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EXERCICES
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1. La machine-outil no 4 sert à usiner une pièce. La caractéristique que l'on contrôle est le diamètre de la pièce usinée
dont les spécifications sont 20 +/- 0,5. Après avoir contrôlé un bon nombre d'échantillons, on a obtenu les statistiques
suivantes:

X = 20,1 ; R = 0,48 ; n = 5.
a) Quelles sont les limites de contrôle pour la carte X ?
b) Quelles sont les limites de contrôle pour la carte R?
c) En supposant que la carte R présente une dispersion sous contrôle, estimer l'écart- type du diamètre des pièces
usinées.
d) Déterminer la capabilité du procédé.
e) Calculer l'indice de capabilité Cpk. Comment peut-on qualifier le procédé?
f) Quel est l'intervalle de fabrication pour le diamètre des pièces?
g) Quelle est la proportion de pièces qui sont non conformes par défaut? Par excès?

2. Un procédé consiste à fabriquer une monture utilisée dans un produit d'éclairage. La caractéristique qui est
contrôlée pour cette phase de fabrication du produit est l'espacement des pinces lors de l'application d'une matière
émissive. Les spécifications sont 14 + 0,5 mm. Après 25 échantillonnages consécutifs de taille n = 5, on a obtenu les
résultats suivants:
 X j = 346,25 Rj = 11,63
a) Calculer les limites de contrôle pour les cartes X et R.
b) En supposant que la caractéristique est maîtrisée statistiquement, estimer le niveau moyen de l'espacement des
pinces ainsi que l'écart- type de l'espacement.
c) Calculer les indices de capabilité C, et Cpk.
d) Comment peut-on qualifier le procédé?
e) En supposant que la caractéristique de qualité est distribuée normalement, quel est vraisemblablement le
pourcentage de montures qui présentent un espacement des pinces non conforme aux spécifications?

3. La résistance à la rupture (en kilogrammes) d'une tige métallique est contrôlée à toutes les heures en prélevant un
échantillon de 5 tiges. Après dix échantillons, on enregistre les résultats suivants:

N°1 N°2 N°3 N°4 N°5 N°6 N°7 N°8 N°9 N°10
66,9 70,4 67,8 71,2 68,9 73,0 69,8 70,3 69,2 67,2
67,1 69,3 70,7 69,9 69,8 70,8 68,5 68,4 69,8 65,8
68,9 70,9 70,0 67,5 70,8 70,5 71,3 66,6 72,2 66,3
66,3 71,5 71,7 71,8 72,9 68,5 72,6 68,4 74,0 69,0
70,0 69,6 69,5 70,7 71,1 67,0 73,6 65,0 71,0 72,0

a) A l'aide de ces 10 échantillons, déterminer les limites provisoires de contrôle pour les cartes X et R.
b) Tracer les cartes; est-ce que le procédé semble sous contrôle?
c) Trois échantillons subséquents donnent les résultats suivants:

No11 No12 N°13

70,8 68,8 69,0
72,3 71,8 71,4
73,3 74,4 71,6
69,2 73,2 70,4
68,6 69,0 71,2

Est-ce que le procédé est toujours maîtrisé statistiquement?

d) Supposons que la résistance à la rupture est distribuée d'après une loi normale. Les spécifications du département

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d'ingénierie sont: 70 kg +/- 5 kg. D'autre part, les treize échantillons prélevés jusqu'à présent correspondent à une
production d'environ 6000 tiges. D'après les données que vous avez du procédé de fabrication, quelle quantité de tiges
sera probablement en dehors des spécifications?
e) Calculer l'indice Cpk.
f) Peut-on affirmer que le procédé est capable?
g) Quelle mesure corrective devrait-on entreprendre pour améliorer la valeur Cpk?

4. Des cartes X et R sont utilisées pour contrôler la valeur ohmique d'une résistance. Le tracé des cartes de contrôle
pour vingt échantillons successifs de taille 5 indiquent que le procédé est sous contrôle statistique:
X =99,53 R
=3,4
Les spécifications sont 100 ohms +/- 5.
a) Calculer l'indice de capabilité Cpk.
b) Est-ce que la valeur obtenue pour l'indice est suffisante pour déclarer que Cpk > 1,0 ?
c) Si on admet que la résistance ohmique est distribuée normalement, quel pourcentage de résistances seront
conformes aux spécifications?
d) Si l'on veut un indice de capabilité observé Cpk d'au moins 1,5, quel devrait être alors l'écart- type du procédé, si
l'on suppose que la valeur centrale du procédé est toujours 99,53 ohms?

5. On vérifie régulièrement la dureté en unités Rockwell d'un alliage. Les cartes de contrôle X et R indiquent un bon
contrôle statistique et le procédé est centré à 19,88. L'étude sur papier gausso arithmétique de cette caractéristique
permet de conclure à une distribution normale. La capabilité du procédé est 14,1. Les spécifications pour la dureté de
cet alliage sont Ti = 16, Ts = 24.

a) Calculer CPU et CPL.

b) Déterminer l'indice de capabilité Cpk.
c) Peut-on qualifier le procédé de capable?
d) Quel pourcentage est en dehors des spécifications?

