Exercices de biostatistique

Rappel: pour visualiser la formule associée aux résultats obtenus, il vous suffit d'aller
cliquer sur la case concernée(uniquement dans excel et non avec "Adobe Acrobat") !!

Analyse de variance à deux critères (ANOVA 2)

Exercice 1

Dans trois fermes de vaches laitières, on a comparé la calcémie (en mgr %) des bêtes
lactantes en fonction de l'époque et du niveau de production. On a obtenu les résultats suivants:

Niveau de production Epoque

Février Avril Juillet Octobre Décembre
de 0 à 8 L. 104 113 116 110 98
de 8 à 15 L. 104 115 117 115 94
> 15 L. 104 116 118 113 97

Quelle est l'influence respective du facteur "époque" et du facteur "niveau de production" ?

H0: 1) Pas de différence entre les mois.

2) Pas de différence entre les niveux de production.

Février Avril Juillet Octobre Décembre Somme Moyenne

104 113 116 110 98 541 108,2
104 115 117 115 94 545 109
104 116 118 113 97 548 109,6
312 344 351 338 289 1634
104 114,6666667 117 112,6666667 96,33333333 108,9333333

Somme des carrés totaux.

24,33777778 16,53777778 49,93777778 1,137777778 119,5377778

24,33777778 36,80444444 65,07111111 36,80444444 223,0044444
24,33777778 49,93777778 82,20444444 16,53777778 142,4044444

SCT= 912,9333333

Somme des carrés "époque".

24,33777778 32,87111111 65,07111111 13,93777778 158,76

24,33777778 32,87111111 65,07111111 13,93777778 158,76
24,33777778 32,87111111 65,07111111 13,93777778 158,76

SC"époque"= 884,9333333

Somme des carrés "niveau de production".

0,537777778 0,537777778 0,537777778 0,537777778 0,537777778

0,004444444 0,004444444 0,004444444 0,004444444 0,004444444
0,444444444 0,444444444 0,444444444 0,444444444 0,444444444

SC"niveau"= 4,933333333

Somme des carrés erreur.

SCE= 23,06666667

Table d'analyse de variance.

Source SC Ddl Variance F P(>F)

Epoque 884,9333333 4 221,2333333 76,7283237 2,04009E-06
Niveau 4,933333333 2 2,466666667 0,855491329 0,460582289
Erreur 23,06666667 8 2,883333333
Total 912,9333333 14

Vu que seule la valeur du F pour "l'époque" est significativement différente (en effet, une telle
valeur de F a une probabilité de 2,04009E-06), nous refusons l'hypothése nulle relative à l'époque;
par contre, celle concernant le niveau de production est bel et bien acceptée (la valeur de F est
probabble dans 46,0582289% des cas.

Exercice 2

On compare les effets de 5 régimes sur la croissance de rats, pendant les 4 semaines qui
suivent le sevrage. On dispose de 8 nichées, chaque nichée comprenant autant de sujets qu'il y a
de régimes à comparer. Existe-t-il des différences entre les régimes, entre les nichées?

Traitements
A B C D E Somme
Nichées
I 57 64,8 70,7 68,3 76 336,8
II 55 66,6 59,4 67,1 74,5 322,6
III 62,1 69,5 64,5 69,1 76,5 341,7
IV 74,5 61,1 74 72,7 86,6 368,9
V 86,7 91,8 78,5 90,6 94,7 442,3
VI 42 51,8 55,8 44,3 43,2 237,1
VII 71,9 69,2 63 53,8 61,1 319
VIII 51,5 48,6 48,1 40,9 54,4 243,5
Somme 500,7 523,4 514 506,8 567 2611,9

H0: 1) Pas de différence entre les régimes.

2) Pas de différence entre les nichées.
Données Somme Moyenne
57 64,8 70,7 68,3 76 336,8 67,36
55 66,6 59,4 67,1 74,5 322,6 64,52
62,1 69,5 64,5 69,1 76,5 341,7 68,34
74,5 61,1 74 72,7 86,6 368,9 73,78
86,7 91,8 78,5 90,6 94,7 442,3 88,46
42 51,8 55,8 44,3 43,2 237,1 47,42
71,9 69,2 63 53,8 61,1 319 63,8
51,5 48,6 48,1 40,9 54,4 243,5 48,7
500,7 523,4 514 506,8 567 2611,9
62,5875 65,425 64,25 63,35 70,875 326,4875 65,2975

Somme des carrés totaux.

