Mathématiques 1: Étude de Certaines Matrices Symplectiques

Mathématiques 1
2020
PC
4 heures Calculatrice autorisée
Étude de certaines matrices symplectiques

L’objet du problème est de définir et étudier la notion de matrice symplectique, et d’établir des résultats de
réduction dans certains cas particuliers.
Vocabulaire et notations
Dans tout le problème, 𝑛 désigne un entier naturel non nul et 𝐽𝑛 la matrice carrée de ℳ2𝑛 (ℝ) définie par blocs
par
0𝑛,𝑛 𝐼𝑛
𝐽𝑛 = ( )
−𝐼𝑛 0𝑛,𝑛
où 0𝑛,𝑛 est la matrice nulle à 𝑛 lignes et 𝑛 colonnes et 𝐼𝑛 est la matrice identité de même taille.
Si 𝑝 et 𝑞 sont deux entiers naturels non nuls, la matrice transposée de toute matrice 𝑀 de ℳ𝑝,𝑞 (ℝ) est notée 𝑀 ⊤ .
On dit qu’une matrice 𝑀 de ℳ2𝑛 (ℝ) est symplectique si et seulement si 𝑀 ⊤ 𝐽𝑛 𝑀 = 𝐽𝑛 . On désigne par Sp2𝑛 (ℝ)
l’ensemble des matrices symplectiques de taille 2𝑛 × 2𝑛.
On note 𝒪2𝑛 (ℝ) le groupe orthogonal de ℳ2𝑛 (ℝ), 𝒮2𝑛 (ℝ) l’ensemble des matrices symétriques de ℳ2𝑛 (ℝ) et
𝒜2𝑛 (ℝ) l’ensemble des matrices antisymétriques de ℳ2𝑛 (ℝ).
Soit 𝐸 un ℝ-espace vectoriel. On appelle forme bilinéaire sur 𝐸 toute application 𝜓 définie sur 𝐸 × 𝐸 et à valeurs
dans ℝ telle que pour tout 𝑌 ∈ 𝐸,
𝑋 ↦ 𝜓(𝑋, 𝑌 ) et 𝑋 ↦ 𝜓(𝑌 , 𝑋)
soient toutes les deux linéaires sur 𝐸.
Soit 𝜓 une forme bilinéaire ; 𝜓 est dite alternée si et seulement si, pour tout 𝑋 ∈ 𝐸, 𝜓(𝑋, 𝑋) = 0 ; 𝜓 est dite
antisymétrique si et seulement si, pour tout (𝑋, 𝑌 ) ∈ 𝐸 2 , 𝜓(𝑋, 𝑌 ) = −𝜓(𝑌 , 𝑋).
Si 𝑖 et 𝑗 sont deux entiers naturels, on note 𝛿𝑖,𝑗 le nombre qui vaut 1 si 𝑖 = 𝑗 et qui vaut 0 sinon.
On note 𝑒𝑖 la matrice colonne élémentaire dont le seul coefficient non nul vaut 1 et est placé sur la ligne numéro 𝑖.
On munit ℳ2𝑛,1 (ℝ) du produit scalaire canonique noté ⟨⋅, ⋅⟩ et de la norme euclidienne associée, notée ‖⋅‖. En
identifiant ℳ1 (ℝ) et ℝ, on a, pour tous 𝑋 et 𝑌 dans ℳ2𝑛,1 (ℝ),
⟨𝑋, 𝑌 ⟩ = 𝑋 ⊤ 𝑌 et ‖𝑋‖2 = 𝑋 ⊤ 𝑋.
