Chapitre 2

Module : Circuits électriques Filières : MIP/PC
Chapitre 2 : Théorèmes généraux sur les réseaux électriques linéaires en régime permanent
I- Définitions
 Réseaux électrique linéaire (circuit électrique): est un ensemble de dipôles linéaires reliés par
des conducteurs de résistance négligeable et dans lequel circule un courant électrique.
 Dipôle : Un dipôle est un système conducteur qui possède une borne d’entrée et une borne de
sortie du courant.
 Nœud : l’intersection d’au moins trois conducteurs (fils).
 Branche : Ensemble de dipôles situés entre deux nœuds consécutifs.
 Maille : un ensemble de branches formant une boucle fermée, pouvant être parcourue en ne
passant qu’une seule fois par chacun de ses nœuds. On peut l’orienter en choisissant
arbitrairement un sens de parcours.
Exemple d’un circuit électrique
Ce circuit comporte :
 Six dipôles D1 à D6
 Deux nœuds B et E
 Trois branches BE, BCDE et BAFE
 De deux mailles {ABEFA} et {BCDEB}
II- Théorèmes généraux en régime permanent
Connaissant les forces électromotrices (f.e.m) des générateurs et les résistances du réseau, on cherche
par application des théorèmes généraux à déterminer les intensités du courant et des tensions des
branches.
1. Lois de Kirchoff
1.1 Lois des nœuds : Rappel
La loi des nœuds dans le régime quasi-stationnaire (ARQS) traduit la conservation du débit des
charges au niveau d’un nœud, c’est-à-dire le fait qu’il ne peut y avoir accumulation des charges en
un nœud du circuit.
Loi des nœuds : énoncé
1
Année Universitaire :2024-2025 Prof.ALI EL YAAKOUBI
La somme des intensités Ii des courants algébriques entrant à un nœud du circuit est égale à la somme
des intensités Ij des courants algébriques sortant de ce nœud :
Ii Ij
entrant sor tan t
Remarque:
L’intensité du courant est en particulier uniforme dans une branche.
1.2 Loi des Mailles : Rappel
Cette loi est une conséquence de l'additivité des tensions. Les tensions explicitées en termes de
différences de potentiels nous permettent d'écrire pour la maille considérée et orientée de façon
arbitraire (figure suivante) : (VA-VB) + (VB-VC) + (VC-VD) + (VD-VA) = 0. Soit encore : UAB +
UBC + UCD + UDA = 0. Cette dernière relation ne préjuge en rien de la nature des dipôles de la
maille.
D'où la relation généralisée pour une maille orientée : Ui 0

MailleABCDA
Loi des mailles : énoncé

Dans une maille (contour fermé contenant des dipôles), la somme algébrique des différences de
potentiel mesurées en parcourant complètement la maille dans un sens donné est nulle :
Ui 0
Maille
Méthode pratique
Pratiquement, pour écrire une équation de maille, on procède de la manière suivante :
1. On choisit un point sur la maille, n’importe où, cela n’a aucune importance.
2. On choisit un sens de parcours le long de la maille, trigonométrique ou horaire. Ce choix est
purement arbitraire et n’a aucune influence sur les résultats.
2
3. On part du point choisi, toutes les flèches de tension qui sont dans notre sens de progression sont
comptées positivement, négativement sinon.
4. lorsqu’on revient au point de départ on inscrit : = 0.
1.3 Application : méthodes de résolution d’un circuit
- Méthode par substitutions
Figure 1
R1=10 Ω, R2=15 Ω, R3=10 Ω ; E1=12 V, E2=20 V

