SESSION 2020 PC2P

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

____________________

PHYSIQUE

Lundi 4 mai : 14 h - 18 h
____________________

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

 Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d’autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence
des résultats.
 Ne pas utiliser de correcteur.
 Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
___________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé d’un problème constitué de trois parties indépendantes.

Leurs poids respectifs sont approximativement de :

40 % pour la partie I
19 % pour la partie II
41 % pour la partie III

1/14
 PROBLÈME

De la physique de l’aéronef

Ce problème aborde certains aspects de la physique appliqués à un avion dans trois parties
indépendantes. Dans la partie I, on s’intéresse à la mécanique du vol avec trois sous-parties
indépendantes. Après avoir précisé des généralités dans la sous-partie I.1, on étudie la trajectoire
d’un avion dans la sous-partie I.2 puis le décollage d’un avion dans la sous-partie I.3. La partie II
aborde des problématiques d’instrumentation et est constituée de deux sous-parties indépendantes
avec des études théoriques du tube de Pitot (sous-partie II.1) et de la mesure du givre (sous-partie
II.2). Enfin, la partie III traite de la propulsion. On calcule d’abord la force de propulsion (sous-
partie III.1), puis on aborde l’étude du cycle thermodynamique de Brayton pour un turboréacteur
simple flux (sous-partie III.2), et on termine par le fonctionnement de la tuyère (sous-partie III.3).

Les effets de la gravité sur l’air seront négligés dans l’ensemble du problème.

Partie I - Mécanique du vol

La figure 1 représente un schéma simplifié des principales caractéristiques géométriques du profil

d’une aile d’avion. L’extrados est la surface supérieure du profil et l’intrados est la surface
inférieure du profil. La distance L entre le bord d’attaque et le bord de fuite est appelée corde du
profil.

On travaille dans le référentiel de l’aile. Dans ce référentiel, loin de l’aile, la vitesse de l’air est
 
notée v . L’angle entre la corde et v est l’angle d’incidence i. La vitesse de l’avion par rapport à
  
l’air est notée Va avec 
Va V a v
 v .

Dans cette partie, la vitesse de l’avion sera suffisamment faible devant la célérité du son dans l’air
pour considérer l’air en écoulement incompressible.

za z


v Corde du profil L

Figure 1 - Caractéristiques géométriques du profil d’une aile d’avion

2/14
I.1 - Généralités

Q1. Définir la notion de ligne de courant associée aux particules de fluide. Est-ce une description
de nature eulérienne ou lagrangienne ?

Q2. Dans la figure 2 sont représentées les lignes de courant pour un profil donné. En analysant ces
lignes de courant, expliquer pourquoi l’écoulement stationnaire de l’air, supposé parfait,
homogène et incompressible, génère une force de portance de l’avion.

Figure 2 - Lignes de courant autour du profil d’une aile d’avion

Q3. En pratique, pour étudier la répartition de pression P le long de l’intrados et de l’extrados, on

définit une pression adimensionnée appelée coefficient de pression :
P  P
CP  ,
1
    v 2

2
où P ,   et v sont respectivement la pression, la masse volumique et la vitesse de
l’écoulement incident loin de l’aile. On représente CP pour l’intrados et l’extrados en
fonction de x/L la position par rapport à la corde (figure 3). Justifier à quelle courbe, CP1 ou
CP2, on associe l’intrados et l’extrados.

CP1

x/L

CP2

CP

Figure 3 - Coefficient de pression sur l’intrados et l’extrados

Q4. Pourquoi observe-t-on toujours CP  1 ?

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Par intégration de la différence des coefficients de pression entre intrados et extrados sur toute la
corde du profil, on obtient le coefficient de portance, adimensionné,
Fz
Cz  ,
1
 Sréf    v 2

2
avec Sréf la surface de l’aile et Fz, la force de portance exercée sur l’aile. Cette force de portance est
perpendiculaire à l’écoulement (figure 4). Par ailleurs, la répartition de pression le long de
l’intrados et de l’extrados ne se traduit pas uniquement par la force de portance Fz qui est
perpendiculaire à l’écoulement, mais également par la présence d’une force de traînée
1
Fx   Cx  Sréf     v 2 , parallèle à l’écoulement et qui s’oppose au déplacement (figure 4). C x est
2
le coefficient de traînée.