Si 𝑋 ∈ ℳ2𝑛,1 (ℝ), 𝑋 ⊥ désigne l’orthogonal de 𝑋, c’est-à-dire l’ensemble des éléments 𝑌 de ℳ2𝑛,1 (ℝ) tels que
⟨𝑋, 𝑌 ⟩ = 0. Si 𝐹 est un sous-espace vectoriel de ℳ2𝑛,1 (ℝ), 𝐹 ⊥ désignera l’orthogonal de 𝐹, c’est-à-dire l’ensemble
des éléments de ℳ2𝑛,1 (ℝ) qui sont orthogonaux à tous les éléments de 𝐹.
Si 𝐴 est une matrice de ℳ2𝑛 (ℝ), on notera spℝ (𝐴) l’ensemble des valeurs propres réelles de 𝐴.
Si 𝐴 est une matrice de ℳ2𝑛 (ℝ) et 𝜆 est une de ses valeurs propres, on notera 𝐸𝜆 le sous-espace propre de 𝐴
associé à la valeur propre 𝜆.
Soit 𝐸 un espace vectoriel et 𝑋1 , …, 𝑋𝑝 des vecteurs de 𝐸. On note Vect(𝑋1 , …, 𝑋𝑝 ) l’espace vectoriel engendré
par 𝑋1 , …, 𝑋𝑝 .
Soit 𝐴 une matrice de ℳ2𝑛 (ℝ) et 𝐹 une partie de ℳ2𝑛,1 (ℝ). On dit que 𝐹 est stable par 𝐴 si et seulement si,
pour tout 𝑋 dans 𝐹, 𝐴𝑋 est un élément de 𝐹.
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I Cas des matrices de taille 2 × 2
Q 1. Dans cette question uniquement, 𝑛 est un entier naturel non nul quelconque. Déterminer 𝐽𝑛2 et montrer
que 𝐽𝑛 ∈ Sp2𝑛 (ℝ) ∩ 𝒜2𝑛 (ℝ).
Dans la suite de cette partie, 𝑛 = 1.
Q 2. Montrer qu’une matrice de taille 2 × 2 est symplectique si et seulement si son déterminant est égal
à 1.
𝑥 𝑦
Q 3. Soit 𝑀 une matrice orthogonale de taille 2×2. On note 𝑀1 = ( 1 ) et 𝑀2 = ( 1 ) les deux colonnes
𝑥2 𝑦2
de 𝑀. Montrer l’équivalence
𝑀 est symplectique ⟺ 𝑀2 = −𝐽1 𝑀1 .
Q 4. Soit 𝑋1 ∈ ℳ2,1 (ℝ) de norme 1. Montrer que la matrice carrée constituée des colonnes 𝑋1 et −𝐽1 𝑋1
est à la fois orthogonale et symplectique.
Q 5. Soit 𝑀 une matrice de taille 2 × 2 symétrique et symplectique. Montrer que 𝑀 est diagonalisable et
que ses valeurs propres sont inverses l’une de l’autre. Montrer qu’il existe une matrice 𝑃 à la fois orthogonale et
symplectique telle que 𝑃 −1 𝑀 𝑃 soit diagonale.
Q 6. Déterminer les matrices de taille 2 × 2 à la fois antisymétriques et symplectiques et montrer qu’elles
ne sont pas diagonalisables dans ℝ.
II Cas des matrices symplectiques et orthogonales

