Concours Medecine
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[Date]
Wissen corporation
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Aimé DIUMI DIKOLO
DEDICACE
A:
Joseph OSONGO
Bony WOLAWATO
Je dédie ce livre.
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Aimé DIUMI DIKOLO
REMIERCEMENTS
Sincères remerciements à :
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Aimé DIUMI DIKOLO
INTRODUCTION
Dans ce livre, j’aborde les cours concernés par le concours d’admission en médecine
de l’université de Kinshasa (UNIKIN). Pour chaque section, je commence d’abord par
rappeler le cours, ensuite je résous les questions des examens des années antérieures
relatives à la section abordée. A la fin de chaque section, je vous proposer des exercices
d’auto évaluation pour votre entrainement.
Le livre est divisé en cinq parties selon les cinq cours concernés par le concours :
mathématiques générales, physique, chimie, biologie et français. Chaque partie est
divisée en chapitre. La partie mathématiques générales a 11 chapitres : Equations et
inéquations, généralités sur les fonctions, les limites, dérivées, les vecteurs,
trigonométrie, analyse combinatoire, matrices et déterminants, nombres complexes,
géométrie élémentaire et analytique et compléments. La deuxième partie, la physique
a 6 chapitres : cinématique, dynamique, thermodynamique, mécanique des fluides,
électricité et compléments. La partie chimie a 5 chapitres : notions fondamentales,
atomistique, chimie nucléaire et compléments. La partie biologie a également cinq
chapitres : composition chimique de la matière, cycle cellulaire, la reproduction, la
génétique et compléments.
Le livre ne remplace pas les encadreurs, car il ne peut pas s’expliquer dans les zones
obscures, c’est pourquoi je vous encourage de chercher de bons clubs d’encadrements
en médecine pour la bonne préparation.
Espérant que cette œuvre vous aidera dans votre préparation pour le concours
d’admission, je vous souhaite bon travail et bonne chance.
+243 81 083 46 16
adiumidik@gmail.com
www.wissen-corp.com
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Aimé DIUMI DIKOLO
PREMIÈRE
PARTIE :
MATHEMATIQUES
GENERALES
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Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE I : EQUATIONS ET
INEQUATIONS
Exemple et contre-exemple :
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Aimé DIUMI DIKOLO
⇔ 𝑥 = −8
𝑆 = {−8}
EXERCICE 1
Les ¾ d’une pièce d’étoffe coûtent 300 FC. Que coûte cette pièce
(Concours 2010-2011)
Résolution
3
. 𝑥 = 300
4
3𝑥
⇔ = 300
4
⇔ 3𝑥 = 4(300)
⇔ 3𝑥 = 1200
1200
⇔𝑥=
3
⇔ 𝑥 = 400 𝐹𝐶
𝑹) 𝒄
𝐴. 𝐵. 𝐶 … = 0 ⇔ (𝐴 = 0) 𝑜𝑢 (𝐵 = 0) 𝑜𝑢 (𝐶 = 0)
Exemple
⇔ 3𝑥 = −5 𝑜𝑢 2𝑥 = 2 𝑜𝑢 4𝑥 = −8
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⇔ 𝑥 = −5⁄3 𝑜𝑢 𝑥 = 2⁄2 𝑜𝑢 𝑥 = −8⁄4
⇔ 𝑥 = −5⁄3 𝑜𝑢 𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑥 = −2
𝑆 = {−5⁄3 , 1, −2}
2) (4𝑥 + 24)(−3𝑥 + 2) = 0
⇔ 4𝑥 + 24 = 0 𝑜𝑢 − 3𝑥 + 2 = 0
⇔ 4𝑥 = −24 𝑜𝑢 − 3𝑥 = −2
⇔ 𝑥 = −24⁄4 𝑜𝑢 − 𝑥 = −2⁄3
⇔ 𝑥 = −6 𝑜𝑢 𝑥 = 2⁄3
𝑆 = {−6 ; 2⁄3}
Résolution :
Exemple
Résoudre l’équation :
3 1
+ =0
𝑥+2 𝑥−5
Condition préalable : 𝑥 + 2 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑥 − 5 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠ −2 𝑒𝑡 𝑥 ≠ 5
3 1
+ =0
𝑥+2 𝑥−5
3(𝑥−5)+𝑥+2
⟺ =0
(𝑥+2)(𝑥−5)
3𝑥−15+𝑥+2
⟺ =0
(𝑥+2)(𝑥−5)
⟺ 3𝑥 − 15 + 𝑥 + 2 = 0
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Aimé DIUMI DIKOLO
⟺ 4𝑥 − 13 = 0
⟺ 𝑥 = 13⁄4
𝑆 = {13⁄4}
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
|𝑎| = {
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 0
Exemple
Résoudre l’équation | 2𝑥 + 3| − | 𝑥 − 2| = 2
• 2𝑥 + 3 𝑠𝑖 2𝑥 + 3 ≥ 0
| 2x+3 |= {
−(2𝑥 + 3) 𝑠𝑖 2𝑥 + 3 ≤ 0
2𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −3⁄2
={
−2𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −3⁄2
• 𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 − 2 ≥ 0
|𝑥 −2| ={
−(𝑥 − 2) 𝑠𝑖 𝑥 − 2 ≤ 0
= {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
2 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
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Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 2
Résoudre dans ℝ l’équation suivante |𝑥 + 5| = |2 − 𝑥|
−3 7 −2
𝑎) 𝑏) 3 𝑐)
2 3
(Concours 2015-2016)
Résolution
(𝑥 + 5) 𝑠𝑖 𝑥 + 5 ≥ 0
|𝑥 + 5| = {
−(𝑥 + 5) 𝑠𝑖 𝑥 + 5 ≤ 0
𝑥 + 5 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −5
={
−𝑥 − 5 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −5
(2 − 𝑥) 𝑠𝑖 2 − 𝑥 ≥ 0
|2 − 𝑥| = {
−(2 − 𝑥) 𝑠𝑖 2 − 𝑥 ≤ 0
2 − 𝑥 𝑠𝑖 2 ≥ 𝑥
={
𝑥 − 2 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥
2 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
={
𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
⇔ 0𝑥 = 7
𝑆1 = ∅
𝐷𝑎𝑛𝑠 [−5; 2] ∶ 𝑥 + 5 = 2 − 𝑥 ⇔ 𝑥 + 𝑥 = 2 − 5
⇔ 2𝑥 = −3
⇔ 𝑥 = −3⁄2
𝑆2 = {−3⁄2}
𝐷𝑎𝑛𝑠 [2 ; +∞[ ∶ 𝑥 + 5 = 𝑥 − 2 ⇔ 𝑥 − 𝑥 = −2 − 5
⇔ 0. 𝑥 = −7
𝑆3 = ∅
10 | P a g e
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𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 ∪ 𝑆3
= ∅ ∪ {−3⁄2} ∪ ∅
𝑆 = {−3⁄2}
R) a
𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0; 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0; 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0; 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
𝑥 = −𝑏⁄𝑎
Exemple
Résoudre
1) 4𝑥 + 3 ≥ 6𝑥 − 3
4𝑥 + 3 − 6𝑥 + 3 ≥ 0
11 | P a g e
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−2𝑥 + 6 = 0 ⇔ −2𝑥 = −6
⇔ −𝑥 = −6⁄2
⇔ −𝑥 = −3
⇔𝑥=3
𝑆 = ]−∞, 3]
2) 9𝑥 + 5 ≤ 4𝑥 + 15
⇔ 9𝑥 − 4𝑥 + 5 − 15 ≤ 0
⇔ 5 𝑥 − 10 ≤ 0
5𝑥 − 10 = 0
⇔ 5𝑥 = 10
⇔ 𝑥 = 10⁄5
⇔𝑥=2
𝑆 = ]−∞ ; 2]
12 | P a g e
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I.3.2 Inéquations contenant des valeurs absolues
Dans ce cas, on peut utiliser la définition de la valeur absolue ou les deux propriétés
suivantes relatives à la valeur absolue :
|𝑥| ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 (𝑎 ≥ 0)
|𝑥| ≥ 𝑎 ⇔ 𝑥 ≤ −𝑎 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 𝑎
Exemple
Résoudre :
1) |2𝑥 + 3| ≤ 5
|2𝑥 + 3| ≤ 5 ⟺ -5≤ 2𝑥 + 3 ≤ 5
⟺-5−3 ≤ 2𝑥 ≤ 5 − 3
−8 2
⟺ ≤𝑥≤2
2
⟺ -4 ≤ 𝑥 ≤ 1
S=[−4, 1]
2) |4𝑥 + 5| > 3
⇔ 4𝑥 + 5 < −3 𝑜𝑢 4𝑥 + 5 > 3
⇔ 4𝑥 + 5 + 3 < 0 𝑜𝑢 4𝑥 + 5 − 3 > 0
⇔ 4𝑥 + 8 < 0 𝑜𝑢 4𝑥 + 2 > 0
4𝑥 + 8 < 0 4𝑥 + 2 > 0
4𝑥 + 8 = 0 4𝑥 + 2 = 0
⇔ 4𝑥 = −8 ⇔ 4𝑥 = −2
⇔ 𝑥 = −8⁄4 ⇔ 𝑥 = −2⁄4
⇔ 𝑥 = −2 ⇔ 𝑥 = −1⁄2
𝑆1 = ]−∞ ; −2[
13 | P a g e
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𝑆2 = ]−1⁄2 ; +∞[
𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2
EXERCICE 3
Quelle est l’ensemble des réels dont la distance au réel 3 est inférieure ou égale à 2
(Concours 2015-2016)
Résolution
|𝑥 − 3| ≤ 2
⇔ −2 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 2
⇔ −2 + 3 ≤ 𝑥 ≤ 2 + 3
⇔1 ≤𝑥 ≤5
⇔ 𝑥 ∈ [1, 5]
𝑹) 𝒃
Etudier les zéros et les signes du quotient et écrire l’ensemble des solutions en se
référant au signe de l’inéquation.
Exemple :
4𝑥−3
Résoudre dans R l’inéquation ≤3
𝑥+1
4𝑥−3
Solution : −3 ≤0
𝑥+1
4𝑥 − 3 − 3(𝑥 + 1)
≤0
𝑥+1
14 | P a g e
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4𝑥 − 3 − 3𝑥 − 3
≤0
𝑥+1
𝑥−6
≤0
𝑥+1
𝑥−6
Soit f(x)= 𝑥+1
𝑥−6=0 ⟺𝑥 =6
𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = −1
𝑆 = ]−1 ; 6]
15 | P a g e
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I.5 Equation du second degré dans R
Forme générale : 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Elle est appelée équation du second degré parce que le degré supérieur de la variable
x est 2.
A noter que a représente le coefficient de 𝑥 2 , 𝑐 ′ 𝑒𝑠𝑡 à dire a est le nombre qui est devant
𝑥 2 𝑞𝑢′ 𝑖𝑙 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑎𝑢 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢, au début ou à la fin. Et b représente le coefficient de x (la valeur
numérique qui est devant x) et c est le terme indépendant.
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
−𝑏+√∆ −𝑏−√∆
𝑥2 = 𝑒𝑡 𝑥2 =
2𝑎 2𝑎
Exemple :
1) 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
Résolution
𝑎=1 𝑏 = −5 𝑐=6
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
= (−5)2 − 4 × 1 × 6
= 25 − 24
∆= 1
16 | P a g e
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𝑥1 = 3 𝑥2 = 2
𝑆 = {2; 3}
2) 2𝑥 2 − 12𝑥 + 18 = 0
𝑎 = 2 ; 𝑏 = −12 𝑒𝑡 𝑐 = 18
∆= 𝑏 2 − 4 𝑎𝑐
= (−12)2 − 4(2)(18)
= 144 − 144
∆= 0
−(−12) 12
𝑥= = =3
2(2) 4
𝑆 = {3}
3) 𝑥 2 + 𝑥 + 4 = 0
𝑎 = 1 ; 𝑏 = 1 𝑒𝑡 𝑐 = 4
∆= 𝑏 2 − 4 𝑎𝑐
= (1)2 − 4(1)(4)
= 1 − 16
𝑆=∅
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑒𝑡 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0
Procédure de la résolution
17 | P a g e
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Si ∆> 0
𝑆𝑖 ∆= 0
Si ∆< 0
Exemples
Résoudre dans ℝ
1) 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 ≥ 0
Résolution
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
𝑎=1 𝑏 = −5 𝑐=6
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
= (−5)2 − 4 × 1 × 6
= 25 − 24
∆= 1
𝑥1 = 2 𝑥2 = 3
18 | P a g e
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𝑆 = ]−∞ ; 2] ∪ [3 ; +∞[
2)𝑥 2 − 6𝑥 + 9 > 0
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 0
∆= (−6)2 − 4(1)(9)
= 36 − 36
∆= 0
−(−6) 6
𝑥= =2=3
2(1)
𝑥 −∞ 3 +∞
2
𝑥 − 6𝑥 + 9 + 0 +
𝑆 = ]−∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[
3) 8𝑥 2 + 10𝑥 − 3 > 0
8𝑥 2 + 10𝑥 − 3 = 0
∆= 102 − 4 × 8 × (−3)
∆= 196
−10+√196 −10+14
𝑥1 = = 16
16
{
−10−√196 −10−14
x2 = =
16 16
4 1
𝑥1 = 16 = 4
{ −24 −3
x2 = 16 = 2
−3 1
𝑆 = ]−∞; [ ∪ ]4 ; +∞[
2
19 | P a g e
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EXERCICE 4
Dans ℝ : 𝑥 2 + 𝑥 + 1 < 0
𝑎) 𝑉𝑟𝑎𝑖 𝑏) 𝐹𝑎𝑢𝑥
(Concours 2009-2010)
Résolution
Il suffit de résoudre l’inéquation : la réponse sera Vrai si nous trouvons pour solution
ℝ et Faux dans le cas contraire
𝑥2 + 𝑥 + 1 < 0
𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0
𝑎 = 1 , 𝑏 = 1 𝑒𝑡 𝑐 = 1
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
= (1)2 − 4(1)(1)
=1−4
∆= −3
𝑆=∅
𝑹) 𝒃
EXERCICE 5
Dans ℝ 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 ≥ 0
𝑎) 𝑉𝑟𝑎𝑖 𝑏) 𝐹𝑎𝑢𝑥
(Concours 2010-2011)
Résolution
Il suffit de résoudre l’inéquation : la réponse sera Vrai si nous trouvons pour solution
ℝ et Faux dans le cas contraire
20 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 ≥ 0
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 0
𝑎 = 1 ; 𝑏 = −6 𝑒𝑡 𝑐 = 9
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
∆= (−6)2 − 4(1)(9)
= 36 − 36
∆= 0
−(−6) 6
𝑥= =2=3
2(1)
𝑥 −∞ 3 +∞
2
𝑥 − 6𝑥 + 9 + 0 +
𝑆 = ]−∞ ; +∞[ = ℝ
R) a
EXERCICE 6
Dans ℝ 9𝑥 2 − 6𝑥 + 0 < 0
𝑎) 𝑉𝑟𝑎𝑖 𝑏)𝐹𝑎𝑢𝑥
(Concours 2011-2012)
Résolution
Il suffit de résoudre l’inéquation : la réponse sera Vrai si nous trouvons pour solution
ℝ et Faux dans le cas contraire
9𝑥 2 − 6𝑥 + 0 < 0
9𝑥 2 − 6𝑥 + 0 = 0
𝑎 = 9 ; 𝑏 = −6 𝑒𝑡 𝑐 = 0
∆= 𝑏 2 − 4 𝑎𝑐
= (−6)2 − 4(9)(0)
= 36 − 0
21 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
∆= 36
6−6 6+6
= =
18 18
0 12
= =
18 18
𝑥1 = 0 𝑥2 = 2⁄3
𝑆 = ]0; 2⁄3[
𝑅) 𝐹𝑎𝑢𝑥
EXERCICE 7
𝑥′ 𝑥 ′′
Sans résoudre 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑥 ′′ + 𝑥′
(Concours 2011-2012)
Résolution
Donc pour trouver les racines d’une équation sans calculer, il suffit de trouver deux
𝑏 𝑐
réels 𝑥1 𝑒𝑡 𝑥2 tels que 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑎 𝑒𝑡 𝑥1 . 𝑥2 = 𝑎
22 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
On trouve que les deux réels sont 2 𝑒𝑡 3
𝑥 ′ = 2 𝑒𝑡 𝑥 ′′ = 3
𝑥′ 𝑥 ′′ 2 3
+ =3+2
𝑥 ′′ 𝑥′
4+9
= 6
= 13⁄6
𝑅) 𝑐
EXERCICE 8
2 2
Sans résoudre 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑥 ′ + 𝑥 ′′
(Concours 2012-2013)
Résolution
Donc pour trouver les racines d’une équation sans calculer, il suffit de trouver deux
𝑏 𝑐
réels 𝑥1 𝑒𝑡 𝑥2 tels que 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑎 𝑒𝑡 𝑥1 . 𝑥2 = 𝑎
𝑥 ′ = 2 𝑒𝑡 𝑥 ′′ = 3
2 2
𝑥 ′ + 𝑥 ′′ = (2)2 + (3)2
=4+9
= 13
𝑅) 𝑎
23 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 9
1 1
Sans résoudre 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0; 𝑥 ′ 𝑒𝑡 𝑥 ′′ é𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠, 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑥 ′ + 𝑥 ′′
(Concours 2014-2015)
Résolution
Donc pour trouver les racines d’une équation sans calculer, il suffit de trouver deux
𝑏 𝑐
réels 𝑥1 𝑒𝑡 𝑥2 tels que 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑎 𝑒𝑡 𝑥1 . 𝑥2 = 𝑎
𝑥 ′ = 2 𝑒𝑡 𝑥 ′′ = 3
1 1 1 1
+ 𝑥 ′′ = 2 + 3
𝑥′
3+2
= 6
= 5⁄6
𝑅) 𝑎
EXERCICE 10
Résoudre dans ℤ6 l’équation 𝑥 2 + 𝑥 − 2 = 0
(Concours 2015-2016)
Résolution
24 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0
= 𝑥 2 + (−1)𝑥 + 2𝑥 + (−1)(2)
= 𝑥2 + 𝑥 + 4 (𝑐𝑎𝑟 7 = 1 𝑒𝑡 10 = 4 )
= 𝑥2 + 𝑥 − 2 (𝑐𝑎𝑟 − 2 = 4)
Donc 𝑥 2 + 𝑥 − 2 = 0 ⟺ (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0
⟺ 𝑥 − 1 = 0 𝑜𝑢 𝑥 + 2 = 0
⟺ 𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑥 = −2
⟺ 𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑥 = 4
𝑆 = {1; 4}
R) c
Résolution :
❖ On élimine les signes radicaux par une ou plusieurs élévations au carré de deux
membres de l’équation.
❖ On résout l’équation rationnelle obtenue.
❖ On rejette les solutions étrangères par l’une de deux méthodes suivantes :
▪ Soit on porte dans l’équation donnée les valeurs trouvées et on élimine celles qui
ne vérifient pas
▪ Soit on pose les conditions que doit remplir l’inconnue à chaque étape
transformation
25 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Exemples
Résoudre
1) √5𝑥 − 25 -√𝑥 + 1 = 0
5𝑥 − 25 = 𝑥 + 1
5𝑥 − 25 − 𝑥 − 1 = 0
4𝑥 − 26 = 0
𝑥 = 26⁄4
65 13+2
− 25 =
2 2
65−50 15
=
2 2
15 15
=2
2
𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑆 = {13⁄2}
Conditions : 2𝑥 + 1 ≥ 0 𝑒𝑡 4𝑥 + 9 ≥ 0 𝑒𝑡 3𝑥 − 8 ≥ 0
⟺ 2𝑥 ≥ −1 𝑒𝑡 4𝑥 ≥ −9 𝑒𝑡 3𝑥 ≥ 8
𝐶𝑃 ∶ 𝑥 ∈ [8⁄3 ; +∞[
26 | P a g e
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Résolvons maintenant l’équation.