68,84850625 0,24750625 29,18700625 9,01500625 114,5435063

106,0385063 1,69650625 34,78050625 3,24900625 84,68600625
10,22400625 17,66100625 0,63600625 14,45900625 125,4960063
84,68600625 17,61900625 75,73350625 54,79700625 453,7965063
 458,0670063 702,3825063 174,3060063 640,2165063 864,5070063
542,7735062 182,1825063 90,20250625 440,8950062 488,2995062
43,59300625 15,22950625 5,27850625 132,1925063 17,61900625
190,3710063 278,8065062 295,7540062 595,2380062 118,7555063

SCT= 7584,06975

Somme des carrés "traitements".

7,3441 0,01625625 1,09725625 3,79275625 31,10850625

7,3441 0,01625625 1,09725625 3,79275625 31,10850625
7,3441 0,01625625 1,09725625 3,79275625 31,10850625
7,3441 0,01625625 1,09725625 3,79275625 31,10850625
7,3441 0,01625625 1,09725625 3,79275625 31,10850625
7,3441 0,01625625 1,09725625 3,79275625 31,10850625
7,3441 0,01625625 1,09725625 3,79275625 31,10850625
7,3441 0,01625625 1,09725625 3,79275625 31,10850625

SCTrait.= 346,871

Somme des carrés "nichées".

4,25390625 4,25390625 4,25390625 4,25390625 4,25390625

0,60450625 0,60450625 0,60450625 0,60450625 0,60450625
9,25680625 9,25680625 9,25680625 9,25680625 9,25680625
71,95280625 71,95280625 71,95280625 71,95280625 71,95280625
536,5014063 536,5014063 536,5014063 536,5014063 536,5014063
319,6050063 319,6050063 319,6050063 319,6050063 319,6050063
2,24250625 2,24250625 2,24250625 2,24250625 2,24250625
275,4770062 275,4770062 275,4770062 275,4770062 275,4770062

SCNichées= 6099,46975

Somme des carrés erreur(ou résiduelle).

SCE= 1137,729

Table d'analyse de la variance.

Source SC Ddl Variances F P(>F)

Traitements 346,871 4 86,71775 2,134161123 0,102930811
Nichées 6099,46975 7 871,3528214 21,44436768 1,11957E-09
Erreur 1137,729 28 40,63317857
Total 7584,06975 39

Il n'ya donc pas de différence entre les traitements (une telle valeur de F est possible dans
10,2930811% des cas, avec 4 et 28 ddl), mais il y a une différence entre les nichées (seulement
possible dans 1,11957E-07% des cas!).

Autre résolution par package

Anova: Two-Factor Without Replication

SUMMARY Count Sum Average Variance

Row 1 5 336,8 67,36 50,143
Row 2 5 322,6 64,52 56,857
Row 3 5 341,7 68,34 30,548
Row 4 5 368,9 73,78 81,717
Row 5 5 442,3 88,46 39,243
Row 6 5 237,1 47,42 36,582
Row 7 5 319 63,8 50,675
Row 8 5 243,5 48,7 25,385

Column 1 8 500,7 62,5875 206,5498214

Column 2 8 523,4 65,425 173,6707143
Column 3 8 514 64,25 99,58571429
Column 4 8 506,8 63,35 265,6742857
Column 5 8 567 70,875 288,405

ANOVA
Source of Varia SS df MS F P-value F crit
Rows 6099,46975 7 871,3528214 21,44436768 1,11957E-09 2,359257678
Columns 346,871 4 86,71775 2,134161123 0,102930811 2,714074299
Error 1137,729 28 40,63317857

Total 7584,06975 39

SC Colonnes = 8*((62,5875-65,2975)²+…) = 346,871

SC Rangées = 5*((67,36-65,2975)²+…) = 6099,46975
SC Erreur = (57+65,2975-67,36-62,5875)²+… = 1137,729