2
Soit 𝐾 une matrice antisymétrique et 𝜑 l’application de (ℳ2𝑛,1 (ℝ)) dans ℝ telle que
2
∀(𝑋, 𝑌 ) ∈ (ℳ2𝑛,1 (ℝ)) , 𝜑(𝑋, 𝑌 ) = 𝑋 ⊤ 𝐾𝑌 .
(On identifie de nouveau ℳ1 (ℝ) et ℝ.)

Q 7. Montrer que 𝜑 est une forme bilinéaire sur ℳ2𝑛,1 (ℝ).
Q 8. En calculant de deux manières 𝜑(𝑋, 𝑋)⊤ , montrer que 𝜑 est alternée. Montrer de même que 𝜑 est
antisymétrique.
Dans toute la suite du sujet, 𝐾 = 𝐽𝑛 .
𝑥1 𝑦1
⎛
⎜ 𝑥2 ⎞⎟ ⎛
⎜ 𝑦2 ⎞
⎟∈ℳ
Q 9. Pour tout 𝑋 = ⎜
⎜ ⋮ ⎟ ⎟ ∈ ℳ 2𝑛,1 (ℝ) et pour tout 𝑌 = ⎜
⎜ ⋮ ⎟ ⎟ 2𝑛,1 (ℝ), montrer l’égalité
⎝ 𝑥2𝑛 ⎠ ⎝ 𝑦2𝑛 ⎠
𝑛
𝜑(𝑋, 𝑌 ) = ∑(𝑥𝑘 𝑦𝑘+𝑛 − 𝑥𝑘+𝑛 𝑦𝑘 ).
𝑘=1
Q 10. Montrer que pour tout (𝑖, 𝑗) ∈ {1, …, 2𝑛}2 , 𝜑(𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 𝛿𝑖+𝑛,𝑗 − 𝛿𝑖,𝑗+𝑛 (on pourra commencer par le cas
où (𝑖, 𝑗) ∈ {1, …, 𝑛}2 puis généraliser).
Q 11. Montrer que pour tout 𝑋 ∈ ℳ2𝑛,1 (ℝ), 𝐽𝑛 𝑋 ∈ 𝑋 ⊥ et calculer 𝜑(𝐽𝑛 𝑋, 𝑋).
Q 12. Si 𝑌 ∈ ℳ2𝑛,1 (ℝ), on note 𝑌 𝐽𝑛 l’ensemble des vecteurs 𝑍 de ℳ2𝑛,1 (ℝ) tels que 𝜑(𝑌 , 𝑍) = 0. Montrer
que 𝑋 = (𝐽𝑛 𝑋)⊥ .
𝐽𝑛
Q 13. Soit 𝑃 une matrice symplectique et orthogonale dont les colonnes sont notées 𝑋1 , …, 𝑋2𝑛 . Montrer
que, pour tout (𝑖, 𝑗) ∈ {1, …, 2𝑛}2 ,
⎧ ‖𝑋 ‖ = 1
{ 𝑖
𝑖 ≠ 𝑗 ⟹ 𝑋𝑖 ⊥ 𝑋𝑗
⎨
{
⎩ 𝜑(𝑋𝑖 , 𝑋𝑗 ) = 𝛿𝑖+𝑛,𝑗 − 𝛿𝑖,𝑗+𝑛
Q 14. Sous les mêmes hypothèses, montrer que, pour tout 𝑖 ∈ {1, …, 𝑛}, 𝑋𝑖 𝑛 = 𝑋𝑖+𝑛 .
𝐽 ⊥
Q 15. Sous les mêmes hypothèses, montrer que, pour tout 𝑖 ∈ {1, …, 𝑛}, 𝑋𝑖+𝑛 = −𝐽𝑛 𝑋𝑖 .
III Quelques généralités sur les matrices symplectiques