⟺ 5𝑥 − 7 + 2√2𝑥 + 1 √3𝑥 − 8 = 4𝑥 + 9
⟺ 5𝑥 − 7 − 4𝑥 − 9 + 2√2𝑥 + 1 √3𝑥 − 8 = 0
⟺ 𝑥 − 16 + 2√2𝑥 + 1 √3𝑥 − 8 = 0
∆= 26896
−20+√26896
𝑥1 = 2×(−23)
−20−√26896
𝑥2 = 2×(−23)
−20+164 144
𝑥1 = = −46 =−3, 1304 … . . (à 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑡𝑒𝑟)
−46
27 | P a g e
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−20−164 −184
𝑥2 = = =4
−46 −46
𝑆 = {4}
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Forme générale : {
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
𝑥+𝑦 =6
{
𝑥−𝑦 =2
𝑥 + 𝑦 = 6 (1)
{
𝑥 − 𝑦 = 2 (2)
𝑥 =2+𝑦 (3)
On a : 2 + 𝑦 + 𝑦 = 6
⟺ 2 + 2𝑦 = 6
⟺ 2𝑦 = 6 − 2
⟺ 2𝑦 = 4
⟺ 𝑦 = 4⁄2
𝑦=2 (4)
28 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑥 =2+2
𝑥=4
𝑆 = {4; 2}
Tirer une de deux inconnues dans les deux équations. Dans notre cas, tirons
x dans les deux équations :
Ensuite, comparer ou égaler (3) et (4) car les deux représentent la valeur de la
même variable (x dans notre cas) :
(4) = (3)
2+𝑦 =6−𝑦
𝑦+𝑦 =6−2
2𝑦 = 4
𝑦 = 4⁄2
𝑦=2 (5)
Remplacer la valeur trouvée dans (3) ou (4) pour trouver la valeur de l’autre
inconnue
𝑥 =6−2
𝑥=4
𝑆 = {4; 2}
29 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
I.8.3 Méthode d’addition
𝑥 + 𝑦 = 6 (1)
{
𝑥 − 𝑦 = 2 (2)
Multiplier les deux équations par un réel non nul pour qu’en additionnant
membre à membre, qu’une inconnue s’annule.
𝑥+𝑦=6 | ×1
{𝑥−𝑦=2 |×(−1)
𝑥+𝑦 =6
−𝑥 + 𝑦 = −2
0. 𝑥 + 2𝑦 = 4
𝑦 = 4⁄2
𝑦 = 2 (3)
𝑥+2=6
𝑥 =6−2
𝑥=4
𝑆 = {4; 2}
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
{
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
𝑎 𝑏
∆= | | = 𝑎×𝑒−𝑏×𝑑
𝑑 𝑒
30 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑐 𝑏
∆𝑥 = | |= 𝑐 × 𝑒 − 𝑏 × 𝑓
𝑓 𝑒
𝑥 + 𝑦 = 6 (1)
{
𝑥 − 𝑦 = 2 (2)
1 1
∆= | | = 1 × (−1) − 1 × 1
1 −1
∆= −2
6 1
∆𝑥 = | |= 6× (−1) − 2 × 1
2 −1
∆𝑥 = −8
1 6
∆𝑦 = | |=1×2−1×6
1 2
∆𝑦 = −4
∆𝑥 −8
𝑥= = −2 = 4
∆
∆𝑦 −4
𝑦= = −2 = 2
∆
𝑆 = {4; 2}
31 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 11
Deux personnes ont ensemble 70 FC. Si la première avait 2FC de moins et la seconde
4FC de plus, elles auraient la même somme. Combien ont-elles ?
𝑎) 42𝐹𝑐 𝑒𝑡 28 𝐹𝑐 𝑏) 43 𝐹𝑐 𝑒𝑡 27 𝐹𝑐
𝑐) 39𝐹𝑐 𝑒𝑡 37𝐹𝑐 𝑑) 38𝐹𝑐 𝑒𝑡 32𝐹𝑐
𝑒) 33𝐹𝑐 𝑒𝑡 37𝐹𝑐
(Concours 2009-2010)
Résolution
On a le système suivant :
𝑥 + 𝑦 = 70 (1)
{
𝑥 − 2 = 𝑦 + 4 (2)
⇔ 68 − 𝑦 = 𝑦 + 4
⇔ −𝑦 − 𝑦 = 4 − 68
⇔ −2𝑦 = −64
⇔ 2𝑦 = 64
64
⇔𝑦= 2
⇔ 𝑦 = 32 (4)
⇔ 𝑥 = 38
Autre méthode : vu que c’est à choix multiples, on peut procéder comme suit :
32 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Pour 𝑎) 42 𝐹𝐶 + 28 𝐹𝐶 = 70 𝐹𝐶
𝑏) 43 𝐹𝐶 + 27 𝐹𝐶 = 70𝐹𝐶
𝑹) 𝒅
EXERCICE 12
Trouver deux nombres connaissant leur somme 600 et leur différence 50
𝑎) 270 𝑒𝑡 330 𝑏) 400 𝑒𝑡 200 𝑐) 290 𝑒𝑡 310 𝑑) 295 𝑒𝑡 305 𝑒)325 𝑒𝑡 275
(Concours 2013-2014)
Résolution
𝑦 ∶ 𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑥𝑖è𝑚𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒
On a le système suivant :
𝑥 + 𝑦 = 600 (1)
{
𝑥 − 𝑦 = 50 (2)
⇔ 2𝑦 = 600 − 50
⇔ 2𝑦 = 550
33 | P a g e
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⇔ 𝑦 = 550⁄2
⇔ 𝑦 = 275 (4)
⇔ 𝑥 = 325
𝑹) 𝒆
(log 𝑎 𝑏 = 𝑛 ) ⟺ (𝑎𝑛 = 𝑏)
Propriétés
34 | P a g e
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log 𝑏 𝑥
log 𝑎 𝑥 =
log 𝑏 𝑎
Exemple :
Résolution
𝑥 ∈ ]7; +∞[
𝑥+14
⟺ = 23
𝑥−7
⟺ 𝑥 + 14 = 8(𝑥 − 7)
⟺ 𝑥 + 14 = 8𝑥 − 56
35 | P a g e
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⟺ 𝑥 − 8𝑥 = −56 − 14
⟺ −7𝑥 = −70
⟺ 𝑥 = 70⁄7
𝑥 = 10
𝑆 = {10}
Résolution
C.P. 𝑥 > 0
2
⟺ log 𝑥 2 = log 33 + log(6 + √3) + log (9 − 3√3 + √3 + 3√3 + √3 − (√3 + √3) )
⟺ log 𝑥 2 = log 33 × 33
⟺ 𝑥 2 = 332
𝑥1 = 33 𝑒𝑡 𝑥2 = −33
𝑆 = {33}
36 | P a g e
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I.10 EQUATIONS EXPONENTIELLES
Une équation exponentielle dans ℝ est celle dans laquelle l’inconnue intervient
dans l’exposant.
Exemples :
2𝑥+1 = 4
4𝑥 = 2𝑥−2
Exemples :
Résolution
3
3𝑥 = √9
1⁄
⟺ 3𝑥 = 9 3
1⁄
⟺ 3𝑥 = (32 ) 3
1
⟺ 3𝑥 = 32×3
2
⟺ 3𝑥 = 3 ⁄3
⟺ 𝑥 = 2⁄3
𝑆 = {2⁄3}
37 | P a g e
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2e cas : Equation de la forme 𝒂𝒖(𝒙) = 𝒃 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒃 ∈ ℝ∗+
⟺ 𝑢(𝑥) = log 𝑎 𝑏
Exemple :
1) 5log5 𝑥 = 125
Résolution
5log5 𝑥 = 125
⟺ log 5 𝑥 = 3
⟺ log 5 𝑥 = log 5 53
⟺ 𝑥 = 53
𝑆 = {125 }
Exemples :
1
1) 6𝑥 + 6𝑥 − 2 = 0
Résolution
1
6𝑥 + 6𝑥 − 2 = 0
Posons 6𝑥 = 𝑡, 𝑙 ′ é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡 :
1
𝑡+𝑡−2=0
𝑡 2 +1−2𝑡
⟺ =0
𝑡
𝑡 2 − 2𝑡 + 1 = 0
Résolvons cette équation du second degré
∆= (−2)2 − 4 × 1 × 1
∆= 0
𝑡1 = 𝑡2 = 2⁄2 = 1
t=1 ⟺ 6𝑥 = 1
38 | P a g e
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⟺ 6𝑥 = 60
⟺𝑥=0
𝑆 = {0 }
2) 82𝑥 − 3. 8𝑥 = 4
Résolution
82𝑥 − 3. 8𝑥 = 4
𝑡 2 − 3𝑡 = 4
⟺ 𝑡 2 − 3𝑡 − 4 = 0
𝑡 2 − 3𝑡 − 4 = 0
∆= (−3)2 − 4 × 1 × (−4)
∆= 25
3+√25
t1 = =4
2
{
3−√25
t 2 = 2 = −1 à 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑡𝑒𝑟
Pour t=4 : 8𝑥 = 4
⟺ (23 )𝑥 = 22
⟺ 23𝑥 = 22
⟺ 3𝑥 = 2
⟺ 𝑥 = 2⁄3
𝑆 = {2⁄3}
39 | P a g e
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I.11 EXERCICES D’AUTO EVALUATION
40 | P a g e
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CHAPITRE II : GENERALITES SUR LES
FONCTIONS
II.1 Produit cartésien de deux ensembles
Soient deux ensembles A et B, le produit cartésien de A et B noté par 𝐴 × 𝐵 est défini
par : 𝐴 × 𝐵 = { (𝑎, 𝑏) 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∈ 𝐴 𝑒𝑡 𝑏 ∈ 𝐵 }.
En d’autres termes, le produit cartésien est l’ensemble des couples dont chaque
élément du premier ensemble est associé à chaque élément du deuxième ensemble.
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 1); (𝑎, 2) ; (𝑎, 3); (𝑎, 4); (𝑏, 1); (𝑏, 2) ; (𝑏, 3); (𝑏, 4); (𝑐, 1); (𝑐, 2) ; (𝑐, 3); (𝑐, 4) }
On peut aussi écrire : 𝐺𝑅 = {(2,4); (2, 6); (2, 10); (3,6); (3, 15); (5, 5); (5, 10); (5, 15)}
On peut remarquer qu’une relation d’un ensemble vers un autre est une partie du
produit cartésien de ces deux ensembles.
Ou ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, [ (𝑥 ≠ 𝑦) 𝑒𝑡 (𝑥 𝑅 𝑦)] ⇒ ( 𝑦 𝑅 𝑥)
• Transitive : ∀ 𝑥, 𝑦 𝑒𝑡 𝑧 ∈ 𝐴 , [ (𝑥 𝑅 𝑦) 𝑒𝑡 (𝑦 𝑅 𝑧)] ⇒ ( 𝑥 𝑅 𝑧)
Une relation d’équivalence est une relation qui est à la fois réflexive, symétrique et
transitive.
Une relation d’ordre est une relation qui est à la fois réflexive, antisymétrique et
transitive.
Une relation d’ordre strict est une relation qui est à la fois antiréflexive, antisymétrique
et transitive.
EXERCICE 13
On considère l’ensemble 𝐸 = {13, 14, 15, 16, 17, 18} la relation R définie par son graphe
𝑅 = {(13, 13), (13,14), (14,14), (14,13), (16,16), (16,17), (17, 17), (17, 18), (18,17), (18, 18)}
(Concours 2012-2013)
Résolution
𝑹) 𝒅
42 | P a g e
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EXERCICE 14
On considère dans l’ensemble 𝐸 = {7, 8, 9, 10, 11, 12} la relation R définie par son
graphe
𝑅 = {(7,7), (7,8), (8,8), (9,7), (10,10), (10,11), (11,11), (11,12), (12,11), (12,12)} cette
relation est-elle :
(Concours 2014-2015)
Résolution
𝑹) 𝒅
Exemple et contre-exemple :
𝑔 n’est pas une fonction car certains éléments de A ont plus d’une image dans B.
43 | P a g e
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𝑓 est une fonction. L’image de 2 par la fonction 𝑓 est 4 est se note 𝑓(2) = 4
Une application de A vers B est une relation telle que tout élément de A a une et une
seulement image dans B.
EXERCICE 15
Dire si les relations suivantes de ℝ 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℝ sont des applications
𝑎) 𝑥 ⟶ ln 𝑥 𝑏) 𝑥 ⟶ 𝑒 𝑥 𝑐) 𝑥 ⟶ √𝑥 3
(Concours 2012-2013)
Résolution
𝑎) 𝑥 ⟶ ln 𝑥 n’est pas une application car ∃(−5) ∈ ℝ qui n’a pas d’image dans ℝ
𝑏) 𝑥 ⟶ 𝑒 𝑥 est une application, car chaque élément de ℝ a une et une seule image dans
ℝ
𝑐) 𝑥 ⟶ √𝑥 3 n’est pas une application car ∃(−2 ) ∈ ℝ qui n’a pas d’image dans ℝ
𝑹) 𝒃
EXERCICE 16
Dire si les relations suivantes de ℝ 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℝ sont des applications
𝑎) 𝑥 ⟶ √𝑥 − 1 𝑏) 𝑥 ⟶ 𝑥 2 𝑐) 𝑥 ⟶ √𝑥 2 − 2
(Concours 2014-2015)
Résolution
𝑎) 𝑥 ⟶ √𝑥 − 1 n’est pas une application car ∃ 0 ∈ ℝ qui n’a pas d’image dans ℝ
44 | P a g e
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𝑏) 𝑥 ⟶ 𝑥 2 est une application, car chaque élément de ℝ a une et une seule image dans
ℝ
𝑐) 𝑥 ⟶ √𝑥 2 − 2 n’est pas une application car ∃ 0 ∈ ℝ qui n’a pas d’image dans ℝ
𝑹) 𝒃
EXERCICE 17
Dire si les relations suivantes de ℝ 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℝ sont des applications
𝑎) 𝑥 ⟶ ln 𝑥 𝑏) 𝑥 ⟶ 𝑒 𝑥 𝑐) 𝑥 ⟶ √𝑥 32
(Concours 2018-2019)
Résolution
𝑎) 𝑥 ⟶ ln 𝑥 n’est pas une application car ∃(−5) ∈ ℝ qui n’a pas d’image dans ℝ
𝑏) 𝑥 ⟶ 𝑒 𝑥 est une application, car chaque élément de ℝ a une et une seule image dans
ℝ
𝑐) 𝑥 ⟶ √𝑥 32 est une application, car chaque élément de ℝ a une et une seule image
dans ℝ
𝑹) 𝒃 𝒆𝒕 𝒄
Exemples :
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +2𝑥 − 3 + 7𝑥 3 D𝑓 = ℝ
2𝑥−5
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + D𝑓 = ℝ
5
𝒉(𝒙)
II.4.2 Fonction rationnelle (𝒇(𝒙) = )
𝒈(𝒙)
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑔(𝑥) ≠ 0} ou
𝐷𝑓 = ℝ ∖ {𝑥 ∈ ℝ: 𝑔(𝑥) = 0}
45 | P a g e
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Cela signifie qu’on prend toutes les valeurs de ℝ sauf celles qui annulent le
dénominateur.
Exemples
𝑥−5
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥−2
𝐷𝑓 = ℝ ∖ {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 − 2 = 0 }
𝑥−2=0⟺𝑥 =2
𝐷𝑓 = ℝ ∖ {2} Ou sous forme d’intervalles
𝐷𝑓 = ]−∞; 2[ ∪ ]2; +∞[
2𝑥+8
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −5𝑥+6
𝐷𝑓 = ℝ ∖ {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 }
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
∆= (−5)2 − 4 × 1 × 6
∆= 1
𝑥1 = 3 𝑒𝑡 𝑥2 = 2
𝐷𝑓 = ℝ ∖ {2; 3} 𝑜𝑢 𝐷𝑓 = ]−∞; 2[ ∪ ]2; 3[ ∪ ]3; +∞[
𝒏 𝒉(𝒙)
II.4.4 Fonction irrationnelle de la forme 𝒇(𝒙) = √
𝒈(𝒙)
ℎ(𝑥)
Si n est pair : 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ: ≥ 0}
𝑔(𝑥)
Exemples :
3 𝑥 2 +5𝑥−6
1) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 −2𝑥+1
n est impair : 𝐷𝑓 = ℝ ∖ {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0}
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0
∆= (−2)2 − 4 × 1 × 1
∆= 0
𝑥1 = 𝑥2 = 2⁄2 = 1
𝐷𝑓 = ℝ ∖ {1} 𝑜𝑢 𝐷𝑓 = ]−∞; 1[ ∪ ]1; +∞[
4 𝑥−5
2) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 −7𝑥+12
𝑥−5
𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟: 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ: ≥ 0}
𝑥 2 −7𝑥+12
𝑥−5
≥0
𝑥 2 −7𝑥+12
𝑥−5=0⟺𝑥 =5
𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = 0 ⟺ 𝑥1 = 4 𝑒𝑡 𝑥2 = 3
47 | P a g e
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𝒉(𝒙)
II.4.5 Fonction irrationnelle de la forme 𝒇(𝒙) = 𝒏
√𝒈(𝒙)
Exemples :
𝑥 2 +5𝑥−6
1) 𝑓(𝑥) = 5
√𝑥 2 −2𝑥+1
n est impair : 𝐷𝑓 = ℝ ∖ {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0}
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0
∆= (−2)2 − 4 × 1 × 1
∆= 0
𝑥1 = 𝑥2 = 2⁄2 = 1
𝐷𝑓 = ℝ ∖ {1} 𝑜𝑢 𝐷𝑓 = ]−∞; 1[ ∪ ]1; +∞[
𝑥 2 +5𝑥−6
2) 𝑓(𝑥) = 2
√−𝑥2 +4𝑥−3
n est pair : 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ: −𝑥 2 + 4𝑥 − 3 > 0}
−𝑥 2 + 4𝑥 − 3 > 0
−𝑥 2 + 4𝑥 − 3 = 0
∆= (4)2 − 4 × (−1) × (−3)
∆= 4
𝑥1 = 1 𝑒𝑡 𝑥2 = 3
𝐷𝑓 = ]1; 3[
𝒏
√𝒉(𝒙)
II.4.6 Fonction irrationnelle de la forme 𝒇(𝒙)=
𝒈(𝒙)
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ: ℎ(𝑥) ≥ 0} ∩ ℝ ∖ {𝑥 ∈ ℝ: 𝑔(𝑥) = 0}
Exemple :
√𝑥 2 −8𝑥+15
𝑓(𝑥) = 𝑥−3
48 | P a g e
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n est pair : 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 2 − 8𝑥 + 15 ≥ 0} ∩ ℝ ∖ {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 − 3 = 0}
𝑥 2 − 8𝑥 + 15 ≥ 0
𝑥 2 − 8𝑥 + 15 = 0
∆= (−8)2 − 4 × 1 × 15
∆= 4
𝑥1 = 5 𝑒𝑡 𝑥2 = 3
𝑥−3≠0
𝑥≠3
𝐷𝑓 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ∩ 𝐷1
𝑔 𝑔
49 | P a g e
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Exemple :
√𝑥 2 −8𝑥+15
Déterminer le domaine de définition de la fonction 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 −2𝑥−8
√𝑥 2 −8𝑥+15
𝑓(𝑥) = √𝑥 2 −2𝑥−8
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 2 − 8𝑥 + 15 ≥ 0 𝑒𝑡 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 > 0}
𝑥 2 − 8𝑥 + 15 ≥ 0
𝑥 2 − 8𝑥 + 15 = 0
∆= (−8)2 − 4 × 1 × 15
∆= 4
𝑥1 = 5 𝑒𝑡 𝑥2 = 3
𝑥 2 − 2𝑥 − 8 > 0
𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0
∆= (−2)2 − 4 × 1 × (−8)
∆= 36
𝑥1 = 4 𝑒𝑡 𝑥2 = −2
𝐷𝑓 = 𝑆1 ∩ 𝑆2
50 | P a g e
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EXERCICE 18
2−√𝑥+3
Donner le domaine de définition de la fonction 𝑓(𝑥) =
√𝑥−1
(Concours 2013-2014)
Résolution
On sait que 𝐷𝑓 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ∩ 𝐷1
𝑔 𝑔
𝑓 (𝑥)
Posons 𝑓(𝑥) = 𝑓1(𝑥) 𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑓1 (𝑥) = 2 − √𝑥 + 3 𝑒𝑡 𝑓2 (𝑥) = √𝑥 − 1
2
Posons 𝑓1 (𝑥) = 𝑓1𝑎 (𝑥) − 𝑓1𝑏 (𝑥) 𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑓1𝑎 (𝑥) = 2 𝑒𝑡 𝑓1𝑏 (𝑥) = √𝑥 + 3
𝐷𝑜𝑚(𝑓1𝑎 ) = ℝ
𝐷𝑜𝑚(𝑓1𝑏 ) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 + 3 ≥ 0 }
𝑥+3≥0
𝑥+3=0
𝑥 = −3
𝐷𝑜𝑚(𝑓2 ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 − 1 ≥ 0 }
𝑥−1≥0
𝑥−1=0
𝑥=1
𝐷𝑜𝑚(𝑓2 ) = [1 ; +∞[
51 | P a g e
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1 1
=
𝑓2 (𝑥) √𝑥−1
1
𝐷𝑜𝑚 (𝑓 ) = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 − 1 > 0 }
2
𝑥−1>0
𝑥−1=0
𝑥=1
1
𝐷𝑜𝑚 (𝑓 ) = ]1 ; +∞[
2
1
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓1 ) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑓2 ) ∩ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓 )
2
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ]1 ; +∞[
𝑹) 𝒂
Il existe des fonctions qui ne sont ni paires ni impaires et une fonction ne peut pas être
à la fois paire et impaire
Exemples :
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 5
2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 𝑥
3) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 + 𝑥 − 2
Résolution
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 5
Commençons par vérifier si elle est paire c’est-à-dire 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)
52 | P a g e
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𝑓(−𝑥) = 3. (−𝑥)2 + 5
= 3𝑥 2 + 5
= 𝑓(𝑥)
2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 𝑥
−𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + 𝑥
=−2𝑥 3 + 𝑥
= −𝑓(𝑥)
3) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 + 𝑥 − 2
−𝑓(𝑥) = −4𝑥 2 − 𝑥 + 2
53 | P a g e
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EXERCICE 19
Déterminer parmi les fonctions ci-dessous, celle qui est paire
𝑥 2 +1
𝑎) 𝑥 3 + 𝑥 𝑏) 𝑥 2 − 2𝑥 𝑐) 𝑑) 𝑥 3 − 1
3𝑥 2 −1
(Concours 2013-2014)
Résolution
Pour a
Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥
Pour b
Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥
Pour c
𝑥 2 +1
Soit 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 −1
(−𝑥)2 +1 𝑥 2 +1
𝑓(−𝑥) = 3(−𝑥)2−1 = 3𝑥 2−1
Pour d
Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 1
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 − 1 = −𝑥 3 − 1
𝑹) 𝒄
54 | P a g e
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II.6. FONCTION INJECTIVE, SURJECTIVE ET BIJECCTIVE
Exemple et contre-exemple :
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5
𝑓 est injective ssi ∀ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓 : 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) ⟹ 𝑥1 = 𝑥2
𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 )
⟺ 2𝑥1 + 5 = 2𝑥2 + 5
⟺ 2𝑥1 = 2𝑥2
⟺ 𝑥1 = 𝑥2
Donc f est injective
2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 3
𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 )
⟺ 2𝑥1 2 − 3 = 2𝑥2 2 − 3
⟺ 2𝑥1 2 = 2𝑥2 2
⟺ 𝑥1 2 = 𝑥2 2
⟺ 𝑥1 = ±√𝑥2 2
⟺ 𝑥1 = ±𝑥2
Donc f n’est pas injective
• 𝑓 est surjective si et seulement si :
∀ 𝑦 ∈ ℝ, ∃ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 : 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Exemple :
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3
𝑓 est surjective car ∀ 𝑦 ∈ ℝ, ∃ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 : 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 2𝑥 + 3
𝑥 = 2𝑦 + 3
2𝑦 = 𝑥 − 3
𝑥−3
𝑦= 2
𝑦−3
Donc ∀ 𝑦 ∈ ℝ, ∃ 𝑥 = ∈ 𝐷𝑓 : 𝑦 = 𝑓(𝑥)
2
Nota : pour que f soit surjective, il suffit que la dernière expression trouvée ait pour
𝐷𝑓 ℝ
55 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
• 𝑓 est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
EXERCICE 20
3
L’application de ℝ 𝑥 ⟶ √𝑥 − 1 est-elle
𝑎) 𝑖𝑛𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑏) 𝑠𝑢𝑟𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒
(Concours 2011-2012)
Résolution
⇔ 𝑥1 − 1 = 𝑥2 − 1
⇔ 𝑥1 = 𝑥2
3
𝑥 = √𝑦 − 1
3 3
𝑥 3 = ( √𝑦 − 1)
𝑥3 = 𝑦 − 1
𝑦 = 𝑥3 + 1
Donc ∀ 𝑦 ∈ ℝ, ∃ 𝑥 = 𝑦3 + 1 ∈ 𝐷𝑓 : 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑹) 𝒄
56 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 21
L’application de ℝ+ 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℝ 𝑥 ⟶ 𝑥 3 est-elle
(Concours 2015-2016)
Résolution
Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 3
𝑓 est surjective car ∀ 𝑦 ∈ ℝ, ∃ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 : 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 𝑥3
𝑥 = 𝑦3
3
𝑦 = √𝑥
𝑹) 𝒃
57 | P a g e
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CHAPITRE III : LIMITES
III. 1 Introduction
D’une manière générale, pour calculer lim 𝑓(𝑥) , on calcule 𝑓(𝑎) , c’est-à-dire on
𝑥→𝑎
remplace partout il y a la variable x par le réel a.
