APC-PHYSIQUE

8 Les oscillateurs mécaniques

ACTIVITÉ D’INTÉGRATION

On considère les systèmes oscillants ci-dessous :

a. Qu’appelle-t-on système oscillant ?

b. Quelles sont les grandeurs caractéristiques d’un système oscillant ?
c. Quelle différence faites-vous entre les systèmes oscillants ci-dessus ? Donner le nom de chacun
de ces systèmes.

Objectifs généraux

 Étudier les caractéristiques d’un oscillateur mécanique (OM)

 Montrer la conservation de l’énergie mécanique en l’absence d’amortissement
 Différencier les oscillations mécaniques libres des oscillations forcées.
GÉNÉRALITÉS SUR LES OSCILLATEURS MÉCANIQUES

Un oscillateur mécanique est un système capable de se mouvoir de part et d’autre d’une position
moyenne.
Dans cette leçon, nous étudierons trois oscillateurs mécaniques appelés pendules pouvant être
décrits par le modèle de l’oscillateur harmonique et pouvant effectuer :
• des oscillations de translation tels que les pendules élastiques
• des oscillations de rotation tels que les pendules pesant et simple
Écartés de leur position d’équilibre puis abandonnés à eux-mêmes, ils effectuent des oscillations
libres par opposition aux oscillations forcées qui se font avec l’impulsion d’un agent extérieur.
On parlera d’oscillations non amorties lorsque l’amplitude des oscillations reste constante ou
d’oscillations amorties dans le cas contraire. L’entretien des oscillations se fera en compensant
les effets d’amortissement.
(Extrait Chap. 6 p162 Excellence en Physique Tle C,D,E et TI )

Nota Bene : Seul le pendule simple est au programme de la Tle D

168 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE
Séance 1

8.1 Étude du pendule élastique

ACTIVITÉ D’INTÉGRATION

Soit un oscillateur mécanique non amorti. Sa pulsation est ω = 1 rad/s. L’équation différentielle
régissant le déplacement de son centre de gravité est : (E) : ẍ + ω 2 x = 0. On note x(t) la solution
de cette équation différentielle.
1-) Quelle est la caractéristique d’un mouvement non amorti ?
2-) Donner la forme générale de la solution x(t) de l’équation (E).
3-) Quels sont les paramètres qui vont décrire le mouvement de cet oscillateur ?
4-) Expliciter x(t) dans les cas suivants :
a. À t = 0, l’amplitude vaut 2 cm et la vitesse est nulle
b. x(0) = −1cm et ẋ(0) = 1 cm/s
c. x(t1 ) = x1 et ẋ1 = v1

OBJECTIFS

 Décrire le pendule élastique

 Appliquer le TCI pour ressortir l’équation différentielle du mouvement
 Déterminer la période, la pulsation et la fréquence d’un pendule élastique
 Établir l’équation horaire du mouvement
 Montrer que l’énergie mécanique d’un pendule élastique non amorti se conserve.

8.1.1. Description

C’est un oscillateur mécanique constitué d’un système {Solide - Ressort}. Le ressort (R) est à spires
non jointives et dont l’une des extrémités est fixée à un support et à l’autre extrémité est fixé un solide
(S) de masse m.

Selon que (R) travaille en extension ou en compression, il exerce sur (S), une force de rappel appelée
→
−
tension du ressort T = −k.→ −x où x est l’allongement ou le raccourcissement de (R) et k sa raideur.

8.1.2. Le pendule élastique horizontal

Considérons un solide (S) de masse m et de centre d’inertie G, relié à

un ressort de raideur k et de masse négligeable, pouvant glisser sans
frottement sur un plan horizontal. Étudions le mouvement de ce solide
(oscillations libres) lorsqu’il est lâché sans vitesse initiale.

169 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

Figure 10.2 : Allongement d’un ressort horizontal

a) Étude dynamique

Système : solide (S)


P~ : poids de S



Référentiel : terrestre supposé galiléen Bilan des forces : R~ réaction du PH


T~ tension du ressort


~ + T~ + P~ = ~0 ; le mouvement étant suivant Ox, on a : Tx = max

TCI : R
or Tx = −kx et ax = ẍ, ce qui donne : −kx = mẍ

ẍ + k x = 0

m

(10.1)
k
ω02 =


m
On obtient l’équation différentielle suivante :
ẍ + ω02 x = 0 (10.2)
L’équation (10.2) est appelée équation différentielle du second degré sans second membre. Elle
caractérise le mouvement rectiligne sinusoïdal.
Un solution decette équadif 5 peut se mettre sous
 l’une des formes suivantes :
x(t) = xm sin(ω0 t + ϕ) ϕ : phase initiale (rad)
avec (10.3)
x(t) = x cos(ω t + ϕ) x : amplitude du mouvement (m)
m 0 m

r
k
• Pulsation propre : ω0 = Unités : k (N/m) ; m (kg) et ω0 (rad/s) (10.4)
m
2π
r
m
• Période propre : T0 = = 2π (s) (10.5)
ω0 k

b) Étude énergétique

1 1
• Énergie cinétique : EC = mv 2 = mẋ2 (*)
2 2
1 2
• Énergie potentielle : Epe = kx (2*)
2
1 1
• Énergie mécanique : Em = EC + Epe = mẋ2 + kx2 (3*)
2 2

En l’absence des frottements, l’énergie mécanique du système solide - ressort est constante. Par

5. équation différentielle

170 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

conséquent, sa dérivée par rapport au temps est nulle :


Em = cste

(10.6)
 dEm = 0

dt
En appliquant (10.6.2) dans (3*), on obtient (10.2) :
Démonstration
Une solution de l’équadif (10.2) est de la forme : x = xm sin(ωt + ϕ) et ẋ = xm ω cos(ωt + ϕ).

1 1
Em = mẋ2 + kx2
2 2
1
= m(xm ω cos(ωt + ϕ))2 + k(xm sin(ωt + ϕ))2


2
1 2
= kxm cos2 (ωt + ϕ) + sin2 (ωt + ϕ)


2 | {z }
1
1 2
= kx = cste
2 m
Ce résultat montre bien que l’énergie mécanique d’un système en absence de frottement est constante.
dEm 1 d
1
= mẋ2 + kx2 = (2mẋẍ + 2k ẋx) = 0
dt 2 dt 2

ẋ 6= 0
(10.7)
ẍ + ω 2 x = 0
0

Figure 10.3 : Diagrammes énergétiques d’un ressort

8.1.3. Le pendule élastique vertical

a) Étude dynamique

Considérons un solide (S) de masse m, de centre d’inertie G, se déplaçant

verticalement et accroché à un ressort. Étudions le mouvement du centre
d’inertie G de ce solide.
– À `0 , Epe = 0, car c’est l’origine des Epe
– En O, Epp = 0, car c’est l’origine des Epp
−−→
– OG = Gm ; OG = x ou OG = x~i.
• Système : solide (S) - RTSG a

P~ : poids du solide
• Bilan des forces :
T~ : tension du ressort

• Solide en équilibre : P~ + T~e = ~0 ⇒ −k∆` + mg = 0

a. référentiel terrestre supposé galiléen

171 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

Ainsi, à l’équilibre, l’allongement à l’équilibre xe = `e sera telle que :

m
xe = `e = g (10.8)
k


 T~ = −k(x + xe )~i


• Solide en mouvement : T~ + P~ = m~a avec P~ = m~g


~a = ẍ~i


La projection suivant (Ox) donne : Tx + Px = max ⇒ −k(x + xe ) + mg = mẍ

⇒ −kx −kxe + mg = mẍ ce qui donne : ẍ + ω02 x = 0 (10.2)
| {z }
0

b) Étude énergétique

1
• Énergie cinétique : EC = mẋ2
2
1
• Énergie potentielle élastique : Epe = k(x + xe )2
2
• Énergie potentielle de pesanteur : Epp = −mgx
1 1
• Énergie mécanique : Em = EC + Epp + Epe = mẋ2 + k(xe + x)2 − mgx
2 2
 
dEm
• Conservation : = mẋẍ + k(xe + x)ẋ − mg ẋ = ẋ mẍ + kx + kxe − mg  = 0
dt | {z }
0

d’où k
ẋ 6= 0 ⇒ mẍ + kx = 0 −−−→ ẍ + ω02 x = 0 avec ω02 =
m
• Valeur de v0 = ẋ0
1 1
– x = xm ⇒ Em1 = k(xe + xm )2 − mgxm = k(x2e + x2m ) + xm (kxe − mg)
2 2 | {z }
0
1
Em1 = k(x2e + x2m ) (10.9)
2
1 2 1
– x = 0 ⇒ Em2 = kx + mv 2 (10.10)
2 e 2 0
1 2 1 1
Conservation de l’Em : Em1 = Em2 ⇔ kxe + mv02 = k(x2e + x2m )
2 2 2
⇒ v0 = ω0 xm (10.11)

