Fodil HAMMADI

Chapitre 1 : Rappels mathématiques

Dans ce chapitre introductif, on présente quelques notions mathématiques issues de l’analyse
vectorielle et l’analyse tensorielles
Contenu :
1.1 Généralités Notations
1.2 Notion de tenseur
1.3 Opérateurs différentiels

1.1 : Notations :

 Convention de sommation ou convention d’Einstein:

3
v  v 1 e1  v 2 e 2  v 3 e 3  v i e i
i 1
n
S  a1b1  a2b 2  a3b3  ....  anb n   ai bi
i 1
3
C  c11  c 22  c 33   c ii
i 1

En utilisant la convention de sommation ou convention d’Einstein, les relations ci-dessus

peuvent s’écrivent :
3
v  v 1 e1  v 2 e 2  v 3 e 3  v i e i  v i e i
i 1
n
s  a1b1  a2b 2  a3b3  ....  an b n   ai bi  ai bi
i 1
3
c  c11  c 22  c 33   c ii  c ii
i 1

Dans ces expressions, on a enlevé le symbole  .Lorsqu’un indice est répété 2 fois dans un
même monôme, ça implique une somme sur l’indice répété. Cet indice est appelé indice muet.
Un indice non muet est appelé un indice franc ou libre.

 Dérivées partielles :

u  2v  3w
u ,i  ; v ,ij  ; w ,iij 
x i x i x j x i2 x j

 Symbole de Kronecker :

Le Symbole de Kronecker (Kronecker Delta) est une grandeur à 2 indices, noté par ij, est
défini par :

1
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1, si i  j
 ij  
0 , si i  j
C’est à dire : 11 = 22=33= 1 et12 = 13=21=31= 23= 32 = 0.
En forme matricielle le Kronecker Delta est la matrice identité définit en fonction des indices
libres i et j. Par exemple si (i et j) varient de 1 à 3,  ij est donné par la matrice de la forme :
 11  12  13  1 0 0 
 ij =  I  =   22 
 23  = 0 1 0 ;
 21  
 31  32  33  0 0 1

Propriétés du symbole  :

1. Symétrie :  ij =  ji
2. Trace :  ii  11   22   33  3 =  11 + 22+ 33= 3
3. Produit avec un vecteur :  ij vj = vi,  ij vi = vj
4. Produit avec un matrice :  ij ajk = aik ,,  jk aik = aij
5. Produit scalaire des vecteurs unitaires : e i .e j   ij ( e i  ij  e j
6. Trace d’une matrice :  ij .Aij  A ii  A jj  A11  A 22  A 33

1.2 : Notion de tenseur :

Les tenseurs sont la généralisation des scalaires, des vecteurs et des matrices. Un tenseur est un
opérateur mathématique qui désigne une quantité physique. La description d’un tenseur dépend
du repère de référence utilisé. Dans le cas tridimensionnel (d=3), il se caractérise par son ordre n
(Rang) et contient 3 n composantes :

- Tenseur d’ordre 0 : C’est un scalaire représenté par 1 seule composante (d0=30=1) et est
indépendant de tout système de référence (Exemple : masse, pression, température,..)

Exemple : u .v  u1v 1  u 2v 2  u 3v 3  u iv i

- Tenseur d’ordre 1 : C’est un vecteur caractérisé par 3 composantes (d1=31 =3) qui sont
associés à un système d’axes de référence (Exemples : déplacement, force, vitesse,
accélération,..)

Exemple : v  v 1 e1 v 2 e 2 v 3 e 3
v 1 
 
Notation matricielle (vecteur colonne ou ligne): v   v 2  ou v  v 1 v 2 v 3
v 
 3
v 1 
 
Notation indicielle : v i de composantes v 2 
v 
 3

- Tenseur d’ordre 2 : C’est une matrice caractérisée par 9 composantes (d2 =32 =9) dont
chacun est associé à deux axes (Exemples : (contraintes, déformations,…)

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Exemple : Tenseur de contrainte en notation indicielle et notation matricielle

 11  12  13 
 ij =     21  22  23  (i et j) varient de 1 à 3
 
 31  32  33 

- Tenseur d’ordre n : Grandeur possédant n composantes (dn=3 n).