Exemples :
1) lim 2𝑥 + 5
𝑥→2
lim 2𝑥 + 5 = 2 × 2 + 5 = 9
𝑥→2
𝑥 2 +2𝑥−8
2) lim
𝑥→4 √𝑥 2 +9
𝑥 2 +2𝑥−8 42 +2×4−8 16
lim = =
𝑥→4 √𝑥 2 +9 √42 +9 5
Mais, il arrive de fois qu’en remplaçant la variable par le réel a, on trouve ceci :
0 ∞
, , ∞ − ∞ , 0. ∞, ces formes ne sont pas de vraies valeurs, elles sont appelées
0 ∞
formes indéterminées. Dans ce cas, il faut lever l’indétermination pour trouver la vraie
valeur.
𝟎
III.2 Cas d’indétermination 𝟎
Exemple :
𝑥 2 −𝑥−2
lim 𝑥 2 −3𝑥+2
𝑥→2
Résolution
𝑥 2 −𝑥−2 22 −2−2 0
lim 𝑥 2 −3𝑥+2 = 22 −3×2+2 = 0 ( 𝐹. 𝐼. )
𝑥→2
58 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Levons l’indétermination
𝑥 2 − 𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)
(𝑥+1)
= lim (𝑥−1)
𝑥→2
2+1
= 2−1 = 3
Exemples :
√𝑥+1−2
1) lim
𝑥→3 𝑥−3
Résolution
√𝑥+1−2 √3+1−2 0
lim = =0
𝑥→3 𝑥−3 3−3
Levons l’indétermination.
59 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur (car
c’est la seule expression qui contient le radical)
√𝑥+1−2 (√𝑥+1−2)(√𝑥+1+2)
lim = lim
𝑥→3 𝑥−3 𝑥→3 (𝑥−3 )(√𝑥+1+2)
𝑥+1+2√𝑥+1−2√𝑥+1−4
= lim
𝑥→3 (𝑥−3 )(√𝑥+1+2)
(𝑥−3)
= lim (𝑥−3 )(√𝑥+1+2)
𝑥→3
1
= lim
𝑥→3 √𝑥+1+2
1
=
√3+1+2
= 1⁄4
√𝑥−1
2) lim
𝑥→1 𝑥−1
√𝑥−1 √1−1 0
lim = = 0 (𝐹. 𝐼. )
𝑥→1 𝑥−1 1−1
√𝑥−1 (√𝑥−1)(√𝑥+1)
lim = lim
𝑥→1 𝑥−1 𝑥→1 (𝑥−1)(√𝑥+1)
𝑥+√𝑥−√𝑥−1
= lim (𝑥−1)(
𝑥→1 √𝑥+1)
(𝑥−1)
= lim (𝑥−1)(
𝑥→1 √𝑥+1)
1
=lim
𝑥→1 (√𝑥+1)
1
=
√1+1
= 1⁄2
60 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
∞
III.3 Cas d’indétermination ∞
La limite d’un polynôme lorsque x tend vers l’infini est égale à la limite de son terme
de plus haut degré.
𝑎𝑥 𝑛
lim : trois cas sont possibles
𝑥→∞ 𝑏𝑥 𝑝
𝑎𝑥 𝑛
𝑠𝑖 𝑛 = 𝑝 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 lim = 𝑎⁄𝑏
𝑥→∞ 𝑏𝑥 𝑝
𝑎𝑥 𝑛
𝑠𝑖 𝑛 < 𝑝 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 lim =0
𝑥→∞ 𝑏𝑥𝑝
𝑎𝑥 𝑛
𝑆𝑖 𝑝 < 𝑛 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 lim =∞
𝑥→∞ 𝑏𝑥 𝑝
Exemples :
2𝑥 3 +5𝑥 2 −5 2𝑥 3
1) lim = lim = 2⁄3
𝑥→+∞ 5−𝑥+3𝑥 3 𝑥→+∞ 3𝑥 3
2𝑥 3 +5𝑥 2 −5 2𝑥 3
2) lim = lim =0
𝑥→+∞ 5−𝑥+3𝑥 3 +8𝑥 5 𝑥→+∞ 3𝑥 3
𝑥 3 +2𝑥 2 −5 2𝑥 3
3) lim = lim = +∞
𝑥→+∞ 5−𝑥 𝑥→+∞ 3𝑥 3
Exemple :
𝑥−√𝑥2 +𝑥+2
lim
𝑥→−∞ 2𝑥+√16𝑥 2 +𝑥+1
1 2
𝑥−√𝑥 2 (1+ + 2 )
𝑥 𝑥
= lim
𝑥→−∞ 2𝑥+√16𝑥 2 (1+ 1 + 1 )
16𝑥 16𝑥2
𝑥−√𝑥 2
= lim
𝑥→−∞ 2𝑥+√16𝑥2
𝑥−|𝑥|
= lim
𝑥→−∞ 2𝑥+|4𝑥 |
61 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑥−(−𝑥)
= lim
𝑥→−∞ 2𝑥−4𝑥
2𝑥
= lim
𝑥→−∞ −2𝑥
=-1
Exemple :
lim (𝑥 − √𝑥 2 + 2𝑥 − 2)
𝑥→+∞
lim (𝑥 − √𝑥 2 + 2𝑥 − 2) = ∞ − ∞ (𝐹. 𝐼. )
𝑥→+∞
𝑥 2 −𝑥 2 −2𝑥+2
= lim
𝑥→+∞ (𝑥+√𝑥 2 +2𝑥−2)
−2𝑥+2
= lim
𝑥→+∞ (𝑥+√𝑥 2 +2𝑥−2)
−2𝑥
= lim
𝑥→+∞ 𝑥+√𝑥 2 (1+2− 2 )
𝑥 𝑥2
−2𝑥
= lim
𝑥→+∞ 𝑥+|𝑥|
−2𝑥
= lim
𝑥→+∞ 2𝑥
= −1
0 ∞
𝑁𝑜𝑡𝑎 : Le cas d’indétermination 0. ∞ se ramene aux cas 0 ou ∞
62 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 22
𝑥 2 +3𝑥+1
lim =
𝑥→+∞ 𝑥+3
𝑎) + ∞ 𝑏) − ∞ 𝑐) 0 𝑑) 1⁄2 𝑒) 1⁄3
(Concours 2009-2010)
Résolution
𝑥 2 +3𝑥+1 ∞
lim = ∞ (𝐹. 𝐼. )
𝑥→+∞ 𝑥+3
𝑥 2 +3𝑥+1 𝑥2
lim = lim
𝑥→+∞ 𝑥+3 𝑥→+∞ 𝑥
= +∞
R) a
EXERCICE 23
Calculer la limite
2𝑥 2 +6𝑥+1
lim
𝑥→+∞ 𝑥 2 −3
𝑎) ∞ 𝑏) 9 𝑐) 2 𝑑) 4 𝑒)3
(Concours 2010-2011)
Résolution
2𝑥 2 +6𝑥+1 ∞
lim = (𝐹. 𝐼. )
𝑥→+∞ 𝑥 2 −3 ∞
2𝑥 2 +6𝑥+1 2𝑥 2
lim = lim
𝑥→+∞ 𝑥 2 −3 𝑥→+∞ 𝑥 2
=2
R) c
63 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 24
𝑥 2 +3𝑥+1
lim =
𝑥→+∞ 𝑥+3
𝑎) − ∞ 𝑏) 0 𝑐) + ∞ 𝑑) 1⁄2 𝑒) 1⁄3
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑥 2 +3𝑥+1 ∞
lim = ∞ (𝐹. 𝐼. )
𝑥→+∞ 𝑥+3
𝑥 2 +3𝑥+1 𝑥2
lim = lim
𝑥→+∞ 𝑥+3 𝑥→+∞ 𝑥
= +∞
R) c
EXERCICE 25
𝑥−4
lim =
𝑥→+∞ 2𝑥+3
𝑎) 10 𝑏) 1⁄2 𝑐) 0 𝑑) 3⁄2
(Concours 2012-2013)
Résolution
𝑥−4 𝑥
lim = lim
𝑥→+∞ 2𝑥+3 𝑥→+∞ 2𝑥
= 1⁄2
R) b
EXERCICE 26
Calculer la limite
2−√𝑥+3
lim
𝑥→1 √𝑥−1
𝑎) 0 𝑏) 2 𝑐) ∞ 𝑑) 4
(Concours 2013-2014)
64 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Résolution
2−√𝑥+3 2−√1+3
lim =
𝑥→1 √𝑥−1 √𝑥−1
2−√4
=
√0
0
= 0 (𝐹. 𝐼. )
Levons l’indétermination
2−√𝑥+3 (2−√𝑥+3)(2+√𝑥+3)(√𝑥−1)
lim = lim
𝑥→1 √𝑥−1 𝑥→1 (√𝑥−1)(√𝑥−1)(2+√𝑥+3)
2
[22 −(√𝑥+3) ] (√𝑥−1)
= lim (𝑥−1) (2+√𝑥+3)
𝑥→1
[4−(𝑥+3)](√𝑥−1)
= lim
𝑥→1 (𝑥−1)(2+√𝑥+3)
(4−𝑥−3) √𝑥−1
= lim (𝑥−1)(2+
𝑥→1 √𝑥+3)
(1−𝑥) √𝑥−1
= lim (𝑥−1)(2+
𝑥→1 √𝑥+3)
−(𝑥−1) √𝑥−1
= lim (𝑥−1)(2+
𝑥→1 √𝑥+3)
− √𝑥−1
= lim (2+
𝑥→1 √𝑥+3)
−√1−1
= 2+√1+3
−√0
= 2+√4
0
=4
=0
65 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
′
(2)′ −(√𝑥+3)
= lim (𝑥−1)′
𝑥→1
2√𝑥−1
(𝑥+3)′
0−
2√𝑥+3
= lim 1
𝑥→1
2√𝑥−1
1
−
2√𝑥+3
= lim 1
𝑥→1
2√𝑥−1
−1 2√𝑥−1
= lim
𝑥→1 2√𝑥+3 1
−2√𝑥−1
= lim
𝑥→1 2√𝑥+3
−√𝑥−1
= lim
𝑥→1 √𝑥+3
−√1−1
=
√1+3
−√0
=
√4
=0
R) a
EXERCICE 27
3𝑥 2 −4
lim
𝑥→+∞ 2𝑥 2 −3𝑥+5
𝑎) 10 𝑏) 1⁄2 𝑐) 0 𝑑) 3⁄2
(Concours 2014-2015)
Résolution
3𝑥 2 −4 3𝑥 2
lim = lim
𝑥→+∞ 2𝑥 2 −3𝑥+5 𝑥→+∞ 2𝑥 2
= 3⁄2
R) d
66 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 28
𝑥 2 +𝑥−6
lim 𝑥 2 −𝑥−2
𝑥→2
−6 5 3
𝑎) 𝑏) 𝑐)
4 3 5
(Concours 2015-2016)
Résolution
𝑥 2 +𝑥−6 22 +2−6
lim 𝑥 2 −𝑥−2 = 22−2−2
𝑥→2
4+2−6
= 4−2−2
0
= 0 (𝐹. 𝐼. )
Levons l’indétermination :
Nous avons :
𝑥 2 + 𝑥 − 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
𝑥 2 − 𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
𝑥 2 +𝑥−6 (𝑥−2)(𝑥+3)
lim 𝑥 2 −𝑥−2 = lim (𝑥−2)(𝑥+1)
𝑥→2 𝑥→2
(𝑥+3)
= lim (𝑥+1)
𝑥→2
2+3
= 2+1
= 5⁄3
67 | P a g e
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On pouvait aussi utiliser la règle de l’Hospital qui consiste à dériver le numérateur et
le dénominateur pour lever l’indétermination (voir le chapitre sur les dérivées), on
aura :
𝑥 2 +𝑥−6 (𝑥 2 +𝑥−6)′
lim 𝑥 2 −𝑥−2 = lim (𝑥 2 −𝑥−2)′
𝑥→2 𝑥→2
2𝑥+1
= lim 2𝑥−1
𝑥→2
2(2)+1
= 2(2)−1
4+1
= 4−1
= 5⁄3
R) b
EXERCICE 29
√𝑥 2 +3𝑥−5
lim
𝑥→+∞ 3𝑥+2
1 1 3
𝑎) 𝑏) 3 𝑐) 5
5
(Concours 2015-2016)
Résolution
𝑥2 3𝑥 5
√𝑥 2 +3𝑥−5 √𝑥 2 ( 2 + 2 − 2 )
𝑥 𝑥 𝑥
lim = lim
𝑥→+∞ 3𝑥+2 𝑥→+∞ 3𝑥+2
3 5
√𝑥 2 (1+ − 2 )
𝑥 𝑥
= lim
𝑥→+∞ 3𝑥+2
√𝑥 2
= lim
𝑥→+∞ 3𝑥
|𝑥|
= lim
𝑥→+∞ 3𝑥
𝑥
= lim
𝑥→+∞ 3𝑥
1
=3
R) b
68 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 30
Déterminer la limite de la fonction 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 1 − 2𝑥 quand 𝑥 → +∞
𝑎) + ∞ 𝑏) − ∞ 𝑐) 0
(Concours 2016-2017)
Résolution
lim √𝑥 2 + 1 − 2𝑥 = ∞ − ∞ (𝐹. 𝐼. )
𝑥→+∞
Levons l’indétermination
2
(√𝑥 2 +1) −(2𝑥)2
= lim
𝑥→+∞ √𝑥 2 (1+ 1 )+2𝑥
2 𝑥
𝑥 2 +1−4𝑥 2
= lim
𝑥→+∞ √𝑥 2 +2𝑥
−3𝑥 2 +1
= lim
𝑥→+∞ |𝑥|+2𝑥
−3𝑥 2 +1
= lim
𝑥→+∞ 𝑥+2𝑥
−3𝑥 2 +1
= lim
𝑥→+∞ 3𝑥
−3𝑥 2
= lim
𝑥→+∞ 3𝑥
= lim −𝑥
𝑥→+∞
= −∞
R) b
69 | P a g e
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III.5 EXERCICES D’AUTO EVALUATION
70 | P a g e
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CHAPITRE IV : DERIVEES
Quelques formules ou résultats sur les dérivées :
1) 𝑐 ′ = 0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐 ∈ ℝ
2) 𝑥′ = 1
3) (𝑢 ± 𝑣)′ = 𝑢′ ± 𝑣′
4) (𝑓. 𝑔)′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑓𝑔′
5) (𝑥 𝑛 )′ = 𝑛𝑥 𝑛−1
6) (𝑢𝑛 )′ = 𝑛 𝑢𝑛−1 𝑢′
𝑢 ′ 𝑢′ 𝑣−𝑢𝑣 ′
7) (𝑣 ) = 𝑣2
𝑐 ′ 𝑐𝑣 ′
8) (𝑣) = − 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐 ∈ ℝ
𝑣2
9) (sin 𝑥)′ = cos 𝑥
10) (sin 𝑢)′ = 𝑢′ . cos 𝑢
11) (cos 𝑥)′ = − sin 𝑥
12) (cos 𝑢)′ = −𝑢′ sin 𝑢
1
13) (tan 𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑢′
14) (tan 𝑢)′ =
𝑐𝑜𝑠2 𝑢
−1
15) (cot 𝑥)′ = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
−𝑢′
16) (cot 𝑢)′ = 𝑠𝑖𝑛2 𝑢
′ 1
17) (√𝑥) = 2
√𝑥
′ 𝑢′
18) (√𝑢) = 2
√𝑢
1
19) (𝐴𝑟𝑐 sin 𝑥)′ = √1−𝑥 2
𝑢′
20)(𝐴𝑟𝑐 sin 𝑢)′ = √1−𝑢2
−1
21) (𝐴𝑟𝑐 cos 𝑥)′ = √1−𝑥 2
−𝑢
22) (𝐴𝑟𝑐 cos 𝑢)′ = √1−𝑢2
1
23) (𝐴𝑟𝑐 tan 𝑥)′ = 1+𝑥 2
𝑢′
24) (𝐴𝑟𝑐 tan 𝑢)′ = 1+𝑢2
−1
25) (𝐴𝑟𝑐 cot 𝑥)′ = 1+𝑥 2
71 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
−𝑢′
26) (𝐴𝑟𝑐 cot 𝑢)′ = 1+𝑢2
1
27) (log 𝑎 𝑥)′ = 𝑥 ln 𝑎
𝑢′
28)(log 𝑎 𝑥)′ = 𝑢 ln 𝑎
1
29) (ln 𝑥)′ = 𝑥
𝑢′
30) (ln 𝑢)′ = 𝑢
31) (𝑎 𝑥 )′ = 𝑎 𝑥 ln 𝑎
32) (𝑎𝑢 )′ = 𝑢′ 𝑎𝑢 ln 𝑎
33) (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥
34) (𝑒 𝑢 )′ = 𝑢′ 𝑒 𝑢
𝑢′
35) (𝑢𝑣 )′ = 𝑢𝑣 (𝑣 ′ . ln 𝑢 + 𝑣. 𝑢 ) Avec 𝑢 > 0
Exemples :
(𝑥+2)′
√𝑥+2−𝑥.
