30/11/2022

Physique ondulatoire
Chap. II Ondes sonores dans les fluides

I-Mise en équation des ondes sonores -

Approximation acoustique

1-Hypothèses de travail
Fluide parfait (on néglige la viscosité et toutes les phénomène de
diffusion,…)
On néglige le poids; les seules forces qui intervient sont les forces de
pression. 
** forces pressantes : - grad ( P )d
 
* poids : .g.d
* forces de vis cos ité : .v.d
* forces d ’inertie d ’entraînement et de Coriolis :
 
- .ae .d et - .ac .d
si le référentiel R n’est pas galiléen.
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En absence d’une perturbation, on désigne; le fluide sera décrit par :

P0: pression au repos

µ0: masse volumique au repos
v0=0: particules fluides au repos

En présence d’une perturbation

P(M , t )  P0  p1 (M , t ) avec p1 (M , t ) t  0
µ(M , t )  µ0  µ1 (M , t) avec µ1 (M , t ) t  0
    
v ( M , t )  0  v1 ( M , t ) avec v1 ( M , t ) t
0

Approximation Acoustique
L’approximation acoustique consiste à considérer les grandeurs P1(M, t),
µ1(M, t), et v 1(M, t) ainsi que leurs dérivées, sont des infiniment petit
du même ordre. Les calculs seront alors menés à l’ordre 1. pour avoir
des équations linéaire
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2- les équations de couplage

équation de conservation de la masse
µ( M , t ) 
 div( µ( M , t ).v ( M , t ))  0
t
µ1 (M , t ) 
 µ0 div(v1 (M , t ))  0 (1)
t
équation de Navier-Stokes (équation du mouvement)

v       
µ  ( v . grad ) v   . g  gra d P   . .v + f
t 
v1 (M , t ) 
µ0  grad p1 (M , t )  0 (2)
t

Ces deux équations ne fournissent que 4 relations et font intervenir 5

inconnues : 3 pour chaque composante de la vitesse , P et µ. Il
manque donc une équation.

Par ailleurs, dans le cas d’un écoulement parfait, on néglige tous les
phénomènes diffusifs (diffusion thermique) de sorte que les échanges
thermiques puissent être négligés. L’évolution des particules de fluides
peut donc être considérée comme adiabatique.
D’autre part les déformation que subissent les tranches fluides sont assez lentes
pour assimiler l’évolution comme réversible. On en déduit que l’évolution est
adiabatique réversible, c’est-à-dire isentropique.

Alors on définit le coefficient de compressibilité isentropique:

1 µ Le coefficient de compressibilité isentropique est celui qui relie les

S  ( )S variations de masse volumique aux surpressions dans le modèle adopté
µ P
1 µ1
S  . (3)
µ0 p1
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3-Équations de propagation
Équation de propagation pour la surpression
 p1 
(3) et (2)  µ 0 .  S .  µ 0 div ( v1 )  0
t
p1 
  S .  div(v1 )  0 (4)
t
Considérons l’équation du mouvement (2). Ainsi que le résultat de

l’analyse vectoriel  P  div ( grad P )
On obtient 

µ0 . ( div (v1 ))  p1 (5)
t

1  2 p1 avec c 
1
(4) et (5)   P1  2 . 2  0 µ0 .S
c t

Équation de propagation pour la masse volumique

Considérons l’équation de conservation de la masse (1) et dérivons-la
par rapport à t. On obtient: µ1 (M , t ) 
 µ0 div(v1 (M , t ))  0 (1)
t
 2 µ1 ( M , t )  
2
 µ0 d iv ( v1 ( M , t ) )  0
t t

 2 µ1 ( M , t )   v1 ( M , t ) 
  µ 0 d iv   0
t 2  t 
En utilisant l’équation (2), on trouve
 2 µ1 ( M , t )   1
 2
 div ( grad P1 )  0 avec div ( grad )   etP1  µ1
t µ0  S

 2 µ1 (M , t ) 1
 µ1  0
t 2 µ0 .S
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Équation de propagation pour la vitesse

Dérivons l’équation (2) par rapport à t et permutons les dérivations
spatiale et temporelle
 :
 2 v1 ( M , t )   1  
µ0   grad ( P1 ( M , t ))  grad ( divv 1)
t 2 t S
 P1 1 µ
(3)    . 1
t µ0  S t
En utilisant l’équation de conservation de la masse (1), on trouve
  
