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    sur 3

    Feuille d’exercices n˚14 : dérivation, convexité

    ECE3 Lycée Carnot

    9 mars 2012

    Exercice 1 (*)
    Calculer les dérivées des fonctions suivantes (en précisant si besoin sur quels intervalles la fonc-
    tion est dérivable). Si vous êtes courageux, vous pouvez enchainer sur un tableau de variations des
    fonctions dans les cas où le signe de la dérivée est facile à étudier (pour certaines, vous n’y arriverez
    pas).
    √
    • f1 (x) = x ln x − x • f2 (x) = x 1 − x • f3 (x) = x2x
    3 −x x2 − 2x + 3
    • f4 (x) = ln(3x2 + 2x) • f5 (x) = ex • f6 (x)
    2x + 5
    x x
    • f7 (x) = (1 − 2x)e−2x • f8 (x) = • f9 (x) =
    ln(x) + 1 ln(x + 1)
    2
    • f10 (x) = x × Ent(x) • f11 (x) = x2 − 2|x| • f12 (x) = 34x −1
    √
    x3 + 2x2 − x + 3 √ 2x x
    • f13 (x) = • f14 (x) = x ln(x)ex • f15 (x) =
    2x3 − 3x2 + x x+1
    √
    • f16 (x) = 3x − 5 − x2 • f17 (x) = xln(x) • f18 (x) = ln(1 + |x|)

    Exercice 2 (*)
    √
    Calculer (quand elles existent) les équations des tangentes en 0, 1, −2 et 3 de chacune des
    fonctions suivantes :
    • f (x) = √x2 − 3x + 1
    • g(x) = 2x − 1
    • h(x) = √ x ln(x + 3)
    • i(x) = x2 + 1ex
    x2
    • j(x) =
    x + ln(x + 1)

    Exercice 3 (** à ***)


    Faire une étude complète des fonctions suivantes (domaine de définition, limites et éventuels
    prolongements par continuité, asymptotes et branches infinies, dérivée et étude des variations, et
    enfin une allure de la courbe) :

    1
    √
    1. f (x) = x + 1 ln(x + 1)
    √
    2. g(x) = x + x2 − 1
    3. h(x) = ln(e2x − ex + 1)
    x2 − 3x + 1
    4. i(x) =
    2x2 − 5x − 3
    1
    5. k(x) = x x
    e2x
    6. l(x) =
    x2 − 1

    Exercice 4 (*)
    Soit f (x) = 6x5 − 15x4 + 10x3 + 1.
    1. Montrer que f réalise une bijection de R sur R.
    2. On note g la réciproque de f . Quel est le sens de variations de g ?
    3. Quel est le domaine de dérivabilité de g ?
    4. Représenter dans un même repère les courbes représentatives de f et de g, en indiquant les
    tangentes horizontales et verticales.

    Exercice 5 (**)
    ex − e−x
    On considère la fonction f définie par f (x) = .
    ex + e−x
    1. Montrer que f est définie sur R et bijective de R sur un intervalle à déterminer.
    2. En déduire l’existence, le domaine de définition et le tableau de variations de la fonction f −1 ,
    réciproque de f .
    3. Déterminer l’unique antécédent de 0 par f , en déduire la valeur de (f −1 )0 (0). Déterminer de
    même (f −1 )0 (1).
    4. Calculer plus généralement, pour tout x appartenant à Df −1 , une expression simple de f −1 (x)
    et de (f −1 )0 (x).

    Exercice 6 (***)
    Pour tout entier n ≥ 2, on définit sur [0; +∞[ les fonctions gn : x 7→ (n − x)ex − n et fn : x 7→
    xn
    si x > 0, prolongée par fn (x) = 0.
    ex − 1
    1. Étudier les variations de gn .
    2. Prouver l’existence d’un unique réel strictement positif an tel que gn (an ) = 0 et montrer que
    an ∈]n − 1; n[.
    3. Étudier la continuité de fn .
    4. Étudier la dérivabilité de fn et préciser, si elle existe, l’équation de sa tangente en 0.

    2
    5. Étudier les variations de fn (cela devrait faire intervenir les résultats de la question 2).
    6. Montrer que fn (an ) = (n − an )an−1
    n .
    7. Étudier la position relative des courbes représentatives de fn et fp lorsque p > n.
    8. Tracer dans un même repère les courbes représentatives de f2 et f3 (en choisissant une échelle
    adaptée).

    Exercice 7 (** à ***)


    Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de dérivabilité et étudier l’existence
    de tangentes (éventuellement verticales) aux pointsposant 
    problème.
    1 1
    • f (x) = ex+ x • g(x) = x2 ln 1 + 2
    √ √ x
    • h(x) = xe−x • i(x) = (1 −
    √ x) 1 − x2
    √ x x
    • j(x) = x x + x2 • k(x) = x prolongée par j(0) = 0
    e −1

    Exercice 8 (*)
    Soit f la fonction définie sur R par f (x) = (x − 1)e−x .
    1. Montrer que f est une fonction de classe C ∞ .
    2. Calculer les premières dérivées de f et essayer de conjecturer la forme de f (n) .
    3. Prouver cette conjecture par récurrence.

    Exercice 9 (**)
    1
    Soit f la fonction définie sur [0; 1[ par f (0) = 0, et pour x > 0, f (x) = .
    ln x
    1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur [0; 1[ (0 compris).
    2. Déterminer la convexité de f sur [0; 1[.
    3. Montrer que f possède un unique point d’inflexion sur cet intervalle et déterminer la tangente
    de f en ce point.
    4. Tracer une allure de la courbe représentative de f .

    Exercice 10 (** à ***)


    Étudier le plus complètement possible chacune des fonctions suivantes, en précisant notamment
    la convexité et la présence éventuelle de points d’inflexion (on finira bien évidemment l’étude par la
    tracé de courbes précises).
    1
    • f : x 7→ ln(1 + x2 ) • g : x 7→ e 1−x + 2x − 3
    √ 2 ln x + 3
    • h : x 7→ x 1 − x2 • i : x 7→
    x

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