8.1.4. Le pendule élastique oblique

Figure 10.5 : Déformation d’un ressort sur plan incliné

a) Étude dynamique

• Système : solide (S) - RTSG

172 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE


 P~ : poids du solide (S)


• Bilan des forces : T~ : tension du ressort (R)


~ : réaction du plan incliné (PI)

R

~ = ~0 (suivant x0 x) xe = ∆` = mg sin α
• Équilibre du solide : P~ + T~ + R (10.12)
k
• Solide en mouvement : T~ + P~ + R
~ = m~a

Projection suivant les +x : −T + mg sin α = mẍ ⇔ −k(x + xe ) + mg sin α = mẍ

mg sin α − kxe −kx = mẍ ⇒ ẍ + ω02 x = 0 (équadif du mouvement rectiligne sinusoïdal).
| {z }
0

b) Étude énergétique

1 1
Em = EC + Epe + Epp = mẋ2 + k(xe + x)2 − mgh avec h = x sin α
2 2
1 1
⇒ Em = mẋ2 + k(x + xe )2 − mgx sin α
2 2
dEm
Conservation de l’énergie mécanique (Em = cste) : = mẍẋ + k(x + xe )ẋ − mg ẋ sin α = 0
dt

ẍ + ω0 x = 0
 2

⇒
ω 2 = k

0
m

8.1.5. Association des ressorts

Association Constante de raideur

n
X
En série k = k1 + k2 + · · · + kn = ki
i=1
n
1 1 1 1 X 1
En parallèle = + + ··· + =
k k1 k2 kn k
i=1 i

Note : Exploitation expérimentale de la courbe T2 = f (m)

Dans la pratique, pour déterminer la période T du pendule, on effectue n − oscillations de durée
∆t. En regroupant les données, on peut tracer la courbe T2 = f (m) qui est une droite affine,
puis, on en déduit la constante k du ressort :
∆t

T = n


r (10.13)
m
T = 2π


k

T 2 = 4π a = 4π
  2  2
m
 
identif ication
k −−−−−−−−−→ k (10.14)
T 2 = am + b
 b = 0


∆T 2 Tf2 − Ti2 4π 2
On a de même, a = pente = = = (10.15)
∆m mf − mi k

Jeu bilingue

• Ressort = Spring
• Constante de raideur = Stiffness constant
• Plan incliné = Inclined plane.

173 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE
Séance 2

8.2 Étude du pendule pendule de torsion et du pendule pesant

Pour étudier les oscillations d’un pendule de torsion, on dispose de la

courbe ci-contre qui représente en fonction du temps t, l’angle θ en ra-
dians, que fait la tige avec sa position d’équilibre.
a. À partir d’un schéma illustratif, établir l’équation différentielle qui
régit un tel mouvement.
b. Déterminer la période propre T0 du pendule et la constante de
torsion C du fil.
c. Écrire l’équation horaire du mouvement.
d. Calculer la vitesse angulaire du pendule à son passage par la posi-
tion d’équilibre.
Le moment d’inertie du pendule est J = 1,25.10−2 kg.m2

OBJECTIFS

• Décrire le pendule de torsion et le pendule pesant

• Appliquer le TCI pour dégager l’équation différentielle du mouvement
• Déterminer la période d’un pendule de torsion et d’un pendule pesant
• Établir l’équation horaire du mouvement
• montrer que l’énergie mécanique d’un pendule non amorti se conserve.

8.2.1. Pendule pesant

8.2.1.1. Description

• Un pendule pesant est tout solide mobile autour d’un axe (∆) ne passant
pas par son centre de gravité G.
 
−−→\−−→
• La position du pendule est repérée par l’angle OGe ; OG

• Lorsque le centre de gravité G se trouve à la verticale et en dessous de

l’axe de rotation, l’équilibre est dit instable.
• Le mouvement G1 Ge G2 Ge G1 est une oscillant de période T.

8.2.1.2. Étude dynamique

a. Cas général

Écarté de sa position d’équilibre d’un angle θm puis abandonné à lui-même sans vitesse initiale, le
pendule effectue des oscillations de part et d’autre de cette position.

174 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

• Système : solide de masse m ; RTSG


P~ : poids du solide
• Bilan des forces :
R~ : réaction de l’axe ∆

• RFDR : M∆ (F~ext ) = M (P~ ) + M (R)

~ = J∆ θ̈
P
| {z }
0

⇒ −P.OG. sin θ = J∆ θ̈. Posons a = OG

mg.a
θ̈ + sin θ = 0 (10.16)
J∆
mga
Posons ω02 = (10.17)
J∆
(10.16) devient alors,

θ̈ + ω02 sin θ = 0 (10.18)

L’équadif (10.18) n’admet pas de solution sinusoïdale. Dans ce cas (général), le pendule pesant non
amorti n’est pas un oscillateur harmonique.

b. Cas particulier : oscillations de faible amplitude

Dans le cas des petites oscillations i.e. θm < 9◦ , sin θ ≈ θ (rad), l’équadif (10.18) devient alors :

θ̈ + ω02 θ = 0 (10.19)

Par cette approximation, le pendule pesant devient un oscillateur harmonique de rotation, de période
r
J∆
T0 = 2π (10.20)
mga
Unités : J∆ (kg.m2 ) ; a (m) ; g (m.s−2 ) ; T0 (s).

L’équadif (10.19) admet des solutions sinusoïdales de la forme : θ(t) = θm cos(ω0 t + ϕ) où θm , ω0 et

ϕ sont des constantes caractéristiques du mouvement.

Remarque.

• Dans le calcul de J∆ , il faut appliquer le théorème de Huygens : J∆ = J∆G + m.OG2 . Le calcul

de OG se ramène à la détermination du barycentre.
r
J∆
• Pour les oscillations de faible amplitude, la période T0 = 2π est constante et ne dépend
mga
pas de l’amplitude ωm : on dit alors que les oscillations sont
 isochrones. Mais l’expérience montre
2

θm
que pour les amplitudes élevées (8 6 θm 6 20 ), T = T0 1 +
◦ ◦
16
• d’après la loi des masses des pendules de même forme mais constitués de substances différentes,
possédant les masses différentes, oscillent avec la même période : la période est donc indépendante
de la masse.

8.2.1.3. Étude énergétique

En prenant la position du centre d’inertie à l’équilibre (G0 ) comme origine des énergies potentielles,
on a :
1
– Ec = J∆ θ̇2 (10.21)
2
– Epp = mgh = mgOG(1 − cos θ) = mga(1 − cos θ) (10.22)

175 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

1
– Em = Ec + Epp = J∆ + mga(1 − cos θ)
2
dEm
= J∆ θ̇θ̈ + mgaθ̇ sin θ = θ̇ J∆ θ̈ + mga sin θ = 0


dt
mga
or θ̇ 6= 0 ⇒ θ̈ + sin θ = 0
J∆

Note
• Pour θ = θm , θ̇ = 0 : Em = Eppmax = mga(1 − cos θm ) (10.23)
2

θm
cos θm ≈ 1 −

2

• Pour de faibles amplitudes, (10.24)
2
Eppmax = θm mga


2
1
• Pour θ = 0, Em = Ecmax = J∆ θ̇02 (10.25)
2
• Vitesse θ̇ à la position θ
2mga(cos θ − cos θm )
r
θ̇ = (10.26)
J∆
2mga(1 − cos θm )
 r
θ̇ =


J∆



Pour θ = 0 , V = θ̇.OG (10.27)

 G


VM = θ̇.OM


8.2.1.4. Pendule pesant réversible

Un pendule pesant réversible est un pendule pesant dont la période d’oscillation est la
même pour deux axes de rotation (∆1 ) et (∆2 ) différents. De tels axes sont dits réversibles.
Ils doivent remplir les conditions suivantes :
• situés de par et d’autre du centre d’inertie G
• parallèles et coplanaires
• les distances a1 et a2 doivent être différentes
On démontre que la longueur ` du pendule simple synchrone du pendule pesant réversible
est telle que :
` = a1 + a2 (10.28)

8.2.2. Pendule de torsion

8.2.2.1. Description

Le pendule de torsion est un système constitué d’un :

– fil vertical de constante de torsion C, inextensible et de masse négligeable fixé à un
support,
– solide (tige, barre, disque,...) suspendu par son centre d’inertie à ce fil et pouvant
osciller dans un plan horizontal.
Le fil de torsion matérialise l’axe de rotation (∆) autour duquel peut tourner le solide.
Lorsque le fil n’est pas tordu, le système est dit en équilibre.
Lorsque le solide tourne d’un angle θ, le fil tordu, exerce un couple de rappel appelé couple de
torsion. Le pendule de torsion effectue alors les oscillations. Le moment du couple de torsion est donné
par la relation :
M = −Cθ (10.29)

176 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

8.2.2.2. Étude dynamique

Considérons une barre de masse m suspendue par son centre d’inertie à l’extrémité d’un fil de torsion
vertical fixé à un support. Tournée d’un angle θm puis lâchée sans vitesse initiale, la barre effectue des
oscillations autour de l’axe (∆).

