Programme de la classe de premi`ere annee MPSI

I - Introduction `a lanalyse
Objectifs
Lobjectif de cette partie est
damener les etudiants vers des probl`emes eectifs danalyse elementaire,
dintroduire les premiers outils necessaires `a letude de la physique.
On focalise lattention sur les applications du calcul innitesimal `a une variable, en evitant de soulever des
questions theoriques liees `a la topologie de la droite reelle. On sappuie autant que possible sur les connaissances
acquises dans le secondaire.
Il est attendu qu`a lissue de cette partie, les etudiants
aient une bonne connaissance des fonctions usuelles et soient en particulier capables de se representer leur
graphe, de denir les fonctions trigonometriques reciproques, de manipuler les formules daddition, decrire
les developpements limites usuels, etc. ;
sachent etablir des proprietes simples relatives aux limites ;
matrisent la pratique des developpements limites et leurs applications au calcul des limites, `a letude locale
des fonctions et des courbes, etc. ;
puissent mener letude dune courbe parametree (y compris en coordonnees polaires) ;
aient fait le lien entre letude metrique des courbes et la cinematique dans le plan ;
sachent resoudre des equations dierentielles lineaires du premier ordre et du second ordre `a coecients
constants.
Contenu
1. Notions mathematiques de base
Ensemble, element dun ensemble, relation dappartenance ; partie dun ensemble, relation dinclusion ; reunion,
intersection, dierence, complementaire.
Elements de logiques, raisonnements mathematiques.
Relation dequivalence. Relation dordre. Toute partie non vide de N admet un plus petit element. Principe
de recurrence. Raisonnements par recurrence.
Application, fonction ; produit (cartesien), graphe dune application ; image, antecedent dun element ; image
directe, reciproque dune partie ; restriction, prolongement, application induite.
Injection ; surjection ; bijection, application reciproque.
2. Ordre naturel dans R
Relation dordre sur R; propriete dArchim`ede ; majorant/minorant, plus grand / petit element, borne supe-
rieure / inferieure dune partie de R; principe de la borne superieure.
Denition de R. Intervalles de R et de R, segments.
Valeur absolue ; norme euclidienne canonique sur R
d
; inegalite de Cauchy-Schwarz et inegalite triangulaire.
Boule ; partie bornee de R
d
.
3. Limites et continuite
Limite en un point dune fonction `a valeurs complexes denie sur un intervalle de R; limite en ; limite
innie dune fonction `a valeurs reelles. Limite `a gauche / `a droite en un point. Operations sur les limites.
Continuite en un point, sur un intervalle : denition.
Convergence dans R
d
Notion de suite, de suite extraite. Vocabulaire sur les fonctions.
Limite dune suite reelle dans R; convergence dune suite `a valeurs dans R
d
; cas particulier des suites com-
plexes.
- 1 -
Limite dune fonction `a valeurs dans R
d
denie sur un intervalle I de R en un point a de R adherent `a I ; cas
particulier des fonctions reelles ou complexes. Caracterisation sequentielle des limites.
Fonction continue, continue `a gauche / `a droite en un point ; fonction continue sur un intervalle ; fonction
continue par morceaux sur un segment.
Operations algebriques sur les limites. Composition de limites. C-alg`ebre ((I) des fonctions continues `a valeurs
complexes denies sur un intervalle I de R.
La convergence dune suite ou dune fonction `a valeurs dans R
d
equivaut `a la convergence de chacune de ses
composantes (dans la base canonique de R
d
).
Convergence des suites ou fonctions reelles monotones.
Suites reelles adjacentes ; principe des segments embotes. Condition de Cauchy, crit`ere general de convergence
de Cauchy.
Comparaison des suites et fonctions usuelles.
Proprietes globales des fonctions continues
Theor`eme des valeurs intermediaires.
Caracterisation des homeomorphismes dun intervalle sur un intervalle.
application bornee `a valeurs dans R
d
, Toute fonction `a valeurs dans R
d
denie et continue sur un segment
est bornee ; si de plus elle est `a valeurs reelles (d = 1), elle atteint sa borne inferieure et sa borne superieure.
4. Derivees et primitives
Derivabilite en un point, derivabilite `a droite, `a gauche, nombre derive, tangente, fonction derivee. Combi-
naison lineaire, produit, quotient, composee de fonctions derivables en un point.
Fonctions derivables, de classe (
1
sur un intervalle. Fonctions n fois derivables, de classe (
n
, de classe (