 2 v1 ( M , t ) 1  
µ0 2
  grad ( P1 ( M , t ))  grad ( divv 1 )
t t S
  
En utilisant la formule du double rotationnel rot ( rotv1 )  grad ( divv1 )   v1

 La vitesse vérifier la même

 2 v1 1  1    équation de d’Alembert que
  v1  rot ( rotv1 ) la surpression et la surdensité
 t 2 µ0 . S µ0 . S au double rotationnel près.

le rotationnel de l’équation (2) nous donne:

 
   
  r o t ( g r a d P1 )  0   ( rotv1 ) indépendant du tem p s
 r o tv1
µ0
t
Alors il s’identifie à sa valeur moyenne
dans le temps (sur une durée τ) d’où
  1 
  1    
rotv1  rotv1   rotv1dt  rot  v1dt  rot v1
  0
 0
    
et comme v1  0  rotv  0
On en déduit que la vitesse du fluide vérifie l’équation de d’Alembert
 
 2 v1 1 
  v1  0
t 2 µ 0 . S
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Conclusion
Dans le modèle d’un écoulement parfait et l’approximation acoustique,
la surpression P1, la vitesse v 1 ou la surdensité µ1 vérifient la même
équation de propagation, appelée équation de d’Alembert :

1 2 f 1
f  2 .  0 a ve c c 
c t 2 µ0  S

II -Ondes sonores planes progressives

1-Décomposition des solutions en ondes planes

Nous avons obtenu trois équations de d’Alembert à 3 dimensions, et

nous ne nous intéresserons dans cette section qu’à celle régissant la
surpression
1  2 P1
 P1  2 . 2  0
c t
On cherche les solutions sous la forme d’onde plane, c’est-à-dire
telles que la surpression soit constante dans tout plan
perpendiculaire à une direction fixe (dépendance avec une seule
coordonnée d’espace).
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   
soit eu   u x   u y   u z un vecteur unitaire pointant dans une
direction fixe de l’espace par rapport au référentiel d’étude.

Soit M(x, y, z) un point de l’espace

La projection H du point M(x, y, z) sur l’axe (Ou), défini par le vecteur
  
unitaire e u a donc pour abscisse u avec: u  eu .r   x   y   z
Tous les points du plan P perpendiculaire à
la direction (Ou) ont la même abscisse u sur
cet axe. Alors lorsque la surpression ne
dépend spatialement que de u, cette dernière
est constante dans un plan

u = cste : on parle d’onde plane d’axe e u

Supposons que P1 = P1(u, t) et exprimons le laplacien de P1 :

 2 P1  2 P1  2 P1
 P1   
x 2 y 2 z 2
  P1  u  P1
  .
 x x u  
  P1  u  P1 a v e c u  eu .r   x   y   z
  .
 y y u
  P1  u  P1
  .
 z z u   P1  P1
   .
 x u
  P1  P1
s o it    .
 y u
  P1  P1
   .
 z u
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  2 P1 2
2  P1
 2
  .
 x u 2
  2 P1 2
2  P1
  2
  .
 y u 2
 2P 2
2  P1
1
   .
 z 2 u 2

 2 P1
Finalement , le laplacien vaut  P1 
u 2

Une onde plane de vecteur e u vérifie alors l’équation de d’Alembert
unidimensionnelle
 2 P1 1  2 P1
 2  0
u 2 c t 2

2. Ondes planes progressives monochromatiques et vecteur d’onde

Toute onde solution de l’équation de d’Alembert peut être

décomposée en une somme d’ondes planes.
Chaque onde plane peut être décomposée en deux ondes planes
progressives.
Chaque onde plane progressive peut être décomposée en une somme
d’ondes planes progressives monochromatiques.

Une onde plane progressive monochromatique se propageant dans la


direction u est donc de la forme
    
u.r    avec k  u vecteur d ’onde
P(t  )  Pm cos t  u.r )   Pm cos t  k .r )  c
c  c 
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3. Caractère longitudinal des ondes sonores

Dans l’approximation acoustique, nous avons montré que l’écoulement
associé à une onde sonore était irrotationnel.
  
rotv1  0 en tout poi nt

Considérons une OPPM de vecteur d’onde k et utilisons les notations
complexes de sorte que   i (  t  k . r )
v1  v m e
     
 rot ( v1 )    v1  (  ik )  v1  0
 
On en déduit que v 1 est colinéaire à la direction de propagation k .

