Cinématique du Point

o Objectifs pédagogiques
- Définir la cinématique ;
- Définir les vecteurs position, vitesse et accélération d’un point mobile dans un repère donné ;
- Etablir l’expression des équations horaires des mouvements uniformes (rectiligne et circulaire) et des
mouvements rectilignes uniformément variés. ;

Introduction
La cinématique d’un point est l’étude du mouvement de ce point dans le temps sans se préoccuper de sa
cause.

I. REPERAGE D’UN MOBILE

𝑧
1. Position d’un mobile
M
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est donné par :
Le vecteur position OM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM
⃗
k
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐎𝐌 = 𝐱𝐢 + 𝐲𝐣 + 𝐳𝐤. j y
O
i
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ détermine la position du mobile à l’instant t. x, y et z sont
OM x
les coordonnées cartésiennes du point M.

- Si le mobile M est en mouvement x, y et z sont des fonctions du temps et constituent les équations horaires
ou les équations paramétriques du mouvement du mobile.
x = f(t)
M en mouvement ⇒ {y = g(t)
z = h(t)
- Si le mobile est au repos, x, y et z sont constantes.

2. La trajectoire
La trajectoire d’un point mobile est l’ensemble des positions occupées par ce mobile au cours de son
mouvement.
- La trajectoire peut être une droit ⇒ mouvement rectiligne ;
- elle peut être un cercle ⇒ mouvement circulaire ;
- elle peut aussi être une parabole ⇒ mouvement parabolique ;
- elle peut être une ellipse, une hélice…
M(t)
3. Abscisse curviligne
A
L’arc 𝐬(𝐭) = 𝐀𝐌̂ défini l’abscisse curviligne du point M
A est l’origine des abscisses curvilignes.

II. LA VITESSE DU MOBILE y

M1
1. Vitesse moyenne d’un mobile
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM1 M2
Le vecteur vitesse moyenne entre les instants t1 et t 2 est défini ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM2
par la relation :
O x
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐌𝟏 𝐌𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐎𝐌𝟐 −𝐎𝐌 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟐
𝐯⃗𝐦𝐨𝐲 = =
𝐭𝟐 −𝐭𝟏 𝐭𝟐 −𝐭𝟏
 𝐌̂
𝟏 𝐌𝟐
* La vitesse moyenne est la distance parcourue par unité de temps. vmoy = .
𝐭𝟐 −𝐭𝟏

2. Vitesse instantanée d’un mobile

a. Définition
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Le vecteur vitesse instantanée est la dérivée par rapport au temps du vecteur position OM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐝𝐎𝐌
𝐯⃗ = 𝐝𝐭
o Le vecteur vitesse instantanée est toujours tangente à la trajectoire et orienté dans le sens
du mouvement.

b. Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes

En cordonnées cartésiennes on par définition 𝐯⃗ = 𝐯𝐱 𝐢 + 𝐯𝐲 𝐣 + 𝐯𝐳 𝐤
* Les coordonnées vx , vy et vz de v
⃗ sont respectivement les dérivées par rapport au temps des coordonnées
x, y et z du vecteur position.
𝐝𝐱
𝐯𝐱 = 𝐝𝐭 = 𝐱̇
𝐯⃗ ||𝐯𝐲 =
𝐝𝐲
= 𝐲̇
𝐝𝐭
𝐝𝐳
𝐯𝐳 = = 𝐳̇
𝐝𝐭

* La norme de v
⃗ est donnée par la relation :
𝐯 = √𝐯𝐱 𝟐 + 𝐯𝐲 𝟐 + 𝐯𝐳 𝟐

c. Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes

La base de Frenet est une base mobile liée au mobile qui se déplace. Elle est formée de deux vecteurs
unitaires :
-𝛕⃗ vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.
-𝐧⃗ vecteur unitaire orthogonal τ⃗ et orienté vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.

𝐝𝐬 𝐝𝐬 M τ⃗ ⃗
v
𝐯⃗ = 𝐯 ∙ 𝐭 = 𝐝𝐭 ∙ 𝐭 avec 𝐯 = 𝐝𝐭
A
III. VECTEUR ACCELERATION D’UN MOBILE ⃗
n

1. Définition
Le vecteur accélération 𝐚⃗ d’un mobile est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse à la date t
considérée.
𝐝𝐯⃗ 𝐝𝟐⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐎𝐌
𝐚⃗ = =
𝐝𝐭 𝐝𝐭𝟐

2. Accélération en coordonnées cartésiennes

En cordonnées cartésiennes on par définition 𝐚⃗ = 𝐚𝐱 𝐢 + 𝐚𝐲 𝐣 + 𝐚𝐳 𝐤

𝐝𝐯𝐱 𝐝𝟐 𝐱
𝐚𝐱 = = = 𝐱̈
𝐝𝐭 𝐝𝐭𝟐
| 𝐝𝐯𝐲 𝐝𝟐 𝐲
avec 𝐚⃗ 𝐚𝐲 = = = 𝐲̈
| 𝐝𝐭 𝐝𝐭𝟐
𝐝𝐯𝐳 𝐝𝟐 𝐳
𝐚𝐳 = = 𝐝𝐭 𝟐 = 𝐳̈
𝐝𝐭

* La norme de 𝐚⃗ est donnée par :

 𝐚 = √𝐚𝐱 𝟐 + 𝐚𝐲 𝟐 + 𝐚𝐳 𝟐
a⃗t
M
3. Accélération dans la base de Frenet
A
Dans la base de Frenet (τ⃗; n
⃗ ) on a : 𝐚⃗ = 𝐚⃗𝐭 + 𝐚⃗𝐧 = 𝐚𝐭 𝛕
⃗ + 𝐚𝐧 𝐧
⃗
a⃗n
Avec : at : accélération tangentielle
an : accélération normale
𝐝𝐯
𝐚𝐭 = 𝐝𝐭
𝐚⃗ | 𝐯𝟐
où ρ est le rayon de courbure de la trajectoire en M
𝐚𝐧 = 𝛒

- Pour un cercle, ρ = R = cte

4. Allure d’un mouvement

- Si a⃗ ∙ v
⃗ > 0 alors le mouvement est accéléré ;
- Si a⃗ ∙ v
⃗ < 0 alors le mouvement est décéléré ou retardé ;
- Si a⃗ ∙ v
⃗ = 0 alors le mouvement est uniforme et deux cas sont possibles :
■a⃗ =0 ⃗ alors le mouvement est rectiligne
■a⃗ ⟘v⃗ alors le mouvement est circulaire.

IV. QUELQUES MOUVEMENTS PARTICULIERS

1. Les mouvements rectilignes
t=0 t≠0
M0 v⃗0 O M ⃗
v
x0 0 x

a. Mouvement rectiligne uniforme

Le mouvement d’un point mobilr est rectiligne uniforme si :
- la trajectoire est une droite
- le vecteur vitesse est constant : 𝐯⃗ = 𝐯 ⃗
⃗⃗⃗⃗𝟎 = 𝐜𝐭𝐞 ⇒ 𝐚⃗ = 𝟎

𝐚=𝟎
𝐌𝐑𝐔 ⇒ 𝐯 = 𝐯𝟎
𝐱 = 𝐯𝟎 𝐭 + 𝐱 𝟎

b. Mouvement rectiligne uniformément varié

Le mouvement d’un point mobilr est rectiligne uniformément varié si :
- la trajectoire est une droite
- le vecteur accélération est constant : 𝐚⃗ = 𝐜𝐭𝐞
Les paramètre du mouvement son donnés par :
𝐚 = 𝐜𝐭𝐞
𝐯−𝐯
𝐯 = 𝐚𝐭 + 𝐯𝟎 ⇒ 𝐚 = 𝐭−𝐭 𝟎
𝟎
𝟏 𝟐
𝐱 = 𝟐 𝐚𝐭 + 𝐯𝟎 𝐭 + 𝐱 𝟎
𝐯 𝟐 −𝐯 𝟐
𝐯 𝟐 − 𝐯𝟎 𝟐 = 𝟐𝐚(𝐱 − 𝐱 𝟎 ) ⇒ 𝐚 = 𝟐(𝐱−𝐱𝟎 )
𝟎
M
y
2. Mouvement circulaire uniforme ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM
j θ M0
a. Repérage d’un mobile sur un cercle O
i x
Un point mobile M est animé d’un mouvement circulaire
uniforme si sa trajectoire est une droite et si sa vitesse est constante.
La position d’un point mobile M peut être défini par :
- L’abscisse angulaire θ tel que 𝛉 = (𝐎𝐌 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟎 ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐎𝐌)
- L’abscisse curviligne 𝐬 = 𝐌 ̂ 𝟎 𝐌 tel que 𝐬 = 𝐫𝛉

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐱 = 𝐑𝐜𝐨𝐬𝛉
- Ses coordonnées cartésiennes x et y telles que : 𝐎𝐌 {
𝐲 = 𝐑𝐬𝐢𝐧𝛉

b. Vitesse angulaire et vitesse linéaire

Un mouvement circulaire uniforme est caractérisé par :
𝐝𝛉
- La vitesse angulaire ω exprimée en rad/s : 𝛚= 𝐝𝐭
- La vitesse linéaire v
⃗ qui est tangente à la trajectoire et orientée dans le sens du
𝐝𝐬
mouvement et qui s’exprime en m/s. 𝐕 = 𝐝𝐭
- On montre que : 𝐕 = 𝐫. 𝛚

c. Accélération du mobile
Dans la base de Frenet (τ⃗; n
⃗ ) on a :
𝐝𝐯
𝐚𝐭 = =𝟎
𝐝𝐭
𝐚⃗
𝐯𝟐
𝐚𝐧 = = 𝐑 ∙ 𝛚𝟐
𝐑

Comme 𝐚𝐭 = 𝟎 alors 𝐚⃗ = 𝐚𝐧 𝐧 ⃗.
On dit alors que le vecteur accélération d’un mobile animé d’un mouvement circulaire uniforme est
centripète.

d. Equation horaire du mouvement

* Equation horaire de l’abscisse curviligne : 𝐬 = 𝐯𝐭 + 𝐬𝟎
* Equation horaire angulaire : 𝐌𝐂𝐔 ⇒ 𝛉 = 𝛚𝐭 + 𝛉𝟎
 Exercices sur la cinématique
Exercice 1
La position d’un mobile M dans le repère (𝑂, 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗) est donner à chaque instant par le vecteur position 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
tel que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = (𝑡 2 + 4𝑡)𝑖 + (𝑡 2 + 2)𝑗, avec 𝑡 > 0.
1- Montrer que le mouvement est plan et préciser le plan du mouvement.
2- Déterminer l’équation cartésienne de la trajectoire.
3- Donner l’allure du mouvement

Exercice 2
1- Une moto M décrit une trajectoire rectiligne muni d’un repère d’espace (𝑂; 𝑖). Son vecteur accélération
est constante pendant toute la durée du mouvement qui est fixée à ∆𝑡 = 5𝑠.
A l’instant 𝑡 = 0, le mobile part du point 𝑀0 d’abscisse 𝑥0 = −0,5𝑚 avec une vitesse 𝑣0 = −1𝑚/𝑠 ; puis il
passe au point 𝑀1 d’abscisse 𝑥1 = 5𝑚 avec une vitesse 𝑣1 = 4,7𝑚/𝑠.
a) Calculer l’accélération 𝑎 du mobile M.
b) Calculer la date 𝑡1 à laquelle le mobile passe au point 𝑀1 .
c) Donner l’équation horaire 𝑥 = 𝑓(𝑡) du mouvement du mobile M.
2- A la date T = 2s une voiture M’ part du point 𝑀1 d’un mouvement rectiligne uniforme dont la vitesse est
𝑣′ = 4𝑚/𝑠.
a) Calculer la date 𝑡𝑅 de la rencontre des deux mobiles M et M’.
b) Calculer l’abscisse 𝑥𝑅 où aura lieu cette rencontre.

Exercice 3
Sur une portion rectiligne A, B, C et D de voie ferrée où s’effectue des travaux, un train arrivant en A avec
une vitesse 𝑣𝐴 = 54𝑘𝑚/ℎ a la marche suivante :
- De A à B tel que AB = 125m, un mouvement uniformément retardé réduisant la vitesse en à la valeur 𝑣𝐵 =
36𝑘𝑚/ℎ.
- De B à C, pendant une minute, un mouvement uniforme.
- De C à D, un mouvement uniformément accéléré telle que la vitesse reprenne la valeur de 54𝑘𝑚/ℎ en 20
seconde.
1- En prenant pour origine des abscisses le point A, pour sens positif le sens de la marche et pour instant
initiale t = 0 l’instant de passage en A, déterminer les équations horaires 𝑥 = 𝑓 (𝑡) et les vitesses 𝑣 = 𝑔(𝑡)
des trois phases du mouvement.
2- Calculer de deux manières la distance parcourue de A à D.
3- Construire le graphe 𝑣 = 𝑔(𝑡).

Exercice 4
a) Quelle(s) section(s) de ce graphique représente(nt) un MRUA?
b) Quel a été le déplacement du mobile de la sixième à la seizième seconde?
c) Quelle a été la vitesse moyenne du mobile pour ce déplacement?
d) Quelle a été l’accélération du mobile pour la section C?
e) Quelle section de ce graphique présente la plus grande accélération?
Exercice 5
Dans un référentiel donné, on choisit un repère d’espace (𝑂, 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗) et une date origine. Les coordonnées
d’un point mobile M sont alors fournies par les équations horaires suivantes :
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝜋
{ 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 avec 𝑟 = 2𝑚; 𝜔 = 2 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠
𝑧=0
1- a) Déterminer l’équation de la trajectoire du mobile M.
b) Préciser la position du mobile M à la date origine.
2- Déterminer :
a) Les coordonnées et la mesure du vecteur vitesse 𝑣 .
b) Les coordonnées et la mesure du vecteur accélération 𝑎.
c) La nature du mouvement du mobile M.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.
3- Montrer que le vecteur accélération 𝑎 et le vecteur position 𝑂𝑀
4- a) Etablir l’équation horaire de l’abscisse curviligne 𝑠 du mobile M.
b) Donner les coordonnées des vecteurs vitesse 𝑣 et accélération 𝑎 dans le repère locale de
Frenet (𝑀, ⃗⃗⃗
𝑢𝑡 , ⃗⃗⃗⃗
𝑢𝑛 ).
c) Calculer la période T et la fréquence N du mouvement du mobile M. Que représente la grandeur
constante 𝜔 ?
 MOUVEMENT DU CENTRE D’INERTIE D’UN SOLIDE
MOUVEMENT D’UNE PARTICULE SOUMISE A UNE FORCE CONSTANTE

I/MOUVEMENT DU CENTRE D’INERTIE D’UN SOLIDE

1-Rappel
1.1-Principe de l’inertie (1ére loi de Newton)
Dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie G d’un système isolé ou pseudo-isolé a un mouvement
rectiligne uniforme ou est au repos.
1.2-Referentiel galiléen
Un référentiel dans lequel le principe de l’inertie est vérifié est un référentiel galiléen.

2. Relation fondamentale de la dynamique

2.1- Centre d’inertie
Soit S un solide de masse M constitué des points matériels A1, A2, …., Ai de masses respectives m1, m2,…,
mi. Si G est le centre d’inertie du solide, la relation barycentrique donne:
m1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
GA1 + m2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
GA2 +…+ mi⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
GAi =0
⃗⃗⃗⃗⃗
GO(m1+m2+…+mi)+ m1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OA1 + m2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OA2 +…+ mi⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OAi =0 ⃗ ⟹ ∑ 𝑚𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗i
OG=∑ 𝑚𝑖 OA

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∑ 𝒎𝒊 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⟹ M𝐎𝐆 𝐎𝐀𝐢

2.2. Quantite de mouvement

2.2.1. Quantite de mouvement d’un point materiel
Soit un point matériel A de masse m animé d’une vitesse 𝑣 . La quantité de mouvement du point A, notée p
est donnée par la relation: p ⃗ =m𝑣 . Elle s’exprime en kg.m/s.
2.2.2. Quantite de mouvement d’un solide
Un solide de masse M peut être décomposé en plusieurs points matériels Ai de masse mi et de vecteur
vitesse ⃗⃗⃗
𝑣𝑖 .
𝑑 𝑑 𝑑 𝑑
⃗ =∑ ⃗⃗⃗
p pi =∑ mi ⃗⃗⃗ 𝑂𝐴𝑖 =𝑑𝑡 ∑ 𝑚𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
vi =∑ 𝑚𝑖 𝑑𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OAi =𝑑𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟹ p
MOG ⃗⃗⃗⃗⃗ = MV
⃗ =M𝑑𝑡 OG ⃗⃗⃗⃗G

⃗⃗⃗⃗𝐆
⃗ = M𝐕
𝐩 où ⃗⃗⃗⃗
VG est la vitesse du centre d’inertie du solide.

2.3- Enoncé de la relation fondamentale de la dynamique

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale à la
⃗
𝐝𝐏
dérivée par rapport au temps du vecteur quantité de mouvement du solide à cet instant : ∑ 𝐅 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐞𝐱𝐭 =
𝐝𝐭
2.4-Théorème du centre d’inertie (2ème loi de Newton)
⃗⃗
𝐝𝐏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐝𝐦𝐕 𝐆
aG
= m⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⟹ ∑𝐅 aG
𝐝𝐭
= 𝐝𝐭 𝐞𝐱𝐭 = m⃗⃗⃗⃗
Dans un référentiel galiléen, la somme des forces appliquées à un solide est égale au produit de la masse
m par le vecteur accélération 𝐚 ⃗⃗⃗⃗⃗𝐆 de son centre d’inertie :
∑𝐅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐞𝐱𝐭 = ma ⃗⃗⃗⃗G
2.5- Théorème de l’energie cinétique
Soit un solide S en mouvement sous l’influence des forces ∑ 𝐅 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐞𝐱𝐭.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝛿𝜔= ∑ 𝐅𝐞𝐱𝐭.d𝑙 ⟹ 𝛿𝑊= ma ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗G . d𝑙 car ∑ 𝐅𝐞𝐱𝐭 = ma ⃗⃗⃗⃗G
⃗⃗⃗⃗
𝐝𝐕
= m 𝐝𝐭𝐆 . d𝑙 or d𝑙 = ⃗⃗⃗⃗
VG .dt
⃗⃗⃗⃗𝐆
𝐝𝐕
=m .( ⃗⃗⃗⃗
VG .dt)
𝐝𝐭
= mdV⃗⃗⃗⃗G . ⃗⃗⃗⃗
VG
1
⃗
=d( mVG ) 2
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑒𝑥𝑡
𝛿𝑊=dEc ⟹ ∆Ec= ∑ 𝑊1→2
 Dans un référentiel galiléen,la variation d’énergie cinétique d’un solide entre deux instants est égale au
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
travail des forces appliquées à ce solide entre ces deux instants. ∆Ec= ∑ 𝑾𝑭𝒆𝒙𝒕
𝟏→𝟐

II- Applications
1. Applications aux mouvements rectilignes

a. Mouvement sans frottements sur un plan incliné

Un mobile de masse m = 100kg, assimilable à un point matériel M, glisse sans frottements sur un plan
incliné d’un angle α avec l’horizontale. Le mouvement de translation se fait suivant une ligne de plus grande
pente du plan, parallèle à l’axe (O, i) d’un repère (O, i, j).

j
O i

α x
1- Faire un schéma et représenter les forces extérieures appliquées à ce solide.
2- a) Compte tenu de la direction et du sens du mouvement, préciser l’orientation du vecteur accélération a⃗.
b) Exprimer le vecteur accélération a⃗ en fonction de g et α. En déduire la nature du mouvement du solide.
3- La vitesse initiale est v0 i.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ peut se mettre sous la forme : OM
a) Montrer que le vecteur position OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = βt 2 i + tv
⃗⃗⃗0 . Préciser β et la
position du mobile à l’origine des dates.
b) En déduire les équations horaires du mouvement du mobile dans le repère (𝑂, 𝑖, 𝑗).
4- Calculer la vitesse acquise après un déplacement de longueur L = 1m avec v0 = 2 m⁄s, α = 10° et g =
9,8 N⁄kg. j
O i ⃗
R
Solution

α α x
1- Représentation des forces extérieures appliquées à ce solide.
⃗ ⃗
P
⃗Fext | P
⃗
R
2- a) Orientation du vecteur accélération a⃗
a⃗ = a ∙ i donc a⃗ et i ont même direction et même sens.
b) Expression de a⃗ en fonction de g et α.
TCI ⇒ ⃗P + ⃗R = m ∙ a⃗
Proj/x : Psinα + 0 = m ∙ a ⇒ a = gsinα d’où a⃗ = (gsinα) ∙ i
a = gsinα > 0 ⇒ Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.
3-a) Montons que OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = βt 2 i + tv⃗⃗⃗0 .
⃗⃗
dV
a⃗ = (gsinα) ∙ i = cte et = a⃗ = cte ⃗ = a⃗ ∙ t + cte
⇒ V
dt
A t = 0 on a ⃗V = ⃗V0 donc ⃗V0 = a⃗ ⨯ 0 + cte ⇒ cte = ⃗V0 soit ⃗V = a⃗ ∙ t + ⃗V0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗V = dOM ⇒ dOM
= a⃗ ∙ t + ⃗V0 donc OM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 ∙ a⃗ ∙ t 2 + ⃗V0 ∙ t + cte.
dt dt 2

A t = 0 on a OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OO⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗ donc 1
∙ a⃗ ⨯ 0 + ⃗V0 ⨯ 0 + cte = 0
⃗ ⇒ cte = 0
⃗
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 ∙ a⃗ ∙ t 2 + ⃗V0 ∙ t
soit OM 2

Comme a⃗ = (gsinα) ∙ i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 ∙ (gsinα) ∙ t 2 ∙ i + ⃗V0 ∙ t

alors OM 2
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = βt 2 i + tV
donc OM ⃗ 0 avec β = 1 ∙ (gsinα) et à t = 0 le mobile est à l’origine O du repère.
2

b) Equations horaires du mouvement du mobile

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = βt 2 i + tV
OM ⃗ 0 ⇒ x ∙ i + y ∙ j = βt 2 ∙ i + V0 ∙ t ∙ i ⇔ x ∙ i + y ∙ j = (βt 2 + V0 ∙ t) ∙ i

x = βt 2 + V0 ∙ t = 12 ∙ (gsinα) ∙ t 2 + V0 ∙ t
donc y=0

4- Vitesse V acquise par le solide.

V 2 − V02 = 2 ∙ a ∙ L ⇒ V 2 = V02 + 2 ∙ a ∙ L donc V 2 = V02 + 2gLSinα d’où V = √V02 + 2gLSinα

A.N : V = √22 + 2 ⨯ 9,8 ⨯ 1 ⨯ Sin10° ⇒ V = 2,72m/s

b. Mouvement avec frottements sur un plan incliné

Un objet de masse m = 20kg glisse sur un plan incliné d’un angle α = 30° avec l’horizontale. La somme R ⃗,
supposée constante, des forces de contact reparties en surface exercées par le plan sur l’objet fait un angle β
avec la normale au plan
1- Exprimer le vecteur accélération du mobile en fonction de α, β, m, R et g.
2- Lâche sans vitesse initiale, le mobile parcourt une distance L = 5m en une durée t = 1,7s. Calculer
l’accélération en prenant g = 10m. s −2 . ⃗
R y
3- Calculer l’angle β et la norme de la réaction ⃗R. x′ Ry
Rx β
Solution
Px
1- Expression du vecteur accélération a⃗ en fonction de α, β, m, R et g. α
Py
α x
⃗ y′
⃗ ext |P
F
⃗P
⃗
R
Le mouvement est rectiligne suivant l’axe (x’x) ; donc ay = 0.
⃗ +R
TCI : m ∙ a⃗ = P ⃗
R
Proj/x : m ∙ ax = Px + R x ⇒ m ∙ ax = mgSinα − RSinβ donc ax = gSinα − m Sinβ
R
ax = gSinα − m Sinβ
a⃗
D’où : ay = 0

2- Calcul de l’accélération a.
Pour V0 = 0, on a : à t = 1,7s, L = x − x0 = 5m.
2L 2⨯5
L = 12 ∙ a ∙ t 2 ⇒ a = A.N : a = 1,72 ⇒ a = 3,46m/s
t2

⃗
3- Calcul de l’angle β et de la norme R de la réaction R
TCI : m ∙ a⃗ = ⃗P + ⃗R
Proj/x : m ∙ ax = Px + R x ⇒ m ∙ ax = mgSinα − RSinβ donc RSinβ = m(gSinα − a)
Proj/y : m ∙ ay = Py + R y ⇒ −mgCosα + RCosβ = 0 donc RCosβ = mgCosα

(gSinα−a) gSinα−a
RSinβ
RCosβ
= m(gSinα−a)
mgCosα
⇒ tanβ = d’où β = tan−1 ( )
gCosα gCosα
10⨯Sin30°−3,46
A.N : β = tan−1 ( ) d’où β = 10°
10⨯Cos30°
 mgCosα
RCosβ = mgCosα ⇒ R= Cosβ

20⨯10⨯Cos30°
A.N : R = d’où R = 176N
Cos10°

c. Nécessité de bien préciser le solide auquel on applique la relation ∑ ⃗𝒇 = 𝒎𝒂

⃗

Une automobile de masse𝑚1 = 1𝑡, tracte une caravane de masse 𝑚2 = 2𝑡. Les forces de résistance à
l’avancement (frottements de l’air sur les carrosseries) équivalent pour chacun des véhicules à des forces 𝑓 ⃗⃗⃗1
et ⃗⃗⃗
𝑓2 parallèles à la route dirigées en sens inverse du mouvement et d’intensité constante 𝑓1 = 100𝑁 et 𝑓2 =
200𝑁. On prendra 𝑔 = 9,8 𝑁⁄𝑘𝑔.
1- la route est rectiligne et horizontale.
a) Le convoi roule à la vitesse 𝑣 = 72 𝑘𝑚⁄ℎ.
Déterminer la force motrice créée par le moteur. L’intensité de cette force dépend-elle de la vitesse ?
Quelle est la puissance du moteur dans ces conditions ? Dépend-elle de la vitesse ?
b) le convoi démarre d’un mouvement uniformément accéléré et sa vitesse passe de 0 à 72 𝑘𝑚⁄ℎ après un
parcourt de 2𝑘𝑚.
Déterminer la nouvelle valeur de la force motrice développée par le moteur.
Quelle est sa puissance à l’instant t compter à partir du début du mouvement.
2- Déterminer dans les deux cas précédents la force de traction 𝑇 ⃗ exercée par l’automobile sur la caravane.
3- Le convoi aborde une portion rectiligne de pente 3% à la vitesse constante 𝑣 = 72 𝑘𝑚⁄ℎ.
a) Quelle est la valeur de la force de traction 𝑇⃗⃗⃗ exercée par l’automobile sur la caravane ?
b) Même question si on désire obtenir le même mouvement de démarrage qu’à la question 1-b).
⃗ N2
R
Solution ⃗ N1
R
f⃗⃗2 ⃗⃗f1 ⃗F
1- a) Valeur de la force motrice ⃗F
⃗1
P
La force motrice F ⃗ permet de faire déplacer l’automobile et P⃗2
et la caravane. On applique le TCI au système formé par
l’automobile et la caravane.
⃗ ext (P
F ⃗1 ; P
⃗2 ; R ⃗ N2 ; ⃗⃗f1 ; f⃗⃗2 ; F
⃗ N1 ; R ⃗)
⃗1 + P
PI : P ⃗2 + R ⃗ N1 + R ⃗ N2 + ⃗⃗f1 + f⃗⃗2 + F
⃗ =0
⃗
Proj/F⃗ : −f1 − f2 + F = 0 ⇒ F = f1 + f2 A.N : F = 100 + 200 F = 300N
F ne depend donc pas de la vitesse.
o Puissance de ⃗F
𝒫 = ⃗F ∙ ⃗V = F ∙ V A.N : 𝒫 = 300 ⨯ 20 𝒫 = 6000W
𝒫 dépend de la vitesse.
b) Nouvelle valeur de la force motrice

⃗1 + P
TCI : P ⃗2 + R ⃗ N2 + ⃗⃗f1 + f⃗⃗2 + F
⃗ N1 + R ⃗ = (m1 + m2 ) ∙ a⃗

⃗ : −f1 − f2 + F = (m1 + m2 ) ∙ a
Proj/F ⇒ F = (m1 + m2 ) ∙ a + f1 + f2

V2 (m1 +m2 )∙V2

Or a = 2L = 0,1m/s donc F= + f1 + f2
2L

(1000+2000)⨯202
A.N : F = + 100 + 200 F = 600N
2⨯2000
 o Puissance de ⃗F à l’instant t

𝒫 = F ⨯ V or V = at + V0
V0 = 0 ⇒ V = at d’où 𝒫 = a ∙ F ∙ t A.N : 𝒫 = 0,1 ⨯ 600 ⨯ t 𝒫 = 60t

2- Calcul de la traction T
⃗ s’exerce uniquement sur la caravane. On applique le TCI au système ⃗ N2
R
T
formé par la caravane. ⃗T
f⃗⃗2

o Premier cas : MRU

PI : ⃗P2 + ⃗R N2 + f⃗⃗2 + T
⃗ =0
⃗ ⃗2
P
⃗ : −f2 + T = 0
Proj/T ⇒ T = f2 A.N : T = 200N

o Premier cas : MRU

TCI : ⃗P2 + ⃗R N2 + f⃗⃗2 + T
⃗ = m2 ∙ a⃗

⃗ : −f2 + F = m2 ∙ a
Proj/F ⇒ T = m2 ∙ a + f2 y ⃗
R N2 x
V2 m2 ∙V2 ⃗T
Or a = 2L = 0,1m/s donc F= + f2
2L

2000⨯202 f2
A.N : F = + 200 F = 400N α
2⨯2000 x′
α y′
⃗ pour le mouvement rectiligne uniforme.
3- a) Valeur de la force de traction T ⃗
P
PI : ⃗P2 + ⃗R N2 + f⃗⃗2 + T
⃗ =0
⃗
Proj/x : −m2 gSinα − f2 + T = 0 ⇒ T = m2 gSinα + f2
A.N : Sinα = 0,03 ⇒ T = 788N
⃗ pour le mouvement rectiligne uniformément varié.
b) Valeur de la force de traction T
TCI : P ⃗ N2 + f⃗⃗2 + T
⃗2 + R ⃗ = m2 ∙ a⃗

Proj/x : −m2 gSinα − f2 + T = m2 a ⇒ T = m2 (a + gSinα) + f2

A.N : T = 2000 ⨯ (0,1 + 9,8 ⨯ 0,03) + 200 ⇒ T = 988N

d. Pendule simple dans un véhicule.