Ordre n Entité Dimension Nbr. de

composantes Notation Indicielle Notation matricielle
d
(dn)
2 1 a
0 Scalaire
3 1 a
ai a1 
2 2 (i =1,2) a   
a2 
1 Vecteur ai a1 
3 3
(i=1, 2,3) a  a2 
a 
 3
aij a a 
(i et j) varient de 1 a   a11 a12 
2 4  21 22 
2 Matrice à2
(3x3) aij a11 a12 a13 
3 9 (i et j) varient de 1 a   a21 a22 a23 
à3
a31 a32 a33 

Remarque : Le rang ou l’ordre d’un tenseur caractérise son nombre d’indices.

1.2.1 : Construction d’un tenseur d’ordre 2

Définition : Un tenseur du second ordre noté T est un opérateur linéaire qui fait correspondre à
tout vecteur v de l’espace euclidien un vecteur u de ce même espace :

u T v

Cet opérateur peut être représenté par une matrice 3x3, telle que :
- En notation indicielle : u i  T ij v j
- En notation matricielle : u   T v  ( T  est la matrice associée au tenseur T )

1.2.2 : Propriétés :

 Un tenseur est dit symétrique si : T ij  T ji

 Un tenseur est dit antisymétrique si : T ij  T ji
 On peut toujours décomposer un tenseur en une partie symétrique et antisymétrique :

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 s T  tT
T  T T - T
t t T  Partie symétrique
2
T    T T avec 
s a

2 2 T a  T - tT
Partie antisymétrique
 2
 Valeurs propres et vecteurs propres d’un tenseur :

On appelle vecteur propre du tenseur T tous vecteur x non nul tel que T ( x )  ( x )
 : Valeur propre associé à x

- Pour déterminer les valeurs propres  , il faut résoudre l’équation : det (T   I )  0 

- Pour déterminer les vecteurs propres x , il faut résoudre l’équation vectorielle :
( T  I ) x  0

1.3 Opérateurs différentielles

1.3.1 : Opérateur Hamiltonien :

L’opérateur Hamilton ou le Hamiltonien est noté  et nommé Nabla :

  
 i  j k
x y z
a)- Gradient :

- Gradient d’une fonction scalaire f ( x , y , z ) est un vecteur :

 f f f
grad  f   f  i  j k
x y z

- Gradient d’une fonction vectorielle u ( u1( x , y , z ),u 2 ( x , y , z ),u 3( x , y , z )) est un tenseur

(Matrice) :
 u1 u1 u1 
 
 x y z 
 u u 2 u 2 
grad u    u   2 
 x y z 
 u u 3 u 3 
 3 
 x y z 
b)- Divergence :

- Divergence d’une fonction vectorielle u ( u1( x , y , z ),u 2 ( x , y , z ),u 3( x , y , z )) est un

scalaire :
      u1 u 2 u 3 
div u  u  
 x
i 
y
j
z
k

 
 . u1i  u 2 j  u 3k  
 x

y

z 

Ou

div u  tr( grad u )

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- Divergence d’un tenseur d’ordre 2 est un vecteur :

 A xx A xy A xz 
Soit un tenseur d’ordre 2 :  A   A yx A yy

A yz 
 A zx A zy A zz 

 A xx A xy A xz 
   
 x y z 
 A yx A yy A yz 
div  A     A      
 x y z 
 A A zy A zz 
 zx   
 x y z 

c)- Rotationnel :

- Le rotationnel d’un vecteur est un vecteur :

i j k
       
 

rot (u )    u       u1i  u 2 j  u 3k 
 x y z  x y z
u1 u2 u3
 u u   u u   u u 
 3  2 i   1  3  j   2  1 k
 y z   z x   x y 

1.3.2 : Opérateur Laplacien

2 2 2
L’opérateur Laplacien est noté  et nommé Delta :   2   
x 2 y 2 z 2

- Le Laplacien d’une fonction scalaire f ( x , y , z ) est un scalaire :

 2f  2f  2f
f  2f   
x 2 y 2 z 2

- Le Laplacien d’une fonction vectorielle u ( u1( x , y , z ),u 2 ( x , y , z ),u 3( x , y , z )) est un

vecteur
  2u1  2u1  2u1 
 2 2 2 
 x y z 
  u
2
 u 2  2u 2 
2
u   22   
 x  y 2
z 2 
  2u  2u  2u 
 23  3
 23 
 x y z 
2