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Etude numérique de l’effet des singularités géométriques sur la distribution

des contraintes dans les plaques stratiﬁées
Thesis · June 2013

DOI: 10.13140/RG.2.1.5114.6000
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1 author:
Abdelhak Khechai
Université de Biskra
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‫الجمهورية الجزائرية الديمقراطية الشعبية‬
République Algérienne Démocratique et Populaire
‫وزارة التعليم العالي و البحث العلمي‬
Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche scientifique
Université Mohamed Khider – Biskra ‫جامعة محمد خيضر بسكرة‬

Faculté des Sciences et de la technologie
‫كلية العلوم و التكنولوجيا‬
Département : de génie civil et
hydraulique
‫ الهندسة المدنية و الري‬:‫قسم‬
……………:‫المرجع‬
Réf :………………
Mémoire de Master
2éme année
Conception et calcul des structures
Etude numérique de l’effet des singularités géométriques

sur la distribution des contraintes dans les plaques
stratifiées
Soutenu le …. /…./….
Etudiant : Encadreur :
- KHECHAI ABDELHAK Dr. TATI ABDELWAHAB
Juin 2013
Remerciements
Au terme de ce travail, je teints à adresser mes remerciements les plus sincères aux
personnes qui m’ont apporté leur aide et qui ont contribué à l'élaboration de ce mémoire ainsi
qu’à la réussite de ma formation.
Je remercie particulièrement Monsieur Tati Abdelwahab Maitre de conférence classe

A à l’université de Biskra, qui, en tant qu’encadreur, s'est toujours montré à l'écoute et très
disponible tout au long de la réalisation de ce mémoire, ainsi pour le soutien, l'aide, et le
temps qu'il a bien voulu me consacrer et sans qui ce mémoire n'aurait jamais vu le jour.
Mes remerciements s’adressent également, au membre du jury qui ont bien voulu
accepté de juger ce travail.
J’exprime ma profonde gratitude et remerciements à tous les enseignants de l’institut de Génie

Civil de l’Université de Biskra qui ont été pour beaucoup dans mon cursus.
Je n'oublie pas mes parents pour leur contribution, leur soutien, leurs encouragements
et leur patience toute au long de mon parcours scolaire et universitaire sans eux je ne serais
pas là aujourd’hui.
Enfin, j’adresse mes plus sincères remerciements à tous mes proches et amis, qui
m’ont toujours soutenus et encouragés au cours de la réalisation de ce mémoire.
Dédicace
A tous ceux qui ont de loin ou de près contribués à ceux travail
A tous ceux qui m’ont encouragé soutenus et aidés
A mes parents
A mes frères et sœurs
A mes proches
A mes amis
A mes professeurs
A mes collègues
A ceux qui malgré la distance ont toujours été la présent par leurs apport morale
Merci à tous et à toutes

RESUME
La concentration des contraintes est un phénomène qui touche à toutes les plaques qui
contiennent une singularité géométrique et sollicitées par des contraintes normales de traction
ou de compression.
Le présent travail a pour but de déterminer l’effet de singularité géométrique sur la

distribution des contraintes auteur d’un trou, pour des plaques isotropes et des plaques
composites (anisotropes). Les calculs ont été effectués numériquement en utilisant un
programme en langage FORTRAN.
La comparaison des résultats avec ceux obtenus analytiquement et ceux obtenus en

utilisant un élément S4R d’Abaqus, ont été en bon accord avec les nôtre.
Le travail a été achevé par une étude paramétrique qui a pour but de montrer les effets
de différents paramètres agissant sur la concentration des contraintes dans les plaques
composites.
MOTS CLES : Plaque, concentration des contraintes, Singularité géométrique, sollicitation,

contrainte normale, anisotropie, isotropie, composites,
ABSTRACT
The stress concentration is a phenomenon that affects all types of plates which contain
geometric singularity and which are loaded with normal compression or traction stress.
The present work aims to determine the effect of geometric singularity on the stress
distribution author of a hole for isotropic plates and composite plates (anisotropic). The
calculations were performed numerically using a FORTRAN program.
Comparing the results with those obtained analytically and those obtained using
Abaqus’s element S4R, were in good agreement with ours results.
The work was completed by a parametric study that aims to show the effects of various
parameters influencing the stress concentration in composite plates.
KEY WORDS: Plates, stress concentration, geometric singularity, solicitations, normal

stress, anisotropic, isotopic, composite.
‫ملخص‬
‫تركيز اإلجهاد هو ظاهرة تؤثر على جميع اللوحات التي تحتوي على فرديات هندسية و تخضع إلجهادات ضغط و قص‬
‫عموديه‪.‬‬
‫يهدف العمل المقدم الى تحديد تأثير الفرديات الهندسية في توزيع االجهادات حول ثقب بالنسبة أللواح متجانسة الخواص و‬
‫الواح مركبة مختلفة الخواص و هذا باستعمال برنامج بلغة ‪Fortran‬‬
‫المقارنة بين النتائج النظرية و النتائج المتحصل عليها بواسطة برنامج ‪ Abaqus‬تتوافق بشكل جيد‪.‬‬
‫في نهاية هذا العمل قمنا بدراسة للعوامل و الخصائص المؤثرة على تركيز اإلجهادات في االلواح المركبة غير متجانسة‬
‫الخواص‬
‫الكلمات المفتاحية ‪ :‬الواح ‪ ،‬تركيز اإلجهادات ‪ ،‬الفرديات هندسية ‪ ،‬اجهادات عمودية ‪ ،‬متجانسة الخواص ‪ ،‬غير متجانسة‬
‫الخواص ‪ ،‬االلواح المركبة‪.‬‬
Sommaire
Introduction Générale …………………………………………………………………….. I

Problématique…………………………………………………………………………...... I
Chapitre I : Généralité Sur Les Matériaux Composites
I.1 Introduction ………………………………………………………………………… 01
I.2 Historique …………………………………………………………………………... 02
I.4 Définitions de base ………………………………………………………………..... 03
I.5 Avantages et les inconvénients des matériaux composites ……………………….... 03
I.6 Eléments constituants d’un matériau composite …………………………………… 04
I.7 Classification des matériaux composites ………………………………………....... 04
I.8 Architecture des matériaux composites ………………………………………........ 05
I.8.1 Sandwich …………………………………………………………………. 05
I.8.2 Monocouche et les stratifiés ……………………………………………... 07
 I.8.2.a Monocouche ……………………………………………… 07
 I.8.2.b Stratifiés ………………………………………………….. 07
Désignation des structures stratifiées …………………………………….. 09
Angles positifs et négatifs ………………………………………………... 09
Stratifiés symétriques …………………………………………………….. 10
Pourquoi la symétrie miroir ……………………………………………… 10
Séquence …………………………………………………………………. 11
Stratifiés hybrides ………………………………………………………… 11
Intérêt de l’orientation des fibres sur la déformation …………………….. 11
Chapitre II : Comportement Mécanique Des Plaques Stratifiées
II.1 Introduction ………………………………………………………………………. 13
II .2 Loi de comportement des stratifies ……………………………………………….. 14
II.2.1 Caractéristiques du mélange renfort-matrice ……………………………. 14
II.2.1.a Modules de Young longitudinale ………………………............ 16
II.2.1.b Modules de Young transversal ……………………………....... 17
II.2.1.c Coefficient de Poisson longitudinal …………………………… 18
II.2.1.d Module de cisaillement longitudinal ………………………….. 18
II.2.2 Loi de Hooke généralisée ……………………………………………...... 19
II.2.3 Différents Types des matériaux …………………………………………. 20
II.2.3.a Matériaux anisotropes ………………………………………… 20
II.2.3.b Matériaux orthotropes ………………………………………… 21
II.2.3.c Matériaux transversalement isotropes ……………………........ 22
II.2.3.d Matériaux isotropes …………………………………………… 23
II.2.4 Relation contrainte-déformation plane ………………………………….. 24
II.2.5 Relation contrainte déformation pour une orientation des fibres ……….. 24
II.3 Théories utilisées dans la formulation analytique de structures composites ……… 26
II.4 Théorie classique des stratifies (CLT) …………………………………………….. 27
II.4.1 Relation déformations-déplacements (Cinématique) ………………........ 29
II.4.2 Expression des résultantes et des moments ……………………………... 30
II.4.2.a Résultantes en membrane …………………………………....... 30
II.4.2.b Moment de flexion et de torsion ………………………………. 31
II.5 Influence de l’empilement des couches …………………………………………… 32
II.5.1 Couche isotrope …………………………………………………............. 32
II.5.2 Couche orthotrope rapportée à ses axes principaux ……………….......... 33
II.5.3 Couche orthotrope non rapportée à ses axes ……………………............. 33
II.5.4 Stratifiés symétriques …………………………………………………… 34
II.5.4.a Cas général …………………………………………………….. 34
II.5.4.b Stratifiés symétriques dont les axes des matériaux de toutes les
couches coïncident avec les axes du stratifié (symétrie miroir).. 35
II.6 Déplacement d’une plaque composite …………………………………………….. 36
Chapitre III Etude Théorique Des Plaques Composites Trouées
III.1 Introduction ………………………………………………………………………. 37
III.2 Comportement d’une plaque isotrope trouée …………………………………….. 38
III.2.1 Champ de contraintes loin du trou ………………………………........... 39
III.2.2 Forme générale des contraintes ………………………………………… 39
III.2.3 Concentration de contrainte au bord du trou …………………………… 41
III.2.4 Facteur de concentration de contrainte …………………………………. 41
III.3 Comportement d’une plaque composite trouée ………………………………....... 44
 Historique ……………………………………………………….... 42
III.3.1 Concentrations de contraintes autour des trous ………………………… 43
III.3.1.a Théorie de Green-Zarna ……………………………………… 43
 Plaques orthotropes ……………………………………………….. 44
 Plaques anisotropes ……………………………………………..... 47
III.3.1.b Théorie de Lekhnitskii ………………………………………. 47
Chapitre IV Formulation Eléments Finis Et Programmation
IV.1 Introduction ………………………………………………………………………. 52
IV.2 Historique ………………………………………………………………………… 53
IV.3 Formulation de l’élément fini ……………………………………………………. 54
IV.3.1 Coordonnées intrinsèques ……………………………………………… 54
IV.3.2 Approximation nodale des coordonnées ……………………………...... 55
IV.3.3 Champs des déplacements ………………………………………........... 56
IV.3.4 Relations cinématiques ………………………………………………… 57
IV.3.5 Loi de comportement ………………………………………………....... 58
IV.3.6 Principe des travaux virtuel ……………………………………………. 59
IV.4 Présentation du programme ……………………………………………………… 60
IV.4.1 Description les subroutines du programme …………………………….. 60
IV.4.2 Organigramme du Programme …………………………………………. 62
IV.4.3 Modélisation par Abaqus ………………………………………………. 64
IV.5 Validation de l’élément …………………………………………………………... 64
IV.5.1 Plaque isotrope encastrée à coté et libre à l’autre …………………........ 65
IV.5.2 Plaque composite monocouche encastrée à coté et libre à l’autre …....... 67
IV.5.3 Plaque stratifiée encastrée à coté et libre à l’autre ………………........... 72
 Conclusion ………………………………………………………………... 75
Chapitre V Distribution Des Contraintes Dans Les Plaques Menues d’Ouvertures
Circulaires Centrées
V.1 Introduction ……………………………………………………………………….. 76
V.2 Problématique du maillage ………………………………………………………... 76
V.3 Plaque isotrope trouée …………………………………………………………...... 77
V.4 Plaque composite monocouche trouée ……………………………………………. 80
V.5 Etude paramétrique ……………………………………………………………...... 83
V.5.1 Effet de l’orientation des fibres ……………………………………......... 83
V.5.2 Effet de stratification des couches ……………………………………..... 89
 Conclusion ………………………………………………………………... 91
Conclusion Générale……………………………………………………………………… 92
Références Bibliographiques…………………………………………………………… 94
Liste des Figures
Figure I.1 : Un sandwich typique …………………………………………………. 05
Figure I.2 : Différents Cœurs ……………………………………………………... 06
Figure I.3 : Monocouche ………………………………………………………….. 07
Figure I.4 : Les constituants d'un composite stratifié …………………………….. 08
Figure I.5 : Désignation d'un stratifié …………………………………………….. 09
Figure I.6 : Convention de signe pour la désignation des stratifiés ………………. 10
Figure I.7 : L’influence de l’Orientation des fibres (Essai de traction) …………... 12
Figure II.1 : Cellule élémentaire d’un composite unidirectionnel ………...……… 15
Figure II.2 : Schéma simplifié d’une traction longitudinale ………………………. 16
Figure II.3 : Schéma simplifié d’une traction transversale ………………………... 17
Figure II.4 : Schéma simplifié d’un essai de cisaillement longitudinal …………… 18
Figure II.5 : Représentation schématique d’un matériau orthotrope avec trois plans
de symétrie …………………………………………………………… 21
Figure II.6 : Représentation schématique d’un matériau transversalement isotrope 23
Figure II.7 : Axes principaux et axes de référence d'une couche stratifiée
(Figure adaptée de BERTHELOT (2010)) ………………………….. 25
Figure II.8 : Schématisation des déformations dans le cas de la théorie classique
des stratifies (Figure adaptée de Berthelot (2010)) …………………. 28
Figure II.9 : Schématisation des résultantes en membrane, des moments de flexion
et de torsion (Figure adaptée de François-Xavier (2009)) ………….. 31
Figure II.10 : Plaque stratifié soumise à une traction suivant l’axe x ………………. 36
Figure III.1 : Plaque percée d’un trou circulaire de rayon a et soumise, loin du
trou, à une sollicitation de traction simple d’intensité   ……………. 39
Figure III.2 : Plaque composite stratifié avec un trou circulaire …………………… 43
Figure III.3 : Plaque orthotrope unidirectionnelle avec un trou circulaire …………. 44
Figure III.4 : Plaque orthotrope avec un trou circulaire chargée transversalement … 46
Figure III.5 : Plaque orthotrope chargée par une contrainte de cisaillement
uniforme …………………………………………………………….... 46
Figure III.6 : Plaque orthotrope unidirectionnelle avec un trou circulaire …………. 47
Figure III.7 : Organigramme de calcul le facteur de concentration de contrainte par
la méthode de Green-Zarna …………………………………………... 49
Figure III.8 : Organigramme de calcul le facteur de concentration de contrainte par
la méthode de Lekhnitskii ……………………………………………. 50
Figure III.9 : Organigramme de calcul le déplacement …………………………….. 51
Figure IV.1 : Transformation géométrique …………………………………………. 54
Figure IV.2 : Triangle de pascale …………………………………………………… 56
Figure IV.3 : Organigramme du programme ……………………………………….. 64
Figure IV.4 : Convergence du déplacement pour une plaque isotrope ……………... 66
Figure IV.5 : Plaque mince isotrope Maillage 10x10 Elément S4R du code calcul
ABAQUS …………………………………………………………….. 66
Figure IV.6 : Convergence du déplacement pour la plaque composite monocouche.. 68
Figure IV.7 : Plaque composite monocouche mince Orientation 0° Maillage 10x10
Elément S4R du code calcul ABAQUS ……………………………… 68
Figure IV.8 : Convergence du déplacement pour une plaque composite
monocouche avec une orientation 45°/-45°…………………………... 70
Figure IV.9 : Plaque composite monocouche mince Orientation 45°/-45° Maillage
10x10 Elément S4R du code calcul ABAQUS ………………………. 70
Figure IV.10 : Convergence du déplacement pour une plaque composite
monocouche avec une orientation 90° ……………………………….. 71
Figure IV.11 : Plaque composite monocouche mince Orientation 90°Maillage
10x10 Elément S4R du code calcul ABAQUS ……………………… 72
Figure IV.12 : Convergence du déplacement pour une plaque stratifie ……………... 74
Figure IV.13 : Plaque stratifie équivalente Maillage 10x10 Elément S4R du code
calcul ABAQUS ……………………………………………………… 74
Figure V.1 : Maillage d’une plaque carrée trouée …………………………………. 77
Figure V.2 : FDC pour une plaque isotrope trouée ………………………………... 78
Figure V.3 : Convergence du FDC pour une plaque isotrope trouée ……………… 79
Figure V.4 : Plaque mince isotrope trouée Maillage (48x72) Elément S4R du code
calcul ABAQUS ………………………………………………............ 80
Figure V.5 : FDC pour une plaque composite monocouche trouée ……………….. 81
Figure V.6 : Convergence du FDC pour une plaque composite monocouche trouée 82
Figure V.7 : Plaque mince monocouche trouée Orientation 0° Maillage (72x72)
Figure V.8 : FDC pour une plaque composite monocouche trouée avec une
orientation de 45°……………………………………………………... 84
Figure V.9 : Plaque mince monocouche trouée Orientation 45°Maillage (72x72)
orientation de -45°…………………………………………………….. 85
Figure V.11 : Plaque mince monocouche trouée Orientation -45° Maillage (72x72)
orientation de 90°……………………………………………………... 87
Figure V.13 : Plaque mince monocouche trouée Orientation 90° Maillage (72x72)
Figure V.14 : FDC pour une plaque stratifie trouée ………………………………… 90
Figure V.15 : Plaque mince stratifie trouée Maillage (72x72) Elément S4R du code
calcul ABAQUS ……………………………………………………… 91
Liste des Tableaux :
Tableau IV.1 : Propriétés géométriques et mécaniques de la première plaque test ….. 65
Tableau IV.2 : Déplacement maximum pour la plaque isotrope …………………….. 65
Tableau IV.3 : Propriétés géométriques et mécaniques de la deuxième plaque test … 67
Tableau IV.4 : Déplacement maximum pour la plaque composite monocouche ……. 67
Tableau IV.5 : Propriétés géométriques et mécaniques de la deuxième plaque test
avec des orientations différentes …………………………………….. 69
Tableau IV.6 : Déplacement maximum pour une plaque composite monocouche
avec une orientation 45°/-45°……………………………………... 69
Tableau IV.7 : Déplacement maximum pour une plaque composite monocouche
avec une orientation 90°……………………………………………… 71
Tableau IV.8 : Propriétés géométriques et mécaniques de la plaque stratifie ……….. 72
Tableau IV.9 : Propriétés géométriques et mécaniques équivalentes de la plaque
stratifie ……………………………………………………………….. 73
Tableau IV.10 : Déplacement maximum pour une plaque stratifie …………………… 73
Tableau V.1 : Valeurs maximales du FDC pour une plaque isotrope touée ………… 77
Tableau V.2 : Valeurs numériques maximales du FDC pour une plaque isotrope
trouée ………………………………………………………………… 78
Tableau V.3 : Valeurs maximales du FDC pour une plaque composite monocouche
trouée ………………………………………………………………… 80
Tableau V.4 : Valeurs numériques maximales du FDC pour une plaque composite
monocouche trouée …………………………………………………... 81
trouée avec une orientation de 45°……………………………………. 84
trouée avec une orientation de -45°…………………………………... 86
trouée avec une orientation de 90°………………………………........ 87
Tableau V.8 : Variation du FDC en fonction de l’orientation des fibres …………… 88
Tableau V.9 : Valeurs maximales du FDC pour une plaque stratifie trouée ………... 89
Introduction Générale
L’usage des composites à matrice organique ne cesse de croitre dans les domaines les plus
variés, en particulier les stratifiés à fibres longues de verre et à matrice époxyde sont de plus
en plus utilisés pour la réalisation de pièces de structure. Les bonnes propriétés mécaniques
spécifiques de ces matériaux permettent en effet un allégement des structures,
particulièrement recherché dans les constructions civiles. Les composites stratifiés
verre/époxyde présentent d’excellentes propriétés mécaniques mais la présence d’un trou et
sous l’action des différentes sollicitations mécaniques, la tenue des structures composites peut
être considérablement réduite, la concentration des contraintes est en général le premier
phénomène observé au bord du trou.
A cause de cette concentration de contraintes, des fissures peuvent apparaître très tôt dans la
durée de vie de la structure et elles peuvent constituer des zones d’amorçage pour d’autres
mécanismes d’endommagement plus dangereux (décohésion fibre/matrice et le délaminage).
La connaissance de la concentration de contraintes est donc un préalable indispensable aux
études ayant pour but d’assurer l’intégrité de la structure.
Problématique :
Comment peuvent-les singularités géométriques influer sur la distribution des contraintes