• Système : barre + fil ; RTSG


T~ : tension du fil
• bilan des forces :
P~ : poids de la tige de masse m

• RFDR : M∆ (F~ext ) = M (P~ ) + M (T~ ) = −C.θ = J∆ θ̈

P

On a alors :
C
θ̈ + θ=0 (10.30)
J∆
On obtient une équadif du second degré sans second membre linéaire : le pendule de torsion est alors
un oscillateur harmonique dont la solution peut être sous la forme θ(t) = θm cos(ω0 t + ϕ) et dont la
période propre et la pulsation propre sont :
 r
J∆
T0 = 2π



C
r (10.31)
C
ω0 =



J∆
Unités : C (N.m.rad−1 ) ; J∆ (kg.m2 ) ; T0 (s) ; ω0 (rad/s)

8.2.2.3. Étude énergétique

1
– Ec = J∆ θ̇2
2
1
– Ept = C θ̇2 (10.32)
2
1 1
– Em = Ec + Ept = J∆ θ̇2 + Cθ2
2 2
dEm
= J∆ θ̇ + Cθθ̇ = θ̇ J∆ θ̈ + Cθ = 0 or θ̇ 6= 0,


dt
⇒ θ̈ + ω02 θ = 0

Remarque.

• L’énergie mécanique totale du pendule de torsion non amortie se conserve au cours des oscillations
1 2
et vaut : Em = Cθm
2
• La période et la pulsation propres sont ainsi appelées parce qu’elles ne dépendent que des carac-
téristiques de l’oscillateur et non de l’amplitude.

177 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE
Séance 3

8.3 Étude du pendule simple

ACTIVITÉ D’INTÉGRATION

Pour déterminer la valeur de l’intensité de la pesanteur en un lieu donné, on a mesuré, pour

plusieurs longueurs, la durée de 20-oscillations d’un pendule simple et on a obtenu le tableau de
valeurs ci-dessous :

` (m) 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400 1,600

τ (s) 25,36 31,04 35,84 40,04 43,92 47,44 50,72

T0 (s)

a. Déterminer la période propre des oscillations correspondant à chaque longueur et compléter

le tableau de valeurs.
b. Tracer le graphe T20 = f (`) et vérifier la validité de l’expression théorique de la période d’un
pendule simple.
c. En déduire la valeur du champ de pesanteur du lieu d’expérience.

OBJECTIFS

 Définir pendule simple

 Appliquer le TCI pour établir l’équadif du mouvement
 Établir l’équation horaire du mouvement
 Montrer que l’énergie mécanique d’un pendule simple non amorti se conserve

8.3.1. Définition et présentation

Le pendule simple est toute masse ponctuelle oscillant autour d’un

axe fixe auquel elle est reliée par un fil de masse négligeable.
La longueur du fil est la longueur du pendule simple.
Le pendule simple, est le cas limite d’un pendule pesant.
Dans le cas pratique, l’objet ponctuel est une bille de rayon r  `.

Remarque.

 Pour un pendule simple, T0 varie en fonction de `. Pour les métaux, ` = `0 (1 + aθ) où a

est le coefficient
√ de température (◦ C −1 ), θ, la température (◦ C) et `0 = `(θ = 0). Dans ce cas,
T = T0 1 + aθ.
g
 Pour un pendule simple battant à la seconde, T0 = 2s et ` = 2 .
π
 Une alternance est équivalent à une demi-oscillation.

8.3.2. Étude dynamique

Écartons le pendule de sa position d’équilibre stable d’un angle θm , puis, abandonnons-le à lui-même
sans vitesse initiale. Il effectue des oscillations de part et d’autre de cette position.

178 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

• Système : {fil + masse} - RTSG


P~ : poids de la masse
• Bilan des forces :
T~ : tension du fil

• Solide en rotation (RFDR) : M∆ (F~ext ) = M (P~ ) + M (T~ ) = J∆ θ̈

P

M (T ) = 0 car sa droite d’action rencontre (∆)

 ~
Or M (P~ ) = M (P~x ) +M (P~y ) = −Py .OG = −mg` sin θ (10.33)

 | {z }

0
• L’équadif du mouvement du pendule est alors :
J∆ θ̈ + mg` sin θ = 0 (10.34)
L’équadif (10.34) n’est pas linéaire, ses solutions ne sont par conséquent pas sinusoïdales : le pendule
simple n’est donc pas un oscillateur harmonique.
Soit J∆ = m`2 , le moment d’inertie du pendule simple. Pour des faibles oscillations (i.e. θ < 9◦ ),

sin θ ≈ θ


2 (10.35)
cos θ ≈ 1 − θ

2
En considérant la valeur de J∆ et l’approximation (10.35.1) ci-dessus, l’équadif (10.34) devient :
g
θ̈ + θ = 0 (10.36)
`
g
Posons ω02 = (pulsation propre) (10.37)
`
(10.36) devient alors : θ̈ + ω02 θ = 0 (10.38)
L’équadif (10.38) étant linéaire, les solutions sont alors sinusoïdales de la forme : θ = θm cos(ω0 t + ϕ),
où θm , ω0 et ϕ sont des constantes du mouvement du pendule. De la relation (10.37), on en déduit
alors que, le pendule simple, après approximations, a pour période propre T0 et pour fréquence propre
f0 définies par :
r
`

 T
 0
 = 2π
g
(10.39)
f0 = 1
r

 g
2π `

8.3.3. Étude énergétique

En considérant les oscillations du pendule simplet et en prenant pour origine des énergies potentielles
la position du centre d’inertie G à l’équilibre, l’énergie mécanique à un instant t quelconque, sera :
1
Em = Ec + Epp = J∆ θ̇2 + mgh or h = `(1 − cos θ)
2
1
⇒ Em = J∆ θ̇2 + mg`(1 − cos θ) (10.40)
2
La valeur de l’énergie mécanique Em étant
mg` 2
Em = θ = cste (10.41)
2 m
ce qui montre que l’Em du système est constante (système conservatif), par conséquent, sa dérivée
par rapport au temps est nulle. Dans ce cas, en dérivant (10.40) par rapport au temps, on aura :

` 6= 0

dEm
= `(`θ̈ + g sin θ) = 0 ⇒
dt θ̈ + g θ = 0
`
L’énergie mécanique totale d’un pendule simple non amorti se conserve au cours des oscillations et

179 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

peut s’écrire :
1
Em = mVm2 (10.42)
2

Nota Bene
 Pour des oscillations de faible amplitude, la période du pendule est indépendante de l’am-
plitude. De telles oscillations sont dites isochrones : on parle d’isochronisme des petites
oscillations. Dans le cas contraire, la période s’écrit :
θ2
 
T = T0 1 + m (10.43)
16
√
 Pour un même lieu, g = cste et T = cste. ` (loi des longueurs)
√
 Pour une longueur donnée (` = cste), on a : T g = cste (loi des accélérations)
 Pour vérifier l’influence de la valeur de l’intensité de la pesanteur g sur la période, on réalise
un pendule pesant incliné appelé pendule de MACH.
√
Ainsi, en posant g0 = g. cos α, on obtient : T cos α = cste (loi de substance de la masse)

8.3.4. Pendule simple synchrone d’un pendule pesant

• Un pendule simple est dit synchrone d’un pendule pesant lorsque les deux pendules possèdent la
même période d’oscillation.
• La longueur du pendule simple synchrone d’un pendule pesant est :
J∆
`= (10.44)
m.OG

8.3.5. Amortissement des oscillations

• Une oscillation amortie est une oscillation dont l’amplitude diminue au cours du temps sous
l’effet des forces de frottement.

