Complété d’un Espace Métrique

Soit
,  un espace métrique ; on appelle complété de  un espace métrique
,  contenant ,
dont la distance  prolonge celle de  , qui est complet pour cette distance, et qui est le plus petit
espace métrique contenant  à posséder cette propriété.

Dans le cas où
,  est plongé dans un espace métrique complet
,  ( prolongeant  ), alors
son complété est tout simplement l’adhérence 
de  dans , muni de la distance induite par  .

En effet, un sous-espace de
,  est complet si et seulement si il est fermé ; tout sous-espace complet
contenant  est fermé, donc contient 
qui apparaît bien comme le plus petit d’entre eux.

Exemples :

1)  
    ,  |  |  ∞ espace vectoriel des suites de réels bornées, muni

de la norme sup ;  sev des suites nulles à partir d’un certain rang ;   
 sev
des suites nulles à l’infini (ie tendant vers zéro)
2) = espace vectoriel des fonctions en escalier sur , , muni de la norme sup ;
  espace vectoriel des fonctions continues sur , 

3) = espace vectoriel des fonctions en escalier sur , , muni de la norme  || ;
  espace vectoriel des fonctions Riemann-intégrables sur , 

On va maintenant décrire deux méthodes pour construire le complété de
,  .

Première Méthode : à l’aide de classes de suites de Cauchy

Si
 ,
!  sont deux suites de Cauchy de points de  on dit que
 ,
!  sont équivalentes si et
seulement si la suite 
 , !  converge vers zéro dans  (ou dans un evn,
 " !  # 0 dans )
Les classes d’équivalence seront les points de notre complété . On définit un plongement naturel de
 dans  en identifiant un point de  avec la classe de la suite stationnaire à ce point.

(Dans le cas d’un evn, la relation d’équivalence ainsi définie est compatible avec l’addition et avec la
multiplication par un scalaire, et  sera donc un espace vectoriel)

On va montrer successivement :

(i)  peut être muni d’une distance qui prolonge celle de 

(ii) pour cette topologie,  est dense dans 
(iii)  est complet

(i) Soient %, !% deux points de  , ce sont les classes des suites de Cauchy 
 , ! 
!  ;
montrons que la suite 
 , !  est de Cauchy dans  :

&' () , !() * " 
 , ! & + ,' () ,  * - '!() , ! *. / 0 0 1 1 / ∞, 12345é5617 61 

On peut donc définir 
%, !%  825/9 
 , !  ; cette définition est bien cohérente, car elle ne
dépend pas du choix des représentants , ! pour %, !% comme on le vérifie facilement ; on vérifiera
également que  satisfait les axiomes d’une distance.

(ii) Soit 
  une suite représentant le point % de  , et soit : la suite stationnaire à la

valeur  , montrons que : converge vers % dans
, 

1

: , % )  825;/9 
 , ;  ; comme
  est une suite de Cauchy, on a 
 , ;   < dès
que 1 = 1>
< et ?5 = 1 ; on en déduit en passant à la limite quand 5 tend vers l’infini :


: , % + < dès que 1 = 1>
< , cqfd.

(iii) Soit maintenant %
@ une suite de Cauchy de points de  :

@
@(A
' %
@ , %
@(A *  825/9 
 ,    < dès que B = B>
< , ?8  

On sait d’après (ii) que chaque %
@ est approché par un point de  , soit !
:@ (suite stationnaire à la
valeur !@ ), mettons à 2D@ près : ' %
@ , !
:*
@ 2
D@
; alors la suite
!@  est de Cauchy dans  ,
"B
- 2"

B-8
en effet : 
!@ , !@(A   '!:
B , !B-8 * + 2
E -  ,F
B , F
B-8 . et %
@ est supposée de
Cauchy dans  .

Soit !% le point de  dont
!@  est un représentant ; alors !% est la limite dans  de la suite %
@ ; en
effet :  ,F
B , !%. +  ,F
B , !:. : !* + 2"B - '!
B - '!B , F
:B , F!* ; et 
!
:,
@ F
! tend vers zéro
d’après (ii).

Le cas particulier de la construction de  à partir de G

Cette méthode doit être adaptée, puisqu’elle repose en (i) sur 
%, !%  825/9 
 , !  , limite
d’une suite de Cauchy dans  ! Autrement dit, il est difficile de parler de , ou même de G , en tant
qu’espaces métriques, tant que  n’a pas été construit.

