SuitesFromNationaux2008 2022 1
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SuitesFromNationaux2008 2022 1
M ATHÉMATIQUE
ac
2022 | R ATTRAPAGE 2.5 Points
p p
2 2− 2
Soit (u n ) la suite numérique définie par: u 0 = 2 et u n+1 = un + pour tout n de N
2 2
rB
p
2−2
b Montrer que pour tout n de N, u n+1 − u n = (u n − 1) et déduire que la suite (u n )
2
est convergente
³ x ´2
f est la fonction définie par: f (x) = x e 2 −1
1 1 + un
Soit (u n ) la suite numérique définie par: u 0 = et u n+1 = pour tout n de N
3 3 − un
(u n − 1)2
2 a Montrer que pour tout n de N, u n+1 − u n =
3 − un
ac
1
3 On pose v n = pour tout n de N
1 − un
a Montrer que (v n ) est une suite arithmétique et déterminer sa raison et son premier
terme
rB
n +1
b Déterminer v n en fonction de n et en déduire que u n = , pour tout n de N
n +3
c Calculer la limite de la suite (u n )
1011
4 A partir de quelle valeur de n, a-t-on u n Ê ?
Fo
1012
1 un
Soit (u n ) la suite numérique définie par: u 0 = et u n+1 = pour tout n de N
2 3 − 2u n
hs
1 Calculer u 1
u n+1 1
3 a Montrer que pour tout n de N, É
at
un 2
1 ¡ 1
Vérifier que pour tout n de N,
¢
5 a −1 = 3 −1
u n+1 un
Version 2022
3u n − 8
Soit (u n ) la suite numérique définie par: u 0 = 1 et u n+1 = pour tout n de N
2u n − 5
un − 3
2 On pose pour tout n de N, v n =
un − 2
ac
b Écrire v n en fonction de n et en déduire que u n en fonction de n pour tout n de N
rB
2020 | R ATTRAPAGE 2 Points
3 2u n
Soit (u n ) la suite numérique définie par: u 0 = et u n+1 = pour tout n de N
2 2u n + 5
at
1 Calculer u 1
2
3 a Montrer que pour tout n de N, 0 ≺ u n+1 É u n puis en déduire que pour tout n de N,
¡ ¢n 5
0 ≺ u n É 32 25
b Calculer lim u n
Version 2022
4u n
4 On considère la suite numèrique (v n ) définie par: v n = pour tout n de N
2u n + 3
Suite de l’exercice
2
a Montrer que (v n ) est une suite gèomètrique de raison 5
ac
Soit (u n ) la suite numérique définie par: u 0 = 3 et u n+1 = f (u n ) pour tout n de N
x −2
f est la fonction définie par: f (x) = x + g (x) avec g (x) = −(x − 4)2 ex−4 +x 2 (ex−4 −1)
x
rB
2 Déterminer la monotonie de la suite (u n ) et en déduire qu’elle est convergente
Suite de l’exercice
ac
1 Montrer, par récurrence, que 0 É u n É 1 pour tout n de N
rB
3 En déduire que (u n ) est convergente et déterminer sa limite
Suite de l’exercice
1
On considère la suite numérique (u n ) définie par: u 0 = 2 et u n+1 = 16 u n + 15
16
pour tout n de N
ac
15 ³ ´
b Vérifier que: u n+1 − u n = − u n − 1 pour tout n de N puis montrer que la suite (u n )
16
est décroissante
rB
2 Soit (v n ) la suite numérique telle que: v n = u n − 1 pour tout n de N
1
a Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 16
et exprimer v n en fonction de
n
³ 1 ´n
b Montrer que: u n = 1 + pour tout n de N puis déterminer la limite de la suite (u n )
Fo
16
3 + un
On considère la suite numérique (u n ) définie par: u 0 = 2 et u n+1 = pour tout n de N
5 − un
hs
³ ´
4 un − 3
1 Vérifier que: u n+1 −3 = ³ ´ pour tout n de N puis montrer par réccurence que: u n ≺ 3
2 + 3 − un
pour tout n de N
un − 1
at
1 + 3v n
b Montrer que: u n = pour tout n de N puis exprimer u n en fonction de n
1 + vn
3³ ´
2 Vérifier que: u n+1 − u n = 5 − u n pour tout n de N et en déduire que la suite (u n ) est crois-
5
sante
ac
4 Soit (v n ) la suite numérique telle que: v n = 5 − u n pour tout n de N
2
a Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 5
et exprimer v n en fonction de
n
rB
³ 2 ´n
b En déduire que: u n = 5 − pour tout n de N puis calculer la limite de la suite (u n )
5
2 Montrer que la suite (u n ) est croissante (remarquer graphiquement que: h(x) Ê x pour tout
x de ] − ∞ ; 0])
1
f est la fonction définie sur [1 ; α] par: f (x) = ³ ´ avec 2.2 É α É 2.3
x 1 − ln x
2 Montrer que la suite (u n ) est décroissante (admettant que: f (x)− x É 0 pour tout x de [1 ; α] )
Suite de l’exercice
5u n − 4
On considère la suite numérique (u n )n∈N∗ définie par: u 1 = 5 et u n+1 = pour tout n de N∗
1 + un
ac
1
3
2 On considère la suite numérique (v n )n∈N∗ définie par: v n = pour tout n de N∗
un − 2
1 + un
a Montrer que v n+1 = pour tout n de N∗ et montrer que la suite (v n )n∈N∗ est arith-
un − 2
rB
mètique de raison 1
3
b Exprimer v n en fonction de n et en déduire que: u n = 2 + pour tout n de N∗
n
c Déterminer lim u n
n→+∞
Fo
2014 | N ORMAL 3 Points
1