On cherche à exprimer les courants I1, I2, I3 et la différence de potentielle VAM
Loi des mailles :
En suivant les sens de parcours positives indiqués pour les deux mailles, on a :
Maille BAMB : R3I3+R1I1=E1
Maille maille CMAC: R3I3+R2I2=-E2
Loi des nœuds au point A :
I3=I1+I2
En remplaçant l’équation de la loi des nœuds dans les deux premières équations, on trouve :
(R1 R3 )I 1 R3I 2 E1
R3I 1 (R2 R3 )I 2 E2
En remplaçant des paramètres (R, R2….) par ces valeurs on trouve :
20I1+10I2=12 (a)
10I1+25I2=-20 (b)
La différence de (a)-2(b) donne :
-40 I2=52, soit I2=-1,3 A ; et donc I1=1,25 A et I3=-0,05 A
Loi d’Ohm donne VAM=R3I3=-0,5 V
3
Remarque :
Les courants réels I2 et I3 circulent dans les sens contraires des flèches (I2<0 et I3<0)
- Méthode de Kramer
On cherche à calculer les courants dans les branches du circuits, c.à.d : I1, I2 et I3.
Pour I4 et I5 on peut les trouver facilement par les lois des nœuds au points B et C respectivement :
I4=I1-I2
I5=I2-I3
Les sens de parcours sont indiqués arbitrairement par les flèches pointillées.
Loi des mailles :
Maille ABFGA : -R1I1+E2-R4I4-E1=0
Maille FBCEF: R4I4-R2I2-R5I5=0
Maille ECDE: R5I5-R3I3+E3=0
Après remplacement des courants I4 et I5 par ces expressions et les paramètres (R1,R2, ….,E1,E2….)
par ces valeurs dans les dernières équations, on trouve le système d’équation suivant :
8I 1 6I 2 3
6I 1 16I 2 7I 3 0
7I 2 11I 3 6
Ce système peut s’écrire sous la forme matricielle suivant :
8 6 0 I1 3
6 16 7 I2 0
0 7 11 I 3 6
La résolution par la méthode de Kramer donne facilement les valeurs des courants :
4
3 6 0 8 3 0
0 16 7 6 0 7
6 7 11 633 0 6 11 534
I1 1,021A , I2 0,861A et
8 6 0 620 8 6 0 620
6 16 7 6 16 7
0 7 11 0 7 11
8 6 3
6 16 0
0 7 6 678
I3 1,093A
8 6 0 620
6 16 7
0 7 11
Finalement:
I4=I1-I2=0,16 A et I5=I2-I3=-0,232 A
Remarque:
Le courant réel I5 circule dans le sens contraire du flèche (I5<0).
2 Montages particuliers
2.1-Diviseur de tension à vide
Si la sortie ne consomme aucun courant, la tension recueillie entre les bornes de sortie de la figure est
exprimée :
5
2.2-Diviseur de tension en charge

