Université A.

MIRA, Béjaïa Année universitaire 2005-2006

Faculté des Sciences & Sciences de l’Ingénieur
Département de Génie–Civil, 4ème Année.
Module d'Elasticité

EXAMEN DE RATTRAPAGE
(Durée 02H00)

Problème N°1 (10 pts)

Un solide de module d’élasticité E = 250 KN/mm2 et de coefficient de Poisson ν = 0.2 est soumis à un
état de contraintes uniforme dont les composantes cartésiennes sont :

⎡ −4 2 − 2⎤
⎢ ⎥
σ =⎢ 2 −1 3⎥ ( N/mm2 )
⎢− 2 3 −1 ⎥
⎣ ⎦

1) Déterminer les contraintes principales.

2) Déterminer les directions principales normalisées.
3) Ecrire la matrice C des cosinus directeurs des axes principaux.
4) Calculer la contrainte moyenne normale et la contrainte tangentielle maximale
5) Vérifier les invariants des contraintes I1 et I3.
6) Calculer le tenseur des déformations ε
7) Vérifier à l’aide de la matrice C que ε possède les mêmes directions principales que σ
8) Calculer la variation relative de volume ΔV/V

Problème N°2 (10 pts)

Une poutre sur deux appuis a une longueur 2L, une hauteur 2h et une largeur unité. Elle est soumise à
un chargement w uniformément reparti sur la longueur tel que montré sur la figure ci-dessous :
w ( N/ mℓ )

x,u
2h

y,v
2L

1) Montrer que la fonction φ suivante est une fonction de contraintes (biharmonique)

w ⎡⎛ y ⎞⎤
3
⎞ ⎛y ⎞ ⎛ 1 2
φ= ⎢⎜ 3 − 2 ⎟x 2 + ⎜ ⎟ ⎜ L 2 − x 2 + y 2 − h 2 ⎟⎥
8 ⎢⎝ h ⎠ ⎝h ⎠ ⎝ 5 5 ⎠⎥⎦
⎣
2) Montrer que les contraintes suivantes dérivent de φ et vérifient les conditions aux limites du
problème. Donner l’expression et l’interprétation de I.

σ xx =
w 2
2I
( )w ⎛1 1 ⎞
L − x 2 y + ⎜ y 3 − h 2 y ⎟ ; σ yy =
I ⎝3
−w ⎛ 1 3 2 3
2I ⎝ 3
2 ⎞
⎜ y + h − h y ⎟ et τ xy = (
−wx 2
2I
h −y2 )
5 ⎠ 3 ⎠
3) Tracer l’allure des distributions des contraintes sur les sections de la poutre à mi-travée et aux
appuis (tracer séparément les deux termes de la contrainte axiale σxx)
4) Commenter, par rapport à la théorie de la résistance des matériaux, l’expression de σxx.
5) Si E est le module de Young de la poutre et ν son coefficient de Poisson, calculer les
déformations εxx, εyy, εxy.
6) Trouver le champ des déplacements u et v de la poutre et commenter les expressions obtenues.

Bon courage, A. Seghir

Solution du problème N°1

1) Contraintes principales

−4−λ 2 − 2
det(σ − λI ) = 0 ; 2 −1 − λ 3 =0
− 2 3 −1 − λ

[ ] [ ]
(−4 − λ ) (1 + λ) 2 − 9 − 2 − 2 (1 + λ ) + 3 2 − 2 − 2 (1 + λ) + 3 2 = 0 [ ]
⎧λ = +2
[ 2
]
(λ − 2 ) (λ + 4) − 4 = 0
⎪
soit ⎨λ = −2
⎪λ = −6
⎩
on prend : σ1 = 2 N/mm2 ; σ 2 = −2 N/mm2 et σ 3 = −6 N/mm2

2) Directions principales

a) direction X1 correspondant à σ1 :

⎡− 4 − 2 2 − 2 ⎤ ⎧n1 ⎫
⎢ ⎥⎪ ⎪
⎢ 2 −1 − 2 3⎥ ⎨n 2 ⎬ = 0 : donne un système trivial, X1 = X2 ∧ X3
⎢ − 2 3 − 1 − 2⎥ ⎪⎩n 3 ⎪⎭
⎣ ⎦

⎡− 4 + 2 2 − 2 ⎤ ⎧n1 ⎫
⎢ ⎥⎪ ⎪
b) direction X2 correspondant à σ2 : ⎢ 2 −1 + 2 3⎥ ⎨n 2 ⎬ = 0
⎢ − 2 3 − 1 + 2⎥ ⎪⎩n 3 ⎪⎭
⎣ ⎦

⎧ 1 ⎫
1 1
⎪⎪ 2 ⎪⎪
Pour n1 = 1 , n 2 = et n 3 = − , La normalisation donne X 2 = ⎨ 12 ⎬
2 2
⎪− 1 ⎪
⎪⎩ 2 ⎪⎭