dans les plaques composites?
Pour différentes raisons pratiques, l’assemblage boulonné de structures hybrides

composites/métalliques est un passage obligatoire dans la conception des structures. Il est
alors nécessaire d’effectuer des opérations de perçage dans les composites stratifiés qui, par
leur nature, sont des matériaux hétérogènes, orthotropes. C’est pourquoi il s’impose alors une
bonne connaissance du comportement mécanique sous diverses sollicitations des matériaux
composites stratifiés perforés, et ceci passe par une formulation théorique des lois de
comportement. L’une des questions faisant actuellement l'objet d'activés de recherches dans
ce domaine, concerne l’analyse de comportement des structures composites stratifiées sous
l’effet de concentration des contraintes.
Page I
Dans ce travail, notre contribution est une étude numérique par la méthode des éléments finis,
pour déterminer l’effet des singularités géométriques sur la distribution des contraintes dans
les plaques stratifiées sollicitées par un effort de tr action.
Objectif :
Le but de notre travail est d’étudier une plaque stratifiée analytiquement, ensuite
numériquement en utilisant un élément fini membranaire (ce dernier a été formulé sous la
base de théorie de Kirchoff); en usant un programme écrit en langage FORTRAN et à l’aide
de l’élément S4R d’Abaqus afin de confronter les résultats obtenus, pour enfin procéder à
une validation de l’étude numérique ainsi qu’à l’exploitation du programme.
Nous avons divisé notre travail en cinq chapitres :
- Le premier chapitre a pour but de présenter une bibliographie qui comporte des
généralités sur les matériaux composites ainsi que des spécificités sur les plaques
stratifiées.
- Ensuite, nous allons consacrer le deuxième chapitre à une étude théorique
générale sur le comportement mécanique des plaques stratifiées, où on présente
les principaux types des matériaux composites.
- Nous nous sommes intéressés essentiellement dans Le troisième chapitre à
présenter les différentes approches proposées pour analyser le comportement des
plaques stratifiées trouées.
- Le quatrième chapitre : comportera une formulation en élément fini, dans
laquelle on utilisera un élément membranaire, ainsi qu’une programmation avec le
langage FORTRAN, le programme sera ensuite validé par comparaison avec les
résultats analytiques.
- Dans le dernier chapitre, on va analyser et exploiter les résultats donnés par le
programme, l’exploitation de ce dernier se fera par variation de différents
paramètres du matériau étudié.
Enfin une conclusion sur les principaux aspects abordés dans cette étude.
Page II
Chapitre I Généralité sur les matériaux composites
Chapitre I :
Généralités Sur Les Matériaux Composites.
I.1 Introduction :
Actuellement le besoin industriel à pousser les ingénieurs et les chercheurs dans

le monde entier à remplacer les matériaux classiques par des matériaux nouveaux capables de
résister à des conditions extrêmes.
Les matériaux traditionnels tels que le verre, le carbone, le bore…, répondant à ces
conditions par une manière très fragiles, un petit défaut suffit pour amorcer la rupture totale
de la structure. Pour pouvoir réaliser des structures suffisamment tolérantes aux dommages,
les chercheurs ont mis énormément d'efforts pour concevoir des matériaux de construction
présentent une bonne rigidité, une haute résistance mécanique, une ténacité élevée, bon
comportement à la fatigue, une grande légèreté, et la possibilité de concevoir le matériau
selon la nécessité. Et dans ce même contexte l'ingénieur désire, dans un grand nombre de
situation, concevoir des structures présentant un rapport performance /masse, le plus élevé
possible.
Aucun matériau classique ne permet de combiner ces caractéristiques, Et pour

atteindre ces objectifs, il est nécessaire d'utiliser des matériaux renforcés par des fibres qui
sont liées entre elles par une résine [1].
Donc, Les matériaux composites sont la naissance de ces recherches et

développements qui présentent un intérêt très important dans les domaines industriels
modernes tels que : la mécanique, l’aéronautique, l’Aérospatial, l’industrie automobile,
les constructions navales, le génie civil, et le sport…et qui possèdent des propriétés
mécaniques élevées spécifiques à leur emploi [2].
L’utilisation des matériaux composites dans la réalisation des structures offre aux
concepteurs des possibilités nouvelles, car les composites structuraux ont de très bons
Rapports rigidité/densité et résistance/densité [3].
Page 1
I.2 Historique:
Historiquement, le concept de renforcement à base de fibre, est très ancien ; il a été

utilisé par les Egyptiens dans la construction, par l’introduction de la paille dans de l’argile.
En 1942, le premier bateau à base de fibres de verre a vu le jour, et les plastiques

renforcés ont fait leur apparition dans les applications aéronautiques et les composants
électriques. Les fibres de carbone et de bore à haute résistance étaient introduites au début des
années 60, et ont été utilisées dans les composites à haute performances en 1968. Quant aux
composites à matrices métalliques, tels que le bore/aluminium, ils ont été introduits dans les
années 70. Par la suite, il y a eu le développement des fibres de Kevlar (aramide) en 1973. A
la fin des années 70, les applications des matériaux composites ont pris des plus d’ampleur, et
ont touché les constructions aéronautique et automobile, les équipements sportifs et l’industrie
biomédicale.
Les années 80 par contre ont été marquées par une augmentation spectaculaire de
l’utilisation des fibres à haute performances. Actuellement, l’accent est mis sur le
développement des composites destinés aux applications à hautes températures, tels que les
composites à matrice métallique, à matrice céramique et carbone/carbone [4].
I.3 Qu’est-ce que c’est qu’un matériau composite ?
D’après Berthelot (2010), une définition générale des matériaux composites est:
≪ Un matériau composite est constitué de l’assemblage d'au moins deux matériaux non
miscibles (mais ayant une forte capacité d’adhésion) et de nature différente, (donc Ils sont
des matériaux artificiels), se complétant et permettant d'obtenir un matériau dont les
performances globales sont améliorées, vis-à-vis d'un besoin spécifique, par rapport à celles
de ses constituants élémentaires ≫.
Un matériau composite est constitué de différentes phases nommées « renforts » et

« matrice ». Chacun des deux constituants jouant un rôle particulier dans la tenue mécanique
du matériau. La matrice assure quant à elle la cohésion entre les renforts de manière à recevoir
toutes les sollicitations et répartir les efforts dans tout le matériau et de protéger le renfort.
Les renforts se présentent sous forme de fibres continues ou discontinues, Le rôle du

renfort est d’assurer la fonction de résistance mécanique aux efforts, et confère à la matrice
Page 2
des propriétés qu’elle ne possède pas seule. L’arrangement des fibres, leur orientation
permettent de renforcer les propriétés mécaniques de la structure [5][6].
I.4 Définitions de base :
 Anisotrope : les propriétés sont différentes selon les différentes directions, donc un
matériau anisotrope pourra présenter différents caractéristiques selon son
orientation des fibres.
Dans le cas de composites à fibres orientées, on peut avoir une structure Anisotrope
(comportement différent selon la direction envisagée), ce qui s'ajoute aux difficultés
d'usinage. La rigidité, par exemple, sera plus grande dans le sens longitudinal des fibres que
dans le sens perpendiculaire, ce qui peut, à l'usinage, générer des déformations non
souhaitées.
 Hétérogène : en 2 points différents, propriétés différentes.
Les matériaux composites sont constitués d'un polymère contenant un réseau de fibres
en nappe, éventuellement tissées. Il faut donc usiner simultanément deux matières de natures
différentes (résine et fibres), voire trois si la matrice contient en plus des charges minérales
[7].
I.5 Avantages et les inconvénients des matériaux composites :
Selon Chalaye [8], bien que les matériaux composites offrent plusieurs avantages en
comparaison à l’utilisation des matériaux plus traditionnels, l’utilisation des matériaux plus
traditionnels, tel que l’acier et l’aluminium, est normalement plus répandue que l’utilisation
des matériaux composites, puisque ses performances et son comportement mécanique sont
déjà mieux connus. Le principal avantage des matériaux composites, du point de vue
mécanique, est son ratio résistance/poids. Celui-ci est de loin supérieur aux autres types
de matériaux métalliques. De plus, les matériaux composites augmentent la durée de vie de
certains équipements, en raison de ses propriétés mécaniques (rigidité élevée, bonne
résistance à la fatigue), chimiques (résistance à la corrosion). De plus, grâce à son meilleur
comportement mécanique aux chocs mécaniques et à la combustion chimique, les structures
composites offrent de bonnes conditions de sécurité des structures. Certaines structures
composites offrent un isolement thermique supérieur à celui des matériaux traditionnels,
Page 3
permettant la conception de formes structurales complexes et l’optimisation du ratio

coût/performance.
Comme il est bien connu, un certain nombre de désavantages sont associés aux matériaux
composites comme par exemple le coût de fabrication est supérieur à celui des matériaux
traditionnels, aussi les matériaux composites présentent une forte sensibilité aux singularités
géométriques (de type trou, entaille…) constituant des maillons faibles au sein de la structure.
Néanmoins, les avantages des matériaux composites rendent son utilisation rentable, de par
l’augmentation de la vie de la structure. [9]
I.6 Eléments constituants d’un matériau composite :
D’après Berthelot (2010), un matériau composite plastique : association de deux

constituants :
 Le renfort : armature, squelette, il assure la tenue mécanique (résistance à la traction et

rigidité). Souvent de nature filamentaire.
 La matrice : lie les fibres renforts, répartie les efforts (résistance à la compression ou à la
flexion), assure la protection chimique. Par définition, c'est un polymère ou une résine
organique.
 Ces deux constituants principaux reçoivent des additifs ou charges qui sont des produits
peuvent être incorporés à la résine pour lui conférer des caractéristiques particulières ou
en réduire le coût.
I.7 Classification des matériaux composites :
Différentes classifications des matériaux composites sont rencontrées dans la

littérature scientifique. Ces matériaux peuvent être classés selon (1) la morphologie des
agents de renforcement (les fibres ou particules) ou selon (2) ses composantes structurelles
(les plis stratifiés). La deuxième classification subdivise les composites en composites
structuraux, qui à leur tour, sont subdivisés en composites sandwichs et composites stratifiés
[10].
Page 4
I.8 Architecture des matériaux composites :
D’après Berthelot (2010), L'ensemble des procédés de mise en œuvre montre la

prépondérance d'une conception des pièces en matériaux composites :
— Par surface: plaques, coques,
— Par stratification de couches successives.
Ce concept justifie l'importance qui sera donnée par la suite à l'étude des matériaux
composites considérés sous la forme de plaques ou de coques, constituées de couches
différentes (ou non). Les coques peuvent être modélisées comme un ensemble de plaques, et
leur étude déduite de l'étude des plaques.
L'objet de ce paragraphe est de dégager l'architecture générale des matériaux composites.
I.8.1 Sandwich :
Selon Vincent [11], Un sandwich typique est représenté à la figure I.1. Il est constitué :
 de deux peaux fines, (possédant de bonnes caractéristiques en traction).

 prenant une âme ou cœur en sandwich, (constituée d'un matériau ou d'une structure
légère possédant de bonnes propriétés en compression).
L'objectif d'un tel procédé est de constituer une structure permettant de concilier légèreté et
rigidité.
Généralement, le choix des matériaux est fait avec pour objectif initial d'avoir une masse
minimale en tenant compte ensuite des conditions d'utilisation (conditions thermiques,
corrosion, prix, etc.)
Pour que les structures sandwiches jouent pleinement leur rôle, il est nécessaire de veiller à
avoir une solidarisation parfaite de l'ensemble âme-peaux, de manière à répartir les efforts
entre âme et peaux. L'assemblage est réalisé par un collage à l'aide de résines compatibles
avec les matériaux en présence.
Figure I.1 : Un sandwich typique.
Page 5
La fabrication d’un sandwich met en jeu trois couches de natures différentes.

La complexité de ces structures provient du nombre de matériaux différents susceptibles
d’être employés :
– Matériau des peaux : tout matériau pouvant être obtenu sous forme de couche est
candidat... que ce soit un métal, un matériau composite (le plus souvent des stratifiés).
– Matériau de l’âme : il se présente principalement sous quatre formes comme illustré à la
figure I.2.
Cœur en nid d’abeilles Cœur ondulé
Cœur plein Gaufré

Figure I.2 : Différents Cœurs
– En nid d’abeilles : considéré comme orthotrope (3 plans orthogonaux de

symétrie : 9 constantes indépendantes) ou isotrope transverse (5 composantes indépendantes).
– Ondulé : considéré comme monoclinique (1 plan de symétrie : 13 constantes
indépendantes).
– Plein : considéré comme homogène isotrope (propriétés matérielles identiques dans toutes
les directions : 2 constantes indépendantes suffisent à définir la loi de comportement du
matériau).
– Gaufré : considéré comme anisotrope (21 constantes indépendantes) ou parfois comme
monoclinique, peu employé.
Page 6
De plus, nous supposerons aussi que, quel que soit le mode d’assemblage des
différentes couches (collage, soudage, brasage…), le lien est parfait. Il n’y a ni décollement
ni glissement aux interfaces.
I.8.2 Monocouche et les stratifiés :
 I.8.2.a Monocouche :
Les monocouches ou plis, représentent l’élément de base de la structure composite.
Les différents types de monocouches sont caractérisés par la forme du renfort : à fibres
longues (unidirectionnelles UD, réparties aléatoirement), à fibres tissées ou à fibres courtes.
Figure I.3 : Monocouche.
Les caractéristiques mécaniques de rigidité et résistance des couches normalement

utilisées rendent en fait impossible l'utilisation de couches simples principalement à cause de:
 une trop forte anisotropie de la réponse élastique, au moins pour les couches à renfort
unidirectionnel;
 une trop faible résistance en direction transversale;
 une trop petite épaisseur, ce qui rend d'un côté la rigidité, surtout celle flexionnelle,
trop petite et de l'autre donne un fort danger d'instabilité à la compression, dans les
deux directions. Et par conséquent, Les couches en composite ne sont jamais utilisées
seules, mais sous forme des stratifiés qui sont obtenus par superposition de plusieurs
plis, le plus souvent identiques [12][13].
 I.8.2.b Stratifiés :
Les stratifiés résultent de la superposition de plusieurs couches ou plis, qui peuvent

être des nappes unidirectionnelles, de tissus ou des mats, imprégnés de résine. Chaque couche
peut avoir une orientation propre. Cette opération permet de créer des plaques dont les
caractéristiques mécaniques, de rigidité et résistance, peuvent être l'objet de la conception [6].
Page 7
Figure I.4 : Les constituants d'un composite stratifié
Ces structures stratifiées sont constituées de couches unidirectionnelles avec des fibres
orientées de façon différente d’une couche à l’autre, afin d’obtenir les propriétés mécaniques
souhaitées pour la structure finale.
L’épaisseur d’une couche dépend de son grammage. L’épaisseur de chacune des

couches est généralement très faible. Chaque couche est formée de fibres de faible section
(d’environ 10 à 20 µm de diamètre), imprégnées de résine.
L’interface entre les couches est une entité surfacique assurant le transfert des
déplacements et des contraintes normales d’une couche à une autre. En élasticité, les couches
sont parfaitement liées et l’interface ne joue aucun rôle particulier.
Toutefois, Le décollement de deux plis, nommé délaminage, constitue le point faible majeur
de ce type de matériaux et explique leur faible tenue à l’impact et plus généralement aux
sollicitations hors-plan (directes ou induites) [14][15].
La rigidité d’un stratifié est conditionnée par le nombre et l’empilement des couches,
leur nature, leur orientation, leur séquence d’empilement, etc.
La séquence d’empilement du stratifié, désigne le nombre et l’orientation des couches
successives en parcourant le stratifié d’une face à l’autre. Ainsi, un stratifié est dit
unidirectionnel si, l’angle entre deux couches consécutives est nul, c'est-à-dire, toutes les
fibres sont alignées selon une seule direction.
Les stratifiés unidirectionnels caractérisent par une rigidité très élevée (nombre
maximum des fibres dans une direction). Par contre, un stratifié est multidirectionnel si les
couches successives, sont orientées les unes par rapport aux autres à des angles autres que 0°
[16].
Page 8
Le choix de la nature et de la séquence d'empilement dépend de l'utilisation, en

l'adoptant au mieux au champ de contraintes imposées, à savoir :
- Les couches unidirectionnelles présentent une grande rigidité. Elles constituent un type de
stratifié de base au quel peut se ramener, en principe, tout autre type de stratifié.
- Les mats sont peu résistants en traction.
- Une stratification croisée est sensible au délaminage inter-laminaire.
- Une stratification avec au moins trois directions de fibres sera nécessaire pour avoir une
pseudo-isotropie dans le plan du stratifié [6].
Désignation des structures stratifiées :

chaque couche est désignée par un nombre indiquant la valeur en degré de l’angle que
fait la direction des fibres avec l’axe de référence x. Sur les figures 1.5(a) et 1.5(b), les
couches sont représentées décalées les unes par rapport aux autres. La structure
stratifiée est décrite de bas en haut ;
 les couches sont nommées successivement entre crochet en allant de la face inférieure
à la face supérieure. Les couches successives sont séparées par le symbole
« / » comme l’exemple de la figure 1.5(a) : [30/90/−45/0/45] ;
 les couches successives d’un même matériau et de même orientation sont désignées
par un indice numérique, comme l’exemple de la figure 1.5(b) : [30/ /45/0/45] ;
Figure I.5 : Désignation d'un stratifié.
Angles positifs et négatifs :
Lorsque des couches sont orientées à des angles égaux en valeurs absolues, mais de
signes opposés, les signes + ou – sont utilisés. La convention pour les angles positifs ou
négatifs dépend du système d'axes choisi : une inversion peut apparaître suivant le choix
effectué (figure I.6).
Page 9
Nous donnons ci-après quelques exemples de désignation de stratifiés.
Figure I.6 : Convention de signe pour la désignation des stratifiés.
Le choix de l’empilement et plus particulièrement des orientations permettra d’avoir des