2√𝑥+2
= 𝑥+2
𝑥
√𝑥+2−
2√𝑥+2
= 𝑥+2
2(√𝑥+2)2 −𝑥
2√𝑥+2
= 𝑥+2
2(𝑥+2)−𝑥
2√𝑥+2
= 𝑥+2
2𝑥+4−𝑥
2√𝑥+2
= 𝑥+2
𝑥+4
= 2√𝑥+2(𝑥+2)
72 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑥+4
𝑓 ′ (𝑥) = (2𝑥+4)√𝑥+2
5−2𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 4+3𝑥
(5−2𝑥)′ (4+3𝑥)−(5−2𝑥)(4+3𝑥)′
𝑓′ = (4+3𝑥)2
−2(4+3𝑥)−(5−2𝑥)3
= (4+3𝑥)2
−8−6𝑥−15+6𝑥
(4+3𝑥)2
−23
𝑓 ′ = (4+3𝑥)2
EXERCICE 31
La dérivée √𝑥 2 est :
𝑥
𝑎) 2𝑥 𝑏) 𝑥⁄2 𝑐) √𝑥 2
𝑑) 1⁄𝑥 𝑒) 1⁄𝑥 2
(Concours 2009-2010)
Résolution
′
′ (𝑥 2 )
(√𝑥 2 ) =
2 √𝑥 2
2𝑥
=
2√𝑥 2
𝑥
= √𝑥 2
𝑹) 𝒄
EXERCICE 32
La dérivée de log √𝑥 2 + 6𝑥 est :
3𝑥 6 𝑥+3
𝑎) √𝑥 2 𝑏) √𝑥 2 𝑐) 𝑥 2 +6𝑥 𝑑) ∞ 𝑒) 0
+6𝑥 +6𝑥
(Concours 2010-2011)
Résolution
′
′ (√𝑥 2 +6𝑥)
(log √𝑥 2 + 6𝑥) = √𝑥 2 +6𝑥 ln 10
73 | P a g e
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′
(𝑥2 +6𝑥)
2√𝑥2 +6𝑥
= √𝑥 2 +6𝑥 ln 10
2𝑥+6
2√𝑥2 +6𝑥
= √𝑥 2 +6𝑥 ln 10
2𝑥+6 1
= ×
2√𝑥 2 +6𝑥 √𝑥 2 +6𝑥 ln 10
2𝑥+6
=
2 ln 10 (√𝑥 2 +6𝑥)2
2(𝑥+3)
= 2 ln 10 (𝑥 2+6𝑥)
𝑥+3
= ln 10 (𝑥 2+6𝑥)
R) f
EXERCICE 33
La dérivée de ln √𝑥 2 + 6𝑥 est :
3𝑥 6 𝑥+3
𝑎) √𝑥 2 𝑏) √𝑥 2 𝑐) 𝑥 2 +6𝑥 𝑑) 0 𝑒) ∞
+6𝑥 +6𝑥
(Concours 2011-2012)
Résolution
′
′ (√𝑥 2 +6𝑥)
(ln √𝑥 2 + 6𝑥) = √𝑥2 +6𝑥
′
(𝑥2 +6𝑥)
2√𝑥2 +6𝑥
= √𝑥 2 +6𝑥
2𝑥+6
2√𝑥2 +6𝑥
= √𝑥 2 +6𝑥
2𝑥+6 1
= ×
2√𝑥 2 +6𝑥 √𝑥 2 +6𝑥
2𝑥+6
= 2
2 (√𝑥 2 +6𝑥)
2(𝑥+3)
= 2 (𝑥 2+6𝑥)
𝑥+3
=
𝑥 2 +6𝑥
R) c
74 | P a g e
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EXERCICE 34
Calculer la dérivée de √𝑥 3 + 3 en 2
6 3
𝑎) 4 𝑏) 9 𝑐) 𝑑)
√11 √10
(Concours 2012-2013)
Résolution
′
′ (𝑥 3 +3)
(√𝑥 3 + 3) =
2 √𝑥3 +3
3𝑥 2
=
2 √𝑥 3 +3
En 2, on aura :
3(22 ) 12
= 2√11
2 √23 +3
6
=
√11
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
On sait que 𝑓 ′ (𝑥) = lim
ℎ→0 ℎ
Soit 𝑓(𝑥) = √𝑥 3 + 3
√(2+ℎ)3 +3−√23 +3
𝑓 ′ (2) = lim
ℎ→0 ℎ
2 2
(√(2+ℎ)3 +3) −(√23 +3)
= lim
ℎ→0 ℎ (√(2+ℎ)3 +3+√23 +3)
12ℎ+6ℎ2 +ℎ3
= lim
ℎ→0 ℎ (√(2+ℎ)3 +3+√23 +3)
75 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
ℎ(12+6ℎ+ℎ2 )
= lim
ℎ→0 ℎ (√(𝑥+ℎ)3 +3+√𝑥 3 +3)
12+6ℎ+ℎ2
= lim
ℎ→0 √(2+ℎ)3 +3+√23 +3
12+6(0)+02
=
√(2+0)3 +3+√23 +3
12
= √23
+3+√23 +3
12
=
√8+3+√8+3
12
=
√11+√11
12
= 2√11
6
=
√11
R) c
EXERCICE 35
Calculer la dérivée de √3𝑥 + 2 𝑒𝑛 2
3
𝑎) 4 𝑏) 9 𝑐) 1⁄2 𝑑)
√10
(Concours 2014-2015)
Résolution
(3𝑥+2)′
𝑓 ′ (𝑥) = 2
√3𝑥+2
(3𝑥)′ +(2)′
= 2√3𝑥+2
3+0
= 2√3𝑥+2
3
𝑓 ′ (𝑥) = 2√3𝑥+2
3
𝑓 ′ (2) =
2√3(2)+2
3
= 2√6+2
76 | P a g e
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3
= 2√8
3
𝑓 ′ (2) = 2√8
𝑹) 𝒆
77 | P a g e
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CHAPITRE V : LES VECTEURS
V.1 INTRODUCTION
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une
norme. On le représente par une flèche.
Si 𝑢
⃗ est un vecteur du plan, il existe un unique couple des réels (𝑥; 𝑦) tel que :
𝑢
⃗ =𝑥𝑖+𝑦𝑗
Exemple : Si 𝑢
⃗ = 2 𝑖 + 4 𝑗 alors les coordonnées de 𝑢
⃗ 𝑠𝑜𝑛𝑡 (2; 4 )
Exemple :
⃗ = (2; 5)
Soient les vecteurs 𝐴 = (3; −2) 𝑒𝑡 𝐵
⃗ = (3 + 2; −2 + 5)
𝐴+𝐵
= (5 ; 3)
Exemple :
78 | P a g e
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V.4. FAMILLE LIBRE DES VECTEURS
Une famille de vecteurs 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 sont linéairement dépendants (liés), s’il existe des
réels 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 tous non nuls tel que 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 = 0
Exemple :
Résolution
1) Les deux vecteurs sont liés si existe deux réels 𝛼 ≠ 0 𝑒𝑡 𝛽 ≠ 0 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝛼 𝑢 + 𝛽 𝑣 = 0
𝛼 𝑢 + 𝛽 𝑣 = (0, 0)
2𝛼 + 3𝛽 = 0 (1)
⇔ {
4𝛼 + 𝛽 = 0 (2)
⇔ 2𝛼 − 12𝛼 = 0
⇔ −10 𝛼 = 0
⇔ 𝛼 = 0 (4)
⇔ 𝛽=0
Les deux vecteurs sont liés si existe deux réels 𝛼 ≠ 0 𝑒𝑡 𝛽 ≠ 0 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝛼 𝑢 + 𝛽 𝑣 = 0
𝛼 𝑢 + 𝛽 𝑣 = (0,0)
79 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
⇔ (2𝛼, 𝛼) + (4𝛽, 2𝛽) = (0, 0)
2𝛼 + 4𝛽 = 0 (1)
⇔{
𝛼 + 2𝛽 = 0 (2)
⇔ −4𝛽 + 4𝛽 = 0
⇔ 0𝛽 = 0
⇔ 𝛼 = −4
Le système étant indéterminé, il possède une infinité des solutions, en particulier des
solutions non nulles, par exemple 𝛼 = −4 𝑒𝑡 𝛽 = 2
EXERCICE 36
On donne les vecteurs (4, 3) 𝑒𝑡 (𝑟, 6) 𝑑𝑒 ℝ2 on demande de déterminer r pour que ces
deux vecteurs soient liés
𝑎) 5 𝑏) 7 𝑐) 8 𝑑) 10
(Concours 2011-2012)
Résolution
Les deux vecteurs seront liés s’il existe deux réels 𝛼 ≠ 0 𝑒𝑡 𝛽 ≠ 0 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒
4𝛼 + 𝑟𝛽 = 0 (1)
⇔{
3𝛼 + 6𝛽 = 0 (2)
80 | P a g e
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−6 𝛽
⇔ 𝛼= 3
⇔ 𝛼 = −2𝛽 (3)
⇔ −8𝛽 + 𝑟𝛽 = 0
⇔ (−8 + 𝑟) 𝛽 = 0
Pour que les deux vecteurs soient liés, il faut que le système soit indéterminé, c’est-à-
dire −8 + 𝑟 = 0
⇔𝑟=8
Deuxième méthode : Si une famille des vecteurs est liée, le déterminant formé par les
vecteurs est nul
(4, 3) 𝑒𝑡 (𝑟, 6)
4 𝑟
| |=0
3 6
⇔ 4 × 6 − 3𝑟 = 0
⇔ 24 − 3𝑟 = 0
⇔ −3𝑟 = −24
⇔ 3𝑟 = 24
⇔ 𝑟 = 24⁄3
⇔𝑟=8
𝑹) 𝒄
EXERCICE 37
Dans ℝ2 {(1, 0), (0,1) } est une famille libre, en est-il de même de la famille {(3,2), (9,6)}
𝑎) 𝑂𝑢𝑖 𝑏) 𝑁𝑜𝑛
(Concours 2011-2012)
(Concours 2012-2013)
Résolution
81 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Première méthode
3𝛼 + 9𝛽 = 0 (1)
⇔ {
2𝛼 + 6𝛽 = 0 (2)
⇔ 𝛼 = −3𝛽 (3)
⇔ −6𝛽 + 6𝛽 = 0
⇔ 0𝛽 = 0
⇔ 𝛼 = −3
Le système étant indéterminé, il possède une infinité des solutions, en particulier des
solutions non nulles, par exemple 𝛼 = −3 𝑒𝑡 𝛽 = 1
Deuxième méthode : Une famille est libre si le déterminant formé par les vecteurs qui
la composent est non nul
3 9
| | = 3(6) − 2(9)
2 6
= 18 − 18
=0
82 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Le déterminant étant nul, la famille n’est pas libre
𝑹) 𝒃
EXERCICE 38
On donne les vecteurs (2, −3) 𝑒𝑡 (𝑟, −1) 𝑑𝑒 ℝ2 on demande de déterminer r pour que
ces deux vecteurs soient liés
(Concours 2012-2013)
Résolution
Les deux vecteurs seront liés s’il existe deux réels 𝛼 ≠ 0 𝑒𝑡 𝛽 ≠ 0 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒
2𝛼 + 𝑟𝛽 = 0 (1)
⇔{
−3𝛼 − 𝛽 = 0 (2)
𝐷𝑒 (2), 𝑡𝑖𝑟𝑜𝑛𝑠 𝛽 ∶ −𝛽 = 3𝛼
⇔ 𝛽 = −3𝛼 (3)
⇔ 2𝛼 − 3𝑟𝛼 = 0
⇔ (2 − 3𝑟)𝛼 = 0
Pour que les deux vecteurs soient liés, il faut que le système soit indéterminé, c’est-à-
dire 2 − 3𝑟 = 0
⇔ −3𝑟 = 2
⇔ 3𝑟 = 2
⇔ 𝑟 = 2⁄3
Deuxième méthode : Si une famille des vecteurs est liée, le déterminant formé par les
vecteurs est nul
83 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
2 𝑟
| |=0
−3 −1
⇔ 2(−1) − 𝑟(−3) = 0
⇔ −2 + 3𝑟 = 0
⇔ 3𝑟 = 2
⇔ 𝑟 = 2⁄3
𝑹) 𝒂
EXERCICE 39
Dans la base {(1,0), (0,1)} 𝑑𝑒 ℝ2 quelles sont les coordonnées du vecteur (11,5) +
(−9,3)
(Concours 2012-2013)
Résolution
= (2, 8)
𝑹) 𝒅
EXERCICE 40
On donne les vecteurs (2, −3) 𝑒𝑡 (𝑟, −12) 𝑑𝑒 ℝ2 on demande de déterminer r pour
que ces deux vecteurs soient liés
𝑎) 8 𝑏) −10⁄3 𝑐) 3 𝑑) 1⁄5
(Concours 2014-2015)
Résolution
Les deux vecteurs seront liés s’il existe deux réels 𝛼 ≠ 0 𝑒𝑡 𝛽 ≠ 0 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒
84 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
2𝛼 + 𝑟𝛽 = 0 (1)
⇔ {
−3𝛼 − 12𝛽 = 0 (2)
⇔ −𝛼 = 4𝛽
⇔ 𝛼 = −4𝛽 (3)
⇔ −8𝛽 + 𝑟𝛽 = 0
⇔ (−8 + 𝑟)𝛽 = 0
Pour que les deux vecteurs soient liés, il faut que le système soit indéterminé, c’est-à-
dire −8 + 𝑟 = 0
⇔𝑟=8
Deuxième méthode : Si une famille des vecteurs est liée, le déterminant formé par les
vecteurs est nul
2 𝑟
| |=0
−3 −12
⇔ 2(−12) − (−3)𝑟 = 0
⇔ −24 + 3𝑟 = 0
⇔ 3𝑟 = 24
⇔ 𝑟 = 24⁄3
⇔𝑟=8
𝑹) 𝒂
EXERCICE 41
Dans la base {(1,0), (0,1)} 𝑑𝑒 ℝ2 quelles sont les coordonnées du vecteur (10,7) + (5,4)
(Concours 2012-2013)
85 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Résolution
= (15,11)
𝑹) 𝒆
EXERCICE 42
Dans ℝ2 {(1, 0), (0,1) } est une famille libre, en est-il de même de la famille
{(4,5), (12,15)}
(Concours 2015-2016)
Résolution
Première méthode
4𝛼 + 12𝛽 = 0 (1)
⇔{
5𝛼 + 15𝛽 = 0 (2)
⇔ 𝛼 = −3𝛽 (3)
⇔ −15𝛽 + 15𝛽 = 0
⇔0𝛽 =0
86 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
⇔ 𝛼 = −3
Le système étant indéterminé, il possède une infinité des solutions, en particulier des
solutions non nulles, par exemple 𝛼 = −3 𝑒𝑡 𝛽 = 1
Deuxième méthode : Une famille est libre si le déterminant formé par les vecteurs qui
la composent est non nul
4 12
| | = 4(15) − 5(12)
5 15
= 60 − 60
=0
𝑹) 𝒃
87 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE VI : TRIGONOMETRIE
VI.1. UNITES D’ARCS ET D’ANGLES
(360° = 400 𝑔𝑟 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 )
180° 200
⟺ 180 = 180 𝑔𝑟
10
⟺ 10 = 𝑔𝑟
9
Pour convertir degré en grade, il suffit de multiplier le nombre de degré donné par
10⁄ pour avoir sa valeur correspondante en grade.
9
Exemples :
1) Convertir
a) 50°= ? gr
b) 270°= ? gr
Résolution :
10
a) On sait que 10 = 𝑔𝑟
9
10
⇒ 50° = 50 × 𝑔𝑟
9
50° = 55, 555 … 𝑔𝑟
10
b) On sait que 10 = 𝑔𝑟
9
10
⇒ 270° = 270 × 𝑔𝑟
9
50° = 300 𝑔𝑟
2) 100 gr= ? °
9
On sait que 1 𝑔𝑟 = 10 𝑔𝑟
9
⇒ 100° = 100 × 10 𝑔𝑟
88 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
100 𝑔𝑟 = 90°
180° 𝜋
⟺ 180 = 180 𝑟𝑎𝑑
𝜋
⟺ 10 = 180 𝑟𝑎𝑑
Pour convertir degré en radians, il suffit de multiplier le nombre de degré donné par
𝜋
pour avoir sa valeur correspondante en radians.
180
Exemples :
Convertir :
a) 45°= ? rad
2𝜋
b) 𝑟𝑎𝑑 = ? °
3
Résolution
𝜋
a) On sait que 10 = 180 𝑟𝑎𝑑
𝜋
⇒ 45° = 45 × 180 𝑟𝑎𝑑
𝜋
45°= 4 𝑟𝑎𝑑
2𝜋
𝑟𝑎𝑑 = 120°
3
𝜋
⟺ 1 𝑔𝑟 = 200 𝑟𝑎𝑑
89 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Pour convertir grade en radians, il suffit de multiplier le nombre de grade donné par
𝜋
pour avoir sa valeur correspondante en radians.
200
EXERCICE 43
Donnez la valeur de 𝜋 dans le cercle trigonométrique
(Concours 2009-2010)
Résolution
= 180 °
𝑹) 𝒆
les côtés a, b 𝑐
𝑎 = sin 𝐶̂
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2
b=𝑎 cos 𝐶̂
𝑎 𝑏 𝑐
= sin 𝐵̂ = sin 𝐶̂
sin 𝐴̂
Dans un triangle ABC, le carré de la mesure d’un côté est égal à la somme des
carrés des deux autres côtés, diminué du double produit des mesures de ces
côtés par le cosinus de l’angle qu’ils forment.
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴̂
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵̂
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝑐̂
91 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
VI.2.2.3 Résolution des triangles quelconques
Données Relations
La relation de sinus
EXERCICE 44
Les deux côtés de l’angle droit d’un triangle ABC sont 𝐴𝐵 = 4 𝑐𝑚 𝑒𝑡 𝐴𝐶 = 3𝑐𝑚.