On constitue un accéléromètre en fixant, au plafond d’un bus « La Poste », un fil de masse négligeable qui
soutient une petite masselotte de masse m.
1- Le bus démarre d’un mouvement uniformément accéléré.
a) Dans quel sens le fil de l’accéléromètre dévie-t-il ?
b) Calculer l’accélération 𝑎1 du mouvement de démarrage sachant que le fil a dévié de 𝛼1 = 13°
2- Lorsque le bus est lancé, d’un mouvement uniforme, à la vitesse 𝑣 = 72 𝑘𝑚⁄ℎ, comment se place le fil ?
3- Le bus passe de la vitesse 𝑣 = 72 𝑘𝑚⁄ℎ à la vitesse nulle, d’un mouvement uniformément retardé en une
durée ∆𝑡 = 10𝑠.
Plafond du véhicule
a) Dans quel sens dévie maintenant le fil de l’accéléromètre ?
b) Calculer l’angle 𝛼2 qu’il forme avec la verticale. On prendra 𝑔 = 9,8 𝑁⁄𝑘𝑔. ⃗T

⃗
P
 Solution

1- Mouvement uniformément accéléré.

a) Sens de déviation du pendule
Le mouvement étant rectiligne uniformément accéléré alors le vecteur
accélération a⃗ et le vecteur vitesse ⃗V sont colinéaires et de même sens.

⃗
⃗ ext |P
F y
⃗
T
⃗
T
⃗ +T
TCI : P ⃗ = m ∙ a⃗
α1
Les vecteurs ⃗P + T⃗ et a⃗ sont colinéaires de même sens ; donc le pendule
x′ x
doit dévier vers l’arrière du bus.
b) Calcul de l’accélération a1 ⃗
P
⃗ +T
TCI : P ⃗ = m ∙ a⃗1
y′
Proj/x : TSinα1 = ma1
Proj/y : −mg + TCosα1 = 0 ⇒ TCosα1 = mg
TSinα1 ma1 a1
Donc = ⇔ tanα1 = ⇒ a1 = gtanα1
TCosα1 mg g
A.N : a1 = 9,8 ⨯ tan13° ⇒ a1 = 2,26m/s2

2- Mouvement rectiligne uniforme

⃗ +T
P ⃗ =0
⃗ ⇒ T ⃗ = −P ⃗ donc le pendule est vertical. y
⃗T
3- Mouvement rectiligne uniformément retardé. α2
a) Sens de déviation du pendule
x′ x
Le mouvement étant rectiligne uniformément retardé alors le vecteur
⃗ sont colinéaires et de sens contraire.
accélération a⃗ et le vecteur vitesse V ⃗P
⃗
⃗Fext |P
⃗
T y′
TCI : ⃗P + T⃗ = m ∙ a⃗
Les vecteurs P⃗ +T ⃗ et a⃗ sont colinéaires de même sens ; donc le pendule
doit dévier vers l’avant du bus.

b) Calcul de l’angle de déviation α2

TCI : ⃗P + T
⃗ = m ∙ a⃗ 2
Proj/x : −TSinα2 = ma2
Proj/y : −mg + TCosα2 = 0 ⇒ TCosα2 = mg
TSinα2 ma2 a2 V V V
Donc =− ⇔ tanα2 = − or a2 = − ∆t ⇒ tanα2 = g⨯∆t ⇒ α2 = tan−1 (g⨯∆t)
TCosα2 mg g
20
A.N : α2 = tan−1 ( ) α2 = 11,53°
9,8⨯10

2. Applications au mouvement circulaire uniforme

a. Réaction d’une glissière circulaire B

M
Un solide ponctuel de masse m est lancé avec une vitesse V ⃗⃗⃗ 0
sur une glissière circulaire de rayon r et de centre O. les O
𝜃
frottements sont négligeables. La position du mobile sur
v0
⃗⃗⃗⃗⃗
A
la portion de trajectoire est repérée par l’angle θ = (OA ⃗⃗⃗⃗⃗ , OM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).
1- Exprimer la vitesse VM du solide au point M en fonction de V0 , r, g et θ.
2- Déterminer dans le repère de Frenet (M, u ⃗⃗⃗t , ⃗⃗⃗⃗
un ) les coordonnées at et an du vecteur accélération a⃗.
3- Exprimer la norme R de la réaction ⃗R de la glissière sur le solide.
4- Quelle est la valeur minimale V0m de V0 pour que le solide atteigne le point B de la trajectoire sans se
détacher de celle-ci ? Quelle est alors la vitesse en B ?
B
Solution ⃗t
u
H ⃗n
u M
1- Expression de la vitesse VM du solide au point M. ⃗
R π−θ
⃗
⃗ ext |P
O
F θ
⃗
R
⃗
P
TEC entre A et M :
1 1 A ⃗0
mVM
2
− ⃗ )+
mV02 = WAB (P ⃗)
WAB (R V
2 2
1 2
2
m(VM − V02 ) = −mg ⨯ AH
Or AH = OA + OH = r + rCos(π − θ) = r(1 − cosθ) car Cos(π − θ) = −Cosθ
2
Donc 12m(VM − V02 ) = −mgr(1 − Cosθ) ⇒ VM
2
= V02 − 2gr(1 − Cosθ)
D’où VM = √V02 − 2gr(1 − Cosθ)

2- Expressions des coordonnées at et an du vecteur accélération a⃗ dans le repère de Frenet (M, u

⃗⃗⃗t , ⃗⃗⃗⃗
un ).

dV
at = M
dt
a⃗ | V2M
an = r
TCI : P ⃗ +R⃗ = m ∙ a⃗
⃗⃗⃗t : mat = −mgSin(π − θ) + 0 ⇒ mat = −mgSinθ car Sin(π − θ) = Sinθ
Proj/u
Donc at = −gSinθ
V2M 2 2
an = et VM = V02 − 2gr(1 − Cosθ) donc an = Vr0 − 2g(1 − Cosθ)
r

at = −gSinθ
D’où a⃗ | 2
an = Vr0 − 2g(1 − Cosθ)

⃗ de la glissière sur le solide.

3- Expression de la norme R de la réaction R
TCI : ⃗P + ⃗R = m ∙ a⃗
2
⃗⃗⃗⃗n : mgCos(π − θ) + R = man ⇒ −mgCosθ + R = mVr0 − 2g(1 − Cosθ)
Proj/u
V2
⇒ R = m [ r0 + g(−2 + 2Cosθ + Cosθ)]
V2
D’0ù R = m [ r0 + g(3Cosθ − 2)]
4- Valeur minimale V0m de V0 pour que le solide atteigne le point B de la trajectoire sans se détacher de
celle-ci.
Condition : θ = π ⇒ R > 0
V2 V2
θ = π ⇒ R = m [ r0 + g(3Cosπ − 2)] = m ( r0 − 5g)
V20
R>0 ⇒ − 5g > 0 ⇔ V02 > 5𝑔𝑟 soit V0 > √5gr d’où V0m = √5gr
r
o La vitesse VB en B.
V02 > 5𝑔𝑟 ⇒ VB = √5gr − 2gr(1 − Cosπ) = √5gr − 4gr d’où VB = √gr

b. Dynamique du mouvement d’un pendule simple

O

Une bille de masse m est suspendue en un point O par un fil inextensible

𝜃0
de longueur L et de masse négligeable. Le pendule ainsi constitué est écarté
l
de la verticale d’un angle θ0 . On lance alors la bille fil tendu, avec un vecteur
vitesse ⃗⃗⃗⃗⃗
V0 tangent au cercle de centre O et de rayon L, dirigé vers le bas.
A
La position du pendule est repérée par l’angle θ d’inclinaison du fil avec
la verticale, au cours du mouvement. ⃗⃗ 0
v
1- Exprimer les coordonnées du vecteur accélération ⃗⃗⃗𝑎 dans la base de Frenet à l’instant t en fonction
de v0 , g, l, θ et θ0 .
2- En déduire l’expression de la norme T de la tension ⃗⃗⃗T du fil en fonction de m, v0 , g, l, θ et θ0 .
⃗⃗⃗⃗⃗0 pour que la bille effectue un tour complet, le fil
3- Calculer la valeur minimale V0m de la norme de V
devant resté tendu au cours du mouvement.

Solution

1- Expressions des coordonnées at et an du vecteur accélération a⃗ dans le repère de Frenet (M, u

⃗⃗⃗t , ⃗⃗⃗⃗
un ).
O
d VM ⃗
at = θ T
a⃗ |
dt L θ0 un
⃗⃗⃗⃗ ut
⃗⃗⃗
V2M M
an = H2
r
θ
A H1
⃗
⃗Fext |P ⃗⃗⃗
V0 B
⃗
⃗
T P

TEC entre A et M :
1 2 1 ⃗ ) + WAM (T
⃗ ) = mgBH1 − mgBH2 = −mgH1 H2
2
mVM − 2mV02 = WAM (P
1 2 1
2
mVM − 2mV02 = −mg(OH1 − OH2 ) = −mg(LCosθ0 − LCosθ)

2
VM = V02 + 2gL(Cosθ − Cosθ0 )

⃗ +T
TCI : P ⃗ = m ∙ a⃗

⃗⃗⃗t : mat = −mgSinθ + 0 ⇒ mat = −mgSinθ

Proj/u ⇒ at = −gSinθ
V2M 2 V2
an = et VM = V02 + 2gL(Cosθ − Cosθ0 ) donc an = L
0 − 2g(Cosθ − Cosθ0 )
r

at = −gSinθ
a⃗ | V2
an = L0 − 2g(Cosθ − Cosθ0 )

2- Expression de la norme T de la tension ⃗⃗⃗T du fil en fonction de m, v0 , g, l, θ et θ0 .

TCI : ⃗P + T
⃗ = m ∙ a⃗
 2
⃗⃗⃗⃗n : mgCosθ + T = man ⇒
Proj/u T = m [VL0 − 2g(Cosθ − Cosθ0 )] + mgCosθ
V2
D’où T = m [ L0 + g(3Cosθ − 2Cosθ0 )]

3- valeur minimale 𝑣0𝑚 de la norme de ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑣0 pour que la bille effectue un mouvement révolutif.

Condition : θ = π ⇒ T > 0
V2 V2
θ = π ⇒ R = m [ L0 + g(3Cosπ − 2Cosθ0 )] = m [ r0 − g(2Cosθ0 + 3)]
V20
T>0 ⇒ − g(2Cosθ0 + 3) > 0 ⇔ V02 > 𝑔𝐿(3 + 2Cosθ0 ) soit V0 > √gL(3 + 2Cosθ0 )
r

d’où V0m = √gL(3 + 2Cosθ0 )

c. Système masse-ressort
⃗R
⃗
T ⃗⃗⃗⃗n
u
k = Constante de raideur O A
Ressort |
L0 = Longueur à vide
⃗
P
Lorsque le ressort tourne à la vitesse angulaire ω le ressort ω
est étiré et sa longueur devient L. Calculons L :

⃗P ⃗ +R
TCI : P ⃗ +T⃗ = m ∙ a⃗ ⃗⃗⃗⃗n : T = ma n
Proj/u
⃗ ext |⃗T
F V2
Or T = k(L − L0 ) et a n = OA = OA ∙ ω2 = Lω2 avec OA = L.
⃗
R 0
T = ma n ⇒ k(L − L0 ) = mLω2 ⇔ kL − mLω2 = kL0 d’où L = k−mω
kL
2

La longueur L du ressort en mouvement dépend donc de la vitesse angulaire ω du mouvement.

d. Le pendule conique

Un solide métallique se faibles dimensions et de masse m = 20g est suspendu à l’extrémité d’un fil de
masse négligeable et de longueur L = 50cm. L’autre extrémité du fil est fixée en un point O d’un axe
vertical (∆). Lorsque cet axe tourne à une vitesse angulaire suffisante, le fil s’incline et le centre d’inertie du
solide prend un mouvement circulaire uniforme sur le cercle de centre I et de rayon r.
1- Déterminer l’angle α formé par le fil et la verticale lorsque la vitesse angulaire vaut ω = 7,33 rad⁄s.
2- Calculer, dans ces conditions, la tension T du fil.
3- Quelle est la valeur minimale ω0 de la vitesse angulaire qui permet au pendule de prendre une inclinaison
par rapport à la verticale ? On prendra g = 9,8 N⁄kg.

Solution

1- Valeur de l’angle α formé par le fil et la verticale lorsque la vitesse angulaire vaut ω = 7,33 rad⁄s.
O
⃗
⃗Fext |P α
⃗
T
⃗ +T
TCI : P ⃗ = m ∙ a⃗ ⃗T
2 2
⃗⃗⃗⃗n : TSinα = mω ∙ IA = mLω Sinα car IA = OASinα = LSinα
Proj/u
α j
⃗⃗⃗⃗n A
u
I
Proj/j : −mg + TCosα = 0 ⇒ TCosα = mg ⇔ mLω2 Cosα = mg
g g
Donc Cosα = Lω2 d’où α = cos −1 (Lω2 )

9,8
A.N : α = cos −1 (0,5⨯7,332 ) α = 68,6°

⃗ lorsque la vitesse angulaire vaut ω = 7,33 rad⁄s.

2- Valeur de la tension T

T = mLω2

A.N : T = 0,02 ⨯ 0,5 ⨯ 7,332 T = 0,54N

3- Valeur minimale ω0 de la vitesse angulaire ω.

g g g g 9,8
Cosα ≤ 1 ⇒ ≤ 1 ⇔ ω2 ≥ L soit ω ≥ √L D’où ω0 = √L A.N : ω0 = √0,5 ω0 =
Lω2
4,43rad/s

3. Relèvement des virages

On étudie le mouvement d’un cycliste dans un virage relevé d’un angle α par rapport à l’horizontale ; on
suppose une absence totale de frottements entre la route et le vélo.
Le rayon du virage étant r, calculer la vitesse v que le cycliste doit avoir pour tourner sans encombre.
Lorsque le cycliste effectue le virage le mouvement est circulaire uniforme
2 2
D’apres TCI on a F⃗ =P
⃗ +R⃗ = m𝑎𝑛 =m𝑚𝑣 𝑛⃗ ⟹ F= 𝑚𝑣
𝑟 𝑟
𝑚𝑣2
𝐹 𝑣2
tan 𝛼= = 𝑟
⟹ tan 𝛼=𝑔𝑟 𝑅⃗
𝑃 mg
⃗F
G r O

⃗
P
α
 Exercices d’application
EXERCICE1
Sur une route rectiligne et horizontale, un conducteur procède à un essai de freinage. Alors que la vitesse du
véhicule est v1 = 25 m.s-1, le conducteur débraye et, simultanément, appuie sur le frein. Cette manœuvre n’a
à aucun moment l’effet de bloquer les roues et se manifeste, pratiquement, par l’apparition d’une force de
freinage f’, appliquée à la voiture, de même direction que le vecteur vitesse 𝑉 ⃗ et de sens contraire ; 𝑓 'est
supposée de valeur constante. Le véhicule s’arrête après un parcours
x2= 50m à partir de la position occupée à l’instant où le freinage a été appliqué ;m = 800 kg. On demande de
calculer :
a) la valeur f’ de la force de freinage et l’accélération a2 du mouvement,
b) le temps t2 mis par le véhicule pour s’arrêter, compté à partir de l’instant où l’on a appliqué le freinage

EXERCICE2
Un solide S de petites dimensions, de masse m et assimilable à un point matériel, est placé au sommet A d'une
piste circulaire AB. AB est dans le plan vertical et représente un quart de circonférence de centre O et de rayon
r = 5 m. On déplace légèrement le solide S pour qu'il quitte la position A avec une vitesse quasiment nulle et
glisse sans frottement le long de la piste.
⃗⃗⃗⃗⃗ , OC
Le solide perd le contact avec la piste en un point C tel ( (OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = α. On repère le mobile M par l'angle
⃗⃗⃗⃗⃗ , OM
θ tel que (OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = θ.
1 1-Exprimer sa vitesse VC, au point C, en fonction de α, r et g.
2 2-Calculer la valeur de l'angle α.
3 3-Déterminer le vecteur vitesse ⃗⃗⃗⃗
VC du solide en C.

EXERCICE3
Un cube de masse m = 1,0 kg assimilable à un point matériel glisse sur une piste formée de 2 parties
1
AB et BC qui sont dans un même plan vertical. AB représente 6 de circonférence de centre O et de
rayon r = 15,0 m. Le point O est situé sur la verticale de B. BC est une partie rectiligne de longueur
l = 15,0 m. Le cube est lancé en A avec une vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗
𝑣𝐴 telle que vA = 6,0 m.s-1.
⃗⃗⃗⃗⃗ )=𝜋rad.
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐸
a) On néglige les frottements. Calculer la vitesse en un point E défini par l’angle ϴ=( 𝑂𝐴 6
⃗ de la piste sur le cube en ce point ?
Quelles sont les caractéristiques de la réaction 𝑁
b) En fait sur le trajet ABC existent des forces de frottement assimilables à une force 𝑓, tangente à la
trajectoire, de valeur supposée constante. Le mobile arrive en C avec une vitesse 𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝐶 .
Calculer f sachant que vC = 12,5 m/s. O
On donne g = 9,8 m.s-2. R
A θ

E
l
B C
 Mouvement d’une Particule
soumise à une Force Constante
o Objectifs pédagogiques
- Déterminer les équations du mouvement d’un solide dans un champ de pesanteur ;
- Déterminer le mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme.

I. MOUVEMENT D’UN PROJECTILE DANS LE CHAMP DE PESANTEUR

z
1. Position du problème
g⃗
Le projectile est lancé d’un point O origine du
⃗⃗⃗
repère (𝑂, 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗) avec une vitesse 𝑣0 contenue dans ⃗
k
V0

le plan (𝑖, 𝑘⃗) ; 𝑣0 forme avec l’horizontale (𝑂, 𝑖) un angle α

x
O i A
𝛼. On suppose que l’effet de l’air est négligeable. j
d

2. Montrons que le mouvement du projectile est plan

Bilan des forces extérieures : 𝑃⃗ : poids du projectile.

TCI : ma⃗ = ⃗P ⇔ ma⃗ = mg⃗ d’où 𝐚⃗ = ⃗𝐠 = −𝐠𝐤
⃗ = 𝐚⃗ ∙ 𝐭 + 𝐕
Soit : 𝐕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟏 𝐚⃗ ∙ 𝐭 𝟐 + 𝐕
⃗ 𝟎 et 𝐎𝐌 ⃗ 𝟎 𝐭 + 𝐎𝐌
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝟎
𝟐
ax = 0 V0x = v0 cosα x0 = 0
a⃗ ay = 0 ⃗ 0 V0y = 0
V ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0 y0 = 0
OM
et z0 = 0
az = −g V0z = v0 sinα
1
x = ax t 2 + v0x t + x0
2
Vx = ax t + v0x 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y = ay t 2 + v0y t + y0
OM
⃗V Vy = ay t + v0y 2
1
Vz = az t + v0z z = 2 az t 2 + v0z t + z0

⃗a ⃗V ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM
(Ox) ax = 0 Vx = v0 cosα x = (v0 cosα)t
(Oy) ay = 0 Vy = 0 y=0
(Oz) az = −g Vz = −gt + v0 sinα z = −1gt 2 + (v0 sinα)t
2

⃗ ) ou le plan (xOz).
o y = 0 ⇒ Le mouvement est plan. Le plan de ce mouvement est le plan (i, k

3. Nature du mouvement du projectile

o Equation de la trajectoire
x 1 x 2 x
x = (v0 cosα)t ⇒ t = v . Donc on a : z = − 2 g (v ) + (v0 sinα)(v )
0 cosα 0 cosα 0 cosα
 𝐠
d’où : 𝐳 = − 𝟐(𝐯 𝟐 𝐱 𝟐 + 𝐱𝐭𝐚𝐧𝛂 z
𝟎𝐜𝐨𝐬𝛂)
1 𝐠[𝟏+(𝐭𝐚𝐧𝛂)𝟐 ] S
Comme = 1 + (tanα)2 alors on a : 𝐳 = − 𝐱 𝟐 + 𝐱𝐭𝐚𝐧𝛂 𝑣0
⃗⃗⃗⃗
(cosα)2 𝟐𝐯𝟎𝟐
⃗k
h
o Nature du mouvement α
O i P x
D’après l’équation de la trajectoire, la trajectoire est un arc de parabole. j
d
Le mouvement du projectile est donc parabolique.

4. Caractéristiques de la trajectoire
a. La flèche du tir
La flèche est la hauteur maximale atteinte par le projectile. C’est l’altitude du sommet S de la trajectoire.
Au sommet S de la trajectoire, on a :
V0 sinα V0sinα
VSz = 0 ⇒ −gt S + V0 sinα = 0 ⇒ t S = ⇒ xs = (V0 cosα)t = (V0 cosα)( )
g g
𝐕𝟎𝟐 𝐜𝐨𝐬𝛂𝐬𝐢𝐧𝛂 𝐕𝟎𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐𝛂
𝐱𝐬 = =
𝐠 𝟐𝐠
1 1 v0 sinα 2 v20 cosαsinα (𝐯𝟎 𝐬𝐢𝐧𝛂)𝟐
zs = − gt 2 + (v0 sinα)t = − g ( ) + d’où 𝐡 = 𝐳𝐬 =
2 2 g g 𝟐𝐠

b. La portée du tir
C’est la distance qui sépare le point de chute 𝑃(𝑥𝑃 , 𝑧𝑃 ) du point de lancement 𝑂 du projectile.
g g
zP = 0 ⇒ − 2(v xP2 + xP tanα = 0 ⇔ xP (− 2(v xP + tanα) = 0
0 cosα)2 0 cosα)
2

g 2(v0 cosα)2 tanα 2v20 cosαsinα 𝐯𝟎𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐𝛂

xP ≠ 0 ⇒ − 2(v x + tanα = 0 ⇒ xP = = d’où 𝐝 = 𝐱 𝐏 =
0 cosα)2 P g g 𝐠

On remarque que 𝐝 = 𝟐. 𝐱 𝐬

o Pour une vitesse initiale v0 donnée, indépendante de 𝛼, la portée est maximale si et seulement si
𝛑 𝐯𝟎𝟐
sin2α = 1 soit 𝛂 = 𝟒 = 𝟒𝟓° d’où 𝐝𝐦𝐚𝐱 = 𝐠

o Montrons que pour un point M et une vitesse initiale v0 données, la trajectoire passe par ce point
pour deux valeurs de l’angle α (xM = xP ).
𝑑 𝑔𝑑 v20 sin2α 𝑔𝑑 𝑑
Pour xM = d < dmax on a = < 1 ; soit d = ⇒ sin2α = = < 1.
dmax v20 g v20 dmax
𝑔𝑑
Il existe u ∈ R tel que sinu = ⇔ sin2α = sinu
v20
z
2𝛼1 = 𝑢 𝛼1 = 𝑢2
Donc { ⇔ {
2𝛼2 = 𝜋 − 𝑢 𝛼2 = 𝜋2 − 𝑢2
𝜋 v⃗⃗⃗0
On remarque 𝛼1 + 𝛼2 = 2 . 𝛂𝟏 et 𝛂𝟐 sont donc complémentaires. v⃗⃗⃗0
⃗k

𝜋 O i M P x
 Si α < = 45° alors le tir est dit tendu. j
4 d
𝜋
 Si α > = 45° alors le tir est dit en cloche.
4
5. Les angles de tir
A partir du point O, on veut lancer un projectile avec z
une vitesse ⃗⃗⃗⃗
V0 convenable pour qu’il atteigne une cible xA
A z
A. On néglige les frottements due à l’air. (voir figure) ⃗⃗⃗
V0 A

⃗ ), la trajectoire du centre d’inertie

Dans le repère (O, i, k ⃗k
du projectile obéit à l’équation : α
O i
x
 g
z = − 2v2 (1 + tan2 α)x 2 + xtanα
0
Le point A, de coordonnées (xA , yA , zA ), est situé sur cette trajectoire ; d’où :
g
zA = − (1 + tan2 α)xA2 + xA tanα.
2v20
Soit pour une vitesse initiale V0 imposée, on résout l’équation du second degré avec tanα comme inconnue :
2v2 2v20 zA
tan2 α − gx 0 tanα + +1=0
A gx2A
v40 2xA v20
Cette équation admet des solutions si et seulement si : ∆′ ≥ 0 ⇒ − −1≥0;
g x2A
2 gx2A
g V2
Soit V04 − 2𝑔V02 zA − g 2 xA2 ≥ 0 ⇔ zA ≤ − 2V2 xA2 + 2g0
0

𝐠 𝐕𝟐
o La courbe d’équation 𝐳 = − 𝟐𝐕 𝟐 𝐱 𝟐 + 𝟐𝐠𝟎 est celle d’une parabole appelée parabole de sureté.
𝟎
z

⃗k
La cible n’est atteinte que lorsqu’elle est située dans la zone
O x
et sur la parabole de sureté ou de sécurité. i

Exemple : x 0 V02 ⁄𝑔
Si on donne xA = z V02 ⁄2𝑔 0
30m, zA = 10m, V0 = 50m/s et g = 10m/s 2 alors on doit
résoudre l’équation :
1,8 tan2 α − 30 tanα + 11,8 = 0
D’où : tanα1 = 0,4 soit α1 = 22° (tir tendu) ;
tanα2 = 16,3 soit α2 = 86° (tir en cloche) ;

6. Conservation de l’énergie mécanique

L’énergie mécanique du système projectile-Terre se conserve, si on suppose l’absence de frottement. Le
projectile, dans le champ de pesanteur, constitue un système conservatif.

𝐄𝐦 = 𝐜𝐭𝐞 ⇔ 𝐄𝐦 𝐀 = 𝐄𝐦 𝐁 = 𝐜𝐭𝐞 ⇒ 𝐕𝐁𝟐 = 𝐕𝐀𝟐 + 𝟐𝒈(𝐳𝐀 − 𝐳𝐁 )

II. Mouvement d’une particule dans un champ électrostatique

1. Le champ électrostatique uniforme
Le champ électrostatique 𝐸⃗ est uniforme s’il garde la même direction, le même sens et la même intensité. On
obtient un champ électrostatique uniforme en appliquant une tension constante U entre deux plaques
métalliques A et B planes et parallèles.

A
+ + + + +

d UAC = U > 0
− − − − −

B
Les caractéristiques du vecteur champ électrostatique 𝐸⃗ entre les deux plaques A et B sont :
- Direction : perpendiculaire aux deux plaques A et B ;
-Sens : Orienté de la plaque de haut potentiel vers la plaque de potentiel le plus bas ; il a dont le sens des
potentiels décroissants ;
|𝐔 |
- Norme : elle est donnée par la formule : 𝐄 = 𝐝𝐀𝐁
o Une particule de charge q est soumise dans le champ électrostatique uniforme E ⃗ à une force F
⃗
telle que :
𝐅 = 𝐪𝐄⃗.
- Si q > 0 alors ⃗F et ⃗E ont même direction et même sens ;
- Si q < 0 alors ⃗F et ⃗E ont même direction mais sont de sens contraires.

2. Le canon à électrons
Une particule de masse m et de charge q (q = −e) pénètre en O entre deux plaques C et A avec une vitesse
⃗ 0.
V - ⃗P : Poids de la particule
-F ⃗ = qE ⃗ : Force électrostatique
o Bilan des forces extérieures :

Pour E = 1V/m, e = 1,6. 10−19 C et g = 10N/kg on a :

P = mg = 9,1 ∙ 10−31 . 10 ⇒ P = 9,1 ∙ 10−30 N et F = eE = 1,6. 10−19 N.
F 1,6.10−19
= 9,1∙10−30 = 1,8 ∙ 1010 donc F = 1,8 ∙ 1010 P ⇒ P ≪ F
P

On peut donc négliger le poids de l’électron devant la force électrostatique.

o Equations horaires du mouvement de la particule. C A
𝐪
TCI : ⃗F = ma⃗ = qE ⃗ ⇒ 𝐚⃗ = 𝐦 𝐄⃗
a⃗ = cte ⇒ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 a⃗t 2 + ⃗V0 t j
2 i v
⃗0
x′ O x
q
ax = − m E X=0 ⃗
k
V0x = V0
Or : a⃗ ay = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y=0 ⃗V0 V0y = 0 ⃗
E UAC = U > 0
OM0
az = 0 z=0 V0z = 0 d

𝐪
𝐱 = − 𝟐𝐦 𝐄𝐭 𝟐 + 𝐯𝟎 𝐭
d’où : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐲 = 𝟎
𝐎𝐌
𝐳=𝟎

Le mouvement de la particule est donc rectiligne uniformément varié.

o Calcul de la vitesse VS de la particule au point de sortie S.
1 1
⃗ ) = qUCA
mvS2 − 2 mv02 = WOS (F
2

𝟐𝐞𝐔 y
UCA = −U ⇒ 𝐕 = √𝐯𝟎 + 𝐦

V > V0 alors particule est accélérée dans un canon à électron. A

P
3. Appareil de déviation électrostatique S Y = O′P
j
⃗V0 α
U x′ d x
Soit un faisceau homocinétique d’électrons 𝑂 i I H O′
qui pénètre en O dans un champ ⃗
k ⃗ d
E
électrostatique uniforme avec un vecteur 2
Ecran
vitesse 𝑣0 tel que 𝑣0 perpendiculaire à 𝐸⃗ . On B
néglige le poids d’un électron devant la force D
électrostatique y′ L
 a. Montrons que le mouvement d’un électron est plan.
𝐪 V0x = V0
TCI : ⃗F = ma⃗ = qE
⃗ ⇒ 𝐚⃗ = 𝐦 𝐄⃗ ⃗ 0 V0y = 0
V
a⃗ = cte ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 a⃗t 2 + v
⇒ OM ⃗ 0t avec V = 0 et
𝐔
𝐄 = 𝐝.
2 0z

a⃗ ⃗V ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM
(Ox) ax = 0 Vx = v0 x = v0 . t
q
(Oy) a = − E = − q q qU q qU 2
y U Vy = − E. t = − t y=− E. t 2 = − ∙t
m md m md 2m 2md
(Oz) az = 0 Vz = 0 z=0
o 𝐳 = 𝟎 ⇒ le mouvement est plan.

b. Nature du mouvement d’un électron.

o Dans le champ électrostatique uniforme on a :
x 𝐪𝐄 𝐪𝐔
x = v0 t ⇒ t = v d’où 𝐲 = − 𝟐𝐦𝐯𝟐 𝐱 𝟐 = − 𝟐𝐦𝐝𝐯𝟐 𝐱 𝟐
0 𝟎 𝟎

Le mouvement de l’électrons dans le champ électrostatique est parabolique.