stratifiés de type :
Stratifiés symétriques :
Un stratifié est symétrique si son plan moyen est plan de symétrie. Sa désignation ne
nécessite alors que la moitié des couches successives.
Si le stratifié a un nombre pair de couches, la désignation débute sur une face pour finir au
plan de symétrie. Un indice S indique que le stratifié est symétrique.
Si le stratifié comporte un nombre impair de couches, la désignation est semblable à la
précédente, la couche centrale étant surlignée [5].
Pourquoi la symétrie miroir :
Selon Daniel [17], Lors de la constitution de la pièce stratifiée, les plis successifs
imprégnés de résine sont drapés à température ambiante, puis placés dans une étuve pour la
Page 10
polymérisation. Dans le composite ainsi crée à chaud, la dilatation d’ensemble de la pièce

d’origine thermique, s’effectue sans qu’il y ait variation globale de sa forme par voilement ou
gauchissement. Par contre lors du refroidissement, les plis ont tendance à se contracter
différemment suivant le sens des fibres ou suivant le sens travers. Lorsque la symétrie miroir
est réalisée, elle entraine la symétrie de ces contraintes, et empêche ainsi l’apparition des
déformations d’ensemble de la pièce : voilement ou gauchissement.
Séquence :
La répétition de séquences peut être indiquée par un indice indiquant le nombre de fois
où une séquence est successivement répétée [5].
Stratifiés hybrides :
Les stratifiés hybrides sont constitués de couches successives comportant des fibres de
natures différentes. Il sera alors nécessaire de les mentionner dans la désignation [5].
Intérêt de l’orientation des fibres sur la déformation :
L’orientation de la fibre est choisie de façon adaptable avec les directions d’efforts.
Les fibres sont disposées de sorte qu’elles résistent aux efforts de traction et de compression,
figure (1.6). Pour résister aussi à l’effet de cisaillement, on met deux fibres orthogonales de
façon à ce que l’une d’elle supporte l’effet de compression ou traction et l’autre l’effet de
cisaillement. En outre, il y a une influence de la forme de renfort sur la déformation. En effet,
la raideur obtenue avec un renfort tissé sera moindre que celle que l’on observait en
Page 11
superposant deux directionnels croisés à 90°. Cela est dû à la courbure des fibres du fait de
l’opération de tissage, qui rend le pli tissé plus déformable que les unidirectionnels croisés
sous une même sollicitation [18][19].
Figure 1.7 : L’influence de l’Orientation des fibres (Essai de traction).
Page 12
Chapitre II Comportement mécanique des plaques stratifiées
Chapitre II :
Comportement Mécanique Des Plaques Stratifiées.
II.1 Introduction :
L'utilisation des plaques stratifiées composites a connu un grand développement durant

ces dernières années, surtout dans les domaines civils là où l'on recherche à améliorer la
qualité de la matière face à une certaine utilisation (légèreté, rigidité à un effort, etc.). Une
plaque composite utilisée comme élément structural est souvent soumise à différents types de
sollicitation telle que traction ou compression. Nous allons présenter ici une bibliographie
générale non détaillée concernant l'étude du comportement des plaques isotropes et
composites.
D'une manière générale, une plaque est un solide limité par deux plans parallèles, dont la
dimension transverse est petite en comparaison des deux autres dimensions (longueur,
largeur). Les propriétés d'une plaque dépendent, en grande partie, de son épaisseur en
fonction de ses autres dimensions. Nous distinguerons deux sortes de plaques :
 les plaques minces,

 les plaques épaisses.
On appelle h l'épaisseur de la plaque ; le plan inférieur est donc le plan z = -h/2 et le plan
supérieur est le plan z = h/2.
Dans ce chapitre, nous allons procéder à l’étude théorique en utilisant La théorie des plaques
minces, ou la théorie classique des stratifiés pour exprimer les résultantes N ij et les moments
M ij en fonction des déplacements de la plaque, lorsque cette dernière est constituée d’un
matériau composite stratifié.
Page 13
Premièrement, nous allons écrire dans le repère global la loi de comportement d’un pli
composite afin de relier le champ des contraintes au champ des déformations.
Ensuite, les résultantes et les moments seront exprimés en tenant compte du comportement
mécanique des différents plis composites.
II .2 Loi de comportement des stratifies :
Les matériaux composites sont souvent schématisés par un milieu continu homogène
équivalent anisotrope. L'étude de leur comportement consiste à passer des propriétés des
composantes et de la géométrie du composite. Cette étude comportera deux phases:
 l'étude du comportement mécanique de chaque pli,
 l'étude du comportement globale du matériau constitué de plusieurs plis, et désigné
généralement par le comportement du stratifiés [6].
Historiquement, L'étude du comportement des plaques stratifiées composites est basée

sur la théorie des stratifiés. Cette théorie utilise les mêmes hypothèses que la théorie générale
des plaques qui sont, dans un schéma de premiers degrés, associées aux noms de
Reissner/Mindlin et de Kirchoff-Love. La théorie de Kirchoff-Love est historiquement l'une
des premières approches bidimensionnelles de la flexion des plaques élastiques. Elle est basée
sur l'hypothèse de conservation des normales en négligeant ainsi le cisaillement transverse.
II.2.1 Caractéristiques du mélange renfort-matrice:
Les principaux types de matériaux composites utilisés pour la fabrication de systèmes

structuraux sont ceux formés par une phase discontinue, appelée renfort, insérée dans une
phase solide, appelée matrice. La distribution et l'interaction, physique et chimique, entre les
deux phases donne les propriétés mécaniques finales du matériau composite.
En général, les composites structuraux sont présentés sous la forme d'un empilage de
plusieurs plis, chacun présentant des fibres orientées selon une direction préférentielle.
L’ensemble matrice-fibres forme le pli, l’ensemble de plis orientées forme le stratifié [20].
Les propriétés mécaniques moyennes de chaque pli sont obtenues par la règle de mélange
[10]. Selon celle-ci, certaines propriétés du pli, telles que ses modules d'élasticité et sa densité,
sont obtenus grâce à l’utilisation de la fraction volumique de fibres et de la matrice [5][21].
Pour cela, La première étape d'un calcul composite consiste à déterminer les caractéristiques
mécaniques du matériau en fonction de celles de ses composants. Dans la plupart des cas, ces
Page 14
calculs se réduisent uniquement au calcul du module d'Young. Il existe divers modèles

d'homogénéisations pour l'obtenir.
D’après Paolo [13], Soit un matériau composite de repère d'orthotrope (1, 2, 3), l'axe 1 ou
l'axe longitudinal étant disposé conventionnellement selon la direction des fibres,
Les directions normales aux fibres dans le plan de la couche sont appelées directions
transversales, Le composite est considéré comme étant isotrope transverse c'est–à–dire
qu'il est isotrope dans le plan normal à la direction 1. Le plan transverse est repéré par les
deux directions équivalentes 2 et 3.
Le cas qui nous intéresse ici est celui d'une couche renforcée par des fibres unidirectionnelles
uniformément distribuées dans le corps de la couche (Voir figure II.1).
Soit une cellule élémentaire de fraction volumique V = 1 constituée de fibres et de matrice
avec :
Figure II.1 : Cellule élémentaire d’un composite unidirectionnel.

m
Vm  : Fraction volumique de matrice
c
f
Vf  : Fraction volumique de fibre
c
V = Vm  V f =1 (2.1)
Nous nous proposons, par le biais du volume élémentaire représentatif introduit auparavant,
de trouver les caractéristiques mécaniques homogénéisées d'une couche à renfort
unidirectionnel uniformément reparti.
Les hypothèses de calcul sont:
 matrice isotrope, de module d'Young Em et coefficient de Poisson  m ;
 fibres isotropes, de module d'Young E f et coefficient de Poisson  f ;
 la fraction volumique des fibres est connue V f ;
Page 15
 le comportement est élastique linéaire ;
 il y a une adhésion parfaite entre les fibres et la matrice.
L’objectif est de déterminer les constantes techniques homogénéisées de la couche

( E1 , E2 , G12 et 12 ); à cause de la disposition régulière des fibres, cette dernière a un
comportement macroscopique orthotrope.
II .2.1.a Modules de Young longitudinale E1 :

Le volume élémentaire représentatif est soumis à un état de sollicitation dans lequel seulement
 1 n'est pas nulle, voir la (figure II.2).
Figure II.2 : Schéma simplifié d’une traction longitudinale.
Le lien élastique linéaire implique :

 1m  Em1m ,  1 f  E f 1 f ,  1l  E11l (2.2)
L’hypothèse d'adhérence parfaite a comme conséquence que la déformation est la même
partout (en particulier, les sections droites restent planes): 1m  1 f  1l (2.3)
Ou l'indice (m) indique une quantité relative à la matrice, ( f ) à la fibre et ( l )à la couche.
 1l  E11l  E11 f  E11m

L’équilibre impose la relation :
 1l Al   1 f Af   1m Am  E1 f 1 f Af  E1m1m Am
 E1 1 Af  E1 1 Am  1 ( E1 Af  E1 Am )
f l m l l f m (2.4)
La loi de comportement de l’unidirectionnelle s’écrit :
 1l Al  E11l Al
E1 Af  E1 Am
f m
E  Al   ( E1 Af  E1 Am )  E1 
l l f m
Donc 1 1 1
Al
Page 16
f Af Am
avec Vf   et Vm  1 - V f 
c Al Al
Donc l’expression du module de Young longitudinal est :
E1  E1 V f  (1  V f ) E1
l f m (2.5)
Relation très bien vérifiée dans la direction des fibres. Cette dernière est la célèbre loi des
mélanges, qui donne la valeur homogénéisée du module d'Young en direction longitudinale
(celle des fibres). E1 dépend linéairement de V f , à savoir de la quantité de fibres présentes.
Le modèle utilisé pour trouver E1 est un modèle de type parallèle: matrice et fibres travaillent
en parallèle, pour le champ de contraintes appliqué.
II.2.1.b Modules de Young transversal E2 :
Dans ce cas, on applique une sollicitation dans laquelle seulement  2 n'est pas nulle,
voir (la figure II.3).
Figure II.3 : Schéma simplifié d’une traction transversale.
L’équilibre du volume élémentaire représentatif implique que la contrainte est constante dans
une section droite.  2l   2 m   2 f (2.6)

La compatibilité de la déformation implique :
V 2   2 V f  (1  V f ) 2
l f m
 2l 2 f  2m
 V  Vf f
 (1  V f ) m
E2 E2 E2
1 Vf (1  V f )
Donc  
E2 E2 f E2
m
f m
E2 E2
L’expression du module de Young transversal est : E2  (2.7)
V f E2  (1  V f ) E2
m f
Page 17
La dépendance du module E2 de V f n'est plus linéaire; en outre, les fibres ne sont pas un
renfort efficace pour la rigidité transversale.

Le modèle utilisé est un modèle de type série.
II2.1.c Coefficient de Poisson longitudinal  12 :
Comme pour E1 , on applique un état de contrainte où seulement  1 n'est pas nulle.
2 f  2m  2l
Par définition :  f   , m   , 12   (2.8)
1 f 1m 1l
D’ailleurs, l'hypothèse de l'adhérence prescrit encore que : 1m  1 f  1l (2.9)

Comme E2 pour la compatibilité, en moyenne, des déformations transversales impose encore
la relation :
V 2   2 V f  (1  V f ) 2
l f m
  2   f 1 V f  (1  V f ) m 1
l f m
  12 l   f  1 V f  (1  V f ) m1
f m
finalement :  12   f V f  (1  V f ) m (2.10)
II.2.1.d Module de cisaillement longitudinal G12 :

Dans ce cas, on applique une sollicitation dans laquelle seule  n'est pas nulle, voir la figure
II.4, où on a mis en évidence même la déformation correspondante
Figure II.4 : Schéma simplifié d’un essai de cisaillement longitudinal.
L’équilibre du volume élémentaire représentatif implique que ce soit :

 l  m  f (2.11)
Tandis que par le lien élastique on a :
 m  Gm 6 m ,  f  G f  6 f ,  l  G12 6 l (2.12)
Page 18
La compatibilité, en moyenne, de la déformation à cisaillement prescrit que ce soit :

l f m
V 6   6 V f  (1  V f ) 6   Vf  (1  V f )
l f m
G12 Gf Gm
G f Gm
 G12  (2.13)
V f Gm  (1  V f )G f
II.2.2 Loi de Hooke généralisée [5] :
Les contraintes (  ij ) et les déformations (  kl ) sont associées au tenseur de rigidité Cijkl
en utilisant la loi de Hooke dans le domaine de l'élasticité linéaire, et sont exprimées, en

notation indicielle, sous la forme:
 ij  Cijkl kl (2.14)
Où i,j,k,l prennent les valeurs 1,2,3.  kl est le tenseur de déformations,  ij est le tenseur de
contraintes et Cijkl est le tenseur d'élasticité (ou de rigidité).
Les composantes du tenseur des contraintes et des déformations peuvent être réduites à six
composantes indépendantes à cause de sa symétrie. Ainsi, la notation tensorielle peut être
contractée en utilisant la notation suivante :
  11   1 
    
 11  12  13   22   2
  33   3 

Le tenseur des contraintes :     21  22  23         (2.15)
  23   32   4 
 31  32  33 
 31   13   5 
   
 12   21   6 
 11  1 
    
11 12 13   22   2
    
Le tenseur des déformations :     21  22  23       33    3  (2.16)
 31  32  33   23   32   4 
 31  13   5 
   
12   21   6 
La loi de Hooke est réécrite en notation vectorielle en utilisant les formes contractées des
tenseurs de contraintes et de déformations selon l’équation:
   C  (2.17)
Page 19
II.2.3 Différents Types des matériaux :
II.2.3.a Matériaux anisotropes:

Selon Nye [22], les matériaux anisotropes Sont des matériaux dont ses propriétés varient
selon une direction considérée mais ils ne présentent pas de plans de symétrie.
La loi de Hooke peut être exprimée par:
 ij Cijkl  kl
 (2.18)
 ij  Sijkl  kl
Où Sijkl est le tenseur de souplesse. Le tenseur de rigidité en a 81 coefficients de même pour
le tenseur de souplesse, pour raison de la symétrie des contraintes  ij et de déformation  kl ,
il y a une réduction des coefficients a 36 parmi ces derniers, 21 sont indépendants.

 ij Cijkl  kl et  ij  ji Cijkl C jikl
 
 ij Cijkl  kl et  kl  lk Cijkl Cijlk
  ij   kl
Application du théorème des travaux virtuels :   Cijkl Cklij
 kl  ij
La nouvelle forme du tenseur de raideur permet alors de lui associer une matrice carrée (6,6):
 1   c11 c12 c13 c14 c15 c16    1 

  c c 26   
 2   21 c 22 c 23 c 24 c 25  2 
 3 
   c31 c32 c33 c34 c35 c36    3 

     (2.19)
 4  c 41 c 42 c 43 c 44 c 45 c 46   4 
 5   c51 c52 c53 c54 c55 c56   5 
    
 6 
   c61 c62 c63 c64 c65 c66   6 

La forme inverse de l’équation (2.19), est écrite sur la forme:
  1   s11 s12 s13 s14 s15 s16   1 

   s s 26   
 2   21 s 22 s 23 s 24 s 25  2 
 3 
   s31 s32 s33 s34 s35 s36    3 

    (2.20)
 4   s 41 s 42 s 43 s 44 s 45 s 46   4 
 5   s51 s52 s53 s54 s55 s56   5 
    
 6 
   s61 s62 s63 s64 s65 s66   6 

Page 20
II.2.3.b Matériaux orthotropes :

Selon Kollar et Springer [23], un milieu est dit orthotrope pour une propriété donnée si
cette propriété est invariante par changement de direction obtenue par symétrie relative à deux
plans orthogonaux. On remarque qu'alors la symétrie par rapport au troisième plan orthogonal
est automatiquement acquise. Ce mode de comportement est relativement bien réalisé pour les
composites unidirectionnels.
Figure II.5 : Représentation schématique d’un matériau orthotrope avec trois plans de
symétrie.
Donc, Le nombre des coefficients indépendants est réduit à 9.
 1   c11 c12 c13 0 0 0  1 

  c 0   2 
 2   21 c 22 c 23 0 0
 3   c31 c32 c33 0 0 0   3 
     (2.21)
 4   0 0 0 c 44 0 0   4 
 5   0 0 0 0 c55 0   5 
    
 6   0 0 0 0 0 c66   6 
Et la matrice de souplesse :
  1   s11 s12 s13 0 0 0   1 

   s 0   
 2   21 s 22 s 23 0 0  2 
 3 
   s31 s32 s33 0 0 0   3 

    (2.22)
 4   0 0 0 s 44 0 0   4 
 5   0 0 0 0 s55 0   5 
    
 6 
   0 0 0 0 0  6 
s 66   
Page 21
Les constantes de rigidité et de souplesse sont caractérisées par 9 coefficients indépendants :
* 3 modules d'élasticité longitudinal E1, E 2 , E3 dans les directions de l'orthotrope.
* 3 modules de cisaillement G12, G 23, G31 .
*  ij : ( 12 , 23 et 31 ) est le coefficient de Poisson pour la déformation transversale dans la
direction j quand la contrainte est appliquée selon la direction i.
La matrice de souplesse étant symétrique, nous obtenons la relation suivante:
 ij  ji 12 21   23 32

Sij  S ji  =   ; 13  31 ; 
Ei Ej E1 E2 E1 E3 E2 E3
1   1  12  13   1 
     0 0 0  
   E1 E1 E1
 
    12 1  23  
 2   E  0 0 0   2 
E2 E2 
   1
 
     13 
 23 1
0 0 0   3 
 3   E1 E2 E3  
   1   (2.23)
 4   0 0 0 0 0   4 
   G23
 
   1  
 5   0 0 0 0 0   5 
G13 
    
   0 1  
 
 6  
0 0 0 0
G12   6 
    
Les composantes de la matrice de rigidité du matériau, sont obtenues par inversion de la

matrice de souplesse S ij :
1  23 32 1  13 31 1  12 21

C11  C22  C33  C44  G23 C55  G13 C66  G12
E1E2  E1E3 E1E2 
 12  23 32  13  12 23  23  21 13
C12  C13  C23 
E1E3 E1E2  E1E2 
1  12 21  23 32  31 13  2 21 32 13


E1E2 E3
II.2.3.c Matériaux transversalement isotropes:

De la même façon que dans le matériau orthotrope, le matériau transversalement
isotrope a trois plans de symétrie (Figure II.5). Toutefois, un des ces plans est isotrope. Le
composite renforcé par fibres longues et uniformes est un exemple de matériau
transversalement isotrope.
Page 22
Figure II.6 : Représentation schématique d’un matériau transversalement isotrope.
Celui-ci a des fibres alignées par rapport à la direction 1 du système de référence matériau
(Figure II.6). Dans ce cas, le plan perpendiculaire au plan des fibres, plan (2,3), est dit
isotrope.
Les propriétés suivant les axes 2 et 3 sont identiques, donc:

C22  C33
C22  C33 C12  C13 C55  C66 C44 
2
Le nombre de coefficients indépendants se réduit à 5 coefficients.
 1   c11 c12 c13 0 0 0   1 

  c 0   
 2   21 c 22 c 23 0 0  2 
 3 
   c31 c32 c33 0 0 0   3 

     (2.24)
 4   0 0 0 c 44 0 0   4 
 5   0 0 0 0 c55 0   5 
    
 6 
   0 0 0 0 0  6 
c66   
Les constantes de rigidité sont liées aux modules d'élasticité ( E1 , E2 , 12 ,  23 et G12 ).
II.2.3.d Matériaux isotropes:

L'hypothèse d'isotropie impose que la loi de comportement soit indépendante du repère
choisi pour l'exprimer. En d'autre terme, le tenseur de raideur doit être invariant pour tout
changement de base.
Donc, les propriétés physiques ou mécaniques sont identiques dans toutes les directions :
E1 = E2 = E3 = E ;  12 = 23 = 13 = et G12 = G31 = G23 = G
Page 23
1   1  12  13 
  0 0 0   1 
   E1 E1 E1  
     23
 
0   2 
1
 2    12  0 0
   E1 E2 E2  
 3    13  23 1   
   0 0 0  3 
    E1 E2 E3  
  
1    (2.25)
 4  0 0 0 0 0  4 
   G23
 
 5   1  
   0 0 0 0 0  5 
G13 
    
 6   0 1   6 
    0 0 0 0  
  G12   
E
Avec : G =
2(1   )
II.2.4 Relation contrainte-déformation plane :
Pour un matériau orthotrope, et dans le cas d'un état de contrainte plane, La relation
contrainte déformation peut être donnée par [5] :
 1  Q11 Q12 Q16    1 

  Q  
 2    21 Q22 Q26   2  (2.26)
  Q66   
 6 Q61 Q62  6 
Les coefficients Qij sont appelés les constantes de rigidité réduites dans un état de contrainte
plane :
E1 E2  21E1  E Q66  G12
Q11  Q22  Q12  Q21   12 2 (2.27)
1  12 21 1   12 21 1  12 21 1  12 21
Les constantes de rigidité sont liées aux modules d'élasticité ( E1 , E2 , 12 et G12 ) , qui sont déjà
déterminés à partir des essais de laboratoire tel que les essais de traction uni-axiale ou de
cisaillement pur.
II.2.5 Relation contrainte déformation pour une orientation des fibres :
Selon Berthelot [5], les stratifié sont élaborés par l’empilement de couche successible
dont la direction des fibres et variable d'une couche a l'autre. Pour faire l'étude du
comportement élastique de tels stratifiés, il est nécessaire de prendre un système d'axe de
référence pour l’ensemble du stratifiée, et de rapporter le comportement élastique de chaque
couche à ce système de référence.
Page 24
Un pli composite unidirectionnel est classiquement assimilé à un matériau orthotrope dont les
axes principaux d’orthotropie sont définis à partir du repère local (0, x1, x 2 , x 3 ) = (0,1,2,3).
En règle générale, l’axe (x1 ) est contenu dans le plan du pli et parallèle aux fibres. L’axe (x 2 )
est lui aussi contenu dans le plan du pli mais perpendiculaire à la fibre. Enfin, l’axe (x 3 ) est
perpendiculaire au plan du pli (voir figure II.7). Il est question de caractériser les propriétés
élastique de la couche en les exprimant dans le système d'axes de référence (x, y, z) du
stratifié, la direction des fibres fait un angle (  ) avec la direction x.
Figure II.7 : Axes principaux et axes de référence d'une couche stratifiée

(Figure adaptée de BERTHELOT (2010)).
Les matrices d'élasticité C et de souplesse S dans le système de référence sont obtenues en

appliquant aux matrices d'élasticité et de souplesse C et S les relations de changement de
base Suivantes:
C   T 
1
C T  (2.28)
Et S   T  S T 
1
(2.29)
Avec T est la matrice de changement de base, donnée par :

c 2 s2  2cs 
T   s 2 c2 2cs 
 (2.30)
cs  cs c 2  s 2 

Avec c  cos  et s  sin 
 x   1 
   
Et  y   T   2  (2.31)
   
 xy   6
Page 25
De même pour les déformations, nous obtenons :

   
 x   1 
   
  y   T   2  (2.32)
1  1 
  xy    12 
2  2 
Nous pouvons également montrer que les contraintes dans le repère (x, y, z) sont définies en
fonction des déformations par :
 x  x 
 

 
 y   Q   y 
   
 xy   xy 
 x  Q 11 Q 12 Q 16    x 
    
 y   Q 21 Q 22 Q 26    y  (2.33)
  Q Q 66   xy 
 xy   61 Q 62
La matrice de rigidité réduite hors axes est donnée par l’expression :

Q  T 1
QT 
avec
Q11  Q11c 4  Q22s 4  2(Q12  2Q66 ) s 2c 2
Q 22  Q11s 4  Q22c 4  2(Q12  2Q66 ) s 2c 2
Q12  (Q11  Q22  4Q66 ) s 2c 2  Q12 ( s 4  c 4 ) (2.34)
Q 66  (Q11  Q22  2Q12  2Q66 ) s c  Q66 ( s  c )
2 2 4 4
Q16  (Q11  Q12  2Q66 ) sc3  (Q22  Q12  2Q66 ) s 3c

Q 26  (Q11  Q12  2Q66 ) s 3c  (Q22  Q12  2Q66 ) sc3
Il faut toutefois noter que Q16 et Q 26 ne sont que des combinaisons linéaires des quatre
constantes élastiques de base. Ils impliquent un couplage entre les contraintes normales
et les déformations en cisaillement, ainsi qu'un couplage entre les contraintes en cisaillement
et les déformations normales.
II.3 Théories utilisées dans la formulation analytique de structures composites :
Différentes théories, utilisées pour l'approximation du déplacement et de la déformation,

ont été initialement utilisées pour la modélisation de structures métalliques (en matériau
Page 26
isotrope), puis étendues à l'étude de structures composites (en matériau anisotrope, orthotrope
ou transversalement isotrope). Ces théories sont essentiellement divisées en deux catégories:
 celles formulées tenant pour base la notion d’une seule couche équivalente, appelées
Théorie en Couche Équivalente Unique (Equivalent Single Layer Theory);
 celles formulées sur le concept de couches distinctes (discrètes), appelées Théorie
en Couches Equivalentes Discrètes (Discrete Layer Theory), ou simplement Théorie
Layerwise (Layerwise Theory).
La première catégorie inclue la Théorie Classique des Stratifiés (CLT) et d’autres.

D’autre part, la deuxième catégorie inclue la Théorie en Couches Indépendantes (TCI) et la
Théorie de Couches Dépendantes (TCD). On peut citer par exemple les publications de
Berthelot (2010) [5], de Reddy (1997) [24] et de Kollar et Springer (2003) [23] qui présentent
ces différentes théories.
Dans la section subséquente, nous allons procéder à l’étude théorique en utilisant la théorie
classique des stratifiés.
II.4 Théorie classique des stratifies (CLT) :
La Théorie Classique des Stratifiés est basée sur les hypothèses cinématiques de
Kirchhoff, employées pour l'étude de structures du type plaque, et sur les hypothèses
cinématiques de Kirchhoff-Love, utilisées pour l'étude de structures du type coques courbes.
D’après cette théorie, une ligne droite et perpendiculaire à la surface moyenne indéformée de
la structure (connue comme surface de référence ou surface neutre), reste droite et
perpendiculaire à la surface de référence, ne changeant pas sa forme dans la direction de
l'épaisseur, c'est-à-dire, elle reste inextensible dans cette direction, tel que représenté sur la
Fig. II.8.
Selon Reddy [24], dans la théorie CLT les effets des déformations de cisaillements
transversaux (  xz ,  yz ) et la déformation normale transversale (  z ), ne sont pas considérés.
Les autres hypothèses adoptées pour la formulation de la théorie CLT, sont:
 Le stratifié est considéré comme une superposition de couches parfaitement liées,

(la liaison est supposée infinitésimale) afin d'éviter le délaminage,
 La déformation est supposer continue à travers l'épaisseur du stratifié afin d'empêcher
le glissement d'un pli par rapport à un autre,
Page 27
 Le stratifié se comporte comme une seule couche mince mais avec des caractéristiques
élastiques très spéciales.
 La déformation transversale est nulle, (pas de variation de l'épaisseur).
 Les points situés sur une normale à la surface moyenne avant déformation restent sur
cette normale au cours de la déformation. Ceci revient à négliger l'effet de cisaillement
transverse.
 Le matériau de chaque pli présente un comportement élastique ;
 Les déformations, les déplacements et les rotations sont petits.
Figure II.8 : Schématisation des déformations dans le cas de la théorie classique des
stratifies (Figure adaptée de Berthelot (2010)).
Selon Reddy [24], le champ de déplacements de la théorie CLT est donné par l’expression
suivante:
 w0 ( x, y ) 
u 0 ( x, y )  z x 
u   
   w0 ( x, y ) 
U  v   v0 ( x, y )  z  (2.35)
 w  y 
   w0 ( x, y ) 
 
 
u0 et v 0 : sont les déplacements membranaires de la feuille moyenne
w0 : est le déplacement hors plan de la feuille moyenne de la plaque
En raison de l’hypothèse de déplacements linéaires et tenant compte du fait que les

déformations de cisaillement transverse ne sont pas prises en compte, la précision de la
théorie CLT n'est adéquate que dans l'étude structures minces. Ainsi, selon CEN et al. [25],
l'erreur commis par son emploi augmente avec le ratio de l'épaisseur-largeur des structures
composites.
Page 28
II.4.1 Relation déformations-déplacements (Cinématique) :
Les relations déplacements-déformations suivantes sont établies aux niveaux des plis du
stratifié. Pour l’obtention des relations entre les composantes des déplacements et des
déformations nous considérons dans ce mémoire que ces quantités sont petites et que l’on
reste dans le domaine de l'élasticité linéaire. Ainsi, la relation entre les déformations et
déplacements est définie en fonctions des dérivées des déplacements ( u , v , w ) par rapport
aux coordonnées ( x, y, z ). Donc, selon Reddy [24], ces relations sont exprimées sous la forme
suivante :
u u0  2 w0 u v  u0 v0   2 w0

x =  z  xy =     2z
x x x 2 y x  y x  y 2
v v0  2 w0 u w  w0 w0 
y =  z  xz =     0
z x  x x 
(2.36)
y y y 2
w0 v w  w0 w0 
z = 0  yz =     0
z z y  y y 
Le champ des déformations est bien la superposition :
 des déformations de membrane :
 u0 
 
  x 0   x 
 0   v0 
 m   m ( x, y )    y     (2.37)
 0   y 
 xy   u v 

0
 0
 y x 
S’exprimant en fonction des déplacements ( u 0 , v0 ) des points situés dans le plan (o y z).
 des déformations en flexion et torsion :

  2 w0 
 
 x 2 
x 
    w0 
2
 f  z ( x, y )  z   y   z   (2.38)
   y
2

 xy  
 w0 
2
 2 
 xy 
 x ,  y et  xy sont les courbures de la plaque sollicitée en flexion.
Finalement le champ des déformations s'écrit :   m   f (2.39)
Page 29
A partir de l'équation (2.33) les contraintes dans une couche k, s'expriment par :
 x  Q11 Q12 Q16    x    x 

0
      0   
 k ( M )   k ( x, y, z )   y   Q 21 Q 22 Q 26    y   z   y 
   Q 66    xy 0   xy 
 xy  k Q 61 Q 62 k  
où  k (M )   k ( x, y, z)  Qk m ( x, y)  zQk ( x, y) (2.40)
 k (M ) Représente la matrices de contrainte dans la couche k : hk 1  z  hk , la matrice de
rigidité réduite Q k varie d'une couche à l'autre .il en résulte donc une discontinuité du champ
des contraintes dans les couches successives.
II.4.2 Expression des résultantes et des moments :
II.4.2.a Résultantes en membrane :

D’après Berthelot [5], Les résultantes des forces qui agissent sur le stratifié peuvent être
obtenus en intégrant les contraintes dans chaque couche à travers son épaisseur :
 N x  h / 2  x   x 
N hk
     
N ( x, y )   N y     y  dz     y  dz (2.41)
 N  h / 2   k 1 hk 1  
 xy   xy   xy 
 Q  
N hk
 k m ( x, y )  zQ k ( x, y ) dz
k 1 hk 1
N  hk
 N  hk

  Q k  m ( x, y )  dz    Q k ( x, y )  zdz 
k 1 
 hk 1 
 k 1  hk 1 
N  1 N 
  (hk  hk 1 )Q k   m ( x, y )    (h 2 k  h 2 k 1 )Q k  ( x, y )
 k 1   2 k 1 
Soit, en définitive:
N ( x, y)  Aij m ( x, y)  Bij ( x, y) (2.42)
 
N
avec Aij   Q ij (hk  hk 1 ) (2.43)
k 1 k
 
N
1
Bij   Q ij (h 2 k  h 2 k 1 ) (2.44)
k 1 2 k
N x , N y et N xy sont les résultantes par unité de longueur, respectivement des contraintes

normales (suivant x et suivant y) et de contrainte de cisaillement dans le plan (x y). Elles sont
schématisées sur la figure II.9.
Page 30
II.4.2.b Moment de flexion et de torsion :

Les moments de flexion et de torsion exercés sur un stratifié sont définis par :
 M x  h / 2  x   x 
N hk
     
M ( x, y )   M y     y  zdz     y  zdz (2.45)
M   h / 2   k 1 hk 1  
 xy   xy   xy 
 zQ  
N hk
M ( x, y )   k m ( x, y )  z 2 Q k  ( x, y ) dz
k 1 hk 1
N  hk
 N  hk

  Q k  m ( x, y )  zdz   Q k  ( x, y )  z 2 dz 
k 1 
 hk 1  k 1  hk 1 
1 N  1 N 
   (h 2 k  h 2 k 1 )Q k   m ( x, y )    (h 3 k  h 3 k 1 )Q k  ( x, y )
 2 k 1   3 k 1 
Soit, en définitive:
M ( x, y )  Bij m ( x, y )  Dij ( x, y ) (2.46)
 
N
1
avec Bij   Q ij (h 2 k  h 2 k 1 ) (2.47)
k 1 2 k
 
N
1
Dij   Q ij (h3 k  h3k 1 ) (2.48)
k 1 3 k
M x et M y sont les moments de flexion et M xy le moment de torsion. Ils sont schématisés sur
la figure II.9.
Figure II.9 : Schématisation des résultantes en membrane, des moments de flexion et de

torsion (Figure adaptée de François-Xavier [26]).
Page 31
Connaissant que  x ,  y ,  xy ,  x ,  y et  xy sont indépendants de z, les vecteurs forces et

0 0 0
moments résultant peuvent être assemblés sous la forme :
 0 
 N x   A11 B16   x 
A12 A16 B11 B12
 
N
N   Aij   Q ij (hk  hk 1 )
B26   y 
0
 y   A12 A22 A26 B12 B22 k 1
 
k
 N xy   A B66   xy 0 
  A26 A66 B16 B26
 
N
1
 
16
  où Bij   Q ij (h 2 k  h 2 k 1 ) (2.49)
M
 x   11 B B12 B16 D11 D12 D16    k 1 2 k
x
M y   B12 D26   
 
B22 B26 D12 D22 N
1
    y  Dij   Q ij (h3 k  h3 k 1 )
  16
 D66   
 xy 
M B B26 B66 D16 D26 k 1 3 k
 xy 
Sous cette écriture, l'analyse de la matrice de rigidité assemblée du stratifié (la matrice ABD)
permet de mettre en évidence certains comportements élastiques caractéristiques des stratifiés:
 la matrice A correspond au comportement de membrane,
 la matrice D correspond au comportement de flexion,
 la matrice B correspond aux termes de couplage entre les phénomènes de membrane
et de flexion.
Ainsi, si B n'est pas nul, un effort de traction dans le plan moyen entraîne une flexion du
stratifié. Toutefois d'autres couplages existent à l'intérieur même des comportements de
membrane et de plaque :
* Les termes A16 et A26 correspondent aux couplages plans entre traction et cisaillement.
* Les termes D16 et D16 quantifient les couplages entre flexion et torsion de la plaque
stratifiée. Le plus souvent ces couplages constituent une difficulté supplémentaire de la
conception composite.
II.5 Influence de l’empilement des couches :
II.5.1 Couche isotrope :

Dans le cas d'une plaque en matériau homogène isotrope, le comportement élastique est
décrit par le module d'Young E et le coefficient de Poisson v .
Les résultantes en membrane ( N x , N y , N xy ) dépendent uniquement des déformations en
membrane (  x 0 ,  y 0 ,  xy 0 ) et les moments de flexion et torsion ( M x , M y , M xy ) dépendent
uniquement des courbures du plan moyen (  x ,  y ,  xy ). Dans le cas d'une plaque isotrope, il
n'existe donc pas de couplage membrane-flexion/torsion.
Page 32
II.5.2 Couche orthotrope rapportée à ses axes principaux :

Berthelot (2010) considère que pour une couche orthotrope, d'épaisseur h, dont les axes
du matériau sont confondus avec les axes de référence de la plaque (axes de référence des
contraintes et déformations exercées sur la plaque), la matrice de rigidité réduite s'écrit :
Q11 Q12 0 
Q  Q21 Q22 0  (2.50)
 0 0 Q66 
D'où l’expression des coefficients de rigidité du stratifié :
h3
Aij  Qij h Dij  Qij
12 (2.51)
A16  A26  0 Bij  0 D16  D26  0
Comme dans le cas d'un matériau isotrope, les résultantes en membrane ne dépendent que des
déformations de membrane et les moments ne dépendent que des courbures.
II.5.3 Couche orthotrope non rapportée à ses axes :

Dans le cas où les axes du matériau de la couche orthotrope ne coïncident pas avec les
axes de référence des contraintes, la matrice de rigidité réduite s'écrit :
Q11 Q12 Q16 

  
Q  Q12 Q 22 Q 26  (2.52)
Q16 Q 26 Q 66 
 
Où les coefficients Q ij hors axes sont définis en fonction des coefficients Qij dans les axes du
matériau. Les coefficients de rigidité de la plaque s'expriment alors suivant :

h3
Aij  Q ij h Dij  Q ij
12 (2.53)
A16  A26  0 Bij  0 D16  D26  0
Nous constatons à nouveau l'absence de couplage membrane-flexion/torsion.

