Memoire Final

‫الجمهىريت الجسائريت الديمقراطيت الشعبيت‬
‫وزارة التـعليم العالي والبحث العلمي‬

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Mémoire de Master
Présenté à l’Université 08 Mai 1945 de Guelma

Faculté des Sciences et de la Technologie
Département de : Génie Civil & Hydraulique
Spécialité : Génie Civil
Option : VOIES ET OUVRAGES D’ART
Présenté par : TADJINE TARIQ ET HANANI RAMZI
Thème :
MODÉLISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS D’UNE
DALLE BIAISE ET VALIDATION DU MODÈLE
Sous la direction de : HIMEUR MOHAMMED
Juin 2017
REMERCIEMENTS
Louange à ALLAH (que son Nom soit glorifié) qui nous a guidé, et sans lui nous n’aurions
jamais été sur la bonne voie.
Nous remercions nos très chers parents pour leurs soutiens et leurs patiences.
Nous exprimons toute notre gratitude à Dr HIMEUR MOHAMMED pour son encadrement
exceptionnel, à sa confiance, à son soutien incessant et à son encouragement permanent.
L’aboutissement de ce travail doit beaucoup à sa confiance, à son soutien incessant et à son

encouragement permanent.
Nous tenons également à remercier l’ensemble des enseignants de l’université 8 Mai 1945
pour tous les enseignements qu’ils nous ont prodigués durant les cinq ans de notre formation.
Nous remercions les membres de jury qui nous font l’honneur de présider et d’examiner ce
modeste travail.
A tous ceux qui nous ont aidé de près ou de loin dans la réalisation de ce projet de fin d’étude.
i
DÉDICACES
Je dédie ce travail A mon père, à ma mère, pour leur affection, leur soutien et pour tous les
sacrifices qu'ils ont consenti à mes côtés afin d'assurer notre éducation. Trouvez en ce
mémoire l'expression de ma haute reconnaissance.
A mon frère et mes sœurs, à mon oncle, à mes proches qui j’aime, pour avoir toujours été à
mes côtés. Je vous porte tous dans mon cœur.
A mes amis
A mon ami : Hanani Ramzi
A tous mes enseignants qui ont contribué à ma formation.
Tadjine Tariq
ii
DÉDICACES
Au nom d’Allah, le Tout Miséricordieux, tout d’abord je tiens à remercier le Tout

Puissant de m’avoir donné le courage et la patience pour arriver à ce stade afin de
réaliser ce travail que je dédie à:
A mes très chers parents.
A mes frères
A toute la famille
A mon ami : Tadjine Tariq
A tous mes camarades de promotion. Et toute personne que je connais.
Hanani Ramzi
iii
Résumé
Les dalles biaises sont des structures qui sont souvent rencontrées dans les
infrastructures techniques (Ouvrages d’art, Pont, Construction, etc...).
La particularité de ce type de structure, liée surtout à la distorsion géométrique de sa

forme (généralement de forme biaise) pose une problématique traduite en terme
d’analyse et de dimensionnement.
Ce travail a pour objectif une contribution pour apporter quelques réponses à cette
problématique.
Pour ce faire, Ce travail consiste en la modélisation par éléments finis d’une dalle
biaise et sa validation avec d’autres méthodes analytiques.
Pour cela nous avons analysé, dans ce travail, une structure en dalle biaise par deux
principales méthodes : La méthode de Guyon-Massonnet et celle des éléments finis.
Comme nous avons comparé les résultats obtenus avec la solution exacte donnée par
[RAZ.73].
Les résultats obtenus sont concluants et montrent que la méthode des éléments finis
est plus appropriée pour l’analyse des dalles biaises.
iv
Abstract
Biased slabs are structures that are often encountered in technical infrastructures
(Structures, Bridge, Construction, etc. ...).
The particularity of this type of structure, linked above all to the geometrical
distortion of its shape (generally of biased form) poses a problematic translated in
terms of analysis and dimensioning.
The aim of this work is to provide some answers to this problem.
This work consists in the finite element modeling of a biased slab and its validation
with other analytical methods.
In this work, we have analyzed a biased slab structure using two main methods: the
Guyon-Massonnet method and the finite element method. As we have compared the
results obtained with the exact solution given by [RAZ.73].
The results obtained are conclusive and show that the finite element method is more
suitable for the analysis of biased slabs.
v
‫خالصة‬
‫ألْاح الوتح٘زة ُٖ الِ٘اكل التٖ كث٘زا ها ًْاجَ فٖ البٌ٘ت التحت٘ت التقٌ٘ت (الِ٘اكل‪ ،‬جسز‪ ،‬بٌاء‪ ،‬الخ ‪.)...‬‬
‫خصْص٘ت ُذا الٌْع هي الِ٘كل‪ّ ،‬خاصت ف٘وا ٗتعلق التشَْٗ الٌِدسٖ هي شكلَ (عادة ٗشٍْ شكل) تشكل هشكلت‬
‫هتزجوت هي ح٘ث التحل٘ل ّالتصو٘ن‪.‬‬
‫ِّٗدف ُذا العول إلٔ الوساُوت فٖ تقدٗن بعض اإلجاباث لِذٍ الوشكلت‪.‬‬
‫للق٘ام بذلك البحث ُْ الٌوذجت عٌصز هحدّد هي لْح االًحزاف ّالتحقق هع األسال٘ب التحل٘ل٘ت األخزٓ‪.‬‬
‫لِذا قوٌا بتحل٘ل فٖ ُذا العول‪ ،‬بٌ٘ت لْح هائل بْاسطت طزٗقت٘ي رئ٘س٘ت٘ي‪ :‬طزٗقت ّالعٌاصز الوحدّدة‪ًّ .‬حي‬
‫[‬ ‫هقارًت الٌتائج هع الحل الدق٘ق الذٕ قدهَ]‬
‫الٌتائج قاطعت ّتش٘ز إلٔ أى طزٗقت العٌاصز الوحدّدة ُْ أكثز هالءهت لتحل٘ل ألْاح هتح٘زة‪.‬‬
‫‪vi‬‬
SOMMAIRE
SOMMAIRE
- LISTE DES FIGURES.
- LISTE DES TABLEAUX.
- NOTATION.
CHAPITRE I : INTRODUCTION GENERALE
I.1 – Cadre de la recherche: ........................................................................................................ 1
I.2 – Problématique et objectifs : ............................................................................................... 1
I.3 – Plan de la thèse : ................................................................................................................ 2
CHAPITRE II : NOTIONS GENERALES SUR LES OUVRAGES D’ART
II.1– GÉNÉRALITÉ SUR LES OUVRAGES D’ART : .......................................................... 3
II.1.1 – introduction : ........................................................................................................... 3
II.1.2 – Buses et Dalots :...................................................................................................... 3
II.1.3 – Tunnels :.................................................................................................................. 5
II.1.3.1 –Tunnels montagneux : ...................................................................................... 5
II.1.3.2 –Tunnels sous les eaux (rivière ou mer) : .......................................................... 5
II.1.3.3 –Tunnels sous les routes : .................................................................................. 6
II .1.4 – les Ponts : ............................................................................................................... 6
II.1.4.1 –Définition : ....................................................................................................... 6
II.1.4.2 – Elément principaux d’un pont :....................................................................... 6
II.1.4.3 – Quelque exemples de ponts : .......................................................................... 8
II.2 – CLASSIFICATION DES PONTS : .............................................................................. 10
II.2.1 – Selon le matériau principal : ................................................................................. 10
II.2.2 – Selon la nature de la voie portée : ......................................................................... 11
II.2.3 – Selon leur fonctionnement mécanique : ............................................................... 12
vii
SOMMAIRE
II.2.3.1 – Les ponts à poutres : ..................................................................................... 12
II.2.3.2 – Les ponts en arc : .......................................................................................... 13
II.2.3.3 – Les ponts à câbles : ....................................................................................... 14
II .3 – LES PONTS : ................................................................................................................ 17
II.3.1 – Les ponts caissons : ............................................................................................... 17
II.3.1.1 – Conception générale des ouvrages mixtes en caisson : ................................ 17
II.3.1.1.1 – Généralités : ..................................................................................... 17
II.3.1.1.2 – Morphologie transversale : .............................................................. 18
II.3.2 – Ponts – dalle : ........................................................................................................ 20
II.3.2.1 – Présentation de la structure : ........................................................................ 20
II.3.2.1.1 – Morphologie:.................................................................................... 20
II.3.2.1.2 – Domaine d’emploi : ......................................................................... 21
II.3.2.1.3 – Avantages ponts-dalles dans le cadre de leur domaine d’emploi : .. 24
II.3.2.2 – Conception : .................................................................................................. 24
II.3.2.2.1 – Profil longitudinal-élévation-coupe longitudinale : ......................... 25
II.3.2.2.2 – Coupe transversale : ......................................................................... 26
II.3.2.2.3 – Biais et courbure en plan : ............................................................... 28
II.3.2.2.4 – appuis-appareils d’appui : ................................................................ 29
CHAPITRE III : QUELQUES METHODES DE CALCUL DES DALLES
III.1– MÉTHODE DE GUYON-MASSONNET : ................................................................. 31
III.1.1 – introduction :........................................................................................................ 31
III.1.2 – paramètres fondamentaux: ................................................................................... 31
III.1.3 – les deux paramètres fondamentaux (paramètres sans dimension) : ..................... 33
III.1.3.1 – paramètre d'entretoisement θ : ..................................................................... 33
viii
SOMMAIRE
III.1.3.2 – paramètre de torsion α: ................................................................................ 33
III .1.4 – Méthode des coefficients de répartition : ........................................................... 34
III.1.5 – le coefficient de répartition transversale :........................................................... 35
III.1.6 – Calcul des efforts : .............................................................................................. 36
III.1.7 – Calcul des moments fléchissant longitudinaux (dans les poutres): ..................... 37
III.1.8 – Calcul des moments fléchissant transversaux (dans les entretoises) : ................. 37
III.1.9 – Calcul du moment de torsion dans le grillage : ................................................... 38
III.1.10 – Utilisation pratique de la méthode de Guyon- Massonnet : .............................. 39
III.2– Application de la Méthode de Guyon – Massonnet pour une dalle biaise : ................... 40
III.2.1 – Principes : ........................................................................................................... 40
III.2.1.1 – Méthode directe des flèches : ...................................................................... 40
III.2.1.2 – Méthode indirecte des flèches à partir des moments : ................................. 40
III.2.1.3 – Méthode des moments pour des structures d’inertie variable : ................... 41
III.2.2 – Introduction simplifiée du biais : ......................................................................... 41
III.2.2.1 – Flexion longitudinale : ................................................................................ 42
III.2.2.2 – Flexion transversale : .................................................................................. 42
III.3– METHODE DES LIGNES DE RUPTURE : ................................................................. 43
III.3.1 – Principes : ........................................................................................................... 43
III.3.2 – Hypothèses concernant les lignes de rupture :..................................................... 43
III.3.3 – Notations concernant les conditions d’appuis : .................................................. 44
III.3.4 – Détermination des moments : ............................................................................. 44
III.3.4.1 – Travail des forces intérieures :.................................................................... 45
III.3.4.2 – Travail des forces extérieures : .................................................................... 45
III.3.4.3 – Détermination du schéma rupture privilégié : ............................................. 45
III.3.5 – Méthode pratique de résolution du problème : .................................................... 45
ix
SOMMAIRE
III.3.5.1 – Méthode pour les lignes de rupture biaises : ............................................... 45
III.3.6 – Application au cas d’une dalle sur deux appuis uniformément chargée : .......... 47
CHAPITRE IV : MODDELISATION DES DALLES BIAISES PAR ELEMENTS

FINIS
IV.1– THEORIE DES PLAQUES : ....................................................................................... 49
IV.1.1 – Définition d'une plaque : ..................................................................................... 49
IV.1.2 – Définitions et notations générales: ...................................................................... 49
IV.1.3 – Domaine d’utilisation : ....................................................................................... 50
IV.1.4 – Flexion des plaques : .......................................................................................... 51
IV.1.4.1 – Définitions: ................................................................................................... 51
IV.1.4.2 – Champ de déplacements : modèle de Reissner /Mindlin : ........................... 51
IV.1.4.3 – Déformations et contraintes : ....................................................................... 52
IV.1.4.4 – Forces et moments résultants : ..................................................................... 53
IV.1.4.5 – Energie de déformation et énergie cinétique : ............................................. 54
IV.1.4.6 – Equations d’équilibre : ................................................................................. 54
IV.1.4.7– Flexion des plaques minces : Modèle de Kirchhoff :.................................... 55
IV.2 – MODÉLISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS : ............................................................ 57
IV.2.1 – Construction de l’approximation nodale sur un élément : ................................. 57
IV.2.1.1 – Définition du type d’Elément : ..................................................................... 57
IV.2.1.2 – Formulation mathématique : ........................................................................ 58
IV.2.2 – Calcul de la matrice de rigidité élémentaire et du vecteur des charges nodales

équivalentes : ....................................................................................................................... 61
IV.2.3 – Assemblage: ........................................................................................................ 62
IV.2.4 – Prise en compte des conditions aux limites et résolution : .................................. 62
IV.2.5 – Évaluation des grandeurs élémentaires : ............................................................. 63
x
SOMMAIRE
IV.3 – APPLICATION A UN ÉLÉMENTS FLEXIONNEL DE PLAQUE MINCE: ............ 63
IV.3.1– Caractéristique: .................................................................................................... 63
IV.3.2 – Cinématique: ....................................................................................................... 64
IV.3.3 – Condition de compatibilité cinématique : .......................................................... 65
IV.3.4 – Loi de comportement : ....................................................................................... 65
IV.3.5 – Equation d’équilibre : ......................................................................................... 65
IV.3.6 – Fonction d’interpolation : .................................................................................... 66
IV.3.7 – Matrrice de rigidité élémentaire : ........................................................................ 67
CHAPITRE V : VALIDATION NUMERIQUE
V.1– APPLICATION DE LA MÉTHODE DE GUYON-MASSONNET : ............................ 69
V.1.1 – Exemple de calcul des CRT pour la dalle avec un biais de 60°: .......................... 69
V.1.2 – Exemple de calcul des CRT pour la dalle avec un biais de 40°: .......................... 78
V.2 – APPLICATION DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS : ................................. 88
V.2.1 – Exemple de la dalle avec un biais de 60°: ............................................................ 88
V.2.2 – Exemple de la dalle avec un biais de 40°:: ........................................................... 90
V.2.3 – Analyse et discutions des résultats : .................................................................... 92
CONCLUSION GENERALE
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
ANNEXES
xi
LISTE DES FIGURES
LISTE DES FIGURES :
CHAPITRE II : NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES OUVRAGES D’ART
Figure II.1 : exemple d’une buse circulaire ..............................................................................3

Figure II.2 : Buse rigide en béton armé ....................................................................................3
Figure II.3 : buse métallique .....................................................................................................4
Figure II.4 : exemple d’une buse ovoïde et forme des tôles .....................................................4
Figure II.5 : schéma d’un dalot .................................................................................................4
Figure II.6 : dalot préfabriqué prés pour être installés ..............................................................4
Figure II.7 : schéma d’un dalot triple........................................................................................4
Figure II.8 : entré du tunnel au cours de construction ..............................................................5
Figure II.9 : vu à l’intérieur du tunnel.......................................................................................5
Figure II.10 : tunnel ferroviaire ..................................................................................................5
Figure II.11 : Tunnel sous les eaux .............................................................................................6
Figure II.12 : Tunnel échangeur..................................................................................................6
Figure II.13 : Vue longitudinale d’un pont type .........................................................................6
Figure II.14 : pont sur l’autoroute ...............................................................................................6
Figure II.15 : Tête des pieux en cours de recépage et Fondations superficielles du pont ..........7
Figure II.16 : appuis du pont .......................................................................................................7
Figure II.17 : Tablier d’un pont a poutre ....................................................................................7
Figure II.18 : Appareil d’appui en élastomère fretté et Appareil d’appui sous une
poutre .........................................................................................................................................8
Figure II.19 : vue longitudinale d’un pont à trois travées ...........................................................8
Figure II.20 : Section transversale d’un pont à poutre ................................................................9
Figure II.21 : vue dessous d’un tablier D’un pont à poutres et section transversale
D’un pont à poutres ..................................................................................................................9
Figure II.22 : section transversale d’un pont dalle et vue de dessous d’un pont dalle................9
Figure II.23 : Les ponts en bois du plus simple arbre ...............................................................10
Figure II.24 : Pont à béquilles ..................................................................................................10
Figure II.25 : Les ponts en dalle ...............................................................................................10
Figure II.26 : Les ponts en voûte ..............................................................................................10
Figure II.27 : Les ponts en arc ..................................................................................................11
Figure II.28 : Les ponts en treillis .............................................................................................11
Figure II.29 : Les en dalle ............................................................... Erreur ! Signet non défini.
Figure II.30 : Les ponts en poutre à voussoir............................................................................11
Figure II.31 : Quelques exemples des ponts. ............................................................................12
Figure II.32 : pont en poutre-caisson ........................................................................................13
Figure II.33 : Pont poutre en treillis ............................................... Erreur ! Signet non défini.
Figure II.34 : Pont poutre à âme plein ......................................................................................13
Figure II.35 : Représentation schématique d'un arc à tablier supérieur ...................................13
Figure II.36 : Pont grande-duchesse charlotte (luxembourg1965) ...........................................14
xii
LISTE DES FIGURES
Figure II.37 : virucide Martigues (france1972) ........................................................................14

Figure II.38 : Ponts suspendus du tablier sur un câble porteur ....... Erreur ! Signet non défini.
Figure II.39 : Pont de sidi m'cid Constantine(1908) ....................... Erreur ! Signet non défini.
Figure II.40 : Forme de suspension Les ponts suspendus .........................................................15
Figure II.41 : Pont à haubans ....................................................................................................16
Figure II.42 : Différents types de pylônes pour un pont ...........................................................16
Figure II.43 : forme de ponts caisson........................................................................................17
Figure II.44 : Les ponts caisson ................................................................................................17
Figure II.45 : Caisson simple ouvert .........................................................................................18
Figure II.46 : Caisson simple fermé ..........................................................................................18
Figure II.47 : Caisson à pièces de pont avec console ...............................................................19
Figure II.48 : Caisson à pièces de pont sans console ................................................................19
Figure II.49 : Caisson à pièces de pont et bracons ....................................................................19
Figure II.50 : Ouvrages à deux caissons ...................................................................................19
Figure II.51 : Structure générale d'un pont ...............................................................................20
Figure II.52 : comportant deux chaussées séparées par un vide central ...................................20
Figure II.53 : Vue en plan .........................................................................................................21
Figure II.54 : Travée unique sur culées massives .....................................................................22
Figure II.55 : Tabliers à deux travées ......................................................................................22
Figure II.56 : Tabliers à trois travées .......................................................................................22
Figure II.57 : Tabliers à quatre travées ....................................................................................23
Figure II.58 : Cas d'un ouvrage à quatre travées bien équilibrées ............................................25
Figure II.59 : Déformation et modification des réactions d'appuis consécutives à un
ensoleillement ...........................................................................................................................28
Figure II.60 : Pont - biais ..........................................................................................................29
CHAPITRE III : QUELQUES MÉTHODES DE CALCUL DES DALLES
Figure III.1 : Modèle du tablier de pont d'après Guyon-Massonnet .........................................31

Figure III.2 : La charge sinusoïdale. .........................................................................................35
Figure III.3 : Ensemble des charges sinusoïdal ........................................................................37
Figure III.4 : chargement d’entretoise .....................................................................................38
Figure III.5 : Dalle biaise : biais géométrique et mécanique ....................................................42
Figure III.6 : Flexion longitudinale : portée isostatique équivalente ........................................42
Figure III.7 : Dalle mécanique équivalente...............................................................................43
Figure III.8 : dalle redressée .....................................................................................................43
Figure III.9 : Représentation schématique d’un bord libre .......................................................44
Figure III.10: Représentation schématique d’un appui articulé ................................................44
Figure III.11: Représentation schématique d’un appui encastré ...............................................44
Figure III.12: Représentation schématique d’un appui ponctuel .............................................44
Figure III.13: Schéma du cas étudié .........................................................................................47
xiii
LISTE DES FIGURES
CHAPITRE IV: MODDELISATION DES DALLES BIAISES PAR

