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    PAMO 2018 Problems FR

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    26ièmes OLYMPIADES PAN AFRICAINES DE MATHÉMATIQUES

    Nairobi du 23 au 30 Juin 2018

    Jour 1 : Mercredi 27 Juin 2018 Durée : 4 h 30 min

    Problème 1

    Trouver toutes les fonctions f : Z −→ Z telles que (f (x + y))2 = f (x2 ) + f (y 2 )


    pour tous x, y ∈ Z.

    Problème 2

    Un tournoi d'échecs est organisé avec la participation de garçons et de lles. Le


    nombre de lles est le double de celui des garçons. Deux joueurs se rencontrent exac-
    tement une fois. A la n du tournoi, il n'y a eu aucun nul et le rapport des victoires
    des lles par les victoires des garçons a été 97 .
    Combien de joueurs ont participé au tournoi ?

    Problème 3

    Pour tout entier naturel non nul x, on pose


    g(x) = le(plus grand diviseur impair de x,
    x
    2
    x
    + g(x) , si x est pair;
    f (x) =
    si x est impair.
    x+1
    2 2 ,

    On considère la suite (xn )n∈N∗ dénie par x1 = 1, xn+1 = f (xn ). Montrer que l'entier
    2018 apparaît dans cette suite, déterminer le plus petit entier naturel non nul n tel
    que xn = 2018, et déterminer si n est unique ou non.
    26ièmes OLYMPIADES PAN AFRICAINES DE MATHÉMATIQUES

    Nairobi du 23 au 30 Juin 2018


    Jour 2 : Jeudi 28 Juin 2018 Durée : 4 h 30 min

    Problème 4

    Etant donné un triangle ABC , soit D le point d'intersection de la droite passant


    par A perpendiculaire à (AB), et de la droite passant par B perpendiculaire à (BC).
    Soit P un point à l'intérieur du triangle. Montrer que les points D, A, P et B sont
    cocycliques si et seulement si BAP
    [ = CBP\.

    Problème 5

    Soient a, b, c et d des réels non nuls, deux à deux distincts tels que
    a b c d
    + + + = 4 et ac = bd.
    b c d a
    Montrer que
    a b c d
    + + + 6 −12
    c d a b
    et que −12 est le maximum.

    Problème 6

    Un cercle est divisé en n secteurs (n > 3). Chaque secteur peut être rempli soit
    par 1 ou 0. On choisit n'importe quel secteur C contenant 0, on le change en 1 et on
    change simultanément les symboles x, y dans les deux secteurs adjacents à C en leurs
    complémentaires 1 − x, 1 − y . On répète ce procédé tant qu'il existe un zéro dans un
    certain secteur. Dans la conguration initiale il existe un 0 dans un seul secteur et
    des 1 dans les autres secteurs. Pour quelles valeurs de n peut-on nir ce procédé ?

    0 1 0 0

    0 →0 0 →1
    =⇒
    0 0 0 1

    1 1 1 1

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