• Le phénomène des amortissements est dû à la perte d’énergie au cours des oscillations. Ce phénomène
se traduit par la diminution de l’amplitude des oscillations.
• On distingue deux types d’amortissement :
– l’amortissement par frottement solide
– l’amortissement par frottement visqueux
• Dans les deux cas, les oscillations ne sont plus périodiques et on les qualifie de pseudo-périodique
et la période T d’une oscillation est appelée pseudo-période.

a. Amortissement par frottement solide

Dans ce cas, si les frottements sont importants, l’amplitude décroît linéairement au cours du temps.

180 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

b. Amortissement par frottement visqueux

Les frottements visqueux ou fluides sont caractérisés par une force

opposée au vecteur vitesse :
f~ = −b~v b>0 (10.45)
b = coefficient de frottement visqueux.

• Système : solide de masse m

P : poids de m
~




f~ : force de frotement


• Bilan des forces :


 ~ : réaction du plan horizontal (PH)
R


T : force de rappel
~


• TCI : T~ + P~ + f~ + R
~ = m~a Suivant (Ox), on a :
−kx + 0 + 0 − bẋ = mẍ ⇒ mẍ + bẋ + kx = 0

ω02 = k

b k 
m
ẍ + ẋ + x = 0 posons (10.46)
m m b
λ =


m
ẍ + λẋ + ω02 x = 0 (10.47)
λ = coefficient d’amortissement.
L’équadif (10.29) est une équadif du second ordre avec second membre.

• lorsqu’il se produit une seule oscillation avant l’arrêt, on parle d’amortissement sous critique
• lorsque l’oscillateur s’arrête juste en atteignant la position d’équilibre, on parle d’amortissement
critique et le régime est apériodique
• lorsqu’il n’y a plus d’oscillations, le mouvement est apériodique et on parle d’amortissement sur-
critique

c. Application des oscillations amorties

Pour atténuer les vibrations verticales qui nuisent au confort et à la sécurité des passagers, par
exemple lors du passage d’un véhicule dans un trou sur une route, on associe à chaque roue un système
(amortisseur) formé d’un ressort et d’un fluide visqueux.

8.3.6. Entretien des oscillations : phénomène de résonance

Dans la pratique, pour maintenir constantes les amplitudes

des oscillations, il faut communiquer au système, à tout
instant, de l’énergie pour compenser l’énergie perdue. Dans
ce cas, les oscillations ne sont plus libres mais forcées ou
entretenues.
Si la fréquence f de l’excitateur est égale à la fréquence
propre f0 des oscillations libres, alors on parle de la réso-
nance et l’amplitude est maximale.
L’intervalle [f1 ; f2 ] correspond à la bande passante.

Jeu bilingue

 Bande passante = Bandwidth

 Fluide visqueux = Viscous fluid
 Amortissement = Amortization

181 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

8.4 Exercices

EXERCICES DE LA LEÇON 10 : LES OSCILLATEURS MÉCANIQUES

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES

EXERCICE 1 : ÉVALUATION DES SAVOIRS

1. Qˆu€esˆt‰i€o”nŒš €d€e €coŠuˆrŒš o. Pour quelle période de l’excitateur se

produit la résonance ?
a. Définir : Oscillations libres ; période p. L’amplitude des oscillations d’un sys-
propre ; pendule simple ; pendule élas- tème mécanique oscillant est-elle indé-
tique ; pendule pesant ; amortissement pendante de la fréquence de son excita-
des oscillations. teur ?
b. Quelle est la position d’équilibre stable q. Quelles sont les causes de de perte
d’un pendule pesant ? d’énergie d’un système oscillant ?
c. Combien de positions d’équilibre possède
un pendule pesant ? 2. On considère un pendule élastique
d. Donner l’expression de la période propre a. Schématiser et décrire le pendule élas-
d’un pendule simple et définir chaque tique
terme de cette expression.
b. En quel(s) point(s) de sa trajectoire, la
e. Pour quelle raison les grandeurs ω0 et T0 vitesse linéaire d’un solide du pendule
sont-elles appelées valeur propre d’un os- élastique est-elle maximale ? Nulle ?
cillateur mécanique ?
f. Observe-t-on toujours des oscillations 3. Un pendule élastique vertical est constitué de
avec un pendule amorti ? deux ressorts identiques de constante de rai-
g. Peut-on observer des oscillations autour deur k montés en parallèle et supportant une
d’une position d’équilibre stable ? masse M. Donner l’expression de la fréquence
h. La période propre d’un pendule simple des oscillations en fonction K et M.
dépend-elle de sa masse ? 4. Montrer que la période propre des oscillations
i. La force de rappel d’un ressort dépend- d’un pendule pesant de forme géométrique
elle de l’allongement ou du raccourcisse- précise est indépendante de sa masse.
ment du ressort ?
j. La période propre des oscillations d’une 5. Montrer que l’énergie mécanique d’un pendule
masse accrochée à un ressort augmente- pesant non amorti se conserve au cours des os-
t-elle quand la masse augmente ? cillations.
k. Les frottements peuvent-iles rendre un 6. Quelle approximation fait-on pour des oscil-
mouvement non périodique ? lations de faible amplitude ? Quel est l’intérêt
l. La période des oscillations d’un résona- de cette approximation ?
teur est-elle différente de celle de son ex-
citateur ? 7. Montrer, pour le cas d’un pendule simple,
que :
m. L’amplitude des oscillations du résona-
teur peut-elle être supérieure à l’ampli- a. l’énergie mécanique se conserve
tude des oscillations de son excitateur ?
b. la période varie avec la température
n. En diminuant l’amortissement, l’ampli-
tude des oscillations d’un résonateur à 8. Qˆu€esˆt‰i€o”nŒš €à‡ €c‘h€oŠi›x •mˆu„l‰t‰iŒp„le

la résonance augmente-t-elle ?

182 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

8.1. La période d’un pendule élastique dé- 9.b. Le pendule élastique est un oscillateur de
pend : translation.
a. la longueur du ressort
9.c. Un pendule élastique horizontal non
b. la masse du solide amorti est un oscillateur harmonique.
c. la pesanteur
9.d. Un pendule simple est u solide de forme
8.2. La période propre d’un pendule simple, arbitraire pouvant osciller autour d’un
dans le cas de petites oscillations, est axe quelconque.
donnée par la relation :
9.e. Pour tout oscillateur mécanique, les os-
r
`
a. T0 = 2π cillations de faible amplitude sont iso-
g
r chrones.
g
b. T0 = 2π
` 9.f. L’équation différentielle d’un oscillateur
√
c. T0 = 2π g.` mécanique ne peut être établie qu’en ap-
pliquant la relation fondamentale de la
8.3. L’équation horaire du mouvement d’un dynamique.
pendule simple est donnée par : x(t) =
10 sin(100πt). Sa période et sa fréquence 9.g. Un oscillateur mécanique est dit amorti
propres valent respectivement : lorsque son énergie mécanique totale
a. 50 Hz et 0,02 s augmente avec le temps.
b. 20 ms et 50 Hz
9.h. Deux pendules sont dits synchrones lors-
c. 20 s et 100 Hz qu’ils commencent leur mouvement en
même temps.
8.4. Un oscillateur constitué d’un solide de
petites dimensions, oscillant à l’extré- 9.i. Plus l’amplitude du pendule élastique est
mité d’un fil inextensible, est : grande, plus sa période est grande.
a. un pendule pesant
b. un pendule élastique 9.j. La longueur de la trajectoire d’un pen-
dule élastique non amorti est le double
c. un pendule simple
de son amplitude.
8.5. Le pendule de torsion effectue un mou-
9.k. Le pendule de torsion est un oscillateur
vement :
de rotation.
a. rectiligne
b. hélicoïdal 9.l. La période d’oscillation d’un pendule pe-
c. sinusoïdal de rotation sant dépend de l’amplitude.

8.6. La longueur du pendule simple syn- 9.m. L’énergie mécanique d’un pendule pe-
chrone d’un pendule pesant est : sant est proportionnelle au carré de l’am-
r plitude.
J∆
a. ` =
m.OG 9.n. Le pendule pesant non amorti est un os-
J∆ cillateur harmonique.
b. ` =
m.OG
m.OG La période des oscillations d’un pendule
c. ` = dépend des conditions initiales.
J∆
8.7. Des oscillations sont dites faibles lorsque 9.o. L’énergie mécanique d’un oscillateur
l’angle θ élastique amorti est constante.
a. est inférieur à 9◦
9.p. La période des oscillations d’un pen-
b. est supérieur à 9◦ dule simple ne dépend pas de l’amplitude
c. égal à 9◦ lorsque celle-ci est faible.