Cependant, dans le cas de , on dispose d’une alternative pour définir la topologie de  comme
complété de G : il suffit de définir sur le complété un ordre total, qui prolonge celui de G ; à cet ordre
est associé une valeur absolue | %|  max
0, % , et 
%, !% pourra alors se définir comme | % " !%|
(on a déjà noté que la structure d’espace vectoriel était conservée sur le complété).

L’idée est la suivante : soit % un point de   GK qui n’est pas zéro (c’est-à-dire qui n’est pas la classe d’une
suite tendant vers zéro) ; on peut montrer qu’une suite 
  représentant % possède la propriété suivante :
à partir d’un certain rang, les  sont de signe constant, et plus précisément à une distance au point zéro
supérieure à une constante rationnelle fixée  : par exemple, dans le cas positif, on aura  =  = 0 à partir
d’un certain rang (lemme de distance minimale).

( Pour montrer cela, on procède par l’absurde, en constatant qu’une suite de Cauchy qui n’est pas de signe
constant à partir d’un certain rang est nécessairement convergente vers zéro, puis en constatant qu’il en va de
même d’une suite qui ne se tient pas à une distance minimale fixée de zéro).

De plus, tous les représentants de % sont de même signe constant à partir d’un certain rang (cela découle du
lemme de distance minimale, et de la définition d’une classe « à une suite tendant vers zéro près »). Ce signe
définit donc la relation % = 0 ou %  0 vérifiée par % , dont on montre qu’elle est compatible avec l’addition,
ou avec la multiplication par un !% = 0 . On étend cette relation d’ordre strict à tous les couples
%, !% par
% = !% L % " !% = 0 , et on l’étend à un ordre large, total par construction, par % M !% L % = !% 3 %  !% .

 étant ainsi muni d’un ordre total, on peut montrer que G est dense dans  dans le sens suivant :
? %, !%   N6O %  !% PQ  Q̃  G 70 %  Q  !% (on peut se ramener à %  0, et utiliser le lemme de
distance minimale ; dans le cas général, étant donné Q  G tel que 0  Q  !% " % , considérer les 1Q, 1   et
le plus petit d’entre eux qui soit supérieur à % , et montrer qu’il est compris entre %, !% ) ;

ce qui démontre (ii) ; le raisonnement pour montrer (iii) reste inchangé.

2
Deuxième Méthode : à l’aide de fonctions distance

A chaque point de  on associe la fonction ST : Q / 
, Q ; on définit ainsi une application

V W / ST de  dans X
,  , qui est un espace vectoriel, muni de la topologie associée à l’écart :

6
, Y   Z[ |
Q " Y
Q|

(un écart vérifie les mêmes axiomes qu’une distance, mais peut prendre la valeur -∞ ; cette topologie
est celle de la convergence uniforme)

L’application V est injective : ST  S\ ] ST
!  
, !  S\
!  0 ] !;

C’est même une isométrie de  dans X
,  , en effet :


, ! + 6'ST , S\ *   Z[ |
, Q " 
!, Q| + 
, ! d’où 6'ST , S\ *  
, !

(la première inégalité s’obtient en prenant Q  ! , la seconde par inégalité triangulaire)

Mais on sait bien que X
,  est complet (ainsi plus généralement que X
,  , où est un
espace métrique complet), vérifions cette propriété :

Si
Y  est une suite de Cauchy d’éléments de X
,  , alors

 Z[ &Y " Y() &  < è 0 6 1 = _
< , d’où en particulier en un point Q fixé de 

&Y
Q " Y()
Q&  < è 0 6 1 = _
< ; la suite Y
Q est donc de Cauchy dans , d’où on déduit
que
Y  converge simplement (en chaque point Q ) vers une limite Y  X
, , montrons que la
convergence est uniforme ;

la majoration &Y
Q " Y()
Q&  < è 0 6 1 = _
< est uniforme par rapport à Q   , en faisant
tendre  vers l’infini on en déduit |Y
Q " Y
Q| + < è 0 6 1 = _
<, toujours uniformément en Q,
soit  Z[ |Y " Y|  < è 0 6 1 = _
< , cqfd.

Dans ces conditions, si on considère le plongement isométrique V
 de  dans X
, , le
complété de  (identifié à V
 ) n’est autre que l’adhérence

V
 de V
 dans X
, .

Cette construction est un peu plus abstraite que la précédente, mais remarquablement efficace.

Août 2008
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