6- Une carte de contrôle pour le nombre de non-conformités (carte c) indique un nombre moyen de non-conformités c
= 6,2. En supposant que la carte indique que le processus est sous contrôle,

a) Déterminer les limites de contrôle.

b) Quelle est la probabilité qu'un point de la carte se situe au-dessus de la limite supérieure de contrôle.

7- Une entreprise fabriquant des toiles de vinyle veut mettre en oeuvre une carte de contrôle pour le nombre de non-
conformités observées (éraflures, fissures, décoloration,...) sur des toiles de 60 m 2. Les résultats sur vingt
échantillons successifs sont les suivants:

Nombre de Nombre de
N° N°
non-conformités Non-conformités
1 0 11 2
2 1 12 8
3 5 13 2
4 4 14 0
5 0 15 3
6 2 16 1
7 3 17 4
8 4 18 2
9 8 19 1
10 4 20 2

a) Quel est le nombre moyen de non-conformités observées par toile contrôlée?

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b) A l'aide de ces 20 échantillons, déterminer les limites de contrôle pour la carte c.

c) En examinant la carte, que peut-on conclure?

c) Doit-on réviser les limites de contrôle pour les échantillons subséquents? Quelles seront alors les limites de contrôle?

8- Des sous-groupes comportant 4 unités sont vérifiés. Après le contrôle de 25 sous-groupes, on trouve un nombre
moyen de non-conformités pour l'ensemble des sous-groupes contrôlés de 2,4. Déterminer les limites de contrôle
pour la carte correspondante.

9 Pour chaque lot de production, 16 unités sont prélevées au hasard et sont vérifiées pour diverses non-conformités.
On a l'information suivante pour le contrôle de 10 lots.

N° du Nombre d'unités Nombre de

lot contrôlées non-conformités
1 16 18
2 16 20
3 16 24
4 16 21
5 16 16
6 16 27
7 16 22
8 16 21
9 16 23
10 16 20

a) Calculer le nombre moyen de non-conformités observées par unité.

b) Pour ces 10 échantillons, quel est le nombre moyen général de non-conformités observées?

c) Calculer les limites de contrôle pour la carte appropriée.

d) Existe-t-il des points à l'extérieur des limites de contrôle?

10-La compagnie BETONIX veut évaluer en chantier la qualité du béton pour sa résistance à la compression à l’age de
28 jours. Vingt cinq essais ont été effectués sur trois cylindres standards. La résistance à la compression en KG/cm²
pour chaque cylindre est présentée au tableau suivant
Essai
X1 X2 X3
X Etendue Essai X1 X2 X3 X Etendue
N° N°
35 35 34
1 344 361 14 355 344
7 4 17 5 348 11
37 36 33
2 347 368 15 352 352
1 2 24 4 346 18
34 34 34
3 342 341 16 363 347
6 3 5 6 352 17
36 35 34
4 351 349 17 353 344
2 4 13 7 348 9
37 34
5 354 350 18 343 354
3 4
35 35 34
6 352 360 19 356 367
0 4 10 5 356 22
35 35 35
7 347 357 20 339 343
5 3 10 9 347 20
33 33 35
8 341 328 21 341 345
0 3 2 346 11
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35 35
9 347 367 22 346 348
7 20 6 350 10
36 35 35
10 340 355 23 348 346
4 3 24 3
34 35 35
11 354 347 24 344 358
9 0 7 7 353 14
34 35 34
12 360 344 25 358 342
9 1 16 4 348 16
34 34
13 352 336
7 5 16

a) Calculer les limites de contrôle pour les cartes X et R.

b) Tracer les deux cartes de contrôle.
c) Peut-on conclure que ces deux cartes indiquent un bon contrôle sur la qualité du béton.
d) Eliminer les points hors contrôle s’il y a lieu et recalculer les limites de contrôle pour les cartes X et R.
e) Que peut-on conclure maintenant concernant la fluctuation de la résistance moyenne à la compression et de la
dispersion de la résistance ?
f) Voici les résultats pour les essais n° 26 à 29
Essai n° X1 X2 X3
26 346 338 343
27 342 330 345
28 345 339 338
29 340 344 336
Compléter les cartes de contrôle en vous servant des limites de contrôle obtenues en e)
g) Peut-on diagnostiquer que la caractéristique « résistance à la compression » n’est pas maîtrisée
statistiquement ? discuter

2- Des sous groupes comportant 4 unités sont vérifiés. Après le contrôle de 25 sous-groupes, on trouve un nombre
moyen de non-conformités pour l’ensemble des sous-groupes contrôlés de 2,4. Déterminer les limites de contrôle pour
la carte correspondantes.

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