9.q. Un oscillateur est libre lorsque la fré-

9. R€ép€o”n€dˆr€e Œp€aˆr‡ •vŠr€aˆi‡ €oŠu‡ „faˆu›x quence des oscillations est imposée par
un dispositif extérieur.
9.a. Le pendule simple est un oscillateur har-
9.r. Un pendule simple a la même période des
monique.
oscillations sur la Terre que sur la Lune.

183 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

EXERCICE 2 : APPLICATION DES SAVOIRS

E •xe‰r€c‰i€ce 1

1.7. Un étudiant désire déterminer la longueur `

1.1. Dans le cas d’un oscillateur élastique hori-
d’un pendule simple avec... une montre !.
zontal non amorti, retrouver l’équation diffé-
rentielle du mouvement à partir de l’expres- Il déclenche le chronomètre quand le pendule
sion de l’énergie mécanique et du principe de passe par sa position la plus basse, et note que
conservation de l’énergie. On notera v = ẋ. celui-ci passe 20 fois cette position en 12 se-
condes. On donne g = 9,8 m.s−2 . Déterminer
1.2. L’équation horaire du mouvement d’un oscil- `.
lateur mécanique est :
 π 1.8. Une horloge à balancier est correctement ré-
θ = 0, 2 sin 2πt + (rad) glée sur la Terre. On l’emmène sur la Lune.
3
Fonctionne-t-elle correctement ? Que faut-il
On prendra g = 9,83 m.s−2 . modifier ?
a. De quel type d’oscillateur mécanique 1.9. Les paramètres intervenant dans l’étude du
s’agit-il ? pendule simple sont l apesanteur g, la masse
b. Déterminer les caractéristiques de cet os- du pendule m et sa longueur `. Construire une
cillateur. grandeur homogène à un temps à l’aide de ces
c. Cet oscillateur est-il : un pendule simple, données. Comparer avec l’expression de la pé-
un pendule pesant, un pendule élastique riode propre du pendule simple.
ou un pendule de torsion ? Pourquoi ?
E •xe‰r€c‰i€ce 2

1.3. La mesure de la durée de 20-oscillations syn-

chrones d’un pendule de torsion de moment Un pendule de torsion est composé d’une barre
d’inertie J = 0,0025 kg.m2 a donné 10 se- AB, de longueur ` = 20 cm et de masse = 200 g,
condes. Calculer la constante de torsion C du fixée en son milieu M à un fil d’acier vertical sus-
fil. pendu à un point fixe O.
2.1. Calculer le moment d’inertie J de la barre par
1.4. La mesure de la durée de 12-oscillations syn-
rapport à son axe de symétrie.
chrones d’un pendule élastique vertical de
masse 400 g a donné 18 secondes. Calculer 2.2. On écarte la barre d’un angle θ de sa position
l’allongement x du ressort à l’équilibre. d’équilibre et on l’abandonne sans vitesse ini-
tiale.
1.5. Quelle est la vitesse maximale d’un bloc de 3
kg attaché à un ressort de constante de rai- a. Appliquer la deuxième loi de Newton au
deur k = 10 N/m en mouvement harmonique centre d’inertie du solide et montrer que
simple dont l’amplitude est 0,10 m ? le système effectue des oscillations sinu-
soïdales.
1.6. La loi horaire de la vitesse angulaire des os- b. Déterminer l’équation horaire du mou-
cillations d’un pendule simple est : vement du système sachant que l’ampli-
π2  π  tude des oscillations est θm = 1 rad et la
θ̇(t) = cos πt + (rad/s) période propre est T0 = 2 s.
18 2
c. Déduire la valeur de la constante de tor-
a. Réécrire la vitesse θ̇ en fonction de sinus.
sion C.
b. En déduire la vitesse du pendule à t =
d. Montrer que l’énergie mécanique totale
0 s, t = 0,5 s, t = 1 s et t = 1,5 s. Que
du système reste constante au cours du
constantes-tu ? Généraliser alors le résul-
mouvement.
tat en fonction de la valeur du temps t.
c. Déterminer l’amplitude du pendule ainsi
E •xe‰r€c‰i€ce 3
que la longueur du fil.
d. Écrire la loi horaire x(t) de la position Un métronome est modélisé par un pendule
du solide linéaire du solide de ce pendule simple de longueur `. Une masse peut coulisser le
simple. long d’une tige de masse négligeable. Lorsque la

184 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

masse passe par sa position la plus basse, le mé- Déterminer la longueur ` du ressort quand le sys-
tronome émet un signal sonore, marquant ainsi un tème est à l’équilibre.
battement. On donne g = 9,81 m.s−2 .
E •xe‰r€c‰i€ce 7
3.a. Quelle caractéristique des oscillations peut-on
régler en faisant coulisser la masse le long de Un solide de masse m = 400 g est suspendu à
la tige ? deux ressorts identiques de raideur k = 25 N.−1 , de
3.b. Le métronome est réglé pour un tempo de 160, longueur à vide `0 = 20 cm. On donne g = 9,80
c’est-à-dire 160 battements par minute. Dé- m.s−2
.
terminer `.
3.c. Quelle serait sa période sur la Lune où gLune
= 1,6 m.s−2 ?

E •xe‰r€c‰i€ce 4

On considère un pendule pesant constitué d’un 7.a. Déterminer la longueur `e des deux ressorts à
solide de masse m accroché à une tige de masse l’équilibre.
négligeable, de longueur `. On note θ(t) l’abscisse 7.b. Quelle serait la raideur k’ d’un ressort de
angulaire du pendule. même longueur à vide `0 , qui s’allongerait de
la même manière à la longueur `e sous l’effet
4.a. Effectuer le bilan des forces extérieures s’exer-
de m ?
çant sur le solide, et les représenter à un ins-
tant quelconque.
E •xe‰r€c‰i€ce 8
4.b. En déduire que les seules positions d’équilibre
possibles sont θ = 0 et θ = π. Lors de l’étude du solide accroché à un ressort,
les paramètres physiques en jeu sont l’accélération
E •xe‰r€c‰i€ce 5
de la pesanteur g, la raideur du ressort k et la masse
m du solide.
On relève l’abscisse angulaire d’un epndule À l’aide de l’analyse dimensionnelle, construire
simple au cours du temps. une grandeur ayant la dimension d’un temps que
l’on cherchera donc sous la forme Cg α k β mγ , où C
est une constante sans dimension.
r
m
Comparer avec l’expression T0 = 2π de la
k
période propre du système solide-ressort.

E •xe‰r€c‰i€ce 9

Un solide M de masse m, fixé à l’extrémité d’un

5.a. Déterminer la période des oscillations. ressort de raideur k, se déplace sans frottement sur
5.b. En quels points la vitesse angulaire est-elle un plan horizontal.
maximale ? 9.a. Montrer que la projection horizontale de la
5.c. Le régime est-il amorti ? d2 x
deuxième loi de Newton s’écrit m 2 = −kx
dt
où x est l’allongement du ressort.
2π
 
E •xe‰r€c‰i€ce 6
9.b. Montrer que x(t) = xm cos t + ϕ0 est
T0
Un solide M est posé sur un plateau solidaire
solution de l’équation précédente, et détermi-
d’un ressort de raideur k = 200 N/m, de longueur
ner l’expression de T0 .
à vide `0 = 15 cm.
9.c. À la date t = 0, on écarte M de sa position
L’ensemble {solide, plateau} a une masse m = d’équilibre xe = 0 de x(0) = a, et on le lâche
1 500 g. On donne g = 9,80 m/s2 . avec une vitesse initiale nulle. Déterminer les
constantes xm et ϕ0 .

E •xe‰r€c‰i€ce 10

Un solide M de masse m est accroché à un res-

sort vertical de raideur k et de longueur au repos
`0 .

185 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

10.a. Déterminer la longueur `0 du ressort à l’équi- 12.a. Rappeler la forme de la force exercée par le
libre. ressort sur la masse.
10.b. En notant x = OM = `, montrer que la pro- 12.b. Établir l’équation différentielle du mouve-
jection verticale de la deuxième loi de Newton ment.
d2 x 12.c. ‘A l’instant initial, on écarte la masse d’une
s’écrit m 2 = −k(x − `0 ) + mg.
dt distance x0 de sa position d’équilibre et on
10.c. On note y = x − `e l’écart de M à sa position l’abandonne sans vitesse initiale. Déterminer
d’équilibre. l’expression de la position de la masse en fonc-
Montrer que l’équation du mouvement s’écrit tion du temps.
d2 y 12.d. Donner les expressions des énergies cinétique
alors m 2 = −ky. Ec et potentielle Ep .
dt
Quelle équation retrouve-t-on ? Quelle est la 12.e. En déduire que l’énergie mécanique E = Ec +
période propre de ce système ? Ep est constante.