.
Caracterisation dun (

-dieomorphisme.
Integrale dune fonction continue sur un segment ; proprietes et interpretation geometrique. Inegalite de la
moyenne.
Integration par parties ; formule de changement de variables.
Derivabilite et derivees des fonctions usuelles.
Theor`eme de Rolle, formule des accroissements nis pour une fonction `a valeurs reelles. Inegalite des accrois-
sements nis. Theor`eme de prolongement de la derivee. Inegalite de Taylor-Lagrange.
Caracterisation des fonctions `a valeurs reelles lisses croissantes ou decroissantes, convexes ou concaves. Ca-
racterisation des dieomorphismes dintervalles.
Fonctions `a valeurs reelles convexes de classe (
2
; caracterisation des fonctions `a valeurs reelles lisses convexes
ou concaves, inegalite de convexite ; inegalites de Cauchy-Schwarz, de Young, inegalite arithmetico-geometrique.
Resolution numerique dune equation par la methode de Newton, convergence quadratique.
5. Fonctions usuelles
Fonctions x x
n
et x
n

x (n N

).
Exponentielle reelle, logarithme neperien ; fonctions x a
x
, logarithmes de base a (a > 0) ; fonctions puis-
sances x x
p
(p R).
Fonctions trigonometriques circulaires, fonctions arctan, arcsin, arccos.
Fonctions trignometriques hyperboliques, fonctions arctanh, arcsinh, arccosh.
Fonction e
i
; exponentielle complexe.
6. Developpements limites
Notion de developpement limite, unicite.
Formule de Taylor-Young. Developpements limites usuels.
Exemples de calculs de developpements limites.
7. Courbes parametrees planes
Courbe parametree (ou chemin) de classe (

dans R
2
; image dune courbe parametree. Changement de
parametrage, chemins equivalents.
Point regulier, tangente.

Etude locale : allure dune courbe parametree en un point regulier ou singulier, branches innies.
Proprietes metriques : longueur dun chemin ni, abscisse curviligne, courbe `a parametrage normal, courbure
algebrique, rep`ere et formules de Frenet, rayon de courbure et cercle osculateur en un point biregulier.
- 2 -

Etude des courbes parametrees en coordonnees polaires.
Interpretation cinematique : trajectoire dun point mobile dans le plan, vitesse, acceleration.
8.

Equations dierentielles

Equations dierentielles lineaires scalaires du premier ordre.

Equations lineaires du deuxi`eme ordre `a coecients constants (dans C) : equation caracteristique, syst`eme fon-
damental de solutions de lequation homog`ene associee, methode de Lagrange (de la variation des constantes),
cas o` u le second membre est une fonction polynome-exponentielle, probl`eme de Cauchy.

Equations dierentielles `a variables separees.
II - Introduction `a la geometrie
Objectifs
On etudie dans cette partie les syst`emes dequations lineaires ` a coecients reels ; les notions fondamentales
de lalg`ebre lineaire sont introduites dun point de vue constructif, sur la base de lalgorithme de Gauss. On y
aborde dautre part la geometrie euclidienne en petite dimension, en particulier pour les besoins de la physique et
des sciences industrielles, en mettant en avant lutilisation des nombres complexes et le formalisme de lalg`ebre
lineaire.
Il est attendu qu`a lissue de cette partie, les etudiants
soient capable, au moyen de lalgorithme de Gauss, de resoudre un syst`eme dequations lineaires, de determiner
un rang, dextraire une sous-famille libre maximale dune famille de vecteurs, de completer une famille libre
en une base, dinverser une matrice carree ;
aient compris le theor`eme du rang ;
sachent manipuler les nombres complexes et les utiliser pour resoudre des probl`emes de geometrie plane ;
connaissent les determinants dordre 2 ou 3 et leur interpretation geometrique ;
sachent orthogonaliser une famille libre de R
d
au moyen de lalgorithme de Gram-Schmidt et calculer la
distance entre deux sous-espaces anes en petite dimension ;
sachent utiliser les coordonnees polaires dans R
2
et les coordonnees cylindriques et spheriques dans R
3
;
connaissent les formules usuelles relatives au produit vectoriel dans R
3
;
connaissent les coniques et leur intervention dans la description du mouvement ` a acceleration centrale.
Contenu
1. Sous-espaces vectoriels et anes de R
d
(d N

)
Resolution dun syst`eme de n equations lineaires `a coecients reels `a p inconnues par la methode delimination
de Gauss (algorithme de Gauss) ; inconnues principales , secondaires.
Matrice `a coecients reels `a n lignes et p colonnes ; multiplication des matrices, propriete dassociativite.