Fz

i 
Fx
direction
écoulement

Figure 4 - Décomposition des efforts aérodynamiques : portance et traînée

Q5. Vérifier que le coefficient de portance C z est adimensionné.

L’influence de l’angle d’incidence i sur le coefficient de pression CP est représentée en figure 5.

CP

x/L

extrados
Profil de l’aile
intrados

Figure 5 - Influence de l’incidence sur le CP

4/14
Q6. Le coefficient de portance C z est-il plus important pour une incidence de 2° ou 6° ? Justifier.

Q7. Le pilote peut faire varier la surface des ailes en actionnant des surfaces mobiles, les volets.
En phase de décollage, indiquer et justifier la configuration que le pilote va choisir : volets
rentrés ou sortis ?

Q8. On considère un vol en palier, c’est-à-dire avec un vecteur vitesse et une altitude de l’avion
constants. Représenter l’ensemble des forces s’exerçant sur l’avion et expliquer comment la
force de traînée est compensée.

Q9. Pourquoi est-il intéressant de voler à haute altitude ?

Q10. Dans cette question, on se propose d’interpréter physiquement ce que les professionnels de
C
l’aéronautique appellent la finesse f  z d’une aile. Pour cela, on considère la situation
Cx
d’un avion, tous moteurs coupés, ayant un mouvement de translation rectiligne uniforme
descendant. On note  l’angle entre la direction de l’écoulement de l’air autour de l’avion et
l’horizontale (figure 6). À l’aide d’une représentation des forces sur le schéma de la figure 6,
établir le lien entre la finesse f et l’angle . De quelle distance dH l’avion a-t-il avancé à
l’horizontale lorsqu’il a perdu une altitude dV ? Conclure sur le sens physique de la finesse.


ux
G

horizontale

Avion

Figure 6 - Avion en mouvement rectiligne uniforme sans propulsion

Pour apprécier la qualité d’une aile on trace la polaire de l’aile qui est la courbe de son Cz en
fonction de son Cx (figure 7).

Cz

Cx

Figure 7 - Polaire d’une aile

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Q11. Reproduire l’allure de la polaire d’une aile sur votre copie et indiquer les points correspondant
respectivement à une traînée minimale, une portance maximale et une finesse maximale.

Q12. Quand on va du point pour lequel la traînée est minimale vers le point pour lequel la portance
est maximale, comment évolue l’angle d’incidence ?

I.2 - Trajectoire d’un avion en présence de vent latéral

Un avion doit se déplacer en ligne droite d’un point A vers un point B situés à la même altitude par

rapport au sol. Il subit un vent contraire constant de vecteur vitesse vv qui fait un angle  avec la
trajectoire AB comme indiqué sur la figure 8. L’avion vole à une vitesse constante Va par rapport à
  
l’air. Le vecteur vitesse associé, Va , fait un angle  avec la route au sol AB. u x et u y sont des
vecteurs unitaires.

B 
 uy
vv
 
ux
 
Va

Figure 8 - Trajectoire avion soumis à un vent contraire

Q13. À quelle condition entre Va, vv ,  et , l’avion peut-il se déplacer en ligne droite de A vers B ?

Q14. Calculer l’angle de correction  que le pilote doit imposer à son avion lorsque  = 20°,
sachant que vv = 56 km·h-1 et Va = 445 km·h-1.

Q15. L’avion doit faire un aller-retour entre les deux points A et B, distants de d = 500 km dans les
mêmes conditions de vent. Calculer la durée T du trajet aller-retour en négligeant la durée du
demi-tour. Comparer à la durée T’ de ce même trajet en l’absence de vent. Commenter.