E •xe‰r€c‰i€ce 11 E •xe‰r€c‰i€ce 13

Un pendule simple est constitué d’une boule de 13.1. Un pendule simple est constitué d’un fil in-
masse m = 100 g accroché à un fil sans masse de extensible de longueur ` auquel est attachée
longueur ` = 1,0 m. On donne g = 9,8 m/s2 . une masse m assimilée à un point matériel.
On choisit l’origine des énergie potentielles sur On donne g = 9,8 m/s2 . L’évolution de l’angle
le plan horizontal contenant le centre de la boule θ que fait le pendule avec la verticale, pour de
(S), lorsqu’elle est en équilibre le fil étant vertical. petits angles, est régie par l’équation différen-
g
(Voir fig. a) tielle θ̈ + θ = 0.
`
Que valent la période T et la fréquence
f du mouvement ?
13.2. L’évolution de θ(t) est donnée par le graphe
ci-dessous.

11.1. On écarte le fil de sa position d’équilibre d’un

angle θm = 60◦ et on abandonne le pendule
sans vitesse initiale.
a. Calculer l’énergie mécanique du pendule
à cet instant.
b. Quelle est la vitesse du pendule lorsqu’il
repasse par la position verticale ? On né- a. Déterminer graphiquement la période T
gligera les frottements. du mouvement. En déduire la longueur `
c. Exprimer, à un instant quelconque, la du pendule utilisé.
tension T du fil de ce pendule en fonc- b. Déterminer une valeur approchée de
tion de m, θ et θm . Faire l’application l’amplitude θm et de sa phase ϕ à l’ori-
numérique pour θ = 10◦ . gine du signal.
c. Après avoir calculé la pulsation ω du
11.2. On place au point I, une petite butée (fig. b) mouvement, en déduire une expression
et on cherche à savoir jusqu’à quel point M la numérique de θ(t).
`
boule pourra remonter. On donne : OI = = d. Déterminer graphiquement θ(0) et θ̇(0).
4
25cm. En déduire simplement θ̈(0).
a. Exprimer, en fonction de m, g, ` et θ
(angle d’inclinaison du fil), l’énergie mé- 13.3. On recommence avec de nouvelles conditions
canique du pendule à cet instant. initiales, la période restant identique.
b. En négligeant les frottements, calculer la
valeur de l’angle θ.

E •xe‰r€c‰i€ce 12

Soit une masse m attachée à un ressort de rai-

deur k et astreinte de se déplacer sans frottement
sur un plan horizontal.

186 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

a. Déterminer une valeur approchée de 15.1. Faire l’inventaire des forces appliquées au so-
l’amplitude θm et de sa phase ϕ à l’ori- lide et les représenter.
gine du signal. 15.2. Écrire, dans un référentiel approprié que l’on
b. Donner une expression numérique de précisera, la deuxième loi de Newton, sous
θ(t). En déduire par calcul, les conditions forme vectorielle.
initiales θ(0) et θ̇(0). 15.3. Écrire les projections de cette relation dans la
c. Déterminer graphiquement la valeur de base de Frenet, ~t orienté dans le sens trigono-
θ(0) et le signe de θ̇(0). Comment métrique et ~n vers le point O.
pourrait-on procéder pour mesurer cette 15.4. Déduire de l’une des projections, l’équation
dernière valeur graphiquement ? différentielle du mouvement du pendule.
15.5. Déterminer les expressions de la pulsation et
E •xe‰r€c‰i€ce 14
de la période propres dans le cas des oscilla-
Un petit cylindre de masse m = 248 g, glisse tions de faible amplitude.
sans frottement le long d’une tige horizontale. Il est 15.6. Écrire l’équation horaire du mouvement du
accroché à une extrémité d’un ressort à spires non pendule.
jointives dont l’autre extrémité est fixe. La position
du centre d’inertie G du cylindre est repérée par son E •xe‰r€c‰i€ce 16

abscisse x, par rapport au repère (O ; ~i) d’origine O,

prise à la position d’équilibre. Un pendule simple est constitué d’un fil OA de
longueur ` = 1 m, portant à son extrémité A, une
bille (B1 ) de masse m1 = 100 g.
On écarte ce pendule de sa position d’équilibre
d’un angle α = 6◦ , puis on l’abandonne sans vitesse
initiale.
16.1. Calculer la vitesse v1 de la bille (B1 ) quand le
fil passe par la verticale.
16.2. Établir l’équation différentielle du mouvement
de ce pendule et en déduire son équation ho-
raire. On prendra pour origine des dates, l’ins-
tant où la bille est lâchée.
14.1. Les variations de l’énergie potentielle élas- 16.3. En arrivant à la verticale, la bille heurte de
tique Ep (x) du pendule en fonction de x, sont plein fouet, une bille (B2 ) de masse m2 = 50
représentées ci-dessus. Calculer la constante g initialement au repos.
de raideur du ressort.
16.3.1. En admettant que le choc entre les deux
14.2. Calculer la valeur v0 de la vitesse du cylindre billes est parfaitement élastique, déter-
à son passage par sa position d’équilibre en O. 0 0
miner les vitesses v1 et v2 des billes (B1 )
14.3. Calculer la période des oscillations de ce pen- et (B2 ) respectivement après le choc.
dule élastique.
16.3.2. Étudier et caractériser le mouvement du
14.4. Reproduire le graphe et tracer, sur le même pendule après le choc.
système d’axes, l’énergie mécanique et l’éner-
16.3.3. On suppose que la bille (B2 ) est placée
gie cinétique du pendule en fonction de x.
sur le bord d’une table lise et horizontale,
a. En utilisant la construction effectuée, et que le choc avec (B1 ), la propulse dans
donner les valeurs de l’énergie potentielle le vide.
et de l’énergie cinétique du pendule pour
a. Établir l’équation de la trajectoire
x1 = 40 mm.
de la bille (B2 ) après le choc dans un
b. Quelle est alors la vitesse v1 du pendule ? repère (O ; ~ı ; ~)orthonormé conve-
nablement choisi. O étant le point
E •xe‰r€c‰i€ce 15 où passe l’axe (∆).
Un pendule simple est composé d’une petite b. Déterminer l’instant et les coordon-
boule de plomb, de masse m = 100 g, suspendue nées du point d’arrivée de (B2 ) sur
à un fil de longueur ` = 1,0 m accroché en un point le sol horizontal situé à h = 80 cm
O fixe. en dessous de la table.

Le pendule, écarté de sa position d’équilibre E •xe‰r€c‰i€ce 17

d’une amplitude θm = 10◦ , est abandonné sans vi-
tesse initiale. On désigne par θ l’élongation angu- Un ressort, à spires non jointives de masse né-
laire à une date t. gligeable, a une constante de raideur k. L’une des

187 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

extrémités du ressort est fixée à un support rigide c. Au passage à la verticale le fil casse.
lié à la Terre. À l’autre extrémité E, est suspendu Quelles sont alors la nature et l’équation
un solide S de masse m = 100 g. On donne g = 9,8 de la trajectoire de S ?
m/s2 .
Quelle est la durée du mouvement jus-
17.1. À l’équilibre, le ressort est allongé de b = 4 qu’au moment où S touche B ?
cm. Quelle est la constante de raideur du res-
sort ?
E •xe‰r€c‰i€ce 19 : P€e“n€dˆu„le ˆr€é“vƒe‰rŒsˆi„b†le
17.2. On tire le solide S, verticalement, vers le bas et
on l’abandonne sans vitesse initiale. S prend On considère un pendule, de masse m, de centre
alors un mouvement de translation rectiligne d’inertie G, pouvant osciller autour de plusieurs
verticale. axes horizontaux situés dans un même plan conte-
Quelle est la nature du mouvement de S ? nant G. Soit JG , le moment d’inertie du pendule
par rapport à un axe horizontal passant par G.
17.3. À la date t = 0, S passe par sa position la plus
basse situé à 2 cm sous la position la plus éle- 19.1. Donner l’expression de la période des oscilla-
vée. Quelle est la loi horaire du mouvement ? tions de faible amplitude de ce pendule par
17.4. L’énergie mécanique totale du système {so- rapport à un axe (∆1 ) distant de a1 de G.
lide S, Terre, Ressort}, comprenant l’éner- 19.2. On montre que la période de ce pendule est
gie potentielle élastique et l’énergie poten- la même lorsqu’il oscille autour d’un axe (∆2 )
tielle de pesanteur, est prise égale à zéro pour situé de l’autre côté de G et à une distance a2
la position d’équilibre. Montrer qu’avec cette de G (a1 6= a2 ).
convention, l’énergie mécanique de l’oscilla-
JG
teur est égale à l’énergie cinétique maximale Montrer que : a1 a2 = .
m
de S et qu’elle est proportionnelle au carré de
19.3. Montrer que la longueur du pendule simple
l’amplitude des oscillations.
synchrone de ce pendule oscillant autour de
(∆1 ) ou de (∆2 ) est : ` = a1 + a2 .
E •xe‰r€c‰i€ce 18