Toutefois, contrairement au cas d'une plaque isotrope ou d'une plaque orthotrope dont les axes
principaux coïncident avec les axes de référence de la plaque, nous observons que les
résultantes normales N x , N y dépendent des déformations axiales  x 0 et  y 0 , ainsi que de la
déformation en cisaillement  xy 0 . Il existe donc dans ce cas un couplage traction-cisaillement.
Page 33
De la même manière, les composantes des moments dépendent toutes des courbures en
flexion  x ,  y , et de la courbure en torsion  xy . Il existe donc également un couplage
flexion-torsion.
II.5.4 Stratifiés symétriques :
II.5.4.a Cas général :

Selon Berthelot (2010), Un stratifié est symétrique si le plan moyen est plan de symétrie.
Deux couches symétriques ont :
-  
la même matrice de rigidité réduite Q ij k ,
- la même épaisseur hk ,
Il en résulte que les coefficients Bij de la matrice de rigidité du stratifié sont nuls. L'équation
constitutive est de la forme générale :
 0
 N x   A11 A12 A16 0 0 0   x 
N  
0   y 
0
 y   A12 A22 A26 0 0
 N xy   A  
  A26 A66 0 0 0   xy 0 

16
   (2.54)
M x   0 0 0 D11 D12 D16   
x
M y   0 0 0 D12 D22 D26   
    y 
M xy   0 0 0 D16 D26 D66   
 xy 
On remarque qu’il n'existe pas de couplage membrane-flexion dans le cas des stratifiés
symétriques. Il en résulte que le comportement des stratifiés symétriques est plus simple à
analyser que celui des stratifiés présentant un couplage membrane-flexion/torsion. En outre,
les stratifiés symétriques ne présentent pas une tendance au gauchissement due aux
déformations (contractions) induites lors du refroidissement consécutif au processus de mise
en œuvre des matériaux. Les stratifiés symétriques sont donc largement utilisés, à moins que
des conditions spécifiques nécessitent un stratifié non symétrique.
Page 34
II.5.4.b Stratifiés symétriques dont les axes des matériaux de toutes les couches
coïncident avec les axes du stratifié (symétrie miroir) :
La matrice de rigidité réduite de chaque couche est dans ce cas de la forme :

Q11k Q12
k
0 
Qk  Q21k Q22
k
0 
 (2.55)
 0 0 Q66 
k

Où les coefficients de rigidité réduite s'expriment en fonction des modules de l'ingénieur de

chaque couche.
Les coefficients de rigidité du stratifié s'expriment donc suivant :
N N
1 k 3
Aij   Qij hk Aij   Qij hk
k
K 1 K 1 3
(2.56)
A16  A26  0 Bij  0 D16  D26  0
D'où l'équation constitutive du stratifié :

 0
 N x   A11 A12 0 0 0 0   x 
N  
0   y 
0
 y   A12 A22 0 0 0
 N xy   0  
  0 A66 0 0 0   xy 0  (2.57)
   
 M x  0 0 0 D11 D12 0   
x
M y   0 0 0 D12 D22 0   
    y 
M xy   0 0 0 0 0 D66   
 xy 
Outre que l'absence de couplage membrane flexion/torsion, il y a également absences de

couplages en traction- cisaillement et en torsion-flexion.
Dans le cas de la symétrie miroir des couches d’un matériau composite stratifié,
les caractéristiques élastiques équivalentes sont :
A11 A22  A12 A11 A22  A12

2 2
Ex  Ey 
hA22 hA11 (2.58)
A A A
vxy  12 v yx  21 Gxy  33
A22 A11 h
Page 35
II.6 Déplacement d’une plaque composite :
Pour une plaque composite encastrée à coté et libre à l’autre, L’équation utilisée pour calculer
le déplacement est :
Nx  L
L  (2.59)
k h
A16 A26  m
k  A11  ( A12  m)  
A66 A66
A12  A66  A26  A16
m
A22  A66  A26
2
Figure II.10 : Plaque stratifié soumise à une traction suivant l’axe x.
Page 36
Chapitre III Etude théorique des plaques composites trouées
Chapitre III :
Etude Théorique Des Plaques Composites Trouées.
III.1 Introduction :
Dans les différents domaines de technologie de pointe, les matériaux composites ont de
nombreuses applications en raison d’un rapport résistance/poids très élevé. Les plaques
stratifies à bases des fibres longues de verre et à matrice époxyde ont été largement utilisés au
cours des 30 dernières années. Même s’ils présentent des propriétés mécaniques intéressantes,
ils sont aussi caractérisés par des inconvénients indéniables tels que la forte sensibilité aux
singularités géométriques (de type trou, entaille…) qui constituant des maillons faibles au sein
de la structure.
Dans une plaque composite, et pour différentes raisons pratiques, la présence d’un trou
conduit à un affaiblissement de la structure en raison de sur-contrainte locale appelée
concentrations de contrainte.
Jian (1998) [27] a défini ce phénomène comme une augmentation locale des contraintes
dans une zone comportant une modification géométrique de la pièce. Il apparait dans une
discontinuité de la pièce ou d’une structure avec la présence d’une entaille après l’usinage par
exemple. La zone de concentration de contraintes est souvent le site d’amorçage des fissures
de fatigue mais peut être aussi l’origine d’une rupture brutale dans le cas d’un matériau
fragile.
Pour cela, Il est bon d’éviter, autant que possible, le perçage ou l’usinage de défauts ou de
parties fonctionnelles de ce type. Lorsque la présence de concentrateurs de contraintes est
inévitable, il est nécessaire de connaître le facteur de concentration de contrainte associé à
chaque géométrie afin de bien dimensionner les structures.
Page 37
Donc, à travers ce chapitre, nous allons tout d’abord décrire le comportement d’une
plaque isotrope contenant un trou circulaire soumise à un effort de traction. Nous profiterons
de cette description pour établir les hypothèses prises par Airy pour analyser le phénomène de
concentration des contraintes.
Suite à cette discussion, Une seconde revue est ensuite proposée sur les différentes théories
approchées utilisées pour représenter le phénomène de concentration de contraintes dans les
plaques stratifiées trouées. Après avoir rappelé brièvement leurs formulations, nous
discuterons de l’applicabilité de ces méthodes pour notre problématique.
III.2 Comportement d’une plaque isotrope trouée:
Dans cette première partie, nous allons conduire une analyse sur le phénomène de
concentration des contraintes dans une plaque isotrope trouée en se basant sur la théorie
d’Elasticité [28] [29]. Pour cela, nous allons utiliser, pour notre cas, une fonction de
contrainte appelée « fonction d’Airy », qui nous permettra ensuite de calculer le facteur de
concentration de contrainte pour une plaque isotrope trouée. Pour ce faire, on se propose
d’étudier une plaque d’épaisseur h, tendue entre deux extrémités et possédant un trou médian
de rayon a. Les forces de volume sont négligeables. On fait l’hypothèse d’un état plan de
contrainte.
Les deux côtés de la plaque sont supposées suffisamment grands par rapport à a pour que
l’état de contrainte loin du trou ne soit pas affecté par la présence du trou et puisse donc être
assimilé à l’état homogène suivant :
     e1  e1 (3.1)
Où   > 0 est la contrainte imposée, donnée du problème. Dans tout le problème, le bord du
trou ainsi que les surfaces z = ±h/2 sont libres d’effort.
Un système de coordonnées polaires (O, r,  ) est adopté, O étant le centre du trou, l’angle 
étant mesuré par rapport à e1 .
Page 38
Figure III.1 : Plaque percée d’un trou circulaire de rayon a et soumise, loin du trou,
à une sollicitation de traction simple d’intensité   .
III.2.1 Champ de contraintes loin du trou :
On substitue : e1  cos  er  sin  e
Dans l’état de contrainte (3.1) pour trouver :


  ((1  cos 2 )er  er  (1  cos 2 )e  e  sin 2 (er  e  e  er )) (3.2)
2
Autrement dit,
  
 rr  (1  cos 2 )
 2
  

   (1  cos 2 ) (3.3)
 2
     sin 2

 r 2
III.2.2 Forme générale des contraintes :
Lorsque les forces de volume sont nulles, la détermination des fonctions  rr ,  , r
se ramène à la recherche d’une fonction unique  (r ,  ) appelée fonction d’Airy :
 2 1  1  2   2 1  1  2 
Où  2   2 
2 
  0
2 
(3.4)
 r r r r   r 2
r r r 2
 
La solution générale :
C2
 (r ,  )  A log r  B r 2 log r  C r 2  ( A2r 2  B2r 4   D2 ) cos(2 ) (3.5)
r2
Page 39
Où A, B, C, A2 , B2 , C2 , D2 sont des constantes à déterminer. D’après les relations :
 1   1  2

 rr   2
 r  r r  2
  
2
   2 (3.6)
 r
     1   
 r r  r  
On trouve l’expression générale du champ de contraintes :

 A  6 C2 4 D2 
 rr  r 2  2 B log r  B  2C   2 A2  r 4  r 2  cos (2 )
  
 A  6 C2 
    2  2 B log r  3B  2C   2 A2  12 B2 r  4  cos (2 )
2
(3.7)
 r  r 
  3 C2 D2 
 r   A2  3B2 r  r 4  r 2  2 sin (2  )
2

Loin du trou, lorsque r est suffisamment grand, le champ précédent prend la forme
asymptotique :
 rr   2 B log r  B  2C  2 A2 cos (2 )

 
   2 B log r  3B  2C  (2 A2  12 B2 r ) cos (2 )
2
(3.8)
   ( A  3B r 2 ) 2 sin (2  )
 r 2 2
L’identification entre ce champ et celui de traction simple (3.2) permet de déterminer les
 
constantes : B  0, B2  0, C , A2  
4 4
Donc :
 A      6 C2 4 D2 
 rr  2     4  2  cos (2 )
 r 2  2 r r 
 A    6C 
 
    2      4 2  cos (2 ) (3.9)

 r 2  2 r 
   
3C D 
 r     4 2  22  2 sin (2  )
  4 r r 
Après prise en compte des conditions à la frontière :
A      6 C2 4 D2 
 rr (r  a)  2    4  2  cos (2 )  0
a 2  2 a a 
   3 C2 D2 
 r (r  a)     4  2  2 sin (2  )  0
 4 a a 
Page 40
On obtient :
A   6C 4D  3 C2 D2
  0,  4 2  2 2  0,   2 0
a2 2 2 a a 4 a4 a
Dont la résolution fournit :
  
D2  a , 2
A  a 2
, C2   a 4
2 2 4
Finalement, le champ de contraintes et la fonction de contraintes identifiés sont :
  a2     3 a4 4 a2 
 rr  1  2   1  4  2  cos (2  )
2  r  2  r r 
  a    3a 
 2  4
   1    1  4  cos (2  ) (3.10)
2  r 2  2  r 
  2 a 3a 
 2 4
 r   1  2  4  sin (2 )
2  r r 
   a4
 (r ,  )   a 2 log r  r2  (  r 2  2a 2  ) cos(2 ) (3.11)
2 4 4 r2
III.2.3 Concentration de contrainte au bord du trou :
Le champ de contraintes trouvé précédemment indique que les contraintes ne sont pas
homogènes dans une plaque trouée sollicitée en traction à ses extrémités.
La décroissance rapide en 1 / r 2 du champ de contraintes assure que ces hétérogénéités se
développent seulement au voisinage du trou et que le champ suffisamment loin du trou peut
être considéré comme homogène.
On remarque que, le champ de contraintes   est plus fort au bord du trou que partout
ailleurs dans la plaque.
III.2.4 Facteur de concentration de contrainte :
Le facteur de concentration de contrainte est défini par :

  max
kt  (3.12)

La contrainte ortho-radiale vaut :
  (r  a)    (1  2 cos (2 )) (3.13)
Page 41
III.3 Comportement d’une plaque composite trouée :
Un trou circulaire dans une plaque composite peut être nécessaire pour des raisons
pratique diverses. Si un petit trou circulaire est réalisé au centre de la plaque, la répartition des
contraintes au voisinage du trou est modifiée.
Dans la littérature, La distribution des contraintes autour d'un trou circulaire dans une plaque
composite a été étudiée par plusieurs chercheurs, qui montre qu’il n’y a pas de solution
analytique exacte pour ce cas, et toutes les solutions ce sont des solutions approchées ou
empiriques [30]. Donc, nous allons dans cette section effectuer une revue sur les différentes
approches proposées dans la littérature pour analyser le phénomène de concentration de
contrainte, On s’intéressera en particulier par les deux approches proposées par Green-Zarna
(1954) [31] et Lekhnitskii (1968) [32].
 Historique :
Historiquement, la première approche développée pour étudier le phénomène de

concentration de contraintes d’une plaque stratifiée est celle proposée par Green et Zarna en
1954, un peu plus tard et exactement en 1979, Broockman et Sierakowski [33] ont proposé
une étude similaire sur une plaque composite bore-aluminium contient un trou circulaire
soumis à des charges parallèles aux fibres. Ensuite, Hyer et Liu (1985) [34] ont utilisé la
méthode photo-élastique pour repérer la distribution des contraintes pour une plaque
composite verre-époxy.
D’un autre côté, Plusieurs approches sur la concentration de contraintes autour des trous pour
les plaques orthotropes sont données dans les références [35][36]. En parallèle de ces études,
des solutions analytiques approchées ont été progressivement trouvées par différents
chercheurs comme Hearmon [37], Lekhnitskii [38] et Savin [39][40] qui ont beaucoup
contribué à analyser le comportement des plaque stratifiées trouées.
Plus récemment, Kaltakci [41] en 1996 a signalé l'effet de l'orientation des fibres sur la
concentration des contraintes autour des trous pour des plaques anisotropes et leurs
endommagements en comparant avec des plaques sans trou. Par la suite, et précisément en
2003, Temiz, Ozel et Aydin [42] se sont basés sur les différentes approches citées
précédemment pour effectuer une analyse des contraintes pour des plaques isotropes et
orthotropes, à la fois avec un trou et sans trou, et stratifié à la fois avec un trou et sans trou à
l'aide de la méthode des éléments finis [43][44].
Page 42
III.3.1 Concentrations de contraintes autour des trous :
III.3.1.a Théorie de Green-Zarna :
La première théorie approchée choisie pour analyser la répartition des contraintes dans
une plaque composite trouée est celle proposée par Green-Zarna, où ils ont proposé pour
étudier ce problème l’utilisation de l’équation suivante :
4F 4F 4F

S22   ( S  2 S )   S  0 (3.14)
x 4 x 2y 2 y 4
66 12 11
Où F est la fonction de contrainte d’Airy, S11 , S 22 , S12 et S 66 sont les coefficients de souplesse
définis comme suit :
1 1 1 v12 v
S11  , S 22  , S 66  , S12     21 (3.15)
E1 E2 G12 E1 E2
L’équation (3.14) est transformée en :
 2 2   2 2 
 2  1  2    2   2  2   F  0 (3.16)
 x y   x y 
S11 S66  2S12

Où : 1   2  , 1   2  (3.17)
S22 S22
1 ,  2 sont des constants réels et positifs.
Pour une plaque contient un trou circulaire de diamètre (a), le centre des coordonnées a été
choisi pour être le même que le centre du trou. Une contrainte  x de traction uniforme a été
appliquée suivant la direction parallèle à la direction des fibres Comme indiqué sur la
(figure III.2), l’équation de F peut être écrite sous la forme suivante :
Figure III.2 : Plaque composite stratifié avec un trou circulaire.
Page 43
 
A  cos 2n1 B2 n  cos 2n 2 
F  F0  A0 1ogr1  B0 1ogr2    2 n   (3.18)
n 1  (1   1 )  r1 (1   2 )2 n  r2 
2n 2n 2n
Où F0 est la fonction de contrainte pour une plaque sans trou définie comme :
1 1
F0  1  y 2  1  r 2  (1  cos 2 ) (3.19)
2 4
Où A0 , A1....., B0 , B1.... , Sont des constantes liées aux conditions aux limites.  1 et  2 sont
définis comme :
1  1 2  1
1  2  (3.20)
1  1 2  1
Leurs valeurs varient entre -1 et 1.
On rappelle ici que ces équations sont valides si la taille du trou est petite en comparant avec
les dimensions extérieures de la plaque. Si le rapport entre la largeur de la plaque et le
diamètre du trou est plus grand ou égal à quatre, alors on peut considérer que la taille du trou
comme petite [40] [45].
 Plaques orthotropes :
Pour une plaque orthotrope chargée uni-axialement dans une direction coïncide avec la
direction des fibres (Figure III.3), la contrainte tangentielle au voisinage du trou (r = a) est
donnée par l’équation suivante :
Figure III.3 : Plaque orthotrope unidirectionnelle avec un trou circulaire.
(1   1 )  (1   2 )  (1   1  2 1   2  2  cos 2 )
1  x (3.21)
(1   1  2 1 cos 2 )(1   2  2 2 cos 2 )
2 2
Page 44
Où
  E 
 E2  
2
 E2  v    2
 v21     1
 2G12 21   2G12  E1  
 
1 
  E 
 E2  
2
 E2  v    2
 v21     1
 2G12 21   2G12  E1  
 
(3.22)
  E 
 E2  
2
 E2  v    2
 v21     1
 2G12 21   2G12  E1  
 
2 
  E 
 E2  
2
 E2  v    2

 v21     1
 2G12 21   2G12  E1  
 
Les équations de  1 et  2 sont déterminées en utilisant les équations (3.15), (3.17) et (3.20).
Dans ces équations, E1 est le module d'élasticité dans le sens de la fibre, E 2 est le module
d'élasticité dans la direction transversale, G12 est le module de cisaillement et v21 est le
coefficient de Poisson qui est le rapport entre la déformation dans le sens longitudinal et la
déformation transversale. Ces déformations sont provoquées par une contrainte appliquée
dans la direction transversale.
Les contraintes  x ,  y , et  xy associées aux axes principaux de la plaque sont donnée par :
 x   i sin 2 
 y   i cos 2  (3.23)
 xy   i sin  cos 
Dans le cas d'une plaque chargée transversalement par rapport à la direction des fibres
(Figure III.4), la contrainte tangentielle au voisinage du trou peut être obtenue à partir les
équations (3.21) et (3.22) en changeant E1 par E 2 et v21 par v21 . Cette opération est
équivalente à changer les positions de  1 et  2 et leurs signés dans l’équation (3.21). Dans ce
cas, la contrainte tangentielle au voisinage du trou est donnée par l’équation suivante :
Page 45
Figure III.4 : Plaque orthotrope avec un trou circulaire chargée transversalement.
(1   1 )(1   2 )(1   1   2   1 2  2 cos 2 )

  x (3.24)
(1   1  2 1 cos 2 )(1   2  2 2 cos 2 )
2 2
Où  1 et  2 seront obtenus à partir de l’équation (3.22). Enfin, pour une plaque orthotrope
soumise à l'effet de cisaillement uniforme (figure III.5), la contrainte tangentielle au
voisinage du trou est donnée par l'équation suivante :
Figure III.5 : Plaque orthotrope chargée par une contrainte de cisaillement uniforme.
4( 1 2  1) sin 2
  S (3.25)
(1    2 1 cos 2 )(1   2  2 2 cos 2 )
2 2
1
Pour les plaques isotropes, on peut utiliser les équations citées précédemment pour calculer la
contrainte tangentielle au bord des trous circulaires en prenant  1 =  2 =0.
Page 46
 Plaques anisotropes :
La concentration de contraintes dans des plaques anisotropes (figure III.6) peut être
trouvée en utilisant le principe de superposition. Donc, on peut obtenir l'équation de la
contrainte tangentielle en superposant les équations (3.21) (3.24) et (3.25). L’équation finale
est écrite sous la forme suivante :
Figure III.6 : Plaque orthotrope unidirectionnelle avec un trou circulaire.
N1  N 2  N3
  x
(1    2 1 cos 2(   ))(1   2  2 2 cos 2(   ))
2 2
1
N1  (1   1 )  (1   2 )  (1   1  2 1 2  2 cos 2(   )) (3.26)