Q 16. Montrer que le déterminant d’une matrice symplectique vaut soit 1 soit −1.
Q 17. Montrer que l’inverse d’une matrice symplectique est une matrice symplectique.
Q 18. Montrer que le produit de deux matrices symplectiques est une matrice symplectique. L’ensemble
Sp2𝑛 (ℝ) est-il un sous-espace vectoriel de ℳ2𝑛 (ℝ) ?
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IV Réduction des matrices symétriques et symplectiques
Le but de cette partie est de montrer que, si 𝑀 ∈ 𝒮2𝑛 (ℝ) ∩ Sp2𝑛 (ℝ), il existe 𝑃 ∈ 𝒪2𝑛 (ℝ) ∩ Sp2𝑛 (ℝ) tel que
𝑃 ⊤ 𝑀 𝑃 est diagonale de coefficients diagonaux 𝑑1 , …, 𝑑2𝑛 avec pour tout 𝑘 ∈ {1, …, 𝑛}, 𝑑𝑘+𝑛 = 1/𝑑𝑘 .
IV.A – Propriété
Soit 𝑀 ∈ 𝒮2𝑛 (ℝ) ∩ Sp2𝑛 (ℝ).
Q 19. Montrer que si 𝜆 est valeur propre de 𝑀, 1/𝜆 est également valeur propre de 𝑀. Donner un vecteur
propre associé.
Q 20. Soit 𝜆 ∈ spℝ (𝑀 ) et 𝑝 = dim 𝐸𝜆 . Soit (𝑋1 , …, 𝑋𝑝 ) une base de 𝐸𝜆 . Montrer que (𝐽𝑛 𝑋1 , …, 𝐽𝑛 𝑋𝑝 ) est
une base de 𝐸1/𝜆 et que
dim(𝐸𝜆 ) = dim(𝐸1/𝜆 ).
Q 21. Soient 𝑌1 , …, 𝑌𝑝 des vecteurs de ℳ2𝑛,1 (ℝ). Soit 𝑌 ∈ ℳ2𝑛,1 (ℝ). Montrer l’implication
⊥ ⊥
𝑌 ∈ (Vect(𝑌1 , …, 𝑌𝑝 , 𝐽𝑛 𝑌1 , …, 𝐽𝑛 𝑌𝑝 )) ⟹ 𝐽𝑛 𝑌 ∈ (Vect(𝑌1 , …, 𝑌𝑝 , 𝑌 , 𝐽𝑛 𝑌1 , …, 𝐽𝑛 𝑌𝑝 )) .
Q 22. Dans cette question 𝜆 = 1. Montrer que 𝐸1 est de dimension paire et qu’il existe une base de 𝐸1
orthonormée de la forme (𝑋1 , …, 𝑋𝑝 , 𝐽𝑛 𝑋1 , …, 𝐽𝑛 𝑋𝑝 ) où 2𝑝 est la dimension de 𝐸1 .
Q 23. Qu’en est-il pour 𝐸−1 ?
Q 24. Démontrer la propriété annoncée au début de la partie.
IV.B – Mise en application sur un exemple

Dans la fin de cette partie, on note 𝐴 la matrice
9 1 3 3
1⎛ 1 9 3 3⎞
𝐴= ⎜
⎜ ⎟
⎟.
8⎜ 3 3 9 1⎟
⎝3 3 1 9⎠
Q 25. Montrer que 𝐴 ∈ 𝒮4 (ℝ) ∩ Sp4 (ℝ).

Q 26. Construire une matrice orthogonale et symplectique 𝑃 telle que 𝑃 ⊤ 𝐴𝑃 soit diagonale.
V Étude du cas des matrices antisymétriques