Une sphère conductrice S assimilable à un point E •xe‰r€c‰i€ce 20

matériel, de masse m = 2 g, est suspendue à un

point fixe O par l’intermédiaire d’un fil isolent, in- Dans tout l’exercice, les frottements sont négli-
extensible, de masse négligeable et de longueur ` = gés et g = 10 m.s−2 .
10 cm. g = 10 m/s2 . Un pendule pesant est constitué d’une tige de
masse M = 400 g et de longueur ` = 75 cm, pou-
vant osciller autour d’un axe (∆) passant par l’une
de ses extrémités O. La tige porte à son extrémité
inférieure A, une bille ponctuelle de masse m égale
aux dixièmes de M.
20.1. Déterminer, en fonction de `, la distance a sé-
18.1. Calculer la période des petites oscillations de parant O du centre d’inertie du système (tige-
ce pendule simple. bille). Calcule a.
18.2. Le pendule est placé entre deux armatures
20.2. Exprimer le moment d’inertie G du système
métalliques A et B, planes et horizontales, de
par rapport à l’axe (∆) en fonction de M et `.
grandes dimensions, distantes de d = 20 cm.
Calculer J.
Le point de suspension O, est à 5 cm de l’ar-
mature supérieure A. On applique entre A et 20.3. Écartée de sa position d’équilibre d’un centi-
B, une différence de potentiel constante uAB mètre de tour et lâchée sans vitesse initiale,
= 2000 V, créant ainsi entre A et B, un champ la bille décrit un arc de cercle de longueur L.
électrique verticale de haut en bas d’inten- a. Déterminer L.
uAB
sité E = . La sphère porte une charge b. Déterminer la période des oscillations
d
q = 2 × 10−7 C. qu’effectue le pendule.
a. Quelle est la nouvelle période des oscil- c. Exprimer l’énergie mécanique du pen-
lations de ce pendule ? dule à un instant t quelconque en fonc-
tion de M, m, a, θ, θ̇ et J. θ étant l’angle
b. Le pendule est écarté de sa position
que fait la tige à l’instant t, avec la ver-
d’équilibre d’un angle de 90◦ avec une
ticale.
pince isolante et abandonné sans vitesse
initiale. Quelle est la tension du fil au d. En déduire l’équation différentielle et la
passage à la verticale ? période du pendule.

188 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

E •xe‰r€c‰i€ce 21

Dans les trois systèmes masse-ressorts ci-

dessous, un solide (S) de masse m, écarté de sa
position d’équilibre, oscille librement sous l’action 23.1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la
de deux ressorts de constante de raideur k1 et k2 . bille.
23.2. Établir l’équation différentielle du mouvement
de la bille et calculer la période propre T0 .
23.3. Établir l’équation horaire du mouvement en
tenant compte des conditions initiales.

E •xe‰r€c‰i€ce 24

Le système oscillant d’une horloge ancienne est

un pendule pesant composé d’une tige mince de lon-
gueur L, de masse m, et d’un disque de même masse
– les ressorts sont placés de part et d’autre du m et de rayon R = 5,0 cm dont le centre d’inertie
solide G0 est confondu avec l’extrémité de la tige.
– les ressorts sont placés du même côté, l’un au
dessus de l’autre
– les ressorts sont placés l’un à la suite de l’autre
21.1. Appliquer dans chaque cas, le théorème du
centre d’inertie et déterminer l’équation diffé-
rentielle du mouvement du solide.
21.2. Donner, dans chaque cas, l’expression de la
période propre des oscillations en fonction de 24.1. Donner, en fonction de m, L et R, l’expression
m, k1 et k2 . du moment d’inertie du pendule par rapport
21.3. Déterminer la constante de raideur k équi- à son axe de rotation.
valente à chacun des systèmes précédents en
24.2. Déterminer la position OG du centre d’inertie
fonction de k1 et k2 , et établir l’analogie entre
du pendule par rapport à l’axe de rotation.
un système de ressorts et un montage de
condensateurs. 24.3. Pour indiquer correctement l’heure, le pen-
dule doit battre la seconde :
E •xe‰r€c‰i€ce 22
a. Déterminer la longueur L du pendule
Un pendule pesant de masse m = 18.10−3 kg et b. Cette longueur dépend-elle de la masse
de moment d’inertie J∆ = 8,2.10−4 kg.m2 , oscille commune de la tige et du disque ?
autour de son axe de suspension (∆). La distance
entre (∆) et son centre de gravité G est a = 17,5
E •xe‰r€c‰i€ce 25
cm. On l’écarte de sa position d’équilibre d’un angle
α = 25◦ . On tire une remorque de masse m = 380 kg sur
22.a. Calculer l’énergie mécanique de l’oscillateur.une piste ondulée. Sa suspension s’abaisse de 0,3 cm
22.b. Quelle est la vitesse angulaire maximale ac- lorsqu’on y pose une charge de masse m’ = 70 kg.
quise par le pendule pesant ? 25.1. Déterminer :
22.c. Déterminer la vitesse linéaire maximale du
a. La raideur du ressort correspondant à la
centre d’inertie G du pendule.
suspension de le remorque

E •xe‰r€c‰i€ce 23
b. La période propre de l’oscillateur que
constitue la remorque chargée.
Un ebille ponctuelle de masse m est posée au 25.2. Les bosses de la piste sont régulièrement es-
repos au centre G0 du fond d’une gouttière fixe en pacées de 1,5 m :
demi-cercle de rayon R = OG = OG0 = 14 cm. On
l’écarte du centre G0 d’un angle θm = 0, 15 rad et a. Pourquoi faut-il éviter de tire la re-
on l’abandonne dans vitesse initiale à la date t = morque à une certaine vitesse ?
0. On repère sa position à la date t 6= 0 par l’angle b. Déterminer la valeur numérique de cette
θ = (OG \
0 ; OG). vitesse.

189 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

a. Exprimer la tension T du ressort, à une

date quelconque, en fonction de l’abs-
E •xe‰r€c‰i€ce 26
cisse x du centre d’inertie du solide.
Un tige AB de masse négligeable, mesurant 1,20 b. Les frottements étant négligeables, éta-
m, peut osciller sans frottement dans un plan verti- blir l’équation différentielle du mouve-
cal autour d’un axe horizontal (D), perpendiculaire ment de (S) sur le plan incliné. Calcu-
à AB et passant par O de AB. ler la période propre des oscillations et
Une masse ponctuelle mA = 50 g est placée en écrire l’équation horaire du mouvement.
A. c. Les forces de frottement sont maintenant
On écarte la tige de sa position d’équilibre stable proportionnelles à la vitesse du solide :
d’un petit angle et on l’abandonne sans vitesse ini- f~ = −b~v .
tiale. – Établir l’équation différentielle de l’os-
26.1. Établir la relation qui donne la période T des cillateur dans ce cas.
petites oscillations – Cet oscillateur est-il libre non amorti
ou forcé et amorti ?
26.2. Pendant 4 minutes, le système effectue 120 os-
cillations. Quelle est la valeur de la distance
OA ? E •xe‰r€c‰i€ce 28

26.3. Une masse ponctuelle mB = 2mA est placée Un dispositif solide-ressort constitué d’un res-
en B. sort de raideur k = 35 N.m−1 et d’un solide de
a. Calculer le moment d’inertie de ce nou- masse m = 200 g, est relié à un excitateur de fré-
veau système par rapport à (D) et don- quence f . L’amortissement est faible.
ner la position du centre d’inertie. 28.a. Rappeler l’expression de la fréquence propre
b. Donner la période T’ des oscillations de f0 du dispositif, et calculer sa valeur.
faible amplitude de ce pendule. 28.b. Comparer qualitativement l’amplitude des os-
26.4. La tige AB, munie uniquement de la masse cillations du résonateur avec celle de l’excita-
mA , est maintenue horizontalement puis teur pour les valeurs suivantes de fréquences
abandonnée à elle-même sans vitesse initiale, de l’excitateur :
son axe de rotation étant toujours (D). Quelle
f1 = 0,02 Hz ; f2 = 2,0 Hz ; f3 = 80 Hz.
est la vitesse angulaire acquise par le système
au passage par sa position d’équilibre ?
E •xe‰r€c‰i€ce 29