ÉLÉMENTS FINIS
Figure IV.1 : Géométrie d'une plaque .......................................................................................49

Figure IV.2 : Conventions générales ........................................................................................50
Figure IV.3 : plaque ..................................................................................................................51
Figure IV.4 : Flexion des plaques : champ de déplacement .....................................................52
Figure IV.5 : Efforts résultants .................................................................................................53
Figure IV.6 : Flexion de la surface neutre de la plaque ............................................................56
Figure IV.7 : Elément triangulaire de plaque avec trois degrés de liberté par nœud ................63
Figure IV.8 : Déformation d’une plaque en flexion (théorie de Kirchhoff) .............................64
CHAPITRE V : VALIDATION NUMERIQUE
Figure V.1 : Dalle biaise : biais géométrique et mécanique .....................................................69

Figure V.2 : Dalle biaise 60° ....................................................................................................69
Figure V.3 : Dalle équivalente ..................................................................................................70
Figure V.4 : Ligne d'influence de K pour la poutre N°1...........................................................75
Figure V.5 : Courbe de K en fonction de e pour la poutre centrale N°3 ..................................77
Figure V.6 : Dalle biaise 40° ....................................................................................................78
Figure V.7 : Dalle équivalente ..................................................................................................79
Figure V.8 : Ligne d'influence de K pour la poutre N°2...........................................................84
Figure V.9 : Courbe de K en fonction de e pour la poutre centrale N°4 ..................................86
Figure V.10 : modèle « élément fini » 60° .............................................................................88
Figure V.11 : modèle « élément fini » 40° .............................................................................90
xiv
LISTE DES TABLEAUX
LISTE DES TABLEAUX
Tableau .1 : K pour = 0.40 après 2 interpolations (sur y puis sur ) ................................... 74

Tableau . 2 : K pour = 0.45 après 2 interpolations (sur y puis sur ) .................................. 74
Tableau . 3 : K=K(e), après les 3 interpolations...................................................................... 75
Tableau . 4 : Valeurs arrondis de K = K(e) ............................................................................. 75
Tableau . 5 : K en fonction de e pour après une interpolation (sur ) pour la poutre
centrale N°3 .............................................................................................................................. 76
Tableau . 6 : K en fonction de e pour après une interpolation (sur ) pour la poutre
centrale N°3 .............................................................................................................................. 76
Tableau . 7 : K en fonction de e après tous les interpolations ................................................. 76
Tableau . 8 : Valeurs arrondies de K en fonction de e ............................................................ 77
Tableau . 9 : les flèches et les moments moyens par le coefficient Kα ................................... 78
Tableau . 10: K pour = 0.30 après 2 interpolations (sur y puis sur ) .................................. 83
Tableau . 11: K pour = 0.35 après 2 interpolations (sur y puis sur ) .................................. 83
Tableau . 12: K=K(e), après les 3 interpolations...................................................................... 84
Tableau . 13: Valeurs arrondis de K = K(e) ............................................................................. 84
Tableau . 14: K en fonction de e pour après une interpolation (sur ) pour la poutre
centrale N°4 .............................................................................................................................. 85
Tableau . 15: K en fonction de e pour après une interpolation (sur ) pour la poutre
centrale N°4 .............................................................................................................................. 85
Tableau . 16: K en fonction de e après tous les interpolations ................................................. 85
Tableau . 17: Valeurs arrondies de K en fonction de e ............................................................ 86
Tableau . 18: les flèches et les moments moyens par le coefficient Kα ................................... 87
Tableau . 19: Flèches au milieu de la dalle pour les différentes méthodes .............................. 92
xv
NOTATIOS
NOTATIONS
Les notations suivantes sont utilisées dans le présent mémoire.
 ∫ : Intégrale.
 : Dérivée partielle par rapport à x.
 { } : Vecteur colonne.
 [ ] : Matrice .
 [ ]T : Matrice transposé.
 [ ]−1 : Matrice inverse.
 x, y, z : Coordonnées cartésiennes.
 U, V, W : Déplacements suivant les directions x, y et z respectivement.
 θz : Rotation autour de Oz.
 : Déformations axiales suivant x et y et z respectivement.
 : Déformations tangentielles.
 : Contraintes normales suivant les directions x et y et z respectivement.
 : Contraintes tangentielles (cisaillements).
 λ et μ (G) : Les constantes de Lamé.
 a i : Paramètres généraux de l’approximation.
 [A] : Matrice des coordonnées nodales.
 [B] : Matrice de déformation.
 [D] : Matrice d'élasticité.
 {χ} : Courbures.
 [N] : Matrice des fonctions de forme.
 [Ke] : Matrice de rigidité élémentaire.
 {F}: Vecteur des forces nodales.
 {u} : Vecteur de déplacement en tout point de l'élément.
 {qe} Vecteur de déplacements nodaux.
 L : La portée du pont.
 2b : La largeur du pont.
 b : demi-largeur de la dalle.
 α: Paramètre de torsion.
 θ: Paramètre d’entretoisement.
 p(x) : Charge appliquée sous forme sinusoïdale.
 : Coefficient de répartition transversal.
 K0 et K1: Représentent les valeurs que prendrait K pour α = 0 et α = 1 respectivement.
 e/b : L'excentricité relative de la charge linéaire p (x).
 y/b : L'ordonnée relative du point du pont considéré.
 : les moments fléchissant.
 : les moments de torsion.
xvi
NOTATIOS
 p(x, y) : est le chargement de la dalle.

 W : la surface de déplacement.
 υ : Coefficient de Poisson.
 E : Module de Young.
 I : L'inertie.
 : moment résistant des aciers traversant la ligne de rupture j.
 : Rotation des plaques de part et d’autre de la ligne de rupture
Par rapport à leur position initiale.
 : résultante des charges extérieures appliquées sur la plaque i.
 : Déplacement vertical de la résultante des charges sous l’effet
De la rotation de la plaque i.
 m : moment de rupture.
 p : charge extérieure appliquée sur le panneau de dalle.
 LdR : force par unité de largeur.
 CRT : Le Coefficient de Répartition Transversale
 M.E.F. : Méthode des éléments finis.
xvii
CHAPITRE I :
INTRODUCTION GÉNÉRALE
I. INTRODUCTION GÉNÉRALE
I.1 – Cadre de la recherche

I.2 – Problématique et objectifs
I.3 – Plan du mémoire
CHAPITRE I INTRODUCTION GÉNÉRALE
CHAPITRE I :
INTRODUCTION GÉNÉRALE
I .1- Cadre de la recherche :

Ce travail constitue une initiation à la recherche dans le cadre des études en vue de l'obtention
du diplôme de master en génie civil.
Notre travail consiste en la modélisation par éléments finis d’une dalle biaise et validation.
I .2- Problématique et objectifs :
Les dalles biaises sont des structures qui sont souvent rencontrées dans les infrastructures
techniques (Ouvrages d’art, Pont, Construction, etc...).
La particularité de ce type de structure, liée surtout à la distorsion géométrique de sa forme
(généralement de forme biaise) pose une problématique traduite en terme d’analyse et de
dimensionnement.
Ce travail a pour objectif une contribution pour apporter quelques réponses à cette
problématique.
Pour ce faire, ce travail consiste en la modélisation par éléments finis d’une dalle biaise et sa
validation avec d’autres méthodes analytiques.
Pour cela nous avons analysé, dans ce travail, une structure en dalle biaise par deux
principales méthodes : La méthode de Guyon-Massonnet et celle des éléments finis. Comme
nous avons comparé les résultats obtenus avec la solution exacte donnée par élément fini.
I .3- Plan du mémoire :
Ce mémoire est constitué d’une introduction, de quatre chapitres et d’une conclusion
générale.
La réalisation de nos objectifs, nous a amené à articuler notre travail autour des axes de
recherche suivants :
- la présente introduction,
- Quatre chapitres,
- Et une conclusion générale
* Au niveau de cette introduction, nous avons positionné le problème sujet de notre recherche,
en précisant la problématique d’analyse et de dimensionnement des dalles biaises.
* Le chapitre deux traite, à travers une synthèse bibliographique, des notions générales
relatives aux voies et aux ouvrages d’art. L’objectif recherché, est de mettre en premier plan
le domaine d’utilisation des dalles biaises, puis de montrer la nécessité de ce type de structure
dans la conception des ponts.
* Le chapitre trois constitue un prolongement du chapitre II, en présentant quelques méthodes
théoriques d’analyse et de calcul des dalles en générales et de leur application aux dalles
1
CHAPITRE I INTRODUCTION GÉNÉRALE
biaises en particulier. Nous avons traité la méthode de Guyon-Massonnet et la méthode des

lignes de rupture.
* Le quatrième chapitre traite de la modélisation des dalles biaises par éléments finis. On y a
développé les aspects liés à la théorie de plaques, à la démarche de modélisation par éléments
finis en générales et à son application dans un modèle d’élément fini de plaque mince ayant
un comportement purement flexionnel.
*Le dernier chapitre traite de la validation des modèles (analytique et numérique). Cette
validation a concerné une dalle biaise avec deux valeurs du biais : 60°et 40° ; pour ensuite
comparer les résultats obtenus et leur vérification par rapport aux solutions théoriques.
2
CHAPITRE II :
NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES OUVRAGES D’ART
II.1– GÉNÉRALITÉ SUR LES OUVRAGES D’ART

II.1.1 – introduction
II.1.2 – Buses et Dalots
II.1.3 – Tunnels
II.1.3.1 –Tunnels montagneux
II.1.3.2 –Tunnels sous les eaux (rivière ou mer)
II .1.4 – les Ponts
II.1.4.1 –Définition
II.1.4.2 – Elément principaux d’un pont
II.1.4.3 – Quelque exemples de ponts
II.2 – CLASSIFICATION DES PONTS

II.2.1 – Selon le matériau principal
II.2.2 – Selon la nature de la voie portée
II.2.3 – Selon leur fonctionnement mécanique
II.2.3.1 – Les ponts à poutres
II.2.3.2 – Les ponts en arc
II.2.3.3 – Les ponts à câbles
II .3 – LES PONTS
II.3.1 – Les ponts caissons
II.3.1.1 – Conception générale des ouvrages mixtes en caisson
II.3.1.1.1 – Généralités :
II.3.1.1.2 – Morphologie transversale
II.3.2 – Ponts – dalle
II.3.2.1 – Présentation de la structure
II.3.2.1.1 – Morphologie
II.3.2.1.2 – Domaine d’emploi
II.3.2.1.3 – Avantages ponts-dalles dans le cadre de leur domaine d’emploi
II.3.2.2 – Conception
II.3.2.2.1 – Profil longitudinal-élévation-coupe longitudinale
II.3.2.2.2 – Coupe transversale
II.3.2.2.3 – Biais et courbure en plan
II.3.2.2.4 – appuis-appareils d’appui
CHAPITRE II NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES OVRAGES D’ART
CHAPITRE II :
NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES OUVRAGES D’ART
II.1- GÉNÉRALITÉ SUR LES OUVRAGES D’ART :
II .1.1- Introduction :
Pour élaborer des routes, on rencontre différents obstacles tels que les oueds ou rivières, les
montagnes, les chemins de fer et les autres routes. Pour les franchir, on construit des ouvrages
artificiels, qui portent le nom : Ouvrage d’Art .Ce terme est composé de deux mots :
- « ouvrage » indiquant les constructions,
- « Art » indiquant l’importance de l’aspect esthétique et architectural dans ces constructions.
Exemple : ponts, tunnels, buses, dalots.
II .1.2- Buses et Dalots :
Ce sont des ouvrages, surtout hydrauliques et parfois routiers, en béton armé (préfabriqué ou
non) ou en acier de forme cylindrique, ovale ou rectangulaire. Ces ouvrages sont en générale
en tubes de section normalisée noyés dans le remblai à la surface du sol naturel. Ces ouvrages
sont assez employés en zone rurale, notamment pour le franchissement des petits oueds. On
distingue trois catégories :
1) Les buses rigides, de forme circulaire, en béton armé préfabriqué en usine, Ils sont
considérés comme des tuyaux. Ces ouvrages sont rarement employés comme
franchissement d’oueds.
Figure II.1: exemple d’une buse circulaire.
Figure II.2 : Buse rigide en béton armé.
2) Les buses souples, métalliques, circulaires ou ovoïdes, construit par assemblage de

plaques ondulées.
3
Figure II.3 : buse métallique.
Figure II.4 : exemple d’une buse ovoïde et forme des tôles.
3) Les dalots, cadres a section rectangulaire(ou carrée) en béton armé, Ces ouvrages sont
soit coulés sur place soit préfabriqués. Dans ce dernier cas l’ouvrage est composé par
plusieurs éléments qui s’emboitent en males-femelles. Les sections sont normalisées
mais elles peuvent aussi être préfabriquées sur commande. Les buses et les dalots
peuvent être simples ou multiples.
Figure II.5 : schéma d’un dalot.
Figure II.6 : dalot préfabriqué prés pour être installés.
Figure II.7 : schéma d’un dalot triple.
4
II .1.3 - Tunnels :
Selon la destination du tunnel, on distingue principalement les tunnels routiers, les tunnels
ferroviaires, les tunnels canaux et les tunnels hydrauliques. Ce sont généralement des
ouvrages couteux, en raison de la nécessité de leur ventilation, de leur éclairage et de leur
surveillance. Leur construction n’est justifiée que dans des cas exceptionnels.
Figure II.8 : entré du tunnel au cours de construction.
Figure II.9 : vu à l’intérieur du tunnel.

Les tunnels sont construits pour faire passer une route à travers une montagne ou sous les
canaux et dans la ville pour réaliser des passages ou des routes souterraines. Ainsi, selon leur
emplacement des tunnels, on distingue :
II .1.3.1 - Tunnels montagneux :
Ce type de tunnels est construit quand la nécessité du profil en long rendent impossible toute
autre solution et éventuellement pour la protection de la route à l’endroit du couloir
d’avalanches ou des terrains d’éboulis.
Figure II.10 : tunnel ferroviaire.

II .1.3.2 - Tunnels sous les eaux (rivière ou mer) :
Ce type de tunnel est construit sous les vois navigables à grand trafic, à la place des ponts qui
gênent la navigation.
5
Figure II. 11 : Tunnel sous les eaux.

II .1.3.3 - Tunnels sous les routes :
Ces tunnels sont construits surtout dans les villes ou sous les autoroutes.
Figure II.12 : Tunnel échangeur.

II .1.4 - les ponts :
II .1.4.1- Définition :
Un pont est un ouvrage d’art pour lequel une voie de circulation franchit un obstacle naturel
ou autre voie de circulation terrestre, fluviale ou maritime. C’est le type d’ouvrage le plus
employés en Algérie.
II .1.4.2 - Elément principaux d’un pont :
Un pont comporte généralement trois catégories d’éléments : les fondations, les appuis et
le tablier avec les appareils d’appui.
Figure II.13: Vue longitudinale d’un pont type.
Figure II.14 : pont sur l’autoroute.
6
 Fondation :
C’est un système au moyen duquel l’ouvrage repose sur les sols et lui transmet les charges
qu’il reçoit. Suivant la nature du sol, les fondations sont superficielles (semelle isolées ou
filantes) ou profond (pieux ou barrettes). Dans ce deuxième cas, les fondations sur surmontées
par une semelle de liaison.
Figure II.15 : Tête des pieux en cours de recépage et Fondations superficielles du pont.
 Appuis :
Ils supportent l’ouvrage jusqu’au niveau des fondations. On distingue deux types d’appuis :
les culées, qui sont les appuis extrêmes, et les piles, qui sont les appuis intermédiaires .Un
appui peut être composé par un ou plusieurs voiles ou par des colonnes surmontées par
chevêtre.
Figure II.16 : appuis du pont.

 Tablier :
C’est un élément sur lequel repose la voie de circulation. Il comprend la couverture
(revêtement) et la partie de l’ossature sensiblement horizontale situé sous la voie portée. Le
tablier comporte essentiellement des dalles. En plus, il peut comporter des poutres principales
et des éléments secondaires (des entretoises ou pour les plus anciens ponts des longerons).
Figure II.17 : Tablier d’un pont a poutre.

Le tablier comporte aussi tous les équipements indispensables à l’utilisation, au
fonctionnement et à la durabilité du pont. Ces équipements comportent les dispositifs de
retenue, les joints de chaussée, les systèmes d’étanchéité, la couche de roulement, les trottoirs,
les corniches, les systèmes d’évacuation des eaux, la dalle de transition, etc.
7
 Les appareils d’appuis :

Le tablier repose sur les appuis à l’aide des appareils d’appui qui permettent le déplacement
horizontale et vertical du tablier sous l’effet de charges. Les appareils d’appui les plus
employés de nos jours sont en élastomère fretté.
Figure II.18 : Appareil d’appui en élastomère fretté et Appareil d’appui sous une poutre.
Un pont est souvent lié à la route par sa rampe d’accès. Si cette rampe est en remblai, elle
comporte une dalle de transition .Si la rampe estain déblai, la dalle de transition n’est pas
nécessaire.
II .1.4.3 – Quelque exemples de ponts :
 Un pont à travées indépendantes sur un cours d’eau.
Ci-dessous une vue longitudinale d’un pont isostatique à trois travées indépendantes sur un
oued ou sur un cours d’eau navigable. La partie du pont entre deux appuis s’appelle travée.
Les travées peuvent être indépendantes ou continues.
Figure II.19 : vue longitudinale d’un pont à trois travées.

Les principales dimensions du pont sont :
 L : longueur totale du pont, c’est la distance entre les plans verticaux du fond des
culées.
 : longueur d’une travée du pont. C’est la distance entre les axes des appuis voisins.
 : longueur de travée de calcul. C’est la distance entre les appareils d’appui. On
l’appelle aussi portée de la travée.
 : l’ouverture du pont (débouchée). C’est la distance entre les parements des appuis
extrêmes en considérant le fait que les largeurs des piles sont non comprises.
Dans l’étude de la conception des ponts sur les cours d’eau tel que les oueds ou les canaux
navigables, on doit disposer de certaines données hydrauliques :
8
 PHEC : ou plus couramment connu comme le PHE : Plus Haute Eau Connue, pour les
ponts sur les oueds.
 PHEN : Plus Haute Eau Navigable pour les eaux navigables.
 PBE : Plus Basse Eau. Ce niveau nous permet de connaitre la période pour laquelle
il est recommandé d’exécuter les travaux de fondation.
Transversalement, on distingue le plus couramment en Algérie, les ponts à poutre et les ponts-
dalles. Dans le premier cas, ce sont les poutres qui sont les structures porteuses. Dans le
deuxième cas, c’est la dalle qui constitue la structure porteuse.
 Lr : largeur roulable.
 : largeur du trottoir.
 LT : largeur totale (transversale).
1er cas : Les ponts à poutres :
Figure II.20 : Section transversale d’un pont à poutre.
Figure II.21 : vue dessous d’un tablier et section transversale D’un pont à poutres.
2éme cas : Les ponts-dalles :
Figure II.22 : section transversale d’un pont dalle et vue de dessous d’un pont dalle.
9
II .2 - CLASSIFICATION DES PONTS :
La classification détaillée des ponts est établie tenant compte de divers éléments.
1) Selon le matériau principal dont ils sont constitués :
En bois, en maçonnerie, en fonte, en fer, en acier, en alliage d’aluminium, en béton
armé, en béton précontraint….
2) Suivant la nature de la voie portée :
Ponts routes, ponts rails, pont pour canaux, passerelles pour piétons…
3) Suivant leur fonctionnement mécanique :
Ponts à poutres, ponts en arc, ponts à câble (suspendus, haubans), ponts mobiles….
II .2.1 – Selon le matériau principal :
• Les ponts en bois du plus simple arbre aux plus complexes, en poutre, à béquilles en arc ou
suspendus.
 Quelques exemples de ponts en bois :
Figure II.23 : Les ponts en bois Figure II.24 : Pont à béquilles.

du plus simple arbre.
• Les ponts en pierre, en dalle et en voûte ou arche.