On considère la suite numérique (u n ) définie par: u 0 = 13 et u n+1 = u n + 7 pour tout n de N
2
1
a Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 2
et exprimer v n en fonction de
n
at
³ 1 ´n
b En déduire que: u n = 14 − pour tout n de N puis calculer la limite de la suite (u n )
2
c Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle u n  13.99
M
1³ ´
Version 2022
Suite de l’exercice
ac
a Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison et exprimer v n en fonction de
5
n
³ 1 ´n
b En déduire que: u n = + 1 pour tout n de N puis calculer la limite de la suite (u n )
5
rB
2013 | N ORMAL 3 Points
25
Soit (u n )n∈N∗ la suite numérique définie par: u 1 = 0 et u n+1 = pour tout n de N∗
10 − u n
³ ´
5 5 − un
Fo
∗
1 Vérifier que: 5 − u n+1 = ³ ´ pour tout n de N et montrer, par récurrence, que
5 + 5 − un
5 − u n  0 pour tout n de N∗
5
2 On considère la suite numérique (v n )n∈N∗ définie par: v n = pour tout n de N∗
5 − un
10 − u n
hs
a Montrer que v n+1 = pour tout n de N∗ et vérifier que: v n+1 − v n = 1 pour tout n
5 − un
de N∗
5
b Montrre que: v n = n pour tout n de N∗ et en déduire que: u n = 5 − pour tout n de N∗
n
c Déterminer lim u n
at
n→+∞
4u n + 3
M
un − 1
2 On pose: v n = pour tout n de N
Version 2022
un + 1
Suite de l’exercice
2
a Vérifier que: 1 − v n = pour tout n de N et en déduire que: 1 − v n  0 pour tout n
un + 1
de N
1 + vn
b Montrer que u n = pour tout n de N
1 − vn
1
3 a Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison et exprimer v n en fonction de
7
n
ac
b Montrer que: lim v n = 0 et en déduire la limite de la suite (u n )
n→+∞
rB
10 12
On considère la suite numérique (u n ) définie par: u 0 = 11 et u n+1 = un + pour tout n de N
11 11
10 ³ ´
1 Vérifier que: u n+1 − 12 = u n − 12 pour tout n de N
11
10
a En utilisant la question 1. Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison
11
puis exprimer v n en fonction de n
³ 10 ´n
b Montrre que: u n = 12 − pour tout n de N et calculer la limite de la suite (u n )
11
at
6u n
On considère la suite numérique (u n ) définie par: u 0 = 1 et u n+1 = pour tout n de N
1 + 15u n
M
1 u n − 13
1 a Vérifier que: u n+1 − = pour tout n de N
3 15u n + 1
1
2 On considère la suite numèrique (v n ) définie par: v n = 1 − pour tout n de N
3u n
Suite de l’exercice
1
Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison et exprimer v n en fonction de n
6
1
3 Montrer que u n = ³ 1 ´n pour tout n de N et en déduire n→+∞
lim u n
3−2
6
ac
un
On considère la suite numérique (u n ) définie par: u 0 = 1 et u n+1 = pour tout n de N
5 + 8u n
1
2 On pose: v n = + 2 pour tout n de N
rB
un
a Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 5 puis exprimer v n en fonction
de n
1
b Montrer que: u n = pour tout n de N et calculer la limite de la suite (u n )
3 × 5n − 2
Fo
2010 | R ATTRAPAGE 3 Points
3u n
On considère la suite numérique (u n ) définie par: u 0 = 1 et u n+1 = pour tout n de N
21 + u n
hs
1
2 Montrer que: u n+1 ≺ u n pour tout n de N
7
³ 1 ´n
4 a Montrer, par récurrence, que: u n ≺ pour tout n de N∗
7
3u n − 1
On considère la suite numérique (u n ) définie par: u 0 = 2 et u n+1 = pour tout n de N
2u n
Version 2022
Suite de l’exercice
un − 1
2 On considère la suite numèrique (v n ) définie par: v n = pour tout n de N
2u n − 1
1 1 ³ 1 ´n
a Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison et en déduire que: v n =
2 3 2
pour tout n de N
b Calculer lim w n , sachant que (w n ) est la suite définie par: w n = ln (u n ) pour tout n
n→+∞
de N
ac
2009 | R ATTRAPAGE 3 Points
1 + 4u n
Soit (u n ) la suite numérique définie par: u 0 = 0 et u n+1 = pour tout n de N
7 − 2u n
rB
³ ´
6 1 − un
1 Vérifier que 1−u n+1 = ³ ´ pour tout n de N et montrer, par récurrence, que: 1−u n Â
5 + 2 1 − un
0 pour tout n de N
2u n − 1
2 On pose v n = pour tout n de N
Fo
un − 1
5
a Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison puis exprimer v n en fonction
6
de n
³ 5 ´n
−1
b Montrer que: u n = ³ 6 ´n pour tout n de N∗ puis en déduire la limite de la suite (u n )
5
hs
−2
6
5u n
Soit (u n ) la suite numérique définie par: u 0 = 2 et u n+1 = pour tout n de N
2u n + 3
un − 1
2 On pose v n = pour tout n de N
un
3
a Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison puis exprimer v n en fonction
ac
5
de n
2
b Montrer que: u n = ³ 3 ´n pour tout n de N∗ puis calculer la limite de la suite (u n )
2− −2
5
rB
2008 | N ORMAL 2 Points
i
F
n
M
i
Version 2022