E •xe‰r€c‰i€ce 27
On se propose de déterminer la raideur k d’un
ressort par deux méthodes.
Un solide (S) de masse m = 100 g, de centre
d’inertie G, peut se déplacer en translation sur la 29.a. On dispose de masses m de 100, 200, 300 et
ligne de plus grande pente d’un plan incliné d’un 400 g. On les suspend successivement au res-
angle α par rapport à l’horizontale. Au bas de la sort vertical, et on note son allongement ∆` :
pente, on dispose un ressort hélicoïdal à spires non 6,54 cm, 13,1 cm, 19,6 cm et 26,2 cm.
jointives (R), de raideur k = 50 N.m−1 et de lon- mg
gueur à vide `0 = 12 cm. Montrer que ∆` = . Représenter graphi-
k
quement ∆` en fonction de m, et en déduire
Le mouvement du solide est étudié dans le re-
k. On donne g = 9,81 m.s−2 .
père (O ; ~i). L’origine O du repère coïncide avec G0 ,
position au repos du centre d’inertie du solide. 29.b. On suspend la masse m = 200 g verticalement
au ressort, et on observe les oscillations ver-
ticales. On mesure 165 oscillations en 2 mi-
nutes. Sachant que la période propre des os-
cillations du système solide-ressort vertical est
la même que celle du système horizontal sans
frottement, en déduire la raideur k.
27.1. La longueur du ressort correspond à la posi-
29.c. Quelle est, en % et en N/m, la précision P(k)
tion d’équilibre est `1 = 11,5 cm. En négli-
faite sur la raideur k du ressort ?
geant les frottements dans cette position sta-
tique, calculer α.
E •xe‰r€c‰i€ce 30
27.2. On tire le ressort d’une amplitude xm = +4, 5
cm, le centre d’inertie du solide passe alors de Est-ce plus difficile de comprimer un ressort
G0 à GM , et on l’abandonne sans vitesse ini- pour diminuer sa longueur de 10 %, ou de le tendre
tiale. pour augmenter sa longueur de 10 % ?

190 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES

€o
A€c‰t‰i’vŠiˆté N 1

Un pendule de torsion est constitué d’un fil de torsion de masse négligeable, inextensible et de constante
de torsion C inconnue. L’une des extrémités du fil est fixée en un point O ; l’autre extrémité A, est soudée
au centre de gravité d’une tige homogène de masse m = 500 g et de longueur ` variable.
On se propose de déterminer, expérimentalement la valeur de la constante de torsion C.
Autour de la verticale du fil, on tourne la tige horizontalement d’un angle θ = 0,1 rad, puis on
l’abandonne sans vitesse initiale.
1- En appliquant le théorème du centre d’inertie en rotation, établir l’équation différentielle du mou-
vement.
2- Exprimer la période T des oscillations en fonction des paramètres m et C du système.
3- En déduire que la période T est proportionnelle à la longueur L de la tige.
4- Pour différentes valeurs de la longueur L, on a mesuré à l’aide d’un chronomètre, les valeurs corres-
pondantes de la période T. On a obtenu le tableau suivant :

L (m) 0,10 0,15 0,25 0,30 0,35

T (s) 0,85 1,28 2,13 2,56 3,00

Dans un repère orthonormé, tracer sur papier millimétré la courbe T = f(L).

Échelles : Abscisses : 2 cm pour 0,1 m ; Ordonnées : 2 cm pour 0,5 s.
4.1- À partir de la pente de cette courbe, déterminer la valeur expérimentale de la constante C.
4.2- Calculer l’énergie mécanique du système supposé pseudo-isolé pendant le mouvement.
On rappelle que le moment d’inertie d’une tige homogène de masse m et de longueur L par rapport
1
à son axe de rotation passant par son milieu est : J = mL2 .
12
€o
A€c‰t‰i’vŠiˆté N 2

Un pendule simple est constitué d’un fil OA de longueur ` = 1 m, portant à son extrémité extérieure
A, une bille de masse m = 100 g. On écarte ce pendule de sa position d’équilibre d’un angle α0 = 0, 1 rad
puis on l’abandonne sans vitesse initiale à la date t = 0.
1- Établir l’équation différentielle des oscillations du pendule.
2- Afin de déterminer la valeur de g de l’intensité de la pesanteur, on mesure pour différentes longueurs
` du fil du pendule, la durée t0 de 20 oscillations isochrones d’amplitude 0,1 rad. Les résultats sont
consignés dans le tableau suivant :

` (m) 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60

t0 (s) 17,94 25,37 31,06 35,88 40,12 43,95

T2 (s2 )

2.1- Pourquoi mesure-t-on la durée de plusieurs oscillations au lieu d’une seule ?

2.2- Citer les instruments nécessaires à la réalisation de cette expérience.
2.3- Pourquoi dit-on que les oscillations sont isochrones ?
2.4- Reproduire et compléter le tableau, puis tracer la courbe T2 = f(L).
Échelles : 1 cm → 0,1 m et 1 cm → 0,4 s2 .
2.5- En déduire la valeur de g au lieu de l’expérience et comparer la à 9,81 m.s−2 .

191 Physique - Terminale CDE

 APC-PHYSIQUE
€o
Sˆiˆt‰u€aˆt‰i€o”n‡ N 1

Afin de déterminer la longueur minimale `m de compression d’un ressort, on procède de la

manière suivante.
Un solide de masse m = 30 g, de petite dimension, est lâché avec une vitesse initiale nulle à
l’instant t = 0, d’une hauteur z = H = 60 cm. Il tombe sur un ressort vertical de raideur k
= 50 N.m−1 , de longueur à vide `0 = 20 cm, de masse négligeable. On donne g = 9,8 m/s2 .
À l’aide de vos connaissances, répondez brièvement aux tâches suivantes :
Tâches
1. Identifier le problème physique dans cet énoncé.
2. Déterminer, tout en laissant visibles les étapes, le raccourcissement minimal `m du
ressort.
€o
Sˆiˆt‰u€aˆt‰i€o”n‡ N 2

Un pendule simple est constitué d’un solide de masse m suspendu à un fil sans masse de longueur `.
On note α, l’angle que fait le pendule avec la verticale. On écarte le pendule d’un angle α0 , et on le lâche
sans vitesse initiale. Le pendule se met alors à osciller autour de la verticale. Après n = 10 oscillations
pour une durée d’une minute, le fil paraît plus long et semble alors se casser. À l’aide d’un dispositif
approprié, on constate que le fil casse si la vitesse atteinte par le pendule à la position la plus basse est
supérieure ou égale à 12,53 m/s. On donne g = 10 m.s−2 et π 2 ≈ 10.
À l’aide de vos connaissances et du texte, répondez brièvement à la tâche suivante.
Tâche
Prononce toi sur l’état du fil (cassé ou pas cassé) après les 20 oscillations.

Consigne : Prendre le niveau de référence des énergies potentielles au niveau α = 0.

€o
Sˆiˆt‰u€aˆt‰i€o”n‡ N 3

À l’équilibre, un ressort de constante de raideur k, a pour longueur à vide `0 = 20 cm. On donne g =

9,80 m.s−2 . On accroche à l’extrémité supérieure du ressort, un solide de masse m et le ressort s’allonge
chaque fois de 10 %. Les valeurs prises par m sont consignées dans le tableau :

m (g) 300 350 400 450 500 600

À l’aide de vos connaissances et du texte ci-dessus, répondre brièvement aux tâches ci-dessous :
Tâches

1 Quel est le nom de la loi physique mise en évidence par le texte ?

2 Déterminer et écrire convenablement la valeur de la constant k. Le taux de confiance est de 99 %.

€o
Sˆiˆt‰u€aˆt‰i€o”n‡ N 4

À l’aide d’un pendule simple de longueur `, M. TONGA veut connaître l’heure qu’il est dans un lieu
où g = 10 m.s−2 . Pour cela, il accroche une petite boule ponctuelle de masse m = 300 g. Les différentes
valeurs de la longueur ` sont :
0,1 m ; 0,2 m ; 0,3 m ; 0,4 m ; 0,5 m ; 0,6 m ; 0,7 m ; 0,8 m ; 0,9 m ; 1 m
À l’aide de vos connaissances et d’un raisonnement scientifique approprié, vérifier que l’expérience
réalisée par M. TONGA représente l’évolution du temps dans le temps, puis, donner conve-
nablement l’écriture du temps, si l’on considère le taux de confiance à 95 % pour un facteur
de qualité k = 2,13.

192 Physique - Terminale CDE