 Quelques exemples de ponts en pierre :
Figure II.25 : Les ponts en dalle. Figure II.26: Les ponts en voûte.
10
• Les ponts métalliques, suspendus, en arc, en treillis.

 Quelques exemples de ponts métalliques :
Figure II.27 : Les ponts en arc. Figure II.28 : Les ponts en treillis.
• Les ponts en béton armé ou en béton précontraint, en arc, en poutre à voussoir, en dalle.
 Quelques exemples de ponts en en béton armé et en béton précontraint:
Figure II.29 : Les en dalle. Figure II.30 : Les ponts en poutre à voussoir.
Il est possible de dater les ponts en les observant, Les ponts ont été réalisés d’abord en bois,
puis en pierre, puis en fer et en acier au 19ème siècle et depuis le 20ème siècle en béton armé
puis en béton précontraint.
II .2.2 - Selon la nature de la voie portée :
Les ponts Permettent le franchissement d’un obstacle (vallée, cours
d’eau, voie routière, gorge, …)
- Pour les piétons ou les vélos
- Pour les véhicules routiers
- Pour les bateaux
- Pour l’eau
- Pour les animaux
- Pour les trains
Chaque pont est adapté aux moyens de transport, aux êtres vivants, aux marchandises qui
doivent emprunter la voie de communication.
La fonction principale d’un pont est de permettre le franchissement
d’un obstacle pour assurer la continuité d’une voie de communication.
11
1-Passerelle cycles et piétons 2-pont routier 3-pont canal
4-pont aqueduc 5-pont animalier 6-pont ferroviaire
Figure II.31 : Quelques exemples des ponts.

II .2.3 - Selon leur fonctionnement mécanique :
Il y a trois modes de fonctionnement mécanique des structures : flexion, compression et
traction. Ce qui donne 3 types de ponts :
 Les ponts à poutres : caractérisés par leur simplicité et facilité de réalisation
Fonctionnement mécanique en flexion.
 Les ponts en arc : associe la compression et en flexion.
 Les ponts à câbles : de type haubané et suspendu, combinent la traction, la

compression et la flexion (fonctionnement complexe).
Pont suspendu Pont à haubans

II .2.3.1- Les ponts à poutres :
C’est la technique la plus développée en raison de leur coût (très économique) et de la
simplicité de leur réalisation. On distingue trois types :
1. Pont en poutre-caisson :
Type d'ouvrage dont la rigidité à la torsion est assurée par un tablier constitué d'un ou
plusieurs caissons creux. Sa section droite est rectangulaire ou trapézoïdale. Le raidisseur en
12
caisson est une structure en béton précontraint, en acier, ou une structure composite d'acier et
de béton armé.
Figure II.32 : Pont en poutre-caisson.

2. Pont poutre en treillis :
C'est un pont dont les poutres latérales sont composées de barres métalliques triangulées,
assemblées en treillis. Les treillis peuvent être assemblés par boulonnage, par rivetage ou bien
soudés. Méthode de construction rapide et peu coûteuse.
Figure II.33 : Pont poutre en treillis.

3. Pont poutre à âme plein :
Les poutres à âme pleine sont essentiellement constituées d'une ou plusieurs parties verticales
formant l'âme et de parties horizontales appelées semelles (ou ailes) disposées de part et
d'autre de l'âme. Les matériaux utilisés sont : le bois, le métal, le béton armé ou le béton
précontraint.
Figure II.34 : Pont poutre à âme plein.

II .2.3.2- Les ponts en arc :
Pour franchir des brèches encaissées, larges, profondes avec des accès de chantier difficiles
sur ses franchies. Les piles du tablier reposent sur une structure en arc.
Figure II.35 : Représentation schématique d'un arc à tablier supérieur.
13
o Les ponts en arc peuvent avoir plusieurs formes :
Pont à béquilles pont à tablier intermédiaire
Pont en arc en béton à tablier intermédiaire pont à tablier supérieur
Exemples de ponts à béquilles :

Ces types de ponts offre une vision dégagée de la voie franchie pour avoir une bonne
visibilité ; surtout sur autoroute. Il existe deux types de béquilles : simples et doubles
Figure II.36 : Pont grande-duchesse charlotte (luxembourg1965) langueur 335m,

houteur47m, portée principale234m.
Figure II.37 : virucide Martigues (france1972) longueur 300m, portée principale 130m.
II .2.3.3 - Les ponts à câbles :
Intérêt et domaine d’application :
 Une libération totale de l’espace inférieur,
 Des franchissements de très grandes portées,
 Des tabliers élancés
 Un montage facilité par la suspension elle-même
Il existe deux principaux types :
 ponts haubanés : le tablier est supporté par un système de câbles obliques
(haubans).
 ponts suspendus : le tablier est tenu par à un système de câbles porteurs.
14
1. ponts suspendus :
Les éléments porteurs principaux de ces ouvrages sont des câbles auxquels les réactions du
tablier sont transmises par des suspentes. Ces câbles porteurs métalliques passent au sommet
des pylônes et sont ancrés dans des culées de dimensions importantes.
Figure II.38 : Ponts suspendus du tablier sur un câble porteur.

La partie de tablier suspendue est :
- soit totale et concerne à la fois la travée centrale et les deux travées latérales,
- soit partielle et limitée à la travée centrale, les travées latérales étant indépendantes.
Figure II.39 : Pont de sidi m'cid Constantine(1908).
Suspension centrale
Suspension totale
Figure II.40 : Forme de suspension Les ponts suspendus
2. Ponts haubanés :
Un pont haubané est constitué d’un un tablier soutenu par une multitude de paires de câbles
inclinés (appelés haubans) travaillant à la traction et qui sont fixés à un ou plusieurs pilonnes
porteurs travaillant en compression. Les haubans ont des longueurs différentes, selon leurs
points d'attachement sur le tablier, mais ils ont la même tension et ils s'équilibrent de chaque
côté des pylônes.
15
Figure II.41 : Pont à haubans.

Forme de la nappe :
On distingue trois types de nappes :
 en éventail : les haubans sont ancrés en un seul point d’ancrage en tête de pylône,
 en semi-éventail : les haubans sont ancrés sur une hauteur donnée en tête d’ancrage et se
déploient ensuite en éventail,
 en harpe : les haubans sont parallèles entre eux.
Haubanage en semi-harpe
Haubanage en éventail
Haubanage en harpe
Pylônes :
Ils supportent toutes les charges affectant le tablier et les conduisent aux fondations. Plusieurs
formes se combinent avec le schéma du haubanage et le type de tablier :
 mât central unique (1),
 double mât latéral indépendant (2) ou entretoisé(3),
 pylône en V renversé (5) ou en Y renversé(4).
Figure II.42 : Différents types de pylônes pour un pont.
16
II .3 - LES PONTS :
Un pont est un OUVRAGE D ’ART. Mis à part les ponts types autoroutiers, la plupart sont
des œuvres uniques : Uniques par leur architecture, par leur mode de construction et par leur
typologie.
Nous parlant dans cette partie que de deux types de ponts : pont dalle et pont caisson.
II .3 .1 - Les ponts caissons :
La particularité du pont caisson est de pouvoir s’adapter à des profils d’ouvrages de
franchissement très surbaissés, y compris avec des formes courbes très accentuées. La pose
peut se faire soit par lançage, soit par grutage.
Figure II.43 : forme de ponts caisson.

II .3.1.1 - Conception générale des ouvrages mixtes en caisson :
II .3.1.1.1 – Généralités :
Les ouvrages mixtes de type caisson sont beaucoup plus rares que les ouvrages à poutres. En
effet, en l’absence de contraintes particulières, ils sont plus complexes et donc plus coûteux à
construire et à entretenir. Ils sont ainsi bien adaptés aux cas où au moins l’une des conditions
suivantes est satisfaite :
-la portée maximale dépasse 90 m.
-la largeur du tablier dépasse une vingtaine de mètres.
-la hauteur disponible pour inscrire le tablier est trop faible pour une structure à poutres.
-la courbure en plan est importante (portée angulaire P/R>0,2).
-formes de piles plus compactes (appareils d’appui du caisson sont rapprochés par
rapport un pont à poutres).
-résistance aux chocs de véhicules ou de corps flottants plus élevés que le pont à poutres
.
Figure II.44 : Les ponts caisson.
17
II .3.1.1.2 - Morphologie transversale :

1) caisson simple ouvert :
- Les tabliers en caisson les plus simples sont composés d’une dalle en béton et d’une
charpente métallique en U et largeur du tablier <15m.
- Dalle en béton+ une charpente en U (deux semelles + deux âmes + une tôle de fond).
- La tôle de fond est une tôle d’épaisseur constante par tronçons. Elle est raidie le plus
souvent par des augets, c’est-à-dire des tôles pliées en U, ou par des tés T, plat I.
- Les âmes sont des tôles d’épaisseur constante par tronçons. Elles sont en général inclinées
par rapport à un axe perpendiculaire au fond du caisson. Elles sont le plus souvent raidies par
des plats I ou des tés T.
- Elément transversaux :
● Diaphragmes au droit des appuis (reprendre les efforts de torsion, réactions d’appuis).
● Cadres en travées (empêcher une déformation transversale excessive de caisson entraxe
entre 4 et 6 m).
- Les caissons métalliques ouverts doivent présenter une hauteur minimale de 1,50m
(indispensable à la construction de dalle en béton+ inspection).
Figure II.45 : Caisson simple ouvert.

2) Caisson simple fermé :
Les ouvrages de type caisson fermé sont identiques aux caissons ouverts à la différence que
les semelles supérieures sont remplacées par une tôle générale. Celle-ci peut être utilisée
comme coffrage perdu lors du bétonnage de la dalle et elle est adaptée aux ouvrages courbes
(la tôle permet de s’affranchir de contreventement provisoire).
Figure II.46 : Caisson simple fermé.

3) Caisson à pièces de pont avec console :
Plus difficile à exécuter que les caissons simples, ils sont généralement utilisés comme suit :
 la largeur du tablier >13-14 m.
 la portée dépasse environ 90 m.
 les semelles, les âmes et la tôle du fond ont des caractéristiques similaires à celles des
caissons simples.
 les pièces de pont supportant la dalle sont disposées selon un entraxe constant de 4m.
 Elles sont couplées avec les cadres et sont souvent prolongées sous les parties en
encorbellement de la dalle par des consoles de hauteur linéairement variable.
18
Figure II.47: Caisson à pièces de pont avec console.

4) Caisson à pièces de pont sans console :
Ce type d’ouvrage s’apparente aux ouvrages avec diaphragmes. En effet, la partie située au-
dessus du trou d’homme fait office de pièce de pont. L’entraxe des diaphragmes étant en
général de 4 m, il est possible de réduire l’épaisseur de la dalle.
Figure II.48 : Caisson à pièces de pont sans console.

5) Caisson à pièces de pont et bracons :
Cet ouvrage représente un caisson fermé avec pièces de pont, mais en ajoutant des bracons de
part et d’autre du caisson.
Figure II.49 : Caisson à pièces de pont et bracons.

6) Ouvrages à deux caissons :
Il est également possible de mettre en place deux caissons. Ce type de pont est essentiellement
utilisé pour des ouvrages de grandes largeurs et de petites longueurs.
Figure II.50 : Ouvrages à deux caissons.
19
II .3.2 - Ponts – dalle :

II. 3.2.1– Présentation de la structure :
II. 3.2.1.1 – Morphologie :
Profil en long :
Les ponts-dalles sont constitués dans le sens longitudinal par une dalle pleine de béton armé
coulé en place, à inertie constante, à travée unique ou à plusieurs travées continues sur appuis
simples. L'épaisseur optimale de la dalle qui dépend de la répartition des travées varie entre
0.45 m et 1m. Il existe deux types de tablier :
 Le tablier de type PSI.DA (Passage Supérieur ou Inférieur en Dalle Armée) est armé
longitudinalement et transversalement.
 Le tablier PSI.DP (Passage Supérieur ou Inférieur en Dalle Précontrainte) est armé
transversalement et précontraint longitudinalement par des câbles.
Dans la plupart des cas, Les appuis d'extrémité sont appuyés sur des piles-culées enterrées
dans les talus, les travées de rive ayant pour seule fonction d'équilibrer le fonctionnement des
travées principales et de franchir l'emprise du talus.
Figure II.51 : Structure générale d'un pont.

Profil en travers :
La section transversale de la dalle peut être rectangulaire ou comporter des encorbellements.
La portée maximale des travées dépend de l'importance des encorbellements, qui augmentent
le rendement de la section.
Avec glissière + garde-corps avec garde-corps seul
Cas d'un passage supérieur
Cas d'un passage inférieur

Figure II.52 : comportant deux chaussées séparées par un vide central.
Vue en plan :
Les tabliers-dalles sont dans leur majorité peu biais (biais moyen supérieur à 80 grades) et à
faible courbure en plan. Il faut cependant noter que l'exécution en place peut confier une
20
grande liberté dans la conception des formes ainsi que la possibilité de s'adapter à toute
difficulté d’implantation.
Figure II.53 : Vue en plan.

II .3.2.1.2 – Domaine d’emploi :
Les ponts-dalles constituent une solution viable pour le franchissement des brèches de
longueur variant de 15 m à 60 m avec des portées unitaires maximales de 25 mètres environ.
Il s'agit donc d'un type d'ouvrage très fréquemment utilisé pour les passages supérieurs ou
inférieurs autoroutiers et, à un moindre degré, pour les ouvrages hydrauliques, certains pont-
rail, tranchées couvertes et passerelles pour piétons. Les tabliers du type PSI.DA ou PSI.DP
ont presque entièrement supplanté les tabliers à poutres sous-chaussée en béton armé coulés
en place compte tenu des conditions économiques.
Élancement :
Le domaine d'emploi des dalles est surtout limité par leur faible rendement géométrique, qui
les rend peu adaptées dès que les portées unitaires deviennent importantes.
A titre indicatif, les élancements (rapports de l'épaisseur sur la portée la plus longue) courants
sont les suivants :
Travée unique Deux travées Trois travées ou plus
PSI.DA
1/20 1/26 1/28
PSI.DP 1/22 à 1/25 1/28 (1) 1/33 (1)
1/25 (2) 1/28 (2)
(1) pour dalles rectangulaires (2) pour dalles à larges encorbellements
Ces valeurs donnent une idée générale sur l'élancement des tabliers-dalles routiers.
Portées unitaires :
Dans le cas de la dalle en béton armé, le domaine des portées économiques se situe entre 7 et
15 mètres pour les ouvrages à 1 ou 2 travées et entre 6 et 18 mètres pour les ouvrages
comprenant 3 travées ou plus.
Les portées comprises entre 14 m et 25 m, voire 30 m, relèvent du domaine d'emploi de la
dalle en béton précontraint avec ou sans encorbellements latéraux.
21
 En voici quelques exemples montrant l'étendue des utilisations possibles des

ponts-dalles avec leurs divers types de travures :
a. Tabliers à 1 travée :
Les ponts-dalles à travée indépendante ne sont à envisager que dans le cas d'ouvertures
modérées et lorsqu'un grand élancement est indispensable. Les culées sont de préférence à
placer en tête des talus ou à mi-hauteur de ces derniers.
Figure II.54 : Travée unique sur culées massives.
b. Tabliers à 2 travées :
Deux travées donnent des résultantes différentes suivant que les culées sont perchées sur-
perchées, l’ouverture est alors très simple, ou sur culées droites ou la perspective est limitée.
Figure II.55 : Tabliers à deux travées.

c. . Tabliers à 3 travées :
Pour un pont à 3 travées on dégage largement l’espace central circulé et l’ensemble gagne en
élégance. Il convient évidemment d’équilibrer le rapport entre la travée centrale et les travées
de rives.
Figure II.56 : Tabliers à trois travées.
22
d. .Tabliers à 4 travées et plus :

Un pont à 4 travées, solution classique, présente une silhouette généralement satisfaisante
mais le paysage est très fragmenté par les piles.
Figure II.57 : Tabliers à quatre travées
 En voici également les déférents cas d’emploi des ponts-dalles en passage :
Remblai ou petit déblai

Biais important
Epaisseur de dalle minimale
Largeur terre-plein central suffisante (≥ 3 m)
Fort déblai
Biais faible ( ≥ 75 grades)
Largeur terre-plein central < 3 m
Remblai ou petit déblai

Biais faible ( ≥ 75 grades)
Largeur terre-plein central suffisante (> 3 m)
23
Remblai ou déblai modéré

Biais modéré ( ≥ 50 grades)
Plate-forme réduite
II .3.2.1.3 – Avantages des ponts-dalles dans le cadre de leur domaine d’emploi :
1- Minceur et légèreté relatives :
 Poids propre de 1,2 à 2 t/ selon les portées.
 Réactions d'appui de l'ordre de 20 t (pile-culée) à 70 t (pile intermédiaire) par mètre
de largeur droite de tablier.
 Possibilité fréquente d'accepter dans ces conditions une fondation superficielle
(semelles filantes de largeur comprise entre 1,5 et 4 mètres avec un taux de travail du
sol inférieur à 200 ou 300 kpa).
 Lorsque la fondation sur pieux est inévitable, cette légèreté peut permettre une
limitation du nombre ou de la longueur des pieux.
2- Construction rustique :
En raison de l'absence de retombées dans les ponts-dalles, leurs coffrages et cintres sont
plus simples que pour les structures à poutres coulées en place. Ce gain est d'autant plus
significatif que la main d’œuvre est moins importante et pas nécessairement spécialisée dans
la mise en œuvre du ferraillage et de la précontrainte à l'exception de la mise en tension et
l'injection.
3- Grande réserve de sécurité :
 Ces avantages qu'on trouve les poutres à âmes larges ont pour effet de rendre les dalles
insensibles aux tassements différentiels d'appuis inférieurs à 2 ou 3 cm.
 C'est avantage qui fait de la dalle continue l'instrument des franchissements légers sur
terrains médiocres. le tassement différentiel de 6 ou 7 cm correspond à des tassements
absolus de l'ordre de 20 cm ou plus.
4- Liberté dans la conception des formes :
Enfin, les ponts-dalles, du fait qu'ils sont construits par coulage en place, s'adaptent à toute
difficulté d'implantation. Le projeteur est ainsi libre dans sa conception des formes (ponts
courbes, ponts en Y, tabliers comportant des élargissements).
II .3.2.2 – Conception :
La conception (technique et esthétique) d'un pont-dalle comme celle de tout ouvrage d'art se
fait normalement en allant du général vers le détail, par étapes et par affinements successifs.
La conception générale (type d'ouvrage, nombre, répartition et longueur des
travées, longueur totale de l'ouvrage et silhouette...) doit précéder la conception de détail
(équipements, corniches, parements, peinture...). Il importe de le souligner, car des démarches
inverses à cette règle de bon sens ne sont pas inexistantes, particulièrement en matière de
recherche d'aspect. En somme, concevoir est une tâche complexe et on ne peut l'accomplir de
façon adéquate sans un minimum d'organisation.
24
II .3.2.2.1 – Profil longitudinal-élévation-coupe longitudinale :