Ecriture matricielle dun syst`eme dequations lineaires. Matrice echelonnee, pivots. Matrice carree inversible,
inversion dune matrice carree par lalgorithme de Gauss-Jordan.
Addition et multiplication par un scalaire dans R
d
, combinaison lineaire dune famille nie delements de
R
d
. Famille nie libre, liee. Si (u
1
, . . . , u
n
) et (v
1
, . . . , v
p
) sont des familles delements de R
d
telles v
1
, . . . , v
p
sexpriment comme combinaisons lineaires de (u
1
, . . . , u
n
) et si p est strictement superieur `a n, alors la famille
(v
1
, . . . , v
p
) est liee.
Sous-espace vectoriel de R
d
. Sous-espace vectoriel de R
d
engendre par une famille nie delements de R
d
,
famille generatrice dun sous-espace vectoriel. Base dun sous-espace vectoriel ; tout sous-espace vectoriel
de R
d
admet une base ; toutes les bases dun sous-espace vectoriel donne comportent le meme nombre de
vecteurs ; dimension dun sous-espace vectoriel de R
d
. Si une famille (u
1
, . . . , u
n
) dun sous-espace vectoriel
F de R
d
est libre (resp. generatrice), alors n dimF (resp. n dimF) ; si n = dimF, alors la famille
(u
1
, . . . , u
n
) est une base de F si et seulement si elle est libre ou generatrice ; coordonnees dun vecteur de F
dans une base de F.
- 3 -
Rang dune famille de vecteurs de R
d
, dune matrice, dun syst`eme dequations lineaires homog`enes. Theor`eme
du rang : le rang dun syst`eme dequations lineaires homog`enes est egal au rang de sa matrice, une matrice
et sa transposee ont meme rang, lensemble des solutions dun syst`eme dequations lineaires homog`enes `a p
inconnues de rang r est un sous-espace vectoriel de R
p
de codimension r (cest-`a-dire de dimension p r).
Utilisation de lalgorithme de Gauss pour extraire une famille libre maximale dune famille nie delements
de R
d
, pour completer une famille libre dun sous-espace vectoriel F de R
d
en une base de F.
Sous-espace ane de R
d
; direction dun sous-espace ane. Obtention des equations parametriques (resp.
cartesiennes) dun sous-espace ane de R
d
donne par un syst`eme dequations cartesiennes (resp. parame-
triques).
2. Nombres complexes
Plan de Gauss. Parties reelle et imaginaire, conjugue, module dun nombre complexe.
Resolution algebrique dune equation du deuxi`eme degre.
Groupe multiplicatif U des nombres complexes de module egal `a 1. Arguments dun nombre complexe ;
argument principal ; expression trigonometrique dun nombre complexe. Formules daddition, formule de
Moivre, formules de duplication, parametrage rationnel de U 1. Racines de lunite ; racines n-i`emes dun
nombre complexe pour n N

Etude des similitudes anes reelles de C, de la forme z az + b ou z az + b avec a, b C.
3. Determinants dordre 2 ou 3
Determinant dune famille de vecteurs dans la base canonique en dimension 2 ou 3 ; orientation canonique de
R
2
ou R
3
; base directe, indirecte.
Determinant dune matrice ; multiplicativite du determinant.
Formules de Cramer pour des syst`emes de 2 ou 3 equations.
4. Structure euclidienne canonique de R
d
Produit scalaire canonique , sur R
d
(d N

). Relation dorthogonalite. Inegalite de Cauchy-Schwarz ;

norme euclidienne canonique ; theor`eme de Pythagore ; identites de polarisation ; identite du parallelogramme.
Famille orthogonale de vecteurs ; toute famille orthogonale dont tous les elements sont non nuls est libre.
Orthogonal F

dun sous-espace vectoriel F ; la dimension de F est egale `a la codimension de F

. Orthogo-
nalisation dune famille libre : algorithme de Gram-Schmidt. Bases orthonormales.
Determinant (note Det) dune famille de vecteurs dans R
2
ou R
3
calcule dans une base orthonormale. Matrice
et determinant de Gram dune famille de 2 ou 3 vecteurs. Interpretation geometrique du determinant de Gram;
aire dun parallelogramme, volume dun parallelepip`ede dans R
d
.