⃗ ⇒ 𝐚⃗ = 𝟎
o Hors du champ électrostatique on a ∑ 𝐅𝐞𝐱𝐭 = 𝟎 ⃗ ⇒ 𝐯⃗ = 𝐜𝐭𝐞
Le mouvement est donc rectiligne uniforme.

c. Déviation angulaire ; déflexion électrostatique

o Le faisceau homocinétique est dévié à la sortie du champ électrostatique 𝐸⃗ d’un angle 𝛼 tel
2y
que tanα = l s avec I est milieu de [O ;H].
qEl2 qUl2 𝐪𝐄𝐥 𝐪𝐔𝐥 𝐪𝐄𝐥 𝐪𝐔𝐥
yS = − 2mv2 = − 2mdv2 alors 𝐭𝐚𝐧𝛂 = − 𝐦𝐯𝟐 = − 𝐦𝐝𝐯𝟐 ⇒ 𝛂 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (− 𝐦𝐯𝟐 ) = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (− 𝐦𝐝𝐯𝟐 )
0 0 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

o La déflexion 𝐘 = 𝐎′𝐏 est l’ordonnée du point d’impact 𝑃 sur l’écran. Elle est encore appelée
déflexion électrostatique.

Y 𝐪𝐃𝐥 𝐪𝐃𝐥
tanα = ⇒ Y = Dtanα soit 𝐘 = − 𝐄=− 𝐔
D 𝐦𝐯𝟎𝟐 𝐦𝐝𝐯𝟎𝟐
 Exercices d’application

EXERCICE 1
Pendant le match Togo-Ghana, comptant pour la demi-finale de la coupe d’Afrique des moins de 17 ans joué
à Lomé, l’arbitre siffle un « coup franc » direct en un point O choisi comme origine du repère (O𝑖, 𝑗, 𝑘⃗). Le
« mur » est placé à la distance réglementaire L = 9 m de O et la ligne de but est à
D = 17 m du ballon. On prend g = 9,8 m/s et on néglige la résistance de l’air. Le joueur s’avance et frappe le

« coup franc » avec un vecteur vitesse Vo de module Vo = 15 m/s et qui fait l’angle  = 30° avec l’axe Ox.

1.a/ Ce tir est-il tendu ou en cloche ?

b/ Etablir les équations horaires de la balle dans le repère indiqué ;
c/ Montrer que le mouvement est plan, préciser ce plan et donner l’équation de la trajectoire.
2.a/ A quelle date t 1 la balle passe au-dessus du « mur » ?
b/ Quelle est la vitesse de la balle à ce instant t 1 ?
c/ La balle n’est pas intercepté par le « mur » A quelle date t2 entre-t-elle dans les but,
3. A la date t1 où la balle passe au-dessus du « mur », un défenseur initialement arrêté en A situé à
l = 7 m des buts se met à courir d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré suivant l’axe Ox et se
dirige vers les buts pour intercepter la balle. Son accélération est a = 3,5 m/s -2.
On suppose que si le défenseur arrive avant la balle sur la ligne de but, il l’intercepte ; dans le cas contraire,
le but est marqué.
a/ A quelle date t3 le défenseur arrive-t-il sur la ligne de but ?
b/ Le « coup franc » sera-t-il marqué ?
EXERCICE 3
Des électrons sont émis par une cathode C avec une vitesse initiale négligeable. Ils sont alors accéléré par
une tension UQC = U0 = 500 V et arrivent en Q avec une vitesse 𝑉 ⃗ 0 faisant un angle α avec l’axe (ox). Le
poids des électrons a un effet négligeable.
1.Énoncer le théorème de l’énergie cinétique et l’utiliser pour calculer le module Vo de la vitesse 𝑉 ⃗ 0.
2.Les électrons venant de Q arrivent en O, avec la vitesse 𝑉 ⃗ 0. Ils pénètrent à l’intérieur du
condensateur plan constitué par les plaques AA’et y
BB’(voir figure) le champ électrique 𝐸⃗ uniforme et
A A’
la tension UAB = U est positive.
2.1. Dans le repère (o ; 𝑖 ; j ) ;exprimer en fonction j ⃗0
𝑉 𝐸⃗ d
de e, Vo, u, α et d les composantes des vecteurs O α
•
accélération, vecteur vitesse et vecteur position a 𝑖 O’ x
l’intérieur des plaques. Anode
Q B B’
2.2. En déduire l’équation cartésienne de la trajectoire
en fonction de Uo ;U ;d et α L
2.3. Exprimer en fonction de U0 ; U ; d et α , les C
coordonnées du point M où le vecteur vitesse est figure
parallèle à l’axe (ox). Cathode
En déduire la relation liant U0 ; U et α pour que
l’électron ne touche pas la plaque supérieure AA’.
- On veut que l’électron sorte du champ en O’ :
- Déterminer en fonction de α ; L ; d et U0 la tension à appliquer entre les plaques.
Donner sa valeur numérique.
- Montrer alors que le vecteur vitesse en O’ a la même valeur qu’en O
Données numériques : Charge élémentaire e = 1,6.10 – 19 C ,
masse de l’électron ; m=9,1.10 – 31 Kg ; α = 30° ; d = 7,0 cm ; L = 20 cm = OO’

EXERCICE 3
Le dispositif décrit dans cet exercice se trouve dans le vide.
Masse d’un ion 8AO 2 : m = Au ; charge élémentaire : e = 1,6.10-19C ; unité de masse atomique :
u  1,66.10 27 kg ; distance entre les armatures P1 et P2 : do = 10 cm ; distance entre les armatures P et Q,
d = 5 cm.
L’oxygène possède deux isotopes naturels : l’isotope 168O 2 et l’isotope 188O 2 .
Dans une chambre d’ionisation, les atomes des deux isotopes sont transformés en ions 168O 2 et 188O 2 . Ces
ions sont admis sans vitesse dans un accélérateur linéaire constitué de deux plaques P 1 et P2 ; un orifice O1
est fait dans la plaque P1. Entre les plaques P1 et P2, il existe une tension Uo = VP1 –VP2 qui crée un champ
 
électrique uniforme de vecteur champ E o . Les ions sortent du champ E o par un orifice O2 fait dans la plaque
P2 ; les orifices O1 et O2 sont une droite perpendiculaire aux plaques P et Q.
1.a/ Quel signe doit avoir Uo pour que les ions 168O 2 et 188O 2 soient accélérés ?
b/ On donne Uo= 4000 V. Calculer en O2 : l’énergie cinétique des ions en eV et en joule ; la vitesse V1
des ions 168O 2 ; la vitesse V2 des ions 188O 2 . On donne 1eV = 1,6.10-19J
2. Les ions à leur sortie de l’orifice O2, pénètrent par un point O dans un autre champ électrique uniforme de
  
vecteur champ E perpendiculaire à V1 et V2 , crée par deux plaques P et Q entre lesquelles existe une d.d.p U
= VP – VQ.
 
La plaque supérieure est P. L’espace compris entre les plaques P et Q est muni du repère (O; i , j ) tel que : O
  
soit équidistant de P et Q ; V1  V1i et j est vertical ascendant. Les plaques P et Q ont une longueur l = 20
cm.
a/ Quel signe doit avoir U pour que les ions soient déviés vers la plaque P ?
   
b/ Représenter les vecteurs champ Eo ; E , et les vecteurs vitesse V1 et V2 en O.
 
c/ Etudier dans le repère (O; i , j ) le mouvement d’un ion 8AO 2 de masse m.
d/ Déterminer l’équation cartésienne de la trajectoire d’un ion 8AO 2 en fonction de Uo ; U et d. Le dispositif
permet-il de séparer les ions 8AO 2 ? Justifier la réponse.

e/ Les ions sortent du champ E en un point S tel que ys = 1,5 cm. Calculer l’angle de déviation θ ; et la
valeur de U.
3- On dispose d’un écran vertical E à la distance D du centre des plaques de longueur l, trouver en fonction
de U, U0, l, D et d, l’expression de la distance Y = O’M, M étant le point d’impact d’un ion sur l’écran

E
P1 P2

O1 d O’
O2 O

Q
l

D
 INTERACTIONS GRAVITATIONNELLES- MOUVEMENT CIRCULAIRE DES SATELLITES

I/Interactions gravitationnelles
1-La loi de la gravitation universelle
Deux corps ponctuels A et B de masses mA et mB, exercent l’un sur l’autre des forces attractives
proportionnelles à leur masse et inversement proportionnelles au carré de leur distance.
𝐦 ∗𝐦
𝐅𝑨/𝑩 = − G 𝐀𝒓𝟐 𝐁 𝒖
⃗⃗ 𝑨𝑩 = −𝐅𝑩/𝑨
𝐅𝑨/𝑩
𝐅𝑩/𝑨
A● ●B
⃗ 𝑨𝑩
𝒖
𝐦𝐀 ∗𝐦𝐁
F=FA/B =FB/A = G G : constante de gravitation, G=6,67.10-11Nm2kg-2 , r en m, m en kg et F en N
𝒓𝟐

Cette loi est dite universelle car elle s’applique à tous les astres de l’univers.

2-Champ de gravitation
2.1 Définition
Un object ponctuel ou à répartition de masse de symétrie sphérique de centre O et de masse M, crée en
tout point extérieur P un champ gravitationnel.
G(p) = − G 𝐌 𝒖
⃗⃗ 𝑶𝑷 G(p)= G𝒓𝟐
𝐌
𝒓𝟐 O● G(p) P
●
⃗ 𝑶𝑷
𝒖

2.2. Force exercée par un objet placé dans un champ de gravitation

Un objet ponctuel de masse m place en P dans le champ de gravitation G(p) subisse l’action de la force
⃗ =m G(p)
gravitationnelle tel que: F F= mG(p)

2.3. Champ de gravitation de la Terre

La Terre peut être considérée comme un corps de répartition sphérique de masse, de centre O, de rayon RT et
de masse MT. Elle crée un champ gravitationnel en un point P. Si on néglige l’effet de la rotation de la Terre
𝐌
,le champ de gravitation s’identifie au champ de pésanteur : G(p) =g= G 𝒓𝟐𝑻

G
O● ●P
⃗ 𝑶𝑷
𝒖 z (p

𝐌
−Si P se trouve à la surface de la Terre r = RT ⟹ g0= G𝑹 𝑻𝟐
𝑻
𝐌𝑻
− Si P se trouve à une altitude z r= z+R T ⟹ g = G
(𝑹𝑻 +𝒁)𝟐
𝐌 𝐌𝑻 𝑹𝑻 𝟐
− Relation entre g et g0 : g0= G𝑹 𝑻𝟐 et g = G(𝑹 ⟹ g= g0(𝑹
𝑻 𝑻 +𝒁)𝟐 𝑻 +𝒁)
𝟐
Z 𝑅𝑇 1
− Si P est au voisinage de la Terre on a z ≪ RT ⟹ ≪ 1. or g=g0 (𝑅 )2 ⟹ g=g0 ( Z )2 ⟹
RT 𝑇 +𝑍 1+
RT
Z 𝐙
g=g0(1 + R )−2 or (1 + 𝜀)𝑛 ≃1+n 𝜀 ⟹ g≃g0(𝟏 − 𝟐 𝐑 )
T 𝐓
⃗⃗ = 𝒈
Dans la réalité 𝑮 ⃗⃗
⃗⃗ +Rω2cosλ𝑵

2.4. Mouvement d’un solide soumis aux seules forces de gravitation

D’après TCI on a ⃗F =m 𝑎𝐺 ⟹ 𝑎𝐺 = G(p) ∀ m
Dans un repère Galiléen l’accélération du centre d’inertie d’un corps soumis uniquement aux forces de
gravitation est indépendante de sa masse, elle est égale au champ de gravitation au point considéré.

2.3Énergie potentielle de gravitation

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
La force gravitationnelle est une force conservative donc ∆Ep=- 𝑊 (𝐹)
Soient deux corps (A) et (B) de masses respectives mA et mB. Supposons que le corps (1) passe de r à ∞
∞ m ∗m 𝑚 ∗𝑚 ∞
𝛿𝑊=F ⃗⃗⃗⃗ = −F.𝛿𝑟 or F= GmA ∗m
⃗ . 𝛿𝑟 B m ∗m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⟹ 𝛿𝑊 = − G A 2 B . 𝛿𝑟 ⟹ 𝑊 (𝐹) =− ∫ G A 2 B . 𝛿𝑟 = [𝐺 𝐴 𝐵 ]
2 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(𝐹) mA ∗mB
∆Ep=- 𝑊 = G r
Si r→ ∞, Ep→0, à l’ infini l’énergie potentielle est nulle c’est la référence.
𝐦 ∗𝐦 𝐌 ∗𝐦
On a EP= − G 𝐀 𝐁 d’où l’énergie potentielle de gravitation terrestre s’écrie sous la forme: EP= − G 𝐓
𝐫 𝐑 𝐓 +𝐡

II/Mouvement circulaire des satellites terrestres

1-Montrons que le mouvement est uniforme

Le mouvement des satellites s’étudie dans un référentiel géocentrique supposé Galiléen.

𝑑𝑣
D’après TCI on a : ⃗F =m 𝑎 ⟹ 𝑎=𝑔 ⟹ 𝑎=g𝑛⃗ ⟹ 𝑎=𝑎 ⃗⃗⃗⃗𝑛 ⟹ 𝑎𝜏 =0 ⟹ =0 ⟹ v=cte
𝑑𝑡
Le mouvement d’un satellite en orbite circulaire est uniforme.
𝜏
⃗
F
O●
1.1. L’expression de la vitesse ⃗
n
𝑣2 𝑣2 𝑹𝑻 𝟐 𝑹𝑻 𝟐 𝐆𝐌𝐓
a= g ⟹ 𝑎𝑛 =g ⟹ = g ⟹ (𝑹 = g0(𝑹 𝟐 ⟹ v=√𝐠 𝟎 𝑹 =√𝑹
𝑟 𝑻 +𝒁 𝑻 +𝒁) 𝑻 +𝒁 𝑻 +𝒁

La vitesse dépend du rayon de l’orbite. Plus le rayon est grand, plus la vitesse est petite

1.2. Période de révolution d’un satellite en orbite circulaire

La période de révolution d’un satellite est le temps qu’il met pour effectuer un tour complet sur son orbite.
2𝜋(𝑹𝑻 +𝒁) (𝑹𝑻 +𝒁)3 (𝑹𝑻 +𝒁)3
T= ⟹ T=2𝜋√ 𝟐 =2𝜋√
𝑣 𝐠 𝟎 𝑹𝑻 𝐆𝐌𝐓
La période est indépendante de la masse et dépend de l’altitude.

2. Satellites géostationnaires
Un satellite géostationnaire est un satellite qui apparait fixe par rapport à la Terre. Par rapport au référentiel
géocentrique, il a un mouvement circulaire uniforme.
Il se situe dans le plan de l’équateur, évolue d’Ouest en Est, et sa période de révolution est celle de la Terre
(23h 56min 04s =86164s)
−altitude d’un satellite géostationnaire :
2 2
(𝑹𝑻 +𝒁)3 𝑇02𝑔0 𝑅𝑇 3 𝑇02𝑔0 𝑅𝑇
T=T0=2𝜋√ 𝟐 ⟹ (𝑹𝑻 + 𝒁)3 = ⟹ ℎ0 =Z= √ − 𝑹𝑻 ≈36000km
𝐠 𝟎 𝑹𝑻 4𝜋2 4𝜋2

3. La 3ème lois de KEPLER

3.1 enoncé de la loi
(𝑹𝑻 +𝒁)3 𝐓𝟐 𝟒𝝅𝟐
T==2𝜋√ ⟹ =𝑮𝑴 =cte
𝐆𝐌𝐓 𝐫𝟑 𝑻

Autour d’un astre , les carrés de la période de révolution des satellites en orbites circulaires sont proportionnels
T2
aux cubes des rayons des orbites: r3 = cte.

2. Application de la 3ème loi de KEPLER

La 3 ème
loi de KEPLER s’applique à n’importe quels planètes et satellites. Elle permet de déterminer leur
masse.
−Pour une planète tournant avec une période T et décrivant une orbite circulaire autour du soleil on a :
𝐓 𝟐 𝟒𝝅𝟐 𝟒𝝅𝟐
𝟑= ⟹ MS= 𝐓𝟐
𝐫 𝑮𝑴𝑺 𝑮( 𝟑 )
𝐫
−Pour un satellite tournant avec une période T et décrivant une orbite circulaire autour d’une planète on a :
𝐓𝟐 𝟒𝝅𝟐 𝟒𝝅𝟐
=𝑮𝑴 ⟹ MP= 𝐓𝟐
𝐫𝟑 𝑷 𝑮( 𝟑 )
𝐫
 EXERCICES SUR LA GRAVITATION

EXERCICE1
Le télescope Hubble a été mis en orbite circulaire autour du centre O de la Terre. Il évolue a
l'altitude zH = 600 km. Ce télescope, objet pratiquement ponctuel par rapport a la Terre, est note H et a une
masse m = 12 tonnes.
1) Enoncer la loi de gravitation de Newton ou loi de l'attraction universelle de Newton au télescope a
l'altitude z et donner l'expression littérale de l'intensité FH de la force de gravitation qu'il subit en fonction de
g0, m, z et du rayon R de la Terre.
2) Calculer l'intensité de cette force pour
z = zH = 600 km ; ainsi que l'intensité GH du champ gravitationnel a cette altitude.
3) Le mouvement du télescope est étudié dans le référentiel géocentrique dont l'origine est O.
3.a- Quelle est la nature de ce mouvement ?
3.b- Déterminer l'expression littérale de la vitesse v du satellite sur son orbite en fonction de R, g 0 et z puis
calculer sa valeur en m.s-1 et en km.s-1.

EXERCICE2
On considère une planète P de masse M. Le mouvement de l'un de ses satellites S, assimile à un point matériel
de masse m, est étudié dans un référentiel considère comme galiléen, muni d'un repère dont le centre coïncide
avec le centre O de la planete P et les trois axes diriges vers trois étoiles fixes. On admet que la planète a une
distribution de masse a symétrie sphérique et que l'orbite de son satellite est un cercle de centre O et
de rayon r.
1) Donner les caractéristiques de la force de gravitation ⃗F exercée par la planète P sur le satellite S. Faire un
schema.
2) Donner l'expression du champ de gravitation G ⃗ crée par la planète P au point où se trouve le satellite S.
Représenter ce vecteur de gravitation G ⃗ sur le schéma précédent.
3) Déterminer la nature du mouvement dans le référentiel d'étude précise
4) Exprimer le module de la vitesse V et la période de révolution T du satellite S en fonction de la constante
de gravitation G, du rayon r de la trajectoire du satellite S et de la masse M de la planète P.
𝑇2
Montrer que le rapport 𝑟 3 est une constante.
5) Sachant que l'orbite du satellite S a un rayon r = 185 500 km et que sa période de révolution vaut
T = 22,6 heures, déterminer la masse M de la planète P.
6) Un autre satellite S' de la planète P a une période de révolution T' = 108,4 heures. Déterminer le rayon r' de
son orbite.

EXERCICE3
Données : La Terre et la Lune sont considérées comme des corps sphériques homogènes.
Masse de la Lune : ML= 7,34. 1022 kg ; RL = 1 740 km
Masse de la Terre : MT= 6.1024kg ; RT=6400km ; G=6,67.10-11 S.I
Distance des surfaces de la Terre et de la Lune :D = 384. 103 km
1) Calculer le champ de gravitation crée par la Lune a sa surface.
2) Calculer la force de gravitation qu'exerce la Lune sur la Terre.
3) En quel point du segment joignant les centres de la Lune et de la Terre la force de gravitation est-elle nulle?
4) Démontrer que l'energie potentielle de gravitation d'un corps de masse m situe à la distance r du centre
𝑀.𝑚
d'une planète de masse M, vaut : EP =-G 𝑟 Prendre EP = 0 a l'infini.
5) Exprimer la vitesse de libération Vl ou première vitesse cosmique, d'un objet par rapport a une planète de
masse M et rayon R en fonction de K, M et R. Faire l'application numérique pour la Terre et pour la Lune.
6) Déterminer l'altitude à laquelle doit évoluer un satellite terrestre géostationnaire.
7) Un satellite passe tous les 26 jours au-dessus de la verticale d'un lieu terrestre après 370 révolutions, son
altitude est alors de 830 km. Ces données sont-elles compatibles avec le fait que le satellite a une trajectoire
circulaire autour de la Terre ? Justifier la réponse. On admet que la période est mesurée a 1 % pres.

EXERCICE4
On admet que la Terre a une répartition de masse à symétrie sphérique. Elle est considérée comme une sphère
de centre O, de rayon R = 6370 km et de masse M = 5,97.1024 kg.
Le constante de gravitation universelle est G = 6,67. 10-11 N. kg-2. m2
Un satellite, assimile a un point matériel, décrit une orbite circulaire de rayon r dans le plan équatorial, autour
de la Terre.
1) Montrer que le mouvement du satellite est uniforme.
2) Etablir l'expression de sa vitesse v en fonction de r, M et G.
En déduire l'expression de la période T du mouvement du satellite en fonction de r, M et G.
3) Les données suivantes constituent un extrait de la fiche technique de la mission de la navette spatiale
américaine DISCOVERY pour l'étude environnementale sur l’atmosphère moyenne de la Terre :
· Masse de la navette en orbite : m = 69,68.103 kg.· Altitude moyenne h = 296 km.
· Nombre d'orbites n = 189. (Nombre de tours effectues par DISCOVERY de sa date de lancement
Jusqu’à la date d'atterrissage).
3.1- Déterminer a partir des données techniques, les valeurs numériques de la vitesse et de la période du
mouvement de la navette spatiale DISCOVERY.
3.2- La navette a atterri le 18 Aout 1997 à Kennedy Space Center. Déterminer la date de lancement de la
navette ; on négligera les durées de la mise sur orbite et de l'atterrissage.
4) DISCOVERY a atterri le 18 aout 1997, a la date t = 7 h 07 min. Dans la phase d'approche à l'atterrissage,
moteurs à l'arrêt, la navette est soumise à son poids et aux forces de frottement de l'air.
On trouvera ci-dessous la valeur de sa vitesse à différentes dates.
Dates Altitude (km) Vitesse (m.s-1)
t1 = 6 h 59 min 54,86 1475
t2 = 7 h 04 min 11,58 223,5

On prendra g = 9,7 m. s-2 pendant toute la phase d'approche.

4.4.1- Calculer le travail du poids du DISCOVERY entre les dates t 1 et t2.
4.4.2- En utilisant le théorème de l'énergie cinétique, calculer le travail des forces de frottement de l'air sur
DISCOVERY entre les instants t 1 et t2 de la phase d'approche a l'atterrissage.

EXERCICE5

Dans le référentiel géocentrique un satellite évolue sur une orbite circulaire de rayon r1= 20 000 km dans le
plan équatorial de la Terre. Il se déplace d’Ouest en Est. La période du mouvement de rotation de la Terre
dans ce référentiel est T0 = 86 164 s.
1) Montrer que le mouvement de rotation du satellite est uniforme.
2) Etablir l’expression de la vitesse du satellite dans le référentiel géocentrique puis calculer sa valeur.
3) En déduire l’expression de la période T 1 du mouvement du satellite puis calculer sa valeur.
4) Déterminer la valeur r de l’orbite du satellite pour qu’il soit géostationnaire.
5) Quelle est pour un observateur terrestre, la période de révolution Ta du satellite évoluant sur l’orbite
circulaire de rayon r1 = 20 000 km.
6) Un autre satellite, de période T2 évoluant dans le plan équatorial de la Terre sur une orbite circulaire de
rayon r2 = 18 000 km dans le même sens que le premier.
A l’aide d’un schéma clair indiquer les positions des deux satellites quand leur distance est minimale.
Ce rapprochement entre les deux satellites se répète périodiquement. Calculer la période ϴ de ces
Rapprochements.
 Les Oscillations Mécaniques
Le Pendule Elastique
o Objectifs pédagogiques
- Décrire un pendule élastique ;
- Etablir l’équation différentielle d’un pendule élastique ;
- Calculer l’énergie mécanique d’un pendule élastique
- Définir le régime pseudopériodique et le régime apériodique.

I. MOUVEMENT D’UN OSCILLATEUR MECANIQUE

1. Généralités
Un oscillateur est un système mécanique animé d’un mouvement périodique. Il est dit harmonique lorsque son
abscisse par rapport à sa position d’équilibre est une fonction sinusoïdale du temps de la forme :
𝐱 = 𝐗 𝐦 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐭 + 𝛗) ou 𝐱 = 𝐗 𝐦 𝐬𝐢𝐧(𝛚𝐭 + 𝛗)
Xm : Amplitude (en m)
ω : Pulsation (en rad/s)
ωt + φ : Phase à l’instant t en (rad)
φ : Phase à l’instant t = 0 (rad)
o La période T, exprimée en seconde, d’un oscillateur harmonique est la durée d’une oscillation
complète. On appelle oscillation complète le passage du solide par le même point dans le même sens.
𝟐𝛑
𝐓=
𝛚
o La fréquence N ou f, exprimée en Hertz (Hz), d’un oscillateur harmonique représente le
nombre d’oscillations complètes effectuées en une seconde.
𝟏 𝛚
𝐍 = 𝐟 = 𝐓 = 𝟐𝛑 ⇔ 𝛚 = 𝟐𝛑𝐍 = 𝟐𝛑𝐟

2. Le Pendule élastique horizontal

a. Schéma du dispositif expérimental
Le système est constitué d’un solide (𝑆) de centre d’inertie 𝐺 et de masse 𝑚 accroché à un ressort de masse
négligeable, de constante de raideur 𝑘 et de longueur à vide 𝑙0 .
l

⃗𝐑
∆l
⃗
𝐓

⃗
𝐏

x’
O i ⃗0
v
x x
0 d

On déplace le solide de sa position d’équilibre d’une distance d vers la droite et on l’abandonne dans le sens des
abscisses négatives avec la vitesse 𝑣0 à une date que l’on prendra comme origine des instants.
b. Nature du mouvement du solide accroché au ressort
⃗P : Poids du solide
⃗ ext
F ⃗ : Réaction de la tige
R
 o Etude de l’équilibre
⃗ +R
PI : P ⃗ +T
⃗ =0 ⃗ Proj/x : 0 + 0 + T = 0 ⇒ T = 0
Or T = k∆l = k(l − l0 ) ⇒ l = l0
A l’équilibre, le ressort n’est donc pas déformé
o Etude du mouvement
TCI : ⃗P + ⃗R + ⃗T = ma⃗ Proj/x : 0 + 0 − T = max
dvx d2 x
Or T = k∆l = k(l − l0 ) = kx et ax = = = ẍ donc −kx = mẍ
dt dt2
̈ 𝐤
D’où 𝐦𝐱̈ + 𝐤𝐱 = 𝟎 ⇔ 𝐱+ 𝐱 =𝟎
𝐦
k 𝐤
En posant ω20 = ⇒ 𝛚𝟎 = √ alors on obtient : 𝐱̈ + 𝛚𝟐𝟎 𝐱 = 𝟎
m 𝐦
𝐤
Conclusion : Le mouvement du solide est donc rectiligne sinusoïdal de pulsation 𝛚𝟎 = √𝐦 et de période 𝐓𝟎 =
𝟐𝛑 𝐦
𝛚𝟎
= 𝟐𝛑√ 𝐤 .

c. Résolution de l’équation différentielle

Comme le mouvement du solide est rectiligne sinusoïdal, l’abscisse 𝑥 de son centre d’inertie est sous la forme : x=
Xm cos(ω0 t + φ) ⇒ v = ẋ = −ω0 Xm sin(ω0 t + φ)
d
x = Xm cos φ = d ⇒ cos φ = X > 0
A t = 0 on a m
v0
v = −ω0 Xm sin φ = −v0 ⇒ sin φ = ω >0
0 Xm

d2 v20 v20
cos2 φ + sin2 φ = 1 ⇒ + =1 d’où Xm = √d2 +
X2m ω20 X2m ω20

k 𝐦𝐯𝟎𝟐 sin φ 𝐯 𝐯
Comme ω20 = m alors 𝐗 𝐦 = √𝐝𝟐 + 𝐤
et tan φ = cos φ ⇒ 𝐭𝐚𝐧 𝛗 = 𝐝𝛚𝟎 soit 𝛗 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (𝐝𝛚𝟎 )
𝟎 𝟎

3. Le Pendule élastique vertical

a. Schéma du dispositif expérimental
X′

∆l0 ∆l0
∆l O 0
𝑥
x
⃗0
v
d
X

b. Nature du mouvement du solide accroché au ressort

⃗P : Poids du solide
⃗ ext
F
⃗ : Tension du ressort
T
o Condition d’équilibre du système solide-Ressort
⃗ +T
PI : P ⃗ =0
⃗ Proj/x : mg − T = 0 or T = k∆l0 donc mg − k∆l0 = 0.
 𝐦𝐠 𝐦𝐠
Soit : ∆𝐥𝟎 = 𝐤
ou 𝐤 = ∆𝐥
𝟎

o Etude du mouvement du système

⃗ +T
TCI : P ⃗ = ma⃗ Proj/x : mg − T = max
or T = k∆l = k l2 − l0 ) = k(∆l0 + x) donc mg − k(∆l0 + x) = mẍ
(
mg − k∆l0 − kx = mẍ
mg − k∆l0 = 0 ⇒ −kx = mẍ ⇔ mx + kẍ = 0
̈ 𝐤
d’où 𝐦𝐱̈ + 𝐤𝐱 = 𝟎 ⇔ 𝐱 + 𝐱 = 𝟎
𝐦

𝐱 + ̈ 𝛚𝟐𝟎 𝐱 = 𝟎
k 𝐤
En posant ω20 = ⇒ 𝛚𝟎 = √ alors on obtient :
m 𝐦
𝐤
Conclusion : Le mouvement du solide est donc rectiligne sinusoïdal de pulsation 𝛚𝟎 = √𝐦 et de période 𝐓𝟎 =
𝟐𝛑 𝐦
𝛚𝟎
= 𝟐𝛑√ 𝐤 .

II. ETUDE ENERGETIQUE D’UN PENDULE ELASTIQUE

1. Energie potentielle élastique d’un pendule élastique
L’énergie potentielle élastique d’un pendule élastique est l’énergie qu’il possède du fait de son allongement ou de son
raccourcissement. Elle est notée EPe et est donnée par l’expression :
𝟏
𝐄𝐏𝐞 = 𝟐 𝐤(∆𝐥)𝟐 ; où ∆l est l’allongement ou le raccourcissement du ressort.

