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Physique
ELECTROCINETIQUE EXERCICE D’ ORAL
-EXERCICE 3.3-
• ENONCE : « Circuits R-C et R-L en parallèle »
Le condensateur C étant initialement déchargé,
K on ferme l'interrupteur K à l'instant t=0. L R 1) Déterminer les courants i1 (t ) et i2 (t ) , puis i1 tracer les courbes correspondantes. C 2) A quel instant aura-t-on i1 = i2 ? i2 R
• L’interrupteur étant toujours fermé, on attend la fin de l’établissement du régime permanent ; à
un instant pris comme nouvelle origine des temps t’, on ouvre l’interrupteur K. 3) Etablir les équations différentielles vérifiées par l’intensité du courant i (t ') et par la tension u (t ') aux bornes du condensateur. 4) A t’=0, quelles sont les valeurs initiales i (0 − ) et u (0− ) ? 5) En déduire les expressions de i (t ') et de u (t ') , en distinguant les différents cas possibles (on ne calculera pas les constantes d’intégration).
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• CORRIGE : «Circuits R-C et R-L en parallèle »
1) Les 2 équations différentielles sont :
di1 (t ) duc (t ) duc (t ) E = Ri1 (t ) + L et E = uc (t ) + RC , avec i2 (t ) = C dt dt dt • En tenant compte de i1 (0− ) = i1 (0+ ) = 0 (continuité du courant traversant une inductance) et de uc (0− ) = uc (0− ) = 0 (continuité de la tension aux bornes d’un condensateur), un calcul développé dans le cours conduit à : E L E i1 (t ) = [1 − exp( −t / τ 1 )] τ1 = ; uc (t ) = E[1 − exp( −t / τ 2 )] ⇒ i2 (t ) = exp(−t / τ 2 ) τ 2 = RC R R R
• On en déduit les courbes suivantes :
i1 (t ) i2 (t ) E E R R
0 τ1 t 0 τ2 t
2) Cet instant, noté t0 , est déterminé par : 1 − exp(−t0 / τ 1 ) = exp(−t0 / τ 2 )
Rq : l’instant t0 n’est pas donné de façon analytique, mais on pourrait le calculer numériquement si les valeurs de R, L, C étaient fournies.
3) Pour t ' ≥ 0 , le circuit se ramène à :
La loi des mailles donne: L R
i (t ') uL (t ') + u(t ') + 2uR (t ') = 0
C di (t ') du (t ') R avec: uL (t ') = L ; uR (t ') = Ri (t ') et i (t ') = C u (t ') dt ' dt '
d 2u (t ') 2 R du (t ') u (t ') d 2i (t ') 2 R di (t ') i (t ')
On en déduit : + × + =0 et + × + =0 dt '2 L dt ' LC dt '2 L dt ' LC
4) D’après la question 1), on sait que i2 (t = ∞) = 0 ⇒ u (t = ∞) = u (t ' = 0− ) = u (t ' = 0+ ) = E
E D’autre part : i1 (t = ∞) = = −i (t ' = 0 − ) = −i (t ' = 0+ ) R
Rq : le signe « moins » provient de l’orientation contraire des courants i1 et i .
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5) Les solutions des équations de la question 3) sont à chercher en exp(rt ') , où r ∈ ! ; le
2R 1 R2 1 polynôme caractéristique est : r2 + ×r + =0 ⇒ ∆' = 2 − L LC L LC L R ♦ si R= , ∆ ' = 0 : le régime est dit critique, de la forme : u (t ') = ( A + Bt ') exp(− t ') C L L ♦ si R" , ∆ ' " 0 : le régime est apériodique, de la forme : u (t ') = A exp( r1t ') + B exp( r2t ') C (où r1 et r2 ∈ # − ) L ♦ si R≺ , ∆ ' ≺ 0 : le régime est pseudopériodique, de la forme : C R 1 R2 u (t ') = exp(− t ') × [ A cos(Ωt ') + B sin(Ωt ')] avec : Ω= − (= pseudo-pulsation) L LC L2
Rq : dans les 3 cas, les 2 constantes d’intégration se déterminent à l’aide des 2 conditions initiales de la question 4), qui portent sur la grandeur u (t ') et sa dérivée i (t ') (à une constante multiplicative près).
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