Le profil longitudinal fait partie des premiers éléments à définir dans la conception d'un
ouvrage par un travail commun entre projeteurs de tracé et concepteurs d'ouvrages d'art.
Le profil soit en arc de cercle soit en alignement droit, mais jamais des profils mixtes
comportant à la fois des droites et des cercles.
Dans le cas où la voie portée est en pente, on adopte :
 Un profil rectiligne de préférence à un profil circulaire.
 Un profil circulaire, on évite l'effet de "dos d'âne" en optant pour la courbure la plus
faible tout en facilitant l'évacuation des eaux de ruissellement sur l'ouvrage.
Profil rectiligne avec pente
Profil circulaire symétrique

Choix d'une travure :
La définition de la travure qui en résulte, c'est-à-dire du nombre et de la longueur des travées
ainsi que la répartition de ces dernières constituent une étape importante dans la conception
d'un ouvrage, puisque le choix du type d'ouvrage en dépend pour une large part.
La distribution de travées la plus harmonieuse dans la plupart des cas :
Le fait particulier que les passages supérieurs autoroutiers à trois travées sont la plupart du
temps mieux appréciés en aspect que ceux à quatre travées est significatif à cet égard.
Dans le cas d'un nombre pair de travées, l'aspect de l'ouvrage peut être amélioré par un :
 équilibrage des deux travées centrales.
 une répartition décroissante en longueur des travées depuis le milieu du pont vers
chacune des culées.
Figure II.58 : Cas d'un ouvrage à quatre travées bien équilibrées.
Longueur du tablier :
Cette longueur d'ouvrage contribue, à son tour, à la définition du découpage de l'ouvrage en
une ou plusieurs longueurs comprises entre joints de dilatation.
Ce découpage doit être conçu de façon à limiter le nombre de joints intermédiaires sur
l'ouvrage, pour les raisons suivantes :
 ces joints, malgré leur coût relativement élevé, nuisent au confort des usagers et
renchérissent l'entretien de l’ouvrage.
25
 le dédoublement des appareils d'appui (de part et d'autre du joint) au niveau d'un
appui intermédiaire entraîne un sur épaississement soit du sommier, soit de l'appui lui-
même.
 sur le plan du comportement de la structure, on préfère, dans la mesure du possible, la
continuité à l’isostatique.
C'est pour ces raisons que, même dans le cas particulier des terrains comportant des risques de
tassements ou d'affaissements miniers, 1'hyperstatique n'est pas à proscrire d'avance.
Les dalles en béton armé :
 il n'existe pas de limite particulière à la longueur du tablier.
 L'expansion linéaire nécessite un équipement lourd au niveau des appareils d'appui et
des joints de chaussée complexes, peu adaptés à un ouvrage aussi rustique.
Les dalles de béton précontraint :
 la longueur totale du tablier ne doit pas excéder 80 mètres.
 Cette limite peut être étendue à 100 mètres, mais le précontraint risque de se trouver
alors mal utilisée compte tenu des pertes élevées de tension par frottements.
On aura intérêt à recourir à une précontrainte soit avec câbles arrêtés et comportant des
recouvrements soit avec câbles couplés au moyen de "coupleurs".
Pente longitudinale :
Leur conception n'est pas très différente de celle des tabliers ordinaires. Mais on peut
néanmoins faire les remarques de détail suivantes :
- les tabliers-dalles présentent un meilleur aspect que les tabliers à inertie variable.
-Les appareils d'appui sont disposés horizontalement grâce à des bossages ménagés à leur
niveau dans la sous-dalle.
Bossage
Toute déformation longitudinale du tablier crée un décrochement vertical au niveau des joints
de chaussée, si les abouts du tablier sont libres dans leurs mouvements. Lorsqu'ils sont
importants (cas des pentes supérieures à 5% et des longueurs dilatables importantes).
II .3.2.2.2 – Coupe transversale :

Forme générale :
La forme transversale d'un tablier-dalle est fonction de la largeur de la voie portée et de ses
dévers transversaux nécessités par l'écoulement des eaux et par la courbure en plan éventuelle.
Les valeurs minimales en présence d'une pente longitudinale :
26
-Le dévers transversal minimal est de 2,5% (en double pente) pour les ouvrages
rectilignes.
-Le dévers transversal minimal est de 2,5% à 6% (en simple pente) suivant le
rayon de courbure en plan dans le cas d'ouvrages courbes.
La face inférieure de la dalle :
 Soit horizontale dans le cas d'ouvrages rectilignes et peu larges (profil bombé).
Profil bombé (tabliers de largeur réduite)
 soit inclinée et parallèle à la face supérieure dans le cas d'ouvrages rectilignes et de

grande largeur (profil en "toit")
Profil en toit (tabliers de grande largeur)
 dans le cas d'ouvrages courbes (profil "déversé").
Profil déversé (tabliers courbes en plan)
La face supérieure de la dalle porteuse:

o La chape et le revêtement de chaussée étant ensuite réalisés en épaisseur
constante.
Encorbellements :
La section transversale avec encorbellements latéraux se présente sous les formes illustrées ci-
dessous.
- la forme (a), qui comporte des décrochements au niveau de la face inférieure de la partie
centrale de la dalle, est de préférence réservée à des portées importantes,
(a) encorbellements minces

Encorbellements
-alors que la forme (b), d'un coffrage plus simple et plus lisse (vue par dessous), convient à
des portées plus modestes.
27
(b) encorbellements massifs
-En dehors de la forme (c) due à l'architecte VICARIOT, forme qui est assez originale et
plutôt réservée à des ouvrages urbains ou périurbains.
(c)encorbellements courbes [ouvrages urbains]
Dans tous les cas, ces formes de section transversale s'imposent pour les portées supérieures à
20 m.
Largeur du tablier :
 La largeur droite de la dalle est ; entre 5,50 et 16 mètres, encorbellements compris.

 les tabliers-dalles de largeur dépassant 15m, afin de les rendre peu vulnérables aux
effets de déformations imposées (tassements du cintre ou des appuis, gradient de
température).
Mécaniquement :
-peut être considéré un ouvrage est de grande largeur lorsque la largeur de la dalle est
supérieure à la portée dans l'une des travées.
- Les efforts transversaux sont bornés et légèrement supérieurs (de l'ordre de 20 ) à ceux
d'une travée équivalente de forme carrée.
- Il y a lieu de porter une attention particulière aux effets du gradient thermique, qui a
tendance à modifier considérablement la répartition des réactions entre les différents appareils
d'une même ligne d'appuis, les appareils d'appui de rive étant alors les plus chargés.
Figure II.59 : Déformation et modification des réactions d'appuis consécutives à un ensoleillement.
II .3.2.2.3 – Biais et courbure en plan :

Les ponts-dalles s'adaptent parfaitement au biais et à la courbure en plan du tracé, ce qui est
un avantage indéniable. Les franchissements biais ou courbes en plan nécessitent une
longueur d'ouvrage plus longue que pour un franchissement droit et rectiligne.
28
Figure II.60 : Pont – biais.

Cette longueur détermine bien entendu le choix du type d'ouvrage dans les mêmes conditions
que les caractéristiques de la brèche.
II .3.2.2.4 – appuis-appareils d’appui :

Dans les ouvrages biais :
 les appuis et donc les appareils d'appui sont souvent disposés suivant le biais.
 pour les ouvrages peu larges, il est possible de supprimer l'effet du biais sur les piles
intermédiaires en adoptant des appuis "ponctuels" à fût unique supportant chacun un
seul appareil d'appui.
Pour les biais importants, c'est-à-dire d'une vingtaine à une trentaine de grades, cette solution
peut être plus avantageuse, tant sur le plan technique que sur le plan de l'aspect, qu'une
solution de type couverture présentée sur le croquis ci-après :
20 à 30°
Dans les ouvrages courbes en plan :
 les appuis peuvent selon le cas être disposés suivant le biais (le tablier est alors courbe
et biais à la fois) ou perpendiculairement à l'axe longitudinal du pont.
 Dans le cas d'ouvrages biais sur appuis intermédiaires ponctuels, les fûts de piles
doivent être de dimension suffisante (pour la résistance aux chocs de véhicules, pour
l'implantation des appareils d'appui et des niches à vérins), et les appuis d'extrémité.
 ainsi que leurs appareils d'appui, doivent être conçus en vue d'un encastrement vis-à-
vis de la torsion due au biais ou à la courbure.
29
En ce qui concerne l'implantation des culées et l'aspect qui en résulte pour les têtes de
l'ouvrage dans le cas d'un franchissement biais, elles peuvent être placées soit en retrait par
rapport à la voie franchie (cas de la vue en plan ci-dessus), soit aux abords de la voie
franchie, (croquis ci-après).
30
CHAPITRE III :
QUELQUES METHODES DE CALCUL DES DALLES
III.1– MÉTHODE DE GUYON-MASSONNET

III.1.1 – introduction
III.1.2 – paramètres fondamentaux
III.1.3 – les deux paramètres fondamentaux (paramètres sans dimension)
III.1.3.1 – paramètre d'entretoisement θ
III.1.3.2 – paramètre de torsion α
III .1.4 – Méthode des coefficients de répartition
III.1.5 – le coefficient de répartition transversale
III.1.6 – Calcul des efforts
III.1.7 – Calcul des moments fléchissant longitudinaux (dans les poutres)
III.1.8 – Calcul des moments fléchissant transversaux (dans les entretoises)
III.1.9 – Calcul du moment de torsion dans le grillage
III.1.10 – Utilisation pratique de la méthode de Guyon- Massonnet
III.2– APPLICATION DE LA METHODE DE GUYON – MASSONNET POUR UNE DALLE BIAISE
III.2.1 – Principes
III.2.1.1 – Méthode directe des flèches
III.2.1.2 – Méthode indirecte des flèches à partir des moments
III.2.1.3 – Méthode des moments pour des structures d’inertie variable
III.2.2 – Introduction simplifiée du biais
III.2.2.1 – Flexion longitudinale
III.2.2.2 – Flexion transversale
III.3 – METHODE DES LIGNES DE RUPTURE

III.3.1 – Principes
III.3.2 – Hypothèses concernant les lignes de rupture
III.3.3 – Notations concernant les conditions d’appuis
III.3.4 – Détermination des moments
III.3.4.1 – Travail des forces intérieures
III.3.4.2 – Travail des forces extérieures
III.3.4.3 – Détermination du schéma rupture privilégié
III.3.5 – Méthode pratique de résolution du problème
III.3.5.1 – Méthode pour les lignes de rupture biaises
III.3.6 – Application au cas d’une dalle sur deux appuis uniformément chargée
CHAPITRE III QUELQUES MÉTHODES DE CALCUL DES DALLES
CHAPITRE III :
QUELQUES MÉTHODES DE CALCUL DES DALLES
III.1- MÉTHODE DE GUYON-MASSONNET :
III .1.1- Introduction :

La méthode de GUYON-MASSONNET repose sur la théorie des plaques orthotropes. Elle fut
développée par Guyon [GUY.46] dans le cas d'une dalle orthotrope à rigidité torsionnelle
négligeable. Massonnet en 1950 généralisa les relations trouvées par Guyon en introduisant
l'effet de la torsion dans les calculs [MAS.50]. En 1966, Massonnet et Bareš publièrent un
recueil de ces méthodes illustré par un nombre d'exemples [MAS.66].Cette méthode est
simple et utilisée pour le calcul des ponts à poutres multiples en tenant compte de la résistance
à la torsion du pont, elle donne des résultats satisfaisants par rapport aux autres méthodes, car
la rigidité transversale du tablier n'est pas négligeable.
III .1.2- paramètres fondamentaux :
On considère une travée indépendante, de portée L, de largeur 2b, dont l'ossature est
constituée par une poutraison croisée de n poutres longitudinales (portée L, espacement b1) et
de m entretoises (portées 2b, et espacement L1) intermédiaires, disposées transversalement
(figure III.1).
Figure III.1: Modèle du tablier de pont d'après Guyon-Massonnet.
Toutes les poutres sont identiques et caractérisées par :

- leur rigidité à la flexion : BP = E. IP
- leur rigidité à la torsion : CP = G.
De même, toutes les entretoises sont identiques, et également caractérisées par:

- leur rigidité à la flexion : BE = E. IE
- leur rigidité à la torsion : = G.
 IP: Moment d'inertie de flexion des poutres,
 IE: Moment d'inertie de flexion des entretoises,
31
 : Moment d'inertie de torsion des poutres,

 : Moment d'inertie de torsion des entretoises,
 E : Module de Young,
 G: Module de torsion. Avec :
Par unité de longueur, ces rigidités deviennent :
(3.1)
Rigidité de flexion :
Rigidité de torsion : (3.2)
On suppose que le coefficient de Poisson du matériau constitutif est nul ( =0) :
c.à.d. :
 : Rigidité flexionnel des poutres,

 : Rigidité flexionnel des entretoises,
 : Rigidité à la torsion des poutres,
 : Rigidité à la torsion des entretoises.
Pour un déplacement vertical (la déformée de la dalle) de la construction selon la surface
W = w (x,y) dont les courbures ont pour valeurs et , il naît des moments fléchissant
par unité de longueur :
(3.3)
La géométrie montre que la torsion de la surface de déplacement W est donnée par

l'expression et dans la construction naîtront donc les moments de torsion unitaires :
(3.4)
32
De la condition d'équilibre de l'élément dans le sens vertical on trouve après remplacement de

Par leurs valeurs, l'équation différentielle d'un grillage simple dont les
rigidités sont réparties continument :
( ) (3.5)
 p(x, y) : est le chargement de la dalle.

Si le pont est formé de poutres dont la résistance à la torsion est négligeable, le coefficient
( + du terme en est pratiquement nul.
Si, au contraire, le pont est formé d’une dalle isotrope, son équation est l’équation bien
connue de Lagrange :
(3.6)
 : est la flèche de la plaque ;

 : est la rigidité à la flexion de la plaque ;
 h : l’épaisseur de la plaque ;
 ν : est le coefficient de poisson ;
 E : est le module d’élasticité.
III .1.3- les deux paramètres fondamentaux (paramètres sans dimension) :

III .1.3.1- paramètre d'entretoisement θ :
A été déduit par Guyon en calculant les grillages sans tenir compte de la torsion :
√ (3.7)
Avec :
 b : demi-largeur de la dalle ;
 L : portée de la travée.
Le paramètre θ détermine la souplesse de l'entretoisement, plus grand est θ, plus souple est
L’entretoisement.
III .1.3.2- paramètre de torsion α :
Dans la pratique, le coefficient de rigidité torsionnelle ( + ) est toujours compris entre
les valeurs correspondant aux deux cas particuliers, celui de la dalle et celui du grillage
simple.
Si l'on pose √ l’effet de torsion est caractérisé par le paramètre α dont
la valeur, pour couvrir le domaine entier entre les deux cas particuliers précités, variera
de 0 à 1.
(3.8)
√
Le paramètre de torsion prend en compte en plus des rigidités de flexion et celles de
la torsion et . Il caractérise donc l'influence de la torsion et varie entre 0 et 1.
33
• La résistance à la torsion est négligeable.

• Le pont est une dalle isotrope.
Dans le cas général, nous pouvons calculer, par cette formule, le paramètre de torsion α
mais L’évaluation des rigidités à la torsion et étant, ordinairement, très difficile, il faut
introduire souvent des hypothèses simplificatrices pour obtenir une valeur approchée de α.
Le paramètre de torsion prend une expression particulièrement simple dans le cas d'une
construction mixte. En effet, nous pouvons admettre que la rigidité propre de torsion des
poutrelles métalliques est négligeable et assimiler par conséquence le pont à une plaque dont
Les rigidités à la flexion dans les deux sens sont celle de la dalle isotrope en béton
majorées dans les rapports : et
La rigidité de la plaque se réduit à : avec : ν=0, (3.9)
Dès lors, l’équation de Lagrange valable pour une plaque isotrope, doit se transformer
Comme suit :
(3.10)
Le coefficient de dans cette équation vaut 2D ; mais par définition de , il vaut aussi
√ √ (3.11)
Tout calcul fait, on obtient pour un pont mixte :

(3.12)
√
Par ces deux paramètres θ et α, le comportement de la construction est complètement

défini.
La résolution analytique directe de l'équation différentielle de la plaque orthotrope conduit
à des calculs compliqués et peu pratiques à mettre en œuvre. La méthode de Massonnet
permet de s'affranchir de cette difficulté en utilisant une méthode approximative basée sur les
Coefficients de répartitions.
III .1.4 - Méthode des coefficients de répartition:
Deux hypothèses servent de base à la configuration de la méthode :
 la construction réelle est remplacée par une dalle orthotrope présentant les mêmes
rigidités moyennes de flexion et de torsion et qui est au sens technique exactement
soluble par le calcul différentiel.
 la répartition transversale réelle du chargement est remplacée par celle qui naît sous
une charge répartie le long de l'axe X de la construction et d'excentricité e suivant la
34
loi sinusoïdale de la forme :

(3.13)
 : la valeur constante du chargement ;
 L : portée du pont.
πx
P(x) = p .sin
L
Figure III.2 : La charge sinusoïdale.
Les calculs peuvent être affinés en développant la charge en série de Fourier, en fonction de
l'abscisse longitudinale.
III .1.5- le coefficient de répartition transversale :
La construction prend une déformée en demi-onde de sinusoïde selon l'équation :
(3.14)
Si la charge p(x), au lieu d'être répartie sur une droite, est répartie uniformément sur la largeur
2b de la construction (tout en restant sinusoïdale dans le sens longitudinal), la construction
prend une déformée en surface cylindrique d'équation :
(3.15)
Le moment par unité de largeur pour un chargement de cette nature est :
(3.16)
Désignons le rapport du déplacement vertical w(x, y) d'un point de la construction sous l'effet
d'une charge linéaire p(x) à celui w0(x) du même point mais sous l'effet de la charge p0(x)
uniformément répartie sur la largeur du pont, par le coefficient de répartition transversale
K(y) :
35
(3.17)
Le coefficient K dépend :
 de la valeur du paramètre d'entretoisement θ ;
 de la valeur de paramètre de torsion α ;
 de l'excentricité relative e/b de la charge linéaire p (x) ;
 de l'ordonnée relative y/b du point du pont considéré ;
La flèche moyenne selon l'équation de la déformée est :
(3.18)
Le calcul de K à partir des relations complexes d'intégral est en général difficile c'est
pourquoi on divise la construction dans le sens de la largeur en 8 bandes de même largeur
pour simplifier l'intégral.
On trouve que le coefficient K dépend, entre autre, de la valeur du paramètre α, pour éviter
de calculer séparément Kα pour chaque valeur de α on utilise les formules d'interpolation dans
lesquelles on emploie les coefficients K0 et K1 pour les valeurs extrêmes α= 0 et α= 1 qui sont
définis dans des tableaux pour des valeurs de θ données dans les abaques de Bareš et
Massonnet.
Sur la base de calculs d'un grand nombre de cas, Massonnet a déterminé dans ces tableaux
les valeurs des coefficients K0 et K1 pour θ compris entre 0.05 et 5.00 et selon les différentes
excentricités de charges (e = ±b; ± 3b/4; ± b/2; ± b/4; 0) et pour les sections de la largeur de
la dalle ( y = 0; y = b/4; y = b/2; y = 3b/4; y = b ) . Pour un calcul rigoureux de Kα, il est
nécessaire d'appliquer les formules d'interpolation établies par Sattler et qui dépendent aussi
de la valeur de θ :
 Si : 0< ≤ 0.1 →
 Si : 0.1< ≤ 1 → (3.19)
 Si : ˃1 →
Où : β = 1-
Dans le cas où θ calculée ne figure pas dans le tableau on doit faire une interpolation, et si la
poutre en question se trouve entre deux sections dont les lignes d'influence sont connues on
peut aussi faire une interpolation.
III.1.6- calcul des efforts :
Chaque type d'effort (moments, efforts tranchants, etc.) fait intervenir un coefficient de
répartition transversale des charges différent. Ce dernier est alors multiplié par le moment
moyen pour obtenir le moment fléchissant existant dans une poutre déterminée. Le moment
moyen correspond au moment de flexion de la poutre seule sous la charge et appuyée à ses
extrémités.
On déplacera les charges de façon à obtenir les plus grandes ordonnées et on retiendra pour
le calcul des efforts l'excentricité qui donne les plus grandes valeurs des coefficients. Dans le
cas des ponts à poutres multiples la section d'étude sera imposée par la position de la poutre,
ce qui nous amène à tracer les lignes d'influences pour les différentes excentricités de charge
et on retiendra la section qui donne les plus grandes valeurs des coefficients.
36
III.1.7- Calcul des moments fléchissant longitudinaux (dans les poutres) :