2. Etude énergétique d’un pendule élastique horizontal

⃗k
X’
O 𝑖 ⃗0
v
zR
0 x d

Prenons pour position de référence de l’énergie potentielle de pesanteur la direction de la tige confondue à l’axe(Ox).
o Expression de l’énergie mécanique du système
Em = EC + EPe + EPP
1 1
EC = 2 mv 2 = 2 mẋ 2 avec v = ẋ ;
1 1
EPe = k∆l2 = kx 2 avec ∆l = x ;
2 2
EPP = mg(z − zR ) = 0 avec z = zR
𝟏 𝟏
d’où 𝐄𝐦 = 𝟐 𝐦𝐱̇ 𝟐 + 𝟐 𝐤𝐱 𝟐

o Montrons qu’en l’absence de frottement l’énergie mécanique du système se conserve

𝐤
Frottements négligeables ⇒ 𝐱 = 𝐗 𝐦 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝟎 𝐭 + 𝛗) avec 𝛚𝟎 = √𝐦 ⇒ 𝐦𝛚𝟐𝟎 = 𝐤.
1 1
Em = m[−ω0 Xm cos(ω0 t + φ)]2 + k[Xm cos(ω0 t + φ)]2
2 2
1 1
Em = 2 mω20 Xm
2 [cos(ω 2 2
0 t + φ)] + 2 kXm [cos(ω0 t + φ)]
2

1
2 [cos(ω 2 2 1 2
Em = 2 kXm 0 t + φ)] + 2 kXm [cos(ω0 t + φ)]
1
2 [cos 2 (
Em = 2 kXm ω0 t + φ) + sin2(ω0 t + φ)]
𝟏
Comme cos2 (ω0 t + φ) + sin2(ω0 t + φ) = 1 donc 𝐄𝐦 = 𝟐 𝐤𝐗 𝟐𝐦 = 𝐜𝐭𝐞

o Retrouvons l’équation différentielle du mouvement à partir de l’énergie mécanique

dEm d 1 1
Em = cte ⇒ =0 ⇔ ( mẋ 2 + kx 2 ) = 0
dt dt 2 2
 mẍ ẋ + kẋ x = 0 ⇔ ẋ (mẍ + kx) = 0
𝐤
or ẋ = v ≠ 0 donc 𝐦𝐱̈ + 𝐤𝐱 = 𝟎 d’où 𝐱̈ + 𝐦 𝐱 = 𝟎

3. Etude énergétique d’un pendule élastique vertical

On considère le système ci-dessous et on suppose que les frottements sont négligeables.

X′ Z

∆l0 ∆𝑙0
∆l O 0 zR (EPP = 0)
𝑥
𝑥 z

X Z′

o Expression de l’énergie mécanique du système

𝐄𝐦 = 𝐄𝐂 + 𝐄𝐏𝐞 + 𝐄𝐏𝐏
1 1
EC = mv 2 = mẋ 2 avec v = ẋ ;
2 2
1 1
EPe = 2 k∆l = 2 k(∆l0 + x)2 avec ∆l = ∆l0 + x ;
2

EPP = mg(z − zR ) = −mgx avec z − zR = −x

𝟏 𝟏
d’où 𝐄𝐦 = 𝟐 𝐦𝐱̇ 𝟐 + 𝟐 𝐤(∆𝐥𝟎 + 𝐱)𝟐 − 𝐦𝐠𝐱
En développant l’expression de Em et remarquant que mg − k∆l0 = 0 on trouve relativement facilement que :
𝟏 𝟏 𝟏
𝐄𝐦 = 𝟐 𝐦𝐱̇ 𝟐 + 𝟐 𝐤𝐱 𝟐 + 𝟐 𝐤∆𝐥𝟐𝟎

o Montrons qu’en l’absence de frottement l’énergie mécanique du système se conserve

𝐤
Frottements négligeables ⇒ 𝐱 = 𝐗 𝐦 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝟎 𝐭 + 𝛗) avec 𝛚𝟎 = √𝐦 ⇒ 𝐦𝛚𝟐𝟎 = 𝐤.
1 1 1
Em = 2 m[−ω0 Xm cos(ω0 t + φ)]2 + 2 k[Xm cos(ω0 t + φ)]2 + 2 k∆l20
1 1 1
Em = 2 mω20 Xm
2 [cos(ω 2 2 2 2
0 t + φ)] + 2 kXm [cos(ω0 t + φ)] + 2 k∆l0
1
2 [cos(ω 2 2 1 2 2 1
Em = 2 kXm 0 t + φ)] + 2 kXm [cos(ω0 t + φ)] + 2 k∆l0
1 1
2 [cos 2 (
Em = 2 kXm ω0 t + φ) + sin2 (ω0 t + φ)] + 2 k∆l20
𝟏 𝟏
Comme cos2 (ω0 t + φ) + sin2(ω0 t + φ) = 1 donc 𝐄𝐦 = 𝟐 𝐤𝐗 𝟐𝐦 + 𝟐 𝐤∆𝐥𝟐𝟎 = 𝐜𝐭𝐞

4. Oscillations amorties
Dans la réalité, l’amplitude des oscillations diminue à cause des forces de frottements.
a. Equation différentielle du mouvement d’un oscillateur réel
⃗
R ⃗P : Poids du solide
⃗
T f ⃗ : Réaction de la tige
R
⃗Fext ⃗T : Tension du ressort
⃗
P
f = −λv
⃗ : Force de frottements (𝝀=cte ; 𝝀< 0)
O i ⃗V0
x’
0 x d
TCI : ⃗P + ⃗R + ⃗T + f = ma⃗ ⇔ ⃗P + ⃗R + ⃗T − λv
⃗ = ma⃗
𝛌 𝐤
Proj/x : Tx − λvx = max ⇔ −kx − λẋ = mẍ d’où 𝐦𝐱̈ + 𝛌𝐱̇ + 𝐤𝐱 = 𝟎 ⇔ 𝐱̈ + 𝐦 𝐱̇ + 𝐦 𝐱 = 𝟎
λ est le coefficient de frottement.
x
Xm
b. Les différents régimes

- Si les frottements ne sont pas trop intenses, les amplitudes t

0 T0 2T0
des oscillations diminue progressivement et fini par s’annuler.
On dit que le régime est pseudopériodique.
−X m

x
- Si les frottements sont intenses le système n’oscille pas ;
Xm
il revient dans sa position d’équilibre sans osciller :
on dit que le régime est apériodique.
t
0

Xm

- Si les frottements sont négligeables : cas d’un système

entretenu, il n’y a plus d’amortissements. O T0
t
Le régime est dit périodique.

−X m
 Exercice sur le pendule élastique
Exercice 1
Un ressort de raideur k, à spires non jointives et de masse négligeable,
est enfilé sur une tige horizontale T dont il est solidaire en son extrémité
A.
L’autre extrémité B du ressort est liée à un solide S supposé ponctuel et de masse m. l’ensemble {ressort +
solide S} coulisse sans frottement sur la tige T.
On oriente l’axe x’x comme indiqué sur la figure et on choisit comme origine O de l’axe la position d’équilibre
de S.
S est écarté de sa position d’équilibre suivant la direction x’x et lâché sans vitesse initiale. Il passe en C,
d’abscisse xo, à l’instant pris comme origine des temps avec un vecteur vitesse ⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑂 = 𝑉𝑂 𝑖 𝑖 étant le vecteur
unitaire qui oriente l’axe x’x.
Données : VO = 0,164 m/s ; k = 10 N/m ; m = 0,16 kg ; xo = 2 cm
1.a/ Déterminer l’équation différentielle du mouvement de S.
b/ Etablir l’expression de la pulsation propre o du mouvement. Calculer sa valeur numérique.
c/ Ecrire l’équation horaire x(t) du mouvement de S.
d/ Calculer x(t) à l’instant t = 2 s.
2.a/ Exprimer l’énergie mécanique du système {ressort + solide S} à un instant t en fonction de k et de
l’amplitude Xm.
b/ Calculer la valeur de Em en utilisant les données de l’instant t = 0
c/ Retrouver la valeur de Xm déterminées au 1.c/

Exercice 2
A. Soit un ressort idéal vertical, à pires non jointives de raideur k, de longueur à vide lo. Une de ses extrémités
étant fixée, on accroche à l’autre extrémité un objet S, de centre d’inertie G, de masse m, d’épaisseur
négligeable devant la longueur du ressort qui est alors égale à l1. Données numériques : lo = 12,0 cm ; m =
100g ; g = 10m/s-2 ; l1 = 14 cm
1. Calculer le coefficient de raideur k du ressort.
On tire sur le solide S vers le bas de a = 3 cm puis on l’abandonne sans vitesse initiale à la date t = 0. Le
système se met à osciller autour se sa position d’équilibre O.
2. Etablir son équation différentielle dans le repère ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑥 dirigé vers le bas et dont l’origine O coïncide avec la
position du solide à l’équilibre.
3. Préciser son équation horaire.
B. Le solide S fixé au ressort est maintenant astreint à se déplacer suivant la ligne de plus grande pente d’un
plan incliné d’un angle  par rapport à l’horizontal. S étant au repos, la longueur du ressort est alors l2 = 11,5
cm, G est en Go. Les positions respectives du centre de masse sont repérés sur un axe x’x parallèle à la ligne
de plus grande pente, orienté vers le haut. Confère figure
Soit 𝑖 un vecteur unitaire sur cet axe. Les frottements seront considérés comme nuls.
1. Calculer l’angle  .
2. On déplace légèrement le solide S et on amène son centre de masse Go en G 1 tel que : 𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂 𝐺1=𝑥1 𝑖 avec x1
= +4,5 cm ; et on l’abandonne sans vitesse initiale. A l’instant de date t, le centre de masse de S est situé entre
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Go et G1 tel que 𝐺 𝑂 𝐺1=𝑥𝑖
a/ Etablir l’équation différentielle du mouvement du solide S sur le plan incliné.
b/ Quelle est l’équation horaire du mouvement ?
c/ Calculer la période propre des oscillation

Exercice 3

Entre deux points A et B, situés sur la même verticale, sont tendus deux ressorts R et R’ identiques, de
raideur k, de longueur à vide l0. Ils soutiennent un disque D de masse m et d’épaisseur négligeable. (fig.1)On
donne : AB = 45cm ; l0 = 15cm ; k = 20N/m ; m = 100g et g = 10N/kg.
1- Le disque est lancé vers le bas à partir de sa position d’équilibre, puis il oscille verticalement.
a) Déterminer le distance AD lorsque le disque est en équilibre.
b) Exprimer l’énergie mécanique Em du système lorsque le centre d’inertie G du disque se trouve dans une
position repérée par l’abscisse x. On choisi la position d’équilibre du disque D comme référence de l’énergie
potentielle de pesanteur.
c) En déduire alors la nature du mouvement du centre d’inertie G du disque en supposant que tout frottement
est négligé.
d)Ecrire l’équation horaire du mouvement sachant qu’à t = 0, V 0 = 1m/s.
2. On supprime le ressort R’ et on dispose l’ensemble R et D horizontalement (fig.2). On écarte D de sa
nouvelle position d’équilibre et on le libère sans vitesse initiale. A l’instant t 0, choisi comme origine des
temps, son abscisse est X 0' , sa vitesse V0' . On donne X 0' = 3cm et V0' = -0,1m/s.
a) Calculer l’énergie mécanique de l’oscillateur à l’instant t 0, (on prendra l’énergie potentielle de pesanteur
nulle).
b) Calculer la vitesse de D au passage par la position d’équilibre.
c) Ecrire l’équation horaire du mouvement de D en prenant pour origine des espaces, la position d’équilibre
et t 0, comme origine des temps.
A
A X
R M x
R
O D Fig.2
O D
R’
X
x B
Fig1
B
Exercice 5
Un solide de masse m=450g est suspendu à l’extrémité d’un ressort vertical dont l’autre est fixe. La
constante de raideur K=45N/m.les frottements sont négligés dans tout l’exercice.
1) Représenter sur un schéma, les forces agissant sur la masse m. Le point O donne l'abscisse du centre de
gravité G à la position d'équilibre du système et l’axe Ox est orienté vers le bas. Calculer l’allongement ∆l0
ressort à l'équilibre.
2) En utilisant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement relative à l'abscisse
x du centre de gravité G du mobile à l'instant t
3) Montrer que l'expression x(t) = xM. sin (0 t +) est solution de cette équation différentielle.
4) On suppose qu'à l'instant initial t = 0 s, l'oscillateur possède une amplitude x0 = 2 cm et une vitesse v0=0 .
Déterminer l’équation horaire du mouvement.
5) Exprimer la période propre To des oscillations de l'oscillateur en fonction de k et m.
𝑑𝑥
6) Etablir l'expression de l'énergie totale du système fonction de x, k, 𝑑𝑡 ; et m. sachant que la référence de
l’énergie potentielle de pesanteur est prise à la position d’équilibre.
7) Quelle est l'hypothèse qui permet d'affirmer, dans cet exercice, que l'énergie totale du système reste
constante ? En déduire l’équation différentielle du mouvement

Le Champ Magnétique
 Mouvement d’une Particule Chargée dans un Champ
magnétique Uniforme

o Objectifs pédagogiques
- Définir le champ magnétique en un point ;
- Donner les caractéristiques du vecteur champ magnétique en un point ;
- Donner les caractéristiques du vecteur champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde ;
- Donner l’expression du champ B au centre d’un solénoïde ;
- Donner les caractéristiques de la force de LORENTZ ;
- Etablir la nature du mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme ;
- Etudier quelques applications de la force de Lorentz .

I. Le champ magnétique
1 Les sources de champ magnétique
. a. Les aimants
Tout aimant possède deux pôles : un pôle nord (N) et un pôle sud (S).

b. Le courant électrique
Les deux faces d’une bobine parcourue par le courant
électrique ne sont pas identiques ;
l’une est Face nord (N) et l’autre Face sud (S).
Une bobine parcourue par le courant électrique se comporte comme un aimant droit.

c. La Terre
La terre se comporte comme un aimant et engendre un champ magnétique équivalent à celui créé par un aimant droit
placé en son centre et dont l’axe est légèrement incliné par rapport à l’axe des pôles.

d. Les interactions magnétiques

- Deux pôles ou deux faces de même non se repoussent alors que des pôles ou deux faces de noms contraires
s’attirent.
- Une face d’un circuit est repoussée par un pôle de même nom et attirée par un pôle de nom contraire.

2. Le vecteur champ magnétique

a. Le champ magnétique créé par un aimant
⃗⃗ appelé vecteur champ magnétique ou vecteur
L’état magnétique d’un point M est déterminé par un vecteur 𝐁
induction magnétique.

𝑀 ⃗
S N B

o Les caractéristiques du vecteur champ magnétique ⃗𝐁

⃗ en un point M sont :
- Direction : celle de l’axe d’une aiguille aimantée placée en ce point ;
- Sens : ⃗𝐁
⃗ est orienté du pôle sud vers le pôle nord de l’aiguille aimantée détectrice ;
 - Intensité : elle est noté 𝐁 et s’exprime en Tesla (𝐓).

b. Le champ magnétique terrestre

Plan méridien
Le champ magnétique terrestre ou champ géomagnétique n’est magnétique

ni vertical ni horizontal. L’angle qu’il forme avec l’horizontal

⃗h=B
B ⃗0
s’appelle inclinaison 𝐈 du lieu. horizontal
e
I
⃗𝐁
⃗ = ⃗𝐁
⃗ 𝐯 + ⃗𝐁
⃗𝟎
⃗Bv ⃗
B

⃗ 0 . Dans la pratique
o Une aiguille aimantée placée sur un pivot s’oriente suivant la direction et le sens de B
−𝟓
on prend 𝐁𝐡 = 𝐁𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟏𝟎 𝐓.

c. Le champ magnétique uniforme

Le champ magnétique est uniforme dans une région de l’espace s’il garde
la même direction, le même sens et la même intensité.
Le champ magnétique entre les branches d’un aimant en U est uniforme.
Les caractéristiques du champ magnétique 𝐵 ⃗ entre les deux branches sont :
- Direction : Perpendiculaire au deux branches ;
- Sens : pôle nord vers le pôle sud.

d. Le champ magnétique créé par un solénoïde

Un solénoïde est une bobine dont la longueur est au
moins supérieur à 10 fois son rayon (L > 10𝑟).
Le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde est uniforme.

o Les caractéristique du vecteur champ magnétique ⃗B au centre du solénoïde sont :

- Direction : celle de l’axe du solénoïde ;
- Sens : de la face sud vers la face nord ; ⃗B
- Intensité : elle est donnée par l’expression :
Face Sud Face Nord

I I
N
n= : Nombre de spires par mètre
l
𝐍 I : Intensité du courant qui traverse le solénoïde
𝐁 = 𝛍𝟎 𝐧𝐈 = 𝛍𝟎 𝐈
𝐋 μ0 = 4π ∙ 10−7 SI : Perméabilité absolue du vide
N : Nombre de spires du solénoïde
L: Longueur du solénoïde.

3. Etude expérimentale du champ magnétique crée par un solénoïde

a. Le vecteur champ magnétique à l’intérieur du solénoïde
A l’intérieur du solénoïde, les lignes de champ sont parallèles. Quelques mesures sur l’axe du solénoïde montrent que
⃗ est constante.
la valeur de B
Le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde est donc uniforme.
b. Influence de l’intensité du courant
A l’aide d’un teslamètre, on mesure le champ magnétique au centre du solénoïde pour quelques valeurs de l’intensité
du courant.

I (A) 0,5 1 1,5 2

B (mT) 0,3 0,6 0,9 1,2
 B/I (T/A) 1,6 ∙ 10−3 1,6 ∙ 10−3 1,6 ∙ 10−3 1,6 ∙ 10−3
B
Le rapport I est constant.
Le champ magnétique à l’intérieur du solénoïde est donc proportionnel à l’intensité du courant qui le parcourt.
o Expression de B en fonction de l’intensité du courant I
B (⨯ 10−3 T)
La courbe B = f(I) est une droite linéaire. 1,2

Donc B = k ∙ I avec k = cte

0,9
∆B 1,2−0,3
k= ∆I
= 2−0,5
⇒ k = 6 ∙ 10−3 T/A
0,6

d’où : B = 6 ∙ 10−3 ∙ I 0,3

I (𝐴)
0 0,5 1 1,5 2

c. Influence du nombre de spires par mètre

L’intensité du courant étant fixée, mesurons B au centre du solénoïde comportant plusieurs couches de spires. On
obtient B pour quelques valeurs du nombre n de spires par unité de longueur.
n (spires/m) 485 970 1455
B (mT) 0,6 1,2 1,8
B/n 1,24 ∙ 10−6 1,24 ∙ 10−6 1,24 ∙ 10−6

Le rapport B/n est constant.

Le champ magnétique, à l’intérieur d’un solénoïde, est proportionnel au nombre de spires par mètre.

d. Conclusion
Le champ magnétique, à l’intérieur d’un solénoïde, est proportionnel à l’intensité du courant électrique qui le
traverse et au nombre de spires par unité de longueur de ce solénoïde.
Nous admettrons l’expression suivante pour un solénoïde infiniment long.
N
n= l
: Nombre de spires par mètre
𝐍 I : Intensité du courant qui traverse le solénoïde
𝐁 = 𝛍𝟎 𝐧𝐈 = 𝛍𝟎 𝐋 𝐈
μ0 = 4π ∙ 10−7 SI : Perméabilité absolue du vide
N : Nombre de spires du solénoïde
L: Longueur du solénoïde.

II. Mouvement d’une Particule Chargée dans un Champ magnétique Uniforme

L’image de télévision est formée par l’impact des électrons qui frappent les éléments luminophores recouvrant la face
intérieure de l’écran. Ces électrons sont déviés par un champ magnétique.
A quelle loi obéit le mouvement d’un électron dans un champ magnétique ?

1. Action d’un champ magnétique sur une particule chargée

a. La force magnétique de Lorentz
⃗ dans une région de l’espace où règne un
Une particule de masse m, portant une charge q, se déplaçant à la vitesse v
⃗ ⃗
champ magnétique B est soumise à une force magnétique F telle que :
𝐅 = 𝐪𝐯⃗𝚲𝐁⃗⃗ ; 𝐅 est appelée force de Lorentz.

o Les caractéristiques de la force de Lorentz sont :

- Point d’application : la particule supposée ponctuelle ;
- Direction : perpendiculaire au plan formé par v ⃗ c’est à dire (F
⃗ et B ⃗ ┴v ⃗ ┴B
⃗ ) et (F ⃗ );
⃗
- Sens : le sens de F est tel que le trièdre (qv ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ; B; F) soit direct. F est donnée par le bras gauche du bonhomme
d’Ampère qui se couche suivant qv ⃗ et regardant dans le même sens que ⃗B.
(Majeur) (Pouce)
⃗F = qv ⃗
⃗ ΛB qv
⃗
⃗ ⃗ (Index)
B
B (Index) 𝐪<0 α
 - Intensité : Si α est l’angle formé par les vecteur v ⃗ , l’intensité F de la force F
⃗ et B ⃗ est donnée par :

𝐅 = |𝐪 𝐬𝐢𝐧 𝛂|𝐯𝐁
Remarque :
⃗ = ⃗0 et v
- Si v ⃗ ⫽ ⃗B alors ⃗F = ⃗0
- Si v ⃗ ⇒ sin α = ±1 alors F = |q|vB.
⃗ ┴B

b. Puissance de la force de Lorentz

⃗⃗ ) ∙ 𝐯⃗ = 𝟎 ⇒ 𝐯 = 𝐜𝐭𝐞
𝓟 = 𝐅 ∙ 𝐯⃗ = 𝐪(𝐯⃗𝚲𝐁
Dans un champ magnétique, le mouvement d’une particule chargée est uniforme. La force magnétique de Lorentz ne
modifie que la direction du vecteur vitesse de la particule.

2. Mouvement d’une particule chargee dans un champ magnétique uniforme

Considérons le mouvement d’une particule de masse m, ⃗k
⃗0
v ⃗
B
de charge q (q < 0) pénétrant dans un champ magnétique O i
⃗ avec une vitesse initiale v ⃗. qv
⃗
uniforme B ⃗ 0 telle que v
⃗ 0 ┴B q<0
j
⃗
On a choisi le repère (O; i; j; k) tel que : v ⃗ ⃗.
⃗ 0 = v0 i et B = Bk M

a. Montrons que le mouvement de la particule est plan ⃗F = qv ⃗

⃗ ΛB
⃗
v

⃗ = 𝐦𝐠
𝐏 ⃗ : Poids du solide
𝐅𝐞𝐱𝐭 ⃗⃗ : Force magnétique de Lorentz
𝐅 = 𝐪𝐯⃗𝚲𝐁

⃗.
On suppose que l’effet du poids est négligeable devant celui de la force magnétique de Lorentz F
𝐪
⃗
TCI : F = ma⃗ ⇒ ma⃗ = qv ⃗ ⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗ ΛB ⇔ 𝐚⃗ = 𝐦 𝐯⃗𝚲𝐁 ⇒ 𝐚⃗┴𝐯⃗ et 𝐚⃗┴𝐁 donc 𝐚⃗┴𝐤
az = a⃗ ∙ ⃗k = 0 ⇒ vz = v0z = 0 ⇒ z = z0 = 0
𝐳 = 𝟎 ⇒ le mouvement et plan et s’effectue dans le plan z=0 c'est-à-dire le plan (𝐢; 𝐣).

b. Montrons que le mouvement de la particule est uniforme

𝐝𝐯 𝐯𝟐
Dans la base de Frenet (τ⃗; n
⃗ ) on a : 𝐯⃗ = 𝐯𝛕
⃗ ⇒ v
⃗ est colinéaire à τ⃗ et 𝐚⃗ = 𝐚𝐭 𝛕
⃗ + 𝐚𝐧 𝐧
⃗ =
𝐝𝐭
⃗ +
𝛕 𝛒
⃗.
𝐧
𝐝𝐯 𝐯𝟐 𝐝𝐯
𝐚𝐭 = 𝐚⃗ ∙ 𝛕
⃗ =( 𝛕
𝐝𝐭
⃗ +
𝛒
⃗ )∙𝛕
𝐧 ⃗ ⇒ 𝐚𝐭 =
𝐝𝐭
= 𝟎 ⇔ 𝐯 = 𝐜𝐭𝐞 d’où le mouvement est uniforme.
c. Montrons que le mouvement de la particule est circulaire
𝐯𝟐 |𝐪| v2 |q| mv
Dans la base de Frenet (τ⃗; n
⃗ ) on a : 𝐚⃗ = 𝐚𝐧 𝐧
⃗ =
𝛒
⃗ =
𝐧 𝐦
⃗ ⇒
𝐯𝐁𝐧 ρ
= m
vB ⇔ ρ = |q|B
𝐦𝐯
𝐯 = 𝐯𝟎 = 𝐜𝐭𝐞 ⇒ 𝛒 = |𝐪|𝐁𝟎 = 𝐜𝐭𝐞 d’où le mouvement de la particule est circulaire.

o Le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme tel que 𝐯⃗𝟎 ┴𝐁 ⃗⃗ est
plan circulaire et uniforme. Le rayon du cercle décrit par la particule est donné par la relation :
𝐦𝐯
𝐑 = |𝐪|𝐁𝟎
 o La quantité de mouvement de la particule est donnée par la relation : 𝐩 = |𝐪|𝐑𝐁.

3. Applications pratiques l
a. La déflexion magnétique ⃗
B
O Iv
⃗0 K O′
La particule est déviée d’un angle α à la sortie du champ 𝛼
q<0 S
magnétique uniforme ⃗B.
Y
𝐥 |𝐪|𝐥𝐁 𝐎′𝐌 𝐘
𝐬𝐢𝐧 𝛂 = 𝐑 = ou 𝐭𝐚𝐧 𝛂 = = 𝐋−𝐎𝐈 R M
𝐦𝐯𝟎 𝐈𝐎′

Dans les dispositifs utilisés, α est petit ; la distance OI est alors

très inférieure à L. Ainsi 𝐬𝐢𝐧 𝛂 = 𝐭𝐚𝐧 𝛂 ≈ 𝛂, et : α

A L
𝐥 𝐘 𝐋𝐥 |𝐪|𝐋𝐥
= ⇒ 𝐘= soit 𝐘= 𝐁
𝐑 𝐋 𝐑 𝐦𝐯𝟎
b. Le spectromètre de masse P1 P2
U
Un spectrographe de masse est un appareil qui permet de
trier des ions de masse ou de charges différentes par ⃗
E ⃗
utilisation d’un champ magnétique et d’un champ électrique. A O ⃗0
v B
Un spectromètre de masse de type Dempster comprend :
- une chambre d’ionisation où sont produits les ions ; R1
O1
- une chambre d’accélération où les ions y pénètrent
O2
avec une vitesse quasiment nulle et sont accélérés par un R2
champ électrique E ⃗ , sous une tension U ; ils en sortent au A1
𝟏 𝟐 D
point O avec une vitesse v ⃗ 0 telle que : 𝟐 𝐦𝐯𝟎 = |𝐪|𝐔 A2
- une chambre de déviation où les particules y sont soumises
à l’action d’un champ magnétique uniforme ⃗B ; elles décrivent un demi-cercle dont le rayon R est tel que :
𝐦𝐯
𝐑 = |𝐪|𝐁𝟎

- un détecteur (plaque photographique, compteur, collecteur…) où sont recueillies les particules.

o Expressions des vitesses v01 et v02 des particules à l’entrée de la chambre de déviation.
𝟏 𝟐|𝐪|𝐔
En appliquant le TEC entre A et O avec vA = 0 on trouve : 𝐦𝐯𝟎𝟐 = 𝐪𝐔𝐏𝟏 𝐏𝟐 = |𝐪|𝐔 ⇒ 𝐯𝟎 = √
𝟐 𝐦
𝟐|𝐪|𝐔 𝟐|𝐪|𝐔
soit 𝐯𝟎𝟏 = √ 𝐦𝟏
et 𝐯𝟎𝟐 = √ 𝐦𝟐

o Expressions des rayons R 1 et R 2 des particules dans la chambre de déviation.

mv0 1 2mU 𝟏 𝟐𝐦𝟏 𝐔 𝟏 𝟐𝐦𝟐𝐔
R= |q|B
= B√ |q|
soit 𝐑𝟏 = 𝐁 √ |𝐪|
et 𝐑 𝟐 = 𝐁 √ |𝐪|

R1 1 2m1U 1 |q| R1 m1
= √ |q|
∙ √ ⇒ =√ donc m1 ≠ m2 ⇒ R 1 ≠ R 2
R2 B B 2m2U R2 m2

Dans un champ magnétique uniforme ⃗B, des particules chargées de masses différentes ne sont pas déviées de la même
manière.
o Calcul de distance D séparant les points d’impact A1 et A2 sur l’écran.
1 2m2U 1 2m1U
D = A1 A2 = OA2 − OA1 ⇒ D = 2(R 2 − R 1 ) = 2 ( √ |q|
− √ |q|
)
B B
𝟖𝐔
d’où 𝐃 = √|𝐪|𝐁𝟐 (√𝐦𝟐 − √𝐦𝟏 )

Le spectrographe de masse est un appareil très utile. Il permet :

- de mesurer la masse des isotopes ;
- d’identifier des isotopes d’un élément ;
- de déterminer le pourcentage de chaque isotope contenu dans un élément ;
- d’analyser un mélange gazeux ou solide ;
- de préciser la formule des composés organiques.
 c. Le cyclotron
Un cyclotron est un accélérateur de particules chargées, les protons
par exemple. Il est formé de deux demi-cylindres creux D1 et D2 ,
appelés « dees » séparés par un intervalle dans lequel règne un champ
électrostatique ⃗E variable. Ce champ permet d’accélérer les particules
à chaque fois qu’elles arrivent dans cet intervalle.
o Temps mis par la particule pour effectuer un demi-tour.
En négligeant le temps de passage des particules entre les dees on a :
T πR
t = 2 = v où T est la durée d’un tour ou période.
mv0 𝛑𝐦 𝟐𝛑𝐦
Or R = |q|B
donc 𝐭 = |𝐪|𝐁. La période 𝐓 de ce mouvement est : 𝐓 = 𝟐𝐭 ⇒ 𝐓 = |𝐪|𝐁

o Variation de l’énergie cinétique de la particule

Soit u = Um sin ωt la tension entre les deux dees.