⎡− 4 + 6 2 − 2 ⎤ ⎧n 1 ⎫
⎢ ⎥⎪ ⎪
c) direction X3 correspondant à σ3 : ⎢ 2 −1 + 6 3⎥ ⎨n 2 ⎬ = 0
⎢ − 2 3 − 1 + 6⎥ ⎪⎩n 3 ⎪⎭
⎣ ⎦

⎧ 1 ⎫
⎪⎪ ⎪⎪
2
Pour n1 = 1 , n2 = − 1
et n 3 = 1
, La normalisation donne X 3 = ⎨− 12 ⎬
2 2
⎪ 1⎪
⎪⎩ 2 ⎪⎭

⎧ ⎫
e1 e2 e3 ⎪⎪ 0⎪⎪
X1 = X 2 ∧ X 3 = 1 1 − 12 = ⎨− 1 ⎬
2 2 2
1 ⎪ 1 ⎪
− 12 1
2 ⎪⎩− 2 ⎪⎭
2

Une rotation de π de chacun des trois vecteurs est aussi une direction principale

⎡ 0 − 1 − 1 ⎤
⎢ 2 2 ⎥
3) Matrice C des cosinus directeurs des directions principales : C = ⎢ 1 1
2
− 12 ⎥
⎢ 2 ⎥
⎢ 12 − 12 1
⎥
⎣ 2 ⎦
4) Contraintes moyenne normale : σ m = 13 (σ11 + σ 22 + σ 33 ) = 13 (σ1 + σ 2 + σ 3 ) = −2N / mm 2

Contrainte tangentielle maximale : τ max = ± 12 (σ1 − σ 3 ) = ± 4N / mm 2

5) Invariants :
I 1 = (σ11 + σ 22 + σ 33 ) = (σ1 + σ 2 + σ 3 ) = −6

I 3 = det(σ) = (σ1σ 2 σ 3 ) = −24

6) Le tenseur des déformations

⎡− 0.1440 0.0679 − 0.0679⎤
ε= 1+ ν
E
σ− ν
E
Trace (σ)I ; ε = ⎢⎢ 0.0679 0 0.1440 ⎥⎥ 10 −4
⎢⎣ − 0.0679 0.1440 0⎥⎦

7) C diagonalise ε
⎡0.144 0 0⎤
C εC T ⎢
=⎢ 0 − 0.048 0⎥⎥ 10 −4 est une matrice diagonale
⎢⎣ 0 0 − 0.24⎥⎦

Les déformations principales sont : ε1 = 0.144×10−4 ; ε2 = −0.048×10−4 ; ε3 = −0.24×10−4 ;

ΔV
8) La variation relative de volume = Trace (ε) = ε1 + ε 2 + ε 3 = −0.144 × 10 −4
V

Solution du problème N°2

∂ 4φ ∂ 4φ ∂ 4φ
1) La fonction φ est biharmonique si ΔΔφ = +2 + =0
∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4

Dérivées par rapport à x

∂φ w ⎛⎜ ⎛ y ⎞ w ⎛⎜ y ⎞
3 3
⎞ ⎛y ⎞ ⎟ ; ∂ 2φ ⎛y ⎞ ⎟ ; ∂ 3φ ∂ 4φ
= ⎜ 3 − 2 ⎟x − 2x ⎜ ⎟ = 3 −2−⎜ ⎟ = =0
⎜
∂x 4 ⎝ h ⎠ ⎝h ⎠ ⎟ ∂x 2 4 ⎜ h ⎝h ⎠ ⎟ ∂x 3 ∂x 4
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Dérivées par rapport à y

∂φ w ⎛⎜ 3x 2 2 y 4 3y 2 ⎛ 2
=
⎜
+
1 2 ⎞⎞
+ 3 ⎜L − x 2 + y 2 − h 2 ⎟⎟ ;
∂ 2φ
=
wy ⎛ 1 2 3 2 2
⎜ y − L −x − (
3 2⎞
h ⎟ ; )
∂y 8 ⎝ h 5h 3
h ⎝ 5 5 ⎠ ⎟⎠ ∂y 2 3 2
h ⎝ 4 10 ⎠

∂ 3φ
3
=
w ⎛3 2 3 2
3 2
2
⎜ y − L −x −
3 2⎞
h ⎟ ; ( ) ∂ 4φ
4
=
wy
∂y h ⎝ 4 10 ⎠ ∂y h3

Dérivées par rapport à mixtes

3 w ⎛⎜ ⎛ y ⎞ ⎞⎟
2
∂ 2 φ 3 wx 2
=
∂x∂y 4 h 3
h −y2 ; ( ) ∂ 3φ
2
=−
3 wxy
2 h3
;
∂ 3φ
2
= 1− ⎜ ⎟
4 h ⎜ ⎝h ⎠ ⎟
;
∂ 4φ
2 2
=−
3 wy
2 h3
∂x∂y ∂x ∂y ⎝ ⎠ ∂x ∂y