58,5225 7,22265625 19,25015625 8,33765625 9,37890625

46,3761 3,81225625 16,58525625 20,49825625 19,38200625
12,4609 1,06605625 7,79805625 7,33055625 6,66930625
11,7649 164,0320563 1,60655625 0,75255625 52,45380625
0,9025 10,32015625 79,43265625 16,70765625 0,43890625
7,3441 18,08375625 88,87775625 1,37475625 95,99100625
116,8561 27,79925625 0,06125625 64,84275625 68,51700625
30,3601 0,05175625 0,20025625 34,25175625 0,01500625

Erreur standard d'une moyenne traitement = déviation standard d'une moyenne dans le trait.
=> es = s/sqrt(n=> e.s.(trait) = sqrt(var_e/n) = 2,253696369

Erreur standard d'une différence = somme de deux erreurs standard = 4,507392737

Interaction: l'effet d'un traitement n'est pas le même dans chaque nichée, et vice-versa

Exercice 3

Un expérimentateur, étudiant les valeurs normales de constantes sanguines chez le beagle, a

dosé les protéines totales (en mgr/100ml) sur le sérum sanguin d'une part et sur le plasma
d'autre part, d'un échantillon de 7 chiens, âgés d'un an et vivant dans les mêmes conditions de
milieu et d'alimentation. Il a obtenu les résultats suivants:

Sérum Plasma

5,8 6,1
5,6 5,9
6,1 6,3
6,3 6,4
6,1 6,3
 7 7,7
6,2 6,5

Y-a-t'il des différences entre les chiens et la nature du prélèvement?

H0: 1) Pas de différence entre les chiens.

2) Pas de différence entre la nature du prélèvement.

Les données sont constituées de couples d'observations faites sur 7 beagles. Il s'agit clairement
de données pairées. La première possibilité est donc d'employer un test de t pairé.

Sérum Plasma d
Beagle 1 5,8 6,1 -0,3
Beagle 2 5,6 5,9 -0,3
Beagle 3 6,1 6,3 -0,2
Beagle 4 6,3 6,4 -0,1
Beagle 5 6,1 6,3 -0,2
Beagle 6 7 7,7 -0,7
Beagle 7 6,2 6,5 -0,3

Totaux 43,1 45,2 -2,1

Moyennes 6,157142857 6,457142857 -0,3
Dév. Std. 0,442933941 0,582686716 0,191485422

La déviation standard des moyennes de 7 différences est égale à la déviation standard des
différences divisée par la racine de 7.

Soit, Sdbarre = 0,072374686

La statistique t = dbarre/Sdbarre vaut: t= -4,145095678

avec (7-1)=6 degrés de liberté

Dans la table de t, cette valeur est significative au seuil 1%.

En fait , on a que: P(t6 < -4,14509568) = 0,003022052

Comme le sens de la différence n'était pas postulé à priori, il faut utiliser un test bilatéral.
La probabilité est donc: 0,006044103

La seconde manière d'aborder le problème est de considérer que deux effets distincts affectent
potentiellement les données: l'origine du prélèvement d'une part, et l'individu d'autre part.
Seul l'origine nous intéresse, mais l'effet individu peut être éliminé (effet de nuisance), ce qui
augmente la puissance du test de comparaison simple des moyennes 'Sérum' et 'Plasma' (qui
aurait été réalisé par un test de t non pairé ou par une Anova I).

Sérum Plasma
Beagle 1 5,8 6,1 5,95
Beagle 2 5,6 5,9 5,75
Beagle 3 6,1 6,3 6,2
Beagle 4 6,3 6,4 6,35
Beagle 5 6,1 6,3 6,2
Beagle 6 7 7,7 7,35
Beagle 7 6,2 6,5 6,35
Moyennes 6,157142857 6,457142857 6,307142857

A) Contributions à la somme des carrés totaux

Les contributions proviennent des écarts entre les données individuelles et la moyenne générale
élevés au carré, ce qui donne le tableau suivant:

0,257193878 0,042908163
0,50005102 0,165765306
0,042908163 5,10204E-05
5,10204E-05 0,008622449
0,042908163 5,10204E-05
0,48005102 1,94005102
0,011479592 0,037193878

la somme des carrés totaux est la somme de ces contributions, soit: 3,529285714

B) Contributions des moyennes 'Origine'

Ces contributions proviennent des écarts au carré des moyennes des origines par rapport à la
moyenne générale. On obtient le tableau suivant:

0,0225 0,0225
0,0225 0,0225
0,0225 0,0225
0,0225 0,0225
0,0225 0,0225
0,0225 0,0225
0,0225 0,0225

la somme des carrés 'origine' est la somme de ces contributions, soit: 0,315

C) Contributions des moyennes 'Individu'

Ces contributions proviennent des écarts au carré des moyennes des individus par rapport à la
moyenne générale. On obtient le tableau suivant:

0,12755102 0,12755102
0,310408163 0,310408163
0,011479592 0,011479592
0,001836735 0,001836735
0,011479592 0,011479592
1,08755102 1,08755102
0,001836735 0,001836735

la somme des carrés 'individu' est la somme de ces contributions: 3,104285714

D) Contributions de l'erreur

Ces contributions peuvent se calculer par (Yijk-Yi..-Y.j.+Y…)^2 ou la somme des carrés

peut se calculer par différence (SCE=SCT-SCO-SCI)

0 0
7,88861E-31 0
0,0025 0,0025
0,01 0,01
0,0025 0,0025
0,04 0,04
0 0
la somme des carrés 'erreur' est la somme de ces contributions: 0,11

Vérification: SCO + SCI + SCE = SCT

3,529285714 3,529285714

Table d'analyse de la variance

Source SC DDL Carrés moy. F P(>F)

Origine 0,315 1 0,315 17,18181818 0,006044103
Individu 3,104285714 6 0,517380952 28,22077922 0,000380505
Erreur 0,11 6 0,018333333
Total 3,529285714 13 0,271483516

La valeur qui est drectement d'intérêt est la valeur relative à l'origine. On vérifie que cette
valeur a une probabilité de 0.006 (comme plus haut): il y a donc bien un effet origine.
On peut également vérifier que t²=F.
Les deux hypothèses nulles sont donc rejetées, il y a des différences entre les chiens et la
nature du prélèvement(sérum et plasma).

La remarque sur l'âge et les conditions similaires permettrait s'il était nécessaire de postuler
que les individus proviennent d'une population homogène, avec en particulier des variances dans
les groupes qui sont comparables. Dans le cas de données pairées, cette contrainte disparaît:
il n'y a donc pas d'intérêt particulier, pour le test statistique, que les échantillons soient
homosédastiques.

Autre résolution par package

t-Test: Two-Sample Assuming Equal Variances

Sérum: Plasma:
Mean 6,157142857 6,457142857
Variance 0,196190476 0,33952381
Observations 7 7
Pooled Varianc 0,267857143
Hypothesized M 0
df 12
t Stat -1,08443534
P(T<=t) one-ta 0,149739389
t Critical one-ta 1,782286745
P(T<=t) two-tai 0,299478777
t Critical two-ta 2,178812792

t-Test: Paired Two Sample for Means

Sérum: Plasma:
Mean 6,157142857 6,457142857
Variance 0,196190476 0,33952381
Observations 7 7
Pearson Corre 0,966802832
Hypothesized M 0
df 6
t Stat -4,14509568
P(T<=t) one-ta 0,003022052
t Critical one-ta 1,943180905
P(T<=t) two-tai 0,006044103
t Critical two-ta 2,446913641
F-Test Two-Sample for Variances

Sérum: Plasma:
Mean 6,157142857 6,457142857
Variance 0,196190476 0,33952381
Observations 7 7
df 6 6
F 0,577840112
P(F<=f) one-ta 0,260880351
F Critical one-ta0,233434605

Exercice 4

Un groupe de chatons subit des tests à 1 mois et à 6 mois pour mesurer leur agressivité.
Les données sont les suivantes:

1 mois 6 mois
Chat 1 12 10
Chat 2 18 18
Chat 3 20 22
Chat 4 16 20

Montrez s'il y a des différences significatives entre les mesures aux différentes âges et entre les
chats?