Equation normale dune droite ane dans R
2
, dun plan ane dans R
3
. Sous-espaces anes perpendiculaires.
Projection orthogonale dun point sur un sous-espace ane. Distance entre deux sous-espaces anes.
5. Geometrie euclidienne dans R
2
et dans R
3
Relation z
1
z
2
= z
1
, z
2
+ i Det(z
1
, z
2
) pour z
1
, z
2
C. Angle oriente (determine modulo 2) dun couple de
vecteurs ; relations u
1
, u
2
= cos |u
1
| |u
2
| et Det(u
1
, u
2
) = sin |u
1
| |u
2
| pour u
1
, u
2
R
2
, designant
un angle oriente de (u
1
, u
2
). Coordonnees polaires ; equation polaire dune droite. Angle oriente de droites.
Relations trigonometriques dans un triangle.

Equation cartesienne normale dun cercle dans R
2
.

Equations parametriques dun cercle.

Equation polaire
dun cercle passant par lorigine des coordonnees. Determination dun cercle par trois points non alignes.
Theor`eme de larc capable ; condition necessaire et susante pour que quatre points distincts de R
2
soient
alignes ou cocycliques.
Angle de deux vecteurs dans R
3
. Coordonnees cylindriques, spheriques.

Equation cartesienne normale dune sph`ere dans R
3
.

Equations parametriques en coordonnees spheriques.
Produit vectoriel : pour u
1
, u
2
R
3
, u
1
u
2
est lunique vecteur tel que u
1
u
2
, v = Det(u
1
, u
2
, v) pour
tout vecteur v de R
3
. Caracterisation geometrique du produit vectoriel. Produit mixte, calcul du produit
vectoriel dans la base canonique de R
3
. Identites de Lagrange, du double produit vectoriel.
6. Coniques
Denition dune conique par foyer et directrice ; excentricite ; ellipse, parabole, hyperbole.

Equation cartesienne reduite. Centre, sommets, foyers. Asymptotes dune hyperbole.
- 4 -

Equation polaire dune conique dont un foyer est lorigine des coordonnees.
Caracterisation bifocale des ellipses et des hyperboles.
Parametrage des ellipses et des hyperboles au moyen des fonction trigonometriques circulaires et hyperbo-
liques.
Mouvement `a acceleration centrale, lois de Kepler.
III - Suites et series - Fonctions dune variable reelle
Objectifs
Cette partie pose les fondements de lanalyse des fonctions dune variable reelle ; elle constitue le noyau du
programme danalyse dans les classes preparatoires. Le cadre en reste toutefois elementaire : la topologie se
resume `a letude des proprietes globales des fonctions continues dune variable reelle et seule lintegration des
fonctions continues par morceaux est consideree. On se concentre pour une part essentielle sur une pratique
eective de lanalyse : etude de la convergence dune serie ou dune integrale, du comportement asymptotique
dune suite ou dune fonction, de diverses techniques de majorations, etc.
Il est attendu qu`a lissue de cette partie, les etudiants
aient assimile la propriete de completude de la droite reelle sous ces dierentes formes : principe de la borne
superieure, principe des segments embotes, convergence des suites de Cauchy ;
aient appris `a utiliser les quanticateurs pour formuler (mettre en formule) certains enonces et obtenir leur
negation ;
aient une connaissance `a la fois theorique et pratique des principales inegalites (inegalites des accroissements
nis et de Taylor-Lagrange, inegalite de la moyenne, inegalites de convexite, inegalite de Cauchy-Schwarz,
etc.) ;
soient capables de demontrer les proprietes globales des fonctions continues ;
aient une bonne matrise du calcul des developpements limites ;
sachent etablir la convergence ou la divergence dune serie ou dune integrale dans des cas standard et en
particulier soient capables de comparer une suite ou une fonction positive aux suites ou fonctions de reference ;
connaissent les techniques dintegration usuelles ;
puissent determiner le rayon de convergence dune serie enti`ere dans des cas simples ;
aient pratique quelques algorithmes de calcul numerique.
Contenu
1. Series
Espace vectoriel des series `a termes complexes ; suite des sommes partielles dune serie. Sous-espace vectoriel
des series convergentes ; somme, suite des restes dune serie convergente.
Serie absolument convergente, suite sommable ; inegalite triangulaire. Si une serie est absolument convergente,
elle est convergente.
Series `a termes positifs : principe de comparaison, comparaison logarithmique, series geometriques, crit`eres
de Cauchy et de dAlembert.
Series `a termes positifs decroissants : crit`ere de condensation de Cauchy, series de Riemann.
Developpements decimaux.
Rayon de convergence dune serie enti`ere.
Produit de Cauchy de deux series absolument convergentes.
Produit de Cauchy de deux series enti`eres ;
Crit`ere de Leibniz pour les series reelles alternees, signe et majoration des restes.
Sommation par parties (transformation dAbel).
2. Integration des fonctions continues par morceaux sur un segment
Integrale dune fonction en escalier sur un segment, proprietes usuelles.
- 5 -
Approximation dune fonction continue par morceaux sur un segment par une fonction en escalier.
Integrale dune fonction continue par morceaux sur un segment. Linearite, additivite et positivite de lintegrale.
Sommes de Riemann.
Inegalite de la moyenne.
Theor`eme fondamental. Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive. Primitive sur un
intervalle dune fonction continue par morceaux.
Formule de changement de variable. Formule dintegration par parties. Formule de Taylor avec reste sous
forme dintegrale.
Exemples de calcul dintegrales et de primitives.
Integration numerique : etude et comparaison des methodes des rectangles et des trap`ezes.
3. Integration des fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque
Denition dune integrale ( impropre ) convergente.
Integrale absolument convergente, fonction sommable ou integrable sur un intervalle ; inegalite de la moyenne.
Si une integrale est absolument convergente, elle est convergente.
Principe de comparaison pour les fonctions positives.