Le rapport du moment fléchissant réel M(x, y) au moment moyen M0(x) dans le sens
Transversal est égal au coefficient de répartition transversale :
(3.20)
Le moment fléchissant dans le sens X par unité de largeur pour une charge sinusoïdale est :
x
∑ sin (3.21)
L L
x x x
Pour les charges sin , sin , ….….. , sin
L L L
Figure III.3 : Ensemble des charges sinusoïdal.
Le moment fléchissant moyen à la distance x est : ∑ (3.22)
Et M0 représente le moment fléchissant moyen produit par une charge linéaire sinusoïdale
unitaire, uniformément répartie sur la largeur de la construction :
∑ ∑
(3.23)
∑ ∑
Pour obtenir en un point quelconque de la construction le moment fléchissant réel il suffit de

calculer en ce point le moment moyen M0(x) et de le multiplier ensuite par le rapport :
∑ ∑
Pour une charge linéaire sinusoïdale l'expression du moment longitudinal est:
∑
(3.24)
∑
III .1.8- calcul des moments fléchissant transversaux (dans les entretoises) :
Le moment fléchissant par unité de largeur d'entretoise c'est-à-dire par unité de longueur dans
le grillage est exprimé, pour une charge sinusoïdale, par la relation :
37
(3.25)
Figure III.4 : Chargement d’entretoise.
Le coefficient (θ, α, e, y) dépend des valeurs du paramètre d’entretoisement , du paramètre

de torsion , de l'excentricité e de la charge et de l'ordonnée y de la section faite dans
l'entretoise dans laquelle on cherche l'effet.
Comme pour le coefficient K on détermine μα pour α quelconque par les formules
interpolation :
 Si : 0 0.1 →
 Si : 0.1 ≤1 → (3.26)
 Si : 1 →
Où : β=1-
 : Correspondant à α = 0.
 : Correspondant à α = 1 (les valeurs de et sont donnée dans les tableaux).
Si la construction est soumise à un système de n charges linéaires sinusoïdales: sin ,
sin ,……. , sin ; le moment existant dans la section y de l'entretoise
S’obtient par superposition des effets individuels :
∑ (3.27)
III .1.9- calcul du moment de torsion dans le grillage :
On sait que : et
La différence de ces moments vaut : (3.28)
En introduisant les relations suivantes :

x
√ et sin (3.29)
L
Dans l’équation précédente, nous trouvons :
38
√ (3.30)
Dans cette formule, p représente l'intensité maximale de la charge repartie suivant la loi
sinusoïdale :
x
p sin (3.31)
L
Sur la parallèle à l'axe du pont d'excentricité e; τ(α) est un coefficient sans dimensions qui
dépend du paramètre de torsion α, de e, de y et de θ. Connaissant la différence des moments
de torsion dans les poutres et les entretoises, on peut calculer chacun de ces moments par les
formules:
et (3.32)
En remplaçant dans ces relations ( − ) par son expression (3.32), on obtient :
et (3.33)
Massonnet a trouvé, en calculant ces coefficients pour différentes valeurs de α entre 0 et 1,

que pour déterminer l'expression générale de τ (α) on pouvait employer la relation simple
τ (α) = √ La valeur de peut être lue directement dans les tables et comme
précédemment.
III.1.10- Utilisation pratique de la méthode de Guyon- Massonnet :

On peut appliquer cette méthode dans les cas suivants :
 Un tablier de pont à poutres sans entretoises intermédiaires c’est alors le hourdis qui
joue le rôle des entretoises. Dans ce cas, pour calculer la rigidité de torsion d’une
poutre comprenant une certain de largeur de hourdis, on doit :
 Décomposer la section de la poutre en éléments rectangulaires.
 Faire la somme des inerties de torsion de ces éléments.
 Attribuant à la fraction de table de compression appartenant au hourdis un moment
d’inertie de torsion égale à la moitié des moments d’inertie calcule comme si c’était une
poutre.
 Ossatures mixtes comportant un membre de poutrelles supérieures à 2, dans ce cas, on
doit admettre que l’inertie de torsion des poutrelles (et des entretoises éventuelles) est
nulle.
 Les ponts à biais.
39
III .2- Application de la Méthode de Guyon – Massonnet pour une dalle biaise :
III .2.1 – Principes :
Le principe consiste à associer à chaque travée hyperstatique une travée droite isostatique dite
« équivalente ».
Le calcul d’un ouvrage continu de biais constant φ consiste essentiellement à construire un
modèle longitudinal 2D du tablier selon l’axe géométrique de l’ouvrage avec des travées de
longueurs biaises Lbj et de largeur droite 2bd puis, pour chaque travée, à combiner les
résultats du modèle 2D avec ceux issus de l’étude de deux dalles isostatiques « équivalentes »,
l’une pour la flexion longitudinale et l’autre pour la flexion transversale.
Plusieurs « recettes » sont utilisables pour évaluer les portées isostatiques « équivalentes
» de chaque travée, qui vont servir de base à la modélisation. Dans toutes les méthodes, on
applique sur le modèle 2D une charge uniforme p sur toute la longueur de chaque travée
considérée.
III.2.1.1 - Méthode directe des flèches :
La méthode ne s’applique qu’aux ouvrages d’inertie constante et consiste à considérer la
flèche maximum de la travée obtenue sur le modèle 2D (cette flèche se trouve aux environs
de 0,4 et 0,6 pour les travées de rive et aux environs de 0,5 pour les travées
intermédiaires) et à l’assimiler à la flèche d’une travée isostatique de longueur L0 et de même
rigidité EI.
La flèche f0 d’une travée isostatique de longueur L0 soumise à la même charge p vaut :
( )
D’où l’on déduit, avec fh = f0 :
√ (3.35)
Par exemple, pour une travée encastrée à ses deux extrémités, on a :
(3.36)
√
III .2.1.2 - Méthode indirecte des flèches à partir des moments :

Une variante de la méthode des flèches est basée sur les moments hyperstatiques M1 et M2
obtenus sur le modèle 2D aux extrémités de la travée. La flèche au milieu de la travée
hyperstatique s’exprime par :
(3.37)
40
D’où l’on déduit à partir de ( ), avec fh = f0 :
√ (3.38)
En reprenant l’exemple d’une travée encastrée à ses deux extrémités, on a :

√
Cette méthode présente l’avantage de ne pas avoir à définir la rigidité EI de la section. Elle
ne s’applique toutefois qu’aux ouvrages d’inertie constante.
Il s’agit de la méthode utilisée par les programmes actuels. On notera qu’elle n’est pas
exactement équivalente à la précédente dans la mesure où on calcule systématiquement la
flèche à mi- portée, sans distinction entre travées de rive et travées intermédiaires.
III .2.1.3 - Méthode des moments pour des structures d’inertie variable :
La méthode consiste à dire que la portée isostatique équivalente L0 est la longueur délimitée
par les points de moments nuls le long de la travée hyperstatique Lb.
Pour une travée de longueur Lb soumise à une charge uniforme p et à des moments M1 et M2
aux extrémités, la courbe des moments, parabolique, est connue, et l’on peut en déduire la
distance entre zéros :
√( ) ( ) (Convention : M > 0 sur appui)
En reprenant l’exemple d’une travée encastrée à ses deux extrémités, et en introduisant les
valeurs des moments trouvés, on obtient :
√ (3.39)
Contrairement aux deux autres, ce calcul permet de déterminer la longueur isostatique
indépendamment de la variation d’inertie le long de l’ouvrage. De ce fait, il nécessite
également de définir l’inertie à retenir pour la dalle isostatique équivalente :
 Si l’inertie est constante, elle est conservée pour la dalle isostatique.

 Si l’inertie est variable, on calcule l’inertie équivalente par égalité de la flèche fh de
la travée hyperstatique de longueur Lb et d’inertie variable et de la flèche de la
travée isostatique de longueur L0 d’inertie équivalente Ie et de même module E. La
relation ( ) donne alors immédiatement :
(3.40)
III .2.2 - Introduction simplifiée du biais :

Soit une travée de longueur biaise Lb, de largeur droite 2bd et de biais géométrique . Les
méthodes du paragraphe précédent permettent de calculer sa portée biaise isostatique
équivalente L0b. La portée droite isostatique équivalente L0d est alors donnée par :
sin (3.41)
41
Figure III.5 : Dalle biaise : biais géométrique et mécanique.
III .2.2.1 - Flexion longitudinale :

Les moments de flexion longitudinale sont calculés à partir des moments issus du modèle
longitudinal 2D de l’ouvrage par la méthode des coefficients de répartition transversale. Ces
coefficients sont issus de l’étude d’une dalle rectangulaire « équivalente » de largeur 2bd et de
longueur L0b. (Figure III.6).
Figure III.6 : Flexion longitudinale : portée isostatique équivalente.
III .2.2.2 - Flexion transversale :

Les moments de flexion transversale sont calculés sans tenir compte de la continuité sur une
« dalle mécanique équivalente » obtenue à partir de la modélisation de la (Figure III.5) et de
dimensions :
sin (Figure III.7)
sin
Donc plus large et moins longue que la dalle servant à l’étude de la flexion longitudinale
(Figure III.6).
42
Figure III.7 : Dalle mécanique équivalente.

Cette dalle est ensuite « redressée » dans l’axe de l’ouvrage et la différence de largeur avec la
dalle réelle est prise en compte en effectuant une homothétie de rapport 1/ sur
l’ordonnée des points d’étude et des charges (Figure III.8).
Figure III.8 : dalle redressée.
III .3 – METHODE DES LIGNES DE RUPTURE :

III .3.1 – Principe :
Cette méthode consiste à déterminer un ou plusieurs mécanismes de rupture d’un panneau de
dalle qui soient cinématiquement admissibles.
La création des mécanismes de rupture se produit par plastification des aciers c'est-à-dire dès
que :
(3.42)
L’allongement de l’acier entraine alors une fissuration du béton et donc une articulation
(appelée rotule).
Le panneau de dalle est ainsi transformé en un ensemble de plaques supposées indéformables.
Ces plaques vont pivoter autour des lignes d’appui sous l’effet de leur chargement.
Il existe a priori plusieurs mécanismes de rupture pour un même schéma de dalle. On doit
rechercher parmi tous les mécanismes possibles, celui qui, pour une charge extérieure donnée
p, donne le moment fléchissant le plus fort.
A partir de ce mécanisme de rupture, on peut calculer les armatures de la dalle en utilisant le
principe de la conservation de l’énergie.
III .3.2 – Hypothèses concernant les lignes de rupture :
Les lignes de rupture, fixées par le calculateur, répondent aux règles suivantes :
43
Les lignes de rupture délimitent des surfaces planes. Ces surfaces restent planes après
rupture.
Les intersections des plaques sont donc droites → les lignes de rupture sont des
droites.
Les plaques pivotent autour des lignes d’appui et des lignes de rupture.
Les lignes de rupture passent par les intersections de 2 lignes d’appui.
Lorsque 2 lignes d’appui sont parallèles, la ligne de rupture leur est parallèle (on se
ramène à la règle précédente étant donné que des lignes parallèles ont leur intersection
à l’infini).
III .3.3 – Notations concernant les conditions d’appuis :
On trouve essentiellement 4 types de conditions d’appui dont la schématisation est
représentée ci-après :
 Bord libre ou appui libre :
Figure III.9 : Représentation schématique d’un bord libre.

 Appui articulé :
Figure III.10 : Représentation schématique d’un appui articulé.

 Appui encastré :
Figure III.11 : Représentation schématique d’un appui encastré.
Il se produit des lignes de rupture le long des appuis encastrés. Ces lignes de rupture sont dites
« négatives » car la fissure se produit en fibre supérieure et car elles s’accompagnent d’un
moment négatif.
 Appui ponctuel :
Figure III.12 : Représentation schématique d’un appui ponctuel.

III .3.4 – Détermination des moments :
La détermination des moments en fonction des charges appliquées se fait en égalisant le
travail des forces intérieures (travail résistant, ) et le travail des forces extérieures (travail
agissant, ) le long des lignes de rupture.
44
III .3.4.1 - Travail des forces intérieures :

Le travail des forces intérieures ou travail résistant est uniquement apporté par le moment
résistant des armatures traversant la ligne de rupture.
Pour les lignes de rupture n°1 à n du panneau de dalle :
∑ (3.43)
Avec :
 : moment résistant des aciers traversant la ligne de rupture j.
 : Rotation des plaques de part et d’autre de la ligne de rupture
Par rapport à leur position initiale.
III .3.4.2 - Travail des forces extérieures :
Le travail des forces extérieures ou travail agissant est apporté par les charges appliquées sur
les plaques qui entrainent leur mouvement.
Pour les plaques n°1 à n du panneau de dalle :
∑ (3.44)
Avec :
 : résultante des charges extérieures appliquées sur la plaque i.
 : Déplacement vertical de la résultante des charges sous l’effet
De la rotation de la plaque i.
III .3.4.3 - Détermination du schéma rupture privilégié :
Les schémas de rupture et donc les positions des lignes de rupture ne sont a priori pas uniques
et peuvent s’exprimer en fonction de paramètres géométriques (1, 2,…, i)
L’équation Wi = We, peut donc s’exprimer également sous la forme d’une fonction :
m = f (p, 1, 2,…, i) (3.45)

Avec :
 m : moment de rupture.
 p : charge extérieure appliquée sur le panneau de dalle.
Le schéma de rupture le plus défavorable étant celui qui, pour une charge extérieure donnée,
donne le moment de rupture maximum, on écrira :
; ; …… ;
La résolution de ces équations permet de déterminer les paramètres et ainsi la position des
lignes de rupture.
Règle pratique induite : le schéma de rupture dimensionnant est obtenu en minimisant les
longueurs des lignes de ruptures.
III .3.5 - Méthode pratique de résolution du problème :
III .3.5.1- Méthode pour les lignes de rupture biaises :
La méthode la plus rapide consiste à utiliser le tableau précédent en projetant l’ensemble des
paramètres sur les axes Ox et Oy du panneau de dalle.
45
Ligne de rupture inclinée de  sur l’horizontale :

Pour un quadrillage orthogonal d’armatures de section a par mètre de largeur parallèle à Ox et
Oy.
Considérons un rectangle de dalle de largeur unité.
Pour les armatures // Ox
- section par unité de largeur  à Ox a. (cm2 /m)

- section totale  à Ox a. n
- force // Ox a. . n
- force  à la LdR a. . n sin
- force par unité de largeur //LdR = a. .

⁄
Pour les armatures // Oy
- section par unité de largeur  à Oy (cm2 /m)

- section totale  à Oy
- force // Oy
- force  à la LdR s
- force par unité de largeur //LdR
⁄
Force perpendiculaire à la Ligne de Rupture : a. . + )
Remarque :
Pour une section d’armature identique dans les deux directions ( = 1), le moment résistant
est le même dans toutes les directions (à la différence des hauteurs utiles près) :
m. .Z
46
III .3.6 - Application au cas d’une dalle sur deux appuis uniformément chargée :
On considère un panneau de dalle rectangulaire (longueur b, portée L) avec des appuis
articulés sur 2 côtés parallèles. Son épaisseur est notée h.
La dalle est uniformément chargée sur toute sa surface par une charge notée p.
Tracé du schéma de rupture :
Le système est constitué de deux lignes d’appuis articulées parallèles. Il peut y avoir 1 ou
plusieurs lignes de rupture parallèles à ces lignes d’appuis.
En considérant que le schéma de rupture le plus défavorable est obtenu en minimisant la
longueur des lignes de rupture, on ne dessinera qu’une seule ligne parallèle aux lignes
d’appuis. Sa position est en revanche à priori inconnue et donnée par le paramètre.
Figure III.13 : Schéma du cas étudié.

Travail interne : Wi
Longueur de la Rotation de
Ligne de l’armature //
Rupture projetée à:
Numéro Nombre de Moment Wi
suivant : - l'axe Oy
de la Ligne de Lignes de relatif
- l'axe Ox - l'axe Ox
Rupture Rupture
- l'axe Oy
1 b m m.b .( )
1
1 0 0 0 0
) (3.46)
Travail externe : We
Déplacement
Numéro de la Nombre du centre de
plaque de gravité de
Aire de Charge We
plaques la charge en
chargement
fonction de
1 (L-).b p ⁄ (L-).b .p . ⁄
1
2 1 .b p ⁄ .b .p . ⁄
 ⁄  ⁄ ⁄ (3.47)
47
Moment de calcul :
⁄
On écrit ensuite l’égalité :
Soit : ( ) ou encore : 
Pour déterminer le schéma le plus défavorable, on écrit ensuite :
D’où : ( ) .
48
CHAPITRE IV :
MODDELISATION DES DALLES BIAISES PAR ELEMENTS FINIS
IV.1– THEORIE DES PLAQUES
IV.1.1 – Définition d'une plaque

IV.1.2 – Définitions et notations générales
IV.1.3 – Domaine d’utilisation
IV.1.4 – Flexion des plaques
IV.1.4.1 – Définitions
IV.1.4.2 – Champ de déplacements : modèle de Reissner /Mindlin
IV.1.4.3 – Déformations et contraintes
IV.1.4.4 – Forces et moments résultants
IV.1.4.5 – Energie de déformation et énergie cinétique
IV.1.4.6 – Equations d’équilibre
IV.1.4.7– Flexion des plaques minces : Modèle de Kirchhoff
IV.2 – MODÉLISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS
IV.2.1 – Construction de l’approximation nodale sur un élément
IV.2.1.1 – Définition du type d’Elément
IV.2.1.2 – Formulation mathématique
IV.2.2 – Calcul de la matrice de rigidité élémentaire et du vecteur des charges nodales équivalentes
IV.2.3 – Assemblage
IV.2.4 – Prise en compte des conditions aux limites et résolution
IV.2.5 – Évaluation des grandeurs élémentaires
IV.3 – APPLICATION A UN ÉLÉMENTS FLEXIONNEL DE PLAQUE MINCE
IV.3.1– Caractéristique
IV.3.2 – Cinématique
IV.3.3 – Condition de compatibilité cinématique
IV.3.4 – Loi de comportement
IV.3.5 – Equation d’équilibre
IV.3.6 – Fonction d’interpolation
IV.3.7 – Matrrice de rigidité élémentaire
CHAPITRE IV MODELISATION DES DALLES BIAISES PAR ÉLÉMENTS FINIS
CHAPITRE IV :
MODDELISATION DES DALLES BIAISES PAR ÉLÉMENTS FINIS
IV.1-THEORIE DES PLAQUES :
IV.1.1- Définition d'une plaque :
Une plaque est un solide défini par une surface de référence plane (plan x,y) et par une petite
épaisseur (notée h(x,y)), par rapport aux autres dimensions ,à savoir la longueur et la largeur
[MDP55]. Suivant l'ordre de grandeur de h par rapport aux autres dimensions, on introduit
l'adjectif mince au épaisse aux plaques. Cependant, ce qualificatif n'implique pas seulement
une caractéristique géométrique, mais définit aussi un rôle particulier des déformations dites
de cisaillement transversal (CT). Cette influence est d'autant plus importante que les
structures sont épaisses.
Figure IV.1: Géométrie d'une plaque.
Ces plaques sont souvent suivies de l'adjectif mince ou épais selon l'épaisseur h, nous
admettons généralement.
 pour les plaques épaisses :
 Pour les plaques minces :
La théorie des plaques repose sur les hypothèses suivantes :

 H.1 : Les contraintes normales sont négligeables par rapport aux autres
Composantes de contraintes : = 0.
 H.2 : Les pentes de la surface moyenne après déformation, sont supposées petites par
Rapport à l’unité (Petite déflexion du plan moyen).
 H.3 : Les points situés sur une normale à la surface moyenne avant déformation,
Restent sur cette normale au cours de la déformation.
IV.1.2 - Définitions et notations générales:
Conventions de signe pour déplacements et rotations.