L’énergie cinétique de la particule s’accroit après chaque tour de ∆EC telle que : ∆𝐄𝐂 = 𝟐|𝐪|𝐔𝐦 .
Après n tours, on a donc : ∆𝐄𝐂 = 𝟐𝐧|𝐪|𝐔𝐦

d. Le filtre de vitesses ou sélecteur de vitesses

Il permet d’obtenir un faisceau homocinétique de particules à l’entrée d’un spectrographe de masse par exemple. Pour
l’obtenir, on superpose un champ électromagnétique uniforme B ⃗ et un champ électrostatique uniforme E
⃗ de sorte que
les deux champs soient orthogonaux.
Des particules de charge q sont lancées suivant l’axe (x’x). P1

⃗ = 𝐦𝐠 𝐪>0
𝐏 ⃗ : Poids du solide ⃗e
F
𝐅𝐞𝐱𝐭 ⃗ : Force électrostatique
𝐅𝐞 = 𝐪𝐄 ⃗0
v 𝑂′
x’ 𝑂 x
𝐅𝐦 = 𝐪𝐯⃗𝚲𝐁⃗⃗ : Force magnétique de Lorentz ⃗
E
⃗Fm
⃗
B
On néglige le poids de la particule devant les deux autres forces (force
magnétique et force électrostatique). P2
Pour que les particules passent par le point O’ sans subir de déviation il faut que :
⃗e+F
F ⃗m=0 ⃗ ⇔ q(E ⃗ +v ⃗)=0
⃗ ΛB ⃗ donc 𝐄 ⃗ = −𝐯⃗𝚲𝐁 ⃗⃗ = 𝐁
⃗⃗ 𝚲𝐯⃗
𝐄
Comme v ⃗ alors 𝐄 = 𝐯𝐁 ⇒ 𝐯 =
⃗ ┴B
𝐁
𝐄
o Seules les particules ayant la vitesse 𝐯𝟎 = peuvent passer par le point O’ sans subir de déviation.
𝐁
𝐄
- Si 𝐯 < alors 𝐅𝐞 > 𝐅𝐦 . La particule sera déviée dans le sens de la force électrostatique (vers la plaque P1 ).
𝐁
𝐄
- Si 𝐯 < 𝐁 alors 𝐅𝐞 < 𝐅𝐦 . La particule sera déviée dans le sens de la force magnétique (vers la plaque P2 ).
 EXERCICES SUR LE CHAMP MAGNETIQUE
EXERCICE1
A l'intérieur d'un long solénoïde S1 comportant n1 = 1000 spires par mètres et parcouru par un courant
d'intensité I1= 2 A, on a placé un solénoïde S2 dont l'axe est
perpendiculaire à celui de la figure.
Le solénoïde S2 est formé de 200 spires régulièrement
enroulées sur une longueur de 5 cm, et l'intensité du courant qui y
circule vaut I2 = 1 A.
Les sens des courants sont indiqués sur la figure ci-contre.
1) Déterminer le vecteur champ magnétique 𝐵 ⃗ au point O.
2) Que devient ce champ magnétique si on inverse le sens de chacun des deux courants ?

EXERCICE 2
Une bobine est constituée d’un enroulement de fil de diamètre d=1mm, recouvert de vernis d’isolant
d’épaisseur négligeable. Les spires sont jointives et assimilées à des cercles parfaits de rayon r=2,5cm.
1.Calculer le nombre de spires par unité de longueur de la bobine.
2.La longueur du fil de cuivre utilisé est L=62,8m
Calculer la longueur 𝑙 de la bobine.Peut-on considérer cette bobine comme un solénoïde ?
3. Le solénoïde est traversé par un courant d’intensité I=4A. Calculer le champ magnétique à l’intérieur du
solénoïde.
4. Le solénoïde est maintenant placé dans un endroit où règne un champ magnétique uniforme horizontal de
valeur Bh=2,510-5T. En l’absence de courant, une aiguille aimantée, placée au centre du solénoïde, s’oriente
perpendiculairement à l’axe du solénoïde. On établit un courant continu d’intensité I’=0,01A. De quel angle
dévie l’aiguille aimantée ?

EXERCICE3
1)Un solénoïde de longueur l = 50 cm comporte 2500 spires, il est parcouru par un courant d’intensité
I = 2,2A. Calculer la valeur du champ magnétique créé au centre du solénoïde.
2-a) Un solénoïde parcouru par un courant a sa face sud placée comme l’indique la figure (a)
Donner le sens du courant dans le solénoïde en justifiant la réponse.
b) Quels sont les noms des faces du solénoïde de la figure (b) lorsque celui-ci est parcouru par un courant
circulant dans le sens

?
?
face ?
fig a fig b
sud
(a) (b)

EXERCICE4
Un électron pénètre, en O, avec une vitesse horizontale D
v0 = 107 m/s, dans une région de longueur l = 2 cm où
règne un champ magnétique 𝐵 ⃗ uniforme, vertical et de l
valeur O O’ x
B = 10-3 T. La particule en sort et va heurter un écran placé
S Ecran
à une distance D = 50 cm du point d’entrée.
a) Déterminer l’angle de déflexion et les coordonnées du
⃗𝑩
⃗
point S où la particule quitte la région de champ
magnétique. I
b) Ecrire l’équation de la trajectoire de la particule entre la
région de champ magnétique et l’écran. Quelles sont les y
coordonnées du point I d’impact sur l’écran ?

EXERCICE7
 On introduit dans un champ spectrographe de masse des ions potassium 19𝐴𝐾 + et 19 𝐴′ +
𝐾
(A et A’ désignent les nombres de masse) de même charge q et de masses respectives m et m’.
En O1 la vitesse des ions est pratiquement nulle ; ils sont accélérés par la tension U établie entre les plaques
P1 et P2.
a) Représenter sur le schéma le champ électrique 𝐸⃗ régnant entre les plaques P1 et P2.
Préciser le signe de U = 𝑉𝑃1 𝑉𝑃2 .
Exprimer les vitesses v et v’ en fonction de q, U et des masses respectives m et m’.
b) Les ions pénètrent ensuite dans une chambre de déviation où règne un champ magnétique 𝐵 ⃗ uniforme
orthogonal au plan de figure. Quel doit être le sens de 𝐵⃗ pour que les ions soient déviés vers la plaque
sensible ?
Montrer que le mouvement des ions est circulaire uniforme et exprimer littéralement les rayons R et R’ de
leur trajectoire en fonction de U, q, B et de leurs masses respectives m et m’.
c) Deux taches T et T’ se forment sur la plaque sensible. En admettant que le rapport des masses soit égal au
rapport des nombres de masse, calculer la valeur de A’ sachant que :
A = 39 ; O2T = 102,9 cm et O2T’ = 106,8 cm.

Chambre de déviation

𝑣
T T’
P2
O2
Chambre d’accélération

P1
O1

EXERCICE9
Soit un cyclotron à fréquence fixe N. C’est un accélérateur de particules constitué de deux demi-cylindres
conducteurs creux D1 et D2 appelés «dés », séparés par un intervalle étroit. A l'intérieur des deux dés D 1 et D2,
règne un champ magnétique uniforme 𝐵 ⃗ (voir figure).
M N
Une tension U est maintenue entre les deux dés. Cette tension change de signe
périodiquement.
Des protons sont lancés à partir d'un point O dans la région D1 avec un vecteur
Vitesse ⃗⃗⃗
𝑉0 . ⃗⃗⃗
𝑉0
1) Exprimer le rayon R, de la trajectoire des protons dans le dé D 1, ainsi que la O
durée du trajet effectué. ⃗
𝐵 𝐵⃗
2) Déterminer le vecteur vitesse ⃗⃗⃗
𝑉0 des protons lorsqu'ils sortent de la région D
traversant la paroi PQ. Quel doit être alors le signe de la tension U pour accélérer
les protons ? Avec quelle vitesse V2 pénètrent ils dans le dé D2 ?
3) Exprimer le rayon R2 de la trajectoire des protons dans le dé D2, ainsi que la durée du trajet effectué.
4) Quel est le signe de la tension U lorsque les protons quittent le dé D 2 en traversant la paroi PQ ?
Calculer la période T et la fréquence N de la tension U, en négligeant la durée de transfert dans l'intervalle entre
les deux dés.
5) Soit R0 le rayon des dés. Donner les expressions de la vitesse et de l'énergie cinétique maximales acquises par
les protons.
 Phénomènes d’auto-induction
o Objectifs pédagogiques
- Etablir la cause du phénomène d’auto-induction ;
- Définir et calculer le flux propre à travers une bobine parcourue par un courant ;
- Définir et calculer l’inductance propre d’une bobine ;
- Définir et calculer la force électromotrice d’auto-induction d’une bobine parcourue par un courant.

I. MISE EN EVIDENCE DU PHENOMENE D’AUTO-INDUCTION

1. Première expérience

L1 Les lampes L1 et L2 sont identiques.

K1
R

L2

Bobine de
résistance R

Lorsqu’on ferme l’interrupteur K, la lampe L1 s’allume instantanément alors que la lampe L2 s’allume progressivement
en accusant un léger retard sur la lampe L1 .
A l’ouverture de l’interrupteur de l’interrupteur, la lampe L2 s’éteint progressivement en accusant un léger retard sur
la lampe L1 .
o La bobine s’oppose donc à l’établissement du courant ou à sa rupture dans la branche
contenant la lampe 𝐋𝟐 .

2. Visualisation à l’oscilloscope uAM

E
YA
A t
O T T 3T 2T
uBM 2 2
uAM Bobine E

M R YB t
B O T T 3T 2T
uBM 2 2

La tension uBM visualisée aux bornes du résistor de résistance R représente les variations de l’intensité i du courant
dans le circuit.
o Une bobine placée dans un circuit s’oppose à l’établissement du courant et à sa rupture. Ce
phénomène porte le nom d’auto-induction.

3. Interprétation
La variation du courant électrique dans la bobine crée un champ magnétique variable dans l’espace intérieur à la
bobine. La bobine est donc traversée par un flux magnétique variable, qui crée à son tour une force électromotrice
(f.e.m) induite qui a pour conséquence l’apparition d’un courant induit dans la bobine. Ce courant induit va
s’opposer à la variation du courant inducteur.
 o Toute variation de flux magnétique ou toute variation du courant à travers une bobine engendre
une f.e.m. induite qui par ses effets va s’opposer à la cause qui lui donne naissance : c’est le phénomène d’auto-
induction.

II. FLUX PROPRE ET INDUCTANCE D’UNE BOBINE

1. Le flux propre à travers une bobine
o Le flux propre est le flux envoyé à travers une bobine par le courant qui y circule.
- Le flux propre φ d’auto-induction à travers un circuit parcouru par un courant est proportionnel à l’intensité i de
ce courant. Il est donné par l’expression :
Wb 𝛗=𝐋∙𝐢 A l
(Weber) (Ampère)
R ⃗
B ⃗
n
H
(Henry) Face Sud Face Nord
La constante 𝐋 est appelée inductance de la bobine.
i
- Expression du flux propre 𝛗 à travers une bobine i

Considérons une bobine de longueur l et de rayon R comportant N spires qui est traversée par un courant d’intensité i.
𝛗 = 𝐍𝐁⃗⃗ ∙ 𝐒 = 𝐍𝐒𝐁
⃗⃗ ∙ 𝐧
⃗ = 𝐍𝐁𝐒

⃗ est le vecteur normal à la surface. Il est orienté de la face sud de la bobine vers sa face nord.
𝐧
N 𝛍𝟎 𝐍 𝟐 𝐒 𝛑𝛍𝟎𝐍 𝟐𝐑𝟐
or B = μ0 ni = μ0 i et S = πR2 d’où 𝛗 = ∙𝐢= ∙𝐢
l 𝐥 𝐥

2. Inductance L d’une bobine

Par définition : 𝛗 = 𝐋 ∙ 𝐢.
μ 0 N2 S πμ0 N2 R2 𝛍𝟎 𝐍 𝟐 𝐒 𝛑𝛍𝟎𝐍 𝟐 𝐑𝟐
Donc on a: L ∙ i = l
∙i = l
∙i d’où 𝐋= 𝐥
= 𝐥

III. TENSION AUX BORNES D’UNE BOBINE

1. Force électromotrice d’auto-induction
Lorsque l’intensité du courant varie, une bobine de résistance négligeable (inductance pure) se comporte comme un
générateur idéal de tension de f.e.m. e.

(L; r = 0) e
A i B A i B
⇔
Bobine de résistance Générateur de tension
négligeable équivalent

La force électromotrice 𝐞 de la bobine est défini par l’opposé de la dérivée par rapport au temps du flux propre φ qui
la traverse.
𝐝𝛗 𝐝𝐢 𝐝𝐢
𝐞 = − 𝐝𝐭 or 𝛗 = 𝐋 ∙ 𝐢 donc 𝛗 = −𝐋 𝐝𝐭 d’où 𝐮𝐀𝐁 = −𝐞 = 𝐋 𝐝𝐭
La force électromotrice 𝐞 s’exprime en 𝐯𝐨𝐥𝐭 (𝐕).
- Si 𝐢 = 𝐜𝐭𝐞 ⇒ régime permanent (ou courant continu) alors 𝐞 = 𝟎.
Il n’y a donc pas de phénomène d’auto-induction en régime permanent ou en courant continu.

2. Tension aux bornes d’une bobine

(L; r) e ri
A i B A i M B
⇔ r

uAB uAB
Bobine de résistance r Générateur de tension
équivalent
 uAB = uAM + uMB

Or uAM = −uMA = −e et uMB = ri donc 𝐮𝐀𝐁 = 𝐫𝐢 − 𝐞

di 𝐝𝐢
Comme φ = −L dt alors 𝐮𝐀𝐁 = 𝐫𝐢 + 𝐋 𝐝𝐭

Aux bornes (𝐀 ; 𝐁) d’une bobine d’inductance 𝐋 et de résistance 𝐫, orientée de 𝐀 vers 𝐁 et traversée par un
courant d’intensité 𝐢, la tension est donnée par :
𝐝𝐢
𝐮𝐀𝐁 = 𝐫𝐢 − 𝐞 = 𝐋 𝐝𝐭 + 𝐫𝐢

IV. TENSION AUX BORNES D’UNE BOBINE

Soit le circuit électrique suivant constitué d’une bobine d’inductance L et de résistance r traversé par le courant
d’intensité i et maintenant la tension uAB entre ses bornes A et B.
(L; r)
A i B

𝐮𝐀𝐁
o La puissance électrique reçue à chaque instant par la bobine est donnée par la relation suivante :
𝓟 = 𝐮𝐀𝐁 ∙ 𝐢

o L’énergie emmagasinée dans une bobine d’inductance L lorsqu’elle est parcourue par un courant
d’intensité i est donnée par la relation :
𝟏
J 𝓔𝐦 = 𝐋 ∙ 𝐢𝟐 A
𝟐
K D
H A

(L; r)
V. ETUDE DES REGIMES TRANSITOIRES
E B carte
1. Etude expérimentale d’acquisitioni
R d’un ordinateur
Réalisons le montage schématisé sur la figure ci-contre. ou oscilloscope
Associons en série une bobine d’inductance L et de résistance à mémoire
propre r, un conducteur ohmique de résistance R et un M
générateur idéal de tension de f.e.m. E.
Un ordinateur ou un oscilloscope à mémoire permet d’enregistrer l’évolution, au cours du temps, du courant dans le
conducteur ohmique.
o Fermons l’interrupteur K
L’établissement du courant dans le circuit n’est instantané : l’intensité croît jusqu’à une valeur limite I0 , valeur de
l’intensité en régime permanent.
o Ouvrons l’interrupteur K
L’annulation du courant dans le circuit n’est instantanée : l’intensité décroit à partir de la valeur limite I0 avant de
s’annuler. Le courant induit dans la bobine peut circuler à travers la diode.

En modifiant la valeur de R ou celle de L, on constate que la durée d’établissement ou d’annulation du courant est
d’autant plus grande que :
o La valeur de la résistance R est plus petite ;
o La valeur de l’inductance L est plus grande.

2. Constante de temps
La constante de temps d’un circuit d’inductance L et résistance totale R est la durée τ telle que :
𝐋
𝛕=
𝐑

Quelle est la signification physique de la constante de temps τ ?

 o Etablissement du courant
Au bout de la durée ∆t = τ, après la fermeture du circuit, l’intensité i atteint 63% environ de sa valeur limite.
Au de la durée ∆t = 5τ, l’intensité i a pratiquement atteint sa valeur limite à plus de 99%.

o Rupture du courant
Au bout d’une durée τ, l’intensité ne vaut plus que 37% de sa valeur initiale. L’intensité est pratiquement nulle après
une durée de 5τ

3. Intensité du courant et tension aux bornes du conducteur ohmique

a. Etablissement du courant
i D
On ferme l’interrupteur K à t = 0. La diode n’est pas passante : un courant P K A
transitoire d’intensité i(t) circule dans le circuit comprenant le générateur. i
(L; r)
o Equation différentielle à laquelle obéit i.
E B
di
uPM = uPA + uAB + uBM ⇔ E = ri + L dt + Ri R
𝐝𝐢 𝐝𝐢 𝐑+𝐫 𝐄
Soit 𝐄 = (𝐑 + 𝐫)𝐢 + 𝐋 𝐝𝐭 ⇔ 𝐝𝐭
+ 𝐋
𝐢=𝐋 (a)
M
o Expression de l’intensité I0 du courant en régime permanent.
di 𝐄
i = I0 = cte ⇒ dt
=0 (a) ⇒ E = (R + r)I0 ⇔ 𝐈𝟎 = 𝐑+𝐫

t
E
o Vérifions que l’expression i(t) = I0 (1 − e−τ ) est solution de l’équation différentielle avec I0 = R+r et τ =
L
.
R+r
R+r
La solution de l’équation différentielle est de la forme i(t) = Ae− L
t
+B ⇒ donc
R+r
− t
A t = 0 ; i = 0 ⇒ A + B = 0 ⇔ B = −A soit i(t) = A (e L − 1)
R+r
di A(R+r) − t
=− e L
dt L
R+r R+r
E
(a) ⇒ −A(R + r)e− L
t
+ A(R + r)e− L
t
− A(R + r) = E donc A = − R+r
R+r 𝐭
E 𝐄 𝐋
d’où i(t) = R+r (1 − e− L
t
) soit 𝐢(𝐭) = 𝐈𝟎 (𝟏 − 𝐞−𝛕 ) avec 𝐈𝟎 = 𝐑+𝐫 et 𝛕 = 𝐑+𝐫.

b. Annulation du courant D
K A
On ouvre l’interrupteur K. Le courant dans la bobine traverse le conducteur i
ohmique de résistance R et la diode D.
(L; r)
Aux bornes de la diode, la tension est négligeable. L’application de la loi
d’additivité des tensions dans le circuit donne : E B

o Equation différentielle à laquelle obéit i. R

i
uAB + uBM + uMA = 0 M
di 𝐝𝐢
L dt + ri + Ri + 0 = 0 soit 𝐋 𝐝𝐭 + (𝐑 + 𝐫)𝐢 = 𝟎 (b)
o Expression de l’intensité i du courant en régime transitoire.
t t
L di A
i(t) = Ae−τ + B avec τ = R+r ⇒ dt
= − τ e−τ
AL − t t
L t
(b) ⇒ − e τ + A(R + r)e−τ − B(R + r) = 0 ⇔ A (− + R + r) e−τ + (R + r)B = 0
τ τ
t
−
Comme R + r ≠ 0 alors B = 0 ⇒ i(t) = Ae τ

𝐭
E
A t = 0 ; i = I0 = R+r. D’où 𝐢(𝐭) = 𝐈𝟎 𝐞−𝛕
 Exercice sur l’auto-induction
Exercice 1
On réalise un circuit électrique en série comportant un résistor de résistance R1 variable, une bobine
d’inductance L et de résistance interne r, un ampèremètre et un interrupteur K (figure 2). L’ensemble est
alimenté par un générateur de tension de force électromotrice E. Un oscilloscope bicourbe permet de visualiser
l’évolution au du temps des tensions uAM aux bornes de la branche AM et uR1 = uDM = R1 i, la tension aux
bornes du dipôle résistor lorsque sa résistance est réglée à une valeur R1 .
A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K, les courbes traduisant l’évolution au cours temps des tensions
uAM et uDM sont données par la figure 3.
1- Montrer que l’équation différentielle qui régit l’évolution de la tension uR1 = uDM au cours du temps
duR1 R1 L
s’écrit : τ1 + uR1 = (R ) E ; avec τ1 = R . Nommer τ1 .
dt 1 +r 1 +r
t
−
2- La solution de l’équation différentielle établie précédemment s’écrit uR1 (t) = U01 (1 − e τ1 ) avec U01 la
valeur de uR1 (t) en régime permanent.
a) Montrer que la courbe (1) correspond à uR1 (t).
b) Donner la valeur de la f.e.m E du générateur.
3- Lorsque le régime permanent est établi, l’ampèremètre indique la valeur I01 = 50mA.
a) Déterminer la valeur de la résistance R1 .
E
b) Montrer que l’expression de la résistance r de la bobine s’écrit : r = (U − 1) R1 . Calculer la valeur de r.
01
c) Déterminer graphiquement la valeur de la constante de temps τ1 et en déduire la valeur de l’inductance L
de la bobine.
4- Maintenant, on règle la résistance R1 à une valeur R 2 .
a) Dans le but d’atteindre plus lentement le régime permanent, dire en le justifiant si l’on doit augmenter ou
diminuer la valeur de la résistance par rapport à la valeur R1 .
b) Pour cette valeur R 2 de la résistance R1 , la constante de temps τ2 est alors τ2 = 2τ1 . Déterminer, dans ce
cas, la valeur de l’intensité du courant I02 en régime permanent.
Tension (V)
K Courbe (2)
A 6
5
(𝐿, 𝑟)
4
D Courbe (1)
𝐸 3
𝑅1
2

𝐴 M 1
t (ms)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Figure 1 Figure 2

Exercice 2
1- On donne μ0 = 4π.10-7S.I. Soit un solénoïde (A, C) de résistance négligeable et de longueur ℓ = 2m. Il
comporte N= 1500spires de rayon r = 10cm et est orienté arbitrairement de A vers C. (fig1). La surface S = π
r2 .
2- Il est parcouru par un courant d’intensité I.
a) Donner les caractéristiques du champ magnétique crée dans la région centrale du solénoïde par le passage
du courant.
b) Etablir l’expression littérale du flux propre Ф en admettant que les caractéristiques précédentes sont les
mêmes dans tout l’espace intérieur. Calculer numériquement Ф.
c) En déduire l’expression littérale de son inductance L. Calculer numériquement L.
3- Ce solénoïde est maintenant parcouru par une intensité qui varie avec le temps comme l’indique la figure
2. Un phénomène d’auto-induction prend naissance dans le solénoïde dont les bornes A et C sont reliées à
un oscillographe afin de visualiser la tension u AC (figure 3 ).
a) Pourquoi le phénomène d’auto-induction prend-il naissance ?
b) Donner l’expression de la tension u AC au cours des deux phases pour t ∈ [0; 50 ms].
c) Tracer la courbe uAC(t) visualiser à l’oscillographe. On donne :
- la base de temps est réglée sur 10ms/cm i(A)
- la sensibilité verticale est 0,5V/cm. 2
i A C

Fig.1
t(ms)
i A C
0 4 5
Fig.2
M
Fig.3

EXERCICE 3
Soit une portion de circuit (AB) constituée d’une bobine sans noyau, d’inductance L=5,0 mH et de résistance
r=2,0Ω
1) Donner la définition de l’inductance de la bobine.
Calculer la valeur du flux propre à travers cette bobine quand elle est parcourue par un courant
IAB =0,20 A.
2) Cette bobine est parcourue par un courant dont l’intensité varie avec le temps comme l’indique la figure.
a) Pour quels intervalles de temps y-a-t-il variation du flux propre à travers la bobine en se limitant à des
instants tels que 0 ≤ t ≤ 4.10-2 s ?
b) Calculer cette variation dans chaque cas.
c) En déduire qu’il existe une force électromotrice ( f.é.m.) d’auto-induction e dans la bobine dans certains
intervalles de temps que l’on précisera. La calculer dans chaque cas.
Donner l’expression littérale de la tension uAB aux bornes de la bobine. La représenter graphiquement en
fonction du temps. (Préciser les échelles choisies)
d) Calculer la valeur du temps τ.

iAB (A)
0,2

t (s)
O -2 -2 -2 -2
10 2.10 3.10 4.10

−0,2
 Oscillations électriques libres
Le circuit oscillant
o Objectifs pédagogiques
- Connaitre l’expression de la période propre des oscillations d’un circuit (LC) ;
- Etablir l’équation différentielle régissant les oscillations d’un circuit électrique (LC) ;
- Etablir l’expression de la charge du condensateur dans le circuit (LC) ;
- Connaitre un dispositif d’entretien des oscillations électriques.

I. OSCILLATIONS ELECTRIQUES NON AMORTIES DANS UN CIRCUIT (LC)

1. Charge d’un condensateur

Soit un condensateur de capacité C chargé sous une tension continue U0 . La charge Q0 prise par le condensateur à la
fin de cette charge est donnée par la relation :

C 𝐐 𝟎 = 𝐂 ∙ 𝐔𝟎 V

2. Equation différentielle de la décharge du condensateur dans la bobine

Considérons un condensateur de capacité C, portant une charge Q0 . Relions les bornes de ce condensateur à celles
d’une bobine d’inductance L et de résistance négligeable.
C A i q B
A B
uC
U0
L
L i

uL
Etat initial t = 0
Etat intermédiaire t ≠ 0

uAB (condensateur) + uBA (bobine) = 0 ⇔ 𝐮𝐂 + 𝐮𝐋 = 𝟎

dq q di d2 q
Or i = dt
; uC = C et uL = L dt = L dt2 .
𝐝𝐢 𝐪 𝐝𝟐 𝐪 𝐪 𝐝𝟐 𝐪 𝟏 𝟏
Ainsi 𝐋 𝐝𝐭 + 𝐂 = 𝟎 donc 𝐋 𝐝𝐭 𝟐 + 𝐂 = 𝟎 soit 𝐝𝐭 𝟐
+ 𝐋𝐂 𝐪 = 𝟎 ou encore 𝐪̈ + 𝐋𝐂 𝐪 = 𝟎

d2 q d2 uC 𝐝𝟐 𝐮𝐂 𝟏
Comme q = CuC ⇒ dt2
=C dt2
alors on a : 𝐝𝐭 𝟐
+ 𝐋𝐂 𝐮𝐂 = 𝟎

𝟏 𝟏
En posant 𝛚𝟐𝟎 = 𝐋𝐂 ⇔ 𝐋𝐂𝛚𝟐𝟎 = 𝟏 soit 𝛚𝟎 = on trouve les équations différentielles suivantes :
√𝐋𝐂

𝐪̈ + 𝛚𝟐𝟎 𝐪 = 𝟎
| Equation différentielle d’un oscillateur harmonique.
𝐮̈ 𝐂 + 𝛚𝟐𝟎 𝐮𝐂 = 𝟎

La décharge d’un condensateur de capacité 𝐂 dans une bobine d’inductance 𝐋 et de résistance négligeable
donne lieu à des oscillations sinusoïdales de la tension 𝐮𝐂 entre les armatures du condensateur.

3. Expression de la charge 𝐪 du condensateur et de l’intensité 𝐢 du courant dans le circuit

a. Pulsation propre 𝛚𝟎 , période propre 𝐓𝟎 , et fréquence propre 𝐍𝟎 du circuit (𝐋𝐂)
𝟏 𝟏
o Pulsation propre : 𝛚𝟐𝟎 = ⇔ 𝐋𝐂𝛚𝟐𝟎 = 𝟏 d’où 𝛚𝟎 =
𝐋𝐂 √𝐋𝐂
𝟐𝛑
o Période propre : 𝐓𝟎 = 𝛚 ⇒ 𝐓𝟎 = 𝟐𝛑√𝐋𝐂
𝟎
 𝟏 𝟏
o Fréquence propre : 𝐍𝟎 = 𝐟𝟎 = 𝐓 ⇒ 𝐍𝟎 = 𝐟𝟎 = 𝟐𝛑√𝐋𝐂
𝟎

b. Expressions de la charge 𝐪(𝐭), de la tension 𝐮𝐂 (𝐭) et de l’intensité 𝐢(𝐭) du courant

L’équation différentielle 𝐪̈ + 𝛚𝟐𝟎 𝐪 = 𝟎 admet, comme solution générale, une fonction de la forme :
Qm : Amplitude ou valeur charge maximale charge q
q = Qm cos(ω0 t + φ) φ : Phase à l’instant initial (t = 0)
ω0 t + φ : Phase à l’instant t ≠ 0

A t = 0 on a : q = Qm cos φ = Q0 = CU0 ⇒ cos φ > 0

i = −ω0 Qm sin φ = 0 ⇒ sin 𝜑 = 0
dq
i= = −ω0 Qm sin(ω0 t + φ)
dt
Donc 𝛗 = 𝟎 et 𝐐𝐦 = 𝐐𝟎 = 𝐂𝐔𝟎 d’où 𝐪(𝐭) = 𝐐𝟎 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝟎 𝐭)
q 𝐐𝟎 𝐐𝟎
Par ailleurs : uC = C ⇒ 𝐮𝐂 (𝐭) = 𝐂
𝐜𝐨𝐬(𝛚𝟎 𝐭) = 𝐔𝟎 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝟎 𝐭) avec 𝐔𝟎 = 𝐂
dq 𝛑
De même : i= dt
⇒ 𝐢(𝐭) = −𝛚𝟎 𝐐𝟎 𝐬𝐢𝐧(𝛚𝟎 𝐭) = 𝛚𝟎 𝐐𝟎 𝐜𝐨𝐬 (𝛚𝟎 𝐭 + 𝟐)
𝛑 𝛑
Soit 𝐢(𝐭) = 𝛚𝟎 𝐐𝟎 𝐜𝐨𝐬 (𝛚𝟎 𝐭 + ) = 𝐂𝐔𝟎 𝛚𝟎 𝐜𝐨𝐬 (𝛚𝟎 𝐭 + )
𝟐 𝟐

o Représentation graphique des fonctions 𝐪(𝐭) et 𝐢(𝐭)

q(t)
Q0 i(t)
Im
L’intensité i(t) est maximale lorsque la tension uC (t) être les
O
t armatures du condensateur s’annule de sorte que le
T0
condensateur se charge à nouveau et ainsi de suite.
−Im
−Q 0

II. ECHANGES D’ENERGIE DANS UN CIRCUIT OSCILLANT (LC)

1. La résistance du circuit est supposée négligeable
L’énergie du circuit se présente sous deux formes :

o Sous forme d’énergie électrostatique emmagasinée dans le condensateur :

𝟏 𝐪𝟐 𝟏 𝟏
𝓔𝐞 = 𝟐 𝐂
= 𝟐 𝐂 ∙ 𝐮𝐂 𝟐 = 𝟐 𝐪𝐮𝐂 .
Q0 𝐐𝟐 𝟏
Comme uC (t) = C
cos(ω0 t) = U0 cos(ω0 t) alors 𝓔𝐞 = 𝟐𝐂𝟎 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝛚𝟎 𝐭) = 𝟐 𝐂𝐔𝟎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝛚𝟎 𝐭)

o Sous forme d’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine :

𝟏
𝓔𝐦 = 𝐋 ∙ 𝐢𝟐
𝟐

Comme i(t) = −ω0 Q0 sin(ω0 t) = −CU0 ω0 sin(ω0 t) alors :

𝐐𝟐𝟎 𝟏 𝐐𝟐 𝟏
𝓔𝐦 = 𝐋𝛚𝟐𝟎 𝟐
𝐬𝐢𝐧𝟐 (𝛚𝟎 𝐭) = 𝟐 𝐋𝐂𝟐 𝐔𝟎𝟐 𝛚𝟐𝟎 𝐬𝐢𝐧𝟐 (𝛚𝟎 𝐭) = 𝟐𝐂𝟎 𝐬𝐢𝐧𝟐 (𝛚𝟎 𝐭) avec 𝛚𝟐𝟎 = 𝐋𝐂

o L’énergie électromagnétique du circuit (LC) vaut à chaque instant :

𝟏 𝟏 𝐪𝟐
𝓔 = 𝓔𝐦 + 𝓔𝐞 = 𝐋 ∙ 𝐢𝟐 + .
𝟐 𝟐 𝐂
Q2 Q2 Q2 𝐐𝟐
ℰ = 2C0 cos2 (ω0 t) + 2C0 sin2(ω0 t) = 2C0 [cos2 (ω0 t) + sin2(ω0 t)] ; soit 𝓔 = 𝟐𝐂𝟎
L’énergie de l’oscillateur (LC) est constante. C’est l’énergie initiale du condensateur chargé. Elle est donnée par les
relations :
 𝟏 𝟏 𝐪𝟐 𝐐𝟐 𝟏 𝟏 𝟏
𝓔 = 𝟐 𝐋 ∙ 𝐢𝟐 + 𝟐 𝐂
= 𝟐𝐂𝟎 = 𝟐 𝐂𝐔𝟎𝟐 = 𝟐 𝐐𝟎 𝐔𝟎 = 𝟐 𝐋 ∙ 𝐈𝐦
𝟐

Lorsque la résistance du circuit est négligeable, l’énergie électromagnétique du circuit (𝐋𝐂) se conserve. Il y a
échange d’énergie entre le condensateur et la bobine.

