Lycée qualifiant Sidi Hsain 2 BAC PC & SVT

Série n°1
- Continuité -

Exercice 1
Calculer les limites suivantes :
3x2 +2x−2
1 lim 3x+2 8 lim x2 +1 14 lim x+3
x→0 x +x+5 x→+∞ x→2+ x−2

2 lim x2 − 2x2 + x − 8 √
x→2 9 lim 2x2 + x + 1 − x
x→+∞
15 lim x+3
x→2− x−2
3 lim 22x−2 √
x→1 x +4x−5 10 limx+2 x
x→+∞ x−3
3x−2x2
4 lim −5x4 − 2x2 + x − 1 16 lim + x−x3
x→−∞ x→−1
tan 3x
√ 11 lim
x+2−2 x→0 sin x
5 lim x−2 √
x→2 √ 17 lim 5x2 + x − 1 + 2x
√ √ 2 sin x− 2 x→−∞
x2 +1− x+3 12 lim 2x− π2
6 lim x−2
x→ π4
x→2
√
√ 18 lim x2 +x−2
7 lim x2 + 7 − x 13 lim 1−cos x x→−2 x2 −4
x→−∞ x→0 sin x x<−2

Exercice 2
Étudier la continuité de f en a dans chacun des cas suivants :
 4 −1
( √ √
f (x) = xx+1 ; x 6= −1 f (x) = x2 +3− 3x+1
; x 6= 1
1 ; a = −1 3 x−1 ;a=1
f (−1) = −4 f (1) = − 14
( 2 +4x−5
f (x) = x√x+8−3 ; x 6= 1 
f (x) = cos x−cos 2x
; x 6= 0
2 ;a=1 4 x ;a=0
f (1) = 36 f (0) = 0

Exercice 3
 √
f (x) = 2 + 5 − x ; x ≤ 4
1 f est la fonction définie sur R par :
f (x) = √x−4
x−2
; x>4

a Étudier la continuité de f à gauche et à droite en 4.

b Est-ce que g est continue en 4 ?
 x
 h(x) = √
√x
; x>0
2
2 h est la fonction définie sur R par : h(x) = x +1−1
x
; x<0

h(0) = 0
Étudier la continuité de h en 0

1 Omar BACHAIN
 
f (x) = x3 ; x≤0
3 Soit a un nombre réel et f une fonction définie sur R par :
f (x) = x + a ; x < 0
Déterminer la valeur de a pour que f soit continue en 0.

Exercice 4
x3 + 2x ; x ≤ 1

f est la fonction définie sur R par : f (x) = x2 +x−2
x−1
; x>1

1 Étudier la continuité de g sur ] − ∞; 1[ et ]1; +∞[

2 Étudier la continuité de g en 1.

3 Est-ce que g est continue sur R ?

Exercice 5
 √
g est la fonction définie sur R par : √ 1 − x; x ≤ 0
g(x) = x
g(x) = x2 + x ; x > 0

1 Étudier la continuité de g sur ] − ∞; 0[ et ]0; +∞[

2 Étudier la continuité de g en 0.

3 Est-ce que g est continue sur R ?

Exercice 6
Étudier la continuité de f sur I, puis déterminer f (I) dans chaque cas :

1 f (x) = x2 − 4x + 1, I = [0; 1]

x−1
2 f (x) = x+3
, I =] − 3; +∞[
√
3 f (x) = x2 − 4, I =] − ∞; −2]

Exercice 7
 √
x + 1 ; x ∈ [−1; 0]
g est la fonction définie sur [−1; 1] par : g(x) = 2
x + 1 ; x ∈]0; 1]

1 Étudier la continuité de g sur [−1; 1].

2 Déterminer g ([−1; 1]).

2 Omar BACHAIN
Exercice 8
Montrer que l’équation f (x) = 0 admet au moins une solution dans I dans chaque cas :

1 f (x) = 2x3 − 6x + 3, I = [−2; 2]

√
2 f (x) = x3 + 1 − 2x, I =]0; 1[

3 f (x) = x5 − 3x2 − 4, I =] − 1; 2[

Exercice 9
√
Soit f la fonction définie [0; +∞[ par f (x) = x3 + 2 x − 1

1 Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans [0; 1].

2 Déterminer une valeur approchée de α à 0.01 près.

3 Étudier le signe de f (x) sur [0; +∞[.

Exercice 10
Soit g la fonction définie R par : g(x) = x5 − 2x3 + x − 4
Montrer que la courbe (Cg ) coupe l’axe des abscisses en au moins un point dans l’intervalle
[−1; 2].

Exercice 11
1
g est la fonction définie ]0; +∞[ par g(x) = x − x

1 Montrer que g admet une fonction réciproque g −1 définie sur un intervalle J à déterminer.

−3
Calculer f −1 sans déterminer f −1 (x).


2 2

Exercice 12
2x+3
f est la fonction définie sur ]1; +∞[ par f (x) = x−1

1 Montrer que f admet une fonction réciproque f −1 définie sur un intervalle J à déterminer.

2 Déterminer f −1 (x) pour tout x de J.

3 Tracer (Cf ) et (Cf −1 ) dans un même repère.

Exercice 13
h est la fonction définie ] − ∞; 0] par h(x) = x4 + 2x2 + 1.

1 Montrer que h admet une fonction réciproque h−1 définie sur un intervalle J à déterminer.

3 Omar BACHAIN
 2 Déterminer h−1 (x) pour tout x de J.

3 Donner le tableau de variations de h−1 .

Exercice 14

1 Simplifier les nombres suivants

√3
√
5
√
3
512
a a = 27 c c = 243 e e= √3
64
√
4
√ p√
3
b b = 16 d d = 729 f f= 64

2 Simplifier les nombres suivants :

q√
√ √
√
3 √ √
5 2
√ √
20
4× 8× 2 3 4 9×32
16× 3 2 b B= √ √ 34 ×
q√
a A= √ 4 3 √
12
3 6
2× 4 c C= √5 √
2 × 2 81× 3

√ √ √
12
√
3 Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants : 4; 5; 6 3 et 3 8

4 Calculer les limites suivantes :

√ √ √ √
3 x− 3 3 √ √
a lim 3 x + 1 − 3 x b lim √ √ c lim 3
x+1− 3
x
x→+∞ x→3 x− 3 x→+∞

5 Résoudre dans R les équations suivantes :

√ √
a x3 + 27 = 0 b 3
x− x=0

h MathsBachain

4 Omar BACHAIN