Etude de lintegrabilite sur ]0, 1] ou sur [1, +[ des
fonctions de reference usuelles : x e
x
( R), x x
p
(p R), x [ ln x[.
Comparaison de lintegrale

0
f(t) dt et de la serie

n=0
f(n) pour une fonction f : [0, [ R positive et
decroissante.
Formule de changement de variable dans une integrale sur un intervalle quelconque.
Fonctions complexes de carre integrable ; inegalite de Cauchy-Schwarz.
Exemples dintegrales semi-convergentes.
4. Calculs asymptotiques
Relations de comparaisons, notations de Landau. Developpements limites.
Formule de Taylor-Young.
Sommation et integration des relations de comparaison.
Exemples de calculs asymptotiques. Constante dEuler. Formule de Stirling.
IV - Entiers - Polyn omes - Alg`ebre lineaire
Objectifs
Cette partie developpe larithmetique des entiers et des polynomes et introduit aux fondements de lalg`ebre
lineaire en dimension nie. Les algorithmes dEuclide (division euclidienne) et de Gauss (methode du pivot) y
ont un r ole central : ils fournissent des demonstrations alternatives constructives des resultats principaux, tels
que le theor`eme de Bezout, le theor`eme du rang, etc.
Il est attendu qu`a lissue de cette partie, les etudiants
sachent appliquer lalgorithme dEuclide `a la determination dun pgcd ou dune relation de Bezout dans
lanneau des entiers ou celui des polynomes `a coecients complexes ;
aient assimile la notion despace vectoriel et les procedes usuels de construction despaces vectoriels ;
connaissent les consequences du theor`eme de la base incompl`ete (denition de la dimension, theor`eme du
rang) ;
sachent representer matriciellement une famille nie de vecteurs ou de formes lineaires et une application
lineaire dans une base donnee et utiliser les formules de changement de bases ;
matrisent le passage de lexpression geometrique dun probl`eme (en termes dapplications lineaires, de sous-
espaces vectoriels, etc.) `a son expression algebrique (en termes dequations lineaires, de matrices, etc.) et vice
versa ;
aient compris les mecanismes de dualite (base / syst`eme de coordonnees, equations cartesiennes /equations
parametriques, etc.) ;
- 6 -
puissent manipuler les permutations et calculer leur signature ;
connaissent la theorie des determinants.
Contenu
0. Vocabulaire relatif aux structures algebriques
Groupe, groupe abelien, morphisme de groupes, sous-groupe, noyau et image dun morphisme de groupes.
Caracterisation de linjectivite dun morphisme.
Anneau, anneau commutatif, anneau int`egre. Corps, corps commutatif.
Espace vectoriel sur R ou C, sous-espace vectoriel, application lineaire, noyau et image dune application
lineaire.
Alg`ebre sur R ou C, alg`ebre avec unite ; morphisme dalg`ebres avec unite.
1. Combinatoire elementaire
Ensemble ni, nombre delements ou cardinal dun ensemble ni. Crit`eres usuels de nitude. Une application
dun ensemble ni dans lui-meme est bijective si et seulement si elle est injective ou surjective.
Sommes ou produits nis ; sommation par paquets ; developpement dun produit de sommes dans un anneau
commutatif. Formule du binome.
Probl`emes de denombrement. Fonction caracteristique dune partie dun ensemble. Cardinal dun produit ni
densembles nis. Cardinal dune reunion nie densembles nis (formule du crible). Nombre dapplications,
dinjections, de bijections dun ensemble ni dans un autre ; nombre de parties, de parties de cardinal donne
dun ensemble ni. Relations usuelles entre coecients binomiaux.
2. Arithmetique dans Z
Relation de divisibilite dans Z. Nombres premiers. Theor`eme dEuclide ; theor`eme fondamental de larithmetique.
Division euclidienne. Plus grand commun diviseur (pgcd), plus petit commun multiple (ppcm) ; entiers pre-
miers entre eux, theor`eme de Bezout, lemmes dEuclide et de Gauss. Algorithme dEuclide.
Numeration decimale, numeration binaire.
3. Polynomes et fractions rationnelles
Alg`ebre K[X] des polynomes `a une indeterminee `a coecients dans le corps Kegal `a R ou C. Degre, coecient
dominant. Integrite de K[X].
Relation de divisibilite dans K[X], polynomes irreductibles, polynomes associes ; lemme dEuclide. Decompo-
sition canonique en produit de facteurs irreductibles.
Division euclidienne. Pgcd, ppcm, polynomes premiers entre eux, theor`eme de Bezout, algorithme dEuclide.
Developpement dun element de K[X] suivant les puissances de X a, avec a K. Derivation dans K[X],
formule de Leibniz ; formule de Taylor.
Fonction polynomiale associee `a un polynome ; isomorphisme entre lalg`ebre des fonctions polynomiales sur
K et K[X].