N 2  4  1   2  (1   1 2 ) cos 2(   ) sin 
2

N3  4( 1 2  1) sin 2(   ) sin  cos 
Où les valeurs de  1 et  2 sont calculées en utilisant l'équation (3.22), la contrainte  x peut

être un effort de traction ou de compression.
III.3.1.b Théorie de Lekhnitskii :
La deuxième théorie approchée choisie pour analyser la distribution des contraintes dans
une plaque orthotrope trouée est celle proposée par Lekhnitskii (1968) [32], où il propose
pour étudier ce problème l’utilisation de l’équation suivante :
E
  
   
  cos 2   m  n sin 2 m cos 2   1  n  cos 2   m sin 2 sin 2  
  (3.27)
Ex  n1  m  n sin  cos  sin  cos  
Page 47
Où :
E  E 1 E  
 1 / sin 4  x cos 4    x  2v xy  sin 2 2  (3.28)
Ex  Ey 4  Gxy 
 
Ex  E  E
m , n  2 x
 vxy   x (3.29)
Ey  Ey  Gxy
 
 : C’est l’angle d’application de l’effort de traction, mesuré par apport l’axe x.
En ce qui concerne l’expression de n, il existe d’autres formes, comme celle proposée par
Lotfi Toubal en 2005 [46]:
E  E
n  2 x  2vxy   x (3.30)
E  G
 y  xy
Selon Calcote [47] et Jones [48], les modules d’élasticités { E x , E y , Gxy , v xy , v yx } dans le
repère de référence (x y) sont liées aux modules d’élasticités matérielles { E1 , E2 , v12 , G12 }
par les équations suivantes:
 E 1 E  
E x  E1 / cos 4   1 sin 4   1  2v12  sin 2 2 
 E2 4  G12  
 E 1 E  
E y  E1 / sin 4  1 cos 4    1  2v12  sin 2 2 
 E2 4  G12  
 E  E E  
G xy  E1 / 1  2v12  1  1  2v12  1  1  cos 2 2  (3.31)
 E2  E 2 G12  
E  1 E E  
v xy  x v12  1  2v12  1  1  sin 2 2 
E1  4 E 2 G12  
Ey  1 E1 E1  2 
v yx  v12  1  2v12    sin 2 
E1  4 E 2 G12  
La complexité des formules présentées auparavant nécessite un long processus de calcul, afin
de simplifier ce processus et économisé le temps, on a programmé les formules dans un
langage machine, les organigrammes de calcul pour chaque approche sont présentés comme
suit :
Page 48
Début
Lecture IS
Fichier IS=0 Interactif
Introduction des
données
Lecture :
- Les propriétés de matériau

- L’orientation des fibres
i=0
Calcul :
i=i+1 - Les contraintes

- Le facteur de concentration de contrainte
I<180
Oui
No
Impression les facteurs de

concentration des contrainte
Figure III.7 : Organigramme de calcul le facteur de concentration de contrainte par la

méthode de Green-Zarna.
Page 49
Début
Lecture IS
Introduction des
données
Lecture :

- Direction des charges appliquées
Calcul :
- Les propriétés du matériau pour la

direction considérée
i=0
Calcul :
- Les contraintes
i=i+1 - Le facteur de concentration des contraintes
I<180
Oui
No
Impression les facteurs de

concentration des contrainte
Figure III.8 : Organigramme de calcul le facteur de concentration de contrainte par la

méthode de Lekhnitskii.
Page 50
Début
Lecture IS
Introduction des
données
Lecture :

Calcul :
- Les Coefficients de rigidité locaux (Qij)

- Les Coefficients de rigidité globaux
- Les Coefficients de rigidité (Aij) réduites
- Les Déplacement
Impression le déplacement
Figure III.9 : Organigramme de calcul le déplacement.
Page 51
Chapitre IV Formulation éléments finis et programmation
Chapitre IV :
Formulation Eléments Finis Et Programmation.
IV.1 Introduction :
En pratique, la forme et les conditions d’appuis d’une structure rencontrées dans la

majorité des problèmes sont souvent complexe. En générale, on dit qu’une structure est
complexe si toute solution analytique de celle-ci est impossible ou est obtenue après des
calculs délicats. Cette définition s’applique exactement aux structures en plaques composites.
L’utilisation des méthodes numériques de résolution comme par exemple différences finies a
comme difficulté majeure, la représentation des conditions aux limites.
Seule la méthode des éléments finis est susceptible de résoudre sans grande difficulté les
problèmes de plaque composite de forme d’appuis et de mise en charge quelconques.
L’analyse du comportement des plaques est du plus haut intérêt pour les ingénieurs en
génie civil, puisque les dalles constituent l’essentiel de la structure des bâtiments (radier,
plancher, toiture...). Donc la mise au point d’un élément fini qui traite parfaitement le
comportement d’une plaque composite est, pendant longtemps, un défi lancé aux chercheurs
et continue aujourd’hui à susciter beaucoup d’intérêt. [49][50]
Dans ce chapitre, nous allons présenter la formulation d'un élément fini iso-paramétrique
membranaire (Q4) destiné à modéliser des plaques stratifies travaillant uniquement dans leur
plan, en utilisant le principe des Travaux virtuels, qui nous permettra de trouver le vecteur
force { } et la matrice de rigidité globale [ ].
Suite à cette formulation nous avons écrit un programme en langage FORTRAN77 qui
sera utilisé pour calculer les déplacements et les contraintes, ensuite nous allons procéder à la
validation du programme en comparant les résultats de celui-ci avec les résultats analytiques,
et en les confrontant avec ceux obtenus par l’élément S4R d’Abaqus.
Page 52
IV.2 Historique :
Bien que l’appellation de la méthode des éléments finis soit nouvelle, le concept est
ancien et a été utilisé à chaque fois qu'une solution d'un problème réel par une méthode
approximative s'est avérée indispensable. L'origine de la méthode remonte à l'aube du XX
siècle où une technique de subdivision d'une structure complexe en un maillage régulier de
poutre élastique était utilisée.
Dans le temps la théorie des poutres élastiques était connue et utilisée pour approcher
la solution exacte des structures. Il a fallu attendre le début des années 1940 pour que le
mathématicien Courant suggère une approche similaire à celle de la M.E.F qui consiste à
subdiviser la structure en maillage triangulaire défini par une interpolation polynomiale.
Comme il manquait les ordinateurs pour effectuer les calculs, l'utilisation de cette méthode est
restée très restreinte. Une décennie après, La méthode des Eléments Finis est mise au point au
début des années 50 chez Boeing (Seattle, USA, calcul des structures d'aile d'avion); on y
développe le premier élément fini, sa matrice de rigidité, l'assemblage et la résolution par la
méthode des déplacements (publié par Turner, Clough, Martin et Topp en 1956).
Quant aux bases théoriques générales, alliant l'analyse des structures en barres et
poutres avec celle des solides, elles sont étudiées de 1954 à 1960 (Argyris, Kelsey), certaines
idées apparurent auparavant, en particulier chez les mathématiciens pour résoudre divers
problèmes aux limites, par exemple celui de la torsion de Saint-Venant en divisant la section
en triangles, mais elles restèrent sans suite.
A partir de 1967, de nombreux livres sont publiés sur la méthode des éléments finis,
signalons en particulier ceux de Zienkiewicz, Gallagher, Rockey. La méthode des éléments
finis est très répandue dans les industries, en particulier en construction aéronautique,
aérospatiale, navale et nucléaire.
Dès 1970, la méthode envahit tous les domaines de l’ingénierie et des mathématiques
appliquées. Il faut ajouter que son essor est, dès le début et jusqu’à aujourd’hui encore,
indissociable de celui des ordinateurs [49].
Page 53
IV.3 Formulation de l’élément fini :
IV.3.1 Coordonnées intrinsèques :
Dans la M.E.F les éléments pouvant être de taille est de forme quelconques, il n’est pas
envisageable, pour établir leurs caractéristiques élémentaires, de reprendre strictement la
méthodologie utilisée pour les poutres et barres. Les matrices de rigidité et vecteur charges
variant systématiquement, une méthodologie permettant de calculer ces caractéristique
quelque soient la géométrie et configuration des éléments, s’avérera beaucoup plus rentable
au niveau calcul.
Celle-ci consistera, pour chaque type d’élément, à définir un élément de référence de

géométrie conventionnelle (appelé également élément « parent ») de telle manière à obtenir la
géométrie de n’importe quel élément réel de forme semblable à partir d’une transformation
géométrique biunivoque (i.e. bijective) [50].
Ceci permet de définir une transformation du domaine physique de l’élément et un

domaine géométrique simple sans dimension. Ce système est défini par des axes parallèles
aux côtés de l’élément, les coordonnées des nœuds des sommets prennent des valeurs
unitaires (±1), les variables nodales sont exprimées par le vecteur suivant et sont montrées sur
la (figure IV.1).
Figure IV.1 : Transformation géométrique.
Page 54
IV.3.2 Approximation nodale des coordonnées :
La construction d’un élément fait intervenir deux types d’interpolations : l’interpolation

géométrique et l’interpolation des déplacements.
Un élément est dit iso paramétrique si les interpolations de la géométrie et des déplacements
Sont identiques.
On peut relier les systèmes global et local avec les équations :
x  1   2   3   4
y   5   6   7   8 (4.1)
Les coefficients (1   8 ) peuvent être déterminés à partir des coordonnées x et y des quatre
points en utilisant les conditions :
x  xi , y  yi aux nœuds i, où :    i ,   i .
Substituant les valeurs trouvées pour 1   8  dans l’équation précédente on obtient :
4
x( , )  N1 ( , ) x1  N 2 ( , ) x 2  N 3 ( , ) x3  N 4 ( , ) x 4   N i ( , ) xi
i 1
4
y ( , )  N1 ( , ) y1  N 2 ( , ) y 2  N 3 ( , ) y 3  N 4 ( , ) y 4   N i ( , ) y i
i 1
Où ( xi , yi ) sont les coordonnées du nœud .
Les fonctions de formes ou fonctions d’interpolation sont les fonctions qui relient les
déplacements d’un point quelconques intérieur à un éléments aux déplacements nodaux
Les fonctions d’interpolation linéaire sont données par :
1
N i  N i ( , )  (1   i )(1   i ) (4.2)
4
1 1
N1  (1   )(1   ) N3  (1   )(1   )
4 4
1 1
N 2  (1   )(1   ) N 4  (1   )(1   )
4 4
Le nombre de fonctions de forme étant directement lié à celui des nœuds de l’élément
considéré, il est rarement nécessaire de complexifier les calculs en enrichissant ou au
Page 55
contraire en appauvrissant celui de la géométrie. De ce fait, les fonctions de formes associées

au calcul des déplacements seront également utilisées pour la définition de la géométrie de
l’élément d’où le nom iso-paramétrique [50].
IV.3.3 Champs des déplacements :
La forme générale des champs de déplacement des éléments iso-paramétrique :
n
u ( , )   ai   j  k (4.3)
i 1
Figure IV.2 : Triangle de pascale.
Pour notre élément qui est un quadrilatéral de quatre nœuds on a :
Horizontalement, quatre valeurs nodales u1 , u2 , u3 et u 4 de déplacement sont définies d’où

l’expression du champ de déplacement correspondant :
4
u ( , )   N i ( , )  ui (4.4)
i 1
Il s’agit en fait de l’équation d’un plan. Le champ de déplacement vertical peut être déterminé
suivant la même approche en posant que :
4
v( , )   N i ( , )  vi (4.5)
i 1
Où u i et vi sont les déplacements membranaires d’un nœud i.
Page 56
Sous forme matricielle :
u1 
v 
 1
u 2 
 
u   N 1 0 N2 0 N3 0 N4 0  v 2 
   
N 4  u 3 
(4.6)
v   0 N1 0 N2 0 N3 0
v3 
 
u 4 
v 
 4
IV.3.4 Relations cinématiques :
Les déformations sont liés aux déplacements par :
u v u v
x  , y  ,  xy   (4.7)
x y y x
Sous forme matricielle :
 
 0
  x   x 
    
u      u 
,  y    0  
v     y  v 
 xy   
 
 y x 
   N q (4.8)
 N1 N 2 N 3 N 4 
 0 0 0 0 
 x x x x 
N1 N 2 N 3 N 4 
B   N    0 0 0 0 (4.9)
y y y y 
 N N1 N 2 N 2 N 3 N 3 N 4 N 4 
 1 
 y x y x y x y x 
B : La matrice qui relie les déformations à l’intérieur de l’élément et les déplacements aux
nœuds.
Page 57
En introduisant les fonctions de forme :
u1 
v 
 N1 N 2 N 3 N 4  1 
 0 0 0 0  u 2 
  x   x x x x  
   N 1 N 2 N 3 N 4  v 2 
 y    0 0 0 0   (4.10)
   y y y y  u 3 
 xy  N N 1 N 2 N 2 N 3 N 3 N 4 N 4  v 
 1  3
 y x y x y x y x  u 
 4
v 
 4
Où sous la forme contractée :
   Bq (4.11)
[B] : La matrice qui relie les déformations à l’intérieur de l’élément et les déplacements aux
nœuds.
IV.3.5 Loi de comportement :
Le matériau étant considéré anisotrope, la relation contrainte-déformation est donnée par :
  1   Q11 Q12 0   1 
     
 2    Q22 0  2 
    sym Q66   6 
 6 
Où
E1 E2  21E1  E
Q11  Q22  Q12  Q21   12 2 Q66  G12
1  12 21 1   12 21 1   12 21 1   12 21
   Q  (4.12)
Dans le repère du stratifié, la relation contrainte-déformation devient :
  Q  (4.13)
La résultante des efforts normaux pour un stratifié symétrique est donné par :
 Nx  h/2  
  h/2  x 
 
h/2
N ( x, y )   N y     dz     y dz   Q  dz  A   AB q
 N  h / 2 h / 2  
 xy 
h / 2
 xy 
Page 58
 A11 A12 A16 

A   A21 A22 A26 
 A61 A62 A66 
h/2
Aij  Q
h / 2
ij dz (4.14)
IV.3.6 Principe des travaux virtuel :
Dans certains domaines de la physique, des considérations énergétiques permettent la

formulation du problème en tant que principe variationnel, aboutissant ainsi à une formulation
intégrale. L’intérêt de ces principes est de fournir directement la forme intégrale en passant
par les équations aux dérivées partielles.
D’après Frey (2009), la formulation mathématique du principe est basée sur les mêmes
hypothèses de modélisation du problème physique. En mécanique, le Principe des Travaux
Virtuels (PTV) en déplacement est le plus couramment utilisé.
Soit { } le vecteur de déformation virtuel, et { } le vecteur de déplacement virtuel, alors
   Bq (4.15)
 Le travail virtuel des efforts internes est donné par :
U      dv
t
U     Q
t
    dv
U   qt B t A B q dv

v
1 1
U  h   q B t AB q dxdy  h   qt B t AB q J dd
t
1 1
U  qK q (4.16)
Avec [ ] est la matrice de rigidité élémentaire qui s’obtient par intégration numérique de
Gausse en utilisant (2x2) point, et | |est le déterminant du Jacobien.
Page 59
Avec :
 x y 
  
J    x y 
 (4.17)

   
La matrice de rigidité globale [ ] s’obtient par assemblage des matrices de rigidités

élémentaires.
 Le travail virtuel des forces est donné par :
V  q  f e 
t
(4.18)
Où  f e  est le vecteur force élémentaire.
Le vecteur force globale { } s’obtient par l’assemblage des vecteurs force élémentaire.
L’équilibre au sein de l’élément s’exprime par l’égalité des deux travaux virtuels.
V  U
Ce qui permet d’obtenir l’équation d’équilibre :
K q   f e  (4.19)
Les efforts par unité de longueur dans l’élément au niveau des points de Gauss sont données
par :
N   ABq (4.20)
IV.4 Présentation du programme :
Aujourd'hui encore le langage Fortran reste très utilisé, d'une part en raison de la présence
de très nombreuses bibliothèques de fonctions utilisables en Fortran, d'autre part parce qu'il
existe des compilateurs Fortran performants qui produisent des exécutables très rapides.
IV.4.1 Description les subroutines du programme :

1- Comp3 :
permet de calculer les caractéristiques mécaniques du stratifie ([ ] [ ] [ ] ).
2- Hich :
Permet de localiser les termes de la matrice de rigidité élémentaire [ ] dans la matrice de
rigidité globale [ ] à partir de connectivité des éléments [ ].
Page 60
3- Elem05 :
A pour tâche de construire la matrice de rigidité élémentaire [ ] à partir des données relatives
à chaque élément soit :
 Connectivité.
 Coordonnées des nœuds de chaque élément.
 Les caractéristiques mécaniques des couches ([ ] [ ] [ ] ) le calcul se fait par
intégration numérique en utilisant les 4 points de Gauss.
4- Assemb :
A pour rôle d’assembler les matrices de rigidité élémentaires et le vecteur force élémentaire
dans la matrice de rigidité et le vecteur force, globaux respectivement.
5- Limite1 :
Permet d’introduire les conditions aux limites pour le calcul du déplacement en utilisant la
procédure suivante :
Annule tous les termes non diagonaux et égalise le terme diagonal à l’unité dans la matrice de
rigidité et égalise le terme correspondant dans le vecteur force pour tous les degrés de liberté
bloquée.
6-Gauss :
Cette subroutine résout le système d’équation linéaire et détermine les déplacements nodaux
et impression les résultats.
7-NXYNXY :
Permet de calculer des efforts membranaires aux niveaux des points de
GAUSS de chaque élément à partir des vecteurs de déplacement élémentaire, les matrices
d’élasticité [ ] du matériau et des coordonnées des nœuds formant l’élément.
Page 61
IV.4.2 Organigramme du Programme :
Début
Lecture IS
Fichier 1= IS =0 Interactif
Introduction des
données
Lecture des données :
 Maillage
 Caractéristiques de
chaque couche
 Condition aux limites
 Chargement
Comp3
Page 62
i=1
Hich
i=i+1
Elem 05
Assemb
Oui
I<Nelm
No
Limite 1
Gauss
Impression
des
Déplacements
i=1
i=i+1 Hich
B C
Page 63
B C
Nxy Nxy
Oui
I<Nelm
No
Impression
des Efforts
Figure IV.3 : Organigramme du programme
IV.4.3 Modélisation par Abaqus :
Dans le but de modéliser correctement par la méthode des éléments finis une plaque
stratifie, il est nécessaire de bien définir les caractéristiques de la modélisation à réaliser. En
effet, il est préférable de s'assurer du choix de l’élément et du type d'analyse par éléments
finis. Tout d'abord, le manuel d'utilisation d’Abaqus propose pour modéliser les plaques
minces l’utilisation de l’élément S4R (élément coque de 4 nœuds avec intégration réduite),
car sa validité pour modéliser les plaques isotrope ou composite minces est assurée [51].
IV.5 Validation de l’élément :
Dans cette section, nous allons mettre en œuvre l’extension de l’élément proposée (Q4) et
montrer qu’il est efficace pour étudier plus tard le comportement des plaques composites
trouées. Les deux plaques tests qui ont été choisies pour cette validité sont une plaque
isotrope et une plaque composite monocouche.
Nous avons choisis pour ces tests des plaques pleines puisqu’il n’existe pas de solution
analytique exacte du champ des déplacements pour un problème de traction sur une plaque
composite trouée. [52]
Page 64
Un troisième test est aussi proposé afin d’étudier l’influence de l’orientation des fibres.
Et finalement, on propose d’étudier une plaque stratifie pour voir l’effet de l’empilement des
couches sur le comportement des plaques.
Pour ces différents tests, nous allons comparer les résultats du déplacement obtenu en utilisant
le programme et le l’élément S4R d’Abaqus avec les résultats obtenus analytiquement.
En ce qui concerne les résultats analytiques, on a fait appel à des programmes de calcul, pour
faciliter les taches.
IV.5.1 Plaque isotrope encastrée à coté et libre à l’autre :
La première structure test est une plaque carrée pleine isotrope en Acier, chargée par une
charge de traction à l’extrémité libre, dont les dimensions et les propriétés mécaniques sont
regroupées au (tableau IV.1).
E (MPA)  N x (N/mm) 2L (mm) h (mm)
210000 0.3 100 2000 10
Tableau IV.1 : Propriétés géométriques et mécaniques de la première plaque test.
La solution analytique du déplacement horizontal à l'extrémité libre est donnée par la formule
(2.59), Nous allons maintenant comparer cette dernière et les résultats donnés par notre
élément et l’élément S4R d’Abaqus dans le (tableau IV.2), afin d’assurer que le programme
donne des résultats compatibles avec les résultats analytiques.
Le présent Déplacement donné par