Déterminer l’hypoténuse
𝑎) 9 𝑐𝑚 𝑏) 1 𝑐𝑚 𝑐) 7 𝑐𝑚 𝑑) 5 𝑐𝑚 𝑒) 3 𝑐𝑚
(Concours 2010-2011)
Résolution
𝐴𝐵 = 4 𝑐𝑚 𝐴𝐶 = 3𝑐𝑚
On sait que 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2
⇔ 𝐵𝐶 = √𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2
= √42 + 32
= √16 + 9
= √25
𝐵𝐶 = 5 𝑐𝑚
𝑹) 𝒅
92 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 45
Chercher l’aire d’un triangle rectangle ABC si l’hypoténuse mesure 28 cm et l’angle
𝐵 = 30°
(Concours 2013-2013)
Résolution
𝐵𝐶 = 28 𝑐𝑚 𝐵 = 30°
𝐴𝐶 ×𝐴𝐵
On sait que 𝑆 = 2
𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 sin 𝐵 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 cos 𝐵
= 28 sin 30 = 28 cos 30
1 √3
= 28 × 2 = 28 × 2
𝐴𝐶 = 14 𝑐𝑚 𝐴𝐵 = 14 √3 𝑐𝑚
14 ×14 √3
𝑆= 2
196√3
= 2
𝑆 = 98 √3 𝑐𝑚2
𝑹) 𝒆
93 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE VII : ANALYSE COMBINATOIRE
EXERCICE 46
Dire si a), b) et c) sont des permutations de l’ensemble 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
𝑎) ( ) 𝑏) ( ) 𝑐) ( )
𝑎 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑏 𝑒
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑹) 𝒃
EXERCICE 47
Dire si a), b) et c) sont des permutations de l’ensemble 𝐴 = {1,2,3}
1 2 3 1 2 3 1 2 3
𝑎) ( ) 𝑏) ( ) 𝑐) ( )
3 5 1 6 2 3 2 1 3
(Concours 2012-2013)
Résolution
𝑹) 𝒄
EXERCICE 48
Dire si a), b) et c) sont des permutations de l’ensemble 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
𝑎) ( ) 𝑏) ( ) 𝑐) ( )
𝑐 𝑑 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑒 𝑏 𝑎
(Concours 2014-2015)
Résolution
94 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑹) 𝒃
EXERCICE 49
Dire si a), b) et c) sont des permutations de l’ensemble 𝐴 = {1,2,3}
1 2 3 1 2 3 1 2 3
𝑎) ( ) 𝑏) ( ) 𝑐) ( )
1 2 4 1 5 3 3 1 2
(Concours 2015-2016)
Résolution
𝑹) 𝒄
95 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE VIII : MATRICES ET
DETERMINANTS
Une matrice est un tableau de la forme
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑗 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑗 ⋯ 𝑎2𝑛
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 ⋯ 𝑎𝑖𝑗 ⋯ 𝑎𝑖𝑛 où les 𝑎𝑗𝑖 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑠
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝑎
( 𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑗 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 )
EXERCICE 50
Donner le cofacteur de 6 dans la matrice
1 3 4
(6 7 8)
9 10 11
𝑎) 10 𝑏) 7 𝑐) 15
(Concours 2015-2016)
Résolution
96 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
3 4
|𝐴𝑖𝑗 | = | |
10 11
3 4
𝐶21 = (−1)2+1 | |
10 11
= (−1)[3(11) − 10(4)]
= (−1)(33 − 40)
= (−1)(−7)
𝐶21 = 7
𝑹) 𝒃
EXERCICE 51
Donner le cofacteur de 10 dans la matrice
1 3 4
(6 7 8)
9 10 11
𝑎) 16 𝑏) − 16 𝑐) 32 𝑑) 32
(Concours 2018-2019)
Résolution
97 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
1 4
|𝐴𝑖𝑗 | = | |
6 8
1 4
𝐶32 = (−1)3+2 | |
6 8
= (−1)(8 − 24)
= (−1)(−16)
𝐶32 = 16
𝑹) 𝒂
98 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE IX : NOMBRES COMPLEXES
EXERCICE 52
Dans l’ensemble des nombres complexes ℂ , on peut affirmer que toutes les
propositions suivantes sont exactes à l’exception de :
2𝑖
𝑎) L’équation 𝑧+1 = 𝑖𝑧 a pour solutions 𝑧1 = 0 𝑒𝑡 𝑧2 = −3𝑖
1 √3
𝑏) L’équation 𝑧 2 − 𝑧 + 1 = 0 a pour solution 𝑧1 = 2 − 𝑖 𝑒𝑡 𝑧2 = 𝑧̅1
2
(Concours 2017-2018)
Résolution
Pour a
2𝑖
= 𝑖𝑧
𝑧+1
⇔ (𝑧 + 1)𝑖𝑧 = 2𝑖
⇔ 𝑖𝑧 2 + 𝑖𝑧 = 2𝑖
⇔ 𝑖𝑧 2 + 𝑖𝑧 − 2𝑖 = 0
𝑎 = 𝑖 𝑏 = 𝑖 𝑐 = −2𝑖
∆= (𝑖)2 − 4(𝑖)(−2𝑖)
= −1 + 8𝑖 2
= −1 − 8
∆= −9
99 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
−𝑖 − 𝑖√|−9| −𝑖 + 𝑖√|−9|
𝑧1 = 𝑧2 =
2(𝑖) 2(𝑖)
−𝑖 − 3𝑖 −𝑖 + 3𝑖
= =
2𝑖 2𝑖
−4𝑖 2𝑖
= =
2𝑖 2𝑖
𝑧1 = −2 𝑧2 = 1
𝑆 = {−2; 1}
Pour l’assertion b
𝑧2 − 𝑧 + 1 = 0
𝑎=1 𝑏 = −1 𝑐=1
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
= (−1)2 − 4(1)(1)
=1−4
∆= −3
1 √3 1 √3
𝑆 = {2 − 𝑖 , +𝑖 }
2 2 2
Pour l’assertion c
𝑧3 + 𝑧 + 2 = 0
On a la forme 𝑧 3 + 𝑝𝑧 + 𝑞 = 0
𝑝 = 1 𝑒𝑡 𝑞 = 2
Posons 𝑧 = 𝑢 + 𝑣
100 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑢3 + 𝑣 3 = −𝑞 𝑢3 + 𝑣 3 = −2 (1)
{ 𝑝 ⇔ { 1
𝑢𝑣 = − 3 𝑢𝑣 = − 3 (2)
1
De (2) ∶ 𝑣 = − 3𝑢 (3)
1 3
(3) 𝑑𝑎𝑛𝑠 (1) ⇔ 𝑢3 + (− ) = −2
3𝑢
1
⇔ 𝑢3 − 9𝑢3 = −2
9𝑢6 −1
⇔ = −2
9𝑢3
⇔ 9𝑢6 − 1 = −18 𝑢3
⇔ 9𝑢6 + 18 𝑢3 − 1 = 0
Posons 𝑢3 = 𝑡
∆= (18)2 − 4(9)(−1)
101 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE X : GEOMETRIE ELEMENTAIRE
ET ANALYTIQUE
X.1 LA DROITE
X.1.1 Equations d’une droite
X.1.1.1. Composantes d’un vecteur de représentant (A, B)
̅̅̅̅( 𝑏𝑏1−𝑎
𝐴𝐵 1
.)
2 −𝑎2
Exemple :
̅̅̅̅ 1−(−2)
𝐴𝐵 ( 3−4. )
̅̅̅̅( −13. )
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑏=𝑢 ⃗ est le vecteur directeur de la droite D.
Soit la droite D ayant un point 𝑎(𝑥0 , 𝑦0 ) et 𝑢 ⃗⃗⃗⃗ (𝛼, 𝛽) un vecteur directeur de D. Etant
⃗ =𝑎𝑏
donné 𝑝(𝑥, 𝑦) un autre point de la droite D.
𝑥=𝑥 +𝜆𝛼
{ 𝑦=𝑦00+𝜆𝛽.
102 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝜆 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒
Ou 𝛽(𝑥 − 𝑥0 ) = 𝛼(𝑦 − 𝑦0 )
Est :
𝑦 −𝑦
𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2−𝑥1 (𝑥 − 𝑥1 )
2 1
Ou 𝐴1 = 𝑡 𝐴2 ; 𝐵1 = 𝑡𝐵2 ; 𝐶1 = 𝑡 𝐶2
Exemple :
103 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Deux droites d’équations 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 𝑒𝑡 𝑦 = 𝑚′ 𝑥 + 𝑝′ sont perpendiculaires si
𝑚. 𝑚′ = −1
EXERCICE 53
Les deux droites dont on donne l’équation 𝑦 = 3𝑥 𝑒𝑡 𝑦 = 3𝑥 + 1 sont-elles
(Concours 2013-2014)
Résolution
𝑦 = 3𝑥 𝑒𝑡 𝑦 = 3𝑥 + 1
Les deux droites sont parallèles car elles ont même coefficient angulaire
𝑹) 𝒃
EXERCICE 54
Dans le plan que représente 15𝑥 + 6𝑦 − 7 = 0
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑹) 𝒃
EXERCICE 55
Donner le nombre des axes de symétrie d’un rectangle
𝑎) 1 𝑏) 2 𝑐) 3 𝑑) 4
(Concours 2013-2014)
Résolution
𝑹) 𝒃
104 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 56
Le centre du centre circonscrit à un triangle est le point commun aux :
(Concours 2016-2017)
Résolution
𝑹) 𝒂
EXERCICE 57
Lorsque les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, on sait que c’est
un :
(Concours 2016-2017)
Résolution
𝑹) 𝒃
EXERCICE 58
Le centre du centre circonscrit à un triangle est le point commun aux :
(Concours 2018-2019)
Résolution
𝑹) 𝒂
EXERCICE 59
L’image d’un triangle ABC par symétrie centrale est :
c) Un parallélogramme
105 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
(Concours 2018-2019)
(Concours 2016-2017)
(Concours 2018-2019)
Résolution
𝑹) 𝒃
106 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE XI : COMPLEMENTS
EXERCICE 60
Calculer la moyenne proportionnelle entre 2 et 50
𝑎) √5 𝑏) √6 𝑐) 34 𝑑) 10 𝑒) 8
(Concours 2009-2010)
Résolution
𝑎=2 𝑒𝑡 𝑏 = 50
2 𝑥
= 50
𝑥
⇔ 𝑥 2 = 2 × 50
⇔ 𝑥 2 = 100
⇔ 𝑥 = √100
⇔ 𝑥 = 10
107 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑹) 𝒅
EXERCICE 61
Calculer la moyenne proportionnelle entre 4 et 6,25
𝑎) 3 𝑏) 5 𝑐) 4 𝑑) 2 𝑒) √6
(Concours 2010-2011)
Résolution
𝑎=4 𝑒𝑡 𝑏 = 6,25
4 𝑥
= 6,25
𝑥
⇔ 𝑥 2 = 4 × 6,25
⇔ 𝑥 2 = 25
⇔ 𝑥 = √25
⇔𝑥=5
𝑹) 𝒃
EXERCICE 62
Dans une classe de 32 élèves, on compte 12 garçons. La fréquence de filles de cette
classe est :
(Concours 2016-2017)
Résolution
Le nombre de fille = 32 − 12 = 20
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑙𝑒𝑠
𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 = 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑′é𝑙è𝑣𝑒𝑠 × 100
20
= 32 × 100
𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 = 62, 5%
𝑹) 𝒅
108 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 63
Seulement 30% des élèves d’une école de la place pratiquent le sport en dehors de
l’école. Parmi les sportifs 16% font du volley, 20% de la natation, et 5% font à la fois du
volley et de la natation. Le pourcentage des élèves qui pratiquent le volley et pas la
natation :
𝑎) 10% 𝑏) 3% 𝑐) 15% 𝑑) 5%
(Concours 2017-2018)
Résolution
Le pourcentage des élèves qui pratiquent le volley et pas la natation est de 16% pour
les 100% des sportifs et les sportifs présentent 30% des élèves de l’école.
Le pourcentage des élèves qui pratiquent le volley et pas la natation pour l’ensemble
des élèves de l’école est donné par :
16
× 30 = 4,8 %
100
≅ 5%
𝑹) 𝒅
EXERCICE 64
Dans une classe de 32 élèves, on compte 18 garçons. La fréquence de filles de cette
classe est :
(Concours 2018-2019)
Résolution
Le nombre de fille = 32 − 18 = 14
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑙𝑒𝑠
𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 = 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑′é𝑙è𝑣𝑒𝑠 × 100
14
= 32 × 100
𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 = 43,75 %
𝑹) 𝒂
109 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 66
Un objet qui coute 150 euros augmente de 2%. Son nouveau prix est :
(Concours 2016-2017)
Résolution
= 150 + 3
𝑹) 𝒂
EXERCICE 67
En augmentant de 50% la longueur et la largeur d’un rectangle, sa surface augmente
de :
(Concours 2017-2018)
Résolution
𝑆1 = 𝐿1 . 𝑙1
= 𝐿1 𝑙1 + 1,25 𝐿1 𝑙1
𝑆2 = 𝑆1 + 1, 25 𝑆1
110 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑆2 = 𝑆1 + 125 % 𝑑𝑒 𝑆1
𝑹) 𝒄
EXERCICE 68
Un objet qui coute 150 euros augmente de 2%. Son nouveau prix est :
(Concours 2018-2019)
Résolution
= 150 + 3
𝑹) 𝒂
111 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
XI.2. FORMULES DES PERIMETRES ET AIRES DE QUELQUES
FIGURES GEOMETRIQUES
Ou
𝑑 = 𝑐√2
Trapèze 𝐵+𝑑+𝑏 (𝐵 + 𝑏) × ℎ
+𝑐 2
Parallélogram 2(𝑏 + 𝑎) a× ℎ
me
Losange 4. 𝑎 𝐷1 × 𝐷2 𝑎=
2
1
√𝐷1 2 + 𝐷1 2
2
Cercle 2𝜋𝑟 𝜋𝑟 2 𝐷 = 2𝑟
112 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
XI.3. AIRES ET VOLUMES DE QUELQUES CORPS
GEOMETRIQUES
113 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 69
Quelle est l’aire latérale d’un cylindre dont la base est un cercle de 14 cm de rayon et
dont la hauteur mesure 10 cm (prendre 𝜋 = 22⁄7)
𝑎) 800 𝑐𝑚2 𝑏) 520 𝑐𝑚2 𝑐) 720 𝑐𝑚2 𝑑) 880 𝑐𝑚2 𝑒) 700 𝑐𝑚2
(Concours 2009-2010)
Résolution
𝑟 = 14 𝑐𝑚
ℎ = 10 𝑐𝑚
𝜋 = 22⁄7
𝑆𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑙𝑒 = 2 𝜋 𝑟ℎ
22
= 2 ( 7 ) (14)(10)
EXERCICE 70
Quelle est l’aire latérale d’un cylindre dont la base est un cercle de 21 cm de rayon et
dont la hauteur mesure 10 cm (prendre 𝜋 = 22⁄7)
𝑎) 1000 𝑐𝑚2 𝑏) 1305 𝑐𝑚2 𝑐) 1280 𝑐𝑚2 𝑑) 1250 𝑐𝑚2 𝑒) 1320 𝑐𝑚2
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑟 = 21 𝑐𝑚
ℎ = 10 𝑐𝑚
𝜋 = 22⁄7
𝑆𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑙𝑒 = 2 𝜋 𝑟ℎ
22
= 2 ( 7 ) (21)(10)
𝑹) 𝒆
114 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 71
Quelle est l’aire latérale d’un cylindre dont la base est un cercle de 35 cm de rayon et
dont la hauteur mesure 10 cm (prendre 𝜋 = 22⁄7)
𝑎) 2000 𝑐𝑚2 𝑏) 1600 𝑐𝑚2 𝑐) 2200 𝑐𝑚2 𝑑) 1400 𝑐𝑚2 𝑒) 700 𝑐𝑚2
(Concours 2013-2014)
Résolution
𝑟 = 35 𝑐𝑚
ℎ = 10 𝑐𝑚
𝜋 = 22⁄7
𝑆𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑙𝑒 = 2 𝜋 𝑟ℎ
22
= 2 ( 7 ) (35)(10)
𝑹) 𝒄
115 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 72
Le volume d’une boite de conserve cylindrique mesurant 11 cm de diamètre et de 10
cm de hauteur est :
(Concours 2016-2017)
Résolution
11
𝑑 = 11 𝑐𝑚 ⇒ 𝑟 = = 5,5 𝑐𝑚
2
ℎ = 10 𝑐𝑚
𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ
= 3,14(5,5)2 (10)
= 3, 14 × 30,25 × 10
𝑉 = 949,85 𝑐𝑚2
𝑹) 𝒂
EXERCICE 73
Quelle unité a-t-on choisie quand on dit d’une pièce de drap de 12,5 de large ?
𝑎) 𝑚 𝑏) 𝑐𝑚 𝑐) 𝑘𝑚 𝑑) 𝑑𝑚 𝑒) 𝑚𝑚
(Concours 2010-2011)
Résolution
𝑹) 𝒅
116 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 74
Quelle unité a-t-on choisie quand on dit d’une salle de 4 sur 3 ?
𝑎) 𝑘𝑚 𝑏) 𝑚 𝑐) 𝑚𝑚 𝑑) 𝑐𝑚 𝑒) 𝑚2
(Concours 2013-2014)
Résolution
𝑹) 𝒃
EXERCICE 75
Combien y a-t-il de litre dans 1 𝑚3
(Concours 2010-2011)
Résolution
𝑹) 𝒅
EXERCICE 76
Combien y a-t-il de 𝑚3 dans 1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑒
(Concours 2018-2019)
Résolution
117 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑹) 𝒅
XI.5. CONTINUITE
𝑓 est continue au point a si et seulement si :
✓ 𝑎 ∈ 𝐷𝑓 𝑜𝑢 𝑓(𝑎) ∈ ℝ
✓ lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
Exemple :
𝑥 2 −1
𝑓(𝑥) = 𝑥−1
EXERCICE 77
Donner la valeur de la fonction 𝑦 = 5𝑥 2 − 7 pour qu’elle soit continue en 2.
𝑎) 6 𝑏) 2 𝑐) 5 𝑑) 13
(Concours 2012-2013)
Résolution
EXERCICE 78
Calculer l’intérêt de 4800 FC à 5% pendant 1 et ½ ans
(Concours 2009-2010)
Résolution
118 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝐶 = 4800 𝐹𝐶
𝑡 = 5%
𝑛 = 1,5 𝑎𝑛𝑠
𝐶𝑡𝑛
𝐼= 100
4 800 ×5×1,5
= 100
𝐼 = 360 𝐹𝐶
𝑹) 𝒄
EXERCICE 79
Définir le prix de vente
(Concours 2010-2011)
Résolution
𝑹) 𝒅
EXERCICE 80
Calculer l’intérêt de 4800 FC à 5% pendant 36 jours. Intérêt annuel (360 jours)
𝑎) 78 𝐹𝐶 𝑏) 24 𝐹𝐶 𝑐) 96 𝐹𝐶 𝑑) 72 𝐹𝐶 𝑒) 56 𝐹𝐶
(Concours 2009-2010)
Résolution
𝐶 = 4800 𝐹𝐶
𝑡 = 5%
𝑛 = 36 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠
𝐶𝑡𝑛
𝐼= 100
4 800 ×5×36
= 36 000
𝐼 = 24 𝐹𝐶
119 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑹) 𝒃
EXERCICE 81
Donnez les dimensions d’un jardin rectangulaire de 4 cm et de 16 mm à l’échelle de
1/25000 ?
𝑒) 120 𝑚 𝑒𝑡 80 𝑚
(Concours 2009-2010)
Résolution
𝐿 = 4𝑐𝑚 × 25 000
= 100 000 𝑐𝑚
𝐿 = 1000 𝑚
𝑙 = 16 𝑚𝑚 × 25 000
= 400 000 𝑚𝑚
𝑙 = 400 𝑚
𝐿 = 1000 𝑚 𝑒𝑡 𝑙 = 400 𝑚
𝑹) 𝒄
EXERCICE 82
Donnez les dimensions d’un jardin rectangulaire de 8 cm et de 32 mm à l’échelle de
1/25000 ?
𝑒) 125 𝑚 𝑒𝑡 60 𝑚
(Concours 2010-2011)
Résolution
𝐿 = 8𝑐𝑚 × 25 000
120 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
= 200 000 𝑐𝑚
𝐿 = 2000 𝑚
𝑙 = 32 𝑚𝑚 × 25 000
= 800 000 𝑚𝑚
𝑙 = 800 𝑚
𝐿 = 2000 𝑚 𝑒𝑡 𝑙 = 800 𝑚
𝑹) 𝒂
EXERCICE 83
Le reste de la division euclidienne de 130 par 18 est :
𝑎) 3 𝑏) 9 𝑐)5
(Concours 2016-2017)
Résolution
𝑹) 𝒅
EXERCICE 84
1
Si 𝐴(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 cocher la bonne réponse parmi les deux propositions
(Concours 2016-2017)
Résolution
121 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
1
Pour 𝑥 appartenant à 𝐼 = ]0 ; +∞[, 𝑥 ≥ 𝑥, donc 𝐴(𝑥) est positif pour tout 𝑥
appartenant à 𝐼 = ]0 ; +∞[
𝑹) 𝒂
122 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
DEUXIÈME
PARTIE :
PHYSIQUE
123 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE I : CINEMATIQUE
I.1. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣. 𝑡
𝑠𝑖 𝑥0 = 0 ⇒ 𝑥 = 𝑣. 𝑡
𝑥: 𝑙 ′ 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑒𝑛 𝑚
𝑣: 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑚/𝑠
𝑡: 𝑙𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑒𝑛 𝑠
1
𝑠𝑖 𝑥0 = 𝑣0 = 0 ⇒ 𝑥 = 2 𝑎𝑡 2
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑠𝑖 𝑣0 = 0 ⇒ 𝑣 = 𝑎𝑡
𝑣 2 − 𝑣0 2 = 2𝑎(𝑥 − 𝑥0 )
𝑠𝑖 𝑥0 = 𝑣0 = 0 ⇒ 𝑣 2 = 2𝑎𝑥
𝑥 = 𝑎(𝑛 − 1⁄2)
𝑥: 𝑙 ′ 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑒𝑛 𝑚
𝑣: 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑚/𝑠
𝑡: 𝑙𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑒𝑛 𝑠
𝑎: 𝑎𝑐𝑐é𝑙é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑚/𝑠 2
1
𝑠𝑖 𝑥0 = 𝑣0 = 0 ⇒ ℎ = 𝑔𝑡 2
2
𝑣 = 𝑣0 + 𝑔𝑡
124 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑠𝑖 𝑣0 = 0 ⇒ 𝑣 = 𝑔𝑡
𝑣 2 − 𝑣0 2 = 2𝑔(ℎ − ℎ0 )
𝑠𝑖 ℎ0 = 𝑣0 = 0 ⇒ 𝑣 2 = 2𝑔ℎ
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
⇔ 𝑣0 − 𝑔𝑡 = 0
𝑣0
⇔𝑡= 𝑔
𝑣2
La hauteur maximale est donnée par ℎ𝑚𝑎𝑥 = 2𝑔0
𝜔 = 2𝜋𝑁
1
𝑁=𝑇
𝑣 = 𝑎𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)
𝛾 = −𝜔2 . 𝑥
𝑡: 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑒𝑛 𝑠 𝑎: 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔𝑡
𝑆 = 𝑆0 + 𝑣𝑡
𝑆 = 𝑅. 𝜃 𝑣 = 𝑅. 𝜔
125 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝛾𝑁 = 𝑅. 𝜔2
𝑆: 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑖𝑙𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑒𝑛 𝑚
R :𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑗𝑒𝑐𝑡𝑜𝑖𝑟𝑒 𝑒𝑛 𝑚
EXERCICE
Le mouvement d’un mobile est donné est donné par l’équation 𝑥 = 6 + (2𝑡 − 0,5𝑡 2 ),
sa vitesse au temps 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑠 vaut :
(Concours 2009-2010)
Résolution
𝑥 = 6 + (2𝑡 − 0,5𝑡 2 )
𝑡 =2𝑠
𝑣 =?
