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    Ex 2 TD 6 Explication

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    Exercice 2 du TD 6 : comment trouver une base q-orthogonale avec la méthode de Gauss ?

    On a vu en TD que la méthode de Gauss donnait, en notant


     
    x1
    →
    u = x2 
    x3 can
    →
    le vecteur des composantes de u dans la base canonique de R3 :
    →
    q( u ) = (x1 + x2 + x3 )2 + x22 + x23
    D’après le cours si l’on note :

    f1 (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2 + x3
    f2 (x1 , x2 , x3 ) = x2
    f3 (x1 , x2 , x3 ) = x3

    les formes linéaires "sous les carrés", alors ce sont des applications linéaires linéairement indépendantes.
    On a :
    →
    q( u ) = (f1 (x1 , x2 , x3 ))2 + (f2 (x1 , x2 , x3 ))2 + (f3 (x1 , x2 , x3 ))2
    Méthode pour en déduire une base q-orthogonale :
    Etape 1 :
    On écrit le changement de variables suivant :

    f1 (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2 + x3
     = x01
    f2 (x1 , x2 , x3 ) = x2 = x02 (1)
    = x03

    f3 (x1 , x2 , x3 ) = x3

    Etape 2 :
    On écrit la matrice associée à ce système :  
    1 1 1
    P = 0 1 0
    0 0 1
       0
    x1 x1
    (c’est-à-dire la matrice P telle que P. x2  = x02 ).
    x3 x03
    Etape 3 :
    On justifie que P est inversible en disant : d’après la méthode de Gauss, les formes linéaires fi sont linéairement
    indépendantes, donc P est inversible.
    Etape 4 :
    On inverse P (méthode de Gauss pour l’inversion de matrices).
    Etape 5 :
    Les vecteurs colonnes de P −1 constituent une base q-orthogonale.
    Méthode expliquée :
    Explication de l’étape 3 : Pourquoi le fait que les fi soient linéairement indépendantes garantit le fait que P soit
    inversible ? Parce que si P n’était pas inversible, on aurait une relation linéaire non triviale entre les lignes de P qui
    se traduirait, au vu de l’écriture (1), par une relation linéaire non triviale entre les fi et contredirait le fait qu’elles
    sont linéairement indépendantes.
    →
    Explication des étapes 4 et 5 : On a vu que pour un vecteur u de R3 , la méthode de Gauss donne, avec
    l’écriture (1) :
    →
    q( u ) = x02 02 02
    1 + x2 + x3 (2)

    1
     
    y1
    →
    Rappelons que le but est de trouver une base B q-orthogonale, c’est-à-dire une base dans laquelle, si u = y2  ,
    y3 B
    →
    alors q( u ) ne fait intervenir que des carrés , c’est-à-dire est de la forme :
    →
    q( u ) = a1,1 y12 + a2,2 y22 + a3,3 y32

    Or, on voit que d’après (2), si on trouve une base B dans laquelle
     0
    x1
    →
    u = x02 
    x03 B

    alors B sera bien q-orthogonale puisqu’on aura :


    →
    q( u ) = q(x01 , x02 , x03 ) = x02 02 02
    1 + x2 + x3

    Tout revient donc à trouver une base B telle que :

    x01
     
    →
    u = x02 
    x03 B

    Or, on sait que :  


    x1
    →
    u = x2 
    x3 can
    Et par construction de P dans l’étape 2, on a :
    → →
    P.Mcan ( u ) = MB ( u )

    Donc, d’après une formule du cours :


    P = PB,can
    Donc P est inversible et :
    P −1 = Pcan,B
    Donc P −1 a pour colonne les composantes des vecteurs de B dans la base canonique.
    Ceci justifie les étapes 4 et 5.

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