I.3 - Décollage d’un avion

Q16. On s’intéresse au décollage d’un quadriréacteur A380 dont la masse au décollage est de
500 tonnes. Sa vitesse au moment où il quitte la piste est de 260 km·h-1. Estimer, en précisant
les hypothèses effectuées, un ordre de grandeur de la poussée d’un réacteur lors de phase
d’accélération sur la piste. Discuter votre résultat sachant que la poussée maximale d’un
réacteur d’A380 est de 370 kN et que la finesse au décollage est proche de 10.

Cette question nécessite une prise d’initiative en termes de modélisation de la situation et

d’introduction de valeurs numériques pertinentes. Le barème valorise la démarche menée, même si
celle-ci reste inachevée.

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 Partie II - Instrumentation

II.1 - Tube de Pitot

Le tube de Pitot est un des nombreux capteurs qui équipent l’avion. Il permet la mesure de la vitesse
de l’avion, donnée essentielle à sa bonne conduite. Il s’agit d’un tube très fin (moins de 5 mm2 de
surface) qui est placé parallèlement à la direction de l’écoulement de l’air (figure 9). Ce tube
possède deux ouvertures en F et G. L’ouverture en F est la prise dite de pression totale et celle en G
est la prise dite de pression statique. On mesure la différence de pression de l’air entre les deux
tubes 1 et 2 avec un manomètre différentiel, ce qui permet d’obtenir la vitesse v de l’écoulement.

tube 2
G


v tube 1 I
H h

Figure 9 - Tube de Pitot

On considère que l’air est un fluide parfait, homogène, incompressible, de masse volumique   et
en écoulement stationnaire. On rappelle que les effets de la gravité sur l’air sont négligés. Loin du
tube l’air a une pression P et une vitesse v .

Q17. Représenter l’allure de la ligne de courant qui aboutit en F et l’allure de la ligne de courant
qui longe le tube et passe à proximité de G.

Q18. Déterminer, en fonction de P ,   , et v , les expressions de la vitesse vF et de la pression PF

du fluide en F ainsi que la vitesse vG et la pression PG du fluide en G.

Q19. Dans le manomètre, il y a un liquide de masse volumique l . On mesure une différence

d’altitude h entre les deux surfaces du liquide. Déterminer l’expression de la différence de
pression, PH  PI , entre ces deux surfaces.

Q20. Déduire des questions précédentes l’expression de la vitesse de l’écoulement v de l’air en

fonction de l ,   , g et h. Comment évolue h lorsque la vitesse de l’air augmente ?

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II.2 - Mesure du givre

Divers accidents d’avions ont été liés à la formation de givre sur les sondes Pitot conduisant ainsi à
une perte des indications de vitesse. Dans cette sous-partie on se propose d’étudier deux moyens de
mesure du givre.

II.2.1 - Mesure capacitive

On considère un condensateur plan constitué de deux armatures A1 et A2, parallèles, de surface S,

placées dans de l’air de permittivité  0 , uniformément chargées en surface et perpendiculaires à

l’axe (Oz) de vecteur unitaire associé uz (figure 10). L’armature A1 possède une densité
superficielle de charges positives + et l’armature A2 une densité superficielle de charges négatives
-. Ces armatures sont séparées d’une distance e. Les dimensions des armatures sont importantes
par rapport à la distance e qui les sépare.

  
Q21. Montrer que le champ électrique entre les armatures a pour expression : E   uz .
0

+ armature A1
z=e

uz
armature A2
z=0 -

Figure 10 - Condensateur plan

Q22. Déterminer l’expression de la capacité C du condensateur plan.

On admet que la capacité d’un condensateur plan placé dans un milieu diélectrique de permittivité
relative  r est obtenue en remplaçant, dans l’expression de la capacité C obtenue à la question
précédente,  0 par  0   r .

Q23. La permittivité relative de la glace est r = 80, celle de l’air est égale à 1. Il est possible de
détecter la présence de glace en utilisant des jeux d’électrodes de différentes tailles et de
différents espacements. En vous appuyant sur le schéma de principe de la figure 11, expliquer
qualitativement le principe de cette mesure dite capacitive. Justifier la nécessité d’utiliser
plusieurs capteurs de tailles différentes.