Maillage élément Erreur (%) Abaqus
2*2 9.3917E -1 1.3871 1.2270

4*4 9.4214E -1 1.0752 1.0150
6*6 9.4354E -1 0.9282 9.7370E -1
8*8 9.4418E -1 0.8610 9.5840E -1
10*10 9.4453E -1 0.8243 9.5140E -1
Déplacement théorique 9.5238 E-1
Tableau IV.2 : Déplacement maximum pour la plaque isotrope.
Page 65
Pour différents maillages, la convergence du déplacement obtenu à l’extrémité est tracée sous
forme de graphes (figure IV.4) :
résultats théorique
présent élément
1,22E+00 résultats Abaqus
1,18E+00
1,14E+00
Déplacement
1,10E+00
1,06E+00
1,02E+00
9,80E-01
9,40E-01
9,00E-01
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Nombre d'élément
Figure IV.4 : Convergence du déplacement pour une plaque isotrope.
Maintenant, si on compare les résultats obtenus à partir de notre élément avec l’analytique,
on constate que les résultats sont pratiquement identiques. Et en ce qui concerne les résultats
obtenus par l’élément S4R d’Abaqus, on remarque, d’après le (tableau IV.2), qu’il converge
vers les résultats théoriques mais par une manière moins rapide que notre élément, cela est
confirmé par la courbe illustrée dans la (figure IV.4).
Figure IV.5 : Plaque mince isotrope Maillage 10x10 Elément S4R

du code calcul ABAQUS.
Page 66
III.5.2 Plaque composite monocouche encastrée à coté et libre à l’autre :
La seconde structure test est une plaque composite monocouche (verre-époxyde),

encastrée à côté et chargée par une charge de traction à l’autre côté, dont les dimensions et les
propriétés mécaniques sont regroupées au (tableau IV.3). Ces propriétés ont été choisies pour
être identiques à celles utilisées dans les articles [43] [44].
E1 E2 G12 12 Nx 2L h L’orientation

( MPA) ( MPA) ( MPA) ( N / mm) (mm) (mm) des fibres
54900 18300 9140 0.25 100 2000 10 0°
Tableau IV.3 : Propriétés géométriques et mécaniques de la deuxième plaque test.
D’après les résultats donnés par l’étude analytique du déplacement et les résultats obtenus par
le programme et l’élément S4R d’ Abaqus, on peut observer que :
Le présent Déplacement donné par Abaqus

Maillage élément Erreur (%)
2*2 3.6028 1.1007 4.5130
4*4 3.6081 0.9552 3.8360

6*6 3.6105 0.8894 3.7210
8*8 3.6115 0.8619 3.7000
10*10 3.6121 0.8456 3.6640
Déplacement théorique 3.6429
Tableau IV.4 : Déplacement maximum pour la plaque composite monocouche.
En ce qui concerne le programme, on remarque qu’il converge par une manière très rapide
vers le résultat obtenus analytiquement et qui montrent la performance de l’élément utilisé.
Et d’autre part, on peut clairement remarquer la précision des résultats donnés par l’élément
S4R d’Abaqus mais avec un maillage raffiné en comparent avec notre élément, cela est
confirmé par la courbe illustrée dans la figure suivante :
Page 67
présent élément
4,40E+00
Déplacement
4,25E+00
4,10E+00
3,95E+00
3,80E+00
3,65E+00
3,50E+00
0 20 40 60 80 100
Nombre d'élément
Figure IV.6 : Convergence du déplacement pour la plaque composite monocouche.
Pour résumer ces premiers tests, nous avons vu que l’élément Q4 est capable d’analyser
correctement les déplacements des plaques pleines isotropes et même pour les plaques
composites, et qui montre qu’il est efficace pour étudier plus tard le comportement des
plaques composites trouées.
Figure IV.7 : Plaque composite monocouche mince Orientation 0°
Maillage 10x10 Elément S4R du code calcul ABAQUS.
Page 68
Dans la prochaine section, nous étudierons la même plaque en utilisant une orientation
différente pour ainsi voir l’influence de l’orientation des fibres sur les résultats.
E1 E2 G12 12 Nx 2L h L’orientation

( MPA) ( MPA) ( MPA) ( N / mm) (mm) (mm) des fibres
54900 18300 9140 0.25 100 2000 10 45°/ -45° / 90°
Tableau IV.5 : Propriétés géométriques et mécaniques de la deuxième plaque test avec

des orientations différentes.
Les résultats de l’étude analytique de l’orientation des fibres et ceux de l’étude numérique
seront présentés dans le (tableau IV.6) ainsi que la (figure IV.8).
Le présent Déplacement donné par

Maillage élément Erreur (%) Abaqus
2*2 8.8409 -9.7839 10.8600
4*4 8.7752 -8.9681 9.2300

6*6 8.7530 -8.6924 8.9240
8*8 8.7433 -8.5716 8.8100
10*10 8.7380 -8.5061 8.7570
Tableau IV.6 : Déplacement maximum pour une plaque composite monocouche avec
une orientation 45°/-45°.
Premièrement, le déplacement obtenu en utilisant l’orientation 45°/-45° est 2 fois plus grand
que les résultats donnés sans orientation (8.0530 mm > 3.6429 mm), et qui montre que les
fibres sont des renforts efficace dans la direction d’application de la charge.
Par ailleurs, D’après les résultats présentés sur la (figure IV.8) on observe une convergence du
déplacement donné par l’élément S4R d’Abaqus vers celui donné par notre élément,
et la valeur finale de ces derniers présente une erreur relative inférieure à 10 % par rapport la
valeur analytique.
Page 69
présent élément
1,03E+01
9,90E+00
Déplacement
9,50E+00
9,10E+00
8,70E+00
8,30E+00
7,90E+00
7,50E+00
0 20 40 60 80 100
Nombre d'élément
Figure IV.8 : Convergence du déplacement pour une plaque composite monocouche

avec une orientation 45°/-45°.
Figure IV.9 : Plaque composite monocouche mince Orientation 45°/-45°
Et pour bien comprendre l’influence de l’orientation des fibres, on propose d’étudier la

plaque avec une orientation de 90°. Les résultats donnés par notre élément et l’élément S4R
d’Abaqus, et ceux obtenu analytiquement sont représentés dans le (tableau IV.7), pour mieux
interpréter les résultats, on va tracer un graphe qui sera représenter par la (figure IV.10).
Page 70
Maillage Le présent Erreur (%) Déplacement donné par

élément Abaqus
2*2 10.8680 0.5572 11.8200
4*4 10.9010 0.2553 11.1700

6*6 10.9070 0.2004 11.0200
8*8 10.9090 0.1821 10.9700
10*10 10.9100 0.1729 10.9400
Tableau IV.7 : Déplacement maximum pour une plaque composite monocouche avec
une orientation 90°.
D’après le tableau, on remarque que la valeur maximale du déplacement est tés importante en
comparent avec celle obtenue en utilisant une plaque sans orientation
(10.9289 mm > 3.6429 mm).
En ce qui concerne notre élément, on remarque qu’il converge par une manière très rapide
vers les résultats analytiques, et les résultats obtenus par l’élément S4R d’Abaqus convergent
et s’approchent lentement aux ceux obtenus analytiquement.
présent élément
1,19E+01
résultats Abaqus
1,17E+01
Déplacement
1,16E+01
1,14E+01
1,13E+01
1,11E+01
1,10E+01
1,08E+01
0 20 40 60 80 100
Nombre d'élément
Figure IV.10 : Convergence du déplacement pour une plaque composite monocouche

avec une orientation 90°.
Page 71
Figure IV.11 : Plaque composite monocouche mince Orientation 90°
Dans la littérature, il s’avère que le comportement d’une plaque composite dépend de divers
paramètres, et surtout l’orientation des fibres, qui reste très difficile à analyser
analytiquement, et les résultats obtenus ne sont pas faciles à interpréter, et cela dû à la
présence du couplage traction-cisaillement.
IV.5.3 Plaque stratifiée encastrée à coté et libre à l’autre :
Avant de procéder à étudier le comportement d’une plaque stratifié, il faut tout

d’abord prendre en considération les résultats obtenus dans l’étude de l’orientation des fibres.
Et pour éviter la présence du couplage traction-cisaillement, la plaque composite choisie pour
ce test est un stratifie qui présente une symétrie miroir [90°/0°]s dont les propriétés
géométriques et mécaniques de chaque couche sont regroupées dans le (tableau IV.8)
suivant :
E1 E2 G12 12 Nx 2L h L’orientation des fibres

( MPA) ( MPA) ( MPA) ( N / mm) (mm) (mm) de chaque couche
54900 18300 9140 0.25 100 2000 10 90°/0°/0°/90°
Tableau IV.8 : Propriétés géométriques et mécaniques de la plaque stratifie.
Page 72
Les propriétés mécaniques équivalentes du stratifie sont présentées dans le tableau suivant :
Ex Ey Gxy  xy Nx 2L h L’orientation des

(MPA) (MPA) (MPA) ( N / mm) (mm) (mm) fibres de
36790 36790 9140 0.125 100 2000 40 0°
Tableau IV.9 : Propriétés géométriques et mécaniques équivalentes de la plaque

stratifie.
Les résultats du déplacement obtenus par notre élément ainsi que par l’élément S4R d’Abaqus
sont présentés dans le (tableau IV.10).
Maillage Le présent Erreur (%) Déplacement donné par

élément Abaqus
2*2 1.3554 0.2722 1.5230
4*4 1.3581 0.0736 1.3970

6*6 1.3584 0.0515 1.3710
8*8 1.3586 0.0368 1.3620
10*10 1.3587 0.0294 1.3590
Tableau IV.10 : Déplacement maximum pour une plaque stratifie.
Les courbes du déplacement obtenu ainsi que le résultat analytique sont comparées à la
(figure IV.12). A travers ces comparaisons, on observe que notre élément donne des résultats
pratiquement identiques aux ceux obtenus analytiquement, et le maillage n’a pas
nécessairement besoin d’être raffiné. Et en ce qui concerne l’élément S4R d’Abaqus, le
maillage devrait être raffiné suffisamment pour donner des déplacements semblables à la
théorique comme montre la (figure IV.12).
Page 73
1,53E+00
1,50E+00
1,48E+00
Déplacement
1,45E+00
1,43E+00 présent élément
1,38E+00
1,35E+00
0 20 40 60 80 100
Nombre d'élément
Figure IV.12 : Convergence du déplacement pour une plaque stratifie.
Et en ce qui concerne la valeur maximale du déplacement obtenu, on peut remarquer que cette
valeur est très petite en comparant avec les résultats trouvés précédemment. Et qui montre
l’influence de l’empilement des couches sur le comportement des plaques.
Donc, la stratification des couches est l’une des meilleures solutions pour améliorer le
comportement des plaques composites sous les différentes actions.
Figure IV.13 : Plaque stratifie équivalente

Page 74
 Conclusion :
Dans ce chapitre, nous avons étudié la validité de l’élément Q4 pour analyser le

comportement d’une plaque stratifiée, en particulier, nous nous sommes intéressés à analyser
le déplacement de cette dernière. Pour ce faire, les résultats obtenus par notre élément ont été
comparés avec ceux obtenus analytiquement et confrontés avec ceux de l’élément S4R
d’Abaqus, en traçant les différents résultats obtenus sous forme des courbes pour faciliter
l’interprétation.
Premièrement, à travers les différentes applications présentées, nous avons démontré

la performance de notre élément dans le cadre des plaques stratifiées, où on peut voir le bon
fonctionnement de l’élément, et qui donne des pourcentages d’erreur moins de 0.03%.
Par ailleurs, nous avons pu montrer que l’orientation des fibres est l’une des
paramètres les plus importants qui influe sur le comportement des plaques monocouches.
Où on peut voir que la plaque peut agir parfaitement dans le sens de présence les fibres.
Finalement, grâce à ce travail, nous pouvons affirmer l’importance de stratification des
couches sur le comportement des plaques composites.
Page 75
Chapitre V Distribution des contraintes dans les plaques menues d’ouvertures
circulaires centrées
Chapitre V :
Distribution Des Contraintes Dans Les Plaques Menues

d’Ouvertures Circulaires Centrées.
V.1 Introduction :
Après avoir validé l’élément Q4 et s’être assuré du bon fonctionnement de notre

programme, nous allons maintenant exploiter ce dernier pour analyser numériquement
l’influence de présence du trou sur la distribution des contraintes.
Afin d’évaluer l’effet du trou sur la répartition des contraintes, on propose de procéder à
une étude paramétrique, qui a comme objectif de déterminer l’influence de l’orientation des
fibres et de la stratification des couches sur la valeur et les zones des points où le facteur de
concentration de contrainte est maximum. Pour cela, une étude paramétrique va être menée en
utilisant notre élément en faisant varier les différents paramètres cités précédemment.
Les résultats obtenus vont être comparé avec ceux obtenus en utilisant les équations
analytiques empiriques présentés dans le chapitre 3.
V.2 Problématique du maillage :
L’analyse d’une structure par la méthode des éléments finis consiste à découper la
structure considérée en éléments et à établir aux nœuds des éléments les relations force-
déplacements, en tenant compte des conditions de charges et d’appuis imposées à la structure.
Cette opération de découpage est prise en charge par un programme annexe appelé
« mailleur » dont le rôle est de définir automatiquement les coordonnées des nœuds et la
connectivité élémentaire. Les formes pouvant être complexes, et le succès de cette opération
en dépende.
Choisissant de discrétiser notre problème en Q4, certaines formes comme le cercle posent
un problème, le Q4 n’étant pas l’idéal pour reconstituer une géométrie curviligne. Donc la
principale difficulté se situe au niveau du maillage du trou, Donc on doit utiliser des astuces
pour résoudre ce problème.
Page 76
Comme indication, le maillage utilisé pour cette étude est celui utilisé par Abaqus. Le
maillage est représenté sur la (figure V.1).
Figure V.1 : Maillage d’une plaque carrée trouée.
V.3 Plaque isotrope trouée:
La première plaque test que nous présentons ici, est analogue à celle étudiée
à la section IV.5.1, ce qui veut dire que les propriétés mécaniques et géométriques sont celles
présentées au (tableau IV.1). Mais dans ce cas, la plaque contient un trou circulaire de
diamètre (a=100 mm) et soumise à un effort de traction. A travers ce test, nous souhaitons
analyser l’influence de présence du trou sur le phénomène de concentration des contraintes.
Dans un premier temps, nous allons dans le (tableau V.1) et la (figure V.2) présenter les
valeurs maximales du facteur de concentration de contrainte (FDC) et leur emplacement en
utilisant les différentes approches citées dans le chapitre 3. Ensuite, nous allons comparer ces
derniers avec les résultats obtenus par notre élément et l’élément S4R d’Abaqus dans le
(tableau V.2).
Les résultats analytiques Elasticité Green- Le Présent Abaqus

Elément
Zerna
La valeur maximale du 3 3 3.000 2.982
F.D.C
L’emplacement de F.D.C 90° 90° 90° 90°
Tableau V.1 : Valeurs maximales du FDC pour une plaque isotrope touée.
Page 77
 Observations :
- Si on compare les résultats du FDC donnés par la fonction d’Airy (Elasticité) avec
ceux donnés par Green-Zarna, on constate sur la figure que les courbes sont
strictement identiques et le FDC prend sa valeur maximale (3) en   90 et sa
valeur minimale (-1) en   0 et   180.
3,5
3
résultats analytique Green-Zerna
2,5
Facteur de concentration
2
résultats analytique Fonction d’Airy
1,5
1
0,5
0
-0,5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
-1
Angle(α)
-1,5
Figure V.2 : FDC pour une plaque isotrope trouée.
En ce qui concerne notre étude par élément fini, et pour faciliter la comparaison entre les
résultats obtenus numériquement et les résultats analytiques, nous allons tracer les résultats
présentés dans le (tableau V.2) sous forme des courbes illustrées sur la (figure IV.3).
Maillage Le Présent Erreur% Abaqus

Elément
(6*16) 1.534 48.866 1.784
(8*20) 1.772 40.933 2.028
(10*24) 1.986 33.800 2.212
(16*32) 2.443 18.566 2.595
(30*36) 2.846 5.133 2.862
(30*72) 2.863 4.566 2.868
(48*72) 3.000 0.000 2.982
F.D.C de Green-Zerna et d’Elasticité 3
Tableau V.2 : Valeurs numériques maximales du FDC pour une plaque isotrope trouée.
Page 78
résultats analytique
3,25 Fonction d’Airy
3 Le présent élément
Facteur de concentration
2,75
2,5 résultats Abaqus
2,25
2
1,75
1,5
1,25
1
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
Nombre d'élément
Figure V.3 : Convergence du FDC pour une plaque isotrope trouée.
 Interprétation des résultats :

- D’après les résultats présentés dans le (tableau V.2) et la (figure IV.3) on observe la
convergence du FDC donné par notre élément et l’élément S4R d’Abaqus vers celui
donné analytiquement.
- La convergence est rapide et s’approche des résultats analytiques dès qu’on dépasse
les 2500 éléments.
- Les résultats numériques donnés par l’élément S4R d’Abaqus convergent vers le
résultat analytique donné par la théorie d’Airy (Elasticité) et l’approche de Green-
Zarna avec une erreur de 0,56%.
Page 79
Figure V.4 : Plaque mince isotrope trouée Maillage (48x72)
Elément S4R du code calcul ABAQUS.
V.4 Plaque composite monocouche trouée:
La seconde structure test est une plaque composite monocouche (verre-époxyde) contient
un trou circulaire de diamètre (a=100 mm), chargée par un effort de traction à ses deux côtés,
dont les dimensions et les propriétés mécaniques sont identiques aux celles présentées dans le
tableau IV.3.
Avant d’étudier notre problème par la méthode des éléments finis, nous allons présenter
les résultats du FDC obtenus à partir de différentes approches dans le (tableau V.3)
et la (figure V.5).
Les résultats analytiques Green-Zerna Lekhnitskii Le Présent Abaqus

Elément
La valeur maximale de 3.995 4.086 4.037 3.979
F.D.C
L’emplacement de F.D.C 90° 74° 106° 90° 90°
trouée.
Page 80
 Observations :
- D’après la (figure V.5), on peut clairement voir que les valeurs du FDC données par
l’approche de Green-Zarna sont identiques aux celles données par l'approche
lekhnitskii lorsque la valeur de   90 et   0 ou   180.
- Ces valeurs sont respectivement (3.995) et (- 0.577).
- On remarque aussi que la valeur maximale du FDC donnée par l'approche de
Lekhnitskii (4.086) se trouve lorsque   74 ou   106.
4,5
4
3,5
facteur de concentration
3
2,5 résultats analytique
2 Green-Zerna
1,5
Lekhnitskii
1
0,5
0
-0,5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
-1
Angle(α)
Figure V.5 : FDC pour une plaque composite monocouche trouée.
Maillage Le Présent Erreur% Erreur% Abaqus

Elément Comparé à [1] Comparé à [2]
(8*20) 1.891 52.665 53.720 2.207
(10*24) 2.165 45.807 47.014 2.443
(16*32) 2.818 29.642 31.032 2.969
(30*36) 3.534 11.539 13.509 3.539
(30*72) 3.567 10.713 12.702 3.558
(48*72) 3.890 2.628 4.797 3.836
(72*72) 4.037 -1.051 1.199 3.979
F.D.C de Green-Zerna [1] 3.995
F.D.C de Lekhnitskii [2] 4.086
Tableau V.4 : Valeurs numériques maximales du FDC pour une plaque composite
monocouche trouée.
Page 81
On passe maintenant à notre étude par élément fini, les résultats obtenus par notre élément et
l’élément S4R d’Abaqus sont comparés à la (figure V.6).
Green-Zerna
4 Lekhnitskii
le présent élément
Facteur de Concentration
3,75
3,5 résultats Abaqus
3,25
3
2,75
2,5
2,25
2
0 1000 2000 3000 4000 5000
Nombre d'élément
Figure V.6 : Convergence du FDC pour une plaque composite monocouche trouée.