𝑑𝑥
𝑣(𝑡) = 𝑑𝑡
′
= (6 + (2𝑡 − 0,5𝑡 2 ))
= 0 + 2 − 0,5(2)𝑡
𝑣(𝑡) = 2 − 𝑡
𝑣(2) = 2 − 2
𝑣(2) = 0 𝑚/𝑠
𝑹) 𝒇
EXERCICE
Le mouvement d’un mobile vaut 𝑥 = 5 sin 2𝑡 ; sa vitesse au temps 𝑡 = 𝜋𝑠 vaut :
(Concours 2009-2010)
126 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Résolution
𝑥 = 5 sin 2𝑡
𝑡 = 𝜋𝑠
𝑑𝑥
𝑣(𝑡) = 𝑑𝑡
= (5 sin 2𝑡)′
= 5 (2𝑡)′ cos 2𝑡
= 5(2) cos 2𝑡
𝑣(𝑡) = 10 cos 2𝑡
Au temps 𝑡 = 𝜋𝑠
𝑣 = 10 cos 2𝜋
= 10 × (1)
𝑣 = 10 𝑚/𝑠
𝑹) 𝒅
EXERCICE
Une pierre est lancée à partir du sol verticalement vers le haut à une vitesse de 25m/s.
Si 𝑔 = 10 𝑚/𝑠 2 , la pierre atteint sa hauteur maximale au temps :
(Concours 2009-2010)
Résolution
𝑣0 = 25 𝑚/𝑠
𝑔 = 10 𝑚/𝑠 2
𝑡 =?
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
⇔ 𝑣0 − 𝑔𝑡 = 0
127 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑣0
⇔𝑡= 𝑔
25
= 10
𝑡 = 2, 5 𝑠
𝑹) 𝒆
EXERCICE
Une vitesse de 12cm/min vaut approximativement :
(Concours 2011-2012)
Résolution
12 𝑐𝑚 12.10−2 𝑚
=
𝑚𝑖𝑛 60 𝑠
12.10−2 𝑚
= 6.10 𝑠
= 2. 10−2−1 𝑚𝑠 −1
= 2. 10−3 𝑚𝑠 −1
= 0,002 𝑚𝑠 −1
12 𝑐𝑚 12.10−5 𝑘𝑚
= 1⁄ ℎ
𝑚𝑖𝑛 60
60
= 12. 10−5 𝑘𝑚 . 1ℎ
= 0,0072 𝑘𝑚/ℎ
≅ 0,007 𝑘𝑚/ℎ
𝑹) 𝒆
128 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE
Quelle est la valeur du débit de 36 litres/minute dans le système international ?
(Concours 2011-2012)
Résolution
36 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑒𝑠 36 .10−3 𝑚3
=
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒 60 𝑠
36 .10−3 𝑚3
= 6.10 𝑠
= 6 . 10−3−1 𝑚3 /𝑠
= 6 . 10−4 𝑚3 /𝑠
= 0,6. 10−3 𝑚3 /𝑠
𝑹) 𝒄
EXERCICE
Le mouvement d’un mobile vaut 𝑥 = sin 2𝑡 ; sa vitesse au temps 𝑡 = 𝜋 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑠
vaut :
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑥 = sin 2𝑡
𝑡=𝜋𝑠
𝑑𝑥
𝑣(𝑡) = 𝑑𝑡
= (sin 2𝑡)′
= (2𝑡)′ cos 2𝑡
= 2 cos 2𝑡
𝑣(𝑡) = 2 cos 2𝑡
129 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Au temps 𝑡 = 𝜋 𝑠
𝑣 = 2 cos 2𝜋
= 2 × (1)
𝑣 = 2 𝑚/𝑠
𝑹) 𝒇
EXERCICE
Un piéton parcourt 4,32 km en 1 heure. Quelle est sa vitesse moyenne :
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑥 = 4,32 𝑘𝑚 = 4 320 𝑚
𝑡 = 1ℎ = 3600 𝑠
𝑥
𝑣= 𝑡
4320
= 3600
𝑣 = 1, 2 𝑚/𝑠 ou 𝑣 = 12 𝑑𝑚/𝑠
𝑹) 𝒄
EXERCICE
Le mouvement d’un mobile vaut 𝑥 = 5 sin 2𝑡 ; sa vitesse au temps 𝑡 = 𝜋𝑠 vaut :
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑥 = 5 sin 2𝑡
𝑡 = 𝜋𝑠
𝑑𝑥
𝑣(𝑡) = 𝑑𝑡
130 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
= (5 sin 2𝑡)′
= 5 (2𝑡)′ cos 2𝑡
= 5(2) cos 2𝑡
𝑣(𝑡) = 10 cos 2𝑡
Au temps 𝑡 = 𝜋𝑠
𝑣 = 10 cos 2𝜋
= 10 × (1)
𝑣 = 10 𝑚/𝑠
𝑹) 𝒆
EXERCICE
Une vitesse de 36cm/min vaut approximativement :
(Concours 2011-2012)
Résolution
36 𝑐𝑚 36.10−2 𝑚
=
𝑚𝑖𝑛 60 𝑠
36.10−2 𝑚
= 6.10 𝑠
= 6. 10−2−1 𝑚𝑠 −1
= 6. 10−3 𝑚𝑠 −1
12 𝑐𝑚 36.10−5 𝑘𝑚
= 1⁄ ℎ
𝑚𝑖𝑛 60
60
= 36. 10−5 𝑘𝑚 . 1ℎ
= 0,0216 𝑘𝑚/ℎ
𝑹) 𝒄
131 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE
Quelle est la valeur du débit de 300 ml/min dans le système international ?
(Concours 2011-2012)
Résolution
3 . 102−3−3 𝑚3
= 6.10 𝑠
3.10−4 𝑚3
= 6.10 𝑠
3
= 6 . 10−4−1 𝑚3 /𝑠
= 0, 5. 10−5 𝑚3 /𝑠
= 5. 10−6 𝑚3 /𝑠
𝑹) 𝒂
EXERCICE
Le mouvement d’un mobile vaut 𝑥 = 5 sin 2𝜋 (𝑡⁄6 + 1⁄3) avec x donné en cm, t en
seconde. Que vaut la période du mouvement ?
𝑎) 3 𝑠 𝑏) 4𝑠 𝑐) 6𝑠 𝑑) 0,16 𝑠 𝑒) 0,33 𝑠
(Concours 2011-2012)
Résolution
2𝜋 2𝜋
= 5 sin ( 6 𝑡 + )
3
𝜋 2𝜋
𝑥 = 5 sin (3 𝑡 + )
3
132 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
L’équation horaire est : 𝑥 = 𝑎 sin(𝜔𝑡 + 𝜙)
𝜋
On déduit que 𝜔 = 𝑟𝑎𝑑/𝑠
3
1
Or 𝜔 = 2 𝜋𝑁 (1) 𝑒𝑡 𝑁 = 𝑇 (2)
1
(2) 𝑑𝑎𝑛𝑠 (1) ∶ 𝜔 = 2 𝜋
𝑇
2𝜋
⇔ 𝜔= 𝑇
⇔𝑇𝜔 =2𝜋
2𝜋
⇔𝑇= 𝜔
2𝜋
= 𝜋
3
3
= 2𝜋 . 𝜋
6𝜋
𝑇= 𝜋
𝑇 = 6𝑠
𝑹) 𝒄
EXERCICE
Convertir le débit de 6 l/min dans les unités du système international
(Concours 2013-2014)
Résolution
6 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑒𝑠 6.10−3 𝑚3
=
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒 60 𝑠
6.10−3 𝑚3
= 6.10 𝑠
6
= 6 . 10−3−1 𝑚3 /𝑠
= 10−4 𝑚3 /𝑠
𝑹) 𝒃
133 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE
2𝜋
Le mouvement d’un mobile vaut 𝑥 = 5 𝑠𝑖𝑛 (2𝑡 + ) avec x donné en cm, t en seconde.
2
Que vaut la pulsation du mouvement ?
(Concours 2013-2014)
Résolution
2𝜋
𝑥 = 5 𝑠𝑖𝑛 (2𝑡 + )
2
𝑹) 𝒂
EXERCICE
Pour un mobile en mouvement rectiligne uniformément varié la grandeur suivante est
constante
(Concours 2013-2014)
(Concours 2016-2017)
Résolution
𝑹) 𝒃
EXERCICE
Un piéton parcourt 4,32 km en 1 heure. Quelle est sa vitesse moyenne :
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑥 = 4,32 𝑘𝑚 = 4 320 𝑚
𝑡 = 1ℎ = 3600 𝑠
134 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑥
𝑣= 𝑡
4320
= 3600
𝑣 = 1, 2 𝑚/𝑠 ou 𝑣 = 12 𝑑𝑚/𝑠
𝑹) 𝒃
EXERCICE
Un mobile animé d’un mouvement rectiligne uniforme parcourt 2 m au temps t=3s.
L’équation horaire du mouvement de ce mobile vaut ?
(Concours 2015-2016)
Résolution
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡
Au 𝑡 = 3 𝑠, 𝑥 = 2 𝑚
𝑥
𝑣= 𝑡
2
=3
𝑣 = 2⁄3 𝑚/𝑠
2
L’équation horaire est : 𝑥 = 3 𝑡
𝑹) 𝒆
EXERCICE
L’équation de mouvement d’un mobile vaut 𝑥 = 5 sin 2𝑡 ; sa vitesse au temps 𝑡 = 𝜋𝑠
vaut :
(Concours 2015-2016)
Résolution
𝑥 = 5 sin 2𝑡
135 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑡 = 𝜋𝑠
𝑑𝑥
𝑣(𝑡) = 𝑑𝑡
= (5 sin 2𝑡)′
= 5 (2𝑡)′ cos 2𝑡
= 5(2) cos 2𝑡
𝑣(𝑡) = 10 cos 2𝑡
Au temps 𝑡 = 𝜋𝑠
𝑣 = 10 cos 2𝜋
= 10 × (1)
𝑣 = 10 𝑚/𝑠
𝑹) 𝒅
EXERCICE
La vitesse de croisière d’un grand avion est de 1200 km/h. Cette vitesse vaut :
(Concours 2016-2017)
Résolution
1200 𝑘𝑚 1200 ×1000 𝑚
=
ℎ 3600 𝑠
1 200 000 𝑚
=
3 600 𝑠
= 333,33 𝑚/𝑠
𝑹) 𝒃
EXERCICE
Avec quelle unité est exprimée l’accélération
𝑎) 𝑚2 𝑠 −1 𝑏) 𝑚𝑠 −2 𝑐) 𝑚2 𝑠 −2 𝑑) 𝑚𝑠 −1 𝑒) 𝑚2 𝑠
(Concours 2016-2017)
136 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Résolution
𝑹) 𝒃
EXERCICE
Un corps solide de masse m=1kg tombe pendant une durée d’une seconde. Que vaut
la variation de la vitesse si 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠 2
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑡 =1𝑠
𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠 2
𝑣 = 𝑣𝑂 + 𝑔𝑡
𝑣 − 𝑣0 = 𝑔𝑡
= 9,8 × 1
𝑣 − 𝑣0 = 9,8 𝑚/𝑠
𝑹) 𝒄
137 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE II : DYNAMIQUE
F= 𝑚. 𝑎
Le travail de la pesanteur 𝑊 = 𝐹. ℎ
𝑊
La puissance 𝑃 = (en Watt)
𝑡
EXERCICE
Si une force de 20 N donne à une masse m1, une accélération de 3 𝑚/𝑠 2 et une masse
m2, une accélération de 4 𝑚/𝑠 2 . L’accélération produite par cette force sur une masse
de m1+m2 vaut :
(Concours 2009-2010)
Résolution
𝐹 = 20 𝑁 et 𝐹 = 𝑚. 𝑎
𝐹
𝑎1 = 3 𝑚/𝑠 2 ⇒ 𝑚1 =
𝑎1
20
= 3
𝑚1 = 20⁄3 𝑘𝑔
𝐹
𝑎2 = 4 𝑚/𝑠 2 ⇒ 𝑚2 = 𝑎
2
20
= 4
𝑚1 = 5 𝑘𝑔
20
𝑚1 + 𝑚2 = +5
3
138 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
20+15
= 3
𝑚1 + 𝑚2 = 35⁄3 𝑘𝑔
𝐹
𝑎 = 𝑚1+𝑚2
20
= 35⁄
3
3
= 20 × 35
60
= 35
𝑎 = 1,71 𝑚/𝑠 2
𝑹) 𝒂
EXERCICE
Trouver la force qui agit sur une masse de 60 kg pour que sa vitesse change de 10m/s
à 20 m/s en 5 secondes
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑚 = 60 𝑘𝑔
𝑣0 = 10 𝑚/𝑠
𝑣 = 20 𝑚/𝑠
𝑡 =5𝑠
𝐹 = 𝑚. 𝑎
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
20 = 10 + 5𝑎
⇔ 20 − 10 = 5𝑎
⇔ 10 = 5𝑎
⇔ 𝑎 = 10⁄2
139 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑎 = 2 𝑚/𝑠 2
𝐹 = 60 × 2
𝐹 = 120 𝑁
𝑹) 𝒃
EXERCICE
Trouver la force qui agit sur une masse de 60kg pour que sa vitesse change de 20 m/s
à 10m/s sur un parcours de 25m
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑚 = 60 𝑘𝑔
𝑣0 = 20 𝑚/𝑠
𝑣 = 10 𝑚/𝑠
𝑥 = 25 𝑚
𝐹 = 𝑚. 𝑎
𝑣02 − 𝑣 2 = 2𝑎𝑥
400 − 100 = 50 𝑎
300 = 50𝑎
300
𝑎= 50
𝑎 = 6 𝑚/𝑠 2
𝐹 = 60 × 6
𝐹 = 360 𝑁
𝑹) 𝒆
140 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE III : THERMODYNAMIQUE
La thermodynamique a pour objet l’étude des transformations d’énergie sous toutes
ses formes, en particulier les transformations de la chaleur en travail mécanique et
vice-versa.
𝑡 °𝐶 = (𝑡 ° 𝐶 + 273) °𝐾 𝑡 °𝐾 = (𝑡 ° 𝐾 − 273) °𝐶
9 5
𝑡 °𝐶 = (𝑡 °𝐶 × 5 + 32) °𝐹 𝑡 °𝐹 = (𝑡 °𝐹 − 32) × 9 °𝐶
9 4
𝑡 °𝑅 = (𝑡 °𝑅 × 4 + 32) °𝐹 𝑡 °𝐹 = (𝑡 °𝐹 − 32) × 9 °𝑅
EXERCICE
On donne la température en Celsius 37°C. La température correspondant en Kelvin
vaut :
(Concours 2011-2012)
Résolution
= 310 °𝐾
𝑹) 𝒃
141 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE
Pour que température les thermomètres °F et °C marquent-elles le même nombre de
degrés ?
𝑎) − 20 𝑏) 40 𝑐) 35 𝑑) − 40 𝑒) 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟é𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒
(Concours 2011-2012)
Résolution
9 5
On sait que 𝑡 °𝐶 = (𝑡 °𝐶 × 5 + 32) °𝐹 𝑒𝑡 𝑡 °𝐹 = (𝑡 °𝐹 − 32) × 9 °𝐶
9 5
On a : 𝑡 × 5 + 32 = (𝑡 − 32) × 9
9𝑡 5𝑡 160
⇔ + 32 = −
5 9 9
9𝑡 5𝑡 −160
⇔ − = − 32
5 9 9
81𝑡−25𝑡 −160−288
⇔ =
45 9
56𝑡 −448
⇔ =
45 9
⇔ 9(56𝑡) = 45(−448)
⇔ 𝑡 = −40
𝑹) 𝒅
EXERCICE
On donne la t° en Celsius 37°. La température correspondante en échelle fahrenheit
vaut :
(Concours 2011-2012)
Résolution
9
On sait que 𝑡 °𝐶 = (𝑡 °𝐶 × 5 + 32) °𝐹
142 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
9
37° 𝐶 = (37 × 5 + 32) °𝐹
333
=( + 32) °𝐹
5
= (66,6 + 32) °𝐹
37° 𝐶 = 98,6 °𝐹
𝑹) 𝒄
EXERCICE
On donne la température en Celsius 17°C. La température correspondant en Kelvin
vaut :
(Concours 2011-2012)
Résolution
= 290 °𝐾
𝑹) 𝒅
III.2. DILATATION
𝑙: Longueur du solide à 0° 𝐶
∆𝑙 = 𝑙 ′ − 𝑙 ∆𝑙: Allongement
𝑙 ′ = 𝑙(1+∝ ∆𝑇)
∆𝑙 𝑙′ −𝑙
∝= =
𝑙 ∆𝑇 𝑙 ∆𝑇
143 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
III.2.2. Dilatation surfacique
𝐴′ = 𝐴 + ∆𝐴
∆𝐴 = 2𝛼 𝐴 ∆ 𝑇
𝐴′ = 𝐴(1 + 2 ∝ ∆𝑇)
∆𝑉 = 𝛽 𝑉 ∆𝑇
∆𝑉 = 𝑉 ′ − 𝑉
∆𝑉 = 3𝛼 𝑉 ∆𝑇
𝛽 = 3𝛼
144 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE IV : MECANIQUE DES FLUIDES
IV.1. INTRODUCTION
Un fluide est un état de la matière dans lequel un corps peut s’écouler, changer de
former et épouser celle de son contenant. Les gaz sont expansibles car ils ont tendance
à occuper tout le volume qu’on leur offre.
La statique des fluides est l’étude des fluides au repos. Un fluide est considéré au repos
lorsque chacun des éléments qui le composent a une vitesse nulle.
𝑀
• Masse volumique : 𝜌 = M : masse et V : volume (Unité 𝑘𝑔/𝑚3 )
𝑉
• Densité : représente le rapport entre la masse volumique 𝜌 d’une substance et
la masse volumique 𝜌0 d’une substance de référence
𝜌
𝑑=𝜌
0
𝐹
• Pression = 𝑆
F : la force et S : la surface
𝑃1 𝑉1 = 𝑃2 𝑉2
145 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE
Pour un gaz parfait maintenu à 50°C, si on triple le volume, alors la pression :
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑃1 𝑉1 = 𝑃2 𝑉2 (1)
𝑉2 = 3 𝑉1 (2)
⇔ 3 𝑃2 𝑉1 = 𝑃1 𝑉1
𝑃1 𝑉1
⇔ 𝑃2 = 3𝑉1
𝑃1
⇔ 𝑃2 = 3
𝑹) 𝒄
EXERCICE
La loi de Boyle Mariotte PV=constant n’est vraie que si le gaz parfait est maintenu à :
(Concours 2010-2011)
Résolution
𝑹) 𝒄
146 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE V : ELECTRICITE
V.1. ELECTROSTATIQUE
V.1.1. Force coulombienne
𝑞.𝑞′
𝐹 = 9. 109 𝑟2
F : la force en N, q : la charge en C
𝐹 = 𝑞. 𝐸
Les lignes de champs créées par une charge négative s’orientent vers elle, tandis que
celles créées par une charge positive s’éloignent d’elle.
1 𝑆
𝐶 = 9.109 . 4𝜋 𝑑 S : la surface
147 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
1
Energie d’un condensateur 𝐸 = 2 𝐶. 𝑉 2
En parallèle :
𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉𝑒 et 𝑄𝑒 = 𝑄1 + 𝑄2
𝐶𝑒 = 𝐶1 + 𝐶2
En série :
𝑄1 = 𝑄2 = 𝑄𝑒 et 𝑉𝑒 = 𝑉1 + 𝑉2
1 1 1
=𝐶 +𝐶
𝐶𝑒 1 2
V.2. ELECTRODYNAMIQUE
𝑉
L’intensité du courant : 𝐼 = 𝑅
𝑊 = 𝑉. 𝐼. 𝑡
𝑤
𝑃= = 𝑉. 𝐼 = 𝑅. 𝐼 2
𝑡
𝑊 = 𝑅. 𝐼 2 . 𝑡
1 kWh=36.105 𝑗
R : résistance en Ω l : la longueur en m
𝜌: 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡é 𝑒𝑛 Ω𝑚 S : section en 𝑚2
En série :
𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2
1 1 1
En parallèle : =𝑅 +𝑅
𝑅 1 2
148 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE
La puissance dégagée par un réchaud est de 1000 W. Que vaut sa résistance si celle-ci
est alimentée par un courant de 10A ?