Les notations adoptées ci-après pour les déplacements sont définies à la Figure (IV -2)
49
Figure IV.2: Conventions générales.
L’équation d’équilibre des moments est :
(4.1)
L’intégration des équations des moments fléchissant donne l'équation de la plaque soumise
aux charges distribuées (x, y) :
(4.2)
IV.1.3 - Domaine d’utilisation :
Le domaine de l'utilisation de plaque est très répandue dans tous les domaines, en particulier
dans le domaine du génie civil où, on les utilise dans les constructions simples (habitation) où
les ouvrages d'art et elle existe sous formes différentes, y compris les circulaires et
rectangulaires et d'autre formes selon la qualité de l'ouvrage, Comme celle-est représenté dans
les photos ci-dessous.
Ouvrages d'arts ponts Ouvrages d'arts ponts (tabliers)
Ouvrages d'arts (plaques circulaire) Ouvrages souterrains
50
IV.1.4 - Flexion des plaques :
IV.1.4.1-Définitions :
Une plaque est un corps solide limité par deux faces planes (figure IV.3). L’épaisseur h de
plaque est la distance entre les deux faces. Le plan équidistant des deux faces est le plan
médiante ou surface moyenne.
Figure IV.3: plaque.
Soit un repère orthonormé tel que le plan soit le plan moyen.

 Le plan situé à z = h /2 est la peau supérieure de la plaque.
 Le plan situé à z = - h /2 est la peau inférieure de la plaque.
Une fibre normale est l’ensemble des points du solide situés sur une normale au plan
médiante. Une plaque est dite mince si son épaisseur est petite par rapport aux autres
dimensions.
On adoptera les hypothèses suivantes :

 la plaque est sollicitée par des forces de composantes (0,0, ) et des couples de
composantes (mx , my , 0).
 la contrainte normale est négligeable par rapport aux autres composantes du
tenseur des contraintes.
 les phénomènes de membrane et de flexion sont découplés.
Compte-tenu des conditions de chargement :
 les phénomènes de membrane sont nuls.
 (x ,y,± h /2) = (x ,y,± h/2) = 0 .
IV.1.4.2-Champ de déplacements : modèle de Reissner /Mindlin :
Le modèle de Reissner /Mindlin est basé sur l’hypothèse cinématique suivante : au cours de la
mise en charge, les fibres normales restent droites d’où l'expression du champ de déplacement
(Figure IV .4)
51
u(x,y,z ;t) = z
v(x,y,z ;t) = -z (4.3)
w(x,y,z ;t) = w(x,y ;t)
Ou :
 w : est le déplacement transverse de la surface moyenne.
 est la rotation de la fibre normale suivant x.
 est la rotation de la fibre normale suivant y.
Figure IV. 4 : Flexion des plaques : champ de déplacement.

Remarque :
Les déplacements u et v sont linéaires en z.
IV.1.4.3-Déformations et contraintes :
le champ de déplacements dans le solide est donc défini par la connaissance de w, et en

tout point (x,y) du plan moyen . De l’expression de champ de déplacements, on déduit les
déformations :
(4.4)
( )
La loi de comportement s’écrit :

{ } [ ]{ } [ ] (4.5 a)
52
Ou :
{ } , { }=z , = (4.5 b)
{ }
[ ] [ ] (4.5 c)
Pour la flexion est :
[ ] (4.5 d)
Ou :
, - , - [ ] * + , (4.5 e)
Pour le cisaillement transverse.
 : Est le vecteur de courbure.

 : Sont constants le long d’une fibre normale : le modèle de Reissner
/Mindlin ne respecte pas la condition ⁄ .
 : est un facteur de correction calculé par identification statique ou dynamique entre
un grandeur évaluée avec le modèle Reissner /Mindlin et cette même grandeur
évaluée avec un modèle plus du point de vue de la théorie de l’élasticité.
On adopte souvent :
(4.6)
IV.1.4.4-Forces et moments résultants :
Considérons un élément de plaque infiniment petit, limité par un cylindre perpendiculaire au

plan moyen, de section droite rectangulaire et dont les forces sont parallèles à x ou y
(figure IV.5).
Figure IV.5: Efforts résultants.

Les forces et moments résultants (effort par unité de longueur) sont définis par :
⁄
, - ∫ ⁄
, - (4.7)
53
⁄
{ } ∫ ⁄
{ } (4.8)
 et s’expriment respectivement en N/m et N.m/m = N.
En portant dans ces expressions les relations de comportement (4.5), il vient :
⁄
[ ] Avec : [ ] ∫ ⁄
[ ] [ ] (4.9a)
⁄
[ ] Avec : [ ] ∫ ⁄
[ ] * + (4.9b)
Remarque :
On a les relations :
{ } { } , , - , - (4.10)
IV.1.4.5-Energie de déformation et énergie cinétique :
L’énergie de déformation est égale à :

∫ ( { } )
∫ (4.11)
∫ ( { } ) Avec dA = dx dy
L’énergie de cinétique est égale à :
∫ ̇ ̇ ̇
∫ ( ̇ ̇ ̇ ) (4.12)
∫ ̇ ∫ ( ̇ ̇)
IV.1.4.6-Equations d’équilibre :
Les équations d’équilibre se réduisent à :
̈ (4.13a)
̈ (4.13b)
̈ (4.13c)
54
Intégrons suivant l’épaisseur l’équation (4.13c) :
̈
⁄
Avec : ∫ ⁄
(4.14)
Multiplions par z l’équation (4.13a), puis intégrons suivant l’épaisseur :
⁄ ⁄
∫ ∫ ̈ ̈ (4.15)
⁄ ⁄
Intégrons par parties l’intégrale du premier membre :

⁄ ⁄ ⁄ ⁄
∫ ⁄ ∫ ⁄ ∫ ⁄
[ ] ⁄ (4.16)
En utilisant la condition , il vient :

̈ (4.17)
Les équations d’équilibre exprimées à l’aide des efforts résultants s’écrivent :
̈
̈ (4.18)
IV.1.4.7-Flexion des plaques minces : Modèle de Kirchhoff
Un corps élastique dont l'épaisseur est très petite par rapport aux autres dimensions est
appelé plaque mince. Le plan moyen de la plaque est défini comme étant le plan parallèle aux
faces de la plaque partageant l'épaisseur en deux.
Les axes des coordonnées sont choisis de telle sorte que le plan x, y coïncide avec le plan
moyen et l'axe z sera perpendiculaire à ce dernier.
On dit qu'une plaque travaille à la flexion quand les charges dont les quels elle soumise sont
parallèles à l'axe z (perpendiculaire au plan moyen)
Si les déplacements sont très petits par rapport à l'épaisseur de la plaque on peut faire les
suppositions suivantes :
1) les plans perpendiculaires au plan moyen avant la déformation restent perpendiculaires
à ce plan après la déformation.
2) la contrainte normale est petite par rapport aux autres composantes de contraintes et
peut être négligée.
3) le plan moyen ne subit pas de déformation après la flexion. Considérons une section de
la plaque parallèle au plan x z.
55
Figure IV.6 : Flexion de la surface neutre de la plaque.
Dans la théorie de Kirchhoff, on néglige l'effet de cisaillement transverse.
Si la plaque est mince (h est petit par rapport aux dimensions de la plaque), on adopte
l’hypothèse de Kirchhoff : au cours de la mise en charge, les fibres normales restent
perpendiculaires à la déformée de la surface moyenne d’où les relations cinématiques :
, (4.19)
Le champ de déplacements se réduit à :

u(x,y,z ;t) =
v(x,y,z ;t) = (4.20)
w(x,y,z ;t) = w(x,y ;t)

D’où les déformations :
( )
(4.21)
{ }
Et les contraintes :
(4.22)
Remarque :
Le cisaillement transversal est négligé.
56
IV.2- MODÉLISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS :
Dans le domaine du génie civil on a souvent besoin de calculer des structures complexes pour
lesquelles il est très rare que l'on puisse obtenir une solution analytique du problème en
utilisant les théories classiques. De ce fait, on est la plupart du temps obligé de recourir à des
méthodes numériques comme celle des éléments finis. La démarche de modélisation par
éléments finis est schématisée comme suit :
DEMARCHE ELEMENTS FINIS
DISCRETISATION GEOMETRIQUE
DOMAINE CONTINU DOMAINE DICRITISE
IV.2. 1- Construction de l’approximation nodale sur un élément :
IV.2. 1. 1- Définition du type d’Elément :
Eléments à une dimension :
Type d’Elément barre poutre

Elément
Nbre de Nœuds 02 03 04 02
Nbre de DDL 01x02=02 01x03=03 01x04=04 02x02=04
Forme Linéaire Quadratique Cubique Cubique
d’approximation
Type Lagrange Hermite
d’approximation
57
Eléments à deux dimensions :
Eléments
triangulaires
Eléments
quadrilatère
Eléments à trois dimensions :
Eléments
Tétraédriques
Eléments
Prismatiques
Eléments
Hexaédriques
IV. 2. 1. 2- Formulation mathématique :
θz
θy y
M v
u
-θx
w
x
58
 Définition de la cinématique (Degrés de liberté et déformations)
Déplacements : ⃗ 〈⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉 { } (4.23)
Rotations et Déformations infinitésimales : ̿̿̿̿̿̿̿̿ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ (4.24)
=== ; ;
(4.25)
=== ( ) ; ( ) ; ( )
 Approximation nodale à l’intérieur d’un élément
Il s’agit de donner une fonction d’interpolation des champs (de déplacements, de

déformation et des contraintes) à l’intérieur d’un élément simple (élément fini) en
fonction de la valeur des variables aux nœuds. Cette fonction est de forme
polynomiale :
Champs des déplacements : [ ] (4.26)
Variations de champs des déplacements : [ ] (4.27)
Champs des Déformations : [ ] [ ] (4.28)
Champs des Contraintes : [ ] [ ][ ] [ ][ ]
(4.29)
 Champs respectivement des déplacements ; des
déformations et des Contraintes
 [ ] [ ] [ ] : Matrices respectivement des fonctions de formes (poids
nodaux) et des Déformations
[ ] (4.30)
[ ]
59
Avec :
 Valeurs des déplacements nodaux
 〈 〉
 〈 〉
 Module de Young
 Coefficient de Poisson
 Approches d’approximation
o Modèle en déplacement :
Dans cette approche, l’approximation est faite sur le champ de déplacement en
considérant l’élément cinématiquement admissible ; c’est-à-dire l’intégrabilité du champ
de déformation à l’intérieur de l’élément.
o Modèle en équilibre :
Il s’agit, dans ce modèle, de choisir une forme paramétrique simple du champ de
contraintes à l’intérieur des éléments.
o Modèle hybride :
La terminologie utilisée consiste à désigner par « hybrides » les approches éléments finis
pour lesquels plusieurs champs sont discrétisés indépendamment à l’intérieur de
l’élément et sur sa frontière.
Les éléments finis hybrides peuvent être développés selon deux approches
conventionnelles : éléments finis hybrides en déplacement et en contraintes.
o Modèle mixte :
Dans cette approche, l’approximation est faite, indépendamment, sur divers champs
d’inconnues (déplacements, déformation, contraintes).
o Modèle en déformation :
La démarche à ce niveau consiste à choisir, en premier lieu, une forme paramétrique
simple du champ de déformations à l’intérieur des éléments. Le champ des
déplacements, continu et différentiable, est déduit par intégration du champ des
déformations.
 Conditions de compatibilité cinématique
Physiquement, ces conditions expriment la continuité de la matière avant et après déformation

d’un corps solide, d’où l’appellation de conditions de compatibilité cinématique.
Mathématiquement, elles expriment des restrictions sur la forme des fonctions des
déformations pour permettre l’intégration des équations aux dérivées partielles. Leur
satisfaction est obligatoire pour garantir l’unicité des déplacements. En état
tridimensionnel, les six équations de compatibilité sont sous forme développée comme suit :
60
, ( )
, ( ) (4.31)
, ( )
IV.2. 2- Calcul de la matrice de rigidité élémentaire et du vecteur des charges nodales

équivalentes :
 Formulation variationnelle – Application du principe des travaux virtuels
Un solide déformable est en équilibre statique, lorsque pour tout champ de

déplacements virtuels cinématiquement compatibles, le travail virtuel des forces
extérieures est égal au travail virtuel intérieur. Cet équilibre s’exprime par la
relation :
(4.32)
Avec : ∫ ̿ ̿ ∫ (4.32 a)
Qui représente la variation de l’énergie de déformation.
∫ ∫ (4.32 b)
Qui représente la variation de l’énergie des forces extérieures, dans laquelle F est le vecteur
des forces de volume et est le vecteur des forces de surface.
 Pour les efforts intérieurs : ∫
Nous avons :
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ][ ]
=== ∫ [ ] [ ][ ] (∫ [ ] [ ][ ] )
L’expression : [ ] ∫ [ ] [ ][ ] représente la matrice de rigidité élémentaire de

l’élément fini.
61
 Pour les efforts externes : ∫ ∫
Nous avons :
[ ]
[ ]
=== ∫ [ ] ∫ [ ]
(∫ [ ] ∫ [ ] )
L’expression : ∫ [ ] ∫ [ ] représente le vecteur des forces

nodales équivalentes appliquées aux nœuds de l’élément fini.
 Intégration
L’évaluation de la matrice de rigidité est établie par intégration sur l’élément fini
de l’expression :
∫ [ ] [ ][ ] (4.33)
Pour cela deux méthodes sont utilisables :
 Intégration numérique
 Intégration analytique
IV.2. 3- Assemblage:
Mise en équation de l’équilibre statique de la structure :
 Application du principe des travaux virtuels :

 [ ] (4.34)
 Assemblage :
La structure (domaine D) est constituée de l’ensemble des sous domaines De qui sont
représentés par les éléments finis.
=== (4.35)
Par conséquent : ∑
=== [ ] ∑ [ ] ; ∑ ; ∑
=== [ ]
IV.2. 4- Prise en compte des conditions aux limites et résolution :
du système d’équations : [ ] (4.36)
 Prise en compte des conditions aux limites :
=== Blocages des déplacements (appuis)
Sollicitations (Charges équivalentes aux nœuds)
62
 Résolution :
=== Déterminations du vecteur de déplacement
Déterminations des réactions au niveau des appuis
IV.2. 5- Évaluation des grandeurs élémentaires :

Déterminations du vecteur de déplacement étant connu, il s’agit de déterminer à
l’intérieur de l’élément fini :
o Le champ des déplacements : [ ]
o Le champ des Déformations : [ ] [ ]
o Le champ des Contraintes : [ ] [ ][ ] [ ][ ]
IV.3- APPLICATION A UN ÉLÉMENTS FLEXIONNEL DE PLAQUE MINCE:
IV.3.1- Caractéristique :
Nous avons choisi un élément fini développé par [HIMR.14] dans ses travaux de recherche
pour l’obtention du diplôme de doctorat. Cet élément est un élément fini de plaque mince
triangulaire d’élasticité plane auquel il y a été rajouté un quatrième nœud fictif positionné à
l’extérieur et loin du triangle (voir figure IV.7). Cette position, à l’extérieur, est choisie pour
éviter l’assouplissement de la matrice de rigidité qui entrainerait une surestimation des
déplacements nodaux.
Chaque nœud possède trois degrés de liberté : les flèches et les rotations et .
Figure IV.7: Elément triangulaire de plaque avec trois degrés de liberté par nœud.
Les degrés de liberté correspondant à ce quatrième nœud sont par la suite éliminés par
condensation statique de la matrice de rigidité au niveau élémentaire. Donc l’intérêt majeur de
ce nœud fictif réside en l’enrichissement des champs de déplacements, et vise, par
conséquent, une plus grande précision dans l’approximation de la solution. Sa formulation se
base sur l’approche en déformation.
Les fonctions d’interpolation des champs de déformation, par conséquent des déplacements et
des contraintes sont développées en utilisant le triangle de pascal.
Le critère vibrationnel correspondant est celui de l’énergie potentielle totale.
L’intégration analytique dans l’évaluation de la matrice de rigidité, est fortement intéressante
pour éviter la perte de convergence ; phénomène observé chez les éléments iso paramétrique
(utilisant l’intégration numérique) qui sont très sensibles (leur convergence est conditionnée
par un maillage régulier – non distordu).
63
Les hypothèses de cette formulation sont celles de la théorie des plaques minces (théorie de
Kirchhoff) en négligeant le cisaillement transversal.
IV.3.2- Cinématique :
Dans (la figure IV.8), les rotations autour des deux axes x et y sont notée et et les
pentes dans les deux directions sont définies par les variables avec :
(4.37)
L’hypothèse de la section droite implique une variation linéaire de déplacement sur
l’épaisseur de la plaque. Ce qui se traduit par :
(4.38)
Les expressions (4.38) permettent de découpler les champs des déplacements de celui
de la flèche (w) qui constitue, en référence aux hypothèses de Kirchhoff, l’unique champ
permettant de définir le comportement de la plaque.
Z=0
Figure IV.8: Déformation d’une plaque en flexion (théorie de Kirchhoff)

Ainsi, les déplacements sont donnés par :
(4.39)
Et les rotations sont données par :
- (4.40)
Le tenseur de Green est alors :
(4.41)
( )
64
Les courbes liées aux moments sont données par :

, , ( ) (4.42)
IV.3.3- Condition de compatibilité cinématique :
Ces conditions [FRV.84] ont été établies par Saint Venant (1854). Leur satisfaction est
obligatoire pour garantir l’unicité des déplacements. Les équations de compatibilité sont sous
forme développée comme suit :
(4.43)
IV.3.4- Loi de comportement :
En état plan de contraintes et pour des matériaux isotropes, hypothèses généralement admise
pour le calcul des structures minces (poutres, plaques, et coques), la loi de comportement
s’écrit :
{ } [ ]{ } (4.44)
Ce qui se traduit en termes de relations *Moments – Courbures* par le système d’équation

suivant :
{ } [ ]{ } [ ] (4.45)
{ }
IV.3.5- Equation d’équilibre :
L’équilibre d’un élément géométrique de dimensions dx x dy est obtenu par le bilan des
forces extérieures et des actions internes et externes.
( ) (4.46)
Où sont respectivement les efforts tranchants dans les sections perpendiculaires aux
axes x et y. L’expression (4.46) est simplifiée pour donner :
(4.47)
65
L’équilibre des moments autour des axes x et y donne :

, (4.48)
En remplaçant les valeurs des équations (4.47) et (4.48) dans la relation établie par les
équations (4.45), la condition d’équilibre se traduirait en fonction du déplacement w par
l’expression suivante :
(4.49)
Avec : D =
IV.3.6- Fonction d’interpolation :
Cet élément possède quatre nœuds (les trois sommets du triangle auquel on a rajouté un
quatrième nœud fictif). Chacun de ses nœuds possède trois degrés de liberté. Donc les champs
des déplacements, formulés par l’utilisation du modèle en déformation, possèdent 12
constantes indépendantes ( ).
Les trois premières ( sont pour représenter les mouvements de corps rigide. Les
neuf autres ( sont utilisés dans le modèle de déformation de l’élément.
Ils sont répartis dans les fonctions d’interpolation des déformations de manière à satisfaire
les équations (4.43) de compatibilité cinématique pour l’élasticité plane. Le champ final des
déplacements est obtenu en additionnant la relation (4.40) et (4.50).
(4.50)
Sous forme matricielle le champ des déplacements donné par les équations (4.50) s’écrit
comme suit :
{ }=[ ]. (4.51)
Avec:
[ ]=
[ ]
(4.52)
66
Connaissant les coordonnées nodales ( coorespondant au nœud j (j=1,…..,4), le vecteur

des déplacements nodaux, au niveau élémentaire, est donné comme suit :
{ }=[ ][ ] (4.53)
Dans laquelle,
 [ ] Représente la matrice des coordonnées nodales,
 [ ]=[ ] [ ] représente la matrice des fonctions d’interpolation
Les courbures liées aux moments prendront la forme développée suivante :
{ } [ ] [ ]
(4.54)
Avec :
Ainsi, la matrice de déformation est donnée comme suit :
[ ] [ ] (4.55)
IV.3.7-Matrrice de rigidité élémentaire :
Le travail virtuel intérieur, élémentaire discrétisé est donné par l’expression :