2. Oscillations électriques amorties : Circuit (RLC)

a. Equation différentielle du circuit (RLC)
En réalité la résistance interne de la bobine possède une résistance interne de valeur R.
A i q B
uAB (condensateur) + uBA (bobine) = 0 ⇔ 𝐮𝐂 + 𝐮𝐋 = 𝟎
uC dq q di d2 q dq
Or i = ; uC = et uL = L + Ri = L +R
dt C dt dt2 dt
(L; R) 𝐝𝐢 𝐪 d2 q dq q
i Ainsi 𝐋 𝐝𝐭 + 𝐑𝐢 + 𝐂 = 𝟎 donc L dt2 + R dt + C = 0

uL 𝐝𝟐 𝐪 𝐑 𝐝𝐪 𝟏 𝐑 𝟏
soit 𝐝𝐭 𝟐
+ 𝐋 𝐝𝐭 + 𝐋𝐂 𝐪 = 𝟎 ou encore 𝐪̈ + 𝐋 𝐪̇ + 𝐋𝐂 𝐪 = 𝟎
Etat intermédiaire t ≠ 0
d2 q d2 uC 𝐝𝟐 𝐮𝐂 𝐑 𝐝𝐮𝐂 𝟏
Comme q = CuC ⇒ dt2
=C dt2
alors on a : 𝐝𝐭 𝟐
+𝐋 𝐝𝐭
+ 𝐋𝐂 𝐮𝐂 = 𝟎

𝟏 𝟏
En posant 𝛚𝟐𝟎 = 𝐋𝐂 ⇔ 𝐋𝐂𝛚𝟐𝟎 = 𝟏 soit 𝛚𝟎 = on trouve les équations différentielles suivantes :
√𝐋𝐂

𝐑
𝐪̈ + 𝐋 𝐪̇ + 𝛚𝟐𝟎 𝐪 = 𝟎
| 𝐑 Equations différentielles d’un oscillateur harmonique amorti
𝐮̈ 𝐂 + 𝐋 𝐮̇ 𝐂 + 𝛚𝟐𝟎 𝐮𝐂 = 𝟎
uC
𝐑
𝛌= : coefficient d’amortissement U0
𝐋

b. Les différents régimes 0 T0 2T0 t

o Lorsque la résistance R du circuit est faible, les amplitudes
des oscillations diminuent progressivement et finies par s’annuler. −U0
On dit que le régime est pseudopériodique.
uC
U0
o Lorsque la résistance R du circuit est grande le système
n’oscille pas ; il revient dans sa position d’équilibre sans osciller :
on dit que le régime est apériodique.
𝑡
0

III. ENTRETIEN DES OSCILLATIONS

Un oscillateur électrique est entretenu si l’énergie électrique qu’il perd lui est restituée par un dispositif annexe. On
utilise en général un dispositif constitué d’un amplificateur opérationnel (AO).

1. Schéma de l’oscillateur entretenu

Le montage avec un AO permet d’entretenir les oscillations d’un circuit oscillant en gardant la période
de ce dipôle.

uS′E−
i R1
A i S

i−
E− − ∆∞
𝜀 S′
(L; R) uL E+
+
+
i
 o Relation entre 𝐢 et 𝐢′
𝐑
ε = uE+E− = 0 ⇔ uE+ S′ + uS′S + uSE− = 0 ⇒ −R 2 i′ − R 1 i = 0 donc 𝐢′ = − 𝐑𝟏 ∙ 𝐢
𝟐
Pour 𝐑 𝟏 = 𝐑 𝟐 ; on a 𝐢′ = −𝐢 .

o Expression de 𝐮𝐒𝐌 en fonction de 𝐑 𝟏 , 𝐑 𝟐 , 𝐑 𝟎 et 𝐢

uSM = uSS′ + uS′E+ + uE+M ⇔ uSM = R 1 i − R 2 i′ + R 0 i′
R R 𝐑
Comme i′ = − R1 ∙ i alors uSM = R 1 i − R 1 i − R 0 R1 ∙ i d’où 𝐮𝐒𝐌 = − 𝐑𝟏 𝐑 𝟎 ∙ 𝐢
2 2 𝟐
Si 𝐑 𝟏 = 𝐑 𝟐 alors 𝐮𝐒𝐌 = −𝐑 𝟎 ∙ 𝐢
o Montrons que le générateur auxiliaire est équivalent à une résistance négative
Remplaçons le générateur auxiliaire par une résistance fictive X et trouvons la valeur qu’il faut lui donner.
A S
i
i R 𝐑
uL uSM = X ∙ i or uSM = − R1 R 0 ∙ i donc 𝐗 = − 𝐑𝟏 𝐑 𝟎
(L; R) 2 𝟐
X uSM Si R 1 = R 2 alors 𝐗 = −𝐑 𝟎
C uC Le générateur auxiliaire simule une résistance négative.
q

2. Valeur de la résistance 𝐑 𝟎 pour que les oscillations soient harmoniques

di d2 q dq q
uL + uC + uSM = 0 or uL = L + Ri = L +R ; uC = et uSM = X ∙ i
dt dt2 dt C
di q d2 q dq q dq dq
Ainsi L dt + Ri + C + X ∙ i = 0 ⇔ L dt2 + R dt + C + X dt = 0 car i = dt
dq duC d2 q d2 uC
Par ailleurs : q = CuC ⇒ dt
=C dt
et dt2
=C dt2
d2 u C duC 𝐝𝟐 𝐮𝐂 𝐑+𝐗 𝐝𝐮𝐂 𝟏
Donc : LC dt2
+ C(R + X) dt
+ uC = 0 ⇔ 𝐝𝐭 𝟐
+( 𝐋
)
𝐝𝐭
+ 𝐋𝐂 𝐮𝐂 = 𝟎
1 𝐝𝟐 𝐮𝐂 𝐑+𝐗 𝐝𝐮𝐂
Comme LC = ω20 alors 𝐝𝐭 𝟐
+( 𝐋
)∙
𝐝𝐭
+ 𝛚𝟐𝟎 ∙ 𝐮𝐂 = 𝟎

R 𝐑
Les oscillations sont entretenues si : 𝐑 + 𝐗 = 𝟎 ⇒ X = −R ⇔ − R1 R 0 = −R d’où 𝐑 𝟎 = 𝐑𝟐 𝐑
2 𝟏

Pour R 1 = R 2 on a 𝐑 𝟎 = 𝐑 .
 EXERCICE1
On réalise le montage schématisé ci-dessous (fig. a). Un ordinateur couplé à une interface permet de visualiser la tension aux
bornes du condensateur.
La capacité du condensateur est C = 0,1 F, et l’inductance L de la bobine est inconnue.
1) On place l’interrupteur K dans la position 1. Que se passe-t-il pour le condensateur ?
On place ensuite K en position 2. On observe alors sur l’écran la courbe suivante (fig. b) :
Quel phénomène représente-t-elle ?
Quelle est la valeur de la période ?
2) a) En déduire les expressions de la charge q du condensateur et de l’intensité i en fonction du temps. (On prend pour
origine des temps à l’instant où q prend sa
valeur maximale.)Représenter sur un même graphique les variations de q et de i.
b) Déterminer les énergies emmagasinées dans le condensateur et dans la bobine. Représenter graphiquement leurs variations
en fonction du temps.
c) Calculer l’énergie totale du circuit.

Fig b
EXERCICE2
1) On charge un condensateur de capacité C = 12,5 μF et de résistance négligeable grâce à une batterie de
f.e.m. 12 V (l’interrupteur K1 est fermé et l’interrupteur K2, ouvert).
Calculer la charge maximale du condensateur et préciser sur la
figure l’armature qui s’est chargée positivement.
2) Ce condensateur peut ensuite se décharger dans une bobine
d’inductance L = 0,8 H et de résistance nulle. Pour cela, on
ouvre K1 et, à la date t = 0, on ferme K2.
a) Déterminer les valeurs U0 de la tension U AB et l’intensité i0
du courant dans le circuit (L, C) à la date t = 0.
b) Etudier la variation de la tension uC aux bornes du
condensateur en fonction du temps. Calculer la pulsation propre
ω0 et la fréquence propre du circuit (L, C). Exprimer u C = uAB en fonction de t, ω0 et U0.
c) On visualise uC sur l’écran d’un oscillographe. Le balayage horizontal correspond à 5.10-3 s.cm-1 et la
sensibilité verticale est 6 V.cm-1. La largeur de l’écran est 8 cm. Représenter la courbe uC (t) que l’on observe
sur l’écran.
d) En réalité, la bobine a une résistance R. Dessiner une des allures que l’on peut observer sur l’écran. Quel
est le rôle de R.

EXERCICE 4
1.On réalise un circuit en montant en série une bobine d’inductance L, un condensateur chargé de capacité C
et un interrupteur K (fig1). On suppose négligeable la résistance de la bobine et les fils de connexion.
a) On ferme K. Quel phénomène se produit dans le circuit? En précisant, sur le schéma, le sens positif choisi
pour le courant, établir l’équation différentielle liant la charge du condensateur à sa dérivée seconde par
rapport au temps.
b) En déduire l’expression de la période propre T0 du circuit.
A.N. C =20μF, L = 5.10-2H.
2. Soit un ressort élastique, à réponse linéaire, de constante de raideur k, de masse négligeable. Une de ses
extrémités est fixée en O, l’autre est attachée à un solide S, de masse m, qui peut se déplacer sans frottement
sur une table à coussin d’air horizontale. On réalise ainsi un pendule élastique horizontal (fig2).
On écarte le solide S d’une distance X0 par rapport à sa position d’équilibre et on le lâche sans vitesse initiale.
a) Etablir l’équation différentielle du mouvement du solide en prenant comme variable l’abscisse du solide
par rapport à sa position d’équilibre :
- A partir de l’étude énergétique
- A partir de la relation fondamentale de la dynamique
- En déduire la nature du mouvement de S.
b) L’étude expérimentale du mouvement montre que n = 25 oscillations du solide durent t = 8,1s. Sachant que
la masse du solide vaut m = 200g, en déduire la valeur numérique du coefficient de raideur k du ressort.
3. En comparant l’étude des systèmes précédents, faire une analogie entre les grandeurs électriques et
mécaniques : préciser les grandeurs mécaniques correspondant à la charge q et la capacité C du condensateur,
à l’intensité du courant, à l’inductance L de la bobine.

A B O S

K Fig.2
L

Fig.1
 Oscillations Electriques Forcées
Circuit (RLC)

o Objectifs pédagogiques
- Définir les grandeurs caractéristiques d’un circuit en régime sinusoïdal forcé.
- Transposer les lois du courant continu en régime sinusoïdal forcé.
- Utiliser la représentation de Fresnel.
- Comprendre la résonance d’intensité dans un circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé.
- Connaitre les expressions de la puissance et l’énergie échangées en régime sinusoïdal forcé.

Certains récepteurs radios possèdent un circuit d’accord permettant de détecter la fréquence d’une station radio. Ce
circuit utilise la résonance d’intensité.
Qu’est ce que la résonance d’intensité ?
Comment sélectionne-t-on une station de radio particulière ?

I. Généralités sur les grandeurs alternatives sinusoïdales

1. Intensités et tension alternatives sinusoïdales
Un courant alternatif sinusoïdal est un courant dont l’intensité est une fonction sinusoïdale du temps de la
forme :

𝐢(𝐭) = 𝐈𝐦 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐭 + 𝛗𝐢 ) ou 𝐢(𝐭) = 𝐈𝐦 𝐬𝐢𝐧(𝛚𝐭 + 𝛗𝐢 )

Im : Amplitude de l’intensité ou intensité maximale (en A)

2π
ω = T = 2πN: Pulsation (en rad/s) où T est la période et N la fréquence.
ωt + φi : Phase de l’intensité i(t) à l’instant t en (en rad)
φi: Phase de l’intensité i(t) à l’instant t = 0 (en rad)

o L’intensité efficace I du courant alternatif sinusoïdal est donnée par la relation :

𝐈𝐦
𝐈= ⇒ 𝐈𝐦 = 𝐈√𝟐
√𝟐

De même une tension alternative sinusoïdale se représente par des fonctions sous la forme :

𝐮(𝐭) = 𝐔𝐦 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐭 + 𝛗𝐮 ) ou 𝐮(𝐭) = 𝐔𝐦 𝐬𝐢𝐧(𝛚𝐭 + 𝛗𝐮 )

Um : Amplitude de la tension ou tension maximale (en V)

φu : Phase de la tension u(t) à l’instant t = 0 (en rad)

o La tension efficace U de la tension alternative sinusoïdale u(t) est donnée par la relation :
𝐔𝐦
𝐔= ⇒ 𝐔𝐦 = 𝐔√𝟐
√𝟐
Remarque

 Le multimètre, le voltmètre ou l’ampèremètre permettent de mesurer la tension ou l’intensité

efficace.
 La valeur maximale d’une tension peut être mesurée à l’aide d’un oscilloscope.

2. Déphasage entre la tension et l’intensité du courant

En régime sinusoïdal, la tension u(t) = Um cos(ωt + φu ) aux bornes d’un dipôle et l’intensité i(t) =
Im cos(ωt + φi ) du courant qui le parcourt n’ont généralement pas la même phase.

La grandeur 𝛗 = 𝛗𝐮 − 𝛗𝐢 est appelée différence de phase ou déphasage de la tension par rapport à

l’intensité du courant.

NB : L’intensité i(t) du courant à chaque instant étant la même en tous les points d’un circuit série la phase de
l’intensité est prise comme origine des phases.
Nous posons φi = 0 de sorte que : φ = φu − φi = φu/i .
Ainsi : i(t) = Im cos ωt et u(t) = Um cos(ωt + φ)
- Si 𝛗 > 0, la tension est en avance par rapport à l’intensité.
- Si 𝛗 < 0, la tension est en retard par rapport à l’intensité.
- Si 𝛗 = 𝟎, la tension et l’intensité sont en phase.

■ Calcul graphique du déphasage

i(t) = Im cos ωt et u(t) = Um cos(ωt + φ)
∆𝐭
| φ| =
2π∆t T ∶ Période de la tension ou de l′ intensité
T
∆t = τ ∶ Décalage horaire entre tension ou de l′ intensité 𝐢 𝐮
Comme u(t) est en retard par rapport à i(t) alors φ < 0.
𝟐𝛑∆𝐭
Donc on trouve 𝛗 = − 𝐓 𝐓

3- Règle et construction de Fresnel

Fresnel propose que l’on représente la fonction sinusoïdale de la forme 𝐱 = 𝐗 𝐦 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐭 + 𝛗), par le vecteur
⃗ dans la position qu’il occupait à t = 0.
V
Grandeur sinusoïdale Vecteur de Fresnel
⃗ = Xm
V
x = Xm cos(ωt + φ) ⃗
V
(i ; ⃗V) = φ

⃗⃗V
φ
φ ⃗⃗V
φ>0 φ=0 φ<0 V
⃗⃗

II- Etude d’un circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé

1- Notion d’impédance
L’impédance 𝐙 d’un dipôle (AB) soumis à un régime sinusoïdal est le rapport entre les valeurs efficace de
la tension appliquée et de l’intensité du courant qui le parcourt.
𝐔𝐦 𝐔 V
Ω 𝐙= =
𝐈𝐦 𝐈 A

2- Etude des dipôles élémentaires en régime sinusoïdal forcé

a) Le conducteur ohmique ou résistor
URm RIm
i A B ⃗
V = ⃗V1
R φ 0
RIm
uR origine des
phases
i = Im cos ωt = I√2 cos ωt
uR = URm cos(ωt + φ) = UR √2cos(ωt + φ) Vecteur de Fresnel associé à uR
U RI
uR = Ri ⇔ URm cos(ωt + φ) = RIm cos ωt d’où zR = IRm = I m ⇒ 𝐳𝐑 = 𝐑 et 𝛗 = 𝟎
m m
La tension 𝐮𝐑 et l’intensité i sont donc en phase.
b) Bobine purement inductive (𝐫 = 𝟎)
L UL LωI
i A B ⃗V = ⃗1 𝜋
V
φ
2
uL
LωI
i = Im cos ωt = I√2 cos ωt
π/2
uL = ULm cos(ωt + φ) = UL √2cos(ωt + φ)
origine des phases
di d
uL = L = L ( )
I cos ωt = −LωIm sin ωt Vecteur de Fresnel associé à uL
dt dt m
π U LωI 𝛑
Donc UL cos(ωt + φ) = LωI cos (ωt + 2 ) d’où zL = IL = I ⇒ 𝐳𝐋 = 𝐋𝛚 et 𝛗 = 𝟐
La tension 𝐮𝐋 est en quadrature avance sur l’intensité i.

c) Bobine réelle (𝐋; 𝐫)

Une bobine réelle, d’inductance L et de résistance r, se comporte comme une (L; r)
i A B
bobine purement inductive d’inductance L en série avec un conducteur
ohmique de résistance r. u
i = Im cos ωt = I√2 cos ωt
u = Um cos(ωt + φ) = U√2cos(ωt + φ) UL = LωI
di U
u = ri + L dt ⇒ Um cos(ωt + φ) = rIm cos ωt − LωIm sin ωt
π φ π/2
donc Ucos(ωt + φ) = rI cos ωt + LωI cos (ωt + 2 ) Ur = rI origine des phases
UL = LωI
U Ur = rI 𝐔 𝐋𝛚 𝒓
⃗V = ⃗V1 + ⃗V2 𝜋 𝐙= = √𝐫 𝟐 + 𝐋𝟐 𝛚𝟐 ; 𝐭𝐚𝐧𝛗 = et 𝐜𝐨𝐬 𝝋 =
φ 0= RIm 2
𝐈 𝐫 𝒁

La tension u aux bornes de la bobine est en avance sur l’intensité i.

d) Condensateur parfait I
C Cω
A B ⃗ UC
V = ⃗V1
φ 𝜋
−
2
uC
i = Im cos ωt = I√2 cos ωt origine des phases

uC = UCm cos(ωt + φ) = UC √2 cos(ωt + φ) −π/2

q dq t 1 t
uC = C et i = dt ⇒ q = ∫0 idt donc uC = 𝐶 ∫0 idt LωI
I √2 I √2 π Vecteur de Fresnel associé à uC
Soit uC = sin ωt = cos (ωt − 2 )
Cω Cω
I π UC I 𝟏 𝛑
Donc UC cos(ωt + φ) = Cω cos (ωt − 2 ) d’où zC = = CωI ⇒ 𝐳𝐂 = 𝐂𝛚 et 𝛗 = − 𝟐
I
La tension 𝐮𝐂 est quadrature retard sur l’intensité i.

3- Tension aux bornes d’un circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé

La voie Y2 donne la tension u = uAM aux bornes du générateur.

La voie Y1 donne les uC = uBM aux bornes du conducteur ohmique, Y1 Y2
donc un signal proportionnel à l’intensité i(t). L C
M
R A
On donne : i = Im cos ωt = I√2 cos ωt B D
u = Um cos(ωt + φ) = U√2cos(ωt + φ) uR uL uC i
GBF
𝐝𝐢 𝒒 𝐝𝐢 𝟏 𝐭
u = uR + uL + uC ⇒ 𝐮 = 𝐑𝐢 + 𝐋 + ⇔ 𝐮 = 𝐑𝐢 + 𝐋 + ∫𝟎 𝐢𝐝𝐭
𝐝𝐭 𝑪 𝐝𝐭 𝑪 u
di π t Im Im π
dt
= −ωIm sin ωt = ωIm cos (ωt + 2 ) et ∫0 idt = sin ωt = cos (ωt − 2 )
ω ω
π Im π
Donc u = RIm cos ωt + LωIm cos (ωt + 2 ) + Cω cos (ωt − 2 )
Comme u = Um cos(ωt + φ) = U√2cos(ωt + φ) alors
π Im π
Um cos(ωt + φ) = RIm cos ωt + LωIm cos (ωt + ) + cos (ωt − )
2 Cω 2
𝛑 𝛑
𝐔𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐭 + 𝛗) = 𝐔𝐑 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 + 𝐔𝐋 𝐜𝐨𝐬 (𝛚𝐭 + 𝟐) + 𝐔𝐂 𝐜𝐨𝐬 (𝛚𝐭 − 𝟐 ) ; avec 𝐔𝐑 = 𝐑𝐈 ; 𝐔𝐋 = 𝐋𝛚𝐈 et 𝐔𝐂 =
𝐈
𝐂𝛚
Par ailleurs en utilisant l’expression 𝐔 = 𝐙𝐈 on a :
𝛑 𝟏 𝛑
𝐙 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐭 + 𝛗) = 𝐑 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 + 𝐋𝛚 𝐜𝐨𝐬 (𝛚𝐭 + 𝟐) + 𝐂𝛚 𝐜𝐨𝐬 (𝛚𝐭 − 𝟐)
𝛑 𝛑 𝟏
soit 𝐙 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐭 + 𝛗) = 𝐳𝐑 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 + 𝐳𝐋 𝐜𝐨𝐬 (𝛚𝐭 + ) + 𝐳𝐂 𝐜𝐨𝐬 (𝛚𝐭 − ) ; avec 𝐳𝐑 = 𝐑, 𝐳𝐋 = 𝐋𝛚 et 𝐳𝐂 =
𝟐 𝟐 𝐂𝛚

I
UL = LωI UL =
U UR = RI Cω
⃗V ⃗1
= V + V
⃗2 𝜋 + ⃗V3
φ 𝟏 0= RIm 2
𝜋
𝐔𝐂 = − 𝐔 = 𝐋𝛚
𝐂𝛚 2 𝐋
𝐔𝐑 = 𝐑 origine des phases
𝐔 𝐔𝐋 = 𝐋𝛚 𝛗<0 𝟏
𝐔𝐂 =
𝛗>0 𝐔 𝐂𝛚

𝐔𝐑 = 𝐑 origine des phases

𝐂𝐢𝐫𝐜𝐮𝐢𝐭 𝐜𝐚𝐩𝐚𝐜𝐢𝐭𝐢𝐟
𝐂𝐢𝐫𝐜𝐮𝐢𝐭 𝐢𝐧𝐝𝐮𝐜𝐭𝐢𝐟

𝐔 𝟏 𝟐
■ L’impédance Z de la portion de circuit AM est : 𝐙 = = √𝐑𝟐 + (𝐋𝛚 − 𝐂𝛚)
𝐈
■ Le déphasage 𝛗 de la tension par rapport à l’intensité peut être donnée par :
𝟏
𝐔𝐋 −𝐔𝐂 𝐋𝛚− 𝐔𝐑 𝐑
𝐂𝛚
𝐭𝐚𝐧 𝛗 = = ou 𝐜𝐨𝐬 𝛗 = =
𝐔𝐑 𝐑 𝐔 𝐙
Remarque :
1
Si Lω > ⇒ tan φ > 0 ⇔ φ > 0 alors le circuit est dit inductif. La tension 𝐮 est en avance sur
Cω
l’intensité 𝐢.
1
Si Lω < Cω ⇒ tan φ < 0 ⇔ φ < 0 alors le circuit est dit capacitif. La tension 𝐮 est en retard sur
l’intensité 𝐢.

III- Circuit RLC série à la résonance d’intensité

1- Valeur des grandeurs caractéristiques du circuit à la résonance
L’intensité efficace I ou l’intensité maximale Im est la réponse d’un circuit RLC série soumis à une
excitation sinusoïdale u = Um cos(ωt + φ) = U√2cos(ωt + φ).
■ Lorsque I (ou 𝐈𝐦 ) est maximale, on dit que le circuit RLC série est à la résonance d’intensité.
L’intensité et la tension sont donc en phase.
U 1 2
Nous savons que I = avec Z = √R2 + (Lω − Cω) .
Z
1
Pour U constante, I est maximale si Z est minimale donc Lω − Cω = 0 ⇒ LCω2 = 1 ⇔
1
ω= = ω0
√LC
■ A la résonance d’intensité, la fréquence de la tension imposée par le générateur est égale à la
fréquence propre du circuit RLC.
𝟏 𝛚 𝟏
𝛚𝟎 = soit 𝐍𝟎 = 𝟐𝛑𝟎 = 𝟐𝛑√𝐋𝐂
√𝐋𝐂
𝐔 𝐔𝐦
■ Dans un circuit série RLC à la résonance d’intensité : 𝐙 = 𝐑 ; 𝛗 = 𝟎; 𝐈(𝛚𝟎 ) = 𝐈𝟎 = 𝐑 ; 𝐈𝐦 (𝛚𝟎 ) = .
𝐑
 2- Courbe de résonance d’intensité
On mesure l’intensité efficace I du courant dans le circuit en fonction de la fréquence en maintenant la
tension efficace U constante.
N(Hz) 0 100 160 180 185 190 196 198 200 202 206 210 220 260 300 350 400
I(mA) 0 16 50 90 107 126 145 149 150 149 141 128 96 43 28 20 16

■ Traçons la courbe de résonance d’intensité pour 𝐔 = 𝟑𝐕 ; 𝐑 = 𝟐𝟎𝛀 ; 𝐋 = 𝟎, 𝟏𝐇 et 𝐂 = 𝟔, 𝟒𝛍𝐅

C’est la courbe donnant les variations de l’intensité efficace I en fonction de la fréquence N ou f ou en
fonction de la pulsation ω soit 𝐈 = 𝐟(𝐍) ou 𝐈 = 𝐟(𝛚).

I (mA)
160
I0
140

120
𝐈𝟎⁄√𝟐
100

80

60

40

20

0 N (Hz)
N1 N2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

■ La résonance est obtenue pour N = N0 = 200Hz. L’intensité efficace à la résonance vaut :

I = 150mA.
1 1
La fréquence propre du circuit vaut : N0 = 2π√LC = −6
= 199Hz.
2π√0,1∙6,4∙10
U 3
L’intensité efficace à la résonance vaut : I0 = R = 20 = 150mA.
Ce qui est en accord avec la valeur expérimentale.
3- Acuité de la résonance
a) La bande passante à 3 décibels
I
La bande passante d’un circuit RLC série est l’ensemble des fréquences pour lesquelles I ≥ 02, I0 étant
√
l’intensité efficace à la résonance.
■ Détermination de la bande passante à partir de la courbe de résonance
I0 I0
I0 = 150mA ⇒ = 106mA. Les fréquences N1 et N2 correspondantes à valent respectivement N1 =
√ 2 √2
185Hz et N2 = 215Hz. La largeur de la bande passante est : ∆N = N2 − N1 = 30Hz.
■ Détermination de la bande passante par le calcul
ω1 ω2 I0 U
La bande passante est limitée par les fréquences N1 = et N2 = pour lesquelles I = =R car I0 =
2π 2π √2 √2
U
.
R
I0 U
I= = ⇒ Z = R√2
√2 R √2
1 2 1 2 1 2
Comme Z = √R2 + (Lω − Cω) alors R2 + (Lω − Cω) =2R2 ⇔ (Lω − Cω) = R2 .
 1 1
Soit (Lω − Cω − R) (Lω − Cω + R) = 0 ⇔ Lcω2 − RCω − 1 = 0 ou Lcω2 + RCω − 1 = 0
La résolution de ces équations en ω donne ∆= (RC)2 + 4LC et fournit les limitesω1 eω2 t de la bande
−RC+√∆ RC+√∆
passante en pulsation, telles que : ω1 = 2LC et ω1 = 2LC .
● On appelle largeur de la bande passante, la grandeur ∆𝛚 = 𝛚𝟐 − 𝛚𝟏 ou ∆𝐍 = 𝐍𝟐 − 𝐍𝟏
donnée par la relation :
𝐑
∆𝛚 = 𝛚𝟐 − 𝛚𝟏 = 𝐋
∆𝛚 𝐑
Comme ω = 2πN alors ∆𝐍 = ⇒ ∆𝐍 = 𝟐𝛑𝐋
𝟐𝛑

Application numérique :
20
Pour R = 20Ω et L = 0,1H, ∆N = 2∙π∙0,1 = 31,8Hz et pour R = 50Ω et L = 0,1H,
50
∆N = = 31,8Hz
2 ∙ π ∙ 0,1

b) Facteur de qualité
𝐍 𝛚
Par définition, le facteur de qualité 𝐐 du circuit 𝐑𝐋𝐂 est le rapport :𝐐 = ∆𝐍𝟎 =∆𝛚𝟎
R 𝟐𝛑𝐋𝐍𝟎 𝐋𝛚𝟎 𝟏
Remplaçons ∆N dans Q par et on a : Q = = = .
2πL 𝐑 𝐑 𝐑𝐂𝝎𝟎
Le facteur de qualité du circuit diminue lorsque la résistance augmente.
Le facteur de qualité Q d’un circuit RLC mesure l’acuité de la résonance.
 Si Q est élevé, la résonance est dite aiguë. La bande passante est étroite
 Si Q est faible, la résonance est floue.