𝑎) 100 Ω 𝑏) 1 Ω 𝑐) 0,1 Ω 𝑑) 10 Ω e) 3Ω
(Concours 2009-2010)
Résolution
𝑃 = 1000 𝑊
𝐼 = 10 𝐴
𝑃 = 𝑅 𝐼2
𝑃
𝑅=
𝐼2
1000
= (10)2
1000
= 100
𝑅 = 10 Ω
𝑹) 𝒅
EXERCICE
La puissance dégagée par un réchaud est de 1000 W. Que vaut sa résistance si celle-ci
est alimentée par un courant de 10A ?
𝑎) 100 Ω 𝑏) 1 𝐾Ω 𝑐) 10 Ω 𝑑) 3 Ω e) 1Ω
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑃 = 1000 𝑊
𝐼 = 10 𝐴
𝑃 = 𝑅 𝐼2
𝑃
𝑅 = 𝐼2
1000
= (10)2
149 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
1000
= 100
𝑅 = 10 Ω
𝑹) 𝒄
150 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE VI : COMPLEMENTS
EXERCICE
Dans le système international :
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑹) 𝒅
EXERCICE
Dans le système international, quelle est l’assertion qui est vraie
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑹) 𝒄
EXERCICE
Quelle est la masse volumique de l’eau dans les conditions normales de t° et de
pression en S.I.
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑹) 𝒄
151 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE
Parmi les unités suivantes, laquelle mesure la pression :
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑹) 𝒃
EXERCICE
Quelle est la masse volumique de l’eau dans le S.I.
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑹) 𝒅
EXERCICE
Parmi les propositions suivantes laquelle est juste :
(Concours 2013-2014)
Résolution
𝑹) 𝒃
152 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
TROISIÈME
PARTIE :
CHIMIE
153 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE I : NOTIONS
FONDAMENTALES
154 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE II : CHIMIE ORGANIQUE
II.1 LES HYDROCARBURES
Un hydrocarbure est un composé organique contenant exclusivement des atomes de
carbone (C) et d'hydrogène (H). Ils possèdent en conséquence une formule brute de
type : 𝐶𝑛 𝐻𝑚 , où n et m sont deux entiers naturels.
Exemple : 𝐶𝐻4 ; 𝐶2 𝐻6
Si tous les carbones sont placés les uns à la suite des autres sur un même ligne, on dit
que l'alcane est linéaire.
Si tous les atomes de carbone ne font pas partie d’une même chaine, on dit que l’alcane
est ramifié.
La chaine qui possède plus de carbone est appelée chaine principale. Pour notre
exemple, nous avons trois chaines :
155 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
La deuxième chaine a 6 carbones
Pour nommer les alcanes linéaires, les noms sont composés d’un préfixe (selon le
nombre d’atome de carbone, suivi d’une terminaison ane.
156 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
II.1.2 Les alcènes
Ce sont des hydrocarbures acycliques (chaîne carbonée ouverte), possédant une
double liaison carbone-carbone (𝐶 = 𝐶).
Exemple : 𝐶3 𝐻6
La nomenclature des alcènes (formule brute) est identique à celle des alcanes, on
remplace ane des alcanes par ène.
Dans le cas de la formule semi développée (avec ramification), la chaine principale doit
contenir la double liaison. Mais une molécule qui a plusieurs liaisons doubles n’est pas
un alcène.
Exemple
Pent-2-
157 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
II.1.3. Les alcynes
Les alcynes sont des hydrocarbures possédant une insaturation caractérisée par la
présence d’une triple liaison carbone-carbone.
Exemple : 𝐶2 𝐻2 ; 𝐶3 𝐻4
Les alcynes se nomment de la même façon que les alcènes en remplaçant la terminaison
ène par yne.
Exemple : 𝐶𝐻3
Les alkyles sont nommés à partir de l'alcane correspondant, le suffixe -ane étant
remplacé par le suffixe -yle (ou -yl si l'alkyle n'est pas en dernière position dans le nom
du composé.
EXERCICE
La formule suivante est celle du :
a) Triméthyl-2,2,5-héxanol-3 b) Méthyl-2-diméthyl-5,5-héxanol-4
c) Diméthyl-méthyl-2-héxanol-4 d) Méthyl-2-méthyl-5-heptanol-3
e) Ethyl-1-diméthyl-4-proponol-4 f) Méthyl-2-diméthyl-5-heptanol-4
(Concours 2016-2017)
Résolution
158 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Premièrement : identifions la chaine carbonée principale : la plus longue comportant
le groupe caractéristique :
On constate que toutes les chaines ont le même nombre de carbones, on choisit comme
chaine principale, celle en jaune :
Ensuite, on numérote les atomes de carbone de la chaine principale de telle sorte que
celui qui porte le groupe caractéristique ait le numéro le plus petit possible : on a deux
choix : numérotation à partir de la droite ou de la gauche :
Le groupe caractéristique est le groupe hydroxyle et est porté par le carbone qui se
trouve à la 3e position, le nom devient : hexan-3-ol
159 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
D’où le nom complet est :
2,2,5-triméthyl hexan-3-ol
EXERCICE
Combien y-a-t-il d’isomères du pentane 𝐶5 𝐻12
𝑎) 2 𝑏) 4 𝑐) 1 𝑑) 6 𝑒) 2 𝑓) 5 𝑔) 7 ℎ) 8 𝑖) 3
(Concours 2010-2011)
Résolution
𝑹) 𝒊
EXERCICE
Combien y-a-t-il d’isomères de l’hexane 𝐶6 𝐻14
𝑎) 3 𝑏) 5 𝑐) 7 𝑑) 6 𝑒) 12 𝑓)4
(Concours 2013-2014)
Résolution
𝑹) 𝒃
EXERCICE
Le nombre d’isomères de l’heptane est de :
𝑜) 99 𝑝) 40 𝑞) 4743
(Concours 2015-2016)
Résolution
𝑹) 𝒊
160 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE III : ATOMISTIQUE
III.1 STRUCTURE ELECTRONIQUE DE L’ATOME
EXERCICE
La longueur d’onde de la raie d’émission de l’hydrogène qui correspond à la transition
𝑛𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 = 3 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑛𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 2 (série de Balmer) est de :
(On donne les valeurs suivantes : 𝑅𝐻 = 109678 𝑐𝑚−1 ; 1𝑐𝑚 = 107 𝑛𝑚)
(Concours 2010-2011)
Résolution
𝑅𝐻 = 109678 𝑐𝑚−1 𝑛2 = 3 𝑛1 = 2
1 1 1
= 𝑅𝐻 (𝑛2 − 𝑛2 )
𝜆 1 2
1 1
= 109678 (22 − 32 )
1 1
= 109678 (4 − 9)
= 109678(0,25 − 0,111111111)
= 109678 (0,1388888888)
= 15233,05555555555
1
= 15233,05555555555
𝜆
1
⇔ 𝜆 = 15233,05555555555
= 6,564671128 . 10−5 𝑐𝑚
= 6,564671128 . 10−5+7 𝑛𝑚
= 6,564671128. 102 𝑛𝑚
𝜆 = 656,4671128 𝑛𝑚
161 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝜆 ≅ 656 𝑛𝑚
𝑹) 𝒇
EXERCICE
La longueur d’onde de la raie d’émission de l’hydrogène qui correspond à la transition
𝑛𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 = 4 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑛𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 2 (série de Balmer) est de :
(On donne les valeurs suivantes : 𝑅𝐻 = 109678 𝑐𝑚−1 ; 1𝑐𝑚 = 107 𝑛𝑚)
(Concours 2012-2013)
Résolution
𝑅𝐻 = 109678 𝑐𝑚−1 𝑛2 = 4 𝑛1 = 2
1 1 1
= 𝑅𝐻 (𝑛2 − 𝑛2 )
𝜆 1 2
1 1
= 109678 (22 − 42 )
1 1
= 109678 (4 − 16)
= 109678(0,25 − 0,0625)
= 109678 (0,1875)
= 20564,625
1
= 20564,625
𝜆
1
⇔ 𝜆 = 20564,625
= 4,8627193542308 . 10−5 𝑐𝑚
= 4,8627193542308 . 10−5+7 𝑛𝑚
= 4,8627193542308. 102 𝑛𝑚
𝜆 = 486,27193542308 𝑛𝑚
162 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝜆 ≅ 486,0 𝑛𝑚
𝑹) 𝒇
1 𝑠 → 2 𝑠 → 2𝑝 → 3𝑠 → 3𝑝 → 4𝑠 → 3𝑑 → 4𝑝 → 5𝑠 → 4𝑑 → 5𝑝 → 6𝑠 → 4𝑓 → 5𝑑 → 6𝑝 → 7𝑠 …
𝑠 = 2 é𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠
𝑝 = 6 é𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠
𝑑 = 10 é𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠
𝑓 = 14 é𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠
EXERCICE
La configuration électronique de l’ion chlorure (Z=17) :
(Concours 2010-2011)
Résolution
La première couche ne peut que contenir que deux électrons : 1𝑠 2 : il reste 16 électrons
163 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
𝑹) 𝒅
EXERCICE
La configuration électronique de Phosphore (Z=15) :
(Concours 2011-2012)
Résolution
𝑍 = 15,
La première couche ne peut que contenir que deux électrons : 1𝑠 2 : il reste 13 électrons
𝑹) 𝒅
164 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE IV : CHIMIE NUCLEAIRE
IV. CONSTITUTION DU NOYAU
Le noyau est formé de deux types de particules élémentaires ou nucléons : le proton et
le neutron.
Le proton a une charge +e égale et de signe opposé à celle de l’électron. Sa masse est
celle du noyau de l’hydrogène.
𝑞𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜𝑛 = +𝑒 = +1,602.10−19 𝐶
Le neutron est une particule non chargée, sa masse est légèrement supérieure à celle
du proton.
𝑚𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛 = 1,674954.10−27 𝐾𝑔
N : nombre de neutrons
Deux isotopes sont deux éléments qui possèdent le même nombre de protons (Z) mais
un nombre de neutrons différent (N).
Les isomères sont des éléments ayant même formule brute mais des formules
développées différentes.
Les isobares sont des nucléides possédant le même nombre de masse (même valeur
de A). Ces nucléides possèdent par conséquent des nombres de neutrons et de protons
différents (valeurs de N et de Z différentes).
165 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Deux atomes sont dits isotones lorsqu'ils possèdent un nombre de neutrons (N)
identique mais un nombre de protons différent (Z).
EXERCICE
Les nucléides suivants 63 63
29𝐶𝑢 𝑒𝑡 30𝑍𝑛 sont des :
(Concours 2010-2011)
Résolution
63 63
29𝐶𝑢 30𝑍𝑛
𝑍 = 29 𝐴 = 63 𝑍 = 30 𝐴 = 63
𝑁 = 𝐴 − 𝑍 = 63 − 29 = 34 𝑁 = 𝐴 − 𝑍 = 63 − 30 = 33
𝑹) 𝒃
EXERCICE
Les nucléides suivants 40 41
18𝐴𝑟 𝑒𝑡 19𝐾 sont des :
(Concours 2011-2012)
Résolution
40 41
18𝐴𝑟 19𝐾
𝑍 = 18 𝐴 = 40 𝑍 = 19 𝐴 = 41
𝑁 = 𝐴 − 𝑍 = 40 − 18 = 22 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠 𝑁 = 𝐴 − 𝑍 = 41 − 19 = 22 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠
Ce sont des isotones (même nombre de neutrons (N) mais des Z différents)
𝑹) 𝒃
EXERCICE
Parmi les nucléides suivants : 43 40 40 42 41 43
19𝐾 , 18𝐴𝑟 , 21𝑆𝑐 , 21𝑆𝑐 , 19𝐾 , 20𝐶𝑎 , les isotones sont :
𝑎) 43 40
19𝐾 𝑒𝑡 21𝑆𝑐 𝑏)
43
19𝐾 𝑒𝑡 40 40 41 43
18𝐴𝑟 𝑐) 18𝐴𝑟 𝑒𝑡 19𝐾 𝑑) 19𝐾 𝑒𝑡
43
20𝐶𝑎 𝑒) 43 41
19𝐾 𝑒𝑡 19𝐾
(Concours 2012-2013)
166 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Résolution
Pour 43
19𝐾 Pour 40
18𝐴𝑟
𝑍 = 19 𝐴 = 43 𝑍 = 18 𝐴 = 40
𝑁 = 𝐴 − 𝑍 = 43 − 19 = 24 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠 𝑁 = 𝐴 − 𝑍 = 40 − 18 = 22 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠
Pour 40
21𝑆𝑐 Pour 42
21𝑆𝑐
𝑍 = 21 𝐴 = 40 𝑍 = 21 𝐴 = 42
𝑁 = 𝐴 − 𝑍 = 40 − 21 = 19 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠 𝑁 = 𝐴 − 𝑍 = 42 − 21 = 21 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠
Pour 41
19𝐾 Pour 43
20𝐶𝑎
𝑍 = 19 𝐴 = 41 𝑍 = 20 𝐴 = 43
𝑁 = 𝐴 − 𝑍 = 41 − 19 = 22 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠 𝑁 = 𝐴 − 𝑍 = 43 − 20 = 23 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠
𝑹) 𝒄
EXERCICE
209 40 40 42 208 63 62 41
Parmi les nucléides suivants : 83𝐵𝑖 , 18𝐴𝑟 , 21𝑆𝑐 , 21𝑆𝑐 , 82𝑃𝑏 , 29𝐶𝑢 , 29𝐶𝑢 , 19𝐾 les
isobares sont :
𝑎) 40 40 209 208
18𝐴𝑟 𝑒𝑡 21𝑆𝑐 𝑏) 83𝐵𝑖 𝑒𝑡 82𝑃𝑏 𝑐) 40
18𝐴𝑟 𝑒𝑡
41
19𝐾 𝑑) 62 63
29𝐶𝑢 𝑒𝑡 29𝐶𝑢
(Concours 2013-2014)
Résolution
Les isobares ont même nombre de masse (A) mais des Z différents.
𝑹) 𝒂
EXERCICE
Les nucléides suivants 40 41
18𝐴𝑟 𝑒𝑡 19𝐾 sont des :
(Concours 2014-2015)
167 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
Résolution
40 41
18𝐴𝑟 19𝐾
𝑍 = 18 𝐴 = 40 𝑍 = 19 𝐴 = 41
𝑁 = 𝐴 − 𝑍 = 40 − 18 = 22 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠 𝑁 = 𝐴 − 𝑍 = 41 − 19 = 22 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠
Ce sont des isotones (même nombre de neutrons (N) mais des Z différents)
𝑹) 𝒆
168 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
QUATRIÈME
PARTIE :
BIOLOGIE
169 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE I : COMPOSITION CHIMIQUE
DE LA MATIERE VIVANTE
I.1 INTRODUCTION
La matière vivante est composée d’un ensemble de molécules plus ou moins
complexes, elles-mêmes constituées d’atomes qui interagissent entre eux par des
liaisons covalentes.
Les composés chimiques qui participent aux métabolismes cellulaires sont catégorisés
en deux grands groupes : les composés minéraux ou inorganiques et les composés
organiques.
I.2.1 L’eau
Substance liquide, transparente, inodore, incolore, composée de deux atomes
d’hydrogène et d’un atome oxygène. Substance indispensable au bon fonctionnement
de l’organisme, l’eau représente le principal élément constitutif des cellules, tissus et
organes du corps humain.
• L’eau liée ou eau de constitution : assure la liaison des molécules entre elles et
représente 3 à 4%. Elle se retrouve dans les os, les sucres [Cn(H2O)n], les
protéines…
• L’eau d’imbibition ou eau de remplissage : constituant le liquide colloïdal de
la cellule et représentant 20% de l’eau cellulaire.
170 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
• L’eau libre : circulant entre les structures vivantes de la cellule et couvrant 76 à
77% de l’eau cellulaire.
C’est grâce à la photosynthèse que le carbone présent dans l’air sous forme
inorganique (CO2, gaz à effet de serre) est capté par les végétaux et transformé en
matière organique. C’est cette forme organique qui permet aux herbivores de fabriquer
les sucres, les lipides et les protéines qui les constituent.
Les glucides, communément appelés « sucres », sont des composés organiques dont
l’analyse élémentaire révèle la présence de trois bioéléments : C, H, O (composés
organiques ternaires ou tertiaires) ; quelques fois, on rencontre N, notamment dans les
sucres aminés ou osamines.
Ils sont produits par les plantes vertes et par certaines bactéries, via le procédé de
photosynthèse. En effet, ces dernières fixent le gaz carbonique de l’air et synthétisent
les glucides en utilisant l’énergie solaire.
171 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
I.3.1.1 Les monosaccharides (les oses ou sucres simples
Sucres simples, solubles dans l’eau et se présentant sous forme de cristaux, pourvus
d’une saveur sucrée. Quantitativement, ce sont les plus énergétiques de substances
nutritives et, forment les monomères ou biomolécules des sucres complexes.
I.3.1.1.1 Glucose
Encore appelé « sucre de raisin », le glucose est présent dans le miel, dans le jus de
nombreux fruits, ainsi que dans les grains de raisin.
• Il joue un rôle fondamental car tous les glucides alimentaires sont absorbés
sous forme de glucose ou convertis en glucose dans le foie.
Sa concentration normale dans le sang est appelée glycémie (0,70 et 0,90g/l), tandis
que sa présence anormale dans les urines des diabétiques est qualifiée de glycosurie.
I.3.1.1.2. Fructose
C’est le plus sucré de tous les sucres naturels (pouvoir sucrant : 173), présent dans les
fruits, le miel, le sperme des mammifères et la laitance des poissons. Il constitue, avec
le glucose, le produit de la digestion du saccharose.
172 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
I.3.1.2.1 Holosides
Les holosides complexes sont des sucres complexes (poly holosides ou poly
saccharides), de poids moléculaire élevé, et présents, pour la plupart, à l’état naturel.
Par hydrolyse enzymatique ou acide, ils libèrent des monosaccharides, des dérivés
simples de monosaccharides, ou les deux à la fois. Ils se distinguent entre eux par : la
nature de leur motif monomère, la longueur de leur chaîne et leur degré de
ramification.
I.3.1.2.2. Hétérosides
a) Saccharose
Encore appelé « sucre de canne », c’est le sucre de table ordinaire, extrait de la betterave
sucrière et de la canne à sucre. Soluble dans l’eau, et dans une moindre mesure, dans
l’alcool et dans l’éther, il fournit, par hydrolyse enzymatique un mélange de glucose
et de fructose. Le mélange obtenu est appelé sucre inverti, et le processus
correspondant inversion. Cette dernière s’effectue dans l’intestin des êtres humains à
l’aide de deux enzymes : l’invertase et la sucrase. Chauffé à des températures
supérieures à 180°C, le saccharose se transforme en une substance amorphe, brune et
sirupeuse, appelée caramel. Son obtention en quantité industrielle est appelée
saccharification
173 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
b) Maltose
C’est un sucre réducteur, formé par le mélange de deux molécules de glucose. Il doit
son au malt, farine grossière obtenue en concassant des grains d’orge germés, puis
desséchés. Sucre facilement digestible, le maltose est utilisé pour préparer les aliments
pour nourrissons, comme la farine lactée et des boissons. Il fermente directement sous
l’influence de la levure de bière, et produit de l’alcool et du gaz carbonique.
c) Lactose
C’est le sucre présent dans le lait, et dont l’hydrolyse fournit du galactose et du
glucose. Moins soluble dans l’eau que dans le saccharose ou le glucose, il fermente en
acide lactique en présence de certaines enzymes. Elément important dans la nourriture
des mammifères, il est souvent ajouté aux aliments des bébés, et, également utilisé en
confiserie et dans les comprimés pharmaceutiques.
d) Amidon
C’est un homopolysaccharide (homoglycane) exclusivement constitué de molécules de
glucose, et se présentant sous forme d’un composé blanc, inodore, insipide, d’aspect
granuleux ou poudreux. Abondant dans les graines des céréales, les bulbes et les
tubercules, il constitue une partie des membranes cellulaires végétales, une partie des
fibres végétales rigides, et est utilisé comme source d’énergie pour les végétaux.
Pratiquement insoluble dans l’eau froide et dans l’alcool, formant une suspension
colloïdale dans l’eau bouillante, il se décompose, en présence d’eau chaude, en
molécules de plus petite taille appelées dextrines. Son hydrolyse totale (par les acides
minéraux) fournit le glucose, tandis que son hydrolyse partielle (par une enzyme :
l’amylase), fournit du maltose.
e) Glycogène
Considéré comme l’ « amidon animal », le glycogène est une molécule de réserve
énergétique, fabriquée dans le foie et stockée dans le foie et dans les muscles.
Exclusivement constitué des molécules de glucose, il possède plus de ramifications
que l’amidon, et est soluble dans l’eau froide. Son hydrolyse, qui a lieu grâce aux
amylases salivaires et pancréatiques, fournit du maltose et du glucose.
f) Cellulose
174 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
I.3.1.3. Importance des glucides
1. Rôle énergétique
40 à 50% des calories apportées par l’alimentation humaine sont des glucides (1g
Glucides= 4,04 Kcal= 17Kj). Ils ont un rôle de réserve énergétique dans le foie et les
muscles (glycogène).