Equation algebrique ; ordre de multiplicite dune racine (ou dun zero) dun polynome. Polynome scinde ;
relations de Vi`ete entre racines et coecients dun polynome. Theor`eme de dAlembert-Gauss ; elements
irreductibles de C[X] et de R(X).
Interpolation de Lagrange.
Corps K(X) des fractions rationnelles `a coecients dans K; fonction rationnelle associee `a une fraction
rationnelle. Degre, valuation en un point de K dune fraction rationnelle ; zeros, poles. Partie enti`ere, partie
polaire relative `a un pole. Decomposition en elements simples dans K[X].
- 7 -
4. Structure despace vectoriel
Espace vectoriel sur le corps K egal `a R ou C, sous-espace vectoriel, application lineaire. Image directe, image
reciproque dun sous-espace vectoriel par une application lineaire ; noyau, image dune application lineaire.
Isomorphisme.
Produit dune famille non vide despaces vectoriels sur K. Espace vectoriel E
A
des applications dun ensemble
non vide A dans un espace vectoriel E. Sous-espace vectoriel /(E; F) de F
E
; espace vectoriel E

(dual de
E) des formes lineaires sur E.
Application bilineaire. Bilinearite de la composition /(E; F) /(F, G) /(E, G), (f, g) g f. Alg`ebre
/(E) des endomorphismes de E.
Intersection, somme dune famille non vide de sous-espaces vectoriels de E. Famille de sous-espaces vectoriels
en somme directe. Sous-espaces supplementaires, projecteurs ; famille de projecteurs canoniquement associee
`a une decomposition en somme directe nie. Droite, hyperplan.
Combinaison lineaire, sous-espace vectoriel engendre par une partie dun espace vectoriel. Partie ou famille
generatrice, libre (famille delements lineairement independants). Base, coordonnees dans une base.
5. Theorie de la dimension nie
Espace vectoriel de dimension nie, cest-`a-dire niment engendre ; theor`eme de la base incompl`ete, existence
dune base, denition de la dimension ; si E est un K-espace vectoriel de dimension d, `a toute base de E est
canoniquement associe un isomorphisme de E sur K
d
.
Dimension dun sous-espace vectoriel ou ane dun espace vectoriel de dimension nie. Rang dune famille
de vecteurs de rang ni. Caracterisation dune base en dimension nie. Caracterisation dun syst`eme de
coordonnees, base duale.
Dimension dun produit ni despaces vectoriels de dimension nie ; caracterisation par la dimension dune
somme directe nie de sous-espaces vectoriels de dimension nie. Sous-espace vectoriel de codimension nie,
existence dun supplementaire. Rang dune application lineaire de rang ni ; theor`eme du rang : le rang dune
application lineaire est egal `a la codimension de son noyau. Dimension de la somme de deux sous-espaces
vectoriels de dimension nie.
6. Calcul matriciel
Espace vectoriel /
n,p
(K) des matrices `a n lignes et p colonnes `a coecients dans K, base canonique de
/
n,p
(K). Multiplication des matrices, proprietes de bilinearite et dassociativite. Alg`ebre /
n
(K) des matrices
carrees `a n lignes `a coecients dans K; groupe lineaire GL
n
(K) ; sous-alg`ebre des matrices diagonales, des
matrices triangulaires superieures.
Matrice dun vecteur ou dune famille nie de vecteurs dun espace vectoriel E (de dimension nie) dans une