IV- Puissance en régime sinusoïdal

1. Puissance instantanée
La puissance instantanée reçue par un dipôle récepteur AB est : PAB=UABi

2. Puissance moyenne
La puissance moyenne Pm consommée par un dipôle AB est, par définition, la moyenne de la puissance
instantanée sur une période.
On montre que : Pm=UI𝐜𝐨𝐬 𝝋 Pm (W), U( V), I(A).
UI : Puissante apparente en V.A et cos 𝜑 : facteur de puissance
 Pour un conducteur ohmique on a φR= 0 et U=RI alors Pm=RI2
𝜋
 Pour une bobine parfaite on a φL=+ 2 alors Pm=0
𝜋
 Pour un condensateur parfait on a φC=− 2 alors Pm=0
La puissance moyenne dissipée par un dipôle RLC est uniquement par effet joule puisque le condensateur et
la bobine ne consomment pas de puissance par conséquent :
𝐑
Pm=UI𝐜𝐨𝐬 𝝋=RI2 car 𝐜𝐨𝐬 𝝋=𝐙 et U=ZI
 Exercices sur les circuits RLC
EXERCICE1
Un GBF délivre une tension sinusoïdale de fréquence f aux bornes d’un dipôle comprenant en série :
• Une inductance pure L = 1,0 H et de résistance r = 8,5 ohm ;
• Un condensateur de capacité C ;
• Un conducteur ohmique de résistance R0 = 100 ohm.
La figure ci-dessus représente ce qu’on observe sur l’écran de l’oscilloscope avec les réglages suivants :
- Sensibilités verticales sur les deux voies : 2,0 V/division ;
- Balayage horizontal : 2 ms/division.
1) Déterminer la période T de la tension sinusoïdale u(t) délivrée par le G.B.F. En déduire la fréquence f et la
pulsation ω correspondantes.
2) Déterminer les valeurs maximales Um de la tension aux bornes du dipôle et de l’intensité Im du courant.
3) On pose i(t) = Imcos(ωt) et u(t) = Umcos(ωt+ϕ). Déterminer le déphasage ϕ entre u(t) et i(t).
Quel est son signe ?
4) A l’aide de la construction de Fresnel, déterminer la relation donnant tanϕ en fonction des paramètres du
circuit. En déduire la valeur de la capacité C du condensateur.

EXERCICE 2
Un circuit est constitué d’une résistance R = 200 Ω, d’une bobine inductive (inductance : L = 0,1 H ; résistance négligeable)
et d’un condensateur de capacité C = 1 𝜇F placé en série. Il est alimenté par un générateur B.F qui délivre à ses bornes une
tension alternative sinusoïdale u de fréquence 250 Hz et de valeur efficace U = 5 V.
1.Faire le schéma du montage.
2.Calculer l’impédance Z du circuit.
3.Calculer l’intensité efficace dans le circuit.
4.Quelles sont les valeurs des impédances ZR ; ZB et ZC ? comparer leur somme à Z et conclure.
5. Calculer les tensions efficaces : UR ; UB et UC. Comparer leur somme à U et conclure.
6.Si l’on se donne la tension instantanée u sous la forme : u = Umcos(𝜔𝑡) , avec Um = U√2 ;
a)D’après la question 5), le circuit est-il inductif ou capacitif ? justifier.
b)Faire la construction de Fresnel.
c)Déterminer le déphasage 𝜑 et dire si la tension u est en avance ou en retard par rapport à l’intensité i.
d)Quelle est la loi de variation de l’intensité instantanée i en fonction du temps : i (t) ?

EXERCICE 4
Une bobine d’induction L et de résistance négligeable est montée
en série avec un condensateur de capacité C et un conducteur ohmique de résistance R, entre deux points M et P d’un
circuitcomme l’indique la figure. L’ensemble est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale de valeur efficace
U maintenue
constante et contrôlée par un voltmètre. L’intensité efficace du courant est mesurée à l’aide d’un ampèremètre à toutes
les fréquences.
1.Rappeler sans démonstration la formule de l’impédance du dipôle MP.
2.On fixe 𝑈 = 4,5𝑉 ; 𝑅 = 264,6𝛺 et on fait varier la fréquence N. on note les valeurs de l’intensité efficace I dans le
tableau suivant :
N(Hz) 380 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 640 660
I(mA) 4,4 6,3 7,7 9,7 12,4 15,4 17 15,7 12,9 10,6 8,8 6,5 5,8 a)Tracer la
courbe 𝐼 =
𝑓(𝑁). Echelle : en abscisses : 1𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 20𝐻𝑧, en ordonnées : 1𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 1𝑚𝐴.
 On graduera l’axe des fréquences à partir de 350𝐻𝑧.
b)Donner la valeur 𝑁0 de la fréquence à la résonance. L
c)Calculer l’intensité efficace 𝐼0 à la résonance. A
M
L

3)On désigne par 𝑁1 et 𝑁2 (𝑁1 < 𝑁2 ) les fréquences délimitant la

bande passante. G V C
a)Calculer les valeurs des intensités 𝐼1 et 𝐼2 correspondant à 𝑁1 et 𝑁2 . C
R
b)Déterminer graphiquement la largeur de la bande passante et en P
R
déduire le facteur de qualité de ce dipôle (R,L,C). P
4.Déduire des résultats précédents, les valeurs : de l’inductance L et de la capacité C.

EXERCICE 6
Une portion de circuit AD comprend en série : Fig1
- une bobine d’inductance L et de résistance r ;
- une résistance ohmique R = 20 Ω.
On établit entre A et D une tension sinusoïdale u AD = U√2 cos ωt. Fig 1
L’intensité instantanée est alors exprimée par iAD = I√2 cos (ωt +𝜑).
On branche, comme indique figure 1, un oscilloscope bicourbe dont le
balayage est réglé à 2,5 ms.cm-1, la sensibilité des voies y1 et y2 à 1 V.cm-1.
On observe sur l’écran la figure 2.
1. Déduire des courbes observées :
- la pulsation ω, Fig2
- les valeurs de U et I,
- le déphasage 𝜑 entre l’intensité et le tension.
2. Trouver l’impédance Z de la portion AD du circuit, les valeurs de L et r.
3. On intercale en série dans le circuit précédent, un condensateur de capacité
C = 112 𝜇F (fig. 3). Sans changer les réglages de l’oscillographe, on observe sur
l’écran, la figure 4.
3.1. Quel est le nouveau déphasage entre iAD et uAD ? vérifier que ce résultat
est compatible avec la valeur de L trouvée au 1)-b. Fig. 2
3.2. Quelle est la nouvelle valeur de l’intensité maximale ? En utilisant cette valeur, retrouver la valeur de r.
Fig4

Fig3 Fig4
 LES LENTILLES MINCES

I. Généralités sur les lentilles minces

1-Définition
Une lentille est un milieu transparent, limité par deux surfaces dont l’une au moins est sphérique .
Une lentille est dite mince si son épaisseur au centre est petite devant son diamètre d'ouverture.
2-Présentation des deux types de lentilles minces
On distingue les lentilles dites :
 Convergentes : à bords minces que le centre

Biconvexe plan convexe ménisque à bords minces

Centre optique

Symbole : F O
F’ Axe optique

 divergentes :à bords épais que le centre

Biconcave plan concave ménisque à bords épais

Symbole :
F’ O F

II. Caractéristiques des lentilles minces convergentes

1- Le centre optique
Tout rayon passant par le centre optique O d'une lentille n'est pas dévié.

2- Les axes optiques

 L'axe principal (ou abusivement axe optique, dénomination utilisée par la suite) est la droite perpendiculaire à l'axe de
la lentille et passant par le centre optique O.
 Les axes secondaires sont toutes les autres droites passant par le centre optique O.
3- Les foyers image et objet
a) Foyer objet F de la lentille convergente
 Un faisceau de rayons incidents issus du foyer principal objet F, situé sur l'axe optique, symétrique de F' par rapport à
O, émerge parallèlement à l'axe optique.

F F’

 Le plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par F est appelé plan focal objet.

Plan focal
object Plan focal
image
F F’

 Tout rayon incident issu d'un point F1 du plan focal objet (F1 désignant donc un foyer secondaire objet) émerge
parallèlement à l'axe secondaire F1O

Axe
secondaire
image

F O

F1

b) Foyer image F' de la lentille convergente

 Tout rayon incident, parallèle à l'axe optique converge en un point F', point remarquable de la lentille, constituant le
foyer image principal de la lentille.

F F’
 Tout rayon incident, parallèle à l'axe optique secondaire converge en un point F1', point remarquable de la lentille,
constituant le foyer image secondaire.

F1’

O F’

F1

 Les foyers F et F' sont symétriques par rapport au centre optique

4- Distance focale
̅̅̅̅ (f < 0 pour une lentille convergente et |f|=f ')
On appelle distance focale objet la grandeur f=𝑂𝐹
On nomme distance focale image (utilisée en pratique) la grandeur f’=𝑂𝐹′ ̅̅̅̅̅mesurée sur l'axe optique orienté dans le sens
de propagation de la lumière (f'>0 pour une lentille convergente)
5- Vergence d’une lentille
On appelle vergence C d'une lentille l'inverse de sa distance focale image .La vergence s'exprime en dioptries (symbole
1
𝛿)La vergence est définie par: . C=𝑓′
 C>0 pour une lentille convergente.
 C <0 pour une lentille divergente.
1 1
 Pour une lentille taillée dans un matériau d’indice petit n et de rayon de courbure R1 et R2 C= (n-1)(𝑅 +𝑅 )
1 2
1
 Si l’une des faces est planes alors C= (n-1)( )
𝑅
 Pour deux lentilles accolées C=C1+C2.

III. Image formée par une lentille mince convergente

1- Objets et images réels et virtuels
 ̅̅̅̅<O
Un objet est dit réel s’il est situé à gauche de la lentille : 𝑂𝐴
 ̅̅̅̅>O
Un objet est dit virtuel s’il est situé à droite de la lentille : 𝑂𝐴
 Une image est dite réelle si elle est située à droite de la lentille: ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′>O
 Une image est dite virtuelle si elle est située à gauche de la lentille: ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′<O
2- Construction de l’image d’un objet
Pour construire l’image d’un point on trace un faisceau de lumière composé de trois rayons :
 Le rayon passant par le centre optique
 Le rayon passant par le foyer objet
 Le rayon parallèle a l’axe optique

+
B

A’
A O

B’
 ̅̅̅̅
𝑂𝐴<O l’objet est réel
 ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′>O l’image est réelle.
 B’

A’ A O

 ̅̅̅̅
𝑂𝐴<O l’objet est réel
 ̅̅̅̅̅
𝑂𝐴′<O l’image est virtuelle
3- Formule de conjugaison
𝟏 𝟏 𝟏
̅̅̅̅̅
- ̅̅̅̅
=
𝑶𝑨′ 𝑶𝑨 𝒇′
𝒇′.𝑶𝑨 ̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝑶𝑨′=𝒇′ +𝑶𝑨
̅̅̅̅
4- Grandissement
Il est noté γ ou G
̅̅̅̅̅̅̅
𝑨′𝑩′ 𝑶𝑨′̅̅̅̅̅
γ= 𝑨𝑩 = ̅̅̅̅
̅̅̅̅ 𝑶𝑨
 Si γ>0 l’image est droite
 Si γ<0 l’image est renversée
 Si |γ|>1 l’image est plus grande que l’objet.
 Si |γ|<1 l’image est plus petite que l’objet.
Ex : Donner les caractéristiques de l’image d’un objet placé à 5cm devant une lentille L de distance focale
image f’=3cm

●L'image d'un objet placé dans le plan focal objet de la lentille est située à l'infini.
●L'image d'un objet à l'infini est située dans le plan focal image de la lentille.
●L'image d'un objet situé entre la lentille et le plan focal objet est droite, plus grande que l'objet et est virtuelle : la lentille
fonctionne comme une loupe

5-Qualité des images:

Les lentilles présentent des défauts (aberrations géométriques, aberrations chromatiques). Pour obtenir des images
de bonne qualité, on doit se placer dans les conditions de Gauss.
Conditions de Gauss:
 Le faisceau doit traverser la lentille au voisinage du centre optique.
 Les rayons incidents doivent faire un angle faible avec l'axe optique de la lentille.

Pour réaliser ces conditions, il faut :

 Diaphragmer la lentille.
 Observer des objets de petite dimension au voisinage du centre optique

IV-Lentilles divergentes

F’ F
-Tout rayon incident parallèle à l’axe principal d’une lentille divergente émerge comme s’il provenait du foyer image
F’(image virtuelle).

F’ F

-Tout rayon incident dont le prolongement passe par le foyer principal objet F en émerge parallèlement à l’axe principal.
Exemple :
 Objet à 3cm devant L, f’=-2cm
 Objet à 2cm dérriere L , f’=-3cm
Déterminer dans chaque cas les caractéristiques de l’image.

EXERCICE d’application
1) Un objet AB de hauteur 2 cm, est placé à 30 cm devant une lentille convergente de distance focale f’ = 10 cm.
a) Calculer la vergence de cette lentille.
b) Déterminer les caractéristiques (position, sens, nature, grandeur et grandissement) de l’image.
c) Faire une construction graphique. (échelle 1 cm pour 5 cm en abscisse puis 1 cm pour 1 cm en ordonnée.)
2) Même question si l’objet est placé cette fois-ci à 8 cm devant une lentille divergent de distance focale f’ = - 10 cm.

V. Association de lentilles
1. Lentilles minces accolées
a) Défintion
Deux lentilles L1 et L2 sont accolées si leurs axes principaux coïncident et que leur
deux centres optiques sont pratiquement confondus en un point O.

b) Equivalence à une lentille mince

Un rayon lumineux frappe d’abord la première lentille (L1 ) qui donne d’un objet AB, réel ou virtuel, une image A1B1 , réelle
ou virtuelle. La position de cette image est donnée par la relation de conjugaison de Descartes qui traduit le
(L1)
diagramme A A1 :
𝟏 𝟏
̅̅̅̅̅̅
- 𝑶𝑨
̅̅̅̅
= 𝒄𝟏
𝑶𝑨 𝟏
Le rayon lumineux frappe ensuite la deuxième lentille : l’image A1B1 sert d’objet, éventuellement virtuel, pour la lentille (L 2
) qui donne l’image finale A’B’. La position de cette image est donnée par la relation de conjugaison de Descartes qui traduit
le diagramme A1 A’ : (L2)

𝟏 𝟏
̅̅̅̅̅̅′ - ̅̅̅̅̅̅ = 𝒄𝟐
𝑶𝑨 𝑶𝑨 𝟏
En additionnant, membre à membre, ces deux relations, nous obtenons la relation suivante :
𝟏 𝟏
̅̅̅̅̅̅ - 𝑶𝑨
̅̅̅̅
= 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐
𝑶𝑨′
Une association de lentilles minces accolées de centre optique commun O est donc équivalente à une lentille mince de centre
optique O et dont la vergence est la somme des vergences accolées : c =c1 + c2

1. Lentilles minces non accolées ou doublet de lentilles

a) Défintion
Un doublet est une association de deux lentilles séparées par une distance e non nulle.

Contrairement à un système de lentilles accolées, un doublet

n’est pas équivalent à une lentille mince, c’est un système
épais. Le doublet peut être constitué de deux lentilles
convergentes ou d’une lentille convergente et d’une lentille
divergente.

a) Foyer image d’un doublet

Doublet
Un point 𝐴∞ à l’infini a pour image à travers le doublet le foyer image F’ du doublet. 𝐴∞ F’

La première lentille donne d’un point objet situé à l’infini sur l’axe optique un point image situé en son foyer image :
(L1)
𝐴∞ F1′

La deuxième lentille donne donc du point objet F1′ un point image situé en F’, ce qui permet de préciser le diagramme de
définition du foyer image du doublet :
𝐴∞ (L1) F1′ (L2)
F’

La relation de conjugaison de Descartes, appliquée à la deuxième lentille, permet de situer le

foyer image F’ du doublet :
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
̅̅̅̅̅̅̅
- ̅̅̅̅̅̅̅′ = 𝒇′ ⟹ ̅̅̅̅̅̅̅
= ̅̅̅̅̅̅̅′ + 𝒇′
𝐎𝟐 𝐅′ 𝐎𝟐 𝐅𝟏 𝟐 𝐎𝟐 𝐅′ 𝐎𝟐 𝐅𝟏 𝟐

Avec ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅

𝑶𝟐 𝑭′𝟏 =𝑶 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ ′
𝟏 𝑭𝟏 - 𝑶𝟏 𝑶𝟐 = 𝒇 𝟏 − 𝒆

b) Foyer objet d’un doublet

Doublet
Le foyer objet F du doublet a pour image à travers le doublet un point à l’infini A′∞ . F A′∞

Le diagramme complet de définition du foyer objet du doublet se présente maintenant de cette

(L1)
façon : F ? (L2) A′∞

La deuxième lentille donne d’un point objet situé en son foyer objet un point image situé à l’infini sur l’axe. Donc, le point
(L1) (L2) ′
d’interrogation est en fait le foyer objet de la deuxième lentille : F F2 A∞

La relation de conjugaison de Descartes, appliquée à la première lentille, permet de situer le

foyer objet F du doublet :
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
̅̅̅̅̅̅̅
- ̅̅̅̅̅̅ = 𝒇′ ⟹ ̅̅̅̅̅̅
=̅̅̅̅̅̅̅ − 𝒇′
𝐎𝟏 𝐅𝟐 𝐎 𝐅
𝟐 𝟏 𝐎𝟏 𝐅 𝐎 𝐅
𝟏 𝟐 𝟏

Avec ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅

𝑶𝟏 𝑭𝟐 =𝑶 ̅̅̅̅̅̅ ′
𝟏 𝑶 𝟐 + 𝑶 𝟐 𝑭𝟐 = 𝒆 − 𝒇 𝟐

b) Image d’un objet donnée par un doublet

Un rayon lumineux frappe d’abord la première lentille (L1 ) qui donne d’un objet AB, réel ou virtuel, une image A1B1 , réelle
ou virtuelle. La position de cette image est donnée par la relation de conjugaison de Descartes qui traduit le
diagramme A (L1) A1 :
𝟏 𝟏 𝟏
- ̅̅̅̅̅̅ =
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑶𝟏 𝑨𝟏 𝑶 𝑨
𝟏 𝒇′𝟏
Le rayon lumineux frappe ensuite la deuxième lentille : l’image A1B1 sert d’objet pour la lentille (L 2 ) qui donne l’image
finale A’B’. La position de cette image est donnée par la relation de conjugaison de Descartes qui traduit le diagramme A 1
A’ : (L2)

𝟏 𝟏 𝟏
̅̅̅̅̅̅̅ - ̅̅̅̅̅̅̅̅ =
𝑶 𝟐𝑨
′ 𝑶 𝑨
𝟐 𝟏 𝒇′𝟐

Avec ̅̅̅̅̅̅̅
𝑶𝟐 𝑨𝟏 =𝑶̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅
𝟏 𝑨𝟏 - 𝑶𝟏 𝑶𝟐 =𝑶𝟏 𝑨𝟏 − 𝒆

VI. Les défauts visuels

La lumière entre dans l’œil par la cornée, est déviée par le cristallin (lentille convergente naturelle) vers la rétine qui la
transforme en message nerveux transmis au cerveau par le nerf optique.
Une image est nette uniquement si tous les rayons provenant d’un point de l’objet convergent en un même point sur la rétine.
1) L’hypermétropie
Une personne hypermétrope voit flous les objets proches alors que sa vision lointaine est correcte.
Un œil hypermétrope n’est pas assez convergent. Les images d’objets proches se forment derrière la rétine.
L’hypermétropie est corrigée par le port de verres correcteurs convergents.
2) La myopie
Une personne myope voit correctement les objets très proches mais flous les objets lointains.
Un œil myope est trop convergent : les images des objets éloignés se forment en avant de la rétine.
Pour remédier à ce défaut, la personne myope porte des verres correcteurs divergents

VII. Les applications des lentilles

Les lentilles sont utilisées dans différents instruments optiques, en particulier dans les objectifs des
appareils photo, les microscopes, les télescopes, les verres correcteurs, loupe, lunettes de vue, caméra,
webcam, lunettes astronomiques, …

EXERCICE d’application

Exercice n°1
Un téléobjectif est constitué de deux lentilles minces dont les axes optiques coïncident. La lentille d’entrée L1 a
une vergence C1 = 10 δ et est suivie d’une lentille L1 de vergence C2 = −40 δ. La distanceO1O2 séparant les deux
lentilles vaut 8 cm. Un objet AB de hauteur égale à 0, 5 m est placé à une distance d = 100 m de O1 sur l’axe
optique.
1) Déterminer les caractéristiques de l’image intermédiaire A1B1 donnée par L1.
2) Quel rôle joue cette image pour la seconde lentille ? Déterminer les caractéristiques de l’image définitive A′B′.
3) Les résultats de la question précédente sont-ils conformes aux propriétés attendues pour l’image donnée par un
téléobjectif sur la pellicule photographique ?
4) Déterminer la position de la lentille convergente unique qui permettrait d’arriver au même résultat. Préciser sa
distance focale.
5) Conclure quant à l’intérêt du téléobjectif.

Exercice n°2
Un objet de grandeur 2 cm est placé à 4 cm d’une loupe dans le plan perpendiculairement à l’axe optique de celle-
ci ; la vergence de cette loupe est C = 20 dioptries.
1. Calculer la distance focale de cette loupe.
2. Construire l’image de cet objet à travers la loupe à l’échelle ½.
3. En déduire sa nature : réelle ou virtuelle. Pourquoi ?
4. Quel est le sens de l’image ?
5. Déterminer sa position par rapport à la loupe.
6. Mesurer sa grandeur ; en déduire le grandissement
Exercice n°3
La distance focale d’une lentille mince convergente est de 2 cm. Un objet AB de longueur 3 cm est placé
perpendiculairement à l’axe de la lentille à 10 cm devant celle-ci. Le point A est situé sur l’axe optique. La
lumière se propage de gauche à droite.
1. Sur un schéma à l’échelle 1/1, placer les points F, F’, A et B.
2. Donner les valeurs,𝑂𝐹 , 𝑂𝐹′, 𝑂𝐴 et 𝐴𝐵 (préciser le sens du repère choisi).
3. Déterminer graphiquement la position 𝑂𝐴′ de l’image A’B’ de AB et mesurer𝐴′𝐵′ .
4. Retrouver𝑂𝐴′ et𝐴′𝐵′ en utilisant les formules de conjugaison.
5. Calculer le grandissement de l’image de 2 manières différentes.

EXERCICE4
1- Une lentille 𝐿1 biconvexe de vergence +5dioptries, a deux faces de même rayon de courbure R. L’indice du
verre est 𝑛 = 1,5. Calculer R.
2- Un objet AB est placé à 5𝑚 d’un écran fixe. Quelles sont les deux positions que peut occuper la lentille 𝐿1 pour
former sur l’écran une image nette de l’objet AB ?
3- On accole à 𝐿1 une autre lentille 𝐿2 . Le système obtenu a pour vergence +15dioptries. Quelle est la distance
focale de 𝐿2 ?
4- A 40cm en avant de 𝐿1 perpendiculairement à son axe principal, on place un objet AB.
a) A quelle distance de 𝐿1 faut-il placer la seconde lentille 𝐿2 pour que le système donne de AB une image A’B’
de même sens et deux fois plus grande ?
b) Faire un schéma précis du système avec la construction graphique de L’image. Echelle 1/10
DISPERSION DE LA LUMIERE PAR UN PRISME
DIFFRACTION PAR UN RESEAU
 I-Dispersion de la lumière par un prisme
1- Quelques définitions :

La spectroscopie est l’étude des spectres lumineux.

Un spectroscope est un appareil qui permet de décomposer une lumière polychromatique en ses diverses
composantes monochromatiques.
Exemple : le spectroscope à prisme et le spectroscope à réseau (constitué de très fines fentes très serrées gravées
une plaque)

La dispersion est un phénomène de décomposition de la lumière polychromatique en ses diverses composantes

monochromatiques.
Exemple : Arc-en-ciel, irisation des bulles de savon…..

Un milieu dispersif est un milieu dans lequel la vitesse de propagation dépend de la fréquence de l’onde.
Exemple : tous les milieux transparents (air, le verre, l’eau, etc.) sont dispersif sauf le vide.

2-Prisme et Déviation
2.1. Définition
Un prisme est un milieu transparent séparé par deux faces planes et non parallèles.
2.2. Déviation
Un prisme dévie la lumière vers la base.
On définit l’angle de déviation D ou, plus simplement
Déviation D du rayon lumineux par le prisme, comme
l’angle que le rayon incident fait avec le rayon
émergent.

Soit D1=i-r et D2=i’-r’

D=D1+D2=i-r+i’-r’=i+i’-(r+r’)
Or A=r+r’ donc D=i+i’-A
La propagation de la lumière dans le prisme est régie par quatre formules :
-sin i = n sin r
-sin i’ = n sin r’
-A= r + r’
-D = i + i’ – A A (angle du prisme)

2.3 Minimum de déviation du prisme

On a montré qu’au minimum de déviation on a i=i’ et r=r’.
D= i + i’ – A ⟹ Dm=2i-A
D +A A
Dm=2i-A⟹ i= m et r =
2 2
Dm +A
𝑠𝑖𝑛𝑖 sin
2
or sin i = n sin r ⟹ n= ⟹ n= A
𝑠𝑖𝑛𝑟 sin2

3- L’indice d’un verre depend de la couleur de la lumière.

Pour un verre déterminé, à chaque radiation monochromatique est associée une valeur de l’indice de réfraction n.
L’indice n est une fonction décroissante de la longueur d’onde 
𝑐
 n=𝑐 (c la célérité de la lumière dans le vide, ck la célérité de la lumière dans le milieu k et c > ck)
𝑘
𝑐𝑘
= 𝑁 (N est sa fréquence et ck la célérité de la lumière dans le milieu k)
L’indice d’un verre augmente quand on passe du rouge au violet.
 4- Le phénomène de dispersion

la lumière blanche est décomposée en différentes couleurs : c’est le rouge qui et le moins dévié, le violet
le plus dévié.
Le spectre est CONTINU : il est formé d’une infinité de couleurs.
La lumière blanche de la source contient une infinité de radiations monochromatiques :
Le passage par le prisme provoque une infinité de déviations D voisines ce qui donne un spectre continu
DOMAINE VISIBLE : compris entre 400 nm (VIOLET) et 750 nm (ROUGE)

Ce phénomène qui permet de séparer les radiations de couleurs différentes s’appelle : LA

DIPERSION DE LA LUMIERE par le prisme.
On dit qu’un prisme disperse la lumière blanche.
5- Distance qui sépare les raies dans le spectre

Une lentille achromatique (qui donne des images nettes) est placée telle que son axe principal se confonde à
la direction de la radiation H2. Un écran est placé dans le plan focal de la lentille perpendiculairement à
l’axe optique.
𝜃1 = 𝐷2 − 𝐷1 ; 𝜃2 = 𝐷3 − 𝐷2 ; 𝜃1 = 𝐷4 − 𝐷2
𝐻1𝐻
tan 𝜃1 = 𝑓 2 ⇒ 𝐻1 H2 = 𝑓 tan 𝜃1 ;
𝐻1 H2 = 𝑓 tan( 𝐷2 − D1 )
De même :𝐻3 H2 = 𝑓 tan( 𝐷3 − D2 ) ;
𝐻4 H2 = 𝑓 tan( 𝐷4 − D2 )
𝐻1 H4 = 𝑓(tan( 𝐷2 − D1 ) + tan( 𝐷4 − D2 ) )

𝑆 𝐷1 𝐻1
𝐴 𝜃1
𝐷2 𝐻2
𝜃3 𝜃2
𝐼 𝐷3 𝐻3
𝑖 𝑟 𝑟′
𝐷4
𝐻4
𝑓

II-Diffraction de la lumière par un réseau

1- Définition d’un réseau.
C’est une surface plane très mince constituée d’un très grand nombre de fentes fines (traits) identiques et
équidistantes.
-La distance qui sépare deux traits consécutifs notée a est appelée pas du réseau.
1
- Le nombre de traits n par unité de longueur est : n=𝑎
 2- Diffraction de la lumière par un réseau.
Un réseau décompose la lumière en spectres colorés.

2.1. Lumière monochromatique

Une source qui émet une lumière d’une longueur d’onde déterminée est une source monochromatique.

La différence de marche entre le trajet de l'onde qui passe par le nième fente et la (n+1)ième vaut
:
 = JK- HI = a sin a sin i

La direction de ces maxima principaux est donnée par : k = a (sin - sin i 

Nous obtenons la relation des réseaux qui indique comment le réseau disperse la lumière : sin 
1
- sin i =𝑎 k
sin  - sin i = kn∀k ∈ ℤ
Dans le cas du réseau de diffraction, k s'appelle l'ordre du spectre.
Si i=0 sin  kn

2.2. Lumière polychromatique

Une source qui émet une lumière composée de plusieurs longueurs d’onde est une source polychromatique.

Prenons Le cas simple de l’incidence normale (i=0) et supposons que la lumière qui frappe le réseau est blanche.
La formule qui donne les maxima de la lumière est : sin  kn
Mais maintenant  varie et  va dépendre de  , c'est-à-dire de la couleur de la lumière.
-k=0 ; sin  0 ∀  Toutes les couleurs se superposent et on obtient du blanc
-k=1 sin  nOn voit que dépend donc de la couleur de la lumière : On obtient un spectre du 1er ordre puisque
k=1
-k=2 sin  2nOn obtient maintenant le spectre du 2eme ordre.

Un réseau diffracte la lumière blanche et conduit à plusieurs spectres.