2. Rôle structural
3. Rôle économique
EXERCICE
Lequel des termes de cette liste incluent tous les autres ?
(Concours 2009-2010)
(Concours 2012-2013)
Résolution
𝑹) 𝒅
EXERCICE
Un bon nombre de fruits ont un goût sucré quand on le mange. Quel est l’élément
(constitutif) supposé être en grande quantité dans les sucres (oses) contenus dans les
fruits ?
175 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
(Concours 2012-2013)
Résolution
𝑹) 𝒆
EXERCICE
Dans la constitution du corps de l’homme normal jeune, quel est l’élément constitutif
du corps le plus important, quantitativement parlant ?
EXERCICE
La matière vivante est composée essentiellement de :
EXERCICE
Indiquez la réponse correcte. Parmi les glucides suivants, un seul peut être considéré
comme une forme de réserve énergétique pour la cellule animale
176 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
I.3.2 Les lipides
Les lipides sont des substances chimiques présentes dans tous les organismes vivants,
constituants principaux des corps gras alimentaires et du tissu adipeux de l’organisme.
L’analyse élémentaire montre qu’ils sont constitués de C, H, O (corps ternaires) ; et,
dans certains cas, on a mis en évidence la présence du S et du P, voire de N.
Contrairement aux glucides, et dans une moindre mesure aux protéines, les lipides
sont insolubles dans l’eau, mais solubles dans les solvants organiques tels que l’éther,
l’acétone, le mélange chloroforme-alcool…, laissant une tache translucide sur le papier
et qui ne disparaît pas à chaud.
Ils forment un groupe très hétérogène des composés dont les structures sont très
différentes. En effet, ce sont des matières organiques formées par la combinaison
d’alcools et d’acides gras
Ce sont des composés organiques capables de fournir des savons (sels d’acides gras)
après hydrolyse alcaline.
Ils sont divisés en deux groupes : les lipides simples et les lipides complexes.
177 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
b) Stérides ou ESTERS DE STEROL
On les trouve dans les lipoprotéines, dans le sang où ils circulent à une concentration
de 2g/l.
c) Les cérides
Ce sont des esters d’alcools gras et d’acides gras Insolubles dans l’eau, ils ont un point
de fusion situé entre 60°C et 100°C. Jouant un rôle d’imperméabilisation, ils forment la
majeure partie des cires animales et végétales.
Ce sont principalement les lipides phosphorés, les lipides azotés et les lipides soufrés.
178 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
b) Lipides azotés
Ce sont les sphingolipides, porteurs d’un squelette carboné : la sphingosine. Ils sont
présents en quantités particulièrement importantes dans le cerveau et le tissu nerveux.
Ils renferment trois constituants fondamentaux
• Une extrémité polaire qui peut, dans quelques cas, être de grande taille et très
complexe
Stockage d’énergie métabolique : l’oxydation complète des acides gras fournit plus
d’énergie, sous forme d’ATP, que celle des glucides et des protéines (1g Glucides=1g
Protéines= 4,04Kcal). En effet 1gLipides=9,04Kcal.
Les triglycérides stockés dans les tissus adipeux est la principale forme d’énergie chez
les animaux et les plantes.
Les oiseaux migrateurs utilisent les triglycérides comme carburant pour assurer leurs
vols à longue distance.
Rôle de messager : certains lipides, notamment les diacyl glycérols et les céramides
(sphingolipides) sont des médiateurs cellulaires ; les prostaglandines sont impliquées
dans les phénomènes inflammatoires ; les hormones stéroïdiennes (androgènes,
œstrogènes et progestérone) sont des hormones sexuelles.
Rôles particuliers :
• Précurseurs des vitamines liposolubles : A(vision) ; D (ossification et
croissance) ; E (antioxydant); K (coagulation sanguine)..
• Propriétés organoleptiques des aliments : ils contribuent à la texture des
aliments, à leur palatabilité, leur donnant un goût agréable, et possèdent un
fort indice de satiété.
• Fluidité de la membrane par le cholestérol.
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I.3.3 Les Protides
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CHAPITRE II : CYCLE CELLULAIRE
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CHAPITRE III : LA REPRODUCTION
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Aimé DIUMI DIKOLO
CHAPITRE IV : LA GENETIQUE
183 | P a g e
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CINQUIÈME
PARTIE :
FRANÇAIS
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185 | P a g e
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BIBLIOGRAPHIES
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Table des matières
DEDICACE ............................................................................................................................. 2
REMIERCEMENTS.................................................................................................................. 3
INTRODUCTION .................................................................................................................. 4
PREMIÈRE PARTIE : MATHEMATIQUES GENERALES ..................................................... 5
CHAPITRE I : EQUATIONS ET INEQUATIONS ......................................................................... 6
I.1 Equation du premier degré à une inconnue .................................................................. 6
EXERCICE 1 ....................................................................................................................... 7
I.2 Equation réductible au premier degré ........................................................................... 7
I.2.1. Equation produit 𝐴. 𝐵. 𝐶 = 0 ..................................................................................... 7
I.2.2. Equations fractionnaires......................................................................................... 8
I.2.3. Equations contenant des valeurs absolues .............................................................. 9
EXERCICE 2 ......................................................................................................................10
I.3 Inéquations du premier degré à une inconnue......................................................11
I.3.1 Cas général ............................................................................................................11
I.3.2 Inéquations contenant des valeurs absolues ...........................................................13
EXERCICE 3 ......................................................................................................................14
I.4 Inéquations réductibles au premier degré ....................................................................14
I.4.1. Inéquations quotients 𝐴𝐵 <> 0 ..............................................................................14
I.4.2. Inéquations produits A.B <> 0 ...............................................................................15
I.5 Equation du second degré dans R ................................................................................16
I.6 Inéquation du second degré ...................................................................................17
EXERCICE 4 ......................................................................................................................20
EXERCICE 5 ......................................................................................................................20
EXERCICE 6 ......................................................................................................................21
EXERCICE 7 .....................................................................................................................22
EXERCICE 8 ......................................................................................................................23
EXERCICE 9 ......................................................................................................................24
EXERCICE 10 ....................................................................................................................24
I.7 Equations irrationnelles simples .................................................................................25
I.8 SYSTEME DE DEUX EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A DEUX INCONNUES ..............28
I.8.1 Méthode de substitution .....................................................................................28
I.8.2 Méthode de comparaison .................................................................................29
I.8.3 Méthode d’addition ...........................................................................................30
I.8.4 Méthode de Cramer...........................................................................................30
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Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 11 ....................................................................................................................32
EXERCICE 12 ....................................................................................................................33
I.9 EQUATIONS LOGARITHMIQUES ..................................................................................34
I.9.1 Rappel ..................................................................................................................34
I.9.2 Définition et Résolution .......................................................................................35
I.10 EQUATIONS EXPONENTIELLES ...................................................................................37
I.11 EXERCICES D’AUTO EVALUATION............................................................................40
CHAPITRE II : GENERALITES SUR LES FONCTIONS ...............................................................41
II.1 Produit cartésien de deux ensembles .....................................................................41
II.2. Relation d’un ensemble A vers un ensemble B .....................................................41
EXERCICE 13 ....................................................................................................................42
EXERCICE 14 ....................................................................................................................43
II.3 Fonction et application ............................................................................................43
EXERCICE 15 ....................................................................................................................44
EXERCICE 16 ....................................................................................................................44
EXERCICE 17 ....................................................................................................................45
II.4. DOMAINE DE DEFINITION D’UNE FONCTION ..........................................................45
II.4.1 Fonction polynôme ............................................................................................45
II.4.2 Fonction rationnelle (𝑓𝑥 = ℎ(𝑥)𝑔(𝑥) ) ................................................................45
II.4.3 Fonction irrationnelle de la forme 𝑓𝑥 = 𝑛𝑡(𝑥) ...................................................46
II.4.4 Fonction irrationnelle de la forme 𝑓𝑥 = 𝑛ℎ(𝑥)𝑔(𝑥) ...........................................47
II.4.5 Fonction irrationnelle de la forme 𝑓𝑥 = ℎ(𝑥)𝑛𝑔(𝑥) ...........................................48
II.4.6 Fonction irrationnelle de la forme 𝑓𝑥=𝑛ℎ(𝑥)𝑔(𝑥) ..............................................48
II.4.7 Fonction irrationnelle de la forme 𝑓𝑥=𝑛ℎ(𝑥)𝑚𝑔(𝑥) ...........................................49
EXERCICE 18 ....................................................................................................................51
II.5 PARITE D’UNE FONCTION ..........................................................................................52
EXERCICE 19 ....................................................................................................................54
II.6. FONCTION INJECTIVE, SURJECTIVE ET BIJECCTIVE ..................................................55
EXERCICE 20 ....................................................................................................................56
EXERCICE 21 ....................................................................................................................57
II.7. EXERCICES D’AUTO EVALUATION ............................................................................57
CHAPITRE III : LIMITES...........................................................................................................58
III. 1 Introduction .............................................................................................................58
III.2 Cas d’indétermination 00 ......................................................................................58
III.3 Cas d’indétermination ∞∞ ....................................................................................61
III.4 Cas d’indétermination ∞ − ∞................................................................................62
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Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE 22 ....................................................................................................................63
EXERCICE 23 ....................................................................................................................63
EXERCICE 24 ....................................................................................................................64
EXERCICE 25 ....................................................................................................................64
EXERCICE 26 ....................................................................................................................64
EXERCICE 27 ....................................................................................................................66
EXERCICE 28 ....................................................................................................................67
EXERCICE 29 ....................................................................................................................68
EXERCICE 30 ....................................................................................................................69
III.5 EXERCICES D’AUTO EVALUATION ............................................................................70
CHAPITRE IV : DERIVEES ......................................................................................................71
EXERCICE 31 ....................................................................................................................73
EXERCICE 32 ....................................................................................................................73
EXERCICE 33 ....................................................................................................................74
EXERCICE 34 ....................................................................................................................75
EXERCICE 35 ....................................................................................................................76
EXERCICES D’AUTO EVALUATION ..................................................................................77
CHAPITRE V : LES VECTEURS ..............................................................................................78
V.1 INTRODUCTION .........................................................................................................78
V.2 OPERATIONS SUR LES VECTEURS ..............................................................................78
V.2.1. Addition et soustraction des vecteurs ............................................................78
V.2.2. Multiplication d’un vecteur par un scalaire ...................................................78
V.3. COLINEARITE DES VECTEURS ...................................................................................78
V.4. FAMILLE LIBRE DES VECTEURS ..................................................................................79
EXERCICE 36 ....................................................................................................................80
EXERCICE 37 ....................................................................................................................81
EXERCICE 38 ....................................................................................................................83
EXERCICE 39 ....................................................................................................................84
EXERCICE 40 ....................................................................................................................84
EXERCICE 41 ....................................................................................................................85
EXERCICE 42 ....................................................................................................................86
V.5 EXERCICES D’AUTO EVALUATION ............................................................................87
CHAPITRE VI : TRIGONOMETRIE ..........................................................................................88
VI.1. UNITES D’ARCS ET D’ANGLES .................................................................................88
VI.1.1 Conversion Degré-grade .................................................................................88
VI.1.2 Conversion Degré-radians ...............................................................................89
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VI.1.3 Conversion grade-radians ...............................................................................89
EXERCICE 43 ....................................................................................................................90
VI.2. RESOLUTIONS DES TRIANGLES ................................................................................90
VI.2.1 Triangles rectangles ..........................................................................................90
VI.2.2 Triangles quelconques ......................................................................................91
EXERCICE 44 ....................................................................................................................92
EXERCICE 45 ....................................................................................................................93
CHAPITRE VII : ANALYSE COMBINATOIRE ..........................................................................94
EXERCICE 46 ....................................................................................................................94
EXERCICE 47 ....................................................................................................................94
EXERCICE 48 ....................................................................................................................94
EXERCICE 49 ....................................................................................................................95
EXERCICES D’AUTO EVALUATION ..................................................................................95
CHAPITRE VIII : MATRICES ET DETERMINANTS ....................................................................96
EXERCICE 50 ....................................................................................................................96
EXERCICE 51 ....................................................................................................................97
EXERCICES D’AUTO EVALUATION ..................................................................................98
CHAPITRE IX : NOMBRES COMPLEXES ..............................................................................99
EXERCICE 52 ....................................................................................................................99
EXERCICES D’AUTO EVALUATION ................................................................................101
CHAPITRE X : GEOMETRIE ELEMENTAIRE ET ANALYTIQUE ..............................................102
X.1 LA DROITE ................................................................................................................102
X.1.1 Equations d’une droite .................................................................................... 102
X.1.2. Deux équations représentant la même droite .............................................103
X.1.3. Droites parallèles, confondues, perpendiculaires ou concourantes .........103
EXERCICE 53 ..................................................................................................................104
EXERCICE 54 ..................................................................................................................104
EXERCICE 55 ..................................................................................................................104
EXERCICE 56 ..................................................................................................................105
EXERCICE 57 ..................................................................................................................105
EXERCICE 58 ..................................................................................................................105
EXERCICE 59 ..................................................................................................................105
EXERCICES D’AUTO EVALUATION ................................................................................106
CHAPITRE XI : COMPLEMENTS .......................................................................................... 107
XI.1. RAPPORTS, PROPORTIONS ET POURCENTAGES ...................................................107
EXERCICE 60 ..................................................................................................................107
190 | P a g e
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EXERCICE 61 ..................................................................................................................108
EXERCICE 62 ..................................................................................................................108
EXERCICE 63 ..................................................................................................................109
EXERCICE 64 ..................................................................................................................109
EXERCICE 66 ..................................................................................................................110
EXERCICE 67 ..................................................................................................................110
EXERCICE 68 ..................................................................................................................111
XI.2. FORMULES DES PERIMETRES ET AIRES DE QUELQUES FIGURES GEOMETRIQUES .112
XI.3. AIRES ET VOLUMES DE QUELQUES CORPS GEOMETRIQUES ................................ 113
EXERCICE 69 ..................................................................................................................114
EXERCICE 70 ..................................................................................................................114
EXERCICE 71 ..................................................................................................................115
XI.4. MULTIPLES ET SOUS MULTIPLES DES UNITES DES MESURE ......................................115
EXERCICE 72 ..................................................................................................................116
EXERCICE 73 ..................................................................................................................116
EXERCICE 74 ..................................................................................................................117
EXERCICE 75 ..................................................................................................................117
EXERCICE 76 ..................................................................................................................117
XI.5. CONTINUITE............................................................................................................118
EXERCICE 77 ..................................................................................................................118
EXERCICE 78 ..................................................................................................................118
EXERCICE 79 ..................................................................................................................119
EXERCICE 80 ..................................................................................................................119
EXERCICE 81 ..................................................................................................................120
EXERCICE 82 ..................................................................................................................120
EXERCICE 83 ..................................................................................................................121
EXERCICE 84 ..................................................................................................................121
DEUXIÈME PARTIE : PHYSIQUE...................................................................................... 123
CHAPITRE I : CINEMATIQUE .............................................................................................. 124
I.1. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME ....................................................................124
I.2. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE ................................................124
I.3. CHUTE LIBRE .............................................................................................................124
I.4. MOUVEMENT RECTILIGNE SINUSOÏDAL ..................................................................125
I.5 MOUVEMENTS CIRCULAIRES .................................................................................... 125
EXERCICE ....................................................................................................................... 126
EXERCICE ....................................................................................................................... 126
191 | P a g e
Aimé DIUMI DIKOLO
EXERCICE ....................................................................................................................... 127
EXERCICE ....................................................................................................................... 128
EXERCICE ....................................................................................................................... 129
EXERCICE ....................................................................................................................... 129
EXERCICE ....................................................................................................................... 130
EXERCICE ....................................................................................................................... 130
EXERCICE ....................................................................................................................... 131
EXERCICE ....................................................................................................................... 132
EXERCICE ....................................................................................................................... 132
EXERCICE ....................................................................................................................... 133
EXERCICE ....................................................................................................................... 134
EXERCICE ....................................................................................................................... 134
EXERCICE ....................................................................................................................... 134
EXERCICE ....................................................................................................................... 135
EXERCICE ....................................................................................................................... 135
EXERCICE ....................................................................................................................... 136
EXERCICE ....................................................................................................................... 136
EXERCICE ....................................................................................................................... 137
CHAPITRE II : DYNAMIQUE ................................................................................................ 138
EXERCICE ....................................................................................................................... 138
EXERCICE ....................................................................................................................... 139
EXERCICE ....................................................................................................................... 140
CHAPITRE III : THERMODYNAMIQUE ................................................................................141
III.1. NOTIONS DE TEMPERATURE ...................................................................................141
EXERCICE ....................................................................................................................... 141
EXERCICE ....................................................................................................................... 142
EXERCICE ....................................................................................................................... 142
EXERCICE ....................................................................................................................... 143
III.2. DILATATION ............................................................................................................143
III.2.1. Dilatation linéaire ............................................................................................ 143
III.2.2. Dilatation surfacique ...................................................................................... 144
III.2.3. Dilatation cubique ou volumique .................................................................144
CHAPITRE IV : MECANIQUE DES FLUIDES .........................................................................145
IV.1. INTRODUCTION .....................................................................................................145
IV.2 DILATATION DES GAZ ............................................................................................. 145
EXERCICE ....................................................................................................................... 146
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EXERCICE ....................................................................................................................... 146
CHAPITRE V : ELECTRICITE ................................................................................................ 147
V.1. ELECTROSTATIQUE..................................................................................................147
V.1.1. Force coulombienne ...................................................................................... 147
V.1.2. Champ électrique .......................................................................................... 147
V.1.3. Le potentiel électrique ...................................................................................147
V.1.4. Les condensateurs .......................................................................................... 147
V.2. ELECTRODYNAMIQUE ............................................................................................ 148
EXERCICE ....................................................................................................................... 149
EXERCICE ....................................................................................................................... 149
CHAPITRE VI : COMPLEMENTS......................................................................................... 151
EXERCICE ....................................................................................................................... 151
EXERCICE ....................................................................................................................... 151
EXERCICE ....................................................................................................................... 151
EXERCICE ....................................................................................................................... 152
EXERCICE ....................................................................................................................... 152
EXERCICE ....................................................................................................................... 152
TROISIÈME PARTIE : CHIMIE .......................................................................................... 153
CHAPITRE I : NOTIONS FONDAMENTALES ........................................................................154
CHAPITRE II : CHIMIE ORGANIQUE ..................................................................................155
II.1 LES HYDROCARBURES ............................................................................................. 155
II.1.1 Les alcanes .......................................................................................................155
II.1.2 Les alcènes........................................................................................................157
II.1.3. Les alcynes .......................................................................................................158
II.1.4 Les alkyles ..........................................................................................................158
II.2 NOMENCLATURE DES COMPOSEES ORGANIQUES ...............................................158
EXERCICE ....................................................................................................................... 158
EXERCICE ....................................................................................................................... 160
EXERCICE ....................................................................................................................... 160
EXERCICE ....................................................................................................................... 160
CHAPITRE III : ATOMISTIQUE .............................................................................................. 161
III.1 STRUCTURE ELECTRONIQUE DE L’ATOME .............................................................. 161
EXERCICE ....................................................................................................................... 161
EXERCICE ....................................................................................................................... 162
III.2 CONFIGURATION ELECTRONIQUE DES ATOMES ...................................................163
EXERCICE ....................................................................................................................... 163
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EXERCICE ....................................................................................................................... 164
CHAPITRE IV : CHIMIE NUCLEAIRE.................................................................................... 165
IV. CONSTITUTION DU NOYAU ...................................................................................... 165
EXERCICE ....................................................................................................................... 166
EXERCICE ....................................................................................................................... 166
EXERCICE ....................................................................................................................... 166
EXERCICE ....................................................................................................................... 167
EXERCICE ....................................................................................................................... 167
QUATRIÈME PARTIE : BIOLOGIE .................................................................................... 169
CHAPITRE I : COMPOSITION CHIMIQUE DE LA MATIERE VIVANTE..................................170
I.1 INTRODUCTION .........................................................................................................170
I.2 COMPOSES MINERAUX ............................................................................................ 170
I.2.1 L’eau ..................................................................................................................170
I.2.2. Les sels minéraux .............................................................................................. 171
I.3 COMPOSES ORGANIQUES....................................................................................... 171
I.3.1 Les glucides........................................................................................................171
EXERCICE ....................................................................................................................... 175
EXERCICE ....................................................................................................................... 175
EXERCICE ....................................................................................................................... 176
EXERCICE ....................................................................................................................... 176
EXERCICE ....................................................................................................................... 176
I.3.2 Les lipides ...........................................................................................................177
I.3.3 Les Protides ........................................................................................................180
CHAPITRE II : CYCLE CELLULAIRE ..................................................................................... 181
CHAPITRE III : LA REPRODUCTION .................................................................................... 182
CHAPITRE IV : LA GENETIQUE ........................................................................................... 183
CINQUIÈME PARTIE : FRANÇAIS ...................................................................................184
BIBLIOGRAPHIES ................................................................................................................186
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