Pour obtenir la tension de sortie entre la borne de la charge (figure), il faut se ramener au diviseur de
tension à vide en remplaçant R2 et Rcharge par leur résistance équivalente :
2.3-Diviseur de courant
Pour le montage de la figure suivant, la tension est la même aux bornes de R1 ou aux bornes R2. Elle
serait identique aux bornes de la résistance équivalente, cela conduit à :
I1 et I2 sont une fraction de l’intensité I, le montage s’appelle un diviseur de courant.
Dans un diviseur de courant à deux résistances, le courant dans une résistance est égal au courant
total qui arrive ou qui part des deux résistances, multiplié par la résistance « d’en face » divisé par la
somme des deux résistances.
Remarque :
Pour les diviseurs de courant comportant plus de deux résistances, on effectue des regroupements
de résistances pour se ramener à un diviseur de courant à deux résistances.
6
2.4-Loi de Pouillet
Considérons une maille unique ne comportant que des sources de tension et des résistances.
Dans un circuit en série, comprenant que des sources de tension Ek (dont certains peuvent être montés
en opposition : si la force électromotrice a le même sens que le courant on met + sinon si elle a un
sens opposé on met -)) et des résistances Rk le courant est donné par l’expression suivant :
Ek
I k
Rk
k
3 Théorème de Milman
Considérons le circuit suivant :
7
D’une manière générale, on considère un nœud N auquel aboutissent n branches. Soient Vi les
potentiels des extrémités des branches définis tous par rapport à un même potentiel de référence. Ri
est la résistance de la branche i et Gi est sa conductance.
Le potentiel du point N par rapport à celui de la référence commune est exprimé :
1
Vi
i
Ri i
Vi Gi
VN
1 Gi
i
i
Ri
La tension au nœud est la moyenne des tensions aux bornes de tous les dipôles pondérés par les
conductances respectives.
Application
Sur le schéma de la figure 1 page 3, on détermine la différence de potentielle VAM
On prend le point M comme origine des potentiels, on a donc VM=0 V, VB=12 V et VC=-20 V
D’où :
VB VC VM
R1 R2 R3
VAM VA 0.5V
1 1 1
R1 R2 R3
4 Théorèmes de Thévenin et de Norton
Les théorèmes de Thévenin et Norton permettent de remplacer un circuit électrique complexe par un
circuit élémentaire dans lequel les calculs sont simples et immédiats.
4.1 Theorème de Thévnin
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Un réseau linéaire, ne comprenant que des sources indépendantes de tension, de courant et des
résistances, pris entre deux bornes se comporte comme un générateur de tension Eth en série avec
une résistance Rth. La f.e.m Eth du générateur équivalent est égale à la tension existant entre les deux
bornes considérées lorsque le réseau est en circuit ouvert. La résistance Rth est celle du circuit vu des
deux bornes lorsque toutes les sources sont éteintes.
En déterminant les expressions de Eth et Rth en fonction des caractéristiques de dipôles constituant
le dipôle D1, la résolution du circuit est alors simplifiée.
Eth RD 2Eth
En effet, on a I et U AB , où RD 2 est la résistance équivalente du dipôle D2
Rth RD 2 Rth RD 2
Méthode pratique :
La détermination des caractéristiques du générateur de Thévenin équivalent se fait de la façon
suivante.
 Lorsque l’on coupe la liaison entre les dipôles D1 et D2, on a aux bornes du dipôle une
intensité nulle du courant et on relève ce que l’on appelle la tension en circuit ouvert UAB0
telle que : UAB0=Eth
 D’autre part si on éteint tous les sources du dipôle D1 la résistance « vue » entre les bornes
AB est égale à la résistance Rth. En conséquence Eth représente la tension à vide et Rth est la
résistance équivalente entre les bornes AB lorsque toutes les sources de ce dipôle sont éteintes.
9
4.2 Théorème de Norton
Il s’agit d’une variante du théorème de Thévenin ou le dipôle D1 est remplacé par son modèle
équivalent de Norton (générateur de courant idéal de c.é.m IN en parallèle avec une résistance RN).
RN RD 2 U AB RN I N
Alors il est facile d’établir que U AB I N et I IN
RN RD 2 RN RN RD 2
Il agit par conséquent de déterminer les expressions de IN et RN en fonction des caractéristiques des
dipôles constituant le dipôle D1. IN représente le courant de court-circuit et RN est la résistance
équivalente entre les bornes AB lorsque toutes les sources de ce dipôle sont éteintes.
Méthode pratique :
 Pour déterminer IN il faut simplement constater que lorsque l’on court-circuite les bornes A
et B du dipôle D1, la tension UAB est nulle et le courant de court-circuit Icc est égal à IN:
Icc=IN.
 D’autre part si on éteint toutes les sources du dipôle D1 la résistance « vue » entre les bornes
AB est égale à la résistance RN.
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4.3 Equivalente entre les théorèmes Thévnin et Northon