∫ [ ] (4.56)
Sachant que : [ ] [ ][ ] (4.57)
Et que : [ ] (4.58)
Et en remplaçant dans l’expression (4.56) et par leurs valeurs données,

respectivement dans les équations (4.57) et (4.58), on obtient :
∫ [ ] [ ] [ ][ ][ ] (4.59)
Ainsi, la matrice de rigidité élémentaire tirée de l’expression (4.59) est la suivant :

[ ] ∫ [ ] [ ] [ ][ ][ ] (4.60)
67
L’expression (4.60) peut, s’écrire :

[ ] [ ] ∫ [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] (4.61)
L’évaluation de l’expression [ ] est établie par intégration analytique des différentes

composantes résultant du produit matriciel [ ] [ ][ ] dont les expressions
prennent la forme " . La matrice [ ] relative à l’élément "HIMEUR" est
donnée en annexe.
Enfin la matrice de rigidité élémentaire à prendre en considération au niveau de l’assemblage
et de la construction de la matrice de rigidité globale de la structure, est celle obtenue après
condensation de la matrice [ ] Cette condensation statique concerne les degrés de liberté
relatifs au quatrième nœud fictif.
68
CHAPITRE V :
VALIDATION NUMERIQUE
V.1– APPLICATION DE LA MÉTHODE DE GUYON-MASSONNET

V.1.1 – Exemple de calcul des CRT pour la dalle avec un biais de 60°
V.1.2 – Exemple de calcul des CRT pour la dalle avec un biais de 40°
V.2 – APPLICATION DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS

V.2.1 – Exemple de la dalle avec un biais de 60°
V.2.2 – Exemple de la dalle avec un biais de 40°
V.2.3 – Analyse et discutions des résultats
CHAPITRE V VALIDATION NUMERIQUE
CHAPITRE V :
VALIDATION NUMERIQUE
V.1. APPLICATION DE LA MÉTHODE DE GUYON-MASSONNET:
V.1.1- Exemple de calcul des CRT pour la dalle avec un biais de 60°:
Soit une travée :
longueur biaise Lb
largeur droite 2bd
La portée droite isostatique équivalente L0d
biais géométrique
1. Les méthodes du paragraphe précédent permettent de calculer sa portée biaise isostatique
équivalente L0b :
Figure V.1 : Dalle biaise : biais géométrique et mécanique.
𝑳𝒃 = 20
10
60°
Figure V.2 : Dalle biaise 60°
69
= = = m
√
= =
=
= 5 m
Dalle équivalente :
𝑳𝟎𝒃 =13.38
𝑳𝟎𝒅 =11.58
Figure V.3 : Dalle équivalente
2. Calcul des paramètres fondamentaux :
2b
11.58
Exemple de calcul du CRT par la méthode de Guyon-Massonnet. (Toutes les dimensions sont en m)
-Les caractéristiques de l’ouvrage:
 h : Hauteur des dalles : 01.00 mètre

 n : nombre de poutres : 11.00
 b1 : entre axe des poutres : 01.053 mètre
70
 b : demi-largeur de la dalle : 05.80 mètre

 2b : Largeur des dalles : 11.58 mètre
 L1 : Longueur d’entretoises : 13.38 mètre
 L : Longueur des dalles : 13.38 mètre
 Module de Young : 21000 MPA
 Coefficient de poisson : 0.2
2.1 - Calcul des paramètres fondamentaux :
 Largeur active :
La largeur active du tablier est donnée par la formule : 2b  n b0
2b = 11  1.053 = 11.58 m b = 5.79
 Calcul du moment d’inertie de flexion IP :

Poutres
1
5
= = 1.053
= 5 m4
 Rigidité flexionnelle des poutres par unité de largeur :
E = 21 000 MPA = 21 000 N/mm2 = 21 000 000 KN/m2
5
= = =
5
ρ = 5 KN m
 Calcul du moment d’inertie de flexion IE :
1
Entretoises
= = 13.38
= 5 m4
 Rigidité flexionnelle des entretoises par unité de longueur :
5
= = =
ρ = 5 KN m
71
 Calcul du moment d’inertie de torsion KP :
Module de torsion G :
= =
( ) ( )
= 5 KN m
5
K = =
K = 5 m4
 Rigidité torsionnelle des poutres par unité de largeur :
K 5 5
= = =
5
γ = KN m
 Calcul du moment d’inertie de torsion KE :
K = =
K = m4
 Rigidité torsionnelle des entretoises par unité de longueur :
K 5
= = =
γ = KN m
2.2 - Calcul des paramètres fondamentaux
Paramètre de torsion α :
= Avec : 0 ≤ α ≤ 1
√
= =
√ 5 5
𝛼=1
Remarque :
Pour le calcul d'un tablier des ponts dalles, on suppose que la dalle est isotrope et par
conséquent on prend = 1.
72
= : = = 𝜌 et ( + ) = 2𝜌 Le pont est une dalle isotrope.
Le paramètre d’entretoisement :
5 5
= √ = √
5
𝜃=
= On utilise donc la méthode de Guyon-Massonnet.
3. Calcul des CRT pour la poutre de rive N°1:
3-1 Courbe de K :
 Interpolation sur :
0,1    1 : D'après Massonnet ou Sattler.
= ( )
( )
Où : β = 1- β = 0.42
( ) 4
=
Avec: K0 : valeur de K correspondant à =0

K1 : valeur de K correspondant à =1
 Interpolation sur y (la position de la poutre) :
Y= 1.053 5 = 5.265 m et b = 5.8m

5 5
= =
5
Les tableaux de Massonnet donnent les valeurs de K pour :

 = 4 et =
 = ( )
 =
 = 4
En résumé , on a trois interpolations à faire. On choisit par ordre:

o = 4
o =
o 4 = 5 4 5 4
73
 Interpolation sur :
= 0.43 interpolation entre = et = 5
Dans ce cas ,
=
 Tableau pour = 0.40
=
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
4 0.5903 0.6613 0.7429 0.8420 0.9613 1.0994 1.2489 1.3940 1.5188
0.5148 0.5903 0.6778 0.7862 0.9220 1.0893 1.2893 1.5188 1.7680
0.545 0.6187 0.7038 0.8085 0.9377 1.0963 1.2731 1.4688 1.6683
k 0.545 0.6187 0.7038 0.8085 0.9377 1.0963 1.2731 1.4688 1.6683
Tableau N°1: K pour = 0.40 après 2 interpolations (sur y puis sur )
Les valeurs de K0 et de K1 pour K3b/4 et Kb sont recopiées directement à partir des

tableaux de Massonnet (les 2 premières lignes pour K); Ensuite, on effectue une première
interpolation sur y pour obtenir K0.9b, à savoir:
 = 4
 = 4
En utilisant les tableaux numériques de Massonnet, on a :

o = 5 =
o =
o = =
=
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
4 0.5202 0.5969 0.6881 0.8029 0.9458 1.1152 1.3013 1.4809 1.6291
0.4418 0.5202 0.6142 0.7355 0.8933 1.0938 1.3400 1.6291 1.9476
0.4731 0.5508 0.6437 0.7624 0.9143 1.1023 1.3245 1.5698 1.8202
K 0.4731 0.5508 0.6437 0.7624 0.9143 1.1023 1.3245 1.5698 1.8202
De même que pour le tableau N°1, ici, on a utilisé les 2 interpolations sur y puis sur , c.à.d.
 = 4
 = 4

o = = 5
o =
o = = 5
74
Dans notre cas: = ; On effectue alors la troisième interpolation sur θ en utilisant la

dernière ligne de chaque tableau à savoir:
 4 = 5 4 5 4
Ainsi, on obtient:
=
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
k 0.5090 0.5847 0.6737 0.7854 0.9260 1.0993 1.2988 1.5193 1.7442
Tableau N°3: K=K(e), après les 3 interpolations
Les valeurs trouvées de K sont arrondies à 2 chiffres après la virgule pour qu'on puisse tracer
la courbe de K
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

k 0.51 0.59 0.67 0.79 0.93 1.10 1.30 1.52 1.75
Tableau N°4: Valeurs arrondis de K = K(e)
On choisit une échelle pour tracer la courbe K=K(e), qui représente la ligne d'influence (Li)
de K pour la poutre N°1 (figure V.4 ).On trace la courbe de K de préférence sur un papier
millimétrique.
2
1,8
1,6
1,4
1,2
Valeurs de K(e)
1
0,8 Série1
0,6
0,4
0,2
0
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Ordonnées (y)
Figure V.4 : Ligne d'influence de K pour la poutre N°1.
4. Calcul des CRT pour la poutre centrale N°3 :
4.1 - Courbe de K :
et conservent les mêmes valeurs que pour la poutre de rive, c.à.d. = et = , par
conséquent, les interpolations sur et sur restent les mêmes que pour la poutre de rive N°1,
c.à.d.
75
 =
 4 = 5 4 5 4
Seule la position de la poutre change, elle devient: y = 0.Les tables de Massonnet donnent
directement des lignes correspondant pour y = 0, c.à.d. on n'a pas besoin d'interpoler sur y.
=
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
0.8273 0.9225 1.0129 1.0851 1.1160 1.0851 1.0129 0.9255 0.8273
0.9220 0.9613 1.0031 1.0414 1.0601 1.0414 1.0031 0.9613 0.9220
0.9220 0.9613 1.0031 1.0414 1.0601 1.0414 1.0031 0.9613 0.9220

Tableau N°5: K en fonction de e pour = après une interpolation (sur ) pour la poutre
centrale N°3.
On remarque bien que les ki sont symétriques par rapport à e=0. Les deux premières lignes
sont recopiées directement des tables de Massonnet. Ensuite la dernière ligne est obtenue
après interpolation sur .
=
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
0.7355 0.8811 1.0194 1.1304 1.1783 1.1304 1.0194 0.8811 0.7355
0.8933 0.9458 1.0032 1.0577 1.0850 1.0577 1.0032 0.9458 0.8933
0.8933 0.9458 1.0032 1.0577 1.0850 1.0577 1.0032 0.9458 0.8933

Tableau N°6: K en fonction de e pour = 5 après une interpolation (sur ) pour la poutre
centrale N°3.
Notre cas est pour = . On utilise la dernière ligne de chaque tableau et on interpole par
rapport à , à savoir:
 4 = 5 4 5 4
=
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
k 0.9076 0.9535 1.0031 1.0495 1.0725 1.0495 1.0031 0.9535 0.9076
Tableau N°7: K en fonction de e après tous les interpolations.
Les valeurs trouvées sont arrondis à 2 chiffres après la virgule pour qu'on puisse tracer la
courbe de K.
76
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

k 0.91 0.95 1 1.05 1.07 1.05 1 0.95 0.91
Tableau N°8: Valeurs arrondies de K en fonction de e.
On remarque bien qu'il existe une symétrie par rapport à e =0. On trace la courbe de
K=K(e), qui est ainsi symétrique par rapport à l'axe longitudinale du pont (figure V.5).
1,08
1,06
1,04
1,02
Valeurs k(e)
1
0,98
Série1
0,96
0,94
0,92
0,9
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Ordonnées(y)
Figure V.5 : Courbe de K en fonction de e pour la poutre centrale (N°3).
5. La flèche moyenne selon l'équation de la déformée est:
b1 =5.8m b1 =5.8m
q = 1 t /m2
P = b1 n q=1.053 1
1
P = 11.60 kn /ml
4
= 4 2b = 11.6m
4
= 4
= (m)
5
77
6. Le moment fléchissant longitudinal moyen est:
( )=
( )= = 5 (K m)
Par interpolation linéaire dans les tableaux de Massonnet pour θ=0,40 et θ=0,45 on trouve
les valeurs des coefficients K0 et K1 pour θ=0,43.
Dans la colonne y=3b/4 n lit pour e = -b ; -3b/4 ; -b/2 ; -b/4 ; 0 ; b/4 ; b/2 ; 3b/4 ; b :
Les flèches et les moments moyens sont:
 En x =L /2 = m et M0 = 5 Kn.m
 En x = L/4 = m et M0 = Kn.m
Donc on obtient les flèches et les moments longitudinaux en multipliant les flèches et les
moments moyens par le coefficient Kα calculé:
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

W(mm) 0.1714 0.1789 0.1883 0.1978 0.2015 0.1978 0.1883 0.1789 0.1714
X=1/2
Mx(kn.m) 16.523 17.249 18.157 19.065 19.428 19.065 18.157 17.249 16.523
W(mm) 0.1212 0.1265 0.1332 0.1398 0.1425 0.1398 0.1332 0.1265 0.1212
X=1/4
Mx(kn.m) 11.683 12.197 12.839 13.481 13.737 13.481 12.839 12.197 11.683
Tableau N°9: les flèches et les moments moyens par le coefficient Kα.
V.1.2-Exemple de calcul des CRT pour la dalle avec un biais de 40°:
7 .Les méthodes du paragraphe précédent permettent de calculer sa portée biaise isostatique

équivalente L0b :
𝑳𝒃 = 20
10
40°
Figure V.6 : Dalle biaise 40°
= =
√
= m
= =
78
= m
Dalle équivalente :
𝑳𝟎𝒃 =13.38
𝑳𝟎𝒅 =8.60
Figure V.7 : Dalle équivalente
8.Calcul des paramètres fondamentaux :
2b
8.60m
Exemple de calcul du CRT par la méthode de Guyon-Massonnet. (Toutes les dimensions sont en m)
79
Les caractéristiques de l’ouvrage:
 h : Hauteur des dalles : 01.00 mètre

 n : nombre de poutres : 11.00
 b1 : entre axe des poutres : 01.075 mètre
 b : demi-largeur de la dalle : 04.30 mètre
 2b : Largeur des dalles : 08.60 mètre
 L1 : Longueur d’entretoises : 13.38 mètre
 L : Longueur des dalles : 13.38 mètre
 Module de Young : 21000 MPA
 Coefficient de poisson : 0.2
8.1-Calcul des paramètres fondamentaux :
 Largeur active :
La largeur active du tablier est donnée par la formule : 2b  n b0
2b = 8  1.075 = 8.60 m b = 4.3m
 Calcul du moment d’inertie de flexion IP :
Poutres
1
5
= =
= 5 m4 1.075
 Rigidité flexionnelle des poutres par unité de largeur :
E = 21 000 MPA = 21 000 N/mm2 = 21 000 000 KN/m2
5
= = =
5
ρ = 5 KN m
 Calcul du moment d’inertie de flexion IE :
= =
= 5 m4
 Rigidité flexionnelle des entretoises par unité de longueur :
5
= = =
ρ = 5 KN m
80
 Calcul du moment d’inertie de torsion KP :
Module de torsion G :
= =
( ) ( )
= 5 KN m
5
K = =
K = m4
 Rigidité torsionnelle des poutres par unité de largeur :
K 5
= = =
5
γ = KN m
 Calcul du moment d’inertie de torsion KE :
K = =
K = m4
 Rigidité torsionnelle des entretoises par unité de longueur :
K 5
= = =
γ = KN m
9.Calcul des paramètres fondamentaux
Paramètre de torsion α :
α= avec : 0 ≤ α ≤ 1
√
= =
√ 5 5
𝛼=1
Remarque :
Pour le calcul d'un tablier des ponts dalles, on suppose que la dalle est isotrope et par
conséquent on prend = 1.
81
= : = = 𝜌 et ( + ) = 2𝜌 Le pont est une dalle isotrope.
Le paramètre d’entretoisement :
5
= √ = √
5
𝜃=
= On utilise donc la méthode de Guyon-Massonnet.
10. Calcul des CRT pour la poutre de rive N°2:
10.1- Courbe de K :
 Interpolation sur :
0,1    1 : D'après Massonnet ou Sattler.
= ( )
( )
Où : β = 1- β = 0.32
= ( )
Avec: K0 : valeur de K correspondant à =0

K1 : valeur de K correspondant à =1
 Interpolation sur y (la position de la poutre) :
Y= 1.075 3+0 .537 = 3.762 m et b = 4.3m

= =
Les tableaux de Massonnet donnent les valeurs de K pour :

 = 4 et =
 = ( )
 = 5
 = 5 4
En résumé , on a trois interpolations à faire. On choisit par ordre:

o = 5 4
o =
o = 5 5
82
 Interpolation sur :
= 0.43 interpolation entre = et = 5
Dans ce cas ,
=
=
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
4 0.7345 0.7876 0.8453 0.9104 0.9840 1.0652 1.1508 1.2351 1.3126
0.6733 0.7345 0.8012 0.8776 0.9664 1.0689 1.1849 1.3126 1.4474
0.7051 0.7621 0.8241 0.8946 0.9755 1.0669 1.1671 1.2723 1.3773
k 0.7051 0.7621 0.8241 0.8946 0.9755 1.0669 1.1671 1.2723 1.3773
Tableau N°10 : K pour = 0.30 après 2 interpolations (sur y puis sur )
Les valeurs de K0 et de K1 pour K3b/4 et Kb sont recopiées directement à partir des

tableaux de Massonnet (les 2 premières lignes pour K); Ensuite, on effectue une première
interpolation sur y pour obtenir K0.87b, à savoir:
 = 5 4
 = 5 4

o = 5 5 =
o =
o = =
=
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
4 0.6624 0.7255 0.7958 0.8781 0.9741 1.0824 1.1983 1.3115 1.4123
0.5926 0.6624 0.7408 0.8340 0.9466 1.0808 1.2369 1.4123 1.6001
0.6288 0.6952 0.7694 0.8569 0.9609 1.0816 1.2168 1.3598 1.5024
k 0.6288 0.6952 0.7694 0.8569 0.9609 1.0816 1.2168 1.3598 1.5024
De même que pour le tableau N°1, ici, on a utilisé les 2 interpolations sur y puis sur , c.à.d.
 = 5 4
 = 5 4

o = 5 5 = 5
83
o =
o = 5 =
Dans notre cas: = ; On effectue alors la troisième interpolation sur θ en utilisant la
dernière ligne de chaque tableau à savoir:
 = 5 5
Ainsi, on obtient:
=
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
k 0.6669 0.7286 0.7967 0.8757 0.9682 1.0742 1.1919 1.3160 1.4398
Tableau N°12: K=K(e), après les 3 interpolations
Les valeurs trouvées de K sont arrondies à 2 chiffres après la virgule pour qu'on puisse tracer
la courbe de K
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

k 0.67 0.73 0.80 0.88 0.97 1.07 1.19 1.32 1.44
Tableau N°13: Valeurs arrondis de K = K(e)
On choisit une échelle pour tracer la courbe K=K(e), qui représente la ligne d'influence (Li)
de K pour la poutre N°2 (figure V.8 ).On trace la courbe de K de préférence sur un papier
millimétrique.
1,6
1,4
1,2
1
Valeurs de K(e)
0,8
0,6 K
0,4
0,2
0
-6 -4 -2 0 2 4 6
ordonnées (y)
Figure V.8 : Ligne d'influence de K pour la poutre N°2.
11. Calcul des CRT pour la poutre centrale N°4 :
11.1- Courbe de K :
D et T conservent les mêmes valeurs que pour la poutre de rive, c.à.d. = et = , par
conséquent, les interpolations sur et sur restent les mêmes que pour la poutre de rive N°2,
c.à.d.
84
 =
 = 5 5
Seule la position de la poutre change, elle devient: y = 0.Les tables de Massonnet donnent
directement des lignes correspondant pour y = 0, c.à.d. on n'a pas besoin d'interpoler sur y.
=
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
0.9423 0.9742 1.0044 1.0283 1.0385 1.0283 1.0044 0.9742 0.9423
0.9664 0.9840 1.0018 1.0173 1.0244 1.0173 1.0018 0.9840 0.9664
0.9664 0.9840 1.0018 1.0173 1.0244 1.0173 1.0018 0.9840 0.9664