A travers ces comparaisons, on remarque que :
- D’après la (figure V.6), on observe sur l’intervalle [160-1000] une convergence rapide
du FDC donné par l’élément S4R d’Abaqus vers celui donné analytiquement.
- Entre [1000-2500] la convergence des résultats donnés par notre élément est
strictement identique à celle donnée par l’élément S4R d’Abaqus.
- Après 2500 éléments les résultats donnés par notre élément convergent plus rapide
que l’élément S4R d’Abaqus vers le résultat analytique.
- Les résultats donnés par notre élément et l’élément S4R d’Abaqus tendent vers les
résultats obtenus par l’approche de Green-Zarna.
- Les résultats numériques convergent vers le résultat analytique donné par l’approche
de Green-Zarna avec une erreur de 1,051% alors que l’erreur par rapport à l’approche
de Lekhnitskii est de 1.119%.
Page 82
Figure V.7 : Plaque mince monocouche trouée Orientation 0°

Maillage (72x72) Elément S4R du code calcul ABAQUS.
V.5 Etude paramétrique :
Après avoir validé l’élément et s’être assuré du bon fonctionnement de notre programme
à analyser le comportement des plaques trouées, nous allons dans la prochaine section
procéder à l’étude paramétrique, qui consiste à varier différent paramètres et d’interpréter les
variations des résultats obtenus, cette manipulation a pour but de déterminer l’effet de
l’orientation des fibres et la stratification des couches sur la valeur et l’emplacement des
contraintes.
V.5.1 Effet de l’orientation des fibres :
La première structure test est la plaque présentée à la section précédente, Ses propriétés
mécaniques et géométriques sont donc celles données dans le tableau IV.3. Par ailleurs,
l’orientation des fibres dans ce cas est 45°. Les résultats obtenus par les différentes approches
sont tracés sous forme des courbes illustrées sur la (figure V.8).
Page 83
3,5
3
2,5
2
1,5
1
Lekhnitskii
0 Green-Zerna
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
-0,5
-1
Angle(α)
-1,5
Figure V.8 : FDC pour une plaque composite monocouche trouée avec une orientation
de 45°.
Les valeurs maximales du FDC données par différentes approches et leurs emplacements sont
présentées dans le tableau V.5 :
Les résultats analytiques Green-Zerna Lekhnitskii
La valeur maximale de F.D.C 3.036 3.042
L’emplacement de F.D.C 109° 65° 115°
trouée avec une orientation de 45°.
 Observations :
- On peut voir clairement, d’après la (figure V.8), qui représente les courbes de
différentes approches, que la valeur maximale du FDC et son emplacement sont
presque identiques. Sauf que l’approche de Lekhnitskii donne pour cette valeur deux
emplacements.
Page 84
Pour valider ce que nous avons trouvé, on propose de refaire ce test en gardant les mêmes
propriétés géométrique et mécaniques de la plaque et on change l’orientation des fibres à
(-45°).
Les résultats obtenus par les différentes approches sont tracés sous forme des courbes
illustrées sur la (figure V.10).
3,5
3
2,5
2
1,5
1 Lekhnitskii
Green-Zerna
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
-0,5
-1
-1,5 Angle(α)
orientation de -45°.
Page 85
Les valeurs maximales du FDC données par les deux approches et leurs emplacements sont
présentées dans le (tableau V.6) :
Les résultats analytiques Green-Zerna Lekhnitskii
La valeur maximale de F.D.C 3.036 3.042
L’emplacement de F.D.C 71° 65° 115°
trouée avec une orientation de -45°.
 Observations :
Si on compare le FDC calculé à partir les deux orientations (45°/-45°), on remarque que ces
valeurs sont identiques. Sauf, dans ce cas il y a un changement de l’emplacement de la valeur
maximale où se trouve à   71 si en basant sur l’approche de Green-Zarna.
Figure V.11 : Plaque mince monocouche trouée Orientation -45°

Pour terminer cette série de tests, on propose de tester une plaque analogue à celle étudiée
précédemment, mais en utilisant cette fois une orientation de 90°. Les différents résultats
de l’étude analytique sont présentés sur la (figure V.12) et le (tableau V.7).
Page 86
4
3,5
3
2,5
2 Green-Zerna
Lekhnitskii
1
0,5
0
-0,5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
-1
-1,5
-2
Angle(α)
orientation de 90°.
Les résultats analytiques Green-Zerna Lekhnitskii Le présent Résultats

élément Abaqus
La valeur maximale de 2.729 3.404 2.755 2.746
F.D.C
Tableau IV.7 : Valeurs maximales du FDC pour une plaque composite monocouche
trouée avec une orientation de 90°.
 Observations :
- D’après la (figure V.12), on remarque que les valeurs du FDC données par l’approche
de Green-Zarna sont identiques aux celles données par l'approche Lekhnitskii lorsque
la valeur de   90 et   0 ou   180.
- Ces valeurs sont respectivement (2.729) et (-1.732).
- On remarque aussi que la valeur maximale du FDC donnée par l'approche de
Lekhnitskii (3.404) se trouve lorsque   52 ou   128.
Page 87
Maintenant, en ce qui concerne notre étude par élément fini, Nous avons réuni les résultats
trouvés par le programme et l’élément S4R d’Abaqus dans (le tableau V.8) pour les comparer
avec ceux calculés analytiquement.
Pour cette étude, nous allons opter le maillage qui nous donne la plus petite erreur qui est le
maillage de (72x72) éléments.
Green-Zerna Lekhnitskii Le Présent Abaqus

Elément
 FDC Empl FDC Empl1 FDC Empl FDC Empl
0° 3.995 90° 4.086 74° 106° 4.037 90° 3.979 90°
45° 3.036 109° 3.042 65° 115° 3.006 108° 3.062 106°
-45° 3.036 71° 3.042 65° 115° 3.006 72° 3.062 70°
90° 2.729 90° 3.404 52° 128° 2.755 90° 2.746 90°
Tableau V.8 : Variation du FDC en fonction de l’orientation des fibres.

- D’après le (tableau V.8), si on compare la valeur du FDC obtenue en utilisant
des orientations (45°/-45°) avec celle obtenus sans orientation, on remarque que cette
1
Empl= l’endroit où la contrainte est maximale.
Page 88
dernière est grande que l’autre, qui montre l’effet de l’orientation des fibres qui réduit
la valeur du FDC et aussi son emplacement.
- Autrement, si on compare la valeur du FDC trouvé en utilisant une orientation de 90°
(2.729) avec celles obtenues précédemment (3.036 et 3.995), on confirme l’effet de
l’orientation des fibres qui minimise considérablement la valeur du FDC.
- Par ailleurs, on remarque que les résultats obtenus par notre élément sont proches aux
ceux donnés par l’approche de Green-Zerna et l’élément S4R d’Abaqus. En exception,
l’approche de Lekhnitskii donne des résultats proches mais avec deux emplacements
différents.
V.5.2 Effet de stratification des couches :
Comme nous avons déjà vu dans la section précédente, la valeur du FDC a réduit par
le changement de l’orientation des fibres. Désormais, nous allons évaluer l’influence de la
stratification des couches sur la valeur du FDC. Pour effectuer cette étude, nous allons
pratiquer la même analyse que lors du test précédent, c'est-à-dire étudier la plaque stratifie
analytiquement par les différentes approches, ensuit, on fait appel de notre programme pour
étudier la plaque par la méthode des éléments finis.
Pour ce faire, nous allons choisir pour ce test la plaque stratifie présentée dans
la section IV.5.3, ses propriétés géométriques et mécaniques équivalentes sont donc celles
données dans le (tableau IV.9). Par ailleurs, La plaque dans ce cas contient un trou circulaire
de diamètre (a=100mm) et soumise à ses deux extrémités à un effort de traction.
Dans un premier temps, nous allons dans la (figure V.14) présenter les résultats du
facteur de concentration de contrainte (FDC) et leur emplacement en utilisant les différentes
approches citées dans le chapitre 3. Ensuite, nous allons comparer ces derniers avec les
résultats obtenus par notre élément et l’élément S4R d’Abaqus dans le (tableau V.9).
Les résultats analytiques Green-Zerna Lekhnitskii Le Présent Abaqus

Elément
La valeur maximale de 8.5075E-1 9.2725E-1 8.5825E-1 8.5025E-1
F.D.C
Tableau V.9 : Valeurs maximales du FDC pour une plaque stratifie trouée.
Page 89
1,00E+00
8,00E-01 résultats analytique

Green-Zerna
6,00E-01
4,00E-01
Lekhnitskii
2,00E-01
0,00E+00
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
-2,00E-01
-4,00E-01
Angle(α)
Figure V.14 : FDC pour une plaque stratifie trouée.

- D’après la (figure V.14), on remarque que les valeurs du FDC données par l’approche
de Green-Zarna sont identiques aux celles données par l'approche Lekhnitskii lorsque
la valeur de   90 et   0 ou   180.
- Ces valeurs sont respectivement (8.5075E-1) et (-2.5 E-1).
- Par ailleurs, si on compare la valeur du FDC (8.5075E-1) avec celle donnée dans
les sections précédentes, on remarque l’influence de stratification des couches
qui minimise par une façon très significative la valeur du FDC.
- En ce qui concerne notre étude par élément fini, on remarque que les résultats obtenus
par notre élément sont proches aux ceux donnés par l’approche de Green-Zerna
et l’élément S4R d’Abaqus.
Page 90
Figure V.15 : Plaque mince stratifie trouée Maillage (72x72)

Elément S4R du code calcul ABAQUS.
 Conclusion :
Si une plaque isotrope menu une ouverture circulaire soumise à un effort de traction
uni-axiale, la contrainte tangentielle au bord du trou atteindra une valeur égale trois fois
la contrainte de traction appliquée en deux points situant sur le perpendiculaire de l'axe de
chargement.
Deux théories pour les plaques anisotropes ont été utilisées pour calculer le facteur de
concentration des contraintes pour une plaque composite (verre/ époxyde), monocouche et
stratifiées contenant un trou circulaire. Dans ce cas, où la plaque est renforcés par des fibres,
la situation est totalement différente, la valeur du facteur de concentration de contrainte
tangentielle maximale peut être plus grande ou plus petite que trois, et les emplacements des
points de contraintes maximales pourrait varier en fonction de la direction de chargement et
les orientations des fibres.
Grâce aux différents cas tests présentés précédemment, nous avons constaté
que l’orientation des fibres peut être l’une des solutions efficaces qui réduit le risque de la
concentration des contraintes sans changement la géométrie de la plaque ou ses propriétés
mécanique.
Page 91
Conclusion Générale
Dans ce travail nous avons présenté une étude numérique des plaques isotropes,
monocouches, et stratifiées menues d’ouvertures centrés.
On a constaté que l’élément utilisé et l’élément S4R d’Abaqus donnent pratiquement

les mêmes résultats qui convergent mieux vers la solution analytique pour différents
maillages, pour le cas d’une plaque trouée sous l’action de forces de traction.
A partir de cette étude, nous avons vu que les concentrations de contraintes représentent
un danger majeur pour le fonctionnement des structures, puisqu’elles multiplient les risques
d’amorçage local de la rupture ou de la plastification.
Le facteur 3 rencontré dans le cas du trou circulaire dans une plaque isotrope est, à ce titre,
remarquable. Le facteur de concentration de contrainte est indépendant de la taille du trou,
c’est un résultat important, les petits trous sont aussi dangereux que les grands trous. En ce
qui concerne les plaques anisotropes, l'analyse montre que le facteur de concentration de
contrainte peut être supérieur ou inférieur que 3.
Pour savoir l’effet de l’orientation des fibres et la stratification des couches, on a

effectué une étude paramétrique où on a remarqué que ces paramètres influent sur la valeur
de facteur de concentration de contraintes et les endroits des points maximum peuvent
décaler avec le changement de l'orientation des fibres par rapport à l'axe de chargement. Et on
constate par le procédé de stratification que le facteur de concentration de contrainte peut être
réduit fortement, et le comportement structural peut être amélioré.
A travers les différentes applications présentées, il s’avère que le comportement d’une

plaque composite dépend de divers paramètres, et surtout l’orientation des fibres, qui reste
très difficile à analyser analytiquement, et les résultats obtenus ne sont pas faciles à
interpréter, et cela dû à la présence du couplage traction-cisaillement.
Page 92
Donc, il faut noter que la méthode des éléments finis donne des résultats très
acceptables en comparant avec ceux obtenus analytiquement, sur tous dans les cas où il y a
une présence des phénomènes complexes comme le couplage membrane-flexion ou le
membrane-flexion/torsion.
Comme indication, nous avons utilisé pour analyser le comportement d’une plaque
stratifie, une plaque avec des propriétés mécaniques équivalentes, où on a supposé que la
contrainte est constante à travers l’épaisseur. Donc il faut noter que cette opération n’est pas
toujours applicable sauf que pour les plaques stratifies miroirs où on peut calculer les
propriétés équivalentes, Car la répartition des contraintes à travers l'épaisseur est variable
d'une couche à l'autre: les contraintes sont discontinues.
Pour analyser le comportement d’une plaque composite trouée, l’utilisation de la

méthode de Green-Zerna est proposée, car leurs résultats sont pratiquement proches à ceux
donnés par la méthode des éléments finis.
Page 93
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Etude numérique de l’effet des singularités géométriques sur la distribution

Thesis · June 2013

Stress concentration in plates with different hole shape View project

damage of composite materials View project

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Université Mohamed Khider – Biskra ‫جامعة محمد خيضر بسكرة‬

Etude numérique de l’effet des singularités géométriques

Je remercie particulièrement Monsieur Tati Abdelwahab Maitre de conférence classe

J’exprime ma profonde gratitude et remerciements à tous les enseignants de l’institut de Génie

A tous ceux qui m’ont encouragé soutenus et aidés

A mes frères et sœurs

Merci à tous et à toutes

Le présent travail a pour but de déterminer l’effet de singularité géométrique sur la

La comparaison des résultats avec ceux obtenus analytiquement et ceux obtenus en

MOTS CLES : Plaque, concentration des contraintes, Singularité géométrique, sollicitation,

KEY WORDS: Plates, stress concentration, geometric singularity, solicitations, normal

Introduction Générale …………………………………………………………………….. I

Comment peuvent-les singularités géométriques influer sur la distribution des contraintes

Pour différentes raisons pratiques, l’assemblage boulonné de structures hybrides

Nous avons divisé notre travail en cinq chapitres :

Généralités Sur Les Matériaux Composites.

Actuellement le besoin industriel à pousser les ingénieurs et les chercheurs dans

Aucun matériau classique ne permet de combiner ces caractéristiques, Et pour

Donc, Les matériaux composites sont la naissance de ces recherches et

Historiquement, le concept de renforcement à base de fibre, est très ancien ; il a été

En 1942, le premier bateau à base de fibres de verre a vu le jour, et les plastiques

I.3 Qu’est-ce que c’est qu’un matériau composite ?

Un matériau composite est constitué de différentes phases nommées « renforts » et

Les renforts se présentent sous forme de fibres continues ou discontinues, Le rôle du

I.4 Définitions de base :

 Hétérogène : en 2 points différents, propriétés différentes.

I.5 Avantages et les inconvénients des matériaux composites :

permettant la conception de formes structurales complexes et l’optimisation du ratio

I.6 Eléments constituants d’un matériau composite :

D’après Berthelot (2010), un matériau composite plastique : association de deux

 Le renfort : armature, squelette, il assure la tenue mécanique (résistance à la traction et

I.7 Classification des matériaux composites :

Différentes classifications des matériaux composites sont rencontrées dans la

I.8 Architecture des matériaux composites :

D’après Berthelot (2010), L'ensemble des procédés de mise en œuvre montre la

 de deux peaux fines, (possédant de bonnes caractéristiques en traction).

Figure I.1 : Un sandwich typique.

La fabrication d’un sandwich met en jeu trois couches de natures différentes.

Cœur en nid d’abeilles Cœur ondulé

Cœur plein Gaufré

– En nid d’abeilles : considéré comme orthotrope (3 plans orthogonaux de

I.8.2 Monocouche et les stratifiés :

Figure I.3 : Monocouche.

Les caractéristiques mécaniques de rigidité et résistance des couches normalement

Les stratifiés résultent de la superposition de plusieurs couches ou plis, qui peuvent

Figure I.4 : Les constituants d'un composite stratifié

L’épaisseur d’une couche dépend de son grammage. L’épaisseur de chacune des

Le choix de la nature et de la séquence d'empilement dépend de l'utilisation, en

Désignation des structures stratifiées :

Figure I.5 : Désignation d'un stratifié.

Angles positifs et négatifs :

Nous donnons ci-après quelques exemples de désignation de stratifiés.

Figure I.6 : Convention de signe pour la désignation des stratifiés.