Comme nous l’avons vu précédemment, il est possible d’établir une équivalence entre les modèles
équivalents de Thévenin et de Norton. Aussi les générateurs de Thévenin et de Norton équivalents
déterminés par les deux théorèmes sont identiques si :
Eth
Eth RN I N IN
où Rth
Rth RN
RN Rth
4.4 Application :
Sur la figure 1, on cherche à déterminer U=VAM en utilisant des circuits équivalents de Thévnin et
Northon.
- Circuit équivalent de Thévnin
On remplace la partie du circuit à droite de AM par le générateur Eth et Rth.
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Eth est la difference de potentielle vide entre A et M (quand la partie du circuit est débranchées) :
R3
Eth E2 8V
R2 R3
Rth est la résistance vue entre A et M quand E2 est court-circuité (E2=0V) :
Rth R2 R3 6Ω
VAM=VAB+VBM=VAC+VCM=Eth+RthI=E1-R1I
E1 Eth
Loi de Pouillet : I 1.25A
R1 Rth
Rth
Finalement : VAM Eth E1 Eth 0.5V
R1 Rth
- Circuit équivalent de Northon
On remplace le générateur E1 et la résistance entre A et B par le générateur de Northon équivalent (
E1
IN1 1.2A et RN 1 R1 10Ω )
R1
De la même, on remplace le générateur E2 et la résistance entre A et C par le générateur de Northon
E2 4 A et RN 2
équivalent ( I N 2 R2 15Ω )
R2 3
12
Ce montage peut être simplifié au circuit suivant :
RN 1R3RN 2
Sachant que : Req RN 1 R3 RN 2
RN 2R3 RN 1RN 2 RN 1R3
Appliquant la loi d’Ohm et la loi des nœuds au point A on trouve :
VAM Req (I N 1 IN 2 ) 0.5V
5 Théorème de superposition
5.1 Enoncé
Dans un réseau linéaire alimenté par plusieurs sources indépendantes, le courant circulant dans une
branche, est la somme algébrique des courants. Egalement la différence de potentiel, est la somme
des différences de potentiel produits par chacune des sources indépendantes agissant seule dont toutes
les autres sources indépendantes étant éteintes.
Méthode pratique
Pour éteindre les sources on procédera comme suit :
▶ Source de tension éteinte : on remplace la source de tension idéale par un fil (𝑒 = 0).
▶ Source de courant éteinte : on remplace la source de courant idéale par un interrupteur ouvert (𝑖0
= 0).
13
5.1 Application
Sur la figure 1, on cherche à déterminer le courant qui circule dans la résistance I3. On éteint
successivement chaque générateur :
Le courant I3 est la somme des courants circulant dans le branche AM lorsque les deux sources
éteintes successivement : I 3 I 3' I 3''
Sur le montage a (E1 éteint) on a : I 3 I 1' I 2'

'

E2
R1R3
R2
R3 ' E2 R1 R2
I 1' I 3 et I 2' , donc I 3
'
0,5A
R1 R1 R3 R2 R3
1
R1
Sur le montage b (E2 éteint) on a : I 3 I 1'' I 2''
''

14
E1
R2R3
R1
E1 R3 '' R2 R3
I 1'' et I 2
''
I 3 donc I 3'' 0,45A
R1 R2 R3 R2 R3
1
R2
Finalement I 3 0,05A ou encore VAM R3I 3 0,5V
Remarque
On a trouvé le même résultat par application des différents théorème et lois. Par conséquent les Lois
de Kirchoff, théorème de Milman, théorème de Thévnin et Northon et théorème de superposition
aboutissent aux même résultats.
15

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D'où la relation généralisée pour une maille orientée : Ui 0

Loi des mailles : énoncé

R1=10 Ω, R2=15 Ω, R3=10 Ω ; E1=12 V, E2=20 V

2.2-Diviseur de tension en charge

I1 et I2 sont une fraction de l’intensité I, le montage s’appelle un diviseur de courant.

4.2 Théorème de Norton

4.3 Equivalente entre les théorèmes Thévnin et Northon

On remplace la partie du circuit à droite de AM par le générateur Eth et Rth.

Ce montage peut être simplifié au circuit suivant :

éteintes successivement : I 3 I 3' I 3''

Sur le montage a (E1 éteint) on a : I 3 I 1' I 2'

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