  
    −1 −6 4 3
     
    2 −1 −3 4
     
     −4 5
     
    7 1 
    Exercice 2. 1) Trouver le cofacteur de 7 dans la matrice A =  .
    0 −1 3
     
     1 
     
    2 −2 5 6
     
    1 2 3
     
    2) Considérons la matrice B =  2 3 4 .
     
     
    1 5 7
    a) Calculer det(B), b) déterminer com(B).
    c) Vérifier que B t com(B) = det(B)I3 , d) trouver B −1 .

    Exercice 3. Résoudre
     les systèmes suivants en 
    utilisant les déterminants


     3y + 2x = z + 1 

     x + 2z = 6
     
    (S1 ) 3x + 2z = 8 − 5y (S2 ) −3x + 4y + 6z = 30

     

     3z − 1 = x − 2y
      −x − 2y + 3z = 8

    1
     
    1 2 α
     
     
     0 β 1 
    Exercice 4. 1) Calculer le rang de la matrice A selon les paramètres α, β ∈ R avec A = 

    .

     1 0 2 
     
    1 2 1
     
    1 1 2 1
     
    2) Même question pour la matrice B =  1 2 3 1 .
     
     
    1 1 α 1
    2
    Soit n ≥
    Exercice 5.  2, donner  une condition nécessaire et suffisante sur (a, b) ∈ C pour que la
    a b ... b
    . . . .. 
     

     b a . 
    matrice A = 
     .. . . ...
     soit inversible dans Mn (C).
    .

     . b 
     
    b ... b a
    2 3
    Exercice
     6. Pour  quelles  de (a,b) ∈ R les vecteurs suivants forment-ils une base de R
     valeurs
    a 2a 3a
         
    u =  1 , v =  1 , w =  1 .
         
         
    b b −2b

    Exercice 7. Soient n ∈ N∗ , x, a1 , ..., an ∈ R. Calculer le déterminant d’ordre n + 1 suivant


     
    x a 1 a2 . . . . . . an
     
     a1 x a2 . . . . . . an 
     
     
     
     a1 a2 x a3 . . . an 
    M =  .. .. .. ..  .

     . . . . 
     .. ..
     

     . . x an 
     
    a1 a2 . . . . . . an x

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