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 lignes de champ

aile avion

armatures du
condensateur armatures du
de capacité C1 condensateur armatures du
condensateur
de capacité C2
de capacité C3

capacité
C3

C2
C1

épaisseur de glace

Figure 11 - Mesure capacitive

II.2.2 - Mesure à ultrasons

Q24. Une autre méthode de mesure de l’épaisseur de la couche de glace consiste à analyser les
échos d’un signal à ultrasons. Expliquer brièvement le principe d’une telle mesure.

Partie III - Propulsion

Pour leur propulsion, les avions sont équipés majoritairement de réacteurs. Cette dénomination
usuelle désigne en fait des turboréacteurs qui appartiennent à la catégorie des turbomachines encore
appelées générateurs ou turbines à gaz. Les turbomachines présentent plusieurs avantages par
rapport aux moteurs à pistons, avec notamment un rapport puissance-poids environ trois fois
supérieur. En effet, le nombre de pièces mobiles est réduit et leur mouvement est très simple, ce qui
permet de les alléger. Ces machines sont inégalables lorsque de grandes puissances sont requises
avec des contraintes d’espace ou de poids. Leur inconvénient majeur est que leur efficacité et leur

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réactivité chutent très rapidement à faible puissance : ils ne sont donc pas adaptés au domaine
automobile par exemple.
Les constituants principaux d’un turboréacteur sont un compresseur, une chambre de combustion et
une turbine. Dans cette partie on étudie un turboréacteur dit simple flux (figure 12) pour lequel le
gaz entrant dans le réacteur passe dans un diffuseur pour en diminuer la vitesse avant d’être
comprimé par le compresseur. Le gaz comprimé arrive dans une chambre de combustion où il est
chauffé avant d’être détendu partiellement dans la turbine qui fournit la puissance nécessaire au
compresseur. En sortie de turbine, le gaz reste à une pression relativement élevée par rapport à la
pression extérieure et il est détendu dans une tuyère, ce qui permet de l’accélérer : c’est cette
accélération qui permet la propulsion de l’avion.

Le turboréacteur simple flux est principalement utilisé dans l’aviation militaire.

Chambre de
Diffuseur combustion Tuyère

Air Gaz
entrant sortant

Compresseur Turbine

Figure 12 - Schéma de principe d’un turboréacteur simple flux

III.1 - Force de propulsion

Le turboréacteur constitue un système ouvert (). En régime stationnaire, ce volume de contrôle


contient à l’instant t une masse d’air M(t) à laquelle on associe une quantité de mouvement p  t  .
Pour établir le bilan de quantité de mouvement, on doit définir un système fermé (*) qui, à

l’instant t, est constitué de M(t) et d’une masse entrante dans la tuyère me à la vitesse ve et, à

l’instant t + dt est constitué de M(t + dt) et d’une masse sortante de la tuyère ms à la vitesse vs . La
pression P0 autour du turboréacteur est uniforme. La surface d’entrée du turboréacteur est notée Se
et celle de sortie Ss.

Q25. Donner l’expression du vecteur quantité de mouvement du système fermé p *  t  à l’instant t.


Q26. Donner l’expression du vecteur quantité de mouvement du système fermé p *  t  dt  à
l’instant t + dt.

10/14
Q27. Des deux questions précédentes déduire, en régime stationnaire, l’expression de la dérivée du

d p * t 
vecteur quantité de mouvement du système fermé à l’instant t. On introduira Dm le
dt
débit massique d’air dans le réacteur.

Q28. Effectuer le bilan des forces s’exerçant sur le système.

Q29. Indiquer quelle(s) approximation(s) est/sont nécessaire(s) pour conclure que la force
  
 
appliquée par le réacteur à l’air a pour expression : Favionair  Dm  vs  ve .

Q30. En considérant un réacteur positionné horizontalement avec son entrée à gauche comme
indiqué sur la figure 12, représenter qualitativement le vecteur de la force exercée par l’air sur
  
l’avion Fair avion ainsi que les vecteurs ve et vs dans le référentiel du réacteur. Comparer les
normes ve et vs des vecteurs vitesses pour que la force exercée par l’air sur l’avion soit
propulsive.