H0: 1) Pas de différence entre les mesures aux différents âges.

2) Pas de différence entre les chats.

1 mois 6 mois Somme Moyenne

Chat 1 12 10 22 11
Chat 2 18 18 36 18
Chat 3 20 22 42 21
Chat 4 16 20 36 18
Somme 66 70
Moyenne 16,5 17,5 17

Somme des carrés totaux.

25 49
1 1
9 25
1 9

SCT= 120

Somme des carrés "mesures aux différents âges".

0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25

SCMesures= 2
Somme des carrés "chats".

36 36
1 1
16 16
1 1

SCChiens= 108

Somme des carrés erreur.

SCE= 10

Table d'analyse de variance.

Source SC Ddl Variances F P(>F)

Chats 108 3 36 10,8 0,040800387
Mesures 2 1 2 0,6 0,495025346
Erreur 10 3 3,333333333
Total 120 7

L'hypothèse nulle est donc acceptée au seuil 5 % pour les mesures et rejetée pour les
chats.

Exercice 5

On a comparé le temps de coagulation (en minutes) du sang de 8 individus traités par

4 anticoagulants différents. Les échantillons ont été soumis à ces quatre traitements
dans un ordre au hasard. Les données sont les suivantes:

Traitements
Individus 1 2 3 4
1 8,4 9,4 9,8 12,2
2 12,8 15,2 12,9 14,4
3 9,6 9,1 11,2 9,8
4 9,8 8,8 9,9 12
5 8,4 8,2 8,5 8,5
6 8,6 9,9 9,8 10,9
7 8,9 9 9,2 10,4
8 7,9 8,1 8,2 10

Quelles sont les influences respectives des facteurs "traitement" et individu" ? Comparez
les traitements 1 et 4 par un test de t et en utilisant l'erreur standard calculée dans
l'analyse de variance.

Encore une fois, le traitement simultané des effets 'Traitement' et 'Individu' va permettre
d'augmenter la puissance du test qui nous intéresse ('Traitement'). On peut à nouveau modéliser
ces données par une anova II:

Yij = µ + Τi + Ιj + εij

L'effet traitement i se mesure par l'écart entre la moyenne du traitement i et la moyenne globale.
L'effet individu j se mesure par l'écart entre la moyenne de l'individu j et la moyenne globale.

Traitements
 Individus 1 2 3 4 Moyennes
1 8,4 9,4 9,8 12,2 9,95
2 12,8 15,2 12,9 14,4 13,825
3 9,6 9,1 11,2 9,8 9,925
4 9,8 8,8 9,9 12 10,125
5 8,4 8,2 8,5 8,5 8,4
6 8,6 9,9 9,8 10,9 9,8
7 8,9 9 9,2 10,4 9,375
8 7,9 8,1 8,2 10 8,55
Moyennes 9,3 9,7125 9,9375 11,025 9,99375

On peut donc procéder à nouveau en calculant les différentes contributions.

A) Effet 'Traitement'

Traitements
Individus 1 2 3 4
1 0,481289062 0,079101563 0,003164062 1,063476563
2 0,481289062 0,079101563 0,003164062 1,063476563
3 0,481289062 0,079101563 0,003164062 1,063476563
4 0,481289062 0,079101563 0,003164062 1,063476563
5 0,481289062 0,079101563 0,003164062 1,063476563
6 0,481289062 0,079101563 0,003164062 1,063476563
7 0,481289062 0,079101563 0,003164062 1,063476563
8 0,481289062 0,079101563 0,003164062 1,063476563

La somme des contributions (Ti²) vaut donc: 13,01625

B) Effet 'Individu'

Traitements
Individus 1 2 3 4
1 0,001914063 0,001914063 0,001914063 0,001914063
2 14,67847656 14,67847656 14,67847656 14,67847656
3 0,004726562 0,004726562 0,004726562 0,004726562
4 0,017226562 0,017226562 0,017226562 0,017226562
5 2,540039063 2,540039063 2,540039063 2,540039063
6 0,037539062 0,037539062 0,037539062 0,037539062
7 0,382851563 0,382851563 0,382851563 0,382851563
8 2,084414063 2,084414063 2,084414063 2,084414063