base de E ; matrice dune forme lineaire ou dune famille nie de formes lineaires sur E dans une base de E ;
matrice dune application lineaire de E dans F dans des bases de E et F. Calcul de limage dun vecteur par
une application lineaire, de la composee de deux applications lineaires. Isomorphisme canonique de /(K
p
, K
n
)
sur /
n,p
(K).
Matrice de passage dune base `a une autre ; formules de changement de bases. Matrices carrees semblables.
Trace dune matrice carree, trace dun endomorphisme.
Matrices equivalentes ; caracterisation des classes de matrices equivalentes par le rang.
Interpretation des operations elementaires sur les lignes dune matrice dune famille de vecteurs dans une base
donnee en termes de changement de syst`eme de coordonnees (de base) ; interpretation duale des operations
elementaires sur les colonnes.
7. Determinants
Groupe symetrique S
n
. Decomposition dune permutation en produit de cycles disjoints, de transpositions ;
generation de S
n
par les transpositions. Existence dun unique morphisme de groupes non trivial de S
n
dans
1, 1 ; exemples de calcul de la signature. Sous-groupe alterne A
n
.
Determinant det : /
n
(K) K, existence et caracterisation du determinant ; formule de developpement ;
developpement suivant une ligne ou une colonne. Multiplicativite du determinant, invariance par transposition
des matrices, par similitude. Determinant dune matrice triangulaire par blocs. Sous-groupe special lineaire
SL
n
(K).
Determinant de Vandermonde. Exemples de calculs de determinants.
- 8 -
Comatrice ComM dune matrice M dans /
n
(K) ; formule M(
t
ComM) = (
t
ComM)M = (det M)I
n
. For-
mules de Cramer.
Droite des formes n-lineaires alternees sur un espace vectoriel de dimension n. Determinant dune famille de n
vecteurs dans une base dun espace vectoriel de dimension n. Determinant dun endomorphisme. Interpretation
geometrique. Caracterisation des bases, des automorphismes.
Orientation dun espace vectoriel reel de dimension nie.
8. Geometrie euclidienne dans R
2
et dans R
3
Caracterisations dune isometrie lineaire (ou automorphisme orthogonal) de R
n
. Groupe orthogonal O(n),
groupe orthogonal special SO(n). Determinant (note Det) dune famille de n vecteurs de R
n
calcule dans une
base orthonormale.
Toute isometrie de R
n
est une transformation ane. Expression dune isometrie de R
n
comme composee de
reexions. Deplacements.
Rotations et reexions lineaires de R
2
; morphisme de groupe canonique de R sur SO(2).
Tout deplacement de R
2
est soit une translation, soit une rotation ane. Composition des rotations anes.
Rotations, symetries orthogonales, reexions lineaires. Rotation r
e,
daxe porte et oriente par e et dangle
oriente ; interpretation geometrique de la formule de Rodrigues r
e,
= id
R
3 + (sin )a
e
+ (1 cos )a
2
e
o` u a
e
est lendomorphisme v e v de R
3
; theor`eme dEuler, determination de laxe et de langle orientes dune
rotation donnee par sa matrice dans la base canonique. Classication des rotations et des anti-rotations.
Tout deplacement de R
3
est soit une translation, soit une rotation ane, soit un vissage.
- 9 -