Propriété : Les ondes sonores sont des ondes longitudinales car le

mouvement du fluide se fait le long de la direction de propagation de l’onde.

III -Aspect énergétique des ondes sonores

1. Puissance échangée à travers une surface

On considère un fluide dans lequel se propage une onde sonore. On note


P0 la pression qui règne dans le fluide au repos ainsi que P1 et v 1
respectivement la surpression et la vitesse du fluide au passage de l’onde.

On imagine un élément de surface dS orienté, centré en un point M et

séparant le fluide en une partie gauche et une partie droite.
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La force exercée, au point M par

 la partie gauche
 sur la partie droite est
d F  P . d S  ( P0  P1 ) . d S
la puissance reçue par la partie droite du fluide vaut

La puissance totale P transmise par la partie gauche du fluide à la

partie droite du fluide à travers une surface S s’obtient par intégration
La pression P0 étant supposée indépendante
du temps, on constate que la puissance
associée est nulle en valeur moyenne dans
le temps :
 
Cette puissance est le flux du vecteur   P1 .v1 à travers la surface S.
 
Le vecteur   P1 .v1 est le vecteur densité de puissance sonore.
Π s’exprime en W.m−2 .

2. Énergie d’une onde sonore

Considérons un volume V (Σ) contenu dans une surface fictive Σ, fermée

et fixe. Le fluide contenu dans V (Σ) cède de la puissance au fluide situé
hors de la surface Σ. Par conservation de l’énergie, on a donc

Où ɛV (Σ) est l’énergie contenue dans V (Σ)

En introduisant l’énergie volumique e, on a  V (  )   edV

V ()
d  V ( ) d e
et   e dV   dV
dt dt V ( ) V ( ) t
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e  
 V (  ) t dV   
 1 1 .dS
P v

e 
Green  Ostrogradky   dV    div( Pv
1 1 ) dV
V (  ) t V ()

Ce résultat étant valable pour tout volume V (Σ), on obtient une

relation locale en faisant tendre ce volume vers un point. Ainsi

e  
  d i v ( P1 v 1 )   d i v 
t
C’est L’équation de conservation de l’énergie

   
On a div ( p1v1 )  p1div (v1 )  v1 grad p1

v1 (M , t ) 
L’équation (2) permet d’écrire µ0  grad p1 (M , t )  0 (2)
t

   v1 ( M , t )  1
v1 grad p1 ( M , t )   µ0 v1 =- ( µ0 v 21 )
t t 2
D’autre part, l’équation de conservation de la masse donne
 1  µ1 ( M , t )
d iv ( v1 ( M , t ))  
µ0 t
On a aussi µ1 =µ 0 .  S . P1

 P  1
 P1div ( v1 ( M , t ))    S .P1 1   (  S .P12 )
t t 2
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On en déduit

e   1 1
  d i v ( P1 v 1 )  ( µ 0 v 12   S P1 2 )
t t 2 2
On peut donc définir une énergie volumique associée à l’onde sonore

1 1
e  µ 0 v 12   S P1 2
2 2

IV-Réflexion et transmission d’une OPP sous incidence normale

1. Conditions aux limites

a) Passage entre deux milieux de même section

On considère une OPP(+) incidente sur un "dioptre acoustique",

c’est à dire une interface plane, perpendiculaire à l’axe x, et infinie
suivant les deux autres directions de l’espace. Cette interface sépare
deux milieux fluides différents
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On supposera que dans le cadre de l’approximation acoustique pour

laquelle v1 ≪ c, on peut négliger le déplacement de l’interface
devant la longueur d’onde, de telle sorte que l’interface reste fixe
dans le plan x = 0 lors du passage de l’onde sonore.
Pour tout point MI de l’interface, on aura donc à tout instant t :
v '1(MI , t)  v ''1(MI , t)
Cette relation est évidente, car s’il n’y avait pas continuité des vitesses,
une couche vide se créerait ou les deux milieux s’inter-pénètreraient.
Par ailleurs, on peut appliquer le principe fondamental de la dynamique
à un élément de surface dS du "dioptre". Le dioptre étant d’épaisseur
nulle, il est aussi de masse nulle de sorte que
0  ( P0  p1 ') dS  ( P0  p1 '') dS

soit p '1 ( M I , t )  p ''1 ( M I , t )