Tableau N°14: K en fonction de e pour = après une interpolation (sur ) pour la poutre
centrale N°4.
On remarque bien que les ki sont symétriques par rapport à e=0. Les deux premières lignes
sont recopiées directement des tables de Massonnet. Ensuite la dernière ligne est obtenue
après interpolation sur .
=
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
0.8954 0.9532 1.0079 1.0514 1.0700 1.0514 1.0079 0.9532 0.8954
0.9466 0.9741 1.0025 1.0279 1.0399 1.0279 1.0025 0.9741 0.9466
0.9466 0.9741 1.0025 1.0279 1.0399 1.0279 1.0025 0.9741 0.9466

Tableau N°15: K en fonction de e pour = 5 après une interpolation (sur ) pour la poutre
centrale N°4.
Notre cas est pour = . On utilise la dernière ligne de chaque tableau et on interpole par
rapport à , à savoir:
 = 5 5
=
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
k 0.9565 0.9790 1.0021 1.0226 1.0321 1.0226 1.0021 0.9790 0.9565
Tableau N°16: K en fonction de e après tous les interpolations.
Les valeurs trouvées sont arrondis à 2 chiffres après la virgule pour qu'on puisse tracer la
courbe de K.
85
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

k 0.96 0.98 1 1.02 1.03 1.02 1 0.98 0.96
Tableau N°17: Valeurs arrondies de K en fonction de e.
On remarque bien qu'il existe une symétrie par rapport à e =0. On trace la courbe de
K=K(e), qui est ainsi symétrique par rapport à l'axe longitudinale du pont (figure V.9 ).
1,04
1,03
1,02
1,01
Valeurs de K(e)
1
0,99
K
0,98
0,97
0,96
0,95
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Ordonnées(Y)
Figure V.9 : Courbe de K en fonction de e pour la poutre centrale (N°4).
12. La flèche moyenne selon l'équation de la déformée est:
b1= 4.3m b1= 4.3m
86
q = 1 kn /m2
2b = 8.6m
P = b1 n q=1.075 1
P = 8.6 kn /m
4
= 4
4
= 4
= (m)
5
Le moment fléchissant longitudinal moyen est:
( )=
( )= = 5 (K m)
Par interpolation linéaire dans les tableaux de Massonnet pour θ=0,30 et θ=0,35 on trouve
les valeurs des coefficients K0 et K1 pour θ=0,32.
Dans la colonne y=3b/4 n lit pour e = -b ; -3b/4 ; -b/2 ; -b/4 ; 0 ; b/4 ; b/2 ; 3b/4 ; b :
Les flèches et les moments moyens sont:
 En x =L /2 = m et M0 = 5 Kn.m
 En x = L/4 = m et M0 = Kn.m
Donc on obtient les flèches et les moments longitudinaux en multipliant les flèches et les
moments moyens par le coefficient Kα calculé:
e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

W(mm) 0.1808 0.1846 0.1883 0.1921 0.1940 0.1921 0.1883 0.1846 0.1808
X=1/2
Mx(kn.m) 17.431 17.794 18.157 18.520 18.702 18.520 18.157 17.794 17.431
W(mm) 0.1278 0.1305 0.1332 0.1358 0.1372 0.1358 0.1332 0.1305 0.1278
X=1/4
Mx(kn.m) 12.325 12.582 12.839 13.095 13.224 13.095 12.839 12.582 12.325
Tableau N°18: les flèches et les moments moyens par le coefficient Kα.
87
V.2. APPLICATION DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS :

V.2.1-Exemple de la dalle avec un biais de 60°:
Nous avons considéré dans cet exemple la dalle avec le biais de 60° illustrée dans le schéma
de la figure V .2. Les données géométriques et mécaniques utilisées sont les suivantes :
 Portée : 20.00 mètres

 Largeur : 10.00 mètres
 Epaisseur de la dalle : 01.00 mètre
 Angle du biais : 60°
 Module de Young : 21000000 Kn/m²
 Coefficient de Poisson : 0.2
 Charge uniformément répartie : q=1.00 Kn/m²
– Dalle simplement appuyée :
Comme l’illustre le schéma suivant ; le modèle « élément fini » est discrétisé en 09 nœuds et
08 éléments. Comme il ressort du test de convergence réalisé par [HIM.14] pour les dalles
biaises, nous avons considéré cette densité du maillage ; carelle correspond à un niveau de
convergence optimal vers la solution exacte.
5 6
•4 • •
•9 m
10 m
•7
8•
60°
•1 •2 •3
20 m
m
Figure V.10 : modèle « élément fini » 60°
Il s’agit de calculer la flèche au milieu de la dalle (Nœud 07) pour la comparer avec les
solutions données par la mèthode de Guyon-Massonnet et avec la solution exacte données par
[RAZ.73] :
= 5 (5.1)
Avec : = ( )
= =
( )
4
= 5 = =
88
En utilisant le programme « Elément fini » développé par [HIM.14] conçu pour la

modélisation des structures planes minces ;nous avons obtenu les résultats suivants.
Fichier des données

C plaque biaise 60° 8 éléments
C Données générales : NNO, NTE, NBC, NLN, NTY, NCLI, INTER
9 8 14 3 4 0 0
C coordonnées des nœuds: X Y (Z)
00.0000 0.0000
05.7735 0.0000
20.0000 0.0000
05.7735 10.0000
20.0000 10.0000
25.7735 10.0000
12.8868 5.0000
02.8868 5.0000
22.8868 5.0000
C Connexions des éléments

1 2 8
2 4 8
2 7 4
2 3 7
7 5 4
3 5 7
3 9 5
9 6 5
C Charges des plaques
C Charges nodales : nœud direction intensité
C Charges nodales
2 1 33.333
5 1 33.333
7 1 33.333
C Conditions aux limites : nœud direction bloquée

1 1
3 1
4 1
6 1
8 1
9 1
1 3
3 3
4 3
6 3
8 3
9 3
2 3
5 3
C Module d’élasticité, Poisson‚ épaisseur

2.1E+07 0.20000E+00 1.00000
***********************************************************************
89
Résultats
.....DEPLACEMENTS AUX NOEUDS
NOEUD *1* *2* *3*
1 0.00000E+00 -0.17217E-04 0.00000E+00

2 0.13770E-03 -0.28182E-04 0.00000E+00
3 0.00000E+00 0.28898E-04 0.00000E+00
4 0.00000E+00 -0.28898E-04 0.00000E+00
5 0.13771E-03 0.28182E-04 0.00000E+00
6 0.00000E+00 0.17218E-04 0.00000E+00
7 0.20274E-03 0.14414E-10 -0.59037E-09
8 0.00000E+00 -0.23385E-04 0.00000E+00
***********************************************************************
V.2.2-Exemple de la dalle avec un biais de 40°:
Nous avons considéré dans cet exemple la dalle avec le biais de 40° illustrée dans le schéma
de la figure V.6. Les données géométriques et mécaniques utilisées sont les suivantes :
 Portée : 20.00 mètres

 Largeur : 10.00 mètres
 Epaisseur de la dalle : 01.00 mètre
 Angle du biais : 40°
 Module de Young : 21000000 Kn/m²
 Coefficient de Poisson : 0.2
 Charge uniformément répartie : q=1.00Kn/m²
– Dalle simplement appuyée :
Comme l’illustre le schéma suivant ; le modèle « élément fini » est discrétisé en 09 nœuds et
08 éléments. Comme il ressort du test de convergence réalisé par [HIM.14] pour les dalles
biaises, nous avons considéré cette densité du maillage ; carelle correspond à un niveau de
convergence optimal vers la solution exacte.
4 5 6
• • •
mm
10 m
7
8• • •9
40°
•
1
• •
3
2
20 m
Figure V.11 : modèle « élément fini » 40°
90
Il s’agit de calculer la flèche au milieu de la dalle (Nœud 07) pour la comparer avec les
solutions données par la mèthode de Guyon-Massonnet.
En utilisant le programme « Elément fini » développé par [HIM.14] conçu pour la

modélisation des structures planes minces ;nous avons obtenu les résultats suivants.
Fichier des données
C plaque biaise 40° 8 éléments

C donnés générales : NNO, NTE, NBC, NLN, NTY, NCLI, INTER
9 8 10 3 4 0 0
C Coordonnes des nœuds: X Y (Z)
00.00 0.00
11.9175 0.00
20.00 0.00
11.9175 10.00
20.00 10.00
31.9175 10.00
15.9588 5.00
05.9588 5.00
25.9588 5.00
C Connexions des éléments

1 2 8
2 4 8
2 7 4
2 3 7
7 5 4
3 5 7
3 9 5
9 6 5
C Charges des plaques

C Charges nodales: nœud direction intensité
C Charges nodales
2 1 33.33333333
5 1 33.33333333
7 1 26.94153333
C Conditions aux limites : nœud direction bloque

1 1
3 1
4 1
6 1
8 1
9 1
1 3
3 3
4 3
6 3
8 3
9 3
C Module d'élasticité‚ Poisson, épaisseur

2.1E+07 0.20000E+00 1.00000
***********************************************************************
91
Résultats
.....DEPLACEMENTS AUX NOEUDS
NOEUD *1* *2* *3*
1 0.00000E+00 0.10055E-04 0.00000E+00

2 0.24727E-03 -0.13956E-04 0.19826E-04
3 0.00000E+00 0.31945E-04 -0.37368E-04
4 0.00000E+00 -0.31945E-04 0.37367E-04
5 0.24728E-03 0.13955E-04 -0.19826E-04
6 0.00000E+00 -0.10054E-04 0.00000E+00
7 0.19324E-03 -0.13001E-09 -0.70493E-09
8 0.00000E+00 -0.23897E-04 0.00000E+00
9 0.00000E+00 0.23898E-04 0.00000E+00
***********************************************************************
V.2.3-Analyse et discutions des résultats :
Les résultats de calcul donnés par les différentes méthodes sont résumés dans le tableau
suivant. Celui-ci reprend les flèches calculées au milieu de la dalle biaise.
Dalle avec biais de Dalle avec biais de

60° 40°
MéthodeGuyon-Massonnet 0.2015 E-03m 0. 1940 E-03m
Méthode Elément Fini 0. 20274E-03m 0. 19324E-03m
Solution exacte 0 .20223E-03m -

Tableau N°19: Flèches au milieu de la dalle pour les différentes méthodes
De ces résultats nous constatons ce qui suit :
- La méthode des éléments finis est une méthode appropriée pour l’analyse des structure
planes (dalles) biaises, puisque les solutions données par cette méthode sont très
proches de la solution exacte.
- L’élément fini considéré [HIM.14] est très performant, puisque l’erreur relative entre
la solution exacte et celle donnée par ce modèle représente 0,25 %.
- La méthode de Guyon-Massonnet donne également des résultats performants (erreur
relative égale à 0,36%) ; Seulement celle-ci nécessite de passer par la transformation
de la dalle biaise en une dalle rectangulaire équivalente.
- Cette transformation, établie par la méthode directe des flèches, développée dans le
guide technique CHAMOA (Chaine algorithmique modulaire ouvrages d’art) par
CEREMA [CHA .16], à donner une cohérence de l’analyse.
- La méthode de Guyon-Massonnet ne peut pas s’appliquer des biais inférieurs à 40°,
puisque le paramètre d’entretoisement dans ces cas est inférieur à 0,30.
92
CONCLUSION GENERALE
CONCLUSION GENERALE
CONCLUSION GENERALE
Ce mémoire de master porte sur l’étude de modélisation d’une dalle biaise avec la méthode
des éléments finis et validation du modèle, ce travail est articulé autour de deux principaux
axes :
Le premier concerne l’analyse des dalles biaises par une méthode analytique : celle de Guyon-
Massonnet.
Le second se base sur la modélisation de la dalle biaise par éléments finis.
Les deux méthodes sont appliquées sur deux exemples : une dalle avec un biais de 60° et une
dalle avec un biais de 40°.
Des résultats obtenus on peut tirer les conclusions suivantes :
- La méthode des éléments finis est une méthode appropriée pour l’analyse des structure
planes (dalles) biaises, puisque les solutions données par cette méthode sont très
proches de la solution exacte.
- L’élément fini considéré [HIM.14] est très performant, puisque l’erreur relative entre
la solution exacte et celle donnée par ce modèle représente 0,25%.
- La méthode de Guyon-Massonnet donne également des résultats performants (erreur

relative égale à 0,36%) ; Seulement celle-ci nécessite de passer par la transformation
de la dalle biaise en une dalle rectangulaire équivalente.
- Cette transformation, établie par la méthode directe des flèches, développée dans le
guide technique CHAMOA (Chaine algorithmique modulaire ouvrages d’art) par
CEREMA [CHA .16], à donner une cohérence de l’analyse.
- La méthode de Guyon-Massonnet ne peut pas s’appliquer des biais inférieurs à 40°,

puisque le paramètre d’entretoisement dans ces cas est inférieur à 0,30%.
93
REFERENCES
BIBLIOGRAPHIQUES
REFERENCES BIBLIOGRAPHIEQUE
[AHM.13] Ben Ahmed. Z Etude de la jonction poutre plaque /membrane dans la modélisation des
structures complexes, thèse Magister Université Mohamed Khider – Biskra,(2013).
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poutres par la méthode de Guyon-Massonnet, Annexe au chapitre 3.
[CON.10] guide de conception ponts mixtes acier-béton (sétra 2010).
[COD.10] ponts mixtes acier-béton, guide de conception durable.(sétra2010).
[CHA.16] guide technique CHAMOA P-Annexes (Chaine algorithmique modulaire ouvrages

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[CHR.66] MASSONNET CHARLES ET BAREŠ RICHARD « Le calcul des grillages de poutres et

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1966.424P.
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[DMC.01] Diverses méthode calcul des dalle– p. 25/25.

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[FRV.84] B.fraeijs de veubeke :displacements and equilibrium models in the finite elements
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[HIM.14] Mr himeur M., Contribution à la formulation de quelques éléments de coques basée sur
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[MAS.66] En 1966, Massonnet et Bareš publièrent un recueil de ces méthodes illustré par un
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[MAS.50] en 1950 généralisation des relations trouvées par Guyon en introduisant l'effet de la
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94
[MDP.55] La modélisation des plaques de formes géométriques irrégulières par la méthode des
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[MAS.62] M.MASSONNET, professeur à l’université de liège, compléments à la méthode de

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[MAU.58] Mauries.E, Conception général des ouvrages d’art,page 47-58.
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[TAN.04] Yannick SIEFFERT « l'entretoisement des ponts mixtes multi poutres ferroviaires »
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[OLI.05] Olivier .P, Mécanique des Structures par Eléments Finis, Volume 2 - Plaques ; Ecole
Nationale d'Ingénieurs de Tarbes(2005-2006).
[WIK.11] Site internet :wikipedia.Org /woki/pont.
95
ANNEXES
ANNEXE MÉTHODE DE GUYON-MASSONNET
Annexe 1 : la méthode de guyon-massonnent
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120

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‫الجمهىريت الجسائريت الديمقراطيت الشعبيت‬

‫وزارة التـعليم العالي والبحث العلمي‬

Présenté à l’Université 08 Mai 1945 de Guelma

Présenté par : TADJINE TARIQ ET HANANI RAMZI

Sous la direction de : HIMEUR MOHAMMED

L’aboutissement de ce travail doit beaucoup à sa confiance, à son soutien incessant et à son

A tous mes enseignants qui ont contribué à ma formation.

Au nom d’Allah, le Tout Miséricordieux, tout d’abord je tiens à remercier le Tout

A mes très chers parents.

A mon ami : Tadjine Tariq

A tous mes camarades de promotion. Et toute personne que je connais.

La particularité de ce type de structure, liée surtout à la distorsion géométrique de sa

The aim of this work is to provide some answers to this problem.

- LISTE DES TABLEAUX.

CHAPITRE I : INTRODUCTION GENERALE

I.1 – Cadre de la recherche: ........................................................................................................ 1

I.2 – Problématique et objectifs : ............................................................................................... 1

I.3 – Plan de la thèse : ................................................................................................................ 2

CHAPITRE II : NOTIONS GENERALES SUR LES OUVRAGES D’ART

II.1– GÉNÉRALITÉ SUR LES OUVRAGES D’ART : .......................................................... 3

II.1.1 – introduction : ........................................................................................................... 3

II.1.2 – Buses et Dalots :...................................................................................................... 3

II.1.3 – Tunnels :.................................................................................................................. 5

II.1.3.1 –Tunnels montagneux : ...................................................................................... 5

II.1.3.2 –Tunnels sous les eaux (rivière ou mer) : .......................................................... 5

II.1.3.3 –Tunnels sous les routes : .................................................................................. 6

II .1.4 – les Ponts : ............................................................................................................... 6

II.1.4.1 –Définition : ....................................................................................................... 6

II.1.4.2 – Elément principaux d’un pont :....................................................................... 6

II.1.4.3 – Quelque exemples de ponts : .......................................................................... 8

II.2 – CLASSIFICATION DES PONTS : .............................................................................. 10

II.2.1 – Selon le matériau principal : ................................................................................. 10

II.2.2 – Selon la nature de la voie portée : ......................................................................... 11

II.2.3 – Selon leur fonctionnement mécanique : ............................................................... 12

II.2.3.1 – Les ponts à poutres : ..................................................................................... 12

II.2.3.2 – Les ponts en arc : .......................................................................................... 13

II.2.3.3 – Les ponts à câbles : ....................................................................................... 14

II .3 – LES PONTS : ................................................................................................................ 17

II.3.1 – Les ponts caissons : ............................................................................................... 17

II.3.1.1 – Conception générale des ouvrages mixtes en caisson : ................................ 17

II.3.1.1.1 – Généralités : ..................................................................................... 17

II.3.1.1.2 – Morphologie transversale : .............................................................. 18

II.3.2 – Ponts – dalle : ........................................................................................................ 20

II.3.2.1 – Présentation de la structure : ........................................................................ 20

II.3.2.1.2 – Domaine d’emploi : ......................................................................... 21

II.3.2.1.3 – Avantages ponts-dalles dans le cadre de leur domaine d’emploi : .. 24

II.3.2.2 – Conception : .................................................................................................. 24

II.3.2.2.1 – Profil longitudinal-élévation-coupe longitudinale : ......................... 25

II.3.2.2.2 – Coupe transversale : ......................................................................... 26

II.3.2.2.3 – Biais et courbure en plan : ............................................................... 28

II.3.2.2.4 – appuis-appareils d’appui : ................................................................ 29

CHAPITRE III : QUELQUES METHODES DE CALCUL DES DALLES

III.1– MÉTHODE DE GUYON-MASSONNET : ................................................................. 31

III.1.1 – introduction :........................................................................................................ 31

III.1.2 – paramètres fondamentaux: ................................................................................... 31

III.1.3 – les deux paramètres fondamentaux (paramètres sans dimension) : ..................... 33

III.1.3.1 – paramètre d'entretoisement θ : ..................................................................... 33

III.1.3.2 – paramètre de torsion α: ................................................................................ 33

III .1.4 – Méthode des coefficients de répartition : ........................................................... 34