Avec un réseau le rouge est plus dévié que le violet.
Le nombre des directions correspondant a un maximum de lumière est toujours limitée par les
𝟏 𝟏
inégalités : -1 ≤sin ≤𝝀𝒏 ≤ 𝒌 ≤ 𝝀𝒏

3-Déviation
Pour un réseau éclairé sous une incidence i et diffractant dans la direction , l'angle de déviation est
défini par : D =  - i

4- Distance qui sépare les raies dans le spectre

Une lentille achromatique (qui donne des images nettes) est placée telle que son axe principal se confonde à la
direction de la radiation H2. Un écran est placé dans le plan focal de la lentille perpendiculairement à l’axe
optique.
𝛼1 = 𝜃2 − 𝜃1 ; 𝛼2 = 𝜃3 − 𝜃2 ; 𝛼1 = 𝜃4 − 𝜃2
𝐻1𝐻2
tan 𝛼1 = ⇒ 𝐻1 H2 = 𝑓 tan 𝛼1 ;
𝑓
𝐻1 H2 = 𝑓 tan( 𝜃2 − θ1 )
De même :𝐻3 H2 = 𝑓 tan( 𝜃3 − θ2 ) ;
𝐻4 H2 = 𝑓 tan( 𝜃4 − θ2 )
𝑯𝟏 𝐇𝟒 = 𝒇(𝐭𝐚𝐧( 𝜽𝟐 − 𝛉𝟏 ) + 𝐭𝐚𝐧( 𝜽𝟒 − 𝛉𝟐 )

𝐻1

𝛼1 𝐻2
𝛼2 𝐻3
𝛼3
𝐻4
𝜃1
𝜃2
𝜃 𝜃3
4

Travaux dirigés sur la dispersion et la diffraction de la lumière

Exercice d’application1
On considère le trajet d’une lumière monochromatique dans un plan de section principale d’un prisme.
1-Etablir et justifier les quatre formules du prisme.
2-Un rayon de lumière monochromatique jaune frappe la première face d’un prisme sous l’incidence i=45°. L’angle du
prisme est égal A=60° et son indice, pour la radiation considérée nJ=1,660. Calculer les angles r, r’ et i’ ainsi que la déviation
DJ
3-Même question pour des rayons de lumière monochromatique de couleur bleu-vert et orangée arrivant sur le prisme avec la
même incidence ; les indices de réfraction du verre valent :
nB=1,673 et nO=1,655
4- Que peut-on dire des rayons qui émergent de ce prisme ? Quel est le nom du phénomène ?
5-On place derrière le prisme, une lentille mince convergente achromatique, de distance focale f’=50cm, dont l’axe optique
coïncide avec le trajet de la lumière jaune.
Où faut-il disposer un écran pour faire apparaitre le spectre lumineux de la lumière complexe qui contient les trois radiations
monochromatiques citées ci-dessus ?
Quelle est, dans le spectre, la distance qui sépare :
 La raie jaune de la raie bleu-vert ;
 La raie jaune de la raie orangée ;
 La raie bleu-vert de la raie orangée ?

Exercice d’application2
Un réseau de pas a= 4µm est utilisé pour diffracter la lumière d’une lampe à vapeur de mercure qui comporte,
principalement, les radiations de couleur jaune, verte et bleue dont les longueurs d’onde valent :
λJ=578nm ; λV=546nm ; λB=436nm.
1-Le réseau fonctionne en incidence normale. Etablir la formule permettant d’obtenir les directions θ dans lesquelles on a un
maximum de lumière pour la radiation de longueurs d’onde λ.
2-Dans le spectre du 1er ordre, déterminer les directions θJ, θV, θB où on observe un maximum pour les lumières jaune, verte
et bleue.
3-On place derrière le réseau une lentille mince convergente achromatique, de distance focale f’=60cm, et dont l’axe
coïncide avec le trajet de la lumière verte.
Où faut-il disposer un écran ou une plaque photographique pour former le spectre de la lumière émise par la lampe à vapeur
de mercure ?
Calculer la distance qui sépare, dans ce spectre, les raies jaune et bleue.
4-Reprendre les questions 2 et 3 pour le spectre du 2e ordre.
5- L’incidence n’est plus normale : la lumière de la lampe à vapeur de mercure arrive sur le réseau en un faisceau cylindrique
dont les rayons forment l’angle θ O=20° avec la normale du réseau.
Déterminer, par l’angle θ qu’elles forment avec la normale, les directions dans lesquelles on observe un maximum pour la
lumière verte.
Quel est le nombre de ces maxima ?

Exercice d’application3
Un pinceau de lumière est composé de radiations de longueur d’onde λ comprises entre 0,4 μm et 0,7 μm.
Il éclaire en incidence normale un réseau ayant 8.000 traits/cm.
1) Sous quels angles observe-t-on chacune des deux raies extrêmes du spectre de 1er ordre ?
2) Combien de spectres complets obtient-on ?
3) On place un écran à 2,20 m du réseau. Calculer la longueur du spectre du 1 er ordre sur cet écran.
4) On dispose d’une lentille mince convergente achromatique de distance focale f’ = 40 cm derrière le réseau de
façon que son axe optique coïncide avec la direction du maximum de lumière jaune du 1 er ordre.
a) Où doit-on placer l’écran afin d’observer un spectre nette ?
b) Où se forme la raie jaune du 1er ordre sur l’écran ?
c) Faire le schéma du dispositif.
d) Calculer la distance qui sépare les raies extrêmes du spectre du 1er ordre.
5) Le dispositif décrit dans la question 4) constitue le principe d’un appareil optique.
a) Comment appelle-t-on cet appareil ?
b) Proposer un schéma légendé de cet appareil.

Exercice d’application4
Un pinceau cylindrique tricolore (rouge (R), jaune (J), violet(V) ) frappe un prisme de verre sous une incidence de i = 45°.
L’angle du prisme est A ̂ = 60°.
Les indices de réfraction du verre valent : nR = 1,510 ; nJ = 1,516 et nV = 1,520.
1) Rappeler les quatre formules du prisme.
2) Compléter le tableau suivant :
r r’ i’ D
Rouge
Jaune
Violet
3) On place derrière le prisme, une lentille mince convergente, de distance focale f’ = 45 cm. L’axe principal de la lentille
coïncide avec le trajet de la lumière jaune.
a) Où faut-il placer l’écran afin d’observer avec netteté le spectre de la lumière complexe tricolore ?
b) Déterminer la distance d entre la raie rouge et la raie violette.
c) Le montage décrit dans le présent exercice constitue le principe d’un appareil.
- Comment s’appelle-t-il ?
- Proposer un schéma légendé de cet appareil.
 NIVEAUX D’ENERGIE DES ATOMES

I-SPECTRES ATOMIQUES

1-Les spectres d’émission

Les spectres d’émission d’atomes s’obtiennent au moyen des spectroscopes.
Si on élève la température d’un corps à l’œil nu on constate qu’il présente certaines couleurs.
A l’aide d’un spectroscope l’analyse de ces couleurs donne le spectre d’émission du corps.
Les spectres atomiques d’émission sont constitués de raies fines correspondant à des
radiations monochromatiques bien déterminées.
Les spectres d’émission sont caractéristiques des atomes qui les produisent
Les étoiles donnent un spectre continu qui dépend essentiellement de leur température de
surface.
2-Les spectres d’absorption
Les spectres d’absorption atomique s’obtiennent avec un spectroscope, mais une source de
lumière blanche est interposée entre l’élément absorbant et le spectroscope.
Les spectres atomiques d’absorption sont formés de raies noires et fines dans
le spectre continu de la lumière blanche. Les longueurs d’onde correspondantes ont des
valeurs bien déterminées.

3-Application
Les spectres d’émission et d’absorption sont caractéristiques des éléments présents dans les
sources qui les produisent.
 En astrophysique elle permet de déterminer la distance, la masse, la vitesse, la
température et la structure des étoiles.
 En chimie elle permet d’identifier les éléments chimiques.
II-INTERPRETATION DES SPECTRES

1-Le photon

Un faisceau lumineux, dans le vide, peut être considéré comme une onde qui se propage.
A une onde électromagnétique de fréquence ν on associe des quanta d’énergie de valeur :
𝒄
E=hν=h
𝝀
Où h=6,63.10-34J.s : constante de planck.
Ces quanta d’énergie sont portés par des particules, appelées Photons.

2-Les niveaux d’énergie des atomes

L’énergie d’un atome ne peut prendre que certaines valeurs bien déterminées appelée niveau
d’énergie : on dit qu’elle est quantifiée. Il existe l’état fondamental, états excités et état
ionisé.
- L’état fondamental : Lorsque l’atome est dans son état énergétique plus bas, on dit qu’il est dans son
état fondamental.
- L’état excité : Un apport d’énergie peut porter l’atome dans l’un de ses niveaux d’énergie plus élevée :
on dit que l’atome passe dans un état excité.
- L’état ionisé d’un atome est l’état pour lequel il séparé de son électron.
p. 80
Les niveaux d’énergie se représentent, dans un diagramme d’énergie, par des traits
horizontaux situés d’autant plus haut que l’énergie du niveau correspondant est plus élévée.

États
E3 excités

E2

E1 (Etat fondamental)

3-Transition Electronique avec émission ou absorption d’un photon

Le passage d’un niveau d’énergie à un autre est appelé transition électronique.
Lors des transitions électroniques d’un atome, un photon est émis ou capté.
 Si l’atome passe du niveau d’énergie supérieur En au niveau d’énergie inférieur Ep,
(émission) un photon est émis qui emporte l’énergie E , sa fréquence νnp et sa longueur
d’onde λnp telle que :

E= En- Ep=h νnp

𝑬𝒏 −𝑬𝒑 𝒄 𝒉𝒄
νnp= et λnp= =
𝒉 𝝑𝒏𝒑 𝑬𝒏 −𝑬𝒑

En

E photon émis (hνnp)

Ep

 Si l’atome capte un photon de fréquence νnp et de longueur d’onde λnp ,qui lui fournit
l’énergie E , il passe du niveau d’énergie inférieur Ep au du niveau d’énergie supérieur
En (absorption)
E= En- Ep=h νnp
𝑬𝒏 −𝑬𝒑 𝒄 𝒉𝒄
νnp= et λnp= =
𝒉 𝝑𝒏𝒑 𝑬𝒏 −𝑬𝒑

En

E photon absorbé (hνnp)

Ep
4-Loi des combinaisons de Ritz
Considérons un atome et ses trois niveaux En, Ep, Eq ; il existe les trois transitions
électroniques :
n p; p q; n q

p. 81
qui correspondent aux fréquences émises νnp, νpq et νnq telles que : En- Ep=hνnp ; Ep- Eq=hʋpq ;
En- Eq=hνnq
En- Eq= (En- Ep) + (Ep- Eq)
hνnq= hνnp+ hνpq
νnq= νnp+ νpq ou νnp= νnq- νpq
III-LE SPECTRE DE L’HYDROGENE
1-Energie de l’atome d’hydrogène
Par convention, on attribue l’énergie nulle au système {proton − électron} lorsque le proton
et l’électron sont au repos, infiniment éloignés, donc sans interaction.
Comme il faut fournir de l’énergie à l’atome d’hydrogène pour l’ioniser, l’énergie de l’atome
(non ionisé) est négative.
1.1.Niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène
L’énergie En de l’atome d’hydrogène est de la forme :
𝑬
En=− 𝟐𝟎
𝒏
Avec E0=13,6eV=2,18.10-18J ; n appelé nombre quantique principal ne peut prendre que les
valeurs entières 1, 2, 3 ….∞
Construisons le diagramme énergétique de l’atome d’hydrogène

En(eV)

0 n= ∞ état ionisé

-0,85 n=4 (E 4)
-1,51 n=3 (E 3) états
excités

-3,4 n=2 (E 2)

-13,6 n=1 (E 1) état

Fondamental
 Si n=1 E1=-E0=-13,6eV :l’atome est dans son état fondamental.
 Si n>1, -13,6eV<En<0 : l’atome est dans un état excité.
 Si n=∞ ; E∞=0 : l’atome est ionisé ;

1.2. Energie d’ionisation de l’hydrogène

L’énergie d’ionisation de l’hydrogène est l’énergie minimale qu’il faut fournir à un atome H
dans l’état fondamental pour lui arracher un électron.
Ei= E∞-E1=0- (-E0)=E0
Ei=E0=13,6eV

1ev=1,6.10-19J
2-Interprétation du spectre de l’hydrogène
2.1-séries de raies d’émission

p. 82
L’ensemble des raies qui constituent le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène peut ètre
classé en séries, une série correspondant aux transitions qui aboutissent au même niveau
d’énergie.
Lorsqu’une transition s’effectue du niveau En au niveau Ep inférieur (En>Ep) il y a
émission du photon d’énergie hνnp
𝑬 𝑬 𝟏 𝟏
En-Ep= − 𝟐𝟎-(− 𝟐𝟎) =-E0( 𝟐 − 𝟐 )= hνnp
𝒏 𝒑 𝒏 𝒑
𝑬𝟎 𝟏 𝟏 𝒄
νnp = ( − ) or λnp=
𝒉 𝒑𝟐 𝒏𝟐 𝝑𝒏𝒑
𝟏 𝑬𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
= ( − )=RH( − )
𝝀𝒏𝒑 𝒉𝒄 𝒑𝟐 𝒏𝟐 𝒑𝟐 𝒏𝟐
RH : constante de Rydberg.= 1,097.107m-1.
 Pour p=1 et n≥2 l’atome passe d’un état excité En à l’état fondamental E1. On obtient
les raies de la série de Lyman ; elles se situent dans l’Ultraviolet
 Pour p=2, n peut être égal 3, 4, 5, 6, …. ; à ces quatre valeurs correspondent les raies
visibles Hα, Hβ, Hγ, Hδ de la série de Balmer.
 Pour p=3 et n≥4 : série infrarouge de Paschen
 Pour p=4 et n≥5 : série infrarouge de Bracket
 Pour p=5 et n≥6 : série infrarouge de Pfund

E(eV)

n =∞

-0,38n=6
-0,54n=5
-0,85n=4

n=3
-1,51

n=2
-3,4

n=1
-13,6
Série de Série de Série de Série de Série de
Lyman Balmer Paschen Brackett Pfund

2.2.-Les conditions pour qu’un photon d’énergie hν soit absorbée

Lorsqu’un photon d’énergie hν arrive sur un atome, deux cas se présentent :
 Si hν≥Ei (énergie d’ionisation de l’atome) le photon peut ètre absorbé : une partie de son
énergie permet l’ionisation de l’atome ; le reste est transféré sous forme d’énergie
cinétique à l’électron éjecté.
p. 83
 Si hν < Ei et l’énergie correspond exactement à une transition possible, le photon est
absorbé. Dans le cas contraire il ne l’est pas.

Exercice d’application
𝑬
On attribue aux niveaux d’énergie d’hydrogène les valeurs : En=− 𝟐𝟎
𝒏
-16 -19
Données : E0=13,6eV ; h.c=1,986.10 J.nm et e=1,6.10 C.
1- Calculer, en nanomètre, les longueurs d’onde des radiations émises lors des transitions du
niveau d’énergie d’énergie E3 au niveau d’énergie E1 (longueur d’onde λ3), du niveau
d’énergie E2 au niveau d’énergie E1 (longueur d’onde λ2), du niveau d’énergie E3 au niveau
d’énergie E2 (longueur d’onde λ).
2- Une ampoule contient de l’hydrogène porté à la température de 2800K. Les atomes sont
dans leur état fondamental. Une lumière constituée des trois radiations λ 3, λ2, λ traverse ce
gaz.
Quelles sont les radiations absorbées ? Justifier.
3- Sur l’ampoule précédente, on envoie une radiation monochromatique de longueur d’onde
λ’=76nm.
a) Calculer, en électronvolt, l’énergie des photons.
b) Montrer que l’atome peut être ionisé.
c) Calculer, en faisant un bilan d’énergie, l’énergie cinétique acquise par l’électron en
admettant que celle de l’ion formé est nulle.

p. 84
 RADIOACTIVITE
I – Noyau atomique
1- Quelques définitions
a)Un noyau
Il est constitué nucléons ( protons et neutrons ).
Le proton porte une charge élémentaire +e, sa masse mp=1,67.10-27Kg ;son symbole est 𝟏𝟏𝒑 ou 𝟏𝟏𝑯
Le neutron est une particule neutre sa masse est mn=1,66.10-27Kg ; son symbole 10𝑛

b)Un nucléide
C’est l’ensemble des noyaux qui possèdent le même nombre de protons et même nombre de neutrons. On le
note 𝑨𝒁𝑿, A est le nombre de masse(nombre de nucléons), Z est le nombre de protons encore appelé nombre de
charge, numéro atomique de l’atome X. le nombre de neutrons 𝑵 = 𝑨 − 𝒁
Exemple : 126𝐶 , 168𝑂, 235
92𝑈

c)Des isotopes
Ce sont des nucléides ayant même nombre de protons Z mais différent nombre de masse A.
exemple : 126𝐶 , 136𝐶𝑒𝑡 146𝐶 sont des isotopes ; 235 238 1 2
92𝑈 et 92𝑈 sont des isotopes, 1𝐻 (hydrogène léger), 1𝐻
(hydrogène deutérium) et 31𝐻 (hydrogène tritium) sont des isotopes

d)Masse d’un noyau

En physique nucléaire on utilise souvent l’unité de masse atomique de symbole u.
1 𝑀
L’unité de masse atomique est le douzième de la masse de l’atome de carbone 12. 1u=12mC=12𝑁𝐶 Kg
𝐴
1u=1,660550.10−27 Kg≅931,5Mev/𝑐 2 (Mev=mega-electron volt) c célérité de la lumière

2-Masse et énergie.
a-Relation d'Einstein
En 1905, en élaborant la théorie de la relativité restreinte, Einstein postule que la masse est une des formes
de l'énergie :
Un système au repos, de masse m possède une énergie de masse :
E : énergie de masse en (J)
E = m.c2 avec m : masse en kg
c : vitesse de la lumière dans le vide ( c = 3,0.108 m.s-1 )

b-Unités :
A l'échelle atomique, l'unité joule est inadaptée, trop grande ; on utilise plutôt l'électron volt , eV :
1 eV= 1,60.10-19 J et aussi le MeV:
1 MeV = 106 eV = 1,60.10-13 J.

c-Energie de liaison du noyau

c.1. Défaut de masse du noyau

On a constaté en mesurant les masses que la masse du noyau atomique est inférieure à la somme des masses
des protons mp et des neutrons mn qui le constituent : mnoyau < Z.mp + (A-Z).mn
Cette différence est appelée défaut de masse Δm :
Δm = Z.mp + (A - Z).mn - mnoyau ( Δm > 0 )

c.2. Energie de liaison du noyau

On appelle énergie de liaison d'un noyau , notée El , l'énergie que le milieu extérieur doit fournir à un noyau
au repos pour le dissocier en nucléons séparés au repos.
p. 85
L'énergie de liaison d'un noyau a pour expression :
El = Δm.c2 avec Δm = Z.mp + (A - Z).mn - mnoyau

c.3. Energie de liaison par nucléon

L'énergie de liaison par nucléon d'un noyau notée E A est le quotient de son énergie de liaison par le nombre
de ses nucléons.
𝐄
EA = 𝐀𝐥
A: nombre de nucléons du noyau

EA permet de comparer la stabilité des noyaux entre eux.

Plus l'énergie de liaison par nucléon est grande, plus le noyau est stable.

II- Radioactivité
1-Définition
-La réaction nucléaire est une transformation d’un noyau en un autre avec libération d’énergie.
-La radioactivité est la propriété d’un noyau instable de se transformer spontanément en un autre noyau avec
émission de rayonnements.
-La désintégration est une transformation spontanée d’un noyau instable en un autre noyau avec émission de
rayonnement.
-Un noyau radioactif (élément radionucléide, élément radioactif) est un noyau instable capable de se
transformer spontanément en émettant des rayonnements.

La radioactivité est une réaction dite nucléaire car elle concerne le noyau de l'atome par opposition
aux réactions chimiques qui ne concernent que le cortège électronique sans modifier le noyau.
2- Propriétés de la désintégration :
La désintégration radioactive est :
- aléatoire, on ne peut pas prévoir quand va se produire la désintégration d'un noyau.
- spontanée car elle se produit sans aucune intervention extérieure.
- indépendante de son environnement chimique, de l'espèce chimique qui contient le noyau radioactif et des
conditions extérieures ( pression ou température).

3-Emissions radioactives :
Les émissions radioactives sont :
-Le rayonnement 𝜸 : c’est un rayonnement électromagnétique très pénétrant et énergétique mais très
faiblement ionisant.
-La particule 𝜶 est le noyau d’hélium. C’est une particule chargée de charge q=+2e . Son symbole est 42𝐻𝑒 .
Le rayonnement 𝛼 a un pouvoir ionisant très fort mais un très faible pouvoir pénétrant.
-La particule 𝜷− est un électron de symbole −10𝑒, on l’appelle également négaton ou négatron. Sa charge est
–e .
-La particule 𝜷+ est un positon(positron), son symbole est +10𝑒, sa charge est +e. les rayonnement 𝛽 sont
assez pénétrant et peu ionisant.

4- Lois de conservation :
Lois de Soddy : Lors d'une désintégration nucléaire, il y a conservation du nombre de charge Z et du
nombre de nucléons A
La désintégration d'un noyau X (appelé noyau père) conduit à un noyau Y (appelé noyau fils) et à l'expulsion
d'une particule P (particule α ou β).
L'équation de la désintégration s'écrit :

p. 86
 𝐀 𝐀 𝐀
𝐙𝐗 → 𝐙𝟏𝟏 𝐘 + 𝐙𝟐𝟐 𝐏
Les lois de conservation de Soddy s'écrivent:
* Loi de conservation du nombre de masse A :
A = A1 + A2

* Loi de conservation du nombre de charges Z :

Z = Z1 + Z2
4- Les types de Radioactivité
a) Radioactivité α : est l’émission d’une particule α par un noyau lourd instable pour se transformer en un
noyau fils plus léger
𝐴 (𝐴−4) 4
𝑍 𝑋 → (𝑍−2)𝑌 + 2𝐻𝑒
Exemple : L’uranium 238 est émetteur α. Écrire l’équation de la réaction. 238 234 4
92𝑈 → 90𝑇ℎ + 2𝐻𝑒 + 𝛾

b) Radioactivité β– :
C’est l’émission spontanée d’un électron par un noyau instable possédant trop de neutrons.
𝐴 𝐴 0
𝑍 𝑋 → (𝑍+1)𝑌 + −1𝑒 + 𝜈̅ 𝜈̅ antineutrino
En fait il s’agit de la transformation d’un neutron en proton avec émission d’électron. 10𝑛 → 11𝐻 + −10𝑒
137
Exemple : le Césium 137 est émetteur ; écrire l’équation de la réaction. 137 0
55𝐶𝑠 → (56𝐵𝑎 + −1𝑒 + 𝜈̅

c) Radioactivité β+ :
C’est l’émission spontanée d’un positon par un noyau instable possédant trop de protons.
𝐴 𝐴 0
𝑍 𝑋 → (𝑍−1)𝑌 + +1𝑒 + 𝜈 𝜈 neutrino
En fait il s’agit de la transformation de proton en neutron avec émission de positon. 11𝐻 → 10𝑛 + 01𝑒
Exemple l’oxygène 14 est émetteur 𝛽 + . Ecrire l’équation bilan. 148𝑂 → 147𝑁 + 01𝑒 + 𝜈

d) Emission 𝜸 :
Le noyau-fils issu de la désintégration est le plus souvent dans un état excité. Il devient stable en libérant
l’excédent d’énergie qu’il possède sous la forme d’un rayonnement électromagnétique appelé rayonnement
𝛾. Equation : 𝐴𝑍𝑌 ∗ → 𝐴𝑍𝑌 + 𝛾 . l’émission 𝛾 accompagne souvent la radioactivité α et β.

III- Loi de décroissance radioactive

1-Décroissance exponentielle
La fonction N(t) de nombre d’atomes présents à la date t est : N = N0 e -λt
où N0 est le nombre de noyaux radioactifs à l'instant initial et λ est la constante radioactive.

m=m0 e -λt
𝒎
Relation entre la masse et le nombre de noyaux 𝑵 = 𝑵𝑨
𝑴
NA constante d’Avogadro et M masse molaire

p. 87
 2- Demi-vie radioactive
2.1. Définition
La demi-vie radioactive ou période radioactive, notée T 1/2 , d'un échantillon de noyaux radioactifs est égale à
la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans l'échantillon se
désintègrent.
N( T1/2 ) = N0 / 2
2.2. Calcul de la demi-vie T ½
−𝜆.𝑇1/2
N( T1/2 ) = N0 / 2 ⇒ N0. 𝑒 = N0/ 2
⇒ 𝑒 −𝜆.𝑇1/2 = 1 / 2
⇒ - λ . T1/2 = ln ½ = - ln 2

𝐥𝐧𝟐
T1/2 = 𝛌

3-Activité radioactive
L'activité A radioactive est égale au nombre moyen de désintégrations par seconde.
𝐍 ∆𝐍
A = 𝐝é𝐬𝐢𝐧𝐭 = - ∆𝐭 ( A > 0)
∆𝐭
Elle s'exprime en becquerels dont le symbole est Bq
( 1 Bq = 1 désintégration par seconde).
( Le curie (Ci) est aussi une unité d'activité . Il vaut 3,7.10 10 Bq. )
𝐝𝐍
A = - 𝐝𝐭 = λ.N = λ.N0.e -λ . t = A0.e -λ . t

A= A0.e -λ . t

V-Fission et fusion nucléaires

1- Réactions nucléaires provoquées :
Une réaction nucléaire est dite provoquée lorsqu'un noyau cible est frappé par un noyau projectile et donne
naissance à de nouveaux noyaux.
Les lois de conservation de Soddy sont vérifiées.

2-La fission nucléaire: réaction en chaîne

La fission est une réaction nucléaire provoquée au cours de laquelle un noyau lourd "fissile" donne
naissance à deux noyaux plus légers.
Exemple: Plusieurs réactions de fission de l'uranium 235 sont possibles:

p. 88
1
+ 23592U → 9438Sr + 14054Xe + 2 10n
0n
92U → 36Kr +
1 235 91 142 1
0n + 56Ba + 3 0n
92U → 37Rb +
1 235 94 141 1
0n + 55Cs + 0n

Les neutrons émis lors de la fission peuvent provoquer la fission d'autres noyaux. Si le nombre de neutrons
émis lors de chaque fission est supérieur à 1, une réaction en chaîne peut se produire et devenir rapidement
incontrôlable (bombe à fission : bombe "A" d'Hiroshima).

3- La fusion nucléaire
La fusion nucléaire est une réunion de deux noyaux légers pour former un noyau plus lourd.
Equation : 21H + 31H → 42He + 10n
VI - Bilan énergétique
Equation d'une réaction nucléaire :
𝐀𝟏 𝐀𝟐 𝐀𝟑 𝐀𝟒
𝐙𝟏 𝐗 𝟏 + 𝐙𝟐 𝐗 𝟐 → 𝐙𝟑 𝐗 𝟑 + 𝐙𝟒 𝐗 𝟒
D'après l'équivalence masse-énergie, la variation d'énergie ΔE de la réaction correspond à la variation de
masse Δm :
Δm = (m3+m4)-(m1+m2) ΔE = Δm.c2

L’énergie libérée au cours des réactions nucléaires se trouve sous forme d’énergie cinétique ou
d’énergie cinétique et d’énergie rayonnante si la désintégration est suivie de désexcitation.
Elibérée=|𝚫𝒎|c2

Exemple : désintégration α d'un noyau de radium 226 en noyau de radon 222

m(22688Ra)=225,9770 u, m(22286Rn)=221,9702 u, m(42He) = 4,0015 u, ( 1 u = 931,5 MeV/c2 )
88Ra →
226 222 4
86Rn + 2He
ΔE = [m(22286Rn) + m(42He) - m(22688Ra)].c2
ΔE = (221,9702 + 4,0015 - 225,9770) x 931,5
ΔE = - 4,937 MeV
Désintégration β- : AZX → AZ+1Y +0-1e
ΔE = [m(AZ+1Y) + m(0-1e) - m(AZX )].c2
Exemple : désintégration β- du cobalt 60 en nickel 60
m(6027Co) = 59,919 u , m(6028Ni) = 59,9154 u , m(0-1e ) = 5,49.10-4 u
60
→ 6028Ni + 0-1e
27Co
ΔE = [m( 𝟔𝟎 𝟔𝟎
𝟐𝟖𝑵𝒊) + m( -1e ) – m( 𝟐𝟕𝑪𝒐 )].c
0 2

ΔE = (59,9154 + 5,49.10-4 - 59,9190) x 931,5 = - 2,842 MeV

VII- Dangers et applications des radionucléides :

1- Dangers des radionucléides (danger de la radioactivité)
En traversant la matière vivante les particules 𝛼, 𝛽 et les rayonnements 𝛾 provoquent des ionisations ou des
excitations d’atomes, susceptible d’entraîner des réactions chimiques anormales. Des altérations
morphologies sont observées, notamment des effets génétiques ; des cellules sont détruites ou leur processus
de division altéré.

1- Utilisation des radionucléides

 Dans l’industrie
les radionucléides permettent la visualisation des pièces industrielles : la gammagraphie (pièce métallique
soumise à au rayonnement 𝛾) révèle et décèle les défauts des organes ; la bêtagraphie (utilisation du
rayonnement 𝛽) permet l’examen d’objet mince, le contrôle d’épaisseur.

 En médecine,
p. 89
les radionucléides permettent de faire la scintigraphie médicale (visualisation du fonctionnement d’organes
vivants). La radiothérapie : le traitement des tumeurs par irradiation (destruction des cellules localisées
dans la tumeur cancéreuses). L’aseptisation (radio-stérilisation) des instruments chirurgicaux qui sont
stérilisés à l’aide de rayon 𝛾 qui tuent les microorganismes.

 En agriculture,
les radionucléides permettent la modification génétique ; la conservation des denrées alimentaires par
élimination des parasites des produits agricoles par le rayonnement 𝛾.

 En chronologie,
les radionucléides sont utilisés pour faire la datation. En effet les êtres vivants (humain, animal, végétal) ont
une teneur constante des éléments radioactifs (par exemple 146𝐶 ) ; après la mort, l’élément radioactif n’est
plus consommé, sa teneur diminue dans l’organisme au rythme de désintégration radioactive. La mesure de
l’activité d’un échantillon de l’espèce vivante et celle de l’échantillon de la même espèce morte permet
d’évaluer la date de la mort.

 Dans les centrales nucléaires

l’énergie produite par les réactions nucléaires est utilisée pour produire l’énergie électrique. Les réactions
nucléaires ne produisent pas les gaz à effet de serre. L’utilisation de l’énergie nucléaire contribue à la
réduction de la destruction de la couche d’ozone.

Exercice d’application
𝟔𝟎
L’isotope du colbalt 𝟐𝟕𝑪𝒐 se désintègre spontanément en donnant un isotope du nickel, le 𝟔𝟎 𝟐𝟖𝑵𝒊 .
1-Donner l’équation-bilan de sa désintégration et préciser le type de rayonnements émis.
2-Lors de la désintégration d’un noyau 𝟔𝟎𝟐𝟕𝑪𝒐 , deux rayonnements ɣ, en proportion identique, d’énergie
égales à 1,17 MeV et 1,33 MeV, sont émis en cascade. Quelle est, en MeV, l’énergie cinétique maximale de
la particule émise précédemment ?
3- Lors d’une radiothérapie, seuls les rayons ɣ ne sont pas arrêtés et transfèrent leur énergie à la tumeur.
L’énergie transférée pour une séance de Δt=4min est de 20mJ. Quelle est l’activité de la source utilisée ?
4-La période radioactive du colbalt 60 est T 1/2=5,27ans.
Pour une source donnée, au bout de combien de temps son activité a-t-elle diminué de moitié et est-elle alors
à remplacer ?
Données : mCo=59,91901u ; mNi=59,91543u ; me=0,00055u ; 1u=1,66.10-27kg ; c=3.108m.s-1.

p. 90