V.A – Un peu de théorie
Soit 𝑀 ∈ 𝒜2𝑛 (ℝ) ∩ Sp2𝑛 (ℝ). Soit 𝑚 l’application linéaire canoniquement associée à 𝑀.
Q 27. Montrer l’égalité spℝ (𝑀 ) = ∅.
Q 28. Montrer qu’il existe 𝑃 ∈ 𝒪2𝑛 (ℝ) ∩ Sp2𝑛 (ℝ) tel que 𝑃 ⊤ 𝑀 2 𝑃 soit diagonale de coefficients diagonaux
𝑑1 , …, 𝑑2𝑛 avec pour tout 𝑘 ∈ {1, …, 𝑛}, 𝑑𝑘+𝑛 = 1/𝑑𝑘 .
Dans toute la suite de cette sous-partie, 𝑋 désigne un vecteur propre de 𝑀 2 de norme 1 associé à une certaine
valeur propre 𝜆.
Q 29. Montrer que 𝑀 𝑋, 𝐽𝑛 𝑋 et 𝐽𝑛 𝑀 𝑋 sont des vecteurs propres de 𝑀 2 et donner les valeurs propres
associées à chacun de ces vecteurs.
Q 30. Dans cette question et dans la suite, on note 𝐹 = Vect(𝑋, 𝑀 𝑋, 𝐽𝑛 𝑋, 𝐽𝑛 𝑀 𝑋). Montrer que 𝐹 est
stable par 𝑀 et par 𝐽𝑛 .
Q 31. Montrer que toutes les valeurs propres de 𝑀 2 sont strictement négatives.
Q 32. Justifier que si 𝜆 ≠ −1, 𝐹 est un espace vectoriel de dimension 4. Montrer que, dans ce cas,
−1 1
(𝑋, √ 𝑀 𝑋, −𝐽𝑛 𝑋, √ 𝐽𝑛 𝑀 𝑋)
−𝜆 −𝜆
est une base orthonormée de 𝐹. Donner alors la matrice de l’application 𝑚𝐹 induite par 𝑚 sur 𝐹 dans la base
obtenue.
Q 33. Montrer que 𝐹 ⊥ est stable par 𝑀 et par 𝐽𝑛 .
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Q 34. Montrer qu’il existe un entier naturel non nul 𝑞 et des sous-espaces vectoriels de ℳ2𝑛,1 (ℝ), notés
𝐹1 , …, 𝐹𝑞 tels que
(a) 𝐹1 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐹𝑞 = ℳ2𝑛,1 (ℝ) ;
(b) ∀𝑖 ∈ {1, …, 𝑞}, 𝐹𝑖 est stable par 𝑀 et par 𝐽𝑛 ;
(c) ∀𝑖 ∈ {1, …, 𝑞}, 𝐹𝑖⊥ est stable par 𝑀 et par 𝐽𝑛 ;
(d) ∀(𝑖, 𝑗) ∈ {1, …, 𝑞}2 , 𝑖 ≠ 𝑗 ⟹ ∀(𝑌 , 𝑍) ∈ 𝐹𝑖 × 𝐹𝑗 , ⟨𝑌 , 𝑍⟩ = 0 = 𝜑(𝑌 , 𝑍) ;
(e) ∀𝑖 ∈ {1, …, 𝑞}, dim 𝐹𝑖 ∈ {2, 4} ;
(f) ∀𝑖 ∈ {1, …, 𝑞}, la matrice de l’application 𝑚𝐹𝑖 induite par 𝑚 sur 𝐹𝑖 dans une certaine base est de la
forme
√
−𝜆𝐽1 02,2
𝐽1 ou ⎛
⎜ 1 ⎞
⎟.
02,2 √ 𝐽1
⎝ −𝜆 ⎠
V.B – Mise en application

Dans la fin de cette partie, on note 𝐵 la matrice
0 −5 0 −3
1⎛
⎜ 5 0 3 0 ⎞ ⎟
𝐵= ⎜ ⎟.
4 0 −3 0 −5 ⎟
⎜
⎝3 0 5 0 ⎠
1
⎛ 1⎞
Q 35. Calculer 𝐵2 ⎜
⎜
⎜1⎟
⎟.
⎟
1
⎝ ⎠
Q 36. Déterminer un réel 𝑎 et une matrice 𝑃 tels que
0 𝑎 0 0
⎛ −𝑎 0 0 0 ⎞
𝑃 ∈ 𝒪4 (ℝ) ∩ Sp4 (ℝ) et 𝑃 ⊤ 𝐵𝑃 = ⎜
⎜
⎜ 0 0
⎟
⎟.
0 1/𝑎 ⎟
⎝ 0 0 −1/𝑎 0 ⎠
• • • FIN • • •
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soient toutes les deux linéaires sur 𝐸.

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II Cas des matrices symplectiques et orthogonales

(On identifie de nouveau ℳ1 (ℝ) et ℝ.)

Dans toute la suite du sujet, 𝐾 = 𝐽𝑛 .

III Quelques généralités sur les matrices symplectiques

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IV.B – Mise en application sur un exemple

Q 25. Montrer que 𝐴 ∈ 𝒮4 (ℝ) ∩ Sp4 (ℝ).

V Étude du cas des matrices antisymétriques

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V.B – Mise en application

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