III.2 - Cycle thermodynamique de Brayton

Le turboréacteur fonctionne selon le cycle théorique ouvert de Brayton. Les conditions d’étude de
ce cycle sont les suivantes :

 l’air est considéré comme un gaz parfait. Sa capacité thermique massique à pression
constante cp est supposée constante, comme le rapport  entre les capacités thermiques
isobare et isochore. On prendra  = 1,35 et cp = 1,1 kJ·kg-1·K-1,

 les variations d’énergie potentielle sont négligeables,

 l’énergie cinétique est supposée négligeable entre l’entrée du compresseur et la sortie de la

turbine.

En entrée du diffuseur, l’air est à l’état (1) : (P1, T1). On considère que le diffuseur est idéal, ce qui
revient à dire que l’énergie cinétique du gaz après traversée du diffuseur est négligeable devant les
autres termes énergétiques et que la traversée du diffuseur est adiabatique et réversible. En entrée du
compresseur, l’air se trouve à l’état (2) : (P2, T2) et est amené à l’état (3) : (P3 = 10P2, T3) par une
compression adiabatique réversible.
Dans la chambre de combustion, l’air, mélangé au carburant, subit un échauffement isobare
réversible jusqu’à l’état (4) : (P4, T4 = 1 400 K). Bien que les compositions du gaz à l’entrée et à la
sortie de la chambre de combustion soient différentes, pour simplifier la modélisation, on suppose
que celle-ci sert uniquement à réchauffer l’air et que les propriétés de l’air ne sont pas modifiées par
ce changement de composition.
L’air parvient alors dans la turbine où il subit une détente adiabatique réversible jusqu’à l’état (5) :
(P5, T5). Enfin, il se détend de façon adiabatique et réversible dans la tuyère et arrive dans l’état (6) :
(P6, T6).

On considère un avion qui vole avec une vitesse de croisière Va = 260 m·s-1 par rapport à l’air
considéré au repos. À cette altitude, l’air est à la pression de 34,5 kPa et à la température de
– 40 °C.

Dm 45 kg  s 1 .
L’air entre dans le compresseur avec un débit massique

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On rappelle que l’expression du premier principe pour une masse m = 1 kg de fluide en écoulement
au travers d’une machine est :
v 2
h   g  
z wu  qe
2
où h représente la différence hs  he entre les enthalpies massiques (en kJ·kg-1) du fluide à la
sortie hs et à l’entrée he de la machine,
v 2  vs 2  ve 2
avec vs et ve les vitesses du fluide à la sortie et à l’entrée de la machine,
z  zs  ze
avec zs et ze les altitudes du fluide à la sortie et à l’entrée de la machine, wu le travail massique
utile, c’est-à-dire le travail massique (en kJ·kg-1) échangé entre une masse m = 1 kg de fluide et les
parois mobiles de la machine, qe le transfert thermique massique entre le kilogramme de fluide et la
machine (en kJ·kg-1).

Q31. Donner l’expression de la température T2 en fonction de T1, Va et cp. Effectuer l’application

numérique.

Q32. Donner l’expression de la pression P2 en fonction de P1, T1, T2 et . Effectuer l’application

numérique.

Q33. Établir l’expression du travail massique utile wcomp fourni à l’air par le compresseur. En
prenant T3 = 480 K, calculer la puissance Pcomp de ce dernier.

Q34. Sachant que le travail fourni par la détente du gaz dans la turbine est intégralement reçu par le
compresseur, déterminer l’expression de la température T5 en fonction de T2, T3 et T4.
Calculer la valeur de T5. En déduire la valeur de la pression P5.

Q35. Donner l’expression de la vitesse de sortie du gaz vs en sortie de tuyère en fonction de T5, T6
et cp. Calculer la valeur de vs sachant que T6 = 680 K.

Q36. Déterminer la puissance liée à la force propulsive.