Cette seconde relation se déduit simplement de l’égalité des pressions,
et donc des surpressions, de chaque côté de l’interface.
b) Passage entre deux milieux de sections différentes
Dans le cas où les deux milieux ne présentent pas la même section :
il y a toujours égalité des pressions au niveau du changement de
section de sorte qu’en un point MI de l’interface :
P ′1(MI, t) = P1”(MI, t)
⋆ il y a égalité du débit volumique de part et d’autre de l’interface de
sorte qu’en un point MI de l’interface :

S′v′1(MI, t) = S”v1”(MI, t)
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2-Coefficients de réflexion et de
transmission en amplitude
On considère une OPPM incidente sur une interface entre deux
milieux de même section, perpendiculaire à la direction de
propagation de l’onde. L’interface est située en x = 0.
La vitesse vi et la surpression (on la note pi) associées à cette onde
incidente sont de la forme

v i  A i e i (  t  kx ) et p i  µ0 c A i e i (  t  kx )
Au niveau de l’interface, l’onde incidente génère une onde transmise
dans le milieu 2, caractérisée par pt et vt. Si les ondes dans les deux
milieux étaient des ondes planes progressives (OPP), on aurait, au
niveau de l’interface pi p
 t par continuité  µ '0 .c '  µ ''0 .c ''
vi vt

Il est indispensable de tenir compte d’une onde réfléchie. L’OPPM

incidente donne alors naissance à une OPPM transmise t et une
OPPM réfléchie r. La vitesse et la pression pour chacune de ces ondes
sont de la forme

vr  Ar ei (r t kr x ) et pr  µ0cAr ei (r t kr x )  onde réfléchie

vt  At ei (t t kt x) et pt  µ ''0 c '' At ei (t t kt x )  onde transmise 

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a) Relation entre les pulsations

Les relations de passage à l’interface s’écrivent pour la vitesse en x = 0,
i t i r t i t t
v i  v r  v t soit A i e  Are  At e
Les exponentielles formant un système libre dans l’espace des fonctions
infiniment dérivables, on a nécessairement, si Ai , A r , At  0 ,
des exponentielles "liées" soit r  t  
r  t 
 k r    k et k   
c c c ' c 

b) Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude

On appelle coefficients de réflexion et de transmission pour la vitesse

les coefficients complexes Rv et T v définis pour des OPPM par

vr vt
Rv  et Tv  sur l’int erface
vi vi

De la même manière, les coefficients de réflexion et de transmission

pour la surpression sont définis par

pr pt
R p  et T p  su r l ’ in t er fa ce
pi pi
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V-Impédance acoustique
Définition :
P1
On définit l’impédance acoustique d’une OPPM par Z 
v1

P 1 et v 1 sont les grandeurs complexes associées à la pression et à

la vitesse d’une onde sonore plane progressive monochromatique.
Cherchons l’expression de l’impédance acoustique d’une OPPM. Pour
ce faire, utilisons à nouveau l’équation d’Euler

v1 (M , t ) 
µ0  gradP1 (M , t )  0 (2)
t
  i (  t  k r ) 
i ( t  k r )
grandeurs v1  v m e et p 1  p m e
complexes

Injectons ces expressions dans l’équation d’Euler

 i (  t  k r )   
i ( t  k r )
 0 ( i ) v m e =- p 1  ik p m e


 k
  vm = pm
 0 .
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 
si k  k u a v e c k  0 ( p r o p a g a ti o n v e r s le s u c r o i s s a n t s ) , o n a

 k 
  vm = pm u
 0 .
 
s i k   k u a v e c k  0 ( p r o p a g a tio n v e r s le s u d é c r o is s a n ts ) ,
on a
 k 
  vm =- p m u
 0 .
Alors Dans les deux cas:

P 1 et v 1 vibrent en phase de sorte que l’on écrira, en notations

réelles
p1  Z v1 avec Z   µ0 c