∂ 4φ ∂ 4φ ∂ 4φ
Somme : ΔΔφ = +2 + =0
∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4

∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ 2 3
2) σ xx = ; σ yy = ; τ xx = − donne : I = h moment d’inertie de la poutre
∂y 2
∂x 2 ∂x∂y 3
3) Allure des contraintes
σxx à mi-travée (x = 0)

wL2 w ⎛ y 3 h 2 y ⎞⎟
σ xx = y+ ⎜ −
2I I ⎜⎝ 3 5 ⎟⎠

es une somme d’une fonction linéaire en y et d’une fonction cubique en y

σxx au appuis (x = ± L)

w ⎛⎜ y 3 h 2 y ⎞⎟
σ xx = −
I ⎜⎝ 3 5 ⎟⎠

reste uniquement la fonction cubique

−w ⎛ 1 3 2 3 2 ⎞
σ yy = ⎜ y + h −h y ⎟
2I ⎝ 3 3 ⎠
est une fonction cubique de y et constante par rapport à x

τxy = 0 à mi-travée (x = 0)

au niveau des appuis(x = ± L) : τ xy =

±wL 2
2I
h −y2 ( )
est une fonction parabolique en y et linéaire par rapport à x

4) interprétation par rapport à la RDM :

- le 1er terme de σxx est la contrainte de flexion qu’on obtient par la théorie de flexion des poutres
My
avec hypothèse de Bernoulli : σ xx =
I
- Le 2nd terme correspond à une correction qui est du à l’effet de σyy .

5) Les déformations :
1 ν 1 ν 1+ ν
ε xx = σ xx − σ yy ; ε yy = σ yy − σ xx ; ε xy = τ xy
E E E E E

ε xx =
w
2EI
(
L2 − x 2 y +
w
I
) ( 1
3
)
y 3 − 15 h 2 y −
−ν w
2EI
( 1
3
y 3 + 32 h 3 − h 2 y ; )
ε yy =
−w
2EI
( 1
3
y 3 + 33 h 3 − h 2 y − ) νw 2
2EI
(
L −x2 y +
w
I
) (
1
3
y 3 − 15 h 2 y )
ε xy =
−wx (1 + ν) 2
2EI
h −y2 ( )

6) Le champs des déplacements

∫
u = ε xx dx =
w
2EI
[(
L 2 x − 13 x 3 y + ) ( 2
3
y 3 − 52 h 2 y x + νx ) ( 1
3
)]
y 3 − h 3 y + 32 h 3 + u 0 (y )

∫
v = ε yy dy = −
w
2EI
[1
12
( )
y 4 − 12 h 2 y 2 + 32 h 3 y + 12 ν L 2 − x 2 y 2 + 16 νy 4 − 15 νh 2 y + v 0 (x ) ]
 ∂u ∂v
La déformation angulaire : 2ε xy = +
∂y ∂x

Donne :
w
2EI
[ ]
L 2 x − 13 x 3 − 52 xh 2 − νxh 2 + u 0′ (y ) + v 0′ (x ) = −
w (1 + ν) 2
EI
h x

On sépare les termes fonction de x uniquement et les termes fonction de y uniquement et on obtient

F (x ) =
w
2EI
[ ]
L 2 x − 13 x 3 − 52 xh 2 − νxh 2 +
w (1 + ν) 2
EI
h x + v 0′ (x )

G (y ) = u 0′ (y )

La somme F (x ) + G (y ) = 0 n’est valable ∀x et ∀y que si les deux fonctions sont égales à la même
constante avec signes opposés : F (x ) = A et G (y ) = − A

Ce qui donne :
u 0 (y ) = − Ay + B

w ⎡ 2 x 2 x 4 x 2h 2 x 2h 2 ⎤
v 0 (x ) = − ⎢L − − −ν + (1 + ν)x 2h 2 ⎥ + Ax + C
2EI ⎢⎣ 2 12 5 2 ⎥⎦

La condition de symétrie du déplacement vertical donne le maximum à mi-travée :

∂v
(x = 0, y = 0) = 0 donne A = 0
∂x
à l’origine les déplacement longitudinale est nul et le déplacement vertical est la flèche de la poutre
u (x = 0, y = 0) = 0 ; B =0

v (x = 0, y = 0) = δ ; C =δ

Au niveau des appuis à x = ± L le déplacement vertical est nul (la flèche est nulle)
v (x = ±L , y = 0) = 0

5 wL4 ⎡ 12h 2 ⎛ 4 ν ⎞⎤
Ce qui donne la flèche : C = δ = ⎢1 + ⎜ + ⎟⎥
24 EI ⎢⎣ 5L 2 ⎝ 5 2 ⎠⎥⎦

Par rapport à la RDM le premier terme est du à la flexion et le reste est une correction due au
cisaillement et à la compression axiale