Q37. Calculer le rendement  du turboréacteur qui correspond au rapport entre la puissance liée à la
force propulsive et la puissance qui sert à chauffer le gaz dans la chambre de combustion
Pchamb = 45,5 MW. Comparer avec le rendement d’autres machines thermiques.

III.3 - Étude théorique de la tuyère

La tuyère, dernière partie du turboréacteur, a pour but d’accélérer les gaz et d’assurer ainsi la
propulsion de l’avion. Dans cette sous-partie, on va détailler le fonctionnement d’une tuyère afin
de montrer quelle géométrie est compatible avec l’accélération souhaitée. Cette sous-partie est
toutefois indépendante de la précédente.

On considère une tuyère de révolution d’axe horizontal (x’x), de section lentement variable, dans
laquelle se produit une détente d’air. L’air est assimilé à un gaz parfait, évoluant de façon
adiabatique réversible, en écoulement permanent unidirectionnel, de telle sorte que les paramètres
physiques : pression P, température T, vitesse v et masse volumique  ne dépendent que de
l’abscisse x.

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En x = 0, à l’entrée de la tuyère de section Se, la pression du gaz est notée Pe, sa température Te, sa
masse volumique e et la vitesse ve. La capacité thermique massique à pression constante cp et le
rapport  entre les capacités thermiques isobare et isochore sont supposés constants.

À l’abscisse x, au niveau de la section S(x), la vitesse du gaz v(x) de pression P(x), a pour
 1
 
  P  x   

expression : v  x
 2
ve  2  c p  Te  1    .
 P
  e  

Q38. On pose vm  2  c p  Te . Vérifier que cette quantité est homogène à une vitesse. On évalue
vm à environ 1 000 m·s-1.

Q39. Montrer que le débit massique Dm à l’abscisse x a pour expression : Dm   e  vm  S  x   G  x  .

Donner l’expression de la fonction G(x) en fonction de Pe, P(x), ve, vm et .

P  x
On pose   x   et on se propose dans les trois questions suivantes d’étudier et d’exploiter la
Pe
courbe CG associée à la fonction G() pour 0    1 représentée en figure 13.

G()

1

0 0,1 1

Figure 13 - Courbe CG associée à la fonction G() pour 0    1

Q40. Que vaut  en entrée de la tuyère ? Montrer, à l’aide de la figure 13 et des relations des
questions précédentes que pour que la vitesse augmente la tuyère doit d’abord être
convergente.

13/14
Q41. En considérant que ve = 100 m·s-1, on peut négliger ve² devant vm². Dans ces conditions, on

 2   1
admet que de la fonction G() est maximale pour  c    . Montrer qu’avec une
1   
tuyère uniquement convergente, la vitesse ne peut augmenter que jusqu’à une valeur limite
vlim qu’on exprimera en fonction de vm et .

Q42. On note Scol la section minimale de la tuyère à l’abscisse xcol lorsque la vitesse est vlim. Donner
S
l’expression du rapport col en fonction de ve, vm et G  c  . Donner une valeur numérique
Se
approchée de ce rapport à l’aide de la figure 13.

Q43. On rappelle que la théorie des ondes sonores permet d’établir que la célérité c du son dans un
gaz supposé parfait et subissant une transformation adiabatique réversible est donnée par la
 P
relation c  .

2  R
Montrer que la vitesse limite de l’écoulement vlim a pour expression vlim
   Te .
1  M
Puis, vérifier que cette vitesse est égale à la célérité ccol du son dans cette section Scol.

Q44. Pour les avions civils de transport de passagers, les tuyères sont convergentes afin que l’air
sorte à une vitesse égale à la vitesse du son. La pression à la sortie de la tuyère est égale à la
pression extérieure Patm. Donner l’expression de la pression Pe à l’entrée de la tuyère en
fonction de Patm et . Calculer Pe pour Patm = 34,5 kPa et  = 1,35.

Q45. Pour les avions militaires, on souhaite que la vitesse à la sortie de la tuyère soit supersonique
(supérieure à la vitesse locale du son). Quelle forme doit-on donner à la tuyère après la partie
convergente ? Justifier.

FIN

14/14
I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 20 1158 – D’après documents fournis