La somme des contributions (Ii²) vaut donc: 78,98875

C) Erreur

Traitements
Individus 1 2 3 4
1 0,733164063 0,072226562 0,008789062 1,485351563
2 0,109726562 2,743164063 0,754726563 0,208164063
3 0,135976562 0,295664062 1,772226563 1,336914063
4 0,135976563 1,089414062 0,028476563 0,711914062
5 0,481289062 0,006601563 0,024414062 0,867226563
6 0,256289063 0,145351563 0,003164063 0,004726562
7 0,047851562 0,008789063 0,014101563 3,90625E-05
8 0,001914062 0,028476562 0,086289063 0,175351562
La somme des contributions (Ii²) vaut donc: 13,77375

D) La somme des carrés totaux

Traitements
Individus 1 2 3 4
1 2,540039063 0,352539063 0,037539062 4,867539063
2 7,875039063 27,10503906 8,446289063 19,41503906
3 0,155039063 0,798789063 1,455039063 0,037539062
4 0,037539062 1,425039063 0,008789063 4,025039063
5 2,540039063 3,217539063 2,231289063 2,231289063
6 1,942539063 0,008789063 0,037539062 0,821289063
7 1,196289063 0,987539063 0,630039063 0,165039063
8 4,383789063 3,586289063 3,217539063 3,90625E-05

La somme des contributions (Ii²) vaut donc: 105,77875

L'information est synthétisée dans la table:

Source SC DDL Carrés moy. F P(>F)

Traitements 13,01625 3 4,33875 6,615028587 0,002549665
Individu 78,98875 7 11,28410714 17,20419276 2,1968E-07
Erreur 13,77375 21 0,655892857
Total 105,77875 31 3,412217742

Vérifications:
SCT = SCTr + SCInd + SCE
DdlT = DdlTr + DdlInd + DdlE

La conclusion est que l'effet (de nuisance) Individu est très significatif, et qu'il est par conséquent
conseillé de supprimer cet effet avant de procéder à l'analyse, ce qui justifie à postériori
l'utilisation de données pairées. L'effet traitement est également très significatif globalement,
signifiant que certains traitements sont statistiquement différents de certains autres.
A remarquer que l'analyse de variance, si elle permet de voir s'il y a des différences, ne précise
pas lesquelles.

Pour comparer deux moyennes par un test de t, on utilise la différence de moyennes

d'échantillons au numérateur et la variance de la différence (c'est à dire la somme des variances)
de ces moyennes au dénominateur, ce qui aboutit au test de t classique. La variance à laquelle
il est fait référence est estimée par la variance erreur de l'ANOVA. L'effet de corriger pour les
effets de nuisance est de réduire cette variance, ce qui a un effet bénéfique sur la puissance du
test.
On peut donc comparer les traitements 1 et 4 par ce canal:

A) Différence de moyennes = 1,725

B) Variance de la différence = 2*Variance erreur de l'anova
=> Variance de la différence de moyennes = 2*Variance erreur de l'Anova/8
=> Erreur standard de la différence = 0,404936062
C) Degrés de liberté = ddl erreur dans l'Anova = 21

Par conséquent, le test à utiliser est: t(21) = 4,259931782

P(>t) = 0,000174491
Un test bilatéral nécessite de doubler cette valeur, soit P = 0,000348981

La différence est donc très significative.

Une autre manière de procéder serait de calculer la somme des carrés due à la différence, soit

SC(T4-T1) = 8*(Xb1-Xb4)^2 = 23,805

Le nombre de degrés de liberté associés à cette différence est 1.

Par ailleurs, la variance de la différence est égale à 2 fois la variance erreur, soit:

VARE(T4-T1) = 2*VARE = 1,311785714

Le nombre de degrés de liberté reste 21.

Par conséquent, le rapport entre ces deux résultats permet de tester (avec un test de F) la
différence des moyennes des traitements 1 et 4.

On obtient: F = t² = 18,14701879